Proseding Seminar Nasional Fisika dan Aplikasinya Sabtu, 19 November 2016 Bale Sawala Kampus Universitas Padjadjaran, Jatinangor
MODEL THOMAS-FERMI RELATIVISTIK SKALAR UNTUK MOLEKUL DIATOMIK DALAM KOORDINAT SFEROIDAL M. ARIFIN*, A. JAUHARI, D. RUSDIANA Program Studi Fisika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pendidikan Indonesia Jl. Dr. Setiabudhi No.229 Bandung, Jawa Barat, Indonesia 40154 Abstrak. Kami melaporkan kemajuan penerapan model Thomas-Fermi relativistik skalar dari teori densitas fungsional untuk mempelajari karakteristik struktur molekuler dari molekul diatomik. Fungsional energi dasar dari suatu sampel molekul dianalisis menurut suku-suku fungsional dari fungsi distribusi densitas dari elektron-elektron dengan mempertimbangkan secara nyata suku-suku energi pertukaran dan korelasi. Persamaan Kohn-Sham yang dihasilkan dipecahkan secara variasional dalam orbital molekuler yang diperoleh dari orbital atomik tipe-LCAO (linearized combination of atomic orbital) yang dinyatakan dalam representasi koordinat sferoidal dengan menerapkan prosedur metode medan konsisten mandiri (SCF: self-consistent field). Dengan menggunakan parameter energi terhitung dalam pendekatan densitas lokal (LDA: local density approximation) dan pendekatan gradien tergeneralisasi (GGA: generalized gradient approximation) kami mencoba mendeskripsikan secara saksama data eksperimental dari fungsi-fungsi distribusi densitas dari muatan listrik dan materi dari material sampel. Kata kunci: Model Thomas-Fermi relativistik skalar, teori densitas fungsional, molekul orbital tipe-LCAO, persamaan Kohn-Sham, aproksimasi LDA dan GGA. Abstract. We report the progress of the application scalar relativistic Thomas-Fermi (TF) model of the density functional theory (DFT) to study molecular structure characteristics of diatomic molecules. The ground state energy functional of a sample molecule is analyzed in terms of functionals of density distribution function of electrons which taking into account explicitly the exchange and correlation energy terms. The resulting Kohn-Sham equations are solved variationally using a type of linearized combination of atomic orbital (LCAO-type) for the molecular orbitals which are expressed in spheroidal coordinate representations using the procedures applied in the self-consistent field (SCF) method. Using the calculated energy parameters of local density approximation (LDA) and generalized gradient approximation (GGA) we attempt to describe appropriately the experimental data of density distribution functions of electronic charge and matter of the sample materials. Keywords: Scalar relativistic Thomas-Fermi model, density functional theory, LCAOtype of molecular orbital, Kohn-Sham equation, LDA and GGA approximations.
1. Pendahuluan
*
email:
[email protected]
Kode Artikel: FT-02 ISSN: 2477-0477
M. Arifin, dkk
Model Thomas-Fermi (TF) dalam teori densitas fungsional (TDF) dikembangkan secara independen oleh Thomas dan Fermi [1, 2] untuk mempelajari gas fermion. Studi selanjutnya dilakukan oleh Dirac [3] dan von Weizsäcker [4] dengan menambahkan faktor koreksi masing-masing untuk energi pertukaran dan energi kinetik. Model TF yang diperluas dalam kerangka kerja non relativistik telah dikembangkan dan diterapkan dalam fisika benda-banyak, yang mencakup diantaranya: atom dan molekul [5, 6, 7, 8], inti atom [9, 10, 11, 12], zat padat dan material elektronik [13]. Model TF relativistik dikembangkan berdasarkan penerapan kuantisasi persamaan Dirac [14, 15] dan relativistik DFT untuk sistem benda-banyak yang diperkenalkan oleh Rajagopal dan Callaway [16-20] dengan menyatakan teorema Hohenberg-Kohn [21-23] dalam kerangka kerja relativistik, dimana fungsi distribusi densitas elektron diberikan oleh densitas empat-arus (fourcurrent density) dalam formalisme kuantum elektrodinamika (QED). Pembahasan terstandar dalam DFT relativistik penuh didasarkan pada penerapan formalisme QED tersebut yang mencakup koreksi secara substansial tentang transvers elektromagnetik dan radiatif dalam ruang vektor-empat fungsi densitas arus [19, 20]. Model penerapan DFT relativistik tersebut dapat ditemukan dalam sistem atomik [19, 20] dan molekuler [24-28] yang menerapkan formalisasi energi fungsional relativistik Kohn-Sham empat-komponen. Seperti disebutkan dalam literatur [19] masalah umum dari penerapan formalisasi energi fungsional relativistik QED empat-komponen yang mencakup seluruh koreksi relativistik substansial di atas dalam permasalahan nyata sistem benda-banyak, khususnya untuk menghasilkan parameter data eksperimental, masih menemukan banyak kendala diantaranya menemukan metode pemecahan secara pasti untuk fungsi gelombang sistem tersebut seperti dikehendaki teorema Hohenberg-Kohn di atas, khususnya teorema kedua yang menyatakan bahwa: “the functional that delivers the ground state energy of the system, delivers the lowest energy if and only if the input density is the true ground state density” [23]. Dalam makalah ini, kami mengajukan formalisme operasional dari model Thomas-Fermi relativistik skalar untuk molekul diatomik dimana persamaan Kohn-Sham relativistik dipecahkan dalam pendekatan longitudinal [19], ekuivalen dengan pendekatan non relativistik Born-Oppenheimer [29, 30] yang mencakup koreksi relativistik yang berperan dominan dalam atom atau molekul berat dan atau dalam keadaan energi cukup tinggi. Orbital molekuler diatomik diperoleh dari orbital atomik tipe-LCAO (linearized combination of atomic orbital) [30-33] dengan cara memecahkan aproksimasi persamaan Dirac untuk komponen potensial eksternal skalar dalam koordinat sferoidal [34] dengan menerapkan prosedur metode medan konsisten mandiri atau self-consistent field (SCF) [35-41]. Hamiltonian dari sistem tersebut terdiri atas komponen: potensial Coulomb satu-benda, potensial Hartree-Fock [35-36], pertukaran dan korelasi [3536], dan koreksi relativistik yang mencakup suku koreksi massa-energi, Darwin dan spin-orbit [36]. Koreksi transvers elektromagnetik dan radiatif dari elektronelektron dalam sistem molekul diatomik dalam ranah relativistik masing-masing ditentukan secara perturbatif yaitu dengan mendiagonalisasikan Hamiltonian transvers orde-satu dan dengan cara menguji elemen matrik tereduksi dari transisitransisi multipol listrik dan magnet [40, 41]. Perluasan model tersebut untuk mencakup molekul kompleks dapat dilakukan dalam kerangka kerja yang sama baik melalui pendekatan orbital molekuler tipe-LCAO; seperti metode Hückel dengan cara menyelesaikan persamaan Hartree-Fock-Roothan [30-33], dan menggunakan representasi teori group dan simetri maupun teori ligand [31-33]. 268
Model Thomas Fermi Relativistik Skalar…
2. Model Thomas-Fermi Relativistik Skalar Sistem molekuler yang ditinjau terdiri atas dua buah atom dimana kedua intinya sangat lembam sehingga berjarak relatif tetap satu sama lain mengikuti asumsi pendekatan Born-Oppenheimer [29, 30]. Hamiltonian sistem molekuler diatomik tersebut dapat dituliskan sebagai
H= i, A
f i ,elektron + A
A, B
f Ainti ,B +
i , j >i
g ijelektron + V XC ( ; ri ) + K relativistik
(1)
dalam satuan atom: e = e 2 = ! = me 1, = 1 / c = 1 / 137.036 , dan 1 Hartree = 2 Rydberg = 27.2116 eV, dengan konstanta struktur halus; dimana
f Ainti ,B
ZA i =1 A=1 riA M M Z Z 2 A B A + A=1B > A R AB N N 1 = i =1 j >i rij
1N 2 i =1 1M 1 = 2 A=1M A
f i ,elektron = A
g ijelektron V
XC
[
; r] =
N M
2 i
E XC [
(r )
]
(2) (3) (4) (5)
K relativistik = K massa-energi + K Darwin + K spin -orbit =
1 (E V )2 2 2mc
!2 dV 2 2 4m c dr
!2 dV 2 (l s ) + 2 2 r 4m c dr r
(6)
dengan indeks i dan j untuk elektron, N jumlah elektron, indeks A dan B untuk inti, M jumlah inti, V XC ( ; r ) potensial pertukaran dan korelasi, (r ) fungsi densitas i
elektron, K
relativistik
koreksi relativistik, Z A, B nomor atom inti A, B, RAB jarak inti A
dan B, E XC [ ] energi pertukaran dan korelasi [pers.(5)], E = + m 0 c 2 [41], energi total elektron, energi kinetik total elektron, m0 massa diam elektron, c kecepatan cahaya, V potensial total sistem molekuler, l bilangan kuantum anguler elektron dan s bilangan kuantum spin elektron. Elemen matrik suku pertukaran pers.(4) (potensial Hartree [35, 36]), dapat dihitung menggunakan skema orbital atomik (tipe-LCAO) terlebih dahulu, yaitu [29, 35-36, 42-44]
269
M. Arifin, dkk
1,2
1 1,2 = rij =
(i ) 2* ( j )
* 1
* 1
i , j >i
ri
P
rj
(i ) 2* ( j )
* 1
i , j >i
1
1
(i )P 2 ( j )d
i
d
j
(i ) 2 ( j )d
i
d
j
1 ri
(i ) 2* ( j )
1
rj 1
ri
2
rj
(i ) 1 ( j )d
i
d
(7)
j
sebelum ditransformasikan ke koordinat sferoidal. Dalam pers.(7),
1, 2 ,!
(i, j,!)
orbital-orbital atomik, P operator permutasi dan d i , j ,! elemen infinitesimal ruang fungsi gelombang . Persamaan harga eigen molekuler yang diperoleh dari Hamiltonian pers.(1) adalah
H
molekul
=E
molekul
(8)
dengan fungsi gelombang molekul berbentuk [34] molekul nm
(
, ,
) = Rnm ( )S nm ( )
sin m cos m
(9)
dimana n bilangan kuantum utama, m bilangan kuantum magnetik dan γ bilangan kuantum lainnya, seperti: anguler dan spin; yang diperoleh dari pemecahan persamaan harga eigen pers.(8). Variabel sferoidal dan yang dapat diasosiasikan masing-masing dengan arah radial dan anguler dalam koordinat bola memenuhi persamaan transformasi [34]
=
r1 + r2 dan a
=
r1
r2
(10)
a
dimana r1 dan r2 variabel radial dalam koordinat bola masing-masing untuk atom 1 dan 2 dan a jarak antara inti atom 1 dan 2. Dalam koordinat sferoidal, dengan menggunakan pers.(1)-(7), pers.(8) dapat dituliskan kembali melalui metode pemisahan variabel masing-masing untuk molekul tegak (prolate) dan terbaring (oblate) sebagai berikut [34] dR mn ( ) d m2 2 (11) 1 k 2 a 2 2 Rmn ( ) = 0 mn + 2 d d 1
(
d d dan
270
(1
)
2
) dSd ( ) mn
(
+
mn
(1
)
m2 2
)
k 2a2
2
S mn (
)= 0
(12)
Model Thomas Fermi Relativistik Skalar…
d d
(
d d
(1
2
) dRd ( )
+1 2
mn
)
dS mn ( d
(
mn
)
+
(1
mn
m2 2 +1
k 2a2
)
m2 2
)
+ k 2a2
2
2
Rmn (
)= 0
(13)
S mn (
)= 0
(14)
dimana mn koefisien-koefisien sparasi, telah ditabulasikan [34] dan k 2 adalah variabel yang diberikan oleh (dalam satuan atomik)
[
]
k 2 = 2 E V (r ) 2 N M Z N N 1 M M Z Z E XC [ ] A A B V (r ) = + + + A=1B > A R i =1 A=1 riA i =1 j >i rij (r ) AB 2
=
2
4
2(E V )
2
dV dr
r
+
(15) (16)
dV 2 (l s) dr r
(17)
yang seluruhnya, [pers.(15)-(17)], dapat ditransformasikan ke koordinat sferoidal dengan operator spin-orbit memenuhi persamaan eigen
(l s )
molekul nm
(
, ,
) = 1 [ j ( j + 1) l (l + 1) s(s + 1)] 2
molekul nm
(
, ,
).
(18)
Energi kinetik kedua inti atom [suku ke-1 ruas kanan pers.(3)] sangat kecil karena inti sangat masif ( m p 1840me [35]) dan tidak diperhitungkan dalam pers.(11-14) memenuhi asumsi Born-Oppenheimer [29, 30], namun demikian, dapat dihitung dengan menerapkan model klaster dan dengan menggunakan fungsi basis yang tepat untuk molekul dimana seluruh entitas molekul (elektron dan inti) seluruhnya bergerak relatif terhadap titik pusat massa bersama [33, 40, 44]. Pers.(11-14) dapat dipecahkan secara serentak dengan menggunakan metode medan konsisten mandiri (self-consistent field: SCF) [29, 35-36, 42-44] untuk molekul tegak dan terbaring untuk menghasilkan karakteristik fungsi gelombang molekul yang direpresentasikan sebagai [35, 36]
(x1 ) 1 (x2 )
2
(x1 ) 2 (x2 )
!
" 1 (x N )
" 2 (x N )
! " !
1
molekul
=
dengan N jumlah atom dan
1 N!
i
(x1 ) N (x2 ) N
" N (x N )
(19)
(x ) orbital atomik. j
Secara umum fungsi densitas elektron diberikan oleh (cetak tebal menyatakan vektor) 271
M. Arifin, dkk
(r ) =
i
i
(r ) 2
(20)
dan jumlah elektron dalam sistem yang ditinjau adalah
(r )d 3r = N .
(21)
Jumlah elektron yang menghuni suatu keadaan kuantum ke-i, bilangan hunian (number of occupancy), dengan harga eigen yang bersesuaian i memenuhi persamaan [45] 1 i N (22) fi = 0 fi 1 i = N .
fi = 0
i
>
N
Keadaan kuantum molekuler dengan bilangan kuantum sama: ni = n , li = l , tetapi mi = m berbeda, maka keadaan kuantum tersebut terdegenerasi, sebagai f i f nl / (2l + 1) i = ni li mi = nl dengan demikian maka terdapat sejumlah 0 elektron. Fungsi densitas elektron dalam keadaan tersebut dipenuhi oleh [45]
(r ) = 1 4
n 1 n =1l =0
nl
f nl
(
nl
;r)
r
f nl = 2(2l + 1)
2
dengan 0
f nl
nl
2(2l + 1)
f nl = 0
nl
>
<
N nl
=
N
.
(20)
N
Energi pertukaran dan korelasi pers.(5) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut [46]
E XC [
] = 1 (r )V XChole (r )dr + (r )[Vkin (r ) 2
dimana hole (r1 ) = V XC
Vkin (r1 ) = =
272
1 2
1
1
,
1
2
(r1 , r2 ) r1 r2
Vs,kin (r )]dr
(r1 ) (r2 ) dr2 (r1 )
(21)
(22)
(s1 , x 2 ,!, x N | r1 ) 2 ds1dx 2 ! dx N (r'1 , r1 ) r ' =r 2 (r1 ) 1
1
[ (r1 )]2 8 2 (r1 )
(23)
Model Thomas Fermi Relativistik Skalar…
Vs,kin (r1 ) =
1 2
1
1N = 2 i =1 s
s
(s1 , x 2 ,!, x N | r1 ) 2 ds1dx 2 ! dx N mol i 1/ 2
1
(r1 ) (r1 )
(s1 , x 2 ,!, x N
(24)
2
| r1 ) =
s
(x1 ,!, x N ) (r1 ) / N
(25)
untuk masing-masing keadaan koordinat ruang (r1 ,r2 ) spin s. Persamaan KohnSham yang bersesuaian dengan pers.(11)-(18) untuk keadaan kuantum ke-i dalam notasi fungsi densitas (r ) diberikan oleh [45]
1 2
2
+ V eff [ ; r ]
dimana
V
eff
[
; r] =
(r ) r r'
d r +V 3
i
ext
(r ) = 0
(26)
E XC [ ] (r ) + (r )
(27)
i
dengan V ext (r ) potensial Coulomb oleh inti yang dialami elektron. Persamaan fungsional molekul keadaan energi dasar dapat dituliskan sebagai [45]
E total [
] = T [ ] + E XC [ ] + E Hartree [ ] +
dimana
E Hartree [ dan energi fungsional kinetik T [ Thomas-Fermi adalah [23]
Z r
] = 1 (r ) (r') dr 3 d 3 r ' 2
r r'
(r )d 3 r
(28)
(29)
] untuk gas elektron serba sama dalam model
TTF [ (r )] =
( )
3 3 10
2 2/3
5/3
(r )dr .
(30)
Suku ke-1 dan ke-2 dalam pers.(27) dalam literatur [35, 36] disebut sebagai potensial Hartree-Fock. Penghitungan terhadap efek-efek relativistik, seperti: transvers elektromagnetik dan radiatif dari elektron-elektron dalam sistem molekuler, masing-masing dilakukan secara perturbatif yaitu dengan mendiagonalisasikan Hamiltonian transvers orde-satu dan dengan cara menguji elemen matrik tereduksi dari transisi-transisi multipol listrik dan magnet, prosedur selengkapnya dapat ditemukan dalam literatur [40, 41]. Dengan menggunakan fungsi gelombang molekuler tipe-LCAO yang dikonstruksikan dari pers.(9), model ini dapat diperluas untuk membahas molekul kompleks dengan menggunakan 273
M. Arifin, dkk
representasi teori group dan simetri [31-33], terutama untuk memperoleh karakteristik molekul kompleks yang terbentuk, baik dengan menerapkan prosedur model klaster, khususnya untuk sistem beberapa benda (few-body system) [44], maupun menggunakan pendekatan teras beku (frozen core) Hückel [30, 33], dengan mengasumsikan keberadaan orbital molekuler tipe-π dan tipe-σ, untuk memecahkan persamaan Hartree-Fock-Roothan untuk molekul kompleks tersebut. 3. Pendekatan Densitas Lokal (LDA) dan Gradien Tergeneralisasi (GGA) Berdasarkan fungsi densitas orbital molekuler yang diperoleh dari penerapan prosedur di atas, parameter data eksperimental molekuler seperti: panjang ikatan, energi ikat, energi ionisasi, energi afinitas dan sebagainya, dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan semi empirik, misalnya: LDA dan GGA [23, 47]. Fungsional energi pertukaran dan korelasi pers.(21) dalam literatur [45-47], karena permasalahan dalam sistem benda-banyak, sebagian atau seluruhnya, diperoleh secara empirik berdasarkan data eksperimen maupun menggunakan simulasi numerik (monte carlo) [31]. Upaya yang dilakukan akhir-akhir ini (misalnya: [19, 20, 48]) untuk mencari pemecahan permasalahan tersebut adalah dengan menggunakan representasi fungsional energi dalam densitas arus ruang-empat yaitu dengan memecahkan persamaan Dirac [49] dalam empat-komponen potensial secara utuh. Dalam pendekatan LDA [45, 47] energi pertukaran dan korelasi didefinisikan sebagai (31) E XC LDA[ ] = (r ) XC LDA ( (r ))d 3r dimana [47] XC LDA
( )=
X LDA
X LDA
( )=
( )+
C LDA
(
)
3 3 4
2
( )
(32)
1 3
(33)
untuk densitas tinggi dan korelasi lemah (dalam [47]):
ˆ cLDA (n(r )) =
ec2 4
0
a0
(c0 ln rs + c1 + c2 rs ln rs + c3 rs + !) ,
rs << 1
(34)
untuk densitas rendah dan korelasi kuat:
ˆ cLDA (n(r )) =
ec2 4
0
a0
d0 d d + 3 1/ 2 + 42 + ! , rs >> 1 rs rs rs
(35)
dimana c0 , c1 ,! dan d 0 , d1 ,! , masing-masing adalah koefisien bergantung spin (korelasi spin) dan parameter yang diperoleh dari fitting data. Indeks s menyatakan gradien fungsi desitas [47, 50]. Dalam pendekatan GGA fungsional energi dapat dituliskan sebagai [45] 274
Model Thomas Fermi Relativistik Skalar…
E XC
GGA
[ ] = (r )
XC GGA
( (r ), (r ) )d
3
r
(36)
sedangkan potensial yang bersesuaian untuk fungsional harga energi eigen XC GGA ( (r ), (r ) ) adalah
V XC
GGA
[
; r] =
3 i =1
(r )
i
XC GGA
( (r ),
(r ) ).
(37)
i
Jika didefinisikan hubungan untuk fungsional energi korelasi dengan spin terpolarisasi atas ( ) dan bawah ( ) sebagai [50]
E CGGA (n , n
)=
d 3 rn[ec (rs ,
) + H (rs ,
, t )]
(38)
dengan seluruh fungsional kuantitas fisis: n[ec (rs , ) + H (rs , , t )] , ec (rs , ) dan H (rs , , t ) terdefinisi atau diberikan di dalam referensi [50], maka melalui hubungan hibrid fungsional energy
(
hyb E XC = E Xexact + (1 a ) E XGGA
)
E Xexact + ECGGA
(39)
dengan a parameter data fitting atau sebuah koefisien akselerator konvergensi, hyb dapat diperoleh dari E Xexact misalnya, diperoleh dari data eksperimen dan EXC pemecahan persamaan (36) dan (37), maka harga EXGGA dapat diperoleh secara numerik melalui proses iterasi [37-41]. Pendekatan semi empirik lainnya, baik lokal, semi lokal dan non lokal [50] seperti pendekatan spin densitas lokal (LSD: local spin density) memiliki karakteristik yang ekuivalen dengan dua pendekatan di atas, LDA dan GGA, yang dapat ditemukan dalam literatur [47, 50]. 4. Kesimpulan Model Thomas-Fermi relativistik skalar untuk molekul diatomik yang dikonstruksikan dari aproksimasi persamaan Dirac untuk potensial skalar telah berhasil diformulasikan secara operasional dalam sistem koordinat sferoidal. Hamiltonian dari sistem tersebut terdiri atas: potensial Coulomb satu-benda, potensial Hartree-Fock, fungsional pertukaran dan korelasi, dan koreksi relativistik yang mencakup suku: massa-energi, Darwin dan spin-orbit. Dengan menggunakan Hamiltonian tersebut persamaan harga eigen sistem molekuler diatomik yang direpresentasikan dalam orbital atomik tipe-LCAO (linearized combination of atomic orbital) dipecahkan dalam koordinat sferoidal untuk memperoleh fungsi gelombang dan energi eigen sistem molekul tersebut dengan menerapkan metode medan konsisten mandiri (self-consistent field: SCF). Parameter data eksperimental dari berbagai jenis karakteristik fisis sistem molekuler dapat ditentukan berdasarkan fungsi densitas elektron yang diperoleh dengan menggunakan pendekatan baik lokal, semi lokal atau non lokal, seperti LDA (local density approximation) dan GGA (generalized gradient approximation) dan jenis pendekatan semi empirik 275
M. Arifin, dkk
lainnya. Perluasan model untuk mencakup molekul kompleks dapat dilakukan dengan menyatakan fungsi gelombang sistem molekuler yang diperoleh tersebut dalam representasi group dan simetri baik menggunakan model klaster, terutama untuk molekul yang terbentuk dari beberapa atom, maupun menggunakan pendekatan dalam metode teras beku Hückel untuk memecahkan persamaan Hartree-Fock-Roothan untuk molekul kompleks tersebut.
Ucapan Terima Kasih Kami mengucapkan terima kasih kepada Direktorat Riset dan Pengabdian Masyarakat, Direktorat Jenderal Penguatan Riset dan Pengembangan, Kementrian Riset, Teknologi, dan Pendidikan Tinggi Nomor: 048/SP2H/LT/DPRM/II/2016, tanggal 17 Februari 2016; atas bantuan pembiayaan yang telah diberikan untuk menyelesaikan kegiatan penelitian dalam skema Hibah Bersaing tahun anggaran 2016/2017. Daftar Pustaka [1]
Thomas, L. H., The calculation of atomic fields, Proc. Camb. Philos. Soc. 23 (1927) 542-548. [2] Fermi, E., Un metodo statistico per la determinazione di alcune priorieta dell’atome, Rend. Accad. Naz. Lincei 6 (1927) 602-607. [3] Dirac, P. A. M., Note on exchange phenomena in the Thomas-Fermi atom, Proc. Cambridge Philos. Soc. 26 (1930) 376-385. [4] von Weizsäcker, C. F., Zur Theorie der Kernmassen, Z. Phys. 96 (1935) 431458. [5] Lieb, Elliott H. and Simon, Barry, The Thomas-Fermi Theory of Atoms, Molecules and Solids, Advances in Mathematics 23 (1977) 22-116. [6] Lieb, Elliott H., Thomas-fermi and related theories of atoms and molecules, Reviews of Modern Physics Vol. 53 No. 4 Part I October 1981. [7] Benguria, Rafael, Brezis, Haim and Lieb, Elliott, The Thomas-Fermi-von Weizsäcker Theory of Atoms and Molecules, Commun. Math. Phys. 79 (1981) 167-180. [8] Parr, R. G. and Yang, W., Density-functional theory of atoms and molecules, Oxford, Clarendon Press (1989). [9] Petkov, I. Zh. and Stoitsov, M. V., Nuclear Density Functional Theory, Oxford, Clarendon Press (1991). [10] Erler, J., Birge, N., Kortelainen, M., Nazarewicz, W., Olsen, E., Perhac, A. M. and Stoitsov, M., The limits of the nuclear landscape Nature (London) 486 (2012) 509-512. [11] Centelles, M., Viñas, X., Barranco, M., Ohtsuka, N., Faessler, Amand, Khoa, Dao T. and Müther, H., Relativistic extended Thomas-Fermi calculations of finite nuclei with realistic nucleon-nucleon interactions, Physical Review C Vol. 47 No. 3 (1993) 1091-1102. 276
Model Thomas Fermi Relativistik Skalar…
[12] Ring, Peter, Covariant density functional theory: applications in exotic nuclei, (2017) Tersedia: http://nuclear.fis.ucm.es/PDFN/documentos/ P.Ring.Complutense-Dec.pdf [13] Jones, R. O., Density functional theory: Its origins, rise to prominence, and future, Reviews of Modern Physics Vol. 87 July-September 2015. [14] Vallarta, M. S. and Rosen, N., Phys. Rev. 41 (1932) 708. [15] Jensen, H., Z. Phys. 82 (1993) 794. [16] Rajagopal, A. K. and Callaway, J., Phys. Rev. B 7 (1973) 1912. [17] Rajagopal, A. K., J. Phys. C 11 (1978) L943. [18] MacDonald, A. H. and Vosko, S. H., J. Phys. C, Solid State Phys. 12 (1979) 2977. [19] Engel, E. and Dreizler, R. M., Relativistic Density Functional Theory, Tersedia: http://th.physik.uni-frankfurt.de/~engel/papers/ed96.pdf [20] Engel, E., Müller, H., Speicher, C., Dreizler, R. M., In Density Functional Theory, NATO Series Series B: Physics Vol. 337 Gross E K U Dreizler R M Eds., New York, Plenum (1995). [21] Hohenberg, H. and Kohn, W., Inhomogeneous electron gas, Phys. Rev. 136 B864 (1964). [22] Kohn, W. and Sham, L. J., Self consistent equations including exchange and correlation effects, Phys. Rev. 140 A1133 (1965). [23] Cuevas, Juan Carlos, Introduction to Density Functional Theory, Institut für Theoretische Festkörperphysik, Universität Karlsruhe, Germany. Tersedia: www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/~cuevas [24] Saue, Trond and Helgaker, Trygve, Four-Component Relativistic Kohn-Sham Theory, Journal of Computational Chemistry Vol. 23 No. 8 (2002) 814-823. [25] van Wüllen, C., J. Comp. Chem. 20 (1999) 51. [26] Liu, W. J., Hong, G. Y., Dai, D. D., Li, L. M., Dolg, M., Theor. Chem. Acc. 96 (1997) 75. [27] Varga, S., Fricke, B., Nakamatsu, H., Mukoyama, T., Anton, J., Geschke, D., Heitmann, A., Engel, E., Bastug, T. J., J. Chem. Phys. 112 (2000) 3499. [28] Yanai, T., Iikura, H., Nakajima, T., Ishikawa, Y., Hirao, K., J. Chem. Phys. 115 (2001) 8267. [29] Pauling, Linus and Wilson, E. Bright, Jr., Introduction to Quantum Mechanics, With Applications to Chemistry, Dover Publications, Inc., 31 East 2nd Street, Mineola, N. Y., 11501 (1935). [30] Atkins, P.W., Molecular Quantum Mechanics, 2nd Edition, Oxford University Press, UK (1983). [31] Grant, Guy H. and Richards, W. Graham, Computational Chemistry, Oxford Science Publications, Oxford University Press, UK (1995). [32] Heine, Volker, Group Theory in Quantum Mechanics, An Introduction to Its Present Usage, Pergamon Press, London, UK (1960). [33] Bishop, David, M., Group Theory and Chemistry, Dover Publications, Inc., New York, USA (1973). [34] United States Department of Commerce, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Edited by Milton Abramowitz 277
M. Arifin, dkk
[35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47]
[48]
[49]
278
and Irene A. Stegun. Washington, USA: National Bureau of Standards (1968). Slater, John C., Quantum Theory of Atomic Structure, Vol. I dan II, McGrawHill Book Company, Inc., N.Y., USA (1960). Cowan, Robert D., The theory of atomic structure and spectra, University of California Press, USA (1981). Chernysheva, L. V., Cherepkov, N. A. and Radojević, Self-consistent field Hartree-Fock program for atoms, Computer Physics Communications 11 (1976) 57-73. Chernysheva, L. V., Cherepkov, N. A. and Radojević, Frozen core HartreeFock program for atomic discrete and continuous states, Computer Physics Communications 18 (1979) 87-100. Fischer, C. Froese, Brage, T. and Jönsson, Computational atomic structure, An MCHF approach, Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia (1997). Grant, Ian P. and Quiney, Harry M., Foundations of the Relativistic Theory of Atomic and Molecular Structure, Academic Press (1988). Dyall, K. G., Grant, I. P., Johnson, C. T. , Parpia, F. A. and Plummer, E. P., GRASP: A general-purpose relativistic atomic structure program, Computer Physics Communications 55 (1989) 425-456. Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton Landmarks in Physics, Princeton University Press, Third Printing, New Jersey, USA (1974). Varshalovich, D. A., Moskalev, A. N., and Khersonskii, V. K., Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific, Singapore (1988). Arifin, M., Katō, K. and Myo, T., Notes on 3-Body System, Nuclear Theory Group, Division of Physics, Graduate School of Science, Hokkaido University, Sapporo, Japan; (2005). Fuchs, Martin and Scheffler, Matthias, Ab initio pseudopotentials for electronic structure calculations of poly-atomic systems using densityfunctional theory, Computer Physics Communications 119 (1999) 67-98. Gritsenko, Oleg V., van Leeuwen, Robert dan Baerends, Evert Jan, J. Chem. Phys. 104 (21) (1996) 8535. Armiento, Rickard, The many-electron energy in density functional theory: From exchange-correlation functional design to applied electronic structure calculations, Doctoral Thesis, KTH School of Engineering Sciences, Stockholm, Sweden (2005). Tersedia: https://www.ifm.liu.se/theomod/theophys/people/ricar/ ArmientoThesis.pdf Furnstahl, Dick, Covariant Density Functional Theory, Dept. of Phys. Ohio State University, September 2004. Tersedia: http://www.int.washington.edu/talks/WorkShops/ Relative_density_wkshp/People/Furnstahl_R/intcovariant.pdf Dirac, P. A. M., The principles of quantum mechanics, Fourth edition, The international series of monographs on physics · 27, Clarendon Press, Oxford, UK (1958).
Model Thomas Fermi Relativistik Skalar…
[50] Fiolhais, C., Nogueira, F., Marques, M., A Primer in Density Functional Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2003) Tersedia: http://www.if.pwr.wroc.pl/~scharoch/Abinitio/PrimerDFT.pdf
279
