MODEL INVENTORI SINGLE STOCKING POINT-SINGLE COMMODITY DENGAN TINGKAT PERMINTAAN KONSTAN
LILIS SUSILAWATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Model Inventori Single Stocking Point-Single Commodity dengan Tingkat Permintaan Konstan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2014 Lilis Susilawati NIM G54070014
ABSTRAK LILIS SUSILAWATI. Model Inventori Single Stocking Point-Single Commodity dengan Tingkat Permintaan Konstan. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan SISWANDI. Inventori merupakan salah satu aset penting bagi suatu perusahaan dan pengolahan inventori yang baik dapat meningkatkan pendapatan dari penjualan produk bagi perusahaan tersebut. Tujuannya adalah untuk menyediakan produk dengan mutu yang baik dalam jumlah dan waktu yang sesuai guna memenuhi permintaan. Karya ilmiah ini bertujuan menentukan penyelesaian model inventori single stocking point-single commodity dengan tingkat permintaan konstan. Jumlah barang yang harus dipesan pada setiap pemesanan didapatkan dengan menurunkan persamaan dari rataan total biaya pemesanan tahunan. Beberapa asumsi diterapkan pada model inventori ini sehingga didapatkan suatu model dasar Economic Order Quantity. Kesimpulan yang didapatkan adalah model inventori dengan kekurangan persediaan memiliki nilai rataan biaya tahunan lebih besar dibandingkan dengan model inventori manakala kekurangan persediaan tidak diperbolehkan. Kata kunci: economic order quantity, model inventori
ABSTRACT LILIS SUSILAWATI. Inventory Model of Single Stocking Point-Single Commodity with a Constant Demand Rate. Supervised by FARIDA HANUM and SISWANDI. Inventory is one of important assets for a company and a good inventory management could increase income. The goal of this work is to provide good quality products available at appropriate amount and time. This paper aims to determine the solution of inventory model of single stocking point-single commodity with constant demand rate. The amount of products to be ordered in every order can be obtained via derivation of the average of annual total order cost. Some assumptions are applied to this inventory model to obtain a basic Economic Order Quantity model. The conclusion of this paper is that the inventory model with shortage has bigger average of annual order cost than that without shortage. Keywords: economic order quantity, inventory model
MODEL INVENTORI SINGLE STOCKING POINT-SINGLE COMMODITY DENGAN TINGKAT PERMINTAAN KONSTAN
LILIS SUSILAWATI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Model Inventori Single Stocking Point-Single Commodity dengan Tingkat Permintaan Konstan Nama : Lilis Susilawati NIM : G54070014
Disetujui oleh
Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing I
Drs Siswandi, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan, shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat. Selesainya penulisan karya ilmiah ini dikarenakan adanya peranan dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. keluarga tercinta; Mama, Bapak, Ary dan Iqbal, terima kasih atas semangat, doa dan kasih sayang yang selalu terlimpah meskipun penulis telah melakukan banyak kesalahan dan mungkin menyakiti hati semuanya, 2. Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbing I, Bapak Drs Siswandi, MSi selaku dosen pembimbing II dan Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen penguji, terima kasih atas segala ilmu, arahan dan bimbingan yang diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini, 3. segenap dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 4. semua staf departemen Metematika IPB, terima kasih atas segala pelayanan dan bantuan yang diberikan, 5. Muhammad Nur Aqil Khoiri, terima kasih atas segala perhatian, dukungan, waktu dan kesabaran dalam melalui masa-masa sulit kebersamaan kita, 6. pimpinan beserta seluruh staf PT. ECMI, terima kasih atas pengertian dan dukungan yang diberikan selama penulis menyelesaikan penyusunan karya ilmiah ini, 7. teman-teman Matematika angkatan 44 terutama Devi, Deva, Wenti, Istiti, Yuyun, Tyas, Siska, Lukman, Ikhsan dan Imam (terima kasih atas buku kalkulusnya) dan juga teman asrama TPB Enny, Tri Yulni dan Fitry, 8. pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2014 Lilis Susilawati
DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
vii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
IMPLEMENTASI
10
SIMPULAN
13
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
14
RIWAYAT HIDUP
17
DAFTAR GAMBAR 1 Fungsi I (t ) dalam model EOQ dasar
3
2 Tingkat inventori sebagai fungsi terhadap waktu
6
3 Fungsi inventori I(t) pada kasus 1
11
4 Fungsi inventori I(t) pada kasus 2
12
DAFTAR LAMPIRAN 1 Definisi dan teorema fungsi konveks
14
2 Pembuktian turunan ke-1 TC(q,s) terhadap q
14
PENDAHULUAN Latar Belakang Inventori atau persediaan adalah bahan atau barang yang disimpan dan akan digunakan untuk tujuan tertentu, misalnya untuk didistribusikan atau digunakan sebagai bahan baku membuat produk lain. Persediaan merupakan salah satu aset yang sangat penting bagi suatu perusahaan karena pengelolaan inventori yang baik dapat memaksimalkan pendapatan dari penjualan suatu produk. Suatu perusahaan yang memiliki jumlah inventori yang besar dalam jangka waktu yang lama biasanya mengalami kerugian yang diakibatkan biaya penyimpanan, kehilangan dan kerusakan barang yang disimpan. Begitu juga jika perusahaan hanya memiliki sedikit persediaan bisa mengalami kerugian yang diakibatkan kehilangan penjualan dan pelanggan. Demi memenuhi permintaan terhadap suatu produk, perusahaan harus bisa mengelola persediaannya dengan baik. Tujuan pengelolaan atau manajemen inventori ini adalah untuk menyediakan suatu produk dengan mutu yang baik dalam jumlah dan waktu yang sesuai guna memenuhi permintaan. Jumlah produk yang disimpan tidak terlalu banyak agar biaya penyimpanannya rendah dan tidak terlalu sedikit agar tidak terjadi kekurangan inventori. Dengan kata lain, tujuannya adalah meminimumkan biaya sekaligus memenuhi tingkat permintaannya. Model dari pengelolaan atau menajemen inventori dapat diklasifikasikan menjadi beberapa kriteria di antaranya berdasarkan jumlah stocking point dan komoditas (produk). Stocking point merupakan titik atau tempat menyimpan produk untuk sementara sebelum dijual atau digunakan untuk bahan baku produk lain. Semakin sedikit jumlah stocking point dan komoditas maka model akan lebih mudah dioptimalkan. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model inventori single stocking point-single commodity dengan tingkat permintaan konstan yang bersumber dari (Gianpaolo et al 2004). Tujuan Penelitian Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah memformulasikan dan menyelesaikan model inventori single stocking point-single commodity dengan tingkat permintaan konstan untuk kasus: i. tanpa kekurangan persediaan, ii. dengan kekurangan persediaan, iii. tingkat pengisian ulang takhingga.
TINJAUAN PUSTAKA Manajemen inventori diperlukan oleh suatu perusahaan untuk mengatur persediaan suatu produk pada suatu stocking point. Stocking point merupakan titik atau tempat menyimpan produk untuk sementara sebelum dijual kepada konsumen atau digunakan sebagai bahan baku produk lain, misal gudang atau
2 agen distributor. Ini dilakukan untuk meminimalkan biaya yang berkaitan dengan pengadaan persediaan tersebut dan memenuhi permintaan konsumen. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam manajemen inventori antara lain ialah: 1. waktu suatu produk dipesan, 2. banyaknya unit produk yang dipesan pada setiap pemesanan. Dalam setiap pemesanan suatu produk pasti akan muncul biaya. Biayabiaya tersebut antara lain : Biaya pemesanan ( K ), yaitu biaya tetap yang terjadi karena adanya pemesanan suatu produk dan tidak bergantung pada jumlah produk yang dipesan. Biaya penyimpanan (holding cost), yaitu biaya yang dikeluarkan untuk menyimpan produk yang dipesan sebelum didistribusikan kepada konsumen, misalkan biaya sewa gedung, biaya perawatan produk dan lain-lain. Biaya pembelian (purchasing cost), yaitu biaya yang dikenakan pada setiap unit produk yang dipesan. Biaya kekurangan (shortage cost), yaitu biaya atau kerugian yang terjadi akibat kekurangan stok. Model Economic Order Quantity (EOQ) Model EOQ klasik pertama kali diperkenalkan oleh F. W. Harris dari Westinghouse Corporation pada tahun 1915 (Winston 2004). Untuk dapat menggunakan model dasar tersebut, beberapa asumsi harus dipenuhi, yaitu: permintaan pada suatu produk bersifat konstan, biaya pemesanan tetap K terjadi ketika suatu produk dipesan, kekurangan stok tidak diperbolehkan, biaya penyimpanan h berlaku per unit per tahun, selang waktu antara suatu produk dipesan dan sampai pada tujuan adalah 0 (instantaneous resupply). Dari asumsi-asumsi tersebut dapat diperoleh model EOQ dasar yang bertujuan meminimalkan total biaya tahunan dari penjumlahan biaya pemesanan, biaya pembelian, dan biaya penyimpanan. Berdasarkan asumsi selang waktu antara suatu produk dipesan dan sampai pada tujuan adalah 0 (instantaneous resupply), suatu produk tidak boleh dipesan 0 karena akan menimbulkan biaya penyimpanan pada saat tingkat inventori I dan kerugian lain akibat kelebihan persediaan. Kondisi I 0 juga harus dihindari karena akan menimbulkan kerugian akibat kekurangan persediaan. Jadi barang harus dipesan tepat pada saat I 0 untuk mencegah kekurangan maupun kelebihan persediaan. Ini mengindikasikan bahwa pada setiap pemesanan banyaknya unit produk yang dipesan selalu sama. Misalkan q adalah jumlah suatu produk yang dipesan pada saat tidak ada persediaan I 0 , C (q) merupakan total biaya tahunan yang terjadi ketika q unit produk dipesan, maka: C(q) =
+
+
3 Biaya Pemesanan Tahunan Pada setiap pemesanan, sebanyak
q unit produk dipesan dengan tingkat
permintaan konstan per tahun d dan biaya pemesanan K . Ini berarti terdapat
d q
kali pemesanan, sehingga biaya pemesanan tahunannya ialah: Biaya Pemesanan Frekuensi pemesanan Biaya pemesanan tetap Tahun Tahun K
d q
Kd . q
Biaya Pembelian Tahunan Misalkan c merupakan nilai/harga pembelian satu unit produk yang tidak bergantung pada banyaknya unit produk yang dipesan. Dengan tingkat permintaan konstan maka biaya pembelian tahunan didapatkan dari: Biaya Pembelian Biaya pembelian Jumlah unit yang dipesan cd . Tahun Unit Tahun Biaya Penyimpanan Tahunan Biaya penyimpanan tahunan bergantung pada tingkat inventori I , jadi ketika sebanyak I unit produk disimpan untuk periode satu tahun maka biaya penyimpanan yang terjadi sebesar ( h unit/tahun)( I unit)(1 tahun) = hI , misalkan tingkat inventori tidak konstan. Jika rataan tingkat inventori selama periode waktu T adalah I maka biaya penyimpanan untuk periode waktu tersebut adalah hTI . Misalkan sebanyak q unit produk diterima pada waktu t 0. Karena tingkat permintaan d per tahun selalu konstan, maka waktu yang diperlukan hingga persediaan habis adalah q / d tahun. Diasumsikan bahwa kekurangan stok tidak diperbolehkan sehingga ketika persediaan mencapai 0, sebanyak q unit produk dipesan dan produk sampai secara instan sesuai dengan asumsi instantaneous resupply dan tingkat inventori kembali ke q.
q
q/d
cycle
q/d
2q / d
cycle
3q / d
t
cycle
Gambar 1 Fungsi I (t ) dalam model EOQ dasar Sebuah cycle didefinisikan sebagai interval waktu antara dua pemesanan atau pengisian ulang. Pada Gambar 1 terdapat 3 (tiga) cycle berulang dengan 1 d panjang q / d . Jadi dalam 1 tahun akan terdapat cycle. q/d q
4 Dengan tingkat permintaan konstan dan kekurangan persediaan tidak diperbolehkan maka untuk model ini nilai rataan tingkat inventori selama satu q cycle merupakan setengah dari tingkat inventori maksimum yaitu unit. Karena 2 nilai rataan tingkat inventori adalah q / 2 dan panjang sebuah cycle adalah q / d , maka: Biaya Penyimpanan q q q2h hIT h( )( ) , cycle 2 d 2d sehingga biaya penyimpanan tahunan ialah: Biaya Penyimpanan Biaya penyimpanan banyak cycle ( )( ) Tahun cycle Tahun q2h d hq ( )( ) . 2d q 2 Dengan menggabungkan ketiga biaya maka nilai biaya total ialah: Kd hq C (q) cd . q 2 Nilai q * yang meminimumkan C (q) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan: C '(q) 0
Kd q2 Karena C " (q)
2 Kd q3
h 0 2
q*
2 Kd . h
0, untuk setiap q 0, maka C (q) merupakan fungsi
konveks sehingga C (q) mencapai minimum global di q* 2004). Nilai q * dinamakan Economic meminimumkan biaya total C (q) .
Order
Quantity
2Kd (Winston h
(EOQ)
yang
5
HASIL DAN PEMBAHASAN Model Inventori Single Stocking Point-Single Commodity dengan Tingkat Permintaan Konstan Suatu stocking point harus memenuhi permintaan terhadap suatu komoditas atau produk dengan tingkat permintaan konstan dari suatu titik penjualan. Karena tingkat permintaannya konstan maka kendala terletak pada kapan waktu yang tepat untuk melakukan pengisian ulang dan jarak antar pengisian ulang tersebut. Kasus 1: Kekurangan Persediaan Diperbolehkan Berikut ini notasi yang akan digunakan dalam pembahasan model inventori ini. Misalkan: q = banyaknya unit produk yang dipesan K = biaya pemesanan tetap. Biaya ini tidak bergantung pada banyaknya unit produk yang dipesan d = tingkat permintaan, berupa konstanta h = biaya penyimpanan per unit produk per tahun per unit waktu c = nilai/harga suatu produk p = tingkat suku bunga (dalam persen) T = waktu antara dua pemesanan berurutan (cycle) Tr = jarak waktu antara suatu produk dipesan dan sampai pada suatu stocking point (waktu pengisian ulang/replenishment time) r = tingkat pengisian ulang (replenishment rate), yaitu banyaknya produk yang diterima per unit waktu selama Tr S = rataan tingkat kekurangan per unit waktu s = nilai kekurangan maksimum u = biaya kekurangan per item v = biaya kekurangan per item per unit waktu I = rataan tingkat inventori per unit waktu m = tingkat inventori maksimum Interval waktu antara dua pengisian ulang berurutan disebut dengan cycle. Dengan tingkat permintaan konstan d dan banyaknya unit yang dipesan adalah q, maka panjang suatu cycle bisa didapatkan dari:
q (1) . d Jarak waktu pengisian ulang bergantung pada tingkat pengisian ulang dan diperoleh dari: q (2) q rTr Tr . r Suatu produk harus dipesan pada saat yang tepat sebelum tingkat inventori mencapai 0 untuk mencegah terjadinya biaya akibat kekurangan stok atau kelebihan stok. Apabila terdapat kelebihan stok maka akan ada biaya penyimpanan, yang didefinisikan sebagai: (3) h pc, T
6 dengan p menyatakan tingkat suku bunga (biasa dinyatakan dalam persen per tahun) dan c merupakan nilai/harga satu unit produk. I (t )
T Tr
m
q / d (cycle)
q/r
m r
r d
d
s t
-s
T1
T2
T3
T4
Gambar 2 Tingkat inventori sebagai fungsi terhadap waktu Tingkat inventori I (t ) sebagai fungsi terhadap waktu ditunjukkan pada Gambar 2 dengan m menyatakan nilai inventori maksimum dan s nilai kekurangan maksimum. Ketika persediaan terus berkurang hingga mencapai nilai kekurangan maksimum, sejumlah unit produk akan dipesan dan tingkat inventori akan bertambah dengan laju tingkat pengisian ulang r (ditunjukkan dengan garis putusputus). Pada saat yang bersamaan, produk yang dipesan juga berkurang untuk memenuhi permintaan dengan laju d sehingga banyaknya item yang tersisa untuk disimpan per unit waktu selama Tr dinyatakan dengan laju r d . Setelah pengisian ulang selesai dan tingkat inventori maksimum dicapai, persediaan pun akan berkurang dengan laju setara dengan tingkat permintaannya. Pada Gambar 2 juga diperlihatkan T1, T2, T3, dan T4 yang berturut-turut menyatakan lamanya waktu yang diperlukan untuk tingkat inventori bergerak dari s ke 0, dari 0 ke m, dari m ke 0 dan dari 0 ke s. Nilai s adalah banyaknya kekurangan persediaan yang terjadi pada periode waktu T1 dan T4 yang nilainya bisa didapatkan dari persamaan: s (r d )T1 dan s dT4 , (4) sedangkan m adalah tingkat inventori maksimum yang nilainya dapat dihitung pada periode waktu T2 dan T3 dengan persamaan:
m (r d )T2 dan m dT3 . Tingkat inventori maksimum dapat diperoleh juga melalui persamaan: s m (r d )Tr m (r d )Tr Dari persamaan (2) dapat diperoleh: m
s,
q (r d )( ) s r
(5) (6)
7 d (7) ) s. r Rataan total biaya TC(q, s) per unit waktu didefinisikan sebagai: 1 (8) TC (q, s) ( K cq hIT us vST ) T dengan K merupakan biaya pemesanan, cq adalah biaya pembelian dan hIT adalah biaya penyimpanan dan us dan vST merupakan biaya akibat kekurangan persediaan. Biaya penyimpanan bergantung pada rataan tingkat inventori I dan kekurangan persediaan bergantung pada rataan tingkat kekurangan S per unit waktu. Dari Gambar 2 bisa diperoleh nilai I dan S sebagai berikut: m
1 T 1 T
I S
q (1
T
T 0
1 m(T2 T3 ) T 2 1 s(T1 T4 ) T 2
I (t )dt
0
I (t )dt
dengan
I (t )
I (t ) ; I (t ) 0 0;
I (t ) 0
I (t ) ; I (t ) 0
dan I (t )
0;
I (t ) 0.
m dan T3 r d
Dari persamaan (5) diperoleh bahwa T2
m sehingga nilai rataan d
tingkat inventori adalah sebagai berikut:
I
1 m(T2 T3 ) T 2
1 T
m mr 2T d (r d )
m q 2 d 2 m
m2r 2qr 1
I
d r
d q 1 r d 2q 1 r
Dari persamaan (4) diperoleh bahwa T1
m
2q 1
m r d 2
m d
mr d r d
d r
2
s .
s
r d tingkat kekurangan adalah sebagai berikut:
(9)
dan T4
s sehingga nilai rataan d
8
S
1 s(T1 T4 ) T 2
s
s
1 T
s d
r d 2
s sr 2T d (r d )
s q 2 d
sr d r d
s2r 2qr 1
d r
s2
S
. (10) d 2q(1 ) r Dengan menggabungkan persamaan (1), (9), dan (10), maka rataan total biaya pada persamaan (8) dapat ditulis menjadi:
TC (q, s )
TC (q, s)
1 K cq h q d
Kd q
cd
2
d q 1 r 2q 1
d h q 1 r
s
q d
d r
s2
us v
2q 1
d r
q d
2
s
vs 2
usd q
. (11) d d 2q(1 ) 2q 1 r r Nilai q dan s yang optimal dapat diperoleh dengan menurunkan persamaan (11) secara parsial terhadap q dan s. Nilai s* didapatkan dengan menyelesaikan persamaan: d TC (q, s ) 2hs ud r d d s q 2q 1 2q 1 r r d d 2hq 1 2hs 2ud 1 r r d 2q 1 r d d 2hq 1 2hs 2ud 1 r r d 2hs 2vs 2hq 1 2ud 1 r 2hq 1
2vs d 2q 1 r
0
2vs 0
2vs d r
0, dengan 2q 1
d r
0
9 s (h v)
(hq ud ) 1
(hq * ud ) 1 s*
(h v)
d r
d r
.
(12)
Nilai q* didapatkan dengan menyelesaikan persamaan: TC( q,s ) 0. q Dengan menyelesaikan persamaan tersebut dan memasukkan nilai s* yang telah didapatkan sebelumnya maka akan didapatkan q* dengan nilai:
2 Kd (ud ) 2 d h( h v ) h 1 r (penurunan persamaan ada di Lampiran 2). q*
h v v
(13)
Kasus 2: Kekurangan Persediaan Tidak Diperbolehkan Jika kekurangan stok tidak diperbolehkan ( s 0) maka persamaan (11) dapat disederhanakan menjadi: Kd 1 d (14) TC (q) cd hq 1 . q 2 r Nilai q yang optimal dapat diperoleh dengan menurunkan persamaan (14) terhadap q: dTC( q ) 0 dq Kd h d 1 0 2 q 2 r Kd h d 1 2 q 2 r 2 Kd q2 d h 1 r sehingga diperoleh : 2 Kd q* . (15) d h 1 r Kasus 3: Tingkat Pengisian Ulang Takhingga Jika pengisian ulang terjadi secara instan yang artinya produk sampai pada suatu stocking point tepat pada saat produk tersebut dipesan Tr 0 , dan tingkat , jika kekurangan stok diperbolehkan, maka: pengisian ulang r
10 *
s *
q
hq* ud h v
h v 2 Kd v h
ud
2
h h v
.
Jika kekurangan stok tidak diperbolehkan, maka total biaya pada persamaan (14) menjadi: Kd 1 TC q cd hq (16) q 2 sehingga nilai q* yang optimal diperoleh sebagai berikut:
2 Kd . (17) h Akhirnya dengan menerapkan asumsi-asumsi pada model EOQ dasar pada model inventori single stocking point-single commodity didapatkan nilai biaya total dan jumlah produk yang dipesan seperti tertulis pada persamaan (16) dan (17) yang nilainya sama dengan yang tertulis pada bab tinjauan pustaka. q*
IMPLEMENTASI ALL Food mendistribusikan daging olahan di Jabodetabek dengan gudang yang terletak di Jakarta. Tingkat permintaan untuk produk tersebut 4000 kg per bulan dengan harga Rp25 000 per kg dan biaya pemesanan sebesar Rp3 000. Tingkat suku bunga adalah 14.5% dan tingkat replenishment 400 kg per hari. Perusahaan ALL Food ingin menentukan berapa banyak daging yang harus dipesan, dengan asumsi hari kerja pada setiap bulan yaitu 20 hari, dan total biayanya jika: 1. kekurangan stok tidak diperbolehkan, 2. kekurangan stok diperbolehkan dengan s = 50 kg, biaya kekurangan per kg Rp50 dan biaya kekurangan per kg per hari Rp100, 3. pengisian ulang dilakukan secara instan dan kekurangan stok tidak diperbolehkan, Kasus 1 Dengan tingkat suku bunga 14.5% dan harga produk Rp25 000 maka biaya penyimpanan yang terjadi sebesar:
h = 0.145
25000 = Rp3 625 per tahun per kg = Rp302 per bulan per kg Jadi dari persamaan (15) diperoleh : 2 3000 4000 24000000 q* 392.2 392 kg 4000 156 312(1 ) 400 20 sehingga total biayanya:
11 TC (q)
3000 4000 1 4000 25000 4000 (302 392)(1 ) 392 2 400 20 30612 100000000 29596 Rp100 060 208 per bulan.
Karena diasumsikan hari kerja per bulan adalah 20 hari dan nilai tingkat 4000 permintaan 4000 kg, maka tingkat permintaannya per harinya adalah 200 20 kg per hari, maka dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 392 T* 0.098 bulan 2 hari 4000 392 Tr * 0.98 1 hari. 400 Tingkat inventori maksimum diperoleh dari: m (400 200) 2 400 kg. Pada Gambar 3 diberikan grafik model inventori dengan keterangan seperti yang tertulis pada kasus 1. I(t) Tr*=
T *= 2 1
m=400
0
0
1
2
3
4
5
t 6
Gambar 3 Fungsi inventori I(t) pada kasus 1
Kasus 2 Dari persamaan (13), q yang optimal dapat diperoleh dengan nilai :
q*
302 (100 20) 2 3000 4000 (50 4000) 2 4000 (100 20) 302(1 ) 302(302 (100 20)) 400 20 1.151
24000000 151
40000000000 695204
1.073 318.44 341.686 342 kg. Kemudian dengan memasukkan nilai q* yang telah didapatkan ke dalam persamaan (11) akan diperoleh total biayanya sebagai berikut:
12 4000 ) 50 3000 4000 400 20 25000 4000 4000 342 2 342(1 ) 400 20 50 50 4000 100 20 50 2 4000 342 2 342(1 ) 400 20
2
302 342(1
TC (q)
35087.72 100000000 12928.6 29239.77 14619.88 Rp100 091 876 per bulan.
Tingkat inventori maksimum diperoleh dari: 4000 m 342(1 ) 50 121 kg. 8000 Waktu-waktu tingkat pengisian ulang dapat diperoleh dari persamaan (4) dan (5), sebagai berikut: 50 T1 0.25 hari 400 200 121 T2 0.605 hari 400 200 121 T3 0.605 hari 200 50 T4 0.25 hari 200 342 Tr 0.855 hari 400 342 T 1.71 hari. 200 Pada Gambar 4 diberikan grafik model inventori dengan keterangan seperti yang tertulis pada kasus 2. I(t) m =121
T1
0
T3
T2
0.25
0.855
T4
1.46
1.71
2.21
2.815
3.42
s = 50 -70
Gambar 4 Fungsi inventori I(t) pada kasus 2
t
13 Kasus 3 Nilai q yang optimal diperoleh dari persamaan (17) yaitu:
2 3000 4000 76923.077 277 kg 312 dan total biayanya yaitu: 3000 4000 1 TC (q) 25000 4000 (302 277) 277 2 = 43321 100000000 41827 q*
= Rp100 085 158 per bulan. Panjang satu cycle didapatkan dari: 277 T 0.07 bulan 1.4 hari. 4000 Kesimpulannya setiap 34 jam harus dilakukan pengisian ulang sebanyak 277 kg daging olahan dengan biaya sebesar Rp100 085 158 per bulan.
SIMPULAN Dalam karya ilmiah ini dibahas model inventori single stocking point-single commodity dengan tingkat permintaan konstan. Pada model tersebut diterapkan tiga kasus yang berbeda yaitu kekurangan stok tidak diperbolehkan, kekurangan stok diperbolehkan dan tingkat pengisian ulang takhingga. Dari kasus kekurangan stok tidak diperbolehkan jumlah barang yang dipesan setiap kali terjadi pemesanan adalah sebanyak 392 kg daging olahan dengan biaya pemesanan sebesar Rp100 060 208 per bulan dan panjang satu cycle adalah 2 hari. Tingkat inventori maksimum diperoleh sebanyak 400 kg daging olahan dan waktu pengisian ulang (replenishment time) 1 hari. Sedangkan dari kasus kekurangan stok diperbolehkan (dengan s 50 kg) diperoleh jumlah barang yang dipesan pada setiap pemesanan adalah sebanyak 342 kg daging olahan dengan biaya pemesanan sebesar Rp100 091 876 per bulan dan panjang satu cycle adalah 1.71 hari atau 41 jam. Tingkat inventori maksimum diperoleh sebanyak 121 kg dan waktu pengisian ulang 0.855 hari atau 20.5 jam. Biaya total yang yang terjadi pada model inventori dengan kekurangan stok diperbolehkan lebih besar dikarenakan adanya tambahan biaya lain yang diakibatkan oleh kekurangan stok tersebut, misalnya kehilangan penjualan dan pelanggan. Tingkat pengisian ulang takhingga diartikan bahwa suatu barang yang dipesan akan tiba secara instan atau tepat saat barang tersebut dipesan yang mengakibatkan waktu pengisian ulangnya 0. Oleh karena itu tingkat inventori maksimum yang dicapai sama dengan jumlah barang yang dipesan pada setiap kali pemesanan yaitu sebanyak 277 kg daging olahan. Biaya pemesanan yang terjadi sebesar Rp100 085 158 per bulan dan panjang satu cycle adalah 1.4 hari atau 34 jam.
14
DAFTAR PUSTAKA Gianpaolo G, Gilbert L, Roberto M. 2004. Introduction to Logistics Systems Planning and Control. West Sussex (UK): John Wiley & Sons. Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. Ed ke-4. New York (US): Duxbury.
15 Lampiran 1. Definisi dan teorema fungsi konveks. Fungsi konveks, setara dengan fungsi cekung ke atas, memiliki definisi sebagai berikut: “Jika grafik f terletak di atas semua garis singgungnya pada suatu selang I, maka grafik disebut cekung ke atas pada I. jika grafik f terletak di bawah semua garis singgungnya pada suatu selang I, maka grafik disebut cekung ke bawah pada I.” Teorema Uji Kecekungan a) jika f " x 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I, b) jika f " x
0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.
Kekonveksan dari fungsi banyak variabel dapat dikaitkan dengan fungsi turunan kedua seperti halnya pada fungsi satu variabel. Berikut ini disampaikan cara memeriksa kekonveksan fungsi dengan menggunakan matriks Hesse (matriks turunan kedua). Misalkan f x mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu pada suatu himpunan konveks buka C di R n . Jika 1. matriks Hesse H x dari f adalah semidefinit positif pada C, maka f x adalah fungsi konveks pada C. 2. matriks Hesse H x dari f adalah definit positif pada C, maka f x adalah fungsi strictly convex pada C.
Lampiran 2. Pembuktian turunan ke 1 TC(q,s) terhadap q.
2h q 1 TC( q,s ) q
Kd q2
usd q2
1
0
2
d 2q 1 r vs 2
d 2h q 1 r
usd q2
s
d r
1 2
s
1
2q 1
d r
d r
0
d 2q 1 r 2
d 4hq 1 r
3
d 4hqs 1 r
2
Kd q2
d r
1 d 4q 1 r
2
d 4hqs 1 r
2
vs 2 d 2q 1 r 2
0
2
2hs 2 1
d r
2
d 2hq 1 r 2
3
16
Kd q2 usd q2
2
d r
2hq 2 1
d r
2hqs 1
hq 2 1
2hqs 1
d r
2hqs 1
d r
hs 2
d r
2q 2 1 vs 2
2
d r
0
d 2q 1 r 2
d 2 Kd 1 r
1 d 2q 1 r
d hq 2 1 r
2
d 2 Kd 1 r 2usd 1
d r
d 2 Kd 1 r
2 Kd 1
h v
2 Kd 1
d r
2
hs 2 2
d 2hq 1 r 2
vs 2
hq 2 1
hq 2 1 2
h v h v d 2 Kd 1 r
2usd 1 2
d r
2ud 1
d 2hqud 1 r
0
vs 2 d hq 1 r
2
2
hs 2
1
2
d r
d r
1
h v
2ud hq ud 1
d r
2
h v
0 2
2
1 h v
2 2
2
ud
hq ud
0
2
2
2 ud
h v s2
0
d r d r
d r
2
d hq 1 r
d 2hqud 1 r
d 2hqs 1 r
2
d hq 1 r 2
hq ud
d 2usd 1 r
0
d hq ud 1 r h v
d r
2
d 2hq 1 r 2
2
d 1 r d 1 r
2
hq 2
2
d 1 r
2
0
17
2 Kd 1
d r
1
d 2 Kd 1 r
h v
2
hq
2 Kd h v
d r
hq 2 1
d 1 r
2
hq
2
2
d r
1
ud
2
1
d r
2
0
h v
h v
d hq 1 r
2
d 1 r
2
ud d r
2
2
2
hq 2 1
2
h v
h v 0
2
hq
2
1
d r
ud
2
1
d d d 2 2 h v hq 1 2 Kd h v ud 1 r r r d d d h2 q 2 1 hvq 2 1 h2 q 2 1 2 Kd h v ud r r r d d 2 hvq 2 1 2 Kd h v ud 1 r r d 2 2 Kd h v ud 1 r q2 d hv 1 r
d r
0
hq 2 1
2 Kd h v d hv 1 r h v v
q
*
h v v
ud
2 Kd d h 1 r 2 Kd d h 1 r
2
d r
1 d r
hv 1
ud
2
h h v ud
2
h h v
h v h v
2
1
d r
18
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Karawang pada 5 Juli 1989 dan merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Maryoto dan Ibu Suparmi. Kedua adik laki-laki penulis masing-masing bernama Ary Susilo dan Muhamad Iqbal Fajri. Penulis pernah bersekolah di SDN Jatimulya III Pedes (lulus pada tahun 2001) kemudian melanjutkan ke SMPN 2 Rengasdengklok dan lulus pada tahun 2004. Setelah itu penulis melanjutkan ke SMAN 1 Rengasdengklok dan lulus pada tahun 2007 dan di tahun yang sama penulis juga lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI, diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah menjadi tutor mata kuliah Kalkulus di Bimbel GUMATIKA dan aktif sebagai pengurus organisasi Himpunan Profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf divisi Pengembangan Sumber Daya Manusia periode 2008-2009 dan staf divisi Kesekretariatan periode 20092010. Penulis juga aktif menjadi panitia beberapa kegiatan kemahasiswaan diantaranya ketua panitia Math Expo 2009, ketua divisi konsumsi MPD Matematika 2009, anggota divisi acara Matematika Ria 2010 dan lainnya.
