MODEL INDEKS TUNGGAL
M.Andryzal Fajar
[email protected]
William Sharpe mengembangkan model yang disebut dengan model indeks tunggal. Dimana model ini digunakan untuk menyederhanakan perhitungan di model Markowitz dan juga digunakan untuk menghitung return ekspektasian dan risiko portofolio.
MODEL INDEKS TUNGGAL Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks pasar.
Hal ini menyarankan bahwa return-return dari sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan-perubahan nilai pasar.
Dengan dasar ini, return sekuritas ke-i dapat dirumuskan:
Ri = ai + βi . RM ai = αi + ei
Ri = αi + βi . RM + ei
Keterangan: Ri = retrun sekuritas ke i RM = tingkat retrun dari indeks pasar
ai = kompenen dari retrun sekuritas ke-i βi = beta (dibahas bab 11) αi = nilai ekspektasian dari return pasar yg independen thdp return pasar ei = kesalahan residu
Komponen Model Indeks Tunggal Model indeks tunggal membagi return sekuritas ke dalam dua komponen utama, yaitu: 1.
Komponen return yang unik dan independen terhadap return pasar (αi).
2.
Komponen return yang berhubungan dengan return pasar (βi).
Model indeks tunggal juga dinyataka dalam retrun ekspektasian, dirumuskan:
E(Ri) = E(αi) + E(βi . RM) + E(ei) E(Ri) = αi + βi . E(RM)
Contoh:
Diketahui return ekspektasian dari indeks pasar adalah 25%. Bagian dari retrun ekspaktasian suatu sekuritas yg independen thdp pasar (αi) adalah 4% dan βi sebesar 0,75. Ternyata return realisasi sebesar 26%.
Jawaban:
E(Ri) = αi + βi . E(RM) E(Ri) = 4% + 0,75 . 25% E(Ri) = 22,75% Jadi nilai retrun realisasi berdasarkan model indeks tunggal adalah Ri = 22,75% + ei. Dan kesalahan estimasi (ei) adalah sebesar 26% - 22,75% = 3,25% Jika nilai retrun realisasinya sama dengan nilai retrun yang diharapkan, maka investor mengestimasi retrun ekspektasian tanpa kesalahan.
Asumsi Model Indeks Tunggal Kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau ei tidak berkovari (berkorelasi) dengan ej untuk semua nilai dari i dan j. Asumsi ini secara matematis dapat dituliskan sebagai:
Cov (ei,ej) = 0
E (ei.ej) = 0
Return indeks pasar (RM) dan kesalahan residu untuk setiap sekuritas (ei) merupakan variabel-variabel acak. Oleh karena itu, ei tidak berkovari dengan return indeks pasar, RM. Asumsi ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai:
Cov (ei,RM) =0 E (ei.[RM-E(RM)]) = 0
VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL Secara umum varians return dari suatu sekuritas sebagai berikut:
Ri = αi + βi . RM + ei
disubtitusikan
E(Ri) = αi + βi . E(RM)
Maka rumus varian return sekuritas berdasarkan model indekstunggal sebagai berikut:
Resiko (varian retrun) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian: Resiko yang berhubungan dengan pasar (market related risk), yaitu:
Resiko untuk masing – masing perusahaan (unique rsik), yaitu:
Contoh A: Retrun saham PT.A dan return indeks pasar selama 7 periode dan ratarata aritmatikanya adalah sebagai berikut:
Periode ke-t
Retrun saham PT.A (RA)
Retrun Indeks Pasar (RM)
1 2 3 4 5 6 7
0,060 0,077 0,095 0,193 0,047 0,113 0,112
0,040 0,041 0,050 0,055 0,015 0,065 0,055
0,09957
0,04586
Rata-rata aritmatika
Diketahui αi dan βi adalah konstan dari waktu ke waktu. Dan βA untuk sekuritas PT.A adalah 1,7.
Hitunglah : 1.
Nilai ekspektasian PT.A (αA)
2.
Nilai ekspektasian dari kesalahan residu E(eA)
3.
Varian dari kesalahan residu
4.
Varian dari retrun pasar
5.
Total resiko berdasarkan model indeks tunggal dan varian retrun sekuritas.
1 1.
Periode ke-t 1 2 3 4 5 6 7
eA,t = RA,t - αA – (ΒA . RM,t) eA,1=0,060-0,0216-(1,7.0,040)=-0,0296 eA,2=0,077-0,0216-(1,7.0,041)=-0,0143 2. eA,3=0,095-0,0216-(1,7-0,050)=-0,0116 E(eA) = (-0,0296-0,0143eA,4=0,193-0,0216-(1,7-0,055)=0,0779 0,0116+0,0779 eA,5=0,047-0,0216-(1,7-0,015)=0,0001 +0,0001-0,0191-0,0031) / eA,6=0,113-0,0216-(1,7-0,065)=0,0191 (7-1) eA,7=0,112-0,0216-(1,7-0,055)=0,0031 =0
3. 𝜎𝑒𝐴2 = [(−0,0296 − 0)2 + (−0,0143 − 0) +(-0,0116-0)2 + (0,0779 − 0)2 +(0,0001-0)2 + (−0,0191 − 0)2 +(-0,0031-0)2 ]/(7 − 1) = 0,0068/6 𝟐 𝟒. 𝛔 = 𝐌 = 0,00128
𝟎, 𝟎𝟒𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 + (𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 /(𝟕 − 𝟏) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓𝟔/𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔
5a.total resiko berdasarkan model indeks tunggal
𝜎𝐴 2 = 𝛽𝐴 2 . 𝜎𝑀 2 + 𝜎𝑒𝐴 2 = 1,7 2 . 0,00026 + 0,00128 = 0,002 b. Total resiko berdasarkan varian retrun sekuritas
𝜎𝐴2 = [(0,060 − 0,09957)2 + 0,077 − 0,09957 2 + 0,095 − 0,09957 2 + 0,193 − 0,09957 2 + 0,047 − 0,09957 2 + 0,113 − 0,09957 2 + 0,112 − 0,09957 2 ]/(7 − 1) = 0,002
KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL
Rumus kovarian retrun antar dua sekuritas: 𝝈𝒊𝒋 = 𝑬 𝑹𝒊 − 𝑬 𝑹𝒊 . 𝑹𝒋 − 𝑬 𝑹𝒋
Ri,j = αi + βi . RM + ei E(Ri,j) = αi + βi . E(RM)
disubtitusik an
𝝈𝒊𝒋 = 𝜷𝒊 . 𝜷𝒋 . 𝝈𝑴 𝟐
Contoh : Dua buah sekuritas A dan B masing-masing mempunyai Beta yaitu βA=1,7 dan βB=1,3. Varian return dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026. Kovarian antara sekuritas A dan B adalah : Jawab : σij= βA . βB . σM² = 1,7 . 1,3 . 0,00026 = 0,00057
PARAMETER – PARAMETER INPUT UNTUK MODEL MARKOWITZ
Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasi (E(Ri)), varians dari sekuritas (σi2), dan kovarians antar sekuritas (σij) yang merupakan parameter-parameter input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowitz.
Contoh B: Periode Return Ke-t saham PT ‘A’ (RA) 1 2 3 4 5 6 7
Ratarata
Return saham PT ‘B’ (RB)
Return index Pasar (RM)
0,060 0,077 0,095 0,193 0,047 0,113 0,112
0,15 0,25 0,30 0,40 0,27 0,15 0,55
0,040 0,041 0,050 0,055 0,015 0,065 0,055
0,09957
0,2957
0,04586
Setelah perhitungan seperti contoh A : Diketahui : 𝛽𝐴 = 1,7, 𝜎𝐴2 = 0,02, 𝜎𝑀2 = 0,00026, 𝛽𝐵 = 1,3, 𝜎𝐵2 = 0,01998, 𝑊𝐴. 𝐵 = 0,5
Hitunglah Kovarian antara return PT.A dan PT.B Resiko portofolio berdasarkan model indeks tunggal Jawab :
1.𝝈𝑨. 𝑩 = 𝜷𝑨. 𝜷𝑩. 𝝈𝑴𝟐 = 1.7.1,3.0,00026 = 0,00057
2. 𝝈𝒑𝟐 = 𝑾𝑨𝟐 . 𝝈𝑨𝟐 + 𝑾𝑩𝟐 . 𝝈𝑩𝟐 + 𝟐. 𝒘𝑨. 𝒘𝑩. 𝝈𝑨𝑩 = (𝟎, 𝟓)𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 + (𝟎, 𝟓)𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟗𝟖 + 𝟐 . 𝟎, 𝟓. 𝟎, 𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 = 0,0035
ANALISIS PORTOFOLIO MENGGUNAKAN MODEL INDEKS TUNGGAL Return Ekspektasi Portofolio Return realisasi merupakan rata-rata tertimbang dari returnreturn realisasi tiap-tiap sekuritas tunggal, 𝒏
𝑬 𝑹𝑷
=
𝒏
𝒘𝒊 . 𝜶𝒊 + 𝒊=𝟏
𝒘𝒊 . 𝜷𝒊 . 𝑬(𝑹𝑴 ) 𝒊=𝟏
RESIKO PORTOFOLIO Risiko adalah kemungkinan terjadinya perbedaan antara return aktual dengan return yang diharapkan. 𝒏
𝝈𝒑 𝟐 = (
𝒏
𝒘𝒊 . 𝜷𝒊 )𝟐 . 𝝈𝑴𝟐 + ( 𝒊=𝟏
𝒘𝒊 . 𝝈𝒆𝒊 )𝟐 𝒊=𝟏
Perbandingan jumlah parameter Jumlah sekuritas (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100 200 500 1,000 5,000 10,000
jumlah parameter yang harus dihitung model Makrowitz model indeks tunggal n + (n.(n-1)/2 (2.n+1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 210 1,275 5,050 20,100 125,250 500,500 12,502,500 50,005,000
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 41 101 201 401 1,001 2,001 10,001 20,001
SIMPULAN Semakin banyak sekuritas dalam portofolio maka nilai resiko yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dan akan bernilai nol jika jumlah sekuritas semakin besar. Resiko portofolio yang terdiversifikasi dengan baik hanya terdiri dari unsur sistematik saja.
MODEL PASAR
Merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit. Bentuk model pasar yang sama dengan bentuk model indeks tunggal mempunyai return dan return ekspektasian sebagai berikut : Ri = αi + βi . RM + ei
dan E(Ri) = αi + βi . E(RM)
PORTOFOLIO OPTIMAL BERDASARKAN MODEL INDEKS TUNGGAL Dimana : ERBi =
E Ri RBR ERBi Bi
a
excess return to beta securities
E(Ri) = Ekspektasi return berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas i RBR =
Return bebas resiko
Bi
Beta Sekuritas i
=
Langkah-langkah menentukan besarnya titik pembatas : 1. Urutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar ke kecil, yang terbesar merupa-kan kandidat untuk dimasukkan ke dalam Portofolio Optimal
2. Hitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas ke i, sebagai berikut
2.a
Ai
E Ri RBR .Bi
2 ei
2.b
Bi
Bi
2 ei
3. Menghitung nilai Ci Ci
2 σm Ai
2 1 σm Bi
σm2 = varian dari return Indeks Pasar. Nilai Ci adalah nilai C untuk sekuritas ke-i yang dihitung dari kuulasi nilai-nilai A1 sampai dengan Ai dan nilai B1 sampai dengan Bi. Dengan mensubstitusikan nilai Ai dan Bi maka rumus Ci menjadi sepeti dibuku halaman 432. :D 1. Besarnya cut off point (C*) adalah nilai Ci yang terbesar
2. Sekuritas yang membentuk Portofolio Optimal adalah sekuritas yang mem-punyai nilai ERB lebih besar atau sama nilainya. ERB di titik C* adalah nilai ERB yang kecil, tidak disertakan dalam pem-bentukan Portofolio Optimal.
5. Menentukan besarnya proporsi sekuritas
wi
xi
x
5.a
i
i zi 2 ERBi C * ei
5.b
wi = Proporsi Sekuritas k = jumlah sekuritas di portofolio
i = beta sekuritas ke-i ei2 = varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i ERBi=excess retrun to Beta sekuritas ke-i C* =nilai Ci terbesar
Contoh D: Nilai Saham
E(Ri)
Bi
σei^2
ERBi
A B C D E
20 19 27 23 25
2,00 1,50 2,00 1,50 1,80
5,0 4,0 7,5 5,0 2,0
5 6 8,5 8,677 8,333
Diketahui: 1. Retrun aktiva bebas resiko (RBR)=10% 2. Varian indeks pasar = 10%
Untuk masing –masing sekuritas dapat dihitung yg hasilnya disajikan ditabel berikut:
Nama E(Ri) Bi Saham D C E B A
23 27 25 19 20
1,50 2,00 1,80 1,50 2,00
𝜎𝑒𝑖 2 ERBi Ai
Bi
𝑗
𝑖
𝐴𝑖 5,0 7,5 2,0 4,0 5,0
8,677 8,5 8,33 6 5
3,9 4,533 13,5 3,375 4
0,45 0,533 1,62 0,563 0,8
Ci 𝐵𝑗
𝑖=1
𝑗 =1
3,9 8,433 21,933 25,308 29,308
0,45 0,983 2,603 3,166 3,966
7,091 7,787 8,114 7,749 7,208
Simpulan: Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas yang mempunyai Erb lebih besar dari Ci, yaitu sekuritas D, C, dan E
i
Nama Saham
E(Ri)
Bi
𝜎𝑒𝑖 2
ERBi
Ci
Zi
Wi
1 2 3
D C E
23 27 25
1,50 2,00 1,80
5,0 7,5 2,0
8,677 8,5 8,333
7,091 7,787 8,114
0,159 0,103 0,197
0,346 0,224 0,429
Total
1,000
Nilai Zi di tabel dihitung berdasarkan rumus 5.b, sebagai berikut: Z1=(1,50/5,0)(8,677 – 8,114) = 0,159
Z2=(2,00/7,5)(8,5 – 8,114) = 0,103 Z3=(1,80/20)(8,333 – 8,114) = 0,197 Besarnya nilai Σ Zj adalah sebesar Z1 + Z2 + Z3 atau 0,159 + 0,103 + 0.197=0,459. Nilai wi merupakan proporsi sekuritas ke-i. dapat dihitung berdasarkan rumus 5.a W1 = 0,159/0,459 = 0,346 = 34,6% W2 = 0,103/0,459 = 0,225 = 22,5% W3 = 0,197/0,459 = 0,429 = 42,9%
TERIMA KASIH
IHSG ditutup naik 0,77% di awal pekan JAKARTA. Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) melaju di awal pekan terakhir 2015, Senin (28/12). Mengacu data RTI menunjukkan, indeks berakhir naik 0,77% atau 34,707 poin ke level 4.557,255. Tercatat, 182 saham naik, 94 saham turun 94 saham, dan 74 saham stagnan. Perdagangan hari ini melibatkan 8,76 miliar dengan nilai transaksi mencapai Rp 5,67 triliun. Sembilan dari 10 indeks sektoral menghijau. Sektor agrikultur naik 2,67% dan sekaligus memimpin penguatan. Sementara, hanya sektor industri dasar yang memerah atau turun 0,46%. Di sisi lain, aksi jual menyelimuti perdagangan terutama di pasar reguler sebesar Rp 58,601 miliar. Sementara itu, secara keseluruhan perdagangan lebih diwarnai aksi beli, di mana net buy asing sebesar Rp 429,162 miliar. Saham-saham yang masuk top gainers LQ45 antara lain: PT United Tractors Tbk (UNTR) naik 5,23% ke Rp 16.100, PT Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF) naik 3,94% ke Rp 5.150, dan PT PP London Sumtra Indonesia Tbk (LSIP) naik 3,67% ke Rp 1.305. Sedangkan, saham-saham yang masuk top losers LQ45 antara lain: PT Perusahaan Gas Negara (PGAS) turun 3,85% ke Rp 2.745, PT Sawit Sumbermas Sarana Tbk (SSMS) turun 3,17% ke Rp 1.680, dan PT Matahari Putra Prima Tbk (MPPA) turun 2,17% ke Rp 1.575. Di sisi lain, bursa Asia tergelincir hari ini. Terseret oleh penurunan terburuk bursa China dipicu menurunnya laba industri negeri tirai bambu itu. Indeks MSCI Asia Pacific tergelincir kurang dari 0,1 % menjadi 131,14 pada 04:01 di Hong Kong, menghapus keuntungan sebanyak 0,3 % sebelumnya. Indeks Shanghai Composite turun 2,6 % dan saham daratan di Hong Kong merosot karena kekhawatiran atas perlambatan pertumbuhan penyelidikan dan korupsi ekonomi. Di sisi lain, indeks Hang Seng China Enterprises saham daratan di Hong Kong anjlok 1,7 % , sedangkan benchmark indeks Hang Seng turun 1 %, dengan volume perdagangan 42 % di bawah rata-rata 30 -hari. Indeks Taiex Taiwan dan Indeks Straits Times Singapura baik kehilangan 0,1 %. Indeks Kospi Korea Selatan tergelincir 1,3 %.
