2
Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás vrátí zpět na předcházející zobrazení v dokumentu.
2.1
Pojem množiny a základní symbolika
V matematice se nezabýváme pouze jednotlivými prvky, ale také jejich skupinami, souhrny, Pokuste se uvést několik příkladů libovolných takových skupin. Např. skupina studentů FAI, souhrn stromů ve vizovickém parku, soubor listnatých stromů ve vizovickém parku, atd. Jednotlivé studenty, stromy atd. budeme považovat za objekty, které vytváří samostatný celek. Domnívám se, že nyní už jsme schopni definici množiny dát dohromady. Kromě jednotlivých prvků se v matematice často zabýváme také jejich soubory (souhrny, skupinami). Množina je soubor libovolných navzájem různých objektů, jenž je chápán jako jeden celek. Jestliže o každém objektu lze jednoznačně rozhodnout, zda do množiny patří, či nikoliv, pokládáme množinu za určenou. Každý z objektů, který patří do množiny, se nazývá prvek množiny. K označování množin používáme zpravidla velká písmena latinské abecedy A, B, M apod. a k označování jejich prvků malé písmena a, b, x apod. Výrok a je prvkem množiny M “ zapisujeme symbolicky ve tvaru ” a ∈ M. 1
motivace
množina, prvky množiny
zápisy
2
2. MNOŽINY
Jeho negaci pak ve tvaru a 6∈ M. prázdná množina
grafické znázornění množin
zadávání množiny
Jestliže množina obsahuje alespoň jeden prvek nazývá se neprázdná množina. Prázdná množina neobsahuje žádný prvek. Značíme ji ∅. Prvky množiny mohou být samy množinami. Pak mluvíme o systému množin (místo o množině množin). Množinu graficky znázorňujeme jako část roviny omezené uzavřenou křivkou, jejíž vnitřní body znázorňují prvky množiny a vnější body prvky, které do množiny nepatří. V některých úvahách budeme dále předpokládat, že množiny, o nichž bude řeč, byly vytvořeny z prvků nějaké předem zvolené množiny U . Tuto množinu nazýváme základní nebo univerzální. Množinu nejčastěji zadáváme dvěma způsoby: a) Výčtem prvků tj. vyjmenováním všech prvků (u konečných množin). Zápis vypadá takto: M = {x1 , x2 , . . . , xn }. Čteme M je množina prvků x1 , x2 , . . . , xn “. ” b) Charakteristickou vlastností, tj. takovou vlastností, kterou mají právě jen prvky zadávané množiny z tzv. univerzální množiny U , která obsahuje všechny objekty, jež nás zajímají. Zapisujeme M = {x ∈ Z; V (x)}. Čteme M je množina všech x z množiny U , pro která platí V (x)“. ” V matematice vystupují v roli základních množin velmi často např. číselné množiny, pro něž zavedeme toto označení: N - množina všech přirozených čísel bez nuly - N = {1, 2, 3, . . .}, N0 - množina všech přirozených čísel s nulou - N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}, Z - množina všech celých čísel - Z = {. . . , −3, n −2, −1, 0, 1, 2, .o. .}, Q - množina všech racionálních čísel - Q = pq ; p ∈ Z ∧ q ∈ N , R - množina všech reálných čísel, C - množina všech komplexních čísel. Na střední škole jste pracovali zejména s množinou reálných čísel, ve které je splněno pro operace sčítání a násobení těchto devět axiomů: Pro libovolná a, b, c ∈ R platí: T1: a + b = b + a, T2: a + (b + c) = (a + b) + c, T3: existuje nulový prvek 0 ∈ R takový, že a + 0 = a pro každé a ∈ R (je to číslo 0),
2.2. MNOŽINOVÉ VZTAHY A OPERACE
3
T4: ke každému číslu a ∈ R existuje −a, tzv. opačné číslo k a, pro které platí a + (−a) = 0, T5: a · b = b · a, T6: a · (b · c) = (a · b) · c, T7: existuje jednotkový prvek 1 ∈ R takový, že a · 1 = a pro každé a ∈ R, (je to číslo 1), T8: ke každému číslu a 6= 0 existuje inverzní číslo k číslu a, označujeme jej a−1 a platí a · a−1 = 1, T9: a · (b + c) = a · b + a · c. Axiomy T1 až T4 jsou zákony pro sčítání, Axiomy T5 až T8 jsou zákony pro násobení, T9 je distributivní zákon, který vyjadřuje souvislost mezi sčítáním a násobením. Množinové úvahy se často týkají pouze malého počtu množin. Situace zahrnující dvě, tři, čtyři množiny lze přehledně znázornit pomocí tzv. Vennových diagramů (Prezentace 2.1.1). Ke grafickému znázorňování množin reálných čísel je obvykle vhodnější použít číselnou osu, přičemž se množiny reálných čísel znázorňují přímo na ní, nebo pomocí vodorovných čar rovnoběžných s číselnou osou (Prezentace 2.1.2).
2.2
Množinové vztahy a operace Základní typy vztahů mezi množinami A, B (prvků z U )
Množinový vztah (název a symbolické označení) Inkluze množin A, B; A je podmnožinou množiny B; Symbolický zápis: A ⊂ B Rovnost množin A, B; Symbolický zápis: A = B Ostrá inkluze množin A, B; množina A je vlastní podmnožinou množiny B Symbolický zápis: A ⊂ B
Definice (slovní vyjádření) A je podmnožinou B, právě když každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B Množiny A, B jsou si rovny, právě když A ⊂ B a zároveň B ⊂ A A je vlastní podmnožinou B, právě když A ⊂ B, avšak zároveň A 6= B.
6=
Tabulka 2.2.1 Protože jsme již určitě zvládli výrokovou logiku, jistě byste dovedli zapsat definice pomocí symbolických zápisů místo slovního vyjádření. Např.
inkluze, rovnost, ostrá inkluze
4
2. MNOŽINY
zapíšeme inkluzi množin a vy si zkuste zapsat např. rovnost množin. Tedy definice inkluze množin A, B: A⊂B
⇐⇒
(∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Připomeňme ještě základní vztahy, které platí mezi základními číselnými množinami (uvedenými v odstavci 2.1): N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
sjednocení, průnik, rozdíl množin
Základními množinovými operacemi s množinami A ⊂ U , B ⊂ U rozumíme vytvoření jejich sjednocení A∪B, průniku A∩B, rozdílu A−B, tj. množin, jejichž definice jsou uvedeny v tab. 2.2.2 (grafické znázornění těchto operací Vennovými diagramy je v Prezentaci 2.2.1. Základní operace s množinami A ⊂ U , B ⊂ U Název množiny a symbolické označení Sjednocení množin A, B označované A ∪ B
Průnik množin A, B označovaný A ∩ B
Rozdíl množin A, B označovaný A − B (A/B)
Definice (slovní a symbolické vyjádření) Sjednocení množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U , které patří alespoň do jedné z množin A, B. Tedy: A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B} Průnik množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U , které patří do množiny A a zároveň do množiny B. Tedy: A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B} Rozdíl množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U , které patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B. Tedy: A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Tabulka 2.2.2 Často se ještě používají dva pojmy: disjunktní množiny a doplněk množiny související se základními množinovými operacemi. Disjunktní množiny: Říkáme, že množina A je disjunktní s množinou B právě když množiny A, B mají prázdný průnik: A ∩ B = ∅, disjunktní množiny
2.3. KARTÉZSKÝ SOUČIN
5
tj. nemají žádný společný bod. Doplněk množiny A (vzhledem k základní množině U ) se značí A0 a je definován takto A0 = U − A = {x ∈ U : x 6∈ A} (Prezentace 2.2.2). Jistě nás budou zajímat základní vlastnosti operací sjednocení, průniku a doplňku. 1. Komutativní zákony A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A. 2. Asociativní zákony (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 3. Distributivní zákony A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 4. Idempotentnost průniku a sjednocení A ∩ A = A, A ∪ A = A. 5. Průnik a sjednocení s prázdnou a se základní množinou A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A, A ∪ U = U . 6. Involučnost doplňku A00 = (A0 )0 = A. 7. Doplněk průniku a sjednocení (de Morganovy zákony) (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 , (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 .
2.3
doplněk množiny
vlastnosti operací sjednocení, průniku a doplňku
Kartézský součin, binární relace, zobrazení a funkce
Představme si množinu n prvků {x1 , x2 , . . . , xn }. Jedná se o konečnou množinu. Vybírejme z této množiny dvojice prvků. Obecně nebude záviset na pořadí prvků v této dvojici v jakém je uvedeme. Tedy {x1 , x4 } = {x4 , x1 }. V případě, že stanovíme pevně pořadí, v němž budeme prvky brát, tj. stanovíme, který z nich vezmeme jako první, který jako druhý dostaneme tzv. uspořádanou dvojici prvků. Pro uspořádanou dvojici je definován pojem rovnosti takto: (x1 , x2 ) = (x01 , x02 ) právě když
x1 = x01 ∧ x2 = x02 .
Nechť jsou nyní dány dvě množiny A, B. Vytvoříme množinu všech uspořádaných dvojic (x1 , x2 ) prvků x1 ∈ A, x2 ∈ B. Tuto množinu nazveme kartézským součinem množin A, B (v uvedeném pořadí) a značíme ji A × B. Symbolicky zapíšeme kartézský součin takto: kartézský součin, druhá A × B = (x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B . kartézská mocnina, n tá kartézská mocnina
6
2. MNOŽINY
Jestliže A = B, pak A × A označujeme jako A2 a nazýváme druhou kartézskou mocninou množiny A. Obdobně definujeme kartézský součin A1 × A2 × · · · An množin A1 , A2 , . . . , An jako množinu všech uspořádaných n-tic (x1 , x2 , . . . , xn ), kde x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , . . . , xn ∈ An . Obdobně zavedeme pojem kartézský součin n-té kartézské mocniny množiny A, kterou označujeme An . Příklad 2.3.1. Pro množiny A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} najděte kartézský součin A × B a B × A a pokuste se tyto součiny znázornit graficky. Řešení: A × B = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3) , B × A = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2) . Jsou-li A, B číselné množiny, můžeme kartézský součin A × B graficky zobrazit v pravoúhlé soustavě souřadnic (0, x, y) tak, že dvojici (x, y) ∈ A × B znázorníme jako bod [x, y]. V Prezentaci 2.3.1 je znázorněn kartézský součin A × B a kartézský součin B × A. Co myslíte platí komutativní zákon pro kartézský součin?
binární relace
Každou podmnožinu % kartézského součinu nazýváme binární relací (krátce relací) mezi množinou A a množinou B. Jestliže A = B, pak mluvíme o relaci v A. Nechť % je binární relace mezi množinami A a B. Jestliže (a, b) ∈ %, říkáme,že prvek a je v relaci s prvkem b, což zapisujeme a % b.Tedy (a, b) ∈ % ⇔ a % b. Relaci mezi A a B můžeme určit (jako každou množinu) dvojím způsobem: a) vyjmenováním prvků, b) jako obor pravdivosti výrokové formy p(x, y) se dvěma proměnnými v množině A × B, % = (x, y) ∈ A × B : p(x, y) . Jistě byste zvládli napsat libovolnou relaci mezi množinami A a B z příkladu 2.3.1. Zkuste to. No samozřejmě, např. % = (1, 1), (2, 3) . Příklad 2.3.2. Nechť A = {1, 2, 5, 6}, B = {2, 4, 5}. Definujme relaci ϕ = (x, y) ∈ A × B : x < y . Znázorněte ji graficky. Řešení: Tuto relaci můžeme zapsat vyjmenováním prvků ϕ = (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5) a znázornit graficky (viz Prezentace 2.3.2).
2.3. KARTÉZSKÝ SOUČIN
7
Příklad 2.3.3. Nechť A = x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 3 , b = y ∈ R : 2 ≤ x ≤ 5 . Nechť relace % mezi množinami A a B je definována takto: % = (x, y) ∈ A × B : x ≤ y Znázorněte ji graficky. Řešení: Tuto relaci nemůžeme určit vyjmenováním dvojic, protože jak jste jistě poznali relace obsahuje těchto dvojic nekonečně mnoho. Uměli byste znázornit tuto relaci graficky? Pokuste se o to. Zkontrolujte si svůj výsledek v Prezentaci 2.3.3. Vraťme se ještě k příkladu 2.3.2. Co kdybychom v relaci ϕ zaměnili pořadí prvků v uspořádaných dvojicích. Dostali bychom relaci, kterou označíme ϕ−1 . Zřejmě ϕ−1 = (2, 1), (4, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 2) ⊂ B × A. Taková relace se nazývá inverzní relací k relaci ϕ. Inverzní relaci bychom mohli obecně definovat takto: Nechť ϕ je libovolná relace mezi A a B. Relaci mezi B a A nazýváme inverzní relací k relaci ϕ právě tehdy, když platí (y, x) ∈ ϕ
−1
⇔
(x, y) ∈ ϕ.
Mohli bychom se nyní dále podrobněji zabývat relací % v množině A. Zkoumali bychom její speciální vlastnosti jako jsou: reflexivita, symetrie, antisymetrie, tranzitivita, trichotomie. Na základě těchto pojmů se dá definovat relace ekvivalence a relace uspořádání. My se všemi těmito pojmy zatím zabývat nebudeme, zvídavý čtenář je jistě sám objeví v odborné literatuře. Přesto bychom chtěli definovat relaci uspořádání. K tomu potřebujeme pojmy trichotomická a tranzitivní relace. Relace % v množině A se nazývá trichotomická, jestliže ∀x, y ∈ A : x%y ∨ x = y ∨ y%x. Relace % v množině A se nazývá tranzitivní, jestliže ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ % ∧ (y, z) ∈ % ⇒ (x, z) ∈ %. Relace %, která je tranzitivní a trichotomická se nazývá uspořádáním množiny A a o množině A říkáme, že je uspořádaná (pomocí relace %).
inverzní relace
8
2. MNOŽINY
Například relace < (menší než), > (větší než) jsou uspořádáním množiny R všech reálných čísel, množina R je tedy uspořádaná množina s relací < nebo s relací >. Množinu R doplníme o tzv. nevlastní čísla −∞, ∞. Místo +∞ budeme zkráceně psát jen ∞. Takto rozšířenou množinu reálných čísel budeme označovat R∗ , R∗ = R ∪ {−∞} ∪ {∞}. Relaci uspořádání < na R∗ doplníme takto: ∀a ∈ R : a > −∞ ∧ a < ∞. Bude užitečné definovat v R∗ operace sčítání, odčítání, násobení a dělení pro nevlastní čísla −∞, ∞: ∀x > −∞: ∀x < +∞: ∀x ∈ R∗ − {0}: ∀x ∈ R∗ − {0}: ∀x ∈ R∗ − {0}: ∀x ∈ R∗ − {0}: ∀x ∈ R:
x + ∞ = +∞ + x = +∞, x + (−∞) = x − ∞ = −∞ + x = −∞, x · (+∞) = +∞, je-li x > 0, x · (+∞) = −∞, je-li x < 0, x · (−∞) = −∞, je-li x > 0, x · (−∞) = +∞, je-li x < 0, x x +∞ = 0, −∞ = 0.
Když a < b říkáme, že a je menší než b (nebo také b je větší než a; v tomto případě píšeme také b > a. Je-li a < b ∧ a = b píšeme a ≤ b (nebo a ≥ b) a čteme a je menší nebo se rovná b. Těmto zápisům říkáme nerovnosti (přesněji ostré nerovnosti, neostré nerovnosti). Pomocí nerovností definujeme důležité podmnožiny všech reálných čísel R, které nazýváme intervaly. Předpokládejme, že a, b ∈ R, a < b: a) (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, b) ha, bi = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, c) (a, bi = {x ∈ R : a < x ≤ b}, d) ha, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, e) (a, ∞) = {x ∈ R : x > a}, f) ha, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a}, g) (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}, h) (−∞, bi = {x ∈ R : x ≤ b}, i) (−∞, ∞) = R. Intervaly a), e), g), i) se nazývají otevřené, interval b) je uzavřený, interval c) je zleva otevřený a zprava uzavřený, atd. V Prezentaci 2.3.4 naleznete grafické znázornění intervalů.
2.4. ZOBRAZENÍ, FUNKCE
2.4
9
Zobrazení, funkce
Na závěr této kapitoly se zmíníme ještě o jedné speciální binární relaci. V příkladu 2.3.1 se vyskytují tyto uspořádané dvojice: (1, 1), (1, 2), (1, 3). Zajímavá by mohla být relace, ve které se z této trojice může vyskytovat pouze jedna uspořádaná dvojice např. (1, 2). Tedy relace bude obsahovat dvojice, ve kterých se bude vyskytovat vždy pouze jeden prvek z množiny A. Tyto speciální relace nazývají zobrazení, přesněji množinová zobrazení. V další definici zavedeme pojem zobrazení množiny A do množiny B. Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Přiřadíme-li ke každému prvku x ∈ A právě jeden prvek y ∈ B, dostáváme množinu ϕ uspořádaných dvojic, která se nazývá zobrazení F množiny A do množiny B. Říkáme, že x je vzorem prvku y a prvek y je obrazem prvku x při zobrazení ϕ. Zobrazení ϕ zapisujeme takto: ϕ : A → B. Uvědomíme si, že při zobrazení ϕ množiny A do množiny B, ϕ : A → B má každý vzor x ∈ A právě jeden obraz y ∈ B, ale prvek y ∈ B může být obrazem více vzorů. Prvý obor zobrazení ϕ, tedy množinu vzorů O1 (ϕ), nazýváme definičním oborem zobrazení ϕ. Druhý obor zobrazení ϕ, tedy množinu obrazů O2 (ϕ), nazýváme oborem hodnot zobrazení ϕ. Ve vysokoškolských učebnicích se definují další pojmy, které souvisí s pojmem zobrazení. Jsou to např. tyto pojmy: zobrazení množiny A na množinu B (nebo též surjektivní zobrazení), zobrazení prosté (nebo též injektivní zobrazení), vzájemně jednoznačné zobrazení (nebo též bijektivní zobrazení), složené a inverzní zobrazení. My tyto pojmy teď definovat nebudeme. Zavedeme si je u pojmu reálné funkce reálné proměnné, kam směřujeme. Zjistíme velmi brzy, že reálná funkce reálné proměnné je také jakési speciální zobrazení. Je-li A libovolná množina, potom každé zobrazení množiny A do množiny všech reálných čísel R, se nazývá reálná funkce. Reálná funkce je tedy zobrazení f : A → B, které každému prvku x ∈ A přiřadí právě jedno reálné číslo. Dovedli byste sestavit libovolný příklad reálné funkce? Jistě to není nic těžkého. Tak například: A je množina studentů studijní skupiny IT/1/1. Přiřadíme-li každému studentovi aritmetický průměr známek jeho maturitního vysvědčení, je zobrazení f : A → B reálná funkce.
zobrazení A do B
reálná funkce
