Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018
2. Množiny, funkce MNOŽINA, ZÁKLADNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina se vytváří intuitivně na základě příkladů a interpretací. V tomto smyslu je množina souhrn konečného nebo nekonečného počtu konkrétních nebo abstraktních objektů, které se nazývají její prvky. Množina je svými prvky jednoznačně určena. V technických aplikacích se jako prvky množin vyskytují například čísla, funkce, vektory, matice apod.
Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
S. Přitom se vylučuje případ množiny, která by obsahovala jako prvek samu sebe a případ množiny všech množin.
K označování množin se zpravidla používají velká písmena latinské abecedy A, B, M apod. a k označování jejich prvků malá písmena a, b, x apod. Je-li x prvkem množiny M, zapisuje se x ∈ M; říká se též, že x patří do množiny M. V opačném případě, kdy x nepatří do množiny M, se zapisuje x ∉ M. Symbol ∈ se nazývá incidence (příslušnost) prvku k množině. Množinu můžeme zadat nejčastěji dvěma různými způsoby - výčtem prvků a charakteristickou vlastností (tj. takovou vlastností, kterou mají právě jen prvky zadávané množiny). Zápis M = {a, b, c, …} vyjadřuje, že do množiny M patří prvky uvedené ve složené závorce. Výčet prvků je buď ukončený (v případě konečného počtu prvků) nebo neukončený (v případě nekonečného počtu prvků, přičemž musí být zcela zřejmé, jak ve výčtu prvků pokračovat).
9
Zápis M = {x; V (x )}, vyjadřuje, že do množiny M patří všechny prvky x, pro něž platí výrok V (neboli splňující vlastnost V ). V případě, že výrok V je složený obsahující konjunkci, píše se namísto "a", resp. "∧", též čárka. Příklad: M = {1, 3, 5, 7}, P = {x; x je liché, 1 ≤ x ≤ 7}; množiny M a P zřejmě obsahují tytéž prvky.
Množina je konečná, patří-li do ní konečný počet prvků; v opačném případě je nekonečná. Existuje právě jedna množina do níž nepatří žádný prvek, značí se ∅, a nazývá se prázdná množina. Příklad: M = {x; x je bod dané přímky}, P = { p; p je notebook vyrobený v 17. století}; A = {a; a je automobil značky Škoda Favorit}; množina M je nekonečná, P je prázdná množina a A je konečná množina.
K interpretaci (grafickému znázornění) množin se užívá tzv. Vennových diagramů. Množina se tímto způsobem znázorňuje jako část roviny ohraničená uzavřenou "křivkou" (tzv. Jordanovou křivkou). Prvky množiny jsou všechny body ležící "uvnitř" a na této křivce; pokud body ležící na křivce do množiny nepatří, je křivka vyznačena čárkovaně. Na obr. 2.1 je znázorněna množina A, x ∈ A, y ∉ A.
A
y x
Obrázek 2.1 Vennův diagram množiny A
Množina A je podmnožinou množiny B, jestliže platí x ∈ A ⇒ x ∈ B, tj, je-li každý prvek množiny A též prvkem množiny B; značí se A ⊆ B, symbol ⊆ je (neostrá) inkluze. Množiny A, B jsou si rovny, jestliže platí A ⊆ B a B ⊆ A; značí se A = B, v opačném případě A ≠ B. Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, jestliže platí A ⊆ B a A ≠ B; značí se A ⊂ B (viz obr. 2.2). Symbol je tzv. ostrá inkluze. Příklad: (a) A = {a; a je rovnoramenný trojúhelník}, B = {b; b je trojúhelník, který má dva vnitřní úhly shodné}. Platí A ⊆ B a B ⊆ A; tedy A = B. (b) A = {a; a je čtverec}, B = {b; b je rovnoběžník}. Platí A ⊆ B a A ≠ B, tedy A ⊂ B.
10
Pro každou množinu A platí, že ∅ ⊆ A, tj. prázdná množina je její podmnožinou. Tvoří-li množinu n prvků, pak počet všech jejích podmnožin se rovná 2n.
A B
Obrázek 2.2 A je vlastní podmnožina B
Některé základní vlastnosti rovnosti a inkluze množin: Pro libovolné množiny A, B, C platí: 1. A = A, A ⊆ A (reflexivnost). 2. (A = B ∧ B = C ) ⇒ A = C, (A ⊆ B ∧ B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C (tranzitivnost). 3. A ⊆ B ⇔ B ′ ⊆ A′.
OPERACE S MNOŽINAMI K tradičním operacím s množinami patří sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk. Z praktických důvodů je rozumné provádět úvahy v rámci množiny, tzv. univerzální množiny U, pro níž jsou všechny uvažované množiny jejími podmnožinami (obr. 2.3).
U A
B C
D
Obrázek 2.3 Univerzální množina U
Příklad: Studujeme-li množiny fyzikálních veličin popisujících různé děje v mechanice kontinua, například deformaci tělesa, je praktické volit za univerzální množinu U množinu všech fyzikálních veličin vystupujících v mechanice, případně množinu všech fyzikálních veličin.
11
Sjednocení množin A, B je množina C = {c; c ∈ A ∨ c ∈ B}, tj. množina prvků, které patří alespoň do jedné z množin A, B; značí se C = A ∪ B (obr. 2.4). Průnik množin A, B je množina D = {d; d ∈ A ∧ d ∈ B}, tj. množina prvků, které patří současně do obou množin A, B; značí se D = A ∩ B (obr. 2.5). Množiny A, B jsou disjunktní, jestliže platí A ∩ B = ∅, Rozdíl množin A, B je množina E = {e; e ∈ A ∧ e ∉ B}, tj. množina prvků, které patří do množiny A a současně nepatří do množiny B; značí se E = A - B (obr. 2.6). Doplněk množiny A je množina U – A, kde U je univerzální množina; značí se A′ (obr. 2.7).
B A
Obrázek 2.4 Sjednocení množin A, B (šrafováno svisle)
B A
Obrázek 2.5 Průnik množin A, B (šrafováno vodorovně)
B A
Obrázek 2.6 Rozdíl množin A, B (šrafován vodorovně)
U
A
U-A
Obrázek 2.7 Doplněk množiny A (šrafován svisle)
12
Příklad: Pro množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a univerzální množinu U = {1, 2, 3,…} (množina všech
přirozených
čísel)
je
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A ∩ B = {3, 4, 5, 6},
A - B = {1, 2},
B - A = {7, 8, 9, 10}, A′ = {7, 8, 9, 10,…}, B′ = {1, 2} ∪ {11, 12, 13,…}.
Základní vlastnosti operací s množinami: Pro libovolné množiny A, B, C platí: 1. A ∪ A = A; A ∩ A = A; A – A = ∅. 2. A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅; A – ∅ = A. 3. A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A (komutativita). 4. (A ∪ B ) ∪ C= A ∪ (B ∪ C ); (A ∩ B ) ∩ C= A ∩ (B ∩ C ) (asociativita). 5. A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ); A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) (distributivita). 6. (A ∪ B )′ = A′ ∩ B ′; (A ∩ B )′ = A′ ∪ B ′ (de Morganovy zákony). Další důležitou operací s množinami je kartézský součin založený na pojmu uspořádané dvojice. Uspořádaná dvojice prvků a, b je výraz (a, b), ve kterém záleží na pořadí prvků a, b; jinými slovy, pro a ≠ b jsou (a, b), (b, a) různé uspořádané dvojice. Kartézský součin množin A, B je množina A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}, tj. množina všech uspořádaných dvojic, z nichž první člen dvojice patří do A a druhý do B. V geometrické interpretaci dvojic jako bodů roviny se v dalším užívá označení [a, b]. Příklad: Pro A = {a, b, c}, B = {1, 2} je A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}.
FUNKCE V běžném životě se setkáváme se vztahem závislosti. Například cena zboží závisí na jeho množství, objem kvádru závisí na velikosti jeho hran, průměrná teplota závisí na ročním období apod. Existuje řada typů závislostí, z nichž nejvýznamnější je závislost funkční. Matematickým modelem funkční závislosti je pojem funkce. Funkce (též zobrazení ) f množiny X ≠ ∅ do množiny Y ≠ ∅ je předpis, který každému prvku x ∈ X přiřazuje jediný prvek y ∈ Y; zapisuje se y = f (x), případně souhrnně f: X → Y nebo f: X do Y. Předpis f lze zadat různým způsobem, například
13
slovní formulací, vzorcem, tabulkou apod. Množina X je definiční obor funkce f a značí se D ( f ), množina {y; y ∈ Y a existuje x ∈ X tak, že y = f (x )} je obor hodnot funkce f a značí se H ( f ). Není-li D ( f ) zadán, pak se za něj považuje množina takových x, pro něž má předpis f smysl. Příklad: (a) Předpis, který polovodičovému laseru přiřazuje jeho výrobce, je funkce. Jde o funkční vztah mezi množinou všech polovodičových laserů a množinou všech výrobců. (b) Předpis, který výšce člověka přiřazuje hmotnost, není funkce (neboť osobám o téže výšce mohou být přiřazeny různé hmotnosti). Jde o tzv. závislost statistickou. (c) Předpis y = f (x) = 3x, kde x, y jsou reálná čísla, je funkce; D( f ) = H( f ) je množina reálných čísel. Jde o případ reálné funkce jedné reálné proměnné. (d) Předpis V = f (x, y, z) = xyz, kde x, y, z jsou kladná reálná čísla, je funkce. Může vyjadřovat například objem kvádru, kde x, y, z jsou velikosti jeho hran. Jde o příklad tzv. reálné funkce tří reálných proměnných. (e) Předpis, který každému reálnému číslu x přiřazuje reálné číslo y splňující rovnici y2 – x2 = 1 není funkce (neboť například x = 0 jsou přiřazeny dvě hodnoty y, 1 a –1). (f) Předpis s = f (t) = v t, kde t je čas, v konstantní rychlost a s dráha, je funkce. Jde o případ funkční závislosti dráhy na čase při rovnoměrném přímočarém pohybu tělesa.
14
Cílové znalosti 1. Rozhodnout, které prvky patří či nepatří do množiny. 2. Rozhodnout o konečnosti, případně nekonečnosti množiny. 3. Rozhodnout, zda daná množina je podmnožinou jiné. 4. Najít sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk. 5. Rozeznat, zda daný předpis je funkce či nikoliv.
15
