Cyklometrické funkce
Definice. Cyklometricke´ funkce jsou funkce arcsin(x) (ˇcteme arkussinus x), arccos(x) (ˇcteme arkuskosinus x), arctg(x) (ˇcteme arkustangens x) a arccotg(x) (ˇcteme arkuskotangens x), ktere´ jsou inverzn´ı ke goniometrick´ym funkc´ım (sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x) ).
Definice. Cyklometricke´ funkce jsou funkce arcsin(x) (ˇcteme arkussinus x), arccos(x) (ˇcteme arkuskosinus x), arctg(x) (ˇcteme arkustangens x) a arccotg(x) (ˇcteme arkuskotangens x), ktere´ jsou inverzn´ı ke goniometrick´ym funkc´ım (sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x) ).
= arcsin(x) je inverzn´ı k funkci x = sin(y), y ∈ h− π2 , π2 i; je ´ pro x ∈ h−1, 1i. Tedy: Je-li x ∈ h−1, 1i, pak arcsin(x) je jednoznaˇcneˇ urˇcene´ definovana π cˇ ´ıslo y z intervalu h− π 2 , 2 i, pro neˇz sin(y) = x. Definice.
Funkce y
Definice. Cyklometricke´ funkce jsou funkce arcsin(x) (ˇcteme arkussinus x), arccos(x) (ˇcteme arkuskosinus x), arctg(x) (ˇcteme arkustangens x) a arccotg(x) (ˇcteme arkuskotangens x), ktere´ jsou inverzn´ı ke goniometrick´ym funkc´ım (sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x) ).
= arcsin(x) je inverzn´ı k funkci x = sin(y), y ∈ h− π2 , π2 i; je ´ pro x ∈ h−1, 1i. Tedy: Je-li x ∈ h−1, 1i, pak arcsin(x) je jednoznaˇcneˇ urˇcene´ definovana π cˇ ´ıslo y z intervalu h− π 2 , 2 i, pro neˇz sin(y) = x. Definice.
Funkce y
Definice. Cyklometricke´ funkce jsou funkce arcsin(x) (ˇcteme arkussinus x), arccos(x) (ˇcteme arkuskosinus x), arctg(x) (ˇcteme arkustangens x) a arccotg(x) (ˇcteme arkuskotangens x), ktere´ jsou inverzn´ı ke goniometrick´ym funkc´ım (sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x) ).
= arcsin(x) je inverzn´ı k funkci x = sin(y), y ∈ h− π2 , π2 i; je ´ pro x ∈ h−1, 1i. Tedy: Je-li x ∈ h−1, 1i, pak arcsin(x) je jednoznaˇcneˇ urˇcene´ definovana π cˇ ´ıslo y z intervalu h− π 2 , 2 i, pro neˇz sin(y) = x. Definice.
Funkce y
´ Definice. Funkce y = arccos(x) je inverzn´ı k funkci x = cos(y), y ∈ h0, πi; je definovana pro x ∈ h−1, 1i. Tedy: Je-li x ∈ h−1, 1i, pak arccos(x) je jednoznaˇcneˇ urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu h0, πi, pro neˇz cos(y) = x.
´ Definice. Funkce y = arccos(x) je inverzn´ı k funkci x = cos(y), y ∈ h0, πi; je definovana pro x ∈ h−1, 1i. Tedy: Je-li x ∈ h−1, 1i, pak arccos(x) je jednoznaˇcneˇ urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu h0, πi, pro neˇz cos(y) = x.
´ Definice. Funkce y = arccos(x) je inverzn´ı k funkci x = cos(y), y ∈ h0, πi; je definovana pro x ∈ h−1, 1i. Tedy: Je-li x ∈ h−1, 1i, pak arccos(x) je jednoznaˇcneˇ urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu h0, πi, pro neˇz cos(y) = x.
= arctg(x) je inverzn´ı k funkci x = tg(y), y ∈ (− π2 , π2 ); je ´ pro x ∈ (−∞, ∞). Tedy: Je-li x ∈ (−∞, ∞), pak arctg(x) je jednoznaˇcneˇ definovana π , urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu (− π 2 2 ), pro neˇz tg(y) = x. Definice.
Funkce y
= arctg(x) je inverzn´ı k funkci x = tg(y), y ∈ (− π2 , π2 ); je ´ pro x ∈ (−∞, ∞). Tedy: Je-li x ∈ (−∞, ∞), pak arctg(x) je jednoznaˇcneˇ definovana π , urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu (− π 2 2 ), pro neˇz tg(y) = x. Definice.
Funkce y
= arctg(x) je inverzn´ı k funkci x = tg(y), y ∈ (− π2 , π2 ); je ´ pro x ∈ (−∞, ∞). Tedy: Je-li x ∈ (−∞, ∞), pak arctg(x) je jednoznaˇcneˇ definovana π , urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu (− π 2 2 ), pro neˇz tg(y) = x. Definice.
Funkce y
Definice. Funkce y = arccotg(x) je inverzn´ı k funkci x = cotg(y), y ∈ (0, π); je ´ pro x ∈ (−∞, ∞). Tedy: Je-li x ∈ (−∞, ∞), pak arccotg(x) je jednoznaˇcneˇ definovana urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu (0, π), pro neˇz cotg(y) = x.
Definice. Funkce y = arccotg(x) je inverzn´ı k funkci x = cotg(y), y ∈ (0, π); je ´ pro x ∈ (−∞, ∞). Tedy: Je-li x ∈ (−∞, ∞), pak arccotg(x) je jednoznaˇcneˇ definovana urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu (0, π), pro neˇz cotg(y) = x.
Definice. Funkce y = arccotg(x) je inverzn´ı k funkci x = cotg(y), y ∈ (0, π); je ´ pro x ∈ (−∞, ∞). Tedy: Je-li x ∈ (−∞, ∞), pak arccotg(x) je jednoznaˇcneˇ definovana urˇcene´ cˇ ´ıslo y z intervalu (0, π), pro neˇz cotg(y) = x.
ˇ Taylorova veta
ˇ ˇ 1. (Taylorova veta) Veta ´ n + 1 v bodeˇ x0 a jeho okol´ı U (x0 ). Potom pro Necht’ funkce f ma´ spojite´ derivace aˇz do rˇadu kaˇzde´ x ∈ U (x0 ) plat´ı f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) 2 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) + . . . + (x − x0 )n + Rn+1 (x, x0 ) 2! n! {z } {z } | | ′
´ stupneˇ funkce f (x) Tn (x)...Tayloruv ˚ polynom n-teho
a existuje ξ tvaru
zbytek
´ rit ve = ξ(x) leˇz´ıc´ı mezi x a x0 , tak zˇ e v´yraz pro zbytek Rn+1 (x, x0 ) lze vyjadˇ f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 Rn+1 (x, x0 ) = (n + 1)!
ˇ ˇ 2. (Taylorova veta) Veta ´ n + 1 v bodeˇ x0 a jeho okol´ı U (x0 ). Potom pro Necht’ funkce f ma´ spojite´ derivace aˇz do rˇadu kaˇzde´ x ∈ U (x0 ) plat´ı f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) 2 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) + . . . + (x − x0 )n + Rn+1 (x, x0 ) 2! n! {z } {z } | | ′
´ stupneˇ funkce f (x) Tn (x)...Tayloruv ˚ polynom n-teho
a existuje ξ tvaru
zbytek
´ rit ve = ξ(x) leˇz´ıc´ı mezi x a x0 , tak zˇ e v´yraz pro zbytek Rn+1 (x, x0 ) lze vyjadˇ f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 Rn+1 (x, x0 ) = (n + 1)!
Pˇr´ıklad.
Urˇcete Tayloruv ˚ polynom T4 (x) pro funkci f (x)
´ = sin(x) v okol´ı poˇcatku.
ˇ ˇ 3. (Taylorova veta) Veta ´ n + 1 v bodeˇ x0 a jeho okol´ı U (x0 ). Potom pro Necht’ funkce f ma´ spojite´ derivace aˇz do rˇadu kaˇzde´ x ∈ U (x0 ) plat´ı f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) 2 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) + . . . + (x − x0 )n + Rn+1 (x, x0 ) 2! n! {z } {z } | | ′
´ stupneˇ funkce f (x) Tn (x)...Tayloruv ˚ polynom n-teho
a existuje ξ tvaru
zbytek
´ rit ve = ξ(x) leˇz´ıc´ı mezi x a x0 , tak zˇ e v´yraz pro zbytek Rn+1 (x, x0 ) lze vyjadˇ f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 Rn+1 (x, x0 ) = (n + 1)!
Pˇr´ıklad.
Urˇcete Tayloruv ˚ polynom T4 (x) pro funkci f (x)
´ = sin(x) v okol´ı poˇcatku.
x3 sin(x) = x − + R5 . 3!
Aproximace funkce sin(x) Taylorovým polynomem v okolí poˇcatku.
Aproximace funkce sin(x) Taylorovým polynomem v okolí poˇcatku.
