MK Konsep Teknologi
Optimasi
1
MK Konsep Teknologi
Kegiatan / Persoalan
Pengambilan Keputusan
Alternatif Metoda Penyelesaian: 1. Programa Linear 2. Programa Dinamis 3. Antrian 4. Algoritma Lorong 5. Permainan Optimasi
2
MK Konsep Teknologi
Kerangka Optimasi dalam Pengambilan Keputusan DAYA & DANA
MAKSIMASI
TETAP
PENERIMAAN HASIL YANG OPTIMAL
Σ KEGIATAN
MINIMASI
TETAP
DAYA & DANA
Optimasi
3
MK Konsep Teknologi
Programa Linier •
Berbasiskan pengembangan model persamaan matematika Æ Pengambilan keputusan dapat dilakukan secara kuantitatif, memudahkan untuk mengambil keputusan. – Metoda Grafis – Metoda Numeris
Programa Dinamis •
Berbasiskan analisis pada keterkaitan dalam sistem kegiatan Æ Hubungan antar kegiatan digambarkan secara sistematis
Optimasi
4
MK Konsep Teknologi
Metoda Antrian Untuk menganalisis persoalan-persoalan antrian pada berbagai jenis kejadian Penggambaran besaran dan variable yang terlibat dalam persoalan antrian sehinggan perlakuan atau intervensi untuk memperbaiki kinerja dapat dikerjakan secara sistematis.
Algoritma Lorong Strategi penempatan orang/petugas secara optimal untuk memantau atau mengawasi beberapa daerah / lokasi, dengan bantuan model matematis.
Optimasi
5
MK Konsep Teknologi
Programa Linier / Linear Programming •
Prinsip Umum: – Asumsi Kelinieran : • Fungsi Pembatas • Fungsi Tujuan
Ketidaksamaan Linier
– Fungsi Tujuan: • Minimasi • Maksimasi – Fungsi Pembatas > 0 , atau = 0
Optimasi
6
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Numeris / Matematis Contoh 1: Pabrik baja “Steel Forever" mempunyai persediaan bahan mentah besi baja untuk diproses sebanyak 18 ton. Kontrak produksi sekrup sebanyak 7,6 ton telah ditandatangani. Dalam proses produksi terjadi kehilangan bahan mentah sebesar 5%. Selain memproduksi sekrup, pabrik tersebut juga menjual besi baja sebagai bahan mentah kepada pabrik lain. Pertanyaan: Berapa banyak besi baja yang dapat dijual sebagai bahan mentah selagi kontrak masih berjalan?
Optimasi
7
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Numeris / Matematis Jawab: Asumsi: Besi baja yang dapat dijual sebagai bahan mentah adalah x ton, Jumlah yang tersedia di pabrik adalah (18 - x) ton Kehilangan dalam proses produksi 5% Æ (18 - x) – 5/100 (18 – x) = 7,6 ton 95/100 (18 - x) = 7,6 , sehingga x = 10 Maka, besi baja yang dijual sebagai bahan mentah adalah 10 ton.
Optimasi
8
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Numeris / Matematis Contoh 2: Suatu areal tanah pertanian seluas 40 ha terbagi atas lahan basah dan lahan kering. Seluruh lahan kering dan separuh lahan basah ditanami tanaman jagung. Penghasilan per-ha: • Rp. 800.000,-/ ha untuk lahan kering dan • Rp. 1.200.000,-/ ha untuk lahan basah Setelah panen, penghasilan total dari lahan kering dan basah adalah Rp. 27.000.000,-. Pertanyaan: Berapa luas lahan masing-masing di areal pertanian tersebut?
Optimasi
9
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Numeris / Matematis Jawab: Asumsi Æ Luas lahan kering adalah X ha dan lahan basah Y ha, sehingga: (X + Y) = 40 ha .. .........(1) 8.000 X + 1.200.000 (Y/2) = 27.000.000, atau 800.000 X + 600.000 Y = 27.000.000....(2) Ini berarti, bahwa nilai X dan Y dapat dihitung sbb.: (1) X + Y = 40 800.000 X + 800.000 Y = 32.000.000 (2) 800.000 X + 600.000 Y = 27.000.000 200.000 Y = 5.000.000 Diperoleh harga Y = 25 dan X = 15, sehingga luas lahan kering adalah 15 ha dan lahan basah 25 ha.
Optimasi
10
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Grafis PADA SISTIM KOORDINAT X-Y (X & Y = VARIABEL) PERSAMAAN LINIER Æ PEMBATAS JAWABAN YANG PALING MUNGKIN KETERBATASAN : JUMLAH VARIABEL Æ TERBATAS Gambar garis Pembatas dalam Sistem Koordinat
Tentukan Fungsi Tujuan
Identifikasi Batasan dalam Ketidaksamaan
Optimasi
Cari titik yang paling menguntungkan sesuai dengan Fungsi Tujuan. 11
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Grafis Contoh 3: Pabrik baja yang sebelum nya disebut, memprediksi keuntungan se-besar Rp.30/buah untuk sekrup panjang dan Rp. 15/buah untuk sekrup pendek. Kapasitas penuh harian untuk keseluruhan mesin adalah 40.000 sekrup panjang dan 60.000 sekrup pendek. Karena adanya perbedaan cara produksi, maka setiap jam dihasilkan 5.000 sekrup pendek dan 7.500 sekrup pendek. Dilain pihak bahan kimia khusus untuk memproduksi sekrup panjang hanya tersedia untuk mengolah 30.000 buah; dan bagian pengepakan hanya mampu mengepak 50.000 buah perhari. Pertanyaan: Apabila jam kerja adalah 8 jam perhari, berapa banyak sekrup dari masingmasing ukuran yang harus di produksi agar tercapai keuntungan maksimum?
Optimasi
12
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Grafis Jawab: Produksi harian adalah X sekrup panjang dan Y sekrup pendek Maksimasi (fungsi tujuan), Z = 30 X + 15 Y Pembatas (1) X < 40.000dan Y<60.000 (2) (X / 5.000) + (Y/7.500) < 8 atau (3X + 2Y < 120.000) (3) X + Y <50.000 (4) X < 30.000 (5) X >0 dan Y>0 Dengan menggambarkan persamaan linier pada bidang X-Y maka akan didapat area yang memenuhi syarat pertidaksamaan di atas.
Optimasi
13
MK Konsep Teknologi
Thousands
Programa Linier: Metoda Grafis 80
X
70
X
=
00 0 . 0 4
60 50
Y = 60.000
B
40
C
30 20 10 0 -20
=
0 0 .0 0 3
-10 0
D
X + Y = 50.000
A 20
-20
E
40
60 Thousands 3X + 2Y = 120.000
Optimasi
14
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Grafis Pemeriksaan fungsi keuntungan (Z = 30X + 15Y) pada titik-titik ekstrim: A, B, C, D dan E: Titik
X
Y
Z = 30 X + 15 Y
A
0
0
0
B
0
50.000
750.000
C
20.000
30.000
1.050.000
D
30.000
15.000
1.125.000
E
30.000
0
900.000
Jadi keuntungan maksimum diperoleh dengan memproduksi 30.000 sekrup panjang dan 15.000 sekrup pendek, dengan keuntungan sebesar Rp. 1.125.000. Optimasi
15
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Grafis Contoh 4: Sebuah pabrik pipa memproduksi pipa berdiameter 2 dan 4 inci. Keuntungan dari pipa 2 dan 4 inci berturut-turut adalah Rp. 3000,- dan Rp. 5000,-. Mesin yang ada dapat memproduksi pipa 72 batang pipa 2 inci atau 48 batang pipa 4 inci dalam satu hari. Namun mesin ini hanya dioperasikan untuk menghasilkan pipa 2 inci sebanyak 8 batang/jam, dan pipa 4 inci sebanyak 5 batang/jam. Pabrik pipa ini beroperasi selama 8 jam/hari. Untuk membuat pipa berdiameter 2 inci tersedia bahan tambahan khusus yang hanya cukup untuk membuat 32 batang pipa/hari. Alat transportasi yang tersedia hanya mampu membawa 60 batang pipa dari pabrik ke gudang perharinya. Pertanyaan: Berapakah banyak pipa yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan yang maksimal? Optimasi
16
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Grafis Jawab: Produksi harian adalah X batang pipa 2 inci dan Y batang pipa 4 inci. Maksimasi (fungsi tujuan), Z = 3.000 X + 5.000 Y Pembatas (1) (X/8) + (Y/5) ≤ 8 atau (5X + 8Y ≤ 320) (2) X + Y ≤ 60 (3) X ≤ 32 (4) X ≥ 0 dan Y ≥ 0 Dengan menggambarkan persamaan linier pada bidang X-Y maka akan didapat area yang memenuhi syarat pertidaksamaan di atas.
Optimasi
17
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Grafis 60
X = 32
50
B
40 30
C
20
X + Y = 60
10
A
0 0
5X + 8Y = 320
D 10
20
30
Optimasi
40
50
60
70
18
MK Konsep Teknologi
Programa Linier: Metoda Grafis Pemeriksaan fungsi keuntungan (Z = 3.000X + 5.000Y) pada titik-titik ekstrim: A, B, C, D : Titik
X
Y
Z = 3.000 X + 5.000 Y
A
0
0
0
B
0
40
200.000
C
32
20
196.000
D
32
0
96.000
Jadi keuntungan maksimum diperoleh dengan memproduksi 40 batang pipa 4 inci / hari, dengan keuntungan sebesar Rp. 200.000,-.
Optimasi
19
MK Konsep Teknologi
Programa Dinamik Pendekatan masalah pengambilan keputusan dengan menetapkan uruturutan keputusan. Perhitungan akibat dan pengaruh secara optimal Æ strategi yang optimal. Contoh: Pemilihan rute dengan rute terpendek: •Seseorang yang akan ke kantor •Pak Pos •Loper Koran •Pemasangan Kabel Transmisi Permasalahan produksi: •Pemesanan ulang persediaan •Perencanaan produksi dengan permintaan yang berfluktuasi •Penjadwalan reparasi mesin
Optimasi
20
MK Konsep Teknologi
Prinsip Optimasi Bellman Suatu kebijakan menyeluruh yang optimal harus dibentuk oleh beberapa sub-kebijakan yang optimal pula.
Keputusan Kini
Keputusan Mendatang
dipengaruhi
Keputusan Kemarin
Keputusan Kini
Optimasi
21
MK Konsep Teknologi
Programa Dinamik Contoh: Proyek penanaman kabel transmisi dari A ke B secara ekonomis. Rencana Anggaran Biaya (RAB) dalam satuan biaya/ruas dapat diperkirakan. Perhatikan gambar berikut:
Prinsip untuk menentukan rute: •Dari A menuju B selalu mengarah ke Utara atau ke Timur. •Bekerja dengan arah kebalikan (dari B)
Optimasi
22
MK Konsep Teknologi
Programa Dinamik Prosedur yang perlu diperhatikan: 1. Dari titik-titik K, F dan C hanya 1 route ke B (ke Timur) 2. Dari titik-titik E, J-dan P hanya 1 route ke B (ke Utara) 3. Pada titik-titik tersebut dapat dituliskan notasi 1. 4. Dari titik D ke B: 2 route (D-C-B atarr D-E-B) . 5. Dari titik G ke B: l route (G-D-C-B, G-D-E-B & G-F-C-B) 6. Pada titik-titik D & G dapat dituliskan notasi 2 & 3 7. Dengan cara yang sama, diperoleh 3 route dari titik I 8. Dari titik H ada 6 route (3 melalui I dan 3 melalui G) . 9. Pada gambar lV, terdapat notasi untuk semua titik; ada 20 route alternatif tersedia ciari A ke B, yang artinya 20 RAB harus dievaluasi dan dibandingkan. 10.Bekerja dengan arah kebalikan. Jika kabel sudah sarnpai di C, kemana arah yang dipilih? (ke Timur & RAB Rp. 10 juta) 11.Catatan: Jumlah Blok = set binary Jumlah Rute
3x3 20
4x4 70
Optimasi
5x5 252
6x6 924
20x20 137.846.528.020
23
MK Konsep Teknologi
Programa Dinamik Prosedur yang perlu diperhatikan (lanjutan): 10. Bekerja dengan arah kebalikan. Jika kabel sudah sarnpai di C, kemana arah yang dipilih? (ke Timur & RAB Rp. 10 juta) 11. Jika sampai di E, arahkan ke Utara & RAB Rp. 11 juta 12. Selanjutnya, jika kabel sudah sampai di D: RAB D-C-B adalah Rp. 17 juta dan RAB D-E-B adalah Rp. 18 juta. Pllih route D-C-B senilai Rp. 17 juta (lengkapi dengatr arah panah) 13. Selanjutnya langkah yang sarna diambil untuk F, G, H, I & J 14. Dan terakhir untuk K, P, L, O, M, N & A. Arah panah ke Utara ke Timur menandakan route yang dipilih. RAB Rp. 44 juta.
Optimasi
24
MK Konsep Teknologi
Programa Dinamik
Optimasi
25
MK Konsep Teknologi
Programa Dinamik
Optimasi
26
MK Konsep Teknologi
Programa Dinamik
Optimasi
27
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Antrian: adalah suatu jalur menunggu (menantikan pelayanan). Contoh antrian: • Antrian take-off pesawat • Antrian membayar SPP di bank • Antrian di mesin ATM • Antrian di gerbang tol • Antrian di loket karcis bioskop • Antrian di kasir • Antrian check-in di bandara • Antrian pasien di tempat praktek dokter •
Contoh lain?
Optimasi
28
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Faktor-faktor antrian: 1. Kedatangan pelanggan Æ acak (jumlah & waktu) 2. Pelayanan: waktu dan jumlah tempat pelayanan 3. Pelanggan: – Sedang dilayani – Sedang menunggu (dalam antrian) 4. Waktu pelayanan: – Sama untuk tiap pelanggan – Acak Persoalan antrian dapat dipecahkan bila Waktu pelayanan rata-rata lebih kecil dari waktu kedatangan ratarata. Optimasi
29
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Faktor Utilisasi Tempat Pelayanan: β= (waktu pelayanan rata-rata / waktu kedatangan rata-rata) Jika β < maka tenlpat pelayanan mampu melayani.pelanggan; dan β > 1 berarti antrian semakin panjang. Harga β merupakan ukuran (%) penggunaan fasilitas pelayanan, misal β = 75% berarti petugas pelayanan dan peralatannya bekerja selama 75% dari seluruh waktunya.
Optimasi
30
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Faktor Utilisasi Tempat Pelayanan: β= (waktu pelayanan rata-rata / waktu kedatangan rata-rata) Jika β < maka tenlpat pelayanan mampu melayani.pelanggan; dan β > 1 berarti antrian semakin panjang. Harga β merupakan ukuran (%) penggunaan fasilitas pelayanan, misal β = 75% berarti petugas pelayanan dan peralatannya bekerja selama 75% dari seluruh waktunya.
Optimasi
31
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Contoh Soal: Kedatangan pelanggan di sebuah toko yang hanya mempunyai satu kasir pembayaran adalah sebagai berikut:
Optimasi
32
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Kedatangan pelanggan tersebut adalah acak (random). Bila setiap pelanggan memerlukan waktu 3 menit untuk dilayani, maka pola pelayanannya adalah sebagai berikut:
Selama 1 jam dari jam 09:00 – 10:00 terjadi pengangguran selama 17 menit. Jadi sarana pelayanan hanya digunakan selama 43 menit. Sehingga, β = 43 / 60 = 72 %
Optimasi
33
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Profil panjang antrian terhadap waktu:
4 3 2 1 0
09 :0 1 09 :0 5 09 :0 9 09 :1 3 09 :1 7 09 :2 1 09 :2 5 09 :2 9 09 :3 3 09 :3 7 09 :4 1 09 :4 5 09 :4 9 09 :5 3 09 :5 7
Panjang Antrian
5
Waktu
Optimasi
34
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Untuk interval waktu yang panjang diperoleh: β = waktu pelayanan rata-rata / waktu antara kedatangan rata-rata = 3 / (60/15) = 75 % Meskipun sarana pelayanan dipakai 75 % dari waktunya, ternyata pada suatu periode waktu tertentu terdapat 5 pelanggan dalam antrian.
Optimasi
35
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Panjang antrian rata-rata (PA): PA = (17x0 + 19x1 + 5x2 + 5x3 + 4x4 + 5x10) / 60 = 110 / 60 = 1,83
Optimasi
36
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing Rumus antrian pada interval waktu panjang:
Untuk waktu pelayanan tetap:
Untuk waktu pelayanan acak:
β ⎛ β⎞ PA = ⎜1 − ⎟ 1− β ⎝ 2 ⎠ PA =
β 1− β
Untuk contoh soal pada slide sebelumnya:
Optimasi
0,75 ⎛ 0,75 ⎞ PA = ⎜1 − ⎟ 1 − 0,75 ⎝ 2 ⎠ =1,875 37
MK Konsep Teknologi
Antrian / Queuing
MEMPELAJARI ANTRIAN Æ harus dilakukan sehingga mendekati keadaan yang sebenarnya SECARA EKONOMIS keuntungan / kerugian
Æ
antrian
Optimasi
dikaitkan
berulang-ulang
dengan
prediksi
38
MK Konsep Teknologi
Algoritma Lorong PRINSIP: MENDAPATKAN JUMLAH ORANG YANG OPTIMAL PADA SUATU TEMPAT YANG DAPAT MEMANTAU DAERAH-DAERAH YANG TELAH DITENTUKAN. Misalnya : jumlah polisi yang diperlukan untuk memantau jalan atau daerah tertentu.
Optimasi
39
MK Konsep Teknologi
Algoritma Lorong Jumlah polisi yang diperlukan untuk memantau jalan atau daerah tertentu.
b
a
a, b dan c : pos polisi Lorong ab dan bc = 1 arah Lorong ac atau ca = 2 arah
c
tanda (+) berarti (atau)
Optimasi
40
MK Konsep Teknologi
Algoritma Lorong (a+c)(a+b) =a2+ab+ca+cb, berarti: a2 ab ca cb
= pos a awasi a dari (a+c) dan awasi b dari (a+b) = pos a awasi a dari (a+c) dan pos b awasi b dari (a+b) = pos c awasi a dari (a+c) dan pos a awasi b dari (a+b) = pos c awasi a dari (a+c) dan pos b awasi b dari (a+b)
Atau (a+c) (a+b) berarti semua cara untuk mengawasi a dan b. Sehingga untuk mengawasi a, b, dan c: (a+c).(a+b).(a+b+c) Yang akan memunculkan a3, yang artinya seorang pengawas di a dapat mengawasi a, b dan c.
Optimasi
41
MK Konsep Teknologi
Permainan / Game PRINSIP : SUATU KEADAAN DlMANA TERDAPAT 2 (DUA) PIHAK YANG BERKOMPETISI ATAU BERSAING. MASlNG-MASING AKAN MENENTUKAN STRATEGI UNTUK SALING MENGALAHKAN (BERSEPAKAT DALAM ATURAN MAIN). Ada prinsip zero-sum yaitu akan selalu ada pihak yang menang dan yang kalah, seperti lazimnya pertandingan olah raga. CONTOH : Permainan 27 anak korek api pemain dengan jumlah terakhir genap berarti menang!
Optimasi
42
MK Konsep Teknologi
Permainan / Game Algoritma : Sederetan atau seiumlah langkah yang dapat diambil untuk memecahkan semua masalah dari jenis tertentu.
Algoritma untuk contoh permainan korek api pada slide sebelumnya: Pemain A ambil 2 dan selanjutnya bila B mempunyai jumlah genap, sisa dibagi 6 dan ambil lebih kecil satu dari sisa pembagian tersebut; namun bila B mempunyai jumlah ganjil, ambil lebih besar satu dari sisa pembagian, kecuali jika sisa 4 maka ambil semua.
Optimasi
43
