Miskolci Egyetem
GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR
Peremelem módszer ortotróp és mikropoláris testek síkfeladataira a lineáris rugalmasságtan primál és duál rendszerében
PhD értekezés tézisei
Készítette:
Dudra Judit
okleveles gépészmérnök Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola Gépészeti Alaptudományok Tématerület Szilárd Testek Mechanikája Témacsoport Doktori iskola vezet®:
Dr. Páczelt István az MTA rendes tagja
Témacsoport vezet®:
Dr. Kozák Imre
az MTA rendes tagja Témavezet®:
Dr. Szeidl György egyetemi tanár
Miskolc, 2008
1
1. Bevezetés
A peremelem módszer hatékony numerikus eljárás, amely parciális dierenciálegyenletekkel kapcsolatos peremérték-feladatok integrálegyenletek alkalmazásával történ® megoldására szolgál. Az eljárás integrálegyenletei a tartomány peremére vonatkoznak, így a numerikus megoldás keresése során a tartomány peremét (síkbeli esetben a peremgörbét) véges méret¶ elemekre, ún. peremelemekre bontjuk, és ezeken az elemeken értelmezzük a megoldásokat (pl. elmozdulásvektor és feszültségvektor) közelít® függvényeket. Az egész peremre vonatkozó közelítést a peremelemeken vett közelítések összessége adja. Az integrálegyenletek megoldása a peremen szolgáltatja a feladat peremfeltételek alapján nem ismert változóit. A peremen meghatározott mennyiségek ismeretében további egyenletekkel a tartomány bels® pontjaiban képezhet®ek a zikai állapotokat leíró jellemz®k. Direkt módszerr®l beszélünk, ha a peremen tekintett ismeretleneknek közvetlen zikai jelentése van. A rugalmasságtan térbeli feladatait véve példának primál rendszerben1 a direkt peremelem módszer integrálegyenletében egy perempontban a feszültségvektor az ismeretlen, ha ott az elmozdulásmez® az el®írt, és megfordítva az elmozdulásvektor az ismeretlen egy perempontban, ha ugyanott a feszültségvektor az el®írt. Megjegyezzük, hogy az indirekt módszer rugalmasságtani feladatokban a potenciálelméletb®l ismert egyszer¶ és kett®s réteg potenciáljának fogalmát általánosítva állít fel integrálegyenleteket, melyekben a vonalon (síkfeladatok), illetve felületen (térbeli feladatok) értelmezett potenciálfüggvények (ezek most vektorok) az ismeretlenek. Az értekezés a szilárd testek alakváltozásának linearizált elméletében vizsgál és old meg ún. primál és duál felépítés¶ síkrugalmasságtani feladatokat direkt peremelem módszerrel. Az értekezés megkülönbözteti a klasszikus és a mikropoláris feladatokat. A klasszikus kontinuummodell esetén a test pontjainak mozgását leíró elmozdulásmez®b®l képezhet® a forgásmez®, az elmozdulásmez®b®l el®állítható a test deformációjára jellemz® alakváltozási tenzormez®, és ennek birtokában az anyagegyenlet révén számítható a feszültségi tenzormez®. A feszültségek a test bels® felületeinek kölcsönhatását jellemz® és felületegységre vonatkoztatott er® jelleg¶ mennyiségek. A mikropoláris kontinuummodell esetén a test pontjainak mozgását két egymástól független mez®, az elmozdulási vektormez® és a forgásmez® írja le. Ebb®l a két kinematikai mennyiségb®l képezhet® két alakváltozási tenzor, az els® az elmozdulásmez®b®l és a forgásmez®b®l, a második pedig a forgásmez®b®l számítható. A test bels® felületeinek kölcsönhatására az (er®) feszültségek mellett megjelennek az ún. er®párfeszültségek, illetve ezek tenzorai. Primál rendszerben és klasszikus felépítésben az elmozdulásvektor az alapváltozó, az alakváltozási tenzor az ún. els®dleges közbens® változó, továbbá a szimmetrikus feszültségi tenzor az ún. másodlagos közbens® változó. Primál rendszerben és mikropoláris felépítésben az elmozdulásvektor és a független forgásvektor (együtt elmozdulásvektorok) az alapváltozók, az alakváltozási tenzor és független forgási alakváltozási tenzor (együtt az alakváltozási tenzorok) az ún. els®dleges közbens® változók, továbbá a (nemszimmetrikus er®) feszültségi tenzor és 1Ezt a fogalmat lentebb de niáljuk.
2
nyomatéki feszültségi tenzor (együtt feszültségtenzorok) az ún. másodlagos közbens® változók. A vizsgálat tárgyát jelent® síkbeli tartományon primál rendszerben a következ® mez®egyenletek állnak fenn: az értelmez® (vagy kinematikai) egyenlet(ek) az alakváltozási tenzort(tenzorokat) származtatja(ják) az elmozdulásvektor(ok)ból és biztosítja(ák) az ún. kompatibilitási egyenlet(ek) fennállását, a feszültségi tenzor(ok) az anyagegyenletekkel adódik (adódnak) az alakváltozási tenzor(ok)ból, a feszültségi tenzor(ok), mint mérlegegyenlet(ek), az egyensúlyi egyenlet(ek)nek tesz(nek) eleget. A síkbeli tartomány, amint erre már a Néhány általános jelölésbeli megállapodás cím¶ szakaszban rámutattunk, elvben lehet egyszeresen, vagy többszörösen összefügg® és lehet (végtelenbe nyúló) küls® tartomány is. Duál rendszerben és klasszikus felépítésben két els®rend¶ feszültségfüggvény és a forgásmez® az alapváltozók, a feszültségi tenzor az ún. els®dleges közbens® változó, továbbá a szimmetrikus alakváltozási tenzor az ún. másodlagos közbens® változó. Duál rendszerben és mikropoláris felépítésben az els®rend¶ feszültségfüggvény tenzorok nem zérus koordinátái, azaz az ún. feszültségfüggvények az alapváltozók, a (nemszimmetrikus er®) feszültségi és a nyomatéki feszültségi tenzor (együtt a feszültségi tenzorok) az ún. els®dleges közbens® változók, továbbá a nemszimmetrikus alakváltozási tenzor és a forgási alakváltozási tenzor (együtt alakváltozási tenzorok) az ún. másodlagos közbens® változók. A vizsgálat tárgyát jelent® síkbeli tartományon duál rendszerben a következ® mez®egyenletek állnak fenn: az értelmez® (vagy kinematikai) egyenletek klasszikus esetben a feszültségi tenzort származtatják a két els®rend¶ feszültségfüggvényb®l és biztosítják az er®egyensúly fennállását a nyomatéki egyensúlyt biztosító szimmetriafeltételt külön kell el®írni; mikropoláris esetben az értelmez® egyenletek a feszültségi tenzorokat származtatják els®rend¶ feszültségfüggvény tenzorokból (összesen három feszültségfüggvényb®l) és biztosítják valamennyi egyensúlyi egyenlet teljesülését, az alakváltozási tenzor(ok) az anyagegyenletekkel adódik (adódnak) a feszültségi tenzor(ok)ból, az alakváltozási tenzor(ok), mint mérlegegyenlet(ek)nek, a kompatibilitási mez®egyegyenlet(ek)nek tesz(nek) eleget. A síkbeli tartomány elvben lehet egyszeresen vagy többszörösen összefügg® és lehet (végtelenbe nyúló) küls® tartomány is. Valamely peremrészen duál felépítés esetén az alábbiak a peremfeltételek: feszültségi peremfeltétel(ek) (ha vonalmenti terhelés van el®írva, akkor levezethet® közvetlenül a feszültségfüggvényekre is peremfeltétel és az értekezés az utóbbiakat használja majd), alakváltozási peremfeltétel(ek) (ha klasszikus esetben az elmozdulásmez®, illetve mikropoláris esetben az elmozdulásmez® és a forgásmez® van el®írva akkor ezekre duál rendszerben nem írható közvetlenül el® peremfeltétel, mivel ezek a mennyiségek nem szerepelnek a duál rendszer változói között a
3
megoldást az ún. az alakváltozási peremfeltételek alkalmazása kínálja: az utóbbiak a peremen vett elmozdulások és forgások ívkoordináta szerinti deriváltjaira illetve az alakváltozási tenzorok peremen tekintett koordinátáira tett el®írások). Egyszeresen összefügg® tartomány esetén, ha több különálló peremíven van elmozdulásmez® el®írva, illetve többszörösen összefügg® tartomány esetén teljesülnie kell még az ún. kiegészít® és makro kompatibilitási feltételeknek is. A kompatibilitási mez®egyenlet(ek), az alakváltozási peremfeltétel(ek), továbbá a kiegészít® és a makro kompatibilitási feltételek együtt biztosítják, hogy az alakváltozási tenzor(ok)ból a vizsgált síkbeli tartomány adott merevtestszer¶ mozgása esetén a tartományon és a peremen (kontúrgörbéken) is klasszikus esetben egyérték¶ elmozdulásmez®, mikropoláris esetben pedig egyérték¶ elmozdulásmez® és egyérték¶ forgásmez® legyen el®állítható.
2. A megoldott tudományos feladatok el®zményei, célkit¶zések Rizzo 1970-ben megjelent cikke [1] ortotróp testek síkfeladatait vizsgálja a direkt peremelem módszerrel primál rendszerben bels® tartomány feltételezésével, de anizotróp esetre is közli a legfontosabb formulákat. A numerikus megoldás technikája konstans approximáció a peremelemeken ugyanaz, mint Rizzo korábbi [2] alatti tanulmányban. Ortotróp illetve anizotróp testek esetén Rizzo már idézett és síkbeli feladatokkal foglalkozó 1970-es [1] cikkén túlmen®en számos más publikáció is foglalkozik a peremelem módszeren alapuló feladatmegoldással. Vable és Sikarskie ortotróp testek síkfeladatai esetén az indirekt módszert alkalmazza a megoldás során [3]. Sáez, Ariza és Domínguez transzverzálisan izotróp testek estén vizsgálja meg egyes repedések környezetében a feszültségeloszlást [4]. Shiah speciális, a vizsgált tartomány oly módon történ® leképezésén alapuló technikát alkalmaz, hogy ennek erdményeképpen az alapegyenlet operátora mind síkbeli, mind pedig térbeli feladatokban a Laplace operátorra transzformálódik [5, 6]. Az utóbbi eredmények nem alkalmazhatók közvetlenül rugalmasságtani feladatokban (illetve csak akkor, ha értelmezhet® olyan az elmozdulásmez®t adó potenciálfüggvény, amely az idézett cikkekben tekintett dierenciál-operátornak tesz eleget.) Dong és szerz®társainak néhány cikke küls® tartományokkal kapcsolatos egyes eredményekr®l izotróp [7] illetve anizotróp esetben ad számot [8] [9]. Izotróp esetben a formalizmus lényegében a [10] tanulmány eredményein alapul. Anizotróp esetben Dong és szerz®társai saját korábbi eredményeikre hivatkoznak. Ortotróp esetben érdemes még megemlíteni a [11] cikket, valamint a [12, 13] könyveket, amelyekben további citátumok is találhatók. A peremelem módszer küls® tartományokkal kapcsolatos egyenleteinek az a hátránya ortotróp esetben, hogy nem írhatók el® konstans feszültségek a végtelen távoli pontban. Ami az okokat illeti, érdemes hivatkozni a [14] cikkre, amely világos feltevéssel él az elmozdulásmez® végtelenbeli viselkedésére nézve (az korlátos kell, hogy legyen). Ez a feltevés lehet®vé teszi a Betti típusú formula felállítását és ennek révén az egzisztencia és unicitás igazolását a küls® tartományra vonatkozó Dirichlet és Neumann
4
feladatok esetén. Ugyanakkor kizárja a vizsgálható feladatok köréb®l azokat a gyakran el®forduló eseteket, amikor konstans a feszültségi és alakváltozási állapot, és ezzel összhangban lineárisan függ az elmozdulásmez® a helykoordinátáktól a végtelen távoli pont felé haladva. Ha a direkt PEM egyenletei el®állítják ezt az elmozdulásmez®t, akkor konstans a vonatkozó alakváltozási és feszültségmez® a végtelenben. Következésképp nincs szükség arra, hogy véges tartománnyal helyettesítsük a küls® tartományt a számítás során. Ebben a tekintetben a [10] és [15] cikkek említhet®k, mivel a direkt módszer egyenleteit adják meg izotróp testre konstans feszültségi és alakváltozási állapotot tételezve fel a végtelenben. A [10] dolgozat primál rendszerben, a [15] dolgozat pedig duál rendszerben végzi el a szükséges módosítást és kiegészítést. Fentiekre tekintettel az értkezés az alábbiakban fogalmazza meg az 1. Célkit¶zést : Az értekezés ortotróp rugalmas test primál rendszerbeli síkbeli klasszikus feladataira igazolja, (kétféleképpen is), hogy a végtelen távoli pont feszültségi állapota beépíthet® a direkt peremelem módszer formalizmusába. Az ily módon felépített formalizmus alkalmazhatóságát számpéldákon keresztül illusztráljuk. Ha els®rend¶ feszültségfüggvényeket alkalmazunk a duál rendszerben, akkor a feszültségek meghatározása a feszültségfüggvények els® deriváltjainak számítását igényli, ellentétben az Airy féle másodrend¶ feszültségfüggvénnyel [16], ennek ismeretében ui. második deriváltak adják a feszültségeket. Az els®rend¶ feszültségfüggvény idézett tulajdonsága vonzóvá teszi ezeket a függvényeket a peremelemes alkalmazások számára, annak ellenére, hogy a nyomatéki egyensúly fenntartása egy további egyenletet igényel. Az els®rend¶ feszültségfüggvények alkalmazása kapcsán számos kérdés merül fel. Mivel duál rendszerben vagyunk, tisztázni kell az egyérték¶ség szükséges és elégséges feltételeit, különös tekintettel a vegyes peremértékfeladatokra és a többszörösen összefügg® tartomány esetére. Meg kell keresni az els®rend¶ feszültségfüggvényekre vonatkozó alapmegoldást is. Az alapmegoldás ismeretében mód nyílik a primál rendszerbeli Somigliana féle identitás [17] duál rendszerbeni analogonjának felállítására és ily módon a direkt módszer integrálegyenletei is adódnak. Homogén izotróp testre Szeidl [18, 15], valamint Szeidl és Szirbik [19] vizsgálta részletesebben a kérdést. Az idézett m¶vek részletes választ adnak a felvetett problémákra, ha a vizsgálat tárgyát képez® test homogén és izotróp. A kidolgozott eljárás használhatóságát numerikus példák is szemléltetik. Ha azonban ortortóp a vizsgálat tárgyát képez® test, akkor meg kell ismételni a [18, 15], valamint a [19] tanulmányok vizsgálatait. Ez fel kell, hogy ölelje az alapegyenletrenszer felírását, az els® és másodrend¶ alapmegoldások el®állítását, a duál Somigliana relációk levezetését bels® és küls® tartományra felállítva ezzel a direkt módszer integrálegyenleteit duál rendszerben ortotróp testre, valamint megoldási algoritmus kidolgozását illetve a kidolgozott algoritmuson alapuló számítóprogram kifejlesztését, és numerikus számítások végrehajtását.
5
A fentiekben áttekintett problémák alapján az értekezés megfogalmazza az alábbi
2. Célkit¶zést: Az értekezés ortotróp rugalmas test duál rendszerbeli síkbeli
klasszikus feladataira meghatározza a duál alapegyenlethez tartozó ún. els®- és másodrend¶ alapmegoldást, illetve tisztázza ezek tulajdonságait, meghatározza a duál Somigliana identitást és ennek alapján levezeti a duál Somigliana formulákat mind bels®-, mind pedig küls® tartományra (ezek közül a második a direkt módszer integrálegyenlete), tisztázza a megoldási algoritmust és programot dolgoz ki a numerikus megoldás érdekében, majd számpéldákon keresztül illusztrálja annak alkalmazhatóságát.
A mikropoláris rugalmasságtan primál rendszerében tekintett els® síkfeladat integrálegyenleteit els®ként D. Ieasan [20] cikke adta meg. Az idézett cikk eredményeit pontosította különös tekintettel a küls® tartományokra vonatkozó és vegyes peremértékfeladatokra, illetve egzisztencia bizonyítással is kiegészítette Schiavone [21]. A szerz® ismeretei szerint kezdeti lépésekt®l eltekintve [22] nem került sor hasonló vizsgálatokra az els® síkfeladat duál rendszer¶ megfogalmazása esetén ebben a tekintetben a [23] értekezésre, valamint a [24] és a [25] cikkekre utalunk, melyekben további hivatkozások is találhatók. A fentiek alapján az értkezés a mikropoláris rugalmasságtan els® síkfeladata esetén duál rendszerben szeretné tisztázni a direkt módszer alapjait, és ennek érdekében megfogalmazza a
3. Célkit¶zést: Az értekezés izotróp mikropoláris rugalmas test duál rendszer-
beli síkbeli feladataira meghatározza a duál alapegyenlethez tartozó ún. els®- és másodrend¶ alapmegoldásokat, tisztázza azok tulajdonságait, és ezek ismeretében kiindulva a duál Somigliana identitásból levezeti a duál Somigliana formulákat mind bels®, mind pedig küls® tartományra (ezek közül a második a direkt módszer integrálegyenlete). 3. Eredmények
Az alábbiak az értekezés gondolatmenetének sorrendjében tézisekbe foglalva ismertetik az eredményeket. (A sorszámozás tehát nem tükrözi az elérni vélt eredmények súlyát. Erre a kérdésre a tézisek megfogalmazása után térünk röviden vissza):
1. Tézis: Ortotróp testek síkfeladatai esetén a klasszikus rugalmasságtan primál rendszerében módosítottam és kiegészítettem a direkt peremelem módszer egyenleteit annak érdekében, hogy a végtelen távoli pont konstans feszültségi állapotát leíró tagok megjelenjenek a formalizmusban. A vontakozó tag helyességét kétféleképpen is igazoltam. (Program készült a numerikus megoldás el®állítására és a bemutatott tesztfeladatok jól illusztrálják a program alkalmazhatóságát.) 2. Tézis: Ortotróp testek síkfeladatai esetén a klasszikus rugalmasságtan duál rendszerében meghatároztam az els®- és másodrend¶ alapmegoldásokat és megvizsgáltam azok tulajdonságait,
6
megadtam a duál Somigliana identitást, és ennek felhasználásával levezettem a három duál Somigliana formulát mind bels®, mind pedig küls® tartományra kidolgoztam a számítás algoritmusát, és ezzel összefüggésben megmutattam, hogy hogyan számíthatók az er®sen szinguláris integrálok. (Program készült a numerikus megoldás el®állítására és a bemutatott tesztfeladatok jól illusztrálják a program alkalmazhatóságát. A program forráslistáját külön függelék közli.) 3. Tézis: A mikropoláris rugalmasságtan els® síkfeladata esetén duál rendszerben meghatároztam az els®- és másodrend¶ alapmegoldásokat és megvizsgáltam azok tulajdonságait, megadtam a duál Somigliana identitást, és ennek felhasználásával levezettem a három duál Somigliana formulát bels® és küls® tartományra egyaránt. A tézisek súlyát tekintve a szerz®nek 2, 3 és 1 a sorrendje. Mint minden ilyen értékelés, ez sem mentes azonban a szubjektivitásától. 4. Az eredmények hasznosításának lehet®ségei
Az eredmények hasznosítása, gyelembe véve, hogy azok egy része elvi jelleg¶, els®sorban a peremelem módszer területén végzett kutató munkában, kereskedelmi célú programok kifejlesztésében, az oktatásban, illetve a továbbképzésben várható. Hasznosítási lehet®ség kínálkozik többek között további duál rendszerre vonatkozó vizsgálatokban: alapmegoldások el®állítása síkfeladatokra és anizotróp testre, melyek birtokában kidolgozható a direkt peremelem módszer; a kidolgozott peremelemes algoritmus és megoldási eljárás kiterjeszthet® többszörösen összefügg® tartományok esetén (ekkor be kell építeni az algoritmusba a kompatibilitás makró feltételeit). és végül a kereskedelmi célú peremelemes programok fejlesztésében, illetve az ún. peremkontúr módszer duál rendszerbeni kidolgozásában ortotróp testek, illetve mikropoláris anyagú testek esetén. 5. Legfontosabb publikációk az értekezés témakörében
Idegen nyelv¶ folyóiratban közölt publikáció:
1. György Szeidl, Judit Dudra, (2007), Boundary integral equations for plane orthotropic bodies and exterior regions, Electronic Journal of Boundary Elements, (megjelenés alatt). 2. György Szeidl, Judit Dudra, (2007), BEM formulation plane orthotropic bodies - a modi cation for exterior regions and its proof, Periodica Polytechnica, Civil Engineering, Vol. 51/2, pp. 1-13.
7
Magyar nyelv¶ folyóiratban közölt publikációk:
3. Dudra Judit, (2005), Alapmegoldások duál rendszerbeli síkfeladatokra ortotróp test esetén, Miskolci Egyetem GÉP folyóirat, LVI. évfolyam, Vol. 2005/5, pp. 21-27. 4. Dudra Judit, (2007), A direkt módszer integrálegyenletei a mikropoláris rugalmasságtan els® síkfeladatára duál rendszerben, Miskolci Egyetem GÉP folyóirat, LVIII. évfolyam, Vol. 2007/5-6. pp. 16-24. Idegen nyelv¶ konferencia kiadványban közölt publikácók:
5. Judit Dudra, György Szeidl, (2005), Fundamental solutions and dual Somigliana relations for inner regions and an orthotropic body, microCAD 2005, International Scienti c Conference, Section G: Applied Mechanics. Modern Numerical Methods, University of Miskolc, Hungary, pp. 31-36. 6. György Szeidl, Judit Dudra, (2006), Boundary integral equations for plane orthotropic bodies - novel formulation for exterior region, microCAD 2006, International Scienti c Conference, Section G: Applied Mechanics, University of Miskolc, Hungary, pp. 13-18. 7. Judit Dudra, (2007), Integral equations in the dual system of micropolar elasticity for the rst plane problem, microCAD 2007, International Scienti c Conference, Section F: Applied Mechanics, University of Miskolc, Hungary, pp. 1-6. 8. György Szeidl, Judit Dudra, (2006), BEM formulations for plane orthotropic bodies and exterior region, COMAT 2006, Advanced Composite Materials Engineering, Transilvania University of Brasov, Romania, CD, ISBN 973-635821-8, ISBN 978-635-821-0. 9. György Szeidl, Judit Dudra, (2007), Boundary integral equations for plane orthotropic bodies in a dual formulation, COMEC 2007, Computational Mechanics and Virtual Engineering, Brasov, Romania. Magyar nyelv¶ konferencia kiadványban közölt publikációk:
10. Judit Dudra, (2004), Fundamental solutions in the dual system of plane elasticity for an orthotropic body, Doktoranduszok Fóruma, Miskolci Egyetem, pp. 59-64. 11. György Szeidl, Judit Dudra, (2005), On the direct BEM formulation for plane orthotropic bodies and exterior regions, Doktoranduszok Fóruma, Miskolci Egyetem, pp. 24-33. 12. György Szeidl, Judit Dudra, (2006), Fundamental solutions for plane strain problem of micropolar elasticity, Doktoranduszok Fóruma, Miskolci Egyetem, pp. 38-43. 13. Dudra Judit, (2006), Peremelem-módszer integrálegyenletei küls® tartományra végtelen távoli pont feszültségállapotának gyelembevételével, OGÉT 2006, XIV. Nemzetközi Gépész Találkozó, Marosvásárhely, Románia, pp. 109-112.
8
Szakmai el®adás idegen nyelven:
14. Judit Dudra, (2005), Plane strain problem for an orthotropic body in the dual system, of plane elasticity, FUDoM 05, Finno-Ugric International Conference of Mechanics with Esi Group Symposium, Ráckeve, Hungary. Szakmai el®adás magyar nyelven:
15. Dudra Judit, Szeidl György, (2007), Peremelem módszer síkfeladatokra ortotróp testek esetén duál rendszerben, X. Magyar Mechanikai Konferencia, Miskolci Egyetem. 9. A legfontosabb hivatkozott forrásmunkák jegyzéke
[1] F. J. Rizzo and D. J. Shippy. A Method for Stress Determination in Plane Anisotropic Bodies. Journal of Composite Materials, 4(1), 1970. [2] F. J. Rizzo. An Integral Equation Approach to Boundary Value Problems of Classical Elastostatics. Q. J. Appl. Math., 25:8395, 1967. [3] M. Vable and D. L. Sikarskie. Stress Analysis is Plane Orthotropic Material by the Boundary Element Method. Int. J. Solids Structures, 24(1):111, 1988. [4] M. P. Ariza A. Sáez and J. Domínguez. Three-Dimensional Fracture Analysis in Transversely Isotropic Solids. Engineering Analysis with Boundary Elements, 20:287298, 1997. [5] Y. C. Shiah and C. L. Tan. BEM Treatment of Two-Dimensional Anisotropic Field Problems by Direct Domain Mapping. Engineering Analysis with Boundary Elements, 20:347351, 1997. [6] Y. C. Shiah and C. L. Tan. BEM Treatment of Three-Dimensional Anisotropic Field Problems by Direct Domain Mapping. Engineering Analysis with Boundary Elements, 28:4352, 2004. [7] C. Y. Dong and Kang Yong Lee. A new integral equation formulation of two-dimensional inclusion-crack problems. International Journal of Solids and Structures, 42:50105020, 2005. [8] C. Y. Dong and Kang Yong Lee. Stress analysis of an in nite anisotropic elastic medium containing inclusions using the boundary point method. Engineering Analysis with Boundary Elements, 28:12931302, 2004. [9] C. Y. Dong and Kang Yong Lee. Boundary element analysis of in nite anisotropic elastic medium containing inclusions and cracks. Engineering Analysis with Boundary Elements, 29:562569, 2005. [10] Gy. Szeidl. Boundary integral equations for plane problems remark to the formulation for exterior regions. Publications of the University of Miskolc, Series D, Natural Sciences, Mathematics, 40(1):7988, 1999. [11] L. Huang, X. Sun, Y. Liu, and Z. Cen. Parameter Identi cation for Two-Dimensional Orthotropic Material Bodies by the Boundary Element Method. Engineering Analysis with Boundary Elements, 28(2):109121, 2004. [12] P. K. Banarjee and R. Butter eld. Boundary Element Methods in Engineering Science. Mir, Moscow, 1984. [13] P. K. Banarjee. The Boundary Element Methods in Engineering. McGraw-Hill, New York, 1994. [14] P. Schiavone and Chong-Quing Ru. On the Exterior Mixed Problem in Plane Elasticity. Mathematics and Mechanics of Solids, 1:335342, 1996. [15] Gy. Szeidl. Boundary Integral Equations for Plane Problems in Terms of Stress Functions of Order One. Journal of Computational and Applied Mechanics, 2(2):237261, 2001. [16] G.B. Airy. On the Strains in the Interior of Beams. Phil. Trans. Roy. Soc. London, 153:4980, 1863. [17] C. Somigliana. Sopra l' equilibrio di un corpo elastico isotropo I. Nuovo Cimento, 17 20:140 148, 272276; 161166; 8490, 278282; 181185, 18851886. [18] Gy. Szeidl. Kinematic Admissibility of Strains for Same Mixed Boundary Value Problems in the Dual System of Micropolar Theory of Elasticity. Journal of Computational and Applied Mechanics, 1(2):191203, 2000.
9
[19] Gy. Szeidl and S. Szirbik. New Developments in the Boundary Element Method: Boundary
Contour Method for Plane Problems in a Dual Formulation with Quadratic Shape Functions, chapter 14. Springer-Verlag, 2002. [20] D. Iesan. Existence Theorems in the Theory of Micropolar Elasticity. International Journal of Engineering Sciences, 8:777791, 1970. [21] P. Schiavone. Integral Equation Methods in Plane Asymmetric Elasticity. Journal of Elasticity, 43:3143, 1996.
[22] Gy. Szeidl and I. Iván. Fundamental solutions and boundary integral equations for the rst plane problem of micropolar elastostatics in dual system. In Conference on Numerical Methods and Computational Mechanics, Abstracts, page 74. University of Miskolc, July 15-19,1996. [23] Gy. Szeidl. Variational Principles and Solutions to Some Boundary Value Problems in the
Asymmetric Elasticity [A nemszimmetrikus rugalmasságtan duál variációs elvei és egyes perem¯tekfeladatainak megoldása]. Ph. D. Thesis, Hungarian Academy of Sciences, 1985. (in
Hungarian). [24] Gy. Szeidl and I. Iván. Macro Conditions of Compatibility and Strain Boundary Condititons for Some Mixed Plane Boundary Value Problems of Micropolar Elastostatics. Publications of the University of Miskolc, Series D, Natural Sciences, Mathematics, 36(2):3545, 1996. [25] Gy. Szeidl. Dual Variational Principles for the First Plane Problem of Micropolar Elastostatics. Publ TUHI., Series D, Natural Sciences, 35(3):320, 1982.
