MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI

MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI



Kita telah mengetahui bahwa untuk n besar dan θ kecil sedemikian hingga nθ = λ, distribusi binomial bisa dihampiri oleh distribusi Poisson. Mencari hampiran distribusi menjadi topik penting dalam statistik, khususnya bila kita melakukan transformasi Y = h(X1 , X2 , ....Xn ) di mana distribusi Y tidak bisa ditentukan. Hampiran distribusi berbasis kelakuan Y untuk n besar atau secara asimtotis atau distribusi limit di mana di dalamnya memuat pengertian konvergen yang akan menjadi topik bahasan bab ini.


MACAM-MACAM KONVERGENSI Konvergensi dalam distribusi Definisi Misalkan Xn , n = 1, 2, 3, ... barisan variabel random dengan fungsi distribusi Fn , n = 1, 2, 3, ... dan X variabel random dengan fungsi distribusi F . Bila lim Fn (x) = F (x) untuk setiap x di mana F n→∞ kontinu, maka barisan Xn dikatakan konvergen dalam distribusi ke d X dan ditulis Xn − → X.


Contoh Misalkan Xn ∼ eksponensial (θ) dengan θ = (1 + n1 )−1 , n = 1, 2, 3, ..., maka 1 Fn (x) = 1 − e −(1+ n )x , x > 0. Untuk setiap x ≥ 0 dengan mudah dapat dilihat lim Fn (x) = 1 − e −x = F (x).

n→∞

Jadi Xn → X denngan X ∼ Eksponensial (1).


Contoh Misalkan Xn mempunyai distribusi seragam dalam (0, n1 ) untuk n = 1, 2, 3, .... Fungsi distribusi kumulatif dari Xn berbentuk  0 x <0      1 nx 0 6 x < Fn (x) = n    1  1 x> n


Sekarang, misalkan X variabel random yang merosot di X = 0 atau P(X = 0) = 1. Dengan demikian, ( 1 x >0 F (x) = 0 x <0 Dalam hal ini C (F ) = {x|F (x) kontinu } = {x 6= 0}. Terlihat bahwa lim Fn (x) = F (x) untuk setiap x ∈ C (F ) yang berarti n→∞

d

Xn − → X.


Konvergensi dalam probabilitas Definisi Barisan variabel random {Xn , n = 1, 2, ..} disebut konvergen dalam probabilitas variabel random X bila lim P {|Xn − X | 6 ε} = 1 setiap ε > 0

n→∞

p

→ X . Jenis konvergensi ini sering disebut dan kita tulis sebagai Xn − konvergensi stokastik.


Perhatikan bahwa definisi konvergensi dalam probabilitas sering menggunakan definisi lim P {|Xn − X | > ε} = 0

n→∞

Ketaksamaan Chebychev mempunyai peran yang sangat penting dalam membuktikan konvergensi dalam probabilitas.


Contoh Misalkan Xn variabel random dengan f.k.p. nn n−1 −nx x e ,x > 0 fn (x) = Γ(n)

n = 1, 2, 3, ...

Dengan demikian, Xn ∼ gamma (n, n1 ) dengan E (xn ) = n. n1 = 1 dan Var(Xn ) = n. n12 = n1 . Menggunakan ketaksamaan Chebyshev, untuk setiap ε > 0 P (|Xn − 1| > ε) 6

1 →0 nε2

untuk n → ∞.

P

sehingga, Xn − → 1.


Contoh Untuk n = 1, 2, ... misalkan Xn variabel random sedemikian hingga  1   0 dengan probabilitas n Xn =   1 dengan probabilitas 1 − 1 n Misalkan X = 1 dengan probabilitas 1. Harga yang mungkin dari |Xn − X | adalah 0 dan 1. Ini berarti  1   0 dengan probabilitas 1 − n |Xn − X | =   1 dengan probabilitas 1 n


Akibatnya, fungsi distribusi dari |Xn − X | adalah  0,   

ε<0 1 P {|Xn − X |} 6 ε = 1 − , 0 6 ε < 1  n   1, ε > 1


Fungsi distribusi ini untuk beberapa n diilustrasikan pada gambar berikut

Ini berarti lim P {|Xn − X |} 6 ε = 1 untuk setiap ε > 0 yang n→∞ P

berarti Xn − → X.


Konvergensi hampir pasti Definisi Misalkan X1 , X2 , ...Xn dan X barisan variabel random yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. Xn dikatakan a.s konvergen hampir pasti ke X ditulis X − → X bila n P lim Xn = X = 1. n→∞ Melalui teorema berikut definisi di atas akan diperjelas. Teorema

a.s

Xn −→ X bhb lim P n→∞

sup |Xm − Xn | > ε = 0 untuk setiap

n→∞

ε > 0.


Teorema Misalkan X1 , X2 , X3 , ... barisan variabel random independen. Maka ∞ P a.s Xn −→ X ⇔ P (|Xn − X | > ε) < ∞, untuk ∀ε > 0 n=1

Contoh Untuk α > 1, misalkan X1 , X2 , X3 ... barisan variabel random independen sedemikian hingga P (Xn = 0) = 1 −

1 1 dan P (X = n) = , n > 1. n nα nα


Perhatikan bahwa untuk ε > 0 P (|Xn | > ε) = P (Xn = n) =

1 . nα

Sekarang ∞ X n=1

∞ X 1 P (|Xn | > ε) = < ∞ karena α > 1 nα n=1

a.s

sehingga menurut teorema di atas, Xn −→ 0.


Konvergensi dalam mean Definisi Misalkan X1 , X2 , X3 ... barisan variabel random yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. Xn dikatakan konvergen dalam mean ke r variabel random X untuk n → ∞ bila E (Xn − X )r → 0 2 untuk n → ∞. Bila r = 2, maka Xn → − X disebut konvergen dalam mean kuadrat. Catatan d Bila Xn − → X untuk n → ∞, dengan N(0, 1) sering ditulis singkat d

Xn − → N(0, 1).

MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI

Recommend Documents