MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI



Hubungan antar konvergensi Hirarki antar konvergensi dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema Misalkan X dan X1 , X2 , X3 , ... adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama, maka implikasi-implikasi berikut berlaku untuk n → ∞. a.s

P

d

Xn −→ X ⇒ Xn − → X ⇒ Xn − →X ⇑ r

Xn → − X


Contoh Misalkan X1 , X2 , X3 ... variabel random independen sedemikian hingga P (Xn = 0) = 1 − n1α dan P (Xn = n) = n1α , n > 1, α > 0. Karena P (|Xn | > ε) = P (Xn = n) = n1α → 0 untuk n → ∞, maka P

→ 0. Selanjutnya, Xn − ∞ X

( P (|Xn | > ε) =

n=1 P

< ∞ bila α > 1 ∞ bila α 6 1

a.s

Ini berarti Xn − → 0 tetapi Xn − 6 → 0 untuk α < 1.


Untuk konvergensi dalam mean, 1 1 r E |Xn | = 0r 1 − α + nr α n n    → 0 untuk r < α = nr −α = 1 untuk r = α   → ∞ untuk r > α Perhatikan bahwa E |Xn |r tidak konvergen ke 0 atau divergen ke r

P

tak berhingga bila r = α. Ini artinya Xn → 6 0 walaupun Xn − − →0 r untuk α > 0. Perhatikan Xn → − 1 untuk r = α.


Contoh Misalkan X , X1 , X2 , ... variabel-variabel random yang berdistribusi identik dan (X , Xn ) mempunyai distribusi gabungan sebagai berikut P(X1 , Xn ) 0 1 0 21 12 1 0 12 2

X \Xn

0 1

1 2

1 2


Karena X , X1 , X2 , ... berdistribusi identik, maka dengan sendirinya d Xn − → X . Akan tetapi, 1 P |Xn − X | > > P [|Xn − X | = 1] 2 = P {Xn = 0, X = 1} + P {Xn = 1, X = 0} = 1 6→ 0 P

d

Akibatnya Xn − 6 → X tetapi Xn − →X


Contoh Misalkan X1 , X2 , ... independen dan berdistribusi identik dengan n P 2 E Xi2 < ∞. Bila Yn = n(n+1) iXi , akan kita tunjukkan bahwa i=1 P 2 Yn − → E (Xi ). Karena E Xi < ∞, maka E (Xi ) < ∞ dan Var (Xi ) = σ 2 . Berturut-turut akan kita cari E (Yn ) dan Var (Yn ). ! n X 2 iXi E (Yn ) = E n(n + 1) i=1

= =

2 2(n + 1)

n X i=1

n

X 2µ iE (Xi ) = i n(n + 1) i=1

2µ 1 n(n + 1) = µ n(n + 1) 2


Var (Yn ) = Var = =

2 n(n + 1)

4 n2 (n + 1)2 4σ 2 n2 (n + 1)2

n X i=1 n X i=1

n X

! iXi

i=1

i 2 Var (Xi ) i2


Mengingat

n P i=1

i2 =

n(n+1)(2n+1) , 6

Var (Yn ) = =

maka

2σ 2 n(n + 1)(2n + 1) 3 6 2σ 2 2n + 1 3 n2 + n

Menurut ketaksamaan Chebychev Var (Yn ) 2σ 2 P {|Yn − µ| > ε} 6 = 2 ε2 3ε

2n + 1 n2 + n

→0

P

untuk n → ∞. Jadi, Yn − → E (Xi ) = µ.


d

Seperti telah ditunjukkan dalam contoh di atas, Xn − → X tidak P selalu mengakibatkan Xn − → X , namun bila X merosot dari X = c, konvergensi dalam probabilitas ekuivalen dengan konvergensi dalam distribusi seperti yang akan ditunjukkan dalam teorema berikut. Teorema Bila c konstanta, maka d

P

Xn − → c ⇔ Xn − →c


Teorema Misalkan (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), (X3 , Y3 )... barisan pasangan variabel P

d

d

random. Bila |Xn − Yn | − → 0 dan Yn − → Y , maka Xn − → Y. Teorema (Lemma Slustky) Misalkan {Xn , Yn }, n = 1, 2, 3, ... barisan pasangan variabel random dan c konstante, maka d

P

d

a. Xn − → X , Yn − → c ⇒ Xn ± Yn − →X ±c  d  Xn Yn − → cX bila c 6= 0 d P b. Xn − → X , Yn − →c⇒ P X Y − → 0 bila c = 0 n n

d

P

c. Xn − → X , Yn − →c⇒

Xn d X − → /c bila c 6= 0 Yn


Contoh Misalkan X1 , X2 ... independen dan berdistribusi identik dengan masing-masing berdistribusi N(0, 1). Kita akan mencari distribusi dari √ X1 + X2 + ...Xn Wn = n 2 X1 + X22 + ... + Xn2 Sekarang kita tulis n

X 1 Un = √ (X1 + X2 + ...Xn ) = Xi n i=1

dan

n P

Vn =

X12

+

X22

+ ... + n

Xn2

=

i=1

X12

n


Dengan demikian, Wn =

Un . Vn

Fungsi pembangkit momen dari Un adalah √t P Xi tUn MUn (t) = E e =E e n Y tX √i = E e n Karena Xi independen, maka MUn (t) =

Y

tX Y 2 t t2 √i E e n = e 2n = e 2


d

2 , maka E (X 2 ) = 1 dan Sehingga, Un − → N(0, 1). Karena Xi2 ∼ X(1) 1 1 Var (Xi ) = 2. Akibatnya, E (Vn ) = 1 dan Var (Vn ) = n2 .2n = n2 . Menurut ketaksamaan Markov

P (|Vn − 1| > ε) 6 P

Var (Vn ) 2 = → 0 untuk n → ∞. ε2 nε2 d

Ini berarti Vn − → 1. Karena Un − → N(0, 1), maka menurut Lemma d

Slustky (c) Wn − → N(0, 1). Transformasi adalah alat yang penting dalam statistik. Untuk barisan variabel random Xn yang konvergen ke X dalam arti tertentu, kita ingin mengetahui apakah g (Xn ) juga konvergen ke g (x) dalam arti tertentu. Hasil berikut memberikan jawaban pada hampir semua persoalan tersebut.


Teorema Misalkan X1 , X2 , X3 , ..., Xn barisan variabel random yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama dan g (X ) fungsi kontinu. Dengan demikian, a.s

a.s

a. Xn −→ X → g (Xn ) −→ g (X ) P

P

d

d

b. Xn − → X → g (Xn ) − → g (X ) c. Xn − → X → g (Xn ) − → g (X )


Contoh Misalkan Xn , n = 1, 2, 3... independen dan berdistribusi identik disingkat i.i.d. dengan E (Xn ) = µ dan Var (Xn ) = σ 2 < ∞. Akan P ¯ − kita buktikan X → µ. Menurut ketaksamaan Chebychev σ2 P (|¯ x − µ| > ε) 6 2 → 0 untuk n → ∞. nε P ¯ − Jadi, X → µ. Untuk σ 2 ada dua estimator yang terkait yaitu 2 2 n X −X n X −X P P ( i ¯) ( i ¯) 2 2 Sn = dan Sn−1 = n n−1 . Akan kita buktikan

i=1 bahwa Sn2

dan probabilitas ke

i=1

2 Sn−1 σ2.

kedua-duanya akan konvergen dalam


Pertama-tama kita perhatikan bahwa n P

Sn2 =

¯ Xi − X

n P

2

i=1

=

n

i=1

n P

Menurut sifat

Xi

i=1

n

2

n n P

=

¯ +X ¯2 Xi2 − 2Xi X

i=1

Xi2 ¯2 −X

n

P

− → E (Xi ) maka n P i=1

Xi2

n

P − → E Xi2 = µ2 + σ 2


P P ¯ − ¯2 − Dari X → µ dan g (x) = x 2 fungsi kontinu maka X → µ2 . P

Akibatnya, menurut lemma Slutsky Sn2 − → µ 2 + σ 2 − µ2 = σ 2 . Untuk membuktikan Sn−1 juga konvergen dalam probabilitas ke σ 2 , perhatikan bahwa n P ¯ 2 = nSn2 , sehingga S 2 = n Sn2 . Karena Xi − X i=1 n n−1 n→∞

lim

n−1

n−1

P

2 = 1 maka menurut lemma Slutsky Sn−1 − → σ2.

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

Recommend Documents