KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY Joko Sungkono* Abstrak : Tujuan yang ingin dicapai pada tulisan ini adalah mengetahui kekuatan konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi almost surely disertai suatu contoh. Metode penelitian yang digunakan studi literatur dengan bahan yang diambil dari referensi yang mendukung serta membahas teori yang ada pada pembahasan. Berdasarkan hasil pembahasan konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam probabilitas. Jika variabel random konvergen secara almost surely pasti juga konvergen dalam probabilitas, tetapi tidak berlaku untuk sebaliknya. Melalui suatu contoh ditunjukkan bahwa terdapat variabel random yang konvergen dalam probabilitas tetapi tidak konvergen almost surely. Kata kunci: konvergensi, probabilitas, almost surely. PENDAHULUAN Pada bidang statistik, variabel random
serta memberikan suatu contoh yang menerangkan kekuatan dua konvergensi tersebut.
mempunyai peranan yang sangat penting untuk menganalisa permasalahan dalam kehidupan seharihari agar dapat diselesaikan berdasarkan kaidah
METODE PENELITIAN
statistik. Variabel random merupakan fungsi bernilai
Metode penelitian yang digunakan pada tulisan
real yang memetakan seluruh anggota ruang sampel.
ini adalah studi literatur yaitu dengan mengkaji teori-
Sekumpulan variabel random dapat membentuk
teori dalam referensi yang mendukung ke arah tujuan
barisan bilangan real yang disebut barisan variabel
penulisan serta memberikan contoh yang sesuai.
random. Konvergensi barisan variabel random dapat
Beberapa teori penting dikaji dalam pembahasan.
dikaji sebagaimana konvergensi barisan bilangan real. Konvergensi barisan variabel random
DASAR TEORI
dibedakan dalam konvergensi dalam distribusi,
Beberapa definisi dan teori yang berkaitan
konvergensi dalam probabilitas (konvergen secara
dengan konvergensi diambil dari beberapa sumber dan
stokastik) dan konvergensi almost surely. Dari ketiga
diberikan dalam bentuk kutipan. Definisi variabel
konvergensi tersebut terdapat hubungan satu sama
random diambil dari Bain dan Engelhardt (1992)
lain. Konvergensi dalam probabilitas mempunyai kemiripan sifat dengan konvergensi almost surely. Pada tulisan ini akan dikaji kekuatan konvergensi dalam probabilitas dengan konvergensi almost surely
Definisi 1. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel S ke dalam bilangan real,
dengan e merupakan hasil yan
mungkin dalam S.
* Pendidikan Matematika FKIP UNWiDHA Klaten
56
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013 ISSN 0215-9511
Kekuatan Konvergensi Dalam Probabilitas dan Konvergensi ....
Definisi limit barisan diambil dari Bartle and Sherbert
Teorema 1. (Ketaksamaan Chebychev) Diberikan
(2000)
variabel random
Definisi 2. (Limit Barisan). Diberikan barisan
Untuk sebarang maka berlaku
bilangan real
dengan mean
dan variansi
.
. Suatu bilangan real X dikatakan
limit barisan jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk semua dengan maka berlaku PEMBAHASAN Definisi tentang konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi almost surely berikut dikutip dari Serfling (1980).
Teorema berikut memberikan gambaran bahwa kekuatan konvergensi almost surely lebih besar dari pada konvergensi dalam probabilitas.
Definisi 3. (Konvergensi Dalam Probabilitas). Diberikan
dan
adalah variabel random
pada ruang probabilitas
.
dikatakan
konvergen dalam probabilitas ke jika untuk sebarang
Teorema 2. Jika
maka
.
Bukti .
Diketahui Akan dibuktikan Karena
yang biasa ditulis sebagai
,
Definisi 4. (Konvergensi Almost Surely). Diberikan dan
adalah variabel random pada ruang
probabilitas almost surely ke
.
menurut
definisi
. Menurut Serfling (1980) untuk sebarang
ekuivalen dengan
dikatakan konvergen
jika Karena
dan
maka
, diperoleh
yang biasa ditulis sebagai Menurut Serfling (1980), dengan menggunakan definisi
Lebih umum diperoleh
, maka untuk sebarang
suatu kondisi ekuivalensi dari konvergensi almost surely diberikan sebagai berikut
Jadi
.
Ketaksamaan Chebychev berikut diambil dari Bain and Engelhardt (1992).
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013 ISSN 0215-9511
57
Kekuatan Konvergensi Dalam Probabilitas dan Konvergensi ....
Sebagian besar buku memberikan contoh untuk penggunaan teorema ini dengan variabel random yang konvergen secara probabilitas sekaligus konvergen
Selanjutnya akan ditunjukkan . Menurut ketaksamaan Chebychev untuk sebarang akan diperoleh
almost surely. Berdasarkan teorema ini harusnya terdapat suatu contoh variabel random yang konvergen secara probabilitas tetapi tidak konvergen
sehingga
. Didefinisikan
almost surely. Sangat sulit diperoleh contoh variabel ,
random yang konvergen secara probabilitas tetapi
maka
diperoleh
atau
tidak konvergen almost surely. Contoh 1 memberikan
dapat
gambaran tentang variabel random yang konvergen
dikatakan
secara probabilitas sekaligus konvergen almost surely,
Lebih lanjut diperoleh konvergen ke 0. Misalkan didefinisikan kejadian
sedangkan contoh 2 menerengkan variabel random
konvergen ke 0.
,
yang konvergen secara probabilitas tetapi tidak konvergen almost surely.
maka
menurut
Billingsley (1986),
Contoh 1. (Hukum Kuat Bilangan Besar (Kolmogorov)). Misalkan
barisan
variabel random yang terdistribusi secara identik dan independen dengan
, maka
sehingga
.
Pembahasan : Sebelumnya akan ditunjukkan kemudian
dilanjutkan maka
ketaksamaan Chebychev untuk sebarang diperoleh
Misalkan . Menurut akan
Karena
konvergen, yang akan mengakibatkan
maka ada ,
sehingga . Atau diperoleh
Menurut sifat probabilitas diperoleh
Perhatikan bahwa
Karena nilai probabilitas maksimal adalah 1, maka diperoleh
Jadi
58
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013 ISSN 0215-9511
Kekuatan Konvergensi Dalam Probabilitas dan Konvergensi ....
dengan operasi gabungan terakhir merupakan gabungan
atas
bilangan
real
Karena
dan saling asing, maka menurut sifat probabilitas akan diperoleh
Karena maka secara
langsung dapat . Jadi
diperoleh
Contoh 2. Misalkan independen
variabel random yang saling dengan distribusi dan . Akan ditunjukkan bahwa tetapi tidak memenuhi . Pembahasan : Diambil sebarang bahwa untuk
. Perhatikan
maka =0 Lebih
lanjut
diperoleh
=
. Diperoleh
=
tidak konvergen almost surely ke 0. Jadi
Perhatikan juga bahwa untuk
, maka
tetapi tidak memenuhi
= . sehingga
Diperoleh atau dikatakan
Jadi
.
Contoh 2 ini memberikan penjelasan bahwa konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam probabilitas.
dapat
konvergen dalam
probabilitas ke 0. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa tidak konvergen almost surely ke 0. Perhatikan bahwa
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013 ISSN 0215-9511
59
Kekuatan Konvergensi Dalam Probabilitas dan Konvergensi ....
SIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam probabilitas. Hal ini diberikan dalam bentuk teorema
DAFTAR PUSTAKA Bain, L. J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to probability and mathematical statistics, 2 ed., Duxbury Press, California.
2. Jika variabel random konvergen secara almost surely pasti juga konvergen dalam probabilitas, tetapi
Bartle, R.G and Sherbert, D.R, 2000, Intoduction to
jika variabel randon konvergen dalam probabilitas
Real Analysis, 3ed, John Wiley and Sons, Inc.,
belum tentu konvergen almost surely. Melalui suatu
USA
contoh ditunjukkan bahwa terdapat variabel random yang konvergen dalam probabilitas tetapi tidak
Billingsley, P., 1986, Probability and Measure, 2ed., John Wiley and Sons, Inc., New York
konvergen almost surely, sehingga lebih jelas terlihat bahwa konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam probabilitas.
Serfling, R. J., 1980, Approximation theorems of mathematical statistics, John Wiley and Sons, New York.
60
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013 ISSN 0215-9511
