MINGGU KE 9 &10 Diskripsi singkat
Manfaat
Relevansi
Learning Outcome
: materi minggu ini berisi tentang arti lengkung parabola baik yang horizontal maupun vertical,terlebih pada lengkung vertical maka lengkung parabola lebih cocok disbanding dengan lengkung lingkaran, baik yang bersifat cekung maupun cembung.. : apabila mahasiswa menguasai pengetahuan dasar ini maka dalam perencanaan rute khususnya alinemen vertikal akan menjadi lebih nyaman, dan aman. : setelah mengikuti kuliah minggu ini, diharapkan mahasiswa akan termotifasi untuk mempelajari materi selanjutnya. : setelah mengikuti kuliah minggu ini mahasiswa dapat memahami merancang rute/alinemen vertical dengan baik sesuai kaidah geometric dan keamanan dan keamanan berlalulintas.
BAB VI LENGKUNG PARABOLA Lengkung / kurva parabola mempunyai beberapa kelebihan tertentu apabila dibanding dengan lengkung lingkaran. Lengkung ini sesuai untuk metode offset, khususnya pada lengkung vertikal untuk menghubungkan perpotongan dari tangen-tangen vertikal pada jalan raya, dan kereta api. Untuk lengkung horizontal, lengkung parabola kurang baik apabila dibanding dengan lengkung lingkaran dan spiral, karena tak dapat dipasang (setting out) dengan cara sudut difleksi dari tangen dan jari-jari kelengkungannya yang tidak seragam sepanjang lengkungan. Tetapi untuk pemasangan lengkungan yang pendek-pendek, lengkung parabola mempunyai keuntungan yang komparatif, karena disini tak memerlukan alat ukur teodolit
VI.1. LENGKUNG PARABOLA HORISONTAL
Rumus parabola : y = k x2 Pada umumnya di sini sumbu x tidak
tegaklurus
(oblique)
terhadap sumbu y. Sumbu
x
berimpit
dengan
tangent AV, sumbu y sejajar dengan VM (diameter). M titik tengah talibusur AB; VC = MC = e Gambar VI.1.Lengkung parabola
Sembarang ordinat LR (gambar 58) sejajar dengan diameter VM kita punya hubungan matematis :
LR AL = AV VC Misal dari A
AL = RG =
2
atau LR =
AL AV
2
VC
M dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, maka apabila : 3 AV , 4
maka
LR =
3 4
2
VC =
9 .e 16
15 .e 16 JQ =
1 .e 4
maka
QF =
HN =
1 .e 16
maka
NE =
3 .e 4 7 .e 16
Dengan demikian pada parabola : offset dari tangen ke lengkungan, jaraknya bervariasi sesuai dengan kuadrat dari jarak sepanjang tangen dari titik awal (A).
Pada tangen, AV tidak mesti = VB Sifat parabola yang lain : lengkungan akan memotong di tengah dari diameter (VM) dan berawal dan berakhir pada perpotongan tangen dan talibusur
VI.1.1. Pemasangan(Setting Out ) Detil Lengkung Parabola Horisontal Dengan Pita Ukur. Misal pada lengkung parabola horisontal yang menghubungkan tangen AV dan tangen BV pada A dan B seperti gambar VI.1. Jarak tangen AV dan BV tidak harus sama panjang. Prosedur (gbr VI.1) 1. Pertengahan talibusur AB = M, pertengahan VM = C titik pada lengkung parabola 2. Bagilah VA dan MA menjadi 4 bagian sama panjang. 3. Misal jarak VC = CM = e 4. Ordinat HN dari tangen ke lengkungan =(AH/AV)2.VC = 1/16.e 5. Ordinat JQ dari tangen ke lengkungan =(AJ/AV)2.VC = ¼.e dst. Dengan cara yang sama titik-titik antara CB dari lengkung parabola dapat ditentukan.
VI.2. LENGKUNG PARABOLA VERTIKAL PENDAHULUAN. Lengkung parabola vertikal yang menghubungkan perpotongan dari kemiringan jalan raya, kereta api dll, dimaksudkan untuk memperhalus dan menstabilkan perobahan gerakkan (kendaraan) pada arah vertikal. Sesungguhnya, untuk jalan raya, jalan kereta api untuk kenyamanan dan keselamatan berlalulintas, tidak terbatas pada geometri horisontal saja, namun demikian pula yang vertikalnya.
Gambar VI.2.Parabola vertikal
Semua jarak se- panjang lengkgn diukur scrhori-sontal Semua offset dr tg ke lkgn diukur scr vertikal Kesalahan dari anggapan tsb diabaikan.
VI.2.1. Offset Vertikal dari Tangen ke Lengkungan Pada gbr V.2. lengkung vertikal direferensikan pada salib sumbu koordinat, sumbu X (x) dan Y. Pusat salib-sumbu pada titik A (PC). Jarak pada sumbu X dinyatakan dalam stasiun sedang tingginya (offset) dinyatakan dalam feet atau meter. Namakan g1 dan g2 : dalam persen (%) kemiringan dari tangen AV dan BV, tanda plus (+) untuk kemiringan naik, dan tanda minus (–) untuk kemiringan menurun. A = g2 – g1 = perbedaan scr aljabar dlm % kemiringan dr tangen L = total jarak dari lengkungan, dalam stasiun e = vertikal offset (ft/m) dari vertek V atau PI ke tengah lengkungan. Secara matematis dinamakan : kemiringan di akhir A dan B dari parabola direpresentasikan/dinyatakan masing-masing dengan g1 dan g2 Karena nilai perubahan kemiringan dari semua titik pada parabola dinyatakan konstan, maka dari rumus : y = kx2
kita dapatkan :
d 2Y = r = konstan dX 2
di integralkan :
dY = r.X+C ................................. (a) dX
apabila X= 0 maka dan g1 = 0 + c,
(r = k) ..................... (VI.1)
dY dY = g1 ; bila X = L maka = g2 dX dX g2 = rL+c; atau r = g g1 dY .X = 2 L dX
Dengan demikian,
Di integralkan lagi, Y=
g2
g1 X 2 L 2
g2
g1 L
..........(b)
g1 .......................(c)
g1 X
C ' .....................(d)
Tetapi C’ = 0, karena Y = 0 apabila X = 0. Dari kesamaan segitiga, (Y+y)/X =g1/1. Subtitusi harga ini terhadap Y pada persamaan (d), dan kemudian menurunkan nya, kita dapatkan : y= -
1 g 2 g1 .X 2 2 L
Karena y diasumsikan ke bawah (dari Q) dari pada keatas seperti Y, tanda di atas akan berubah dari minus ke plus. Juga, x akan menjadi X. Kemudian y=
1 g 2 g1 2 x .....................................(VI.2) 2 L
Oleh karenanya, offset vertikal dari tangen ke lengkung vertikal bervariasi sesuai dengan kuadrat jaraknya dari PC Pada V , y = e dan x = e=
g2
g1 8
1 L , kemudian 2 .L =
1 . A.L ............................ (VI.3) 8
Perhatikan betul-betul tanda aljabar dari g1 dan g2 pada penggunaan rumus (VI.3). Dengan demikian apabila g1 = - 3, g2 = + 5, dan L = 600 feet (6 stasiun), maka e=
5 ( 3) 6 =+ 6 feet 8
apabila g1 = -1, g2 = -5 dan L=10 stasiun, maka
e=
5 ( 1) . 10 = - 5 feet 8
Gambar VI.3. Lengkung vertikal cembung
Dikarenakan e adalah jarak vertikal dari vertek ke tengah lengkungan, sehingga diukur kebawah pada arah negatif untuk semua lengkungan cembung (gbr VI.3) dan keatas pada arah positif untuk lengkungan cekung (gbr VI.4).
1. Gambar VI.4. Lengkungan vertikal cekung
Dari padanya tanda aljabar dari e akan mengindikasikan apakah elevasi sepanjang lengkungan harus ditambahkan atau harus dikurangkan dengan besaran offsetnya dari ketinggian/elevasi titik-titik pada garis tangen.
Pada gambar (VI.5) memperlihatkan secara sederhana beberapa tipe lengkungan cekung dan cembung berdasarkan 6 kemungkinan dari kombinasi g1 dan g2 .
Gambar VI.5.Tipe-tipe lengkungan cekung dan cembung
Pendekatan lain untuk e . Karena M adalah tengah-tengah talibusur AB (gbr 60 dan 61) dan titik C tengah-tengah antara V dan M, maka e = ½VM Besarnya simpangan vertikal / divergensi dari dua buah garis miring VD dan VB (gbr V.4) adalah (g2-g1) ft per stasiun; sehingga untuk l stasiun ,(dimana l =½L), kita dapatkan DB = (g2 –g1).l . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a)
Dari segitiga yang sebangun, VM=½DB=½(g2-g1).l, selanjutnya
e = VC = ½VM =¼(g2-
g1)l =1/8 (g2-g1)L . . (b) Juga
DB = 4e = ½(g2-g1)L ................................ (VI.4)
VI.2.2.Elevasi Sepanjang Lengkung Vertikal Dari persamaan (V.2)
y=
1 g 2 g1 2 x ..................(VI.2) 2 L
dibagi persamaan (V.3) e=
g2
g1 8
.L =
x y= L
1 . A.L ........ (VI.3) 8
2
4e atau
x y= l
akan diperoleh : 2
e ...................................(VI.5)
Rumus (60) dapat juga ditulis : y = ½.r.x2 ...................... (VI.6)
r=
g2
g1 L
= konstan
= nilai perobahan kemiringan
Persamaan (VI.5) dan (VI.6) mengindikasikan cara yang sederhana untuk mencari offset dari tangen, yang bilamana disatukan dengan elevasi disepanjang tangen akan dapat dihitung elevasi dari lengkungannya
ada 2 metode
A dan B. Metode A : didasarkan pada rumus offset Metode B : didasarkan pada nilai perobahan kemiringan
Contoh 1 metode A g1 = - 1% bertemu dengan g2 = + 2,2% pada stasiun 52+50 dan elevasinya 422,34 ft. Jarak lengkung vertikal L = 800 ft (8 stasiun) Hitung untuk setiap stasiun : a. elevasi pada tangen b. offset dari tangen ke lengkungan c. elevasi pada lengkungan Hitungan : Titik
Stasiun
elevasi
PI
52+50
422,34
PC
48+50 : 422,34+1%X400
426,34
PT
56+50 : 422,34+2,2%X400
431,14 857,48 : 2
428,74
M - 422,34
6,40 = 2 X e 4Xe = 12,80 ft, dengan persamaan (62) 4e= ½(+2,2-(-1))X 8 = 12,80 ft g1 = -1,0 ; g2 = 2,2; L = 8; y = (x/L)2 X 4e = (x2/64) X 12,8 = (+0,2)x2
Sts
X X2
Sts 48+50 49 50 51 52 52+50 53 54 55 56 56+50
0 0 0,5 0,25 1,5 2,25 2,5 6,25 3,5 12,25 4,0 4,5 20,25 5,5 30,25 6,5 42,25 7,5 56,25 8,0 64,0 Jawaban : a
Elevasi pd
Offset
Elevasi
tangen
(+0,2)x2
pd klkgn
426,34 425,84 424,84 423,84 422,84 422,34 421,84 420,84 419,84 418,84 418,34 : b :c
0 +0,05 +0,45 +1,25 +2,45 + +4,05 +6,05 +8,45 +11,25 +12,80
426,34 425,89 425,29 425,09 425,29 425,89 426,89 428,29 430,09 431,14
Perbedaan
-0,60 -0,20 0,40 +0,20 0,40 +0,60 0,40 +1,00 +1,00 +1,40 +1,80
0,40 0,40 0,40 0,40
Lihat gbr VI.4
Contoh 2 metode A Soalnya sama dengan contoh 1 di atas. Hitung elevasi sepanjang lengkungan dengan menggunakan rumus (VI.5) y=C x e, dimana koefisien C diambil langsung dari tabel 31 (Hickerson). Hasilnya seperti dalam tabel dibawah ini : g1 = - 1,0 g2 = +2,2
L = 800 ft ,
y = C x e = C x 3,2
Sts 48+50 PC
X (ft) 0
Elev pd AV & BV 426,34
C (Tabel 31) 0
49
50
50
Offset C x 3,2
Elevasi pd lengkungan 426,34
0
425,84
0,0156
0,05
425,89
150
424,84
0,1406
0,45
425,29
51
250
423,84
0,3906
1,25
425,09
52
350
422,84
0,7656
2,45
425,29
52+50 PI
400
422,34
1
3,20
425,54
53
350
423,44
0,7656
2,45
425,89
54
250
425,64
0,3906
1,25
426,89
55
150
427,84
0,1406
0,45
428,29
56
50
430,04
0,0156
0,05
430,09
56+50 PT
0
431,14
0
0
431,14
Metode B Dari pers (64), y= ½rx2 dimana r = (g2- g1)L : nilai perobahan kemiringan. Elevasi Ex dari sembarang titik pada lengkungan x stasiun di depan PC dinyatakan dengan : Ex = Ea + g1x + y ................................................(.VI.7) Dimana : Ea : elevasi titik A (PC) dan y = ½rx2 Sehingga dapat ditulis : Ex = Ea + g1x+ ½rx2 = Ea+(g1+ ½rx)(x) .............. (VI.8) Persamaan (66) adalah metode yang sederhana untuk menghitung elevasi (Ex) sepanjang lengkungan. Faktor (g1+ ½rx) adalah linier, harga ini dengan mudah dapat diperoleh dengan menempatkan harga g1 pada kalkulator dan secara berturutan ditambahkan (dikurangkan) dengan konstante penambahan dari stasiun ke stasiun berikutnya. Hal ini untuk menghindari besaran kuadrat dan titik-titik yang banyak disepanjang tangen.
Contoh 3 Diberikan data sebagaimana contoh 1 dan 2 di atas, dimana g1 = - 1,0 , g2 = + 2,2, L= 8 stasiun , dan PI pada stasiun 52+50 dengan elevasi 422,34 ft Pemecaahan : r = (g2- g1)L = 2,2
1,0 / 8 = 0,4; ½r = 0,2
Dengan persamaan (66) : Ex = 426,34 + (-1,0 + 0,2x)(x) ......................... (VI.9) Selanjutnya lihat tabel dibawah ini :
Sts
48+50 PC 49 50 51 52 53 54 55 56 56+50 PT
X (Stasiun ) 0 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,0
(-1,0+0,2x)
X X X X X X X X X X
- 1,0 - 0,9 - 0,7 - 0,5 - 0,3 - 0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,6
Produk (-1,0+0,2x)(x) = = = = = = = = = =
0 - 0,45 - 1,05 - 1,25 - 0,45 - 0,45 + 0,55 + 1,95 + 3,75 + 4,80
Elevasi pd lgkgn 426,34 425,89 425,29 425,09 425,29 425,89 426,89 428,29 430,09 431,14
VI.2.3. Faktor-Faktor Penentu Panjang Lengkung Vertikal Pada pemilihan panjang dari lengkung vertikal diatas lengkungan cembung atau kedalam lengkungan cekung, perbedaan tanda aljabar dari kemiringan atau gradien merupakan faktor penentu, baik untuk jalan raya maupun kereta api. Faktor pertama penentu tersebut adalah visibilitas keamanan, kenyamanan, dan tampilan, sedang faktor penentu keduanya adalah rata-rata perubahan kemiringan. Dari titik tolak efisiensi operasional, kehalusan berkendaraan, bentuk-bentuk yang mengenakkan, lengkung vertikal seharusnya mempunyai panjang yang cukup untuk memfasilitasi perubahan kemiringan ke arah yang minimal. Dirjen Bina Marga merekomendasikan untuk lalulintas cepat, pada jalur utama rata-rata perubahan kemiringannya tidak melebihi 0,10 pada puncak (cembung) atau 0,05 pada lengkung
cekung. Dengan demikian apabila + 1,00 % kemiringan bertemu dengan – 0,20 % kemiringan (akan menghasilkan puncak), total perubahan kemiringan adalah – 0,20 – 1,00 = - 1,20; sehingga untuk memenuhi anjuran Dirjen Bina Marga, 1,20/L = 0,10, atau L = 12 stasiun (1.200 ft). Demikian pula dalam mempertimbangkan kenyamanan pada jalan raya maka ratarata perubahan kemiringan seharusnya dipertahankan masih dalam toleransi minimal. Ini adalah hal yang sangat penting pada lengkungan cekung, dimana gaya grafitasi dan sentrifugal bekerja pada arah yang sama. Lengkungan yang panjang lebih disukai daripada yang pendek, perubahan garis kemiringan yang halus itu lebih disukai dari pada beberapa garis patah-patah dengan kemiringan yang pendek-pendek. Lengkung punggung-patah (broken back curve) seharusnya dihindari. Untuk memenuhi kebutuhan minimum jarak pandang henti, dan penampilan, AASHO menspesifikasikan harga dari L tidak lebih pendek dari K.A, dimana A adalah perbedaan secara aljabar dari kemiringan dalam %, dan harga K adalah sbb :
30
40
50
60
70
Lengkg vert cembung...
28
50
80
150
240
Lengkg vert cekung......
35
50
70
100
140
Desain kecepatan,mph Harga K minimum untuk
VI.2.4. Lengkung tak simetris Gambar V.6 memperlihatkan lengkung parabola vertikal tak simetris yang menghubungkan tangen AV dan BV yang tidak sama panjangnya. Hal ini menjadi mungkin bahwa lengkung tak simetris akan menjadi lebih tepat sesuai kebutuhan dari pada lengkung simetris sama panjang biasanya.
Gambar VI.6. Lengkung vertikal tak simetris
Tangen AV dan BV tidak sama panjang, garis vertikal melalui V memotong lengkungan di C dan memotong talibusur AB di M. Titik M dan C bukan titik tengah dari talibusur AB maupun lengkung AB. Titik C merupakan titik terendah dan membagi dua sama besar dari VM
a. Offset e dari V (PI) ke lengkungan Sebagaimana sebelumnya, A = g2 – g1 = perbedaan kemiringan (secara aljabar) dari tangen AV dan BV, dan “e”adalah jarak vertikal dari V ke lengkungan. Misal l1 dan l2 masing-masing jarak lengkungan AC dan BC dalam stasiun dan L = l1+ l2 adalah jumlah jarak lengkungan, diasumsikan sebagai jarak dalam proyeksi horisontal. Divergensi vertikal dari kemiringan tangen VD dan VB (gbr V.6) adalah
(g2 – g1) ft per
stasiun, maka untuk l2 stasiun kita dapatkan : DB = (g2 – g1) l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Dari segitiga yang sama, DB/VM = L/ l1 , atau DB =
L L VM = × 2e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) l1 l1
Reduksi persamaan (a) dan (b), mendapatkan : e=
g 2 g1 .l1 .l 2 .......................................................... (VI.10) 2L
Bila diambil l2 = l1 =1/2L, Persamaan (VI.10) akan tereduksi ke persamaan (VI.3)
b. Elevasi dalam besaran e Elevasi Ex untuk sembarang titik pada lengkungan dinyatakan sebagai berikut : Untuk bagian yang kiri AC : 2
x Ex = Ea + g1x + l1
.e ........................................................ (VI.11)
Untuk bagian yang kanan BC : 2
x Ex = Eb + g2x + l2
.e ........................................................ (VI.12)
Eb = elevasi titik PT dan tanda negatip diberikan pada
g2x karena arahnya
terbalik, x didasarkan dari titik B atau PT c. Elevasi dalam istilah “rata-rata perubahan kemiringan” Bila r1 dan r2 adalah ”rata-rata perubahan kemiringan” dari tangen AV dan VB hal ini berlaku :
g2
g1 l 2 . L l1
Sekarang
e=
r1 =
dan
r2 =
g2
g1 l1 . . . . . . . . . . . . . . . (a) L l2
g 2 g1 .l1 .l 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) 2L
Sebagaimana pada persamaan (68), (b) dibagi dengan (a), kita dapatkan : e 1 2 = l1 r1 2
dan
sehingga dari padanya e=
e 1 2 = l2 r2 2
1 2 r1l1 2
dan
e=
1 2 r2 l 2 . . . . . (c) 2
Subtitusikan (c) pada persamaan (VI.11) dan (VI.12), didapat : Ex = Ea +g1x+ Ex = Eb + g2.x +
1 r1 .x 2 ....................................................... (VI.13) 2 1 r2 .x 2 .............................................. (VI.14) 2
Persamaan (VI.13) dan (VI.14) memberikan elevasi titik-titik pada bagian kiri dan bagian kanan pada lengkungan yang tidak simetris.
Sebagai kontrol (cek), elevasi titik C yang berhadapan dengan vertek V harus sama baik dihitung dengan persamaan (VI.13) maupun (VI.14).
Gambar VI.7
Contoh Diketahui : tangen AV = + 5% bertemu dengan tangen VB = -7,0% pada stasiun 32+00 dengan elevasi : 115,00 ft. Tangen tsb tidak sama panjang; l1 = 300 ft (3 stasiun) dan l2 = 400 ft (4 stasiun); jarak lengkungan L = 700 ft. Ditanyakan : elevasi disetiap stasiun pada lengkungan. Solusi : r1 =
r2 =
g2
g1 l 2 . = L l1
12 4 . = - 2,2857 7 3
1 r1 = -1,1428 2
g2
g1 l1 . = L l2
12 3 . = - 1,2857 7 4
1 r2 = -0,6428 2
1 Ex = Ea + g1x + r1x2 2 Ex =Eb+ g1x +
1 2 r2 x 2
(g1+½r1x)= 5,0-1,1428.x (-g2 + ½r2x)= 7,0 – 0,6428x
X Stasiun
5,0-1,1428x
sts
29+00PC 0
X
5,0
Perkalian =
0
Elev pd lkgn 100,00
Perbedaan
+3,86 30
1
X
3,8572
=
+ 3,86
103,86
2,29 +1,57
31
2
X
2,7144
=
+ 5,43
105,43
2,29 -0,72
32
3
X
1,5716
=
+ 4,71
104,71
7,0-0,6428x 32
4
X
4,4288
=
+ 17,71
104,71
33
3
X
5,0716
=
+ 15,21
102,21
34
2
X
5,7144
=
+ 11,43
98,43
35
1
X
6,3572
=
+ 6,36
93,36
-2,50 1,28 -3,78 1,29 -5,07 1,29 -6,36 36+00PT 0
X
7,0
=
0,0
87,00
Catatan : Perbedaan yang ke dua menjadi konstan untuk setiap bagian lengkungan, sepanjang AC menjadi – 2,29 dan sepanjang CB
menjadi – 1,29
Soal : Lengkung vertikal parabola tidak simetris terdiri dari g1 = + 5,0% bertemu dengan g2 = 5,0% pada stasiun 20+00, dimana elevasinya = 100,00 ft. Panjang lengkung 10 stasiun (L) dan l1 = 6 stasiun, l2 = 4 stasiun. a.
Berapa harga perubahan kemiringan di bagian kiri dan kanan dari lengkungan ?
b.
Berapa besar elevasi pada stasiun 17+00 dan 22+00 ?
c.
Tabulasikan elevasi pada setiap stasiun secara berturutan !
VI.2.5. Titik balik pada lengkung vertikal Titik balik adalah titik tertinggi atau terendah pada profil dari lengkungan. Titik ini umumnya tidak secara vertikal berada dibawah atau di atas dari PI, tetapi pada sisi sebelah
kanan atau kiri dari lengkungan dimana kemiringannya disitu nol atau menjadi horisontal, sebagaimana pada titik H pada gambar 65. Ini perlu dihitung tidak saja untuk posisinya, tetapi juga elevasinya. Titik terendah digunakan dalam kaitan dengan permasalahan drainasi dan pada arah kedepan berkaitan dengan kebebasan pandangan dari halangan bangunan-bangunan. Hal ini harus diperhatikan bahwa rerata perobahan tingkat kemiringan untuk lengkungan cekung adalah positif. Perlakuan pertama pada lengkung parabola simetris, rumusan-rumusannya diderivativ dari bentuk-bentuk yang sama, digunakan pula untuk lengkungan tidak simetris.
Gambar VI.8. Titik tertinggi pada lengkung vertikal
a.
Posisi titik balik.
a.1. Lengkung simetris. Posisi dan elevasi sembarang titik pada lengkungan dinyatakan dengan persamaan (66) yaitu Ex = Ea + g1x + (½r)x2 ....................................... (VI.15) Untuk harga maksimal atau minimal, dEx/dx=0, akan memberikan
g1+rx = 0,
kemudian, penyelesaian harga x , kita akan mendapatkan jarak xt (dalam stasiun) dari PC ke titik balik, xt = -
g1 g1 L = .................................... (VI.16) r g1 g 2
Untuk lengkung cembung biasa, g1 positif dan r negatip; untuk lengkung cekung, g1 negatif dan r positif. Oleh karena itu, jarak xt akan menjadi positif dalam semua kasus.
Contoh 1. Lengkung parabola g1=-5% bertemu dengan g2 = + 4% pada stasiun 27+00, panjang lengkung vertikal 600 ft. Hitung posisi titik terendah pada lengkungan. Penyelesaian : xt =
g1 L 5 6 30 = = = 333,3 ft dari PC. g1 g 2 5 4 9
a.2. Lengkung tak simetris. Dengan mengambil dEx/dx=0 pada persamaan (VI.13) dan (V.14) dan mereduksinya, kita dapatkan
dan
x1 = -
g1 g1 L l1 = . ........................................(VI.17) g1 g 2 l 2 r1
x2 =
g2 g 2 L l2 = . ....................................... (VI.18) r2 g 2 g1 l1
dimana x1 = jarak dari PC ke titik balik pada sisi sebelah kiri, dan x2 = jarak dari PT ke titik balik pada sisi sebelah kanan. Harga dari x1 dan x2 (dalam stasiun) tidak melebihi masing-masing l1 dan
l2 .
b. Elevasi titik balik b.1. Lengkung simetris.
Subtitusi persamaan (VI.17) kedalam (VI.18) dan
kurangkan, kita dapatkan : 2
2
1 g 1 Lg1 Em =Ea - . 1 = Ea - . .............................. (VI.19) 2 r 2 g 2 g1
Dimana Em = elevasi dari titik balik
Contoh 2. Sebuah parabola vertikal terdiri dari g1=-5% bertemu dengan g2 = + 4% pada stasiun 27+00. Panjang lengkung vertikal 600 ft, elevasi PC = 100,00 ft. Hitung elevasi pada titik terendah ! Hitungan
1 6( 5) 2 Em = 100,00 - . = 100,00 – 8,33 = 91,67 ft. 2 4 ( 5)
b.2. Lengkung tak simetris Subtitusi persamaan (VI.17) dan (VI.18) kedalam (vi.1.3) dan (vi.14) dan mengurangkannya, kita dapatkan :
1 g E1 = Ea - . 1 2 r1 E2 = Eb -
1 g2 2 r2
2
2
l 1 Lg1 Ea - . . 1 ......................(VI.20) 2 g 2 g1 l 2
=
2
2
= Eb -
l 1 Lg 2 . . 2 ...................... (IV.21) 2 g 2 g1 l1
Dimana E1 dan E2 = masing-masing elevasi dari titik balik pada sisi sebelah kiri dan sebelah kanan.
BAGIAN II : KASUS KHUSUS
VI.3. Lengkungan Melalui Titik yang Ketinggiannya Tertentu Apabila lengkung simetris (tangennya sama), hal ini dapat dibuat agar lengkungan melalui suatu titik yang posisi dan ketinggiannya sudah ditentukan, dengan cara subtitudi dari data yang diketahui pada persamaan (66) dan mendapatkan L, panjang lengkungan, sebagaimana yang diperlihatkan dalam contoh berikut ini.
Contoh 1. Diketahui g1 = - 4%, g2 = 3,6%, Ea = 375,62 ft pada stasiun 82+40. Ditanyakan berapa panjang lengkung vertikal yaang akan melalui tsasiun 90+00 dengan elevasi/ketinggian 386,08 ft. Penyelesaiaan X = 90,00 – 82,40 = 7,6 stasiun;
r=
g2
g1
7,6 3,8 ; ½r = L L
L
Dengaan persamaan (66) kita punya Ex = Ea + g1x + ½r.x2; Hal ini berarti 368,08 = 375,62 – 4(7,6) + sehingga daripadanya didapat
3,8 7,6 L
2
219,488 L
atau
22,86
L=
219,488 22,86
9,6 stasiun = 960 ft
Contoh 2. Diketahi g1 = - 1,2% bertemu dengan g2 = + 1,8% pada stasiun 23+40 dengan elevasi 209,04 ft. Berapa panjang lengkungan yang akan melalui stasiun 24 + 00 yang mempunyai elevasi 211,56 ft.
Penyelesaian r=
g2
g1 L
1,8 ( 1,2) L
3,0 L
. . . . . . . . . . . . . . . .(a)
Ea =Ev – g1 × ½L = 209,04 + 0,6 L. . . . . . . . . .(b) Stasiun dari PC = 23,40 - ½L .... . . . . . . . . . (c) x = jarak (stasiun) dari PC ke stasiun 24+00 = 0,6 + ½L. (d) g1x = - 0,72 – 0,6L . . . . . . . . . . . . . . . . . (e)
1,5 (½r)x = 0,6 L 2
1 L 2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (f)
Subtitusi (b), (e) dan (f) ke (66) kombinasi istilah, dan memperhatikan bahwa Ex = 211,56 kita dapatkan
3 L 2,34 8
0,54 L
0
atau
L2
6,24 L 1,44
0
dari padanya kita peroleh L = 6 stasiun atau 600 ft.
VI.3.1. Perobahan Posisi dari Tangen Depan Kemiringan
tangen depan dipercuram atau diperlandai, sementara PC dan
kemiringan tangen sebelumnya / belakangnya tidak mengalami perubahan. Seperti berikut ini : lengkung lama g1 , g 2 , L, r sementara lengkung baru g1 , g 2* , L* , r *
Contoh. Diketahui g1=3,0%, g2 = - 5,0%, L = 6 stasiun. Tangen ke depan diperdatar sehingga g2* = - 3,4%. Anggaplah PI akan digeser ke depan dari stasiun 27+00 (elevasi 601,70 ft) ke stasiun 28+00 (elevasi 604,70) sedemikian hingga L* = 8 stasiun, sementara PC posisinya tetap (elevasi 592,70 ft). Hitung elevasi sepanjang lengkung yang baru.
Penyelesaian Eb* (PT yang baru) = Ev*+g2*×½L*=604,70–3,4×4 = 591,10 ft r* =
g 2*
g1 L
3,4 3,0 8
6,4 8
0,8;
½r*= - 0,4
Dengan persamaan (67) Ex* = Ea + (g1+½r*x) ×(x);
g1+½r*x = 3,0 – 0,4x
Sts 24+00PC
X sts 0
=
Perkali an 0
Elv pd lgkgn 592,70
x
3,0-0,4x 3,0
25
1
x
2,6
=
+ 2,6
595,30
26
2
x
2,2
=
+ 4,4
597,10
Perbedaan
2,60 0,80 1,80 0,80 1,00 27
3
x
1,8
=
+ 5,4
598,10
0,80 0,20
28
4
x
1,4
=
+ 5,6
598,30
0,80 -0,60
29
5
x
1,0
=
+ 5,0
597,70
0,80 -1,40
30
6
x
0,6
=
+ 3,6
596,30
0,80 -2,20
31
7
x
0,2
=
+ 1,4
594,10
0,80 -3,00
32 PT
8
x
-0,2
=
- 1,6
591,10
VI.4. Lengkung Vertikal Bolak-Balik Dua lengkung vertikal AB dan BD (gambar 66) mempunyai titik tangen sekutu di B, menggambarkan perpindahan alinemen vertikal dari dua buah lengkung jalan.
Gambar VI.9. Lengkung vertikal bolak-balik
g1 dan g3 = kemiringan tangen awal dan akhir, g2 = tangen sekutu. L1 dan L2 = panjang lengkung pertama dan kedua, L = L1 + L2 Ea , Eb , Ed = masing-masing elevasi dari titik A, B, D H1 = Eb - Ea = beda tingggi dari titik B dan A H2 = Ed - Eb = beda tinggi dari titik D dan B H = Ed - Ea = beda tinggi dari titik D dan A r1 , r2 = rata-rata perubahan kemiringan dari lengkung pertama dan ke dua.
g2
Kemudian r1
r2
g1
atau
L1 g3
g2
atau
L2
g2
L1 L2
g1 r1
g3
g2 r2
; . . . . . . . . . . (a)
. . . . . . . . . . . . . (b)
Tambahkan (a) dan (b),
L
g2
g3
g1 r1
g2 r2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c)
Penyelesaaian (c) untuk g2, kita dapatkan
g2
r1 (r2 L g 3 ) r2 g1 r2 r1
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . (d)
Dengan diketahuinya g2 dar (d), harga / besaran L1 dan L2 dapat dapat dihitung dari persamaan (a) dan (b). Berikutnya, kita punya
Elevasi B = elevasi A+g1×½L1+g2×½L1 Disini
Eb =Ea+(g1+g2)×½L1
Sehingga
H1=Eb – Ea = (g1+g2)× ½L1 . . . . . . . . . .(e)
Dengan cara yang sama Elevasi D = elevasi B+g2×½L2+g3× ½L2 Hal ini menjadi
Ed = Eb+(g2+g3) × ½L2
Sehingg menjadi H2 = Ed – Eb = (g2+g3) × ½L2 . .. . . . . . .(f) H = H1 + H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (g) Subtitusi dari data yang diketahui pada persamaan (a) sampai (g), parameter lain bisa diperoleh dengan menyelesaikan persamaan terakhir secara simultan. Tanda dari notasi yang digunakan harus mengikuti penggunaan dari persamaan ini : plus untuk kemiringan naik dan minus untuk yang menurun. Menurut aturan ini, r1 (atau r2) adalah positif untuk lengkung cekung dan negatif untuk cembung.
Contoh 1. Diketahui g1= 4% dan g2= 6% dan L = 4 stasiun. Hitung harga dari g2 , L1, L2 , H1, H2, dan H Pemecahan. Asumsikan r1 = -2 , r2 = 3, subtitusikan pada persamaan (d) didapatkan
g2
( 2)(12 6) 3(4) 5
Kemudian
L1
0 4 2
2
12 12 5 L2
H1 = (g1+g2)×½L1 = 4 ft
0
6 0 3
2 stasiun
H2 = (g2+g3)×½L2 = 6 ft
H = H1 + H2 = 4 + 6 = 10 ft Contoh 2. Diketahui g1 = 2%, g3 = 4%, dan H = 18 ft Hitung:
g2, , L1, L2 , L.
Solusi. Asumsikan r1 = - 0,5, r2 = 0,5. Disini dari data yang diketahui akan disubtitusikan pada persamaan-persamaan sbb: Dari persamaan (g) kita dapatkan : H1 + H2 = H = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (h) Sekarang H1 = (g1+g2)×½L1 =
g 22
g12 2r1
g 22 4,0 . . . . . . . . . . (i) 2( 0,5)
g 22 g 32 H2 = (g2+g3)×½L2 = 2r2
Juga,
16 g 22 . . . . . . . . . . (j) 2(0,5)
Subtitusi (i) dan (j) ke (h) dan dihitung, kita mendaapatkan g2 = 1,0%, kemudian,
L1
1,0 2,0 0,5
2,0 ; L2
4,0 1,0 0,5
6,0 L
2,0 6,0
8 stasiun
VI.5. Soal-soal latihan. 1. Dua buah garis profil masing-masing dengan kemiringan + 5% dan – 4% berpotongan pada stasiun 92+00, dan panjang lengkung vertikal 800 ft ( 8 stasiun ) a.
Berapa rata-rata perobahan kemiringanny ? (Jwb -1,125)
b.
Hitung besarnya offset (e) dari PI ke pertengahan lengkungan ? (Jwb – 9,0 ft)
c.
Berapa besar tangen offset pada stasiun 90+00 pada lengkungan ? (Jwb – 2,25 ft)
d.
Hitung elevasi setiap stasiun sepanjang lengkungan!
2. Dua buah garis tangen yang berpotongan masing-masing dengan kemiringan – 3% dan + 5% pada stasiun 112+00 padaa eelevasi 674,50 ft. Panjang lengkungan 6 stasiun. a.
Berapa besar rata-rata perobahan kemiringan dan berapa besar offset dari PI ke lengkungan ? (Jwb r=1.333; e=6,00 ft)
b.
Berapa elevasi dari stasiun 111+00 pada lengkungan ? (Jwb 680,17 ft)
c.
Hitung elevasi setiap stasiun disepanjang lengkungan !
3. Sebuah garis dengan kemiringan + 6% berpotongan dengan garis dengan kemiringan + 2% pada stasiun 49+00, dimana elevasi pada titik potong tersebut = 842,20 ft, panjang lengkungan 4 stasiun. a. Berapa rata-rata perobahan kemiringan ? Berapa besar offset dari PI ke lengkungan ? (Jwb r=-1,00,e=-2,00 ft) b. Berapa elevasi pada lengkungan di stasiun 50+00! (Jwb 843,70 ft) c. Hitung elevasi pada lengkungan disetiap stasiun !
4. Dua profil jaalan kereta api dengan kemiringan masing-masing - 0,286 % dan + 0,308% pada stasiun 80+00 elevasinya 846,52 ft, dan panjang lengkung vertikal 12 stasiun. Berapa rata-rata perobahan kemiringannya ! (jwb r=0,0495) 5. Kemiringan – 6% berpotongan dengan + 4% pada stasiun 160+00 dimana elevasinya = 400,20 ft dan panjang lengkung vertikal 8 stasiun. a.
Berapa elevasi dari titik tengah lengkungan ! (Jwb 410,20 ft)
b.
Dimana posisi dan elevasi dari titik terendah pada lengkungan ? (Jwb sta 160+80; 409,80)
6. Kemiringan + 5% berpotongan dengan – 5% pada stasiun 20+00 pada elevasi 100,00ft. Lengkung vertikal tak simetris ini panjangnya 10 stasiun, dimana L1 = 6 stasiun dan L2 = 4 stasiun a.
Berapa besar perobahan kemiringan dibagian kiri dan kanan dari lengkungan ! Berapa offset (e) dari PI ke lengkungan ! (Jwb r1=-0,667; r2= -1,50; e=12,00 ft)
b.
Berapa elevasi pada stasiun 17+00 ? (Jwb 82,00 ft)
c.
Berapa elevasi pada stasiun 22+00? (Jwb 87,00 ft)
d.
Tabulasikan elevasi setiap stasiun sepanjang lengkungan !
7. PC dari lengkung vertikal adalah pada stasiun 80, elevasinya 100,00ft. Untuk setiap lengkung dari ke enam lengkungan dibawah ini, hitunglah elevasi disetiap stasiun disepanjang lengkungan tersebut !
No.Lkgn
g1,%
g2,%
L (ft)
1
+3
+5
1000
2
+3
+2
600
3
+3
-5
2000
4
-4
-5
600
5
-4
-2
1000
6
-4
+5
2000
Tugas : Mahasiswa diberikan tugas untuk menyelesaikan tugas mingguan (soal latihan) mandiri, dan diskusi kelompok dengan materi yang ada dalam pokok bahasan pada minggu ini.Setiap kelompok materi telah ditentukan, masing-masing kelompok tidak sama.
Latihan dan praktukum : Setiaap regu (kelompok) melalukan praktikum pemasangan/setting out detil busur parabola baik secara horizontal dan vertikal,.
Rangkuman : Bahwa untuk kenyamanan dan keselamatan berkendaraan alimen geometri selain busur lingkaran juga bisa dengan busur parabola yang notabene mempunyai kelebihan komparatif disbanding dengan busur lingkaran. Selain alinemen secara horizontal, alimen vertikalpun sangat urgen dalam desain rute jalan raya, baik yang berupa lengkung cekung maupun cembung.
Referensi 1. Banister, A. & Raymond, S., 1977, Surveying, Fourth Edition, The university Press, Belfast. 3. Hickerson, T.F., 1964, Route Location and Design, Fifth Edition, Mc. Graw-Hill Book Company, New York. 5. Kavanagh,B.F.,1997. Surveying with Construction Application, Prentice Hall Inc, New Jersey. 6. Meyer, C.F., 1970, Route Surveying, Mc Graw-Hill Book Company, New York. 8. Tumewu, L,1977, Route Survey, Departemen Geodesi FTSP-ITB, Bandung.
