www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
M IKROFIZIKA Atomok és molekulák Avogadro törvénye A hidrogén a kémiai elemek között a legkönnyebb, részecskéi (atomjai) a legkissebbek. (A hidrogén kétatomos gáz, egyatomos állapotban nem fordul el˝o. Molekulája két atomból áll, a hidrogénmolekula tömege kétszerese egy hidrogénatom tömegének. Ezt az egyszer˝u tényt úgy fejezzük ki, hogy a hidrogén molekulatömege 2 g.) A molekulatömeg fogalma jól ismert kémiából. Egy kémiai anyag, például valamely gáz, M molekulatömege (grammban mérve) azt fejezi ki, hogy ennek az anyagnak egy molekulája hányszor nagyobb tömeg˝u, mint egy hidrogénatom. Bizonyos anyagok, mint például a fémek és egyatomos gázok esetén az anyagnak egy molekuláján egy atomját értjük, ilyenkor atomtömegr˝ol is beszélhetünk. A hidrogéngáz molekulatömege tehát: MH2 = 2 g. Tudjuk, hogy a hélium egyatomos gáz, molekulatömege, vagyis atomtömege MHe = 4 g, a nitrogén kétatomos gáz, molekulatömege MN2 = 28 g, az oxigén is kétatomos gáz, molekulatömege: MO2 = 32 g, az ammónia négyatomos gáz molekulatömege: MNH3 = 17 g. A leveg˝o – túlnyomórészt a kétatomos oxigén és a kétatomos nitrogén keveréke –, átlagos molekulatömege 29 g. A szén-dioxid háromatomos gáz, a molekulatömege MCO2 = 44 g, hiszen a szén atomtömege MC = 12 g.1 A kémiában (és a termodinamikában) az anyag mennyiségének általánosan használt egysége a mol. Ez az anyag m tömegének és M molekulatömegének hányadosa: m n= . M Ebb˝ol látszik, hogy n mértékegysége [n] = 1.2 Avogadro nagy jelent˝oség˝u felismerése, hogy bármely anyag 1 mol-nyi mennyiségében ugyanannyi molekula (vagy atom) van. Ezt a számot pontosan Loschmidt3 határozta meg és 6 · 1023 -nak találta. Ezt hagyományosan L-lel jelöljük és Avogadro- vagy Loschmidt-számnak nevezzük. Így az anyag 1 mol-nyi mennyiségének tömege – vagyis L = 6 · 1023 számú részecskéjének összes tömege – a molekulatömeg. Például az, hogy a szén molekulatömege (azaz atomtömege) MC = 12 g, azt jelenti, hogy 6 · 1023 szénatom tömege 12 g. Ebben a felfogásban az anyag moláris mennyiségét kifejez˝o n = m/M arány azt mondja meg, hogy az anyag részecskéinek száma hányszorosa az L = 6 · 1023 Loschmidt-számnak. Illusztráljuk ezt az egyszer˝u elméletet egy példával! A H2 O molekulában az oxigénatom tömege 16-szor nagyobb egy hidrogénatom tömegénél. Határozzuk meg, hogy hány vízmolekula van 1 liter vízben! A megoldáshoz jelöljük N -nel az 1 liter vízben lév˝o vízmolekulák számát! Az atomok között a hidrogénatom a legkisebb, így a hidrogén atomtömege 1 g, következésképp az oxigén atomtömege 16 g. A vízmolekulában két hidrogénatom és egy oxigénatom van, ezért a víz molekulatömege MH2 O = 18 g. Ez azt jelenti, hogy 18 g tömeg˝u – azaz 1 mol – vízben 6 · 1023 számú vízmolekula van. Mivel pedig 1 liter víz tömege4 1 kg = 1000 g, következésképp 1 liter vízben 1000/18 = 55, 55 mol mennyiség˝u anyag 1 Régies elnevezés, de ma is használjuk a molekulasúly elnevezést is. Ebben a tekintetben nagyvonalúak lehetünk, hiszen a köznapi beszédben is a testsúlyunkról beszélünk, a dolgozatfüzetet és a ruhaszövetet is kockásnak mondjuk. Az nem tudományos botrány, ha néha évtizedekkel ezel˝otti gyakori szavakat használunk. 2 A mol tehát az 1 szám itt szokásos elnevezése, olyan, mint a radiánban mért szög: α = ívhossz sugár . 3
Érdemes megtekinteni a http://kemia.bjg.hu/Betuk/a/avogadro.html és a http://www.kfki.hu/ cheminfo/hun/olvaso/histchem/mol/loschm2.html oldalakat. 4 Világos, hogy ez nem a természet rejtélyes egyezése, nem is „pontos mérésekre” hivatkozva állítjuk. Ezzel szemben arról van szó, hogy a tömeg egységének 1 liter víz tömegét választottuk. Mi akartuk így, ez a fizikusok döntése volt.
1
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
van. Ebb˝ol könnyen kapjuk, hogy 1 liter vízben N = 55, 55 · 6 · 1023 = 333 · 1023 számú molekula van. Fontoljuk meg, a következ˝ot! Érdekes következményhez jutunk, ha figyelembe vesszük a kontinummehanika egyik egyszer˝u feladatát. Ott azt kaptuk, hogy az 1 m2 -es strandsz˝onyegre a leveg˝o 105 N er˝ot fejt ki.5 A sz˝onyeg fölött 1 m2 keresztmetszet˝u függ˝oleges leveg˝ooszlop tömege – nagyjából – 104 kg = 107 g. A leveg˝o többféle molekulából áll, de átlagos molekulatömege Mlev. = 29 g. Így a strandsz˝onyeg fölötti függ˝oleges leveg˝ooszlopban – közelít˝oleg – 107 g ≈ 3, 448 · 105 , 29 g azaz 345 ezer mol anyag van. Ez pedig azt jelenti, hogy a strandsz˝onyeg fölött 3, 448 · 106 cot = 6 · 1023 = 2 · 1029 leveg˝omolekula lebeg. Gondoljuk tovább! A Föld sugara R = 6370 km = 6370 · 103 m, ezért6 a Föld felszíne 5, 1 · 1014 m2 . A Föld légkörében körülbelül 1044 számú molekula van. (Ennek mintegy egy ötöde oxigén, tehát a légkörben „rendelkezésünkre álló” oxigénmolekulák száma 2 · 1043 .) Oldjuk meg a kiövetkez˝o egyszer˝u problémát! A hélium atomtömege 4 g, azaz 1 mol hélium tömege 4 g. Határozzuk meg, hogy hány héliumatom van 0,32 g héliumgázban! A megoldáshoz fel kell használni, hogy az m tömeg˝u M atomtömeg˝u hélium molban mért anyagmenym nyisége: n = M , a mi esetünkben n = 0,32 4 = 0, 08 mol. Avogadro törvénye szerint n molnyi anyag részecskéinek száma N = nL = 0, 08 · 6 · 1023 = 4, 8 · 1022 . Ez a feladat is nagyon hasonló. A réz s˝ur˝usége 8960 kg/m3 atomtömege 63,5 g. Hány rézatom van 1 kg tömeg˝u réztömbben? Mekkora térfogat jut egyetlen atomra? 1000 m = = 15, 75 mol A megoldáshoz abból az egyszer˝u tényb˝ol indulunk ki, hogy a réztömb n = M 63, 5 anyagot tartalmaz, ezért az atomok száma N = nL = 15, 75 · 6 · 1023 = 9, 4488 · 1024 . 1 M = = 1, 116 · 10−4 m3 . Másrészt V = 8960 Egyetlen atomra jutó térfogat υ=
V 1, 116 · 10−4 = 1, 18 · 10−23 m3 , = N 9, 4488 · 1024
másként szólva egyetlen atomra jutó térfogat 1, 18 · 10−23 köbmilliméter. Az egy atomra vagy egy molekulára jutó térfogatot fajlagos térfogatnak nevezzük. A fajlagos térfogat azonban nem egy atom (molekula) térfogata, a fajlagos térfogat csak akkor lehetne egy részecske térfogata, ha ezek nagyon szorosan összeprésel˝odve alkotnák a testet.
Az atommag szerkezete „els˝o látásra” Egy elem atomtömegének nagyságát (szemléletesen szólva a „mértékegység nélküli értékét”) az elem tömegszámának nevezzük. A hidrogén tömegszáma 1, a hélium tömegszáma 4, a nitrogén tömegszáma 14, az oxigéné 16, a szén tömegszáma 14. Egy elem tömegszám azt mutatja, hogy ennek az elemnek egy atomja hágyszor nagyobb tömeg˝u, mint egy hidrogénatom tömege. Lehetséges azonban, hogy egy 5 6
Ezt persze ellensúlyozza a strand homokja által kifejtett er˝o. Itt az alkalom, ismételjük át a kör kerületével, területével, a gömb felszínével, térfogatával kapcsolatos elemi tudnivalókat!
2
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
eleme tömegszáma nem egész szám, példá˝uul a klór tömegszáma: 35,453. Ennek az a magyarázata, hogy ennek az elemnek két (vagy több) különböz˝o atomtömeg˝u változata (izotópja) létezik. A kémiai elem különböz˝o atomtömeg˝u izotópok keveréke. Az iskolai föggvénytáblázatban megtalálható Mengyelejevféle peridódusos rendszert bemutató táblázatban az elem jele mellett olvasdható az elem tömegszáma. A periódusos renszerben a 34-dik helyen található szelén (Se) tömegszáma 79,0 , a 26. helyen található vas (Fe) tömegszáma 55, 9 ≈ 60. Egy elem periódusos renszerben elfoglalt helyének sorszámát az elem rendszámának nevezzük. A rendszámot gyakran Z-vel jelöljük. A hidrogén rendszáma 1, a hélium rendszáma 2, az oxigéné 8, a széné 29. A hidrogénatom magja egy protonból áll. A proton egységnyi pozitív töltés˝u részecske. Az elem renszáma azt mutatja meg, hogy az illet˝o elem atommagja hányszorosa a hidrogén atommag töltésénéek, más szóval a rendszám: az elem atomagjában található protonok száma. A semleges atommagban a protonok száma egyenl˝o a mag körül kering˝o – pontosabban a magot körülölel˝o elektronfelh˝oben található – elektronok számával. Az elektron – jele: e− (= e) – egységnyi negatív töltés˝u részecske. A proton tömege 1836,1-szerese az elektron tömegének, ezért jó közelítéssel elfogadhatjuk, hogy a proton tömege egyenló egy hidrogénatom tömegével. mp+ = 1, 67 · 10−27 kg qp+ = +1, 60 · 10−19 C, A magban található pozitív tömeg˝u protonok azonos tulajdonságúak a hidrogénatom magjával.7 Nehéz elemek atommagjában található protonok bomlása megfigyelhet˝o (gyenge kölcsönhatás) A proton gyakran használatos jele: p+ , tömege megegyezik a hidrogénatom magjának tömegével, töltése egyenl˝o az elektron töltésével, pontosabban: annak negatívja: me− = 9, 1 · 10−31 kg qe− = +1, 60 · 10−19 C, A magban található másik részecske a neutron, jele n. A neutron semleges töltés˝u, tömege megegyezik a proton tömegével:8 mn = 1, 674927 · 10−27 kg qn = 0 C, A magot felépít˝o protonokat és neutronokat nukleonoknak nevezzük. A nukleonok nagyjából azonos tömeg˝uek és vagy semlegesek (a neutronok) vagy egységnyi pozitív töltéssel rendelkeznek (protonok).9 7 A protont 1918-ban Ernest Rutherford fedezte fel. A nitrogéngáz vizsgálatakor észrevette, hogy amikor alfa-részecske csapódott a gázba, akkor a szcintillátor hidrogént jelzett. Kimutatta, hogy az csak a nitrogénb˝ol jöhet, tehát a nitrogénnek tartalmaznia kell a hidrogén atommagot, az egyes tömegszámú atomot. A protont a görög els˝o (protos) szóról nevezte el. (1932-ig nem volt ismert a neutron, és az atommag szerkezete sem.) Mindezidáig nem észleltek egyetlen eseményt sem, amib˝ol arra következtethetünk, hogy a proton elbomolhat. A szabad proton élettartama ∼ 1030 év. 8 1930-ban Walther Bothe és H. Becker azt találták, hogy ha nagy energiájú alfa-részecskékkel bizonyos könny˝u elemeket (berillium, bór, lítium) bombáznak, akkor egy rendkívüli áthatolóképesség˝u sugárzás keletkezik. A neutront végül James Chadwick fedezte fel, aki ezért Nobel-díjat kapott. (Tanulmányozzuk át a http://hu.wikipedia.org/wiki/Ernest_Rutherford http://hu.wikipedia.org/wiki/James_Chadwick oldalakat!) Azt feltételezte, hogy egy protonnal nagyjából egyez˝o tömeg˝u semleges részecske lök˝odik ki. Ezt a feltételezését több kísérlet elvégzésével igazolta is. A részecskét semleges volta miatt nevezték el neutronnak (neutral=semleges). Az atommagon kívüli, szabad neutron nem stabil, átlagos élettartama 15 perc, protonra, elektronra és anti-elektronneutrínóra bomlik: n → p + e− + ν e . 9 Itt érdemes elgondolkodni azon, hogy vajon könny˝u-e válaszolni arra a kérdésre, hogy „mit is jelent az, hogy egy testnek elektromos töltése van”. Most látszik, hogy ez bizony nehéz kérdés, nehéz lenne megvilágítani, hogy mi az a min˝oség, amely a protont elektromos állapotúvá teszi a semleges neutronnal szemben! A leghelyesebb, ha az elektromos töltést a tömeghez hasonlóan alapfogalomnak tekintjük. Az alapfogalmakat nem definiáljuk, ezért nem is illik a fenti kérdést feltenni.
3
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
A rádium rendszáma 88, tömegszáma 226. Egy kapszulában 4 mg rádium van. Hány rádiumatomot tartalmaz a kapszula? Hány elektron van ennyi rádiumban? Mennyi az elektronok összes tömege és mekkora az összes töltése? A rádium magjának tömege 226 hidrogénatom tömegével egyenl˝o, azaz 226·1, 67·10−27 = 3, 7710−25 kg, töltése a proton töltésének 88-szorosa, azaz 88 · 1, 60 · 10−19 = 1, 408 · 10−79 C. Az elektron egységnyi (e− = 1, 6 · 10−19 C) negatív töltés˝u, me− = 9, 1 · 10−31 kg tömeg˝u elemi részecske. Az atomokat a protonokból és neutronokból felépül˝o atommag és az azt körülvev˝o elektronfelh˝o alkotja. Az anyag kémiai tulajdonságait az atom elektronszerkezete szabja meg. A fémek elektromos vezetése az elektronok mozgására vezethet˝o vissza.10 A rádium rendszáma 88, tömegszáma 226. Mely és mennyi elemi részecskéb˝ol áll a rádiumatom magja? Mekkora egy rádiumatom magjának tömege és töltése? u nukleon van. A megoldás lényege a következ˝o. A 226 88 Ra rádium magjában 226 azonos tömeg˝ m −5 Az m = 4 mg = 0, 004 g tömeg˝u rádium mennyisége molban kifejezve: n = M = 0,004 226 = 1, 77 · 10 , −5 23 (azaz 17,7 mikromol), ezért ebben a mennyiségben N = nL = 1, 77 · 10 · 6 · 10 = 1, 062 · 1019 számú atom van. Jelöljük az elem rendszámot hagyományosan Z-vel! Most tehát Z = 88, vagyis egy rádiumatom magjában 88 proton van és a semleges atom héja 88 elektront tartalmaz. A vizsgált anyagban az elektronok összes tömege N · Z · me− = 1, 062 · 1019 · 88 · 9, 1 · 10−31 = 9, 66 · 10−10 kg = 8, 5 · 10−8 g . Továbbá az elektronok összes töltése N · Z · e− = 1, 062 · 1020 · 88 · (−1, 6 · 10−19 ) = −149, 5 C ≈ −150 C. Természetesen ugyanekkora pozitív töltése van a 4 mg rádium atommagjaiban az összes protonnak együttesen. Ez meglep˝oen nagy töltés.
Radioaktív bomlás A 238-as tömegszámú urán oxidja három uránatomból és nyolc oxigénatomból áll, a molekula tapasztalati képlete: U3 O8 . Határozzuk meg, hogy hány molekula van 120 mg uránoxidban! Az urán természetes rádioaktivitás folyamatában átalakul, a molekulák fele 4,5 milliárd (4, 5 · 109 ) év alatt bomlik el. Mennyi marad az U3 O8 uránoxidból 9 milliárd év múlva? Mennyi volt az uránoxid mennyisége 4,5 milliárd évvel ezel˝ott? A megoldáshoz induljunk ki abból, hogy az U3 O8 molekulában három 238-as tömegsámú uránatom és nyolc 16-as tömegszám˝u oxigén atom van. Ezért a vegyület molekulatömege M = 3·238+8·16 = 842 g. Ez azt jelenti, hogy 842 gramm U3 O8 -ban L = 6 · 1023 molekula van. Így tehát az m = 120 mg anyagm ban N = M L = 8, 55 · 1019 számú uránosid melekula található. A természetes rádioaktiovitás olyan folyamat, amelyben – bizonyos – atommagok „spontán”, véletlenszer˝uen átalakulnak. Ennek a jelenségnek a mérhet˝o mennyiségek szintjén az a legfontosabb tulajdonsága, hogy ha egy bizonyos rádioaktiv anyagnak N részecskéjéb˝ol ΔN bomlik el valamely adott id˝o alatt, akkor 2 · N részecskéjéb˝ol 2 · ΔN számú bomlik el ugyanennyi id˝o alatt. Szemléletesen fogalmazva: az ΔN/N arány nem függ N -t˝ol. Ha tehát 4,5 milliárd év alatt N = 8, 55 · 1019 számú uránoxid molekulának fele bomlik el, tehát fele, azaz N/2 = 4, 275 · 1019 számú uránoxid marad, akkor újabb 4,5 10
Az elektront J. J. Thomson fedezte fel 1897-ben Kimutatta, hogy a katódsugarak elektronokból állnak, 1909-ben R. A. Millikan meghatározta az elektron töltését.
4
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
milliárd év alatt az N/2 = 4, 275 · 1019 mennyiségnek ismét fele bomlik el, vagyis N/4 = 2, 1375 · 1019 részecske marad. Könnyen válaszolhatunk arra a kérdésre is, hogy mekkora volt a rádioaktív uránoxid mennyisége 4,5 milliárd évvel ezel˝ott. A rádioktív részecskék száma akkor 2 · 8, 55 · 1019 = 1, 71 · 1020 volt. De vigyázni kell, nem szabad visszafelé következtetni anélkül, hogy ismernénk a Világegyetem anyagának állapotait 4,5 milliárd, 9 milliárd, 13,5 milliárd éve. A rádioaktív bomlás törvénye kissé pontosabban fogalmazva azt állítja, hogy az elbomlott anyag mennyisége (a mennyiség csökkenése) arányos az anyag pillanatnyi értékével:ΔN ∼ −N, id˝oegységre vonatkoztatva: ΔN = −λN, Δt a negatív el˝ojel azt fejezi ki, hogy az anyag mennyisége a rádioaktivitás következétben csökken. Itt
ΔN Δt
1. ábra. a bomlás sebessége. Röviden N˙ -tal is jelöljük: N˙ = ΔN Δt , ennek abszolút értéke az anyag aktivitása. ΔN ˙ Mértékegysége bomlás/másodperc, azaz [N ] = [ Δt ] = 1/s, ezt itt becquerelnek nevezzük és Bq-val jelöljük. (1. ábra). Világos tehát, hogy ha valamely állandónak tekinhet˝o rádioaktív izotóp aktivitása például 0,3 MBq, azaz 300 000 Bq, akkor ezt azt jelenti, hogy másodpercenként 300 ezer atom bomlik el, és – mondjuk 5 perc alatt 5 · 60 · 300 000 = 90 000 000 számú bomlás következik be. Figyeljünk fel arra, hogy az aktivitás a rádioktív anyag (észecskeszámmal kifejezett) mennyiségének id˝oegségre es˝o megváltozása, nem nehéz felismerni, hogy a sebességgel rokon fogalom. Ez is érdekes, hogy a mértékegysége 1/s, amit Hz-cel is jelölhetnénk, tehát Hz=Bq, ez azonban nagyon szokatlan lenne. Jelöljük N0 -lal valamely rádioaktív anyagmennyiségét a 0 pillantban és jelöljük N (t)-vel t id˝o mulva. Ha visszatérünk a kit˝uzett feladathoz és T -vel jelöljük azt az id˝ot, amely alatt a rádioktav anyag t mennyisége felére csökken, akkor tehát t = T id˝o elteltével az anyag mennyisége N (T ) = N0 · 2− T = 2T N0 · 2−1 = N20 . De ha t = 2T , akkor N (t) = N (2T ) = N0 · 2− T = N0 · 2−2 = N40 , a kezdeti anyagmennyiség negyede marad. Ebb˝ol megsejthet˝o a reszecskeszám id˝ofüggése: t
N (t) = N0 2− T , vagyis a rádioaktív anyag mennyiségének id˝obeli változását exponenciális függvény írja le. Ezt írhatjuk a fizikában fontos hatványalap használatával. Matematikából tudjuk, hogy 2x = ln 2 · ex , ahol e ≈ 2, 71, a természetes logaritmus alapszáma. Ezért t
t
N (t) = N0 ln 2 · e− T = N0 · e− ln 2 T .
5
