Atomok és molekulák elektronszerkezete
Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete
Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely Nn magból és Ne elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre Ra , a = 1, ..., Nn és ri , i = 1, ..., Ne . Küls® er®k hiányában a rendszer nem-relativisztikus Hamilton operátora ˆ = Tˆn + Tˆe + Vˆ B , H (1) Tˆe az elektron kinetikai energia: Tˆe =
Ne Ne X ~2 X p2i =− ∆i 2m 2m i=1 i=1
(2)
m az elektron tömeg, pi az i-edik elektron impulzus operátora. Az utolsó kifejezést az elektron kinetikai energia koordináta reprezentációs alakja. Tˆn a magok kinetia energia operátora Tˆn =
Na Nn X ~2 X ∆a p2a =− , 2ma 2 a=1 ma a=1
(3)
ma az a-adik mag tömege, pa az a-adik atommag impulzus operátora.. Vˆ B a rendszer részecskéi közötti kölcsönhatás operátora Ne Nn X Ne Nn 1 Za Za Zb e2 X e2 X e2 X Vˆ B = − + 4πε0 i<j=1 rij 4πε0 a=1 i=1 rai 4πε0 rab a
(4)
Atomi egységek Az imént felírt Hamilton operátorban számos konstans szerepel. Az írásmód egyszer¶sítése miatt bevezetjük e2 az ú.n. atomi egységeket, amelyeket úgy de niálunk, hogy a Hamilton operátorban szerepl® 4πε , ~, m 0 konstansok mér®száma 1 legyen. Ebben a mértékegység rendszerben a hosszúság egysége a bohr 1bohr =
az energia egysége 1hartree =
~2 = 0.529177249 × 10−10 m´ eter, me2
(5)
e2 = 27.2113961 eV = 4.3597482 × 10−18 J, a20
(6)
ahol a0 az ú.n. Bohr sugár (a0 = 0.529177249 × 10−10 m). A tömeg egysége az elektron tömege 1 atomi t¨ omegegys´ eg = 9.1093897 × 10−31 kg
A Hamilton operátor atomi egységekben ˆ = −1 H 2
Ne X i=1
∆i −
Nn Ne Nn X Ne Nn X X X 1X ∆a 1 Za Za Zb + − + 2 i=1 ma i<j=1 rij a=1 i=1 rai rab a
(7)
Az atommagok és elektronok mozgásának szétválasztása Tudjuk, hogy a kvantummechanikai sokrészecske probléma - a klasszikus mechanikaihoz hasonlóan- néhány egyszer¶ esett®l eltekintve nem megoldható. Az atomi és molekuláris rendszerek kvantummechanikai leírása ezért közelít® módszerek alkalmazását jelenti. Bonyolultabb rendszerek esetén azonban a közelít® módszerek alkalmazása is komoly nehézségekbe ütközik. Az els® széleskör¶en alkalmazott közelítés az atommagok és elektronok mozgásának szétválasztása. Ez a szétválasztás azon alapul, hogy a magok jóval lassabban mozognak a rájuk ható elektromágneses tér hatására mint az elektronok. Ennek az az oka, hogy a magok tömege három nagyságrenddel nagyobb mint az elektronoké (a proton tömege 1836-szorosa az elektron tömegének). A nagy tömegkülönbség azzal a következménnyel jár, hogy az elektronok nagyon gyorsan követik a magkon guráció változását. Az alábbiakban matematikai formába öntjük az iménti állításunkat. Bontsuk a teljes Hamilton operátort két részre ˆ =H ˆ e + Tˆn , H
ahol
ˆ e = Tˆe + Vˆ B H
az ú.n. elektron Hamilton operátor. Célunk a teljes Hamilton operátor sajátérték problémájának ˆ (R, r) = EΦ (R, r) HΦ
(8)
közelít® megoldása. R az összes mag, r az összes elektron koordinátáit jelöli. Oldjuk meg az elektron Hamilton operátor sajátérték problémáját egy tetsz®leges, de rögzített magkon gurációra ˆ e Ψλ (R, r) = Eλ Ψλ (R, r) . H
Az így kapott állapotfüggvényben a magkoordináták paraméterként szerepelnek. A kapott állapotok bázist alkotnak a rögzített magok terében mozgó elektronok állapotterén, így a Φ (R, r) állapot a tetsz®leges rögzített R magkon guráció esetében kifejthet® ezen a bázison: Φ (R, r) =
X λ
χλ (R) Ψλ (R, r) .
(9)
Feltéve, hogy ezt a sorfejtést minden R magkon gurációra elvégezzük megkapjuk a magok mozgását leíró χλ (R) függvényeket és így a teljes hullámfüggvényt is. A χλ (R) meghatározásához helyettesítsük be a teljes hullámfüggvény iménti kifejtését (9) a teljes Hamilton operátor sajátérték egyenletébe (8) E
X
n oX ˆ e + Tˆn χλ (R) Ψλ (R, r) = χλ (R) Ψλ (R, r) = H λ
λ
o Xn Tˆn χλ (R) Ψλ (R, r) + χλ (R) Eλ Ψλ (R, r) = λ
•
A mag kinetikai energia operátora, amint azt már láttuk
Tˆn = − számoljuk ki a
∇2a
hatását a
χλ (R) Ψλ (R, r)
X ∇2 a 2m a a
szorzatra
∇2a (χΨ) = ∇a ∇a (χΨ) = ∇a {(∇a χ) Ψ + χ (∇a Ψ)} = (∆a χ) Ψ + 2 (∇a χ) (∇a Ψ) + χ (∆a Ψ)
Az iménti számolást folytatva " E
X
χλ (R) Ψλ (R, r) =
X
λ
λ
X
# X 1 − (Ψλ ∆a χλ + 2 (∇a χλ ) (∇a Ψλ ) + χλ (∆a Ψλ )) + 2ma a
Eλ χλ (R) Ψλ (R, r)
λ
Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát Ψ∗κ (R, r)-rel és integráljunk az elektron koordinátákra
Eχκ =
X a
X X 1 1 − ∆a χκ + Eκ χκ + − {2 hΨκ |∇a | Ψλ i ∇a + hΨκ |∆a | Ψλ i}χλ . 2ma 2m a a λ {z } | Bκλ
A kapcsos zárójellel jelölt tagokra bevezetjük a Bκλ elnevezést, amivel az Eχκ = Tˆn χκ + Eκ χκ +
X
Bκλ χλ
κ = 1, 2, ...
λ
egyenletrendszert kapjuk a magok állapotfüggvényére. Válasszuk külön a κ = λ tagot a szummából X Eχκ = Tˆn + Eκ + Bκκ χκ + Bκλ χλ . λ,λ6=κ
A jobb oldal utolsó tagja összecsatolja a különböz® magfüggvényekre vonatkozó egyenleteket. Ha ezt elhanyagoljuk akkor az egyenletrendszer nem lesz csatolt többé. Ez az ú.n. adiabatikus közelítés. A BornOppenheimer közelítésben a nem diagonalis elemek mellett a B diagonális elemeit is elhanyagoljuk. Ebben a közelítésben a mag állapotokra az Eχκ (R) = Tˆn + Eκ (R) χκ (R)
egyenletet kapjuk, amiben a magkoordináta függ® elektron energia játsza a potenciális energia szerepét. A közelítés nem alkalmazható abban az esetben, ha a különböz® elektronállapotok energia felületei (Eκ (R)) közel kerülnek vagy metszik egymást. A Born-Oppenheimer közelítést széleskör¶en alkalmazzák a molekula rezgések, kémiai reakciók és az elektromágneses sugárzás által kiváltott molekula átalakulások kvantummechanikai tárgyalásában.
Megjegyzés Az imént kapott magállapotok tartalmazzák a molekula tömegközéppontjának haladó mozgását valamit a molekula forgó mozgását is. A Born-Oppenheimer közelítés úgy is levezethet®, hogy el®bb a molekula haladó és forgó mozgását leválasztjuk megfelel® a molekulához rögzített koordináta rendszerre való áttéréssel.
Potenciális energia felület (PES)
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
ó l] m / l a E[kc
360º
1 -C 2 -C 3 -C 4)
300º
240º 180º
300º 240º
θ ( 180º 2 C 120º 2 -C 60º 3 -C 4 C 5)
120º 60º
θ( 1 C
• Potenciális energia felület- E(R1, …,RN) • C5H12
Potenciális energia felület (PES) •A potenciális energiát az atomok helye határozza meg •E(R1, …,RN) hiperfelület •Stacionárius pontok •Nyeregpont
∂E =0 ∂Ri
∂2E ∃ i, j : <0 ∂Ri ∂R j R
R
< 0 ∀i, j : max ∂2E = ∂Ri ∂R j > 0 ∀i, j : min
Hessian
Átmeneti állapot, reakció út
A
B
C A B C
Global maximum
Local maximum
