METODY VÝZKUMU V OBLASTI PŘÍRODNÍCH VĚD

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

METODY VÝZKUMU V OBLASTI PŘÍRODNÍCH VĚD

SBORNÍK PŘÍSPĚVKŮ PŘEDNESENÝCH NA SEMINÁŘÍCH PROJEKTU VE ŠKOLNÍM ROCE 2010/2011

OLOMOUC, 2011

Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko výzkumné práci v oblasti přírodních věd reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040

Redakční rada sborníku Tomáš Opatrný (předseda) Libor Kvítek (výkonný redaktor) Členové: Karla Slavíčková, Věra Poláková, Lenka Copková Ediční rada sborníku: Doc. RNDr. Libor Kvítek, CSc. Doc. RNDr. Taťjana Nevěčná, CSc. Doc. RNDr. Roman Kubínek, CSc. Prof. Mgr. Radomír Halaš, Dr.

Neoprávněné užití tohoto díla je porušením autorských práv a může zakládat občanskoprávní, správněprávní popř. trestněprávní odpovědnost. Editor © Libor Kvítek, 2012 © Univerzita Palackého v Olomouci, 2012 1. vydání ISBN 978-80-244-3186-4

Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko výzkumné práci v oblasti přírodních věd reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040

OBSAH Úvodní slovo editora .........................................................................................................4 SEKCE CHEMIE STANOVENÍ VYBRANÝCH UKAZATELŮ JAKOSTI VOD .......................................6 P. Baizová, P. Ginterová REAKCE KYSELIN A ZÁSAD .....................................................................................10 M. Klečková, J. Kameníček, J. Prášilová VÝZNAM STANOVENÍ BÍLKOVI A AMINOKYSELIN ............................................20 L. Zajoncová SEKCE FYZIKA ENVIRONMENTÁLNÍ FYZIKA ..................................................................................28 R. Holubová KLASICKÁ OPTICKÁ HOLOGRAFIE ........................................................................38 T. Medřík SEKCE MATEMATIKA APOLLONIOVY A PAPPOVY ÚLOHY A KRUHOVÁ INVERZE ............................49 J. Hátle NETRADIČNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ TRADIČNÍ MATEMATIKOU .............................55 V. Vaněk NETRADIČNĚ O KVADRATICKÝCH ROVNICÍCH A JEJICH SOUSTAVÁCH ..64 J. Švrček MNOHOSTĚNY PRO PŘÍRODOVĚDCE ...................................................................69 J. Molnár DOBRODRUŽSTVÍ PRAVDĚPODOBNOSTI ............................................................77 J. Fischer SEKCE SOČ VLIV NANOČÁSTIC KOLOIDNÍHO STŘÍBRA NA MIKROORGANISMY DRUHU SACCHAROMYCES CEREVISIAE ...............................................................82 A. Kopecká, K. Trachtová, R. Prucek, A. Panáček, L. Kvítek

3

Úvodní slovo editora Technologický rozvoj moderní industriální společnosti dneška vyžaduje vysoce kvalifikované pracovníky – výzkumníky a vývojáře s hlubokými znalostmi z oblasti přírodních věd, zejména pak matematiky, fyziky a chemie. Ovšem náročnost studia těchto oborů na všech stupních vzdělávání zapříčiňuje mezi studenty současnou dominantní preferenci humanitních oborů při přechodu ze střední na vysokou školu. V zájmu zachování konkurenceschopnosti ekonomicky vyspělých zemí v současném globalizovaném světě je proto nutné aktivně podporovat zájem mládeže o studium přírodních věd včetně jejich budoucího profesního uplatnění v přírodovědně či technicky zaměřených oborech. Projekt národního programu ESF OPVK Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko výzkumné práci v oblasti přírodních věd, reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040 je právě jedním z nástrojů aktivního působení na středoškolské studenty, zaměřeným na podporu jejich zájmu o studium přírodních věd prostřednictvím pokročilého vzdělávání v matematice, fyzice a chemii, realizovaného vysokoškolskými pedagogy Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci. Přednášky a cvičení s obsahem blízkým vysokoškolské úrovni znalostí, ovšem s významným popularizačním nábojem ukazují studentům středních škol nové pohledy do vybraných přírodovědných oborů, které jim přibližují význam těchto oborů pro praxi a zvyšují tak motivaci studentů pro budoucí studium přírodních věd na vysoké škole a budoucí pokračování profesní kariéry v oblasti výzkumu a vývoje spojeného s podporovanými obory – matematikou, fyzikou a chemií. Druhý rok řešení projektu ukázal neutuchající ohromný zájem středoškolských studentů o takový typ vzdělávání, který se projevil již v předchozí prvé fázi řešení projektu, které se ve školním roce 2009/2010 zúčastnilo více než 100 studentů v různých formách vzdělávání. I v tomto školním roce 2010/2011 zájem překračoval kapacity řešitelského týmu a hlavně kapacity výukových laboratoří, proto nebylo možno uspokojit všechny zájemce ze zapojených škol středomoravského regionu. I tak prošlo celoročním cyklem osmi celodenních seminářů na PřF UP Olomouc více než 40 studentů a týdenní intenzivní vzdělávací akcí Týden s přírodovědou dalších 40 studentů. Obsah vybraných přednášek a cvičení z těchto akcí je právě náplní tohoto sborníku, kde je jako ukázka z realizace další klíčové aktivity zaměřené na samostatnou vědecko výzkumnou činnost studentů uvedena práce ze soutěže SOČ, realizovaná studentkami z Gymnázia Jakuba Škody v Přerově. Na tomto místě je současně pravá chvíle poděkovat všem spolupracujícím středním školám a pedagogům, kteří nám na těchto školách pomáhali realizovat cíle projektu. V tomto školním roce se jednotlivých aktivit zúčastnili studenti ze 17 středních škol – jmenovitě studenti Slovanského gymnázia Olomouc, Gymnázia Olomouc-Hejčín, Gymnázia Olomouc-Čajkovského, Reálného gymnázia a Základní školy města Prostějova, Gymnázia Jakuba Škody v Přerově, Gymnázia Jana Blahoslava a Střední pedagogické školy v Přerově, Gymnázia Lipník nad Bečvou, Gymnázia Hranice, SPŠ Hranice, Gymnázia Zlín-Lesní čtvrť, Gymnázia Mikuláše Koperníka v Bílovci, Gymnázia Jeseník, Gymnázia Šumperk, Gymnázia Šternberk, Gymnázia Uničov, Gymnázia Jana Opletala v Litovli a Gymnázia Zábřeh. Doc. RNDr. Libor Kvítek, CSc.

4

CHEMIE

5

STANOVENÍ VYBRANÝCH UKAZATELŮ JAKOSTI VOD

Pavlína Baizová, Pavlína Ginterová Katedra analytické chemie, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci, 17. Listopadu 12, 771 46 Olomouc. E-mail: [email protected] Abstrakt Cílem semináře bylo rozšířit středoškolským studentům znalosti a praktické dovednosti z analytické chemie, a to v oblasti analýzy vod prostřednictvím stanovení vybraných ukazatelů jakosti vod. Nejprve byli studenti seznámeni s problematikou týkající se vybraných ukazatelů vod, kterými byli chemická spotřeba kyslíku, tvrdost vody, konduktivita a pH. Následně měli možnost vyzkoušet si, zda jsou schopni získané znalosti uplatnit v praxi při uskutečnění experimentů v laboratoři. Dále byl kladen důraz na to, aby byli schopni získané výsledky vyhodnotit a následně je zařadit do příslušných kategorií a porovnat s povolenými hodnotami. 1. Úvod Vzhledem k tomu, že v poslední době je z důvodu zvětšujícího se znečištění přírodních a užitkových vod (např. splaškovými či průmyslovými vodami) kladen větší důraz na analýzu vod, hlavním cílem semináře bylo seznámit studenty s metodami, se kterými by se následně mohli setkat v praxi. Při výběru vhodných metod byl brán ohled také na časovou náročnost, manuální zručnost studentů a potřebné laboratorní vybavení. Pro ověření experimentálních zkušeností a teoretických znalostí studentů byly vybrány dvě úlohy spadající do oblasti titračních metod (stanovení chemické spotřeby kyslíku a tvrdosti vody) a dvě úlohy, u kterých měli studenti možnost využít instrumentální vybavení (měření pH a konduktivity). 2. Titrační metody Studenti byli seznámeni s teoretickými základy titračních metod. Následně byla podrobněji probrána problematika týkající se vybraných titračních metod, kterými byly oxidačně-redukční titrace (stanovení chemické spotřeby kyslíku) a komplexometrická titrace (stanovení celkové tvrdosti vody). Před samotným experimentálním měřením absolvovali praktickou ukázku sestavení potřebné titrační aparatury. Studenti měli za úkol stanovit celkovou tvrdost a chemickou spotřebu předloženého vzorku vody a výsledky porovnat s přípustnými normami. 2.1 Stanovení chemické spotřeby kyslíku Chemická spotřeba kyslíku (CHSK) využívá principu oxidačně-redukční titrace, při které jsou organické látky vyskytující se ve vzorku vody oxidovány silným oxidačním činidlem. Manganistanová metoda určení CHSK (CHSKMn) je používána především pro

6

pitné a přírodní vody jako jejich nespecifický ukazatel pro míru organického znečištění vody. V případě pitné vody by hodnota CHSKMn neměla překročit hodnotu 3,0 mg/l. Principem CHSKMn je oxidace organických látek manganistanem draselným v kyselém prostředí kyseliny sírové (při desetiminutovém varu). Oxidace probíhá za přebytku manganistanu a množství spotřebované na oxidaci organických látek je zjištěno přidáním známého množství odměrného roztoku kyseliny šťavelové a následnou zpětnou titrací odměrným roztokem manganistanu draselného.

2 MnO4− + 5(COOH ) 2 + 6 H + → 2 Mn 2+ + 10CO2 + 8 H 2 O Pracovní postup: Do titrační baňky vložíme několik varných kamínků a odměříme 100 ml vzorku destilované vody (pro zjištění hodnoty Vs). Přidáme 5 ml roztoku kyseliny sírové (zřed. 1:2) a 20 ml odměrného roztoku manganistanu draselného (přesná koncentrace viz zásobní láhev). Na hrdlo baňky položíme hodinové sklo a baňku umístíme na vařič. Směs zahříváme tak, aby se do pěti minut uvedla k varu, a poté udržujeme var po dobu deseti minut. K horkému roztoku přidáme 20 ml roztoku kyseliny šťavelové (c = 0,005 mol/l). Odbarvený horký roztok ihned titrujeme odměrným roztokem manganistanu draselného do stabilního růžového zbarvení. Dbáme na to, aby teplota při titraci neklesla pod 80 °C. Stejný postup opakujeme pro předložený vzorek vody. Titraci provádíme 3x. Výpočty:

CHSK Mn =

Ft ⋅ ct ⋅ (Vt − Vs ) ⋅ M (O) ⋅ 10 3 [mg / L] Vv

Vt - spotřeba odměrného roztoku manganistanu draselného (ml); ct - koncentrace odměrného roztoku manganistanu draselného (mol/L); Vs - spotřeba odměrného roztoku manganistanu draselného při slepém stanovení (ml); Vv - použitý objem vzorku (ml); M(O) - relativní atomová hmotnost kyslíku; Ft - titrační faktor (rovnice viz výše). 2.2 Stanovení celkové tvrdosti vody Tvrdost vody můžeme rozdělit na přechodnou, která je způsobena hydrogenuhličitany vápníku a hořčíku, a tvrdost trvalou způsobenou především sírany vápenatým a hořečnatým. Součtem těchto tvrdostí získáme tvrdost celkovou. Voda mající hodnotu tvrdosti do 0,7 mmol/l se považuje za velmi měkkou, nad 3,75 mmol/l se jedná o vodu velmi tvrdou. Pro stanovení celkové tvrdosti vody (koncentrace Ca2+ a Mg2+ iontů) je možno využít komplexometrickou (chelatometrickou) titraci. Principem chelatometrie je reakce stanovovaného kationu kovu s Chelatonem III (odměrným činidlem), při níž vzniká málo disociovaný, ve vodě rozpustný komplex (vždy v molárním poměru 1:1). Vzhledem k tomu, že stálost těchto komplexů je závislá na pH, je potřeba při chelatometrických titracích udržovat určitou hodnotu pH – pomocí tlumivých roztoků. Indikace bodu ekvivalence je prováděna vizuálně, a to pomocí tzv. metalochromních indikátorů

7

tvořících slabý barevný komplex se stanovovaným kationem. Sledujeme tedy barevnou změnu roztoku způsobenou vytěsněním kationu z komplexu s indikátorem. Pracovní postup: Do titrační baňky odměříme 100 ml vzorku vody. Odměrným válcem přidáme 5 ml Schwarzenbachova pufru a na špičku špachtle indikátor eriochromčerň T. Roztok titrujeme 0,05 M odměrným roztokem Chelatonu III. V průběhu titrace sledujeme barevnou změnu (z vínově červené na modrou), která nastane v bodě ekvivalence, zapíšeme spotřebu Chelatonu III. Titraci opakujeme 2x. Z průměrné spotřeby Chelatonu III vypočteme celkovou tvrdost vody. Výpočty:

c = cchel ⋅ Vchel ⋅ 10[mol / L] cchel - koncentrace odměrného roztoku Chelatonu III; Vchel - spotřeba odměrného roztoku Chelatonu III

3. Instrumentální metody (měření pH a konduktivity) Studentům byla objasněna teorie týkající se analytických instrumentálních metod, kterými byly potenciometrie a konduktometrie. Následně byli seznámeni s přístroji potřebnými pro experimentální práci (pH metr, konduktometr). Byla provedena praktická ukázka kalibrace přístroje a správného zacházení s používanými elektrodami. Studenti měli za úkol změřit pH a konduktivitu předložených vzorků vody a destilované vody a naměřené výsledky porovnat. 3.1 Měření pH Hodnota pH je definována jako záporně vzatý dekadický logaritmus aktivity oxoniových kationtů. Ve zředěných vodných roztocích můžeme hodnotu aktivity aproximovat hodnotou koncentrace a poté platí vztah:

pH = − log c ( H 3 O + ) Hodnota pH nabývá hodnot 0 až 14 a charakterizuje do jaké míry je daný vzorek kyselý či zásaditý. Destilovaná voda (neobsahující oxid uhličitý) má hodnotu pH rovnu 7, což je hodnota neutrální. Čím je hodnota nižší (oproti pH 7), tím je roztok kyselejší a naopak čím je hodnota vyšší (oproti 7), tím je roztok zásaditější. Hodnota pH vzorků vod je silně závislá na jejím chemickém a biologickém znečištění a také na teplotě, při které je měřena. Hodnota pH je významným ukazatelem jakosti pitné vody. Nejvhodnější hodnota pH pitné vody je v rozmezí 6,5 – 7,5. Mezní hodnota pH stanovená pro pitnou vodu je 6,5 - 9,0. Pracovní postup: Pomocí lakmusových papírků změříme přibližné pH předloženého vzorku vody a destilované vody. Dle pokynů vedoucího cvičení provedeme kalibraci přístroje (pH metru). Pomocí pH metru změříme postupně hodnoty pH předloženého vzorku vody a destilované vody. Naměřené hodnoty porovnáme.

8

3.2 Měření konduktivity Konduktivitou vody rozumíme míru koncentrace rozpuštěných disociovaných látek (iontů) ve vodě. Pomocí konduktivity můžeme tedy vyjádřit přibližný obsah minerálních látek, které jsou ve vodě obsaženy. Konduktivita je nejčastěji uváděna v jednotkách µS/cm (popř. mS/m). Pokud naměřenou hodnotu konduktivity vynásobíme 0,8 krát, získáme přibližnou hodnotu rozpuštěných látek v mg/L. Hodnoty konduktivity se pro destilovanou vodu pohybují v rozmezí od 0,5 do 3,0 µS/cm a v případě pitné vody má konduktivita průměrnou hodnotu okolo 400 µS/cm.

Pracovní postup: Dle pokynů vedoucího cvičení provedeme kalibraci přístroje (konduktometr). Pomocí konduktometru změříme postupně konduktivitu destilované vody a předloženého vzorku vody. Naměřené výsledky porovnáme. 4. Závěr Hlavním cílem semináře bylo seznámit středoškolské studenty s problematikou týkající se vybraných parametrů analýzy vod. Studentům byla přiblížena teoretická část spadající do oblasti analytické chemie. Jednalo se především o titrační metody (oxidačně-redukční a komplexometrická titrace) a metody instrumentální (potenciometrie, konduktometrie). Následně měli možnost ověřit si získané znalosti a zlepšit si své praktické dovednosti při experimentální práci v laboratoři. V neposlední řadě měli povinnost samostatně vyhodnotit získané výsledky a porovnat je s povolenými normami. 5. Použitá literatura [1] Pitter P.: Hydrochemie, VŠCHT Praha, 2009. [2] Horáková M. a kol.: Analytika vody, VŠCHT Praha, 2003. [3] Zýka J. a kol.: Analytická příručka, 1.díl, SNTL Praha, 1988. [4] Harvey D.: Modern Analytical Chemistry, The McGraw-Hill Companies USA, 2000.

9

REAKCE KYSELIN A ZÁSAD

Marta Klečková, Jiří Kameníček, Jana Prášilová Katedra anorganické chemie, Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého, 17. listopadu 12, 771 46 Olomouc , Česká republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Základní chemické téma „Teorie kyselin a zásad“ je možné doplnit řadou velmi zájímavých experimentů, které umožní žákům snadněji pochopit teorii této problematiky. V sérii zpracovaných laboratorních postupů si lze vybrat jak velmi jednoduché tak i náročnější experimenty, např. určování pH látek, stanovení koncentrace zásad potenciometricky, esterifikace, vlastnosti kyselin - efektní pokusy. Klíčová slova: teorie kyselin a zásad, měření pH, potenciometrie, esterifikace, efektní pokusy. 1. Úvod Známe několik teorií, které charakterizují – definují kyseliny a zásady. Nejstarší je Arrheniova teorie, která je platná pro vodné prostředí, podle ní je kyselina látka schopná odštěpovat proton H+ a zásada je látka schopná odštěpovat ion OH–. Obecnější je teorie Brönstedova, dle které kyselina snadno odštěpuje proton H+ (je donorem H+), zásada proton H+ snadno přijímá (je akceptorem H+), např. HCl + H2O → H3O+ + OH- … chlorovodík je ve vodě kyselinou (donor H+) NH3 + H2O → NH4+ + OH- … amoniak je ve vodě zásadou (akceptor H+) Je třeba si uvědomit, že síla kyseliny (zásady) vždy záleží na prostředí, ve kterém se nachází; kyselina je tím silnější, čímž snadněji proton odštěpuje (zásada tím silnější, čím snadněji proton přijímá). Některé látky (např. voda) se mohou chovat podle typu prostředí, ve kterém se nachází někdy jako kyseliny, jindy jako zásady (jsou to tzv. amfolyty). K typické reakci kyselin a zásad patří neutralizace (reakce kyseliny s hydroxidem za vzniku příslušné soli a vody). H2SO4 + 2 NaOH → Na2SO4 + 2 H2O Reaguje-li kyselina s alkoholem, jde o esterifikaci, např. CH3COOH + C2H5OH CH3COOC2H5 + H2O Při reakci kyselin s neušlechtilým kovem může dojít k vytěsnění vodíku a vzniku soli, např.

Zn + 2 HCl → ZnCl2 + H2

Některé kyseliny mohou mít navíc i oxidační účinky (konc. kyselina dusičná a konc. kys. sírová) a reagují i s ušlechtilými kovy (bez vzniku vodíku!), např.

10

Cu + 4 HNO3 → Cu(NO3)2 + 2 NO2 + 2 H2O 3 Cu + 8 HNO3 → 3 Cu(NO3)2 + 2 NO + 4 H2O

více konc. HNO3 konc. HNO3

Kontrolní otázky: 1/ Jak se zbarví suchý pH papírek při reakci s parami HCl? 2/ Chlorovodík HCl je silnou kyselinou ve vodě. Jak se bude chovat HCl v kapalném amoniaku a jak v bezvodé kyselině sírové? 3/ Napište neutralizační reakci kyseliny mravenčí s hydroxidem sodným. 4/ Jak roste či klesá síla kyseliny v řadě HF – HCl – HBr - HI a proč? 5/ Co to je lučavka královská a jaké má vlastnosti? 2. Chemické experimenty k tématu reakce kyselin a zásad Pokus1

Měření pH vzorků

Pomocí pH-metru určete pH několika vzorků, které používáte v běžném životě. Pomůcky a chemikálie: Vzorky roztoků (např. mléko, mýdlo …), 5 zkumavek, kádinka, pH-metr, střička s destilovanou vodou; Před měřením se musí pH metr vždy nakalibrovat. Z časových důvodů, abyste zvládli všechny experimenty, je váš přístroj již nakalibrován a připraven k měření. Postup: Do kádinky nalij zkoumaný vzorek a do vzorku ponoř elektrodu pH-metru. Elektroda se nesmí dotýkat stěn kádinky. Po změření pH každého vzorku je třeba elektrodu opakovaně opláchnout destilovanou vodou ze střičky. Úkol (1): Hodnoty pH předložených vzorků: číslo vzorku vzorek

naměřené pH

prostředí (kyselé, zásadité)

1. 2. 3. 4. 5. Urči nejkyselejší vzorek ..........................…………………………………….. nejzásaditější vzorek .................................................................................... Pokus 2

Potenciometrické stanovení koncentrace zásady

Acidobazickou titrací stanovujeme obsah kyseliny (acid) nebo zásady (báze) ve vzorku. Stanovení je založeno na neutralizační reakci, kterou můžeme vyjádřit jednoduchou rovnicí: HA + BOH
AB + H 2O kyselina zásada sůl voda

11

Jedná-li se o reakci silné kyseliny HA a silné zásady BOH, proběhne neutralizace kvantitativně, zreaguje-li ekvimolární látkové množství reaktantů ⇒ bod ekvivalence, který identifikujeme pomocí indikátoru nebo instrumentálně použitím pH-metru. V bodě ekvivalence, je látkové množství kyseliny stejné jako látkové množství použité zásady: nHA = nBOH jestliže n=c.V pak platí: cHA . VHA = cBOH . VBOH Pomůcky a chemikálie: Stojan, střička s destilovanou vodou, byreta, kádinka 100 ml, elektromagnetická míchačka, míchadlo, pipeta, balónek nebo pipetík, pH-metr se skleněnou elektrodou; 0,1 mol/l roztok HCl (přesná koncentrace je uvedena na štítku na lahvi), vzorek NaOH o neznámé koncentraci. Postup: 1. Z neznámého vzorku roztoku NaOH odpipetujeme 10 ml (VNaOH) do kádinky a doplníme destilovanou vodou na cca 50ml. 2. Kádinku s roztokem postavíme na elektromagnetickou míchačku. Do kádinky s roztokem vložíme míchadlo a vyzkoušíme si nastavení rychlosti otáček míchadla. 3. Míchačku vypneme. 4. Elektrodu vyjmeme z ochranného roztoku, opláchneme destilovanou vodou a ponoříme do roztoku NaOH o neznámé koncentraci tak, aby nedošlo ke styku míchadla a elektrody. 5. Zaznamenáme si počáteční hodnotu pH roztoku. 6. Titrujeme odměrným roztokem cca 0,1 mol/l HCl. Titrační činidlo přidáváme po 0,5 ml. Po každém přídavku kyseliny zamícháme roztok a po vypnutí míchačky změříme pH. 7. Titrujeme tak dlouho, až dojde k výrazné změně pH a po dalších třech až pěti po sobě následujících přídavcích titračního činidla se pH roztoku dále nemění. Tabulka pro záznam změny pH roztoku v důsledku přidávání titračního činidla spotřeba titračního činidla (ml)

pH roztoku

spotřeba titračního činidla (ml)

12

pH roztoku

Úkol (2): Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakci ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Z naměřených hodnot sestav titrační křivku. Obr. 1 Osy pro grafické zpracování závislosti pH na objemu titračního činidla ⇒ titrační křivka

14 13 12 11 10 pH roztoku

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

přídavek titračního činidla (ml)

Urči z titrační křivky bod ekvivalence a spotřebu titračního činidla v tomto bodě. ………………………………………………………………………………… Vypočítej přesnou koncentraci titrovaného roztoku NaOH. ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

13

………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Pokus 3 Barevné přechody indikátorů Pro určení kyselosti či zásaditosti roztoků používáme acidobazické indikátory. Jsou to vlastně slabé organické kyseliny nebo zásady, které při změně pH prostředí změní barvu (protonizovaná a deprotonizovaná forma indikátoru mají odlišné zbarvení). HInd → H+ + Ind– Pomůcky a chemikálie: Zkumavky, střička s destilovanou vodou; sada různých indikátorů, zásaditý a kyselý roztok (0,1 mol/dm3 HCl, 0,1 mol/dm3 NaOH); Postup: Do jedné zkumavky nalij 1-2 cm3 kyseliny, do druhé 1-2 cm3 zásady a do každé přikápni 2-3 kapky indikátoru. Zjisti barevné přechody předložených indikátorů v kyselém a zásaditém prostředí. Vyber z nich indikátory vhodné pro acidobazické reakce. Úkol (3): 1. Doplň do tabulky barevné přechody indikátorů při různém pH. indikátor

kyselé prostředí barva

zásadité prostředí barva

Pokus 4 Reakce koncentrované kyseliny sírové

acidobazický indikátor ANO - NE

digestoř

a) dehydratační účinky konc. H2SO4 Použijte ochranný štít Pomůcky a chemikálie: Petriho miska, Pasteurova pipeta, lžička, skleněná tyčinka, zkumavka, lžička, (2 porcelánové misky a kádinka s vodou na sběr chemického odpadu – produktů), střička s destilovanou vodou, ochranný štít, gumové rukavice; konc.H2SO4, cukr, špejle; Postup: Na Petriho misku dej půl kostky cukru a kousek špejle, do zkumavky nasyp pár krystalů skalice modré, na každý vzorek kápni konc.H2SO4 a nechej chvíli působit.

14

Úkol (4a): 1. Zaznamenej a vysvětli pozorované změny látek: cukr……….………………………………………………………………………… špejle–dřevo ………………………………………………………………………… skalice modrá ……………………………………………………………………… POZOR - po ukončení experimentu kostku cukru a špejli dej do 2 porcelánových misek, do zkumavky se síranem měďnatým opatrně nalij do poloviny vodu ze střičky a směs vylij do kádinky na chemický odpad.

b) zapálení lihového kahanu bez ohně (reakce konc. H2SO4 a KMnO4) Použijte ochranný štít DEMONSTRAČNĚ Pomůcky a chemikálie: Pasteurova pipeta, lžička, skleněná tyčinka, 2 porcelánové misky (do jedné nalijeme 2-3 cm3 ethanolu) lihový kahan, střička s destilovanou vodou, kádinka s vodou na chemický odpad, ochranný štít, gumové rukavice; konc.H2SO4, manganistan draselný, ethanol; Postup: Na porcelánovou misku nalijeme asi 2-3 ml konc. H2SO4 (použijeme Pasteurovu pipetu) a opatrně přisypeme malou lžičku manganistanu draselného. Na skleněnou tyčinku nabereme vzniklou směs a přiložíme ji nad misku s ethanolem nebo ke knotu lihového kahanu. Pozorované změny zaznamenej. POZOR - vzniklé produkty slijeme do sběrné kádinky s vodou určené na chemický odpad. Úkol (4b): 1. Doplň a vyčísli chemické rovnice reakce probíhající v tomto experimentu. H2SO4 + .... KMnO4 → Mn2O7 + H2O + .......... ......Mn2O7

→ ........ MnO2 + ....... O2

................. + O2 → .............. + .............. ethanol

2.

Jakou barvu má oxid manganistý?

.............................................................

3.

Vysvětli probíhající chemický děj ……….………………………………………………………………………………

15

c) blesky ve zkumavce (reakce konc. H2SO4 a KMnO4)

Použijte ochranný štít DEMONSTRAČNĚ

Pomůcky a chemikálie: Zkumavka, stojan, Pasteurova pipeta, lžička, skleněná tyčinka, střička s destilovanou vodou, kádinka s vodou na chemický odpad, ochranný štít, gumové rukavice; konc.H2SO4, manganistan draselný, ethanol; Postup: Do zkumavky upevněné ve stojanu nalijeme do výšky asi 1-2 cm koncentrovanou kyselinu sírovou (použijte Pasteurovu pipetu) a opatrně ji převrstvíme stejným množstvím ethanolu (ethanol přiléváme po stěně zkumavky ze střičky). Dáváme přitom pozor, aby se roztoky vzájemně nepromíchaly. Do zkumavky pak přisypeme několik krystalků manganistanu draselného a pozorujeme reakci. Vzniklé produkty nalijeme do sběrné kádinky s vodou určené na chemický odpad. POZOR při vylévání reakční směsi s produkty může dojít ke vznícení nezreagovaného ethanolu. Rovnice: viz předchozí pokus 4b) Úkol (4c): Vysvětli probíhající chemický děj ……….……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

Pokus 5

Reakce koncentrované kyseliny dusičné – xanthoproteinová reakce

Koncentrovaná kyselina dusičná se například používá k nitraci organických látek. Při reakci konc. HNO3 s aromatickými aminokyselinami, které jsou vázány v bílkovinovém řetězci, vznikají žluté nitroderiváty, jejichž zbarvení se v alkalickém prostředí prohloubí do oranžova. Tato reakce se používá k důkazu bílkovin, podle žlutého zbarvení produktu nese název xanthoproteinová (xanthos – žlutý). (aromatické aminokyseliny: např. fenylalanin, tyrosin obsahují benzenové jádro) Pomůcky a chemikálie: 5 zkumavek, 2 Pasteurovy pipety, kádinka (400 cm3), kádinka na vodní lázeň (400 cm3) skleněná tyčinka, lžička, gumové rukavice, ochranné brýle nebo štít; vzorky (např. uvařené vejce-bílek, kvasnice, mouka, sýr, škrob), konc.HNO3, 10% NaOH; Postup: Do zkumavky se vzorkem přidej 5-6 kapek konc. HNO3 a krátce zahřej v teplé vodní lázni. Po zchladnutí přidej cca 1 cm3 NaOH.

16

Úkol (5): Na základě změny zbarvení reakční směsi rozhodni, zda vzorek obsahuje bílkoviny. vzorek

LÁTKA

zbarvení po reakci

bílkovina ANO NE

1. 2. 3. 4. 5. Pokus 6

Biuretová reakce

Aminokyseliny jsou vázány v řetězci bílkoviny peptidovou vazbou –CO–NH–. Charakteristickou reakcí bílkovin, konkrétně jejich peptidových vazeb, s měďnatými ionty Cu2+ v alkalickém prostředí je biuretová reakce. Tuto reakci využij k důkazu bílkovin v několika látkách. Pomůcky a chemikálie: 6 zkumavek, stojan na zkumavky, 2 Pasteurovy pipety, 3 skleněné tyčinky; vzorky látek, 5 % roztok síranu měďnatého, 2 % roztok hydroxidu sodného, střička s vodou; Postup: K bílku a poté k jednotlivým vzorkům (cca půl malé lžičky) ve zkumavkách přidej asi 1-2 cm3 vody, směs dobře promíchej tyčinkou. Potom do zkumavek se vzorky přikápni 3-4 kapky roztoku měďnaté soli a zamíchej. Přilij 1-2 cm3 roztoku hydroxidu sodného, promíchej. Podle zbarvení reakční směsi rozhodni, zda vzorek obsahuje bílkovinu. vzorek

LÁTKA

zbarvení

obsahuje bílkovinu ANO - NE

bílek syrový A B C D E Úkol (6): Jaké zbarvení má reakční směs obsahující bílkovinu - produkt biuretové rekce ......................................................................... Přiřaď ke vzorkům A, B, C, D, E látku kvasnice, mléko, škrob, mouka, želatina. A = ...................... B = ................. C = ................... D = ................... E = .......................

17

Pokus 7

Esterifikace

a) příprava vonné esence – butylesteru resp. amylesteru kyseliny octové Pomůcky a chemikálie: zkumavka, 2 kádinky (250, 400 cm3), 3 Pasteurovy pipety, hodinové sklo, skleněná tyčinka, elektrický vařič, ochranný štít nebo brýle, gumové rukavice; butanol (C4H9OH), amylalkohol (C5H11OH), koncentrovaná octová kyselina (CH3COOH), chlorid sodný, koncentrovaná kyselina sírová; Postup: Do kádinky s malým množstvím studené vody vlož zkumavku, do které odměř v tomto pořadí: 1 cm3 kyseliny octové; 1,5 cm3 butanolu nebo amylalkoholu a potom opatrně přidej po kapkách 0,5-1 cm3 koncentrované kyseliny sírové (použij ochranný štít) a míchej tyčinkou. Zkumavku s reakční směsí zahřívej a míchej na vodní lázni téměř k varu (3-5 min.). Po vychladnutí nalij část vzniklého produktu na hodinové sklíčko s trochou pevného chloridu sodného. Posléze opatrně ke sklíčku přivoň. Do zbylé části reakční směsi ve zkumavce nasyp 1 lžičku NaCl, důkladně promíchej a přilij cca 2-3 cm3 destilované vody a opět promíchej. Zkumavku nechej chvíli v klidu, pozoruj obsah ve zkumavce a poté přivoň k ústí zkumavky. Úkol (7a): Napiš chemickou rovnici probíhající reakce ............................................................................................................................. Popiš vizuální změny ve zkumavce, jakou vůni jsi připravil .............................................................................................................................................. b) hoření methylesteru kyseliny borité Pomůcky a chemikálie: Stojan, držák, síťka, vařič resp. plynový kahan, špejle, zápalky, skleněná baňka, zátka se skleněnou trubičkou (až 1 m dlouhá), lžička, odměrný válec (50 cm3); kyselina boritá, methanol (F, T); Postup: Do baňky upevněné na stojanu nasyp 2 lžičky kyseliny borité a přidej 20 cm3 methanolu. Baňku uzavři zátkou se skleněnou trubičkou opatrně zahřívej. Po chvíli k ústí trubičky přilož hořící špejli. Pozoruj zbarvení plamene. Úkol (7b): Doplň chemickou rovnici probíhající reakce H3BO3 + 3 CH3OH → ………………………………….. + 3 H2O trimethylester kyseliny borité Jakou barvu má plamen hořícího esteru?.........................................................................

18

Pokus 8

Tajné písmo psané zředěnou kyselinou sírovou

Pomůcky a chemikálie: Kousek filtračního papíru 20x20 cm, skleněná tyčinka nebo štětec, kádinka, kelímková svíčka; 5% H2SO4 Postup: Na filtrační papír nakresli jednoduchý obrázek roztokem kyseliny sírové (podepiš si ho tužkou) a poté nechej papír volně uschnout. Vysušený papír opatrně zahřívej nad plamenem svíčky. POZOR ať papír nechytne od plamene a nezačne hořet!!! Úkol (8): Vysvětli princip zviditelnění „tajného“ písma. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 4. Závěr Téma „Teorie kyselin a zásad“ je součástí základu učiva chemie na SŠ. Byly sestaveny jednoduché i náročnější experimenty, které mají za cíl pomoci učiteli při objasňování teoretických a pro žáky mnohdy abstraktních pojmů. Efektní pokusy svým překvapivým průběhem mohou podpořit zájem žáků o chemii. 5. Poděkování Příspěvek byl zpracován s podporou projektu OPVK „Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědeckovýzkumné práci v oblasti přírodních věd.“, reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040. 6. Použitá literatura 1.

Hill, G.C., Holman J.S.: Chemistry in context. Hong Kong, Nelson 2004.

2.

Shakhashiri, B., Z.: Chemical Demonstrations, vol. 1- 4, Wisconsin 1985.

3.

M. Prokša, A. Tóthová: Školské chemické pokusy vo svetle aktuálnych požiadaviek didaktickej teórie a praxe, UK Bratislava, 2005.

4.

M. Klečková, Z. Šindelář: Školní pokusy z anorganické a organické chemie, UP Olomouc 1993.

19

VÝZNAM STANOVENÍ BÍLKOVIN A AMINOKYSELIN

Ludmila Zajoncová Katedra biochemie, Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého, šlechtitelů 11, Olomouc-Holice , Česká republika. E-mail:[email protected] Abstrakt Tento příspěvek se zabývá studiem těch nejzákladnějších látek předmětu biochemie, a to bílkovin a jeho základních složek aminokyselin. V textu se seznámíme s důkazy a metodami stanovení aminokyselin a bílkovin. 1. Úvod Bílkoviny obsahují všechny živé organismy. Informace o výskytu a koncentracích bílkovin a aminokyselin jsou důležité v mnoha oborech. Bílkoviny jsou základní složkou potravy. Pro živočišný organismus je potřebný přísun aminokyselin, který organismus nedokáže syntetizovat a musí být dodány s potravou v podobě bílkovin. Tyto aminokyseliny se označují jako esenciální. Některé aminokyseliny mohou v těle vznikat, ale jen z jiných esenciálních aminokyselin, například methionin může být syntetizován z homocysteinu, ale na druhou stranu homocystein sám vzniká jen z methioninu. Kvalita bílkovin v potravě se měří podle obsahu esenciálních aminokyselin. Čím je větší podíl esenciálních aminokyselin k neesenciálním, tím je bílkovina kvalitnější. Mezi vysoce kvalitní bílkoviny patří mléko, vejce a maso. Naproti tomu bílkoviny z rostlin mají často nedostatek určitých esenciálních aminokyselin. Proto při veganské dietě hrozí jejich nedostatek. Například bílkoviny z pšenice mají málo lysinu, bílkoviny z luštěnin zase málo methioninu. Lidský organismus potřebuje denně nejméně 80 g bílkovin. Proteiny jsou v trávicím traktu štěpeny volnými enzymy (trypsin, pepsin) nebo enzymy vázanými na membráně enterocytů. Jednotlivé aminokyseliny jsou resorbovány do krve, kde mohou být použity pro biosyntézy nebo katabolizovány (odbourávány). Důkaz a stanovení bílkovin má velký význam v klinické biochemii. Přítomnost bílkovin v moči naznačuje nějaký typ onemocnění, obvykle související s funkcí ledvin. V krevní plazmě se nacházejí stovky různých bílkovin, které se liší svou velikostí, koncentrací a především svou funkcí v organismu. Bílkoviny se tvoří hlavně v játrech. Koncentrace bílkovin v krevní plazmě se pohybuje v rozmezí 62 – 82 g/l. Při převodnění pacienta či malnutriční stavy způsobují hypoproteinémii, naproti tomu dehydratace se projeví hyperproteinémií. V některých případech může dojít ke snížení nebo zvýšení koncentrace jen jedné nebo několika málo bílkovin. Daleko více informací lze však získat sledováním změn v elektroforetických frakcích či přímo v koncentraci jednotlivých bílkovin.

20

2. Význam a základní vlastnosti aminokyselin a bílkovin Bílkoviny se vyskytují ve všech živých organismech, kde plní celou řadu funkcí. Bílkoviny se uplatňují jako stavební kameny organismů, některé bílkoviny zprostředkovávají transport látek v organismu, jiné zajišťují pohyb organismu. Mnoho druhů bílkovin má katalytické vlastnosti a účastní se řízení a regulace v organismu. V živočišných organismech se tvoří specifická skupina látek- tzv. protilátky, které zajišťují ochrannou a obrannou funkci organismu. Všechny bílkoviny, které se vyskytují na Zemi, se skládají z dvaceti základních aminokyselin. Aminokyseliny mají dvě základní funkční skupiny aminovou (-NH2) a karboxylovou (COOH). Hlavní funkční skupiny aminokyselin jsou navázány na α-uhlíku. Na tomto uhlíku je vedle funkčních skupin navázán 1 atom vodíku a postranní řetězec aminokyseliny. Za těchto podmínek je α-uhlík chirální, což znamená, že je schopen stáčet rovinu polarizovaného světla. Základní funkční skupiny COOH a NH3+ mohou disociovat a vytvářet konjugované báze COO- a NH2. V roztoku jsou pak kyselina a její konjugovaná báze v rovnováze: R-COOH ↔ R-COO- + H+ R-NH3+ ↔ R-NH2 + H+ Podle pH okolního prostředí se pak ustavuje rovnováha. Při nízkém pH je v roztoku koncentrace vodíkových iontů vysoká, proto obě skupiny váží protony. Při zvyšování pH se nejprve uvolní proton z karboxylové skupiny, zatímco aminoskupina zůstává protonizována. Když je pH okolního roztoku vysoké, uvolní se proton i z aminoskupiny a obě skupiny se pak vyskytují ve stavu konjugované báze. Pro každou aminoskupinu existuje jistá hodnota pH, kdy má látka nulový volný elektrický náboj a nepohybuje se v elektrickém poli. Tato hodnota pH se označuje jako izoelektrický bod. 3. Důkazy a metody stanovení aminokyselin a bílkovin Bílkoviny v roztocích a jiných materiálech lze dokázat jednoduchými reakcemi. Xanthoproteinová reakce vychází z úvahy, že bílkoviny obsahují aromatická jádra příslušných aromatických aminokyselin (tryptofan, tyrozin a fenylalanin), která lze nitrovat působením kyseliny dusičné za vzniku žlutých nitrosloučenin. Biuretova reakce je založena na reakci měďnatých iontů s peptidovou vazbou, kdy vzniká komplex, který silně absorbuje světlo při 550 nm. Reakce není přímo specifická pro bílkoviny, nejjednodušší sloučenina, která reaguje s měďnatými solemi je biuret - kondenzační produkt močoviny. Kyselina sulfosalicylová sráží bílkoviny za vzniku zákalu až sraženiny. Tato reakce se dříve využívala v klinické biochemii k důkazu bílkovin v moči. Současná diagnostika bílkovin v moči spočívá ve využití diagnostických proužků, například Heptaphan. Diagnostické proužky využívají proteinovou chybu speciálního indikátoru, který se při pH < 3,5 barví jasně žlutě. Při pH vyšším dochází ke změně zbarvení přes zelenou až do modré. pH < 3,5 zajišťuje pufr obsažený v indikační zóně. Přidáme-li bílkovinu, váží se H+ na zásadité skupiny proteinů a zbarvení přechází do zelena až modra (stejný efekt jako při zvýšení pH). Je-li moč bez bílkoviny, zóna je jasně žlutá. Když je přítomna bílkovina, zóna je zelená až modrá (stejně jako by došlo ke změně pH a nikoliv k přídavku bílkovin).

21

Proteiny ve vzorku lze stanovovat celou řadou metod. Jednak jsou to metody založené na interakci proteinů s ionty mědi (Biuretova metoda, Lowryho metoda nebo Bicinchoninová metoda), nebo metody založené na vazbě proteinů s barvivem Coomassie blue (metoda Bradfordové) a také metody stanovení proteinů z UV spektra. Biuretova metoda je založena na chelataci měďnatého iontu imidovými strukturami polypeptidu ionizovanými v silně alkalickém prostředí za vzniku červeno-fialového komplexu. Intenzita vzniklého zabarvení se měří spektrofotometricky. Lowryho metoda využívá dvousložkové činidlo. První složku tvoří biuretovo činidlo a druhou FolinCiocalteau (čti Folin-Čikoltovo) činidlo na fenoly. Polykyseliny fosfomolybdenové a fosfowolframové se redukují tyrosinovými zbytky proteinů a barví se modře. Bicinchoninová metoda využívá kyseliny bicinchoninové (BCA) ke spektrofotometrickému stanovení celkových proteinů založeném na alkalické redukci měďnatého iontu na měďný proteinem a následné chelataci měďného iontu kyselinou bicinchoninovou za vzniku červeného zbarvení. Coomassie barvivo (Brilliant blue G250) se váže na proteinové molekuly v kyselém pH dvěma způsoby. Trifenylmethanová skupina se váže na nepolární části proteinu a anion sulfoskupiny se váže na vedlejší řetězce aminokyselin nesoucí kladný náboj (např. arginin a lysin). Po vazbě barviva na proteiny dochází k barevné změně, která je úměrná množství proteinu. Proteiny absorbují v UV oblasti spektra. Proteiny, které obsahují vedlejší řetězce tyrozinu a tryptofanu absorbují světlo při 275 až 280 nm. Při vhodném naředění vzorku lze takto stanovit celkové proteiny z UV absorbance za použití kyvet z křemenného skla. Proteiny absorbují také při kratších vlnových délkách pod 240 nm, což je způsobeno přítomností tryptofanu, tyrozinu, fenylalaninu, histidinu, methioninu, cysteinu a peptidových vazeb. Absorbance při 205 nm je z velké části způsobena peptidovou vazbou. Jednotlivé složky bílkovin aminokyseliny obsahují různé funkční skupiny ve vedlejších řetězcích, které mohou být využity pro jejich identifikaci, popřípadě i stanovení. Arginin lze dokázat pomocí Sakaguchiho reakce, která je založena na působení alkalického bromnanu a α-naftolu za vzniku červeného zbarvení vzniklého produktu. Aromatické aminokyseliny (Tyr, Trp, Phe) lze dokázat nitrací pomocí nitrační směsi jako žlutě zbarvené produkty (Xantoproteinová reakce). Tyrosin a histidin reagují s diazotovanou kyselinou sulfanilovou za vzniku oranžových až červených kopulačních produktů (Paulyho reakce). Kondenzací tryptofanu s kyselinou glyoxylovou v silně kyselém prostředí kyseliny sírové vzniká červenofialový produkt. Reakce je citlivá a k jejímu provedení stačí stopy kyseliny glyoxylové obsažené ve starší kyselině octové, kde vzniká její oxidací. Oxidačně redukční reakcí ninhydrinu (2,2-dihydroxy-1,3-indandion) s volnými amino- a imino- skupinami vznikají barevné produkty. Reakcí s primárními aminoskupinami se vytváří modrofialový produkt, který se nazývá Ruhemanova violeť. Reakcí s iminoskupinami, např. u prolinu a jeho derivátů, je tento produkt žlutý. Tato reakce se označuje jako ninhydrinová reakce a využívá se také k detekci aminokyselin při tenkovrstvé chromatografii. Aminokyselina cystein a její oxidací vzniklý dimer cystin působením alkálií uvolňují za tepla sulfan, který lze dokázat srážením rozpustnou olovnatou solí za vzniku černé sraženiny sulfidu olovnatého. Směs aminokyselin můžeme získat např. úplnou hydrolýzou proteinů. Hydrolýza se provádí v kyselém prostředí, kde dochází obvykle k destrukci tryptofanu a z velké části serinu a threoninu, které nelze stanovit kvantitativně. Hydrolýza v alkalickém prostředí

22

vede k destrukci všech aminokyselin kromě tryptofanu. Nejvhodnějšími metodami pro dělení směsi aminokyselin jsou různé typy chromatografie. Hlavní rozdíly mezi aminokyselinami jsou v náboji a polaritě. Tyto diference lze využít při papírové, tenkovrstvé, iontoměničové, plynové chromatografii a vysokotlaké kapalinové chromatografii (HPLC). 4. Experimentální část 4.1 Důkaz aminokyselin tenkovrstevnou chromatografií (TLC) Princip: Jednotlivé aminokyseliny se liší v náboji a polaritě. Této vlastnosti lze využít při tenkovrstevné chromatografii na vrstvě silikagelu. TLC je separační metoda, která odděluje látky ve směsi na základě odlišné afinity jednotlivých složek směsi ke stacionární (nepohyblivé) a mobilní (pohyblivé) fázi. Tenkou vrstvu – stacionární fázi tvoří obvykle silikagel nebo oxid hlinitý, který je nanesen na skleněnou desku, hliníkovou fólii nebo plastovou destičku. Pro praktické cvičení je nejvhodnější použít komerční produkt Silufol, který obsahuje hliníkovou fólii potaženou silikagelem. Silikagel je oxid křemičitý, jehož molekuly jsou zesíťovány přes molekuly kyslíku. Směrem k povrchu destičky jsou na atomy křemíku navázány –OH skupiny. Struktura je patrná z obrázku 1. Navázané –OH skupiny dávají povrchu destičky polární vlastnosti s možností tvorby vodíkových můstků a dalších nekovalentních interakcí se separovanými látkami.

Obr.1 Struktura silufolové desky

Mobilní fázi tvoří směs rozpouštědel, která se nalije do chromatografické vany a do ní se postaví destička s naneseným vzorkem tak, aby byl nad hladinou rozpouštědla. Chromatografická vana se uzavře (obvykle se zakryje skleněnou deskou), aby došlo k nasycení prostoru parami rozpouštědla. Mobilní fáze vzlíná po desce směrem vzhůru a unáší sebou analyzovaný vzorek. Rychlost, jakou je unášen vzorek směrem vzhůru, závisí na rozpustnosti v mobilní fázi a na stupni interakce s fází stacinární. Čím je afinita vzorku ke stacionární fázi větší, tím pomaleji vzorek stoupá vzhůru. Když rozpouštědlo dorazí do ¾ destičky, vyjmeme desku z chromatografické vany a pozici rozpouštědla

23

označíme tužkou jako čelo. Schéma destičky je uvedeno v obrázku 2. Poté změříme vzdálenosti jednotlivých látek od startu a pro každou látku vypočítáme tzv. retenční (retardační) faktor Rf. Tato hodnota uvádí, jak daleko zůstává analyzovaná látka za čelem rozpouštědla. Hodnota Rf je pro každou látku v daném systému charakteristická. Pokud se nejedná o látky barevné, je třeba je zviditelnit. Když se jedná o látku fluorescenční, lze ji zviditelnit pomocí UV lampy. Často je třeba pro zviditelnění provést detekci pomocí chemických látek (činidel). Chromatografická destička se postříká činidlem (například pro aminokyseliny ninhydrinem), který zreaguje s látkami na barevné produkty.

Obr. 2 Schéma destičky TLC

Chemikálie: 2% roztoky aminokyselin ve vodě, mobilní fáze ethanol-voda (7:3), 0,2% ninhydrin v ethanolu. Materiál: Silufol, chromatografická vana se sklem na překrytí, elektrický fén, rozprašovač aerosolu, tužka, pravítko, špičky pro nanášení vzorků, sušárna. Pracovní postup: Na Silufolu vyznačíme tužkou jemně slabou čáru 2,5 cm od okraje (start). Jednotlivé vzorky aminokyselin nanášíme špičkou, vždy 3-4 kapky na stejné místo a průběžně sušíme fenem, aby nedošlo k rozpití skvrny. Skvrny vzorků nesmí být větší jak 3-5 mm. Fólii vložíme do chromatografické vany s mobilní fází tak, aby mobilní fáze vstupovala na fólii u startu. Jakmile se čelo dostane do vzdálenosti 2 cm od konce fólie, destičku vyjmeme, označíme čelo a fólii vysušíme na vzduchu. Poté ji postříkáme aerosolem ninhydrinu a zahřejeme v sušárně 10 minut při 110°C. Vyhodnocení: Do tabulky zapíšeme hodnoty Rf standardních aminokyselin a hodnotu neznámých aminokyselin. Porovnáme hodnoty Rf a barvu skvrn. Tabulka 1. Detekce aminokyselin TLC Aminokyselina

barva skvrny

24

Rf

neznámý vzorek

4.2 Důkaz bílkovin 4.2.1 Xantoproteinová reakce Princip: Xantoproteinová reakce spočívá v nitraci aromatického jádra příslušných aromatických aminokyselin v proteinu (tryptofan, tyrozin, a fenylalanin). Působením kyseliny dusičné nastává nitrace aromatického jádra za vzniku žlutých nitrosloučenin. Nitrosloučeniny absorbují fotony modrého spektra, a proto mají žlutý charakter (doplňková barva modré je žlutá). Chemikálie: roztok vaječného bílku (v 50 ml vody), koncentrovaná kyselina dusičná, koncentrovaný amoniak. Materiál: stojan se zkumavkami, Pasteurovy pipety, hrnec, vařič, stojan na zkumavky do hrnce. Pracovní postup: Do zkumavky napipetujeme 2 ml roztoku vaječného bílku a přidáme 1 ml koncentrované kyseliny dusičné a povaříme 5 minut na vodní lázni. Vznikne žlutá sraženina. Po vychladnutí se do zkumavky přidají 2 ml koncentrovaného amoniaku. Po dosažení alkalické reakce bude směs oranžová. 4.2.2 Biuretova reakce Princip:Měďnaté ionty vytvářejí v alkalickém prostředí s peptidovou vazbou komplexní sloučeniny. Vzniklý komplex silně absorbuje světlo v oblasti 540-560 nm. Biuretovu reakci poskytují látky, které mají v molekule alespoň dvě peptidové vazby (-CO-NH-) nebo dvě skupiny –CO-NH2. Reakce není specifická jen pro bílkoviny. Nejjednoduší sloučenina, která reaguje s měďnatými solemi v alkalickém prostředí, je biuret (kondenzační produkt močoviny), který obsahuje dvě peptidové vazby. Aminokyseliny ani dipeptidy nereagují. Chemikálie: roztok vaječného bílku ve vodě (50 ml vody), 10% NaOH, 5% CuSO4, mléko, krystalky močoviny. Materiál: stojan se zkumavkami, Pasteurovy pipety, kádinka, skleněná tyčinka, hrnec, vařič, stojan na zkumavky do hrnce, pH papírky, kahan. Pracovní postup: Do zkumavky dáme 2 ml roztoku vaječného bílku a přidáme 2 ml 10% NaOH. Promícháme a po kapkách přidáváme 5% CuSO4 až do vzniku modrofialového zbarvení. Pracovní postup s močovinou: Do suché zkumavky dáme 0,5 g močoviny a opatrně zahříváme nad plamenem. Po chvíli začne unikat amoniak, který lze poznat čichem nebo detekovat pomocí pH-papírku. Po vychladnutí se do zkumavky přidá 1 ml 10% NaOH a několik kapek roztoku 5% CuSO4. Reakce má název podle biuretu (peptidová vazba CO-NH), který vzniká reakcí dvou molekul močoviny za odštěpení amoniaku a ten dává s měďnatou solí fialový komplex. 4.2.3 Důkaz bílkoviny (keratinu) ve vlasech Chemikálie: 10% NaOH, 1% CuSO4. Materiál: vlasy, zkumavka, hrnec se stojanem na zkumavky, vařič, Pasteurovy pipety.

25

Pracovní postup: Chomáček vlasů povaříme s roztokem 10% NaOH. Po vychladnutí přidáme po kapkách roztok 1% CuSO4. Vznikne modrofialové až červenofialové zbarvení, což dokazuje přítomnost keratinu – bílkoviny ve vlasech. 4.2.4 Důkaz bílkoviny (lepku) v mouce Úvod: Lepek je směs dvou bílkovin gliadinu a gluteninu, které se nacházejí v endospermu semen některých obilovin (pšenice, žito, ječmen). Podle obsahu lepku se posuzuje kvalita mouky. Čím více lepku a méně škrobu, tím lepší mouka. Lepek dává těstu pružnost a gumovost. U malé části populace se projevuje nesnášenlivost na lepek, tzv. celiakie. Lepek je jedním z alergenů. V případě zjištění tohoto onemocnění, je třeba dodržovat bezlepkovou dietu. Chemikálie: mouka, ethanol, 10% NaOH, 1% CuSO4. Materiál: zkumavky, stojan s filtračním kruhem, nálevka, filtrační papír, Pasteurovy pipety. Pracovní postup: 1 g mouky zalijeme ve zkumavce 5 ml ethanolu a 5 minut protřepáváme. Necháme ustát a přefitrujeme přes papírový filtr. Filtrát zahříváme na vodní lázni, až se vytvoří sraženina. Sraženinu oddělíme od roztoku filtrací a provedeme biuretovu reakci. Sraženinu přemístíme do zkumavky a přidáme 2 ml 10% NaOH a 1015 kapek 1% roztoku CuSO4. Vznikne modrofialové zbarvení, což je důkaz bílkoviny (lepku) v mouce.

5. Závěr Bílkoviny a jejich hydrolytické produkty aminokyseliny se vyskytují ve všech živých organismech. Důkaz a především kvantitativní stanovení bílkovin či aminokyselin je důležité v mnoha oborech. Velký význam má stanovení bílkovin a aminokyselin při analýze potravin a také v klinické biochemii. 6. Použitá literatura 5. 6. 7.

Peč P. a kolektiv (2008). Laboratorní cvičení z biochemie UP Olomouc. Zajoncová L. a kolektiv (2012) Vybrané kapitoly z chemie (nejen pro střední školy) UP Olomouc. Zajoncová L. (2004) Praktická cvičení z klinické biochemie pro biochemiky UP Olomouc.

26

FYZIKA

27

ENVIRONMENTÁLNÍ FYZIKA

Renata Holubová Katedra experimentální fyziky , Přírodovědecká fakulta UP, Tř. 17. listopadu 12, Olomouc, Česká republika. E-mail: [email protected] Abstrakt V příspěvku jsou vymezeny základní okruhy problémů, které řeší environmentální fyzika. Zvláštní pozornost je věnována problematice globálních problémů - oteplování a problému šetření energií. S tím souvisí otázky stavby nízkoenergetických domů. Jsou vymezeny základní charakteristiky nízkoenergetických a pasivních domů. Klíčová slova: environmentální, fyzika, pasivní dům, globální problémy 1. Úvod Počátky environmentální výchovy sahají do 1. poloviny 20.století, kdy environmentalistika byla chápána jako „výchova k ochraně přírody“. Na mezinárodním fóru byl její obsah definován mezinárodní konferencí o biosféře UNESCO v Paříži v roce 1968 a dále upřesňován celosvětovým programem IEEP organizací UNESCO a UNEP. Environmentalistikou v dnešním pojetí rozumíme zkoumání vzájemného působení člověka a ekosystémů. Environmentalistika se také zabývá prevencí znečišťování prostředí a nápravou vzniklých škod a prevencí nežádoucích zásahů. Nezbytnou součástí environmentálního vzdělávání je studium životního prostředí prostřednictvím jednotlivých vědních oborů. V neúplném výčtu environmentalistika zahrnuje: ochranu přírody i člověka (péči o zdraví lidské populace), monitoring složek životního prostředí, využívání přírodních zdrojů, nakládání s energiemi. Environmentální fyzika zahrnuje nejen studium fyzikálního prostředí, ale její součástí jsou aspekty fyziky atmosféry, půdy, různé aspekty aplikované fyziky apod. Je definována jako fyzika odhalování a měření environmentálních problémů s využitím přístrojového zabezpečení různých oblastí fyziky a využitím metod matematické fyziky. Řešené problémy úzce souvisí se společností a s ekonomickým systémem společnosti. a) Souvislost s ekonomickým systémem: zdroje energie a jejich přeměna v mechanickou energii a elektřinu jsou zdrojem znečištění na své cestě k využití v zemědělství, průmyslu, domácnosti. Je třeba měřit míru znečištění ve všech oblastech (hluk, znečištění vzduchu – změny klimatu, transport odpadů do míst vzdálených od zdroje jejich vzniku). b) Většina problémů řešených environmentální fyzikou souvisí s problémem energie. c) Život ve skleníku: život je ovlivněn určitými danými fyzikálními podmínkamipovrch Slunce má teplotu asi 5800 K, emisní spektrum má maximum při vlnové délce 500 nm odpovídající energii fotonů 2,48 eV (vznik fotochemických reakcí), vzdálenost Země – Slunce (1,49.1011 m) a poloměr Země (6,4.106 m) vede k zachycení 0,46.10-9 části sluneční energie. Předpokládáme-li, že Slunce září jako

28

absolutně černé těleso o poloměru 6,96.108 m a teplotě 5800 K, lze zjistit, že na Zemi dopadá 1399 W.m-2 energie. Aktuální hodnota solární konstanty je málo nižší S ≈ 1370 W.m-2. Je to hodnota, která zajistí průměrnou teplotu povrchu zemského 288 K (15 oC). d) Hmotnost Země (6.1024 kg ) a její poloměr je právě taková, že je schopna udržet atmosféru. Za stacionárního stavu je energie absorbovaná od Slunce stejná jako energie vyzářená Zemí, považujeme-li Zemi za AČT o teplotě asi 255 K. Část energie Slunce je však odražena zpět do prostoru - tzv. albedo a (difúzní koeficient reflexe). Rovnice energetické rovnováhy má potom tvar

(1 − a )πR 2 S = 4πR 2σT 4 ,

(1) kde a = 0,34. Průměrná teplota povrchu Země je 288 K, atmosféry 255 K. Relativně vysoká teplota povrchu Země je způsobena přítomností plynů v atmosféře (vodní pára, CO2, O3, N2O, CH4). Tyto plyny absorbují větší část teplotní radiace Země a odrážejí ji zpět na zemský povrch. Atmosférou prochází záření kratších vlnových délek, dlouhovlnné záření je pohlcováno – tento jev je tzv. skleníkový efekt. Změna koncentrace těchto výše uvedených skleníkových plynů ovlivňuje změny klimatu na Zemi. V této souvislosti v rámci environmentální problematiky vyčleňujeme globální problémy lidstva v sociální rovině: · 1,1 miliardy lidí bez přístupu k čisté pitné vodě a 2,6 miliardy se potýká s problémy s odpadní vodou · do r. 2030 bude svět potřebovat o 55 % více potravin než v současnosti, · spotřeba přírodních zdrojů i vyrobené energie je velmi nerovnoměrná – třetina světového obyvatelstva nemá částečně nebo vůbec přístup k elektřině · v 19. st. bylo na Zemi jen 1,2 miliard obyvatel a v r. 2000 už 6 miliard (ve 2. polovině 20. století nastal l00% nárůst obyvatelstva) · zvyšuje se průměrný věk · některé prognózy odhadují v r.2050 počet obyvatel na 10 miliard · největší populační exploze nastává v rozvojových zemích, kde je ale velmi špatná ekonomická situace à nestabilita, konflikty, války. Mezi další globální přírodními problémy lze zařadit: narušení ozónové vrstvy, degradace půd, odlesňování, ztráta různorodosti – biodiverzity, kontaminace vod a půd. I když výčet problémů je rozsáhlý, za hlavní a nejvíce diskutovaný problém lze v přírodě považovat klimatické změny a problém energetických zdrojů. Většina vědců považuje za příčinu oteplování uvolňování skleníkových plynů důsledkem lidské činnosti, zejména při spalování fosilních paliv. Mezi závažné důsledky řadíme tání pevninských ledovců, zvýšení hladiny moří a tím zatopení nízko položených oblastí. Následně zesílí vysychání rozsáhlých oblastí - např. v Africe, Střední Asii , dojde k posunu vegetačních pásem ve všech oblastech, Evropu nevyjímaje. K tomu je nutno připočíst zvýšení frekvence přírodních extrémních katastrof díky vyšší vnitřní energii atmosféry.

29

Např.v osmi z devíti ledovcových oblastí dochází k úbytku objemu ledovců, jak je vidět na obrázcích níže. V letech 1850 - 1980 došlo poklesu o 30 % plochy, v období 1980 – 2000 k poklesu o 20 % a v létě 2003 o dalších 10 %. U alpských ledovců ve Švýcarsku byl registrován úbytek 1,3 % za rok. Předpokládá se, že v roce 2035 bude ztráta 50 % , v roce 2050 - ztráta 75 %, v roce 2100 – ztráta 100 % (pod 2500 m n.m). Naopak v Norsku dochází k rozšiřování pobřežních ledovců v Norsku vlivem nárůstu srážek. 2. Tání ledovců a úroveň hladiny moře Koeficient teplotní roztažnosti mořské vody je roven 3.10-4 oC-1. Pokud tuto informaci aplikujeme na situaci v mořích, při zvýšení teploty moře o 1 oC dojde ke zvětšení objemu vody o 0,03%. V reálné situaci stačí uvažovat hloubku prohřátí moře 500 m (hlouběji se energie slunečního záření nedostane), jednoduše vypočítáme 500 m x 0,03% = 0,15 m. Odtud plyne, že zvýšení hladiny moří vlivem globálního oteplování je v průměru 10 cm. Vliv tání ledovců na pólech Antarktida – jižní pól obsahuje 90% světového ledu, jehož průměrná tloušťka je h = 2000 m. Teplota ledu je t = - 37 oC. Pokud by roztál všechen tento led, došlo by ke zvýšení hladiny moří v průměru o 61 cm. Z hlediska polohy naší země ve středu Evropy nás zajímá snad nejvíce situace v Grónsku a otázky ohledně tání grónského ledovce. Vlivem vody z tajícího Grónského ledu mohutní oceán o 50 miliard tun vody za rok. Souhrnně lze říci, že vzhledem k anomálii vody má změna teploty na zvýšení hladiny oceánů dramatický vliv. Největší hustotu má voda při teplotě asi 4 oC, pod a nad touto teplotou hustota klesá (stejná hmotnost vody zaujímá větší objem). Zvětšení objemu vody vede ke zvýšení hladiny oceánů. Voda z tajících ledovců má navíc jiné složení než mořská voda – má menší obsah solí (menší koeficient solvatace), proto je lehčí a zůstává na povrchu mořské vody, která má větší hustotu. Na základě analýzy dosud shromážděných dat byly učiněny předpovědi až do roku 2100. Předpovídané zvýšení hladiny oceánů by mělo činit asi 50 cm (rozpětí je 15 až 95 cm).

ČR - modelové scénáře pro rok 2050: • zvýšení průměrné teploty o 0,9 až 3,0 °C •

zvyšování maximální teploty

•

vyšší počet dní s extrémními teplotami

•

častější střídání extrémně teplých, resp. chladných období zejména v létě

•

pokles ročních úhrnů srážek o 0,2 až 0,6 % za rok

•

posun k nižším srážkovým úhrnům na jaře a v létě, k vyšším v zimě

•

častější výskyt extrémních povětrnostních jevů

30

Obr. 1 Snímky téhož ledovce v Alpách s odstupem 15 let 3. Obnovitelné zdroje energie Odhady výkonů jednotlivých typů obnovitelných zdrojů v TW (biliony terawattů W 1012): Vodní energie 3 Geotermální energie 2 Energie slapů 0,04 Sluneční energie 2,2 Tepelná energie oceánů 1 Biochemická konverze 6 Srovnáme-li tyto hodnoty se současnou kapacitou světové energetiky, která přesahuje 10 TW, je zřejmé, že na obnovitelné zdroje nelze spoléhat jako na reálnou alternativu fosilních paliv či uranu. Uvedená čísla vyjadřují totiž teoretickou maximální kapacitu jednotlivých zdrojů bez ohledu na reálné technické možnosti a náklady na jejich využití v praxi v současnosti a blízké budoucnosti.

31

Dnešní využití sluneční energie je jedním z hlavních problémů, které řeší energetika. Sluneční kolektory, které byly v posledních letech vybudovány, pokrývají střechy domů i rozsáhlá území ve volné přírodě – jejich celková plocha se odhaduje na 8 milionů m2. Úkol všech zařízení využívajících energie Slunce je převést co nejvíce dopadající sluneční energie na teplo, kterým se ohřívá pracovní látka. Současné koncepce solárních termických systémů obsahují několik střešních kolektorů zapojených do okruhu s čerpadlem, které zaručuje oběh pracovní kapaliny. Teplo z absorbéru tekutina předává trubkovým výměníkem do zásobníku horké vody. Menší systémy mají přídavné topení – v zimě, noci apod. dodávají teplo, aby teplota neklesla pod nastavenou úroveň. Domy využívající solární energie řadíme do skupiny nízkoenergetických domů. Podle spotřeby energie z tradičních zdrojů rozlišujeme několik typů těchto domů – od nízkoenergetických až po nulové. Teorie pro popis činnosti těchto domů zahrnuje následující pojmy: • výpočet energie E = λ ( S / D )∆T .t

tloušťka stěny rozdíl teplot vně a uvnitř znalost koeficientu tepelné vodivosti (W/mK) jednotlivých stavebních materiálů (izolátory 0,1-0,3, beton 2,1, měď 380) • znalost koeficientu prostupu tepla k Při stavbě domů je třeba dbát na vhodnou plochu oken (v létě přehřátí x velké tepelné ztráty v zimě). Z hlediska architektonického je třeba dodržet vhodný poměr vnějšího povrchu A a objemu V domu. Poměr A/V určuje tvar domu: např. tvar iglú má poměr A/V = 0,78, tvar domu jako bungalov má poměr A/V = 1,01. Typický dům se střechou skolenou pod úhlem 45o má poměr A/V= 0,82, pokud je sklon střechy jen 22o, změní se poměr na hodnotu 1,01. •

4. Kategorie nízkoenergetických domů: nízkoenergetický dům – roční spotřeba energie z rozvodné sítě je 30-70 kWh/m2 pasivní dům – roční spotřeba energie z rozvodné sítě pod 15 kWh/m2 – toho lze dosáhnout izolací s k < 0,15 W/m2K střechy, vnějších zdí, vyloučení existence tepelných mostů, izolační (plastová) okna s k = 0,85 orientovaná na jih, využití solární energie na vytápění nulový dům – nepotřebuje žádný zdroj energie zvenku Příklad řešení nízkoenergetického domu je na obrázku 2, na obrázku 3 je ukázka kolektorového okna.

32

Obr. 2 Řešení nízkoenergetického domu

33

Obr. 3 Kolektorové okno

Obr. 4 Spotřeba energie v domácnosti

34

Z historie pasivních domů Koncepci pasivních domů nastínili jako první v roce 1988 Dr. Wolfgang Feist a prof. Adamson a již v roce 1990 byl položen základní kámen prvního pasivního domu. V roce 1997 již existují sídlištní projekty výstavby pasivních domů, např. ve Wiesbadenu u Kolína. Konec 90.let 20. století je ve znamení rozvoje výstavby v Rakousku, Německu a Švýcarsku. První stavba tohoto domu v ČR vznikla v roce 2004.

5. Parametry pasivního domu

Měrná potřeba tepla na vytápění (kWh/m2 .a) Tabulka 1 Potřeba tepla na vytápění Kategorie budovy kWh/m2.a Starší budovy

Často více než dvojnásobek hodnot pro obvyklé novostavby

Obvyklá novostavba (podle aktuálních závazných požadavků)

80-140 v závislosti na faktoru tvaru A/V

Nízkoenergetický dům

< = 50

Pasivní dům

< = 15

Nulový dům

<5

Celková potřeba primární energie Jedná se o výpočet potřeby primární energie na vytápění, ohřev teplé vody, větrání, chlazení, elektrospotřebiče a osvětlení v kWh vztaženou na 1 m2 posuzované plochy budovy za rok. Pro pasivní dům musí být celková potřeba primární energie musí být maximálně 120 kWh/ (m2.a) Celková neprůvzdušnost n 50 – (1/h) Celková neprůvzdušnost vyjadřuje těsnost pomocí množství vzduchu proniknuvšího do ( nebo z) objektu netěsnostmi za 1 hodinu při rozdílu tlaků uvnitř a vně 50 Pa. Množství vzduchu je vyjádřeno poměrem k objemu sledovaného objektu.

35

Pasivní dům má hodnotu n 50 maximálně 0,6 (1/h). To znamená, že při zkušebním tlaku o velikosti 50 Pa může netěsnostmi uniknout za 1 hodinu maximálně 60 % z celkového objemu vzduchu v daném prostoru. Z hlediska topné soustavy v domě je nízkoenergetický dům vybaven topnou soustavou o nižním výkonu, charakteristické je využití obnovitelných zdrojů, dobře zateplené konstrukce, řízené větrání. Pasivní dům je vybaven pouze teplovzdušným vytápěním s rekuperací tepla, má vynikající parametry tepelné izolace, velmi těsné konstrukce. Půjdeme-li ještě dál existuje koncepce nulového domu, který má parametry minimálně na úrovni pasivního domu, má velkou plochu fotovoltaických panelů jako zdroje energie. Shrneme-li požadavky na to, jak docílit co nejmenších úbytků energie v domácnosti, patří sem zejména: • silná vrstva tepelné izolace •

kompaktní tvar budovy (A/V)

•

omezení volně stojících budov – řadové a blokové výstavby

•

omezení složitých tvarů v obvodových ochlazovaných konstrukcí

Co je v této souvislosti samozřejmě také důležité, ale nikoliv primární: • orientace na jih a nezastínění budovy •

ohřev vody obnovitelnými zdroji energie

•

úsporné domácí elektrospotřebiče

Obr. 5 Příklad nízkoenergetického domu

36

6. Závěr Environmentální vzdělávání je jedním z průřezových témat v Rámcových vzdělávacích programech a není možné tuto problematiku podceňovat. Vzhledem k tomu, že stěžejní otázkou, které environmentalistika řeší, je problém energií, je to právě fyzika, která může velkou mírou přispět k environmentální výchově žáků na základních a středních školách. A právě jednou z oblastí, kde je možné aplikovat poznatky z fyziky, je problematika nízkoenergetických domů. 7. Poděkování Příspěvek byl zpracován s podporou projektu OPVK „Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko výzkumné práci v oblasti přírodních věd.“, reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040. 8. Použitá literatura 1. AUGUSTA, P. A KOL.(2001). VELKÁ KNIHA O ENERGII. L.A. CONSULTING AGENCY, SPOL.S.R.O., PRAHA. 2. BOTKIN, D.B., KELLER,E.A.(2000). ENVIRONMENTAL SCIENCE. JOHN WILEY. NEW YORK. 3. FRANTA. J. A KOL.(2000). FYZIKÁLNÍ KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ. UK PRAHA, MFF, XIII. ROČNÍK 1999/2000. 4. HALLIDAY, D., RESNICK,R., WALKER, J.(2001). FYZIKA. VUT BRNOVITIUM, PROMÉTHEUS, EDICE PŘEKLADY VŠ UČEBNIC. 5. LOVINS, A. B.(1993). FAKTOR ČTYŘI. MINISTERSTVO ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ ČR. 6. HTTP://WWW.PED.MUNI.CZ/WPHY/OLOMOUC/MINDMAN2-7.HTM 7. HTTP://EKOLIST.CZ

37

KLASICKÁ OPTICKÁ HOLOGRAFIE

Tomáš Medřík Katedra optiky a optoelektroniky Palackého univerzity, 17. listopadu 12, Olomouc, Česká republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Příspěvek bude zaměřen na princip optické holografie, konkrétně na podmínky záznamu a rekonstrukce hologramů a také na jejich vlastnosti. Na úvod bude objasněn princip optické holografie, jako metoda záznamu informace. Přiblížíme si historický vývoj holografie od prvotní myšlenky až do dnešní doby, kdy hologramy postupně pronikají do našeho běžného života. Seznámíme se s vlastnostmi a parametry vybraných typů hologramů a podíváme se na některé metody výroby hologramů. Podrobněji se zaměříme na reflexní a tištěné hologramy, se kterými se ve svém okolí můžeme v dnešní době setkat nejčastěji. Klíčová slova: popularizace fyziky, optika, optická holografie, hologram, interference, difrakce, laser. 1. Úvod Holografie, jako forma záznamu informace, je jednou z mála metod, která umožňuje zaznamenat amplitudu i fázi světelné vlny. Termín holografie vznikl složením dvou původem řeckých slov „holos“ – úplný a „grafo“ – záznam. Za jejího objevitele je označován britský fyzik maďarského původu D. Gabor, který v roce 1948 realizoval první hologramy a v roce 1971 obdržel za objev principu holografie Nobelovu cenu za fyziku. Gaborem vymyšlený dvojstupňový proces rekonstrukce vlnoplochy se stal základem optické holografie. 2. Princip holografie Základní princip holografie spočívá ve dvoustupňovém procesu, kdy prvním stupněm je záznam hologramu pomocí interference (skládání) světelných vln. Lze tak zaznamenat informaci o amplitudě i fázi vlny, přestože záznamové prostředí reaguje pouze na intenzitu (amplitudu). Zakladatel holografie, britský fyzik maďarského původu D. Gabor, získal první hologramy tak, že nechal interferovat světlo procházejícím předmětem (diapozitivem) s pozadím – referenční vlnou, obr. 1. a). Při záznamu hologramu tedy interferuje předmětová vlna, vzniklá zářením rozptýleným od předmětu s vlnou referenční, jejíž vlnoplocha je známá. Výsledné interferenční pole je zaznamenáno do záznamového prostředí (např. speciální fotografické emulze). Po zpracování záznamového materiálu s naexponovaným interferenčním polem, dostaneme optický prvek – hologram. Osvětlením zaznamenaného hologramu vhodným rekonstrukčním zdrojem (nejlépe původní referenční vlnou) na něm dochází k difrakci a tím k rekonstrukci předmětové vlny. V případě Gaborova osového hologramu dochází při rekonstrukci ke vzniku virtuálního obrazu a reálného obrazu, viz. obr. 1. b).

38

K nevýhodám takového typu holografického uspořádání patří přesvětlení rekonstruovaného obrazu pozadím a překrytí virtuálního a reálného obrazu (oba se rekonstruují na ose) při rekonstrukci hologramu.

Obr. 1. a) Záznam Gaborova osového hologramu, b) rekonstrukce Gaborova osového hologramu 3. Holografie před vynálezem laseru D. Gabor realizoval svůj holografický princip ještě před vynálezem laseru (první laser byl sestrojen v roce 1960). Pro záznam hologramů je využívána interference světelných vln. Podmínkou pro vznik interference je koherence záření, což znamená, že záření musí být monochromatické (mít stejnou frekvenci) a musí mít stejnou fázi nebo fázový rozdíl v každém bodě a čase. Pro získání záření s požadovanými parametry potřebujeme speciální zdroj záření. Než byl objeven laser, byly tyto zdroje realizovány pomocí výbojek. Výbojky vyzařují čárové světelné spektrum, ze kterého vybereme pomocí filtru jednu spektrální čáru (jednu frekvenci) a získáme tak monochromatické záření. Následně musíme provést prostorovou filtraci pomocí vhodné clonky s malým kruhovým otvorem. Na základě těchto úprav záření z výbojky získáme světelnou vlnu s malým, ale dostatečným stupněm koherence, který je postačující pro vznik interferenčního obrazce. Ještě v době před použitím laseru k záznamu hologramu navrhl ruský vědec J. N. Denisjuk v roce 1962 jiný typ uspořádání pro záznam hologramu. V jeho holografickém uspořádání je předmět umístěn za záznamovým materiálem. Vlna, která prochází záznamovým prostředím a tvoří referenční vlnu, interferuje s vlnou odraženou od předmětu. Interferují tedy vlny, které se šíří proti sobě. V této konfiguraci dochází k záznamu takzvaných reflexních objemových hologramů. K jejich rekonstrukci již nemusíme používat laser, lze je rekonstruovat bílým světlem, např. pomocí žárovky nebo denním světlem. O jejich vlastnostech se více zmíníme v další části textu. 4. Holografie po objevu laseru V roce 1960 byly představeny první LASERy („Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation“, „zesílení světla stimulovanou emisí záření“), konkrétně pevnolátkový rubínový pulzní laser a také plynový hélium-neonový (HeNe) kontinuální laser. Lasery jsou zdrojem záření s vysokým stupněm koherence, která je podmínkou pro vznik interference. Díky tomu a navíc díky dostatečnému výkonu se staly klíčovým prvkem pro další rozvoj holografie. Již v roce 1962 použili laser k záznamu hologramu američtí vědci E. N. Leith a J. Upatnieks, kteří také navrhli nový typ holografického uspořádání pro záznam hologramů. Holografickou soustavu uspořádali tak, že

39

předmětová vlna již neinterferovala pouze s pozadím, ale se samostatnou světelnou vlnou – referenčním svazkem. Touto úpravou získali tzv. mimoosové holografické uspořádání, které umožňuje záznam třídimenzních předmětů a odstraňuje nevýhody Gaborova osového holografického uspořádání. Při následné rekonstrukci již nedochází k vzájemnému překrývání rekonstruovaných obrazů, ty jsou prostorově odděleny a také nejsou přesvětleny pozadím. Příkladem takového mimoosového holografického uspořádání je sestava, znázorněná na obr. 2., která slouží pro záznam transmisních hologramů. Podrobnější popis holografického uspořádání pro záznam transmisního plošného hologramu je v následujícím textu.

Obr. 2. Příklad holografického uspořádání pro záznam transmisního mimoosového hologramu. 5. Příklady holografických uspořádání a vlastnosti hologramů V dnešní době existuje velké množství různých experimentálních uspořádání a technik pro záznam hologramů. Také můžeme hologramy zaznamenávat nejen do speciálních fotografických materiálů, ale i do jiných záznamových prostředí, např. do fotorezistu, fotopolymeru apod. Na základě volby holografického uspořádání, záznamového materiálu a dalších parametrů dostáváme hologramy s velmi odlišnými vlastnostmi. Jelikož není možné v rámci jednoho příspěvku popsat všechny typy hologramů, uvedeme si zde pouze některé příklady. První skupinou hologramů, na jejichž vlastnosti se zaměříme, budou transmisní amplitudové plošné hologramy. Druhou skupinou budou reflexní fázové objemové hologramy. Přiblížíme si parametry jednotlivých holografických uspořádání pro jejich záznam a vlastnosti, které mají tyto dvě skupiny hologramů při rekonstrukci. 5.1. Záznam a rekonstrukce transmisních amplitudových hologramů

40

K záznamu plošných transmisních hologramů bylo použito mimoosové holografické uspořádání, které je schématicky znázorněno na obr. 2. Zdrojem záření je v tomto případě kontinuální plynový HeNe laser s výkonem 10 mW a vlnovou délkou 632,8 nm. K nastavení správné doby expozice je použita mechanická fotografická závěrka. Svazek z laseru je rozdělen pomocí speciálního polarizačního děliče na dvě vlny: předmětovou a referenční. Předmětová vlna, která je odkloněna děličem, se po odrazu na zrcátku rozšíří čočkou tak, aby dostatečně osvětlovala předmět. Od předmětu se světelná vlna odráží a dopadá na záznamový materiál, kde interferuje s referenční vlnou. Ta prochází děličem svazku a po odrazu na zrcátku prochází čočkou, která ji rozšíří tak, aby osvětlovala záznamový materiál. V místě záznamového materiálu dochází k interferenci světla a vzniká interferenční pole. Na rozdíl od klasické fotografie je informace o jednotlivých bodech předmětu zapsána po celé ploše hologramu v podobě kombinace interferenčních maxim a minim (světlých a tmavých proužků). Toto interferenční pole je zachyceno na záznamový materiál, kterým je v našem případě speciální holografická emulze. Konkrétně se jedná o halogeno-stříbrnou emulzi (obdobu klasické fotografické emulze) firmy Agfa Gevaert s označením 10E75. Pomocí fotografické závěrky naexponujeme interferenční pole na tento materiál, který následně chemicky zpracujeme. Chemický proces se v našem případě skládá ze dvou kroků: z vyvolání naexponované holografické desky ve vývojce a následného ustálení. Po tomto chemickém zpracování následuje sušení za pokojové teploty. Výsledný transmisní hologram má amplitudovou propustnost, úměrnou intenzitě zaznamenaného interferenčního obrazce. K rekonstrukci vyvolaného hologramu použijeme stejný referenční svazek, který byl použit při záznamu. Na obr. 3. je znázorněna rekonstrukce transmisního plošného amplitudového hologramu původním referenčním svazkem. Hologram vytváří tři světelné vlny, nultý řád a dva difrakční řády. Nultý řád je neodkloněný a nenese informaci o původním předmětu. Difraktované vlny, vytváří virtuální obraz předmětu, který pozorujeme za hologramem, na místě původního předmětu a odkloněný reálný obraz, který v tomto uspořádání nepozorujeme. Na obr. 4. jsou pak ukázky rekonstruovaných plošných transmisních amplitudových hologramů.

41

Obr. 3. Rekonstrukce transmisního amplitudového hologramu.

Obr. 4. Rekonstruované transmisní amplitudové hologramy pomocí HeNe laseru.

42

5.2. Záznam a rekonstrukce reflexních objemových hologramů Tento typ hologramů zaznamenáváme pomocí upraveného Denisjukova holografického uspořádání. Příklad takového holografického uspořádání je na obr. 5. Svazek ze HeNe laseru o výkonu 10 mW a vlnové délce 632,8 nm, prochází přes fotografickou závěrku. Ta stejně jako v předchozím případě, slouží k nastavení správné expoziční doby. Dále se svazek odráží od zrcátek, je rozšířen a filtrován pomocí prostorového filtru. Takto upravený svazek prochází skrz holografickou desku se záznamovým materiálem, kterým je speciální halogeno-stříbrá emulze. Po průchodu záznamovým prostředím dopadá vlna na předmět, od kterého se odráží zpět, směrem k záznamovému prostředí. Vlna, procházející záznamovým materiálem, tvoří referenční vlnu a vlna, odražená od předmětu tvoří předmětovou vlnu. Interferují tedy vlny, které se šíří proti sobě. V místě záznamového prostředí vzniká interferenční pole, které je zaznamenáno. Pro záznam reflexních hologramů jsou v naší laboratoři využívány emulze firmy Slavich PFG-03C a PFG-03M, určené k záznamu reflexních hologramů. Emulze s označením PFG-03C je určená pro záznam barevných hologramů a je spektrálně citlivá v mnohem větším intervalu vlnových délek, než emulze PFG-03M. Lze na ni zaznamenat hologramy i jiným než červeně svítícím laser. Emulze PFG-03M je určena výhradně pro červenou část spektra a lze na ni exponovat hologramy pouze červeně svítícím laserem (např. HeNe laserem). Obě emulze jsou naneseny na skleněných deskách a liší se nejen svými parametry (např. již zmíněnou spektrální citlivostí), ale i chemickými procesy pro jejich zpracování. Ty jsou mnohem komplikovanější (obsahují více chemických lázní) než u předchozího typu holografických desek Agfa. Abychom získali reflexní fázové hologramy, musíme tedy použít jiné chemické lázně a jiné chemické procesy při zpracování záznamového materiálu, než jsme použili v případě transmisního amplitudového plošného hologramu. Složení chemických lázní a doby jejich působení na holografickou desku jsou stanoveny výrobcem holografických desek.

Obr. 5. Příklad holografického uspořádání pro záznam reflexního objemového hologramu.

43

Mezi základní vlastnosti reflexních fázových objemových hologramů patří možnost takto zaznamenané a zpracované hologramy rekonstruovat pomocí bílého světla (např. denní světlo, žárovka), na rozdíl od transmisních amplitudových hologramů, kde musíme k rekonstrukci použít laser. Další odlišností od plošných amplitudových hologramů je skutečnost, že při rekonstrukci dostáváme pouze jeden difrakční řád, rekonstruuje se jeden obraz předmětu. Na obr. 6. je znázorněna sestava pro rekonstrukci reflexních hologramů pomocí zdroje bílého světla. Rekonstruovaný obraz předmětu pozorujeme v odraženém světle, proto reflexní hologramy, k rekonstrukci obrazu dochází ve vzdálenosti, ve které byl umístěn předmět za holografickou deskou. Při rekonstrukci reflexních hologramů musí být splněny podmínky, vyplývající z tzv. Braggova zákona. Ten nám určí úhel a vlnovou délku, které musíme použít při rekonstrukci reflexního hologramu. Reflexní hologramy se v tomto případě chovají jako filtry, které si z bílého spektra vyberou příslušnou vlnovou délku (barvu), při které je můžeme pozorovat. U některých hologramů nejsou podmínky na rekonstrukci tak přísné a lze je pozorovat i pod jiným úhlem, než jaký je dán Braggovým zákonem. V tomto případě se však hologram rekonstruuje jinou vlnovou délkou (vidíme jej v jiné barvě). Jestliže nesplníme Braggovu podmínku vůbec, hologram se nerekonstruuje, popřípadě klesá tzv. difrakční účinnost a hologram není dobře pozorovatelný. S reflexními fázovými hologramy se můžeme setkat v podobě holografických obrazů na různých výstavách a prezentacích.

Obr. 6. Uspořádání pro rekonstrukci reflexního objemového hologramu.

44

Obr. 7. Rekonstruované reflexní hologramy. 6. Tištěné (lisované) hologramy Tyto hologramy patří v dnešní době mezi nejběžnější, je téměř jisté, že se s nimi setkal již každý z nás. Pro jejich výrobu jsou využívány nejen optické, ale i jiné technologie a jejich vlastnosti se liší od hologramů popsaných výše. Protože se jejich realizaci přímo v naší laboratoři nevěnuje (jsou vyráběny komerčně několika firmami, u nás např. firmou Optaglio), zaměříme se pouze na popis procesu, jak takový hologram vzniká a čím se liší od předchozích typů. Uvedeme si stručně, co vše je potřeba realizovat a jaké technologie můžeme použít, než získáme finální matrici, která umožňuje tisk hologramů. Nejprve musíme získat tzv. master hologram. Mezi klasické optické postupy, jak vyrobit master hologram patří záznam tzv. duhového hologramu do fotorezistu. Tento záznamový materiál umožňuje na rozdíl od halogeno-stříbrných emulzí vznik reliéfní struktury, která je nutná při použití lisovacího procesu. Duhový hologram zaznamenáme pomocí dvoustupňového procesu, kdy musíme nejprve vyrobit hologram H1, který je předlohou při záznamu duhového hologramu H2. Hologram H1 můžeme zaznamenat v podobném holografickém uspořádání, jaké bylo použito při záznamu transmisního amplitudového hologramu, viz. obr. 2. Takto zaznamenaný a zpracovaný hologram H1 rekonstruujeme tak, že jej osvětlíme rekonstruční vlnou přes štěrbinu. Rekonstruovaný obraz použijeme jako předmět pro záznam duhového hologramu H2, obr. 8. Do místa rekonstruovaného obrazu z hologramu H1 vložíme desku s fotorezistem pro záznam duhového hologramu H2 a osvětlíme ji referenční vlnou. Vrstva fotorezistu je ovlivněna dopadajícím světlem, dochází ke změnám uvnitř materiálu, který při následném zpracování změní tloušťku. Výsledný reliefní duhový hologram můžeme rekonstruovat bílým světlem. Při rekonstrukci bílým světlem dochází se změnou polohy očí pozorovatele k rekonstrukci různě zbarvených holografických obrazů (proto duhový hologram), viz. obr. 9. Výroba reliéfního duhového hologramu je jednou z cest, jak získat master hologram. Jinou a dnes hodně často používanou cestou, jak získat master hologram je záznam syntetických (počítačově vytvořených) hologramů. Difrakční struktura hologramu se navrhne a napočítá v počítači a následně je zaznamenána pomocí optické nebo elektronové litografie. V těchto případech se reliéfní struktura zapisuje do fotorezistu bod po bodu a hologram již není získán interferencí dvou světelných svazků. Jestliže máme k dispozici master hologram následuje další část výroby matrice pro tisk hologramů.

45

Obr. 8. Záznam transmisního duhového hologramu.

Obr. 9. Rekonstrukce transmisního duhového hologramu. Základem pro zhotovení matrice, kterou jsou následně lisovány hologramy, je master hologram zaznamenaný do fotorezistu. Na vrstvu fotorezistu je napařena tenká vrstva stříbra, která slouží k lepšímu oddělení master hologramu od budoucí matrice. Po postříbření následuje galvanizace niklem. Dalším krokem je oddělení niklové matrice s vrstvou stříbra od fotorezistu. K dokončení výroby niklové matrice musí následovat chemické odloučení vrstvy stříbra. Takto získáme niklovou matrici, kterou můžeme použít pro lisování (tištění) hologramů např. do plastických fólií apod. Většinou se ještě vyrábějí kopie této matrice, které se používají při lisování a primární matrice se uchovává pro pozdější použití. Lisovací proces je založen na působení definovaného

46

tlaku a teploty, podle toho na jaký typ plastu je hologram lisován. Často se jedná o tenké průhledné fólie, do kterých se holografická struktura tiskne, podobně jako se tisknou noviny na rotačních tiskařských strojích. S tištěnými nebo také lisovanými hologramy se dnes setkáváme v běžném životě v podobě ochranných prvků proti padělání na nejrůznějších výrobcích (bankovkách, kreditních kartách, dálničních známkách, apod.). Využívá se skutečnosti, že takto vytvořený hologram je díky svým jedinečným vlastnostem (jemné struktuře a dalším efektům) nekopírovatelný a je tak schopen zajistit ochranu před paděláním. Mezi často používané speciální ochranné prvky hologramů patří např. kinetické efekty (projevují se při pohybu hologramu), mikrotexty a skryté obrazy, které je možné zviditelnit pouze speciálními čtecími zařízeními (např. osvětlením UV zářením). Výše uvedené ochranné prvky lze kombinovat a docílit tak ještě vyššího stupně zabezpečení. Další častou aplikací tištěných hologramů jsou dekorační a ozdobné předměty např. ve formě samolepek. 7. Závěr Cílem příspěvku bylo seznámit se s klasickou optickou holografií a s jednotlivými typy hologramů. Byly prezentovány základní principy klasické optické holografie a některá typická holografická uspořádání určená k záznamu transmisních amplitudových plošných a reflexních fázových objemových hologramů. V další části byl stručně popsán postup výroby dnes nejběžnějšího typu hologramů, konkrétně tištěných (lisovaných) hologramů. Na přednášku navázala praktická část, kdy účastníci navštívili laboratoř holografie na katedře optiky a mohli se tak přímo seznámit s parametry holografického uspořádání a vlastnostmi vybraných typů hologramů. 8. Poděkování Příspěvek byl zpracován s podporou projektu OPVK „Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko výzkumné práci v oblasti přírodních věd.“, reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040. 9. Použitá literatura 1. Miler, M. (1974). Holografie. Populární přednášky o fyzice. Svazek 22, SNTL Praha 2. Vrbová, M. a kol. (1994). Lasery a moderní optika. Prometheus Praha 3. http://www.holophile.com/history.htm 4. http://www.holography.ru/holoflash.htm 5. Saleh, B. E. A., Teich, M. C. (1996). Základy fotoniky 1 až 4. Matfyzpress Praha 6. http://vega.fjfi.cvut.cz/docs/sfbe/optika/node1.html 7. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/optmod/lascon.html 8. http://www.optaglio.cz 9. Dvořáková, P., Němcová, Š., Václavík, P. (2008). Holografie. Skripta ČVUT, Fakulta strojní, nakladatelství ČVUT Praha

47

MATEMATIKA

48

APOLLONIOVY A PAPPOVY ÚLOHY A KRUHOVÁ INVERZE

Jiří Hátle Katedra algebry a geometrie Univerzity Palackého v Olomouci, 17. listopadu 1192/12, 771 46, Olomouc, Česká republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Apolloniovy a Pappovy úlohy jsou soubory velmi zajímavých úloh, z nichž část je řešitelná prostředky středoškolské geometrie. K řešení některých úloh lze použít kruhovou inverzi, přičemž zvládnutí základů tohoto nelineárního zobrazení není zvlášť náročné, navíc za pomoci výpočetní techniky a vhodného volně dostupného softwaru. 1. Úvod Sestrojte kružnici trojúhelníku vepsanou a opsanou. Sestrojte kružnici, která prochází daným bodem a dotýká se dvou daných různoběžek. Sestrojte kružnici, která prochází daným bodem a dotýká se dané přímky v daném bodě. To jsou úlohy, které řeší žáci postupně na základní a střední škole. Dost možná aniž by věděli, že jsou to úlohy ze souboru tzv. Apolloniových a Pappových úloh. Výše zmíněné úlohy jsou žákům předkládány, neboť je lze řešit s tím, co se dosud naučili. Avšak některé další úlohy lze řešit po jejich krátkém seznámení s tématem kruhová inverze a osvojením si základních poznatků o tomto nelineárním zobrazení. Když k tomu navíc použijí počítač a snadno ovladatelný volně dostupný software, rychlé řešení úlohy je na světě. 2. Krátce z historie Apollónios z Pergy, který žil v letech 262 před n. l. - 190 před n. l., byl řecký matematik, fyzik a astronom. Velkou část svého života působil a tvořil v Alexandrii. Jeho největším dílem bylo osm knih o kuželosečkách – Kónika, ve kterém podrobně popsal kuželosečky jako řezy kužele rovinami, zavedl názvy elipsa, parabola, hyperbola, pojem ohniska, studoval polární vlastnosti, průměry, tečny, normály, evoluty a protínání kuželoseček, ovšem bez souřadnic a algebraického aparátu. Jsou po něm nazvány Apolloniovy úlohy, ve kterých hledáme kružnici, která se dotýká tří daných geometrických útvarů (bodů, kružnic, přímek). Těchto úloh je celkem deset. Pappos z Alexandrie, který žil ve 3. století našeho letopočtu, byl řecký matematik. O jeho životě se moc neví, zčásti se dochovalo jeho dílo – Matematická sbírka obsahující osm svazků, ve kterých jsou krom Pappových příspěvků i práce dřívějších matematiků s autorovým komentářem. Nejvýznačnějším přínosem je Pappova věta. Po něm jsou pojmenované Pappovy úlohy, což je soubor šesti úloh, ve kterých hledáme kružnici, která se dotýká dané přímky nebo kružnice v daném bodě a dále prochází bodem, nebo se dotýká kružnice či přímky.

49

3. Kruhová inverze Kruhovou inverzi lze dobře použít při řešení některých Apolloniových a Pappových úloh. Kruhová inverze je nelineárním zobrazením, kterým rozumíme takové zobrazení, v němž obrazem přímky nemusí být přímka. Obrazem přímky může být kružnice (kruhová zobrazení). Definice: Nechť je dána kružnice ω o středu S 0 a poloměru r0 . K bodu X ≠ S 0 jako vzoru přiřaďme jako obraz bod

X ′ takto: bod X ′ leží na polopřímce S 0 X a platí

S 0 X ⋅ S 0 X ′ = r02 . Takto určené zobrazení se nazývá kruhová inverze (dále KI). Poznámka: Kružnici

ω

nazýváme základní kružnice.

Poznámka: KI není vzájemně jednoznačné zobrazení. Vzájemná jednoznačnost lze zajistit rozšířením Eukleidovské roviny o nevlastní bod a přiřazením tohoto nevlastního bodu jako obrazu bodu S 0 . Konstrukce obrazu k danému bodu (podle Euklidovy věty o odvěsně)

-

vnější body vzhledem k základní kružnici se zobrazí do vnitřku kružnice vnitřní body vzhledem k základní kružnici se zobrazí vně kružnici bod na kružnici se zobrazí sám na sebe (samodružný bod)

Věta: Obrazem přímky

p procházející středem S 0 základní kružnice je tatáž přímka.

50

Poznámka: Tato přímka je slabě samodružná. Samodružné jsou pouze její dva body – průsečíky přímky se základní kružnicí. Věta: Obrazem přímky

p , která neprochází středem S 0 kruhové inverze, je kružnice

p ′ procházející středem S 0 (s výjimkou bodu S 0 ). Věta: Obrazem kružnice k procházející středem S 0 kruhové inverze je (kromě bodu

S 0 ) přímka k´ , která neprochází středem kruhové inverze.

k (S , r ) neprocházející středem S 0 kruhové inverze je kružnice k´ , která též neprochází středem kruhové inverze. Kružnice k´ je obrazem kružnice k ve stejnolehlosti se středem S 0 . Věta: Obrazem kružnice

Věta: Kružnice k (S , r ) různá od základní kružnice ω je v kruhové inverzi samodružná právě tehdy, když protíná základní kružnici ortogonálně. Poznámka: Ortogonálními kružnicemi se nazývají kružnice, které se protínají pod pravým úhlem, tj. tečny kružnic v jejich průsečících jsou k sobě kolmé. Kruhovou inverzi lze použít k řešení konstrukčních úloh především takových, v nichž se má sestrojit kružnice dotýkající se daných kruhových křivek, resp. procházejících některým bodem, resp. protínajících dané kruhové křivky pod daným úhlem. Výhoda kruhové inverze spočívá v tom, že umožňuje převést dané úlohy na úlohy jednodušší. Postup při řešení konstrukčních úloh metodou kruhové inverze: 1) Vhodně zvolíme základní kružnici kruhové inverze. Důležitá je volba středu kruhové inverze, poloměr základní kružnice může být libovolný. Střed kruhové inverze je vhodné zvolit takto: a) jsou-li v úloze dány body, pak střed KI zvolíme v některém z nich b) jsou-li dány dotýkající se kruhové křivky, pak střed zvolíme v bodě dotyku c) jsou-li dány kruhové křivky, které se protínají, pak střed zvolíme v některém průsečíku Základní kružnici můžeme výhodně zvolit tak, aby některou danou kružnici protínala ortogonálně. 2) Všechny dané útvary zobrazíme v dané KI, to znamená, že danou úlohu převedeme na jinou úlohu. 3) Řešíme novou úlohu s inverzními útvary, která je zpravidla jednodušší, a určíme obrazy hledaných útvarů. 4) Výsledky zobrazíme nazpět, čímž přejdeme k původním útvarům a zadání.

51

4. Vhodný software Pro rýsování na počítači existuje mnoho programů, ale pro naše potřeby se jeví vhodným některý z programů DGS (dynamický geometrický systém). Ten má tu výhodu, že během rýsování můžeme s geometrickými objekty na nákresně manipulovat, což lze využít například k tomu, aby výsledek byl ve vhodné poloze či byl lépe vidět. Z programů DGS uveďme např. Cabri Geometrii nebo stále populárnější a progresivně vyvíjející se Geogebru. Oba programy mají podobný vzhled, ovládání i funkce. Jsou srovnatelné a umí víceméně to samé. Rozdíl je snad jen v dostupnosti a podpoře. Zatímco Cabri Geometrie je placený software, i když lze použít zkušební verzi a existují i cenově dostupné multilicence pro školy, tak Geogebra je program ke stažení zdarma, s podporou jak vývojářů a programátorů, tak veřejnosti a učitelů, a lze tedy najít na internetu vytvořené materiály, které jsou zdarma ke stažení a k použití. Výběr programu je na každém jednotlivci. Nebudeme se nyní zabývat popisem programů, jejich ovládáním, jednotlivými nástroji a nejrůznějším využitím funkcí programů (lze nalézt např. v [1] a [2]), ale ukažme si řešení vybraných úloh za využití kruhové inverze. 5. Apolloniovy a Pappovy úlohy řešené kruhovou inverzí Ponechejme možnost řešit ty jednodušší Pappovy a Apolloniovy úlohy, např. tři přímky, tři body, bod na přímce a další bod, jež lze vyřešit s prostředky a znalostmi středoškolské geometrie, stranou a ukažme si takovou úlohu, kterou lze elegantně vyřešit užitím kruhové inverze. Úloha 1.: Sestrojte kružnici, která prochází bodem

B a dotýká se přímky p a kružnice

k se středem S . Úlohu řešíme pomocí KI následujícím způsobem. Střed KI zvolíme v bodě B a poloměr základní kružnice ω zvolíme tak, aby základní kružnice ω a daná kružnice k byly

S 0 S ), takže kružnice k je ve zvolené KI samodružná, tedy k = k ′ . Stačí nám nalézt pouze obraz přímky p , což bude kružnice (neboť S = B0 ∉ p ). K tomu lze využít nástroj Kruhová inverze, s jehož pomocí nalezneme obraz X ′ libovolného bodu X dané přímky p a dále použijeme nástroj Množina bodů, díky němuž nám obraz X ′ „pohyblivého“ bodu X na kružnici vytvoří obraz přímky p v KI. Bod B = S 0 se zobrazí na nevlastní bod. Tímto jsme ortogonální (pomocí Thaletovy kružnice nad úsečkou

převedli původní úlohu na úlohu nalézt společnou tečnu ke dvěma kružnicím, která má v závislosti na vzájemné poloze těchto kružnic odpovídající počet řešení. K tečnám nalezneme obrazy v KI a tím získáme řešení původní úlohy.

52

p S

k

B

l1

l3

l4

Úloha 2.: Sestrojte kružnici, která prochází bodem

l2

B a dotýká se kružnic k a l .

Tuto Apolloniovu úlohu lze s výhodou též řešit pomocí KI, avšak při hledání výsledných kružnic je třeba postupovat v závislosti na vzájemné poloze zadaných kružnic. a) V prvním případě mají dané kružnice k a l společný bod. Pak volíme střed KI v průsečíku kružnic a poloměr základní kružnice

ω

je dán vzdáleností bodů

S0 B .

S 0 kruhové inverze, jsou jejich obrazy přímky k ′ a l ′ neprocházející středem KI. Bod B leží na základní kružnici a tudíž je samodružný, tady B = B ′ . Tím jsme díky obdrželi úlohu jednodušší, kdy máme sestrojit kružnici dotýkající se dvou přímek k ′ a l ′ a procházející bodem B , což je Neboť kružnice k a l prochází středem

středoškolská úloha řešitelná užitím stejnolehlosti mající dvě řešení. Získané kružnice zobrazíme v KI a tím dostaneme kružnice, které splňují zadání úlohy. b) V případě druhém dané kružnice zvolíme střed KI v bodě

k a l společný bod nemají. V takové situaci

B , B = S 0 . Abychom si usnadnili práci, poloměr základní

kružnice ω zvolíme tak, aby byla s jednou z kružnic ortogonální, tudíž samodružná. Druhou kružnici zobrazíme v KI. Nově před námi stojí úloha nalézt společnou tečnu dvou kružnic. K sestrojené tečně zkonstruujeme obraz v KI, čímž obdržíme požadované řešení původní úlohy.

53

B

k

l

6. Závěr Převážně negativní nahlížení žáků na matematiku jako vyučovací předmět, kde se jen počítá a počítá, učí vzorce, definice, poučky a další nezáživné věci, snad pozmění seznámení se žáků s netradičními problémy a zajímavými tématy jako například s Apolloniovými a Pappovými úlohami, s jejich řešitelností a s kruhovou inverzí, jakožto nelineárním zobrazením, které má své zvláštnosti a také pozoruhodnostmi. To je nejen obohatí po stránce vědomostní a dovednostní, ale také jim ukáže zajímavost, krásu a eleganci vybraných metod při řešení úloh. 7. Použitá literatura 8. 9.

www.pf.jcu.cz/cabri www.geogebra.org

54

NETRADIČNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ TRADIČNÍ MATEMATIKOU

Vladimír Vaněk Katedra algebry a geometrie, Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci, Česká republika. E-mail: Vladimí[email protected] Abstrakt V následující stati bych se rád věnoval jednomu ze seminářů, které proběhly v rámci projektu Přírodovědec. Ten je věnován práci s talentovanými studenty středních škol. Jedná se o matematicky zaměřený seminář, kde jsme studentům představili poměrně zanedbávanou oblast matematiky a tou je planimetrie. Příklady uváděné v příspěvku pocházejí z různých částí světa a většina z nich byla navržena do populární soutěže Matematický klokan – kategorie Junior. Ve finální verzi soutěže se objevuje jen zlomek předložených úloh, přesněji jde asi o 4%. Co se však děje se zbytkem úloh? Některé jsou předloženy opakovaně v příštím roce, ale většina zůstává bez povšimnutí ležet v archivech účastníků mezinárodních setkání. Neznamená to však, že by se jednalo o úlohy nezajímavé nebo všeobecně známé. Jedná se většinou o původní autorské příklady, které mohou být zdrojem inspirace pro učitele, kteří ve svých třídách vyučují matematicky nadané studenty.

Klíčová slova: matematická soutěž, efektní a efektivní řešení problému, planimetrické úlohy, matematické nadání. 1. Úvod V mnoha matematických soutěžích, jichž se s oblibou účastní žáci nadaní na matematiku, se již řadu let vyskytují úlohy, které jsou zaměřeny na grafické řešení daného problému. Tyto úlohy mají jednu velice pozitivní vlastnost – jsou krátké a k jejich vyřešení vede několik diametrálně odlišných postupů. Některé postupy jsou komplikované, většinou postavené na dílčích krocích, které student zná ze školy, jiné elegantní, kdy po nalezení jednoho, maximálně dvou stěžejních kroků je problém vyřešen a student použije jen elementární myšlenky, ovšem v optimální kombinaci. Ty ovšem nebývají na první pohled vidět. Příspěvek se proto zabývá právě touto skupinou úloh. Typickými jsou pak příklady na nalezení obsahu oblasti (obrazce) bez jejich přímého algebraického výpočtu. Jedná se o příklady z planimetrie či stereometrie, při nichž je důležitá geometrická představivost, což bývá kamenem úrazu. Většinou jde o postupné doplňování obrazce tak, abychom hledanou plochu zobrazili jako poměrnou část celkového útvaru. Samozřejmě lze úlohy řešit několika způsoby. Ne všechny postupy však využívají pouze školských znalostí, jež mají studenti příslušného věku. Nalezení optimálního řešení tak mnohdy nebývá jednoduché a jednotlivé pokusy troskotají na neznalosti vztahů, které si žáci osvojují až ve vyšších ročnících.

55

2. Řešené problémy Nejprve si předveďme úlohy „na rozehřátí“. Úloha 1 Je dán čtverec KLMN. Body P, Q, R, S jsou po řadě středy stran KN, KL, LM a MN. Úsečky KS, LP, QM a RN se protínají v bodech W, X, Y, Z. Určete poměr obsahů čtyřúhelníka WXYZ a čtverce KLMN.

A) 1 : 2 3 D) 1 : 5

B) 1 : 4

C) 1 : 3 2

E) 1 : 4 2

Řešení: Nejprve je vhodné (nikoliv nutné) ukázat, že čtyřúhelník WXYZ je čtverec. Vzhledem ke konstrukci úseček KS, PL a NR platí : ∠KSN = ∠LPK = ∠RNK , dále

∠RNK + ∠MNR =

π

. Odtud přímo plyne, že

∠NZS =

π

, cyklickou záměnou 2 2 obdržíme obdobnou rovnost pro ostatní vnitřní úhly WXYZ a spolu s rovností délek stran WXYZ dostáváme tvrzení. V samotném řešení se jeví jako nejjednodušší postup doplnění na kříž (viz. obrázek).

→

Pro korektní řešení je třeba ukázat, že se kříž skládá z pěti shodných čtverců. Jedním ze způsobů, je využití podobnosti ∆KWP a ∆KZN , kde koeficient podobnosti je 2. Poměr obsahů čtverce WXYZ a čtverce KLMN je tedy 1:5.

56

Následující úloha je zadáním velmi podobná, přesto nelze postupovat (na první pohled) stejným způsobem. Idea řešení je však stejná: pokusit se sestrojit mnohoúhelník (nejlépe rovnoběžník, který má strany rovnoběžné s čtyřúhelníkem WXYZ. Zadáním obou úloh za sebou vede k mnohem hlubšímu pochopení zákonitostí a lze je využít k dalšímu zobecňování.

Úloha 2 Je dán čtverec KLMN o délce stany 6. Body P, Q, R, S dělí strany čtverce v poměru 1:1 resp. 1:2 (viz. obrázek). Úsečky KS, LP, QM a RN se protínají v bodech W, X, Y, Z. Určete poměr obsahů čtyřúhelníka WXYZ a čtverce KLMN. A) 1 : 3

B) 1 :

10 3

C) 1 : 3,5

Řešení: Postup je zřejmý z následujících obrázků. Uvádím zde dvě grafická řešení a na čtenáři nechávám, které je pro něj zřetelnější. Bíle vybarvená oblast je svým obsahem totožná s obsahem čverce KLMN (v druhém obrázku jde o dvojnásobek obsahu čtverce. V obou případech, vzhledem k zachování dělících poměrů (YZD ) = 6 : 2 , můžeme prohlásit, že hledaný poměr obsahu je 1 : 3,5 .

57

D) 1 :

11 3

E) 1 : 4

Úloha 3 Je dán čtverec ABCD viz. obrázek, dále platí: AO = OM = MK = KE a BP = PN = NL = LE . čtyřúhelníku

Určete obsah OP = 3 cm .

A) 3cm 2

B) 4cm 2

D) 5,5 cm 2

E) 6cm 2

OPLK,

jestliže

C) 4,5 cm 2

Řešení: a) Velmi elegantní a rychlé řešení je postaveno na znalosti dělících poměrů, resp. stejnolehlosti či podobnosti jednotlivých trojúhelníků s vrcholem E a základnou rovnoběžnou se stranou AB. Výsledek je pak objeven okamžitě. KL + OP 1 4 2 S= ⋅ AB = OP = 4 2 2 9

b) Pro mladší žáky je vhodnější jiný způsob řešení. Stačí si uvědomit, že rovnosti ze zadání a délky úseček KL, MN a OP se nemění, jestliže pohybujeme bodem E po úsečce CD. Při takovém pohybu zůstává zachován i obsah čtyřúhelníku OPLK. Výsledek je viditelný na první pohled.

Úloha 4 Je dán rovnostranný trojúhelník ABC s délkou strany 1 cm a tři kružnice se středy shodnými s vrcholy trojúhelníka ABC (viz. obrázek). Určete obsah tučně ohraničené oblasti.

A)

9 3 − 2π cm 2 24

B)

5 3 − 2π cm 2 12

58

3 3 −π 2 3 −π cm 2 D) cm 2 6 4 Řešení:

C)

E) jiný

Metoda doplňování obrazce se v tomto případě ukazuje jako problematická, neboť hledaný útvar není mnohoúhelník. Obsah obrazce proto hledáme jako rozdíl obsahů pravidelného šestiúhelníka a trojnásobku útvaru K23 (viz. obrázek řešení). Obsah K23 je dále roven rozdílu obsahu kruhové výseče KBL a rovnostranného trojúhelníku KBL. Celkově tedy: 2 S = S šestiúhe ln ík − 3 ⋅ Sút var K 23 = S ∆ABC − 3 ⋅ S kruhová výseč KBL − S ∆KBL . 3

(

Numericky pak:

S=

2 3 1 1  ⋅ − 3 π ⋅ r 2 − r  , 3 4 4  6

kde r = KB =

2 3 B1 = 3 3

Po dosazení pak dostáváme výsledek

S=

5 3 − 2π . 12

Úloha 5 Je dán čtverec ABCD o délce strany 1 a bod M, který je středem úsečky AB. Určete obsah šedé plochy.

A)

1 12

B)

1 1 C) 16 8

D)

1 48

E)

1 13

Řešení: Uvedená úloha názorně ukazuje, jak jsou v jednotlivých zemích odlišné názory na obtížnost některých příkladů. Proto se tato úloha dostala do kategorie pětibodových, tedy nejobtížnějších, přičemž k jejímu řešení není nutných nikterak sofistikovaných úvah, či znalostí.

59

)

Stačí si uvědomit následující: Délka úsečky MN AM 12 23 a = = =1. MB 23 34

(123) =

13 23

=2 ∧

(123) ⋅ (243) = −2 =

(243) = 13 43

,

je

rovna

Odtud

23 43

tedy

zapsáno

polovině

strany

čtverce

pomocí

dělících

poměrů:

= −1

12 = 23 = 34 =

AB 3

.

Známe tedy délky úhlopříček v deltoidu a pro jeho obsah platí S =

MN ⋅ 23 2

=

1 . 12

Úloha 6 Mějme konvexní čtyřúhelník ABCD a body 1, 2, 3, 4, které dělí strany čtyřúhelníka v poměru 1:2 (viz. obrázek). Určete obsah čtyřúhelníka 1234, jestliže víte, že rozdíl obsahů čtyřúhelníků ABCD a 1234 je 100.

A) 90

B) 100

C) 120

D) 125

E) 150

Řešení: Jedním z možných postupů je rozdělení čtyřúhelníku na čtyři trojúhelníky pomocí jeho úhlopříček. Označme úhly při vrcholech A, B, C, D po řadě α , β , γ , δ . Nyní lze vyjádřit poměry obsahů jednotlivých bílých trojúhelníků vzhledem ke čtyřem výše zmíněným trojúhelníkům:

60

11  2  1  AD  AB  sin α A1 A2 sin α S ∆A12 2 3 3 2     = 2 = = 1 1 S ∆ABD 9 AD AB sin α AD AB sin α 2 2 1 1  2  1  BC  CD  sin γ C 3 C 4 sin γ S ∆C 43 2 3 2  3  = 2 =  = , tedy 1 1 S ∆CDB 9 BC CD sin γ BC CD sin γ 2 2

S ∆A12 + S ∆C 43 S + S ∆C 43 2 = ∆A12 = . S ∆ABD + S ∆CDB S ABCD 9 Obdobně bychom dospěli k poměru

S ∆ 2 B3 + S ∆14 D S ∆ 2 B 3 + S ∆14 D 2 = = . S ∆ABC + S ∆ACD S ABCD 9 Z posledních dvou vztahů plyne:

S ∆ 2 B3 + S ∆14 D S ∆A12 + S ∆C 43 S ∆A12 + S ∆C 43 + S ∆ 2 B3 + S ∆14 D 4 + = = . S ABCD S ABCD S ABCD 9

Konečně S ABCD − S1234 =

4 S ABCD = 100 → 9

S1234 = 125 cm 2 .

V úvodu tohoto příspěvku zaznělo, že obsahuje především úlohy, které se v soutěži neobjevily, přesto si dovoluji udělat výjimku. Následující úloha se objevila v ročníku 2010, ale vzhledem k eleganci jejího řešení, ji zde uvádíme.

Úloha 7 Je dán trojúhelník ABC, bod D, který je středem strany BC a velikosti úhlů ∠ABC = 30° a

∠ADC = 45° . Určete velikost úhlů CAD.

A) 45°

B) 30°

C) 25°

D) 20°

61

E) 15°

Řešení: Nejprve sestrojme výšku na stranu c (CP) a úsečku PD. Trojúhelník CPB je pravoúhlý (s pravým úhlem při vrcholu P). Thaletova kružnice se středem v bodě D a poloměrem BD prochází bodem P, tedy BD = PD = CD , tudíž trojúhelník PBD je rovnoramenný. Odtud

∠BDP = 120° a

∠PDA = 15° . Z věty o součtu úhlů

v trojúhelníku ABD plyne, že ∠DAP = 15° a tedy trojúhelník APD je rovnoramenný, kde PD = AP . Nyní je nutné ukázat, že PC = AP . Stačí si však uvědomit, že trojúhelník PDC je rovnostranný ( PD = CD a ∠PDC = 60° ). Již jsme v podstatě úlohu vyřešili, neboť trojúhelník APC je rovnoramenný ( ∠CAP = 45° ), z čehož vyplývá, že hledaný úhel má velikost: ∠CAD = ∠CAP − ∠DAP = 30° .

62

3. Úloha „domů“ Úloha 8 Úhlopříčky AD, BE, CE konvexního šestiúhelníku ABCDEF se protínají ve společném bodě T. Čísla v jednotlivých trojúhelnících udávají jejich obsah. Určete obsah trojúhelníku FAT.

A) 1

B)

5 3

C)

7 3

D)

10 3

E) 6

4. Závěr Hledání výše uvedených úloh bylo náplní jednoho ze seminářů, které proběhly v loňském roce v rámci projektu „Přírodovědec“. Vzhledem k průběhu semináře a ohlasům ze stran zúčastněných přírodovědně nadaných žáků, můžu konstatovat, že hledání rozličných způsobů řešení úloh se žákům velmi líbilo. Uvědomovali si pestrost postupů a oceňovali jejich eleganci. 5. Poděkování Příspěvek byl zpracován s podporou projektu OPVK „Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko výzkumné práci v oblasti přírodních věd.“, reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040. 6. Použitá literatura 10. Calábek, P., Švrček, J., Vaněk, V. (2008). Péče o matematické talenty v České republice. Olomouc: VUP. 2008. ISBN 978-80-244-1884-1. 11. Känguru der Mathematik. (2007) Soubor příkladů k setkání organizačních týmů soutěže Matematický klokan; Graz. 12. Känguru der Mathematik. (2008) Soubor příkladů k setkání organizačních týmů soutěže Matematický klokan; Berlín. 13. Vaněk, V. (2009). Co se do matematického klokana nedostalo. In sborník: Ani jeden matematický talent nazmar. Pedagogická fakulta Univerzita Karlova, Praha.

63

NETRADIČNĚ O KVADRATICKÝCH ROVNICÍCH A JEJICH SOUSTAVÁCH

Jaroslav Švrček Katedra algebry a geometrie Univerzity Palackého v Olomouci, 17. listopadu 1192/12, 771 46, Olomouc, Česká republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Tento příspěvek byl vytvořen s cílem poskytnout mladým zájemcům o matematiku a přírodní vědy podpůrný materiál ke stejnojmenné autorově přednášce v rámci akce „Týden s přírodovědou“, která se uskutečnila 26. května 2011 na Přírodovědecké fakultě UP v Olomouci. Přestože je problematice kvadratických funkcí a řešeni kvadratických rovnic ve středoškolském učivu matematiky věnováno poměrně hodně pozornosti, jedná se pouze o základní výsledky a aplikační postupy při řešení základních úloh. Cílem tohoto příspěvku je poukázat na další možné aplikace a metody při řešení nadstandardních úloh s uvedenou problematikou. 1. Úvod K samotnému vyšetřování průběhu kvadratických funkcí a také k řešení kvadratických rovnic lze v literatuře najít poměrně velké množství informací. V případě řešení soustav kvadratických rovnic však žádná univerzální metoda neexistuje. O tom se lze přesvědčit např. při řešení závěrečných tří úloh níže uvedeného souboru. 2. Úlohy k řešení 1. Určete všechna reálná řešení rovnice (x2 − x + 1)(x2 − x + 2) = 12. Řešení. Užitím substituce y = x2 − x + 1 upravíme danou rovnici na tvar¨ y(y + 1) = 12,

tj.

y2 + y − 12 = 0.

Tato kvadratická rovnice má dva reálné kořeny, a to y1 = −4 a y2 = 3. Hodnoty obou těchto kořenů dosadíme postupně do substitučního vztahu a pro y = −4 dostáváme po úpravě opět kvadratickou rovnici x2 − x + 5 = 0 se záporným diskriminantem D = −19, která nemá tudíž žádný reálný kořen. Podobně dosazením y2 = 3 do uvedeného substitučního vztahu dostaneme kvadratickou rovnici x2 − x − 2 = 0, která, jak se snadno vidí, má dva reálné kořeny, a to x1 = −1 a x2 = 2. Závěr. Daná rovnice má v oboru reálných čísel právě dvě řešení, a to x1 = −1 a x2 = 2.

64

2. Pokud pro reálná čísla a, b, c platí nerovnost a(a+b+c) < 0, má kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 oba kořeny reálné. Dokažte. Řešení. Uvažujme kvadratickou funkci f(x) = ax2+bx+c, kde f(1) = a+b+c. Podle zadání úlohy je třeba rozlišit 2 případy. (i) (a > 0) ∧ (a + b + c = f(1) < 0). Protože je koeficient a v kvadratickém členu kladný, je uvažovaná kvadratická funkce f(x) = ax2+bx+c konvexní. Je-li navíc f(1) < 0, protne její graf osu x ve dvou různých bodech, tj. rovnice ax2 + bx + c = 0 má dva (různé) reálné kořeny. (ii) (a < 0) ∧ (a + b + c = f(1) > 0). V tomto případě lze postupovat zcela analogicky jako v předešlém případě. Tím je důkaz proveden. 3. Uvažujme všechny kvadratické polynomy f(x) = ax2 + bx + c s reálnými koeficienty takové, že pro všechna x∈ ∈‹0;1› platí |f(x)| ≤ 1. Určete největší možnou hodnotu výrazu |a| + |b| + |c|. Řešení. Pro hodnoty uvažovaného polynomu v bodech 0, ½, 1 s ohledem na podmínky úlohy po řadě platí |c| ≤ 1, |a + 2b + 4c| ≤ 1, |a + b + c| ≤ 1. Označme dále R = a + 2b + 4c a S = a + b + c. Odtud plyne a = −R + 2S + 2c a b = R − S − 3c, a tudíž platí |a| ≤ |P| + 2|S| + 2|c| ≤ 4 + 2 + 2 = 8 a |b| ≤ |R| + |S| + 3|c| = 4 + 1 + 3 = 8. Celkově tak vidíme, že nutně platí |a| + |b| + |c| ≤ 8 + 8 + 1 = 17. Zbývá ukázat, že existuje aspoň jeden kvadratický polynom f(x), jehož koeficienty a, b, c splňující tuto nerovnost. Tím je například f(x) = 8x2 − 8x + 1.

4. Nechť a, b, c jsou navzájem různá kladná reálná čísla. Dokažte, že rovnice

(a + b + c )x 2 + 2 a + b + c  x +  1 + 1 + 1  = 0 b

c

a

a

b

c

má dva různé reálné kořeny. Řešení. K tomu, abychom dokázali dané tvrzení, stačí ukázat, že diskriminant D uvažované kvadratické rovnice je kladný pro libovolnou trojici navzájem různých

65

kladných reálných čísel a, b, c. Chceme tudíž dokázat, že platí má dva různé reálné kořeny. 2

a b c 1 1 1 D =  + +  − (a + b + c )  + +  > 0 . b c a a b c Vyjdeme z evidentní nerovnosti 2

2

2

a  b   c   − 1 +  − 1 +  − 1 > 0 . b  c  a  Pro libovolná navzájem různá kladná reálná čísla a, b, c platí (např. podle známé A-G nerovnosti) také

a b + > 2, b a

b c + > 2, c b

c a + > 2. a c

Sečtením všech čtyř posledních nerovností máme 2

2

2

a  b   c  a b b c  c a  − 1 +  − 1 +  − 1 +  +  +  +  +  +  > 6 . b  c  a  b a c b a c Po úpravě odtud dostaneme

a 2 b2 c2 a b c b c a + + − − − + + + > 2, b2 c2 a2 b c a a b c tj.

 a2 b2 c2 b c a  a b c b c a  2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2  −  3 + + + + + +  > 0 . c a a b c  b c a a b c b Odtud již přímo plyne po snadné úpravě dokazovaná nerovnost 2

a b c  1 1 1  + +  − (a + b + c )  + +  > 0 . b c a a b c 5. Dokažte, že pro libovolná nenulová čísla a, b, c má aspoň jedna z rovnic ax2 + 2bx + c = 0, bx2 + 2cx + a = 0, cx2 + 2ax + b = 0 reálný kořen.

66

Řešení. Důkaz provedeme sporem. Připusťme tedy, že všechny tři kvadratické rovnice nemají reálné kořeny. Jejich diskriminanty jsou pak nutně záporné a platí tedy b2 < ac ,

c2 < ba ,

a2 < bc .

Vynásobením všech tří nerovností pak dostaneme a 2b 2c 2 < a 2b 2c 2 , což je spor. Aspoň jedna z daných rovnic má tudíž reálné kořeny, což jsme chtěli dokázat.

6. Dokažte, že neexistuje trojice reálných čísel a, b, c tak, aby rovnice ax2 + bx + c = 0 měla dva různé kořeny x1, x2 a současně rovnice bx2 + cx + a = 0 měla dva různé kořeny x2, x3 a současně rovnice cx2 + ax + b = 0 měla dva různé kořeny x3, x1. Řešení. Důkaz provedeme opět sporem. Předně si uvědomme, že platí abc ≠ 0. Nechť tedy existuje trojice a, b, c reálných čísel vyhovujících podmínkám úlohy. Využitím vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice (tzv. Viètovy vztahy) vidíme, že s ohledem na podmínky úlohy platí: b = −a(x1 + x2) , a = x2x3 ,

c = x1x2 , a = −c(x3 + x1) ,

c = −b(x2 + x3) , b = x3x1 .

Vynásobením druhé, čtvrté a šesté rovnice z předešlé šestice rovnic zjistíme, že x12x22x32 = 1, tj, x1x2x3 = 1 nebo x1x2x3 = −1. Z první a čtvrté rovnice, z druhé a páté rovnice a konečně ze třetí a šesté rovnice dostaneme po řadě x1x2x3 + x22x3 + 1 = 0 , x1x2x3 + x12x2 + 1 = 0 , x1x2x3 + x32x1 + 1 = 0 . Pokud do každé z předešlých tří rovnic dosadíme za x1x2x3 hodnotu 1, zjistíme, že všechny složky x1, x2, x3 jsou záporné, což je spor s předpokladem x1x2x3 = 1. Pokud x1x2x3 = −1, znamenalo by to, že abc = 0, což opět vede ke sporu. Tím je důkaz ukončen.

67

7. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x2 + 1 = 2y y2 + 1 = 2x 1. způsob řešení (eliminační metoda). Z první rovnice vyjádříme y = ½(x2 + 1) a dosadíme do druhé rovnice dané soustavy. Dostaneme tak postupně

(

)

2

1 2   2 x + 1  + 1 = 2 x

(1)

x4 + 2x2 − 8x + 5 = 0

(2)

což je algebraická rovnice 4. stupně. Snadno lze přitom zjistit, že x1 = 1 je jejím kořenem. Polynom na levé straně rovnice (2) můžeme proto dělit kořenovým činitelem x − 1 a dostaneme tak (x4 + 2x2 − 8x + 5) : (x − 1) = x3 + x2 + 3x − 5. Rovnice x3+x2+3x−5 = 0 má opět kořen x2 = 1. Cely postup znovu zopakujeme a dostaneme kvadratickou rovnici x2 + 2x + 5 = 0, která má záporný diskriminant D = −16. Tato kvadratická rovnice nemá proto reálné kořeny. Rovnice (2) má tedy v oboru reálných čísel pouze dvojnásobný kořen 1. Jemu odpovídá jediná dvojice reálných čísel, která vyhovuje dané soustavě rovnic, a to (x, y) = (1; 1). 2. způsob řešení (aditivní metoda kombinovaná s metodou druhých mocnin). Sečtením obou rovnic dané soustavy dostaneme po snadné úpravě (x − 1)2 + (y − 1)2 = 0. Této rovnici vyhovuje jediná dvojice reálných čísel (x, y) = (1; 1). Vzhledem k použití důsledkové úpravy je však při použití tohoto způsobu řešení nutno provést zkoušku, kterou se přesvědčíme o správnosti nalezeného řešení.

68

MNOHOSTĚNY PRO PŘÍRODOVĚDCE

Josef Molnár Katedra algebry a geometrie Univerzity Palackého v Olomouci, 17. listopadu 1192/12, 771 46, Olomouc, Česká republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Mnohostěny hrají v přírodě důležitou roli ať již v podobě různých nerostů, ale i živých organismů či umělých výtvorů vymyšlených člověkem. Popisem vlastností mnohostěnů se matematika zabývá již od svého počátku (počínaje Pythagorem přes Eulera až po dnešní matematiky). A vývoj v této oblasti ještě není zdaleka ukončen. 1. Úvod S mnohostěny se setkáváme téměř na každém kroku. A to jak mezi výtvory živé či neživé přírody (těla různých organismů, krystaly nerostů, molekuly prvků a sloučenin atd., viz. obr. 1 a obr. 3), tak mezi výsledky práce lidských mozků a rukou.

Mnohostěny v chemii a geologii

Obr. 1: Mnohostěny v přírodních vědách

69

•

Mnohostěn (polyhedron) budeme chápat jako část prostoru ohraničenou konečným počtem rovinných mnohoúhelníků.

•

Geometrický útvar nazveme konvexní, právě když lze libovolné dva jeho body spojit úsečkou, jejíž každý bod náleží danému geometrickému útvaru. Mnohostěn je konvexní, je-li průnikem všech svých opěrných poloprostorů, přičemž hraniční rovinou opěrného poloprostoru se rozumí rovina, v níž leží stěna daného mnohostěnu.

•

Eulerova věta (Leonhard Euler, 1707 – 1783):

V každém konvexním mnohostěnu platí s+v–h=2, kde s je počet stěn, v počet vrcholů a h počet hran daného konvexního mnohostěnu. 2. Řešíme úlohy 1. Nalezněte nekonvexní mnohostěny splňující uvedený vztah. 2. Nalezněte nekonvexní mnohostěny nesplňující uvedený vztah. 3. Dokažte, že v konvexním čtrnáctistěnu s devíti vrcholy vychází aspoň z jednoho vrcholu aspoň 5 hran. •

Platónovým tělesem (Platón, 427 – 347 př. n. l.) (pravidelný mnohostěn, Platon´s solids, regular polyhedron, PT) nazveme konvexní mnohostěn ohraničený shodnými pravidelnými konvexními rovinnými mnohoúhelníky (n-úhelníky), přičemž z každého jeho vrcholu vychází týž počet hran (valence vrcholu - m).

Tab. 1 Platónova tělesa (pravidelné mnohostěny).

70

•

•

•

Princip duality je znám např. z čínské filozofie jako antagonismus a souznění světa (jing a jang). V tabulce lze vypozorovat dualitu mezi krychlí a pravidelným osmistěnem a mezi dodekaedrem a ikosaedrem. Pravidelný čtyřstěn je duální sám k sobě. (Porovnejte s, v a h duálních těles.) V pythagorejském pojetí světa (Pythagoras ze Samu, okolo 570 př. n. l.) představují PT symboly pěti živlů: vzduch – oktaedr, země – krychle, oheň – tetraedr, voda – ikosaedr, universum – dodekaedr). Keplerovým kosmickým pohárem je nazývána kosmologická teorie, v níž Johanes Kepler (1571 – 1630) předpokládal, že se tehdy známé planety pohybují po kružnicích na kulových plochách, mezi něž lze vložit (opsat a vepsat) PT takto: mezi sféru Merkuru a Venuše oktaedr, Venuše a Země ikosaedr, Země a Marsu dodekaedr, Marsu a Jupitera tetraedr a konečně mezi sféry Jupitera a Saturnu krychli. (Viz obr. 2)

S

k l1

B

Obr. 2: Keplerův kosmický pohár Pokračujeme ve cvičení: 4. 5. 6. 7. 8.

Dokažte, že existuje právě pět PT. Vytvořte sítě a modely PT. Demonstrujte princip duality PT. Určete počty rovin souměrnosti všech PT. Na kolik částí se PT rozpadnou, provedeme-li jejich řezy všemi rovinami souměrnosti současně?

•

Deltatopy získáme, vynecháme-li v definici PT požadavek na stejnou valenci vrcholů (m) a za mnohoúhelníky budeme považovat jen trojúhelníky (n = 3). Existuje právě 8 deltatopů, viz Tab. 2. Deltatopy na řádcích 6. a 7. nemají ustálený název.

71

Platónova tělesa v biosféře Mřížovka červená

Virus dětské obrny

Radiolaria (mřížovci)

Obr. 3: Platónova tělesa v biosféře Tab. 2 Deltatopy.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Název deltatopu čtyřstěn dvojitý čtyřstěn osmistěn dvojitý pětiboký jehlan siamský dvanáctistěn

dvacetistěn

v 4 5 6 7 8 9 10 12

h 6 9 12 15 18 21 24 30

s 4 6 8 10 12 14 16 20

m=3 4 2 0 0 0 0 0 0

m=4 0 3 6 5 4 3 2 0

m=5 0 0 0 2 4 6 8 12

•

Archimédova tělesa (polopravidelné mnohostěny) (Archimédes ze Syrakus, 287 – 212 př. n. l.) lze vytvořit z PT odříznutím vrcholů nebo hran tak, aby vznikly pravidelné shodné konvexní mnohoúhelníky (viz. obr. 4). Podle upřesňujících podmínek kolísá počet polopravidelných mnohostěnů mezi 13 a 16.

•

Hvězdicovité pravidelné mnohostěny dostaneme, vypustíme-li v definici PT podmínky konvexity. Jeden z nich je na obr. 5.

72

Obr. 4: Archimédova tělesa

Obr. 5: Hvězdicový mnohostěn

Pravidelné antihranoly mají dvě protilehlé stěny (podstavy) tvořené shodnými pravidelnými n–úhelníky a ostatní stěny jsou shodné rovnostranné trojúhelníky.

pravidelný šestiúhelníkový antihranol (regular hexagonal antiprisma)

Obr. 6: Antiprisma

73

•

Antiprisma (antihranol) se nazývá mnohostěn, který má dvě protilehlé stěny (podstavy) tvořené shodnými pravidelnými n–úhelníky a ostatní stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky (viz obr. 6).

•

Poincarého zobecnění Eulerovy věty

Pro mnohostěny platí s + v - h = 2 - 2r, (1) kde r je (topologický) rod plochy (Genus of Surface). Zjednodušeně lze říci, že hodnota rodu plochy je rovna počtu v ní existujících „průchodů“. Na obr. 7 jsou plochy rodu 2.

Obr. 7: Typické plochy rodu 2. Vzhledem k tomu, že jedna hrana mnohostěnu je spojnicí dvou vrcholů a současně průsečnicí dvou stěn, platí vztah ms = 2h = nv. Užitím substitucí h = ½ms a v = ms/n dostáváme z (1) vztahy v = 4m(r-1)/(mn-2m-2n), s = 4n(r-1)/(mn-2m-2n), h = 2mn (r-1)/mn-2m-2n)

(2)

Pro r = 0 z (1) vyplývá, že 1/m + 1/n = 1/2 + 1/h > 1/2. Z (2) pro r = 0 pomocí jednoduchého tabulkového procesoru ukážeme, že existuje právě pět Platonových těles, a to vyšetřením „všech“ možností pro v, s a h. Pro r = 2 z (1) dostáváme 1/m + 1/n = 1/2 - 1/h < ½.

74

Užitím tabulkového procesoru na (2) získáme pro akceptovatelné hodnoty v, s a h nejvýše 11 možností, které si zasluhují naši pozornost. •

Mříže z pravidelných mnohostěnů rodu 2 (Regular Polyhedron Lattices of Genus 2)

Tab. 3 Přehled pravidelných mnohostěnů rodu 2. druh 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

m 3 3 4 3 4 5 6 9 5 8 7

n 7 8 5 9 6 5 4 3 4 3 3

v 12 6 8 4 4 4 6 12 10 16 28

s 28 16 10 12 6 4 4 4 8 6 12

h 42 24 20 18 12 10 12 18 20 24 42

ikosaedr + 2 otevřené antihranolové tunely oktaedr + 2 otevřené antihranolové tunely krychle + 2 otevřené krychlové tunely tetraedr + 2 otevřené antihranolové tunely krychle + 1 otevřený krychlový tunel otevř. pentagonální těleso duální samo k sobě duální k 5. duální k 4. duální k 3. duální k 2. duální k 1.

Je však ještě potřeba ukázat, že existují konkrétní příklady pro všechny uvedené možnosti, viz např. Huylebrouck (2010). Část mříže z pravidelných mnohostěnů rodu 2, druhu 1., jejíž struktura odpovídá struktuře atomů diamantu, je na obr. 8 a 9.

75

Obr. 8: Část mříže z pravidelných mnohostěnů rodu 2, druhu 1.

Obr. 9: A její realizace během semináře se studenty. 7. Použitá literatura 1. Huylebrouck, D.: Regular Polyhedral Lattices of Genus 2: 11 Platonic Equivalents? In: Bridges Conference Proceedings, Pécs 2010. 2. Molnár, J., Kobza, J.: Extremální a kombinatorické úlohy z geometrie. SPN, Praha 1990.

76

DOBRODRUŽSTVÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

Jakub Fischer Katedra ekonomické statistiky Fakulty informatiky a statistiky Vysoké školy ekonomické v Praze, nám. W. Churchilla 4, 130 67 Praha 3, Česká republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Příspěvek je věnován dvěma odlišným pohledům na pravděpodobnost. Prvním pohledem je pravděpodobnost výskytu náhodného jevu nazírána jako objektivní vlastnost daného jevu, druhým pohledem je chápána jako náš stupeň důvěry ve výskyt daného jevu. V tomto pojetí pak mohou být pravděpodobnosti výskytu téhož jevu z pohledu dvou osob různé, zejména v důsledku odlišných informací, jimiž ony osoby disponují. Souvislosti a odlišnosti obou pojetí jsou vysvětleny na dvou příkladech. Klíčová slova: pravděpodobnost, subjektivní pravděpodobnost, Bayesův vzorec 1. Úvod Hodíme-li mincí, dopadne na jednu ze svých stran (označme je tradičně panna a orel). Jsme-li dotázáni na pravděpodobnost, že padne orel, příliš nepřemýšlíme o pojetí pravděpodobnosti a řekneme, že je pravděpodobnost rovna jedné polovině. Obdobně pokud hodíme šestistěnnou kostkou, pak je-li tato kostka v pořádku, je pravděpodobnost padnutí šestky rovna jedné šestině. Nicméně, co v případě hodu napínáčkem? Jaká je pravděpodobnost, že padne špičkou nahoru? Je rovna jedné polovině, či není? A je tato pravděpodobnost vlastností onoho napínáčku, nebo pouze naším pohledem na napínáček? 2. Běžně používané (objektivní) přístupy k vymezení pravděpodobnosti Než odpovíme na otázky z úvodu, připomeňme si jednotlivé přístupy (někdy se používá termín definice) pravděpodobnosti. Podle tzv. klasického (apriorního) vymezení pravděpodobnosti1 je pravděpodobnost náhodného jevu rovna podílu počtu elementárních jevů příznivých danému jevu k počtu všech elementárních jevů. Toto vymezení má jeden zádrhel – předpokládá, že nastání všech elementárních jevů je stejně možné (tedy de facto stejně pravděpodobné) a jde tedy v jistém smyslu o definici kruhem. Právě proto není možné podle klasického vymezení zjistit pravděpodobnost, že zmíněný napínáček padne špičkou nahoru. Aplikací tohoto vymezení bychom došli k číslu jedna polovina, nicméně předpoklad o stejné možnosti nastání jednotlivých jevů je zjevně neudržitelný.

1

Hindls a kol., s. 53.

77

Podle tzv. statistického (četnostního, posteriorního) vymezení pravděpodobnosti2 je pravděpodobnost náhodného jevu rovna limitě podílu výskytu náhodného jevu a celkového počtu provedených náhodných pokusů pro počet pokusů jdoucí k nekonečnu. Pravděpodobnost padnutí napínáčku špičkou nahoru bychom tímto vyřešili (pokud hodíme napínáčkem například 10 000x a špičkou nahoru padne např. ve 2 576 případech, pak pravděpodobnost padnutí napínáčku špičkou nahoru v desetitisícím prvém pokusu bude blízká 0,2576). Četnostní pojetí pravděpodobnosti je nicméně založeno na předpokladu opakovatelnosti jevu za stejných podmínek, který také v mnoha případech (v podstatě ve většině kromě školních příkladů) splněn není. Jak tedy odhadnout pravděpodobnost výbuchu jaderné elektrárny? Jak můžeme odhadnout, že vlak, který má přijet zítra v poledne do Olomouce, přijede včas? A můžeme si klást otázku, jaká je pravděpodobnost, že včerejší vlak přijel do Olomouce včas? 3. Subjektivní pojetí pravděpodobnosti Obě výše uvedená vymezení pravděpodobnosti vycházela z pojetí pravděpodobnosti coby objektivní vlastnosti zkoumaného náhodného jevu. Náhodný jev má určité vlastnosti a jednou z nich je i pravděpodobnost jeho výskytu v určité situaci. Z tohoto pohledu si klást otázku, zda včerejší polední vlak dorazil do Olomouce včas, nemůžeme. Buď včas přijel, nebo ne – pravděpodobnost je tedy rovna buď jedné, nebo nule (pouze my buď příslušnou informaci máme a víme, zda je pravděpodobnost jedné nebo nule, anebo tuto informaci nemáme a pak tuto pravděpodobnost neznáme). Subjektivní pojetí vychází z odlišného přístupu, kdy pravděpodobnost není objektivní vlastností zkoumaného jevu, ale je naším stupněm důvěry ve výskyt daného jevu. Tento stupeň důvěry je přitom ovlivněn jak naším (apriorním) postojem k danému jevu, tak i našimi informacemi o daném jevu. S rostoucím objemem informací pak dáváme menší váhu našemu apriornímu postoji a větší váhu získaným informacím. Kombinací apriorního postoje a získaných informací pak vzniká náš postoj posteriorní. 4. Příklady Ukažme si rozdíly mezi uvedenými pojetími na čtyřech příkladech. a) Vlak do Olomouce Zadání a1: Předpokládáme, že přednášející, který má proslovit tuto přednášku, chce přijet poledním vlakem do Olomouce. Aby přednáška včas začala, je (kromě dalších okolností, například aby v něm přednášející seděl) nezbytné, aby vlak dorazil včas. Jaká je pravděpodobnost, že vlak bez zpoždění dorazí? Řešení a1: Pomocí klasického vymezení pravděpodobnosti úlohu nevyřešíme, nutně bychom došli pouze k (zjevně mylnému) závěru, že je rovna jedné polovině. Pomocí statistického vymezení také nelze úlohu správně vyřešit. Polední vlak sice jezdí do Olomouce každý den, takže můžeme zjistit, jaká je četnost zpožděných a nezpožděných vlaků 2

Tamtéž, s. 55.

78

v předchozím období, nicméně není splněna podmínka opakovatelnosti za stejných podmínek. Co když zrovna dnes bude diametrálně odlišné počasí než v předchozích dnech, například nasněží? Nezbývá nám tedy než se spolehnout na náš postoj, kombinovaný i s tím, co víme o zpožděních na trati v daném čase a při daném počasí. Je pak na nás, zdali dáme větší váhu našemu postoji, nebo historickým informacím. Podstatným důsledkem je, že každý z nás může mít jiný postoj k této pravděpodobnosti. b) Hod napínáčkem O něco jednodušší situaci máme při hodu napínáčkem. Zadání b1: Máme před sebou napínáček a chystáme se jím hodit na stůl. Jaká je pravděpodobnost, že padne špičkou nahoru? Řešení b1: Již jsme vysvětlili, že bez jakékoli počáteční informace nejsme schopni ani pomocí klasického, ani pomocí četnostního pojetí pravděpodobnost zjistit a opět nám tedy nezbývá než se spolehnout na subjektivní pojetí. Musíme ale přijmout předpoklad (se kterým se někteří velmi těžce smiřují), že schopnost padnout špičkou nahoru není vlastností napínáčku, ale naším postojem k němu. Každý z nás si pak může formulovat svůj vlastní postoj – pro někoho budou šance rovnocenné a pravděpodobnost bude rovna jedné polovině, pro jiného bude výsledek „špičkou dolů“ méně pravděpodobný a přisoudí tomuto výsledku pravděpodobnost jen například čtvrtinovou. Zadání b2: Hodili jsme napínáčkem desetkrát, přičemž špičkou nahoru padl napínáček třikrát. Upravíme náš původní (apriorní) postoj? Řešení b2: Odpověď je na každém z nás – někoho tři výsledky z deseti ovlivní a svůj postoj upraví (a získá tak nový, posteriorní postoj), někdo se bude domnívat, že deset provedených pokusů je příliš málo pro revizi jeho původního postoje. Zadání b3: Hodili jsme napínáčkem tisíckrát, přičemž špičkou nahoru padl napínáček ve 211 případech. Upravíme náš původní (apriorní) postoj nyní? Řešení b3: Odpověď je opět na každém z nás – někdo bude tvrdit, že o napínáčku četl, je si jist svým původním postojem a dodatečné informace ke změně jeho postoje stále nevedou. Někdo jiný může kombinovat svůj původní postoj s dodatečnou informací (a dát například poloviční váhu svému původnímu odhadu a poloviční váhu dodatečné informaci), někdo třetí může naopak vsadit pouze na onu dodatečnou informaci, která zcela přebije jeho původní (neinformovaný) postoj. Pak se jeho řešení vlastně rovná řešení, jehož bychom dosáhli při použití četnostního vymezení pravděpodobnosti.

79

c) Losování kuliček z bedny Zadání c1: Přejděme k dalšímu příkladu. V první bedně máme třetinu bílých kuliček a dvě třetiny černých, v druhé bedně máme všechny kuličky bílé. Nejprve náhodně vylosujeme bednu a z ní náhodně vylosujeme kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že vylosovaná kulička bude bílá? Řešení c1: K řešení této úlohy využijeme klasického vymezení pravděpodobnosti; nikomu nemůže být bráněno v tom, aby formuloval svůj postoj, nicméně ten by byl nejspíš beztak založen na níže uvedeném výpočtu. Označme náhodné jevy A… vytažení bílé kuličky B1…výběr první bedny B2…výběr druhé bedny Pravděpodobnost výběru každé z beden je rovna 0,5, pro výpočet pravděpodobnosti nastání jevu A pak použijeme vzorec pro výpočet úplné pravděpodobnosti: Pravděpodobnost vytažení bílé kuličky je tedy P(A) = P(B1) x P(A l B1) + P(B2) x P(A l B2) = 1/2 x 1/3 + 1/2 x 1 = 1/6 + 1/2 = 2/3. Zadání c2: Vrátíme vytaženou kuličku do bedny a z téže bedny opět náhodně vybereme kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že vytažená kulička bude bílá? Řešení c2: Vrácením vytažené kuličky do bedny nedochází ke změně výchozích podmínek pro další losování. Pravděpodobnost vytažení bílé kuličky je tedy opět P(A) = 2/3. Zadání c3: Vrátíme vytaženou kuličku do bedny a z téže bedny opět náhodně jednu kuličku vybereme. Než jsme však kuličku do bedny vrátili, podívali jsme se na ni a zjistili, že je bílá. Řešení c3: Na tomto příkladu se „láme chléb“, zastánci objektivního a subjektivního pojetí zde totiž pravděpodobně budou mít odlišný názor na řešení úlohy. V objektivním pojetí, kdy je pravděpodobnost vytažení bedny této bedně přisouzena, se naším pohledem na výsledek předchozího pokusu pravděpodobnost jevu v následujícím pokusu nemění (připomeňme, že kuličku do bedny vracím, takže pokusy nezávislé jsou). Řešení tedy bude opět stejné a pravděpodobnost vytažení bílé kuličky bude rovna P(A) = 2/3.

80

V rámci subjektivního pojetí je řešení odlišné. Zjištění barvy vytažené kuličky je totiž dodatečnou informací, která ovlivní náš postoj k jevu „v předchozím pokusu jsme vytáhli první bednu“. S využitím známého Bayesova vzorce můžeme odpovědět na otázku „Jaká je pravděpodobnost, že jsme vytáhli první bednu, jestliže z ní vytažená kulička byla bílá?“ P(B1) x P(A l B1)

1/2 x 1/3

P (B1 l A) =

= P(B1) x P(A l B1) + P(B2) x P(A l B2)

1/6 =

1/2 x 1/3 + 1/2 x 1

= 1/4 2/3

Nyní můžeme (s upravenými pravděpodobnostmi výběru beden) přepočítat úplnou pravděpodobnost: P (A) = P(B1) x P(A l B1) + P(B2) x P(A l B2) = 1/4 x 1/3 + 3/4 x 1 = 5/6 Spor mezi objektivním a subjektivním pojetím se přitom nevede o samotné užití Bayesova vzorce (ten vychází z uznávaných pravidel pro počítání s pravděpodobnostmi), ale o interpretaci výsledků. Jádrem sporu zůstává, zdali šance bedny být vytažena je vlastností dané bedny, nebo zda je naším postojem, do něhož můžeme zahrnout i dodatečnou informaci. d) Hledání ztraceného letadla Zadání d1: Spadlo letadlo. Z dlouhodobých pozorování (získaných například pomocí četnostního vymezení pravděpodobnosti) odhadujeme, že s pravděpodobností 0,5 spadlo v horách, s pravděpodobností 0,3 spadlo do moře a s pravděpodobností 0,2 spadlo v nížině. Dále víme, že pravděpodobnost, že se letadlo najde, je při pádu do hor 0,4, při pádu do moře 0,1 a při pádu do nížiny 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že se letadlo najde? (Pod pojmem nalezení letadla uvažujeme v celém příkladu nalezení letadla do 1 roku od pádu.) Řešení d1: Řešení je analogické jako v předchozím příkladě. Označíme P (H)… pravděpodobnost, že letadlo spadlo v horách, P (M)… pravděpodobnost, že letadlo spadlo do moře, P (N)… pravděpodobnost, že letadlo spadlo do nížiny a P (U)… pravděpodobnost, že se letadlo najde. Vypočteme úplnou pravděpodobnost P (U) = P(H) x P(U l H) + P(M) x P(U l M) + P(N) x P(U l N) = 0,5 x 0,4 + 0,3 x 0,1 + 0,2 x 0,8 = 0,2 + 0,03 + 0,16 = 0,39. Zadání d2: Letadlo se nenašlo. Jaká je pravděpodobnost, že leží v moři?

81

Řešení d2: Objektivisté budou tvrdit, že letadlo leží v moři s pravděpodobností 0,3 (letadlo již je spadlé a dodatečnou informací se s jeho polohou nemohlo nic stát). Subjektivisté zakomponují dodatečnou informaci a propočtou nové pravděpodobnosti dle Bayesova vzorce: P(M) x P(U l M) P (M l U) =

= P(H) x P(U l H) + P(M) x P(U l M) + P(N) x P(U l N) 0,3 x 0,9

0,27

=

= 0,5 x 0,6 + 0,3 x 0,9 + 0,2 x 0,2

0,27 =

0,3 + 0,27 + 0,04

= 0,44 0,61

Je v tuto chvíli na nás, zdali ponecháme pravděpodobnost, že letadlo spadlo do moře P(M) na výchozí úrovni 0,3, která se opírá o náš apriorní úsudek zahrnující případně i informaci o předchozích místech dopadu spadlých letadel, nebo zdali ji změníme na úroveň 0,44, zahrnující navíc dodatečnou informaci o tom, že jsme letadlo dosud nenašli. Zatímco objektivisté by ponechali pravděpodobnost 0,3, subjektivisté by volili buď hodnotu 0,44, a nebo lineární kombinaci hodnot 0,3 a 0,44. Stanovení vah apriorní pravděpodobnosti a dodatečné informace je pak samozřejmě také subjektivní. 5. Závěr Příspěvek poukázal na základní souvislosti a rozdíly mezi objektivistickým a subjektivistickým vnímáním pravděpodobnosti. Souvislostí je používání stejných pravidel při počítání pravděpodobnosti (Bayesův vzorec vychází z matematické úpravy nezpochybňovaných pravidel pro počítání s pravděpodobnostmi), rozdílem pak nahlížení na pojem pravděpodobnost (objektivní vlastnost daného jevu vs. náš postoj čili stupeň důvěry ve výskyt daného jevu) a interpretace výsledku. Bayesovský přístup je využitelný i při výuce statistiky v základním kursu (intervaly spolehlivosti, testování hypotéz), v českých podmínkách se zatím neujal. 6. Poděkování Autor děkuje panu Bc. Janu Zemanovi, studentovi FIS VŠE, za technickou pomoc při zpracování příspěvku. 7. Použitá literatura 1.HEBÁK, Petr. Pravděpodobnostní rozhodování v ekonomických situacích. 1. vyd. Praha : VŠE, 1998. 100 s. ISBN 80-7079-429-1. 2. HEBÁK, Petr. Texty k bayesovské statistice. 1. vyd. Praha : VŠE, 1999. 139 s. ISBN 80-7079-862-9. 3. HINDLS, Richard, HRONOVÁ, Stanislava, SEGER, Jan, FISCHER, Jakub. Statistika pro ekonomy. 8. vyd. Praha : PROFESSIONAL PUBLISHING, 2007. 417 s. ISBN 97880-86946-43-6.

82

SOČ - Mladý výzkumník

83

VLIV NANOČÁSTIC KOLOIDNÍHO STŘÍBRA NA MIKROORGANISMY DRUHU SACCHAROMYCES CEREVISIAE

Aneta Kopecká,a Karolína Trachtová,a Robert Prucek,b Aleš Panáček,b Libor Kvítekb Gymnázium Jakuba Škody, Komenského 29, 75011 Přerov. E-mail: [email protected], [email protected], Katedra fyzikální chemie, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci, 17. Listopadu 12, 771 46 Olomouc. E-mail: [email protected] Abstrakt Tato práce si klade za svůj cíl popsat vliv nanočástic koloidního stříbra na organismy druhu Saccharomyces cerevisiae. Výsledky této práce navazují na výsledky vědeckých výzkumů na tomto poli již provedených. Cílem bylo prokázat, že nanočástice stříbra mají inhibiční účinek na výše zmíněný druh kvasinek a taktéž určit přibližnou koncentraci, která má již smrtící účinky. Zda-li nanočástice stříbra skutečně vykazují toxicitu vůči druhu Saccharomyces cerevisiae bylo ověřováno na množství ethanolu vyprodukovaného těmito kvasinkami, jehož měření se provádělo na plynovém chromatografu. Předpokladem tedy bylo, že čím větší bude koncentrace nanočástic stříbra při kultivace kvasinek, tím nižší bude jimi vyprodukované množství ethanolu. Při experimentech byla použita čistá kultura druhu Saccharomyces cerevisiae z pekařského droždí. Stříbro bylo připraveno Tollensovou redukční metodou. 1. Úvod V posledních letech dochází k postupnému a mnohdy i rychlému nárůstu rezistence mnohých zdraví škodlivých bakterií vůči používaným lékům, hlavně antibiotikům. Na běžné nemoci se tak podávají vyšší koncentrace léků než dříve, což samozřejmě nemůže pokračovat do nekonečna. Vytváří se tak problém. Co se bude dít tehdy, kdy už účinná koncentrace dojde do té velikosti, že bude pro samotný léčený organismus nepřípustná? Mnoho vědců tak začalo obracet svůj zrak k novým léčivům, které by tento proces vyřešily nebo prozatím alespoň zpomalily. Tak se po mnoha letech dostaly na scénu i antibakteriální účinky stříbra. Ačkoliv má samotné stříbro, třeba v drcené podobě, různé negativní účinky na živý organismus, jeho přírodní antibakteriální vlastnosti nemohou být ponechány bez povšimnutí. V současné době tak probíhá mnohostranný výzkum nanočástic stříbra, tedy částic v rozmezí pod 100 nm, které si zachovávají svou antibakteriální aktivitu, ale zároveň jsou i více přijatelné a hlavně méně škodlivé pro obyčejné buňky živých organizmů. Hlavní otázkou pak je samozřejmě možnost použití takovýchto nanočástic proti lidem škodlivým bakteriím, jejichž rezistence vůči normálním antibiotikům se tak rychle zvyšuje. Testu na samotných lidských buňkách ale musí předcházet experimenty na jednodušších organizmech. Účelem této práce je tedy zjistit, jaký vliv mají nanočástice

84

stříbra na modelový organismus druhu Saccharomyces cerevisiae a popřípadě jaká je nejvyšší nutná koncentrace k usmrcení těchto organizmů). Antibakteriální aktivita nanočástic stříbra byla testována již na několika jiných modelových organizmech.1,2 U prvoka Paramecium caudatum bylo zjištěno, že částice koloidního stříbra vytvořené redukcí diamminstříbrného komplexu maltosou vykazují vysokou toxicitu vůči tomuto druhu. Toxicita částic stříbra ale závisí především na jeho koncentraci v systému a pravděpodobně i na velikosti částic. Jako koncentrace, která zabije Paramecium caudatum okamžitě, bylo zjištěno 54 mg Ag/l. Dalším organizmem, na kterém byla antibakteriální aktivita částic koloidního stříbra testována je Candida spp. V tomto případě však šlo o cíl odlišný než u Paramecium caudatum a zjišťovala se minimální koncentrace, která inhibuje tyto patogení kvasinky. Nanočástice stříbra vykazovaly inhibitující účinky již na koncentraci 0,21 mg l-1 a po stabilizaci nanočástic dodecylsulfátem sodným i na nízké koncentraci 0,05 mg l-1. Antibakteriální aktivita nanočástic stříbra byla studována i na bakterii Escherichia coli. Po vystavení této bakterie nanočásticím stříbra došlo k narušení její buňky. V buněčné stěně vznikaly „díry“ a nanočástice stříbra se dostaly i do samotné buňky Escherichia coli, což v důsledku vedlo k její smrti.

2. Teoretická část 2.1 Koloidy a nanočástice stříbra Pojmy koloid, koloidní pocházejí z latinského názvu pro klíh – kolla, které navrhl na základě svých prací o koloidní chemii anglický chemik Thomas Graham v roce 1861. Koloidní soustavy patří mezi jedny ze tří základních případů disperzních soustav, klasifikovaných podle velikosti dispergovaných částic.3 Disperzní soustavy jsou složeny ze dvou základních částí – disperzní fáze (disperzní podíl, dispersum) a disperzního prostředí (dispergens). Je tedy tvořena dvěma fázemi o stejném nebo různém složení, přičemž jedna fáze je v druhé rozptýlena (= dispergována) ve formě částic dané velikosti a tvaru. Do koloidních soustav jsou řazeny soustavy s rozptýlenými částicemi o velikosti od 10-9 m do 10-6 m. Koloidní soustavy jsou významné a zajímavé především kvůli svým unikátním fyzikálním a chemickým vlastnostem.4 Nejzajímavější jsou snad optické vlastnosti, v případě koloidních částic závislost absorpce či rozptylu světla na velikosti částic. Nejznámější jsou pak zřejmě vlastnosti kinetické, známé jako Brownův pohyb, kdy dochází k vzájemným srážkám mezi koloidními částicemi a molekulami disperzního prostředí a v důsledku toho k jejich pohybu. Antibakteriální účinky stříbra (nejen v jeho koloidní formě) jsou známy již od starověku. Civilizace v Egyptě, Indii nebo v Číně začlenily využití stříbra kvůli jeho antimikrobiálním účinkům do své medicíny. První písemné známky o medicínském významu dusičnanu stříbrného pocházejí z díla Gabira ibn Haiana as-Sufi z druhé poloviny desátého století po Kristu. Využití stříbra však nezůstalo pouze v mezích medicínského významu. Své uplatnění si našlo i v domácnostech, kde se potraviny skladovaly ve stříbrných nádobách a do mléka a tekutin se vkládaly stříbrné mince. Tímto způsobem chtěli lidé dosáhnout zpoždění procesu zkažení těchto tekutin. Dokonce se stříbro používalo ve své drcené formě jako doplněk stravy. V tomto stavu je však

85

biologicky těžko zpracovatelné a docházelo k otravě stříbrem (argyrie).5 Při této otravě dochází k šednutí až modrání kůže nebo dokonce některých sliznic, což je způsobeno ukládáním stříbrných solí. Svého velkého návratu do oblasti medicíny se stříbro dočkalo během světových válek. V této době bylo koloidní stříbro podáváno jako prvotní medikace k léčbě přenosných chorob. Podávalo se jak vnitřně tak nitrožilně.6 Avšak během druhé světové války bylo nahrazeno objevujícími se sulfonamidy a antibiotiky. Tedy léčivy na stejné nemoci, ale s výhodou pohodlnějšího skladování v podobě kapslí, později tablet. V dnešní době se snažíme zjistit co nejvíce o antibakteriální aktivitě koloidního stříbra kvůli stále častější antibiotické rezistenci. Je již známo, že velikost nanočástic se pohybuje v rozpětí jednotek až desítek nanometrů a že tyto částice vykazují biologickou aktivitu vůči virům a prokaryotickým organismům. Bylo také zjištěno, že již při malé koncentraci se u stříbra objevují antibakteriální účinky s nízkou toxicitou vůči lidským buňkám. Mechanismus antibakteriálních účinků koloidních částic stříbra nebyl dosud přesně popsán. Dosavadní výsledky ukazují, že nanočástice stříbra neničí patogeny přímo, ale rozkládají enzymy, pro ně životně důležité. Další výhodou je menší velikost nanočástic oproti velikosti virů – od 15 nm do 150 nm a bakterií – od 350 nm do 1000 nm.7 Díky menší velikosti dokážou koloidní nanočástice snadno pronikat přímo do nitra škodlivých patogenů.8 Výsledkem této činnosti je, že si bakterie nemohou rozvíjet vůči stříbru odolnost, jako je tomu u antibiotik. Vysoký oligodynamický efekt byl zjištěn i u iontů Ag+ či Ag0.9 V poslední době se začaly objevovat nové materiály, které obsahují tyto ionty. Například chirurgická ocel, endoprotézy, keramika, sklo. Bakterie pak ničí právě ionty uvolněné z takovýchto materiálů. Tím napomáhají léčbě i prevenci ve zdravotnictví. Co se týká prevence, koloidní stříbro podporuje imunitní systém a ulehčuje mu jeho funkci. Kromě toho podporuje i růst nové tkáně. Využití koloidní stříbra však není pouze záležitostí medicíny a prevence. Stále častěji se objevují textilie, do kterých jsou vetkána stříbrná vlákna. Takto upravené textilie se opět uplatňují i ve zdravotnictví ve formě antibakteriálních obvazů a existují již oděvy z tohoto materiálu. Ty například eliminují množení bakterií rozkládajících pot, které způsobují nepříjemný zápach. Dále se také objevují domácí spotřebiče využívající právě koloidních částic stříbra. Příkladem je pračka, která do vody elektrolytickou cestou uvolňuje částice stříbra. Ty se pak váží na textilie, ale především na bakterie, které neutralizují. Tyto efekty stříbra mohou vydržet až několik týdnů, což je výhodné pro lidi s citlivou pokožkou, s ekzémy či alergiky. Byly provedeny mnohé experimenty zkoumající dopady částic stříbra na různé organizmy bakterií, například známé Escherichia coli, Streptococcus pneumonie či nevítané Staphylococcus aureus, která vykazuje velkou imunitu vůči penicilinu. Jako důvod pro stále se zvyšující rezistenci mnohých bakterií vůči antibiotikům se uvádí nadměrné používání těchto léků. 2.2 Biologie organizmů druhu Saccharomyces cerevisiae Druh Saccharomyces cerevisiae je jednobuněčný eukaryotní organismus, patří mezi houby vřeckovýtrusé a je znám už od antiky kvůli svým kvasným vlastnostem, které se využívaly a

86

dosud využívají v pivovarnickém či pekařském průmyslu. V pivovarnickém průmyslu je druh Saccharomyces cerevisiae řazen mezi původce svrchního kvašení. Pro své fermentační schopnosti a lehkou kultivaci je tento druh oblíbeným modelovým organizmem. Byl také prvním eukaryontním organizmem, jehož genom byl sekvenován. Klasifikace:10,11 Říše: Oddělení: Podkmen: Třída: Podtřída: Řád: Čeleď: Rod: Druh:

Fungi (houby) Ascomycota (vřeckovýtrusé) Saccharomycotina Saccharomycetes Saccharomycetidae Saccharomycetales (kvasinkotvaré) Saccharomycetaceae Saccharomyces Saccharomyces cerevisiae

Druh Saccharomyces cerevisiae je eukaryotní mikroorganismus tvořený jedinou buňkou, která je fyziologicky i morfologicky vybavena tak, aby byla schopná vykonávat všechny funkce nutné k životu a úspěšné reprodukci.12,13,14 Za tímto účelem má vytvořené tzv. organely (ústroječky). Tělo buňky je elipsoidního, zřídka kulovitého tvaru. Saccharomyces cerevisiae dosahuje délky 5 µm – 10 µm a šířky 5 µm – 8 µm. I když je řazena mezi houby, netvoří pravé mycelium. Velikost buňky roste s věkem. Druh Saccharomyces cerevisiae vytváří dvě základní životní formy, a to haploidní a diploidní. Diploidní forma je ve zhoršených podmínkách schopna sporulace - vytváří haploidní spory. Samotná buňka je ohraničena buněčnou stěnou, jejíž hlavní složkou jsou polysacharidy. Buněčná stěna je nejběžněji dělena na tři vrstvy. Vnější vrstva obsahuje mnnanproteiny spojené disulfidovými můstky, střední vrstva je složena z β-1,6 glukanu, glukanproteinů a mannanproteinů (struktura je amorfní), vnitřní vrstvu (fibrilární), která přiléhá na cytoplazmatickou membránu, tvoří mikrokrystalický β-1,3 glukan. Na buněčné stěně se také jako stálé struktury vyskytují jizvy obsahující chitin, vzniklé po oddělení dceřiných či kvasinkových buněk. Za pevnost buněčné stěny odpovídají glukanové mikrofibrily. Cytoplazmatická membrána (plazmalema) tvoří elastický obal protoplastu a přiléhá k vnitřní vrstvě buněčné stěny. Je tvořena hlavně z fosfolipidů a bílkovin. Má důležitou roli při vylučování extracelulárních enzymů, syntéze buněčné stěny a kontrole transportu látek. Propouští malé molekuly bez náboje. Nejběžněji se užívá mozaikový model biomembrán, kdy je cytoplazmatická membrána tvořena dvojitou vrstvou fosfolipidů, tzv. lipidovou dvouvrstvou, prostoupenou bílkovinami. Vedle fosfolipidů jsou důležitou složkou plazmalemy steroly ovlivňující biochemické a mechanické funkce biomembrán. Biomembrány tvoří i systém vnitřních membrán v cytoplazmě. Cytoplazma je u mladých buněk průhledná. Jádro (nukleus) bývá zpravidla umístěno ve středu buňky. Jaderná membrána je poseta póry a složena ze dvou vrstev, mezi kterými se nachází perinukleový prostor s polotekutým obsahem. V jaderné hmotě lze rozlišit jadérko (nucleolus). Saccharomyces cerevisiae má v haploidním jádře šestnáct chromozomů, v diploidním

87

třicet dva chromozomů. I když plazmidová DNA není pro buňku životně důležitá, většinou se u Saccharomyces cerevisiae nachází kruhový plazmid. Endoplazmatické retikulum sestává může přiléhat k jaderné membráně nebo je samostatně v cytoplazmě. Vytváří cisterny, lamely nebo tubuly, vnější vrstva je drsná díky navázaným ribozomům a je tedy místem syntézy bílkovin a peptidů. Golgiho aparát se u Saccharomyces cerevisiae vyskytuje pouze v jednodušší formě tvaru zploštělé cisterny membránové charakteru. Ribozomy se v cytoplazmě nacházejí buď volně anebo vázané na endoplazmatické retikulum. Na jejich tvorbě se podílí jadérko. Mitochondrie mají velikost zhruba 1 µm a šířku 0,3 µm až 1 µm. Vnitřek mitochondrií (matrix), je obklopen dvěma membránami, vnější má bradavičnatý povrch, vnitřní tvoří vchlípeniny dovnitř mitochondrie zvané kristy. Mitochondrie mají vlastní kruhovou DNA a slouží k přeměně energie uvolněné oxidací převážně NADH v energii vázanou v ATP. Tvar, velikost a množství mitochondrií v buňce jsou ovlivňovány různými faktory, jako je momentální stav buněk, fáze buněčného cyklu apod. Vakuoly jsou obklopené speciální membránou (tonoplastem) a v dospělé buňce se zpravidla vyskytuje pouze jedna velká vakuola kulovitého tvaru. V počáteční fázi pučení však můžeme sledovat několik menších vakuol, které postupně splynou v jednu. Povrch vakuoly je pokryt granulemi, které jsou pro ni charakteristické. Uvnitř vakuoly jsou hydrolytické enzymy (proteázy, ribonukleázy a esterázy). Vakuoly slouží jako úložiště látek, které se zrovna neúčastní metabolismu. Cytoskelet umožňuje vnitrobuněčný pohyb organel z místa na místo a je tvořen sítí vláken v cytoplazmě i jádru. Pro kvasinky je typický druh vegetativního rozmnožování zvaný pučení, výjimečně se však rozmnožují i pohlavně. Pučení nastane tehdy, když se uvolní energie ze zásobních sacharidů a dosáhne-li buňka potřebného fyziologického stavu. Při pučení se tvoří nejdříve pupen, který se postupně zvětšuje. Když dosáhne dostatečné velikosti, oddělí se od původní buňky a vznikne tak buňka dceřiná. Po jejím oddělení zůstává na původní buňce tzv. mateřská jizva, na dceřiné pak dceřiná jizva. Pučení je hlavním způsobem rozmnožování Saccharomyces cerevisiae. Kromě nepohlavního rozmnožování můžeme u tohoto druhu pozorovat i rozmnožování pohlavní. Při něm dochází k splynutí (konjugaci) dvou buněk a jejich jader. Vytvoří se pak kulovité spory, většinou čtyři, uzavřené ve vřecku. U Saccharomyces cerevisiae jako pivní kvasinky není pohlavní rozmnožování vítané. Používá se ale k získání nových mutantů. K pohlavnímu rozmnožování se buňka uchyluje v převážně nepříznivých podmínkách (nedostatek živin apod.). Význam Saccharomyces cerevisiae spočívá v jejích výborných fermentačních vlastnostech, které se využívají v pivovarnickém a pekařském průmyslu dodnes. Slouží i pro výrobu tzv. krmných kvasnic, které se používají v současné době jako součást krmných směsí. Mimoto je také významným modelovým organizmem.

88

3. Experimentální část Chemikálie Pro přípravu koloidního stříbra byly použity tyto chemikálie •

dusičnan stříbrný (p.a., Tamda)

•

amoniak (p.a., vodný roztok, min 25 % (v/v), Lachema)

•

hydroxid sodný (p.a., Lachner)

•

D (+) - maltosa monohydrát (99+ %, Riedel-de-Haën)

Pro koncentraci koloidního stříbra byly požity tyto chemikálie •

sorbent polyakrylát-polyalkohol (Sigma-Aldrich), dialyzační membrány

Pro přípravu živného média byly použity tyto chemikálie: •

glukosa (92 %, CHEM Logistic s.r.o.)

•

destilovaná voda

•

živná sůl pro kvasinky ( FRUTANA s.r.o.)

Pro stabilizaci nanočástic stříbra byly použity tyto chemikálie • želatina (p.a.) Biologický materiál Toxicita koloidního stříbra byla studována na eukaryotických jednobuněčných organizmech druhu Saccharomyces cerevisiae. Ve všech experimentech byla použita čistá kultura tohoto druhu z pekařského droždí značky NOLI. Specifikační list droždí NOLI Výrobek Složení Barva

Čerstvé droždí NOLI 42 g Čistá kmenová kultura Saccharomyces cerevisiae Béžově krémová

Struktura

Drobivá hmota lisováním formována do kostek

EAN kód Balící materiál

8594035773074 Aluminiová folie; display; celofán; karton

Sklad. podmínky

1 °C – 10 °C ( optimum 2 °C – 6 °C)

Přístroje a vybavení Měření velikosti nanočástic koloidního stříbra bylo provedeno na přístroji 90 Plus Particle Size Analyzer (Brookhaven, USA), který pracuje na principu dynamického rozptylu světla (DLS). Množství ethanolu v jednotlivých roztocích bylo určeno pomocí plynového chromatografu Agilent Technologies, typ 6820 GC Systém. Ten používá

89

jako mobilní fázi nosný plyn a jako stacionární fázi kapalinu zakotvenou na povrchu pevné látky. Nosný plyn (v našem případě dusík) slouží jako transportní medium pro plynnou směs, která je analyzována. Jednotlivé chemikálie byly váženy na analytických vahách UM 500 (FISHER SCIENTIFIC s.r.o.). K míchání disperze bylo použito mechanické míchadlo MR 1000. Příprava koloidního stříbra Disperze koloidního stříbra byla připravena pomocí Tollensovy redukční metody. V následujícím pořadí byly smíchány tyto roztoky: LÁTKA

MNOŽSTVÍ

KONCENTRACE

AgNO3

250 ml

c = 4 × 10-3 mol l-1

NH3

250 ml

c = 0,02 mol l-1

NaOH

250 ml

c = 0,0384 mol l-1

Maltosa

250 ml

c = 4 × 10-2 mol l-1

Tato reakce byla provedena dvakrát. Výsledkem bylo 2 × 1000 ml zásobní disperze o koncentraci 108 mg Ag/l. Pro správný průběh reakce je nutné míchání. K míchání bylo použito mechanické míchadlo. Průměrná velikost připravených částic byla 32 nm. Velikost částic byla změřena metodou DLS na přístroji 90 Plus Particle Size Analyzer. Kontrolní spektra byla změřena na spektrometru Specord S 600 Analytic Jena. Tyto disperze byly dále zkoncentrovány na koncentraci 1000 mg l-1. K zakoncentrování disperze byly požity dialyzační membrány z celulos (Sigma -Aldrich). Jako sorbent byl použit polyakrylát-polyalkohol. Do litrové kádinky bylo umístěno deset membrán, do každé z nich se aplikoval 1 g sorbetu. Membrány byly ponechány v disperzi po dobu tří dnů. Po skončení procesu koncentrace se disperze zvážily a následně se vypočítala koncentrace. Kontrolní měření výsledné koncentrace Ag v připravené disperzi bylo provedeno metodou AAS (atomová absorpční spektrometrie). Příprava živného média Živné medium se skládá ze dvou roztoků. Z roztoku, který byl připraven rozpuštěním živné soli pro kvasinky VINKA a z roztoku glukosy. Do tohoto média bylo přidáváno koloidní stříbro v různém množství (5 ml, 10 ml, 15 ml, 20 ml, 25 ml, 30 ml). Příprava prvního roztoku: 1 g soli VINKA byl rozpuštěn ve 100 ml destilované vody. Rozpouštění bylo urychleno mícháním pomocí skleněné tyčinky. Příprava roztoku glukosy: Na elektrických vahách bylo odměřeno 55,55 g glukosy. Toto množství bylo následně rozpuštěno v 500 ml destilované vody. Jako v předchozím případě, jsme použili skleněnou tyčinku. Po úplném rozpuštění chemikálií v roztocích jsme přešli ke kultivaci. Připravili jsme si potřebný počet Erlenmeyerových baněk, které byly důkladně vymyty destilovanou vodou. Do takto připravených baněk se postupně odlilo 70 ml glukosového roztoku a

90

1 ml roztoku ze živné soli. Dále bylo přidáno koloidní stříbro. Jednotlivé baňky byly doplňovány destilovanou vodou do výsledného objemu 100 ml. Pokud tedy v baňce A nebylo žádné stříbro, bylo nutno přidat 30ml destilované vody. Do každé z baněk bylo pomocí kovové chemické lžíce přeneseno 0,5 g pekařského droždí odměřeného na elektrických vahách. V případě nesterilizovaných vzorků byly Erlenmeyerovy baňky uzavřeny pomocí parafilmu. V případě sterilizovaných vzorků byly připravené roztoky převařeny. Samotné Erlenmeyerovy baňky byly sterilizovány v sušičce při 150 °C spolu s alobalem, který nahradil parafilm. 0,5 g pekařského droždí bylo přidáno až po zchladnutí roztoků ve sterilizovaných baňkách. Aby se nenarušila sterilita, byly tyto baňky zakryty také sterilizovaným alobalem. K přenesení pekařského droždí do jednotlivých baněk byla použita sterilizovaná chemická lžíce. Baňky s pekařským droždím byly opět překryty alobalem. Takto připravené vzorky byly postaveny na místo s dostatkem slunečného světla a byly zde ponechány dva dny. Měření bylo prováděno až třetí den.

Obr. 1: Řada baněk s kultivačním médiem, nanočásticemi Ag a kvasinkami. Seřazení z leva podle vzrůstající koncentrace Ag. Postup měření vyprodukovaného ethanolu Ethanol vyprodukovaný kvasinkami byl měřen na chromatografu Agilent Technologies, typ 6820 GC Systém v Přírodovědecké fakultě Univerzity Palackého v Olomouci. Nejdříve bylo nutné přefiltrovat roztoky. Postup byl následující: • všechny baňky byly odvíčkovány a seřazeny podle písmen, aby nedošlo k záměně • byly připraveny nové baňky, opět označeny písmeny, s filtračními nálevkami s vloženými filtračními papíry • všechny původní baňky byly postupně přefiltrovány • výsledné přefiltrované roztoky byly odlity do menších kádinek označených příslušnými písmeny a takto byly podány k plynové chromatografii Pro každé měření bylo zapotřebí pouze malé množství přefiltrovaného roztoku. Naměřené výsledky byly zaznamenány do tabulek.

91

4. Výsledky Studium toxicity nanočástic koloidního stříbra vůči organismu druhu Saccharomyces cerevisiae Podle postupu v popsaného v předchozí kapitole bylo připraveno koloidní stříbro o koncentraci 1000 mg Ag/l a byla sledována toxicita vůči organismům druhu Saccharomyces cerevisiae. Připravené koloidní stříbro bylo použito bez dalších úprav. Výsledky jednotlivých měření byly zavedeny do tabulek, ke kterým patří také příslušný graf, znázorňující výslednou hodnotu naměřené koncentrace ethanolu, produkované v experimentu studovaným mikroorganismem. V prvním sloupci každé tabulky jsou zavedeny názvy vzorků, ve druhém koncentrace koloidního stříbra a ve třetím je množství ethanolu stanoveného plynovou chromatografií v příslušném vzorku, množství je vyjádřeno relativně na základě velikosti odezvy v mV · s-1.

Naměřená hodnota ethanolu (mV · s)

Množství ethanolu 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

množství ethanolu 0

1

2

5

10

Množství Ag v mg l-1

Obr. 2: Hodnoty naměřeného ethanolu na plynovém chromatografu v případě nesterilizovaných vzorků. Výsledný graf je průměrem tří měření. Tabulka 1: Tabulka hodnot naměřeného ethanolu k Obr. 2.

Názvy vzorků A

Množství mg Ag/l 0

Ethanol (mV · s-1) 2247

B

1

2345

C

2

2708

D

5

1305

E

10

253

92

Provedením tohoto základního experimentu zaměřeného na vliv nanočástic stříbra na studovaný mikroorganismus bylo zjištěno, že s rostoucí koncentrací stříbra klesá hladina vyprodukovaného ethanolu až od koncentrace Ag 5 mg/l. Z důvodu dosažení vyšší přesnosti biologických experimentů jsme provedly další experiment se sterilizovaným živným médiem pro kvasinky.

Množství ethanolu Naměřená hodnota ethanolu (mV · s)

5000 4000 3000 2000 množství ethanolu

1000 0 0

5

10

15

20

Množství Ag v mg l-1

Obr. 3: Hodnoty naměřeného ethanolu na plynovém chromatografu sterilizovaných vzorků. Graf je průměrem tří měření. Tabulka 2: Tabulka hodnot naměřeného ethanolu k Obr. 3. Názvy vzorků

Množství Ag mg /l

A B C D E

0 5 10 15 20

Ethanol (mV · s-1) 4568 3390 1840 613 107

Provedením experimentu se sterilizovanými vzorky bylo zjištěno, že s rostoucí koncentrací stříbra ve vzorcích klesá také hladina ethanolu. Na základě klesajících hodnot ethanolu jsme došly k závěru, že za daných podmínek je koloidní stříbro vůči organismům druhu Saccharomyces cerevisiae silně toxické, akutní toxicitu vykazují již vzorky s obsahem Ag 10 mg -15 mg/l. Vzhledem k obtížím s udržitelností nanočástic

93

stříbra ve vzorku bez jejich agregace byla provedena ještě jedna série měření, při kterých byly nanočástice stříbra stabilizovány želatinou.

množství ethanolu Naměřená hodnota ethanolu (mV · s)

12000 10000 8000 6000 4000

množství ethanolu

2000 0 0

5

10 15 20 25 30 35 Množství Ag v mg l-1

Obr. 4: Hodnoty naměřeného ethanolu pomocí plynového chromatografu vzorků, které byly stabilizovány želatinou. Výsledný graf je průměrem tří měření. Tabulka 3: Tabulka hodnot naměřeného ethanolu k Obr. 4.

Názvy vzorků A B C D E F G H

Množství mg Ag/l 0 5 10 15 20 25 30 35

Ethanol (mV · s-1) 9868 8011 7822 7585 6998 6889 6276 5873

Výsledkem této série experimentů bylo ujištění, že s rostoucí koncentrací koloidních částic stříbra, roste také toxicita vůči organismům druhu Saccharomyces cerevisce. Výsledky toho měření ethanolu jsou však ovlivněny želatinou, kterou, jak se domníváme, se organismy během pokusů živí a proto produkují více ethanolu než u předchozích měření., takže toxicita nanočástic stříbra v tomto případě klesá. Jiná interpretace by mohla být taková, že nanočástice stříbra jsou obaleny vrstvou želatiny a tak nepřichází do přímého kontaktu s mikroorganismy a proto jejich toxicita klesá.

94

Ukázka chromatogramu z plynového chromatografu při měření obsahu ethanolu Zded uvádíme ukázku výsledků jednotlivých měření ethanolu na plynovém chromatografu. Obrázek 5 je úvodní stránkou pro veškerá naše měření na plynovém chromatografu. Kde jsou sumarizovány parametry provedeného měření.

Obr. 5: Úvodní stránka se základními parametry měření hodnot ethanolu na plynovém chromatografu.

95

Obr. 6: Chromatogram vzorku F1, koncentrace 25 mg Ag/l. Tabulka 4: Tabulka hodnot naměřeného ethanolu obrázku 6 (vzorek F1).

5. Diskuze a závěr V této práci byla studována toxicita nanočástic stříbra vůči jednobuněčným eukaryotním organizmům druhu Saccharomyces cerevisiae. Nanočástice stříbra byly připraveny Tollensovou redukční metodou. Cílem této práce bylo zjistit, jak organismus druhu Saccharomyces cerevisiae reaguje na nanočástice stříbra. Do práce jsme vstoupili s předpokladem, že nanočástice stříbra díky svým antibakteriálním účinkům budou inhibovat aktivitu kvasinek a to povede až k jejich smrti. Tento předpoklad se potvrdil. Z dříve publikované studie o toxicitě částic stříbra na organismus druhu Paramecium caudatum vyplývá, že nejnižší koncentrace, která zabíjí tyto nálevníky okamžitě, je přibližně 54mg Ag/l. Tato práce prokázala, že k usmrcení jiného jednobuněčného eukaryotického organismu Saccharomyces cerevisiae, ovšem v rozpětí dvou dnů, je třeba 30 mg – 35 mg Ag/l. Tato koncentrace byla zjištěna na základě nepřímého stanovení toxicicity nanočástic stříbra vůči studovanému organismu prostřednictvím stanovení koncentrace ethanolu produkovaného organismem v rámci jeho potravního cyklu.

96

Vzhledem k používání plynového chromatografu k měření hodnot vyprodukovaného ethanolu jsme museli zvolit co nejjednodušší živné médium bez komplikovaných chemických látek. Média uváděná v jiných pracích a v odborných knihách s těmito organizmy byla proto pro nás nevhodná. Výsledné médium, sestavené z glukosy a živné soli pro kvasinky, která se běžně prodává (pro domácí výrobu kvasných ovocných nápojů), bylo optimální, jak prokázaly výsledky stanovení produkovaného ethanolu v živném médiu bez obsahu stříbra. Během pokusů došlo k mnoha komplikacím, hlavně problémům s disperzí nanočástic stříbra. Často docházelo v živných roztocích k jejich agregaci, proto řada výsledků provedených experimentů byla nepoužitelná. Kvalita experimentů se zásadně zvýšila ve chvíli, kdy testované nanočástice stříbra byly stabilizovány želatinou. Želatina pak ale zřejmě sloužila jako další zdroj potravy pro kvasinky a vyprodukované množství ethanolu se rapidně zvýšilo. Proto nelze jednoznačně srovnat výsledky získané v systému nestabilizovaných nanočástic stříbra a v systému stabilizovaném želatinou. Další výzkum tak bude směrován k vývoji metodiky, umožňující plně reprodukovatelné testy toxicity nanočástic stříbra vůči organismu Saccharomyces cerevisiae. Dosud získané výsledky tak představují odhad limitní hodnoty pro akutní toxicitu nanočástic stříbra vůči kvasinkám rodu Saccharomyces. 6. Poděkování Příspěvek byl zpracován s podporou projektu OPVK „Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko výzkumné práci v oblasti přírodních věd.“, reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040. 7. Použitá literatura 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

PANACEK A., KOLAR M., VECEROVÁ R., et al.: Antifungal activity of silver nanoparticles against Candida spp. Biomaterials 30, 6333-6340, 2009 KVITEK L., VANICKOVA M., PANACEK A. et al.: Initial Study on the Toxicity of Silver Nanoparticles (NPs) against Paramecium caudatum, J Phys Chem C 113, 42964300, 2009 KVÍTEK L., PANÁČEK A. Základy koloidní chemie. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2007. ISBN 978-80-244-1669-4 KOMERS K. Základy koloidní chemie. 1. vyd. Pardubice: Univerzita Pardubice, 1996. SIBN 80-7194-045-3 PROKEŠ J. Základy toxikologie: Obecná toxikologie a ekotoxikologie. Praha: Karolinum, 2005. http://www.biostribro.cz/historie-koloidu-a17 PANÁČEK, Aleš. Řízená příprava a antibakteriální aktivita koloidních částic stříbra. Olomouc, 2006. 93 Dizertační práce. Univerzita Palackého v Olomouci KŘÍŽKOVÁ S., ADAM V., KIZEK R. Fytotoxicita stříbrných iontů. Chem. Listy. 103, 559-568, 2009.

97

9.

L. KVÍTEK, R. PRUCEK, A. PANÁČEK, J. SOUKUPOVÁ. Nanočástice stříbra příprava, vlastnosti a aplikace. Sborník mezinárodní konference Nanocon 2009, Rožnov pod Radhoštěm. ISBN 978-80-87294-12-3. 10. http://www.speciesfungorum.org/ staženo 12.1. 2011 11. http://www.biolib.cz/ staženo 12.1. 2011 12. BENDOVÁ O., JANDEROVÁ B. Základy biologie kvasinek. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985. 13. BENDOVÁ O., JANDEROVÁ B. Úvod do biologie kvasinek. 1. vyd. Praha: Karolinum, 1999. ISBN 80-7184-990-1 14. KOCKOVÁ-KRATOCHVÍLOVÁ A. Kvasinky a kvasinkovité mikroorganizmy. 1. vyd. Bratislava: Alfa, 1982.

98

Editor Doc. RNDr. Libor Kvítek, CSc. Metody výzkumu v oblasti přírodních věd Určeno pro učitele a studenty SŠ, organizátory vzdělávacích akcí pro SŠ Výkonný redaktor Prof. RNDr. Tomáš Opatrný, Dr. Odpovědná redaktorka Mgr. Jana Kreiselová Autor obálky Ivana Perůtková Tato publikace neprošla redakční jazykovou úpravou Vydala a vytiskla Univerzita Palackého v Olomouci Křížkovského 8, 771 47 Olomouc www.vydavatelství.upol.cz e-mail: vup(at)upol.cz e-shop: www.e-shop.upol.cz Olomouc 2012 1. vydání Ediční řada - Sborník z. č. 2012/390 ISBN 978-80-244-3186-4 Neprodejné

Přírodovědec - Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko výzkumné práci v oblasti přírodních věd reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040