Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet H-4010 Debrecen, Pf. 12 +3652512900
[email protected]
Megyei Matematika Szakkör — Feladatsorok —
A foglakozások hétf˝o délutánonként 16.30-tól kezd˝odnek a Matematikai Intézet M402-es tantermében.
Debrecen, 2014
Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet H-4010 Debrecen, Pf. 12 +3652512900
[email protected]
— A foglakozások témái és a témák vezet˝oi — Név: Balázs Tivadar Bessenyei Mihály Deli Lajos Katonka Pál Kovács Gábor Márkus Imre Orvos Viola Paulovits György Szalóki Szilvia Tóth Mariann
Intézmény: Fazekas Mihály Gimnázium DE Matematikai Intézet H˝ogyes Endre Gimnázium Bocskai István Gimnázium DE Kossuth Gyakorló Gimnázium DE Kossuth Gyakorló Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Bethlen Gábor Közg. Szakközép Bocskai István Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium
Téma: Gyanús vonalak, gyanús pontok Kábelrakás kis költséggel A skatulya-elv Komplex számok Projektív geometria Számelmélet, oszthatóság Rácsgeometria Széls˝oérték feladatok Geometria a versenyfeladatokban Halmazok
Id˝opont: 2014.09.15; Vezeti: Tóth Mariann; Megjegyzés: – 1. Feladat. Az A halmaz a pozitív egész számokat tartalmazza 1-t˝ol 2001-ig bezárólag. Megadható-e néhány Ai (i = 1, 2, . . . , n; n ≥ 2) részhalmaz úgy, hogy teljesüljenek a következ˝o feltételek: (i) A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = A; (ii) Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n; (iii) az Ai (i = 1, 2, . . . , n) halmazban a számok közül a legnagyobb egyenl˝o az összes többi szám összegével. 2. Feladat. Határozzuk meg az összes olyan n pozitív egész számot, amely a következ˝o tulajdonságú: Az {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5} halmaz úgy bontható fel két, közös elemet nem tartalmazó és nem üres halmazra, hogy az egyik részhalmaz elemeinek a szorzata a másik részhalmaz elemeinek a szorzatával egyenl˝o. 3. Feladat. A pozitív egész számok A és B halmaza hasonló, ha vannak olyan a, b ≥ 2 természetes számok, hogy A mindegyik elemét a-val szorozva ugyanahhoz a halmazhoz jussunk mintha B mindegyik elemét b-vel szoroznánk. Bontsuk fel a pozitív egész számok halmazát két diszjunkt halmazra úgy, hogy azok hasonlók legyenek! 4. Feladat. Bontsuk fel a pozitív egész számok halmazát megszámlálhatóan végtelen sok diszjunkt halmazra úgy, hogy azok páronként hasonlók legyenek! 5. Feladat. Ki lehet-e színezni a pozitív racionális számokat pirossal és kékkel úgy, hogy piros és kék szám is keletkezzen, és (i) a piros számok összege piros, a kék számok összege kék legyen; (ii) a piros számok szorzata piros, a kék számok szorzata kék legyen? 6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy bármely tíz, páronként különböz˝o kétjegy˝u természetes számból álló halmaznak mindig van két, közös elem nélküli részhalmaza, amelyben az elemek összege egyenl˝o egymással. 7. Feladat. Legyen A az S = {1, 2, . . . , 1000000} halmaz egy 101 elem˝u részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy találhatók olyan t1 , . . . , t100 számok az S halmazban, amelyekre az Aj = {x + tj | x ∈ A} j = 1, 2, . . . , 100 halmazok páronként diszjunktak. 8. Feladat. Egy hételem˝u halmaz háromelem˝u részhalmazait kell kiszíneznünk úgy, hogy ha két részhalmaz metszete üres, akkor színük különböz˝o. Legalább hány színre van ehhez szükségünk?
Id˝opont: 2014.09.22; Vezeti: Márkus Imre; Megjegyzés: – 9. Feladat. Egy téglalap oldalainak és átlójának mér˝oszáma egész. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a téglalap területének mér˝oszáma osztható 12-vel! 10. Feladat. Melyik az a legkisebb háromjegy˝u pozitív egész n, amelyre 2n + 3n osztható 7-tel? 11. Feladat. Egy rezervátumban 13 zöld, 15 barna és 17 szürke szín˝u kaméleon van. Ha két különböz˝o szín˝u találkozik, akkor színüket a harmadik színre változtatják. El˝ofordulhat-e, hogy egy id˝o után már csak egyféle szín˝u kaméleonok lesznek? Hogyan módosul a válasz, ha eredetileg 25 barna kaméleon volt a rezervátumban? 12. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az természetes n szám esetén sem!
n4 +3n2 +1 n3 +2n
tört nem egyszer˝usíthet˝o egyetlen
13. Feladat. Legyenek p > s > z prímek! Egy dobozban elhelyezünk p4 darab piros, s4 darab sárga és z 4 darab zöld golyót. Legyen k az a legkisebb pozitív szám, ahány golyót ki kell vennünk a dobozból ahhoz, hogy biztosan legyen a kivett golyók között három különböz˝o, továbbá n az a legkisebb szám, ahány golyót ki kell vennünk a dobozból, hogy biztosan legyen a kivett golyók között három egyforma. Összesen hány golyó van a dobozban, ha k + n + 5 ugyancsak prímszám? 14. Feladat. Válasszuk meg az n természetes szám értékét úgy, hogy a 2n2 −n−36 kifejezés egy prímszám négyzete legyen! 15. Feladat. Oldjuk meg a természetes számok halmazán az x2 − 4y 2 + 3x − 6y = 2014 egyenletet! 16. Feladat. Melyek azok az abcd ≤ 4000 prímszámok, amelyek az alábbi két tulajdonsággal rendelkeznek: (i) els˝o két jegyük olyan kétjegy˝u prím, amelyben a számjegyek szorzata 1-t˝ol különböz˝o négyzetszám, (ii) második két számjegyük olyan kétjegy˝u prím, amely számjegyeinek szorzatát fordított sorrendben felírva ismét négyzetszámot kapunk. 17. Feladat. „Hundred-foot”-ot, a Százlábú Robotot üzemi baleset érte. Lábfejeit javítani kell. Lábfejeit – amelyek libasorban helyezkednek el egymás után – egy fogaskerék elforgatta ugyanabba az irányba 30◦ -kal. Ezután egy második fogaskerék elforgatta minden második lábfejét az el˝oz˝ovel megegyez˝o irányba 30◦ kal. Majd egy harmadik fogaskerék minden harmadik lábfejét, egy negyedik fogaskerék minden negyedik lábfejét és így tovább (a k-adik fogaskerék minden k-adik lábfejét, k ≤ 100) elforgatta mindig ugyanabba az irányba 30◦ -kal. A mérnöki konzílium megállapítása szerint a robotnak minden olyan lábfejét cserélni kell, amelyik nincs olyan állásban, mint amelyben eredetileg volt. Mely lábfejeit nem kell cserélni Hundred-foot-nak?
Id˝opont: 2014.09.29; Vezeti: Balázs Tivadar; Megjegyzés: – 18. Feladat. Az ABC háromszög A csúcsból induló szögfelez˝oje K-ban metszi a BC oldalt. Az ABK háromszögbe írt körnek és az ABC háromszög köré írt körének a középpontja egybeesik. Mekkorák az ABC háromszög szögei? 19. Feladat. Az ABCD négyzet AB oldalára befelé, BC oldalára kifelé ABP és BCR szabályos háromszögeket írunk. Mutassuk meg. hogy D, P , R egy egyenesen vannak! 20. Feladat. Az ABC derékszög˝u háromszög átfogóján választunk egy P pontot, onnan mer˝olegeseket bocsájtunk a befogókra, majd összekötjük a talppontokat. Az így kapott szakasz hossza P mely helyzetére lesz a legrövidebb? 21. Feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldalának összege (b + c), a harmadik oldal, és a c oldallal szemközti szög! 22. Feladat. Az ABC egyenl˝oszárú háromszögben a szárak által bezárt szög nagyobb 30◦ -nál. D a BC alap olyan pontja, amelyre BAD szög 30◦ , E pedig az AC szárnak az a pontja, amelyre AE = AD. Mekkora az EDC szög? 23. Feladat. Az ABC derékszög˝u háromszög hegyesszögeinek felez˝oi D ill. E pontokban metszik a szemközti befogót. D-b˝ol és E-b˝ol mer˝olegest állítunk az AB átfogóra, a talppontok K és L. Mekkora a KCL szög? 24. Feladat. Az ABC háromszögben az egyik szög 60◦ -os. A háromszögbe írt kör középpontja K. Egy K középpontú kör a KA, KB, KC félegyeneseket rendre P , Q, R pontokban metszi. Igazoljuk, hogy a P QR háromszögnek is van 60◦ -os szöge! 25. Feladat. Az ABC háromszög B csúcsnál lev˝o szögének egyik harmadolója a C csúcsnál lev˝o szögének egyik szögének harmadolóját a magasságpontban metszi. Mutassuk meg, hogy ezen szögek másik harmadolói a háromszög köré írt körének középpontjában metszik egymást! 26. Feladat. Az ABC háromszög beírt köre az egyik súlyvonalat három olyan szakaszra osztja, amelyekre igaz, hogy a körön kívüli szakaszok hossza egyenl˝o. Igazoljuk, hogy ekkor a háromszög egyik oldala fele egy másiknak. 27. Feladat. Az ABC derékszög˝u háromszög BC befogója, mint átmér˝o fölé kört rajzolunk, ez a kör az AB átfogót a D pontban metszi. A körhöz a D pontban érint˝ot húzunk, ez az AC befogót E-ben metszi. Igazoljuk, hogy EA = ED. 28. Feladat. Az ABC hegyesszög˝u háromszög A csúcsából induló magasságának talppontja Q. Mekkora a háromszög AB oldallal szemközti szöge, ha a P Q szakasz felez˝opontjának és az AB oldal felez˝opontjának távolsága AB/4? 29. Feladat. Legyen AB és CD egy kör húrjai, amelyeknek nincs közös pontjuk, továbbá K a CD húr egy bels˝o pontja. Szerkesszük meg a kör kerületén a P pontot úgy, hogy a CD húrnak az ABP háromszögbe es˝o szakaszát a K pont felezze.
Id˝opont: 2014.10.06; Vezeti: Paulovits György; Megjegyzés: – 30. Feladat. Legyen az x és y pozitív valós számok szorzata 50, továbbá x > y! Határozzuk meg az (x2 + y 2 )/(x − y) kifejezés minimumának értékét! Adjuk meg az x/y aránynak azt az értékét, amelyre a kifejezés a minimumát felveszi! 31. Feladat. A hegyesszög˝u háromszög AB oldalának mely P bels˝o pontjára lesz a P A2 + P C 2 összeg minimális? 32. Feladat. Az ABCD négyzet oldalai 10 cm hosszúak. Legyen az AB oldal felez˝opontja E, a BC felez˝opontja F , az EF szakaszé pedig M . Az AD szakaszon felvesszük az N , a CD-n pedig a P pontot úgy, hogy DN = DP teljesüljön. Határozzuk meg az N és a P pontok helyét úgy, hogy az M N P háromszög területe maximális legyen! 33. Feladat. Legyenek x, y pozitív számok. Határozzuk meg a következ˝o kifejezés minimumát: x16 y 16 x8 y 8 x4 y 4 x2 y 2 x y K(x, y) = 16 + 16 − 8 − 8 + 4 + 4 − 2 − 2 + + . y x y x y x y x y x Állapítsuk meg, milyen x, y értékeknél veszi fel ezt a minimumot! 34. Feladat. Igazoljuk, hogy ha egy háromszög területe 1/2 területegység, akkor a kerületére K > 3 teljesül! 35. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha x, y, z > 1 valós számok, akkor p p p logxy xyz 2 logyz yzx2 logzx zxy 2 ≥ 1 teljesül! Mikor áll fenn egyenl˝oség? 36. Feladat. Egyenl˝o szárú derékszög˝u háromszög alakú lemezb˝ol ugyanilyen alapú dobozt készítünk azonos magasságú oldallapokkal. Milyen magasság mellett lesz a doboz térfogata maximális? 37. Feladat. Legyen a + b + c = 12, a, b, c > 0! Határozzuk meg a K = ab2 c3 kifejezés maximumát! Milyen a, b, c értékek mellett veszi fel K ezt a maximumot? 38. Feladat. Legyen x, y ∈ [0, 12], továbbá xy = (12 − x)2 (12 − y)2 ! Határozzuk meg a K = xy kifejezés maximumát! 39. Feladat. Legyenek a háromszög √ oldalai a, b, c, területe pedig t! Bizonyítsuk 2 2 2 be, hogy fennáll az a + b + c ≥ 4 3t egyenl˝otlenség! Milyen esetben áll fenn egyenl˝oség? 40. Feladat. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalán vegyük fel rendre a tetszés szerinti, de a csúcsoktól különböz˝o M, K, L pontokat! Bizonyítsuk be, hogy az M AL, KBM , LCK háromszögek közül legalább az egyiknek a területe nem nagyobb az ABC háromszög területének a negyedénél! 41. Feladat. Melyik hegyesszög˝u háromszögben lesz minimális a tan α tan β tan γ szorzat értéke (hacsak α, β, γ a háromszög szögei)?
Id˝opont: 2014.10.13; Vezeti: Remeténé Orvos Viola; Megjegyzés: –
42. Feladat. Bizonyítsuk be,hogy rácspontnak tetsz˝oleges rácsszakasz felez˝opontjára vonatkozó tükörképe szintén rácspont. 43. Feladat. Igaz-e, hogy minden rácssokszög területének kétszerese egész szám? 44. Feladat. Lássuk be, hogy ha egy egyenes tartalmaz két rácspontot, akkor végtelen sokat is tartalmaz! 45. Feladat. Milyen szabályos sokszögek vannak a négyzetrácson? 46. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy üres rácsháromszög egyik oldala tetszés szerinti nagyságot elérhet, pontosabban: van olyan üres rácsháromszög, amelynek egyik oldala hosszabb, mint egy adott tetsz˝oleges szakasz. 47. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az üres rácsháromszög területe 1/2. 48. Feladat. Mutassuk meg, hogy páratlan csúcsszámú üres rácssokszög területe nem lehet egész szám. 49. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha egy rácsháromszög oldalain a csúcsokon kívül nincs rácspont és a belsejében egy rácspont van, akkor ez a háromszög súlypontja. 50. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha egy zárt töröttvonal csúcsai rácspontok és a töröttvonal egyenl˝o szakaszokból áll, akkor oldalszáma nem lehet páratlan. 51. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a végtelen sakktáblán egy huszár csak páros számú lépés után térhet vissza kiindulási pontjára. 52. Feladat. Egy racionális egyenesen két szomszédos rácspont távolsága d. Bizo˘ nyítsuk be, hogy nincs az egyenesen kAívül olyan rácspont, amelynek az egyenest˝ol mért távolsága 1/d-nél kisebb. 53. Feladat. Egy tetsz˝oleges rácssokszög határán h, belsejében b darab rácspont van. Hány üres rácsháromszögre vágható szét ez a rácssokszög? 54. Feladat. Egy rombusz csúcsai: A(−99; 0); B(0; −101); C(99; 0); D(0; 101). Hány bels˝o rácspontot tartalmaz a rombusz?
Id˝opont: 2014.10.20; Vezeti: Deli Lajos; Megj.: bármely évfolyamnak 55. Feladat. Pillantsunk ki a matematika intézet tantermének ablakán. Látunk néhány embert, akik most véletlenül és egymástól függetlenül a látóterünkbe kerültek. Igazoljuk, hogy ezen személyek között van kett˝o, akiknek ugyanannyi ismer˝osük van a látott személyek között! ( Az ismeretség kölcsönös.) 56. Feladat. Két falu 65 tehene egyetlen csordát alkotva legelészget a két falu közötti réten. Mindegyik tehén vagy fehér, vagy vörös, vagy fekete, vagy tarka. Mutassuk meg, hogy ha nincs öt különböz˝o korú, azonos szín˝u tehén a csordában, akkor van három azonos szín˝u, egyid˝os tehén a csordában, melyek ugyanabból a faluból valók. 57. Feladat. Egy 24cm oldalú, négyzet alakú lapon beszíneztek 100 pontot. Igazoljuk, hogy ráhelyezhet˝o a lapra egy 2, 5cm sugarú korong úgy, hogy a beszínezett pontok közül legalább hármat lefedjen! 58. Feladat. (HF.) Egységnyi él˝u kocka belsejében beszíneztek 400 pontot. Igazoljuk, hogy van olyan 4/23 sugarú gömb, amelyik a belsejében tartalmaz ezek közül a pontok közül legalább 4-et! 59. Feladat. Egy 1km oldalú négyzet alakú erd˝oben 4500 fa van. Egyik fa átmér˝oje sem nagyobb, mint 50cm. Mutassuk meg, hogy van az erd˝oben focizásra alkalmas 10m× 20m-es téglalap alakú rét! 60. Feladat. Egy szabályos háromszöget lefedtek 5 darab egybevágó szabályos háromszöggel. Igazoljuk, hogy az öt lefed˝o háromszög közül már néggyel is le lehet fedni az eredeti háromszöget! 61. Feladat. Egy négyzetrácsos síkon beszíneztünk 5 rácspontot, majd megrajzoltuk a pontpárokat összeköt˝o tíz szakaszt. Mutassuk meg, hogy e szakaszok valamelyike tartalmaz a végpontjain kívül további rácspontot! 62. Feladat. A következ˝o évszám, amelyik prímszám a 2017. Igazoljuk, hogy a 2017-nek van olyan többszöröse, amelyik csupa azonos számjegyb˝ol áll! 63. Feladat. (HF.) Igazoljuk, hogy a 3-nak van olyan pozitív egész kitev˝os hatványa, amely 0001-re végz˝odik! 64. Feladat. Mutassuk meg, hogy a Fibonacci sorozat tagjainak utolsó két számjegyéb˝ol álló sorozat periodikus! 65. Feladat. Véletlenszám generátorral kiválasztottak 2014 különböz˝o pozitív egész számot. Igazoljuk, hogy kiválasztható e számok közül néhány (esetleg egy), melyek összege osztható 2014-gyel! 66. Feladat. Mutassuk meg, hogy a sík bármely 50 egyenese közül kiválasztható 8, amelyek párhuzamosak egymással, vagy pedig páronként metszik egymást! 67. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a π; 2π; . . . ; 100π számok között van olyan, amelyik valamelyik egész számtól 1/100-nál kevesebbel különbözik!
Id˝opont: 2014.11.3; Vezeti: Katonka Pál; Megjegyzés: –
68. Feladat. Végezzük el az alábbi m˝uveleteket a z1 = 1 + 2i, z2 = −1, z3 = 3i, z4 = 1 − i, z5 = −1 + i komplex számokkal! (z1 + z2 )z3 ;
(z2 + z3 )z1 ;
(z4 − z3 )z2 ;
(z5 + z4 )z3 .
69. Feladat. Képezzük a megadott komplex számok additív inverzét (ellentettjét)! 3 − 2i 5+i 3 + 2i; 0.5 − 3i; ; ; 5; i. 2 3 70. Feladat. Adjuk meg a következ˝o komplex számok konjugáltját! 7 + 2i −1 − i 2 − 3i; 0; ; ; i; −5i. 4 2 71. Feladat. Végezzük el a következ˝o osztásokat! 1−i 3 + 3i 5 2i 4 − 2i ; ; ; ; . 2+i 2 − 2i 3i i+1 2−i 72. Feladat. Számítsuk ki a következ˝o hatványokat! i8 ;
(−i)7 ; (1 − 2i)2 ; (2 + 2i)3 ; (6 + 2i)0 ; 1 2 i 4 3 3 ; ; . 2+i 3 2i 73. Feladat. Határozzuk meg a következ˝o komplex számok abszolút értékét! 3 2+i ; . 3 + 5i; −2 + 4i; −i; −0.5i; −9.5; 3 1+i 74. Feladat. Legyen z1 = 5 + 10i és z2 = −2 + i. Határozzuk meg a z1 + z2 , z1 − z2 , z1 z2 , −z2 , z2 , z1 /z2 , 1/z1 , z12 , z23 értékeket!
Id˝opont: 2014.11.10; Vezeti: Dobóné Szalóki Szilvia; Megjegyzés: –
75. Feladat. Adott konvex négyszögbe rajzoljunk olyan rombuszt, melynek oldalai párhuzamosak a négyszög átlóival és a csúcsai a négyszög egy-egy oldalán helyezkednek el! Igazoljuk, hogy a rombuszcsúcsok a négyszög átlóinak arányában osztják a megfelel˝o négyszögoldalt! 76. Feladat. Két egymást nem metsz˝o kör középpontjának távolsága nagyobb a sugarak összegénél, és közös szimmetriatengelyük (centrálisuk) a köröket rendre az A, B, C és D pontokban metszi. Igazoljuk, hogy a körök közös küls˝o érint˝ojének az érintési pontok közé es˝o szakasza mértani közepe az AC és BD szakasznak! 77. Feladat. Legyen az ABC derékszög˝u háromszög átfogója AB. A B csúcsból induló bels˝o szögfelez˝o az AC oldalt D-ben, a háromszög köré írt körét E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az AE szakasz mértani közepe az ED és az EB szakasznak! 78. Feladat. Egy 60◦ -os körcikkbe írjunk kétféleképpen négyzetet! I. mód: a négyzet 2 csúcsa illeszkedjen egyik sugárra, a harmadik a másik sugárra, a negyedik pedig a körívre. II. mód: a négyzet két csúcsa illeszkedjen egy-egy sugárra, a másik kett˝o pedig a körívre, és a négyzet szimmetria tengelye felezze a szöget! Melyik négyzetnek nagyobb a területe, és hány százalékkal? 79. Feladat. Az ABC háromszög BC oldalának felez˝opontja F , az AB oldal egy bels˝o pontja T , az AF és CT szakaszok metszéspontja M . Az AT M háromszög területe 8, a CF M háromszög területe 15 egység. Mekkora lehet az ABC háromszög területe? 80. Feladat. Az ABCD konvex négyszög csúcsai egy körön vannak. A szomszédos oldalak felez˝opontjait összeköt˝o szakaszok a négyszögb˝ol négy háromszöget vágnak le. Igazoljuk, hogy e négy háromszög körülírt körei egy ponton haladnak át! 81. Feladat. Az ABC derékszög˝u háromszög AB átfogójának tetsz˝oleges pontja P , C-b˝ol induló magasságának talppontja C1 . P vetülete az AC befogón A1 , a BC-n B1 . (i) Bizonyítsuk be, hogy a P , A1 , C, B1 , C1 pontok egy körön vannak. (ii) Bizonyítsuk be, hogy az A1 B1 C1 és az ABC háromszögek hasonlók. 82. Feladat. Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az AB és AC oldalak hossza, valamint az A csúcsnak a BC oldal C-hez közelebbi harmadolópontjától mért távolsága.
