37 B-5 Fénynyaláb sík üveglapra 40°-os szöget bezáró irányból érkezik. Az üveg 1,5 cm vastag és törésmutatója . Az üveglap másik oldalán megjelenő fénynyaláb párhuzamos a beeső fénynyalábbal, de oldalirányban kissé eltolódott. Számítsuk ki, mekkora távolságra tolódott el a kijövő nyaláb a beeső nyaláb irányától! Megoldás:
Ez az ábra a „fehér függvénytáblázat” 165. oldaláról lett kivágva. Látható, hogy egy az egyben szerepel egy képlet arra vonatkozóan, amit a feladat kérdez. A megoldáshoz csak a β szöget nem ismerjük, azaz a lemezben való továbbhaladás szögét. A függvénytáblázat ugyanezen oldalán, valamivel feljebb találjuk az úgynevezett SnelliusDescartes törvényt, ami kapcsolatot teremt a közeghatáron történő fénytörés szögei, és a közegek törésmutatója között: , ahol 1 és 2 az ábrával összhangban vannak (azaz 1 jelű az a közeg, ahonnan érkezik a fény, 2 jelű az, ahova érkezik). Ezt átrendezve:
Azaz a beesési és „továbbhaladási” szögek szinusza úgy aránylik egymáshoz, mint a fogadó, és a küldő közeg törésmutatója. Nekünk a β szögre van szükségünk:
ebből pedig
. A feladatot úgy tudjuk megoldani, ha az üveg
törésmutatóját 1,60nak vesszük, ahogy az meg is van adva, illetve feltételezzük, hogy a fény levegőből (vagy vákuumból) érkezik, aminek a törésmutatója 1 (azaz ). Ezekkel az adatokkal
adódik.
A függvénytáblázatból kivágott képről nézhetjük le azt a képletet, ami a feladat megoldásához ténylegesen kell: A beérkező és kimenő nyaláb Δ távolsága: feladat adataival végeredménynek 0,46 cm-t kapunk.
, ahol d az üveg vastagsága A
A nyalábtávolságokra vonatkozó képlet az órán megbeszélt 37B-2-höz hasonló taktikával kitalálható, trigonometrikus összefüggésekkel, szögekkel, forgatásokkal. Ha valaki nagyon ráér, érdemes esetleg ezt megpróbálni (segítségként: szögfüggvények a fehér függvénytábla 63. oldalán). Ha próbálkoznál, de elakadsz, szólj és segítek. 37B-11 Nyugodt vizű tó fenekén lévő hal a vízfelszín felett a tájnak a haltól induló, függőleges tengelyű körkúpba eső részét láthatja. Számítsuk ki azt a térszöget (szteradiánokban), amelyet a hal szeme befog. (Lásd a D függeléket [ez az eredeti feladatban rosszul, E függeléknek van írva] a szteradiánra vonatkozóan!) Megoldás:
A fenti ábra alapján lehet majd látni, hogy mi ebben a feladatban a probléma. A feladatban a vízből kifelé jövő sugarak szerepelnek. A hal nyilván azokat a pontokat látja, ahonnan a kívülről jövő sugarak a szemébe juthatnak. De ezek éppen azok a pontok, ahova a hal szeméből el tud jutni a fénysugár (mert a fény oda-vissza ugyanazon az úton terjed). Az előző feladatban használt Snellius-Descartes törvényt jól megnézve kiderül, hogy a fény közegátlépéséhez tartozó szögek közül az a nagyobb, amelyik a kisebb törésmutatójú közegben található. A fenti ábra bal szélső részén látszik, hogy a víz alól érkező sugarak nagyobb szögben lépnek ki a levegőre, mint amekkora szögben kilépnek. A kilépés szöge azonban nem lehet tetszőlegesen nagy! A maximális értéke 90°, ekkor távozik a vízből kilépő sugár a vízfelszínnel párhuzamosan. Írjuk fel a Snellius-Descartes törvényt az ábrán látható szögekkel és törésmutatókkal: Írjuk fel ezt arra az esetre, amikor 90°-os szögben távozik a vízből jövő fénysugár! Ekkor . azaz Ehhez az állapothoz tartozik a
, ami kritikus belépési szög. Az ehhez tartozó szinusz
nagysága a fenti, legutolsó képlet átrendezéséből
a szög maga pedig nagyon jó közelítés), akkor a
. Ha a kinti levegő törésmutatóját 1-nek vesszük (ez képletet kapjuk.
Ha ennél nagyobb
szöggel érkezik alulról a vízsugár, akkor a
egyenletnek nincs megoldása (az egyenletben szinuszok szerepelnek, amik 0 és 1 közötti értéket vehetne fel, ez elég erős megkötés ahhoz, hogy egy bizonyos szögnél nagyobbakra már ne kapjunk megoldást), ezért nem kifelé megy a vízsugár, hanem visszaverődik a víz felületéről. A hal tehát az összes olyan pontot látja, amik egy, a feladatban is említett körkúpon belülre esnek. Egy adott félnyílás-szögű kúphoz tartozó térszög, illetve magának a térszögnek a definíciója megtalálható a Hudson-Nelson függelékében. A mi esetünkben a félnyílás-szög a határszög., aminek fent láthattuk a törésmutatóktól függő képletét. Ezt behelyettesítve a képen látható összefüggésbe:
Ez tehát az a térszög, amit a hal a víz alól lát. 37-B14 Tekintsük meg a 37-39 (és a 3712) ábrát. Vizsgáljuk azt a fénysugarat, amely egy optikai szál egyik végén lép be. Ha a beesési szög a kritikus „továbbítási” szögnél kisebb, a fénysugár a szál magjában a teljes visszaverődés mechanizmusával terjed tova. A kritikus szögnél nagyobb beesési szög esetén a fénysugár a köpenyig verődhet vissza, ahol esetleg hamarosan elnyelődik. Határozzuk meg a szál végére érkező fénysugárra a teljes visszaverődés határszögét, ha az üvegszál törésmutatója a magnál , és a köpenynél l . Megoldás: Ugyanarról a jelenségről van szó ebben a feladatban, mint az előzőben. Megint azt a folyamatot kell vizsgálnunk, ahol a fény egy nagyobb törésmutatójú közegből (a magból) érkezik egy kisebb törésmutatójú közeg (a köpeny) határára. Itt kifejezetten azt szeretnénk, hogy következzen be a teljes visszaverődés, hiszen ezzel tudjuk a magban tartani a fénysugarat, és végigvezetni az optikai szálon. A Snellius-Descartes törvényt felírva:
A köpenybe „legrosszabb esetben” 90°-os szöggel lép ki a fény. Ehhez tartozik egy belépő oldali határszög. Ennek meghatározásához írjuk át a fenti egyenletet:
Írjuk be ebbe a feladat értékeit:
A fénysugárnak ennél nagyobb szöggel kell a mag és köpeny határára érkeznie ahhoz, hogy mindenképpen a magban maradjon. 37B-33 A Hudson-Nelson 892-893. oldalán található az a rész, amely a közel- és távollátást tárgyalja. Innen kiderül, hogy a rövidlátó szem a távoli tárgyakról nem alkot éles képet, mert a képüket a retina előtt fókuszálja. A távollátó szem pedig nem fókuszál elég erősen, ezért a közeli pontokból érkező fénysugarakat a retina mögé fókuszálja. Szemüveggel mindkét esetben azt csináljuk, hogy a nem élesen látott tárgyakról abban a tartományban hozunk létre virtuális képet, ahol a szemüveg nélküli, „hibás” szem is jól látná őket. A mostani példához teljesen hasonló, megoldott példa található a könyvben, igaz, rövidlátó személyre (893-894. o.). A feladatban szereplő távollátó személyről tudjuk, hogy éleslátási tartománya (ahol gond nélkül, élesen látja a tárgyakat) 2 métertől a végtelenig esik (a végtelen persze nem hihető, de a feladat szempontjából jó közelítés). Az ebből a tartományból kieső tárgyakat (azaz amelyek 2 méternél közelebb vannak) ebbe a tartományba kell hogy képezze a szemüveg lencséje. Írjuk fel a leképezési törvényt:
Itt k a kép távolsága, t a tárgy távolsága, f pedig a lencse fókusztávolsága. A tárgy távolsága, amit a szemüveggel látni szeretnénk, 25 cm. Azaz Erről a tárgyról virtuális képet szeretnénk létrehozni, az egészséges szemmel látható tartomány valamelyik pontjába. Legyen ez a legközelebbi pont, azaz essen 2 m távolságra. Mivel a kép virtuális, a képtávolság negatív előjelű lesz. (A kép- és tárgytávolságoknál használatos előjelezés mikéntjét megtaláljátok a fehér függvénytábla 164. oldalán). Azaz Írjuk be ezeket a leképezési törvénybe:
Vagyis olyan lencsét kell hogy használjunk, aminek fókusztávolsága éppen a könyv távolsága, azaz , ami 3,5 dioptriának felel meg. Nézzük meg, hol van az a tárgy, amit ez a lencse a szabad szemmel látható tartomány legtávolabbi pontjába képez. Ennek a pontnak a távolságát tekintsük végtelennek. Vegyük az előző részfeladat fókusztávolságát, a képtávolságot nagyságúnak vegyük, és keressük a t távolságot.
A még kényelmesen látható tárgyak legkisebb távolsága tehát 25 cm.
