8.14. A ferde kifejt´ es t´ etele. Ha egy determin´ ans valamely sor´ anak elemeit egy m´ asik sor elemeihez tartoz´ o adjung´ altakkal szorozzuk meg ´es a szorzatokat o ¨sszeadjuk 0-t kapunk. K´epletben: n X
aij Akj = 0,
ha
i 6= k.
j=1
Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´as c´elj´ab´ol vegy¨ unk egy olyan determin´ anst, amelynek a k-adik sor´aban is az i-edik sor elemeit ´ırtuk. A determin´ans nyilv´ an 0. Fejts¨ uk ki a determin´anst a k-adik sora szerint. . . . i → ai1 .. 0= . k → ai1 . . .
.. . ai2 .. . ai2 .. .
.. . · · · ain .. = . · · · ain .. .
= ai1 Ak1 + · · · + ain Akn
1
Ha az el˝ oz˝ o t´etelt kieg´esz´ıtj¨ uk a sorszerinti kifejt´es t´etel´evel, akkor a k¨ ovetkez˝oh¨oz jutunk. 8.15. T´ etel. Ha a determin´ ans valamely sor´ anak elemeit rendre megszorozzuk az elemek adjung´ altjaival ´es a szorzatokat o ¨sszeadjuk, a determin´ anst kapjuk, ha valamely sor elemeit egy m´ asik sor elemeihez tartoz´ o adjung´ altakkal szorozzuk meg, ´es a szorzatokat o ¨sszeadjuk, akkor 0-t kapunk. K´epletben: n X j=1
aij Akj =
A 0
ha ha
i=j i 6= j
´ 11. A CRAMER-SZABALY 11.1. T´ etel (Cramer-szab´ aly). Tekints¨ uk az
(22)
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. .. . . an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
T test feletti n egyenletb˝ ol a ´ll´ o, n ismeretlenes nem 0 determin´ ans´ u line´ aris egyenletrendszert. Az egyen2
letrendszer megoldhat´ o, egyetlen megold´ asa van, m´egpedig a k¨ ovetkez˝ o: D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
...,
Dn xn = D
ahol D az egyenletrendszer determin´ ansa, ´es Dj pedig a j-edik mell´ekdetermin´ ans). 11.2. Defin´ıci´ o. Az (22) egyenletrendszer j-edik (j = 1, 2, . . . , n) mell´ekdetermin´ans´an ´ertj¨ uk azt a determin´ anst, amelyet u ´gy kapunk, hogy az egyenletrendszer determin´ans´aban a j-edik oszlopot az egyenletrendszer jobboldal´an ´all´o konstansokkal helyettes´ıtj¨ uk, vagyis a (23) a . . . a b a . . . a 11 1j−1 1 1j+1 1n a21 . . . a2j−1 b2 a2j+1 . . . a2n Dj = . . . . . .. .. .. .. .. an1 . . . anj−1 bn anj+1 . . . ann
determin´ anst.
Bizony´ıt´ as. A Cramer-szab´aly bizony´ıt´asa k´et r´eszb˝ol ´ all. Az els˝ o r´eszben azt mutatjuk meg, hogy ha van megold´ asa az egyenletrendszernek, az nem 3
D
lehet m´ as, mint amit a t´etel ´all´ıt, azaz xj = Dj j = 1, 2, . . . , n; a m´ asodik r´eszben pedig azt mutatjuk meg, hogy ez val´ oban megold´as. a) Tegy¨ uk fel, hogy x1 = β1 , x2 = β2 , . . . , xn = βn megold´ asa az egyenletrendszernek. Az, hogy β1 , β2 , . . . , βn megold´as, azt jelenti, hogy az egyenletrendszerbe val´ o behelyettes´ıt´es ut´an minden¨ utt fenn´all az egyenl˝ os´eg, azaz
a11 β1 + a12 β2 + . . . + a1n βn = b1 a21 β1 + a22 β2 + . . . + a2n βn = b2 .. .. . . an1 β1 + an2 β2 + . . . + ann βn = bn
V´alasszunk egy j indexet az 1, 2, . . . , n k¨oz¨ ul. Az egyenletrendszer els˝ o egyenlet´et szorozzuk be A1j vel, a m´ asodikat A2j -vel, . . ., az n-ediket Anj -vel, ahol az egyes Aij -k (i = 1, 2, . . . , n) az egyenletrendszer determin´ ans´anak adjung´altjai ´es a beszorz´as ut´ an mind az n egyenl˝os´eget adjuk ¨ossze. A k¨ ovetkez˝ ot kapjuk: 4
(24)
(a11 A1j + a21 A2j + . . . + an1 Anj )β1 + + (a12 A1j + a22 A2j + . . . + an2 Anj )β2 + . . . + (a1n A1j + a2n A2j + . . . + + ann Anj )βn = = b1 A1j + b2 A2j + . . . + bn Anj
Haszn´ aljuk fel a ferde kifejt´es t´etel´et ´es a kifejt´esi t´etelt. A baloldalon ´all´o ¨osszegben a β1 , β2 , . . . , βn egy¨ utthat´oi k¨oz¨ ul egyetlen egy lesz 0t´ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o. Minden egyes βi (i = 1, 2, . . . , n) egy¨ utthat´ o ja az egyenletrendszer determin´ans´ anak i -edik (i = 1, 2, . . . , n) oszlop´aban ´all´o elemeknek ´es a j-edik (j r¨ ogz´ıtett) oszlop elemeihez tartoz´ o adjung´altaknak a szorzat¨osszege. A ferde kifejt´es t´etele szerint minden olyan βi egy¨ utthat´o ja 0, amelyre i 6= j, ´es i = j eset´en az egyenletrendszer determin´ ans´ anak j-edik oszlop szerinti kifejt´ese a´ll a βj egy¨ utthat´ o jak´ent. Mindezek figyelembe v´etel´evel (24) baloldala D·βj -vel egyenl˝o, ahol D a (22) egyenletrendszer determin´ansa. (24) jobboldala nem m´ as, mint Dj -nek, vagyis a j-edik mell´ekdetermin´ansnak a j-edik oszlop szerinti kifejt´ese. (24) teh´at a k¨ ovetkez˝ o alakot ¨ olti: Dβj = Dj , ahonnan a D 6= 0 5
felt´etel figyelembe v´etel´evel
Dj βj = D
(j = 1, 2, . . . , n)
k¨ovetkezik. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a D 6= 0 kik¨ ot´esnek milyen l´enyeges szerepe van a bizony´ıt´asnak az ut´obbi r´esz´eben. D
b) Most azt bizony´ıtjuk, hogy xj = Dj j = 1, 2, . . . , n val´ oban megold´asa a (22) egyenletrendszernek. Elegend˝ o azt megmutatni, hogy az i-edik egyenletet – ahol i az 1, 2, . . . , n sz´amok valamelyike – kiel´eg´ıtik. D
V´egezz¨ uk el az xj = Dj behelyettes´ıt´est a (22) egyenletrendszer i-edik egyenlet´enek baloldal´aba, majd a behelyettes´ıt´es ut´an mindegyik Dj mell´ekdetermin´ anst fejts¨ uk ki a j-edik oszlopa szerint (amelyben az egyenletrendszer jobboldali konstansai tal´alhat´ ok). Ezut´ an rendezz¨ uk ´at a kapott tagokat olym´odon, hogy b1 -et, b2 -t, . . . , bn -et kiemelj¨ uk. A gondolatmenet gyakorlati megval´os´ıt´asa a k¨ovetke6
z˝okben l´ athat´ o: ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = 1 = (ai1 D1 + ai2 D2 + . . . + ain Dn ) = D 1 = [ai1 (b1 A11 + b2 A21 + . . . + bn An1 )+ D (25) + ai2 (b1 A12 + b2 A22 + . . . + bn An2 )+ + . . . + ain (b1 A1n + b2 A2n + . . . + bn Ann ] = 1 = [(ai1 A11 + ai2 A12 + . . . + ain A1n )b1 + D + (ai1 A21 + ai2 A22 + . . . + ain Ann )b2 + + . . . + (ai1 An1 + ai2 An2 + . . . + ain Ann )bn ] A sz¨ogletes z´ ar´ o jelben, a b1 , b2 , . . . , bn mellett a´ll´ o szorzat¨ osszegekre alkalmazhat´o a ferde kifejt´es – ´es egy esetben a determin´ans kifejt´esi t´etele. A kerek z´ ar´ o jelben l´ev˝o szorzat¨osszegek mindegyike az egyenletrendszer determin´ansa i-edik sor´ aban l´ev˝ o elemeknek ´es az els˝o, m´asodik, . . . , i-edik, . . . , n-edik sor elemeihez tartoz´o adjung´altaknak a szorzat¨ osszeg´et tartalmazza. Ez a szorzat¨osszeg 0, ha az i-edik sor elemeinek valamely i-edikt˝ ol k¨ ul¨onb¨oz˝ o sor elemeihez tartoz´o adjung´altakkal val´ o szorzatainak ¨ osszege ´all (ferde kifejt´es) ´es az egyenletrendszer determin´ans´at kapjuk, amennyiben az 7
i-edik sor elemeit az i-edik sor elemeihez tartoz´ o adjung´ altakkal szorzat¨osszeg´et k´epezz¨ uk (i-edik sor szerinti kifejt´es). Az eddigiek alapj´an (25) a k¨ ovetkez˝o alakra hozhat´ o: 1 · Dbi = bi . D D
Ez pedig ´eppen azt jelenti, hogy az xj = Dj (j = 1, 2, . . . n) kiel´eg´ıti az egyenletrendszer i-edik egyenlet´et. Az i tetsz˝ olegesen v´alasztott volt az 1, 2, . . . , n D k¨oz¨ ul, teh´ at xj = Dj val´oban megold´asa a (22) egyenletrendszernek. Megjegyz´ es. A fenti bizony´ıt´as b) r´esz´evel kapcsolatban gyakran felvet˝odik az a k´erd´es, hogy sz¨ uks´eg Dj van-e annak bizony´ıt´as´ara, hogy az xj = D (j = 1, 2, . . . n) val´ oban megold´asa az egyenletrendszernek, akkor, amikor a bizony´ıt´as els˝o r´esz´eb˝ol m´ ar kider¨ ult, hogy m´ as megold´as nem lehet. Sz¨ uks´eg van a bizony´ıt´ as b) r´esz´ere is, mert elvileg lehets´eges D volna az az eset is, hogy xj = Dj (j = 1, 2, . . . n) sem megold´ asa az egyenletrendszernek. 11.4. Megjegyz´ es. A Cramer-szab´aly felt´etelei k¨ oz¨ott szerepel az, hogy az egyenletrendszer determin´ansa ne legyen 0. Sokan u ´gy gondolj´ak, hogy ez az n 8
egyenletb˝ ol ´ all´ o n ismeretlenes line´aris egyenletrendszer megoldhat´ os´ ag´anak felt´etele. Ez nem igaz. Van olyan egyenletrendszer, amelynek a determin´ ansa 0 ´es l´etezik megold´ asa, ´es van olyan egyenletrendszer is, hogy a determin´ ansa 0, ´es nincs megold´asa. 11.5. Defin´ıci´ o. A (22) egyenletrendszert homog´ennek nevezz¨ uk, ha b1 = b2 = . . . bn = 0 ´es inhomog´ennek, ha b1 , b2 , . . . , bn k¨oz¨ott van 0-t´ol k¨ ul¨onb¨ oz˝ o. A Cramer-szab´ aly alkalmazhat´o homog´en line´aris egyenletrendszerekre is. Homog´en egyenletrendszer eset´en valamennyi mell´ekdetermin´ ans 0, hiszen tartalmaz z´erusoszlopot. Ez´ert a nem 0determin´ ans´ u homog´en line´aris egyenletrendszerek egyetlen megold´ asa az x1 = x2 = . . . = xn = 0 u ´gynevezett trivi´ alis megold´as. Ez a megold´as ugyanis mindig megold´ asa b´armely homog´en line´aris egyenletrendszernek. 11.6. T´ etel. Az a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0 .. .. . . an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = 0 9
n egyenletb˝ ol a ´ll´ o n-ismeretlenes nem 0 determin´ ans´ u homog´en line´ aris egyenletrendszernek csakis a trivi´ alis megold´ asa van. P´ elda. x + 3y − z = 7 4x − y − 2z = −3 −3x + 2y + 5z = 20
1 3 D = 4 −1 −3 2 7 D1 = −3 20 1 D2 = 4 −3
−1 1 −2 = 0 5 0
0 0 −13 2 = −48 11 2
3 −1 0 0 −1 −1 −2 = −17 −7 0 = −96 2 5 55 17 0 7 −1 1 0 0 −3 −2 = 0 −31 2 = −144 20 5 0 41 2 10
1 D3 = 4 −3
3 7 1 0 0 −1 −3 = 0 −13 −31 = −192 2 20 0 11 41 D1 −96 = =2 D −48 −144 D2 x2 = = =3 D −48 D3 −192 = =4 x3 = D −48 x1 =
11
