MECHATRONIKA ALAPJAI. Dr. Huba Antal c. egyet. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék

MECHATRONIKA ALAPJAI Dr. Huba Antal c. egyet. tanár

BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2013

ELSŐ TÉMAKÖR 3 ÓRA

MI A MECHATRONIKA?

MECHATRONIKA KIALAKULÁSA Elektronika

Kialakulásának oka (1980-as évek): Súlyponteltolódás, funkció - átvétel Szórakoztató elektronika (itt kezdődött) Közlekedés, űrkutatás Automatizálás Mezőgazdaság Építőipar (Japán: aktív rengéscsillapítás) Gyógyászat

Informatika

Gépészet

Lényege •Nagyfokú integráció és méretcsökkenés (Napjaink példája a CD fej) •Interdiszciplinaritás Hatása A XXI. század új csúcstechnikája: A mikrorendszer-technika (MEMS)

Így kezdődött… Yasakawa Electric Cooperation (Japán) Mechatronics® 1969

„Minek nevezzük az új, teljesen automatikus fényképezőgépet?” A mechatronika nem a „semmiből” keletkezett, hanem a gépészet fejlődésének egyenes következménye, hiszen alapvetően mindig az volt a cél, hogy az ember egyre ügyesebb, kisebb és „intelligensebb” berendezéseket hozzon létre, életének és munkájának megkönnyítésére. Napjainkra világossá vált, hogy a mechatronika inkább tekinthető korszerű mérnöki személetmódnak, mint külön tudományágnak, hiszen legalább három tudományterület integrációját jelenti.

< 1900 Tisztán mechanikus rendszerek 1920 Mechanikus rendszerek •elektromos szabályozással 1935 Mechanikus rendszerek •automatikus szabályozással 1955 Mechanikus rendszerek •elektronikus (analóg) szabályozással •szekvenciális szabályozással 1975 Mechanikus rendszerek •folyamatos digitális szabályozással •szekvenciális digitális szabályozással 1985 Mechatronikus rendszerek •mechanika és elektronikus hardver integrációja •szoftver által meghatározott funkciók •új tervezési eszközök a szimultán tervezéshez •egymást segítő és erősítő hatások

Isermann: A GÉPÉSZET FEJLŐDÉSE

◄ Egyenáramú motor 1870 ◄ Váltakozó áramú motor 1889 ◄ Relék, tekercsek ◄ Hidraulika, pneumatika ◄ Elektronikus erősítők ◄ PI-kontrollerek 1930 ◄ Tranzisztor 1948 ◄Tirisztor 1955 ◄Digitális számítógép 1955 ◄ Folyamat számítógép 1959 ◄ Valós idejű szoftver 1966 ◄ Mikroszámítógép 1971 ◄ Digitális decentralizált automatizálás 1975 ◄ Mikrokontroller 1978 ◄ Személyi számítógép 1980 ◄ Buszrendszer ◄ Új aktuátorok, szenzorok ◄ A komponensek integrálása

Mechatronics Vol 12.

Gőzgép 1860 Dinamók 1870 Forgó szivattyúk 1880 Belsőégésű motor 1880 Mechanikus írógép

Hagyományos szerszámgépek Villamos hajtású szivattyúk Elektromos írógép Gőzturbinák Repülőgép ipar Elektronikus vezérlésű felvonók

Számjegyvezérlésű szerszámgépek Ipari robotok Ipari parkok Lemezmeghajtók

Mobil robotok CIM (Computer Integrated Manufacturing) Mágneses csapágyak Gépkocsi szabályozás (ABS, ESP (Elektronikus Stabilitási Program))

MECHATRONIKA FOGALMA Modell és EU-meghatározás, definíció: A mechatronika, a gépészet, az elektrotechnika/elektronika és az informatika egymást segítő (szinergikus) integrációja termelőrendszerek és termékek előállítására (és termék tervezésére) és működtetésére.

Mechatronika

Egyben új szemléletmód is!

Képzése: Kiegészítés, ráképzés

Bázisképzés Tudományos előzmények (1940 – 1960) : Rendszertechnika kialakulása Kibernetika – szabályozástechnika Számítástechnika - számítógépek

Tananyag: • Rendszerek és folyamatok modellezése(jelek és rendszerek din. tulajdonságai) • Aktorok/szenzorok felépítése és működtetése(folyamatok méréstechnikája) • Számítógépes folyamat-irányítás, real-time feldolgozás • Kinematika, dinamika, szabályozástechnika

A BME GÉK MECHATRONIAI M. BSC TANTERVE A 2005-2009

2010-TŐL

BSc szakirányok 1. Mechatronikai tervezés • Mechatronikai berendezések blokk • Optomechatronika blokk • Biomechatronika blokk 2. Integrated Engineering 3. Termelési rendszerek mechatronikája 4. Gépészeti modellezés

MSc szakirányok 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Járműmechatronika Adaptív mechatronkai rednszerek Intell. beágyazott mechatr. rendszerek VIK Biomechatronika Optomechatronika Industrial Electronics VIK Gyártórendszerek mechtronikája Robotmechatronika

Javaslat a szabadon választható tárgyakra • Intézményi (BME) keretből választani

(valamennyi kar kínálatából) • Olyan műszaki jellegű tantárgyakra célszerű koncentrálni, amelyek szakmai szempontból illeszkednek a később választani kívánt szakirányhoz • Más egyetem szakirányhoz illeszkedő tárgyait befogadtatni (engedélyhez kötött)

A MECHATRONIKA legfontosabb segédtudományai: Rendszertan:

Analízis és szintézis eszköztára Lineáris – nemlineáris modellezés Elosztott – koncentrált modellezés Lényegkiemelés – kapcsolódások feltárása

Matematika:

Differenciálegyenletek Mátrix-számítás Fourier, Laplace, Z transzformáció

Híradástechnika: Gépészet:

Jelek analízise, jelátvitel, jelfeldolgozás

Mechanika (dinamika) Áramlástan Hőtan Folyadékok és gázok mechanikája

Elektrotechnika: Elektrosztatika - elektrodinamika Hálózatszámítás Analóg és digitális áramkörök Teljesítményelektronika Szabályozástechnika, vezérléstechnika Informatika

MECHATRONIKÁHOZ KAPCSOLÓDÓ IRODALMAK (Szemelvények) Szabó: Petrik/Huba/Szász: Csáki/Bars: Kuo: Heimann, Gerth, Popp: Isermann: Roddeck:

Bradley et co.: Min: Shetty e't Kolk:

Preumont:

Gépészeti rendszertechnika Rendszertechnika Automatika Önműködő szabályozó rendszerek Mechatronik Fachbuchverlag Leipzig, 2001. Mechatronische Systeme Springer, 1999. Einführung in die Mechatronik Vl. Teubner, 1997, Stuttgart Mechatronics Chapman & Hall, London, 1991. Mechatronics Springer, New York, 1993. Mechatronics System Design PWS Publ. Comp., Boston, 1997. Mechatronics Springer, e-book

MÁSODIK TÉMAKÖR

3 ÓRA PÉLDÁK MECHATRONIKAI RENDSZEREKRE (GYAKORLÁS)

PÉLDÁK MECHATRONIKAI RENDSZEREKRE

Felületszerelő automaták CD és DVD Finompozicionálók (NC és CNC gépek) Aktív mágneses csapágy Precíziós rezgéscsillapító Aktív lengéscsillapító

MECHATRONIKAI RENDSZER STRUKTURÁJA ÉS FELADATAI ELŐíRT:

Erő, nyomaték, Mérendő mennyiségek

Mérőjelek Alapjelek (előírt érték)

Felépítése:

SMT - Surface Mount Technology /felületszerelés/

Két portál: nagy csavarómerevségű, rezgéscsillapított acélöntvény keretből szénszálas kompozit anyagból (CFK – Carbon Fiber Composites) A CFK-portálok előnyei: - Tömegük az acélkonstrukciók 1/5-e, viszont merevségük kétszer olyan nagy. - A szén hőtágulási együtthatója jelentősen kisebb, mint a fémé. Ezért ez a robusztus és mégis könnyű konstrukció nagy pontosságot és megbízhatóságot garantál. - Az x-y tengelyek nagy teljesítményű lineáris hajtásaival együtt így 4 szigmánál 30 µm-ig terjedő beültetési pontosság érhető el, óránként 13 500 alkatrészig terjedő valós beültetési teljesítmény mellett.

SMT - Surface Mount Technology /felületszerelés/

SMT - Surface Mount Technology /felületszerelés/

SMT - Surface Mount Technology /felületszerelés/

Címkeoldal Védőréteg Tükrözőrét eg Pit

CD-fej CD lemez metszete Transpare ns réteg

Függőleges mozgatást végző tekercs

Lencse

L,R Forgatást-tolást végző tekercs

m Tekercsfoglalat k,b

Uref,Vref=0

A CD-fej elvi felépítése

Lézersugá r

Folyamatos távolság mérés a CD-fej és a lemez között Lencsefoglalat a lineáris motorral

A kvadráns fotódetektor, mint mérőtag

Cél az értéktartás: U E  a  c  b  d   0

Amit egy klasszikus villamosmérnök egy optomechatronikai rendszerből „lát”

Claus Biaesch-Wiebke: CD-Player und R-DATRecorder Vogel Verlag, Würzburg 1988.

Bemutató példa a CD fej helyes dinamikai modelljének meghatározására és a szabályozás megtervezésére AZAZ: HOGY NÉZ KI A TANULMÁNYAINK VÉGCÉLJA EGY PÉLDÁN?

• Első lépés a szabályozott szakasz

modelljének meghatározására. Két módszer összehasonlítása. • Második lépés a szabályozó kiválasztása. • Befejezés a szabályozás behangolása.

A lencse, annak foglalata, a rugalmas egyenes vezeték, és a lineáris motor tekercsei

A SZABÁLYOZOTT SZAKASZ DINAMIKAI MODELLJE OPERÁTOR TARTOMÁNYBAN

A szabályozott szakasz hálózati (impedancia) modellje 5 passzív elem impedanciájával és az energia átalakítóval.

„I/O” szemlélet: Az átviteli függvény közvetlenül meghatározható impedancia módszerrel

V  Z mech F

1 U n 1  v  2 Z vill nv I nv

s 2 V s m  sb  k  s V F R  sL  2 s 2 m  sb  k nv

Ze 

1 k b  sm  s

DINAMIKAI MODELLEZÉS IDŐ TARTOMÁNYBAN

A szabályozott szakasz struktúra gráfja az 5 passzív elemmel és Az energia átalakítóval

 u k  u R  u L  ui  0

Fv  Fm  Fb  Fk  0

di uk  i  R  L   K M  v dt

dv  K M  i  b  v  m   k  v  dt  0 dt

KM R  L  s   I ( s)  U ( s) k   k  b  m  s   V ( s)  0    KM s 

A két rendszerváltozóra felírt mátrix-vektor egyenlet operátor tartományban

A keresett változóhoz a mátrix egyenletből leggyorsabban a Cramer szabály alkalmazásával juthatunk:

v

KM

uk  k 2 K M  ( R  L  s )  (b  m  s  ) s KM 1  s  uk 2 k  R 3 L m 2  L b m   b L KM    1 s s     s   R k  R k k  k R kR

Az átviteli függvény a kimenőjel és a bemenőjel Laplace transzformáltjának hányadosa. Elméletileg harmadrendű a szakasz:

YS 

s  VS s  X S (s)   U k s  U k (s)

KM   kR

1 A  3 2 m   b L KM  s a 3  s 2 a 2  sa 1  1 3 L m 2 L b s s     s    1 R k R k k  k R kR 

Minden elmélet próbája: Ellenőrzés méréssel

f 

1 2  T



1  19,0 Hz 3 2    8,3689  10 s

A szakasz dominánsan másodrendű, azaz pont az A induktivitás a legkevésbé fontos YS  X s   2 2   U s s T  2Ts  1 elem! (V.ö.: Áramköri rajz)

A szabályozókör tömbvázlata

A szabályozott szakasz és a PID szabályozó eredő Bode-diagramja (frekvenciamenete) az integráló tag nélkül |Y(ω)| /dB

PT2

PID

Result

ω [rad/s]

1/T3

1/T1

1/T2

1/T4

A szabályozott szakasz átmeneti függvénye (fókuszálás)

1 Átmeneti függvény (rendszerválasz) szabályozás nélkül

2 Átmeneti függvény PID szabályozással

NC, CNC pozicionáló rendszerek

D/A konverter

Jelformáló (szabályozó)

-

PC, vagy mikrokontroller Alapjel (előírt érték)

Jelfeldolgozó

Aktív csapágyazás (N>20.000/min) Pl.: Lézer TV poligon tükre, spec. hűtőkompresszor, www.s2m.fr

Teljesítmény erősítő

Szabályozó

Jelfeldolgozó

Távolságszenzor-pár (utadó)

Forgórész

Elektromágnes-pár

www.s2m.fr

R

L

ue A K a (t) Mechatronikai rezgéscsillapító f Cf ultrapreciziós mérő-és gyártóberendezésekhez 1/s M

Regler

p 1

k v po f (t)

vf (t)

Rechnerglied

f t (t)

elektrischer PI-Regler v t (t)

1/s

Zum Vergleich:

a t(t)

Fel

L

ue KM vf (t)

Rechnerglied

1/s

p 1

A a f (t)

v(t)

F

Cf

Kv

k

p t Herkömmlicher pneumatischer Schwingungsisolierungstisch mit Lageregelung (vgl. Abschnitt 4.) pneum.

m R

vt

m

q A

C1 R C2

vf

Regler

k v po f (t)

p

speise

abs. Ref.

Aktív lengéscsillapítás

-

HARMADIK TÉMAKÖR

3 ÓRA MECHATRONIKAI RENDSZEREK STRUKTÚRÁJA

MECHATRONIKAI RENDSZEREK FELADATAI Klasszikus gépészeti kérdésfelvetés

Mechatronikai szemléletű kérdésfelvetés Mekkorák legyenek a gerjesztések, hogy teljesüljenek az előírt mennyiségek?

Előírva: Gerjesztések

Tömegek, tehetetlenségek Tömegek, tehetetlenségek

Mekkora, és milyen irányú lesz ?

x, v, a, F,

φ, Ω, ε, M,

AKTUÁTOROK

Előírva:

x, v, a, F,

φ, Ω, ε, M,

SZENZOROK Mérés (Visszacsatolás)

Processzor (szabályozó)

Előírt értékek

MECHATRONIKAI RENDSZEREK STRUKTÚRÁJA Tervezési módszer: Szintézis Alapstruktúra: Szabályozókör Működési mód: Automatikus, zavarkompenzált Működés feltétele: Mennyiségek folyamatos mérése Előírt értékek Szenzor

Alapstruktúra

x, a, v, f , , , M u, i p, qv , qE

Jelformálás

Erősítés

Aktuátor

Ekülső

Tömbvázlatos formában: szabályzókör

Jelfeldolgozás

NEGYEDIK TÉMAKÖR 3 ÓRA

ÁTVITELI FÜGGVÉNY: KOMPLEX FÜGGVÉNY

Alapvető matematikai modellek

(ELŐZETES) I/O szemlélet (idő-és operátor tartományban) Időtartományban

Operátor (frekvencia) tartományban

Megjegyzés: Idő-és operátor tartományban, valamint lineáris és nemlineáris rendszerek esetében is a legjobban alkalmazható modell-típus az állapottér modell. Ez későbbi tananyag.

A modellezés absztrakciós szintjei és a matematikai modell

létrejöttének folyamata egy példán bemutatva Valóságot tükröző működési modell

Struktúra modell

vm

Matematikai modell

vm T  vm (t )  vm (t ) 

fbe

Megoldások:

m

a)

b vref = 0

Fbe (s)

1 f (t ) b

fbe = 0, akkor vm(0) = v1 vm(t) v1

Y(s) =

t

vref = 0

T b ) fbe = (t), akkor ált. megoldás

Fbe Finomítás

1 b

Vm  Fbe m  s  1 b

Vm

Matematikai modellek a mechatronkában (automatikában)

• Differenciál egyenlet (idő-tartomány, egy

változóra rendezve, lineáris/nemlineáris) • Átviteli függvény (operátor-tartomány, csak lineáris) • Állapottér modell (idő-tart., operátor-tart., elsőrendű diff. egyenlet rendszer, lineáris/nemlineáris, kimeneti egyenlet algebrai)

MECHATRONIKÁBAN – IRÁNYÍTÁSTECHNIKÁBAN HASZNÁLATOS

MATEMATIKAI MODELLEK ÁTTTEKINTÉSE (előzetes) DIFFERENCIÁLEGYENLET n-ed rendű IDŐ TARTOMÁNY an xnn   ...  a1 xki  a0 xki  z t 

z t   bm xmm   ...  b1 xbe  b0 xbe Lineáris/nemlineáris x  x 2 sin x  x  zt  Állandó/változó együtthatós Felírási módszerek: •Energia (Lagrange) módszer •Hálózati módszer •Kerülő úton, csak lin. és áll./vált. együtthatós rsz. esetén impedancia módszer Homogén diff. egyenlet megoldása az autonóm rendszerválasz: „Súlyfüggvény”

ÁTVITELI FÜGGVÉNY ÉS MÁTRIX OPERÁTOR TART. X s  Y s   ki  X be s  bm s m  ...  b1s  b0  an s n  ...  a1s  a0 mn Rendszám: n Csak lineáris Állandó együtthatós

Felírási módszerek: •Impedancia módszer (direkt út) •Kerülő úton hálózati és energia módszerek Y(s) a súlyfüggvény Laplace transzformáltja

ÁLLAPOTTÉR MODELL IDŐ ÉS OPERÁTOR TART.

x1  f1 x1 ,...xn ; u1 ,...um 

 xn  f n x1 ,...xn ; u1 ,...um  x1,…xn állapotjelzők (n) u1,…um gerjesztések Rendszám=egyenletszám: n Lineáris/nemlineáris Állandó/változó együtthatós Felírási módszerek: •Energia (Lagrange) módszer •Hálózati módszer •Kerülő úton, csak lin. és áll./vált. együtthatós rsz. esetén impedancia módszer Szimulációs forrásnyelv Modern szabályozások alapja

ALAPVETŐ FOGALMAK y(t) SÚLYFÜGGVÉNY (időtartományban értelmezett): • homogén differenciál egyenlet megoldása, • autonóm rendszer válasza, • egység impulzus gerjesztésre adott rendszerválasz.

Y(s) ÁTVITELI FÜGGVÉNY (frekvenciatartományban, és csak lineáris rendszerekre értelmezett): Válasz

V(s) Y(s)  U(s)

• komplex függvény • |Y(jω)|: amplitúdó arány

• Arc{Y(j ω)}: fáziskülönbség

Gerjesztés

MATEMATIKAI MODELLEK KAPCSOLATA Idő-tartomány u(t)

y(t)

Operátor, v. frekvenciatartomány v(t)

Y(s)

U(s)

y(t) súlyfüggvény homogén differenciál egyenlet megoldása, autonóm rendszerválasz Szabályozástechnikában még: h(t) átmeneti függvény, azaz az ugrásfüggvényre adott válasz [1(t)]

V(s)

átviteli függvény

s = jω |Y(j ω)|: amplitúdó-arány Y(jω)

Arc{Y(j ω)}: fáziskülönbség

Ys  j  Y  e j  Ycos   j sin  Y   e j 

X KI   e j KI

X BE   e j BE



X KI   j  KI  BE  e X BE  

MŰVELETEK A MATEMATIKAI MODELLEKKEL A SZABÁLYOZÁSTECHNIKÁBAN Hogyan jutunk időbeli válaszhoz?

Hogyan jutunk időbeli amplitudó és fázis információhoz?

vt   ut   yt  Konvolúció

t

v t    u  yt  d 0 Konvolúció több bemenet és kimenet esetében:

t

v t    t x o    B   t  τ   Ud o kezdeti érték hatása

gerjesztés hatására

Vs  Ys Us

yt   L1Ys v(t)  L1V s Yω 

V ω

Uω

 ω   ω   ω v u és

Harmonikus jelek helyettesítése a komplex exponenciális függvény segítségével. (Közvetlen előnyök a deriválás és integrálás során.) Euler  formulák : e  j  cos   j sin 

d j t e  j  e jt dt 1 j t j t  e dt  j e

e j   e  j cos   2 e j   e  j sin   2j

Fentiek alkalmazásával egy harmonikus jel egyszerű alakban írható fel. Ezért kedvelik az elektrotechnikában:

   ImU

u1 t   U1 cost  U1   Re U1  e jt U1  u 2 t   U 2 sin t  U 2

  

jt   U 2  e 2

Esetleg még egyszerűbben (de nem precízen):

ut   Ue jt

Általános alakban jól látható az egyszerűbb írásmód, és egyszerűbbek a matematikai műveletek is. A komplex efüggvény magába foglalja mindkét trigonometrikus függvény típust, lásd a komplex síkon: Im

j|U|sinφ

2π ω  2πf TP +φ |U|cosφ

ut   U  e

jt   

Re

Legyen u(t) az általános bemeneti (gerjesztés) és v(t) az általános kimeneti (válasz) időfüggvény. u(t) egy U hosszúságú vektor forgó mozgását írja le az idő függvényében a komplex síkon. u(t) tehát a vektor pillanatnyi helyzetét mutatja t=tk időpillanatban. Im

ut  t k   U e

jt k   

t k   Re

ut k   U  e jt k   Ucost k    j sint k  

V j V e V jt V t U  V jV U  Y j    e  e jt   U  U j U e U U jt  V 

Ha az u(t) és v(t) vektor hányadosát képezzük (osztás), akkor a két vektor abszolút értékét osztjuk, és a fázisszögek különbségét képezzük. Ez mutatja egy adott körfrekvencián a kimenő és bemenő jel arányát, és a közöttük lévő fáziskülönbséget. Az átviteli függvény ilyen módon felfogható úgy is, mint két körfrekvenciától függő vektor hányadosa. A bemenőjel és a kimenőjel, mint vektorok, adott körfrekvenciával forognak. A vektorok hossza és a fázishelyzetük a körfrekvenciától függ, ha a rendszerben energiatárolók vannak (magyarázat később). Másrészt, definíció szerint, az átviteli függvény a kimenőjel és a bemenőjel Laplace-transzformáltjának hányadosa.

AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY ÉRTELMEZÉSE EGY ADOTT KÖRFREKVENCIÁN, MINT VEKTOROK OSZTÁSA A vektorok komplex alakja:



V e

j v



 V cosv  j  sinv 



U e

ju



 U cosu  j  sinu  

V 

: amplitúdó arány

U

Arc Vω Arc Uω  Δφ ω fáziskülönbség

ÖTÖDIK TÉMAKÖR

3 ÓRA KOMPLEX SZÁMOK ÉS FÜGGVÉNYEK GYAKORLÁSA

HATODIK TÉMAKÖR

3 ÓRA JELFOLYAM GRÁF ÉS AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY ALKALMAZÁSA SZABÁLYOZÓ KÖRÖKRE

A modellalkotás célja, oka és eszközei: Miért szükséges a matematikai leírás? Az általános mechatronikai rendszer szabályozástechnikai tömbvázlata xr xa w(t) W(s)

-

xe

Szabályozó (jelformáló)

Szabályozott szakasz

xb

yc(t) Yc(s)

ys(t) Ys(s)

xs

Visszacsatoló tag

yv(t) Yv(s)

CÉL: A feladat szempontjából optimális dinamikával, stabilan működő rendszer OK: megtervezése. A tervezéséhez ismerni kell az átviteli tagok viselkedését mind az idő, mind az operátor tartományban.

ESZKÖZ: Az absztrakt matematikai modellek mindegyike alkalmas a tervezéshez szükséges bizonyos tulajdonságok megjelenítésére. A modellek nem kizárják, hanem ellenkezőleg, szervesen kiegészítik egymást.

xr xa

xe

Szabályozó (jelformáló)

Szabályozott szakasz

yc(t)

xb

Yc(s)

ys(t) Ys(s)

xs

Visszacsatoló tag yv(t)

Yv(s)

Első lépésben a szabályozott szakasz dinamikai viselkedését kell megismerni, „leírni” a matematika eszközeivel. Csak e dinamikus tulajdonságok ismeretében történhet meg a kör többi tagjának kiválasztása, illetve tervezése úgy hogy a szabályozókör teljesítse az előírt dinamikai követelményeket és stabilan működjön!

A SZABÁLYOZÁS MINŐSÉGI KÖVETELMÉNYEI: DINAMIKAI KÖVETELMÉNYEK (IDŐ TARTOMÁNY): •Minimális maradó hiba (szabályozási eltérés) •Rövid szabályozási idő •Rövid lappangási idő •Rövid felfutási idő •Kis túllendülés

STABILITÁS (FREKVENCIA TARTOMÁNY): •Elméletben 0 ≤ ω ≤ ∞ tartományban működjön stabilan •Gyakorlatban a releváns frekvencia tartományban legyen stabil ELLENTMONDÓ KÖVETELMÉNYEK:

Rövid felfutási idő és kis túllendülés Kis túllendülés és minimális maradó hiba

Rövid szabályozási idő és stabilitás

Dinamikai követelmények GERJESZTÉS xa(t) (s) GcY(s)

1(t)

GYS(s)(s)

C

1 t

S

(s) GVY(s) V

VÁLASZ

HOGYAN MŰKÖDIK A SZABÁLYOZÓKÖRBEN LÉVŐ HUROK? A FOLYAMATOK SZEMLÉLTETÉSÉNEK LEGJOBB ESZKÖZEI A

JELFOLYAMGRÁFOK ÉS A TÖMBVÁZLATOK

Jelfolyam gráf A jelfolyam gráfot (ábrát) a tömbvázlat egyszerűsített jelölésének lehet tekinteni. A jelfolyam ábra és a tömbvázlat alakjában mutatkozó különbségen kívül a jelfolyam ábrának általában szigorúbb matematikai összefüggéseknek kell eleget tennie, míg a tömbvázlaton alapuló jelölésmód felhasználásának szabályai sokkal rugalmasabbak és kevésbé szigorúak.

A jelfolyam ábra grafikus eszköz, amelyet eredetileg S. J. Mason vezetett be a lineáris algebrai egyenletrendszer változói között fennálló ok és okozati kapcsolatok ábrázolására: „egyenlet gyorsírás”.

AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY ÁBRÁZOLÁSÁNAK LEHETŐSÉGEI

V s   U s  Y s  U(s)

Y(s) U(s)

V(s)

JELFOLYAMGRÁFFAL

V(s) Y(s)

TÖMBVÁZLATTAL

A dinamikus rendszerek szimulációs váza tömbvázlatos formában nemlineáris rendszerek megjelenítésére is alkalmas.

A differenciálegyenlet rendszert sem mindig feltétlenül szükséges Laplace transzformált alakban, algebrai egyenletrendszer formájában előállítani. Vannak azonban olyan gráf tulajdonságok, amelyek a szimuláció alapját képezik: •A jel a gráf élen kizárólag csak a megadott irányban terjedhet. •A gráf csomópontokban mind kereszt, mind átmenő változók, valamint az ezekből származtatott mennyiségek is megjelenhetnek, de kizárólag a csomópontokba befutó éleket szabad csak összegezni, mégpedig előjelhelyesen. A kimenő élek az összegzésben nem számítnak. •A gráf él fordított irányban nem jelent minden esetben összefüggést.

Műveletek jelfolyam gráfokkal Egyszerű feladat:

x 2  a1, 2 x1

a12 lehet matematikai művelet, pl. szorzás, integrálás, de lehet átviteli függvény is

Rendszeregyenlet ábrázolása „gyorsírásos” jelfolyam gráffal: Adott az alábbi fiktív rendszermodell:

x 2  a1,2 x1  a 3,2 x 3 x 3  a 2, 3 x 2  a 4, 2 x 4 x 4  a 2, 4 x 2  a 4, 3 x 4 x 5  a 2, 5 x 2  a 4, 5 x 4

Fontos összefüggések: Előrevezető út. Ez egy bemenő csomópontból egy kimenő csomópon­tig vezető olyan út, amely minden érintett csomóponton csak egyszer halad át. Az út átviteli tényezője. Egy út befutása során érintett ágak átviteli té­nyezőinek szorzatát az út átviteli tényezőjének nevezzük. Hurok. Olyan út, amely ugyanabból a csomópontból indul, mint amelyikbe végül befut és amelyik minden érintett csomóponton csak egyszer halad át. Huroktényező. A huroktényezőt a hurkot alkotó út eredő átviteli tényezőjeként definiáljuk.

Szerkesztési szabályok összefoglalása: •Egy csomóponti változó értéke a csomópontba belépő jelek összege. •A csomóponti változó értékét minden, a csomópontot elhagyó ág továbbítja. •Azokat az ágakat, amelyek ugyanolyan irányításúak és két csomópontot kötnek össze, egyetlen olyan ággal helyettesíthetünk, amelynek átviteli tényezője a párhuzamos ágak átviteli tényezőinek az összege. •A sorba kötött, egyirányú ágakat egyetlen olyan ággal helyettesíthetjük, amelynek átviteli tényezője az ágak átviteli tényezőjének szorzata. •A jelfolyam gráfot a tömbvázlatot helyettesítő egyszerűbb jelölésnek is tekinthetjük.

A szabályozásokban és a szimulációs programokban alapvető alakzat a hurok:

x1

a

x2

b

x3

c

x3 Y ELÖRE  a b  E  x1 1  b  d 1  YH 1  HUROK

x2  ax1  cx3 x3  bx2 x3  abx1  bcx3

x3 1  bc   abx1

Ha a visszacsatolás operátora negatív előjelű, akkor természetesen a szabályozástechnikában megszokott formát kapjuk. A továbbiakban csak a negatív visszacsatolásokkal foglalkozunk.

x1

a

x2

b

x3

x3 Y  a b  E x1 1  b  c 1  YH

-c Amennyiben egy rendszerben, vagy annak matematikai modelljében visszacsatolás van, akkor a stabilitás elsőrangú feltétele, hogy ez a visszacsatolás negatív legyen. Ez nem csak a szabályozásokra vonatkozik, hanem a differenciálegyenletek megoldására is. Az állapottér modell főegyenlete elsőrendű differenciálegyenleteket tartalmaz, a változók első deriváltjára rendezve. Az egyenletrendszert jelfolyam gráf alakban felírva látjuk, hogy stabilis rendszerben egy adott változót a deriváltjához csak negatívan lehet visszacsatolni.

Két, sorosan illeszkedő hurok átviteli függvénye, ha a hurkoknak nincsen közös csomópontjuk, úgy fogható fel, mint soros eredő: a

x1

x2

b

x3

d

x4

e

-c

x5

-f

x5 ab de abde YE     x1 1  bc 1  ef 1  bc  ef  bcef 1  YH 1  YH 2  YH 1YH 2 Két, olyan sorosan illeszkedő hurok átviteli függvénye, amelyek közös csomóponttal, rendelkeznek, a nevezőjében már nem tartalmazza a hurkok szorzatát: x1

a

x2

b

x3

-c

x4 abe YE   x1 1  bc  ef 1  YH 1  YH 2

e

-f

x4

c x2  ax1  cx3  ax1  x4 e x x3  bx2  fx 4  4 e x4  ex3 x2 

1 f 1 1  ef x4  x4   x4 be b b e

1  ef c 1  ef  bc x4  x4  ax1  x4 be e be

Átviteli függvények és a stabilitás xa(t) A t

xs s  Y Y Y Y  W s   c s  c s xa s  1  YcYsYv 1  Y

YC(s)

YS(s)

xe(t)

YV(s)

t -A

Y   

X e  

X a  

1

ArcY    180

Ha a zárt kör nevezője valamely frekvencián zérus:

Y s   1

Y s  j   Y   e j  ReY   j ImY  

HETEDIK TÉMAKÖR 3 ÓRA

JELFOLYAMGRÁF GYAKORLÁSA

NYOLCADIK TÉMAKÖR 3 ÓRA A MODELLEZÉS ELVEI, JELEK IDŐ-ÉS FEKVENCIA TARTOMÁNYBAN

MODELLEZÉSI ALAPELVEK Struktúrától a matematikai leírásig

Teszt, gerjesztések

Fizikaitechnikai valóság

Lényeg kiemelés a célnak alárendelve

Struktúra Fizikai modell törvény I. absztrakció

Matematikai Válaszok modell II. absztrakció

Finomítás

Lineáris

Nemlineáris R

 l A

Koncentrált paraméterű

0 ≤ f < ~20 kHz

Elosztott paraméterű

MODELLEZÉSI ALAPELVEK Koncentrált

Elosztott

paraméterű

paraméterű

u(t) i(t) közönséges differenciálegyenlet, kétpólus módszer

u(t,x) i(t,x) Parciális differenciálegyenlet, négypólus módszer

A valóság és a modelljeink KONCENTRÁLT PARAMÉTERŰ

LINEÁRIS

NEM-

TANANYAG

Pl.: k(x), b(v)

LINEÁRIS

ELOSZTOTT PARAMÉTERŰ

Tápvonalak

u(t,x)

„Természet” (…és még sokkal bonyolultabb)

A MŰSZAKI MODELLEZÉS LÉNYEGE: A MODELL A KITŰZÖTT FELADATHOZ ILLESZKEDJEN, A LÉNYEG KIEMELÉSE SORÁN A FELADAT MEGOLDÁSA SZEMPONTJÁBÓL LEGFONTOSABB ISMÉRVEKRE KELL KONCENTRÁLNI. A FELESLEGES ELBONYOLÍTÁS KÖLTSÉGEKKEL JÁR, DE A HIBÁS ELNAGYOLT MODELL IS!

A MODELLEZÉS FOYAMATA PÉLDÁN Absztrakciós szintek Valóságot tükröző működési modell

Struktúra modell

vm

Matematikai modell

vm T  vm (t )  vm (t ) 

fbe

Megoldások:

m

a)

b vref = 0

Fbe (s)

1 f (t ) b

fbe = 0, akkor vm(0) = v1 vm(t) v1

Y(s) =

t

vref = 0

T b ) fbe = (t), akkor ált. megoldás

Fbe Finomítás

1 b

Vm  Fbe m  s  1 b

Vm

ISMÉTLÉS

Matematikai modellek Állapot leírás (idő-és operátor tartományban) 

x(t )  A  x(t )  B  u (t )  R  z (t ) v(t )  C  x(t )  D  u (t ) Nemlineári s rendszernél : pl.: A( x, t ) I/O szemlélet (idő-és operátor tartományban) Időtartományban

Operátor (frekvencia) tartományban

ISMÉTLÉS

y(t) SÚLYFÜGGVÉNY (időtartományban értelmezett): • homogén differenciál egyenlet megoldása, • autonóm rendszer válasza, • egység impulzus gerjesztésre adott rendszerválasz.

Y(s) ÁTVITELI FÜGGVÉNY (frekvenciatartományban, és csak lineáris rendszerekre értelmezett): Válasz

V(s) Y(s)  U(s)

• komplex függvény • |Y(jω)|: amplitúdó arány

• Arc{Y(j ω)}: fáziskülönbség

Gerjesztés

ISMÉTLÉS

MATEMATIKAI MODELLEK 1 dimenzió

Idő-tartomány u(t)

y(t)

Operátor, v. frekvenciatartomány v(t)

Y(s)

U(s)

y(t) súlyfüggvény homogén differenciál egyenlet megoldása, autonóm rendszerválasz Szabályozástechnikában még: h(t) átmeneti függvény, azaz az ugrásfüggvényre adott válasz [1(t)]

V(s)

átviteli függvény

s = jω |Y(j ω)|: amplitúdó-arány Y(jω)

Arc{Y(j ω)}: fáziskülönbség

Ys  j  Y  e j  Ycos   j sin  Y   e j 

X KI   e j KI

X BE   e j BE



X KI   j  KI  BE  e X BE  

ISMÉTLÉS MATEMATIKAI MODELLEK

n - dimenzió Operátor, v. frekvenciatartomány

Idő-tartomány u(t)

v(t)

Φ(t)

U(s) F(s)

V s   F s   C    B  D U

Φ(t) rezolvens mátrix

 t   e

V(s)

At



(t)  L 1 s   L 1 sE  A 1





 



 t   L     det s E  A   s 

Állapottér modell



-1 adj sE  A 

1  sE  A 1 sE  A



JELEK (VÁLTOZÓK) A RENDSZEREKBEN

x(t)=Asin ω0t

|F(ω)|

ω0

Időtartomány

ω

Operátor (frekvencia) tartomány

JELEK FELOSZTÁSA DETERMINISZTIKUS ANALÓG PERIÓDIKUS

HARMONIKUS ÁLTALÁNOS PERIODIKUS

SZTOCHASZTIKUS DISZKRÉT

NEM PERIÓDIKUS KVÁZI PERIODIKUS EGY-ÉS KÉTOLDALASAN HATÁROLT

AMPLITÚDÓ KVANTÁLT

ERGODIKUS

NEM ERGODIKUS

IDŐ KVANTÁLT AMPLITÚDÓ ÉS IDŐ KVANTÁLT

Legfontosabb jeltípusok idő és frekvencia tartományban Folytonos jelek

Diszkrét jelek

Diszkrét spektrum

Folytonos spektrum

JELÁTVITEL PROBLÉMÁINAK SZEMLÉLTETÉSE A SPEKTRUM SEGÍTSÉGÉVEL

Mérendő jel

Regisztrált jel

Másodrendű átviteli tag frekvencia menete (pl.)

CSAK BEMUTATÁS CÉLJÁBÓL, EZ KÉSŐBBI TANANYAG!

CSAK BEMUTATÁS CÉLJÁBÓL, EZ KÉSŐBBI TANANYAG!

Ez az oka annak, hogy a FFT programokkal kiszámított spektrum „kétoldalas”. A negatív körfrekvenciákra eső részt a pozitív oldalhoz kell számítani.

KILENCEDIK TÉMAKÖR 3 ÓRA NÉGYSZÖGJEL FOURIER SORA

Harmonikus függvények integráljai

Példa állandó amplitúdójú, periodikus függvény Fourier sorának kiszámítására

Annak szemléltetése, hogy az egyes együtthatók meghatározása során milyen integrálási határokkal kell számolni. Alap-harmonikus, és behelyettesítési alakja az integrálásnál 

 T 2

2 T 

xt   A0    Ak cos kt  Bk sin kt  k 1

Az úgynevezett egyen-összetevő (lin. átlag): 2 A1  T

T /2

2h

 h  cos tdt  T sin t

T /2 0

0

2 B1  T 2 A2  T

T /2

2 B2  T

T /2





2 B3  T

T /2

2 B5  T

T /2

2 B7  T



 0

 T 2

2 T 

2h 2h T /2 cos   cos 0   2h  1   1  4h  T  2h cos t 0   T T T T 2 

h  sin 3tdt  

2h 2h T /2 cos 3  cos 0   2h  1   1  4h  T  2h cos 3t 0   T 3 3T 3T 3T 2 3

h  sin 5tdt  

2h 2h T /2 cos 5  cos 0   2h  1   1  4h  T  2h cos 5t 0   T 5 5T 5T 5T 2 5

0

T /2

0

h T /2 h t  T 0 2

2h h T /2 cos 2  cos 0   h 1  1  0 cos 2t 0   T 2 T T

0



 hdt 

2h h T /2 sin 2  sin 0  0 sin 2t 0  T 2 T

h  sin 2tdt  

0

T /2

2h sin   sin 0  0 T

h  sin tdt  

0

h  cos 2tdt 

0



T /2



1 A0  T

h  sin 7tdt  

2h 2h T /2 cos 7  cos 0   2h  1   1  4h  T  2h cos 7t 0   T 7 7T 7T 7T 2 7

A Fourier együtthatók ábrázolása a körfrekvenciák függvényében: A „spektrum” A Fourier együtthatók alapján megrajzolt harmonikus összetevők, és eredőjük. Elméletben, ha az eredőt az összes összetevő figyelembe vételével rajzoljuk meg, akkor az eredeti függvényt látjuk viszont.

TIZEDIK TÉMAKÖR 3 ÓRA MŰVELETEK A MATEMATIKAI MODELLEKKEL

ABSZTRAKT MODELLEK

Műveletek az absztrakt matematikai modellekkel (Dinamikai tulajdonságok vizsgálata) Időtartományban •Gerjesztetlen (autonóm) rendszer •Gerjesztett rendszer

Operátor (frekvencia) tartományban •Gerjesztetlen rendszer •Gerjesztett (harmonikus összetevőkre bontható jelek)

IDŐTARTOMÁNY

Tx  x  0

IDŐTARTOMÁNY

Tx  x  0

IDŐTARTOMÁNY

OPERÁTOR (FREKVENCIA) TARTOMÁNY

T

dV  V U dT

d  s, dt

s  jω

O P E R Á T O R T A R T.

TIZENEGYEDIK TÉMAKÖR 3 ÓRA MŰVELETEK A MATEMATIKAI MODELLEKKEL (Gyakorlás példákon)

TIZENKETTEDIK TÉMAKÖR 3 ÓRA

A RENDSZER-SZINTEK, JEL – HÍR – INFORMÁCIÓ DINAMIKUS RENDSZEREKBEN

BOULDING-FÉLE SZINTEK Publ.: General View of System Science, 1986 Boulding: Minden szint involválja az összes alatta lévőt, és új minőséget reprezentál. A szint elnevezése a megjelenő új minőséget emeli ki. Saját kiegészítés: Mi szükséges jellemzően a „működésükhöz”? E,A: Energia-és anyagáram I: Információáram M: ROM/RAM, Sejtmemória, T:Tanulás, adaptivitás, RAM G: „Genetikus” memória, ROM K: Kreatív öntudat

Transzcendens rendszerek

Kizárólag információ

Társadalom

Tudatos lények csoportjai

E,A,I,G,M,T,K

Egyes ember

Tudatos biológiai lény

E,A,I,G,M,T,K

Reflexív rendszerek

Állatvilág

Regeneratív rendszerek

Növények

Adaptív rendszerek

Öntanuló automaták

Önműködő rendszerek

Automaták

Dinamikus rendszerek Struktúrák

Gépek mozgásban Gépek nyugalomban

E,A,I,G,M,T E,A,I,G E,A,I,M,T

E,A,I,M E,A

Minden szabályozás előfeltétele a folyamatos információáramlás

Mi a mérés információelméleti modellje? A Shannon-féle szemléleten alapul, és általánosan használatos a hírközlési rendszerek esetében.

HÍRKÖZLÉSI MODELLEK ADÓ ADÓ

KÓDOLÓ

ÁTV.CSAT. ÁTV.CSAT.

VEVŐ DEKÓD.

VEVŐ

ZAVARÁSOK, ZAJOK MÉRENDŐ

JELÁTVIVŐ

VÁLTOZÓ

(ÉRZÉKELŐ)

JELFELDOLGOZÓ

KIJELZŐ

FEL-

(EREDMÉNY)

HASZNÁLÓ

MÉRŐLÁNC, MINT ÁTVITELI CSATORNA

Mérőlánc például szabályozási körökben a visszacsatolás, amely ellenőrző tagot tartalmaz.

AZ INFORMÁCIÓ ÁTVITEL ÁLTALÁNOS MODELLJE

VEVŐ n-1. állapotban

FORRÁS

Szinkronizáció KÓDOLÓ

DEKÓDOLÓ

ÁTVITELI CSATORNA

Információ veszteség

Zaj, zavarások

VEVŐ n. állapotban

• Mi az információelmélet? Tudományterület (~1948), amely valamilyen fizikai rendszeren továbbítható, időfüggő jelekkel és a jeltovábbítás feltételeivel foglalkozik. • Jelelmélet, kódolás-elmélet, mint segédtudományok

•Méréstechnikai értelmezésben: Zajos jelátviteli csatorna BEMENŐJELEK

MÉRŐLÁNC ZAJ

KIMENŐJELEK

JEL: (IDŐBEN VÁLTOZÓ) FIZIKAI (KÉMIAI) MENNYISÉG HÍR/KÖZLEMÉNY: (IDŐBEN) KORLTOZOTT JELEK

INFORMÁCIÓ (Shannon, Bell Laboratories): BIZONYTALANSÁG, AMELYET A HÍR MEGSZŰNTET(ETT). Shannon (1948) csak a műszaki értelemben vett információk (elsősorban digitális villamos jelek által hordozott hírtartalom) mérésére dolgozott ki módszert!

HÍRKÉSZLET: ÖSSZES LEHETSÉGES HÍR INFORMÁCIÓ MENYISÉG/HÍRTARTALOM: A HÍR KÖZLÉSE ÁLTAL ELOSZLATOTT BIZONYTALANSÁG NAGYSÁGA. EZÉRT ANNAK A HÍRNEK VAN NAGYOBB INFORMÁCIÓTARTALMA, AMELYNEK A BEKÖVETKEZÉSI VALÓSZÍNŰSÉGE KISEBB. ANLÓGIA : ENTRÓPIA

A HÍR ENTRÓPIÁJA (Shannon) Milyen megfontolások és milyen analógiák vezettek a fogalom megalkotásához? Kolmogorov (1933): 0 ≤ P ≤ 1

Biztosan bekövetkező esemény valószínűsége P=1, de hírtartalma H=0 Lehetetlen esemény valószínűsége P=0, ennek hírtartalma viszont H~∞ Milyen függvénykapcsolat képes leírni ezt a gondolatmenetet? Hartley (1928):

1 H  log P

A valószínűség szemléltetésére gyakran alkalmazzák a dobókocka példáját, és a dobást kísérletnek nevezik. Egyetlen kísérlet eredményéről szóló hír információtartalma, mert ebben az esetben minden lehetséges eredmény egyforma valószínűséggel következhet be:

H  log10 Emlékeztetőül:

1  log10 6  0,78 1/ 6

log 2 A  ld ( A) 

log A log 2

Neumann János javaslata: Az elektronikus számológép a zavarérzékenység miatt ne analóg, és ne több szinten kvantált jelekkel végezze a műveleteket, hanem csupán két jelszint legyen engedélyezett (igen-nem logika). A két lehetséges állapot következménye, hogy az elektronikus rendszerekben a hírtartalom (entrópia) mérésére a kettes alapú logaritmust használják. Különböző, Pi valószínűségű eseményekből álló hír eredő átlagos entrópiájának számítása:

n

H bit    Pi  ld i 1

1 Pi

A „bit” egységet Tukey javasolta

A hírelmélet szorosan együtt fejlődött a valószínűség számítással és a halmazelmélettel. Shannon és Kolmogorov mellett Kotelnyikov, Hincsin, Feinstein és Fano alapozták meg a korszerű hírelméletet.

BINÁRIS HÍRFORRÁS ENTRÓPIÁJA Mindkét kimenet (1,0) azonos valószínűséggel jelentkezhet: P(1)=P(0)

P(1)=1 – P(0) Az „1” jel információtartalma:

A „0” jel információtartalma:

I1  ld P(1) 0

I 0  ld 1  P(1) 0

A forrás átlagos információtartalma: H  P1ld

1 1  1  P1ld P1 1  P1

P(1)

0,00 0,05 0,1

0,15 0,2

-P(1) ld P(1)

0,00 0,22 0,33 0,41 0,46 0,5

(1-P(1))ld (1- P1) 0,00 0,07 0,14 0,2

H

0,25

0,26 0,31

0,00 0,29 0,47 0,61 0,72 0,81

0,3

0,4

0,5

0,52 0,53 0,5

0,36 0,44 0,5 0,88 0,97 1

A legnagyobb entrópia akkor jelentkezik, ha mindkét érték (1;0) azonos valószínűséggel fordulhat elő. Kisebb eltérés a valószínűségben, pl.: 0,4 – 0,6 nem okoz csupán 0,03 bit csökkenést. Ez kedvez a bináris jelekkel való kódolásnak.

1

BINÁRIS HÍRFORRÁS ENTRÓPIÁJA

H/bit

0,5

Olyan bináris hírforrás entrópiáját keressük, P(1) 0 amelynek kimenetén P(0) 1 azonos valószínűséggel fordulhat elő „1” és a „0” jel, azaz P(1)  P(0)  0,5  0,5  1 Az „1”, vagy „0” hír információtartalma:

A forrás átlagos entrópiája:

0,5

1

0,5

0

1 I1  I 0  ld  1bit 0,5

H  0,5ld 2  0,5ld 2  1bit

TIZENHARMADIK TÉMAKÖR

(Csak bemutatásra)

Másodrendű mechanikai rendszer matematikai modelljei: Egy változóra felírt n-ed rendű differenciálegyenlet (t) Átviteli függvény (s) Állapottér modell (t, s)

EGYSZERŰ BEMUTATÓ PÉLDA:

Másodrendű (2 független energia tároló) mechanikai rendszer v(t)

f(t)

Vref=0 dx v dt mx  bx  kx  f t 

Csomóponti módszer

 f t   f m  f b  f k  0

m k

x1  v

b

dv m  bv  k  vdt  f t  dt mv  bv  kv  f t 

Differenciálm b 1 x  x  x  f t  egyenlet k k k T 2 x  2Tx  x  A  f t 

Átviteli

s 2 T 2 Xs   2TsXs   Xs   A  Fs 

függvény

b0 Xs  A  2 2   Ys  2 Fs  T s  2Ts  1 a 2s  a1s  a 0

Állapottér

x2  f k

modell

v x   fk 

b 1 1 v  f k  f t  m m m fk  k  v

v  

 b  x   m  k   1  0   0 v  b  b  b   m

1 1 m   x   m   f t  0 0    0  0 0 1    1  0 k   x     f t  1  1 0 0  1 1     m m 

MEGOLDÁS:  1  túlcsillap ított s1   s2  

 T





 2 1 T

 2 1

 T T L-táblázatb ól :

  1

X s  A  2 2 F s  T s  2Ts  1 f (t )   (t ) továbbá : A  1 F (s)  1

y t   L1Y s  s1, 2



1    2 1 T T

A ck konstansok értéke x(t )  L X ( s )  y (t ) a kezdeti feltételektől függ.   1  kritikus  csillapítá s  1  alulcsilla pított 1

  2



  1, 2   T L-táblázatb ól :

s1, 2  

y t   c3  t  e  t

y t   c1e  1t  c2e  2 t

1 2 s1    j    jl T T



1 2 s2    j    jl T T



1 2 l    1  2 T L-táblázatb ól :

y(t) ξ<1 ξ≥1

t

y t  

1

l

e  t sin l t

Másként : y t   c4e  t cos l t   

MÁSODRENDŰ TAG OPERÁTOR TARTOMÁNYBAN Átviteli függvény

„Frekvencia-

menet” Bode diagram

s 2T 2 X KI s   2TsX KI s   X KI s   A  X BE s 

b0 X KI s  A  2 2   Y s  2 X BE s  T s  2Ts  1 a2 s  a1s  a0

TIZENNEGYEDIK ÓRA Ellenőrzés (ZH)