MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

Röviden a tárgyprogramról 

Előadások tematikája: – Metrológiai és műszertechnikai alapok – Mérési adatok kiértékelése – Időben változó mennyiségek mérése – Digitális méréstechnika alapjai



Laborgyakorlatok: – Geometriai alapmérések D532 www.mogi.bme.hu

Elvárások    





Elérhető teljes pontszám: 100 Mérési gyakorlatok száma 6, ebből maximálisan 6x10 pont szerezhető meg az elvégzett mérésekért. Az elméleti anyag számonkérése az utolsó előadási órán történik. A zh 40 pontot ér. Aláírás feltétele min. 40 pont, a következő bontásban: – A mérések össz-pontszáma legalább 24, – ZH-n 16 pont elérése. Minden mérési gyakorlaton írásban, vagy szóban ellenőrizzük az adott mérési gyakorlat anyagából való felkészülést, és a jegyzőkönyv pontszámát a számonkérés eredményével súlyozzuk. ZH a 14. héten

Miért fontosak a mérési jegyzőkönyvek esetében a formai követelmények?

Kalibrálási jegyzőkönyv Vizsgálóeszköz azonosítószám: Típus: Mérési tartomány: Mérőhasáb készlet száma: 1.sz. beállító gyűrű számjele: 2.sz. beállító gyűrű számjele: Vizsgálati hőmérséklet: Mérőpofák párhuzamossága: Tolómérő felületének épsége:

Ajánlott irodalom 

Halász – Huba: Műszaki mérések (Műegyetemi Kiadó, 2003)





Hütte: A mérnöki tudományok kézikönyve, H fejezet (Springer, 1993)

Schnell: Jelek és rendszerek méréstechnikája (Müszaki Könyvkiadó, 1985)



Walcher: Winkel-und Wegmessung im Maschinenbau (VDI 1985, ISBN 3-18-400708-1)

Bevezetés

A GÉPÉSZET ÉS A MÉRÉSTECHNIKA

Példa: NC, CNC pozicionáló rendszerek

D/A konverter

Jelformáló (szabályozó)

-

PC, vagy mikrokontroller Alapjel (előírt érték)

Jelfeldolgozó

Aktív csapágyazás (N>20.000/min) Pl.: Lézer TV poligon tükre, spec. hűtőkompresszor, www.s2m.fr Teljesítmény erősítő

Szabályozó

Jelfeldolgozó

Távolságszenzor-pár (utadó)

Forgórész

Elektromágnes-pár

www.s2m.fr

Címkeoldal Védőréteg Tükrözőrét eg Pit

CD-fej CD lemez metszete Transpare ns réteg

Függőleges mozgatást végző tekercs

Lencse

L,R Forgatást-tolást végző tekercs

m Tekercsfoglalat k,b

Uref,Vref=0

A CD-fej elvi felépítése

Lézersugá r

Folyamatos távolság mérés a CD-fej és a lemez között Lencsefoglalat a lineáris motorral

A kvadráns fotódetektor, mint mérőtag

Cél az értéktartás: U E

a

c

b

d

0

Hosszúság mérés a PAV 1. reaktorá-ban

A reaktor fő méretei

Hosszúság (helyzet) mérés a PAV 1. reaktorában

A helyzetmérés elvi elrendezése Mérési feladatok:

1. Védőcsőblokk 2. Kosár (fűtőelemek helye) magassági helyzetének 3 pontos ellenőrzése. Előírt mérési bizonytalanság: max. 0,1 mm (10e-4) Környezeti feltételek: 50 C, radioaktív sugárzás, bóros hűtővíz

Kis amplitúdójú rezgések érintés és visszahatás mentes mérése   

  



Demo: www.polytec.de, DVD Szubmikronos amplitúdó tartomány Összetett felületek „letapogatása” Lézerfény, Doppler-effektus Szuperpozíció és lebegés detektálása interferométer segítségével Optoelektronikus érzékelés és elektronikus adatfeldolgozás Alk. pl.: Karosszéria és géprezgések

Kitekintő…

SZEMELVÉNYEK A A MÉRÉSTECHNIKA TÖRTÉNETÉBŐL

Írásos feljegyzések, időszámítás 

Vinca-tordosi kultúra Kr. e. 3500 körül

Tatárlaki táblák (Torma Zsófia) Sumer Kr. e. 3200-tól

Terület-és hosszmértékek, időmérés 

Egyiptom Kr.e. 3100-tól  Kína Kr. e. 2000-től  Mayák Kr. e. 2000-től

365 nap = 1 év, négyévente 1 szökőnap  



Babilon Kr. e. 1800-tól Olmékok Kr.e. 1200-tól Görögök Kr.e. 776-tól

1 stadion ~ 192,25 m 

Rómaiak Kr.e. 753-tól

A „MÉRÉSÜGY” A TÖRTÉNELEM TÜKRÉBEN Minta nélkül a kezdetek kezdetén … Sumer Kr.e. 3200, Hosszúság - súly - idő 24 hüvelyk = 1 könyök (~0,495 méter), 6 könyök = 1 nád Danna (biru) ~ 8550 méter csillag-naptár, vízióra, 1 nap = 12x2 óra tömeg-etalon: ~ 65 mg-os hematit súlyok (gabonaszem) 6 Mana = 1 gin, Mana (~ 0,5 kg) = 60 gir = 180 se K.e. 2500 –tól terület, térfogat Szila ~0,415 liter Gan ~35 ár, Sar ~35,28 méter, kör 360 , terület (π ~ 3), gömb térfogat

Kis ismeretterjesztés Mezopotámiáról (ha már egyszer az írás és számolás egyik forráshelye) Kr.e. 3500-2400 Sumer virágkor 2400 – 2200 Akkad (2350 Sargon) 2200 – 2000 Sumer reneszánsz

(népvándorlás pusztítja el) 1800 – 1700 Óbabilon – Óasszíria 1749 Hammurabi 1600 – 1200 Közép Babilon (Kaldea)

1200 – 600 Asszíria (~600 Nabukadnecar) 546 – 330 Perzsia (546 Kürosz,520 Dareios)

330 – 150 Makedónok 150 – Kr. u. 226 Parthusok (szkíták) Kr. u. 226-tól Róma, Perzsia, Arábia, Törökország…

TÖRVÉNYKEZÉS ÉS MÉRÉSÜGY KAPCSOLATA A RÉGMULTBAN SUMER (Kr.e. kb. 3200-től) „Hogy nyugodt alvásod legyen, pontosan mérj, és végezzed munkádat!” A legrégebbi, ismert törvénykönyv, Ut-Napistim uralkodó (Kr. e. 2800 körül) AKKÁD - ASSZÚR - BABILON (Kr. e. kb. 2200 – 500) „...ha az ökör szabad ember fiát felöklelve, annak halálát okozza, fél mane ezüstöt fizet” (Talio: A babiloni törvényi szellem vezéreszméje a bosszú, ld.: Hammurabi törvény-”köve” Kr.e. 1728-1686)

ÓSZÖVETSÉG (Kr.e. kb. 1200-től) „Hibátlan és pontos legyen a te súlyod, hibátlan és pontos legyen az űrmértéked, hogy sokáig élj azon a földön, amelyet az Úr ad neked!” Móz. V. 25. 14-15. ISZLÁM (Kr. u. 560) „Az irgalmas és könyörületes Allah nevében üldözze balsors azokat, Akik csalnak a súlyokkal és mértékekkel, valamint azokat, Akik teletöltik a mértékeket, amikor másoktól vásárolnak, De lecsökkentik, amikor maguk is eladnak.” Korán, 83. szura

IPARI FORRADALOM KÜSZÖBÉIG 5 MENNYISÉG MÉRÉSE JELLEMZŐ Idő

Geom. szög

Természeti jelenség alapon Helyi vonatkoztatással

Tömeg

Térfogat

Hosszúság

Koherencia nélkül Uralkodók, vezetők önkénye szerint

Mértékek koherencia nélkülisége az egyes országok (országrészek!) között. Példák: H Zsigmond (1405) : Tömeg, hossz-és űrmértékek Budához igazítva 1655-től a pozsonyi városházi mértékek (öl, arasz, rőf, stb.) dominanciája F 1790-ig 50-féle font súlyegység, láb, rőf GB 1580 táján (I. Erzsébet) : országos egységesítés („Imperial mértékek”)

VISSZAVEZETÉS TERMÉSZETI ÁLLANDÓKRA : XVIII. SZ. Első javaslatok a HOSSZÚSÁG visszavezetésére: Gabriel Mouton (Lyon, 1670): délkör 1/24x60-ed része Charles Talleyrand autun-i püspök 1790: 1 s lengésidejű inga hossza Francia Tud. Akadémia: Borda, Lagrange, Laplace, etc. „Méter” – javaslatok: 1793-1799 Sec-inga hossza

Egyenlítő negyvenmilliomod része

Negyed-délkör tízmilliomod része

Változik a nehézségi erő lokális jellege miatt

Nehézkes mérés

Párizsi délkör: DunkerqueBarcelona

Hosszmértékből származtatva: TÖMEG Lavoisier 1793: 1 dm³ 4ºC (?) hőmérsékletű víz (?) tömege 1 kg.

A méter „keletkezése”   



A délkör hosszának megállapításához két adat volt szükséges: Dunkerque-Barcelona földrajzi szélességének különbsége a csillagok állása alapján: 9º 39’ A fenti távolság meghatározása >100 háromszögelési pont segítségével A 200 év előtti mérés 0.2 mm-rel rövidebbnek állapította meg a méter alapegységet a mai eszközökkel mérhető értéknél, - így ír a szakirodalom.

„Eretnek” gondolatok:  Valóban ilyen pontos méréseket tettek lehetővé a korabeli műszerek és ilyen stabilak voltak a geodéziai pontok?  Mennyire szabályos-e a Föld alakja az adott délkör mentén? Beszélhetünk-e valós délkörről? (Képzeletbeli kör, amelynek középpontja egybeesik a Föld középpontjával (?), és átmegy az Északi (?) és a Déli Sarkon (?).  Nem a véletlen és a rendszeres hibák néha egymást kompenzáló együttes hatása eredményezi a valóban imponáló kis eltérést?

EURÓPA ÉS MAGYARORSZÁG 1799. jún. 22.: Etalonok (ősmértékek) bemutatása a törvényhozásban, letétbe helyezés a Köztársasági Levéltárban: Méter: platina rúd Kilogramm: platina henger ???? 1816: Németalföld törvényt hoz a bevezetésről 1840: Méterrendszer törvényessé tétele Franciaországban (Lajos Fülöp) 1849: Spanyolország törvényesen elfogadja az ősmértékeket 1847: Bicskén Nagy Károly matematikus a csillagvizsgálójába viszi az eredetileg a párizsi obszervatórium részére készült méter és kilogramm etalont. A kilogramm jelenleg is megvan, a méter a II. világháború alatt eltűnt. 1867-1870: Mérésügyi törvény előkészítése 1874: Törv. elfogadása Magyarországon. Kruspér István és Szily Kálmán 1870ben újrahitelesíti Párizsban a bicskei etalonokat. 1870 Párizs: 15 állam megalapítja a Nemzetközi Méterbizottságot (Kruspér) 1875 Párizs: 20 ország aláírja a Nemzetközi Méteregyezményt (Apponyi) 1907: Törvény az állami mérésügyről, M.kir.Központi Mértékügyi Intézet 1952: Megalapítják az OMH-t 2007: Magyar Kereskedelmi Engedélyezési Hivatal (volt OMH betagozódott)

NÉHÁNY NEMZETKÖZI SZERVEZET A MÉRÉSÜGYBEN Nemzetközi Méteregyezmény CIM központi laboratóriuma Sevres-ben: BIPM Nemzetközi Súly-és Mértékügyi Hivatal feladatai  Etalonok alapskáláinak létesítése  Nemzetközi etalonok őrzése, összehasonlítás  Mérési módszerek fejlesztése  Fizikai állandók meghatározása 



Nemzetközi Mérésügyi Szervezet OIML segíti a nemzeti mérésügy munkáját

Fontos fogalmak a labormérések kiértékelésének segítéséhez

(Kis „előzetes” a tananyag statisztikai részéből)





Mérési sorozat: Azonos mennyiség (méret) ismételt mérése ugyanazon munkadarabon. Ha a mérést n-szer ismételjük, és n ≥ 10, akkor a sorozat szórásának becslése az átlag szórásával történhet. Sorozatmérés: Azonos mennyiség (méret) mérése azonos típusú gyártmány eltérő darabjain.

AMIKRE A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBÓL ÉPÍTÜNK: 1. Mérési eredmény alakja 2. Várható érték (Az ismeretlen mennyiség becslése, első momentum, lineáris átlag)

matematikai

3. Rendszeres hibák eredője (Korrekció: H) 4. Véletlen hibák eredője (Eredő bizonytalanság) 5. Megbízhatósági (konfidencia) szint, és faktora 6. Korrigált tapasztalati szórás

7. Átlag szórása ismételt mérés esetén (mérési sorozat) 8. Sűrűségfüggvény f(x)

9. Eloszlásfüggvény (kumulált valószínűség) F(x) 10. Regresszió (Lineáris, valamint Wald módszere)

A MÉRÉSI EREDMÉNY ALAKJA

q Mérendő mennyiség

(ISMÉTLÉS)

A mérés csak akkor „befejezett”, ha a hibaszámítást is elvégeztük!

q q

Mérőszám

Etalon mértékegység

(3 részből áll)

xh xv

valódi érték, csak elméleti, mert ha ismernénk, nem kellene mérnünk

Helyette: x, xi leolvasott, ténylegesen mért érték vagy xh

„helyes” érték, amelyet val. szám. módszerekkel becslünk. Az elméleti várható érték (μ), vagy az ezt legjobban közelítő átlag x

H

H ismert rendszeres hibák eredője Elméletben: H = x – xv Gyakorlatban: H = x – xh i

xi

i

xi

x

bizonytalan eredetű, véletlen hibák eredője. Bizonytalansági tartomány. Pl. egy összetevője a műszerkönyvben előjellel szereplő hiba.

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA Figyelem! A következő 4 dián szereplő képletek nem „felismerések” eredményei. Ezek az összefüggések valószínűségszámítási módszerekkel igazolhatók. EGYETLEN MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN:

y

x H t u

Eredmény

Bizonytalanság, ami az eljárás és a kivitelezés hibáira vezethető vissza. (Szűkebben értelmezve a műszer bizonytalansága).

Leolvasott érték Eredő rendszeres hiba (korrekció)

Megbízhatósági (valószínűségi szint) faktora

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA MÉRÉSI SOROZAT (ISMÉTELT MÉRÉS) ELVÉGZÉSE ESETÉN „A” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL:

y

x H t s

x

x H t

s n

Eredmény

Átlag szórása Sorozat átlaga, vagy az átlagok átlaga

Eredő rendszeres hiba

Megbízhatósági szint faktora

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA TÖBB MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN „B” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL, U.N. KITERJESZTETT BIZONYTALANSÁGGAL: k

y

x H U

2

x H t

n

uj j 1

i 1

ci s x i

2

Eredmény

Sorozat átlaga

Megbízhatósági szint faktora Eredő rendszeres hiba

„Kiterjesztett” bizonytalanság

A „KITERJESZTETT” MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG értelmezése az European Cooperation for Accreditation of Laboratories” útmutatója alapján (Mérésügyi Közlemények XXXIX./3. 1998. k

U k ux

t

Konfidencia szint faktora k, vagy t

n

uj j 1

Kiterjesztett mérési bizonytalanság (k faktor a konfidencia szintből adódik), javasolt értéke: 2, azaz 95%

2

i 1

ci s x i

2

A mért adathalmazokból számított szórások négyzetösszege. Ha közvetett a mérés, akkor a „ci” súlyfaktorokkal is számolni kell

A mérés „hardveres” szórásainak, bizonytalanságainak eredője

MEGJEGYZÉSEK a kiterjesztett mérési bizonytalansághoz

1. A bizonytalanság számítása más módon is történhet. 2. Mai napig használatosak különböző vállalatoknál un. „belső” minősítési rendszerek, amelyek az EAL-R2 ajánlástól eltérhetnek. 3. Egy korábbi időkben alkalmazott módon van kiszámítva az eredő bizonytalanság a Halász – Huba: Műszaki mérések c. jegyzet 5.5. fejezetében (95. old.).

4. Fontos, hogy a felhasználó számára világossá tegyük paraméteres alakban is azt, hogyan jutottunk az eredményhez. 5. A 2. sz. mérés kiértékelését mind a régebbi, mint az új útmutatók alapján el lehet végezni, bár ajánljuk a korszerűbb változatot.

MI MICSODA? (Kis „valszám” előzetes a mérési laborgyakorlatok segítése céljából)

Előzetesen két fontos képlet: A számtani átlag kiszámítása:

1 n

x

n

xi i 1

Korrigált tapasztalati szórás meghatározása az abszolút hiba felhasználásával:

s

1

n

n 1i1

2 i

1

n

n 1i1

xi

x

2

A fenti képlettel meghatározott szórást „korrigált tapasztalati szórásnak” nevezik a valószínűségszámításban és a statisztikában.

Mérési sorozat kiértékelése és az eloszlás próbája

A szórás számításánál kizárólag csak a sorozat hossza miatt megengedett az „n”-nel való osztás, „n-1” helyett!

KEREKÍTÉSI SZABÁLYOK A felesleges számjegyeket elhagyjuk, a megmaradókat kerekítjük. Elhagyott jegy

Megmaradó jegy

Példák

<5

Nem változik

3.14

3.1

>5

Eggyel nő

3.16

3.2

= 5, de utána van még értékes jegy

3.1501

= 5 és a megmaradó jegy páratlan

3.15 3.35

3.2 3.4

3.25 3.45 3.05

3.2 3.4 3.0

= 5 és a megmaradó jegy páros, vagy nulla

Nem változik

Mérési adatok feldolgozása adat csoportosítással (osztályok) és Anélkül KEREKÍTÉS

R 107.6 100.4 7.3

LF

s

3.2

1 n 1i

LA

xi

4

n 2 i 1

n

x

63 19

i 1

n

R 108 100 8

2088.0 104.40 20

1.8209 1.8 E

1 n

LF

n i i 1

3.7

2 14.5 1.45 s 20

LA 68.4 19

4.3

x

2086 104.30 20

1.897 1.9 E

2 15 1.5 20

Mérés és valószínűségszámítás Az abszolút gyakoriságtól a sűrűségfüggvényig

Okság törvénye A jelenségeket okok rendszere hozza létre. Ha az okok mindegyikét figyelembe lehetne venni, a jelenség lefolyása azokból egyértelműen levezethető, kiszámítható volna. Mivel ez lehetetlen, az esetek túlnyomó többségében a jelenségeket véletlenszerűnek nevezhetjük.

OKSÁG TÖRVÉNYE KAUZÁLIS SZKÉMA

Ha a feltételek összessége fennáll, akkor az esemény bekövetkezik. Műszaki példa:

1V

1A 1

A különbségtétel csak a saját fogyatékos ismereteink miatt, esetleg célszerűségből szükséges.

SZTOCHASZTIKUS SZKÉMA

A hatótényezők száma oly nagy, és oly bonyolultak az összefüggések, hogy ezeket vagy nem lehet számba venni, vagy a kitűzött feladat megoldása érdekében ez nem is szükséges. A folyamat fő jellemzője a véletlenszerű tömegjelenség. Műszaki példa: Rezgő gépalkatrész által kibocsátott hangnyomásszint pillanatnyi értéke

Valószínűség számítás fogalmai a méréstechnikában

•Valószínűségi változó a méréstechnikában: mérési adat (elemi esemény), és minden jellemző, amit az adatokból számítani lehet. Átlag, szórás, illesztett egyenes meredeksége, tengelymetszete, stb. •Ismételt mérésnél véletlen ingadozást mutat, a különböző intervallumokba eső értékeket meghatározott valószínűséggel veszi fel. A valószínűség definíciója egy későbbi dián látható. •Lehet folytonos, vagy diszkrét változó.

A mérési adatot tehát véletlen elemi eseményként kell felfogni. A gépészetben vannak állandó mérési adatok, ilyenek például az alkatrészek hosszméretei, és vannak időben folytonosan változó adatok, ezek közé tartozik pl. a rezgés amplitúdó, vagy a géprezgések által keletkező hangnyomásszint ingadozása. Valószínűségszámítási szempontból mindkét típust folytonos változónak kell tekinteni, mert mindkét adat-típus adott értékhatárok között elvben végtelen sok értéket vehet fel. A későbbiekben bevezetésre kerülő eloszlás és sűrűség függvények definíciója miatt fontos az, hogy a gyakoriság un. hisztogram segítségével ábrázolható. A hisztogram vízszintes tengelyén a mért értékek szerepelnek, a függőleges tengelyen a relatív gyakoriság.

Valószínűség számítás fogalmai a méréstechnikában A mérési adatok terjedelme: R = xmax - xmin

A terjedelmet részintervallumokra bontjuk, és megszámoljuk az egyes részintervallumokba eső mérési adatokat. Célszerűségi okokból előnyös, ha a részintervallumok azonos széelsségűek. Ezen adatok száma az intervallumban előfordulás gyakorisága. Relatív gyakoriság a gyakoriság viszonyítása az összes mérések számához.

Valószínűség számítás fogalmai a méréstechnikában A relatív gyakoriság változik a mérések számának növelésével: Relatív gyakoriság

Valószínűség= P(A) ahol „A” az intervallumba esés eseményét jelöli Mérések száma

Megfigyelhető, hogy az esetek többségében a relatív gyakoriság ingadozása csillapodik a mérések számának növelésével. Sok mérés esetén jól megbecsülhető az átlag. Ezt az átlagot nevezzük az esemény (esetünkben az intervallumba esés) valószínűségének. A relatív gyakoriságból következik, hogy: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Határozottan meg kell különböztetni a relatív gyakoriság és a valószínűség fogalmát: A relatív gyakoriság valószínűségi változó, és csupán torzítatlan becslése a valószínűségnek!

A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉSE 1654. júl. 29. Pascal egy Fermat-hoz írt levélben a valószínűségszámítás első tudományos igényű tárgyalása olvasható. 1700 – 1800 Az első valószínűségi definíciók Bernoulli: „A valószínűség olyan bizonyossági fok, amely úgy viszonyul a teljes bizonyossághoz, mint rész az egészhez.” Laplace: Azonos valószínűséggel bekövetkező események esetén

P

Kedvező események száma Összes lehetséges esemény száma

1800 – 1900 Gauss, Poisson, Markov stb. A legfontosabb véletlen folyamatok és valószínűségi eloszlások kutatása. 1933 Kolmogorov A valószínűség elmélet halmazelméleti alapokon nyugvó axiomatikus megalapozása. A valószínűség e szerint egy eseményhalmazon értelmezett halmazfüggvény p=P(A).

MÉRÉSI ADATOK FELDOLGOZÁSÁNAK ÖSSZEFOGLALÁSA

q

s1

s1

s2

1 x11 x12 x13

3x1 A

q r xr

... x1i

k

xk 2

... x2 n

xk 3 ... xkn 1 n

x2

x1

n

x

m

m

qr xr r 1

r

q xr r n 1

Független sorozatokra:

s 2eredő Ha a szórások közelítőleg azonosak:

n

x2 i xk

i 1

1 n

s12

s22 ... sk2

s1

s2

sx

n

xki i 1

x

0 n→∞ esetén

n

... sk

s n

Az átlagok átlaga, ha minden kismintában azonos számú elem van:

i 1

x1i

x 1 n

xk 1

x23

... x1n 1 n

sk

i

x22

x14 Csoportba sorolással

si

2 x21

1 k

k

xi i 1

k

x

xr f xr r 1

x

M x

x f x dx

AZ „ELSŐ” STATISZTIKAI „TAPASZTALATOK”: AZ ÁTLAG SZÓRÁSA • Tapasztalati tény, hogy azonos körülmények között megismételt „n” számú mérési sorozat elvégzése után minden sorozat elemei szórnak a saját átlagértékük körül. • Az átlagértékek viszont ugyancsak szórnak az átlagok átlaga körül, bár ennek a szórásnak a mértéke nyilvánvalóan kisebb. • A várható értéket az átlagok átlaga jobban közelíti, mint egyetlen sorozat átlaga. • Az átlagok normál eloszlást mutatnak, ha a mérési eredmények is normál eloszlásúak.

Az átlagok átlaga:

x

1 n

n

xj j 1

Ha nem szeretnénk (nem tudjuk) a „n” mérési sorozatot elvégezni, vajon lehetséges-e egyetlen, elvégzett mérési sorozat szórásából megbecsülni azt, hogy a sorozat „n-szori” megismétlése esetén mekkora lenne az átlagok szórása? Ld.: Diához fűzött jegyzetben.

Hogyan viszonyul egymáshoz egyetlen mérési sorozat szórása és több mérési sorozat átlagának szórása? •

Egy „n” elemű mérési sorozat szórása:

•

2

D x

2

s

1

n

n 1i1

xi

Az átlag varianciája (szórásnégyzete) és szórása: Ezek a valószínűségi változók akár átlagok is lehetnek! 2

D x D2 x D2 x

1 n 1 2 n 1 2 D xi D xi D x 1 x 2 ... x n 2 2 i 1 n i1 n n 2 1 2 1 2 2 2 D x D x ... D x n D x 1 2 n 2 2 n n n 2 s2 n n 2

Az átlag becsült szórása:

s

s x

n

Átlag sűrűségfüggvénye

Sorozat sűrűségfüggvénye

x

2

A MÉRÉSEK SZÁMA ÉS A SZÓRÁS  A normál eloszlású valószínűségi változó esetén a várható érték körül rajzolt 3σ tartományba esés valószínűsége 99.7 %.  Az átlag körül rajzolt s 3 n intervallumba esik bele a keresett várható érték.  Bizonyos méréstechnikai szabványok az átlag korr. tapasztalati szórásával történő számítást gyakorlatban csak n≥10 ismételt mérés esetében engedik alkalmazni. Ennek egyik okát a 3.2. fejezet 39. diáján, a hiba csökkentésével összefüggésben láthatjuk.  Fontos gyakorlati következtetés: A bizonytalanság csökkentése érdekében érdemesebb a tapasztalati szórás csökkentésére törekedni (a mérések gondosabb kivitelezésével), mint a mérések számát növelni!

HISZTOGRAMTÓL A SŰRŰSÉGFÜGGVÉNYIG • Célszerűség: Az adatok számának növekedése ne okozza az ordináta hosszának növekedését. • Az egyes osztályokhoz tartozó részhalmazokat vonatkoztassuk a teljes alapsokaságra (ld.: 17. dia):

qr n

rel.gyakoriság

• A hisztogram egy téglalapjának területe azonos a relatív gyakorisággal:

qr n

f (x)

x

• Az f(x) függvényt sűrűségfüggvénynek nevezzük.

40 db-os mérési sorozat eredményének ábrázolása osztályba sorolás után, hisztogramon: 9

qr

8 7 6

n=40 Δx

5 4 3 2 1

xr 100 101

102 103 104 105 106 107 108 109

Valószínűségszámítási jellemzők számítása: Átlagérték – várható érték A minta várható értékének becslése:

1 n

x

Elméleti várható érték:

1 n

n

xi 1

k

xrqr 1

E( x )

x f x dx

Szórásnégyzet (variancia, diszperzió) Tapasztalati szórásnégyzet n→∞ esetén: A korrigált tapasztalati szórásnégyzet: Elméleti szórásnégyzet:

D2 x

s

s

2

1 n

2

1

n

xi i 1

n

n 1i1 2 x

Var x

x

xi

x

2

1 n

k

xr

2

x qr

1

2

2

x E x f x dx

x

2

f x dx

A hisztogramtól a sűrűségfüggvényig „rajzban” qr / n

Relatív gyakoriság hisztogramon

qr n

f x x x

xi

xi

Δxi

A valószínűségszámítási modell megadása a valószínűségi változó és az eloszlásfüggvény segítségével:

F( x i )

P( x

F( ) 0 F( ) 1

f (x ) Valószínűségsűrűség függvény xi

P

x

xi ) xi

x

xi

f x dx

F xi

Eloszlásfüggvény – sűrűségfüggvény - valószínűség „x” folytonos valószínűségi változó, ha eloszlásfüggvénye F(x) folytonos, és szakaszonként folytonosan deriválható a sűrűségfüggvény:

f xi

lim x 0

P xi x

xi x

x

dF x i dx i

minden xi-re

A valószínűség kiszámítása a sűrűségfüggvény alkalmazásával: xi

P( x

x i ) F( x i )

f x dx

f x dx

F( ) 1

Ha „x” folytonos változó, akkor az x=xi bekövetkezési valószínűsége zérus, de nem lehetetlen.

A méréstechnikai gyakorlatban szokásos határok közötti forma jelentése a következő: Annak a valószínűsége, hogy „x” a megadott intervallumba esik, az eloszlásfüggvény segítségével határozható meg. b

P (a x

b) F(b) F(a )

a

f x dx

f x dx

f x dx P

F

f(x) f(u)

0.15866

x

15.866%

Standard normál eloszlás Sűrűségfüggvény és a kumulált valószínűség függvény, azaz eloszlásfüggvény szemléltetése

x μ-3σ -3

μ-2σ -2

μ-σ -1

μ 0

μ+σ 1

μ+2σ 2

μ+3σ 3

u

F(x) F(u) 1-0.84134=0.15866 0.99865

0.5

1-0.97725=0.02275

0.97725 1-0.99865=0.00135 0.84134

x μ-3σ

μ-2σ

μ-σ

μ

μ+σ

μ+2σ

μ+3σ

-3

-2

-1

0

1

2

3

u

Fontos eloszlások a méréstechnikában Normál eloszlás Student eloszlás Egyenletes eloszlás Néhány egyéb jellegzetes sűrűségfüggvény

Jellegzetes sűrűségfüggvények Alkalmazás

f(x) Normális eloszlás (és Standardizált normális eloszlás)

f x

Binomiális eloszlás f x

1

e

2

n x p 1 p x 0

n x

1 x 2

2

ha x 0,1,2,...,n másként

Központi határérték tétel: Sok, tetszés szerinti eloszlású valószínűségi változó összege normális eloszlást ad. Pl.: Mérési adatok eloszlása Kockajáték, szúrópróba


f(x)

Poissoneloszlás

f x

x!

ha x 0,1,2,...n ha x 0

e 0

Logaritmikus normális eloszlás

Ritka események száma nagyobb intervallumban

Vállalatok forgalma, 0 f x

1 2

2

ln x

x

e

2

2

ha x 0 ha x 0

élettartam szélsőségesen nagy igénybevételeknél


f(x)

Exponenciális eloszlás

0 e

f x

x

x0 0,

x

0

Weibulleloszlás

f x

x

0

x x-

1

e

Nem öregedő termékek élettartama

Öregedő termékek élettartama,

x

anyagkifáradás

A NORMÁL ELOSZLÁS EREDETE Központi határeloszlás tétel:

Nagy számú, független valószínűségi változó összegének eloszlása közelítőleg normális eloszlású, ha az egyes tagok értéke kicsi a teljes összeghez képest. A metrológiában ennek azért van nagy jelentősége, mert a mérési hibák sok, egymástól független zavaró tényező hatására alakulnak ki. Megjegyzendő, hogy nem minden határeloszlás „normál” típusú. A normál eloszlás alapgondolata: Hibafüggvény f(δ)

xi – x0=δ abszolút hiba δ

x0 : várható érték

xi – x0=0

Feltételezések:

1. A hibafüggvény szimmetrikus, azaz az azonos nagyságú, pozitív és negatív előjelű hiba előfordulásának valószínűsége azonos. 2. A kis hibák nagyobb valószínűséggel fordulnak elő, mint a nagyobbak. 3. A zérus hiba előfordulásának valószínűsége legyen a legnagyobb.

NORMÁL ELOSZLÁS – „STANDARDIZÁLT” NORMÁL ELOSZLÁS (LD. FÜGGVÉNYEIT AZ 56. DIÁN)

F xi

F(xi) annak a valószínűsége, hogy a változó értéke x ≤ xi

Px

xi

xi

F xi

f x dx

Normál eloszlás sűrűségfüggvénye:

x

1 n

n

xi

F x

1 2

e

n 1 xi i 1 n (n 1)

sX

i 1

Az értékek egyszerűbb, táblázatos formában történő megadhatósága érdekében áttérés egy paraméteres, „normalizált” normál eloszlás függvényre: 1 x 2

1 2

e

sX

x

A paraméterek empirikus (gyakorlati) esetben:

f x

x

u

2

Fenti eloszlásfüggvényből a normalizált sűrűségfüggvény is származtatható:

1 2

du f u

x u dx

e 1 e 2

1 2 u 2

1 2 u 2

du 1

x

du

2

1 x 2

2

A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MÓDSZEREINEK ALKALMAZÁSA A MÉRÉSTECHNIKÁBAN

A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG SZÁMÍTÁSA HIBAINTERVALLUM

MEGBÍZHATÓSÁGI SZINT SZÓRÁS

A MÉRÉSI SOROZAT HOSSZÁNAK HATÁSA

PÉLDÁK A NORMÁL ELOSZLÁSRA 1. Előírt értékkel van megadva a véletlen hiba intervalluma. Mekkora P való-színűséggel esnek a mérési eredmények a megadott hibahatárok közé? Tekintettel arra, hogy empirikus adatokról van szó, mindhárom esetben átlaggal és tapasztalati szórással számolunk! a./

P(x s x

x s) ?

Px s x

x s

Fx s

Fx s

Átalakítás u-tól való függésre:

P s x x Továbbá:

s

P

1

x x s

P 1 u 1 F (1) F ( 1) F (1) 1 F 1 F 1 0.84134 táblázatból P 1 u 1 1.68268 1 0.68268 P 68.27%

1

2F 1 1

b./ P(x

2s x

x 2s) ?

P x 2s x

x 2s

F x 2s

F x 2s


P 2s x x Továbbá:

2s

P

2

x x s


2 2F 2

1

c./ P( x 3s

x

x 3s) ?

P x 3s x

x 3s

F x 3s

F x 3s


P 3s x x Továbbá:

3s

P

3

x x s


3 2F 3

1

Az F(u) táblázat „aszimmetriája” miatt adódó feladatok Írjuk le a matematika nyelvén, ha a véletlen események (pl.: a hibák) a várható érték körül szimmetrikusan szóródnak s=1μm értékkel és 99% (P=0,99) valószínűséggel kívánjuk megadni az eredményt: u

P u

s x

H u

2

s

0,99

2

/2

f x dx u

/2

A normált normális eloszlás u értékeit tartalmazó táblázat azonban a matematikai definíció értelmében adja a valószínűségeket, és ez az integrálás aszimmetrikus: x1

P

x

x1

Azaz annak a P valószínűségét, hogy az „x” valószínűségi

f x dx változó a (-∞< x ≤ x1) tartományba esik, az F(x)

eloszlásfüggvény (x=x1) helyen vett értéke adja meg.

Tehát, ha a fenti feladat megoldása közben „szimmetrizálás” nélkül vesszük figyelembe a táblázat értékeit, komoly számítási hibát véthetünk:

Táblázatból:

P

uaszim

H

F (u ) 0 , 99001

2,33 10 3 mm

2,33

0,99

P

H

u s

0,99

„Szimmetrizáljuk” a feladatot:

F (u ) F (u ) F uF

Így már az előzőtől eltérő, helyes értéket kapjuk:

F uF

P( u x H u ) 0,99 F (u Felső ) F (u Alsó ) F (u F ) 1 F (u F )

2 F (u F ) 1

Fu 1 2 0,99 1 0,995 2

P szim ( 2,58 10 3 mm

H

u szim

F (u ) 0 , 995

2,58

2,58 10 3 mm) 0,99

Hasonlítsuk össze a bizonytalansági tartományt az előzővel!

Érdekes ugyanakkor megfigyelni, hogy a valószínűség csekély növelése milyen hatással van a bizonytalansági tartomány nagyságára?

F (u F )

0,9973 1 0,99865 2

P szim ( 3 10 3 mm

H

u szim

F (u ) 0 , 9973

3,0

3 10 3 mm) 0,9973

2. Ismert a mérési eljárás (t.i.: elv és módszer), valamint a kivitelezés tapasztalati szórása a várható érték körül „s”. Egyetlen mérés alapján az eredmény mekkora hiba-intervallummal adható meg, ha 99 % biztonsággal (konfidencia szint) akarunk eljárni? Adatok: Legyen a felbontás 0.1 μm, a tapasztalati szórás s=1 μm, a várható érték μ=5.0000 mm

Szimmetria, illetve táblázat-probléma: A táblázat közvetlenül a P(-∞ ≤ x ≤ us) valószínűséget adja meg. A feladat a változó tartományát a várható érték körül szimmetrikusként értelmezi.

Fu Ahonnan:

F uF

F uA

Fu 1 F uF 2 u F 2.58

F uF

1 F uF

0.99 1 0.995 2

2F uF

1

A valószínűségi szint csekély növelése (+0.73%-kal, 99.73%-ra) jelentős változást okoz a bizonytalanságban:

A kiszámított eredmény megadásának formái P=99 % esetében:

A kiszámított eredmény bizonytalansága nő, ha megbízhatóságot növeljük P=99.73 % - ra:

0.9973 1 0.99865 2

F uF uF

3.0

y 5.0 0.0026mm 5.0mm 2.6 m y 4.9974;5.0026 mm y 5.0 2.6 10 3 mm y 5.0 0.003mm 5.0mm 3 m y 4.997;5.003 mm y 5.0 3 10 3 mm

Tehát hiába kicsi a szórás és pontos a leolvasás! Ha csupán egyetlen mérésből akarjuk megadni a lehető legbiztonságosabb becslést, akkor a bizonytalansági tartomány lesz nagy.

3. Több, egymást követően elvégzett mérési sorozatból ismert az átlag szórása. A mérési sorozat hossza miként befolyásolja a hibát (eltérést) a várható érték és az átlagok átlaga között? A megbízhatósági szint legyen 99%, és a tapasztalati szórás legyen s=10-3 mm.

x s

n

x

A hiba mindkét előjellel előfordulhat, így a valószínűségi tartomány szimmetrikus, tehát:

u H

P

s n

u 2

x

H

u 2

s n

A számítás egyszerűsítése érdekében másként fogalmazva: Mekkora a valószínűsége annak, hogy a hiba kívül esik az intervallumon?

1 0,99 0,01 szimmetria

2

F (u ) 1 0,005 0,995

ezzel:

0,005

2

u

2,58 2

Végül:

P

2,58 10

3

1 mm n

H

2,58 10

3

1 mm n

0,99

P

2,58 10

3

1 mm n

H

2,58 10

3

1 mm n

A hiba bizonytalansági tartományának változása a mérési sorozat hosszának függvényében, P=99% megbízhatósági szinten. n

Hiba intervallum félszélessége [mm]

A hiba csökkenése Viszonyítás: n=1

1

2,58·10-3

1

2

1,83 ·10-3

0,7

3

1,49 ·10-3

0,578

4

1,29 ·10-3

0,5

5

1,15 ·10-3

0,446

…

…

…

…

…

…

9

0,86 ·10-3

0,33

10

0,82 ·10-3

0,32

…

…

…

100

0,258 ·10-3

0,1

10000

0,0258 ·10-3 (~26 nm)

0,01

4. Adott a mérés hibakorlátja Δ = 10- 4 mm, és kétféle „s” tapasztalati szórása (s1=Δ), valamint (s2=10Δ). Hány mérést kell elvégezni ahhoz, hogy az eredmény 99% valószínűséggel a megadott hibakorláton belül maradjon? A megadott valószínűségi szint „szimmetrikusan” elosztva:

s n

P( u 2

10 4 mm

x

H

u 2

s ) 0,99 n

1 0,99 0,01 2

0,005

F u

1 0,005 0,995

A táblázatból:

2

u

2,58 2

1./ Ha tehát a szórás a hibahatárral megegyező, akkor a mérések száma:

s 10 4 mm 2,58 n

H

4

10 mm

10 2,58 10

4

n

4

6,6 n

2./ De ha a szórás a hibahatár tízszerese, akkor a szükséges mérések száma nő(!):

s 10 3 mm 2,58 n

H

4

10 mm

10 2,58 10

3 4

n

665 n

A terjedelem és a szórás kapcsolata

SZÓRÁS BECSLÉSE A TERJEDELEMBŐL Gyakorlati segítség a szórás gyors közelítésére, ha „k” mérési sorozatot végeztünk sorozatonként „n” számú méréssel: Terjedelem:

Ri = xi,max – xi,min

Átlagos terjedelem:

n

A(n)

2

0.89

3

0.59

4 5 6 7 8 9

0.34

10

0.32

R

1 k

k

Ri i 1

Szórás becslése az átlagos terjedelemből:

SR

An R

Jellegzetes mérési tevékenységek a mérnöki gyakorlatban: • • • • • •

Mérőeszköz kalibrálás Mérőeszköz hitelesítés Műszaki ismeretszerzés Minőségellenőrzés Folyamatirányítás Automatizálás

SI alapegységek és alapmennyiségek   

   

Hosszúság Tömeg Idő Elektromos áram Termodin. hőmérséklet Anyagmennyiség Fényerősség

l m t I T n I

m kg s A K mol cd

Néhány fontos fogalom 

   

Alapmennyiség: Megállapodásszerűen egymástól függetlennek tekintett m. egy adott rendszerben Származtatott mennyiség: Alapmennyiségek függvényeként definiált Mértékegység: Ugyanolyan fajtájú, más mennyiség nagyságának kifejezésére definiált konkrét mennyiség Egységrendszer: alap és származtatott egységek összessége Koherens egység: Alapegységek hatványainak szorzataként kifejezhető egység, az arányossági tényező: 1. Pl. 1kg 1m 1N



1s 2

Inkoherens egység: Mint fent, de az arányossági tényező nem 1. Pl: 1kg 9,81m 1kp

1s 2

HITELESÍTÉS?

KALIBRÁLÁS?

Elkészült az új műszer!

Ismeretlen a műszer…

Milyen a karakterisztikája?

Régen volt már használatban a műszer… Mi kalibrálás (K), és mi a hitelesítés (H)?

NEMZETKÖZI ETALON

NEMZETI ETALON

leszármaztatás K

visszavezetés

H

REFERENCIA ETALON HASZNÁLATI ETALON

OMH

K

Legjobb eszköz az adott laborban

HASZNÁLATI ETALON

Hitelesítés 



A hitelesítés állami feladat, csak kijelölt és akkreditált intézmények végezhetik. Hatósági tevékenység, amelynek célja annak elbírálása, hogy a mérőeszköz megfelel-e a mérésügyi előírásoknak? Eredménye: IGEN - NEM A hitelesítés szabályait a Mérésügyi Törvény szabályozza. A melléklet felsorolja a hitelesítés körébe bevont mérési tevékenységeket és etalonokat. Ezek az alábbiak (lényeg kiemelve): 1. Kereskedelmi tevékenység, szolgáltatások, adás-vétel során alkalmazott mértékek (súlymérték, űrmérték, villamos energia, gázfogyasztás, vízfogyasztás, stb.) 2. Joghatással járó tevékenységek (Pl.: gépjármű sebességmérés) 3. Egészségüggyel kapcsolatos mérési tevékenységek (Pl.: laboratóriumi vizsgálatok, vérnyomás mérés, stb.)

Mi kalibrálás? Kalibrálás:

Nem hatósági tevékenység, de elvben csak akkreditált laboratóriumok végezhetik. Azon tevékenységek összessége, amelyek során meghatározott feltételek mellett a használati etalon és a mérőeszköz közötti összefüggést keresik. Ennek eszköze a regresszió analízis. Célja lehet állapot-felmérés, vagy a műszerjellemzők meghatározása. Megj.: Régen a jusztírozást is kalibrálásnak tekintették, ez nem törvényes!

Etalonok visszavezethetősége

Bizonytalanság

Egység definíció

Nemzetközi etalon

Nemzeti etalon Referencia etalon

Használati etalon

Használati mérőeszköz

Kalibrálás: „Azoknak a műveleteknek az összessége, amelyekkel meghatározott feltételek mellett megállapítható az összefüggés egy mérőeszköz (mérőrendszer) értékmutatása illetve egy mértéknek vagy anyagmintának tulajdonított érték és a mérendő mennyiség etalonnal reprodukált megfelelő értéke között”

LINEÁRIS REGRESSZIÓ 1. LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE (GAUß) A diszkrét mérési pontok alapján ezzel a módszerrel akkor lehet közelítő függvényt keresni, ha az egyik mennyiség mérése precízebben történhet, vagy pontosabban előírható. Ez általában a megfelelő gondossággal elvégzett kalibrálás esetén áll fenn, ha lineáris kapcsolatot feltételezünk. x = xbe Ismert pontosságú (hibájú) műszeren leolvasott értékek Ld.: következő dia y = xki Kalibrálandó műszeren leolvasott értékek

Megjegyzés: Ha mindkét mennyiség jelentősebb ingadozást, bizonytalanságot mutat, akkor Wald módszere (néhai kolozsvári matematikus) ajánlott.

Gauß ezt a módszert az alábbiak miatt javasolta: •a hiba változó előjelű (+,-) •szélsőérték kereshető (deriválás)

n 2 i

min

i 1

Xki=y

x

+

x

yhi i-edik „helyes „érték

x

-

yh,i

δi

x

yi x

x

i-edik mért érték

δi

i-edik hiba

n

a kalibrációs lépések száma

Ismeretlen, elméleti (regressziós) függvény, itt: egyenes (lineáris kapcsolat)

Xbe=x

b

yi

xi

Adott „x”-hez tartozó „y” várható értékét „y” regressziójának nevezzük. 2 2 2

yi

i n

n

yhi

yi

m xi b

min

n

min: A feladat tehát szélsőérték keresés Megjegyzés: Ha a pontok nem egyenes köré csoportosulnak, akkor parabolikus, hiperbolikus, vagy exponenciális regressziót célszerű alkalmazni.

Szélsőérték keresés: 2 i

yi2 2 yi mxi b

n

2 xi yi

0

m b 2mxi2

2 xi b 0

∂ f/∂b:

2 yi azaz mxi b

azaz mxi

2

2

n

m b ∂ f/∂m:

mxi b

bxi

xi yi

2mxi

2b 0

yi

Az „m”-re és „b”-re megoldandó lineáris egyenletrendszer: xi2 b

m n

m n

xi

xi yi

n

n

xi b n

yi

Vagy célszerűbben mátrixos alakban:

n

xi2 n

n

xi n

xi n

m b

xi yi n

yi n

m b

A keresett m és b paraméterek a mátrixegyenletből:

M

xi yi

1

n

yi n

m és b meghatározása Cramer - szabállyal egyszerűbb, mint mátrixinvertálással!

Lépések a Cramer - módszerrel:

det M

1./

xi2

n

xi

n

2./ Számláló „m” esetében:

xi yi n

yi

xi2

n

n

xi yi

yi

n

n

xi yi

n

xi

n

n

xi2

n

xi

yi

n

n

n

yi n

xi yi n

m

xi yi n

yi

n

n

n 2

xi2

n n

xi n

xi2

xi b

n

yi n

xi yi n

xi2

n n

xi n 2

xi n

Keressünk e két képletnél célszerűbb formát az algoritmizáláshoz!

xi n

Végeredményül:

n

M

3./ Számláló „b” esetében:

xi n

2

Gyakorlatban, a „kézi és gépi” számoláshoz használható alakok (A képletek levezetést a következő diákon ismertetjük azok számára, akik kíváncsiak a képletek hátterére is.)

n

xi m

x yi

i 1 n

xi

x

2

i 1

majd „m” felhasználásával:

b

y m x

Milyen „alapon” lesz a bonyolult képlet ilyen „egyszerű”? Térjünk vissza a mátrixos forma előtti egyenlet rendszerhez:

xi2 b

m n

m

xi

xi yi

n

n

xi b n

yi

n

n

A 2. egyenletből „b” azonnal kifejezhető, ld. előző dián:

b

1 n

n

yi i 1

és y mx b

1 m n

n

xi i 1

y mx

Most a „b”-re kapott formulát behelyettesítjük az 1. egyenletbe: n

1 m n

n

x

2 i

y mx

i 1

xi i 1

n

x i2 x i 1

n

xi

y

n

xi

i 1

i 1

n

(x i yi ) i 1

n

x i2 x n x

m

(x i yi )

i 1

n

m

n

(x i yi ) n x y

i 1

i 1

„m” kifejezhető lenne, de a jobb oldalon még mindig nem az egyszerű számítási képlet állna: n

(x i yi ) n x y m

i 1 n

x i 1

2 i

n x

2

Nézzük, hogyan alakítható tovább a számláló és a nevező. Ez utóbbi ráadásul a számítás algoritmizálhatóságának feltétele is!

A nevező számítása lényegesen egyszerűbb, ha igaz az alábbi feltételezés: n 2 i

x

n x

n

2

xi

i 1

x

2

i 1

A statisztikában fontos összefüggés ellenőrzése: n

xi

x

n

2

n

x

i 1

2 i

2 x

i 1

xi

n x

2

i 1

A dia legfelső egyenletének jobb oldalát átalakítva tehát az új összefüggés: n

x

2 i

n x

i 1

2

n

x i 1

n

2x

xi

n

2n x

2 i

2 x

xi

n x

2

i 1

2

i 1

n

Egyszerűsítések után látható, hogy igaz a feltételezés:

xi

n x

i 1

x

1 n

n

xi i 1

A számlálót is át kell alakítani, ha egyszerűen algoritmizálható formát szeretnénk: n

(x i yi ) n x y i 1

Két lehetőség lenne, de tekintettel arra, hogy a nevezőben már rendelkezésre áll az „x” abszolút hibája (illetve ennek négyzete), célszerű ezt a számlálóban is felhasználni: n

n

n

(x i yi ) n x y i 1

(x i yi ) x n y i 1

n

(x i yi ) x i 1

yi í 1

A két szummában yi a közös szorzó, ami kiemelhető, ha a szummákat a közös határok miatt összevontuk: n

n

(x i yi ) x i 1

n

yi í 1

yi x i

x

í 1

Tehát az „m” számítási képletében a számláló legcélszerűbb alakja (tekintettel a nevező formájára) valóban az itt látható eredmény:

n

yi x i í 1

x

2. WALD MÓDSZERE ALKALMAZÁSA: Ha mindkét változót normális eloszlású véletlen hiba terheli.

ELJÁRÁS: 1. A mért érték párokat sorba rendezzük. Lehetőleg a mérési tartomány két végének környezetében végezzünk méréseket. A halmazt két részre osztjuk, és mindkét részhalmaz súlypontját képezzük. 2. A két súlypontot (s1, s2) összekötve a regressziós egyenes meredekségét kapjuk. 3. A teljes halmaz „S” súlypontjának kiszámítása után a 2. pontban meghatározott meredekséggel húzunk egyenest az „S” súlyponton keresztül.

A két részhalmaz súlypontjának meghatározása:

x1

1 k

k

xj

x2

y1

j 1

1 n kj

1 k

n

xj

k

yj j 1 n

1

y2

n kj

k 1

A regressziós egyenes meredekségének számítása:

yj k 1

y2 x2

y1 x1

A teljes halmaz súlypontján átmenő egyenes és az ordináta metszéspontja meghatározható:

x

1 n

n

1 n

y

xj j 1

y

n

yj j 1

x

Végül a regressziós egyenes egyenlete:

y

x

KORRELÁCIÓ Általánosságban két mennyiség közötti kapcsolat szorosságát, a függőség fokát értik a fogalom alatt.

A méréstechnikában igen gyakran felmerülő probléma annak felderítése, hogy két, különböző mérési sorozatból származó mintasokaság (adathalmaz) között van-e lineáris összefüggés? Legyenek a két vizsgált minta átlagai:

yi

xi x

y

n

n

n

n

Az átlag és az egyes mért értékek közötti eltérést egy n-dimenziós vektor elemeiként is fel lehet fogni.

X x1 x , x2 Y y1

y , y2

x ,... xn y ,... yn

x y

Miért célszerű ebben az esetben a vektor-számítás alkalmazása? A vektor-térben ugyanis egyszerűbb a korreláció (kapcsolat) értelmezése. Ha ugyanis a két vektor egymással φ szöget zár be, akkor a szög értékével kifejezhető minden lényeges összefüggés: A két vektor közötti hajlásszög cosinus-a -1 és +1 között mozoghat, ezt nevezzük „r” korrelációs faktornak. 1./ φ=90º, akkor nincs közöttük lineáris függés 2./ φ=0º, akkor van lin. kapcsolat, a két vektor között konstans szorzóval y=ax 3./ φ=180º, akkor van lin. kapcsolat, a két vektor között negatív konstans szorzóval y= - ax 4./ φ≈0º, ill. φ≈180º akkor lehet lineáris a kapcsolat, de van egy korrekciós tag „e” y= ax + e, ahol |e|→0 Ha a korrelációs tényező 1, akkor a két számsorozat között feltételezhető a lineáris kapcsolat.

X Y

X és Y vektor szorzata:

1

Tekintettel arra, hogy a számításokhoz mérési adatokat használunk fel, TAPASZTALATI KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓT (r*) kapunk.

X Y cos X Y X Y

cos

xi

1

r

x yi

1

y cos

n

xi

x

2

yi

n

y

2

r

1

n

Ha r=1, akkor a fenti egyenletből is megkaphatjuk a regressziós egyenes egyenletét. Kérdés, mekkora „a” értéke, ha φ=0º ? A korreláció alapján

X Y X Y Y

X

másrészt

1

aX=Y

X Y X

a

azaz

aX X

Y X

x yi

y

Végül:

Y

aX

Y X X

X Y X

2

xi

X

illetve

y

n

xi n

x

2

x x

y

„Tapasztalati” korrelációs együttható számítása az átlag és a szórás ismeretében Következik a vektor-szorzatból, a tapasztalati szórások felhasználásával. n

r

x, y, s x , s y

xi

x yi

y

xi

i 1

xi

r

n

x yi

y

i 1

x

2

x, y, s x , s y

yi

y

1 n

2

1 n xi n

x

2

n

xi

x yi

i 1

sx sy

y

1 yi n

y

2

A tapasztalati korrelációs együttható minimális értéke adott mintanagyság és konfidenciaszint mellett Itt „N” minta nagyság, nem szabadságfok!

Magyarázat a következő dián !

A Pearson-féle táblázatban azt látjuk, hogy a minta nagysága, a mérési sorozat hossza (N) és a konfidencia szint (90%, 95%, 99% és 99,9%) alapvetően befolyásolják azt, hogy a gyakorlatban milyen korrelációs tényezők mellett lehet elfogadni, illetve elutasítani az adatok közötti összefüggésre vonatkozó hipotézist. Az ebben a táblázatban szereplő „N” nem a szabadságfokot jelöli! Létezik olyan Pearson korrelációs táblázat is, ahol a szabadságfok (degree of freedom, df) van feltüntetve: df=N-2, azaz a szabadságfok a minta hosszánál kettővel kisebb. A nullhipotézis H0 a fenti táblázat esetében azt jelenti, hogy a két adatsor között nincs kapcsolat. A „Critical values” (kritikus érték) jelentése ennek következtében az, hogy amennyiben az adott mintanagyságra kiszámított tapasztalati korrelációs együttható értéke kisebb, mint a táblázatban közölt kritikus érték, akkor a nullhipotézis H0 igaz. A kapcsolat feltételezése adott valószínűséggel visszautasítható. A számoszlopok felett látható 0.1, 0.05, 0.01 és 0.001 értékek az un. „alfa” értékek. Ezek mutatják a tévedés valószínűségét, amennyiben a nullhipotézist elvetnénk (10%, 5%, 1% és 0.1%).

Látható, hogy pl. egy 10 mérésből álló sorozat esetében, P=99% konfidencia szinten, már r*=0.765 érték is elegendő lehet ahhoz, hogy elfogadjuk a kölcsönös összefüggés fennállásának feltételezését. Ez a táblázat szellemében, az un. H1 ellenhipotézis elfogadását jelenti 1% tévedés lehetősége mellett.

A kalibrálás menete Precíziós méréseket csak stabilizált, szabványos hőmérsékleten, előírt nyomás és páratartalom mellett lehet elvégezni. A referencia etalonként használt eszköz(ök) pontossága ideálisan egy nagyságrenddel jobb legyen. A bevizsgálást a statikus bemenet és statikus kimenet közötti kalibrációs függvény meghatározására általában a statikus kalibrálással kezdik.

Vannak a gépészeti alkalmazásban olyan mérőeszközök, amelyek funkcionálisan statikus működésűek. A statikus kalibrálás minden lépésénél meg kell várni, amíg beáll az állandósult (stacionárius) állapot.

A dinamikus kalibrálás célja annak eldöntése, hogy a mérőeszköz rendszáma, időállandói, frekvencia menete, alsó és felső határfrekvenciája, rezonancia frekvenciája, stb. valóban egyeznek-e a feltételezett értékekkel, illetve ezek egyeznek-e az adatlapon megadott értékekkel? Egy műszaki rendszer rendszáma a dinamikus működését leíró matematikai modell, pl. a differenciálegyenlet rendszámával, valamint ezzel összefüggésben, a frekvencia átviteli függvény nevezőjében a Laplace-operátor (s) fokszámával egyezik meg. A rendszám a műszaki rendszerben található független energia tárolók számával egyezik meg.

Termoelem statikus kalibrálása, a jelleggörbe felvétele

CSAK ELŐZETES!

A mérés, mint ismeretszerzés

A MÉRÉS, MINT ISMERETSZERZÉSI ÉS MODELLEZÉSI FOLYAMAT Összehasonlítás

HIBÁK HIBÁK

A priori ismeretek

HIBÁK Fizikai technikai, valós, mérhető mennyiségek

Absztrakt

leképezés

modell

leképezés

Modell alapján felépített mérőlánc tesztelése „MÉRÉS”

A modell finomítása

EREDMÉNY

METROLÓGIA (MÉRÉSTUDOMÁNY)

MŰSZERTECHNIKA

ADATFELDOLGOZÁS HIBAANALÍZIS

Mit kell mérni? Hogyan mérjük? Mivel mérjük? Mérési körülmények Mérő személyek

Hibák vizsgálata:

Mérési eredmény megadása:

•

Eredetük

•

Jellegük

• Számadattal és mértékegységgel

•

Formájuk

• Diagrammal

Hibák becslése

Hibák kiküszöbölése

• Hisztogrammal (stb.)

A mérés és a műszertechnika kapcsolata Mérési eljárás Fizikai elv mechanikai

Mérési módszer kitérítéses

villamos

összehasonlító

optikai elektromechanikus

kompenzációs

optomechanikus

különbségi

optoelektronikus

helyettesítéses

stb.

frekvencia

Mérés kivitelezése A műszer működési módja érintéses

érintésmentes

A mérőműszer

megválasztása Statikus jellemzők: érzékenység feloldás

felbontás Dinamikus jellemzők:

frekvencia átvitel Kapcsolódás a hibaanalízishez: Hibák osztályozása eredetük szerint

beállási idő

túllendülés Mérési adatok feldolgozása

stabilitás

MÉRÉS-ÉS MŰSZERTECHNIKA KAPCSOLATRENDSZERÉNEK FONTOSSÁGA MÉRÉSI EREDMÉNY:

y x H U x H t uE KORREKCIÓ (H) ÉS BIZONYTALANSÁG (U) A modellnek, a mérési eljárásnak, a műszereknek és a mérés körülményeinek ezekben döntő szerepük van!

MÉRÉSI

HIBÁK

OSZTÁLYOZÁSA

EREDETÜK SZERINT

JELLEGÜK SZERINT

FORMÁJUK SZERINT

MÉRÉSI

HIBÁK

EREDETÜK

SZERINT

Modell hibái

Mérési eljárás hibái Fizikai elv

Mérési módszer Mérés kivitelezésének hibái A műszer működési módja

A mérőműszer megválasztása

Mérési adatok feldolgozásának hibái

Mi micsoda a hibák eredetében? Milyen sorrendben kapok választ? Modell érthető Eljárás Fizikai elv érthető Módszerek jön Kivitel Működési mód (érintéses/érintés mentes) Mérőműszer tulajdonságai (felbontás, dinamika, stb.) Formák (abszolút, stat., din. hibák, stb.) jön

MÉRÉSI MÓDSZEREK (teljesség igénye nélkül) •Mérési módszer (metrológiai aspektus szerint)

•Mérőeszköz, példa

•Kitérítéses •A mérendő mennyiség által, valamilyen fizikai kapcsolat révén létrehozott erőhatás a műszer szerkezetében megfelelő ellenerőt hoz létre. Az egyensúlyi helyzet bekövetkezésekor a mennyiséget skála és mutató segítségével olvashatjuk le.

•Mérőóra hosszméréshez

•Összehasonlításos •A mérendő mennyiséget azonos típusú, ismert nagyságú mennyiséggel hasonlítjuk össze.

•Kétkarú mérleg nyomaték-összehasonlítás •Mérőléc

•Kompenzációs, vagy null-módszer •A mérendő mennyiség értékét az általa létrehozott változás kiegyenlítésével állapítjuk meg. Ha a leolvasás a műszer mutató „0” állásában történik, akkor az null-kompenzáció.

•Hőmérséklet mérése kompenzográffal

•Forgótekercses műszer •Rugós erőmérő

•Impedancia mérése hídkapcsolással, nulldetektorral.

•Különbségi •A mérendő mennyiség és egy azonos típusú ismert, de kismértékben eltérő mennyiség különbségének mérése.

•Optiméter •Mérőhasáb kombináció és a munkadarab közötti, kismértékű különbség mérése.

•Helyettesítéses •A mérendő mennyiséget azonos típusú, ismert értékű mennyiséggel helyettesítik. Eredményül a kijelzett érték változatlan marad, vagy a kismértékű eltérést skála segítségével mérik.

•„Borda”-rendszerű mérleg •A mérendő tömeggel egyenértékű súlyt vesznek le a mérlegkarról a tömeg oldalán.

KITÉRÍTÉSES MÓDSZER


Nyúlásmérő bélyeges nyomás jeltovábbítók (jelátalakítók)

Az induktív útadóval felszerelt nyomásmérő viszont összehasonlító módszerrel mér, mert a mag és a tekercs közötti relatív elmozdulás az összehasonlítás alapja.




Forgatónyomaték jelátalakító (nyúlásmérő bélyeges)

ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER




ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER Induktív útadók

Belső magos, tapintós induktív útadó

Belső magos, érintés mentes induktív útadó



MITUTOYO

LINEAR SCALE rendszer


KOMPENZÁCIÓS MÓDSZER


KÜLÖNBSÉGI MÓDSZER

Etalon mérése („nullázás”)

Eltérés mérése

MÉRÉSI HIBÁK EREDETE PÉLDÁN ELJÁRÁS

MODELL

V

d2 4

h

Hiba: A munkadarab valós alakja eltér az ideális hengertől, például hordós

BEMUTATVA KIVITEL

Elv: mechanikai Hiba: a mérőfelületek az érintkezési felület érdességi csúcsain fekszenek fel, a

Mód: érintéses Hiba: a tolómérő mérőfelülete és a munkadarab közé szennyeződés került

felületi érdesség összevethető a mérőeszköz felbontásával

Mérőeszköz: tolómérő Hibák: billenési hiba, osztás hibák

Módszer: összehasonlító Hiba: tolómérő esetében összehasonlító módszerrel mérünk, de az Abbe-elv nem teljesül, azaz a mérendő hosszúság és a mérce nem esnek egy egyenesbe

Mérés körülményei Hiba: forgácsoló megmunkálás után közvetlenül történik a mérés, a munkadarab hőmérséklete az előírtnál magasabb

Mérő személy Hiba: figyelmetlenségből adódó leolvasási hiba

A mérési munka eredményét jellege szerint, döntően két hibatípus befolyásolja:

xh H U 1. Rendszeres hibák eredője (Ismert, számítható) 2. Véletlen hibák (hatásukat a szórás és bizonytalanság formájában tapasztaljuk. Csak becsülhető hibák, okaik és nagyságuk részben ismeretlen)

MÉRÉSI

HIBÁK

Durva mérési hiba

JELLEGÜK SZERINT

Rendszeres hiba

Véletlen hiba

A hiba, és a hibaokozók jellemzése

"Kiugró" érték Általában figyelmetlenség okozza, alapvetően elkerülhető

A mérési eljárás és a mérőeszköz elvi hibái Elvben meghatározható, hatása kiszámítható és korrigálható

A hibaokok időben és térben véletlenszerűen lépnek fel Pl.: zajok, súrlódási hibák, környezeti hatások, a mérendő mennyiségek változásai

A hiba megszüntetésének módja

A rendszeres hibákhoz hasonlóan, a kiugró érték kizárásával

a./ Többnyire rendelkezésre állanak a mérőeszközt gyártó korrekciós adatai. Ha nem, akkor a hibaterjedés számítás és kalibráció szükséges b./ Nem meghatározható a hiba mértéke, ebben az esetben véletlen hibaként kell kezelni

Ismételt mérésekkel felismerhető, kiszűrhető Statisztikai módszerekkel figyelembe vehető: átlagérték szórás konfidencia várható érték hibastatisztika

Példák

x ki

x ki

x ki

xki

K xbe x ki ,n ,i

x ki ,n x ki

Kiugró érték

K1 1 exp

K2 xbe

K3 xbe

2

x ki ,n,i xbe

xbe

xbe ,n

xbe

Hibák formai megjelenése idő és frekvencia tartományban Időben változó mennyiségek folyamatos mérése a gépészetben:

1. Az automatizálás és a folyamatirányítás alapfeltétele 2. Fizikai-gépészeti folyamatok vizsgálata Ezen mennyiségek mérésének folyamatát és műszaki problémáit a „mérőlánc” bemutatásával lehet megérteni. A téma folytatása az „Időben változó mennyiségek mérésének alapjai” c. fejezetben található.

MÉRÉSI

HIBÁK

MEGJENENÍTÉSI FORMA

Abszolút hiba

Habsz x xh

IDŐ / FREKVENCIA FÜGGÉSÉBEN

Tranziens hiba

x mért érték

xh

Dinamikus hiba

helyes érték

Relatív hiba

Állandósult hiba

x xh xh

Hrel

a mért érték százalékában %

Redukált hiba

Hred

x xh xmax xmin

H absz 100 x max

Amplitúdó átvitel hibája

Fázis átvitel hibája

Pontossági osztály

PO

FORMÁJUK SZERINT

Mintavételezési hiba

x xv 100 x max

%

Elsőrendű műszer időbeli jellemzői 1.

U(t)

Dinamikus hiba

Valódi (helyes) kimeneti függvény

Átmeneti függvény egységsebesség bemenetre

Tranziens hiba

t

ti

tj

Elsőrendű műszer válasza egység-sebesség függvényre

Elsőrendű műszer időbeli jellemzői 2. Statikus hiba (időben állandó)

U(t)

U nh

Un 0.95 U n 0.632 U n

U t

Un 1 e

t T

Tranziens hiba (időben változó értékű)

t

T

Tbeá ll A kimenet válaszfüggvénye a bemenet ugrás-szerű változására (átmeneti függvény)

Példák elsőrendű rendszerekre

Tx x 0

Elsőrendű műszer „súlyfüggvénye” és „T” időállandója A homogén differenciálegyenlet analitikus, hagyományos megoldása idő tartományban

Súlyfüggvény

Súlyfüggvény és átviteli függvény kapcsolata Megoldás operátor tartományban Laplace transzformációval

T

dV V U dT

d s, dt

s jω

Ys

L1 Ys

yt

Vs Us

Példában : Vs Ys Us

b ms m ... b1s b 0 a n s n ... a1s a 0 b0 a1s a 0

1 Ts 1

Elsőrendű műszer átvitelének frekvencia függése

Másodrendű műszer jellemzői

A másodrendű műszer idő és frekvencia tartománybeli jellemzőivel az „Időben változó mennyiségek mérésének alapjai” c. fejezetben találkozhatunk. Jelen fejezetben csupán a dinamikai eredetű problémák lényegének megvilágítása a cél. A jelek frekvenciafüggését és a jelek átvitelét a fent jelzett fejezetben tárgyaljuk részletesebben.

MÉRENDŐ

MÉRT

ELÉRHETŐ

ELÉRHETŐ

MÉRENDŐ

MÉRT

TOVÁBBI PÉLDÁK

az időben folytonos mérés szerepére, a későbbi szakirányos tanulmányok területeiről: •gépészet, •automatizálás, •precíziós technika Ld. a példákat a bevezető diákon

További fontos ismeretek a hibaanalízis területéről: •Hiba rendszáma •Abbe elv •Közvetett mérés eredő hibája (bizonytalansága)

A HIBA RENDSZÁMA Ha ismert a hiba okozója és a hiba közötti függvénykapcsolat, és ez utóbbi „ráadásul” gyorsan konvergáló hatványsorba fejthető, akkor a hibát a rendszámával is tudjuk jellemezni.

f

a0 a1

a2

2

a3

3

...

Megfontolások: 1. Jó műszerkonstrukció esetén kis hibával számolhatunk 2. Gyors konvergencia esetén igaz, hogy n+1 « n Annak eldöntésében, hogy melyik hatványú összetevő hagyható el, a mérnöki tapasztalat segít. A hiba rendszámát a hatványsor még figyelembe vett tagjának kitevőjével adjuk meg. Alkalmazási példa: ABBE ELV Ki volt Ernst Abbe? Kapcsolata a Carl Zeiss-szel, és matematikai munkásságának hatása a tudományos műszerkonstrukció terén. Carl Zeiss máig ható szelleme: Tőkés magántulajdon helyett alapítványi forma minden Zeiss üzemben. Életen át tartó képzés, szociális háló.

Abbe elv Összehasonlító módszer, valamint közvetlen mérési stratégia esetén, a feladat megoldásához rendelkeznünk kell egy osztásos mércével. Abbe elve: A mérőberendezés konstrukciója legyen olyan, hogy a munkadarab mérendő mérete és az osztásos mérce egy egyenesbe essen. Szemléletes példája ezen elv érvényesülésének a vízszintes és függőleges Abbe komparátor. H7/g6 (f6) ~ 20 – 30 μm

F

Példa az Abbe elv be nem tartására (szükséghelyzet): Tolómérő

lh s

h l

l

lh

h

h

s tg

Hibafüggvény (ok-okozat): 1 3 2 5 h s ... 3 15

φ«1 az illesztés jóvoltából, ezért csak az első hatvány marad: A hiba elsőrendű.

Ismert nagyságú és előjelű rendszeres hiba terjedése (Közvetett mérés hibaintervalluma) xi részeredményből tevődik össze a mérés eredménye:

y Például a fajlagos ellenállás meghatározása: Ideális esetben: xi = xi0

A R  és így

f x1 , x2 ,...xi ,...xn

U A I 

y0

f x10 , x20 , x30 ,...xn 0

xi0 a mért i-edik jellemző helyes (a valódit nem ismerjük) értéke, amelyet kellően nagy számú mérés átlagértékével becslünk. Hibával terhelt mérés (valóság) esetében:

H Xi

dxi

xi

xi 0

Feladatunk megkeresni y0 azon dy0 változását, amely azért lép fel, mert xi0 helyett xi volt a mérésünk eredménye:

Kivitelezés: Ilyen típusú feladatok megoldására szolgál a parciális deriválás!

dy

y x1

dx1 X 10 ,...X n 0

y ... xn

dxn X 10 ,...X n 0

(Taylor sor elsőrendű tagjaiból, a láncszabály alkalmazásával)

A parciális derivált értékeit xi0 helyen határozzuk meg, ezek lesznek a rendszeres és a véletlen hiba terjedésének számításánál a „súlyfaktorok”.

A közvetett mérés eredő rendszeres hibája: 2

y

y x1

x1 X10 ,...X n 0

2

...

y xn

xn X10 ,...X n 0

ahol Δxn az n-edik részmennyiség hibaintervallumának sugara

KÖZVETETT MÉRÉS EREDMÉNYÉNEK KORRIGÁLT TAPASZTALATI SZÓRÁSA Valamennyi részeredményt rendszeres és véletlen hibák terhelnek. x1 A rendszeres hibákat a korrekcióban vesszük figyelembe, a xi véletlen hibákat a szórásuk jellemzi: xn

1 i n

Levezetés nélkül: Ha az x1 , x2 ,...xi ,...xn változók egymástól függetlenek, akkor kiszámítható a közvetett mérés eredményének varianciája (szórásnégyzete): 2 y

Var f x1...xn

f x1...xn x1

2

Var x1

...

f x1...xn xn

2

Var xn

Fentiekkel az eredő korrigált tapasztalati szórás általánosan használatos meghatározása:

s

y

f x 1 ,...x n sX x1

1

2

...

f x 1 ,...x n sX xn

2

n

Csebisev tétele szerint ez „optimistább”, és egyben a valósághoz közelibb becslést ad, mint a hibaterjedéssel számított abszolút, vagy a relatív hiba.

Közvetett mérés abszolút és relatív hibái terjedésének összehasonlítása 1./ Ha a végeredményt additívan kapjuk a részeredményekből: y = x + z

Eredő abszolút hiba (ld.: 6. dia)

y

y x

y z

x

z

a előjel azt mutatja, hogy az eltérés mindkét „irányban” felléphet, tehát Δy az eredő hibaintervallum sugara. A részeredmények hibái a súlyfaktorokkal „terhelve” összeadódnak, y (1 x 1 z ) esetünkben:

Eredő relatív hiba:

y y

y x z

x z x z

x x 1

z x z x

x x

z z x z z 1 x

A két részeredmény egymáshoz való kapcsolatának bemutatására az összefüggés számlálóját és nevezőjét osztottuk x-szel.

A relatív hiba képlete jól mutatja, hogy abban az esetben, ha a végeredményt két érték különbségeként kapjuk, és a számértékek közel állnak egymáshoz, igen veszélyes lehet ez a mérési és számítási módszer!

0 0 m, n 1 1

2./ Ha a végeredményt szorzással, osztással, vagy hatványozással

y

xn z m

zm

x

kaphatjuk:

Eredő abszolút hiba (rendszeres hiba terjedése), ld. 6.dia: Eredő relatív hiba (rendszeres hiba) terjedése:

nx n

y y y

nx n

1

zm

1

x

x n mz m

xn z m

x n mz m 1

z

n

1

x x

z

m

z z

PÉLDÁK A KÖZVETETT MÉRÉS EREDŐ KORRIGÁLT TAPASZTALATI SZÓRÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA 1. Henger űrtartalmának meghatározása hosszmérésekkel:

D2

V

h 4

f x1 , x2

y

Elvi okokból a számításokhoz mindkét, n-szer megismételt hosszmérés adataiból adódó legjobb becslési értéket, azaz az átlagot használjuk fel. Ugyancsak meghatározható mindkét mérés korrigált tapasztalati szórása is, ami egyben az eljárást és a kivitelezést is minősíti.

D, h,

sD sh

sD n sh n

A térfogat átlagának eredő korrigált tapasztalati szórása:

sV

f x1 , x2 x1

V D

D

f x1 , x2 x2

V h

D2 4

D

h 2

h sD 2 n

2

D2 4

sh n

2

2. Görbület sugarának mérése szferométerrel:

R-b

R

b

f

R a R b Az „R” sugár korrigált tapasztalati szórása:

a

a

sa

b

b

sb

2

R b

a2 0 2 Rb b 2 4 1 a2 R b2 2b 4

a

Számítások a mérhető mennyiségekből:

a 2

2

sR

a2 8b

a 4b 1 a2 1 2 8 b2

4b

2

8b

a 2

a2 4

2

R 2 2 Rb b 2

b 2

4b 2 a 2 8b 2 2

2

sb n

a sa 4b n

2

Az „f” sík és a lencse felülete közötti „b” távolság méréséhez síküveglapot használnak. Az „a” méret és a k. t. szórása a gépkönyvben található, esetleg mérni kell.

Időben változó mennyiségek mérésének alapjai Digitális mérések alapjai

Jelek átvitele, mintavételezés, MOGI Tanszék

A/D konverzió

JEL: (IDŐBEN VÁLTOZÓ) FIZIKAI (KÉMIAI) MENNYISÉG HÍR/KÖZLEMÉNY: (IDŐBEN) KORLTOZOTT JELEK INFORMÁCIÓ (Shannon, Bell Laboratories): BIZONYTALANSÁG, AMELYET A HÍR MEGSZŰNTET(ETT). Shannon (1948) csak a műszaki értelemben vett információk (elsősorban digitális villamos jelek által átvitt hírtartalom) mérésére dolgozott ki módszert!

HÍRKÉSZLET: ÖSSZES LEHETSÉGES HÍR INFORMÁCIÓ MENYISÉG/HÍRTARTALOM: A HÍR KÖZLÉSE ÁLTAL ELOSZLATOTT BIZONYTALANSÁG NAGYSÁGA. EZÉRT ANNAK A HÍRNEK VAN NAGYOBB INFORMÁCIÓTARTALMA, AMELYNEK A BEKÖVETKEZÉSI VALÓSZÍNŰSÉGE KISEBB. A KÉPLET FORMAI ANLÓGIÁJA : ENTRÓPIA A termodinamikai entrópia annál nagyobb, minél nagyobb az adott állapotban való tartózkodás valószínűsége.

P2 S k ln P1

A HÍR ENTRÓPIÁJA (Shannon) Milyen megfontolások és milyen analógiák vezettek a fogalom megalkotásához? Kolmogorov (1933): 0 ≤ P ≤ 1

Biztosan bekövetkező esemény valószínűsége P=1, de hírtartalma H=0 Lehetetlen esemény valószínűsége P=0, ennek hírtartalma viszont H~∞ Milyen függvénykapcsolat képes leírni ezt a gondolatmenetet? Hartley (1928):

H

1 log P

A valószínűség szemléltetésére gyakran alkalmazzák a dobókocka példáját, és a dobást kísérletnek nevezik. Egyetlen kísérlet eredményéről szóló hír tartalma, mert ebben az esetben minden lehetséges eredmény egyforma valószínűséggel következhet be:

H Emlékeztetőül:

log 10

1 1/ 6

log 2 A ld ( A)

log 10 6 0,78

log A log 2

BINÁRIS HÍRFORRÁS ENTRÓPIÁJA Mindkét kimenet (1,0) azonos valószínűséggel jelentkezhet: P(1)=P(0)

P(1)=1 – P(0) Az „1” jel információtartalma:

I1

ld P(1) 0

A „0” jel információtartalma:

I0

ld 1 P(1) 0

A forrás átlagos információtartalma: H

1 P 1 ld P1

1 1 P 1 ld 1 P1

P(1)

0,00 0,05 0,1

0,15 0,2

0,25

-P(1) ld P(1)

0,00 0,22 0,33 0,41 0,46 0,5

0,52 0,53 0,5

(1-P(1))ld (1- P1)

0,00 0,07 0,14 0,2

0,36 0,44 0,5

H

0,00 0,29 0,47 0,61 0,72 0,81

0,26 0,31

0,3

0,4

0,5

0,88 0,97 1

A legnagyobb entrópia akkor jelentkezik, ha mindkét érték (1;0) azonos valószínűséggel fordulhat elő. Kisebb eltérés a valószínűségben, pl.: 0,4 – 0,6 nem okoz csupán 0,03 bit csökkenést. Ez kedvez a bináris jelekkel való kódolásnak.

1

BINÁRIS HÍRFORRÁS ENTRÓPIÁJA

H/bit

0,5

Olyan bináris hírforrás entrópiáját keressük, amelynek kimenetén azonos valószínűséggel fordulhat elő „1” és a „0” jel, azaz

P(1) 0

0,5

1

P(0) 1

0,5

0

P(1) P(0) 0,5 0,5 1 Az „1”, vagy „0” hír információtartalma:

A forrás átlagos entrópiája:

H

I1

I0

1 ld 1bit 0,5

0,5ld 2 0,5ld 2 1bit

AZ INFORMÁCIÓ ÁTVITEL ÁLTALÁNOS MODELLJE

VEVŐ n-1. állapotban

FORRÁS

Szinkronizáció KÓDOLÓ

DEKÓDOLÓ

ÁTVITELI CSATORNA

Információ veszteség

Zaj, zavarások

VEVŐ n. állapotban

JELEK FELOSZTÁSA DETERMINISZTIKUS ANALÓG PERIÓDIKUS

HARMONIKUS ÁLTALÁNOS PERIODIKUS

SZTOCHASZTIKUS DISZKRÉT

NEM PERIÓDIKUS KVÁZI PERIODIKUS EGY-ÉS KÉTOLDALASAN HATÁROLT

AMPLITÚDÓ KVANTÁLT

ERGODIKUS

NEM ERGODIKUS

IDŐ KVANTÁLT AMPLITÚDÓ ÉS IDŐ KVANTÁLT

JELEK (VÁLTOZÓK) A RENDSZEREKBEN

x(t)=Asin ω0t

|F(ω)|

ω0

Időtartomány

ω

Operátor (frekvencia) tartomány

JELÁTVITEL PROBLÉMÁINAK SZEMLÉLTETÉSE A SPEKTRUM SEGÍTSÉGÉVEL Mérendő jel

Regisztrált jel

Másodrendű átviteli tag (pl.)

MIÉRT VAN A DINAMIKAI MODELLEZÉSRE SZÜKSÉG?

ALAPISMERETEK MŰSZEREK ADATLAPJAINAK „ÉRTELMES” OLVASÁSÁHOZ

PÉLDA,

AMELY AZ ELŐZŐ DIA FREKVENCIAMENETÉHEZ TARTOZIK: INDUKTÍV GYORSULÁSÉRZÉKELŐ

Feladat: Szenzor dinamikus viselkedésének megértése (x, v, a, mérése szeizmikus elven)

b

b

k

vh

vm k

m

vm

v ref

m

vh

0

vki= vh- vm

b (v h

vm ) k (vh

v m )dt

m v m

STRUKTÚRA MODELLTŐL

MATEMATIKAI MODELLIG

Modellezés impedancia hálózattal, operátor tartományban b

1 b

Zb

k

s k

Zk

m

1 s m

b

vh k

Vki Vh

Zb

m

Zm

Vh

Zm

Zk

vki= vh- vm

s s b k s 1 s b k s m

Vki

vm

x ki s2 s2

m k

m b s 1 k k

vh

v m dt

X ki s ah

uki=K·xki

1 Vki s s Vh

2

m k

s 1 s2 s2 m s b 1 k k

X ki s ah

X ki j ah

X ki j ah

m k

s

m b s 1 k k

s2

j

m k m k

( j )2

b 1 k

j

1

2

1

m k m k

m k

b j k

T2

b k

2 T

1

1

2

2 0

2 0

1

2 0

2

1

j2 0

X ki j ah

Az induktív gyorsulásérzékelő átviteli függvénye

0

1

1

2 0

2

1

2

2

2 0

0

Vesd össze ezt a képletet a HBM adatlapon látható összefüggéssel!

ÁLTALÁNOS MÁSODRENDŰ, KÉT ENERGIA TÁROLÓS MŰSZER

három jellegzetes matematikai modell-formája: v(t)

x1

f(t)

Csomóponti módszer

m k

Vref=0

f t b

m

dv dt

fm

fb

fk

bv k vdt

0

x2

fk

x

v fk

f t v

t

mv bv kv f dx v dt mx bx kx f t Differenciálm b 1 x  x x f t egyenlet k k k T 2 x 2 Tx x A f t

fk x

Átviteli függvény s 2T 2 X s 2 TsX s X s A F s b0 Xs A Ys 2 2 2 Fs T s 2 Ts 1 a 2s a1s a 0

v

modell

b v m k v

1 fk m

b m k

1 m 0

1 0

0 1 1 k 1 0 1 m

0 v

Állapottér

b b b m

1 f t m

x

1 m 0

f t

x

0 0 0 1 0 1 m

f t

MÁSODRENDŰ TAG OPERÁTOR TARTOMÁNYBAN Diff. egyenletből átviteli függvény

s 2T 2 X KI s X KI s X BE s

2 TsXKI s 2 2

Ts

X KI s

A 2 Ts 1

a 2s

2

A X BE s b0 a1s a 0

Ys

Amplitúdó és fázis átvitel un. „frekvenciamenet” „Frekvencia-

menet” Bode diagram

Ez az oka annak, hogy a FFT programokkal kiszámított spektrum „kétoldalas”. A negatív körfrekvenciákra eső részt a pozitív oldalhoz kell számítani.

Harmonikus függvények integráljai

Példa állandó amplitúdójú, periodikus függvény Fourier sorának kiszámítására

Annak szemléltetése, hogy az egyes együtthatók meghatározása során milyen integrálási határokkal kell számolni. Alap-harmonikus, és behelyettesítési alakja az integrálásnál

xt

A0

1

2 T

T 2 1

Ak cos k t Bk sin k t k 1

Az úgynevezett egyen-összetevő (lin. átlag): A1

2 T

T /2

0

2 T

B1

A2

B2

2h T /2 sin t 0 T

h cos tdt

2 T

T /2

2 T

T /2

T /2

h cos 2 tdt 0

h sin 2 tdt 0

B3

B5

B7

2 T

T /2

2 T

T /2

2 T

sin 0

2h T /2 cos t 0 T

h sin tdt 0

2h T /2 sin 2 t 0 T2

h sin 2 T

2h T /2 cos 2 t 0 T2

sin 0

h cos 2 T

T /2

hdt 0

h T /2 t0 T

h 2

0

2h cos T

cos 0

2h T

1

1

4h T T 2

2h

0

cos 0

h 1 1 T

0

h sin 3 tdt

2h T /2 cos 3 t 0 T3

2h cos 3 3T

cos 0

2h 3T

1

1

4h T 3T 2

2h 3

h sin 5 tdt

2h T /2 cos 5 t 0 T5

2h cos 5 5T

cos 0

2h 5T

1

1

4h T 5T 2

2h 5

h sin 7 tdt

2h T /2 cos 7 t 0 T7

2h cos 7 7T

cos 0

2h 7T

1

1

4h T 7T 2

2h 7

0

0

T /2

0

2h sin T

A0

1 T

A Fourier együtthatók ábrázolása a körfrekvenciák függvényében: A „spektrum” A Fourier együtthatók alapján megrajzolt harmonikus összetevők, és eredőjük. Elméletben, ha az eredőt az összes összetevő figyelembe vételével rajzoljuk meg, akkor az eredeti függvényt látjuk viszont.

ω1

2ω1

3ω1

5ω1

7ω1

9ω1

A LEGFONTOSABB JELTÍPUSOK ÉS SPEKTRUMUK

Folytonos jelek

Diszkrét spektrum

Időben határolt jelek

Folytonos spektrum

FOGALMAK A DIGITÁLIS

MÉRÉSTECHNIKÁBÓL

JELEK MINTAVÉTELEZÉSE A/D KONVERZIÓ DIGITÁLIS HOSSZ-ÉS SZÖGMÉRÉS

JELEK MINTAVÉTELEZÉSE

JELEK KVANTÁLÁSA A kvantálás során elkövetett hiba értéke a mindenkori egységnyi kvantumszint 50%-a, azaz +0.5 és -0.5 között változik, amint az a kvantálási jelleggörbe alapján leolvasható.

A

MINTAVÉTLEZÉS SORÁN VÉGBEMENŐ FOLYAMAT ÖSSZE-

FOGLALÁSA

A jelminta tartásának megvalósítása technikai eszközökkel

A négyszögjel hibátlan átviteléhez elvben végtelen sok harmonikus összetevő átvitelére lenne szükség. Ez a gyakorlatban megvalósíthatatlan, ezért az átvitt jel spektrumát felülről korlátozzák. Ez a korlátozás azonban következményekkel jár. •Hibával terhelt lesz a visszaállított jel •A még átvitt legnagyobb frekvencia és a mintavételezés frekvenciája között Shannon fontos összefüggést állított fel.

A Shannon-féle mintavételezési szabály

T F

1 2 f max

A gyakorlatban a probléma megoldására a mintavevő és tartó tagok elé egy alul-áteresztő (antialiasing) szűrőt iktatnak be, amely a jelből kiszűri a f f m frekvenciákat. 2

Az impulzus-sorozat spektruma jellegét tekintve hasonlít egyetlen impulzus itt bemutatott alakjához, de az impulzus-sorozat spektruma már periodikus lesz.

A/D KONVERZIÓ A közvetlen és a közvetett A/D átalakítás néhány megvalósítási módja

A közvetlen módszer esetében az időalap (generátor) nem vesz részt az átalakításban, csupán a vezérlő órajeleket szolgáltatja. A közvetett módszer a kódolást visszavezeti az „időalapra”, az átalakító órajelére.

PÉLDÁK ÁRAMKÖRI MEGVALÓSÍTÁSOKRA KÖZVETLEN MÓDSZEREK

KÖZVETETT MÓDSZEREK

Szimultán A/D konverter Lépésenkénti közelítés (szukcesszív approximáció)

„Fűrészgenerátoros” konverter Kettős integrálás (duál slope)

MŰVELETI ERŐSÍTŐ A lineáris és nemlineáris áramkörök legfontosabb építőkövei, bipoláris (nagyobb teljesítmények és gyorsaság), vagy FET tranzisztorokból (nagy bemeneti ellenállás), integrált formában felépítve.

ELŐNYÖK ÉS TULAJDONSÁGOK: Szétválasztás (Rbe, Rki), AID≈∞ Azonos ütemű elnyomás Univerzális építőelem Dinamika (Slew rate) Drift-kompenzáció Offset-kompenzáció Zaj (flicker és fehér)

INVERTÁLÓ ERŐSÍTŐ

Alap : uDIFF

0

u BE R1

0

u KI R2

R2 R1

AU ,ideál

NEM INVERTÁLÓ ERŐSÍTŐ

Alap : uDIFF Osztóval : AU ,ideál

u BE u KI

R1 R2 R1

Z BE,ideál Z KI ,ideál

0

0 R1 R1 R2

Z BE ,ideál

R1

Z KI ,ideál

0

Nem invertáló komparátor, mint alapvető építőelem

R1

R2

Pozitív visszacsatolású, instabil erősítő kapcsolás hiszterézissel.

+ U

U hisz

E

U UR

A

U A

UE UR R1

UA UR R2

R1 U A max U A min R2

UAmax

0 UEki

U E R2 U R R2 U A R1 U R R1 U Ebe

R1 R2 UR R2

R1 U A min R2

U Eki

R1 R2 UR R2

R1 U A max R2

UEbe

0

U Uhisz UAmin

E

a./ A „párhuzamos (szimultán)” eljárásban közvetlen módszerrel történik az átalakítás, minden lehetséges jelszintnek egy külön összehasonlító, komparátor áramkör felel meg. n Az n-bites A/D konverternek így m 2 1 „kvantuma”, felbontás-lépcsője van, óriási előnye, hogy az átalakítás „real-time”, azaz csaknem egyidejűleg történik. Az átalakítás sebességét csupán a komparátor áramkör "belső" sebessége korlátozza.

Az n-bites A/D konverternek így m 2 n 1 „kvantuma”, van, óriási előnye, hogy az átalakítás „real-time” történik. Az átalakítás sebességét csupán a komparátor áramkör "belső" sebessége korlátozza.

b./ A „lépésenkénti közelítéssel (szukcesszív approximáció)” dolgozó közvetlen A/D konverter a tartott jel-minta aktuális értékéhez hasonlítja a stabil referencia-feszültség kettő hatványaival osztott értékeit, mindig úgy, hogy a közelítés alulról történik. Ha a jel-minta nagyobb, mint az „oda-próbált” referencia-jel hányados, akkor a logika elfogadja a próbát, és az adott szinthez egy „L” értéket rendel. Ha az egymásra szuperponált referencia-jel hányadosok összege túllépi a jel-minta értékét, akkor a logika „O” értékkel jelzi a túllépést. Az egyes próbálkozások eredménye így egyben már a jel kódolását is jelenti.

c./ A „fűrészgenerátoros” módszer a jel egy pillanatértékét, nevezetesen azon időpillanatbeli értékét méri, amikor a fűrészgenerátor jele eléri a mérendő jel szintjét. Az idő diagramból látható a fűrészgenerátoros A/D konverzió hátránya, nevezetesen az, hogy a kijelzett érték függ az időalap - generátor és az integrátor pontosságától. Ezeken túlmenően további bizonytalanságot jelent a "kapuzás". Az időkapu már két egymást követő számlálás esetében is eredményezhet 1 digit un. digitális maradék hibát.

d./ A dual-slope módszer egy Tm mérési idő alatti jel átlagot méri, és előnye a kettős integrálás miatt, hogy a kijelzett érték független az órajel hibájától. Ennek feltétele, hogy az integrálások alatt az órajel frekvenciája nem ingadozhat. A „dual-slope”, azaz kettős integrálás esetében a berendezés integrálja a bemenő jelet (A időszakasz) és a referencia feszültséget is (B, és C időszakaszok).

Um

TX U ref Tm

Z Z max Z

U ref Um Z max 1 U ref

DIGITÁLIS KIJELZÉSŰ MŰSZEREKEN LEOLVASOTT ÉRTÉKEK SZÓRÁSA Közvetett A/D konverzióval (átalakítással) dolgozó mérőeszközökre jellemző az un. digitális maradék-hiba, amelynek értéke 1 bit. A közvetlen A/D konverzió kvantálást (szintekhez rendelést) jelent mind az amplitúdó értékre, mind pedig az időre nézve (mintavételezés). A kvantálás miatt a jelszinteket egy adott tartományban azonos értékűnek vesszük, ebből következik, hogy egy kvantum teljes tartományában a tényleges érték végig azonos valószínűséggel léphet fel. x(t)

x*(t)

t

t

f(x) z

z

x(t) = x

xi-1

xi - z/2

xi

xi + z/2

xi+1

EGYENLETES ELOSZLÁS DISZKRÉT ESETBEN P(x)

Diszkrét valószínűségi folyamat esetében (pl.: kockadobás) valamennyi elemi esemény bekövetkezésének valószínűsége azonos:

P xi

1/6

x 1

2

3

4

5

6

EGYENLETES ELOSZLÁS FOLYTONOS ESETBEN f(x) (b-a)-1

x

1

F(x)

f ( x)

1

x a

b

a x b b a 0 másként

1 6

FOYTONOS, EGYENLETES ELOSZLÁS STATISZTIKAI JELLEMZŐI Várható érték (átlag):

b

x f x dx a

x2 b b a 2 a 1

b

1 b a

xdx a

b2 a 2 b a 2 1

b a 2

Variancia (szórásnégyzet): b

Levezetés a következő dián

2

b

f x (x

) 2 dx

f x x 2 dx

a b 2

2

2

2

a

x 3 b ( a b) 2 b a 3 a 4

1

2

a b x dx b a 2 a

1

b

( a b) 2 x dx b aa 4 1

2

4b 3 4a 2 3(b a)(a b) 2 12(b a )

4b 3 4a 3 3b 3 3a 2b 3ab 2 3a 3 12(b a) (b 2 2ab a 2 )(b a ) 12(b a)

2

(b a) 2 12

b 3 3ab 2 3a 2b a 3 12(b a )

A szórásnégyzet kiszámítása bonyolultabb f(x) függvények esetében nehéz, sőt, előfordulhat olyan eset is, hogy improprius integrált kapunk, tehát a kiszámítás nem lehetséges. Ilyen esetekben az információelmélet összefüggéseit alkalmazhatjuk. Az integrál könnyebben megoldható, ha az alábbi módon átalakítjuk. Megmutatjuk, hogy ez az átalakítás „jogos” és megalapozott. b 2

b 2

f x (x a

2

f x x 2 dx

) dx a

f x x 2 2xμ μ 2 dx

f x x 2 dx 2

f x x dx

ahol f x x dx f x dx 1 tehát : 2

f x x 2 dx 2

2

2

1

f x x 2 dx

2

2

f x dx

Alkalmazás digitális kijelzésű műszerekre: A várható érték a kijelzett értékkel esik egybe:

A szórás a legkisebb helyértéknek megfelelő digit kb. harmada, ~29 %-a:

xi

z 2

M x

a b 2

x

b a 12

z 12

sx

0,005 3

3 m

0,01 1 2 3

z 2

xi

2

A gyakorlatban egy digitális tolómérőre vonatkoztatva: Osztásköz: z=0,01 mm

xi

1 2 3

z

DIGITÁLIS HOSSZ-ÉS SZÖGMÉRÉS MITUTOYO

LINEAR SCALE rendszer

0

90

Inkrementális hossz-és szögadók osztásos etalonjai Változatok: Transzmissziós Reflexiós Üveg hordozó Fém hordozó Osztásperiódus

Interpolációs faktor

Felbontás

40 μm

4 – 8 - 20

10-5-2 μm

20 μm

2 – 4 – 10 - 20

10-5-2-1 μm

Inkrementális adó elvi felépítése MÉRŐLÉCLÉC (MOZGÓ)

KOMPARÁTOR KIMENŐJEL

LETAPOGATÓLÉC LED

FOTOTRANZISZTOR

KÖV.ERŐSÍTŐ

Inkrementális hosszmérő kapcsolása

0º

90º

Ref

A 90º

B

INTER-

A

POLÁCIÓ

B

IRÁNY-

Előre

DETEKTÁ-

Vissza

LÁSSAL

Monoflop:

B

→

1&

1

A A

A

1 E

1

A

1

B A

1

1

A

B

B

V

B

A A

1

A

B B

1

B

B

A

B

B

A

A

B

E

B

A

A

B

B

A

A

B

V

Abszolút hossz-és szögadó kódolt etalonjai A felbontást meghatározó bitsáv ● ● ● ● ● ● ● ● ●

A rezgésből eredő hibák kiküszöbölésére U, vagy V alakban elrendezett optokapukat (LED – fototranzisztor páros) alkalmaznak.

2010.10.01.

MÉRÉS ÉS MŰSZERTECHNIKA 2010 DR. HUBA ANTAL

BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék

Bevezetés A MECHATRONIKA (GÉPÉSZET) ÉS A MÉRÉSTECHNIKA

1

2010.10.01.

MŰSZERTECHNIKA SZEREPE A MECHATRONIKÁBAN Mechatronikai ismeretek egymásra épülése a tantervben: Mechatronika alapjai

Mérés és műszertechnika

Elektrotechnika Irányítástechnika Mechatronika I. Modellezés

Finommechanikai építőelemek Optika és látórendszerek

Folyamatok mérése

Szenzortechnika Optomechatronika Elektronika

Aktuátortechnika

Számítógépes irányítás Mikrovezérlők Kapcsolódó

Mechatronika II. Rendszertervezés

szaktárgyak csoportja

IDŐBEN VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK MÉRÉSE A MODERN GÉPÉSZETBEN Klasszikus gépészeti kérdésfelvetés

Mechatronikai szemléletű kérdésfelvetés Mekkorák legyenek a gerjesztések, hogy teljesüljenek az előírt mennyiségek?

Előírva: Gerjesztések

MÉRÉS! Előírva:

Tömegek, tehetetlenségek Tömegek, tehetetlenségek

x, v, a, F,

φ, Ω, ε, M,

Mekkora, és milyen irányú lesz ?

x, v, a, F,

φ, Ω, ε, M,

AKTUÁTOROK

SZENZOROK Mérés (Visszacsatolás)

Processzor (szabályozó)

Előírt értékek

2

2010.10.01.

NC, CNC pozicionáló rendszerek

D/A konverter

Jelformáló (szabályozó)

-

Jelfeldolgozó

PC, vagy mikrokontroller Alapjel (előírt érték)

Folyamatos távolság mérés a CD-fej és a lemez között Lencsefoglalat a lineáris motorral

A kvadráns fotódetektor, mint mérőtag

Cél az értéktartás: U E  a  c   b  d   0

3

2010.10.01.

Időben változó mennyiségek folyamatos mérése mechatronikai rendszerekben

4

2010.10.01.

MÉRENDŐ

ELÉRHETŐ

MÉRT

5

2010.10.01.

GÉPÉSZETI ALAPMÉRÉSEK, METROLÓGIAI ALAPOK

Hosszúság mérés a PAV 1. reaktorában A reaktor fő méretei

6

2010.10.01.

Hosszúság (helyzet) mérés a PAV 1. reaktorában

A helyzetmérés elvi elrendezése Mérési feladatok: 1. Védőcsőblokk 2. Kosár (fűtőelemek helye) magassági helyzetének 3 pontos ellenőrzése. Előírt mérési bizonytalanság: max. ± 0,1 mm (10e-4) Környezeti feltételek: 50 °C, radioaktív sugárzás, bóros hűtővíz

Kis amplitúdójú rezgések érintés és visszahatás mentes mérése    

  

Demo: www.polytec.de, DVD Szubmikronos amplitúdó tartomány Összetett felületek „letapogatása” Lézerfény, Doppler-effektus Szuperpozíció és lebegés detektálása interferométer segítségével Optoelektronikus érzékelés és elektronikus adatfeldolgozás Alk. pl.: Karosszéria és géprezgések

7

2010.10.01.

Kitekintő…

SZEMELVÉNYEK A A MÉRÉSTECHNIKA TÖRTÉNETÉBŐL

Írásos feljegyzések, időszámítás •

Tatárlaki táblák Kr. e. 4000 körül (Torma Zsófia) • Sumer Kr. e. 3200-tól • Egyiptom Kr.e. 3100-tól • Kína Kr. e. 2000-től • Mayák Kr. e. 2000-től 365 nap = 1 év, négyévente 1 szökőnap • Babilon Kr. e. 1800-tól • Olmékok Kr.e. 1200-tól • Görögök Kr.e. 776-tól 1 stadion ~ 192,25 m • Rómaiak Kr.e. 753-tól

8

2010.10.01.

A „MÉRÉSÜGY” A TÖRTÉNELEM TÜKRÉBEN Minta nélkül a kezdetek kezdetén … Sumer Kr.e. 3200, Hosszúság - súly - idő 24 hüvelyk = 1 könyök (~0,495 méter), 6 könyök = 1 nád Danna (biru) ~ 8550 méter csillag-naptár, vízióra, 1 nap = 12x2 óra tömeg-etalon: ~ 65 mg-os hematit súlyok (gabonaszem) 6 Mana = 1 gin, Mana (~ 0,5 kg) = 60 gir = 180 se K.e. 2500 –tól terület, térfogat Szila ~0,415 liter Gan ~35 ár, Sar ~35,28 méter, kör 360°, terület (π ~ 3), gömb térfogat Kis mezopotámiai ismeretterjesztés (ha már egyszer az írás és számolás forráshelye)

Kr.e. 3500-2400 Sumer virágkor

1600 – 1200 Közép Babilon (Kaldea)

2400 – 2200 Akkad (2350 Sargon)

1200 – 600 Asszíria (~600 Nabukadnecar)

2200 – 2000 Sumer reneszánsz

546 – 330 Perzsia (546 Kürosz,520Dareios)

(népvándorlás pusztítja el) 1800 – 1700 Óbabilon – Óasszíria 1749 Hammurabi

330 – 150 Makedónok 150 – Kr. u. 226 Parthusok (szkíták) Kr. u. 226-tól Róma, Perzsia, Arábia

TÖRVÉNYKEZÉS ÉS MÉRÉSÜGY KAPCSOLATA A RÉGMULTBAN SUMER (Kr.e. kb. 3200-től) „Hogy nyugodt alvásod legyen, pontosan mérj, és végezzed munkádat!” A legrégebbi, ismert törvénykönyv, Ut-Napistim uralkodó (Kr. e. 2800 körül) AKKÁD - ASSZÚR - BABILON (Kr. e. kb. 2200 – 500) „...ha az ökör szabad ember fiát felöklelve, annak halálát okozza, fél mane ezüstöt fizet” (Talio: a babiloni törvényi szellem vezéreszméje a bosszú Hammurabi, Kr.e. 1728-1686) ÓSZÖVETSÉG (Kr.e. kb. 1200-től) „Hibátlan és pontos legyen a te súlyod, hibátlan és pontos legyen az űrmértéked, hogy sokáig élj azon a földön, amelyet az Úr ad neked!” Móz. V. 25. 14-15. ISZLÁM (Kr. u. 560) „Az irgalmas és könyörületes Allah nevében üldözze balsors azokat, Akik csalnak a súlyokkal és mértékekkel, valamint azokat, Akik teletöltik a mértékeket, amikor másoktól vásárolnak, De lecsökkentik, amikor maguk is eladnak.” Korán, 83. szura

9

2010.10.01.

IPARI FORRADALOM KÜSZÖBÉIG 5 MENNYISÉG MÉRÉSE JELLEMZŐ Idő

Geom. szög

Tömeg

Természeti jelenség alapon Helyi vonatkoztatással

Térfogat

Hosszúság

Koherencia nélkül Uralkodók, vezetők önkénye szerint

Mértékek koherencia nélkülisége az egyes országok (országrészek!) között. Példák: H Zsigmond (1405) : Tömeg, hossz-és űrmértékek Budához igazítva 1655-től a pozsonyi városházi mértékek (öl, arasz, rőf, stb.) dominanciája F 1790-ig 50-féle font súlyegység, láb, rőf GB 1580 táján (I. Erzsébet) : országos egységesítés („Imperial mértékek”)

VISSZAVEZETÉS TERMÉSZETI ÁLLANDÓKRA : XVIII. SZ. Első javaslatok a HOSSZÚSÁG visszavezetésére: Gabriel Mouton (Lyon, 1670): délkör 1/24x60-ed része Charles Talleyrand autun-i püspök 1790: 1 s lengésidejű inga hossza Francia Tud-. Akadémia: Borda, Lagrange, Laplace, etc. „Méter” – javaslatok: 1793-1799 Sec-inga hossza

Egyenlítő negyvenmilliomod része

Negyed-délkör tízmilliomod része

Változik a nehézségi erő lokális jellege miatt

Nehézkes mérés

Párizsi délkör: DunkerqueBarcelona

Hosszmértékből származtatva: TÖMEG Lavoisier 1793: 1 dm³ 4ºC (?) hőmérsékletű víz (max. ς?) tömege 1 kg.

10

2010.10.01.

A méter „keletkezése” • • • •

A délkör hosszának megállapításához két adat volt szükséges: Dunkerque-Barcelona földrajzi szélességének különbsége a csillagok állása alapján: 9º 39’ A fenti távolság meghatározása >100 háromszögelési pont segítségével A 200 év előtti mérés 0.2 mm-rel rövidebbnek állapította meg a méter egységét a mai eszközökkel mérhető értéknél, - írja a büszkén a szakirodalom.

„Eretnek” gondolatok: • Valóban ilyen pontos méréseket tettek lehetővé a korabeli műszerek és ilyen stabilak voltak a geodéziai pontok? • Mennyire szabályos-e a Föld alakja az adott délkör mentén? Beszélhetünk-e valós délkörről? (Képzeletbeli kör, amelynek középpontja egybeesik a Föld középpontjával (?), és átmegy az Északi (?) és a Déli Sarkon (?). • Nem a véletlen és a rendszeres hibák néha egymást kompenzáló együttes hatása eredményezi a valóban imponáló kis eltérést?

EURÓPA ÉS MAGYARORSZÁG 1799. jún. 22.: Etalonok (ősmértékek) bemutatása a törvényhozásban, letétbe helyezés a Köztársasági Levéltárban: Méter: platina rúd Kilogramm: platina henger ???? 1840: Méterrendszer törvényessé tétele Franciaországban (Lajos Fülöp) 1816: Németalföld törvényt hoz a bevezetésről 1849: Spanyolország törvényesen elfogadja az ősmértékeket 1847: Bicskén Nagy Károly matematikus a csillagvizsgálójába viszi az eredetileg a párizsi obszervatórium részére készült méter és kilogramm etalont. A kilogramm jelenleg is megvan, a méter a II. világháború alatt eltűnt. 1867-1870: Mérésügyi törvény előkészítése 1874: Törv. elfogadása Magyarországon. Kruspér István és Szily Kálmán 1870ben újrahitelesíti Párizsban a bicskei etalonokat. 1870 Párizs: 15 állam megalapítja a Nemzetközi Méterbizottságot (Kruspér) 1875 Párizs: 20 ország aláírja a Nemzetközi Méteregyezményt (Apponyi) 1907: Törvény az állami mérésügyről, M.kir.Központi Mértékügyi Intézet 1952: Megalapítják az OMH-t

11

2010.10.01.

NÉHÁNY NEMZETKÖZI SZERVEZET A MÉRÉSÜGYBEN • Nemzetközi Méteregyezmény CIM központi laboratóriuma Sevres-ben: BIPM Nemzetközi Súly-és Mértékügyi Hivatal feladatai • Etalonok alapskáláinak létesítése • Nemzetközi etalonok őrzése, összehasonlítás • Mérési módszerek fejlesztése • Fizikai állandók meghatározása • Nemzetközi Mérésügyi Szervezet OIML segíti a nemzeti mérésügy munkáját

Metrológiai fogalmak

12

2010.10.01.








SI alapegységek       

Hosszúság Tömeg Idő Elektromos áram Termodin. hőmérséklet Anyagmennyiség Fényerősség

l m t I T n I

m kg s A K mol cd

13

2010.10.01.

További fontos fogalmak     

Alapmennyiség: Megállapodásszerűen egymástól függetlennek tekintett m. egy adott rendszerben Származtatott mennyiség: Alapmennyiségek függvényeként definiált Mértékegység: Ugyanolyan fajtájú, más mennyiség nagyságának kifejezésére definiált konkrét mennyiség Egységrendszer: alap és származtatott egységek összessége Koherens egység: Alapegységek hatványainak szorzataként kifejezhető egység, az arányossági tényező: 1. Pl. 1kg 1m 1N 



1s 2

Inkoherens egység: Mint fent, de az arányossági tényező nem 1. Pl: 1kg  9,81m 1kp 

1s 2

1. Mérési eredmény alakja 2. Várható érték (Az ismeretlen mennyiség matematikai becslése, első momentum, lineáris átlag) 3. Rendszeres hibák eredője (Korrekció: H) 4. Véletlen hibák eredője (Eredő bizonytalanság) 5. Megbízhatósági (konfidencia) szint, és faktora 6. Szórás (A második momentum, vagy diszperzió pozitív négyzetgyöke) 7. Átlag szórása ismételt mérés esetén (mérési sorozat) 8. Sűrűségfüggvény f(x) 9. Eloszlásfüggvény (kumulált valószínűség) F(x) 10. Regresszió (Lineáris, legkisebb négyzetek, valamint Wald módszere)

14

2010.10.01.

A MÉRÉS, MINT MODELLEZÉSI ÉS ISMERETSZERZÉSI FOLYAMAT Összehasonlítás

A priori ismeretek

Fizikai technikai, valós, mérhető mennyiségek

Absztrakt leképezés

modell

leképezés

Modell alapján felépített mérőlánc tesztelése

EREDMÉNY

„MÉRÉS”

A modell finomítása

MÉRÉS-ÉS MŰSZERTECHNIKA KAPCSOLATRENDSZERÉNEK FONTOSSÁGA MÉRÉSI EREDMÉNY:

y  x  H  U  x  H  k  uE KORREKCIÓ (H) ÉS „KITERJESZTETT” BIZONYTALANSÁG (U) A modellnek, a mérési eljárásnak, a műszereknek és a mérés körülményeinek ezekben döntő szerepük van!

15

2010.10.01.

METROLÓGIA (MÉRÉSTUDOMÁNY)

MŰSZERTECHNIKA

ADATFELDOLGOZÁS HIBAANALÍZIS

Mit kell mérni?

Mérési eredmény megadása:

Hibák vizsgálata:

Hogyan mérjük? Mivel mérjük? Körülmények Mérő személyek

•

Eredetük

•

Jellegük

• Számadattal és mértékegységgel

•

Formájuk

• Diagrammal • Hisztogrammal (stb.)

Hibák becslése Hibák kiküszöbölése

Műszertechnika Mérési eljárás Fizikai elv mechanikai

Mérési módszer kitérítéses

villamos

összehasonlító

optikai elektromechanikus

kompenzációs

optomechanikus

különbségi

optoelektronikus

helyettesítéses

Mérés kivitelezése A műszer működési módja érintéses érintésmentes

A mérőműszer megválasztása Statikus jellemzők: érzékenység feloldás felbontás Dinamikus jellemzők:

stb.

frekvencia átvitel Kapcsolódás a

beállási idő

hibaanalízishez:

túllendülés

Hibák osztályozása eredetük szerint

Mérési adatok feldolgozása

stabilitás

16

2010.10.01.

Mi micsoda? világos

Modell Eljárás – fizikai elvek – Módszerek jön részletezve

világos

Kivitel -Működési mód világos -Hiba megjelenési formák (stat., din.)

jön

MÉRÉSI MÓDSZEREK •Mérési módszer (metrológiai aspektus szerint)

•Mérőeszköz, példa

•Kitérítéses •A mérendő mennyiség által, valamilyen fizikai kapcsolat révén létrehozott erőhatás a műszerben megfelelő ellenerőt idéz elő. Az egyensúlyi helyzet bekövetkezésekor a mennyiséget skála és mutató segítségével olvashatjuk le.

•Mérőóra hosszméréshez •Forgótekercses műszer

•Összehasonlításos •A mérendő mennyiséget azonos típusú, ismert nagyságú mennyiséggel hasonlítjuk össze.

•Kétkarú mérleg nyomaték-összehasonlítás •Mérőléc

•Kompenzációs, vagy null-módszer •A mérendő mennyiség értékét az általa létrehozott változás kiegyenlítésével állapítjuk meg. Ha a leolvasás a műszer mutató „0” állásában történik, akkor az null-kompenzáció.

•Hőmérséklet mérése kompenzográffal

•Rugós erőmérő

•Impedancia mérése hídkapcsolással, nulldetektorral.

•Különbségi •A mérendő mennyiség és egy azonos típusú ismert, de kismértékben eltérő mennyiség különbségének mérése.

•Optiméter •Mérőhasáb kombináció és a munkadarab közötti, kismértékű különbség mérése.

•Helyettesítéses •A mérendő mennyiséget azonos típusú, ismert értékű mennyiséggel helyettesítik. Eredményül a kijelzett érték változatlan marad, vagy a kismértékű eltérést skála segítségével mérik.

•„Borda”-rendszerű mérleg •A mérendő tömeggel egyenértékű súlyt vesznek le a mérlegkarról a tömeg oldalán.

17

2010.10.01.



18

2010.10.01.



19

2010.10.01.


Nyomás jeltovábbítók (jelátalakítók)

Induktív útadók

Belső magos, rugós visszatérítésű, tapintós induktív útadó: kitérítéses módszer

DE: Belső magos, érintés mentes induktív útadó: összehasonlító módszer


20

2010.10.01.



Forgatónyomaték jelátalakító (nyúlásmérő bélyeges)

21

2010.10.01.



MITUTOYO LINEAR SCALE rendszer

22

2010.10.01.

0°

90°


23

2010.10.01.


KÜLÖNBSÉGI MÓDSZER

Etalon mérése („nullázás”)

Eltérés mérése

24

2010.10.01.

A mérés eredménye

Mik a mérési eredmény összetevői?

A MÉRÉSI EREDMÉNY ALAKJA

q  q q

Mérendő mennyiség

Mérőszám

A mérés csak akkor „befejezett”, ha a hibaszámítást is elvégeztük! Etalon mértékegység

(3 részből áll)

x h  H   xv

valódi érték, csak elméleti, mert ha ismernénk, nem kellene mérnünk

Helyette: x, xi leolvasott, ténylegesen mért érték vagy xh

„helyes” érték, amelyet val. szám. módszerekkel becslünk. A legvalószínűbb várható érték (μ), vagy az ezt legjobban közelítő átlag x 

H ismert rendszeres hibák eredője Elméletben: H = x – xv Gyakorlatban: H = x – xh

 i  xi    i  xi  x

 bizonytalan eredetű, véletlen hibák eredője. Bizonytalansági tartomány. Műszerkönyvben ± előjellel szereplő hiba.

25

2010.10.01.

A mérési munka eredményét döntően két hibatípus befolyásolja :

1. Rendszeres hibák eredője (Ismert, számítható) 2. Véletlen hibák (Csak becsülhető, ok és nagyság ismeretlen)

MÉRÉSI

HIBÁK

OSZTÁLYOZÁSA

EREDETÜK SZERINT

JELLEGÜK SZERINT

FORMÁJUK SZERINT

26

2010.10.01.

MÉRÉSI HIBÁK EREDETÜK SZERINT (Lásd: Műszertechnika témaköre) Modell hibái

Mérési eljárás hibái Mérési módszer

Fizikai elv

Mérés kivitelezésének hibái A műszer működési módja

A mérőműszer megválasztása

Mérési adatok feldolgozásának hibái

MÉRÉSI HIBÁK EREDETE PÉLDÁKON MODELL

d2 V   h 4 Hiba: A munkadarab valós alakja eltér az ideális hengertől, például hordós

ELJÁRÁS

BEMUTATVA KIVITEL

Elv: mechanikai Hiba: a mérőfelületek az érintkezési felület érdességi csúcsain fekszenek fel, a

Mód: érintéses Hiba: a tolómérő mérőfelülete és a munkadarab közé szennyeződés került

felületi érdesség összevethető a mérőeszköz felbontásával

Mérőeszköz: tolómérő Hibák: billenési hiba, osztás hibák

Módszer: összehasonlító Hiba: tolómérő esetében összehasonlító módszerrel mérünk, de az Abbe-elv nem teljesül, azaz a mérendő hosszúság és a mérce nem esnek egy egyenesbe

Mérés körülményei Hiba: forgácsoló megmunkálás után közvetlenül történik a mérés, a munkadarab hőmérséklete az előírtnál magasabb

Mérő személy Hiba: figyelmetlenségből adódó leolvasási hiba

27

2010.10.01.

MÉRÉSI

HIBÁK

Durva mérési hiba

JELLEGÜK SZERINT Rendszeres hiba

Véletlen hiba

A hiba, és a hibaokozók jellemzése

"Kiugró" érték Általában figyelmetlenség okozza, alapvetően elkerülhető

A mérési eljárás és a mérőeszköz elvi hibái Elvben meghatározható, hatása kiszámítható és korrigálható

A hibaokok időben és térben véletlenszerűen lépnek fel Pl.: zajok, súrlódási hibák, környezeti hatások, a mérendő mennyiségek változásai

A hiba megszün tetéséne k módja

A rendszeres hibákhoz hasonlóan, a kiugró érték kizárásával

a./ Többnyire rendelkezésre állanak a mérőeszközt gyártó korrekciós adatai. Ha nem, akkor a hibaterjedés számítás és kalibráció szükséges b./ Nem meghatározható a hiba mértéke, ebben az esetben véletlen hibaként kell kezelni

Ismételt mérésekkel felismerhető, kiszűrhető Statisztikai módszerekkel figyelembe vehető: átlagérték szórás konfidencia várható érték hibastatisztika

Példák

x ki

x ki

x ki x ki  K  xbe   x ki ,n ,i 

x ki ,n



xbe

MÉRÉSI

HIBÁK

MEGJENENÍTÉSI FORMA

Abszolút hiba

Habsz  x  xh

x mért érték

xh

helyes érték

Relatív hiba

Hrel 

2

x ki ,n ,i xbe

xbe ,n

xbe

FORMÁJUK SZERINT IDŐ / FREKVENCIA FÜGGÉSÉBEN

Tranziens hiba Dinamikus hiba Állandósult hiba

x  xh xh

a mért érték százalékában %

Redukált hiba

Hred



x ki  K1 1  exp K2 xbe   K3 xbe

Kiugró érték

x  xh  xmax  xmin

Pontossági osztály

 H   x  xv  PO   absz  100    100 %  x max   x max 

Amplitúdó átvitel hibája Fázis átvitel hibája

Mintavételezési hiba

28

2010.10.01.

Elsőrendű műszer időbeli jellemzői 1.

Dinamikus hiba

U(t)

Valódi (helyes) kimeneti függvény

Átmeneti függvény egységsebesség bemenetre

Tranziens hiba

t

tj

ti

Elsőrendű műszer válasza egység-sebesség függvényre

Elsőrendű műszer időbeli jellemzői 2. Statikus hiba (időben állandó)

U(t)

U nh

Un 0.95 U n t    U t   U n  1  e T   

0.632 U n Tranziens hiba (időben változó értékű)

t

T

Tbeá ll A kimenet válaszfüggvénye a bemenet ugrás-szerű változására (átmeneti függvény)

29

2010.10.01.

A mérési eredmény meghatározása








30

2010.10.01.

1. Mérési eredmény alakja 2. Várható érték (Az ismeretlen mennyiség matematikai becslése, első momentum, lineáris átlag) 3. Rendszeres hibák eredője (Korrekció: H) 4. Véletlen hibák eredője (Eredő bizonytalanság) 5. Megbízhatósági (konfidencia) szint, és faktora 6. Szórás (A második momentum, vagy diszperzió pozitív négyzetgyöke) 7. Átlag szórása ismételt mérés esetén (mérési sorozat) 8. Sűrűségfüggvény f(x) 9. Eloszlásfüggvény (kumulált valószínűség) F(x) 10. Regresszió (Lineáris, valamint Wald módszere)

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA EGYETLEN MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN:

y  x H ts Eredmény

Bizonytalanság, ami az eljárás és a kivitelezés hibáira vezethető vissza. (Szűkebben értelmezve a műszer bizonytalansága).

Leolvasott érték Eredő rendszeres hiba (korrekció)

Megbízhatósági (valószínűségi szint) faktora

31

2010.10.01.

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA

TÖBB MÉRÉSI SOROZAT (ISMÉTELT MÉRÉS) ELVÉGZÉSE ESETÉN, „A” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL:

y  x  H  t  sx  x  H  t

s n

Eredmény

Sorozat átlaga, vagy a sorozatok átlagainak átlaga

Átlag szórása Eredő rendszeres hiba

Megbízhatósági szint faktora

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA TÖBB MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN „B” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL, U.N. KITERJESZTETT BIZONYTALANSÁGGAL*:

Eredmény

Sorozat átlaga

n  k  y  x  H  U  x  H  t    u 2j   i2  i 1  j1 

Megbízhatósági szint faktora Eredő rendszeres hiba

„Kiterjesztett” bizonytalanság

32

2010.10.01.

KÉRDÉSEK A KÉPLETEKRE VONATKOZÓAN: A két képletben eddig egy összetevőt ismerünk fel: Rendszeres hibák (eredetük, jellegük és formájuk)

További fogalmakat kell tisztáznunk következőkben: Eredő hiba (hibaterjedés) Variancia, szórás Várható érték, átlag Átlagok szórása Megbízhatósági intervallum (szint) A MÉRÉSI ADATOK STATISZTIKAI RENDSZEREZÉSE ELŐTT NÉHÁNY ELŐKÉSZÍTŐ LÉPÉSRE IS SZÜKSÉG VAN (KÖV. DIÁK)

MÉRŐMŰSZER LEOLVASÁSA

• A mérés eredményét általában annyi tizedes jegyre kerekítve kell megadni, amilyen pontosan a mérőműszert le tudtuk olvasni.

• Átlag, szórás, konfidencia intervallum megadása (számítások eredménye) 1, legfeljebb 2 tizedes jeggyel hosszabb lehet.

33

2010.10.01.

KEREKÍTÉSI SZABÁLYOK A felesleges számjegyeket elhagyjuk, a megmaradókat kerekítjük. Megmaradó jegy

Elhagyott jegy

Példák

<5

Nem változik

3.14

3.1

>5

Eggyel nő

3.16

3.2

= 5, de utána van még értékes jegy

3.1501

= 5 és a megmaradó jegy páratlan

3.15 3.35

3.2 3.4

3.25 3.45 3.05

3.2 3.4 3.0

= 5 és a megmaradó jegy páros, vagy nulla

Nem változik

ABSZOLÚT GYAKORISÁG ÁBRÁZOLÁSA HISZTOGRAMON 1. qr 5

n=20

4 3

Δx

2 1

xr 100

101

102

103

104

105

106

107

108

34

2010.10.01.

ABSZOLÚT GYAKORISÁG ÁBRÁZOLÁSA HISZTOGRAMON 2. 9

qr

8 7 6

n=40 Δx

5

Látható, hogy ésszerűbb lesz a qr/n ábrázolása, mert n növelésével az ordináta az „egekbe” nő!

4 3 2 1

xr 100 101

102 103 104 105 106

107 108 109

Később látni fogjuk, hogy egy olyan q r/n→f(x) függvényt célszerű keresni, amely invariáns „n”-re és Δx-re, és ez lesz a relatív gyakoriságból származtatott sűrűségfüggvény!

AZ „ELSŐ” STATISZTIKAI „TAPASZTALATOK”: ÁTLAG SZÓRÁSA •

• • •

Azonos körülmények között megismételt „k” számú mérési sorozat elvégzése után minden sorozat elemei szórnak a saját átlagértékük körül. Az átlagértékek viszont ugyancsak szórnak az átlagok átlaga körül, bár ennek a szórásnak a mértéke nyilvánvalóan kisebb. A várható értéket az átlagok átlaga jobban közelíti, mint egyetlen sorozat átlaga. Az átlagok ugyancsak normál eloszlást mutatnak. Az átlagok átlaga:

x

1 k  xj k j 1

Ha nem szeretnénk (nem tudjuk) a „k” mérési sorozatot elvégezni, vajon lehetséges-e egyetlen, elvégzett mérési sorozat szórásából megbecsülni azt, hogy a sorozat „k-szori” megismétlése esetén mekkora lenne az átlagok szórása?

35

2010.10.01.

Hogyan viszonyul egymáshoz egyetlen mérési sorozat szórása és „k” mérési sorozat átlagának szórása?

D 2 x   s 2

•

Egy „n” elemű mérési sorozat szórása:

•

Az átlag varianciája (szórásnégyzete) és szórása:

1 n 2  x i  x  n  1 i 1

s

Ezek a valószínűségi változók akár átlagok is lehetnek!

1 1 n  1 n D 2 x   D 2   x i   2  D 2 x k   2 D 2 x1  x 2  ...  x n  n  n i 1  n k 1 1 1 D 2 x   2 D 2 x1   D 2 x 2   ...  D 2 x n   2  n  D 2 x  n n s sx  n Sorozat





Átlag sűrűségfüggvénye

Az átlag „ingadozása”

sűrűségfüggvénye

A MÉRÉSEK SZÁMA ÉS A SZÓRÁS • A későbbiekben látni fogjuk, hogy a mérési eredmények 99.7 % valószínűségi szint mellett, az átlag körüli ±3s tartományon belülre esnek. • Lehet egyetlen sorozat szórásából is következtetni „k” sorozat szórására. Előzőekben láttuk, hogy a „k” sorozat szórása az összes mérési adat „n” (összes elemi esemény) szórásának n -ed része. • Fontos gyakorlati következtetés: A bizonytalanság csökkentése érdekében érdemesebb a szórás csökkentésére törekedni (a mérések gondosabb kivitelezésével), mint a mérések számát növelni!

36

2010.10.01.

Mérés és valószínűség számítás

Okság törvénye A jelenségeket okok rendszere hozza létre. Ha az okok mindegyikét figyelembe lehetne venni, a jelenség lefolyása azokból egyértelműen levezethető, kiszámítható volna. Mivel ez lehetetlen, az esetek túlnyomó többségében a jelenségeket véletlenszerűnek nevezhetjük.

37

2010.10.01.

OKSÁG TÖRVÉNYE KAUZÁLIS SZKÉMA

Ha a feltételek összessége fennáll, akkor az esemény bekövetkezik. Műszaki példa:

1V  1A  1

A különbségtétel csak a saját fogyatékos ismereteink miatt, esetleg célszerűségből szükséges.

SZTOCHASZTIKUS SZKÉMA

A hatótényezők száma oly nagy, és oly bonyolultak az összefüggések, hogy ezeket vagy nem lehet számba venni, vagy a kitűzött feladat megoldása érdekében ez nem is szükséges. A folyamat fő jellemzője a véletlenszerű tömegjelenség. Műszaki példa: Ágyúgolyó becsapódása helyének meghatározása

Valószínűség számítás fogalmai a méréstechnikában •Valószínűségi változó a méréstechnikában: mérési adat (elemi esemény) •Ismételt mérésnél véletlen ingadozást mutat, a különböző intervallumokba eső értékeket meghatározott valószínűséggel veszi fel. •Lehet folytonos, vagy diszkrét változó. Gyakoriság: A mérési sorozatban szereplő azonos mérési adatok száma Gyakoriság ábrázolása diagramon: Hisztogram

38

2010.10.01.

Valószínűség számítás fogalmai a méréstechnikában Relatív gyakoriság: Az azonos mérési adatok előfordulásának száma osztva az összes mérések számával (alapsokaság). Osztályba sorolás: Valamennyi mért adatot tartalmazó intervallum (terjedelem) felosztása azonos szélességű rész-intervallumokra. Az egyes intervallumokba eső adatokat egyetlen értékkel, az osztályközéppel helyettesítjük. Az egyes osztályokban szereplő adatok gyakoriságát qr-rel jelöljük. Terjedelem: A mérési sorozatban található szélső értékek közötti különbség:

R  xmax  xmin

Valószínűség a méréstechnikában: Ha minden, egy mérési sorozatban szereplő adat független egymástól, és előfordulásuk azonos mértékben lehetséges, akkor egyetlen mérési adat „A” előfordulásának valószínűsége P(A):

P( A) 

k n

k: a kedvező esetek száma (itt a vizsgált mérési adat) n: az összes mérések száma k/n az esemény (adat) relatív gyakorisága P(A)=0 lehetetlen esemény P(1) biztos esemény

0  P A  1

39

2010.10.01.

A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉSE 1654. júl. 29. Pascal egy Fermat-hoz írt levélben a valószínűség számítás első tudományos igényű tárgyalása olvasható. 1700 – 1800 Az első valószínűségi definíciók Bernoulli: „A valószínűség olyan bizonyossági fok, amely úgy viszonyul a teljes bizonyossághoz, mint rész az egészhez.” Laplace: Azonos valószínűséggel bekövetkező események esetén

P

Kedvező  események  száma Összes  lehetséges  esemény  száma

1800 – 1900 Gauss, Poisson, Markov stb. A legfontosabb véletlen folyamatok és valószínűségi eloszlások kutatása. 1933 Kolmogorov A valószínűség elmélet halmazelméleti alapokon nyugvó axiomatikus megalapozása. A valószínűség e szerint egy eseményhalmazra normált mérték.

Mérési sorozat kiértékelése és az eloszlás próbája

40

2010.10.01.

Mérési adatok feldolgozása adat csoportosítással (osztályok) és anélkül

R  107.6 100.4  7.3 LF  3.2

s

n

LA  4

x

x i 1

i

n



R  108 100  8

2088.0  104.40 20

LF  3.7

LA  4.3

x

2086  104.30 20

1 n 2 63 1 n 2 14.5  i  19  1.8209  1.8 E  n  i  20  1.45 s   6819.4  1.897  1.9 E  2 15  1.5 n  1 i 1 20 i 1

q

MÉRÉSI ADATOK FELDOLGOZÁSÁNAK ÖSSZEFOGLALÁSA

s1

s1

s2

1 x11 3x1 A

x13

qr xr

... x1i

k

xk 2

... x2 n

xk 3

Független sorozatokra:

s 2eredő  s12  s22  ...  sk2

... xkn x2 

m 1 m q x1   qr  xr  xr r n r 1 n r 1

xk 1

x23

... x1n x1 

sk

i

x22

x12

x14 Csoportba sorolással

si

2 x21

n

1  x1i n i 1

n

x  0 n x   xr f  xr x r 1

s1  s2  ...  sk s n Ld: 63. kép

sx 

1  x2 i n i 1 xk 

k

Ha a szórás közelítőleg azonos:

1 n  xki n i 1

Az átlagok átlaga:

x

1 k  xi k i 1

n→∞ esetén





  M x   x  f x dx 

41

2010.10.01.

HISZTOGRAMTÓL A SŰRŰSÉGFÜGGVÉNYIG • Célszerűség: • Az adatok számának növekedése ne okozza az ordináta hosszának növekedését. • Az egyes osztályokhoz tartozó részhalmazokat vonatkoztassuk a teljes alapsokaságra:

qr  P x r  n • Így a hisztogram ordinátája már csak attól függ, hogy milyen szélesre választjuk a Δx tartományt. Kétszeres Δx mellett a hisztogram oszlopa is megközelítőleg kétszeres lesz. Fordított a helyzet, ha az intervallumot szűkítjük.

Emlékeztetőül: 9

qr

8 7 6

n=40 Δx

5 4 3 2 1

xr 100 101

102 103 104 105 106 107 108 109

42

2010.10.01.

A hisztogramtól a folytonos sűrűségfüggvényig „rajzban” qr / n

Diszkrét, relatív gyakoriság (hisztogram)

Pxi  x  xi  dxi   f xi dxi x

xi  dxi

xi

f (x) Folytonos valószínűség sűrűség függvény

qr Px  f x   lim n  lim n   x n   x x  0

xi

P   x  xi  

 f x dx  F x  i



x  0

x

xi

f(x) invariáns n-re és x-re!

Diszkrét és folytonos változók Valószínűségi jellemzők számításának összehasonlítása: Átlagérték Diszkrét változó esetén

x

k k 1 n 1 k   x  x q  x P x   i n 1 r r 1 r r 1 xr f xr x n 1

Folytonos változó esetén

M ( x)   

s2 



 x  f x dx



Szórásnégyzet (variancia, diszperzió) Diszkrét változó n→∞ esetén:













k 2 2 2 1 n 1 k x i  x   x r  x q r   x r  x f x r x  n i 1 n 1 1

 x

VIGYÁZAT! 1 n 2 A tapasztalati s  n  1 i 1 szórás: Folytonos változó  2 x esetén

i

x



2

 Var x 

STANDARD ELTÉRÉS: s vagy ζ 







2 2  x  M x  f x dx   x    f x dx

43

2010.10.01.


f(x) Normális eloszlás (és Standardizált normális eloszlás)

Binomiális eloszlás

f x  

1 2  

e

1  x     2  

Központi határérték tétel: Sok, tetszés szerinti eloszlású valószínűségi változó összege normális eloszlást ad. Pl.: Mérési adatok eloszlása

2

 n  x n x ha  x  0,1,2,..., n   p 1  p  f x    x  másként  0 

Kockajáték, szúrópróba

Jellegzetes sűrűségfüggvények f(x)

Poissoneloszlás

Logaritmikus normális eloszlás



 e  ha  x  0,1,2,...n f x    x! ha  x0   0

Alkalmazás

Ritka események száma nagyobb intervallumban

Vállalatok forgalma, 0   ln x   2 ha  x  0  f x    1 2 2 e ha  x 0  2    x 

élettartam szélsőségesen nagy igénybevételeknél

44

2010.10.01.


f(x)

Exponenciális eloszlás

Weibulleloszlás

x 0 x  0,   0

 0 f x     x   e

  f x      

0  x       

 1

e

 x -      



x x 

Nem öregedő termékek élettartama

Öregedő termékek élettartama, anyagkifáradás

A NORMÁL ELOSZLÁS EREDETE Központi határeloszlás tétel: Nagy számú, független valószínűségi változó különböző eloszlásainak összege közelítőleg normális eloszlású, ha az egyes tagok értéke kicsi a teljes összeghez képest. A metrológiában ennek azért van nagy jelentősége, mert a mérési hibák sok, egymástól független zavaró tényező hatására alakulnak ki. Megjegyzendő, hogy nem minden határeloszlás „normális” típusú.

A normál eloszlás alapgondolata: Hibafüggvény f(δ)

xi – x0=δ x0 : várható érték (maximális valószínűségű) δ

xi – x0=0

Feltételezés: A hibafüggvény szimmetrikus, azaz a pozitív és negatív előjelű eltérések előfordulási valószínűsége azonos.

Korábbi definíció alapján a sűrűségfüggvény az eloszlásból számítható: f ( x) 

P( x) x

P( Ai )  f xi  x0  dx

45

2010.10.01.

A1  Px1  x  x1  x1 

Az Ai esemény értelmezése:

A2  Px2  x  x2  x2  Ai  Pxi  x  xi  xi 

An  Pxn  x  xn  xn  Ha az Ai esemény független, akkor az összes esemény (itt: hiba) együttes bekövetkezésének valószínűsége az elemi valószínűségek szorzatából adódik: n

 f x  x  dx i

0

i

 max

i 1

A közös várható érték legjobb közelítését Pmax(x0) esetében kapjuk. Logaritmus alkalmazásával egyszerűbb a szélső érték keresés, mert a szorzásokból összegzés lesz: Eredmény:

d dx0

f    f xi  x0   c2  e

n

 ln f x  x  dx i

i 1

c  1 2 2

0

i

0

 c 2  c2  exp   1 xi  x0    2  1  x    

2

  1 A konstansok meghatározása után f x   e 2 a normál eloszlás 2  sűrűségfüggvénye: Paraméterek: μ (várható érték), ζ (szórás)

NORMÁL ELOSZLÁS – „NORMALIZÁLT” NORMÁL ELOSZLÁS F xi   Px  xi 

F(xi) annak a valószínűsége, hogy a változó értéke x ≤ xi

F x  



 f x  dx



Normál eloszlás sűrűségfüggvénye:

A paraméterek empirikus (gyakorlati) esetben:



1 n x   xi n i 1

e

1  x     2  

x



2

  du 



Fenti eloszlásfüggvényből a normalizált sűrűségfüggvény is származtatható:

2

 s

x

Az értékek egyszerűbb, táblázatos formában történő megadhatósága érdekében áttérés egy paraméteres, „normalizált” normál eloszlás függvényre:

1 F x   2 

1  x    

  1 e 2 2 

f x  

1 2

f u  

s

u 

e

1  u2 2





2 1 n  xi  x n  1 i 1

x  u    dx    du du  1



1  12 u 2 e 2

46

2010.10.01.

 

Normált normál eloszlás

f(x) f(u)

 f x dx  F      0.15866

Sűrűségfüggvény és a kumulált valószínűség függvény, azaz eloszlásfüggvény szemléltetése



P   x       15.866%

x μ-3σ -3

μ-2σ -2

μ-σ -1

μ 0

μ+σ 1

μ+2σ 2

μ+3σ 3

u

F(x) F(u) 1-0.84134=0.15866 0.99865

0.5

1-0.97725=0.02275

0.97725 1-0.99865=0.00135 0.84134

x μ-3σ

μ-2σ

μ-σ

μ

μ+σ

μ+2σ

μ+3σ

-3

-2

-1

0

1

2

3

u

A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MÓDSZEREINEK ALKALMAZÁSA A MÉRÉSTECHNIKÁBAN

A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG SZÁMÍTÁSA HIBAINTERVALLUM MEGBÍZHATÓSÁGI SZINT SZÓRÁS A MÉRÉSI SOROZAT HOSSZÁNAK HATÁSA

47

2010.10.01.

PÉLDÁK A NORMÁL ELOSZLÁSRA 1. Előírt értékkel van megadva a véletlen hiba intervalluma. Mekkora P valószínűséggel esnek a mérési eredmények a megadott hibahatárok közé?

a./ P(μ-σ ≤ x ≤ μ+σ) = ?

P    x       F      F     Átalakítás u-tól való függésre:

Továbbá:

x   P   x       P  1   1   

P 1  u  1  F (1)  F (1)  F (1)  1  F 1  2 F 1  1 F 1  0.84134 P 1  u  1  1.68268  1  0.68268 P  68.27%

b./ P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ) = ?

P  2  x    2   F   2   F   2  Átalakítás u-tól való függésre:

Továbbá:

x   P 2  x    2   P  2   2    

P 2  u  2  F (2)  F (2)  F (2)  1  F 2  2 F 2  1 F 2  0.97725 P 2  u  2  1.95450  1  0.9545 P  95.45%

48

2010.10.01.

c./ P(μ-3σ ≤ x ≤ μ+3σ) = ?

P  3  x    3   F   3   F   3  Átalakítás u-tól való függésre:

Továbbá:

x   P 3  x    3   P  3   3    

P 3  u  3  F (3)  F (3)  F (3)  1  F 3  2 F 3  1 F 3  0.99865 P 3  u  3  1.9973  1  0.9973 P  99.73%

Az F(u) táblázat „aszimmetriája” miatt adódó feladatok Írjuk le a matematika nyelvén, ha a véletlen események (pl.: a hibák) a várható érték körül szimmetrikusan szóródnak s=1μm értékkel és 99% (P=0,99) valószínűséggel kívánjuk megadni az eredményt:

P  u  s  x    H  u  s   0,99 2 2   A normált normális eloszlás u értékeit tartalmazó táblázat azonban a matematikai definíció értelmében adja a valószínűségeket, és ez az integrálás aszimmetrikus:

P   x  x1  

x1

 f x dx



Azaz annak a P valószínűségét, hogy az „x” valószínűségi változó a (-∞< x ≤ x1) tartományba esik, az F(x) eloszlásfüggvény (x=x1) helyen vett értéke adja meg.

Tehát, ha a fenti feladat megoldása közben „szimmetrizálás” nélkül vesszük figyelembe a táblázat értékeit, komoly számítási hibát véthetünk: Táblázatból:



P   H  u  s   0,99

uaszim  F (u )0,99001  2,33



P    H  2,33 103 mm  0,99

49

2010.10.01.

„Szimmetrizáljuk” a feladatot:

F (u )  P(u  x    H  u )  0,99 F (u )  F (u Felső )  F (u Alsó )  F (u F )  1  F (u F )  2 F (u F )  1 F u F  

Így már az előzőtől eltérő, helyes értéket kapjuk:

F u   1 2

F u F  

0,99  1  0,995 2

uszim

 F (u ) 0,995

 2,58

P szim (2,58 103 mm  H  2,58 103 mm)  0,99 Hasonlítsuk össze a bizonytalansági tartományt az előzővel!

Érdekes ugyanakkor megfigyelni, hogy a valószínűség csekély növelése milyen hatással van a bizonytalansági tartomány nagyságára?

F (u F ) 

0,9973  1  0,99865 2

uszim

 F ( u ) 0,9973

 3,0

P szim (3 103 mm  H  3 103 mm)  0,9973

2.

Ismert a mérési eljárás (t.i.: elv és módszer), valamint a kivitelezés szórása a várható érték körül „ζ”. Egyetlen mérés alapján az eredmény mekkora hiba-intervallummal adható meg, ha 99 % biztonsággal (konfidencia) akarunk eljárni? A felbontás 0.1 μm, a tapasztalati szórás s=1 μm, a várható érték μ=5.0000 mm Szimmetria, illetve táblázat-probléma: A táblázat közvetlenül a P(-∞ ≤ x ≤ uζ) valószínűséget adja meg. A feladat a változó tartományát a várható érték körül szimmetrikusként értelmezi.

F u   F u F   F u A   F u F   1  F u F   2 F u F   1

F u   1 0.99  1   0.995 2 2 u F  2.58 0.9973  1 F u F    0.99865 A valószínűségi szint csekély növelése 2 (+0.73%-kal, 99.73%-ra) jelentős változást u F  3.0 okoz a bizonytalanságban: Tehát hiába kicsi a szórás és pontos a y  5 . 0  0 . 0026 mm  5 . 0 mm  2 . 6  m A kiszámított eredmény leolvasás! megadásának formái P=99 % y  4.9974;5.0026mm esetében: Ha csupán egyetlen y  5.0  2.6 10 3 mm mérésből akarjuk megadni a lehető y  5.0  0.003mm  5.0mm  3m A kiszámított eredmény legbiztonságosabb bizonytalansága nő, ha y  4.997;5.003mm becslést, akkor a megbízhatóságot növeljük y  5.0  3 10 3 mm bizonytalansági P=99.73 % - ra: tartomány lesz nagy. Ahonnan:

F u F  

50

2010.10.01.

3. Több, egymást követően elvégzett mérési sorozat eredő szórása ismert. Hogyan függ, és mekkora mértékben az átlagok hibája a mérési sorozat hosszától? A megbízhatósági szint legyen 99%, és legyen s=10-3 mm.

x u s n

A hiba mindkét előjellel előfordulhat, így a valószínűségi tartomány szimmetrikus, tehát:

x  H

s s   P  u   x    H  u    0,99 2 2 n n 

A számítás egyszerűsítése érdekében másként fogalmazva: Mekkora a valószínűsége annak, hogy a hiba kívül esik az intervallumon?

  1  0,99  0,01 szimmetria    0,005

ezzel:

F (u )  1  0,005  0,995 2

u  2,58

2

2

1  mm  H  2,58 103 1 mm P  2,58 103 n n  

Végül:

1  mm  H  2,58 103 1 mm P  2,58 103 n n   A hiba nagyságának változása a mérési sorozat hosszának függvényében A hiba csökkenése Viszonyítás: n=1

n

Hiba intervallum félszélessége [mm]

1

2,58·10-3

1

2

1,83 ·10-3

0,7

3

1,49 ·10-3

0,578

4

1,29

·10-3

5

1,15 ·10-3

0,446

…

…

…

0,5

…

…

…

9

0,86 ·10-3

0,33

…

…

…

…

…

…

100 10000

0,258

·10-3

0,0258 ·10-3 (~26 nm)

0,1 0,01

51

2010.10.01.

4. Adott a mérés hibakorlátja Δ = ± 10- 4 mm, és kétféle „s” szórása (s1=Δ), valamint (s2=10Δ). Hány mérést kell elvégezni ahhoz, hogy az eredmény 99% valószínűséggel a hibakorláton belül maradjon? A megadott valószínűségi szint „szimmetrikusan” elosztva:

P(u  2

s s  x    104 mm  H  u  )  0,99 2 n n

  1  0,99  0,01   0,005 2 F  u   1  0,005  0,995  2

A táblázatból:

u  2,58 2

1./ Ha tehát a szórás a hibahatárral megegyező, akkor a mérések száma:

2,58 

s  104 mm  H  104 mm n

2,58 

6,6  n

10 4  n 10 4

2./ De ha a szórás a hibahatár tízszerese, akkor a szükséges mérések száma nő(!):

2,58 

s  103 mm  H  104 mm n

2,58 

10 3  n 10 4

665  n

SZÓRÁS BECSLÉSE A TERJEDELEMBŐL Gyakorlati segítség a szórás gyors közelítésére, ha „k” mérési sorozatot végeztünk sorozatonként „n” számú méréssel: Terjedelem:

Ri = xi,max – xi,min

Átlagos terjedelem:

n

A(n)

2

0.89

3

0.59

R

1 k  Ri k i 1

Szórás becslése az átlagos terjedelemből:

SR  An  R

4 5 6 7 8 9

0.34

10

0.32

52

2010.10.01.

KÖZVETETT MÉRÉS EREDŐ HIBÁJA xi részeredményből tevődik össze a mérés eredménye: y  f x1 , x2 ,...xi ,...xn  Például a fajlagos ellenállás meghatározása:

  R

A U A    I 

és így y0  f x10, x20, x30,...xn 0 

Ideális esetben: xi = xi0

xi0 a mért i-edik jellemző helyes (a valódit nem ismerjük) értéke, amelyet kellően nagy számú mérés átlagértékével becslünk. Hibával terhelt mérés (valóság) esetében:

H X i  dxi  xi  xi 0

Feladatunk megkeresni y0 azon dy0 változását, amely azért lép fel, mert xi0 helyett xi volt a mérésünk eredménye: Kivitelezés: Ilyen típusú feladatok megoldására szolgál a parciális deriválás!

dy 

y x1

 dx1  ... X 10 ,...X n 0

y xn

 dxn

(Taylor sor elsőrendű tagjaiból)

X 10 ,...X n 0

A parciális derivált értékeit xi0 helyen határozzuk meg.

KÖZVETETT MÉRÉS EREDMÉNYÉNEK SZÓRÁSA Valamennyi részeredményt rendszeres és véletlen hibák terhelnek. x1   1 A rendszeres hibákat a korrekcióban vesszük figyelembe, a xi   i véletlen hibákat a szórásuk jellemzi: xn   n Levezetés nélkül: Ha az x1 , x2 ,...xi ,...xn változók egymástól függetlenek, akkor kiszámítható a közvetett mérés eredményének varianciája (szórásnégyzete):

 f x1...xn    f x1...xn    Var xn   Var x1   ...  x 1    xn 

 y2  Var  f x1...xn   

2

2

Fentiekkel az eredő tapasztalati szórás általánosan használatos meghatározása:

 f x1 ,...xn    f x1 ,...xn   s y     s X1   ...  s X n  x1 xn     2

2

Csebisev tétele szerint ez „optimistább”, és egyben a valósághoz közelibb becslést ad, mint a hibaterjedéssel számított abszolút, vagy a relatív hiba.

53

2010.10.01.

Abszolút és relatív hibák „terjedése” közvetett mérésnél (A hibák hatása az eredményben) 1./ Ha a végeredményt additívan kapjuk a részeredményekből: y = x + z

 y  y y    x   z  z  x 

Eredő abszolút hiba:

a ± előjel azt mutatja, hogy az eltérés mindkét „irányban” felléphet, a részeredmények hibái a súlyfaktorokkal „terhelve” összeadódnak, esetünkben:

Eredő relatív hiba:

y  (1 x  1 z) x z x z z    y y x  z x x x x z     z z y xz xz 1 1 x x

A két részeredmény egymáshoz való kapcsolatának bemutatására az összefüggés számlálóját és nevezőjét osztottuk x-szel. A relatív hiba képlete jól mutatja, hogy abban az esetben, ha a végeredményt két érték különbségeként kapjuk, és a számértékek közel állnak egymáshoz, igen veszélyes lehet ez a mérési és számítási módszer!

2./ Ha a végeredményt szorzással, osztással, vagy hatványozással

y  xn  z m

kaphatjuk: Eredő abszolút hiba: Eredő relatív hiba:



 0  0  m, n   1  1

y   nx n 1  z m  x  xn  mzm 1  z



n 1 m n m 1 y nx  z  x  x  mz  z x z  n m y xn  z m x z

Összegezhetjük, hogy az abszolút érték miatt, mindkét függvény-típus esetében „pesszimisztikus” eredményt kapunk. Csebisev igazolta, hogy az eredő hiba számítása során reálisabb eredményhez jutunk, ha a rész-hibákat véletlen hibaként fogjuk fel, és a hibák négyzetösszegének gyökével számolunk.

AJÁNLOTT MÓDSZER KÖZVETETT MÉRÉS HIBÁJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA: •A rendszeres hibákat korrekcióként vesszük figyelembe •A részeredmények szórásaiból eredő szórást számolunk

54

2010.10.01.

PÉLDÁK A KÖZVETETT MÉRÉS BIZONYTALANSÁGÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA

1. Henger űrtartalmának meghatározása hosszmérésekkel:

V

D2   h  f x1 , x2   y 4

Elvi okokból a számításokhoz mindkét, n-szer megismételt hosszmérés adataiból adódó legjobb becslési értéket, azaz az átlagot használjuk fel. Ugyancsak meghatározható mindkét mérés szórása is, ami egyben az eljárást és a kivitelezést is minősíti.

f x1 , x2  V D    h   x1 D 2

sD n sh  h,  s h  n D,  s D 

f x1 , x2  V D 2     x2 h 4

 D    h s D   D 2   sh   sy        n   4 n   2 2

Eredő mérési bizonytalanság:

2

2. Görbület sugarának mérése szferométerrel:

R-b

2

b

f

a2 a 2 R 2     R  b    R 2  2 Rb  b 2 4 2 a2 0  2 Rb  b 2 4  a2 b 1  a2 R    b 2    2b  4  8b 2

R a  a 4b R 1 a 2 1 4b 2  a 2    b 2 8 b 2 8b 2

a

A mérés eredő bizonytalansága:

Számítások a mérhető mennyiségekből:

a  a  sa b  b  sb

2

 4b 2  a 2 s   a s  2 sR     b     a   8b 2 n   4b n  

Az „f” sík és a lencse felülete közötti „b” távolság méréséhez síküveglapot használnak. Az „a” méret és a szórása a gépkönyvben található, esetleg mérni kell.

55

2010.10.01.

A HIBA RENDSZÁMA Ha ismert a hiba okozója és a hiba közötti függvénykapcsolat, és ez utóbbi „ráadásul” gyorsan konvergáló hatványsorba fejthető, akkor a hibát a rendszámával is tudjuk jellemezni. f    a0  a1  a22  a33  ...

Megfontolások: 1. Jó műszerkonstrukció esetén kis  hibával számolhatunk 2. Gyors konvergencia esetén igaz, hogy n+1 « n Annak eldöntésében, hogy melyik hatványú összetevő hagyható el, a mérnöki tapasztalat segít. A hiba rendszámát a hatványsor még figyelembe vett tagjának kitevőjével adjuk meg. Alkalmazási példa: ABBE ELV Ki volt Ernst Abbe? Kapcsolata a Carl Zeiss-szel, és matematikai munkásságának hatása a tudományos műszerkonstrukció terén. Carl Zeiss máig ható szelleme: Tőkés magántulajdon helyett alapítványi forma minden Zeiss üzemben. Életen át tartó képzés, szociális háló.

Abbe elv Összehasonlító módszer, valamint közvetlen mérési stratégia esetén, a feladat megoldásához rendelkeznünk kell egy osztásos mércével. Abbe elve: A mérőberendezés konstrukciója legyen olyan, hogy a munkadarab mérendő mérete és az osztásos mérce egy egyenesbe essen. Szemléletes példája ezen elv érvényesülésének a vízszintes és függőleges Abbe komparátor. H7/g6 (f6) ~ 20 – 30 μm

F

Példa az Abbe elv be nem tartására (szükséghelyzet): Tolómérő

lh

Hibafüggvény (ok-okozat):

s

l  lh  h h  s  tg h

1 2   h  s     3   5  ... 3 15  

φ«1 az illesztés jóvoltából, ezért csak az első hatvány marad: A hiba elsőrendű.

l

56

2010.10.01.

DIGITÁLIS KIJELZÉSŰ MŰSZEREKEN LEOLVASOTT ÉRTÉKEK SZÓRÁSA Közvetett A/D konverzióval (átalakítással) dolgozó mérőeszközökre jellemző az un. digitális maradék-hiba, amelynek értéke 1 bit. A közvetlen A/D konverzió kvantálást (szintekhez rendelést) jelent mind az amplitúdó értékre, mind pedig az időre nézve (mintavételezés). A kvantálás miatt a jelszinteket egy adott tartományban azonos értékűnek vesszük, ebből következik, hogy egy kvantum teljes tartományában a tényleges érték végig azonos valószínűséggel léphet fel. x(t)

x*(t)

t

t

f(x) z

z

x(t) = x

xi-1

xi - z/2

xi + z/2

xi

xi+1

EGYENLETES ELOSZLÁS DISZKRÉT ESETBEN P  xi  

P(x) Diszkrét valószínűségi folyamat esetében (pl.: kockadobás) valamennyi elemi esemény bekövetkezésének valószínűsége azonos:

1 6

1/6 x 1

2

3

4

5

6

EGYENLETES ELOSZLÁS FOLYTONOS ESETBEN f(x) (b-a)-1

x

 1  a xb f ( x)   b  a   0  másként

F(x) 1

x a

b

57

2010.10.01.

FOYTONOS, EGYENLETES ELOSZLÁS STATISZTIKAI JELLEMZŐI Várható érték (átlag):

b

   x  f x dx  a



b

1 xdx b  a a

1 x2 b 1 b2  a2 b  a     ba 2 a ba 2 2

Variancia (szórásnégyzet): b

b

 2   f x ( x   ) 2 dx   f x x 2 dx   2 a

a 2

1  ab 1 ( a  b) 2 2 2  x dx  x  dx  ba 2  b  a a 4 a b

b

2 

1 x 3 b (a  b) 2 4b 3  4a 2  3(b  a )(a  b) 2    ba 3 a 4 12(b  a )

2 

4b 3  4a 3  3b 3  3a 2b  3ab 2  3a 3 b 3  3ab 2  3a 2b  a 3  12(b  a ) 12(b  a)

2 

(b 2  2ab  a 2 )(b  a) (b  a ) 2  12(b  a) 12

Alkalmazás digitális kijelzésű műszerekre:

A várható érték a kijelzett értékkel esik egybe:

ab M x   2 A szórás a legkisebb helyértéknek megfelelő digit ~29 %-a:

 x  

z z xi   xi  2 2 x i 2

ba z 1   z 12 12 2 3

A gyakorlatban egy digitális tolómérőre vonatkoztatva: Osztásköz: z=0,01 mm

sx 

0,01 1 0,005    3m 2 3 3

58

2010.10.01.

KALIBRÁLÁS Elkészült az új műszer! Milyen a karakterisztikája?

Ismeretlen a műszer… Régen volt már használatban a műszer…

Mi kalibrálás (K), és mi a hitelesítés (H)?

NEMZETKÖZI ETALON NEMZETI ETALON

leszármaztatás

OMH

visszavezetés

H REFERENCIA ETALON HASZNÁLATI ETALON

K

Legjobb eszköz az adott laborban

HASZNÁLATI ETALON

Mi kalibrálás, és mi a hitelesítés? Hitelesítés: Hatósági tevékenység, amelynek célja annak elbírálása, hogy a mérőeszköz megfelel-e a mérésügyi előírásoknak? Eredménye igen/nem. Csak az OMH és az akkreditált laboratóriumok végezhetik! Kalibrálás: Nem hatósági tevékenység, de elvben csak akkreditált laboratóriumok végezhetik. Azon tevékenységek összessége, amelyek során meghatározott feltételek mellett a használati etalon és a mérőeszköz közötti összefüggést keresik. Ennek eszköze a regresszió analízis. Célja lehet állapot-felmérés, vagy a műszerjellemzők meghatározása. Megj.: Régen a jusztírozást is kalibrálásnak tekintették, ez nem törvényes! A joghatással járó mérési tevékenység mindig visszavezethető és leszármaztatható: Példák: Orvosi méréstechnika, gépjármű sebességmérés, térfogat, tömeg, stb.

59

2010.10.01.

LINEÁRIS REGRESSZIÓ 1. LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE (GAUß) A diszkrét mérési pontok alapján ezzel a módszerrel akkor lehet közelítő függvényt keresni, ha az egyik változó mérése precízebben történhet, vagy pontosabban előírható. Ez általában a megfelelő gondossággal elvégzett kalibrálás esetén áll fenn, ha lineáris kapcsolatot feltételezünk. Xbe Ismert pontosságú műszeren leolvasott értékek

Fontos!

Xki Kalibrálandó műszeren leolvasott értékek

Mindkét változó véletlenszerű, tehát sztochasztikus változó. A közöttük lévő, véletlentől is függő kapcsolatot korrelációnak nevezzük. Ld.: következő dia

Megjegyzés: Ha mindkét változó jelentősebb ingadozást, bizonytalanságot mutat, akkor Wald módszere (néhai kolozsvári matematikus) ajánlott.

n

 i 1

2 i

Gauß ezt a módszert az alábbiak miatt javasolta: •a pontok száma miatt a feladat túlhatározott •a hiba változó előjelű (+,-) •szélsőérték kereshető (deriválás)

 min

Xki=y

x

+

yhi i-edik „helyes „érték

x x

yh,i

-

yi

δi

x x

yi

i-edik mért érték

δi

i-edik hiba

n

a kalibrációs lépések száma

x

Ismeretlen, elméleti (regressziós) függvény, itt: egyenes (lineáris kapcsolat)

Xbe=x xi

Adott „x”-hez tartozó „y” várható értékét „y” regressziójának nevezzük. 2 2 2

 n

i

   yi  yhi     yi  m  xi  b   min n

n

min: A feladat tehát szélsőérték keresés Megjegyzés: Ha a pontok nem egyenes köré csoportosulnak, akkor parabolikus, hiperbolikus, vagy exponenciális regressziót célszerű alkalmazni.

60

2010.10.01.

Szélsőérték keresés:    i2 n

m b 





  yi2  2 yi mxi  b   mxi  b 

2

n

m b 

 2 xi yi  2mxi2  2 xi b  0

∂ f/∂m:



0

 2 yi  2mxi  2b  0

∂ f/∂b:

azaz mxi  b  yi

azaz mx  bxi  xi yi 2 i

Az „m”-re és „b”-re megoldandó lineáris egyenletrendszer: m xi2  b xi   xi yi n

n

n

m xi  b  n   yi n

Vagy célszerűbben mátrixos alakban:

n

 xi2 n   xi  n

 x  m  x y   n   b    y     i i

i

n

n

i

n

 xi yi  m 1  n   M b    yi     n 

A keresett m és b paraméterek a mátrixegyenletből:

m és b meghatározása Cramer - szabállyal egyszerűbb, mint mátrixinvertálással! Lépések a Cramer - módszerrel: 2./ Számláló „m” esetében:

x y x n y i

i

n

i

n

i

3./ Számláló „b” esetében:

x x y  x y  xy x x y     2 i

 n xi yi   yi  xi n

2

  det M  n xi2    xi   M n  n 

1./

n

n

i i

2 i

n

i

n

n

n

n

i

i

n

i i

n

i

n

n

Végeredményül:

m

n xi yi   yi  xi n

n

n

  n xi2    xi  n  n 

2

b

x  y x y x 2 i

n

i

n

i i

n

  n xi2    xi  n  n 

i

n 2

A mért pontokból a számítások jól gépesíthetőek

61

2010.10.01.

2. WALD MÓDSZERE ALKALMAZÁSA: Ha mindkét változót azonos, vagy hasonló mértékű bizonytalanság terhel. ELJÁRÁS: 1. A mért érték párokat sorba rendezzük. Lehetőleg a mérési tartomány két végének környezetében végezzünk méréseket. A halmazt két részre osztjuk, és mindkét részhalmaz súlypontját képezzük. 2. A két súlypontot összekötve a regressziós egyenes meredekségét kapjuk. 3. A teljes halmaz „S” súlypontjának kiszámítása után a 2. pontban kapott egyenest az „S” súlypontba toljuk el.

y=xki S2 X

X

S S1 X

X=Xbe

62

2010.10.01.

A két részhalmaz súlypontjának meghatározása:

x1 

x2 

1 k xj k j1

y1 

n 1 xj n  k j k 1

y2 

A regressziós egyenes meredekségének számítása:

1 k  yj k j1

n 1 yj  n  k j k 1



y 2  y1 x 2  x1

A teljes halmaz súlypontján átmenő egyenes és az ordináta metszéspontja meghatározható:

1 n x  xj n j1

y yx 

Végül a regressziós egyenes egyenlete:

y  x  

Célunk annak megvizsgálása, hogy a mért xi és a hozzá tartozó yi értékek között van-e lineáris összefüggés?

KORRELÁCIÓ Átlagok:

1 n  yj n j1

x

x

i

y

n

y

i

n

n n A mért értékek és az átlaguk közötti különbségeket n-dimenziójú térben elhelyezve: X x1  x , x2  x ,... xn  x Y y1  y , y2  y ,... yn  y





 







 



A vektor-térben ugyanis egyszerűbb a kapcsolat értelmezése, mert ha a két vektor egymással φ szöget zár be, akkor a szög nagysága jellemezhetjük azt. A két vektor közötti hajlásszög cosinus-a -1 és +1 között mozoghat, ezt nevezzük „r” korrelációs faktornak. 1./ φ=90º, akkor nincs közöttük lineáris függés 2./ φ=0º, akkor van lin. kapcsolat, a két vektor egymásnak konstans szorzóval y=ax 3./ φ=180º, akkor van lin. kapcsolat, a két vektor között negatív konstans szorzóval y= - ax 4./ φ≈0º, ill. φ≈180º akkor lin. a kapcsolat, de van egy korrekciós tag „e” y= ax + e, ahol |e|→0

63

2010.10.01.

X  Y  X  Y  cos 

X és Y vektor szorzata:

1 

Behelyettesítve:

1 

X Y  cos   r  1 X Y

 x  x y  y  i

i

n

 x  x   y  y  2

2

i

 cos   r  1

i

n

n

Ha r=1, akkor a fenti egyenletből is megkaphatjuk a regressziós egyenes egyenletét. Kérdés, mekkora „a” értéke, ha φ=0º ?

X Y  1 X Y

A korreláció alapján

aX=Y

X Y Y  X

Y  aX 

X

X 

X Y X

2

a

azaz

Végül:

Y

X

másrészt

X

illetve

y

aX X



Y X

 x  x y  y  i

n

i

 x  x 

2

x  x y

i

n

A konfidencia és a korreláció kapcsolata az elemszám függvényében

64

MÉRÉSTECHNIKA (BMEGEMIAMG1) tantárgy oktatási rendje (2014. őszi félév) Kredit: 3 Követelmény: f (2 ea., 1 lab.) Hét

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Dátum

Időpont

Terem

szept. 11. szept. 18. szept. 25. okt. 2. okt. 9. okt. 16. okt. 23. okt. 30. nov. 6. nov. 13. nov. 20. nov. 27. dec. 4. dec. 11.

12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00 12:1514.00

KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX KF51 AUD.MAX

A tárgy előadója: A laborgyakorlatok felelősei:  

 

Előadás témája Bevezető. A mérési eredmény alakja A mérési tevékenység történelmi áttekintése, a modern mérésügy kialakulása és szervezetei. A metrológia szerepe a gépészetben. Példák. A mérés, mint modellalkotási folyamat. Mérőlánc felépítése, mérési eljárások (fizikai elvek és módszerek bemutatása mérőeszközök segítségével). Köztes mennyiségek szerepe. A mérés kivitelezése (működési módok és műszerek megválasztása). Hibák eredete és rendszerezése, hatásuk csökkentése. Érzékenység, feloldás, felbontás.

1956-os forradalom ünnepe A matematikai statisztika módszereinek alkalmazása a méréstechnikában. A valószínűség számítási módszerek alapjai a metrológiában. Rendszeres és véletlen hibák becslésének matematikai eszközei. Kalibrálás, lineáris regresszió. Közvetett mérés, hibaterjedés számítása. Műszerjellemzők időben állandó és időben változó mennyiségek mérésénél. Időben állandó mennyiségek közvetlen mérése. A legfontosabb passzív jelátalakítók rendszerezése és működésük ismertetése. Időben változó fizikai mennyiségek mérésének problémái idő-és frekvencia tartományban. Mérőláncok dinamikus jelátviteli tulajdonságai. Jelek rendszerezése, alapvető jeltípusok spektrumának meghatározása. A gépészetben alkalmazott digitális méréstechnika alapjai. Digitális hossz-és szögmérő rendszerek. Mintavételezés elve és megvalósítása, számítógépes mérőrendszerek alkalmazása.

ZH pót ZH Dr. Samu Krisztián, egy. docens Bojtos Attila, egy. tanársegéd Dr. Szabó Tibor, mestertanár

D ép. 428., [email protected] D ép. 416., bojtos@ mogi.bme.hu D ép. 418., [email protected]

Laborok időpontja és helye:

a laborok beosztása letölthető a tanszéki honlapról (www.mogi.bme.hu) a laborgyakorlatok helye: D. ép. 532. Az hat laborgyakorlat alkalmával maximálisan 60 pont gyűjthető össze. A félév végi ZH-n 60 pont érhető el. 1 db gyakorlat kihagyható (a pontszám 40%-a azonban követelmény!). A laborokon 2 alkalommal beugró ZH-t tartunk. Sikertelen beugró (40% alatt) esetén a gyakorlatot meg kell ismételni. A beugró ZH-s gyakorlatok pontszáma a beugró ZH eredményével súlyozott. Az aláírás és a félévközi jegy megszerzésének feltétele: A ZH eredménynek és a laborokon elért eredménynek is el kell érnie a 40%-os szintet. A félévközi jegy megállapítása: A félévközi jegy az ellenőrző zárthelyi dolgozaton és a laborgyakorlatokon elért eredmény alapján kerül meghatározásra. Érdemjegy az összes pontszám alapján: 40-55 % elégséges (2) 56-70 % közepes (3) 71-85 % jó (4) 86-100 % jeles (5)

Pontszámok és egyéb közlemények: http://www.mogi.bme.hu

Budapest, 2014. szeptember 8.

Dr. Samu Krisztián egyetemi docens

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék

1. mérés Finommechanikai alkatrész minősítése

Segédlet a Méréstechnika (BMEGEMIAMG1) Mérés, jelfeldolgozás, elektronika (BMEGEMIMG01) Műszertechnika (BMEGEFOAG02) tantárgyak laboratóriumi méréseihez

Budapest, 2014

Finommechanikai alkatrész minősítése

1

A mérés célja Az egyszerű, üzemi hossz- és szögmérő eszközök használatának megismerése, a mérethibák felismerése és értelmezése egy finommechanikai alkatrész minősítése során. Ezen alapvető mérőeszközök és a mérési eljárások megismerése különösen fontos a leendő mérnökök számára.

A mérés során használt eszközök és az elméleti háttér A mérnöki gyakorlatban a munkadarabok gyártási folyamatához hozzá tartozik a munkadarabok ellenőrzése, minősítése. Ennek során meg kell határozni, hogy megfelelnek-e a rájuk vonatkozó előírásoknak, pl. az előírt méreteknek és azok tűréseinek. A munkadarab összetettségétől, valamint az adott mérettől és tűréstől függően különféle mérőeszközök használata javasolt. Jelen mérés során a továbbiakban felsorolt eszközök szükségesek.

Tolómérő A tolómérő egy mechanikai elven működő hosszmérésre alkalmas eszköz, amelynek működése összehasonlító módszeren alapszik (a két fogalom együtt képezi a mérési eljárást). Az összehasonlítás esetünkben azt jelenti, hogy a munkadarab mérendő hosszát egy előre ismert etalon mérettel hasonlítjuk össze, ami jelen esetben a tolómérőn található skála. A tolómérővel nagyon gyorsan és egyszerűen, szinte bármilyen hosszméret mérhető (pl. oldalhossz, átmérő, üregmélység). Az eszköz kialakítástól függően általában 0,05 mm-es felbontással rendelkezik, ami digitális kijelzésű tolómérők esetén 0,01 mm is lehet. A tolómérőt leginkább gyors ellenőrző mérésekhez használják. A tolómérő fő részei az 1. ábrán, a tételek megnevezései az 1. táblázatban láthatóak. A tolómérő két részből áll: egy állórészből, és egy, ezen az állórészen hosszirányban elcsúsztatható, mozgórészből. Az állórészen található a rögzített mérőpofa (1) a főskálával (5), amely a mérés bázisát képzi. Ez az etalon hosszúság, amihez a munkadarab méretét lehet viszonyítani; általában milliméteres osztású. A tolómérő mozgórészén található a mellékskála (4), más néven a nóniusz, amellyel az 1 mm-nél nagyobb pontosságot igénylő méretek mérhetőek. Ez is az etalon része. Az állórész és a mozgórész közötti lineáris vezetést a vezetősín (8) biztosítja. A mozgatható mérőpofa (3) a tolókával (9) állítható. A tolókán lévő rögzítő csavarral (10) az aktuális pozíció fixálható. A csavar túlzott meghúzása a két rész egymásba feszülését okozhatja. A tolóka elcsúsztatásához a csavart fel kell lazítani. Egyes típusú tolómérőknél a tolókát laprugó szorítja az álló vezetékhez, csökkentve a kotyogást. Ha nincs laprugó, és a rögzítő csavar nincs teljesen kilazítva, akkor a tolóka kotyogni fog a sínen, aminek következtében már nagyon kicsi erőhatásokra is elmozdul, a mérés ugyancsak pontatlan lesz.

1. mérés: Finommechanikai alkatrész minősítése

1.

1. ábra: A tolómérő fő részei 1. táblázat: A tolómérő fő részeinek megnevezése

1 2 3 4 5 6

Rögzített mérőpofa Mérőfelületek külső méretekhez Mozgatható mérőpofa Mellékskála (nóniusz) Főskála Mérőfelületek mélységméréshez

7 8 9 10 11

Mélységmérő rúd Vezetősín Tolóka Rögzítő csavar Mérőfelületek belső méretekhez

Ha a tolómérő mérőpofáinak sík mérőfelületei illeszkednek egymáshoz, akkor a két skála nullpontja (referencia pontja) egybeesik, és a többi osztásvonal pozíciója eltér. A tolómérő felbontása megállapítható a mellékskálán lévő osztások számából.

A tolómérő leolvasása Legyen a tolómérő felbontása x, a főskála osztásköze (két osztása közötti távolság) pedig y. A gépészeti gyakorlatban általában, és a sillabuszban a továbbiakban y = 1 mm. Legyen az adott méret egészrésze a főskáláról leolvasható méret, és a törtrésze az, melynek meghatározásához ezen felül a mellékskálára, azaz a nóniuszra is szükség van. A nóniusz osztásközét úgy kell meghatározni, hogy azzal a főskála osztásánál kisebb, a műszer pontosságának (felbontásának) megfelelő méretek meghatározhatóak legyenek. Legyen a nóniusz osztásköze y  x  1  x , így a főskála i-edik osztásának a nullponttól vett távolsága iy  i , a nóniusz i-edik osztásának távolsága pedig i ( y  x)  i  ix . Ekkor, ha a két skála nullpontja egybeesik, a skálák i-edik osztásainak távolsága ix lesz (ld. 2. ábra).

2. ábra: A főskála és a mellékskála osztásközei


2.

Tehát a nóniuszt ix távolsággal eltolva annak i-edik osztása a főskála valamelyik osztásával biztosan egybe fog esni, és a nóniusz utolsó, n-edik osztása szintén egybeesik a főskála valamelyik osztásával. Így biztosított, hogy a felbontásnak megfelelő törtrészek mindegyike egyértelműen leolvasható legyen műszerről. A leolvasandó értéket az határozza meg, hogy a nóniusz hányadik osztása esik egybe a főskála valamely osztásával. A törtrészek leolvasása tehát független attól, hogy a nóniusz nullpontja a főskála nullpontjához képest hol helyezkedik el. A méret egyértelmű meghatározása érdekében a nóniuszt úgy célszerű kialakítani, hogy az n-edik osztása a főskála n-edik osztásától épp annak egy osztásközével legyen „lemaradva”, tehát a két skála n-edik osztásának távolsága megegyezzen a főskála y osztásközével. Ekkor az összes lehetséges törtrészt le lehet olvasni úgy, hogy a nóniusz nullpontja a főskálának ugyanazon két osztása között marad. Ezáltal nem csak a törtrészeket, hanem a teljes méretet is egyértelműen le lehet olvasni a műszerről. Miután a törtrész kiadódik abból, hogy a nóniusz melyik osztása esik egybe a főskála egy osztásával, a méret egészrésze a főskálának azon értéke lesz, amelyiket a nóniusz nullpontja éppen „elhagyta”. Teljesüljön tehát a két skála n-edik osztása közötti távolságra, hogy nx  y  1 . Ebből az n  1/ x összefüggés adódik a nóniusz osztásainak darabszáma és a műszer felbontása között.

A nóniusz osztásközét növelni szokás a könnyebb leolvasás érdekében. Jelölje ennek mértékét az a skálázási paraméter. Ennek nagysága tervezői döntés, így szabadon választható, de a főskála osztásközének egész számú többszörösének kell lennie. Ekkor az egyértelmű leolvashatóságra vonatkozó összefüggések egyike sem sérül. A nóniusz osztásköze a  y  x  a  1  x lesz, az i-edik osztások távolsága a nullponttól i (a  y  x)  i (a  1)  ix . Ha az a skálázási paraméter az y egész számú többszöröse, akkor

ez azt jelenti, hogy a nóniusz i-edik osztása a főskála i (a  y)  i (a  1) -edik osztásával esik egybe. Tehát ebben az esetben, figyelembe véve, hogy a méretet az határozza meg, hogy a nóniusz hányadik osztása esik egybe a főskála egy osztásával, a leolvasás eredményét a nem befolyásolja. Ha a nem y egész számú többszöröse, akkor a skálák egymáshoz képesti eltolódása a fentiekhez képest „sérül” és új megfontolást igényel. (A nóniusz bővítése nélkül a korábbi levezetés a  0 -val értelmezhető). Jelen mérés során használt tolómérőre a következő konkrét értékek vonatkoznak: y  1 mm a főskála osztása, x  0,05 mm a műszer pontossága. Tehát a nóniusznak n  1/ x  20 db osztása van. A skálázási paraméter a  1 mm , így a nóniusz osztásköze a  y  x  1,95 mm . A nóniusz teljes hossza n (a  y  x)  39 mm , tehát ha a két skála nullpontja egybeesik, akkor a nóniusz utolsó osztása a főskála 39 mm-es osztásával esik egybe. Mérnöki gyakorlatban egy másik jellemzően előforduló tolómérőtípus adatai: y  1 mm a főskála osztása, x  0,1 mm a műszer pontossága. Tehát a nóniusznak n  1/ x  10 db osztása van. A skálázási paraméter a  1 mm , így a nóniusz osztásköze a  y  x  1,90mm . A nóniusz teljes hossza n (a  y  x)  19 mm , tehát ha a két skála nullpontja egybeesik, akkor a nóniusz utolsó osztása a főskála 19 mm-es osztásával esik egybe.


3.

A 3. ábrán látható méret leolvasása: A nóniusz nullpontja a főskála 24 és 25 értékei között áll, az egészrész tehát 24 y  24 mm . A nóniusz 5-ös osztása esik leginkább egybe a főskála osztásaival, így a méret törtrésze 10 x  10  0,05  0,50 mm . A teljes méret M  24  0,50  24,50 mm .

3. ábra: Példa tolómérő leolvasásához

Egyszerű hosszmérés során a munkadarabot mindig két mérőfelület közé kell befogni és rögzíteni. Ez a tolóka segítségével történik, azaz a mérőpofák mérőfelületét rá kell tolni a munkadarabra. Fontos, hogy a mérőfelületeket ne nyomjuk túlságosan össze, mert ilyenkor az erőhatás miatt billen a tolóka és szöghiba keletkezik, ami elsőrendű hibának minősül! A szöghiba okozója az Abbe-elv1 be nem tartása. Az Abbe-elv kimondja, hogy a mérőberendezés konstrukciója legyen olyan, hogy a munkadarab mérendő mérete és az osztásos mérce egy egyenesbe essen. Ez az elv a tolómérő esetében a konstrukció geometria-, illetve az összeszorító erő okozta deformációk miatt nem teljesül. Ezek ellenére mérés közben törekedni kell arra, hogy az Abbe-elv hiánya minél kevésbé érvényesülhessen. Pl. figyelni kell arra, hogy a mérendő munkadarab a lehető legközelebb essen a tolómérő szárához, illetve az összeszorító erő ne okozzon kotyogást vagy befeszülést. A tolómérővel külső méreteket (pl. hengerátmérő) a (2), belső méreteket (pl. furatátmérő) a (11), mélységet a (6) mérőfelületekkel és a mélységmérő rúddal (7) lehet mérni. A 4. ábrán egy-egy ilyen mérési illusztráció látható.

4. ábra: Mélység, külső és belső méretek mérése tolómérővel 1

ERNST KARL ABBE (1840. január 23. – 1905. január 14.) német matematikus, fizikus, egyetemi tanár. Abbe nevét leginkább optikai munkássága tette ismertté. Kevesen tudják, de Abbe vezette be először a napi nyolc órás munkarendet a Carl Zeiss Optikai Műveknél, mely vállalatnak igazgatója és társtulajdonosa volt. 1866-ban Carl Zeiss felkérte Abbét néhány komolyabb optikai probléma megoldására, mely a mikroszkóp lencsék készítése során merült fel. Kezdetben a kísérletek Zeisst az üzleti csőd közelébe sodorták, de ő nem vesztette el bizalmát Abbéban, aki végül is sikerrel birkózott meg a feladattal. A Zeiss műhely ettől kezdve piacvezető lett a szakmában, és viharos fejlődésnek indult. Zeiss úgy ismerte el Abbe érdemeit, hogy bevette társnak az üzletbe. 1868-ban feltalálta az apokromatikus lencserendszert a mikroszkóp számára. Ez a jelentős áttörés a mikroszkópok elsődleges és másodlagos torzítását is képes kiküszöbölni.


4.

Ipari szögmérő Az ipari szögmérő egy mechanikai elven működő hegyes- illetve tompaszögek, valamint áttételesen homorú szögek mérésére alkalmas eszköz, amelynek működése összehasonlító módszeren alapszik (a két fogalom együtt képezi a mérési eljárást).

5. ábra: Az ipari szögmérő fő részei 2. táblázat: Az ipari szögmérő fő részeinek megnevezése

1 2 3 4

Rögzített mérőszár Forgó mérőszár Ház Forgó tárcsa

5 6 7 8

Főskála Nagyító (lupe) Mellékskála (nóniusz) Állító és rögzítő csavarok

Az eszköz két mérőszárral rendelkezik, melyek közül a rögzített mérőszár (1) a házhoz (3) rögzített és a műszer körgyűrű alakú főskáláját (5) tartalmazza. Ennek a mérőtárcsának a forgássszimmetria tengelye egybe esik az ugyancsak körlap alakú ház forgásszimmetria tengelyével, amely körül a forgó tárcsa (4) képes a hozzá rögzített, forgó mérőszárral (2) és a mellékskálával (7) együtt elfordulni. A skálák egymással koncentrikus köröket alkotnak és a főskála nullpontja az álló mérőszárra merőleges. Ha a két mérőszár 180°-os szöget zár be egymással, akkor a két skála nullpontja egybe esik. A mérés során a szögmérő két szárát a mérendő szöget alkotó idomra kell fektetni úgy, hogy a munkadarab és a szögmérő felfekvő szárai között minél kisebb, egyenletes fényrés alakuljon ki. Ekkor a mérendő szöget a két skála egymáshoz képesti elfordulása adja meg.


5.

6. ábra: Mérés ipari szögmérővel, mérősíkkal

A mérés kiértékelése a fő és mellékskála együttes leolvasásával történik. A szögmérőre a referenecia pont fölött egy nagyító (6), más néven lupe van felszerelve. A nagyító a leolvasási pont körüli területet felnagyítja, így az eredmény könnyebben olvasható le.

7. ábra: Főskála, mellékskála és a lupe

Legyen az adott méret egészrésze a főskáláról leolvasható méret, és a törtrésze az, aminek meghatározásához ezen felül a mellékskálára, azaz a nóniuszra is szükség van. A mozgórészen négy főskála található. Az első skála (0°-90°) végét jelző 90° a második skála kezdete, tehát a skála értékei rendre 0°-tól 90°-ig növekednek, majd 90°-tól 0°-ig csökkennek. Ismert, hogy egy hegyesszög (tompaszög) kiegészítő szöge 180°-ra egészíti ki a tompaszög (hegyesszög) szöget. Így ha a mérés során a leolvasási tartományban a főskála értékei az óramutató járásával megegyező irányban csökkennek, lényegében a kiegészítő szög értékét lehet leolvasni. A főskála 1°, a mellékskála (nóniusz) pedig 5ʹ osztású. Emlékeztetőül 1° = 60ʹ (fokperccel). 1. mérés: Finommechanikai alkatrész minősítése

6.

Ahogy a főskálán, úgy a nóniuszon is két irányban olvashatók le az értékek, a nóniuszt mindig a főskála aktuális leolvasási irányában kell leolvasni. A nóniusznak azon skálavonalához tartozó értékét kell venni, amelyik leginkább egybeesik egy főosztásbeli vonallal. Ez határozza meg a méret törtrészét. Az egészrészt a főskála azon osztása adja meg, amely a referenciapontot a leolvasás irányában épp elhagyta. A 8. ábrán látható méret leolvasása: A főskála értékei az óramutató járásával megegyező irányban csökkennek, tehát leolvasott érték a vizsgált méret kiegészítő szöge és nóniusznak is a baloldali értékeit kell vizsgálni. A nóniusz nullpontja a főskála 52° és 53° osztása között áll, így az egészrész 52°. A nóniusznak leginkább a 35ʹ-os osztása (hatodik osztása) esik egybe a főskála osztásaival, így a méret törtrésze 35ʹ. A leolvasott méret tehát m  52 35 . Ebből a vizsgált méret m 180 52 35  127 25 .

8. ábra: Példa ipari szögmérő leolvasásához

Kengyeles mikrométer A kengyeles mikrométer egy precíziós hosszmérő műszer, amely mechanikai elven működik és összehasonlító módszeren alapszik. Az elmozdulást a menetes mérőorsó segítségével szögelfordulássá alakítja át. A szögelfordulás az orsó menetemelkedésének ismeretében vezethető vissza a mért távolságra. A leolvasási pontossága nagyobb, mint a hagyományos tolómérőé, ez az érték általában 0,01 mm (bizonyos mikrométerek 0,001 mm felbontásúak is lehetnek). Fontos megjegyezni, hogy az 1 μm-es felbontás az elérhető legjobb érték mechanikai és elektromechanikai mérőeszközöknél a mai műszaki fejlettség mellett. Az 1 μm-nél finomabb felbontást már csak optikai úton, a fény hullámhosszának segítségével lehet megbízhatóan elérni. Kengyeles mikrométerrel történő mérés során a mérendő munkadarabot két, egymással párhuzamos (síkra munkált) mérőfelület közé kell befogni és rögzíteni. 1. mérés: Finommechanikai alkatrész minősítése

7.

9. ábra: Kengyeles mikrométer állvánnyal.

A mérési elvből következik, hogy a kengyeles mikrométer pontosságát nagymértékben befolyásolja a mérőfelületek síkpárhuzamossága és a munkadarab felületi érdessége. Fontos, hogy a mérőfelületek ne legyenek túlságosan összeszorítva, mert ilyenkor az erőhatás miatt a munkadarab és (a kengyel kihajlása következtében) a mérőfelületek deformálódhatnak, így akár 30 μm-es eltérések is létrejöhetnek. Ennek csökkentésére a kengyeles mikrométerek orsója erőt határoló engedő megakasztással, más néven racsnival (6) van ellátva. A kengyeles mikrométert gyakran állványon rögzítik, azért, hogy a mérés sokkal egyszerűbb legyen és a mérési bizonytalanságok is csökkenjenek.

10. ábra: A kengyeles mikrométer fő részei 3. táblázat: A kengyeles mikrométer fő részeinek megnevezése

1 2 3 4 5

Mérőülék Keményfém mérőpofa Mérőorsó Skálahüvely (a főskálával) Skáladob (a mellékskálával)

6 7 8 9 10


Racsni Referencia vonal Orsórögzítő Kengyel Szigetelés 8.

A kengyeles mikrométer lényegében egy precíziósan megmunkált csavarból, a skálahüvelyből (4) és az anyából, skáladobból (5) áll. A munkadarabot a mérés során a mérőülékhez (1) rögzített keményfém mérőpofák (2) közé kell rögzíteni, amely során a racsnis szárat forgatva a mérőorsóval (3) érintőfogást kell venni rajta. A kengyeles mikrométereket, a tolómérőkhöz hasonlóan rögzítő szerkezettel, azaz orsórögzítővel (8) is ellátják, hogy a beállított méret a leolvasásig ne változhasson. A mikrométereket a kengyel (9) részüknél a forgatógomb (12) segítségével kell rögzíteni a talapzatba (11). A kengyelen általában kemény polimer szigetelés (10) van, amelyet az állvány befogó pofái (13) két oldalról beszorítanak.

11. ábra: A kengyeles mikrométer állvány fő részei 4. táblázat: Az állvány fő részeinek megnevezései

11 Talapzat, a befogó forgatásához kiképzett vezetékkel 12 Forgatógomb 13 Befogó pofák

A mikrométer leolvasása Legyen a mikrométer felbontása x, főskála osztásköze pedig y. A gépészeti gyakorlatban általában, és a sillabuszban a továbbiakban y = 0,5 mm. Legyen az adott méret egészrésze a főskáláról leolvasható méret, és a törtrésze az, aminek meghatározásához ezen felül a mellékskálára is szükség van. A mellékskála osztásközét úgy kell meghatározni, hogy azzal a főskála osztásánál kisebb, a műszer pontosságának (felbontásának) megfelelő méretek meghatározhatóak legyenek. Legyen az x pontosságnak megfelelő elfordulás α. Ha a mellékskála nullpontja illeszkedik a mérőhüvelyen található referenciavonalhoz, a leolvasandó méret megegyezik a főskála valamelyik osztásának megfelelő mérettel. Ha ehhez képest a skáladob iα szöggel elfordul, a mellékskála i-edik osztása fog a mérőhüvelyen található referenciavonalhoz illeszkedni. Ez a főskálán ix elmozdulást jelent. 1. mérés: Finommechanikai alkatrész minősítése

9.

A méret egyértelmű meghatározása érdekében a mérőorsót úgy célszerű kialakítani, hogy a skáladob 360°-os elforgatása pontosan egy osztásköznyi elmozdulásnak feleljen meg a főskála mentén, tehát a mérőorsó menetemelkedése megegyezzen a főskála y osztásközével. Ekkor az összes lehetséges törtrészt le lehet olvasni úgy, hogy a mellékskála nullpontja a főskálának ugyanazon két osztása között marad. Ezáltal nem csak a törtrészeket, hanem a teljes méretet is egyértelműen meg lehet határozni a műszer segítségével. Miután a törtrész kiadódik abból, hogy a mellékskála melyik osztása esik egybe a referenciavonallal, a méret egészrésze a főskálának azon értéke lesz, amelyiket a mellékskála éppen „elhagyta”. A mellékskála osztásainak n darabszámát tehát úgy kell meghatározni, hogy két szomszédos osztása közötti elfordulás a főskálán a műszer pontosságát adja ki. Teljesüljön tehát, hogy a mellékskála n-edik elfordulása egy teljes kör, ami a főskálán y elmozdulásnak felel meg, tehát nx  y  0,5 mm . Ebből az n  0,5 / x összefüggés adódik a mellékskála osztásainak darabszáma és a műszer felbontása között. A könnyebb leolvasás érdekében az y osztásközű főskálát szokás két 2y osztásközű skálával megjeleníteni, amelyek egymáshoz képest y eltolással a referenciavonal két oldalán találhatóak. Jelen mérés során használt mikrométerre a következő konkrét értékek vonatkoznak: y  0,5 mm a főskála osztása és a mérőorsó menetemelkedése, x  0,01 mm a műszer pontossága. Tehát a nóniusznak n  y / x  50 db osztása van. A 12. ábrán látható méret leolvasása: A főskálán a fenti osztások közül az utolsó látható osztás a 23 mm-hez tartozó egész. Az alsó (fél milliméteres) osztások közül pedig látszik még egy, ez azt jelenti, hogy a főskáláról leolvasott méret 23,50 mm lesz. A mellékskála 28-as osztása esik egybe a referenciavonallal, a méret törtrésze 28x  28  0,01  0, 28 mm . A teljes méret M  23,50  0, 28  23,78 mm .

12. ábra: Példa kengyeles mikrométer leolvasására


10.

Mérőóra csúcsbakkal A csúcsbakos (1) mérőórával (3) és állvánnyal (7) alapvetően forgásszimmetrikus alkatrészek vizsgálhatóak. A vízszintes szánon (6) rögzített, egymással szembefordított támasztó csúcsok (8) ideális esetben egy vízszintes tengelyt jelölnek ki. A talapzathoz tartozó menetes oszlopon (4) lévő tartószár (5) rögzíti a mérőórát, amit úgy kell pozícionálni, hogy a mérőóra tapintója függőleges legyen, és a képzeletbeli hossztengelye metssze el a csúcsbakok által kijelölt egyenest. A megfelelő beállítások a rögzítő csavarokkal (2) és (10) hozhatók létre. Csúcsbakos mérőeszköz használatakor fontos, hogy az egytengelyűségi hiba minél kisebb legyen, erre szolgál a csúcs finomállító (9). A mérendő, forgásszimmetrikus alkatrészt úgy kell a két bak közé befogni, hogy annak forgástengelye egybeessen a bakok által kijelölt tengellyel. Nem szabad túlságosan a bakokkal összeszorítani az alkatrészt, mert a fellépő erő deformációkat okozhat. A mérőóra nullázását követően a munkadarabot a bakok között körbeforgatva a mérőóra az adott szöghelyzethez tartozó, kezdőponttól való eltérését mutatja. A csúcsbak mérőórával ezen mérés során az excentricitás mérésére szolgál.

13. ábra: A csúcsbakos mérőóra fő részei 5. táblázat: A csúcsbakos mérőóra fő részeinek megnevezése

1 2 3 4 5

Csúcsbak Mérőóra rögzítő Mérőóra Menetes oszlop Mérőóra tartószára

6 7 8 9 10


Szán Állvány Támasztó csúcs Csúcs finomállító Rögzítő csavarok 11.

A mérési feladat 1. A mérés célja  Hossz- és szögmérő eszközök használatának megismerése  Mérethibák felismerése és értelmezése 2. A mérés során használandó eszközök     

Tolómérő Mérőóra csúcsbakkal Kengyeles mikrométer állvánnyal Ipari szögmérő Mérősík

3. A végrehajtandó feladatok  A mérés elvégzése  A méretek értékelése  Az alkatrész minősítése 4. A mérés elvégzése  Ismerkedjen meg a munkaállomáson található mérőeszközök kezelésével! Rögzítse a jegyzőkönyvben a mérőeszközök mérési tartományát, valamint felbontását (osztását) az Általános irányelveket összefoglaló segédletben megadott módon!  Mérje le a kiválasztott munkadarabhoz tartozó műszaki rajzon jelölt összes méretet! Minden méretet háromszor mérjen le, két mérés között a mérőeszközt helyezze alapállapotba, majd mérje újra az adott méretet!  Az excentricitás méréséhez használja az Általános irányelveket összefoglaló segédletet!  Amennyiben közvetett mérési eljárást alkalmaz, a jegyzőkönyvben adjon meg mérési vázlatot, amely tartalmazza a munkadarab megfelelő részletét (a géprajz szabályainak betartásával), valamint a szükséges mellékszámításokat. A vázlatokat a hozzátartozó méret sorszámával jelölje! 5. A méretek értékelése  Az adatokat (összesen 18 db méretet) az alábbi minta alapján készített táblázatba rögzítse: Előírt méret (tűréssel) [mm]

Mérőeszköz

Leolvasott érték [mm] 1. mérés 2. mérés 3. mérés

Mérési eredmény [mm]

Minősítés

1. 2.

 A mérési eredmény megadásakor ügyeljen arra, hogy a három mérési adat átlagát a használt mérőeszköz mérési pontosságának nagyságrendjére kerekítse! (A szükséges kerekítési szabályokat megtalálja az Általános irányelveket összefoglaló segédletben)  Miután összevetette a mérési eredményt az előírt mérettel, értékelje a méretet „megfelelt”vagy „nem felelt meg” minősítéssel!


12.

6. Az alkatrész minősítése  Az összes méret ellenőrzése után gondolja át, hogy a nem megfelelő méretek közül melyek javíthatóak illetve nem javíthatóak. Értékelje ennek megfelelően a méreteket „javítható” illetve „nem javítható” minősítéssel! Hivatkozzon a méretek sorszámaira!  Vonja le a végkövetkeztetést a mérés alapján, hogy a mért alkatrész „megfelelt”, „nem felelt meg, de javítható” vagy „nem felelt meg”! A jegyzőkönyvet a laborfoglalkozás végén a laborvezetőnek adja át, miután meggyőződött arról, hogy megfelel a jegyzőkönyvvel szemben támasztott formai és tartalmi követelményeknek!

Készítette: Budai Csaba, Manhertz Gábor, Urbin Ágnes Budapest, 2014. augusztus 1. mérés: Finommechanikai alkatrész minősítése

13.


2. mérés Hosszmérés finomtapintóval

Segédlet a Méréstechnika (BMEGEMIAMG1) Mérés, jelfeldolgozás, elektronika (BMEGEMIMT01) Műszertechnika (BMEGEFOAG02) tantárgyak laboratóriumi méréseihez

Budapest, 2014

Hosszmérés finomtapintóval

2

A mérés célja A mérés célja a különbségi mérési módszer és a mérési sorozat fogalmának megismerése egy hengeres munkadarab átmérőjének nagy pontosságú mérésén keresztül. A mérés további célja a mérési eredményt befolyásoló összetevők számításának (hibaszámítás) tanulmányozása, valamint ezek alkalmazása a mérési eredmény helyes felírása során.

A mérés során használt eszközök Azok a mérőeszközök, amelyek 10-200 mm közötti hosszméretet 0,1 µm felbontás mellett képesek mérni rendkívül költésegesek. Az ilyen típusú feladatok megoldására egy alternatív mérési módszer a különbségi módszer alkalmazása, amely során pl. ±1..2 mm mérési tartományú és 0,1 µm felbontású finomtapintót alkalmaznak egy referencia mérőhasáb készlet és egy mérőállvány segítségével.

Mérési sorozat fogalma A mérési sorozat egyetlen munkadarabon, ugyanazon méret, ugyanazon körülmények közötti és ugyanazon eszközökkel történő ismételt mérését jelenti. Ezen mérés során a vizsgált méret egy görgő átmérője. A mérési sorozat fogalma nem összekeverendő a sorozatmérés fogalmával. Sorozatmérés során adott számú munkadarabon kell ellenőrizni ugyanazt a méretet.

Kengyeles mikrométer A kengyeles mikrométer egy precíziós hosszmérő műszer, amely mechanikai elven működik és összehasonlító módszeren alapszik. Az elmozdulást a menetes mérőorsó segítségével szögelfordulássá alakítja át. A szögelfordulás az orsó menetemelkedésének ismeretében vezethető vissza a mért távolságra. A leolvasási pontossága nagyobb, mint a hagyományos tolómérőé, ez az érték általában 0,01 mm (bizonyos mikrométerek 0,001 mm felbontásúak is lehetnek). Fontos megjegyezni, hogy az 1 μm-es felbontás az elérhető legjobb érték mechanikai és elektromechanikai mérőeszközöknél a mai műszaki fejlettség mellett. Az 1 μm-nél finomabb felbontást már csak optikai úton, a fény hullámhosszának segítségével lehet megbízhatóan elérni. Kengyeles mikrométerrel történő mérés során a mérendő munkadarabot két, egymással párhuzamos (síkra munkált) mérőfelület közé kell befogni és rögzíteni.

2. mérés: Hosszmérés finomtapintóval

1.

1. ábra: Kengyeles mikrométer állvánnyal.

A mérési elvből következik, hogy a kengyeles mikrométer pontosságát nagymértékben befolyásolja a mérőfelületek síkpárhuzamossága és a munkadarab felületi érdessége. Fontos, hogy a mérőfelületek ne legyenek túlságosan összeszorítva, mert ilyenkor az erőhatás miatt a munkadarab és (a kengyel kihajlása következtében) a mérőfelületek deformálódhatnak, így akár 30 μm-es eltérések is létrejöhetnek. Ennek csökkentésére a kengyeles mikrométerek orsója erőt határoló engedő megakasztással, más néven racsnival (6) van ellátva. A kengyeles mikrométert gyakran állványon rögzítik, azért, hogy a mérés sokkal egyszerűbb legyen és a mérési bizonytalanságok is csökkenjenek.

2. ábra: A kengyeles mikrométer fő részei 1. táblázat: A kengyeles mikrométer fő részeinek megnevezése

1 2 3 4 5

Mérőülék Keményfém mérőpofa Mérőorsó Skálahüvely (a főskálával) Skáladob (a mellékskálával)


6 7 8 9 10

Racsni Referencia vonal Orsórögzítő Kengyel Szigetelés 2.

A kengyeles mikrométer lényegében egy precíziósan megmunkált csavarból, a skálahüvelyből (4) és az anyából, skáladobból (5) áll. A munkadarabot a mérés során a mérőülékhez (1) rögzített keményfém mérőpofák (2) közé kell rögzíteni, amely során a racsnis szárat forgatva a mérőorsóval (3) érintőfogást kell venni rajta. A kengyeles mikrométereket, a tolómérőkhöz hasonlóan rögzítő szerkezettel, azaz orsórögzítővel (8) is ellátják, hogy a beállított méret a leolvasásig ne változhasson. A mikrométereket a kengyel (9) részüknél a forgatógomb (12) segítségével kell rögzíteni a talapzatba (11). A kengyelen általában kemény polimer szigetelés (10) van, amelyet az állvány befogó pofái (13) két oldalról beszorítanak.

3. ábra: A kengyeles mikrométer állvány fő részei 2. táblázat: Az állvány fő részeinek megnevezései

11 Talapzat, a befogó forgatásához kiképzett vezetékkel 12 Forgatógomb 13 Befogó pofák

A mikrométer leolvasása Legyen a mikrométer felbontása x, főskála osztásköze pedig y. A gépészeti gyakorlatban általában, és a sillabuszban a továbbiakban y = 0,5 mm. Legyen az adott méret egészrésze a főskáláról leolvasható méret, és a törtrésze az, aminek meghatározásához ezen felül a mellékskálára is szükség van. A mellékskála osztásközét úgy kell meghatározni, hogy azzal a főskála osztásánál kisebb, a műszer pontosságának (felbontásának) megfelelő méretek meghatározhatóak legyenek. Legyen az x pontosságnak megfelelő elfordulás α. Ha a mellékskála nullpontja illeszkedik a mérőhüvelyen található referenciavonalhoz, a leolvasandó méret megegyezik a főskála valamelyik osztásának megfelelő mérettel. Ha ehhez képest a skáladob iα szöggel elfordul, a mellékskála i-edik osztása fog a mérőhüvelyen található referenciavonalhoz illeszkedni. Ez a főskálán ix elmozdulást jelent. 2. mérés: Hosszmérés finomtapintóval

3.

A méret egyértelmű meghatározása érdekében a mérőorsót úgy célszerű kialakítani, hogy a skáladob 360°-os elforgatása pontosan egy osztásköznyi elmozdulásnak feleljen meg a főskála mentén, tehát a mérőorsó menetemelkedése megegyezzen a főskála y osztásközével. Ekkor az összes lehetséges törtrészt le lehet olvasni úgy, hogy a mellékskála nullpontja a főskálának ugyanazon két osztása között marad. Ezáltal nem csak a törtrészeket, hanem a teljes méretet is egyértelműen meg lehet határozni a műszer segítségével. Miután a törtrész kiadódik abból, hogy a mellékskála melyik osztása esik egybe a referenciavonallal, a méret egészrésze a főskálának azon értéke lesz, amelyiket a mellékskála éppen „elhagyta”. A mellékskála osztásainak n darabszámát tehát úgy kell meghatározni, hogy két szomszédos osztása közötti elfordulás a főskálán a műszer pontosságát adja ki. Teljesüljön tehát, hogy a mellékskála n-edik elfordulása egy teljes kör, ami a főskálán y elmozdulásnak felel meg, tehát nx  y  0,5 mm . Ebből az n  0,5 / x összefüggés adódik a mellékskála osztásainak darabszáma és a műszer felbontása között. A könnyebb leolvasás érdekében az y osztásközű főskálát szokás két 2y osztásközű skálával megjeleníteni, amelyek egymáshoz képest y eltolással a referenciavonal két oldalán találhatóak. Jelen mérés során használt mikrométerre a következő konkrét értékek vonatkoznak: y  0,5 mm a főskála osztása és a mérőorsó menetemelkedése, x  0,01 mm a műszer pontossága. Tehát a nóniusznak n  y / x  50 db osztása van. A 12. ábrán látható méret leolvasása: A főskálán a fenti osztások közül az utolsó látható osztás a 23 mm-hez tartozó egész. Az alsó (fél milliméteres) osztások közül pedig látszik még egy, ez azt jelenti, hogy a főskáláról leolvasott méret 23,50 mm lesz. A mellékskála 28-as osztása esik egybe a referenciavonallal, a méret törtrésze 28x  28  0,01  0, 28 mm . A teljes méret M  23,50  0, 28  23,78 mm .

4. ábra: Példa kengyeles mikrométer leolvasására


4.

A finomtapintó és a mérőhasáb készlet A különbségmérés egy állványba befogott finomtapintóval történik, amelynek felbontása 0,0001 mm (100 nm). A finomtapintó működése induktív fizikai mérési elven alapul. Az ilyen kis méretekben már a legkisebb szennyeződés is komoly eltérést okozhat az eredményben, amelynek kiküszöbölése cérnakesztyű használatával történik.

5. ábra: A finomtapintó fő részei 3. táblázat: A finomtapintó fő részeinek megnevezése

1 2

Mérendő munkadarab Tapintócsúcs

3 4

Finomtapintó-rögzítő fej Forgató gomb

A mérés megkezdéséhez a mérendő munkadarabot (1) a finomtapintó tapintócsúcsa (2) alá kell helyezni. A finomtapintó egy hasított, alumínium hüvelybe, az ún. finomtapintó-rögzítő fejbe (3) van befogva, amelynek állítására a forgatógomb (4) szolgál.

6. ábra: A finomtapintóhoz tartozó digitális feldolgozó és kijelző egység


5.

A finomtapintó által szolgáltatott villamos jel – a mérőláncon keresztül – a digitális kijelzőn jelenik meg. Bekapcsolást (a berendezés hátulján található kétállású kapcsolóval) követően a LOAD gomb megnyomásával a műszer alaphelyzetbe áll. A méréshez szükséges referencia felvételét a ZERO gombbal lehet elvégezni, amely után a kijelző a referenciához képesti különbséget jeleníti majd meg.

7. ábra: A mérőhasáb készlet

A mérés során az etalon szerepét a mérőhasáb készletből összeállított etalonkombináció látja el. A hasábkészlet elemei nagy pontossággal (akár pár tíz nanométer feloldással) kimunkált elemek, és hitelesítési bizonyítvánnyal is rendelkeznek. Megfogásuk kizárólag cérnakesztyűvel történhet! A mérés során használt eszközök a finomtapintó állvánnyal, a hosszmérő műszer digitális kijelzővel, a mérőhasáb készlet, és a mikrométer.

8. ábra: A mérési összeállítás

Hibaszámítás Gyártás során az alkatrészek méretei az ideális, előírt mérettől valamilyen mértékben mindig eltérnek. Ennek okai a gyártási és szerelési pontatlanságok lehetnek. Ezért a tervezés során definiálni kell egy olyan, az előírt méret körüli tartományt, amelyen belül a munkadarab el tudja látni a funkcióját és szükséges pontossággal gyártható. Ez a tartomány a tűrés vagy tűrésmező, melynek előírása egyben meghatározza az alkatrész készítéséhez szükséges gyártási folyamatokat is. Tehát a gyártás során az elkészült méretek az előírt méret körüli, a használt technológiától függő tartományban, valamekkora valószínűséggel fognak megjelenni. 2. mérés: Hosszmérés finomtapintóval

6.

Ahogy a gyártásból adódnak bizonytalanságok, magát a mérést is terhelik hibák. Ezekkel a mérés tervezésekor számolni kell és figyelembe kell venni a kiértékeléskor, valamint az eredmény megadásakor. A mérnöki gyakorlatban előforduló mérések eredménye két tényezőből áll: a méret várható értékéből és a bizonytalanságból. A várható érték legjobb becslése a vizsgált értékek átlaga. A bizonytalanság alapvetően kétféleképpen határozható meg: A típusú és/vagy B típusú becsléssel. A típusú becslés esetén, az un. a posteriori ismeretek alapján, jellemzően a mért adatok statisztikai feldolgozásával határozható meg a mérési bizonytalanság. A mérnöki gyakorlatban a Gauss-féle normáleloszlást feltételezve a bizonytalanság becslése szórásbecslésre vezethető vissza. B típusú becslés esetén un. a priori ismeretek, azaz korábban megszerzett információk, tapasztalatok (pl. katalógus adatok, műszerkönyvek) alapján becsülhető a bizonytalanság. Ha a mérést un. rendszeres hiba terheli, a vizsgált méret valódi értéke a várható érték legjobb becslésétől (azaz a mért adatok alapján számított értékek átlagától) eltér. Ilyen esetben a mérési eredmény y  x  H  U általános alakban értelmezhető, ahol x a mért adatok alapján számított értékek átlaga, H a rendszeres hiba és U pedig a kiterjesztett mérési bizonytalanság. Az alábbi ábrán az eredményben szereplő tagok jelentése látható:

9. ábra: Az eredmény megadásának összetevői

Tehát, az eredmény alakja a következő:

y  x  H  U   M  xa    xe  Dc   k u  u .


7.

A mérési feladat végrehajtása és a szükséges elméleti háttér A mérés megkezdésékor a kengyeles mikrométer segítségével fel kell venni a munkadarab névleges átmérőjét, ezzel egyfajta becslés kapható a munkadarab méretéről, ez méret az M  névleges méret. A különbségi mérés alapjául szolgáló referencia mérőhasábokból állítható össze. Az így kapott etalonkombináció M magassága a névleges méret közelítő értéke. A használt mérőhasábok méreteinek összege adja az M méretet. A mérés során rögzíteni kell, hogy az etalon kombinációt mely mérőhasábok alkotják. Az etalonkombinációt legalább kettő, de a lehető legkevesebb, k db mérőhasábból kell összeállítani, ugyanis a hasábok felületi hibái, mint érdesség, hullámosság stb. összeadódnak, így több hasáb esetén a mérés pontatlansága nő. Az összeállított etalonkombinációt a tapintócsúcs alá helyezve végezhető a referencia szint felvétele (ZERO gomb). A finomtapintó nagyon érzékeny műszer, fokozott óvatossággal kell kezelni; a tapintócsúcs mozgatása az emelővillával történjen! A mérés során egyszer kell nullázni, ugyanis a többszörös nullázás nullponti hibát okoz. A referencia felvétele után a munkadarab xa átmérőjét kell lemérni n  10 alkalommal. A mérés eredményei az xa,i értékek, ahol i = 1..n. Ezután az etalonkombináció magasságának referenciához képesti xe eltérését kell mérni szintén n  10 alkalommal. A mérés eredményei az xe,i értékek, ahol i = 1..n. A két mérési sorozat xa,i és xe,i értékeit táblázatos formában kell rögzíteni. A munkadarab és az etalonkombináció mérése során kapott xa,i és xe,i értékek alapján ki kell számítani az átlagot xa 

1 n 1 n , x  x xe,i ,  a ,i e n  n i 1 i 1

és a korrigált tapasztalati szórást

 a ,n 1 

2 2 1 n 1 n   x xe  xe,i  .  x ,      e , n 1 a a ,i n  1 i 1 n  1 i 1

A munkadarab méretének várható értékének legjobb becslése a mért értékek átlaga, amely figyelembe véve, hogy különbségi mérést hajtottunk végre x  M  xa .

A mérést terhelő eredő rendszeres hiba H  xe  Dc ,

ahol Dc a használt mérőhasábok átlagos mérethibáiból (central deviation) származó rendszeres hiba. Amely k

Dc   dci , i 1

ahol dci az adott i-edik mérőhasábhoz tartozó átlagos mérethiba, amelyet a mérőhasáb készlet gyártója közöl (jellemzően μm-ben), k pedig a használt mérőhasábok darabszáma. Tehát a Dc érték az etalonkombinációban használt mérőhasábok táblázatban szereplő dc értékeinek előjeles összege. 2. mérés: Hosszmérés finomtapintóval

8.

Az U kiterjesztett mérési bizonytalanság

U  ku  x  , ahol k a megbízhatósági szint faktora. Kalibrációs laborokban végzett munkák esetén a javasolt érték k = 2, azaz a becslés ajánlott megbízhatósági szintje P = 95%. Az

u  x   u  u bizonytalanság két tényezőből áll: a felhasznált műszerek szórásszerű bizonytalanságainak u négyzetösszegéből, valamint az y modellfüggvényben szereplő un. bemenő (mért) mennyiségek mért adataiból számított szórások u négyzetösszegéből. A mérőrendszerből eredő u (szórásszerű) bizonytalanság k

u   M2   K2  T2   i2 . i 1

A mérés során használt finomtapintó (műszer)  M bizonytalansága a műszerkönyv szerint

 M  0,1 µm. A mérési bizonytalanság egy további tényezője az analóg-digitális átalakításból adódó  K hiba, a kvantálási hiba. Ennek értéke a digitális kijelzőn megjeleníthető legkisebb d  0,0001 mm érték (LSB, least significant bit) ismeretében megállapítható, tehát

K 

d 12

.

Jelen mérés során a k db mérőhasábból álló etalonkombináció i-edik elemének átlagos  i szórása elhanyagolható. (Általában szintén adatlapi paraméter) A mérőhasábok Tc  20 °C kalibrálási hőmérsékletétől eltérő hőmérsékleten végrehajtott mérés esetén a hőtágulásból adódó  T bizonytalansággal azonban számolni kell, amely

T  M T  , ahol T  Tl  Tc , Tl a mérőszoba hőmérséklete,    h   m ,  h a mérőhasáb-  m a munkadarab hőtágulási együtthatóinak bizonytalansága, jelen mérés során

  1,5 106

o

μm . C  mm

A modellfüggvényben szereplő un. bemenő (mért) mennyiségekből adódó

u   a2,n1   e2,n1 bizonytalanságot jelen mérés során az alkatrész mérésekor adódó

 a ,n1

és az

etalonkombináció mérésekor adódó  e,n 1 szórások négyzetösszege adja meg. A számítások során ügyeljen a megfelelő mértékegységek használatára! 2. mérés: Hosszmérés finomtapintóval

9.

A mérési feladat 1. A mérés célja  A különbségi mérési elv megismerése  A mérési sorozat fogalmának megismerése  Hibaszámítás gyakorlása 2. A mérés során használandó eszközök    

Kengyeles mikrométer állvánnyal Mérőhasáb készlet Finomtapintó állvánnyal Digitális kijelző

3. A végrehajtandó feladatok  A mérés előkészítése  A mérés elvégzése és kiértékelése 4. A mérés előkészítése  Ismerkedjen meg a munkaállomáson található mérőeszközök kezelésével! Rögzítse a jegyzőkönyvben a mérőeszközök mérési tartományát, valamint felbontását (osztását) az Általános irányelveket összefoglaló segédletben megadott módon!  Állapítsa meg a munkadarab névleges átmérőjét a kengyeles mikrométerrel!  Állítson össze egy, a névleges méretnek megfelelő mérőhasáb kombinációt! (A mérőhasábokat kizárólag cérnakesztyűben fogja meg!)  Állítsa be a mérés referenciapontját a mérőhasáb kombináció segítségével! („ZERO”) 5. A mérés elvégzése és kiértékelése  Mérje meg tízszer a munkadarab átmérőjét!  Mérje meg tízszer az etalonkombináció magasságát!  Végezze el a sillabuszban megadott számításokat! (Használja a munkaállomáson elhelyezett segédletet)  Adja meg a mérési eredmény általános alakját! A mérési eredményt a mérőeszköz mérési pontosságának nagyságrendjére kerekítse! (A szükséges kerekítési szabályokat megtalálja az Általános irányelveket összefoglaló segédletben) A jegyzőkönyvet a laborfoglalkozás végén a laborvezetőnek adja át, miután meggyőződött arról, hogy megfelel a jegyzőkönyvvel szemben támasztott formai és tartalmi követelményeknek!

Készítette: Budai Csaba, Manhertz Gábor, Urbin Ágnes Budapest, 2014. augusztus 2. mérés: Hosszmérés finomtapintóval

10.


3. mérés Sorozatmérés digitális kijelzésű mérőórával


Budapest, 2014

Sorozatmérés digitális kijelzésű mérőórával

3

A mérés célja A sorozatmérés fogalmának megismerése, valamint mérési adatok gyűjtése digitális kimenetű mérőórához csatlakoztatott adatgyűjtő processzor segítségével. A mérés további célja a különféle statisztikai paraméterek meghatározása és értelmezése után a gyártmány minősítése.

A mérés során használt eszközök és az elméleti háttér A mérnöki gyakorlatban a munkadarabok gyártási folyamatához hozzá tartozik a munkadarabok ellenőrzése, minősítése. Tipikusan sorozatgyártásban készülő termékek esetén, nincs lehetőség egy gyártmány összes darabjának ellenőrzésére (pl. csapszegek, csavaranyák stb.). Ekkor a gyártmányból mintát kell venni, és a minősítési feladatnak megfelelő statisztikai vizsgálatok alapján lehet minősíteni a gyártmányt.

Sorozatmérés fogalma Sorozatmérés során adott számú munkadarabon kell ellenőrizni ugyanazt a méretet. Ezen mérés során harminc darab tűgörgő átmérőjének mérése történik digitális kijelzésű mérőórával. A sorozatmérés fogalma nem összekeverendő a mérési sorozat fogalmával. A mérési sorozat egyetlen munkadarabon, ugyanazon méret, ugyanazon körülmények közötti és ugyanazon eszközökkel történő ismételt mérését jelenti.

Digitális kijelzésű mérőóra

1. ábra: A mérés elrendezése. Jobbra a mérőóra az állvánnyal, balra a mérési adatgyűjtő

3. mérés: Sorozatmérés digitális kijelzésű mérőórával

1.

1. táblázat: A mérőóra fő részei

1 2 3 4 5

Állvány Mérőóra LCD kijelző Műanyag emelőkar Tárgyasztal

6 7 8 9 10

Rögzítő persely Tapintó Tapintócsúcs Csatlakozó kábel Adatgyűjtő processzor

A mérőóra (2) a tapintócsúcs (8) elmozdulását kapacitív mérőléc segítségével alakítja át analóg villamos, majd digitális jellé. A mért értéket LCD kijelzőjén (3) jeleníti meg. A mérőóra a tárolt adatot a megfelelő kommunikációs protokollon keresztül továbbítja az adatgyűjtő processzornak (10). Maga a mérőóra a rögzítő perselyén (6) keresztül egy állványba (1) rögzített. Minden mérés előtt fontos, hogy definiálva legyen egy megfelelő referenciapont, melyben a mérőóra nulla állásban van. Ez célszerűen az állvány vízszintes, sík felülete, a tárgyasztal (5) lehet. A referencia beállítása után a készüléket a ZERO gombbal lehet nullázni. A mérés különbségi elven történik, a beállított referencia ponthoz képest a tapintó (7) új helyzete adja meg a munkadarab vizsgált méretét. Nullázás után a tapintót a műanyag emelőkarral (4) óvatosan fel kell emelni, majd a mérendő munkadarabot aláhelyezni. Ezután engedhető vissza a tapintó, ügyelve, hogy a tapintó mozgatása ne legyen túl gyors, mert elállíthatja a készülék nullpontját, és ez hibát okozhat. A mérőóra mellett található a mérőórához csatlakoztatott adatgyűjtő. A mérőóra által kijelzett aktuális értéket az adatgyűjtő DATA gombjának lenyomásával eltárolja. Az adatgyűjtő processzor akár tízezer mérési adat rögzítésére is alkalmas, amelyekkel különböző statisztikai műveleteket képes végrehajtani (pl.: átlag- és szórásszámítás). Ezek a függvények az eszköz STAT gombjának lenyomásával érhetők el. A számítások elvégzése után az adatgyűjtőbe épített hőnyomtató a mért értékeket, a számított statisztikai paramétereket, valamint a hisztogramot hőpapírra nyomtatja. Az adatgyűjtő a memóriában tárolt adatok összességéből számítja a statisztikai paramétereket, ezért fontos, hogy egy új mérés megkezdésekor az adatgyűjtő processzor memóriája üres legyen (a memória ürítése a CL gomb megnyomásával történhet).


2.

2. ábra: A mérőóra és az állvány fő részei 2. táblázat: A mérőóra fő részei

1 2 3

mérőóra megvezető orsó szárrögzítő csavar

4 5 6

mérőórát tartó szár talapzat mérőórát rögzítő csavar

Szórás becslése a terjedelemből A szórás becslése történhet a sorozatból képzett részsorozatok terjedelmeinek átlagából. Fontos megjegyezni, hogy a módszer csak akkor ad elfogadható közelítést, ha a tíznél nem kisebb elemszámú sorozat több egyforma és tíznél nem nagyobb elemszámú részsorozatra bontódik fel. Ha m db részsorozat készült, részsorozatonként n számú xi mérési adattal, akkor első lépésben a részsorozatok terjedelmét kell meghatározni Ri  xi ,max  xi ,min

összefüggéssel, ahol i a részsorozatok indexe, xi ,max és xi ,min a mért értékek legnagyobb és legkisebb eleme, R pedig a terjedelem. Második lépésként az R átlagos terjedelmet kell meghatározni R

1 m  Ri . m i 1


3.

Végül meg kell becsülni a szórást az átlagos terjedelem alapján

SR  A  n  R , ahol S R a becsült tapasztalati szórás, A(n) a részsorozatok elemszámától függő állandó, melynek értékét táblázatból kell kiválasztani. A mérési feladat során k  3 és n  10 értékek jellemzőek. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A(n) 0,89 0,59 0,49 0,43 0,40 0,37 0,35 0,34 0,32

A tűrésmező Gyártás során az alkatrészek méretei az ideális, előírt mérettől valamilyen mértékben mindig eltérnek. Ennek okai gyártási és szerelési pontatlanságok lehetnek. Ezért a tervezés során definiálni kell egy olyan, az előírt méret körüli tartományt, amelyen belül a munkadarab el tudja látni a funkcióját és szükséges pontossággal gyártható. Ez a tartomány a tűrés vagy tűrésmező, melynek előírása egyben meghatározza az alkatrész készítéséhez szükséges gyártási folyamatokat is. Tehát a gyártás során az elkészült méretek az előírt méret körüli, a használt technológiától függő tartományban fognak valamekkora valószínűséggel megjelenni. Ahogy a gyártásból adódnak bizonytalanságok, magát a mérést is terhelik hibák. Ezekkel a mérés tervezésekor számolni kell és figyelembe kell venni a kiértékeléskor, valamint az eredmény megadásakor. A mérnöki gyakorlatban előforduló mérések eredménye két tényezőből áll: a méret várható értékéből és a bizonytalanságból. Az M ( x) , vagy  várható érték legjobb becslése a vizsgált értékek átlaga. A bizonytalanság alapvetően kétféleképpen határozható meg: A típusú és/vagy B típusú becsléssel. Az A típusú becslés esetén, az un. a posteriori ismeretek alapján, jellemzően a mért adatok statisztikai feldolgozásával határozható meg a mérési bizonytalanság. A mérnöki gyakorlatban a Gauss-féle normáleloszlást feltételezve a bizonytalanság becslése szórásbecslésre vezethető vissza. B típusú becslés esetén un. a priori ismeretek, azaz korábban megszerzett információk, tapasztalatok (pl. katalógus adatok, műszerkönyvek) alapján becsülhető a bizonytalanság. Mivel becslésről van szó, az eredmény csak bizonyos valószínűséggel határozható meg, ami meghatározza a konfidencia szintet. Az alkalmazott gyártási folyamatok akkor megfelelőek, ha megadott konfidencia szint mellett, az ellenőrzött méret adatainak tapasztalati szórása alapján meghatározott a sugarú konfidencia intervallum ( M ( x)  a ) az előírt tűrésmezőn belül helyezkedik el. 3. mérés: Sorozatmérés digitális kijelzésű mérőórával

4.

A

p  P ( x  a  xi  x  a)

konfidencia szint

azt

határozza meg, hogy mekkora

valószínűséggel esik majd a méret az adott intervallumba. Az iparban a konfidencia szint jellemzően p  95% , esetleg p  99,73% . Méréstechnikai ellenőrzéseknél a feladat adott konfidencia szint mellett összehasonlítani a becsült várható értéket és bizonytalanságot az előírt mérettel és tűréssel. A Gauss-féle normál eloszlás tulajdonságai alapján ismert, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó adott P valószínűséggel (adott p valószínűségi vagy konfidencia szinten) a várható érték körüli ( x  k ) tartományon belül lesz. Ez a tartomány a konfidencia intervallum és k az adott konfidencia szint faktora. A 3. ábrán látható, hogy p= 95 % esetén k  2 p=99,73 % esetén k  3 , 99,9994 % esetén k  4 , a bizonytalanság pedig rendre 2 , 3 és 4 .

3. ábra: Adott konfidencia szintekhez tartozó bizonytalanságok

Minőségképességi indexek Gyártási folyamatokban illetve a gyártóberendezéseken a megkívánt minőségszint tarthatóságáról a minőségképesség rendszeres figyelése ad képet. A minőségképesség egy adott folyamat során elérhető és egyenletesen tartható minőségi szintet mutatja meg. Attól függően, hogy egy folyamat vagy egy gép minőségképességét (Process Capability és Machine Capability) szükséges meghatározni rendre a Cp és Cm minőségképességi indexek, ún. alap indexek használatosak. Ezek számításakor a vizsgált mennyiség bizonytalanságának terjedelmét (Gauss-féle normál eloszlást feltételezve a szórás 2k-szorosát) kell a tűrésmező nagyságához hasonlítani függetlenül attól, hogy a méret várható értéke eltér-e a névleges mérettől.


5.

Szimmetrikus tűrésmező esetén

Cp 

USL  LSL USL  LSL és Cm  , 2k p   n 1 2km   n1

ahol USL (Upper Specification Limit) az előírt tűrésmező felső határa, LSL (Lower Specification Limit) az előírt tűrésmező alsó határa és  n 1 korrigált tapasztalati szórás. A gyakorlatban Cp számítása esetén k p  3 , Cm számítása esetén km  4 . Az alap indexeknél többet mondanak a folyamatról a korrigált indexek (Cpk és Cmk – az indexben szereplő k a korrekció szóra utal), amelyek a vizsgált méret várható értékének a névleges mérettől való eltolódását is figyelembe veszi. Szimmetrikus tűrésmező esetén  USL  x x  LSL  USL  x x  LSL   ; C pk  min  ; .  és Cmk  min    km   n 1 km   n 1   k p   n 1 k p   n 1   Ha a vizsgált méret várható értéke és a névleges méret megegyezik, akkor C p  C pk . Ha a vizsgált méret várható értéke és a névleges méret eltér egymástól, akkor a Cpk definíciójában szereplő két hányados közül – a várható érték névleges mérettől való eltolódásának irányától függően – az egyik számlálója csökken, ezért C pk  C p . A gyakorlatban minőségképességi indexekkel szemben támasztott követelmény, hogy értékük legalább 1,00 legyen. Ha ezen érték pontosan C pk  1,00 , akkor a mérési adatok alapján számított konfidencia intervallum és az előírt tűrésmező egybeesik. A 4. ábrán előírt tűrésmezőkre és számított konfidencia intervallumokra vonatkozó minőségképességi indexek láthatóak.


6.

4. ábra: Tűrésmezők, konfidencia intervallumok és a hozzájuk tartozó minőségképességi indexek.

A Cp, Cpk indexek használata az ipari gyakorlatban annyira elterjedt, hogy a legtöbb helyen kizárólag ezeket a számokat használják a minőségképesség-elemzés során. Ez különösen akkor helytelen, ha a folyamatok nem szabályozottak, mert ekkor a Cp, Cpk indexek nem az egész folyamatra, hanem csak az adott mintára jellemzőek. Ez akkor is jelentkezhet, ha a folyamat viszonylag stabil, de nem veszünk elég nagyszámú mintát. Ha 1 millió db termékből pl. 2700 termék mérete a tűrésmezőn kívül esik, akkor a hibaarány Pe  0, 27% (2700 ppm, parts per million), valamint 997300 db termék a tűrésmezőn belülre esik, azaz a gyártmány 99,73%-os valószínűséggel megfelel. Ebben az esetben a megbízhatósági szint faktora k  3 , azaz USL  M  3 n1 és LSL  M  3 n1 . Ha továbbá a vizsgált méret M várható értéke és a névleges méret megegyezik, akkor USL  LSL M  3 n 1  ( M  3 n 1 ) 6 n 1 Cp     1, 00 . 2k p   n1 2  3   n1 6 n1 Ha 1,33 Cp index például 63,5 ppm, 1,67-es érték pedig már csak 0,57 ppm hibaarányt jelent.


7.

A mérési feladat 1. A mérés célja  A sorozatmérés fogalmának megismerése  Statisztikai paraméterek meghatározása, azok értelmezése  A gyártmány minősítése 2. A mérés során használandó eszközök  Digitális kijelzésű mérőóra állvánnyal  Adatgyűjtő processzor 3. A végrehajtandó feladatok  A mérés elvégzése  A gyártmány minősítéséhez szükséges számítások elvégzése  A mérési eredmény megadása, a gyártmány minősítése 4. A mérés elvégzése  Ismerkedjen meg a munkaállomáson található mérőeszközök kezelésével! Rögzítse a jegyzőkönyvben a mérőeszközök mérési tartományát, valamint felbontását (osztását) az Általános irányelveket összefoglaló segédletben megadott módon!  Győződjön meg arról, hogy az adatgyűjtő processzor memóriája üres, értelmezze az adatgyűjtő processzor által meghatározott mérési tartományt! Határozza meg a referenciapontot, amelyen nullázza a mérőórát! („ZERO”)  Mérje meg a mérőhelyen található 30 db tűgörgő átmérőjét! (Minden méretet egyszer kell lemérni)  FIGYELEM! Ha a rögzített méret kívül esik az adatgyűjtő processzorban rögzített mérési tartományon, akkor nyomtatáskor egy „▲” vagy „▼” jel jelenik meg a méret mellett. Csak a mérési tartományon belüli méretek tekinthetők helyesnek, a „rossz” méreteket a „CE” gombbal törölje, majd mérje újra a munkadarabot! 5. A gyártmány minősítéséhez szükséges számítások elvégzése  A 30 db (helyes) méret felvétele után nyomtassa ki az adatgyűjtő processzor által számított statisztikai paraméterek értékeit („STAT”), ezt mellékletként csatolja a jegyzőkönyvhöz!  Definiáljon 3 db 10 adatból álló részsorozatot és azok terjedelméből adjon meg egy becsült értéket a szórásra! (A szükséges kerekítési szabályokat megtalálja az Általános irányelveket összefoglaló segédletben)  Írja le, nevezze meg és értelmezze az adatgyűjtő processzor által számított paramétereket! (Használja a munkaállomáson elhelyezett segédletet is)  Vesse össze az adatgyűjtő processzor által számított szórást a becsült szórással!


8.

6. A mérési eredmény megadása, a gyártmány minősítése  A mérések alapján adja meg a gyártmány méretét 99,73%-os valószínűségi szinten! (Használja az Általános irányelveket összefoglaló segédletet)  Hasonlítsa össze a kapott eredményt a névleges mérettel (használja az Általános irányelveket összefoglaló segédletet) és minősítse a gyártmányt!  A adatgyűjtő processzor által számított folyamatképességi indexek segítségével mutassa meg, hogy az előírt tűrésmező és a számított konfidencia intervallum milyen viszonyban állnak egymással (a névleges középérték és maga a tartomány eltolódása)!  Amennyiben a gyártmány nem felelt meg az előírt méretnek, adjon javaslatot új méretre! A jegyzőkönyvet a laborfoglalkozás végén a laborvezetőnek adja át, miután meggyőződött arról, hogy megfelel a jegyzőkönyvvel szemben támasztott formai és tartalmi követelményeknek!

Készítette: Budai Csaba, Manhertz Gábor, Urbin Ágnes Budapest, 2014. augusztus 3. mérés: Sorozatmérés digitális kijelzésű mérőórával

9.


4. mérés Kúpszög mérése


Budapest, 2014

Kúpszög mérése

4

A mérés célja Kúpszög mérésére alkalmas metódusok megismerése. A különböző mérési eljárások összevetése a kapott eredmények alapján.

A mérés során használt eszközök és az elméleti háttér A kúpszögön a kúp alaplapjára merőleges, az alapkör egy átmérőjét tartalmazó síkmetszetére illeszkedő két alkotó által bezárt szöget értjük. Ezt a szöget az 1. ábrán  szöggel jelöljük.

1. ábra: A kúpszög definíciója

A számított eredményeket minden esetben fok, szögperc alakban adja meg.

Tolómérő A tolómérő egy mechanikai elven működő hosszmérésre alkalmas eszköz, amelynek működése összehasonlító módszeren alapszik (a két fogalom együtt képezi a mérési eljárást). Az összehasonlítás esetünkben azt jelenti, hogy a munkadarab mérendő hosszát egy előre ismert etalon mérettel hasonlítjuk össze, ami jelen esetben a tolómérőn található skála. A tolómérővel nagyon gyorsan és egyszerűen, szinte bármilyen hosszméret mérhető (pl. oldalhossz, átmérő, üregmélység). Az eszköz kialakítástól függően általában 0,05 mm-es felbontással rendelkezik, ami digitális kijelzésű tolómérők esetén 0,01 mm is lehet. A tolómérőt leginkább gyors ellenőrző mérésekhez használják. A tolómérő fő részei az 2. ábrán, a tételek megnevezései az 1. táblázatban láthatóak. A tolómérő két részből áll: egy állórészből, és egy, ezen az állórészen hosszirányban elcsúsztatható, mozgórészből. Az állórészen található a rögzített mérőpofa (1) a főskálával (5), amely a mérés bázisát képzi. Ez az etalon hosszúság, amihez a munkadarab méretét lehet viszonyítani; általában milliméteres osztású. A tolómérő mozgórészén található a mellékskála (4), más néven a nóniusz, amellyel az 1 mm-nél nagyobb pontosságot igénylő méretek mérhetőek. Ez is az etalon része. Az állórész és a mozgórész közötti lineáris vezetést a vezetősín (8) biztosítja. A mozgatható mérőpofa (3) a tolókával (9) állítható. A tolókán lévő rögzítő csavarral (10) az aktuális pozíció fixálható. A csavar túlzott meghúzása a két rész egymásba feszülését okozhatja. A tolóka elcsúsztatásához a csavart fel kell lazítani. Egyes típusú tolómérőknél a tolókát laprugó szorítja az álló vezetékhez, csökkentve a kotyogást. Ha nincs laprugó, és a rögzítő csavar nincs teljesen kilazítva, akkor a tolóka kotyogni fog a sínen, aminek következtében már nagyon kicsi erőhatásokra is elmozdul, a mérés ugyancsak pontatlan lesz. 4. mérés: Kúpszög mérése

1.


1 2 3 4 5 6


7 8 9 10 11





4. mérés: Kúpszög mérése

2.



ez azt jelenti, hogy a nóniusz i-edik osztása a főskála i (a  y)  i (a  1) -edik osztásával esik egybe. Tehát ebben az esetben, figyelembe véve, hogy a méretet az határozza meg, hogy a nóniusz hányadik osztása esik egybe a főskála egy osztásával, a leolvasás eredményét a nem befolyásolja. Ha a nem y egész számú többszöröse, akkor a skálák egymáshoz képesti eltolódása a fentiekhez képest „sérül” és új megfontolást igényel. (A nóniusz bővítése nélkül a korábbi levezetés a  0 -val értelmezhető). Jelen mérés során használt tolómérőre a következő konkrét értékek vonatkoznak: y  1 mm a főskála osztása, x  0,05 mm a műszer pontossága. Tehát a nóniusznak n  1/ x  20 db osztása van. A skálázási paraméter a  1 mm , így a nóniusz osztásköze a  y  x  1,95 mm . A nóniusz teljes hossza n (a  y  x)  39 mm , tehát ha a két skála nullpontja egybeesik, akkor a nóniusz utolsó osztása a főskála 39 mm-es osztásával esik egybe. Mérnöki gyakorlatban egy másik jellemzően előforduló tolómérőtípus adatai: y  1 mm a főskála osztása, x  0,1 mm a műszer pontossága. Tehát a nóniusznak n  1/ x  10 db osztása van. A skálázási paraméter a  1 mm , így a nóniusz osztásköze a  y  x  1,90mm . A nóniusz teljes hossza n (a  y  x)  19 mm , tehát ha a két skála nullpontja egybeesik, akkor a nóniusz utolsó osztása a főskála 19 mm-es osztásával esik egybe.


3.

A 4. ábrán látható méret leolvasása: A nóniusz nullpontja a főskála 24 és 25 értékei között áll, az egészrész tehát 24 y  24 mm . A nóniusz 5-ös osztása esik leginkább egybe a főskála osztásaival, így a méret törtrésze 10 x  10  0,05  0,50 mm . A teljes méret M  24  0,50  24,50 mm .


Egyszerű hosszmérés során a munkadarabot mindig két mérőfelület közé kell befogni és rögzíteni. Ez a tolóka segítségével történik, azaz a mérőpofák mérőfelületét rá kell tolni a munkadarabra. Fontos, hogy a mérőfelületeket ne nyomjuk túlságosan össze, mert ilyenkor az erőhatás miatt billen a tolóka és szöghiba keletkezik, ami elsőrendű hibának minősül! A szöghiba okozója az Abbe-elv1 be nem tartása. Az Abbe-elv kimondja, hogy a mérőberendezés konstrukciója legyen olyan, hogy a munkadarab mérendő mérete és az osztásos mérce egy egyenesbe essen. Ez az elv a tolómérő esetében a konstrukció geometria-, illetve az összeszorító erő okozta deformációk miatt nem teljesül. Ezek ellenére mérés közben törekedni kell arra, hogy az Abbe-elv hiánya minél kevésbé érvényesülhessen. Pl. figyelni kell arra, hogy a mérendő munkadarab a lehető legközelebb essen a tolómérő szárához, illetve az összeszorító erő ne okozzon kotyogást vagy befeszülést. A tolómérővel külső méreteket (pl. hengerátmérő) a (2), belső méreteket (pl. furatátmérő) a (11), mélységet a (6) mérőfelületekkel és a mélységmérő rúddal (7) lehet mérni. Az 5. ábrán egy-egy ilyen mérési illusztráció látható.

5. ábra: Mélység, külső és belső méretek mérése tolómérővel 1



4.

Ipari szögmérő Az ipari szögmérő egy mechanikai elven működő hegyes- illetve tompaszögek, valamint áttételesen homorú szögek mérésére alkalmas eszköz, amelynek működése összehasonlító módszeren alapszik (a két fogalom együtt képezi a mérési eljárást).

6. ábra: Az ipari szögmérő fő részei 2. táblázat: Az ipari szögmérő fő részeinek megnevezése

1 2 3 4

Rögzített mérőszár Forgó mérőszár Ház Forgó tárcsa

5 6 7 8

Főskála Nagyító (lupe) Mellékskála (nóniusz) Állító és rögzítő csavarok

Az eszköz két mérőszárral rendelkezik, melyek közül a rögzített mérőszár (1) a házhoz (3) rögzített és a műszer körgyűrű alakú főskáláját (5) tartalmazza. Ennek a mérőtárcsának a forgássszimmetria tengelye egybe esik az ugyancsak körlap alakú ház forgásszimmetria tengelyével, amely körül a forgó tárcsa (4) képes a hozzá rögzített, forgó mérőszárral (2) és a mellékskálával (7) együtt elfordulni. A skálák egymással koncentrikus köröket alkotnak és a főskála nullpontja az álló mérőszárra merőleges. Ha a két mérőszár 180°-os szöget zár be egymással, akkor a két skála nullpontja egybe esik. A mérés során a szögmérő két szárát a mérendő szöget alkotó idomra kell fektetni úgy, hogy a munkadarab és a szögmérő felfekvő szárai között minél kisebb, egyenletes fényrés alakuljon ki. Ekkor a mérendő szöget a két skála egymáshoz képesti elfordulása adja meg.


5.

7. ábra: Mérés ipari szögmérővel, mérősíkkal

A mérés kiértékelése a fő és mellékskála együttes leolvasásával történik. A szögmérőre a referenecia pont fölött egy nagyító (6), más néven lupe van felszerelve. A nagyító a leolvasási pont körüli területet felnagyítja, így az eredmény könnyebben olvasható le.

8. ábra: Főskála, mellékskála és a lupe

Legyen az adott méret egészrésze a főskáláról leolvasható méret, és a törtrésze az, aminek meghatározásához ezen felül a mellékskálára, azaz a nóniuszra is szükség van. A mozgórészen négy főskála található. Az első skála (0°-90°) végét jelző 90° a második skála kezdete, tehát a skála értékei rendre 0°-tól 90°-ig növekednek, majd 90°-tól 0°-ig csökkennek. Ismert, hogy egy hegyesszög (tompaszög) kiegészítő szöge 180°-ra egészíti ki a tompaszög (hegyesszög) szöget. Így ha a mérés során a leolvasási tartományban a főskála értékei az óramutató járásával megegyező irányban csökkennek, lényegében a kiegészítő szög értékét lehet leolvasni. A főskála 1°, a mellékskála (nóniusz) pedig 5ʹ osztású. Emlékeztetőül 1° = 60ʹ (fokperccel). 4. mérés: Kúpszög mérése

6.

Ahogy a főskálán, úgy a nóniuszon is két irányban olvashatók le az értékek, a nóniuszt mindig a főskála aktuális leolvasási irányában kell leolvasni. A nóniusznak azon skálavonalához tartozó értékét kell venni, amelyik leginkább egybeesik egy főosztásbeli vonallal. Ez határozza meg a méret törtrészét. Az egészrészt a főskála azon osztása adja meg, amely a referenciapontot a leolvasás irányában épp elhagyta. A 9. ábrán látható méret leolvasása: A főskála értékei az óramutató járásával megegyező irányban csökkennek, tehát leolvasott érték a vizsgált méret kiegészítő szöge és nóniusznak is a baloldali értékeit kell vizsgálni. A nóniusz nullpontja a főskála 52° és 53° osztása között áll, így az egészrész 52°. A nóniusznak leginkább a 35ʹ-os osztása (hatodik osztása) esik egybe a főskála osztásaival, így a méret törtrésze 35ʹ. A leolvasott méret tehát m  52 35 . Ebből a vizsgált méret m 180 52 35  127 25 .

9. ábra: Példa ipari szögmérő leolvasásához

Mérőóra csúcsbakkal A csúcsbakos (1) mérőórával (3) és állvánnyal (7) alapvetően forgásszimmetrikus alkatrészek vizsgálhatóak. A vízszintes szánon (6) rögzített, egymással szembefordított támasztó csúcsok (8) ideális esetben egy vízszintes tengelyt jelölnek ki. A talapzathoz tartozó menetes oszlopon (4) lévő tartószár (5) rögzíti a mérőórát, amit úgy kell pozícionálni, hogy a mérőóra tapintója függőleges legyen, és a képzeletbeli hossztengelye metssze el a csúcsbakok által kijelölt egyenest. A megfelelő beállítások a rögzítő csavarokkal (2) és (10) hozhatók létre. Csúcsbakos mérőeszköz használatakor fontos, hogy az egytengelyűségi hiba minél kisebb legyen, erre szolgál a csúcs finomállító (9). A mérendő, forgásszimmetrikus alkatrészt úgy kell a két bak közé befogni, hogy annak forgástengelye egybeessen a bakok által kijelölt tengellyel. Nem szabad túlságosan a bakokkal összeszorítani az alkatrészt, mert a fellépő erő deformációkat okozhat. A mérőóra nullázását követően a munkadarabot a bakok között körbeforgatva a mérőóra az adott szöghelyzethez tartozó, kezdőponttól való eltérését mutatja. A csúcsbak mérőórával ezen mérés során az excentricitás mérésére szolgál. 4. mérés: Kúpszög mérése

7.

10. ábra: A csúcsbakos mérőóra fő részei 3. táblázat: A kengyeles mikrométer fő részeinek megnevezése

1 2 3 4 5

csúcsbak mérőóra rögzítő mérőóra menetes oszlop mérőóra tartószára

6 7 8 9 10

szán állvány támasztó csúcs csúcs finomállító rögzítő csavarok

Mérőhasáb készlet

11. ábra: A mérőhasáb készlet

A mérés során az etalon szerepét a mérőhasáb készletből összeállított etalonkombináció látja el. A hasábkészlet elemei nagy pontossággal (akár pár tíz nanométer) kimunkált elemek, és külön bizonyítvánnyal is rendelkeznek. Megfogásuk kizárólag cérnakesztyűvel történhet!


8.

Mérés szögmérővel A kúpszög mérése során az ipari szögmérő álló szárát a kúpos munkadarab alap- vagy fedőlapjához kell illeszteni egy átmérő mentén. Az ipari szögmérő mozgó szárát pedig az egyik alkotóra szükséges fektetni ügyelve arra, hogy az ipari szögmérő mozgó szára és a munkadarab között a lehető legkisebb és egyenletes fényrés alakuljon ki. A mérési elrendezés a 12. ábrán látható. Ezen módszerrel mért szög az  (ld. 13. ábra). Ekkor a  kúpszög a következő egyenlettel számítható   2  180 . A mérést három egymáshoz képest kb. 120°-kal elforgatott alkotó mentén végezze el! A mérési eredmény a három számított  kúpszög átlaga.


13. ábra: A mérendő mennyiségek magyarázata

Kúpszög meghatározása csúcsbakok között Ezen mérési módszer esetén az 14. ábrán látható hasonló háromszögek befogóinak alapján számítható a kúpszög.



9.

A mérés során az L befogó nagyságát mérőhasábokkal kell változtatni, a hozzá tartozó H befogó nagyságát pedig a finomtapintóval mérni. Ekkor a  kúpszög a következő egyenlettel számítható H   2 arctg   . L A mérendő kúpot a 15. ábra szerint fogja a csúcsbakok közé, majd a jobb oldali csúcsbakot ütköztesse és rögzítse az állítható támaszhoz mérőhasábok használata nélkül! Ekkor kell a méréshez szükséges referenciapontot rögzíteni a mérőóra nullázásával a munkadarab körbeforgatása során talált kitérés-maximumnál. A mérőóra tapintója mindig legyen függőleges és merőleges a csúcsbakok által kijelölt tengelyre, valamint a műszer tapintójának tengelye a csúcsbakok tengelyével egy síkba essen.


A referenciapont felvétele után a csúcsbakok rögzítését fellazítva az állítható támasz és a jobb oldali csúcsbak ütközője közé helyezzen rendre L1  20 mm , L2  40 mm és L3  60 mm nagyságú mérőhasábot, majd rögzítse a csúcsbakot! Ezután a referenciapont beállításához hasonlóan a maximális kitérést megkeresve olvassa le a mérőórán mutatott H1, H2, H3 értékeket. Az állítható támasz, valamint a mérőóra a mérés során nem mozdulhat el. A mérési eredmény a három számított  kúpszög átlaga.

Kúpszög meghatározása görgőkkel és mérőhasábokkal Ez a mérési módszer szintén a hasonló háromszögek befogóinak mérésére vezeti vissza a kúpszög meghatározását. A 16. ábrán látható elrendezésben a mérőhasábokra helyezett két mérőgörgő a kúpot egy-egy pontban érinti. A mérőgörgőket úgy kell elhelyezni, hogy azok tengelyei egymással párhuzamosak legyenek, melynek eredménye a 17. ábrán látható metszet.


10.


Ahogy a 17. ábrán látható, az Li mérőhasábhoz tartozó Ai  2d  Di méretek lesznek a mért értékek, ahol d a mérőgörgők átmérője, Di pedig a kúpos munkadarab főkörének átmérője a vizsgált síkmetszetben.


Legyen L0  10 mm a referenciahasáb, Li pedig a további mérésekben használt mérőhasábok mérete. A 17. ábrán jelölt hasonló háromszögek H és L befogói ezek után meghatározhatóak a következő egyenletekkel A  A0 és L  Li  L0 . H i 2 Ezt követően a  kúpszög az alábbi összefüggéssel számítható H   2 arctg   . L A mérést L1  20 mm , L2  40 mm és L3  60 mm értékekkel kell elvégezni, a mérési eredmény a számított három kúpszög átlaga.


11.

A mérési feladat 1. A mérés célja  Hossz- és szögmérő eszközök használatának megismerése  Mérethibák felismerése és értelmezése 2. A mérés során használandó eszközök      

Ipari szögmérő Mérősík Mérőóra csúcsbakkal Tolómérő Mérőhasáb készlet Mérőgörgők

3. A végrehajtandó feladatok  A mérések elvégzése  A mérések kiértékelése és összevetése 4. A mérések elvégzése  Ismerkedjen meg a munkaállomáson található mérőeszközök kezelésével! Rögzítse a jegyzőkönyvben a mérőeszközök mérési tartományát, valamint felbontását (osztását) az Általános irányelveket összefoglaló segédletben megadott módon!  Mérje meg háromszor az alkatrész kúpszögét ipari szögmérővel! A mérések között a mérőeszközt helyezze alapállapotba, majd mérje újra az adott méretet!  Határozza meg az alkatrész kúpszögét három különböző mérőhasáb kombináció és a mérőgörgők segítségével!  Számolja ki az alkatrész kúpszögét, a csúcsbakok között három különböző helyen mért távolság alapján!  Minden esetben rögzítse a jegyzőkönyvben a leolvasott értékeket és a számítás menetét! 5. A mérések kiértékelése és összevetése  A mérések eredményeit az alábbi minta alapján készített táblázatban foglalja össze:

Mérőeszköz

Számított értékek[°] 1. mérés

2. mérés

3. mérés

Mérési eredmény[°]

Ipari szögmérő Mérőhasábok és mérőgörgők Mérőóra csúcsbakkal

 A mérések alapján adja meg a gyártmány méretét 3s bizonytalansággal ( y    3s )! Az egy adott módszerhez tartozó három eredményből képezze az s tapasztalati szórást, a megadott módon

s


2 1 3   i  .   n i 1

12.

 Vonjon le következtetést a mérési eljárások pontosságát illetően a kapott szórások alapján és mondja meg, hogy melyik mérési eljárás a legpontosabb, valamint legpontatlanabb! A jegyzőkönyvet a laborfoglalkozás végén a laborvezetőnek adja át, miután meggyőződött arról, hogy megfelel a jegyzőkönyvvel szemben támasztott formai és tartalmi követelményeknek!

Készítette: Budai Csaba, Manhertz Gábor, Urbin Ágnes Budapest, 2014. augusztus 4. mérés: Kúpszög mérése

13.


5. mérés Mérés és kiértékelés számítógéppel


Budapest, 2014

Mérés és kiértékelés számítógéppel

5

A mérés célja A sorozatmérés fogalmának, valamint a számítógép segítségével végzett adatgyűjtés és kiértékelés megismerése. A Microsoft Office Excel alapvető statisztikai függvényeinek alkalmazása a kiértékeléshez a gyártmány minősítése céljából.

A mérés során használt eszközök és az elméleti háttér A mérnöki gyakorlatban a munkadarabok gyártási folyamatához hozzá tartozik a munkadarabok ellenőrzése, minősítése. Tipikusan sorozatgyártásban készülő termékek esetén, nincs lehetőség egy gyártmány összes darabjának ellenőrzésére (pl. csapszegek, csavaranyák stb.). Ekkor a gyártmányból mintát kell venni, és a minősítési feladatnak megfelelő statisztikai vizsgálatok alapján lehet minősíteni a gyártmányt.

Sorozatmérés fogalma Sorozatmérés során adott számú munkadarabon kell ellenőrizni ugyanazt a méretet. Ezen mérés során harminc darab tűgörgő átmérőjének mérése történik digitális kijelzésű mérőórával. A sorozatmérés fogalma nem összekeverendő a mérési sorozat fogalmával. A mérési sorozat egyetlen munkadarabon, ugyanazon méret, ugyanazon körülmények közötti és ugyanazon eszközökkel történő ismételt mérését jelenti.

Digitális kijelzésű tolómérő A digitális kijelzésű tolómérő egy mechanikai elven működő hosszmérésre alkalmas eszköz, amelynek működése összehasonlító módszeren alapszik (a két fogalom együtt képezi a mérési eljárást). Az összehasonlítás esetünkben azt jelenti, hogy a munkadarab mérendő hosszát egy előre ismert etalon mérettel hasonlítjuk össze, ami jelen esetben a tolómérőn található skála. A tolómérővel nagyon gyorsan és egyszerűen, szinte bármilyen hosszméret mérhető (pl. oldalhossz, átmérő, üregmélység). Az eszköz kialakításától függően általában 0,05 mm-es felbontással rendelkezik, ám napjainkban az egyre elterjedtebb digitális kijelzésű tolómérők ennél nagyobb felbontásra is képesek. A tolómérőt leginkább gyors ellenőrző mérésekhez használják. A digitális kijelzésű tolómérők fő hátránya, hogy működésükhöz elem szükséges. A digitális kijelzésű tolómérő fő részei az 1. ábrán, a tételek megnevezései az 1. táblázatban láthatóak. A mérés során használt digitális kijelzésű tolómérő két részből áll: egy állórészből, és egy ezen az állórészen hosszirányban elcsúsztatható mozgórészből. Az állórészen található a rögzített mérőpofa (1) a főskálával (5), amely a mérés bázisát képzi. Ez az etalon hosszúság, amihez a munkadarab méretét viszonyítjuk és ez milliméteres osztású. A tolómérő mozgórészén található digitális kijelző (4) és digitális modul egy csatlakozóval (14), mely modul a csúszka elmozdulását egy beépített szenzor segítségével villamos jellé alakítja, amely 5. mérés: Mérés és kiértékelés számítógéppel

1.

egy beépített áramkörön való feldolgozást követően 5 digit pontossággal jelenik meg (3 digit az egész mm-eknek és 2 digit a mm tört részének). A csatlakozási lehetőségnek köszönhetően az eszközt számítógéphez lehet kapcsolni, így a mért adat azonnal regisztrálható és feldolgozható. Az állórész és a mozgórész közötti lineáris vezetést a vezetősín (9) biztosítja. A mozgatható mérőpofa (3) a tolókával (7) állítható. A tolókán lévő rögzítő csavarral (13) az aktuális pozíció fixálható. A csavar túlzott meghúzása a két rész egymásba feszülését okozhatja. A tolóka elcsúsztatásához a csavart fel kell lazítani. Egyes típusú tolómérőknél a tolókát laprugó szorítja az álló vezetékhez, csökkentve a kotyogást. Ha nincs laprugó, és a rögzítő csavar nincs teljesen kilazítva, akkor a tolóka kotyogni fog a sínen, aminek következtében már nagyon kicsi erőhatásokra is elmozdul, a mérés ugyancsak pontatlan lesz.

1. ábra: Digitális kijelzésű tolómérő 1. táblázat: A digitális kijelzésű tolómérő fő részeinek megnevezése

1 2 3 4 5 6 7

Rögzített mérőpofa Mérőfelületek külső méretekhez Mozgatható mérőpofa OFF gomb ON/ZERO gomb Digitális kijelző (5 digit) Tolóka

8 9 10 11 12 13 14

Főskála Vezetősín DATA gomb Mérőfelületek mélységméréshez Csatlakozó kábel Rögzítő csavar Mérőfelületek belső méretekhez

A 1. ábrán látható digitális tolómérő felbontása 0,01 mm (10 mikrométer). A mérések során előforduló leggyakoribb hiba a nullpont hiba, melynek oka az, hogy a mérés kezdete előtt a tolómérő nem lett nullázva. Ekkor a kijelzőn, ha az álló és a mozgórész teljesen egymásba van tolva, nem 00,00 mm jelenik meg, hanem valamekkora X0 offset érték. Ezért minden mérés előtt célszerű az eszköz nullázása, amit az ON/ZERO (5) gomb lenyomásával lehet elvégezni. A tolómérő bekapcsolása az ON/ZERO gomb lenyomásával, kikapcsolása az OFF (4) gombbal lehetséges, az aktuális adatokat a DATA (10) gomb segítségével lehet rögzíteni. 5. mérés: Mérés és kiértékelés számítógéppel

2.

2. ábra: Mérőeszköz nullpont-hibája (offset) (Jelen esetben X0 = 0,02 mm )

Egyszerű hosszmérés során a munkadarabot mindig két mérőfelület közé kell befogni és rögzíteni. Ez a tolóka segítségével történik, azaz rátoljuk a mérőpofák mérőfelületét a munkadarabra. Fontos, hogy a mérőfelületeket ne nyomjuk túlságosan össze, mert ilyenkor az erőhatás miatt billen a tolóka és szöghiba keletkezik, ami elsőrendű hibának minősül. A szöghiba okozója az Abbe-elv1 be nem tartása. Az Abbe-elv kimondja, hogy a mérőberendezés konstrukciója legyen olyan, hogy a munkadarab mérendő mérete és az osztásos mérce egy egyenesbe essen. Ez az elv a tolómérő esetében a konstrukció geometria-, illetve az összeszorító erő okozta deformációk miatt nem teljesül. Ezek ellenére mérés közben törekedni kell arra, hogy az Abbe-elv hiánya minél kevésbé érvényesülhessen. Pl. figyelni kell arra, hogy a mérendő munkadarab a lehető legközelebb essen a tolómérő szárához, illetve az összeszorító erő ne okozzon kotyogást vagy befeszülést.

A tűrésmező Gyártás során az alkatrészek méretei az ideális, előírt mérettől valamilyen mértékben mindig eltérnek. Ennek okai a gyártási és szerelési pontatlanságok lehetnek. Ezért a tervezés során definiálni kell egy olyan, az előírt méret körüli tartományt, amelyen belül a munkadarab el tudja látni a funkcióját és szükséges pontossággal gyártható. Ez a tartomány a tűrés vagy tűrésmező, melynek előírása egyben meghatározza az alkatrész készítéséhez szükséges gyártási folyamatokat is. Tehát a gyártás során az elkészült méretek az előírt méret körüli, a használt technológiától függő tartományban fognak valamekkora valószínűséggel megjelenni. 1


5. mérés: Mérés és kiértékelés számítógéppel

3.

Ahogy a gyártásból adódnak bizonytalanságok, magát a mérést is terhelik hibák. Ezekkel a mérés tervezésekor számolni kell és figyelembe kell venni a kiértékeléskor, valamint az eredmény megadásakor. A mérnöki gyakorlatban előforduló mérések eredménye két tényezőből áll: a méret várható értékéből és a bizonytalanságból. Az M ( x) , vagy  várható érték legjobb becslése a vizsgált értékek átlaga. A bizonytalanság alapvetően kétféleképpen határozható meg: A típusú és/vagy B típusú becsléssel. Az A típusú becslés esetén, az un. a posteriori ismeretek alapján, jellemzően a mért adatok statisztikai feldolgozásával határozható meg a mérési bizonytalanság. A mérnöki gyakorlatban a Gauss-féle normáleloszlást feltételezve a bizonytalanság becslése szórásbecslésre vezethető vissza. B típusú becslés esetén un. a priori ismeretek, azaz korábban megszerzett információk, tapasztalatok (pl. katalógus adatok, műszerkönyvek) alapján becsülhető a bizonytalanság. Mivel becslésről van szó, az eredmény csak bizonyos valószínűséggel határozható meg, ez határozza meg a konfidencia szintet. Az alkalmazott gyártási folyamatok akkor megfelelőek, ha megadott konfidencia szint mellett, az ellenőrzött méret adatainak tapasztalati szórása alapján meghatározott a sugarú konfidencia intervallum ( M ( x)  a ) az előírt tűrésmezőn belül helyezkedik el. A p  P ( x  a  xi  x  a) konfidencia szint azt határozza meg, hogy mekkora valószínűséggel esik majd a méret az adott intervallumba. Az iparban a konfidencia szint jellemzően p  95% , esetleg p  99,73% .

Méréstechnikai ellenőrzéseknél a feladat adott konfidencia szint mellett összehasonlítani a becsült várható értéket és bizonytalanságot az előírt mérettel és tűréssel. A Gauss-féle normál eloszlás tulajdonságai alapján ismert, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó adott P valószínűséggel (adott p valószínűségi vagy konfidencia szinten) a várható érték körüli ( x  k ) tartományon belül lesz. Ez a tartomány a konfidencia intervallum és k az adott konfidencia szint faktora. A 3. ábrán látható, hogy p= 95 % esetén k  2 p=99,73 % esetén k  3 , 99,9994 % esetén k  4 , a bizonytalanság pedig rendre 2 , 3 és 4 .


4.

3. ábra: Adott konfidencia szintekhez tartozó bizonytalanságok

Minőségképességi indexek Gyártási folyamatokban illetve a gyártóberendezéseken a megkívánt minőségszint tarthatóságáról a minőségképesség rendszeres figyelése ad képet. A minőségképesség egy adott folyamat során elérhető és egyenletesen tartható minőségi szintet mutatja meg. Attól függően, hogy egy folyamat vagy egy gép minőségképességét (Process Capability és Machine Capability) szükséges meghatározni rendre a Cp és Cm minőségképességi indexek, ún. alap indexek használatosak. Ezek számításakor a vizsgált mennyiség bizonytalanságának terjedelmét (Gauss-féle normál eloszlást feltételezve a szórás 2k-szorosát) kell a tűrésmező nagyságához hasonlítani függetlenül attól, hogy a méret várható értéke eltér-e a névleges mérettől. Szimmetrikus tűrésmező esetén USL  LSL USL  LSL Cp  és Cm  , 2k p   n 1 2km   n 1 ahol USL (Upper Specification Limit) az előírt tűrésmező felső határa, LSL (Lower Specification Limit) az előírt tűrésmező alsó határa és  n 1 korrigált tapasztalati szórás. A gyakorlatban Cp számítása esetén k p  3 , Cm számítása esetén km  4 . Az alap indexeknél többet mondanak a folyamatról a korrigált indexek (Cpk és Cmk – az indexben szereplő k a korrekció szóra utal), amelyek a vizsgált méret várható értékének a névleges mérettől való eltolódását is figyelembe veszi. Szimmetrikus tűrésmező esetén  USL  x x  LSL  USL  x x  LSL   ; C pk  min  ; .  és Cmk  min  k   k   k   k    p n 1 p n 1    m n 1 m n 1   Ha a vizsgált méret várható értéke és a névleges méret megegyezik, akkor C p  C pk . Ha a vizsgált méret várható értéke és a névleges méret eltér egymástól, akkor a Cpk definíciójában szereplő két hányados közül – a várható érték névleges mérettől való eltolódásának irányától függően – az egyik számlálója csökken, ezért C pk  C p .


5.

A gyakorlatban minőségképességi indexekkel szemben támasztott követelmény, hogy értékük legalább 1,00 legyen. Ha ezen érték pontosan C pk  1, 00 , akkor a mérési adatok alapján számított konfidencia intervallum és az előírt tűrésmező egybeesik. Az 4. ábrán előírt tűrésmezőkre és számított konfidencia intervallumokra vonatkozó minőségképességi indexek láthatóak.

4. ábra: Tűrésmezők, konfidencia intervallumok és a hozzájuk tartozó minőségképességi indexek.

A Cp, Cpk indexek használata az ipari gyakorlatban annyira elterjedt, hogy a legtöbb helyen kizárólag ezeket a számokat használják a minőségképesség-elemzés során. Ez különösen akkor helytelen, ha a folyamatok nem szabályozottak, mert ekkor a Cp, Cpk indexek nem az egész folyamatra, hanem csak az adott mintára jellemzőek. Ez akkor is jelentkezhet, ha a folyamat viszonylag stabil, de nem veszünk elég nagyszámú mintát.


6.

Ha 1 millió db termékből pl. 2700 termék mérete a tűrésmezőn kívül esik, akkor a hibaarány P  0, 27% (2700 ppm, parts per million), valamint 997300 db termék a tűrésmezőn belülre esik, azaz a gyártmány 99,73%-os valószínűséggel megfelel. Ebben az esetben a megbízhatósági szint faktora k  3 , azaz USL  M  3 n1 és LSL  M  3 n1 . Ha továbbá a vizsgált méret M várható értéke és a névleges méret megegyezik, akkor USL  LSL M  3 n 1  ( M  3 n 1 ) 6 n 1 Cp     1, 00 . 2k p   n1 2  3   n1 6 n1 Ha 1,33 Cp index például 63,5 ppm, 1,67-es érték pedig már csak 0,57 ppm hibaarányt jelent.

Gyakoriság-diagram A gyakoriság-diagram, vagy más néven hisztogram a mért adatokat adott elv szerint csoportokba (osztályokba, intervallumokba) rendezi, és az egyes csoportokhoz a hozzájuk tartozó elemek darabszámával arányos értékeket rendel. A méréstechnikában a csoportok leggyakrabban egyenközűek, de más tudományterületeken más csoporthatárok is jellemzőek lehetnek. Mivel a mért adatok n darabszámának növelésével az egyes csoportokba eső elemek darabszáma is nő, a hisztogramban a qr / n relatív gyakoriságot szokás jelölni, ahol qr a gyakoriság. Legyen egy n db adatból álló x1 

 xi 

 xn adatsor. Ennek terjedelme: R  xn  x1 .

Legyen összesen m db osztály. Ekkor az egyenközű osztályozáshoz a terjedelmet x  R / m nagyságú csoportokra kell osztani. Az csoportokat meghatározó intervallumok y1   yr   ym felső határai tehát yr  x1  r x összefüggés alapján adódnak. A qr gyakoriság azt mutatja meg, hogy az r-edik csoportban hány darab elem található, tehát, hogy hány xi elemre teljesül, hogy yr 1  xi  yr . Az, hogy az csoportok melyik irányból nyitottak vagy zártak, egyéni döntés kérdése, amit az eredmények értékelésekor figyelembe kell venni. Jelen mérés során a kiértékelés a Microsoft Office Excel program GYAKORISÁG függvényével történik, így az intervallumok a függvény működéséből adódóan felül zártak és alul nyitottak.

A Microsoft Office Excel segítségével történő adatfeldolgozásban használt függvények Az adatfeldolgozáshoz a Microsoft Office Excel számos beépített függvénnyel rendelkezik. A mérés kiértékelése során az ÁTLAG, GYAKORISÁG, MAXIMUM, MINIMUM és SZÓRÁS függvényeket szükséges használni. Ezek közül a GYAKORISÁG függvény alkalmazása okozhat nehézséget, mivel ez egy ún. tömbképlet. E függvény használatát, jelen útmutató alapján, a laboratóriumi gyakorlat előtt célszerű begyakorolni!

A GYAKORISÁG függvény használata A függvény a gyakorisági vagy empirikus eloszlás értékét függőleges tömbként adja eredményül. A gyakorisági eloszlás adott értékhalmazból és adott számú osztálynál (intervallumnál) az egyes intervallumokban előforduló értékek számát méri. A gyakoriság tömböt ad eredményül, ezért tömbképletként kell megadni. 5. mérés: Mérés és kiértékelés számítógéppel

7.

Adattömb: Azon adatokat tartalmazó tömb, vagy azon adatokra való hivatkozás, amelyek gyakorisági eloszlását meg kell határozni. Ha az adattömb üres, a GYAKORISÁG nulla értékeket tartalmazó tömböt ad eredményül. A digitális kijelzésű tolómérővel mért adatok kerülnek ebbe a tömbbe. Csoporttömb: Azon intervallumokat tartalmazó tömb, vagy azon intervallumokra való hivatkozás, amelyekbe az adattömbbeli értékeket csoportosítani kell. Ha a csoporttömb üres, akkor a GYAKORISÁG az adattömb elemeinek számát adja eredményül. A kiértékelés során a csoporthatárok kerülnek ebbe a tömbbe. A függvény a csoporttömbben megadott értékek alapján felül zárt, alul nyitott csoportokat hoz létre, majd az ezekbe eső elemek darabszámát számítja ki. A csoporttömb r-edik eleme így az r-edik intervallum felső határa. A függvény egy r elemű csoporttömbhöz (r  1) db gyakoriságértéket ad. Az (r  1) -edik gyakoriságérték az r-edik intervallumhatárnál nagyobb elemek darabszámát adja meg. A kiértékeléskor m db osztály esetén tehát elegendő (m  1) db intervallumhatárt megadni, és a GYAKORISÁG függvényt m db cellára használni. A gyakoriságértékek meghatározása után érdemes ellenőrizni, hogy az összes, n db elem megszámolásra került-e. Erre két lehetőség is adódik. Ha az egyes osztályokhoz tartozó qr gyakoriságértékek összege m

q r 1

r

n,

akkor biztosan minden adat bekerült valamelyik csoportba. A SZUMMA függvény használata nélkül, a GYAKORISÁG függvény fent említett tulajdonsága is használható ellenőrzésre. A csoporttömb legnagyobb elemének az m-edik intervallumhatárt választva a függvény az (m  1) -edik gyakoriságértéknek az m-edik határnál, nagyobb elemek számát kel adnia, ami szükségszerűen nulla, mert ym  x1  mx  x1  R  x1  ( xn  x1 )  xn a legnagyobb elem.

A mért értékek kiértékelésének menete 1. A mért adatokat vigye be egymás alá, egy választott oszlopba! 2. Határozza meg a minimális, maximális értékeket, a terjedelmet, az átlagot és a szórást  A korrigált tapasztalati szórás számítása Office Excel 2010-től kezdve a SZÓRÁSA függvénnyel valósítható meg, korábbi verziókban a SZÓRÁS függvény használatos  A tapasztalati szórás számítása Office Excel 2010-től kezdve a SZÓRÁSPA függvénnyel valósítható meg, korábbi verziókban a SZÓRÁSP függvény használatos 3. Ossza fel a terjedelmet m =5 db, egyenközű intervallumra. Az intervallumok felső határait rendezze egymás alá (az Általános irányelveket összefoglaló segédlet alapján) és az alábbi képlettel számítsa ki: yr  x1  r x , ahol x1 a legkisebb elem, R a mért adatok terjedelme, m az osztályközök száma és r  1..m az adott osztályköz indexe


8.

4. Az egyes intervallumokhoz tartozó gyakoriság értékeket a GYAKORISÁG függvénnyel határozza meg! Ennek meghívásakor megjelenik a Függvényargumentumok ablak, melyben az adattömböt az n db mért értékkel, a csoporttömböt pedig az m-1 db intervallum felső határaival töltse fel! Az első intervallumra számított eredmény a Kész gomb megnyomásával azonnal megjelenik. 5. Jelöljön ki m db cellát a képletet tartalmazó cellával együtt, nyomja meg az F2 billentyűt, majd a CRTL+SHIFT+ENTER billentyűkombinációt. 6. A qr gyakoriságértékekből számítsa ki a qr / n relatív gyakoriságértékeket! 7. Az így képzett adatokból készítsen hisztogramot (gyakoriság diagramot)! 8. A fenti lépéseket (3-7) ismételje meg m = 10 db intervallum esetén és hasonlítsa össze a két hisztogramot! 9. A korábban leírtak alapján számítsa ki a Cp, és Cpk minőségképesítési indexeket!

A mérési feladat 1. A mérés célja  Számítógép segítségével végzett adatgyűjtés és kiértékelés megismerése  Excel alapvető statisztikai függvényeinek alkalmazása  A gyártmány minősítése 2. A mérés során használandó eszközök  Digitális kijelzésű tolómérő  RS-232 illesztő kártya  PC, Office Excel 2003 3. A végrehajtandó feladatok  Mérésadatgyűjtő rendszer összeállítása  Az adatok rögzítése és feldolgozása  A mérési eredmény megadása, a gyártmány minősítése és a folyamatképességi indexek számítása 4. A mérésadatgyűjtő rendszer összeállítása  Ismerkedjen meg a munkaállomáson található mérőeszközök kezelésével! Rögzítse a jegyzőkönyvben a mérőeszközök mérési tartományát, valamint felbontását (osztását) az Általános irányelveket összefoglaló segédletben megadott módon!  Ellenőrizze, hogy a digitális kijelzésű tolómérő csatlakoztatva van-e a számítógéphez! (az RS-232 porton keresztül)  Indítsa el a „Mitutoyo WinKey” programot és az Excelt! 5. Az adatok rögzítése és feldolgozása  Készítse el az adatgyűjtésre és az adatok kiértékelésére szolgáló Excel táblát az Általános irányelveket összefoglaló segédlet alapján!  Mérje le a munkahelyen található 20 db, véletlenszerűen kiválasztott csavaranya magasságát és rögzítse az adatokat az Excel táblában! (Minden munkadarabot egyszer kell lemérni)  Számítsa ki a szükséges statisztikai paramétereket, majd készítse el a gyakoriság diagramot m = 5, majd m = 10 egyenközű intervallum alapján! 5. mérés: Mérés és kiértékelés számítógéppel

9.

6. A mérési eredmény megadása, a gyártmány minősítése és a folyamatképességi indexek számítása  A mérések alapján adja meg a gyártmány méretét 99,73%-os valószínűségi szinten! (Használja az Általános irányelveket összefoglaló segédletet)  Hasonlítsa össze a kapott eredményt a névleges mérettel és minősítse a gyártmányt! (Használja az Általános irányelveket összefoglaló segédletet)  Számítsa ki a Cp, és Cpk folyamatképességi indexeket, majd segítségükkel mutassa meg, hogy az előírt tűrésmező és a számított konfidencia intervallum milyen viszonyban állnak egymással (a névleges középérték és maga a tartomány eltolódása)!  Amennyiben a gyártmány nem felelt meg az előírt méretnek, adjon javaslatot új méretre! A jegyzőkönyvet a laborfoglalkozás végén a laborvezetőnek adja át, miután meggyőződött arról, hogy megfelel a jegyzőkönyvvel szemben támasztott formai és tartalmi követelményeknek!

Készítette: Budai Csaba, Manhertz Gábor, Urbin Ágnes Budapest, 2014. augusztus 5. mérés: Mérés és kiértékelés számítógéppel

10.


6. mérés Mérés mérőmikroszkóppal

Segédlet a Méréstechnika (BMEGEMIAMG1) Mérés, jelfeldolgozás, elektronika (BMEGEMIMT01) Műszertechnika (BMEGEFOAG02) tantárgyak laboratóriumi méréseihez

Budapest, 2014

Mérés mérőmikroszkóppal

6

A mérés célja A mérés célja az ún. műhelyi mérőmikroszkóppal való mérés megismerése és egy alkatrész műhelyrajzának elkészítése.

A mérés során használt eszközök és az elméleti háttér A mérőmikroszkóp két fő egysége egy irányzó-mikroszkóp és egy tárgyasztal. A tárgyasztalt két egymásra merőleges irányba el lehet mozgatni, valamint az asztal síkjára merőleges tengelye körül elforgatni. Ennek az elmozdulásnak vagy szögelfordulásnak a nagyságát mikrométerorsók, illetve szögskála segítségével lehet mérni.

Mérőmikroszkóp A mikroszkóp egy összetett optikai rendszer, amely két gyűjtőlencse-rendszer segítségével kisméretű tárgyak jelentősen nagyított, fordított állású látszólagos képét állítja elő. A mérés során használt fénymikroszkópok üvegből készült fénytörő lencséket alkalmaznak, melyekkel a képet az okuláron keresztül a retinára képzi le. A mikroszkópokat elsősorban két paraméter, a nagyítás és a feloldás jellemzik. A nagyítás mértéke megadja, hogy kép a tárgy méreteit hányszorosára növeli. A feloldási határ az a legkisebb szög, amely alatt nézve a tárgy két különálló pontja még megkülönböztethető. Az emberi szem felbontóképességének határa egy ívperc (1'). A fény hullámtermészete miatt, bármilyen tökéletesen csiszolt lencse esetén is, a lencse befogadó nyílásán fényelhajlás lép fel, aminek következtében egy pontszerű tárgy képe nem pontszerű lesz, hanem kis fénylő korong jellegű. A felbontóképesség mellett, ez is akadályozza a tetszés szerinti finomságú struktúrák vizsgálatát. A fénymikroszkóp nagyítása legtöbbször maximum 1500-szoros, elméleti felbontásuk 0,2 mikrométer. A fényelhajlásból különböző torzítások adódhatnak. A létrehozott kép szélein szférikus torzítás és színtorzulás is jelentkezhet. A szférikus torzítás oka, hogy a lencse optikai tengelyében és a lencse szélső részein nem azonos a lencse gyújtótávolsága, így az optikai tengelytől távolodva egyre torzabb lesz a kép. A színtorzulás (kromatikus aberráció) oka, hogy a lencséknek a különböző hullámhosszúságú (különböző színű) fénysugarakra más és más a törésmutatója, így a fehér fény különböző hullámhosszú összetevőkre bomlik, amelyek külön-külön megjelenhetnek a képen. Ezek a hibák a megfelelő lencsekombináció választásával korrigálhatóak.

6. mérés: Mérés mérőmikroszkóppal

1.

1. ábra: A mérés során használt Zeiss mikroszkóp részei 1. táblázat: A mérőmikroszkóp fő részeinek megnevezése

1 2 3 4 5 6 7

Szálkeresztes okulár Objektív Tárgyasztal Szögasztal rögzítő Mérőorsó Szöghelyzet állító Szögosztás

8 9 10 11 12 13 14

Mérőhasáb Mérőorsó Függőleges oszlopot döntő csavar Fényforrás Rögzítő gomb Objektív mozgató (élességállító) csavar Függőleges tartóoszlop

A következő leírás az a jelzésű Zeiss mikroszkópra vonatkozik. A 2. ábrán látható Mitutoyo mikroszkóp hasonló elven működik, fő egységei hasonlóak az előzőhöz, csak kevesebb beállítási lehetőséggel rendelkezik. A mérendő alkatrészt a tárgyasztalra (3) való helyezést követően a szöghelyzet állítóval (6) lehet a megfelelő helyzetbe forgatni (z-tengely korül), majd az adott helyzetet a szögasztal rögzítővel (4) fixálni. Az aktuális szöghelyzetet a szögosztás (7) segítségével lehet meghatározni, a mérőorsókkal (5)(9) adott irányok (x és y-tengely) mentén lehet távolságokat mérni. Szükség esetén a mérőorsók mérési tartományánál nagyobb méretek felvételéhez mérőhasáb(ok)at (8) lehet közbeiktatni. Az alkatrészt egy fényforrás (11) világítja, melynek fénysugarait egy gyűjtőlencse (kondenzor) párhuzamosítja. A kondenzorból érkező, a vizsgált tárgyon áthaladó és megtört fénysugarak az összetett nagyítórendszer első tagjába, az objektívbe (2), a tárgylencsébe kerülnek. Az objektív a tárgyról elsődleges, valódi, nagyított képet készít, melyet az okulár (1) tovább nagyít, és végül virtuális, másodlagos kép keletkezik. Az okulár alapvetően az objektívből érkező kép nagyítására, illetve kisebb hibák korrigálására szolgál. A mikroszkóp összes nagyítását az objektív és az okulár nagyításának szorzata adja. Az objektív mozgató csavarral (13) az objektív és a tárgyasztal távolsága, ezáltal a képélesség változtatható a függőleges tartóoszlopon (14), egy ferdefogazású fogaslécen keresztül. Az 6. mérés: Mérés mérőmikroszkóppal

2.

adott helyzetet a rögzítő gombbal (12) lehet fixálni. Szükség esetén a tartóoszlop megdönthető a hozzá tartozó döntőcsavarral (10). Az objektív frontlencséje és a tárgy közötti távolság, a szabad tárgytávolság, a legnagyobb nagyítású tárgylencsék esetében a milliméter törtrésze is lehet. Az objektív védelmét szolgálja, hogy az egy rugó ellenében felfelé teleszkópszerűen elmozdulhat. Ily módon kerülhető el, hogy a beállításkor az objektív és a vizsgált tárgy érintkezzen, esetlegesen sérüljön.

2. ábra: A mérés során használt Mitutoyo mikroszkóp

Mérési eljárás ismertetése A mérés megkezdése előtt a munkadarabot a mérőmikroszkóp tárgyasztalára kell helyezni, majd szükség esetén, a szálkeresztes okulárban látható kép élességét beállítani. Minden esetben ellenőrizze, hogy a munkadarab a mérőmikroszkóp mérési tartományában helyezkedik-e el; amennyiben nem, akkor a mérőmikroszkóp mérési tartományát mérőhasábokkal lehet kiszélesíteni, vagy a munkadarab helyzetét kell másképp megválasztani. A munkadarab beállítása során ügyeljen arra, hogy annak oldalai a szálkereszt tengelyeivel párhuzamos legyen! A Zeiss mérőmikroszkópnál lehetőség van a tárgyasztal XY síkjának a z-tengely körüli elforgatására. A kör kerületű tárgyasztal peremén végigfut egy 360°-os, fok beosztású skála, amiről az alaphoz rögzített referenciavonal és a hozzá tartozó szögperc osztású nóniusz segítségével a tárgyasztal aktuális, abszolút szögelfordulása olvasható le. Egy mérési pontot a mérőmikroszkóp szálkeresztes okulárjában látható metszéspont adott, a mérőorsókról leolvasott értékei adják (a mérőmikroszkóp abszolút koordináta rendszerben). A mérés során használt két mérőmikroszkóp különböző mérőorsókkal rendelkezik. A Zeiss mérőmikroszkóp, a kengyeles mikrométerhez hasonló, 0,01 mm felbontású mérőorsókkal van felszerelve.


3.

A mérőorsó leolvasása Legyen a mérőorsó felbontása x, főskála osztásköze pedig y. A gépészeti gyakorlatban általában, és a sillabuszban a továbbiakban y = 0,5 mm. Legyen az adott méret egészrésze a főskáláról leolvasható méret, és a törtrésze az, aminek meghatározásához ezen felül a mellékskálára is szükség van. A mellékskála osztásközét úgy kell meghatározni, hogy azzal a főskála osztásánál kisebb, a műszer pontosságának (felbontásának) megfelelő méretek meghatározhatóak legyenek. Legyen az x pontosságnak megfelelő elfordulás α. Ha a mellékskála nullpontja illeszkedik a mérőhüvelyen található referenciavonalhoz, a leolvasandó méret megegyezik a főskála valamelyik osztásának megfelelő mérettel. Ha ehhez képest a skáladob iα szöggel elfordul, a mellékskála i-edik osztása fog a mérőhüvelyen található referenciavonalhoz illeszkedni. Ez a főskálán ix elmozdulást jelent. A méret egyértelmű meghatározása érdekében a mérőorsót úgy célszerű kialakítani, hogy a skáladob 360°-os elforgatása pontosan egy osztásköznyi elmozdulásnak feleljen meg a főskála mentén, tehát a mérőorsó menetemelkedése megegyezzen a főskála y osztásközével. Ekkor az összes lehetséges törtrészt le lehet olvasni úgy, hogy a mellékskála nullpontja a főskálának ugyanazon két osztása között marad. Ezáltal nem csak a törtrészeket, hanem a teljes méretet is egyértelműen meg lehet határozni a műszer segítségével. Miután a törtrész kiadódik abból, hogy a mellékskála melyik osztása esik egybe a referenciavonallal, a méret egészrésze a főskálának azon értéke lesz, amelyiket a mellékskála éppen „elhagyta”. A mellékskála osztásainak n darabszámát tehát úgy kell meghatározni, hogy két szomszédos osztása közötti elfordulás a főskálán a műszer pontosságát adja ki. Teljesüljön tehát, hogy a mellékskála n-edik elfordulása egy teljes kör, ami a főskálán y elmozdulásnak felel meg, tehát nx  y  0,5 mm . Ebből az n  0,5 / x összefüggés adódik a mellékskála osztásainak darabszáma és a műszer felbontása között. A könnyebb leolvasás érdekében az y osztásközű főskálát szokás két 2y osztásközű skálával megjeleníteni, amelyek egymáshoz képest y eltolással a referenciavonal két oldalán találhatóak. Jelen mérés során a Zeiss mérőmikroszkóp mérőorsóira a következő konkrét értékek vonatkoznak: y  1 mm a főskála osztása és a mérőorsó menetemelkedése, x  0,01 mm a műszer felbontása. Tehát a nóniusznak n  y / x  100 db osztása van.


4.

3. ábra: Példa a Zeiss mikroszkóp mérőorsójának leolvasásához

A 3. ábrán látható méret leolvasása: A főskálán a fenti osztások közül az utolsó látható osztás a 6 mm-hez tartozó egész. A főskála értékei csökkenő irányban olvashatóak le, az egészrész tehát 5,00 mm lesz. A mellékskála 76-os osztása esik egybe a referenciavonallal, a méret törtrésze tehát 76 x  76  0,01  0,76 mm . A teljes méret M  5  0,76  5,76 mm . A MITUTOYO mérőmikroszkóp mérőorsóira a következő konkrét értékek vonatkoznak: y  0,500 mm a főskála osztása és a mérőorsó menetemelkedése, x  0,002 mm a műszer felbontása. Tehát a nóniusznak n  y / x  250 db osztása van. A leolvasást nehezíti, hogy a mellékskálán csak 2 mm-enként van számérték. A mérőorsó különlegessége, hogy két leolvasási irányban értelmezett fő- és mellékskálával is rendelkezik, ezek fekete és piros színnel vannak feltűntetve.

4. ábra: Példa a Mitutoyo mikroszkóp mérőorsójának leolvasásához

A 4. ábrán látható méret leolvasása: A főskálán a fenti osztások közül az utolsó látható osztás a 15,500 mm, ez az egészrész. A mellékskála 0,274-es osztása esik egybe a referenciavonallal, a teljes méret tehát M  15,500  0, 274  15,774 mm .


5.

A mérőorsón leolvasott értékek ( A ( xA ; yA ) és B ( xB ; yB ) pontok koordinátái) alapján a két pont távolságának abszolút értéke

L

 xA  xB    yA  yB  2

2

.

A furatok átmérőjét és furatközéppontját a furat érintőjének több ponton való lemérésével határozza meg! A furatok d átmérője és O furatközéppontjának ( O ( xO ; yO ) ) koordinátái az 5. ábra alapján, E és F pontokból húzott érintők segítésével határozható meg.

5. ábra: Segédábra a furatátmérő és a furatközéppont meghatározásához

Az átmérő

d  (d x  d y ) / 2  (( xE  xF )  ( yE  yF )) / 2 . A furatközéppont koordinátái

xO  ( xE  xF ) / 2 és yO  ( yE  yF ) / 2 .

Jelen mérés során elegendő ennek a két érintőnek a vizsgálata, azonban több érintő használata pontosabb eredményhez vezet.

Tolómérő A tolómérő egy mechanikai elven működő hosszmérésre alkalmas eszköz, amelynek működése összehasonlító módszeren alapszik (a két fogalom együtt képezi a mérési eljárást). Az összehasonlítás esetünkben azt jelenti, hogy a munkadarab mérendő hosszát egy előre ismert etalon mérettel hasonlítjuk össze, ami jelen esetben a tolómérőn található skála. A tolómérővel nagyon gyorsan és egyszerűen, szinte bármilyen hosszméret mérhető (pl. oldalhossz, átmérő, üregmélység). Az eszköz kialakítástól függően általában 0,05 mm-es felbontással rendelkezik, ami digitális kijelzésű tolómérők esetén 0,01 mm is lehet. A tolómérőt leginkább gyors ellenőrző mérésekhez használják. A tolómérő fő részei az 6. ábrán, a tételek megnevezései az 2. táblázatban láthatóak. A tolómérő két részből áll: egy állórészből, és egy, ezen az állórészen hosszirányban elcsúsztatható, mozgórészből. Az állórészen található a rögzített mérőpofa (1) a főskálával (5), amely a mérés bázisát képzi. Ez az etalon hosszúság, amihez a munkadarab méretét lehet viszonyítani; általában milliméteres osztású. A tolómérő mozgórészén található a mellékskála (4), más néven a nóniusz, amellyel az 1 mm-nél nagyobb pontosságot igénylő méretek mérhetőek. Ez is az etalon része. 6. mérés: Mérés mérőmikroszkóppal

6.

Az állórész és a mozgórész közötti lineáris vezetést a vezetősín (8) biztosítja. A mozgatható mérőpofa (3) a tolókával (9) állítható. A tolókán lévő rögzítő csavarral (10) az aktuális pozíció fixálható. A csavar túlzott meghúzása a két rész egymásba feszülését okozhatja. A tolóka elcsúsztatásához a csavart fel kell lazítani. Egyes típusú tolómérőknél a tolókát laprugó szorítja az álló vezetékhez, csökkentve a kotyogást. Ha nincs laprugó, és a rögzítő csavar nincs teljesen kilazítva, akkor a tolóka kotyogni fog a sínen, aminek következtében már nagyon kicsi erőhatásokra is elmozdul, a mérés ugyancsak pontatlan lesz.


1 2 3 4 5 6


7 8 9 10 11





7.




ez azt jelenti, hogy a nóniusz i-edik osztása a főskála i (a  y)  i (a  1) -edik osztásával esik egybe. Tehát ebben az esetben, figyelembe véve, hogy a méretet az határozza meg, hogy a nóniusz hányadik osztása esik egybe a főskála egy osztásával, a leolvasás eredményét a nem befolyásolja. Ha a nem y egész számú többszöröse, akkor a skálák egymáshoz képesti eltolódása a fentiekhez képest „sérül” és új megfontolást igényel. (A nóniusz bővítése nélkül a korábbi levezetés a  0 -val értelmezhető). Jelen mérés során használt tolómérőre a következő konkrét értékek vonatkoznak: y  1 mm a főskála osztása, x  0,05 mm a műszer pontossága. Tehát a nóniusznak n  1/ x  20 db osztása van. A skálázási paraméter a  1 mm , így a nóniusz osztásköze a  y  x  1,95 mm . A nóniusz teljes hossza n (a  y  x)  39 mm , tehát ha a két skála nullpontja egybeesik, akkor a nóniusz utolsó osztása a főskála 39 mm-es osztásával esik egybe. 6. mérés: Mérés mérőmikroszkóppal

8.

Mérnöki gyakorlatban egy másik jellemzően előforduló tolómérőtípus adatai: y  1 mm a főskála osztása, x  0,1 mm a műszer pontossága. Tehát a nóniusznak n  1/ x  10 db osztása van. A skálázási paraméter a  1 mm , így a nóniusz osztásköze a  y  x  1,90mm . A nóniusz teljes hossza n (a  y  x)  19 mm , tehát ha a két skála nullpontja egybeesik, akkor a nóniusz utolsó osztása a főskála 19 mm-es osztásával esik egybe. A 8. ábrán látható méret leolvasása: A nóniusz nullpontja a főskála 24 és 25 értékei között áll, az egészrész tehát 24 y  24 mm . A nóniusz 5-ös osztása esik leginkább egybe a főskála osztásaival, így a méret törtrésze 10 x  10  0,05  0,50 mm . A teljes méret M  24  0,50  24,50 mm .


Egyszerű hosszmérés során a munkadarabot mindig két mérőfelület közé kell befogni és rögzíteni. Ez a tolóka segítségével történik, azaz a mérőpofák mérőfelületét rá kell tolni a munkadarabra. Fontos, hogy a mérőfelületeket ne nyomjuk túlságosan össze, mert ilyenkor az erőhatás miatt billen a tolóka és szöghiba keletkezik, ami elsőrendű hibának minősül! A szöghiba okozója az Abbe-elv1 be nem tartása. Az Abbe-elv kimondja, hogy a mérőberendezés konstrukciója legyen olyan, hogy a munkadarab mérendő mérete és az osztásos mérce egy egyenesbe essen. Ez az elv a tolómérő esetében a konstrukció geometria-, illetve az összeszorító erő okozta deformációk miatt nem teljesül. Ezek ellenére mérés közben törekedni kell arra, hogy az Abbe-elv hiánya minél kevésbé érvényesülhessen. Pl. figyelni kell arra, hogy a mérendő munkadarab a lehető legközelebb essen a tolómérő szárához, illetve az összeszorító erő ne okozzon kotyogást vagy befeszülést. A tolómérővel külső méreteket (pl. hengerátmérő) a (2), belső méreteket (pl. furatátmérő) a (11), mélységet a (6) mérőfelületekkel és a mélységmérő rúddal (7) lehet mérni. A 9. ábrán egy-egy ilyen mérési illusztráció látható.

1



9.

9. ábra: Mélység, külső és belső méretek mérése tolómérővel

Mérési bizonytalanság meghatározása A mérés végeztével a legnagyobb mért távolságra a mérési bizonytalanságok (hx, hy) értékét meg kell határozni. A bizonytalanság számításához szükséges összefüggéseket a műszerkönyv tartalmazza, mivel ezen értékek gyártmány és konstrukció függőek. Kereszt (x) irányban L H L   hx    2,5    [μm], 25 2670  

hossz (y) irányban L H L   hy    2,5    [μm], 48 2000  

ahol L a mért legnagyobb hossz mm-ben, H a munkadarab vastagsága mm-ben.


10.

A mérési feladat 1. A mérés célja  A mérőmikroszkóp használatának megismerése  Alkatrész műhelyrajzának elkészítése 2. A mérés során használandó eszközök  ZEISS vagy MITUTOYO gyártmányú mikroszkóp  Tolómérő 3. A végrehajtandó feladatok  A mérés elvégzése  Műhelyrajz készítése  A mérés értékelése 4. A mérés elvégzése  Ismerkedjen meg a munkaállomáson található mérőeszközök kezelésével! Rögzítse a jegyzőkönyvben a mérőeszközök mérési tartományát, valamint felbontását (osztását) az Általános irányelveket összefoglaló segédletben megadott módon!  Készítsen egy vázlatot az alkatrészről és jelölje rajta azokat a pontokat, amelyek szükségesek a műhelyrajz elkészítéséhez.  Rögzítse egy táblázatba a kijelölt pontok koordinátáit a mérőorsók által meghatározott koordináta-rendszerben! 5. Műhelyrajz készítése  A koordináták ismeretében számítással határozza meg a szükséges méreteket a Általános irányelveket összefoglaló segédlet alapján!  Készítsen műhelyrajzot az alkatrészről a géprajz szabályainak betartásával, 2:1 méretarányban! 6. A mérés értékelése  Határozza meg a kereszt- (x) és hosszirányban (y) legnagyobb mért távolságokra a mérési bizonytalanság értékét!  Írjon rövid szöveges értékelést, a mérés során előforduló hibákról, azok jellegéről és forrásukról és tegyen javaslatot, hogyan küszöbölhetőek ki, vagy csökkenthetőek a hatásuk! A jegyzőkönyvet a laborfoglalkozás végén a laborvezetőnek adja át, miután meggyőződött arról, hogy megfelel a jegyzőkönyvvel szemben támasztott formai és tartalmi követelményeknek!

Készítette: Budai Csaba, Manhertz Gábor, Urbin Ágnes Budapest, 2014. augusztus 6. mérés: Mérés mérőmikroszkóppal

11.

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

Recommend Documents