Mechanika hmotného bodu Pohybové zákony klasické fyziky Volný hmotný bod = hmotný bod (HB), na který nepůsobí žádné síly (je to abstraktní objekt). Inerciální vztažná (souřadná) soustava = vztažná (souřadná) soustava, ve které se každý volný HB pohybuje rovnoměrně přímočaře, nebo je v klidu.
1. Newtonův pohybový zákon (princip) Existuje inerciální vztažná (souřadná) soustava (= těleso setrvává ve vhodně zvolené vztažné (souřadné) soustavě v klidu nebo pohybu přímočarém rovnoměrném, pokud není vnějšími silami nuceno tento svůj stav změnit (Newton)) Pozn.: • Všechny s. s., které se vůči jedné inerciální s. s. pohybují přímočaře rovnoměrně, nebo jsou v klidu, jsou inerciální. • Všechny s. s., které nejsou inerciální, jsou neinerciální. Příklady inerciálních souřadných soustav: a) Heliocentrická – Slunce = volný HB = počátek soustavy. Osy jsou namířeny ke stálicím. b) Geocentrická – Země = počátek soustavy. Osy jsou namířeny v pevných směrech ke stálicím. Pozn.: není přesně inerciální, neboť má v heliocentrické s. s. nenulové zrychlení způsobené gravitační silou Slunce na Zemi. Pokud však můžeme při zkoumání dějů v ní zanedbat právě gravitační sílu Slunce, má vlastnosti inerciální s. s. c) Laboratorní – je spjatá s povrchem Země.
1
Pozn.: Není přesně inerciální. Pro většinu dějů (krátkodobých) ji lze s dostatečnou přesností považovat za inerciální.
Ověření, zda je vztažná soustava (vagon) inerciální, nebo neinerciální. 2. Newtonův pohybový zákon (princip) r Síla F - vektorová veličina charakterizující působení jednoho tělesa (nebo silového pole) na druhé těleso. Výsledkem tohoto působení je deformace nebo změna pohybového stavu tělesa nebo obojí.
Zavedení: HB o m = 1 kg se pohybuje v inerc. s. s. konstantní r rychlostí v . Nechť na něj působí síla (realizovaná např. pružinou) tak, že mu udělí zrychlení a = 1m/s-2. Působení této pružiny na HB je charakterizováno silou 1 N. Její směr = směr síly (pružiny).
Hmotnost m tělesa – charakterizuje setrvačnost tělesa, tj. vlastnost tělesa, že bez působení ostatních těles nemění svoji rychlost vůči inerciální s. s. a také to, že dvě různě hmotná tělesa nabývají stejným působením jiného tělesa různých zrychlení. Definice: m=
a1 a ⋅ m1 = 1 ⋅ 1kg , a2 a2
kde 2
m1 je hmotnost jednotkového hmotného normálu (je uložen v Sevres u Paříže),
Mezinárodní hmotnostní standard 1 kg má tvar válce, jehož výška i průměr jsou 39 mm.
r a1 je velikost zrychlení a1 , které zvolená pružina udělí v inerc. s. s. jednomu kilogramu, r a2 je velikost zrychlení a2 , které tatáž stejně protažená (jako v předchozím případě) pružina udělí v inerc. s. s. tělesu o hmotnosti m . Nejpřesnější vymezení hmotnosti tělesa: Hmotnost tělesa je charakteristika tělesa, která určuje poměr mezi silou působící na těleso a uděleným zrychlením Pozn.: hmotnost je veličina aditivní.
Experimentální zkušenost ukazuje: 1. Zrychlení HB má stejný směr jako síla na něj působící. Jejich velikosti jsou si přímo úměrné. 1 2. Působí-li táž síla na HB o různých hmotnostech, je a ∼ . m r r r 3. Působí-li na HB současně síly F1, F2 , L Fn , je jejich účinek stejný jako účinek jejich r výslednice r r r Fv = F1 + F2 + L + Fn . Ze závěrů 1-3 plyne: 3
r r 2. Newtonův pohybový zákon - Fv = ma
Pozn. 1: r Dosadíme-li do předchozí rovnice konkrétní vyjádření Fv jako funkce souřadnic a času (tj. tzv. silový zákon), mluvíme o pohybové rovnici.
3. Newtonův pohybový zákon (princip) - zákon akce a reakce r Působí-li jedno těleso na druhé při jejich styku silou F12 (akce), r r působí druhé na první silou F21 = − F12 (reakce).
Příklady nejčastějších r sil 1. Gravitační síla Fg - působí v celém objemu tělesa. r r r r r r r 2. Tíha G = Fg + F ∗o ( ≅ Fg , neboť Fg >> F ∗o ). F ∗o - setrvačná síla odstředivá (Země se otáčí). 3. Síly vzájemného působení – lano výtahu na kabinu, kabina na lano. 4. Třecí síla:
4
• statická = tečná složka síly, kterou podložka působí na těleso, které je vůči ní v klidu. Ft s ∈ 0, Fts max , Fts max = f s N , kde f s je součinitel statického tření (je dán kvalitou styčných ploch), N - normálová složka síly, kterou podložka působí na těleso. F
pro F ∈ 0, Fts max zůstane těleso v klidu. se těleso začne pohybovat a síla tření klesne.
Pro F > Fts max Nazývá se pak • kinetická třecí síla = tečná složka síly, kterou podložka působí na těleso, které se po ní smýká. Ft k = f k N , kde f k je součinitel kinetického (též smykového nebo dynamického) tření. Je funkcí kvality styčných ploch a částečně r (většinou nepatrně) i rychlosti v vzájemného pohybu.
5
• síla valivého odporu = tečná složka síly, kterou podložka působí na těleso, které se po ní odvaluje. Ft v = f v N , kde f v je koeficient valivého odporu. Je funkcí kvality styčných r ploch a částečně (většinou nepatrně) i rychlosti v vzájemného pohybu.
6
Pohyb v neinerciálních soustavách. Někdy je vhodné řešit problém v neinerciální souřadné soustavě (jednoduchost popisu). Potom r
r Fv ≠ ma ,
avšak přidáním členů majících význam setrvačných sil lze zachovat její tvar i v neinerciální souřadné soustavě. Úloha:: Neinerciální s. s. S ′ vykonává nerovnoměrný translační pohyb vůči inerciální s. s. S : r Hmotný bod se účinkem výsledné síly FV pohybuje vůči S S ′ . Platí : r r r r r r v = V + v′, a = A + a′ ,
r r kde r V je okamžitá r rychlost a A okamžité zrychlení S ′ vůči S , vr je rychlost a ar je zrychlení hm. bodu v S , v′ je rychlost a a′ je zrychlení hm. bodu v S ′ , Platí: r r r r Fv = ma = m( A + a′) ⇒ S: r r r Fv − mA = ma′ S ′ : chceme ,aby
r r Fv′ = ma ′
r r r∗ r r Z posledních dvou rovnic plyne: F ′ = Fv − mA = Fv + F , r r∗ kde F = − mA
je setrvačná (fiktivní) síla (má původ ve zrychleném pohybu S ′ vůči S a nikoliv v jiných tělesech). r Tedy i v neinerciální souřadné soustavě platí, že součin ma ′ je roven výslednici všech sil (skutečných i setrvačných) Závěr: Postulujeme platnost 2. Newtonova zákona i v neinerciální soustavě S ′ . Potom k silám skutečným musíme přidat i sílu setrvačnou.
7
Pozn.: Síly setrvačné mají na tělesa stejné účinky jako síly skutečné (deformace, změna pohybového stavu)
6/58C. Kaskadér v aute přejíždí vrcholek, jehož profil je přibližně kruhový, s poloměrem 250m (obrázek). Jakou největší rychlostí muže jet, aby vozidlo neztratilo kontakt se silnicí?
8
Mechanická práce, výkon a energie Energie – stavová charakteristika těles, jejich soustav i fyzikálních polí. Podle toho, o jaké stavy se jedná, hovoříme o různých formách energie: • polohové stavy – polohová energie, • pohybové stavy – pohybová energie. Při fyzikálních dějích přechází energie z jedné formy do druhé nebo při interakci systémů si tyto jednu formu předávají. Platí zákon zachování energie: Celková energie libovolné izolované soustavy je stálá při všech dějích, které v ní probíhají. Změny energie a přechody energie mezi soustavami jsou charakterizovány veličinami práce a teplo. r Jestliže jedna soustava rpůsobí na druhou silou F , jejíž působiště se pohybuje, koná síla F práci a přenáší energii rovnou této práci. Tepelná výměna energie – energie se přenáší srážkami molekul , tepelným zářením nebo prouděním látky. Většinou se výměna energie mezi soustavami uskutečňuje současně formou práce i tepelnou výměnou.
9
Práce Experimentální zkušenost: Energie se přenáší, když současně • působiště síly se pohybuje • síla má nenulovou složku ve směru pohybu působiště. Fyzikální definice práce to musí respektovat. 1. Práce stálé síly při přímočarém pohybu působiště
Práce W stálé síly na úseku P1 , P2 je definována takto: →
W = F cos α ⋅ P1P2 [Nm] = [J] Jinak zapsáno:
r r W = F ⋅s .
Pozn.: • Pro
0 ≤ α p 900 → W f 0 , α = 900 → W = 0 , 900 p α ≤ 1800 → W p 0 . • Pohyb je relativní, trajektorie působiště síly je v různých souř. soustavách různá ⇒W je v různých souř. soustavách různá.
10
2. Práce proměnné síly při obecném pohybu působiště
Na trajektorii působiště proměnné síly, která je orientována ve směru pohybu HB, zavedeme dráhovou souřadnici s . Trajektorii rozdělíme na malé elementy ∆s a zavedeme příslušné vektory → r r posunutí ∆r tak, že na každém z nich je práce F ≈ konst . r r r ∆W = F ⋅ ∆r = F ∆r cos α ≈ F ∆s cos α ( ∆r ≈ ∆s ) V lim ∆s → 0 je r r dW = F ds cos α = Fs ds = F ⋅ dr r Práce síly F na úseku P1 P2 je W = Σ∆W . Přesně r r2 r r s2 W = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fs ds r r1
s1
Práce výslednice několika sil působících v jednom bodě (při translačním pohybu i v různých bodech) je rovna součtu prací jednotlivýchr sil.r r r Fv = F1 + F2 + L + Fn ⇒ W = W1 + W2 + LWn
11
Výkon síly r Nechť síla F koná práci W (t ) během časového intervalu t1, t2 . Definice: r • Střední výkon Pstř síly F v časovém intervalu t1, t2 : W (t2 ) − W (t1 ) Pstř = [W]. t2 − t1 • Výkon síly v čase t1 : dW P (t1 ) = limt2 →t1 Pstř = . dt Platí: r Nechť se působiště síly F pohybuje v čase t1 rychlostí v dané r souř. soustavě v1 . Potom:
r r P = F ⋅ v1 .
Pozn.: Pomocí výkonu popisujeme, jak se práce síly koná v čase. Kinetická energie hmotného bodu Nechť se HB pohybuje v inerciální s. s. po libovolné trajektorii r z bodu P1 do bodu P2 účinkem různých sil s výslednicí Fv . Potom r práce WP1 → P2 , kterou přitom vykoná Fv je: 1 1 WP1 → P2 = mv22 − mv12 , 2 2 kde r r m - hmotnost HB, v1 je rychlost HB v bodě P1 , v2 je rychlost HB v bodě P2 . Důkaz provedemervýpočtem: s2 s2 r2 r r s2 dv WP1 → P2 = ∫ Fv ⋅ dr = ∫ Fv s ds = ∫ ma s ds = ∫ m s ds . r dt s1 s1 r1 s1
12
dvs ds ds = dvs = vs dvs , dt dt kde vs je dráhová rychlost. Tedy Je
WP → P 1
2
vs 2
vs 2
s1
s1
1 1 2 2 2 1 = ∫ mvs dvs = mvs = mv2 − mv1 , 2 2 2 v v
r neboť vs1 = v1, vs 2 = v2 ( v = v = vs ).
Rozbor: K přechodu HB z pohybového stavu 1 (rychlost v1 ) do pohybového stavu 2 (rychlost v2 ) je zapotřebí vykonat vždy stejnou práci WP1 → P2 , která nezávisí ani na poloze bodů P1, P2 , ani na tvaru rtrajektorie, ani na rychlostech během pohybu, ani na průběhu Fv na trajektorii, závisí jen na m, v1, v2 . To umožňuje zavést fyzikální veličinu – kinetickou (pohybovou) energii E k v dané souř. soustavě (charakterizuje pohybový stav HB). Definice: 1 Ek = mv 2 [J] 2 Je-li WP1 → P2 f 0 , rychlost HB se zvětšuje a Ek roste. Pozn.: Toto vše platí nejen pro HB, ale pro tuhé těleso, které koná translační pohyb.
13
Potenciální (polohová) energie HB Práce tíhové síly: Tíhové silové pole u povrchu Země je homogenní, tj. tíhová síla → r G = konst . r r G = mg , r kde g je tíhové zrychlení. Vypočtěme práci této síly při přenosu HB z bodu P1 ( x1, y1, z1 ) do bodu P2 ( x2 , y2 , z2 ) .
r r2
y2 z2 r r x2 WG = ∫ G ⋅ dr = ∫ G x dx + ∫ G y dy + ∫ G z dz r r1
x1
y1
14
z1
r G = (0,0,−G ) z2
WG = − mg ∫ dz = mg ( z1 − z2 ) . z1
Tedy práce WG nezávisí na tvaru trajektorie, po níž se HB přemisťuje, ani na rychlosti HB, ale závisí jen na výšce nad rovinou Oxy . To umožňuje zavést potenciální (polohovou) energii EG hmotného bodu v homogenním tíhovém poli (tíhovou energii) Definice: 1. Zvolíme libovolnou rovinu σ a pro každý bod P ∈ σ položíme EG (P ) = 0 . 2. Zavedeme svislou osu Oh s počátkem v σ a orientovanou nahoru. ~ Potom tíhová energie HB v tíhovém poli v bodě P o souřadnici h je EG = mgh [J]
Pozn.: Síly, jejichž práce nezávisí na trajektorii jejich působiště, ale jen na počáteční a koncové poloze tohoto působiště, se nazývají konzervativní. Tedy práce konzervativních sil po uzavřené křivce je nulová.
15
Práce pružné síly Ideální pružina: hmotnost m = 0 , je dokonale pružná, tj. velikost její deformace ∆l je úměrná velikosti F deformující síly (splňuje Hookův zákon). Tuhost pružiny: k =
F ∆l
r Síla pružiny (reakční síla k rdeformující síle F ): r Fp ( x ) = −k x Její práce při její deformaci ze stavu, kdy souřadnice r r působiště síly F je x1 do stavu, kdy souřadnice působiště síly F je x 2 . x2 r 1 1 r 2 2 W p = ∫ Fp ( x ) ⋅ dx = − ∫ k x dx = k x1 − k x 2 2 2 x1 x1 x2
Tato práce nezávisí na způsobu deformace, ale jen na hodnotách x1 a x 2 . (Tedy síla pružina je konzervativní). Je tedy možné zavést veličinu E el =
1 2 kx , která má význam 2
(potenciální) elastické (pružné) energie pružiny.
Mechanická energie hmotného bodu Definice: V zadané souřadné soustavě je
E m = Ek + E pot .
16
Příklad: Pro homogenní tíhové pole Země: E m =
1 2 mv + mgh . 2
Práce a mechanická energie HB se pohybuje z místa P1 do místa P2 v různých překládajících se silových polích. Platí: E m 2 − Em1 = W j , kde W j je součet prací, které na úseku P1 → P2 vykonají nekonzervativní síly. Důkaz: Součet prací všech sil působících na HB při přemístění P1 → P2 :
kde
1 1 2 2 Wv = mv 2 − mv1 , 2 2
(i)
Wv = Wkonz + W j .
(ii)
Platí (viz např. práci tíhové nebo pružné síly):
Wkonz = E pot1 − E pot 2
Dosazením (iii) do (ii) a pak do (i) dostaneme:
1 1 2 2 E pot1 − E pot 2 + W j = mv 2 − mv1 . 2 2 Odtud
E m 2 − Em1 = W j .
Zákon zachování mechanické energie Je-li W j = 0 , je E m 2 = E m1 = konst .
17
(iii)
18
