Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu
Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006.
Návod na práci s učebním textem Jelikož se v učebním textu nachází mnoho odkazů, podám zde drobné vysvětlení jejich značení. Na začátku je uveden obsah, z kterého je možno se dostat na různá místa v celém učebním textu. Odkaz v obsahu je označen černou tučnou kurzívou – např. III. Newtonův zákon. Barevně značené odkazy: - červená kurzíva: odkaz na definici či vysvětlení pojmu (např. polohový vektor) - modře označené velkými písmeny napsaná slova: odkazy na příklady, obrázky, poznámky a výsledky příkladů (např. PŘ, OBR, POZN, VÝSLEDEK)
Pro návraty zpět na původní místa slouží podtržené nadpisy u definic, pojmů, poznámek, příkladů, výsledků ale i v základních stranách učebního textu (např. 3.4 Skládání sil. Příklady sil, Kilogram).
© Kateřina Kárová, 2006
Obsah
1. Mechanika hmotného bodu 1.1 Definice 1.2 Rozdělení mechaniky hmotného bodu 2. Kinematika hmotného bodu 2.1 Hmotný bod 2.2 Určení polohy hmotného bodu 2.2.1 Parametrický popis pohybu 2.3 Rychlost 2.3.1 Průměrná rychlost 2.3.2 Okamžitá rychlost 2.4 Zrychlení 2.4.1 Tečné a normálové zrychlení 2.5 Obecné vzorce pro stanovení trajektorie, rychlosti a zrychlení 2.5.1 Klasifikace pohybů 2.5.2 Přímočaré pohyby 2.5.3 Křivočaré pohyby 3. Dynamika hmotného bodu 3.1 I. Newtonův zákon 3.2 II. Newtonův zákon 3.3 Síla 3.4 Skládání sil. Příklady sil 3.5 Hmotnost 3.6 III. Newtonův zákon 4. Práce, energie a další mechanické veličiny 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
Práce síly Konzervativní síly Potenciální energie Kinetická energie Výkon síly Zákon zachování mechanické energie Intenzita a potenciál silového pole Moment síly a moment hybnosti
1.1 Definice Mechanika hmotného bodu popisuje pohyb hmotných bodů.
1.2 Rozdělení mechaniky hmotného bodu Mechanika: - kinematika Zabývá se pouhým popisem pohybu, nikoli však příčinami, které pohyb způsobují. - dynamika Vyšetřuje závislosti mezi pohybem hmotných bodů a silami, které na ně působí a vyvolávají změny jejich pohybového stavu.
2. Kinematika hmotného bodu 2.1 Hmotný bod Hmotné těleso, jehož rozměry a vnitřní strukturu můžeme zanedbat.
2.2 Určení polohy hmotného bodu Polohu hmotného bodu určujeme vzhledem ke zvolené vztažné soustavě. Zadává se pomocí polohového vektoru, souřadnic….
2.2.1
Parametrický popis pohybu
Nejprve si zvolíme soustavu souřadnic, která bude pevně spjatá s tělesy v okolí pohybujícího se hmotného bodu a sledujeme změnu souřadnic bodu s časem. Pro nejčastěji užívané kartézské souřadnice dostaneme parametrické rovnice pohybu hmotného bodu. PŘ
2.3 Rychlost Rychlost zavádíme pro podrobnější studium jednotlivých pohybů a tím získáme i jedno z kritérií pro jejich vzájemné rozlišení.
2.3.1 Průměrná rychlost Průměrná rychlost je popsána vztahem v =
Δt je délka časového intervalu. OBR
Δr , kde Δr je odpovídající vektor posunutí a Δt
2.3.2 Okamžitá rychlost Okamžitá rychlost: v =
dr , kde r je polohový vektor a t je čas. OBR dt
2.4 Zrychlení Další důležitou charakteristikou pohybu je změna rychlosti s časem, kterou nazýváme zrychlením. Zrychlení: a =
dv , kde v je rychlost a t je čas. OBR dt
Nenulové zrychlení signalizuje, že se mění velikost nebo směr rychlosti částice.
2.4.1 Tečné a normálové zrychlení Zrychlení a : - tečné zrychlení at - složka zrychlení do směru rychlosti OBR - normálové zrychlení an - složka zrychlení, která je kolmá na směr rychlosti OBR Zrychlení a je součtem tečného at a normálového zrychlení an :
a = at + an
2.5 Obecné vzorce pro stanovení trajektorie, rychlosti a zrychlení Zde je uvedeno shrnutí vztahů, pomocí kterých lze úplně popsat pohyb hmotného bodu, tedy určit jeho trajektorii, rychlost a zrychlení.
x = x(t ) (•) y = y (t ), r = r (t ) z = z (t )
dx (t ) dt dy dr (••) v y = (t ), v = (t ) POZN dt dt dz vz = (t ) dt vx =
POZN
PŘ
dv x d 2 x = 2 dt dt dv d2 y dv d 2 r ay = y = 2 , a = = dt dt dt dt 2 dv d2 z az = z = 2 dt dt
ax =
POZN
2.5.1 Klasifikace pohybů - klasifikace dle tvaru trajektorie: Pohybuje-li se hmotný bod po přímce, nazývá se tento pohyb přímočarý. Pohyb, který se neděje po přímce, je pohybem křivočarým. - klasifikace dle změny velikosti rychlosti: Je-li velikost rychlosti v = v s časem konstantní, nazývá se tento pohyb rovnoměrný. Naproti tomu, mění-li se velikost rychlosti s časem, je to pohyb nerovnoměrný.
2.5.2 Přímočaré pohyby Pro jednoduchost položíme jednu ze souřadnicových os do přímky, po níž se hmotný bod děje. Místo tří obecných parametrických rovnic (•) můžeme nyní pohyb popisovat už jen rovnicí jednou, kterou označíme x = x (t ) . Nyní uvedeme několik příkladů pohybů: - Přímočarý rovnoměrný pohyb - Přímočaré nerovnoměrné pohyby - Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený - Harmonický pohyb
2.5.3 Křivočaré pohyby Tyto pohyby se nekonají po přímce. Obecně k vystižení pohybu potřebujeme všechny tři rovnice x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) . Rovinný křivočarý pohyb stačí popsat dvěma parametrickými rovnicemi x = x (t ) a y = y (t ) . Příklady pohybů: - Křivočaré rovnoměrné pohyby - Rovnoměrný kruhový pohyb - Křivočaré nerovnoměrné pohyby - Nerovnoměrný pohyb po kružnici Jestliže se hmotný bod pohybuje v trojrozměrném prostoru, může se například pohybovat po šroubovici, k popisu jeho pohybu potom musíme použít tří parametrických rovnic.
3. Dynamika hmotného bodu Souvislost mezi sílou působící na těleso určité hmotnosti a pohybovým stavem toho tělesa je pro dynamiku velmi podstatnou otázkou, kterou v dostačující míře zodpovídají tři Newtonovy pohybové zákony. Pro jejich základní význam se také nazývají principy. POZN
3.1 I. Newtonův zákon První Newtonův zákon – Zákon setrvačnosti: Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není nuceno vnějšími silami tento svůj pohybový stav změnit. POZN
3.2 II. Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon:
F = m⋅a
POZN
Druhý Newtonův zákon lze vyjádřit i jinak, a to pomocí hybnosti. Ekvivalentní zápis druhého Newtonova zákona:
F=
dp POZN dt
3.3 Síla Síla způsobuje zrychlení hmotného bodu. Jednotkou síly je Newton.
3.4 Skládání sil. Příklady sil Princip superpozice Na základě známého pohybu hmotného bodu lze stanovit sílu (síly), která tento pohyb způsobuje. Z pohybových rovnic lze tedy určit působící sílu. PŘ Příklady sil: - gravitační síla - Lorentzova síla
3.5 Hmotnost Hmotnost tělesa je charakteristika, která určuje poměr mezi silou působící na hmotný bod a jeho zrychlením. Hmotnost již nelze přesněji definovat. Standardní jednotkou hmotnosti v soustavě SI je kilogram. Stejná síla uděluje různým tělesům různá zrychlení. PŘ
3.6 III. Newtonův zákon Síly nikdy nepůsobí samy. Například když se opřeme o stůl, působíme na stůl určitou silou a současně stůl na nás působí stejnou silou opačného směru. Třetí Newtonův zákon – Zákon akce a reakce:
FAB = − FBA
OBR
4. Práce, energie a další mechanické veličiny 4.1 Práce síly Působí-li při pohybu po dané dráze s na hmotný bod konstantní síla F, pak tato síla vykonala práci definovanou vztahem
A = Fs cos α , kde α je úhel, který svírá síla F se směrem pohybu.
OBR
Když na hmotný bod při pohybu ve všech bodech nepůsobí stejná síla, je nutné definici práce rozšířit. Platí tento obecný vztah:
A = ∫ F ⋅ dr C
POZN
OBR
4.2 Konzervativní síly Síly, jež při přemísťování hmotného bodu konají práci závislou pouze na počáteční a koncové poloze hmotného bodu nikoli na trajektorii (křivce), po níž se hmotný bod přemisťuje, se nazývají konzervativní. Práce konzervativních sil po uzavřené křivce je nulová. Příkladem konzervativních sil mohou být síla gravitační, elektrostatická, síla pružiny … . Příkladem nekonzervativní síly je síla třecí.
4.3 Potenciální energie r
Potenciální energie pro konzervativní síly:
V ( r ) = V0 + ∫ Fnaše ⋅ d r . r0
Anaše
My konáme práci v silovém poli: r
Fnaše = − Fpole
⇒ V ( r ) = V0 − ∫ Fpole ⋅ d r r0
POZN
4.4 Kinetická energie Kinetická energie je definovaná vztahem T =
1 mv 2 . 2
4.5 Výkon síly Výkon síly:
P=
dA dt
POZN
4.6 Zákon zachování mechanické energie Pohybuje-li se hmotný bod v konzervativním silovém poli, je součet jeho potenciální a kinetické energie označený E konstantní.
E = T + V = konst
POZN
4.7 Intenzita a potenciál silového pole Tyto veličiny jsou charakteristikami silového pole. Nezávisí na hmotnosti bodu. Intenzita silového pole - gravitačního: E =
F m
- elektrického: E =
F q
Potenciál silového pole:
- gravitačního: ϕ =
V m
- elektrického: ϕ =
V q
4.8 Moment síly a moment hybnosti Moment síly je definován vztahem
M = ( rB − rA ) × F .
OBR
Určujeme-li moment síly působící v místě o polohovém vektoru r vůči počátku soustavy souřadnic, zjednoduší se vztah pro moment síly na tvar:
M = r ×F ¨Moment hybnosti je dán vztahem
L = ( rB − rA ) × p
Obdobně jako u momentu síly se dá výraz pro moment hybnosti upravit. Nachází-li se hmotný bod o hybnosti p v místě s polohovým vektorem r a hledáme-li jeho moment hybnosti vůči počátku soustavy souřadnic, výraz má podobu
L=r×p Působí-li na hmotný bod síla F , lze moment M této síly a moment hybnosti L hmotného bodu určované vzhledem ke stejnému vztažnému bodu svázat vztahem
dL =M dt
(Časová derivace momentu hybnosti je rovna momentu síly).
POZN
Příklady Parametrický popis pohybu 1) Pohyb daný parametrickými rovnicemi: x = 3t y = 4t je pohyb po přímce y = 4/3 x. Trajektorií je v tomto případě přímka.
Obr. 2.2.1.: Trajektorie o rovnici y = 4/3 x Jde o pohyb rovnoměrný? Jaká je rychlost (složky rychlosti, velikost rychlosti)? 2) x = 2t y = t2 Po jaké křivce se koná pohyb daný těmito parametrickými rovnicemi? Jaká je rovnice této křivky? VÝSLEDEK
(obecné vzorce),okamžitá rychlost, zrychlení 3) Určete rychlost a zrychlení hmotného bodu, jehož pohyb je dán rovnicí: a) x = 2t 2 + 4t + 5
⎛1 ⎞ ⎝2 ⎠
b) x = 4 cos ⎜ t ⎟ VÝSLEDEK
Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený 4) Řidič spatřil policejní vůz a začal brzdit. Na dráze 88 m zpomalil z rychlosti 75 km.h-1 na 45 km.h-1. a) Určete zrychlení auta za předpokladu, že bylo během brzdění konstantní. b) Jak dlouho řidič v této fázi pohybu brzdil? c) Řidič dále brzdil se zrychlením určeným v a). Za jak dlouho od začátku brzdění se auto zcela zastaví? d) Jakou dráhu urazí vůz od počátku brzdění do úplného zastavení? e) Při další jízdě řidič opět potřebuje zastavit. Zpomaluje se stejným zrychlením jako v a); počáteční rychlost je však taková, že vůz úplně zastaví na dráze 200 m. Jak dlouho trvá brzdění? VÝSLEDEK
POZN
Skládání, příklady sil 5) Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře v prostředí bez odporu. Jaká je síla, která tento pohyb způsobila? 6) Určete sílu způsobující popsané pohyby bodu o hmotnosti m. v1 ,v 2 , a1 , a2 , a, b1 , b2 , ω jsou konstanty. a)
x = v1t + b1 y = v 2t + b2
b)
x = a1t 2 + b1t y = a2t + b2t 2
c)
x = a1 sin ωt y = a2 cos ωt VÝSLEDEK
Hmotnost 7) Na podlahu položíme dva různé míče – basketbalový a medicinbal. Do obou míčů prudce kopneme. Jaké bude zrychlení basketbalového míče vzhledem k medicinbalu? Čím je způsoben rozdíl zrychlení? VÝSLEDEK
Výsledky Parametrický popis pohybu 1) Jde o pohyb rovnoměrný. Hmotný bod se pohybuje s nulovým zrychlením a s konstantní rychlostí. Složky rychlosti: v x = 3 vy=4
v = v x2 + v y2 = 5 2) Pohyb se koná po parabole o rovnici y = 1/4 x2.
Obr. 2.2.2.: Trajektorie o rovnici y = 1/4 x2
Okamžitá rychlost, zrychlení (obecné vzorce) 3) a) Rychlost a zrychlení vypočtené derivacemi:
dx d = ( 2t 2 + 4t + 5 ) = 4t + 4 dt dt dv d ax = x = ( 4t + 4 ) = 4 dt dt
vx =
b) Rychlost a zrychlení vypočtené derivacemi:
dx d ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛1 ⎞ = ⎜ 4 cos ⎜ t ⎟ ⎟ = −2sin ⎜ t ⎟ dt dt ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝2 ⎠ dv d⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛1 ⎞ ax = x = ⎜ −2sin ⎜ t ⎟ ⎟ = − cos ⎜ t ⎟ dt dt ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝2 ⎠
vx =
Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený 2 2 4) a) Vzorec pro stanovení zrychlení odvodíme z rovnice v x = v 0 x + 2ax ( x − x0 ) (který vznikl
pomocí algebraických úprav prvních dvou rovnic tabulky v příslušné poznámce)
ax =
v x 2 − v 02x (45 km ⋅ h -1 ) 2 − (75 km ⋅ h -1 ) 2 = = −2, 05 ⋅104 km ⋅ h -2 2 ( x − x0 ) 2 ⋅ 0, 088 km
−1, 6 m ⋅ s -2
Zrychlení (zpomalení) automobilu je −1, 6 m ⋅ s -2 . b) Nyní je neznámou veličinou čas a zrychlení se naopak v zadání nevyskytuje.
2 ( x − x0 ) = … = 1,5 ⋅10−3 h v0x +v x Řidič v této fázi pohybu brzdil 5, 4 s . t=
5,3 s
c) Zde nepotřebujeme uvažovat o posunutí (x-x0).V našem případě je konečná rychlost v x nulová.
t=
v x −v0x = … 13 s ax
Automobil se zcela zastaví za 13 s od začátku brzdění. d) Hledaná dráha je přímo rovna posunutí.
1 x − x0 = v 0 x t + ax t 2 = … = 0,137 km 140 m 2 Vůz od počátku brzdění urazí dráhu 140 m. e) Není zde dána počáteční rychlost. K výpočtu použijeme rovnici x − x0 = v x t − viz poznámka). Konečná rychlost v x je v tomto případě nulová.
⎛ 2 ( x − x0 ) ⎞ t = ⎜− ⎟ = … = 16 s ax ⎝ ⎠ Brzdění trvá 16 s.
1 2 ax t (vzorec opět 2
Skládání, příklady sil 5) Při pohybu přímočarém rovnoměrném je zrychlení nulové, čili pohyb se děje bez působení síly. 6) a)
x = v1t + b1 ⎫ x = v1 ⎫ x = 0 ⎫ Fx = mx = 0 ⎪⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬ ⇒ nepůsobí žádné síly y = v 2t + b2 ⎭ y = v 2 ⎭ y = 0 ⎭ Fy = my = 0 ⎭⎪
b)
x = a1t 2 + b1t ⎪⎫ x = 2a1t + b1 ⎫ x = 2a1 ⎫ Fx = 2ma1 ⎪⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬ ⇒ konstantní vektor síly y = a2t 2 + b2t ⎪⎭ y = 2a2t + b2 ⎭ y = 2a2 ⎭ Fy = 2ma2 ⎭⎪
c)
x = a1 sin ωt ⎫ x = a1ω cos ωt ⎫ x = − a1ω 2 sin ωt ⎫⎪ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ y = a2 cos ωt ⎭ y = − a2ω sin ωt ⎭ y = − a2ω 2 cos ωt ⎪⎭ Fx = − mω 2 a1 sin ωt = − mω 2 x ⎫⎪ ⇒ ⎬ centrální síla Fy = − mω 2 a2 cos ωt = − mω 2 y ⎪⎭
Hmotnost 7) Lehčí basketbalový míč získá výrazně větší zrychlení než těžký medicinbal. Na oba jsme působili stejnou silou, přesto oba mají různá zrychlení. Je to způsobeno jejich rozdílnými hmotnostmi.
Definice, pojmy
Parametrické rovnice
x = x(t ) V 3-D prostoru:
y = y (t ) , kde parametr t znamená čas. z = z (t )
Tyto rovnice popisují trajektorii pohybu bodu. Souřadnice x, y, z označují složky vektoru, který značíme r = r (t ) a nazýváme jej polohovým vektorem bodu.
Trajektorie Trajektorie je souhrn všech poloh, kterými při pohybu hmotný bod prochází. Trajektorie je vždy spojitou křivkou, protože u každého fyzikálně reálného pohybu se jeho poloha mění v závislosti na čase spojitě. Délka trajektorie hmotného bodu je dráha.
Polohový vektor hmotného bodu Znázorňujeme ho orientovanou úsečkou s počátkem v počátku souřadnicové soustavy a koncem v místě, kde se nachází hmotný bod. POZN
Obr. 2.2.3.: Polohový vektor hmotného bodu (2-D)
Průměrná rychlost Průměrná rychlost hmotného bodu v časovém intervalu Δt měřeném od okamžiku, kdy byl hmotný bod v místě o polohovém vektoru r , do okamžiku, kdy byl v místě s polohovým vektorem r ′ , je definována jako podíl odpovídajícího vektoru posunutí Δr a délky časového intervalu Δt .
Obr. 2.3.1.: Průměrná rychlost hmotného bodu
Okamžitá rychlost Okamžitá rychlost v je limitou průměrné rychlosti v pro Δt → 0 , tj. derivací polohového vektoru r podle času. POZN
Obr. č. 2.3.3.: Okamžitá rychlost hmotného bodu a její rozklad do složek
Zrychlení Zrychlení (též někdy nazývané okamžité zrychlení) je limitou průměrného zrychlení a , pro Δt → 0 . POZN
Obr. č. 2.4.1.: Rozklad zrychlení do složek
Průměrné zrychlení
v 2 − v1 Δv = se nazývá průměrným zrychlením v časovém intervalu Δt , Δt Δt v kterém se rychlost hmotného bodu změnila z v1 na v 2 .
Podíl a =
Tečné zrychlení Tečné zrychlení charakterizuje změnu velikosti rychlosti s časem. Jeho velikost je definována vztahem at =
dv . Tečné zrychlení je rovno časové derivaci velikosti dt
rychlosti. Jestliže se velikost rychlosti zvětšuje, je tečné zrychlení orientováno souhlasně se směrem rychlosti hmotného bodu, zmenšuje-li se velikost rychlosti, má tečné zrychlení opačný směr než je směr rychlosti bodu.
Obr. č. 2.4.2.: Tečné a normálové zrychlení
Normálové zrychlení Velikost normálového zrychlení an souvisí se zakřivením dráhy pohybu. Platí rovnice an =
v2 , kde R je poloměr oskulační kružnice dráhy bodu a v velikost R
rychlosti bodu ve zkoumaném místě.
Obr. č. 2.4.3.: Tečné a normálové zrychlení
Oskulační kružnice Oskulační kružnice nahrazuje v studovaném místě trajektorii hmotného bodu (přibližné nahrazení křivky kružnicí).
Přímočaré nerovnoměrné pohyby To jsou takové pohyby, při kterých se hmotný bod pohybuje po přímce s nekonstantní rychlostí.
Přímočarý rovnoměrný pohyb Parametrická rovnice: x = v t + x0 , kde v i x0 jsou konstanty, v je rychlost (ne velikost rychlosti) a x0 je poloha hmotného bodu v čase t = 0.
Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený Děje se po přímce, má konstantní zrychlení.
1 2 at + v 0t + x0 , kde x0 , v 0 , a jsou konstanty. 2
Parametrická rovnice:
x=
Rychlost pohybu:
v x = at + v 0 .
Zrychlení:
ax = konst . PŘ
V případě záporného zrychlení se jedná o rovnoměrně zpomalený pohyb.
Obr. 2.5.1.:Rovnoměrně zrychlený pohyb hmotného bodu a) Časová závislost polohy x (t), b) Časová závislost rychlosti v x (t), c) Zrychlení hmotného bodu ax (t).
Harmonický pohyb Závislost polohy hmotného bodu na čase je dána harmonickou funkcí, tj. sinus, kosinus nebo jejich vzájemnou kombinací. Rovnice harmonického pohybu: x = A sin(ωt + α ) + x0 , kde A ( A > 0) je amplituda kmitu, (ωt + α ) fáze kmitu, ω (ω > 0) se nazývá kruhová či POZN úhlová frekvence a konstanta α je počáteční fáze. Rychlost:
v x = Aω cos(ωt + α )
POZN
Zrychlení:
ax = − Aω 2 sin(ωt + α )
POZN
T=
2π
ω
…………………. doba kmitu.
1 …………………. frekvence T ω = 2π f ………….. vztah mezi úhlovou frekvencí a frekvencí f =
Doba kmitu T Po této době se celý průběh pohybu opakuje.
Frekvence f Je to převrácená hodnota doby kmitu. Udává počet kmitů vykonaných za jednotku času.
Křivočaré rovnoměrné pohyby Jsou to pohyby, které se nekonají po přímce. Velikost vektoru rychlosti při nich zůstává stálá, ale vektor rychlosti mění svůj směr.
Křivočaré nerovnoměrné pohyby Je to nejobecnější druh pohybu. Vybereme-li za parametrické rovnice pohybu libovolné tři funkce (•), ve většině případů se tedy bude jednat o pohyb křivočarý nerovnoměrný.
Rovnoměrný kruhový pohyb Parametrické rovnice:
Rychlost:
Zrychlení: Úhlová rychlost:
x = R cos(ωt + α ) + x0 y = R sin(ωt + α ) + y0
, kde R, ω, α, x0, y0 jsou konstanty.
v x = − Rω sin(ωt + α ) v y = Rω cos(ωt + α )
ax = − Rω 2 cos(ωt + α ) a y = − Rω 2 sin(ωt + α )
POZN
POZN
POZN
ω = 2π f , kde f je počet obrátek za sekundu (frekvence kruhového pohybu).
Doba oběhu:
T=
1 2π = ω f
POZN
Obr. 2.5.1.: Rychlost a zrychlení částice při rovnoměrném pohybu po kružnici
Rovnoměrný pohyb po šroubovici Parametrický popis pohybu po šroubovici:
x = R cos ωt y = R sin ωt z = kt
Nerovnoměrný pohyb po kružnici Parametrické rovnice:
x = R cos ϕ (t ) y = R sin ϕ (t )
,
kde R je konstanta a φ(t) je libovolná funkce času.
POZN
dϕ (t ) sin ϕ (t ) dt POZN dϕ (t ) cos ϕ (t ) vy = R dt 2 d 2ϕ ⎛ dϕ ⎞ ax = − R 2 sin ϕ (t ) − R ⎜ ⎟ cos ϕ (t ) dt ⎝ dt ⎠ vx = −R
Rychlost:
Zrychlení:
složka tečného zrychlení
složka normálového zrychlení 2
ay = R
d 2ϕ ⎛ dϕ ⎞ cos ϕ (t ) − R ⎜ ⎟ sin ϕ (t ) 2 dt ⎝ dt ⎠
složka tečného zrychlení
složka normálového zrychlení
Vztažná inerciální soustava, inerciální systém Inerciální systém je systém, vůči němuž je libovolný volný hmotný bod v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu.
Volný hmotný bod, volná částice Hmotný bod (částice), na který nepůsobí žádné síly.
Newton 1 Newton je síla udělující hmotnému bodu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1 m ⋅ s -2 . Značí se N. Zapisujeme: 1N = (1kg) ⋅ (1m ⋅ s -2 ) = 1kg ⋅ m ⋅ s -2
Síla Síla je fyzikální veličina charakterizující vzájemné působení hmotných bodů (těles). Hmotné body na sebe mohou silově působit buď bezprostředně vzájemným dotykem, nebo na dálku pomocí silového pole (např. gravitačního nebo elektrického pole). Velikost síly lze stanovit pomocí velikosti zrychlení, které síla způsobuje. Zrychlení je vektorovou fyzikální veličinou (má velikost i směr). Z toho plyne, že můžeme i síle přisoudit směr a že i síla je vektorová fyzikální veličina. Pro značení síly se používá známý symbol F .
Princip superpozice Síly se dají skládat. Pro síly platí pravidla pro počítání s vektory. Výsledná síla (výslednice) je vektorovým součtem všech působících sil a značí se Fvýsledná =
n
∑F . i =1
i
Kilogram Někdy též nazývaný standardní kilogram. Značka pro tuto jednotku je kg. Původně byl definován jako hmotnost jednoho litru vody. Nyní je podle mezinárodní úmluvy stanoven hmotností válce vyrobeného ze slitiny platiny a iridia, který je uložen v Mezinárodním ústavu pro váhy a míry v Sèvres u Paříže.
Hybnost Hybnost částice je vektorová fyzikální veličina definovaná vztahem hmotnost částice a v je její rychlost.
p = m ⋅v , kde m je
Vyjádření změny hybnosti pomocí druhého Newtonova zákona:
dp =F ⇒ dt
tB
t
t
B B dp ∫t dt dt = t∫ Fdt ⇒ pB − pA =t∫ Fdt A A A
Změna hybnosti je rovna impulzu síly.
III. Newtonův zákon Síly, jimiž na sebe působí dva hmotné body, jsou stejně velké, navzájem opačného směru.
Obr. 3.6.1.: Zákon akce a reakce
Gravitační síla - v homogenním poli:
F = m⋅ g ,
kde g je tíhové zrychlení a m je hmotnost bodu. - síla, kterou se přitahují dva hmotné body:
F = −κ
M ⋅m r , r2 r
kde κ je gravitační konstanta, m, M jsou hmotnosti dvou na sebe navzájem působících hmotných bodů. Tyto hmotnosti mohou být odlišné.
Lorenzova síla Je to síla F magnetického pole, která působí na náboj q. Závisí na směru a velikosti rychlosti v testovacího náboje q:
(
)
F = q v × B , kde B je magnetická indukce.
Práce Práce se značí A (pochází to z německého slova arbeit). Jednotkou práce je joule (J).
[ A] = N ⋅ m = J
Obr. 4.1.1.: Působení síly na hmotný bod v pohybu
Potenciální energie Potenciální energie je skalární fyzikální veličina charakterizující vzájemné silové působení hmotných bodů. Závisí na jejich vzájemné poloze. Potenciální energie se značí V. Jednotkou potenciální energie je joule [V ] = J .
Kinetická energie Kinetickou energii mají hmotné body pohybující se vzhledem k dané vztažné soustavě (na jejíž volbě závisí). Kinetická energie je skalár, který charakterizuje pohybový stav hmotných bodů. Jednotkou kinetické energie je opět joule - [T ] = J .
Výkon síly Výkon je skalární veličina vyjadřující rychlost konání mechanické práce. Hlavní jednotkou výkonu je watt. [ P ] = W = J ⋅ s -1 . Výkon 1W má síla, která vykoná práci 1J za dobu 1s.
Intenzita silového pole Intenzita E je vektorová fyzikální veličina charakterizující dané silové pole, například pole gravitační, pole elektrické atd.. Intenzita gravitačního pole
E=
κM r3
r,
kde κ je gravitační konstanta. Její velikost je 6, 67 ⋅10−11 N ⋅ m 2 ⋅ kg −2 . Jednotkou intenzity gravitačního pole je newton na kilogram. ⎡⎣ E ⎤⎦ = N ⋅ kg -1 = m ⋅ s -2 . Intenzita gravitačního pole je vlastně gravitační zrychlení, jak je vidět již z jednotky intenzity. Intenzita elektrického pole (coulombovského)
E=
1 Q r, 4πε r 3
kde Q je bodový náboj, který způsobuje toto pole, ε je permitivita prostředí a r je vzdálenost, v které intenzitu studujeme. Jednotkou intenzity je newton na coulomb. V praxi se používá jednotka volt na metr. ⎣⎡ E ⎦⎤ = N ⋅ C-1 = V ⋅ m -1 .
Potenciál silového pole Potenciál ϕ je skalární fyzikální veličina. Je odvozen od potenciální energie. Nezávisí na hmotnosti (náboji) hmotného bodu (částice), který se v daném silovém poli pohybuje. Nejčastějším příkladem potenciálu je potenciál elektrický: Potenciální energie elektrického náboje q v poli náboje Q je definována vztahem
V=
1 Qq . 4πε r
Z tohoto vztahu vyplývá vztah pro potenciál elektrického pole ϕ = Jednotkou elektrického potenciálu je volt. [ϕ ] = V .
1 Q . 4πε r POZN
Příkladem síly, která nemá potenciál, je síla třecí nebo síla Lorenzova ( F = qv × B ).
Moment síly Jednotkou momentu síly je newtonmetr. ⎡⎣ M ⎤⎦ = N ⋅ m .
Moment síly M zavedený rovnicí M = ( rB − rA ) × F je vektor kolmý na rovinu vektorů rB − rA a F . Je-li soustava souřadnic, v níž vektorový součin stanovujeme, soustavou pravotočivou, tvoří vektory rB − rA , F a M v uvedeném pořadí pravotočivý systém.
Obr. č. 4.8.1.: Moment síly vůči bodu A
Moment hybnosti Moment hybnosti L je vektorová fyzikální veličina.
⎡ L ⎤ = kg ⋅ m 2 ⋅ s -1 ⎣ ⎦
Poznámky Polohový vektor hmotného bodu Polohový vektor rozepsaný pomocí svých složek:
r = xex + yey + zez , kde ex , e y , ez jsou jednotkové vektory souřadnicových os.
Okamžitá rychlost Dosazením r = xex + yey + zez do rovnice v =
v=
dr dostaneme dt
d dx dy dz ( xex + yey + zez ) = ex + ey + ez . dt dt dt dt
Složky vektoru rychlosti tedy jsou v x =
dx dy dz , v y = , vz = a v lze psát ve tvaru dt dt dt
v = v x ex + v y ey + v z ez .
PŘ
Zrychlení Dosazením v = v x ex + v y ey + v z ez do rovnice a =
a=
Označíme-li si ax =
dv dostaneme dt
dv dv dv d v x ex + v y ey + v z ez ) = x ex + y ey + z ez . ( dt dt dt dt
dv dv x dv , a y = y , az = z jako složky vektoru zrychlení a , dt dt dt
můžeme předchozí rovnici přepsat na tvar
a = ax ex + a y ey + az ez .
PŘ
Obecné vzorce pro stanovení trajektorie Tyto parametrické rovnice popisují trajektorii hmotného bodu s uvážením času t (parametr), kdy se v kterém místě dráhy bod nachází. Rovnice r = r (t ) popisuje pohyb bodu zapsáním časového vývoje jeho polohového vektoru r . Tvar trajektorie hmotného bodu získáme vyloučením parametru t z parametrických rovnic.
Obecné vzorce pro stanovení rychlosti Rychlost v bodu pohybujícího se po trajektorii (•) stanovíme derivováním rovnic (•) dle času t. Rychlost takto určená je opět funkcí času t.
Obecné vzorce pro stanovení zrychlení Zrychlení určíme opětným derivováním rovnic (•), čili derivací rovnic (••) podle času t. Zrychlení je zde také funkce času.
Harmonický pohyb – rovnice harmonického pohybu Hmotný bod řídící se rovnicí harmonického pohybu se pohybuje jen po úsečce − A ≤ x − x0 ≤ A . Střed této úsečky leží v bodě x0, což je rovnovážná poloha. Harmonický kmit je pohybem periodickým.
Harmonický pohyb – rychlost Rychlost je harmonická funkce času. Velikost rychlosti má maximální hodnotu v rovnovážné poloze. Rychlost (její x-ovou složku) lze z rovnice x = A sin(ωt + α ) + x0 spočítat derivací:
vx =
dx d = ( A sin (ωt + α ) + x0 ) = Aω cos (ωt + α ) dt dt
Harmonický pohyb – zrychlení Zrychlení je harmonická funkce času, podobně jako rychlost. Velikost zrychlení je maximální v krajních polohách pohybu. Zrychlení se vypočte z rovnice pro rychlost
v = Aω cos(ωt + α ) derivováním, nebo druhou derivací z rovnice
ax =
x = A sin(ωt + α ) + x0 .
dv x d = ( Aω cos(ωt + α ) ) = − Aω 2 sin (ωt + α ) dt dt
Porovnáním rovnice harmonického pohybu s rovnicí pro zrychlení nám vychází vztah mezi zrychlením a výchylkou pohybujícího se hmotného bodu ax = −ω 2 ( x − x0 ) . Zrychlení harmonického pohybu je tedy úměrné výchylce (x − x0 ) a má opačný směr.
Rovnoměrný kruhový pohyb - dráha Dráhu hmotného bodu určíme vyloučením parametru t z parametrických rovnic. Tím dostaneme rovnici pro kružnici ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = R 2 . Hmotný bod se tedy pohybuje po kružnici o poloměru R se středem v bodě x0 , y0..
Rovnoměrný kruhový pohyb – rychlost Velikost rychlosti je konstantní, což ukazuje následující rovnice: v = v = v x 2 + v y 2 = R ω . Znaménko ω udává, v jakém smyslu se pohybuje hmotný bod po kružnici ( ω < 0 ve směru nebo ω > 0 proti směru hodinových ručiček). Velikost vektoru rychlosti může být pouze kladná, proto je v této rovnici úhlová rychlost v absolutní hodnotě.
Rovnoměrný kruhový pohyb – zrychlení Zavede-li se vektor r ′ s počátkem ve středu kružnice ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = R 2 a konec
v místě okamžité polohy hmotného bodu, který koná kruhový pohyb, můžeme vztah mezi r ′ a
a psát jako a = −ω 2 r ′ (plyne to z porovnání rovnic pro trajektorii tohoto pohybu s rovnicemi pro zrychlení). Vektor r ′ směřuje od středu kružnice k místu, kde se hmotný bod nachází a zrychlení hmotného bodu má míří do středu kružnice. Proto se mu říká dostředivé zrychlení. Jeho velikost určuje rovnice a = a = ω 2 R =
v . R
Rovnoměrný kruhový pohyb – doba oběhu Doba oběhu (perioda) je doba, za kterou hmotný bod oběhne kružnici jednou dokola.
Nerovnoměrný pohyb po kružnici - trajektorie Po vyloučení parametru t z parametrických rovnic dostaneme rovnici pro trajektorii: x2 + y 2 = R2 , ze které je vidět, že se hmotný bod pohybuje po kružnici o poloměru R. Z obrázku lze odvodit význam funkce φ(t). Udává úhel, který svírá polohový vektor r (průvodič) bodu s kladným směrem osy x. Jak rychle obíhá hmotný bod po kružnici nám udává derivace funkce φ(t).
Nerovnoměrný pohyb po kružnici - rychlost
dϕ dϕ je konstantní právě tehdy, když udávající dt dt úhlovou rychlost ω je konstantní. Z toho po integraci a tím i vyjádření funkce ϕ = kt + ϕ0 Velikost rychlosti v = v = v x 2 + v y 2 = R
plyne, že pohyb je rovnoměrný, jen když úhel φ je lineární funkcí času (viz rovnoměrný kruhový pohyb). Pro všechny ostatní závislosti úhlu φ na čase je tento pohyb pohybem
dϕ udává změnu úhlu s časem a tedy i úhlovou dt rychlost ω, která je obecnou funkcí času ω = ω (t ) . nerovnoměrným. I pro tento případ výraz
Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený - příklad Pomůcka pro počítání příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb: Rovnice 1
v x = v 0 x + axt
Chybějící veličina (•)
2
1 x − x0 = v 0 xt + ax t 2 (••) 2 2 2 3 v =v +2a ( x−x ) x x 0x 0 4 5
1 (v 0 x + v x ) t 2 1 x − x0 = v x t − ax t 2 2
x − x0 =
x − x0 vx
t ax v0x
Odvozování rovnic (3), (4) a (5) probíhá za pomoci různých algebraických úprav rovnic (1) a (2). 1) Odvození vzorce (3):
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 vx2 = v02x +2v0xatx +(atx )2 = v02x +2ax ⎜v0xt + atx 2 ⎟ =v02x +2ax ( x−x0 ) 2 ⎟ ⎜ − x x 0 ⎝ ⎠ 2) Odvození vzorce (4):
⎛ ⎞ 1 ⎞ ⎛ x − x0 = ⎜v 0 x + axt ⎟ t ⇒ 2 ( x − x0 ) = ⎜ 2v 0 x + ax t ⎟ t ⇒ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ v x −v 0 x ⎠ ⎝ 3) Odvození vzorce (5):
1 1 1 x − x0 = v 0 x t + ax t 2 = v xt − ax t 2 + ax t 2 = v xt − axt 2 2 2 2 v −a t x
x
x − x0 =
1 (v 0 x + v x ) t 2
Dynamika hmotného bodu Vždy by se mělo uvádět vzhledem k jaké soustavě tzv. vztažné inerciální soustavě studujeme daný stav tělesa.
I. Newtonův zákon První Newtonův zákon lze interpretovat i tak, že zaručuje existenci preferovaných vztažných soustav, v nichž platí zákony newtonovské mechaniky (v těchto soustavách jsou volné částice v klidu nebo se pohybují stálou rychlostí). Z uvedeného hlediska lze první Newtonův zákon vyjádřit také takto: První Newtonův zákon: S každou volnou částicí lze spojit vztažnou soustavu, v níž jsou ostatní volné částice v klidu, nebo se vůči ní pohybují stálou rychlostí.
II. Newtonův zákon - síla Výslednice sil F je vektorový součet všech sil, které působí na hmotný bod. (Pokud je výslednice sil nulová F = 0 , hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře – jako by byl volný. Působící síly se navzájem vyrušily.)
II. Newtonův zákon - hybnost Přepis druhého Newtonova zákona pomocí hybnosti:
p = m ⋅v , F = m ⋅ a = m
dv d ( mv ) d p = = dt dt dt
III. Newtonův zákon Jedna z těchto sil se nazývá akce a ta druhá reakce. Tyto síly působí vždy na různá tělesa. Proto se nesčítají ve výslednici a nemohou se tedy vyrušit.
Práce K odvození obecného vztahu pro výpočet práce použijeme vzorec
d A = Fd s cos α = F ⋅τ ⋅ d s , kde τ je tečný vektor ve směru malého posunutí ds a α je úhel mezi vektory F a τ . Celkovou práci získáme integrací předchozí rovnice.
A=
∫ ( F ⋅τ ) ds
C
Pro posunutí platí Δr = τ ⋅ Δs , takže integrál lze přepsat na tvar
A = ∫ F ⋅dr C
Zde je odvozen nejobecnější vzorec pro stanovení práce.
Obr. č. 4.1.2.: Síly působící na pohybující se hmotný bod po obecné trajektorii
Obr. č.4.1.3.: Změna polohového vektoru
Potenciální energie Z potenciální energie lze vypočítat sílu pomocí vztahu:
⎛ ∂V ∂V ∂V ⎞ F = −grad V ⇒ F = − ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
Výkon síly Odvození alternativního způsobu výpočtu výkonu síly:
P=
dA F ⋅ d r dr = =F⋅ = F ⋅v dt dt dt v
Zákon zachování mechanické energie Pomocné odvození vztahu mezi výkonem a potenciální energií:
dV dt
ΔV Δt
V ( r2 ) − V ( r1 ) − F ⋅ Δ r = = − F ⋅v = − P Δt Δt
Výpočet výkonu síly pomocí derivace kinetické energie:
m
dv = F / ⋅v dt
⇒ mv ⋅
dv dT = F ⋅v = P ⇒ =P dt dt
d ⎛1 2⎞ ⎜ mv ⎟ dt ⎝ 2 ⎠
Z těchto odvození následovně plyne zákon zachování mechanické energie.
dT dV dT dV =P=− ⇒ + =0 ⇒ dt dt dt dt d⎛ ⎞ ⇒ T + V ⎟ = 0 ⇒ E = T + V = konst ⎜ dt ⎝ E ⎠
Obr. č. 4.6.1.: Odvození vztahu mezi potenciální energií a výkonem síly
Potenciál silového pole V elektrostatice mezi potenciálem a intenzitou elektrického pole platí vztah:
E = −gradϕ
Moment síly a moment hybnosti Důkaz vztahu mezi momentem síly a momentem hybnosti:
dL d dr dp = (r × p) = × p+r× = v ×v m + r × F dt dt dt dt = 0, protože to jsou M rovnoběžné vektory
⇒
dL =M dt
