Mechanica Lennaert Huiszoon November 14, 2010
Abstract Dit is een samenvatting van de stof voor het eerste schoolexamen Natuurkunde. De onderwerpen die behandeld worden zijn: beweging, krachten, energie en momenten.
Contents 1 2
3
Inleiding
2
Kinematica: Beweging
2.1 Tijd . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Plaats . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Snelheid . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Gemiddelde snelheid . . . 2.3.2 Snelheid op een tijdstip . 2.4 Versnelling . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Gemiddelde versnelling . 2.4.2 Versnelling op een tijdstip 2.5 Conclusie . . . . . . . . . . . . . Dynamica: Kracht en beweging
3.1 3.2 3.3 3.4
Massa . . . . . . . . . . . . . . Kracht . . . . . . . . . . . . . . De wetten van Newton . . . . . Interacties . . . . . . . . . . . . 3.4.1 duw- of trekkracht . . . 3.4.2 Zwaartekracht . . . . . 3.4.3 Wrijvingskracht . . . . . 3.4.4 Gewicht . . . . . . . . . 3.4.5 Normaalkracht . . . . . 3.4.6 Veerkracht . . . . . . . 3.4.7 Spankracht . . . . . . . 3.4.8 Gravitatiekracht . . . . 3.5 Kracht en rechtlijnige beweging 1
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
3
3 3 3 3 5 7 7 7 7
8
8 8 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11
3.5.1 Eenparige beweging . . . . . 3.5.2 Eenparig versnelde beweging 3.5.3 Vrije Val . . . . . . . . . . . 3.6 Kracht en kromlijnige beweging . . . 3.6.1 Schuine en horizontale worp . 3.6.2 Eenparige cirkelbeweging . . 3.6.3 Hemelmechanica . . . . . . . 3.7 Modelleren . . . . . . . . . . . . . . 4
5
1
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
4.1 Arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Arbeid verricht door zwaartekracht . 4.1.2 Arbeid verricht door wrijvingskracht 4.2 Kinetische energie . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Zwaarte-energie . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Warmte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Wet van behoud van energie . . . . . . . . . 4.6 Vermogen en rendement . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Arbeid en energie
Statica: Kracht en evenwicht
12 12 12 13 13 14 15 15 16
16 17 17 17 18 18 18 19
20
5.1 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 Zwaartepunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.3 Algemene evenwichtsvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Inleiding
Doel van de natuurkunde is het beschrijven van de wereld/natuur/heelal met natuurwetten. De natuurwetten zijn wiskundige verbanden tussen grootheden. Grootheden zijn dingen die we kunnen meten. Door middel van metingen kunnen de natuurwetten worden getoetst. Grootheden worden uitgedrukt in eenheden: grootheid = getal × eenheid
waarbij het getal in de wetenschappelijke notatie staat: een getal tussen de 1 en 10 maal een macht van 10. Bijvoorbeeld: m = 9, 170 · 1031 kg
De cijfers voor de macht van tien heten signi cante cijfers. Het aantal signi cante cijfers is een maat voor de nauwkeurigheid van de meting. Vuistregel: het antwoord van een natuurkundige berekening moet hetzelfde aantal signi cante cijfers hebben als het minst nauwkeurige getal in de opgave.
2
2
Kinematica: Beweging
Kinematica is het onderdeel van de natuurkunde dat beweging bestudeert. Voor het gemak zullen we ons vooralsnog beperken tot rechtlijnige beweging. De relevant grootheden en SI eenheden zijn tijd, plaats, snelheid en versnelling. 2.1
Tijd
Tijd is datgene dat de klok aanwijst. De eenheid van tijd is seconde. Soms worden de eenheden minuut (1 min = 60 s), uur (1 h = 60 min), dag (1 dag = 24 h) en jaar (1 jaar = 365 dag) gebruikt. Vaak nemen we t = 0 als begintijd. Tijdsduur is het verschil van twee tijden: ∆t = t2 − t1 2.2
Plaats
Plaats is datgene dat de lineaal aanwijst. De eenheid van plaats is meter . De plaats-tijdfunctie x(t) van een lichaam geeft voor elk tijdstip t de plaats x van dat lichaam. De gra ek van x(t) heet het plaats-tijddiagram. Voor een voorbeeld, zie guur 2.1. De verplaatsing op een tijdsinterval [t1 , t2 ] is ∆x = x(t2 ) − x(t1 )
De verplaatsing is positief (negatief) als het lichaam naar rechts (links) beweegt. De afgelegde weg s is het daadwerkelijke aantal meter dat een lichaam heeft afgelegd. Als x(t) bekend is, kunnen s en ∆x worden berekend. Andersom kan dit niet. Dit is de reden waarom we voornamelijk de plaatsfunctie gebruiken. 2.3 2.3.1
Snelheid Gemiddelde snelheid
De gemiddelde snelheid op een tijdsinterval [t1 , t2 ] kan je berekenen met vgem =
x(t2 ) − x(t1 ) ∆x = ∆t t2 − t1
In het x(t) diagram is dit de richtingscoë ciënt van de lijn door (t1, x(t1 ))en (t2, x(t2 )), zie guur 2.2 . Bovenstaande formule kan je omschrijven als ∆x = vgem · ∆t
3
12
10
8
6
x(m)
4
2
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
4,5
5
-2
-4
-6
-8 t(s)
Figure 2.1: plaatstijd diagram x(t) = t3 − 6t2 + 10t − 6 12
10
8
6
x(m)
4
2
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-2
-4
-6
-8 t(s)
Figure 2.2: De gemiddelde snelheid op het interval [2s, 4s] is gelijk aan 2−−2 4−2 = 2m/s. 4
∆x ∆t
=
15
10
x(m)
5
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-5
-10
-15 t(s)
Figure 2.3: De snelheid op t = 3, 5 s is gelijk aan de rc van de raaklijn. 2.3.2
Snelheid op een tijdstip
In de limiet ∆t → 0 wordt de gemiddelde snelheid de snelheid op een tijdstip . De snelheid-tijdfunctie v(t) is daarom de afgeleide van de plaats x(t): v(t) = x0 (t)
Als de formule voor x(t) bekend is, kan je v(t) dus berekenen door te dierentiëren. Voorbeeld: als x(t) = 6t4 − 5t2 − 1 dan is v(t) = 24t3 − 10t. Snelheid kan positief of negatief zijn. Een positieve snelheid is een beweging naar 'rechts', een negatieve snelheid is een beweging naar 'links'. Gra sch kan je met behulp van de raaklijnmethode uit een x(t)-diagram de snelheid op een tijdstip vinden, zie guur 2.3 . Als je dat voor elk tijdstip doet, krijg je het snelheid-tijddiagram in guur 2.4 . Als de formule voor v(t) bekend is, én je kent de beginplaats x0 , dan kan je de plaatsfunctie x(t) berekenen door te primitiveren. Voorbeeld: als v(t) = 12t−8t7 dan is x(t) = 6t2 − t8 + x0 . Gra sch kan je met behulp van de oppervlaktemethode uit een v(t)-diagram de verplaatsing vinden. Zie guur??.
5
5
20
15
v(m/s)
10
5
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
4,5
5
-5 t(s)
Figure 2.4: Het snelheid-tijd diagram v(t) = 3t2 − 12t + 10 20
15
v(m/s)
10
5
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-5 t(s)
Figure 2.5: De gemiddelde versnelling op het interval [1s, 4s] is gelijk aan 2 10−1 4−1 = 3m/s . 6
∆v ∆t
=
2.4 2.4.1
Versnelling Gemiddelde versnelling
De gemiddelde versnelling op een tijdsinterval [tbegin , teind ] kan je berekenen met agem =
v(teind ) − v(tbegin ) ∆v = ∆t teind − tbegin
In het v(t) diagram is dit de richtingscoë ciënt van de lijn door (tbegin, v(tbegin ))en (teind, v(teind )), zie guur 2.5. Bovenstaande formule kan je omschrijven als ∆v = agem · ∆t 2.4.2
Versnelling op een tijdstip
In de limiet ∆t → 0 wordt de gemiddelde versnelling de versnelling op een tijdstip. De versnelling a(t) is dus de afgeleide van de snelheid v(t): a(t) = v 0 (t)
Als de formule voor v(t) bekend is, kan je a(t) dus berekenen door te dierentiëren. Voorbeeld: als v(t) = 6t4 − 5t2 − 1 dan is a(t) = 24t3 − 10t. De versnelling kan positief of negatief zijn. Een positieve versnelling is een toename van de snelheid, een negatieve versnelling is een afname van de snelheid. Een beweging heet versneld als v en a allebei positief of allebei negatief zijn. Een beweging heet vertraagd als de éen positief en de andere negatief is. Een beweging heet eenparig als de versnelling nul is. Een beweging heet eenparig versneld als de versnelling constant is. Gra sch kan je met behulp van de raaklijnmethode uit een v(t)-diagram de snelheid op een tijdstip vinden, zie guur 2.6. Als je dat voor elk tijdstip doet, krijg je het versnelling-tijddiagram, zie guur 2.7. Als de formule voor a(t) bekend is, én je kent de beginsnelheid v0 , dan kan je de snelheidsfunctie v(t) berekenen door te primitiveren. Voorbeeld: als a(t) = 12t − 8t7 dan is v(t) = 6t2 − t8 + v0 . Gra sch kan je met behulp van de oppervlaktemethode uit een a(t)-diagram de snelheidsverandering vinden. Zie guur??. 2.5
Conclusie
De versnelling is de tweede afgeleide van de plaats. Dit noteren we als a(t) = x00 (t)
Als de formule voor x(t) bekend is, kan je a(t) dus berekenen door tweemaal te dierentiëren. Voorbeeld: als x(t) = 5t3 + 3t2 dan a(t) = 30t + 6.
7
20
15
10
v(m/s)
5
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-5
-10
-15 t(s)
Figure 2.6: De versnelling op t = 3, 5s is gelijk aan de rc van de raaklijn. Als de formule voor a(t) bekend is, én je kent de beginsnelheid v0 en de beginplaats x0 , dan kan je de plaats x(t) berekenen door tweemaal te primitiveren. Voorbeeld: als a(t) = 6t dan v(t) = 3t2 + v0 en x(t) = t3 + v0 t + x0 . Samenvattend: als je van een lichaam de versnelling, de beginsnelheid en de beginplaats kent, kan je de plaats in principe op elk tijdstip berekenen.
3
Dynamica: Kracht en beweging
Dynamica is het onderdeel van de natuurkunde dat kracht en beweging bestudeert. De relevante grootheden zijn, naast de kinematische grootheden van het vorige hofdstuk, kracht en massa. 3.1
Massa
Massa is hoeveelheid materie. De eenheid van massa is kilogram (kg). 3.2
Kracht
Kracht is de oorzaak van bewegings- of vormverandering. Als een lichaam van vorm of snelheid verandert heeft er een kracht gewerkt op dat lichaam. Kracht is een vectorgrootheid : het heeft een aangrijpingspunt, een grootte en een richting. Soms schrijven we F~ om het vectorkarakter te benadrukken, zoals in tekeningen waar krachten als pijltjes worden weergegeven.
8
5
20
15
10
a(m/s^2)
5
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-5
-10
-15 t(s)
Figure 2.7: Het versnelling-tijd diagram a(t) = 6t − 12 Op een lichaam kunnen meerdere krachten werken. De resultante kracht
Fres krijg je door alle vectoren op te tellen ('kop-aan-staart' methode of paral-
lellogrammethode). Omgekeerd kan je elke kracht F~ ontbinden in twee loodrechte op elkaar staande krachten F~x en F~y . Deze componenten zijn dan Fx = F · cosα
Fy = F · sinα
met α de hoek tussen F~ en F~x . 3.3
De wetten van Newton
De relatie tussen kracht en beweging is samengevat in de tweede wet van Newton Fres = m · a
Deze formule is de belangrijkste formule uit de klassieke of Newtoniaanse mechanica, de natuurkunde voor 1900. Met deze formule kan je de versnelling (en dus de snelheid en dus de plaats) van een lichaam op elk tijdstip uitrekenen als de krachten bekend zijn. Uit de formule zie je ook dat de eenheid Newton kan worden afgeleid iot de fundamentele SI eenheden: 1N = 1kg · ms−2
9
5
Een kracht van één Newton is dus de kracht die nodig is om een massa van 1 kg te versnellen met 1 m/s2 . Uit de tweede wet van Newton kan je de eerste wet van Newton a eiden: als Fres = 0 dan is a = 0 en dus v constant. In woorden: als er op een lichaam geen resultante kracht werkt zal de snelheid van dat lichaam niet veranderen. Er is ook de derde wet van Newton: als lichaam A op lichaam B een kracht uitoefent, dan oefent lichaam B op lichaam A een even grote, maar tegengesteld gerichte kracht uit. 3.4
Interacties
Krachten ontstaan door wisselwerking/interactie van een lichaam met zijn omgeving. Het is heel belangrijk dat je goed onderscheid maakt tussen de krachten die op een lichaam werken, en de krachten die het lichaam op zijn omgeving uitoefent. Vanwege de derde wet komen deze krachten altijd in paren! 3.4.1
duw- of trekkracht
Dit is de kracht verricht door mensen of dieren op een lichaam. 3.4.2
Zwaartekracht
De zwaartekracht is de aantrekkende kracht die de aarde op ons uitoefent. In Nederland kan je de zwaartekracht berekenen met Fz = 9, 8 · m
De grootheid g = 9, 8m/s heet de valversnelling . Inderdaad, als Fres = Fz dan ma = mg dus a = 9, 8m/s2 . Later meer over "valbeweging." 2
3.4.3
Wrijvingskracht
Wrijvingskracht is de kracht op een bewegend lichaam ten gevolge van contact met de lucht (luchtwrijving) of een ondersteunend oppervlak (schuifwrijving, rolwrijving). Wrijvingskracht is altijd tegengesteld gericht aan de bewegingsrichting. Er is geen algeme formule voor wrijving. Soms kan luchtwrijving beschreven worden met Fw,lucht = k · v 2 . 3.4.4
Gewicht
Gewicht is de kracht die een lichaam uitoefent op een ophangpunt of een ondersteunend oppervlak ten gevolge van de zwaartekracht. Voorbeeld: als ik op een weegschaal sta voelt de weegschaal een kracht van 800 N (en wijst de wijzer "80 kg" aan). Nog een voorbeeld: het gewicht dat een hangend blok van 12 kg op een touw uitoefent is 120 N. Gewicht wordt vaak onjuist verwisseld met massa, zoals in 'mijn gewicht is 80 kg'. Dit is onjuist omdat gewicht een kracht is en kilogram de eenheid
10
van massa. Massa en gewicht worden vaak verwisseld omdat in alle dagelijkse situaties (zoals hierboven) de waarde alleen maar een factor 10 (eigenlijk 9,8) verschilt. Zodra lichamen niet meer stilstaan vlakbij het aardoppervlak geldt dit verband tussen massa en gewicht vaak niet meer. Voorbeeld: op de maan ben ik nog steeds 80 kg, maar is mijn gewicht ongeveer 120 N. In vrije val ben ik zelfs gewichtsloos! 3.4.5
Normaalkracht
Normaalkracht Fn is de kracht die een ondersteunend oppervlak verricht op een lichaam. De richting is altijd loodrecht op dat oppervlak. 3.4.6
Veerkracht
De kracht die een ingedrukte of uitgerekte veer uitoefent op een lichaam 3.4.7
Spankracht
De kracht die een gespannen koord/touw uitoefent op een lichaam. 3.4.8
Gravitatiekracht
Gravitatiekracht is de kracht tussen twee massa's m1 en m2 op onderlinge afstand r . De formule is Fg = G ·
m1 · m2 r2
met G = 6 · 10−11 Nm2 /kg2 de gravitatieconstante . De hierbovengenoemde zwaartekracht is een speciaal geval van gravitatiekracht. Inderdaad, als één van de massa's de aarde maarde is en de onderlinge afstand (ongeveer) de straal van de aarde raarde geldt Fz = Fg en dus g=
GMaarde 2 raarde
Door 'aarde' te vervangen door 'planeet' of 'ster' kan je de valversnelling op planeten en sterren berekenen. 3.5
Kracht en rechtlijnige beweging
We zullen nu de tweede wet van Newton, Fres = m · a, gebruiken om met behulp van primitiveren de plaats, snelheid en versnelling te vinden voor een aantal eenvoudige voorbeelden. Uit Fres berekenen we a. Uit a berekenen we door primitiveren v en x.
11
3.5.1
Eenparige beweging
Een lichaam beweegt eenparig als Fres = 0. Hieruit volgt: x(t) = v0 t + x0 v(t) = v0 a(t) = 0
met x0 de beginplaats en v0 de snelheid. Het plaats-tijddiagram is een rechte lijn met richtingscoë cient v0 . 3.5.2
Eenparig versnelde beweging
Een lichaam met massa m beweegt eenparig versneld als Fres = constant 6= 0. Hieruit volgt door primitiveren: x(t) =
1 2 a0 t + v0 t + x0 2
v(t) = a0 t + v0 a(t) = a0
met x0 de beginplaats en v0 de beginsnelheid en a0 = Fres /m de versnelling. Het snelheid-tijddiagram is een rechte lijn met richtingscoë cient a0 . Het plaatstijddiagram is een parabool. Als de beginplaats en beginsnelheid nul zijn, krijg je de formules uit het boek: x=
1 2 at 2
v = at 3.5.3
Vrije Val
Een speciaal geval van een eenparig versnelde beweging is de wrijvingloze of vrije val van een lichaam onder invloed van de zwaartekracht. Er geldt Fres = Fz = mg dus a = Fres /m = g . De valversnelling is gemeten en heeft in Nederland de waarde g = 9, 8m/s2 . Hieruit volgt (we gebruiken nu y voor de plaats omdat de beweging verticaal is): y(t) =
1 2 gt + v0 t + y0 2
v(t) = gt + v0
12
a(t) = g
met y0 de beginplaats en v0 de beginsnelheid in de horizontale richting. Als de beginplaats en beginsnelheid nul zijn, krijg je de formules uit het boek: y=
1 2 gt 2
v = gt 3.6
Kracht en kromlijnige beweging
Bij beweging in meerdere dimensies moeten we rekening houden met het vectorkarakter van kracht, versnelling en snelheid. We beperken ons tot twee dimensies. De tweede wet van Newton, F~res = m · ~a, wordt dan uitgeschreven in componenten als: Fres,x = m · ax 3.6.1
Fres,y = m · ay
Schuine en horizontale worp
We passen dit nu toe op een lichaam dat vanaf beginplaats (x0 y0 ) met beginsnelheid (vx,0 , vy,0 ) beweegt onder invloed van de zwaartekracht. De krachtcomponenten zijn Fres,x = 0
Fres,y = m · g
met g = 9, 8m/s2 . Dus de versnellingscomponten zijn ax = 0
ay = g
De beweging in de horizontale (x−)richting is dus een eenparige beweging en de beweging in de verticale (y−)richting is een eenparig versnelde beweging: x(t) = vx,0 t + x0
y(t) =
vx (t) = vx,0
1 2 gt + vy,0 t + y0 2
vy (t) = gt + vy,0
a(t) = 0
ay (t) = g
Kiezen we nu beginplaats (0, 0) en beginsnelheid (v, 0), dan krijgen we de formules voor de horizontale worp: x(t) = vt
y(t) =
vx (t) = v
1 2 gt 2
vy (t) = gt
13
Kiezen we nu beginplaats (0, 0) en beginsnelheid (vx,0 , vy,0 ), dan krijgen we de formules voor de schuine worp: x(t) = vx,0 t
y(t) =
vx (t) = vx,0
1 2 gt + vy,0 t 2
vy (t) = gt + vy,0
Op elk tijdstip kunnen we de totale snelheid uitrekenen met de stelling van Pythagoras: v=
q vx2 + vy2
De hoek die de snelheidsvector maakt met de horizon kan je bereken met tan(α) = 3.6.2
vx vy
Eenparige cirkelbeweging
Als de resultante kracht wordt gegeven door mv 2 r doorloopt het lichaam een cirkel met straal r met constante snelheid v . Deze kracht wordt middelpuntzoekende kracht Fmpz genoemd. De omlooptijd T is de tijd die nodig is om de cirkel één keer te doorlopen. De frequentie f = T1 is het Fres =
aantal omlopen per seconde. Er geldt:
2πr = 2πrf T Het is handig de afgelegde weg s(t) = vt van het lichaam aan te geven met de v=
hoek
φ(t) =
s(t) vt = r r
Deze hoek is niets meer dan het aantal stralen ('radii') r dat in de afgelegde weg s past. De eenheid van φ noemen we daarom radialen . Het verband met de eenheid graden vinden we als volgt. Als het lichaam een hele cirkel, 360 graden, heeft afgelegd dan is s = 2πr en φ = 2πr/r = 2π . Er geldt dus 360◦ = 2πrad
ofwel 1◦ =
π rad 180
1rad =
180 ◦ π
De hoeksnelheid ω is het aantal radialen dat het lichaam per seconde a egt. Dus 14
ω=
2π = 2πf T
De relaties met andere grootheden zijn v = ωr φ(t) = ωt 3.6.3
Hemelmechanica
Planeten bewegen onder invloed van de gravitatiekracht in cirkelbanen eenparig om de zon. Er geldt dus Fg = Fmpz ofwel G
mplaneet · v 2 mplaneet · mzon = 2 r r
waarbij r de afstand tussen de middelpunten van de planeet en de zon is. Door invulling van v = 2πr/T krijgen we de derde wet van Kepler: T2 4π 2 = 3 r G · mzon
Omdat het rechterlid constant is voor alle planeten in het zonnestelsel, is het linkerlid dat ook. In plaats van cirkelbeweging om de zon kunnen we ook de cirkelbeweging van satellieten en de maan om de aarde bestuderen. In de derde wet van Kepler moeten we dan natuurlijk mzon vervangen door maarde . 3.7
Modelleren
Stel we kennen van een lichaam: 1. de massa m 2. de beginplaats x0 3. de beginsnelheid v0 4. de krachten Fi Dan kunnen we uitrekenen: • de versnelling a = Fres /m met behulp van de tweede wet van Newton. • de snelheid met behulp van integreren: ˆ t v(t) = v0 + a(s)ds 0
15
• de plaats met behulp van integreren:
ˆ
x(t) = x0 +
t
v(s)ds 0
Als de kracht eenvoudig is, bijvoorbeeld constant, dan zijn de integralen eenvoudig te berekenen. Als de kracht niet eenvoudig is, bijvoorbeeld in realistische situaties met wrijving, moeten we óf heel slim zijn (zodat we de integralen kunnen doen) of gebruik maken van een computerprogramma zoals EXCEL. Dit laatste noemen we modelleren . De truc is om de tijd t onder te verdelen in tijdstintervalletjes met lengte∆t. Tijdens interval [ti , ti + ∆t] nemen we aan dat de versnelling a(ti ), de snelheid v(ti ) en plaats x(ti ) niet veranderen. Dit is een goede benadering van de werkelijkheid als de tijdstap klein is. De integratieformule voor de snelheid kunnen we dan benaderen door v(ti+1 ) = v(ti ) + ∆vi
met
∆vi = a(ti )∆t
In woorden: de snelheid in het volgende tijdsinterval, i + 1, is gelijk aan de snelheid in tijdsinterval i plus de verandering van de snelheid in tijdsinterval i. Eenzelfde formule vinden we voor de plaats: x(ti+1 ) = x(ti ) + ∆xi
met
∆xi = v(ti )∆t
Met EXCEL kan zo stapje voor stapje plaats en snelheid worden berekend. Tot slot nog een klein loso sch intermezzo: we kunnen dit in principe voor elk systeem doen. Als punt 1-4 voor het systeem bekend zijn kunnen we met een computer die krachtig genoeg is de toekomst en het verleden tot onbegrensde precisie uitrekenen. Als we voor het systeem het heelal zelf kiezen, zo bedacht de Franse wiskundige/natuurkundige/ losoof Laplace, dan liggen toekomst en verleden dus vast. Deze loso sche stroming wordt determinisme genoemd. In de moderne natuurkunde, de kwantummechanica, gaat deze redenering niet meer op omdat punt 2 en 3 niet samen kunnen gaan.
4
Arbeid en energie
Heel veel berekeningen in de natuurkunde worden sterk versimpeld door gebruik te maken van behoudswetten . Zulke wetten stellen dat bepaalde grootheden niet veranderen in de tijd. Een belangrijk voorbeeld is de wet van behoud van energie: de totale energie van een gesloten systeem is constant. De ingrediënten van deze belangrijke wet zijn: arbeid, kinetische energie, zwaarte-energie en warmte. 4.1
Arbeid
De arbeid die een kracht F verricht op een lichaam is per de nitie: W = F · s · cos(α)
16
waarbij s de afgelegde weg van het lichaam en α de hoek tussen de kracht en de verplaatsing. Deze formule is alleen geldig voor constante krachten. De eenheid van arbeid is N · m. Dit noemen we Joule J. Met behulp van deze formule kunnen we formules opstellen voor de arbeid verricht door twee spe cieke krachten: 4.1.1
Arbeid verricht door zwaartekracht
De arbeid verricht door de zwaartekracht Fz = mg op een lichaam is Wz = m · g · ∆h
waarbij ∆h het hoogteverschil (verticale verplaatsing) van het lichaam is. Merk op dat de arbeid verricht door de zwaartekracht niet afhangt van de vorm van de weg die het lichaam doorlopen heeft. 4.1.2
Arbeid verricht door wrijvingskracht
De arbeid verricht door de wrijvingskracht Fw is: Ww = −Fw · s
waarbij het minteken van cos(180◦ ) = −1 komt; de wrijvingskracht is altijd tegengesteld aan de verplaatsing. 4.2
Kinetische energie
De bewegings of kinetische energie van een lichaam is per de nitie Ek =
1 · m · v2 2
De relatie tussen arbeid en kinetische energie is als volgt. Beschouw een lichaam met massa m dat vanuit stilstand gedurende een tijd t een constante kracht F = ma ondervindt. De arbeid verricht op dat lichaam is dan W = F · s = ma · s = ma · 12 at2 = 12 m(at)2 = 12 mv 2 . De arbeid verricht op het lichaam is dus gelijk aan de toename van zijn kinetische energie. In het algemeen geldt de wet van kinetische energie en arbeid : X
W = ∆Ek
In woorden: de totale arbeid verricht op een lichaam is gelijk aan de verandering van de kinetische energie van dat lichaam. P Als de kinetische energie afneemt, ∆Ek < 0, dan wordt er negatieve arbeid, W < 0 op het lichaam verricht. Oftewel, het lichaam verricht positive arbeid op zijn omgeving. Met andere woorden: als een lichaam (kinetische) energie heeft, kan het arbeid verrichten. Dit is de reden waarom mensen verslaafd zijn aan energie!
17
4.3
Zwaarte-energie
De potentiële energie van een lichaam op plaats x is gelijk aan de arbeid die nodig is om het lichaam zonder versnelling van een beginplaats x = 0 naar plaats x te brengen. We passen dit algeme concept nu toe op de zwaartekracht. Beschouw een lichaam met massa m op hoogte h = 0. Om het lichaam met constante snelheid omhoog te tillen is een kracht Ftil = Fz nodig. De arbeid verricht door Ftil is dan Wtil = Ftil ·h = mg ·h. De potentiële of zwaarte-energie van een lichaam op hoogte h is dus: Ez = m · g · h
Merk op dat op de beginplaats h = 0 de zwaarte-energie nul is. Het punt h = 0 noemen we het nulpunt van de zwaarte-energie. Dit punt is vaak handig
gekozen, zoals op de grond of een tafel. 4.4
Warmte
Warmte is energie die ontstaat door wrijving. De hoeveelheid warmte Q wordt gede nieerd als minus de arbeid verricht door de wrijvingskracht: Q = −Fw · s 4.5
Wet van behoud van energie
We hebben totnogtoe niks anders gedaan dan arbeid, kinetische energie, zwaarteenergie en warmte de nieren. Alle formules kwamen uit de lucht vallen. De de nities blijken echter zeer zinvol! Zo hebben we al gezien dat ze de wet van kinetische energie en arbeid tot gevolg hebben: W1 + W2 + ... =
1 1 mv 2 − mv 2 2 eind 2 begin
waar veind en vbegin de begin en eindsnelheid van het lichaam zijn. We beperken ons nu tot een lichaam waar alleen zwaartekracht en wrijving op werkt. Vul nu W1 = Wz = mg∆h = mg(hbegin − heind ) en W2 = Ww = −Fw s in bovenstaande formule, verplaats wat termen van links naar rechts, en we krijgen: 1 1 2 mv 2 + mghbegin = mveind + mgheind + Fw s 2 begin 2
oftwel de wet van behoud van energie: Ek,begin + Ez,begin = Ek,eind + Ez,eind + Q
Een aantal opmerkingen: • de wet zegt dat de totale hoeveelheid energie aan het begin en het eind
van ieder proces hetzelfde is.
18
• met behulp van de wet kunnen voor zeer complexe bewegingen met gemak
plaatsen en snelheden berekend worden.
• de uitkomsten van deze berekeningen hangen niet af van onze keuze voor
het nulpunt van de zwaarte-energie. Als we een ander nulpunt hadden gekozen, wordt links en rechts van de energiebalans slechts dezelfde, constante, term toegevoegd.
• de wet stelt ook dat voor elk realistisch proces warmte ontstaat. Warmte
is energie die het lichaam verliest en afgeeft aan zijn omgeving. In de praktijk is dit vervelend, omdat warmte moeilijk weer is om te zetten in andere energievormen. We spreken van warmteverlies.
Nog een klein intermezzo: eigenlijk is warmte ook een vorm van kinetische energie, maar niet van het lichaam in kwestie, maar van de moleculen die de wrijving veroorzaken (die gaan namelijk sneller trillen). Het eect van wrijving is dus dat de kinetische energie van één lichaam wordt omgezet in de kinetische energie van heel veel lichamen, de moleculen. Bij elk natuurverschijnsel wordt energie dus verdeeld over meer en meer deeltjes, omdat bij elk verschijnsel warmte ontstaat. Dit principe heet de tweede wet van de thermodynamica. De grootheid die de verdeling van energie over deeltjes meet noemen we entropie. De tweede hoofdwet zegt dus dat bij elk proces de entropie toeneemt. Processen waarbij de entropie afneemt worden niet waargenomen. Zo heb je heel vaak een stuiterende bal langzaam minder zien stuiten tot hij stil ligt (door wrijving), maar nooit een stilliggende bal plotseling steeds sneller zien stuiteren (door ontrekken van energie aan de omringende moleculen). 4.6
Vermogen en rendement
Voor technische toepassingen zijn de begrippen vermogen en rendement belangrijk. Het vermogen P dat een kracht levert is de arbeid W die de kracht verricht per tijdseenheid. In formule P =
W t
De SI eenheid van vermogen is Joule per seconde. Dit noemen we Watt . Soms is het niet helemaal duidelijk welke krachten nou precies arbeid verrichten, zoals bij een gloeilamp. In dat geval de nieren we het vermogen als P =
E t
waarbij E de energie is die het apparaat nodig heeft om te werken. Het vermogen dat een constante kracht levert kunnen we schrijven als P =
Fs = Fv t
19
Als op een lichaam arbeid wordt verricht, krijgt dat lichaam 'nuttige energie', kinetische energie, en ontstaat er 'nutteloze energie', warmte. Het nuttig vermogen is dat deel van het vermogen dat gebruikt wordt om nuttige energie te maken. Pnuttig =
Wnuttig t
Het totaal geleverde vermogen noemen we ook wel het inkomend vermogen. Het rendement is het percentage nuttig vermogen, dus η=
5
Pnuttig · 100% Pin
Statica: Kracht en evenwicht
We hebben totnogtoe steeds aangenomen dat de lichamen puntlichamen zijn; massa geconcentreerd in een punt. Een puntlichaam is 'in evenwicht' als de resultante kracht nul is (de eerste wet van Newton). Dit hoofdstuk gaat over de evenwichtsvoorwaarden van realistische, niet-puntvormige lichamen. 5.1
Moment
Het moment is de 'draaiwerking' van een kracht. Het moment wordt bepaald door: • het draaipunt P. Dit is een handig gekozen punt ergens in de ruimte. • de grootte van de kracht F . De lijn door de krachtvector noemen we de
werklijn .
• de arm d. De afstand van het draaipunt P tot de werklijn van de kracht.
Het moment M ten opzichte van P is te berekenen met M = ±F · d
waar de + gekozen wordt voor krachten die het lichaam linksom (tegen de klok in) om P willen draaien, en de - gekozen wordt voor krachten die het lichaam rechtsom willen draaien. De SI eenheid van moment is N · m. Als er meerdere krachten op een lichaam werken, kunnen we het totale moment uitrekenen door alle momenten op te tellen: Mtotaal = M + M2 + M3 + .... Dit schrijven we bondig als Mtotaal =
X
Mi
Als Mtotaal > 0 draait het lichaam linksom, als Mtotaal < 0 draait het lichaam rechtsom.
20
5.2
Zwaartepunt
Om het moment van de zwaartekracht uit te rekenen moet je het zwaartepunt van een lichaam nemen als aangrijpingspunt van de zwaartekracht. Voor homogene lichamen is het zwaartepunt het "midden" van het lichaam. Als je een lichaam precies onder het zwaartepunt ondersteund, draait het niet omdat de arm van de zwaartekracht en dus het moment nul is! Dit geeft een praktische methode om het zwaartepunt van lichamen te vinden. 5.3
Algemene evenwichtsvoorwaarden
Een lichaam noemen we in evenwicht als geldt X
Mi = 0
X
F~i = 0
De bovenste evenwichtsvoorwaarde wordt soms de hefboomwet genoemd.
21
Index afgelegde weg, 3 arbeid, 16 arm, 20
omlooptijd, 14 oppervlaktemethode (snelheidsverandering), 7 oppervlaktemethode (verplaatsing), 5
behoudswetten, 16 dag, 3 derde wet van Kepler, 15 draaipunt, 20
plaats, 3 plaats-tijddiagram, 3 plaats-tijdfunctie, 3 potentiële energie, 18
eenparig versnelde beweging, 7 eenparige beweging, 7 evenwicht, 21
raaklijnmethode (snelheid), 5, 7 radialen, 14 resultante kracht, 9
frequentie, 14
schuine worp, 14 seconde, 3 snelheid op een tijdstip, 5 snelheid-tijdfunctie, 5
gemiddelde snelheid, 3 gemiddelde versnelling, 7 gewicht, 10 gravitatieconstante, 11 gravitatiekracht, 11
tijd, 3 tijdsduur, 3
hefboomwet, 21 hoeksnelheid, 14 horizontale worp, 13
uur, 3 valversnelling, 10 vermogen, 19 verplaatsing, 3 versnelde beweging, 7 versnelling op een tijdstip, 7 vertraagde beweging, 7 vrije val, 12
jaar, 3 kilogram, 8 kinematica, 3 kinetische energie, 17 kracht, 8
warmte, 18 Watt, 19 werklijn, 20 wet van behoud van energie, 18 wet van kinetische energie en arbeid, 17 wrijvingskracht, 10
massa, 8 meter, 3 middelpuntzoekende kracht, 14 minuut, 3 modelleren, 16 moment, 20 Newton, 1e wet, 10 Newton, 2e wet, 9 Newton, 3e wet, 10 normaalkracht, 11 nulpunt van potentiële energie, 18
zwaartekracht, 10 zwaartepunt, 21
22
