INLEIDING in de MECHANICA

-x

+ cos

c.p

e -y

Deze vectoren veranderen i.h.a. als de positie van het deeltje verandert.

Zie figuur.

- 22-

Differentiiren naar de tijd levert

-r

ë

~ .!:~

e

-~

-~

e

-r

We drukken nu positie, snelheid en versnelling uit in poolcoördinaten. De positievector f(t)

r(t) e (t) -r

-, ,,,,ç

differentiëren levert ~( t)

V

I

y

v

re + r è r -r

i(t)

re + r -r e r-r

V

~

e -
e +V e r -r

/ /

We noemen v

-r

r

snelheid en v


de radiële r

~

de trans-

versale snelheid. Bij een willekeurige beweging op een cirkel om de oorsprong geldt steeds v

r

= 0. Bij een willekeurige be-

weging op een rechte door de oorsprong geldt steeds v


= 0. Verder differen-

tiiren levert r

We noemen ar

r - r ~

2

de radiële versnelling en a

'!'

= 2 r ~ + r ~de trans-

versale versnelling. Bij een willekeurige ei rkelbeweging om de oorsprong geldt r(t) = R =constant en
conform §2.3.

•2

-R~

e

-r

~(t).

Dan komt er

- 23 -

Tenslotte merken we nog op dat de ontbinding van kinematische grootheden in radiële en transversale componenten uitsluitend van de positie in het

vlak afhangt en NIET van de richting van de baankromme die door het beschouwde punt gaat.

§2.5.

Tangentiële en Normale Versnelling. Kromtestraal

:Y ( t) 2(t)=Ë(t) I I

I

/

I I

'

'-

'' ''

a

-r

- 24 -

Als bij de beweging van een punt de versnelling steeds loodrecht op de snelheid staat, dan blijft de grootte van de snelheid constant. Zie slot § 2.

(of

2. In een pos i tie ,E( t) on tb inden we ,Ë( t) in een component ~T)

~

langs v

en een component ër loodrecht daarop. Zie figuur. Je hebt dan het ~T

gevoel dat

verantwoordelijk is voor veranderingen in de grootte van de

snelheid en dat

~

verantwoordelijk is voor richtingsveranderingen (baan-

kromming). We zullen dit precies maken.

r

Dit is een loodrechte opsplitsing, want

0 •

Verder schrijven we

d v dt ~T

d ~T

Er geldt cl;-

ds d ~T v--dt

ds

.L ~r·

Definiëer de eenheidsvector

~N

door

en s te 1

I:!TI

p

R

p heet de kromming en R heet de kromtestraal. Beide variëren i.h.a. van punt tot punt.

- 25 -

De opsplitsing van r kan dan tenslotte geschreven worden als

r

Omdat

~T ~ ~N

geldt volgens Pythagoras

r 2 -_ . ••

1

1

2 4 I -dt dv I +-v 2

(2.2)

R

op ieder tijdstip. Om te laten zien dat onze definitie van kromming een zinvolle generalisatie is, zullen we nu eerst laten zien dat de kromming van een cirkel met straal R, als we bovenstaande definitie toepassen, in ieder punt gelijk blijkt te . .

Z1Jn aan

I R:

e

-T

e

-r

""d;-

dq>

-dS

en omdat

p

-sin

-~

d ~T

~T

e -y

= e

w-x e

+ cos tp e -y

~r

s

R geldt


e

l

heen buigt. We hebben gevonden r

met aT

dv dt

aT~T + ~~N

en

~

V

2

R

e

R -r

We zien hier ook nog dat

~N

de

kant uit wijst waar de kromme

- 26 -

aT heet de tangentiële versnelling en ~ heet de normale versnelling, Bij een beweging langs een rechte lijn heb je ê :::: 0 -T

dus p

~

0 of R

~

oo

en

~

~

0

Pas de resultaten van deze paragraaf toe op de algemene cirkelbeweging van §2.3.

Voorbeeld 2,8,

Berekening van een kromtestraal 2

=ate +Ste -x -y

a en S constant

2 De baankromme is een parabool van de vorm y ~ ~ x • Van de uitdrukking

a

(2.2) zijn alle grootheden gemakkelijk te berekenen, behalve R. + 28 t e -y

a e

-x

r(t) ~ 2Be

-

-y a

~

2

V =

dv

dt Voor de kromtestraal op t a

4

48

2

0 vinden we dan

---

------------------~

- 27 -

HOOFDSTUK 3.

Dynamica van één deeltje

In §2.2 hebben we gezien dat de positie en de snelheid van een deeltje in principe berekend kan worden als gegeven is

Eo

a)

de beginpositie

b)

de beginsnelheid

c)

de versnelling a(t) als functie van de tijd.

~O

De berekening bestond uit twee opeenvolgende integraties van :!(t). Bij de meeste problemen echter is de versnelling niet voorgeschreven als functie van de tijd (alleen), maar hangt ook nog af van de positie en/of de snelheid van het deeltje. Dan geldt dus

! (t)

=

~ (,!: '

i: '

t)

•

Dit is een differentiaalvergelijking voor ,E(t). Als ~ alleen van t afhangt, kan de differentiaalvergelijking opgelost worden door a twee maal te int
r

afhangt, gaat dit

oplossen veel moeilijker.

§3.1.

De bewegingsvergelijking

De precieze functionele vorm van de voorgeschreven versnelling :!CE,

f,

t)

wordt door experimentele fysici en ingenieurs vastgesteld. In de opgaven wordt .:!(!,i , t) vaak gegeven. Verder wordt a altijd geschreven in de voJ-m

!: (,!: ' ! , t) m

Hierin heet

!":(!,!:,

t) de uitgeoefende kracht en m heet de~ van het

- 28 -

deeltje. m is een constante die hoort bij het beschouwde deeltje. Fundamentele beschouwingen over massa en kracht zullen gegeven worden in Hoofdstuk 5. be positie als functie van de tijd voldoet dus aan de differentiaalvergelijking(en)

..

(

.

)

( 3. I)

m!=~!,!,t.

We noemen deze de bewegingsvergelijking(en). De bewegingsvergelijking speelt in onze verdere beschouwingen een centrale rol. Al onze kunstjes met impuls, impulsmoment, arbeid, energie etc. zijn slechts methoden om wat te kunnen zeggen over de oplossingen van de bewegingsvergelijkingen. Het superpositieprincipe zegt: Als op een (bewegend) massapunt meerdere krachten werken, dan mogen deze krachten vervangen worden door één kracht die de vectorsom is van de werkende krachten. In het algemeen staan in (3.1) drie gekoppelde differentiaalvergelijkingen. We bespreken nu een drietal ontbindingen. De bewegingsvergelijkingen in de )-dimensionale ruimte uitgeschreven in Cartesische coÖrdinaten

F

Fe+Fe+Fe x -x y -y z -z

mxe

-x

+mye

-y

+mZe

-z

Dus

mX

F (x,y,z,x,y,z,t)

my

F (x,y,z,x,y,z,t)

mZ

F (x,y,z,x,y,z,t) z

x

y

Soms is de krachtfunctie F zodanig, dat de vergelijkingen gedeeltelijk ontkoppeld zijn.

- 29 -

De bewegingsvergelijkingen in het platte vlak uitgeschreven in poolcoÖrdinaten.

F

F

e

r -r

+ F

~

2

m(r- r ~ )e

e -cp

-r

+ m(r

~

+

2~ Îi)e-cp

Dus Fr (r,cp,r,$,t) mr~ + 2mr~ = F (r,cp,r,~,t) 'i>

- De bewegingsvergelijking ontbonden bij beweging langs een voorgeschreven kronnne F

Dus dv dt

m-

2 .2 S m RTs) = m R(s)

(3. 2)

V

In dit stelsel is s altijd een onbekende functie. Soms 1s FT gegeven en moet FN bepaald worden. Soms is een verband tussen FTen FN gegeven. Nog twee bijzondere gevallen: Voor de beweging langs een rechte lijn (neem voor het gemak de x-as) is de bewegingsvergelijking m

x=

F(x,x, t)

Voor de beweging langs een cirkel met straal R volgt met gebruik van poolco(·, rdina ten

mR~

F

'i>

(cp,$,t) (3. 3)

!i"''. '

- 30 -

Omdat dit twee vergelijkingen zijn en cp(t) de onbekende functie is, kunnen F


en F

bijv. F


r

niet onafhankelijk van elkaar worden voorgeschreven. Als

gegeven is, dan ligt F

r

vast.

Opmerking: Het stelsel (3.3) volgt ook uit (3.2) door s

R
te nemen.

We bespreken nu een aantal krachten (of krachtvelden), de daarbij behorende differentiaalvergelijkingen en de oplossingsmethoden.

§3.2.

De constante kracht F=Fe+Fe+Fe x-x y-y z-z

mX

F F

mz

F

constant

x y

z

De vergelijkingen zijn ontkoppeld. De algemene oplossingen zijn x(t)

I - F t2 Al + B1t +2m x

y ( t)

I - F t2 A2 + B2 t +2m y

I z ( t) = A + B t + - F t 2m z 3 3

2

A. en B. zijn willekeurig te kiezen constanten. Deze worden vastgelegd 1

1

door begincondities en beginsnelheden aan te geven. Zij

f:(O)

~0

- 31 -

Dan volgt

In vectornotatie is dan de oplossing

Vergelijk dit met Voorbeeld 2.2 en 2.7 van Hoofdstuk 2.

§3.3.

De lineaire veer (= de eendimensionale harmonische oscillator) Een massapunt kan langs de x-as

-kx

bewegen en zit vast aan een veer,

m

die eveneens langs de x-as ligt.

t

x=O

0

is de engespannen veerlengte.

t is de gespannen veerlengte.

x

=

i - i

0 is de uitrekking. k is de veerstijfheid, k > 0. We kiezen eerst

de oorsprong, x

= 0, in de ruststand. De uitgeoefende kracht hangt alleen

van de plaats x af. Dus m mX

=

x=

F (x) • F (x)

=

-kx dus

-kx

De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking is

x( t)

A cos

JEm t

+ B sin

met A en B willekeurige constanten.

/Em t

- 32 -

Als de begincondities gegeven zijn: x(O)

v , dan volgt 0

x(O)

En x(t) Vergelijk dit met Voorbeeld 2,3. Als we de oorsprong niet in de evenwichtsstand maar bij het bevestigings-

:::10

-k(x- ~ )

'

t~co,m XJ 11

/-&1 x( t)

R.

0 +A cos 1

punt van de veer kiezen, komt er

m

x = -kx

+ k

Q.

0

Een oplossing is x=

~O

(=constant!).

De algemene oplossing is

t + Bsin1 t

met willekeurige constanten A en B, die weer vastgelegd kunnen worden door begincondities te kiezen,

§3,4.

Coulombse of droge wrijving

Dit is een voorbeeld van een kracht die van de snelheid afhangt. Veranderstel dat een massapunt langs de x-as beweegt. De x-as oefent een normaalkracht uit, die loodrecht op de bewegingsrichting staat. Er kan dan een wrijvingskracht

/).1/j -'/

x

~

de snelheid "tegenwerkt".

zijn, die

1!:!1

wordt

evenredig met 1~1 verondersteld, de evenredigheidsconstante heet f, de

- 33 -

wrijvingscoëfficiënt en hangt af van de ruwheid van het· oppervlak. Dan geldt de bewegingsvergelijking mx =-fINI sgnx • De "functie" sgn heeft de volgende grafiek

q q = sgn P +I

p -I

l

Dus de kracht W

-fl~l

als x > 0

fl~l

als x < 0

,; fiNI

als x

0

Bij beweging langs een kromme geldt eveneens !i= -fl~lsgnv~T

w

1>1 etv V

v . !:r .

N

y

I Ij' !~r . Voorbeeld 3. I.

V

I~

w x

.i

Op een horizontale starre draad zit een kraal met massa m. Op de kraal werken: de (verticale) zwaartekracht -m ge . -y , g > 0, een wrijvingskracht W en een constante horizontale kracht F = Fe •

-x

(i)

Hoe groot mag F zijn opdat de kraal in rust blijft?

(ii)

Als de kraal op t = 0 in rust is, wat is dan de versnelling als F groter is dan de onder (i) gevonden waarde?

(iii) Als de kraal op t = 0 een snelheid v

0

< 0 heeft en F > 0, wat is

dan de versnelling en hoe lang blijft dat zo?

r

!

Oplossing De bewegingsvergelijkingen zijn m5î:=F+W my=N-mg Omdat in de y richting geen beweging mogelijk is, geldt y N

11

en dus

= m g.

(i)

Als x= 0, dan F = -W :> f[~[ = fmg •

[w[

[F[ =

Dus als ]F] S fmg, àan blijft àe kraal in rust. (ii)

Als F > fmg, dan treedt beweging naar rechts op, dus mx = F + W = F- fmg .. x=-I ( F-fmg ) m

(iii) Als

x<

O, dan

mx = F + W = F + fmg x(t) =va+

t(~

+ fg)

-v t

=

t

=

r

0 F -m + f g.

0 .

dan x( t)

Als 0 :> F :> f mg, dan verder rust. Als F > f m g, dan is voor t > t

Voorbeelcl 3.]./

n.u,i

~

:;' ~B ....

~r:

,ne j

~

(i}

F de versnelling gelijk aan - - f g •

m

r=

x;. . 5cJ.r;·f .f: w x .rcLe LOJl..s-... ....-.J-e~~ . Nu..- 8 .= 8 ~a . 1 !:U)= .r;. + f Wo 1 (,;)!:ft.)= RC&-rt.Jt ev+-IJ?s;..;..wt Lore .. f?:

/
;".

ei!

r-..

r-

e.8

tk ~ ~ ~ IYol= /~/~ v-lt (.V.,, e 2 )=o

\rrl-

~~~~~J

I

r

rN) = ~ -t-od~ :2

1 •·

e;.

- 35 -

§3.5.

Visceuze of natte wrijving

In dit geval werkt de wrijving ook tegengesteld aan de snelheid, maar is evenredig met de grootte van de snelheid. In formule W=

-KV

-

> 0 ,

K

- '

Bij vallende regendruppels of bewegende knikkers in stroop, schrijft men vaak

K

=

Kn. Hierin is n de viscositeit van de vloeistof. K hangt af van

de geometrie van het bewegende object. Als dit laatste een bol is, dan geldt volgens Stokes K = 6TT R, R de straal van de bol.

Voorbeeld 3.2. Een deeltje met massa m kan langs de x-as bewegen. Op het deeltje werken visceuze wrijving en een constante uitwendige kracht F. De bewegingsver-

gelijking is mX

-K

X + F •

x zelf komt niet voor. Stel

x

v en pas scheiding van veranderlijken toe.

De vergelijking

mv

=

+ F

-KV

heeft als algemene oplossing K

--t v( t)

Ce

m

F +-

C willekeurige constante •

K

x(t) vinden we door v(t) te integreren K

--t

x(t) Neem x(O)

Ae m

0 en x(O) v( t)

F + B +- t

A en B willekeurige constanten •

K

= v

F)

0 , dan -~t

-K e m

+

F K

- 36 -

De limietsnelheid is altijd!. K

F

K:

t

Tenslotte F +- t

x( t)

K

Opmerking: Eperimenteel moet worden vastgesteld of de "wrijvingsrnodellen" van §3.4 en §3.5 correct zijn. Er worden ook wel andere wrijvingsfuncties dan -fl!!l sgn

§3.6.

x

en

-K

x

gebruikt.

De centrale kracht

Een centrale kracht in het platte vlak of in de ruimte is een kracht die steeds naar de oorsprong toe of van de oorsprong af is gericht. De algemene gedaante is met e

F

Hierin is F

-r

r

I

IE I

E

een willekeurige scalaire functie van de aangegeven variabelen.

Ie Bijzondere Geval De Newtonse centrale kracht F(E)

=-

~··

1!1

Als c > 0, dan aantrekking en als c < O, dan afstoting.

- 37 -

Ze Bijzondere Geval De Harmonische oscillator F(r) = -k r = -k I rl e • - -

-

- -r

Als k > 0, dan aantrekking en als k < 0, dan afstoting.

In het platte vlak luiden de algemene bewegingsvergelijkingen in poolcoÖrdinaten

m {

r-

rn r

~ z = Fr ( r

m r ~ + 2m r ~

, cp ,

r , ~ , t)

=0 •

In de twee bovengenoemde bijzondere gevallen vinden we een speciale oplossing (zeker niet de meest algemene beweging!) door r(t) = R = constant te nemen. De onderste vergelijking wordt bevredigd door ook

~

= constant

te nemen. De waarde van deze constante wordt door de bovenste vergelijking bepaald: Ie geval:

•2 -m R cp

c - R2

2e geval:

.2 -m R cp

-k R

Alleen als c > 0 c.q. k > 0 zijn er oplossingen mogelijk Ie geval: 2e geval:

~

+E - --:-3

~

+IEm

mR

In beide gevallen wordt dan de cirkel eenparig doorlopen. Heuristisch gesproken: de centripetale kracht wordt geleverd door

f··

- 38 -

Voor de harmonische oscillator geldt de bewegingsvergelijking

mr

-k r

Ga na dat de algemene oplossing 1n Cartesische coÖrdinaten gegeven wordt door

cos~m met

~

en

~

tA

+sin~m

tB

willekeurig te kiezen constante vectoren. Ga na dat de baankromme

zich in één vlak bevindt en de vorm heeft van een ellips.

§3.7.

Krachten die optreden bij meetkundige restricties

(Reactiekrachten,

gedwongen beweging, vrijmaken) Stel dat een massapunt m vast zit aan een touw of staaf. Of stel dat m gedwongen wordt langs een voorgeschreven kromme of in een voorgeschreven (opper)vlak te bewegen. Om de bewegingsvergelijkingen te kunnen opstellen moeten we het massapunt m dan vrijmaken van zijn verbindingen: d.w.z. in gedachten maken we m los en brengen de invloed die m ondervindt van zijn omgeving in rekening door (eventueel onbekende) krachten in te voeren. Een fundamenteel principe in de mechanica (Actie

=

-Reactie)

ze~t

dan dat de

omgeving dan even grote maar tegengestelde krachten ondervindt van m.

Voorbeeld 3.3. Slinger: Vrijmaken van .een massapunt aan een koord.

+

s

t

/ ,/

'

---mg

mg

..

-

39 -

Voorbeeld 3.4. Vrijmaken van een massapunt op een hellend vlak.

;:1

+

F -r

Het aantal onbekende componenten van de reactiekracht is gelijk aan het aantal graden van vrijheid dat de gedwongen beweging minder heeft dan de vrije beweging. Wat betreft de bij gedwongen heweging optredende krachten zullen wij in dit college steeds de volgende aannamen maken: - De kracht die een massapunt ondervindt van een slap massaloos koord is gericht langs het koord, met dien verstande dat alleen een trekkracht kan optreden. In ons model is de kracht overal in een koord hetzelfde. Ook als h<>t koord over een (massa loze) katrol of "gladde pen" geslap;en is. De kracht die een massapunt ondervindt van een massaloze staaf is gericht langs de "taafas. - De kracht die een massapunt ondervindt van een ondoordringbaar vlak bestaat uit een normaalkracht loodrecht op het vlak en een wrijvingskracht die aan het ondoordringbare vlak raakt. Zo'n ondoordringbaar vlak is een eenzijdige restrictie (kan alleen duwen en niet trekken). Zodra de normaalkracht nul is, kan het massapunt vrijkomen van het vlak en neemt het aantal graden van vrijheid met I toe. De onbekende reactiekracht verdwijnt dan.

- 40 -

Soms levert een ondoordringbaar oppervlak zonder wrijving dezelfde restricties op als een massaloos koord:

I /

Een gladde buis kan eenzelfde restrictie opleveren als een massaloze staaf of een starre draad:

~ '

~/

... ---

Vanwege de restricties weet je al iets van de beweging. Het aantal onbekenden blijft echter hetzelfde, omdat een onbekende normaalkracht optreedt.

Voorbeeld 3.5. Hellend vlak met wrijving. De bewegingsvergelijkingen zijn N y

x

mx

-mgsina+W

my

N - mg cos a

w

-fN sgnv.

Het hellend vlak is een eenzijdige restrictie. Zolang m langs h•,t hellend vlak beweegt, geldt y = 0. Dus N = mg cos a > 0. Dat kan dus. Er blij ft over

- 41 -

de bewegingsvergelijking

mX

-mg sin a

{ mx

mX Als

x

-

f mg cos a sgn

x

-mg(sin a + f cos a)

als

-mg(sin a

als

f cos a)

0, rust, dan I mg sin ct I :5: I f mg cos a

I,

x> x<

0 0

dus tan a ~ f.

Voorbeeld 3.6. Berekening van de kracht in het koord van een vlakke slinger. De onbekende functies zijn

~(t)

en S(t). Samen 2 =aantal graden I

I

I

\

I

\

van vrijheid van een punt in het platte vlak.

I

\

'

/

' ''

I

+-

In ons geval r(t) mR~

R

We voeren poolcoÖrdinaten in

/

.2) =F ( r,

mg

r

constant, De bewegingsvergelijkingen worden

-mg sin

-m R
= mg cos
De vergelijkingen zijn ontkoppeld, Als we mg cos
- 42 -

Helaas is de eerste vergelijking niet exact op te lossen, wel de gelineariseerde versie voor kleine uitwijkingen

.. Dit is de harmonische oscillator

~(t)

=.A cos / f t + B sin/{ t .

We kunnen dus S(t) niet exact uitrekenen. Echter met een truc kunnen we wel de spankracht

S(~)

~

als functie van

uitrekenen. Dat gaat als volgt:

Vennenigvuldig de eerste bewegingsverge lijki.ng met • g

-q> Neem aan q>(O)

R

~~

.

s1n q>

0 en

H 2
~(0)

cos ~(t) = constant

~ 2 ( t) = wo2 + 28 (cos R

q> -

I) =

=

2

,wo2

j

4g

wo -R

_ll, R

. 2 s1n

1

2~

En dan mg cos

>

n

2

~

2

2 0

mg(Jcosq>-2) +mRw

= 0 en dus S(q>)

=

mg cos
w~

=

~

gekozen

worden, ga na, en dus kan S(cp) negatief worden.

Als een massapunt aan een staaf is opgehangen, blijft het keurig een slingerbeweging uitvoeren. Als het massapunt echter aan een koord is opgehangen, zal het voorbij de hoek q>l van S(

schrijven. Ga na dat cos
=

2

-3.

= 0 een vrije paraboolbaan gaan be-

- 43 -

Voorbeeld 3. 7. Algemene gedwongen beweging van een deeltje m langs een

v.ffJ./.:.ke

kromme ("Kraal op

e~re draad").

~~ke' N

w

s=O !:N

Veronderstel dat op m de uitwendige kracht E:(s ,

s , t)

werkt, We hebben 2

onbekenden s(t) en N(t). De bewegingsvergelijking is mr We schrijven ~

F+N+W.

= N!:N ,

W

In ieder punt van de kromme ontbinden we de bewegingsvergelijking als volgt m˕ !:T

FT + w

m!. !:N

FN +N

{ Dit wordt

ms = FT(s, s, { ~ s2

= FN ( s

,

t) -

s , t)

fN(t) sgns + N ( t) •

Dit zijn gekoppelde vergelijkingen, Als f = 0, zijn ze ontkoppeld. Je kunt dan (in principe) N(t) vinden door eerst uit de eerste vergelijking s(t) op te lossen en dan de gevonden s(t) in de tweede vergelijking in te vullen, Het hellend vlak met wrijving is hiervan een bijzonder geval. De vector !:N is daar omhoog wijzend gekozen, s

=

x en R

00

- 44 -

Als het geen kraal betreft, maar een blokje dat "los" op de draad ligt, dan kan het loskomen als N

=0

wordt,

.. Voorbeeld 3,8, Loskomen, Op de top van een gladde cirkelvormige ijsberg bevindt zich een massa m met een zeer kleine snelheid E, Op welk punt van de berg zal de naar beneden glijdende massa vrijkomen van de "helling"?

=0

f ~T

FN

R

N -

mR ~

=

m R2 R

1p

mg sin

.2 0

~

E <.:

(0) =

1p

•2

2

R'!)

mg sin

1p

= mg cos

1p

= Ne-N

+ N

0 ,

De eerste bewegingsvergelijking met

'I'

s

q>

mg cos

'I' (0)

,

~

vermenigvuldigen levert

g (I - cos
R

Dit in de tweede bewegingsvergelijking invullen, levert N Aanvankelijk is N

:<;

=

mg(2- 3 cos q>).

0 zodat m op de berg blijft liggen. Echter als cos w =

wordt, dan komt m vrij.

2

3

- 45 -

§3.8.

Axiale krachten

Een axiale kracht is een kracht, die in elk punt van de ruimte naar een vaste rechte (de z-as bijv.) gericht is. Als we de z-a& als richtas nemen is de algemene gedaante F

F e

r -r

+ F

e

z -z

Hierin zijn Fr en Fz willekeurige scalaire functies. Het electron in een H+ 2 molecuul ondervindt een axiale kracht. , I

+~ ""' ~

'

I

',.

~~-~~-

Voorbeeld 3.9. De kegelslinger.

' Een slinger met lengte t heeft zijn ophangpunt op een hoogte t loodrecht hoven de oorsprong van het horizontale xy-vlak. We stellen de bewegingsvergelijkingen op en geven twee speciale oplossingen daarvan. Van de Car-

z

tesische coÖrdinaten x, y~ z

y

handhaven we de z-coÖrdinaat en vervangen x en y door pool-

x

mg

coÖrdinaten. Je krijgt dan zgn. cylindercoÖrdinaten.

- 46 -

De algemene bewegingsvergelijkingen als er een axiale kracht werkt, zijn '<

in cylindercoÖrdinaten

\

' mr-mr~ =F r 2

'

mr~+2mr~=O

.

mz = F

Joor

'

'

' '

z

'

de kegelslinger wordt dit

,f t- z

--S t -

~- s ~

De onbekenden hierin zijn r(t),

~(t),

-

z(t), S(t). Er geldt de relatie

We proberèn een oplossing te vinden met z(t) = h = constant en r(t) = R = constant. Dan volgt uit de 3e bewegingsverge lijking S = ,mg ht = ~. ' ,_ cos (l Uit de tweede vergelijking vinden we dan vergelijking rolt dan w =

~

~

= w = constant. Uit de eerste

= ± /t:h'.

Dus, hoe groter h is, hoe harder de kegelslinger moet ronddraaien om in zijn horizontale baan te blijven. We vinden ook nog Fr= Een andere speciale oplossing vinden we door krijgt dan de "gewone" vlakke slinger.

~

-f S = -mg tancx.

= constant te nemen. Je

- 47 -

§3.9.

Krachten, die meerdere deeltjes die via koorden e.n staven aan elkaar verbonden zijn op elkaar uitoefenen

We bekijken alleen een tweetal voorbeelden.

Voorbeeld 3.10. In nevenstaande contraptie herekenen we de optredende versnellingen en de kracht in het koord.

s

Er is geen wrijving. De onbekenden zijn s(t), z(t) en S(t). Er z

geldt s + z

= constant. De bewe-

gingsvergelijkingen die we met vrijmaken vinden zijn

{

ms

-mgsina + S

Mz

-Mg + S •

DE oplossing is z

m sin a- M g M+m

s

-z

s

mMg (l+sina) M+m

- 48 -

Voorbeeld 3.11. Katrollensomrnetje.

,, Vrijmaken levert mz M

1

z2

-mg+S -Mg + 28

Er geldt constant .

s

Dus

r z1 + 2z 2

=

0

.

De versnellingen zijn

De kracht in het koord S

3mM 4m +M g •

z1

2m-M -2 4m+M g

z2

2m-M 4m+M g

.

- 49 -

HOOFDSTUK 4.

§4.1.

Relatieve beweging

Aflejding van de transformatieformules

\Je keren te1ug tot de kinematica. Als de kinematische grootheden van een bewegend massapunt bekend zijn t.o.v. een coÖrdinatenstelsel Oxyz, willen we berekenen wat deze kinematische grootheden zijn t.o.v. een ander coördinatenstelsel O'x'y'z', dat t.o.v. Oxyz een willekeurige beweging uitvoert.

w.,

kunnen op ieder tijds tip een vee tor van 0' x' y' z' naar Oxyz "overbrengen"

door zijn kop en zijn staart als punten van Oxyz op te vatten. Echter een aldus overgebrachte snelheidsvector zal dan niet altijd de snelheid van het beschouwde massapunt in het O'x'y'z'-stelsel voorstellen. Er moet nog wat bij! We zullen het vertalen van de kinematische grootheden positie, snelheid en versnelling in drie speciale gevallen bestuderen.

Geval I.

O'x'y'z' in rust t.o.v. Oxyz Voor de positie van het punt

z

z'

A geldt op ieder tijdstip A

r = R + r'

( 4. I)

Hierin 1s g de positievector y'

van

o•

in Oxyz. De vector !'

is "overgebracht" naar Oxyz

zodat !' bij

g

opgeteld kan

worden. Zij nu v de snelheid van A in Oxyz en v' de snely

x'

heid van A in O'x'y'z'.

~··

' - 50 -

Er geldt xe+ye+ze -x -y -z

V

v'

= X' -x e , +Y'e-y'

( 4. 2) (4.3)

+Z'e, -z

Differentieer nu (4.1) dr

dR e ' + y' -y' e + dt = -dt + (x' -x

z'

e ,) + (x' -x ê ' + -z

y' -y' ê

+ z' -z ê ,) •

(4.4) Hierin zijn de Ie en de Je term nul, zodat v1

v

Op dezelfde manier vinden we dat de versnellingspijlen in beide stelsels hetzelfde zijn a

a1

De componenten van a en v zijn i.h.a. in beide stelsels verschillend omdat

de bases scheef

Geval II.

t.o.v. elkaar staan.

0 1 x 1 y 1 z 1 transleert t.o.v. Oxyz

Verschuif op ieder tijdstip t de basisvectorene 1 , e 1 , e 1 van 0'x 1 y 1 z 1 -x -y -z evenwijdig aan zichzelf naar de oorsprong 0 van Oxyz. Als blijkt dat de aldus overgebrachte vectoren als functie van de tijd constant blijven, dan zeggen we dat het stelsel 0 1 x 1 y 1 z 1 een translatie uitvoe•·t t.o.v. Oxyz.

'•

- SI -

We beschouwen nu de translatie, die in de figuur geschetst is. We nemen

•

y

A

e -y

0 ~(t)

r=R+r'.

De snelheid van A kan weer geschreven worden als (4.2) c.q. (4.3). Als w'' r differentiëren. kregen we weer (4.4). In het onderhavige geval blijft daar van over

.

v = R + v' .

(4.5)

De term R heet wel de sleepsnelheid. Het is de snelheid, die A t.o.v. Oxyz heeft als A t.o.v.

O'x'y'z' in rust verkeert.

De term v' heet wel de relatieve snelheid en v heet wel de absolute snelheid. Vooralsnog is er echter aan Oxyz niets absoluuts •

•

Als

O'x'y'z' eenparig transleert, krijgt (4.5) de gedaante v

=

V + v' •

(4.6)

Nogmaals differentiëren levert met een analoge beschouwing a

R +a'

(4.7)

- 52 -

Hierin heet!! de absolute versnelling, !!' de relatieve versnelling en R de sleepversnelling. ~is de versnelling die A heeft t.o.v. Oxyz als A t.o.v.

•.

O'x'y'z' ih rust verkeert. Als

0'x 1 y 1 z' eenparig transleert, krijgt (4.7) de gedaante a

a'

( 4. 8)

O'x'y'z' roteert eenparig t.o.v. Oxyz

Geval III.

z

z'

A

r' r

w

y

x'

0 en 0' vallen samen. De z-as en de z'-ns vallen samen. De rotatie van O'x'y'z' t.o.v. Oxyz wordt beschreven door de hoeksnelheidsvector w

we -z

.,

- 53 -

Er geldt dan t.o.v. Oxyz

ë -x' Hier is R

w

é

x ~x'

w x e , , -y

-y'

é -z

(4.9)

0

w x ~z'

0. Dus

r

r'

Verder geldt, gezien vanuit Oxyz de relatie (4.4). Hier is

R

0. De derde

term herschrijven we met (4. 9). Er komt v' + w x r' .

V

Hierin is w

x

(4. JO)

r' de sleepsnelheid.

Differentiëren van (4. JO) levert

a

(j{ t e

-x'

+

W

X

+

Y

t

e

-y'

+ Z te

-z'

) + (X 1

1 e + -x I + y -y'

{(X 1 e

z

1

ê + -x 1

e 1) + -z

Y

(X 1

1

è

-y'

é 1 + -x

+ Z 1 ê t) +

-z

y

1

é

-y'

+ z 1 é ,)} •

-z

Met (4.9) volgt (4. IJ)

De term w x (!!!x!') is de sleepversnelling. De term 2(!!! x~') is een restterm en heet de Coriolisversnelling.

Ga na dat de formules (4.9), (4. JO) en (4.11) geldig blijven als je de stelsels Oxyz en O'x'y'z' van rol laat verwisselen •

•

- 54 -

Als de drie behandelde gevallen in combinatie optreden, dus als het

,,

O'x'y'z' een willekeurige translatie en een rotatie met constante hoeksnelheid t.o.v. Oxyz uitvoert, hebben we de formules ~(t) +

!'(t)

~( t)

~(t) + ~'(t) +

!! ( t)

~(t)

(4.12) w x !'(t)

(4.13)

+ !!'(t) + w x (~x!'(t)) + 2w x ~'(t)

(4. 14)

Voorbeeld 4. I. Correcties op de vrije val als gevolg van de rotatie van de aarde.

We voeren 3 coÖrdinatenstelsels in. Oxyz is het stelsel van de buitenaardse waarnemer die ziet dat vrij vallende voorwerpen een versnelling gericht naar het middelpunt van de aarde ondervinden. O'x'y'z' is een coördinatenstelsel, dat aan de aardbol vastzit. 0 en 0' vallen samen in het middelpunt van de aarde. De z-as en de z'-as vallen samen langs de draaiingsas van de aarde. Zie de figuur bij Geval III. Tenslotte is O"x"y"z" een geographisch coÖrdinatenstelsel. 0" ligt in Eindhoven, het x"y"-vlak raakt aan het aardoppervlak, de x"-as wijst naar het Oosten, de y"-as wijst naar het Noorden, de negatieve z"-as gaat door het middelpunt van de aarde. Enkele getallen: de aardstraal R w 2

=

z". 24 x 3600

w R "' 3 • I 0

-2

"' 7, 3 • I 0 m sec

m, -5

sec

-1

wR "'470msec

-I

,

-2

(4. IS)

Stel dat een vrij vallend voorwerp in Oxyz een versnelling g heeft. In O'x'y'z' is de versnelling dan g' = g-

2(~x~')-

wx

(~x!').

- ss -

In het geographische coÖrdinatensysteem O"x"y"z" is de versnelling van

•

dat vrij vallende voorwerp dan

g"

Ei -

2(~ x~")

w x (~ x

E") - w

x

(~ x ~)

(4. 16)

z"

A

À

e " -z

~x"

\

Noorderbreedte

~

y"

e " -y R

x"

Hierin is R de positievector van 0" in O'x'y'z'. Deze vector is overgezet

naar O"x''y"z". De positievector _E 11 (t) van een vrij vallend voorwerp voldoet

•

dus aan de differentiaalvergelijking w x (~x!")

w x (~x~)

( 4. I 7)

- 56 -

We beperken ons tot een gebied met een diameter van zo'n 25. km rondom 0". ~

Oan mogen we

wel als constant beschouwen. Verder verwaarlozen we de 3e

:errn in het rechterlid van (4. 17) t.o.v. de 4e term, want Ir" I is veel '
i:-''

(4.18)

Deze vergelijking (of liever: dit stelsel vergelijkingen) kan met 2e jaars wiskunde worden opgelost. We schrijven het stelsel (4.18) uit, laten de dubbele accenten weg en gebruiken ,.,"

= -y -z e , w cos

À

e + w sin -y

e • -z

À

Er komt x

- 2w(zcosÀ-ysinX) 2 w Rcos

y

z

-y + 2YJi<

2

cos X" -

+ w R cos

X«

i

À

2

. s1nÀ

(4. 19)

-. À •

ro . . _{ S<>c

We laten nu een massapunt van hoogte h vallen

{

z(O)

x(O)

y(O)

0

x(O)

y(O)

z(o)

Gezien (4.15) en y

=

h

o

10 is het verwaarlozen van de

~

x en y kleiner

in (4.19) zeker verantwoord zolang oplossing is nu z( t) y(t) x( t) =

h - h t ' 2

-!w

31

t

2

R cos

3

wy

À

cos

sin À

À

t

2

doorgestree~te

zijn dan 10

4

termen

m/sec. De

- 57 -

W•o berekenen de coÖrdinaten waar het punt de grond raakt. Dan moet z(t)

= 0 dus t 2

2h y

Het inslagpunt heeft dan coÖrdinaten 1

2 fw h 12'h ' - cos À x=3

2

y

( 4. 20)

2

w h ]( - - - cos À sin À y

y

Dit zijn resp. de oostelijke en zuidelijke afwijking;n van het inslagpunt die bij vrije val optreden.

Opgave: Bereken deze afwijkingen als h y

§4.2.

2 10 m, h

= JO.

Stilzetten. Schijnkrachten

In het Oxyz-stelsel beschouwen we de bewegingsvergelijking

mr

=

(4.21)

F

zoals ingevoerd in §3. l. Met behulp van (4.14) schrijven we dit in O'x'y'z' (4.22)

m T'

De tweede term in het rechterlid noemen we de schijnkracht F • Dus -s

•

F + F -s

We kunnen dus ook in O'x'y'z' met een bewegingsvergelijking werken als wc de oorspronkelijke kracht bij op te tellen.

!: maar corrigeren door er de schijnkracht Ks

- 58 -

Men schrijft wel F

-mB+F

-s

-

-c

Hierin is !:c ; -m ~ x -2mw x v'

(~

( 4. 24)

+F

-cor

x E')

de zgn. centrifugaalkracht en F

-cor

is de corioliskracht.

De centrifugaalkracht staat loodrecht op de

draaiin~sas,

ingsas af gericht en is in grootte gelijk aan mw

2

is van de draai-

maal de loodrechte af-

stand van m tot de draaiingsas. De corioliskracht staat loodrecht op het vlak gaande door de draaiingsas en de relatieve snelheid. Het overgaan op het 0'x 1 y 1 z 1 -stelsel wordt ook wel de methode van stilzetten genoemd.

Voorbeeld 4.2. Lift. F

-s z z'

z e -z

R

-m~'

Het mannetje op de bodem van de lift maken we vrij. y'

N - mg e

-z

N

x'

mR

0

mz + mg

~(t)

Als z < -mg, dan loslating. y

N

- 59 -

Voorbeeld 4.3. Draaimolen •

• y

y'

V

F

-centr

A

w

0

x w

Neem w

we -z

w

>

0

F

-m~ x (~x

F -cor

-2mw x v'

-centr

E')

Beschouw een stilstaand punt A in Oxy. Gezien van.uit O'x'y' heeft dit punt een hoeksnelheid -w. We berekenen de schijnkracht op A. F -centr

-m~ x

(~x

F -cor

-2mw x v'

E') -Zmw x

(-~x

E')

De totale schijnkracht is dus m~ x (~x E') en die is naar 0' p,ericht.

Voorbeeld 4.4. De coriolisversnelling op het aardoppervlak. De FoU.caul ts linger. In de buurt van het aardoppervlak bevindt zich een massapunt m. Stel dat er behalve de zwaartekracht mg

=

-y

m~z

nog een kracht

~

op m werkt. De

bewegingsvergelijkingen in geographische coÖrdinaten moeten ook de schijn-

- 60 -

kracht als gevolg van de aardrotatie bevatten. Deze bewegingsvergelijkingen 'O

zijn, cf. (4. 17), mll + F -

m Ï'"

2m(~

x!") - mw x (~x!")

(4.25)

Als we de z"--as een klein beetje draaien (in de richting van het schietlood zetten!) kan de laatste (constante) term in (4.25) worden opgenomen in ll• Als we verder

1!"1

weer klein veronderstellen, houden we, na weg-

lating van de accenten, over

mÏ'

ffij! + F -

(4.26)

2m(c:> x !)

We kijken nu naar horizontale bewegingen, De corioliskracht -2m(c:> x!) heeft dan een horizontale component ter grootte 2mlc:>ll!l sin

À,

À

is de

Noorderbreedte (in ons geval), De verticale component is veel kleiner dan z

À

Noorderbreedte

y

F

-cor,H x de zwaartekracht en die verwaarlozen we. De horizontale component van de

corioliskracht F

-cor,

H

-2m(w x r) staat steeds loodrecht op ! en "veroor-v -

zaakt een afwijking naar rechts". Dit heeft belangrijke gevolgen in de Meteorologie: de wet van Buys Ballot, en in de geologie: rechteroevers

.--

•

- 61 -

van rivieren slijten (op het noordelijk halfrond) meer uit dan linkeroevers (zeggen ze).

W<' bespreken nu de Fo
-a. r

en we schrijven alleen de x en

y componenten op

x

-a x

+ 2w sin À

y

y

-ay- 2w sin À

x

E
{

Hierin is w Als À

=

/ ::z-' w +a t

x(t)

cos w t cos

y(t)

-2 I sinw t cos / w +at

w sin À een lage frequentie en

~2

/w

+a

I

een hoge frequentie.

;,

'

O, op de evenaar, zal het verticale vlak van de Foncaultslinger

DJ• zijn plaats blijven. Als À

1f 2,

op de noordpool, zal het genoemde ver-

tjcale vlak precies eens per etmaal ronddraaien. De aardbol draait a.h.w. onder de slinger door. Op breedte À zal het genoemde verticale vlak per etmaal een hoek 21f sin

À

draaien •

•

I'

---+- A 1

111

l {o}

noonlei!Jk. hallrond

( b) zutdei!Jk hallrond

Rotatie van het slingervlak als gevolg van de coriolis~·ersnelling. (De rotatie op het zuid.t.'lijk ha/froud geschiedt in de tegengestelde richting met die op het noordelijk halfrond.)

J.

- 62 -

Met de Foncaultslinger werd "aangetoond" dat de <1arde draait.

Opmerking: (4.27) kan heel gemakkelijk opgelost worden door x + iy

a

z

te stellen. Dan

Z

+

CL Z

+ 2i

W

Z

Ü

met als algemene oplossing

.

z ( t)

Ae

. ;;::;z

-1wt+1v' w""+cx

.

+ Be

. ;;:;z

-1wt-1/ w.... +a

•

Voorbeeld 4.5. Stelsel Aarde-Maan. De Getijden. Van de aarde uit gezien draait de maan in (iets minder dan) een etmaal om de aarde. Er zijn echter twee eb-vloed perioden per etmaal. We zullen aan de hand van een sterk vereenvoudigd model zien hoe dat komt. Stel de maanmassa m, de aardmassa M. Aarde en maan trekken elkaar aan aMm met een kracht ---- als d de afstand tussen maanmiddelpunt en aardmiddel2 cl

punt is. Er bestaat een eenparig roterend coÖrdinatenstelsel, zie figuur,

A''

'

B

.• ''

<--

-

- 63 .•

t<m opzichte waarvan m en M in rust blijven. Dan geldt

• aMm

F

2

mw r

(L + 9.)2

D.m moet blijkbaar gelden ML

= mL

Dus de oorsprong 0 van dat coÖrdinaten-

s:elsel ligt in het massamiddelpunt. Verder moet gelden am

2

w

aM

Enkele getallen: M =BI m, L + 9.

w

_,

1.11 2.

4 x 36oo x

~

o

s-ec.

.

8

3 • I 0 m,

8 10 m W

=

3750 km •

~

2.'

't 2 .

ID.

6

Dlls 0 ligt binnen de aardbol. Op een massapunt in A werken de aantrekkingskracht van de maan en de C<·ntrifugaalkracht naar links. Op een massapunt in B werken een kleine aantrekkingskracht van de maan naar links en een grotere centrifugaalkracht naar rechts. Als de hele aarde met een oceaan bedekt was, zou het waterniveau zich op de stippellijn bevinden. Op iedere plaats op aarde komt dus twee maal per etmaal een waterbult voorbij •

•

- 64 -

HOOFDSTUK 5.

Fundamentele beschouwingen over Inertiaalstelsels, Massa, Impuls en Kracht

Een vrij deeltje is een materiedeeltje, dat geen wisselwerking heeft met andere deeltjes of met zijn omgeving. Een deeltje kan vrij zijn als het "heel ver" verwijderd is van andere deeltjes en als er geen velden zijn, die op het deeltje werken. Een inertiaalstelsel is een rechthoekig coÖrdinatenstelsel, zodanig dat ieder vrij deeltje, waar het zich ook bevindt, zich met constante snelheid v beweegt. In het bijzonder geldt dus, dat een vrij deeltje, op een willekeurig punt neergezet, daar rustig blijft zitten. Het is duidelijk dat een coÖrdinatenstelsel dat t.o.v. een inertiaalstelsel eenparig transleert, eveneens een inertiaalstelsel is. De begrippen "vrij deeltje" en "inertiaalstelsel" zijn idealiseringen. Ze kunnen alleen locaal en tijdelijk gerealiseerd worden door voldoende ver van sterren en planeten te gaan zitten of door volledig aan de zwaartekracht toe te geven (vrij bewegend ruimteschip). Soms is een coÖrdinatenstelsel in bepaalde richtingen inertiaal, bijvoorbeeld een niet te groot glad horizontaal vlak op aarde. Een direct gevolg van bovenstaande definities is:

- 65 -

Traagheidswet (Ie versie) In een inertiaalstelsel beweegt een vrij deeltje zich met constante snel-heid."t:_e:_onderstel dat het beschouwde vrije deeltje bij nader inzien uit twee wisselwerkende stukken b~staat. Het is een ervarinp;sfeit dat dan een zeker gewogen gemiddelde van de snelheden constant is: Be sc.houw 2 materiedeeltjes in het (verder lege) universum met posities een inertiaalsysteem. Dan zijn er constanten a, a+ S

=

B,

E1 (t)

E2 (t)

resp.

0 ~a~ 1, 0

$

B~

in I,

I, zodanig dat

(5. I)

(5.2) Als

s

r. -

-1

c ~

Q,

dan liggen a en S vast.

heet de massaverhouding van de deeltjes. Door nu voor het eerste mate.rie-

deeltje de standaard kg te nemen, kan aan het andere deeltje een getal worden toegekend dat de massa m van het deeltje heet. In principe kan zo aan ieder deeltje, door het met de standaard kg te laten wisselwerken, een massagetal worden toegekend. Herschrijven van (5.1) levert (als de ruimte verder leeg is) (5. 3)

constant .

•

Hiervan wordt gebruik gemaakt bij de dynamische methode om 2 massa's te vergelijken. Voor t

•

=0

zijn 2 massa's in rust. Op t

plaats. Als de snelheden dan

CD

~I

resp.

~

2

=0

vindt een explosie m2 1~11 zijn, dan geldt mi

l~2l

- 66 -

De impuls E van een materiedeeltje definiëren we nu door E

mv. Aldus

krijgen we

Traagheidswet (2e versie) • .Ie wet van Newton In een inertiaalstelsel beweegt een vrij deeltje zich met constante impuls.

We komen nu toe aan de alRemene impulsbehoudwet. Deze is, wiskundig geformuleerd, een generalisatie van de Ie wet van Newton. De impulsbehoudswet geeft aan, dat niet alle denkbare wisselwerkingen tussen deeltjes ook mogelijk zijn. Bijvoorbeeld bij twee deeltjes met eindige massa die beide stilstaan, kan niet plotseling het ene gaan bewegen en het andere stil blijven staan. De impulsbehoudswet geeft geen informatie over de precieze aard van wisselwerkingen.

Wet van behoud van imEuls De totale impuls van een geisoleerd stelsel van N deeltjes in een inertiaalstelsel is constant. N

I

i=l

p.

-]_

mi ~I + ' ' ' + ~ ~N

constant .

., p

- 67 -

We benadrukken dat

E=

constant alleen geldt als er alleen onderling wis-

selwerkingen zijn en geen wisselwerkingen met de buitenwereld. De impuls van één deeltje uit een geÏsoleerd stelsel kan wel veranderen, er kan impulsoverdracht naar andere deeltjes plaatsvinden. Het surerrositie-beginsel zegt, dat bij N geisoleerde wisselwerkende deeltjes de wisselwerking van het Je deeltje met de overige deeltjes gezien ka1 worden als de som van de wisselwerkingen met de afzonderlijke deeltjes:

')

.\

N

F·

I

1

j=l

É·1J. ( t)

l,

j#i Hierin is, op zeker opgenblik t, ~ .. (t) de impulsverandering (massa x ver1J

snelling) van het ie deeltje als alle overige deeltjes, behalve het je, worden weggelaten. Vaak wordt slechts op de beweging van één deeltje gelet, omdat de deeltjes waarmee het wisselwerkt niet, of moeilijk, in de beschouwing betrokken kunnen worden. Vaak ook wordt de beweging van de overige deeltjes niet interessant gevonden. De wet van impulsbehoud mag voor het ene beschouwde deeltje niet gebruikt worden. Een practische aanpak is dan het vrijmaken van het deeltje door het invoeren van het begrip kracht. De totale kracht

!:•

die op een deeltje werkt, is per definitie gelijk aan

de impulsverandering F

mv

.!'· Dus ma

(2e wet van Newton) •

(5.4)

. I' ~:

- 68 -

In het geval van 2 wisselwerkende deeltjes geldt

~I

-

Éz'

~I

+ ~

2

constant. Dus

dus F -1

= -

F -2

(3e wet van Newton) ,

(5. 5)

Bij 2 wisselwerkende deeltjes is de kracht op het ene deeltje even groot als en tegengesteld aan de kracht op het andere deeltje: Actie

= -Reactie.

Volgens het superpositie-beginsel geldt dit ook voor meerdere deeltjes. Als een deeltje met massa m met meerdere deeltjes wisselwerkt, dan veroorzaakt het ie deeltje een impulsverandering van m gekarakteriseerd door F .• -1

Dus geldt volgens het superpositie-principe: dmv

Ci't

.

R =~I +

~2 + •.••

(5. 6)

F

Het door ons ingevoerde begrip kracht is vooralsnog een leeg mathematisch concept. Echter, het krachtbegrip maakt het mogelijk de wisselwerking tussen deeltjes kwantitief te beschrijven. Bijvoorbeeld bij 2 geÏsoleerde wisselwerkende deeltjes heeft men de relatie

(5. 7)

De uitgeoefende krachten ~I' ~

2

hangen af van alle optredende posities en

snelheden en beschrijven de wisselwerking. Dikwijls hangt

~

alleen maar af

•'

- 69 -

Het eerste voorbeeld van een wisselwerking (5. 7)

Wl?r
Newton gegeven.

V"or de gravitatiewisselwerking tussen 2 massa's gaf hij

~I De functies in de rechterleden van (5.7) moeten experimenteel vastgesteld worden. Voor N geisoleerde deeltjes wordt de wisselwerking beschreven door

\l ~I (!1 ~ ËI ' Ez ' Êz

' ... , !N ' ÉN)

I~

m2 Ëz

~2
' !: 1 ' .!z

• Éz

' ... ' .!N ' ÉN)

,'i:

~!N

~N(!1

' !: 1 , !z

, .Éz ' ••• ' EN

I' I

mi

l'z

ÉN

Ë1

·~ :~

(5. 8)

ÉN)

We zijn speciaal in de beweging van m geÏnteresseerd. Veronderstel nu dat 1 de afhankelijkheid van ~

1

van !z ,

_t 2

, ••• , !N , iN te verwaarlozen is of te

vcrvangen 1s door een expliciete afhankelijkheid van de tijd t. Dit kan h<·t geval zijn als bijvoorbeeld (i)

De deeltjes 2, ••• ,N weinig van plaats veranderen en erg langzaam bewegen. Een reden hiervoor kan zijn dat ze grote massa hebben.

(ii)

De effecten van deeltjes 2, ••• ,N elkaar min of meer opheffen en je een constante "achtergrond" overhoudt. (Wrijving)

In zo'ngeval spreken we dan van de beweging van één deeltje in een krachtveld. De bijbehorende bewegingsvergelijking is dan

~(!

É'

t)

•

In Hoofdstuk 3 zijn we hier al op vooruitgelopen.

(5.9)

- 70 -

HOOFDSTUK 6.

nynamica van een deeltje. Behoudswetten

Een behoudswet is een functie H van

E en

!, zodanig dat voor iedere op-

lossing E(t) van de bewegingsvergelijking geldt, dat de functie van de tijd t gegeven door H(E(t) , !(t)) een constante is. H heet een behouden grootheid. We zijn zoiets al

tegengekomen bij Voorbeeld 3.6: De "verme-

nigvuldiging-me t-~ -truc. 11

Een ander voorbeeld van een behouden grootheid is de impuls van een vrij deeltje in een inertiaalstelsel. Natuurlijk is de fysische grootheid "impuls" niet in ieder probleem een behouden grootheid. Dat is evenmin het

geval met de, in dit hoofdstuk te behandelen, grootheden impulsmoment en energie. Vaak kun je als de bewegingsvergelijking niet op te lossen is, wel behoudswetten vinden.

§6.1.

Impulsmoment

F

V

0

•

- 71 -

Het impulsmoment van een massapunt m t.o.v. een referentiepunt A wordt in

eea coÖrdinatenstelsel Oxyz gedefinieerd door ( 6. I)

H··t moment (of koppel) t.o.v. A van de kracht F wordt gedefinieerd door (6. 2)

De impulsmomentstelling. Zij

:!A = >. P

,

À

~A

de snelheid van het referentiepunt A. Als

een willekeurig getal, dan geldt

~A

(6. 3)

Dit bewijzen we als volgt: Differentieer de relatie

~A

EpA x

!' naar t.

Dan komt er

In de laatste stap is gebruikt dat!'

=I

en~

x!' =

m:z

x :!. = Q. Met de

Definitie (6.2) concluderen we dat ~A= :!:A dan en slechts dan als :!A=

À.f ·

À mag van t afhangen. In het bijzonder geldt dit als À = 0. Dan staat A

stil. Vaak nemen we de oorsprong als referentiepunt. We schrijven dan

r

Voorbeeld 6.1. llij de algemene cirkelbeweging ( 2.3) geldt 2 ' L=mrv=mrlf'

r .L v

L

= mr 2 w

Bij de algemene vlakke beweging geldt in poolcoÖrdinaten L mr x (v e +v e ) -

L

mr

r -r

2 .


e -z

~

-
m_r x v e . Omdat r QJ-
.L e

en v


=

geldt

- 72 -

Het impulsmoment L is een behouden grootheid als L = 0, d.w.z. als T = 0. Dit is zo in het triviale geval dat eenparige snelheld en L

K = Q. Het deeltje beweegt dan met een

mr x v =constant. Er geldt 1~1 = mdl:::l• Zie

figuur. Veel interessanter 1s het geval, dat F een centrale kracht is (§3.6). Dan geldt

T

en L

r x F

r x F (r , r-

r,

-

t) e -r

0

constant.

Een gevolg hiervan is de klassieke perkenwet. Stel een massapunt beweegt in het Oxy-vlak onder invloed van een centrale kracht. Zij A(t) het ten tijde t door de radiusvector r doorveegde oppervlak. Er geldt dA

lr 2 dq>

dus r

dA

dt

!r

2 dq>

dt •

F

Met Voorbeeld 6. I volgt dan Dus A(t) = c stanten.

1

+ c

2

t, c

1

dA dt = constant.

en c

2

zijn con-

- 73 -

In woorden: De voerstraal bestrijkt in gelijke tijden gelijke oppervlakken. Deze perkenwet werd door Kepler geobserveerd bij de planetenbeweging. Soms is

T

+ Q,

maar is een der componenten van

T

gelijk aan nul. Dan is de cor-

responderende component van L een behouden grootheid. Bijvoorbeeld als op een massapunt een axiale kracht (§3.8) werkt, die steeds naar de z-as gericht is, dan is de z-component van het impulsmoment L

z

een behouden groot-

heid. Dat is het geval bij de kegelslinger. Zie Voorbeeld 3.9.

§6.2.

Arbeid en Energie Stel op een massapunt m werkt een kracht F. K

Als m zich verplaatst langs een kromme K over dE = ds .!:T•

dan is de door

:!:

op m ver-

richte arbeid dA gedurende deze verplaatsing per definitie

(

dA

s \

I

I

F

dr

I:!: I cos


Als m langs de kromme loopt van A naar B,

A

dan berekenen we de op m verrièhte arbeid

als volgt. Bereken de tangentiële component FT(s) als functie van de afgelegde weg s langs de kromme.

'•

/ I

/' i

__

..._ ·~_//

+S

A

-

]!,

-

Er geldt dan B

A~

J

F

dr

( 6. 4)

A

Voorbeeld 6.2. Veronderstel K is een rechte. F

= constant

met de rechte

en maakt een constante hoek ~ F

I !: I cos \) •

A

L •

Voorbeeld 6.3. Bij een eenparige cirkelbeweging is de arbeid verricht door de centripetale kracht gelijk aan nul omdat steeds F

~

dr.

We geven nog enkele voorstellingen van de arbeidsintegraal (6.4). Als het massapunt de krollUDe K doorloopt met een zekere snelheid, dan geldt

A

V

dt (6. 5)

Als het beschouwde stuk kromme zowel met x, als met y, als met z kan worden geparametriseerd, dan geldt

.•.

- 75 -

A

F

F dy y dt

x

dz d F z dt t (6.6)

F

y

dy

F

z

dz

In fysicaboeken vind je vaak de (symbolische) notatie B

A A

I

F dx + F dy + F dz x y z

Dat staat erg grappig, maar je kunt er niet veel mee doen. Om de arbeid te berekenen moet je dus weten:(i) de baan, (ii)

~(x,y,z).

Voorbeeld 6.4. In het Oxy is gegeven het krachtveld F

= a y 2 -x e • Gevraagd wordt de ver-

richte arbeid als je van 0 naar 2e-x + 4e loopt voor vier verschillende -y wegen als aangegeven in de figuur.

y

II

0

B

I

0

8

/

~/

-

2

A

I.

~

0

76 -

4 F dx + x

J

0

2 F dy y

J

~

0

J

4 F (x,O) dx + x 0

J

F (2,y)dy y

0 •

SB 2.

A

s J

I + II

FT ds

A

4 I

0

Langs y

0 • ds

J

0

II

0

8

Totaal

3.

2

8 ds =-)a

2x

A

2

J

x

F dx + F dy x y 0

0

J

4 a x dx +

0 • dy

~

32

3

a

0

J

32 0 • dx = - a 5

2 t • 0 ,; t ,; 2, x

2

r J 0

0

J

4

Anders: x = t, y

A

4a x dx +

J

2

2

A

4 2

A Langs y

2

a

3

B

4.

J

as

I'

y

2t.

2

(F :.1: + F x y

y) dt 0

J

32 4 at dt = - a 5

Blijkbaar hangt de verrichte arbeid van de gekozen weg af.

..

- 77 -

Het vermogen P is het tempo waarmee arbeid verricht wordt. Stel de tot tijdstip t verrichte arbeid is

vdt

A(t)

Er geldt p

dA

-=F•v=Fv dt T

We drukken nu de verrichte arbeid

A

V

dt

(6. 7)

A uit

in de snelheden van het massapunt.

V

dt

(6.8)

De grootheid T

(6.8)

lm v

=

2

noemen we de kinetische energie. Er geldt volgens

A = T - TA, dus de verrichte arbeid is gelijk aan de toename van de 8

kinetische energie.

Voorbeeld 6.5. Gegeven een lineaire veer

(§3.3). Vanuit de uitgerekte

•

toestand x = a laten we m los. a, x(O)

Dus x(O) 0

x

=

0. Wat is

de snelheid als m in een punt x, 0

~

x

~

a, aangekomen is?

- 78 -

Antwoord: 2

~m v

J~

~

x F

xA

x

dx a

J

-kt;

2 jk(a - x 2 )

d~

anders: a-x 2

!m v

0

a-x

FT ds

J

0

I

2 2 !k(a -x )

k(a- s)ds

.

De arbeid, die verricht wordt op een massapunt, dat zich in een constant krachtveld

beweegt, wordt gegeven door

~

B

B

A

=

I

F

dr

F

x

dx

F

y

dy +

F

z

dz

A

//'

/

/

oA

/

/

___/

Blijkbaar hangt de verrichte arbeid hier (anders dan in Voorbeeld 4) alleen af van begin- en eindpunt van de gekozen weg. Definieer de functie U(E)

=

U(x,y,z)

=

-~

• E·

Dan geldt

A=

U(EA) - U(!B).

U(E) heet de potentiële energie en de verrichte arbeid is blijkbaar gelijk aan de afname van de potentiële energie.

.,

- 79 -

Voorbeeld 6. 6. Het zwaartekrachtveld wordt gegeven door F = -mg e • Dan geldt U = mg z + C. -z C is een willekeurig te kiezen constante. Beschouw een slinger met lengte

2. We laten m los terwijl het koord een hoek

~ ~

~O

maakt met de verticaal.

Wat is de snelheid van m als de hoek, die het koord

I

met de verticaal maakt, gelijk is

aan~.

0

~ ~ ~ ~

0.

Antwoord: Op m werkt de spankracht in het koord. Die verricht geen arbeid. Verder werkt de zwaartekracht en die heeft een potentiële energie U

=

mg z.

Dus

rog

0

!mv 2

rog 2(1- cos

~ )

0

- mg Hl-

cos~)

= mg 2(cos

~-cos ~ )

0

Aldus hebben we de snelheid berekend zonder de bewegingsvergelijking op te lossen!

E<·n kracht (krachtveld) heet conservatief als er een functie U(r) bestaat ze>danig dat voor alle punten !:A' EB geldt

A

dr

(6.9)

A

De functie U(E) heet de potentiële energie. We merken op

•

(i)

A is onafhankelijk van de gekozen weg.

(ii)

Afname van U

= verrichte arbeid tussen de eindpunten.

(iii) U is slechts bepaald op een constante na. Eén constant krachtveld is een conservatief krachtveld. Een voorbeeld van een niet-conservatief kr.tchtveld is gegeven in Voorbeeld 4. Je kunt daar niet van energie spreken!! (Behalve als je journalist bent.)

·f

r I

''

- 80 -

We zoeken nu een eenvoudige relatie tussen U en F. _,

(x+h,y,z) U(x;y,z)- U(x+h,y,z)

J

F

dr

(x,y,z) Omdat de integraal niet afhangt van de gekozen weg, integreren we voor het gemak maar langs de rechte verbindingslijn. Er komt x+h U(x,y,z) - U(x +h,y,z)

Door h delen en h

J x

F

x

(~,y,z)dÇ

•

0 levert

+

au(x,y,z)

-F (x,y,z) • x

dX

Analoog kan men vinden 3U(x,y,z) ay

-F (x,y,z) y

(6.10)

3U(x,y,z) 3z

=

(

-Fz x,y,z

)

•

Omgekeerd levert iedere functie U(x,y,z) via de formules (6,10) een conservatief krachtveld,

Voorbeeld 6.7. Het krachtveld F(x)e

-x

door

is conservatief. De potentiaal U(x) wordt geReven

,,

x

U(x)

J F(~)dé

0

,

- 81 -

Voorbeeld 6.8.

•

De centrale krachtvelden c

!:(!:)

IEI

e 2 -r

en

-k r

!: (!)

uit §3,6 zijn conservatief. De potentialen zijn respectievelijk

-c

U(x,y,z) /

U(x,y,z)

en

x 2 + y 2 + z 2'

k

2

2 2 2 (x + y + z ) •

De oppervlakken op U constant heten equipotentiaalvlakken. In ieder punt staat de kracht loodrecht op een equipotentiaalvlak,

Voorbeeld 6.9. Bij het zwaartekrachtveld zijn de equipotentiaalvlakken horizontale vlakken. Bij de krachtvelden van Voorbeeld 8 zijn de equipotentiaalvlakken concentrische bollen om de oorsprong.

z

I

I

..a---------

.......... 1

•

,

.". ..-t- -

-

-

-

-

-

-

- -

-

-y"'-----"7

/

,

_.-}-------

...

~>------

y

- 82 -

We kunnen nu de wet van behoud van energie voor een deeltje in een con-

servatief krachtveld formuleren: Verrichte arbeid = toename kinetische energie

= afname potentiéle energie,

Dus

We noemen

w

(6.11)

de (totale) energie van het deeltje. W is de som van de potentiële en de kinetische energie. Er geldt W = constant • Een heel korte af· :leiding van de energiebehoudswet voor conservatieve krachtvelden kan met de kettingregel voor partiéle afgeleiden verkre!'(Pn worden, Dat gaat als volgt

mr

-:r

r

( au ax

e

-x

+

au

e

3y -y

+

~

e )

dZ -z

.• ddt {!m! •

r

E+

U(x,y,z)}

+ U(x,y,z)

=0

constant .

- 83 -

§6, 3.

Energiebeschouwingen bij de eendimensionale beweging

Voor de eendimensionale bewegingsvergelijking m

x = F(x)

(6.12)

geldt de energiebehoudswet

jm x

2

+ U(x) = W = constant •

Hierin 1s U(x) zodanig dat F(x)

0 in x

op t

0

!mx dx dt

Als v

0

2

=

= -

zit en een snelheid v

+ U(x)

±

~~ 0

•

Stel dat het beschouwde deeltje

heeft. Dan geldt

= w = !mv; + U(x

0

) •

{~ [W-U(x)]}j

(6.13)

(6.14)

> O, dan geldt in (6.12) voor voldoend kleine t het +teken.

(6.13)

is een Ie orde vergelijking, terwijl de oorspronkelijke vergelijking (6.12) van de 2e orde is. (6,13) kan gesepareerd worden

t

•

(6.15)

/.?..cwu(~)]· m Dit levert t als functie x: t(x), De inverse functie x(t) is dan de ge-

•

z.ochte oplossing (6. 12). Helaas is de integraal (6. IS) meestal niet in elementaire functies uit te drukken.

- 84 -

Voorbeeld 6.10. De harmonische oscillator. Bewegingsvergelijking m Begincondities

x=

-ex x.

Potentiële energie

x , x(O) 0 2 U(x) = !ex x •

Totale energie

W=mx+exx ! .2 l 2

x(O)

d~

0 .

t

2

/ - [W- lex~ m

2

]

I

rm(i" arcs1n.ro:'.rm .. W X T (X arcs1n I

-V

V

Y

2

Inverteren levert

We zetten nu U(x) uit in een grafiek. Dat levert de potentiaalkromme

D

- 85 -

In het punt x 5 heeft U een absoluut minimum. Bewegingsteestanden met energie W kleiner dan U(x ) zijn niet mogelijk. Er geldt F(x ) 5 5

=

-U'(x ) 5

= 0. Dus als we in x 5 een massapunt met beginsnelheid 0 neerzetten, dan blijft het in x

5

stilzitten. 2

Als we zorgen dat de energie W = U(x ) + lm v > U(x ), 0 0 5

dan kan het

gebeuren dat het deeltje een periodieke beweging gaat uitvoeren tussen x 1 en x 2 of tussen x en x (als W = w ). De. punten x , x , x , x 3 4 1 1 2 3 4 heten keerpunten. Het kan ook gebeuren, dat het deeltje oneindig ver weg raakt (als W = In het punt x

6

w2 ).

heeft U een locaal maxinum. Daar geldt F(x ) 6

= -U' (x 6 ) = 0.

Dat is dus een evenwichtspunt net als x • Het punt x is een labiel even6 5 wichtspunt. D.w.z. als je het massapunt, in x gesitueerd, een willekeurig 6 kleine aanvangssnelheid geeft, dan raakt het ver verwijderd van x (W

6

= w3 ). Het punt x 5 daarentegen is een stabiel evenwichtspunt. Hoe

kleiner de aanvangssnelheid is die je geeft vanuit x , hoe dichter het 5 bewegende punt in de buurt van x

5

blijft.

Het deeltje bevindt zich in een vrije toestand als het zich in een onbegrensd deel van de ruimte kan bewegen (W

=

w2 ). Het deeltje bevindt

zich in een gebonden toestand als het zich slechts in een begrensd deel van de ruimte kan bewegen. Bij W =

w1

zijn 2 gebonden toestanden: Bewe-

ging in de intervallen [x ,x J resp. [x ,x J. Beide toestanden zijn 1 2 3 4 gescheiden door een potentiaalbarriëre (= het stuk van de potentiaalkromme op het interval [x ,x J). In de klassieke mechanica kan een 2 3 deeltje niet door een potentiaalbarriëre (ook wel verboden zone geheten) heenkomen.

- 86 -

§6.4.

Beweging onder invloed van conservatieve centrale krachten

In het Oxy-vlak beschouwen we de bewegingsvergelijking (6. 16)

Met

~(E)

een conservatief centraal krachtveld. Dat wil zeggen dat

~(E)

een potentiaal heeft van de vorm U(r). We gebruiken poolcoÖrdinaten. Er zijn twee heboudswetten in dit geval. Behoud van energie jmv

2

+ U(r) = W = lmv

2 + U(r ) 0 0

(6.17)

en behoud van impulsmement

mr

2

a

~

(6 18)

1

dt

0

Zoals aangegeven zijn de constanten W en 1 uit de begincondities te berekenen. Omdat v

.2

2

kan voor (6. 17) geschreven worden

r

j mr.2 + Ueff ( r ) =

w=

constant

(6.19)

12 heet centrifugaalpotentiaal. (6.19) U(r). De term 2 2 2mr 2m r is eenzelfde vergelijking als (6.13),

met Ueff

=

dr dt

12

+

=

±

/2

ïiï (W-Ueff(r))

1

(6.20)

met de methode van §6.3 kunnen we hieruit in principe t(r) en r(t) vinden.

- 87 -

Vervolgens kunnen we

bepalen met (6.18)

~(t)

t ~

( t)

f

<jl(O) +

1 ---: dT , 2 m r (T)

=---

0

(6.21)

Als 1 > 0, dan is <jl(t) een monotoon stijgende functie. Als 1 < 0, dan is <jl(t) monotoon dalend. Het deeltje loopt dus altijd in eenzelfde draairichting om het centrum. Daarbij geldt de perkenwet. Nu we r(t) en <jl(t) in principe berekend hebben, is de vergelijking (6.16) in principe opgelost. Uit (6. 18) en (6,29) kunnen we nog de baanvergelijking in poolcoÖrdinaten bepalen:

dr d<jl

=

dr dt

/È..'t dt

mr

2

(6.22)

-1-

N.t integratie vinden we q> (r)

r q>(r) - <jl(O)

r(O)

§6,5,

u

f

1d p

mp

m(W-Ueff(p))

2/2

°

De planetenbeweging c r

(cf. Voorbeeld 6,8).

12 c --2- r 2m r

(zie figuur).

Voor W < 0 is de oplossing r(t) periodiek. Het massapunt bevindt zich dan in een gebonden toestand, de baan is een roset-

vormige baan binnen een begrensd gebied rondom de oorsprong.

w2~--------------

- 88 -

Voor W > 0 wordt r(t) willekeurig groot. In feite zijn voor W < 0 de banen ellipsen en voor W > 0 hyperbolen, beide met 0 als brandpunt. We be~ijzen.

zullen dat gaan

y

p , ,·

-------,"- -------- -------·- Q /

'

r, .

,----- \~ x

F

d

Een kegelsnede K met richtlijn 1 en brandpunt F is per definitie de ver·zameling van alle punten P in het platte vlak, waarvoor de verhouding

E

PF = PQ

Jd- xJ

r

d- r cos


(6.23)

een vast getal is. Uit (6. 23) vinden we door kwadrateren de vergelijking van K in Cartesische coÖrdinaten 2

(I - E )x

2

+ 2E

2

dx + y

2

- 89 -

.•

Voor 0 < E < I is K een ellips, voor E

I een parabool en voor E > I een

hyperbool. Eveneens uit (6.23) vinden we de vergelijking voor K in poolcoÖrdinaten r

E d

+E

COS

(6.24)


Hiervan berekenen we de afgeleide dr d
E

2d

.

Slll

cp

(I + E cos
r

2

2

. s 1n

•I

.),'

.

r

4

d2

(I-cos

2

4 3 r ( 1 __I_) + 2r _ r2 d2 E2 Ed


...

''.\

(6.25) Einde intermezzo

We kwadrateren nu (6.22), vullen voor het linkerlid (6.25) in en delen 4 door r • Er komt

., ..

'

~(~-~)+,~r d E Onder de aanname U(r)

+

0 als r

L2 -- 2

U(r) } •

2m r

+

oo

vinden we hieruit

(6.26)

(6.27)

- 90 -

Een belangrijke conclusie. is de volgende: Als de bewegingsvergelijking (6.16) met een conservatief centraal krachtveld . banen

oplevert die een

kegelsnede~~hmèt het centrum als brandpunt, dan is de potentiële energie

U(r) van de vorm U(r)

-c =-. r

Newton kwam op deze manier aan zijn gravitatie-

wet! Hij kende de vorm van de planetenbaan via de waarnemingen van Kepler en diens voorgangers. Uit (6.26) volgt dat de baan een ellips is als W < 0, een parabool als W = 0 en een hyperbool als W > 0. De parameters E en d, die de gedaante van de kegelsnede bepalen, kunnen berekend worden uit (6.26) en (6.27) en de begincondities. De begincondities bepalen immers W en L.

•

- 91 -

l•

HOOFDSTUK 7.

§7. I.

Botsingen·

Eendimensionale botsinp,sproblemen (Centrale botsingen)

. We laten langs een rechte lijn (in een gladde buis bijvoorbeeld) twee massapunten m1 en m2 tegen elkaar botsen. Gegeven zijn de snelheden v en v vóór 1 2 We willen weten wat de snelheden v

de botsing.

1

en v

2

na de botsing·

zijn

T

2

ná

vóór

Uitgangspunt: I. Impulsbehoud. 2, Behoud van kinetische energie.

(7. I)

Na enig rekenwerk

V· I

(7. 2)

•

2m v + (m -m )v 2 1 2 1 1 mi + IDz

De andere oplossing

v1

v

2

is niet interessant.

- 92 -

Er blijkt te gelden

(7. 3)

(7.2) kan worden teruggevonden uit (7.1) en (7.2). Als uitwendige krachten een rol spelen, moeten in (7.1) de impulsen vlak voor en vlak na de botsing genomen worden. De uitwendige krachten hebben dan "geen kans gekregen" de impulsen "veel" te veranderen.

V =V =V I

vóór

2

ná

Uitgangspunt: I • Impuls behoud. 2. VI

=

mlv I + m2v2 VI =V2 = V

v2

=

v.

Cm + m )V 2 1

.

(7. 4)

mlvl +m2v2 (7. 5)

mi +m2

Er geldt blijkbaar

V2 - VI

-0 • (v2-vl)

.

(7. 6)

'·

- 93 -

"

Uitgangspunt: I. Impulsbehoud. 2. De botsingsvergelijking: (7. 7)

e heet de restitutiecoëfficiënt. We zitten nu tussen geval A en geval B in. Oplossing m v +m v +em (v -v ) 1 1 2 2 2 2 1 mi +m2

'

u.)

(7. 8)

m v 1 +m v - e m (v - v ) 1 2 2 1 1 2 mi +m2

Verdere berekening leert

'I

li 1m 2

v

2

I I

+

lm 2

'

v 2 - -21 ( I - e 2 )

2 2

We zien dat er energieverlies optreedt als lel < I. Er komt energie bij als Ie I > I. Dan vindt een "explosie" plaats. Als e < 0, dan gaat m dwars d0or 1 m heen. 2

§7.2.

Botsingen in het platte vlak en in de ruimte (Niet-centrale botsingen)

mi~

/Y2

~I

na

vóór

/~2 m2

'l,

m2

ml~ .Y1

- 94 -

Ons algemeen uitgangspunt is, dat vlak na de botsing de totale impuls hetzelfde is als vlak voor de botsing

(7.9) In het platte vlak (ruimte) staan hier 2 (3) vergelijkingen met 4 (6) onbekenden. Om bij gegeven

~~

en

~

2 de snelheden

~I

en

~

2

te berekenen (d.i.

het botsingsprobleem op te lossen) moeten er 2 (3) vergelijkingen bijkomen. Soms is er behoud van kinetische energie (7.10) Doch dit levert maar I vergelijking extra.

Opgave: Laat zien dat bij een niet-centrale volkomen elastische botsing (d.w.z. 7.10 geldt) tussen 2 gelijke massa's, waarvan er aanvankelijk een in rust is, de snelheden na de botsing loodrecht op elkaar staan.

_ / y_l

~--V-+) ~-voor

f!dJ Q_~ I

®

n!i

v =v

-1 V

-2

~2

-

= -0

- 95 -

Om het botsingsprobleem op te lossen, moeten we meer informatie hebben over de precieze wisselwerking tussen de deeltjes. Wij zullen botsingen bespreken tussen gladde bollen, waarvan de massa in het middelpunt geconcentreerd zit. Dat betekent dat we rotaties van de bollen buiten beschouwing mogen laten.

Vlak voor het ogenblik dat de bollen tegen elkaar botsen, ontbinden we de snelheden in de richting van de normaalvector n van het raakpunt van de bollen en de richting loodrecht daarop. Zie figuur.

Stel ~I ~2

v v

n + ~lt 1nn + ~2t 2n-

•n

vin

~I

v2n

~2 • n

met

(7.11)

Vlak na het ogenblik van de botsing doen we hetzelfde. Dus stel V

n +V

1n-

-I t

:Y I

• n

met

(7.12) • n

- 96 -

Omdat de bollen glad verondersteld worden, vinden in de tangentiële richting geen veranderingen plaats. Dus en

!!lt = ~lt

V

~2t

-2t:

(7. 13)

•

In de normale richting geldt impulsbehoud (7.14) en we nemen aan, dat: de botsingsvergelijking geldt (7.15) In totaal hebben we dan 4 (6} vergelijkingen, Genoeg om het botsingsprobleem op t:e lossen. (7.14) en (7,15) worden door (7.8) opgelost. We bespreken tenslotte nog het geval van een botsing tegen een vaste gladde wand

I

I

I

I I !

efV


--

vóór

-

'/

I I

'

/ /, I

n

I

ná

-

'~ --

~-~~----'"

' i

I I I

I

~I

- 97 -

We nemen

~

2

=

0 en m 2

Deel eerst (7.14) door m • Dan volgt 2

=

v2n = v 2n

= 0. De muur blijft dus stil staan. Uit (7.15) volgt dan VIn= -evln" Als het bolletje m de wand onder een hoek & treft, dan geldt 1

v sin & V n

-e v

n

-e v cos &

zodat tan 9 Dus tan 9 = tan

e &

tan & •

alleen als e = I. Als 0 < e < I, is de hoek van terug-

kaatsing 8 dus groter dan de hoek van inval

&.

),

- 98 -

HOOFDSTUK 8.

De mechanica van stelsels bestaande uit meerdere deeltjes

.

De bedoeling van dit hoofdstuk is o.m. te laten zien dat F =ma en L =

T

ook op uitgebreide lichamen (zwermen van deeltjes) toegepast mogen worden.

§B.l.

Stelsels van N deeltjes

Beschouw een zwerm van N deeltjes met massa m. en positievectoren r., 1

1

$i$ N. Stel M = m1 + m2 + ••• +

~·

-1

de totale massa. Het massamiddel-

punt !M wordt gedefinieerd door N

M

I

(8. I)

m.r.

1 -1

i=l

We voeren een met de zwerm mee translerend coÖrdinatensysteem in, waarvan

we de oorsprong in !M leggen. Dit coÖrdinatensysteem heet het massamiddelpuntsysteem of M-systeem. De vector -1 r~ = r. -1

EM

is de positievector van

het ie deeltje in het M-systeem. Er geldt N

I

m.

i=J De snelheid

~M

1

r~

-1

0

van het massamiddelpunt is N

M

I i=l

m. v.

1 -1

u:. 2)

De totale impuls P wordt gegeven door N

p

I

i= I

E·1

(8.3)

,,

- 99 -

•

Op elk deeltje m. werken 1

N- I inwendige krachten F ..

•

-lJ

uitgeoefend door de overiRe deeltjes en een kracht F.

.

-l,Ultw

F.

uitwendi.~e

• We berek•enen

de afgeleide van de totale

.

-t,UltW

impuls P.

p

N

I

i=l

N

fo. -1

I

N

F.

i=l

-1

. + ,uttw

N

I I

i=l j=l jli

F •.

-1]

Volgens Actie = -Reactie is de tweede term in het rechterlid 0. Voor de eerste term schrijven we F .

-uttw

-P =Ma-M

• Dan geldt dus

(8.4)

F • -tn tw

De conclusie is dat we op het massamiddelpunt!:=

m~

mo!(en toepassen en

dat de inwendige krachten daarbij geen rol spelen.

F.

.

-l,UltW

•

F .• '-lJ

m.

J

:i

·'

·.~

1., !

,I ,;

-

100 -

Het impulsmoment van een zwerm deeltjes t.o.v. een referentiepunt A wordt gedefinieerd door N

I

(8.5)

(r. -rA) x &1. n.• -I. -

i= I

Dit schrijven we als volgt N

N

I

I

-

(rM + -r! -rA) }. - x 1'·].

i=l

i= I

r! x p. .

-}_

-1

(8.6)

De term (EM- EA) x P heet het impulsmoment VAN het massamiddelpunt. De term N

L r! x P. heet het impulsmoment OM het massamiddelpunt. We noemen deze i=J -J. -}. term ook wel het ~~~~~~~~====~ inwendig impulsmoment -~nw L. en er geldt N

N

L.

L r! xm.(v.-vM) 1 -1 -

-tnw

i= I

-1.

I

i=l

r! x

-~

E;. .

Dit is dus gelijk aan het impulsmoment in het M-systeem. Vervolgens voeren we in het totale moment t.o.v. A van de krachten dit op de deeltjes werken. N

I

i=l

(r.-rA)x(F .. +F .. ) -1 -J.,lUW -J.,Ul.tw

(8. 7)

met N

F..

-1, lUW

I

j=l

F ..

-~J

j/1

,,ls de krachten F .. , die de deeltjes op elkaar uitoefenen langs de verbin-~J

.

dingsrechten tussen het ie en je deeltje werken, dan mogen we in (8.7) de

- 101 -

term met F. .

weglaten, Immers

-1 ,1nw N

I i=!

N

I i=!

(:El· - :EA) x -1, F. l.llW .

r. x

-1

- r x F. -1,inw -A

N

N

I

I j=l

[ i=!

F .. -lJ

].

j;H Volgens Actie =-Reactie is de laatste term 0. De andere term kunnen we 1 m
I

N

I

r. x F .. -1 -lJ i=! j=l j#i

1

2

N

N

I

I

N

N

I

I

i=! j=l j#i 1 2

i=! j=l j#i

(r.xF .. + r. x F .. ) -1 -1] -] -Jl

(r. -r.) x F .. -1 -J -lJ

0

Conclusie :

N

I

i=!

(8.8)

(:El· - :EA) x -1, F. Ul . . tw

De impulsmomentstelling voor een zwerm deeltjes. Zij ~A

het referentiepunt A. Als

=

À ~M'

À

.

(8.9)

Net als in §6.1 bewijzen we dit door differentiëren.

~A

de snelheid van

een willekeurig getal, dan geldt

~A

.

~A

N

I er. - rA) i=! -1

-

N

-v

-A

x P +

I

i=!

Hieruit volgt de bewering.

N

x p. + -1

I

i=!

·.~·

- 102 -

Er zijn twee belangrijke gevallen:

I)

A is vast punt, bijvoorbeeld 0, dan \ = 0.

2)

A is het massamiddelpunt !M• dan À = I •

Conclusie: !A =

.

~A

geldt t.o.v. een vast punt en t.o.v. het (eventueel)

bewegende) massamiddelpunt,

.

Met (8.6) is in te zien dat L.

T

-1nw

t.o.v. de oorsprong in het M-systeem,

De kinetische energie van een zwerm deeltjes wordt gegeven door N

T =

I

i=l

N

I

lm. v. • v. ~ -~

-~

i=l

!m.

1

I~M+~_i12 (8. 10)

N

!. i=l

lmi

I~MI

2

N

+

2 !m;l~i 1 I i=l

N

+

I

i=l

m.1vM • v! -1

.

De laatste term is nul. De eerste term heet de kinetische energie VAN het massamiddelpunt. De tweede term is de inwendige kinetische energie en is gelijk aan de kinetische energie in het M-systeem,

§8.2.

Stelsels van 2 deeltjes

De beweging van het massamiddelpunt van een stelsel van 2 deeltjes is een bijzonder geval van wat in §8,1.besproken is. Hier bestuderen we de interne beweging van een stelsel van 2 deeltjes. We laten zien dat de interne beweging uiteindelijk bestudeerd kan worden met de theorie van Hoofdstukken 3 en 6.

-

103 -

!': 12

mi

Qo----~..

Beschouw een geÏsoleerd stelsel van 2 deeltjes. Er geldt

V = _I_ F -I m -12 I

Yz

I ffi!':21 2

_I F m -12 2

Dus d dt (~I- ~2)

met

d

dt

~12

I 212 =-F ]J -I 2

(8. 11)

JJ heet gereduceerde massa. De positie

! 12 van m1 t.o.v.

m., voldoet dus aan de bekende bewegingsvergelijking

(8.12)

(I - :~) "'

"' m m • (Stelsel Aarde-Zon, H1 1 mi +m2 at.oom, kunstmaan-aarde, etc.) Aan (8.12) zie je, dat je mag doen alsof m 2 stilstaat als je m maar vervangt door de gereduceerde massa. 1 We laten nu zien dat de gereduceerde impuls 1l :2:

12

precies

gelijk is aan

de impuls in het M-systeem:

(8.13)

P' ,-2

-)J

~ 12

'.'·

- 104 -

Verder is r' x p' + r' x p'

L.

-1

-1.nw

-1

-2

-2

Tenslotte geldt voor de inwendige kinetische energie

T.1nw

Alle genoemde fysische grootheden die je vindt als je m als vast beschouwt 2

en de gereduceerde massa

~

invoert, hebben dus dezelfde waarde als de corres-

ponderende fysische grootheden in het M-systeem.

§8.3.

Starre stelsels van N deeltjes

We veronderstellen, dat N massapunten

m1 , ••• ,~

door massaloze staven zo-

danig onderling verbonden zijn, dat het een onwrikbaar geheel is. Dit kan

w

als een eenvoudig model gezien worden voor een stuk vaste stof, waarvan de atomen onderling niet van plaats veranderen. We laten het verkregen lichaam nu eenparig om een as rondwentelen. We nemen aan dat

de as door de oorsprong gaat en dat hoeksnelheids-· vector

w

is. Als op zeker ogenblik de positievectoren

r. zijn, dan is _op datzelfde ogenblik het impulsm<>ment

-1

N

L

I

i=l

N

r. x m.]. -v. -]. ].

I

i=l

m. r. x (w x r. ) 1 -].

-

-].

(8. 14)

-

105 -

Als functie van w is L een lineaire. afbeelding. We kunnen dus schrijven L

(8. 15)

Hierin is ~ een lineaire afbeelding. De matrix van ~. die we ook ~ noemen, kan met (8.14) berekend worden:

N

I i=l

2 2 m. (y. + z.) 1

1

1

N

(H.l6)

-

J

=

I i=l I i=l

I i=l N

m. x. y.

I i=l

m. x. z.

-I i=l

1

1

1

N

-

N

-

N

-I

mi x i y i

2 2 m. (x. + z.) 1

1

1

N

1

1

1

m. x. z. 1

i=' I

1

N

-I i=l

mi Yi zi

N

I i=l

mi Yi z.1

1

2

2

1

1

m.(x. +y.) 1

Deze 3 x 3-matrix noemt men ook wel de traagheidstensor. Bij continue licha-

.

men worden de sommen vervangen door integralen.

·'

,•''

Voorbeeld 8.1. Traagheidstensar van een halter. z

b

m

y

x Voorbeeld 8.2. Traagheidstensar van een vliegenmepper.

z 0

c

2

he

x

- 106 -

In het algemeen is L nie:t een scalair veelvoud van 't! (in Voorbeeld 6,1 was dat wèl het geval). Teneinde het koppel

! op het starre stelsel te bepalen, bereke-

L ui.tgaande van

nen we

(8. 14)

N

L

I

N

m. i-. x (w x r.) + 1-1

i=!

-

-1

I

i=!

1 -1

-

r.)

-1

N

N

I

m. r. x (w x

m. (w x r.) x (w x r.) + 1

i=!

-

-1

-

-1

I

m. r. x (w x (w x r.)) ,

i= I

1 -t

-

-I

De eerste term is nul. De tweede term herleiden we met behulp van a x tot

.

L

(~ x ~)

+ c x (!!; x ~) + b x (~ x !!;)

0

N

I

i=!

x(r.x(wxr.)) m.1w -1

-

~

-1

( 8. I 7)

x L

We hebben dus

T

w x L

(8. 18)

!:

Het koppel is ongelijk nul als

geen scalair veelvoud is van w. ln Voorbeeld

(8.2) is dat het geval als je ~ = we

neemt.

-z

Tenslotte drukken we de kinetische energie uit in de traagheidstensar

I i=!

I

jm. lv.l2 1

-1

jm. (w x r.) • (w x r.) 1

i= I

-

-1

N

I

en w.

N

N

T

~

jm. (w • (r. x (w x r.)) 1

i=!

-

-1

-

-1

Hierbij is gebruik gemaakt van de rekenregel c

a

(~ x

::>

-

-1

·'

l - V .1 -

1. Vectoren

1. Bewijs dat twee vectoren loodrecht op elkaar staan als de grootte van hun som gelijk is aan de grootte v.an hun verschil.

2. Bewijs dat twee vectoren dezelfde grootte hebben als hun som en hun verschil

loodrecht op elkaar staan.

3. Laat zien dat de grootte van de som S en het verschil V van twee vectoren

a en b als volgt kan worden uitgedrukt:

s

[(a

x

[(à

V

+ b )

2

x

b) x

x

2

+ (a +(a

y

+ b )

y

2

y

b ) y

2

+

(a

+

(a

z

z

Hierin zijn a , b enz. de componenten van a en b t.o.v. een rechthoekig asx x

senstelsel OXYZ.

4. Gegeven zijn de vectoren:

a

2e + 3e + 5,5e , -x -y -z

~

2e

b

3e -y

-x

2,5e -z

Bepaal: ~

en

~;

i)

de grootte en de richting van de som van

ii)

de grootte en de richting van het verschil van a en

~;

iii) de hoek tussen a en b.

5. Gegeven zijn de rechten:

:::1 v -2 :::3

~

~

Se -x

-

-3e + -x

2e + -y e -y

e -z

- 7e

-z

4e + 7e + 6e -y -x -z

Zij ~ ~ :::1 + :::2 + :::3· Bepaal s en bereken de hoeken die s maakt met de positieve X-, Y- en z-as.

- V.2 -

Beantwoord de volgende vragen: i)

Ga, door rechtstreeks uitschrijven, na of

een verschillend resultaat leveren. ii)

1 , (~ 2 x ~ 3 )) ((~ 3 x ~ 1 ),~ 2 ) (~

Bereken

iii) Bereken

en (

(~

1

2

3

:x ~ ) ,~ ).

en vergelijk dit resultaat met de in ii) gevon-

den antwoorden.

6. Bewijs de volgende cyclische relaties

Bewijs dat de absolute waarde van dit tripelproduct gelijk is aan de inhoud van het (scheve) blok opgespannen door

~

1,

~

2

en

~

3.

7. Bewijs dat:

8. Gegeven de vectoren: a

2e + 3e + 2e -x -y -z

b

-e + 4e + be -x -y -z

waarin b een nog onbekend reëel getal is.

i)

Voor welke waarde(n) van b heeft de vergelijking a

x

x

=

b

een oplossing?

ii)

Zijn er voor de onder i) gevonden waarde(n) van b meerdere oplossingen?

iii) Geef een meetkundige interpretatie.

9. Gegeven de vector

a

i)

3e

+ 2e

-y

- e

-z

Bepaal de oplossing(en) van de vergelijking (~.~)~

ii)

-x

14 .

Geef een meetkundige interpretatie.

- v.3 10. Bepaal de afstand tussen de punten P(4,5,7) en Q(-3,6,12). Geef een parametervoorstelling v.an de rechte lijn door P en Q.

11. Bepaal de afstand van het punt P(4,5,-7) tot de rechte lijn door Q(-3,6,11) die evenwijdig loopt aan de vector v = 2e

- e

-x -y P tot het platte ·vlak door Q en loodrecht op v.

12. Gegeven zijn de

vectoren~~

(1,2,-1)

Bepaal de vector 12. en de scalar (l'_,~)

~

À

en~=

+ 2e . Bepaal de afstand van

-z

(3,9,-9).

zodanig dat

0

E + ;>,.a

~ =

13. Gegeven zijn de vectoren a en b.

Bewijs de relatie:

I~

~I

x

2

14. Bewijs dat voor elk drietal vectoren geldt: a

x

<::)

(~ x

+

b x

(~ x ~)

+

c

(a x ~)

x

15. Gegeven zijn de vectoren a en -b zodanig dat a x b Bewijs dat voor de vectoren x en

y_,

0

-1

0.

-

die voldoen aan de relatie:

Y... x b

x x a

geldt: (~,~ x ~)

0

en

16. Bewijs dat voor elk drietal a+b+c

(y_,~ x ~)

vectoren~,

0

.

ben~,

die voldoen aan de relatie:

0

geldt: a.'X

b

=

b x c

c

x a

---

'•I'"

17. Gegeven zijn de vectoren a en

Zij

~de

e_,

beide met lengte

hoek tussen beide vectoren (0

Bewijs

i)

I~+ ~I

2~

cos

.,~

ii)

r~- ~~

2~

sin

>,~

~~~TI).

.Q...

- V.4 -

18.

B

3

Een jongetje A staat op de 3-meter-plank van een zwembad (voor de afmetingen

zie de figuur) . Geef, in componenten t.o.v. het in de figuur getekende Oe e e -stelsel,

i)

-x-y-z

de positievector van A t.o.v. 0. Een vriendje B van A staat langs de kant van het zwembad op een afstand van

4 meter van 0 ii)

(zie figuur) .

Geef de positievector van B en bereken de afstand van A tot B.

iii) A duikt met een snelheid van 3,5 m/sec in de richting van B. Geef de componenten van de snelheidsvector v.

19. Van een punt P, met positievector r t.o.v. 0, dat in een cirkel beweegt, is de snelheidsvector

v i)

= w

~

gegeven door

x r

Bepaal vals: w

ii)

e

-x

+ e , r = 2e + 4e -y -x -z

Bewijs dat alle punten op de lijn r + aw (a willekeurig) dezelfde v hebben.

Als gegeven is dat P beweegt in een vlak door het eindpunt van r op w, ,geef dan ..

~-

.

-.~·-··

iii) de afst";,d van de oorsprong 0 tot dit vlak; iv)

een parametervoorstelling van dit vlak •

.. , .

l I

- v.s -

20. De centripetale versnelling van een punt P is gegeven door a

-c

i)

(~

=

x ( w x ;::_) )

Bewijs dat 2 -w 2_,

a -c

(w

l-"'.1 )

waarin d = r

-

(Hint: gebruik opgave 7.) ii)

Bewijs dat \~\ de afstand van P tot de werklijn van ~is. Geef een meetkundige interpretatie van de vector

d~

iii) Bewijs dat alle punten op de lijn ;::_ + aw dezelfde a hebben. -c iv) Bereken a voor w en r volgens 19. -c 21. Z:Lj

~( 1 ).,~( 2 ),

...

,~(n)

een stelsel krachten (=vectoren). De resultante R

is gedefinieerd als de som van de krachten.

i)

Stel 2e

-x

+ 3e

-y

2e

-z

Bepaal de componenten van

; F( 2 )

Be·

3 4e - e + Se ; F ( ) = -e - 7e - 3e -x -y -z -x -y -z

de grootte van R en de richting van R

t.o.v. Oxyz-stelsel.

ii)

Van een stelsel van 4 krachten ~(1) ' ...• ~(4)

zijn

F(2) F ( 1) F(3) en '

gegeven door

F ( 1 ) = 6e

-x

Bepaal

~( 4 ),

- 3e

-y'

F( 2 )

2e

-x

+ 2e

-y

- 2e , F ( 3 )

-z

4e

-y

+ 7e

-z

opdat de resultante van het stelsel nul is.

22.

Een boot wordt voortgetrokken door twee koorden, waarin de krachten F(l) en 2 F( ) werken volgens bovenstaande figuur.

- V .6 -

i)

Stel

IK( 1 ) I

= 4 en

IK( 2 ) I

/2.

=

Bepaal de resultante ~, de grootte van R en de hoek die R maakt met de

lengte-as van de boot (= e ) . -x 1 ii) Stel \F( ) \ = 4. 2 Bepaal \K( ) [,opdat~ langs de lengte-as van de boot valt.

23.

F

f ''

''

''

''

''

Het moment van een __kracht F t.o.v. een punt 0:

!o

is een vector gedefinieerd

door !o=!:..x~,

waarin r de positievector van het aangrijpingspunt A van F t.o.v. 0 is.

i)

K

Bewijs dat het moment niet verandert als

langs zijn werklijn verschuift.

ii) Bewijs de volgende relatie voor het moment t.o.v. het punt 0' op afstand a van 0: ~

-'0'

- a x F

~

-'0

Toon hiermee aan dat het moment niet verandert als 0 evenwijdig aan F verschuift. Beschouw een stelsel krachten F

0: !:_

( 1)

(2)

,!:_

(n)

, ••• ,!:_

(1)

-

,F

(2)

, ... ,F

-

(n)

..

met aangrl]ppunten t.o.v.

-

resp. Het resulterende moment t.o.v. 0:

nieerd door: n

1;10

i) ( .) r ( x F ~

I i=1

iii) Gegeven F ( 1) F (2)

e 2e , -x + -y 2e

-x

- 2e ' -z

r

( 1)

= 3e

-y

r

(2)

2e -z

4e -y

Bepaal de resultante R en het resulterende moment

~O

.

~O

is gedefi-

- V. 7 -

---

_.

-~

24. We zeggen dat een krachtenstelsel in evenwicht is als

èn

R = 0

i)

= 0

=

0 èn

-0

Bewijs dat als R

~·

M

Q_,

-

Q_, dat dan ook

~O

.

vo,

i i) Beschouw

F (1)

x e + x e + 2 -y 1-x

F (2)

2e

- 3e

-x

F (3) F (4) Bepaal x

1

-y

"'

Ri

-z

r

;

r

x e + x e + 2e ; -z 6 -y 5 -x

r

t/m x

( 1)

0

(2)

e -x

(3)

e

-y (4)

e -z

opdat dit stelsel in evenwicht is.

6

/ [11

A

+ 6e

r

x e + 4e - 3e ; 4 -x -z -y

I

25.

x 3-z e ;

I'

cJ

G

/

/' [

J

[

1

~~

G 26

4G Op een, massaloze, balk AB liggen vier gewichten volgens bovenstaande figuur.

Bepaal de oplegkrachten in A en B, R resp. R , uit de eis dat de staaf AB 2 1 in evemvicht moet zijn.

- V, 8 -

.D

26.

(]_y

I >.i

R2

~x

RI

A

B

c

3

9

Een balk AB, lengte 2~, is in A scharnierend ondersteund en in C, AC

=

3/2~,

via een koord verbonden met een vast punt D. De hoek ACD is 30°. Op AB, op

een afstand Àt (0

~ ~ ~

2) ligt een blok met een gewicht van 9 N. Het ge-

wicht van de balk zelf is 3 N en grijpt aan in het midden van de balk. i)

Geef, in componenten t.o.v. het in de figuur getekende AXYZ-stelsel, de vectorvoorstelling van alle op AB werkende krachten (volgens figuur) met hun aangrijpingspunten.

ii)

Bepaal van elke kracht het moment om A. en R , en de spank~acht Sin het 2 1 koord CD uit de eis dat AB in evenwicht moet zijn.

iii) Bepaal de scharnierkrachten in A, R

iv)

Kan R

1

kleiner dan nul worden (voor À E [0,2])?

27.

y \

\

O.l I

\

I

\ \

I

?;o_/- -@G I

\

\

:

,90 I

I

a

x

Een ronde tafel (in bovenstaande figuur in bovenaanzicht getekend) wordt ondersteund door drie poten A, B en c, welke tezamen een gelijkzijdige drie-

hoek met zijde a vormen. Op de tafel ligt een blok met een gewicht G en met positie

0

x ~x

+

Yo~y

t.o.v. het in de figuur getekende AXYZ-stelsel. Het blok

ligt binnen de driehoek ABC. De krachten in de poten A, B en C geven we aan

met R , R en R resp. 3 1 2

- V.9 -

i)

Geef de vectorvoorstelling van de vier op de tafel werkende krachten tezamen met hun aangrijpingspunten.

ii)

Bepaal van elke kracht het moment om. A.

iii) Bereken, uit de conditie dat de tafel in evenwicht moet zijn, de ondersteuningskrachten R , R

1

iv) v)

2

en R

3

als functie van x

en y .

0

0

Bewijs dat als G binnen ABC ligt dat R , R en R positief zijn. 2 3 1 Bepaal de waarde(n) van (x ,y ) waarvoor het maximum (R ,R ,R ) zo 1 2 3 0 0 klein mogelijk is. )C

A

28. Nevenstaande figuur stelt schematisch

Cl. I

een hijskraan voor. De hoogte van de

(h-y)

kraan is h. Een contragewicht W hangt

h

op een afstand a van de verticale as OA van de kraan. De arm van de kraan

w

.J

draagt op een afstand r van A een last

y

met een gewicht L. De last hangt een

L

afstand (h - y) onder de arm (x en y

x

zijn instelbaar.)

i)

Bepaal het totale moment om 0 van L en W samen

ii)

Is de waarde van

iii) Stel:

'o

(=

I~O I)

0 0

(~ ).

!o afhankelijk van x? En van y? moet kleiner blijven dan een kritische waarde 'er= aw.

Bepaal dan de maximale last L die de kraan kan dragen op ma x x

=

a, x

=

2a, x

=

3a en x

=

4a _

(Het gewi.cht van de kraan-armen mag worden verwaarloosd.)

29.

01-1.

De twee vrienden door dik en dun:O.H. en S.L. moeten een piano langs een steil oplopende trap naar boven dragen. De vooroplopende S.L. draagt met

een verticale kracht R

1

en de achterste (O.H.) met een verticale kracht R . 2

- V. 10 -

Neem voor de hellingshoek a

guur) a

1m, b

=

30•, voor de afmetingen van de piano (zie fi-

=

0,5m en voor het gewicht van de piano G

=

=

150 kg.

Neem verder aan dat de snelheid waarmee O.H. en S.L. de piano sjouwen zo klein is dat gesteld mag worden dat de piano voortdurend in evenwicht is.

Vergelijk de inspanningen, gemeten naar de krachten R van S.L. en R van 2 1 O.H., van beide vrienden.

Antwoorden

1~1

4. i)

=

(H.l.)

5, s in x-z-vlak,

-

8: hoek met positieve x-as: 8

I.':. I

ii)

10,

-

-V

in y-z-vlak.,

8: hoek met positieve y-as: 8

iii) 5. s

6e

=

130,5

<~,.è_>

-x

0

.

+ 6e , en ligt in XY-vlak en maakt hoek van 45 -y

0

met positieve X- en

Y-as.

270 .

8. i) b

-5,

9. i) x

xe

10. PQ

=

-x

ii) Ja.

+ ye

-y

+ ze_

2

,

met 3x + 2y - z

14.

5/3.

J: doorPen Q; J:: x= .(4,5,7) + o:(7,-1,-5).

11. Afstand tot lijn 18; afstand tot vlak 7.

12.

)2_ =

18. i)

(1,0,1) + S!_ x (1,2,-1)'

ii)

r -A r

iii)

V

19. i)

(0,4,0); =

=

q '

À

5.

(6,2,3).

-B

-"'-

(V ) •

AB

7.

iii) a

=

(-3,1,-1,5).

(4,-4,-2);

/2;

iv) V: x= (1,1,0) + o: (1,-1,4) + o: (2,-2,-1). 2 1

-V.ll-

(-2,2,-8).

20. iv) a -c 21. i)

~ = (5,-5,0)'

1~1

512, ~in x-y-vlak en maakt hoeken van 45° met po-

sitieve x-as en negatieve y-as. ii) F( 4 ) = (-8,-3,-5).

22. i)

~

(1 + 2/3)<_:x + '.:y; 1~1 = 4.57; 1 hoek = arctan( ) -- 13 0 • =

1!.

ii)

(2)

1 = 212.

23. iii) R = (3,2,-2);

1+213

~O

--

(-4,-2,-11).

-3.

25. R1

=

4G;

26. iii) R1 iv)

=

xo

=

4G.

10 - 6À;

Ja, voor À

27. iii) R1 v)

R2

E

R2 5

(3'

2 ( 1 + 3À)

\.

iii) L

53,4 kg;

s

4 ( 1 + 3À).

2].

(a - xo - -1 y /3G 3)3 0 a 1 .,a, Yo = 6 a/3, (R1

I

13;

R2 R2

ma x

96,6 kg.

= =

(xo

R3

3)- -31 y 0 /3G a G

= 3J.

2W; W;

2 1 3 w; 2 w.

2 G - y 133 0 a

- V .12 -

2. Kinematica Theorievragen

I. Een punt P beweegt langs een rechte. a) Bepaal de snelheid en de positie van P als functie van de tijd als P in rust is op t = 0 en de versnelling a van P gegeven is door: (c en

w

constant)

i) a

=

ii) a

0,

=

c,

iii) a

ct,

iv) a

c cos wt .

Beschrijf de beweging. b) Bepaal de snelheid en de versnelling van P als de positie x(t) gegeven is door: i) x( t)

ii) x(t)

c,

ct,

iii) x(t)

2

ct ,

iv) x(t)

c cos wt.

Beschrijf de beweging. c) P heeft beginsnelheid v 0 en een constante versnelling a. Bewijs dat v

2

v

2 0

+ 2ax ,

waarin v de snelheid van P is en x de door P afgelegde weg. d) Beschouw de grafiek van de snelheid van P tegen de tijd (snelheids-tijddiagram). Bewijs dat bij een rechtlijnige beweging met v <: 0 het oppervlak onder de grafiek gelijk is aan de door P afgelegde weg. 2. Een punt P beweegt langs een cirkel met straal R en middelpunt M. Noem de hoek tussen een vaste middellijn en de lijn MP: 8. a) Bepaal de radiale versnelling van P, de radiale en tangentiële snelheid van P en de hoek 8 ( t) als P op t = 0 een snelheid v versnelling a i) a

0 van P gegeven is door (neem 8(0) = 0)

heeft en de tangentiële

8 ii) a

= 0, = c, iii) a =ct, iv) a = c cos wt. 8 8 8 8 b) Bepaal de radiale en tangentiële snelheid en versnelling van P als i) 8(t) = c, ii) 8(t) = èt, iii) 8(t) = ct 2 , iv) 8(t) = c cos wt. c) Is de snelheid van P, indien P met constante "hoeksnelheid" (d.w.z. langs de cirkel beweegt, constant? 3. Bewijs de relaties: ë

-r

=

ëe- 8 ,

ë

.

8

-Se

-r

è)

- V.13 -

4. Leidt af de relaties: V

a

r

t, ve

r

·2 r - re ' ae

= re,

re + 2té

5. Hoeveel graden van vrijheid heeft een punt dat: i)

vrij beweegt in JR 3 ,

ii)

beweegt in een vlak,

iii)

beweegt langs een rechte,

iv)

over het oppervlak van een bol beweegt,

v) vi)

beweegt langs een cirkel, 3 slingert inJR (konische slinger),

vii)

slingert in een verticaal vlak,

viii) met voorgeschreven snelheid langs een kromme beweegt,

ix)

beweegt langs een cirkel die vrij kan draaien om een middellijn,

x)

beweegt langs een cirkel die met voorgeschreven hoeksnelheid roteert om een middellijn.

6. Een :t!Lun lutn een maJÛmale J.>nel.hud beAUken van 144 lzm/uuJt en hee6t een max-

2 hnale veAMtelling van O,Z5 m/J.>er/ en een maximale afi~temm.<.ng van 0,50 m/J.>ec. . Bepaal de /zomte tijd dü. de :t!Lun nod.<.g heeM om van een J.>tation naM een 30 /zm vexdex gel.egen ~.>tation te IL.<.jden, .<.nd.<.en de :t!Lun op bude J.>tatiol'l!.> ~.>;topt. Telzen het Mel.hud-6-tijd-d.<.ag~tam. 2

7. Een punt beweegt met een constante versnelling van 4 m/sec • De aanvangssnelheid van het punt was 3 m/sec, in dezelfde richting als de versnelling. Wat is de snelheid van het punt na 7 sec en hoe groot is de door het punt afgelegde weg in die tijd? Beantwoord dezelfde vragen als de versnelling de tegengestelde richting van de beginsnelheid heeft. Schrijf voor beide bewegingen de afgelegde weg als functie van de tijd. 8. Een auto start vanuit rust en beweegt gedurende 1 sec met een versnelling van

I m/sec 2 . De motor wordt daarna ontkoppeld en tengevolge van wrijving vermin2 dert de snelheid gedurende JO sec met een vertraging van 0,05 m/sec . Daarna wordt gedurende 5 sec geremd en de auto komt tot stilstand. Bereken de afgelegde weg gedurende de beweging. Maak een grafiek van de afgelegde weg x, de snelheid v en de versnelling a als functie van de tijd t.

- V .14 -

9. Twee auto's, A en B, rijden in dezelfde richting met snelheden vA resp. vB. Als auto A zich op een afstand d achter B bevindt, begint B te remmen, waarbij een constante vertraging a optreedt. De reactietijd van de chauffeur van A (dit is de tijd die de chauffeur nodig heeft om de remmen in werking te stellen, nadat hij de remlichten van B heeft waargenomen) bedraagt

T

sec. De rem-

vertraging van A is eveneens a.

Bewijs dat er geen botsing plaatsvindt indien

z

z

VA- VB d>

Za

+vAT.

10. Een auto trekt op tot 90 km/uur volgens de volgende tabel: Je versnelling: 0-15 km/uur in z sec, ze versnelling: 15-30 km/uur in 3 sec, 3e versnelling: 30-45 km/uur in 4 sec, 4e versnelling: 45-90 km/uur in 15 sec. Aangenomen mag worden dat in elke stand de versnelling constant

~s.

Teken het snelheids-tijd-diagram. Bepaal de door de auto afgelegde weg tot het bereiken van de snelheid van 90 km/uur. 11. Van GALILEO (1564-164Z) is het volgende experiment bekend. Galileo liet een knikker langs een hellend vlak naar beneden rollen en hij tekende op dit hellend vlak een stel horizontale strepen, welke op een

zodanige afstand van elkaar stonden, dat

o(

alle trajecten tussen twee strepen in ge-

lijke tijdsintervallen werden afgelegd. Indien wij U geven dat de versnelling van een punt langs een hellend vlak gelijk is aan g sin a (a is de hellingshoek), bepaal dan de verdeling van de strepen opdat aan bovenstaande voorwaarde voldaan is.

JZ. VeJtol1de)v.,;teJ_ da:t de aaAde -<.11 ee11 chtkdvoJtrn<_ge baa11 om de zo11 beweeg:t, WaaA-

bj_j de gJtoo:t:te va11 de -1>11dhud va11 de aaAde eoM:tal1:t j_}.,. Ve -~>:t:Mal va11 de 11 chtkd j_}., 1,49.70 m e11 vooJt de omtoop-~J;tj_jd mag 3,16.10 7 -~Jee. ge11ome11 woJtdel1. BeJteke11 de gJtoo:t:te va11 de -1>11dhud e11 va11 de eeyt;(:Jtj_pe:tale velt-611elli11g va11 de aaJtde :ti. j deM haM b ewegj_11g om de zo 11.

- V.15 -

13. Veronderstel dat de zon in een cirkelvormige baan in de melkweg beweegt, waarbij de grootte van de snelheid van de zon constant is. De straal van de 20 15 cirkel is 2,4.10 men de omloopstijd ~s 6,3.10 sec. Bereken de grootte van de snelheid en van de centripetale versnelling van de zon tijdens haar beweging in de melkweg. 14. Een electron beweegt onder invloed van een magnetisch veld langs een cirkel met een snelheid die constant van grootte is. De straal van de cirkel is 3 m 5 en de snelheid van het electron bedraagt 4.10 m/sec.

Bereken de centripetale versnelling van het electron. 15. Een punt beweegt in een cirkelvormige baan, straal van de cirkel 2 m. De hoek die de voerstraal maakt met een zekere vaste halfrechte vanuit het middelpunt noemen we cp.

Gegeven is:

~

= 2t

2

+ 6t,

waar~n

t de tijd.

Bereken de tangentiale en de radiale snelheid en versnelling van het punt als functie van de tijd. 16. Een jange:tje ;.,:taa:t -<-n he:t m<.ddetpun:t M

A

van een me:t c.a 111.>:tan:te ha elv.. nethud w ILO-

•

:teJtende 1.>c.h-<-j 6 me:t !.>:ttr.a.a.l R. Op zekeJt lijdl.>:tup :t

ûe:t he:t jange:tje -<-n een pun:t 0 A budevt de uh-<-j 6 ûjn maedeJt ~.>:taan. He:t javtge:tje beg-<_n:t me:t c.a111.>:tan:te Methud V :te tapevt !avtgl.> een de wket

va~.>:te ~.>:tJcaat

Iap :t " :t 0 ;_;.,

R

MB van

.!:'_ naM A geJL-<-c.h:t) .

Bepaal de Md-<-ate en :tange~e l.>nethud en veJtl.>ne!üng van he:t jange:tje,

MI.> 6unc.liu van V,

w en

:t. Hoe g!Wa:t mae:t V ûjn apda:t he:t jange:tje. MI.> h-<-j

de Mnd van de uh-<-j6 beJtuk:t heeM, p!Leuu b-<_j A ;_;., aangekomen? 17. Een punt P beweegt langs een vlakke spiraal, welke in poolcoördinaten wordt voorgesteld door: r(S) =Re

-e .

Gegeven is: 8 = wt (w: constant).

Bereken vr, v 8 , ar en a van P. 8

18. Een punt P beweegt langs een cirkel waarvan de straal in de loop van de tijd + Vt (r en V: constant), waarbij é =wis constant. 0 0 Bereken de radiale en tangentiale snelheid en versnelling van P.

verandert volgens r = r

- V .16 -

19. Een massapunt beweegt aanvankelijk aan het einde van een touwtje in een vlak langs een cirkel, waarbij de grootte van de snelheid constant is. Op t = 0 is r = r 0 en 8 = w. Daarna wordt het touwtje ingetrokken, zodanig dat de lengte van het touwtje verandert volgens: r = r 0 - Vt. Bij de nu volgende beweging mag worden aangenomen dat het product van de straal r en de tangentiale snelheid van het massapunt constant blijft. Formuleer bovenstaande eis in termen van r,

é,

r

0

en w.

Bepaal de radiale en tangentiale snelheid en versnelling van het punt als functies van r , w, V en t. 0

20. In ee.n p.t
y (.t)

a ûn w.t b Co.6 w.t

wacvUn a, b en w po.6ilJ.eve cam..tan.ten ûjn. BepaaL: een cootccünaa;tvooM.te.tüng van de baan; J.i) de componen.ten en de gtcao.t.te van de .~>ne.theJ.d van P; ~) de componen.ten van de vetcJnet(;_ng van P; J.v) Jwa.t vootc Jook-t ktcomme P doofl.toop.t.

J.)

-------'

2!. Een auto rijdt met een snelheid van 24 m/sec in noordelijke richting. Een 2 5 seconden durende windvlaag geeft de auto een versnelling van! m/sec in oostelijke richting. Bereken: i)

de grootte en de richting van de uiteindelijke snelheid van de auto;

ii) de baan door de auto beschreven tijdens de windvlaag. 22. Een auto beschrijft een vlakke baan. De coördinaten van de auto ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel worden voorgesteld door de volgende betrekkingen: x

y

- v.17 -

De coÖrdinaten x en y worden gemeten ln meters en de tijd t 1n seconden.

Bereken: i)

de positie van de auto op het tijdstip t = 1 sec;

ii)

de componenten en de grootte van de snelheid van de auto;

iii) het tijdstip waarop de snelheid van de auto nul is; iv)

de componenten van de versnelling van de auto;

v)

het tijdstip waarop de versnelling van de auto evenwijdig 1s aan de y-as. 2

23. Een massapunt beweegt langs de parabool y = x . De snelheid 1n x-richting, voorgesteld door v , is constant en bedraagt 4,5 m/sec. x

Bereken de grootte en de richting van de snelheid en de versnelling op het moment dat x = 1 m.

24. De coÖrdinaten van een bewegend punt ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel zijn: x

at

y

b sin at .

Teken een grafiek van de baan (in het xy-vlak). Bewijs dat de grootte van de versnelling evenredig is met de afstand van he{ punt tot de x-as.

Antwoorden ].

a) i) i i)

-~

(H. 2.)

v(t)

x(t) = 0.

v(t)

ct, x(t) =-ct

1 2

1

2

ct , x(t) =

iii) v(t)

2

iv)

c sin wt, x (t) w

b) i) i i)

v(t) v(t)

a (t) = 0.

v(t)

c, a(t) = 0.

2

1

6

-'=2--< 1

-cos wt).

w

Ze.

iii) v(t)

2ct, a(t) =

iv)

-wc sin wt, a(t)

v(t)

3

ct .

2

-w c cos wt.

- v.I8-

vo

2

2. a) i)

a = -v /R V = r O'r I

i i)

V = VQ 8 = t. '8' R

Ü

2

ar=- R(ct + v 0 ) , vr 2 2 iii) a =- _I_( _I_ Ct + vo) , vr r R 2 a =- _I_(~ sm wt + v ) 2 ,vr = 0 , VT r R w 0 c 8 =ie- c2 cos wt +vat + -z). w w 0, a = 0, a = o.

iv)

b) i)

V

iii)

V

iv)

V

eR, ar

r

i x) 2;

2

-c R, a

x)

iii)

I;

=

8

2

2

= -4c Rt ,

r

. wt, ar -cRw s1n

r

i i) 2;

5. i) 3;

=

2cRt, a

r

wt + v

iv) 2;

=

v)

0. a

2cR.

8

. 2 wt, a -c 2 w2 R s1n

vi) 2;

I;

I.

6. 870 sec.

7. 3 I

m/ sec; I I 9 m.

25 m/sec; 77 m.

8. 9. 25 m.

10. 346 m.

IJ. Verhouding tussen eerste en n-de interval is (2n- I)

12. 10.66 x 10

13. 2,4 x 10

5

14. 5,33 x JO

a

]6.

r

Vr

V

4

km/uur; 5,89 x 10-

m/sec; 2,4 x JO 10

-10

3

2 m/sec .

= w_R 2n ·

v8

2

m/sec .

2 m/sec .

8t + ]2 (m/sec); V = 0; a 8 2 r 2 32t + 96t + 72 (m/sec ).

= V,

wVt, a

2

r

0,

8

r

i i)

c . W SlU

=

-w Vt, a 8

2

8 m/sec ,

2wV.

8

=

-c Rw2 cos wt.

vii) 1;

viii) 0;

- V ,19 -

I 7.

V

18.

V

-wRe

r

-wt

w(r

V, ve

r

wRe

, ve

0

-wt

, a

+ Vt), a

2 row. wr 2 0 -V, ve = (r - Vt) 0

w2 (r

r

- 2 w2Re -wt .

r = 0' ae

+ Vt) , ae

0

2wV.

2· 19. r e = constant V

r

+

2 V

x

v

21. i)

(r

0

- Vt)

,

ae

0.

I.

=

y

-bw sin wt.

=

2 .

-aw s1n wt, ay

2 -bw cos wt.

Ellips.

v = 24e

+Se . -y

-x

ii) Baan (coördinaatvoorstelling): y

a 2 --2 x

2v

0

r( I) = -e (m). -x

22. i)

i i)

V

6t(t-1),

x

ii·i) t a

v)

t = 0,5 (sec).

V

ii) a

x

V

y

2(t-l),v

I (sec) .

=

iv)

23. i)

3

wp, p =

=

iii) ax iv)

L=

b2 = aw cos wt, v

a

i i)

' ar

2

2

x

20. i)

2 4 w ro

=

2

2 (m/sec ).

12t- 6' ay

4,5e

-x

40,5e

-x

+ 9e

-y

Cm/sec).

Cm/sec).

2(t- 1)19t 2 +I

(m/sec).

- V. 20 -

3. Relatieve beweging Theorievragen 1. Een eenheidsvector e roteert met constante hoeksnelheid w om een vaste as.

Bewijs dat:

é

w x e

2. Beschouw de beweging van een punt P t.o.v. twee waarnemers 0 en O', waarvan

de laatste transleert en roteert (met constante hoeksnelheid) t.o.v. de eerste. Toon aan, uitgaande van de algemene relaties voor de snelheden en ver-

snellingen van P t.o.v. 0 en O', dat: i)

de sleepsnelheid de snelheid van P t.o.v. 0 1s als P niet beweegt t.o.v. O';

ii)

de relatieve snelheid de snelheid van P t.o.v. 0 is als O' niet beweegt

t.o.v. 0;

iii) de sleepversnelling de versnelling van P t.o.v. 0 is als P niet beweegt t.o.v. 0';

iv)

de relatieve versnelling de versnelling van P t.o.v. 0 1s als O' niet beweegt t.o.v. 0;

v)

de versnelling van P t.o.v. 0 een term bevat die zowel voor iii) als voor iv) nul is; hoe heet deze term?

3. Wat kunt U in het algemeen zeggen van de richting van de centripetale en de coriolisversnelling? Geef een aantal gevallen waarin deze versnellingen nul

zijn.

4.

Een auto, bneed;te den tengte ~. !Ujd;t met c.om.tan.;te !.>netheid u. dooft een

nec.hte h;(;Jtaat op een a6.6tand a van de !.>;tJta.a;f:kan.;t ( ûe 6-(.gu.u.Jt) • Een voe;tgangeft begln.;t met een c.om.tante .6nethud ~ ondeJt een hoek a en op een a6.6tand b voOJt de au.to de !.>;(;Mat oveJt te !.>teken.

- V.21 -

BewJ..ji>, doOlt de. Jte.ta:t<.e.ve. bewe.gJ..ng va.n de. voe.-t:ga.nge.Jt t.o.v. de. auto ;te. be./Ujlze.n, da.;t de. voe.;tga.nge.Jt doOlt de. rudo zal woJtde.n ge.Jta.a./G;t alf>: + d)co.!J a

5. Twee treinen A en Brijden resp. 70 en 90 km per uur. De rails maken een hoek van 60° met elkaar. Bepaal de relatieve snelheid van B t.o.v. A. Hangt deze relatieve snelheid van de plaats van de treinen af?

6. Twee plaatsen A en B liggen op afstand van 1 km aan een rechte rivier. Iemand gaat van A naar B en terug naar A in een roeiboot die zich met een snelheid

van 4 km/uur t.o.v. de rivier voortbeweegt. Iemand anders loopt langs de oever deze route met een snelheid van 4 km/uur. Als de stroomsnelheid 2 km/uur bedraagt hoe lang doen beide mensen dan over deze tocht? 7. Een man die met 80 km/uur door een regenbui rijdt ziet op de zijramen dat de sporen van de druppels een hoek van 80° met de verticaal maken. Als hij stopt,

constateert hij dat de regen in werkelijkheid verticaal valt. Bereken de relatieve snelheid van de regen t.o.v. de auto i)

als deze stilstaat,

ii) als hij rijdt met voornoemde snelheid.

8. Een rivier stroomt noordwaarts met een snelheid van 3 km/uur. Een bout vaart

t.o.v. het water loodrecht op de stroomrichting met een relatieve snelheid t.o.v. het water van 4 km/uur. i)

Bereken de snelheid van de boot t.o.v. de aarde.

ii)

Hoe lang doet de boot er over om de rivier, die 1 km breed is, over te steken?

iii) Hoever is de boot bij deze oversteek afgedreven? 9. Een man fietst met 12 km/uur in oostelijke richting en voelt daarbij de wind uit het noorden. Als hij zijn snelheid verdubbelt voelt hij een wind uit het noordoosten.

Bepaal de werkelijke snelheid van de wind.

~-

- V.22 -

10. H~ ophangpunt 0 1 van een ~L{nge~,

uit een punt P aan een ~taa6 :t~ ieng:te 2, beweeg:t m~ c.o~:tante vc.MneJ'Li.ng a :t.o.v. 0 lang~ een ho!Uzantaie ~ec.h:te. Ve hoek_ cU.e 0 1 P m~ de veJt..tic.aai maak_:t V, ex (:t) I= gegeven). Bepaal, voo~ een m~ 0 1 mee.;tlta.~ie~end

0

0'

a

be~taande

p

-~>:twei,

de

~eiilieve

en

û.eep-~>nei-

IJ. De hier naast getekende tafel

transleert zodanig dat elk punt

al

p

van de tafel een cirkel met straal R doorloopt. De hoeksnelheid van

r'li-J

de stangen (bijv. 00 1 ) is constant en gelijk aan w. Over de tafel beweegt zich rechtlijnig een punt P, waarvan de afstand tot een punt van

de tafel 0 1 wordt aangegeven door r

1

(

t).

Bepaal, voor een waarnemer O' welke met de tafel meetransleert, de relatieve

en sleepsnelheid en relatieve en sleepversnelling van P. 12. Een buisje, dat een hoek ex met de horizontaal maakt, transleert met een constante horizontale versnel-

ling a. In de buis beweegt een punt P. De positie van P t.o.v. een punt 0' van de buis wordt aangegeven door r'(t). Bepaal, voor een met O' meetranslerend stelsel, de relatieve en sleepsnel-

heid en de relatieve en sleepversnelling.

I ~;--=---"

- V. 23 -

13. Een punt P b0Weegt Lang6 een wet~e

~~et,

met c_on6tante hoe~neJ.hud w

om een m[dd~jn ~ote~. De po6~­ tie van P t.o.v. de citw.aÁÁ.ng6M wo~dt aangegeven met e(t). Va~ ~neen met de ~~et me~ot~end 6twet, met ooMpMng ~n m[ddetpunt van de ~~et. ~)

.ü) ~)

~v)

Bepaal de

~etatieve

en 6Leep6nethud en de

R

~eJ.atieve,

6Leep- en

eo~o-

w veMn~ng . Laat zi..en ckt aL6 e ~ eon6tant de ~datieve 6nûhud en veMn~ng en de eo~owveMn~ng nuL zijn. Laat z~en dat m w = 0, de 6Leep6nethud en -veMn~ng en de eo~o­ wveMne~ng nuL z~jn. Hoe g~oot ~ de ee~petctte veMn~ng t.g.v. w en hoe~ ~e ge~eht?

14. Een buis roteert met constante hoeksnelheid w om een vaste as door 0 loodrecht op de buis. In de buis beweegt een punt P. De positie van P t.o.v. 0 is gegeven door r(t). Voer een met de buis meeroterend stelsel

door 0 in en bepaal de relatieve en sleepsnelheid en de relatieve, sleepen coriolisversnelling.

Wanneer zijn deze grootheden nul? 15. Beschouw het hiernaast getekende schema

__"0,_=-=-o'_R'-'-----fiA

van een zweefmolen, welke met een con-

stante hoeksnelheid w draait. De stand van een stoeltje wordt gegeven door 8(t) (er vindt alleen beweging plaats in het

p

met de molenas meedraaiende verticale

vlak= vlak van beweging). Bepaal, t.o.v. een met de zweefmolen meeroterend stelsel met oorsprong op de molenas, de relatieve en sleepsnelheid en de relatieve,

sleep- en coriolisversnelling.

- V, 24 -

16. Een deeltje beweegt in zuidelijke richting met relatieve snelheid van 500 6 m/sec t.o.v. de aarde op een breedte van 40°N, (R = 6,37x10m). aarde i) Bereken de centripetale versnelling van het deeltje. ii) Bereken de coriolisversnelling. 17. Een rivier stroomt in zuidelijke richting met een snelheid van 9 km/uur t.o.v. de aarde op een breedte van 45°N, Bepaal voor een met de rivier meebewegende deeltje de coriolisversnelling. Antwoorden 5•

(H.3.)

~BA

6. Boot: 40 min. Voetganger: 30 m1n. 7. i)

14e -y

(x: horizontaal, y verticaal).

ii) BOe

+ 14e

-y

-x

3e + 4e (m/sec) (x-as in stroomrichting). -x -y

8. i)

i i)

15 min.

iii) 750 m. 9. 12 km/uur, noordwest.

10.v -re v

1

n

-sx.

a -rel

=-Utcosae-x -9-äs1ncte-y (e//00'), -x = ate

-x

=

,

( -ia.. cos a +

.2 s 1n . a ) e + ( - ta.. s 1n . a -x

.Q.a.

ae

-x

11.v =r'(t)e(e//tafel), -rel -x -x v = (-wR sin wt)e + (wR cos wt)e , -s9-x -y a

-re 1

I ( ="r t) e , -x

2 2 a = (-w R cos wt)e-x + (-w R sin wt)e-y . -st

.2 cos a. ) e , -y

Q.a.

- v. 25 = t'(t)e , , (e , langs buis)

12. v

-re 1 v

n

-s~

-x

-x

= at cos ae

-x , - at sin ae-y , ,

a-re l=r'(t)e,, -x ~st

a cos a~x' - a sin a~y'

=

~vlak

13. Neem: e

-x 1

i)

in vlak van cirkel

_w,

~z'

langs w-as.

Re sin ee , -z ·2

..

a = (Rë cos 8 - Re sin e) e , + (-Re -y -re 1

s~n

·2 8- Re cos 8) e , -z

2

== -w R s ln Se

a

-y 1

-s~

a -cor

iv) a

en~

-wR sin Se , , -x

=

-s~

-y 1

Rë cos ee , -y

:Yrel v

van cirkel, e

-2wRë cos Se , ,

-x

=

centr

-w

2

R sin Be , -y

14. Neem: ~x' langs buis, ~z' in w-richting. ~rel

i:e-x ' ' :Ys~

wre , ,

!!rel

re-x

-w

!!s~

1,

-y 2

a r~x'' -cor

2wÏ'e

-y 1

15. Neem: e , langs as naar beneden gericht, e ,: richting O'A, e-z' -x -y =

v

-rel V -s~

a

-rel a

-s~

-.e.ë

sin Se , +

-x

.eë

-w (R + ~ sin 8)e

=

= (-~ë = -w

2

-z ·2

cos Se , ,

-y

,

sin e - te cos e)e , + -x

(R +

Q,

sin 8)e , -y

..

(~e

cos e -

,

-2w~ë cos ee ' -z

a

-cor

.

2,58

x

10- 2 m/sec 2

i i) 4,68

x

10- 2 m/sec 2 (in oostelijke richting).

16. i)

17. 2,58

x

10-

4

m/sec

2

(in oostelijke richting).

·2

~e

sin e)e , -y

~vlak.

- V.26-

4. Dynamica van een deeltje

4.1. Vrij massapunt

r

De volgende vragen handelen over een vrij massapunt P met massa m onder invloed van

een kracht F met positievector t.o.v. 0 gelijk aan r. De versnelling van de zwaar-

[

tekracht g mag voor numerieke uitwerkingen,

tenzij anders vermeld, gelijk genomen wor2

0

den aan JO m/sec • Theorievragen I. Wat moet voor 0 gelden opdat: mÏ" = F .

Is het hiervoor noodzakelijk dat 0 in rust is? 2, Geef de conditie(s) voor

!• opdat P in evenwicht is.

3. Beschouw een rechtlijnige beweging rnx

=

(~

xe , F -x

Fe ) met: -x

F ,

en met beginvoorwaarden

x(t = Ü) = XQ, x(t = Ü) = VÜ , Laat F alleen een functie van de tijd zijn: F = F(t) en bepaal uitdrukkingen voor: x(t) en x(t)

•

Pas dit toe op (c,w: constant) F(t)

=

c, F(t)

4. Als 3, maar nu met F

=

=

ct, F(t)

2

ct , F(t)

F(x), dus

mx = F(x), met x(O) = x0 en x(O)

cos wt .

- V, 27 -

i)

Bewijs dat x

.2

f

x

F (f;) di;

ii) Pas dit toe, voor de bepaling van X als functie van x, op

c, F(x)

F(x)

=

ex, F(x)

=

c -z , F(x)

=

cos x .

x

5. Beschouw weer rechtlijnige bewegingen met bewegingsvergelijkingen (w,À,k,c: constant) a)

x+

o, 0 en

b) x c) x +

kx

=

c.

en met x(O) = x

0 en x(O) = v 0 •

i)

Bewijs dat de oplossingen hiervan luiden: a)

x(t)

vo xocos wt + w sin wt ,

b)

x(t)

V vO -H + l(x - T)e l (x0 + _Q_)eÀt 0 À

c)

i i)

Bewijs dat, voor willekeurige xo en v , de oplossing a) voor alle t be0 grensd is en dat de oplossing b) voor t -+ 00 onbegrensd toeneemt.

iii) Bewijs dat als k

>

0 de snelheid voor geval c) voor t +

constante waarde c/k. 6. Beschouw een vlakke beweging. Schrijf:

mr

=

F

uit in poolcoördinaten r en

e.

Bewijs dat als de kracht in 8-richting nul is, de term: rnr constant is.

2·

e '

oo

nadert naar de

- V, 28 -

7. Een bail.on waMvan de ;to;t:M_e_ mMM (.{.nc.fw.{.en cüe van de mand, u.Uitwting e.d)

M bedJtaag;t, daa.U mrt een veMneJling n. Hoeveel. mM-M mort wonden afigewonpen om de. bail.on ;te_ laten ~.>tijgen met veJt-

Me..fUng

n?

8. Een man die in de dakgoot van een gebouw staat gooit een steen omhoog met een snelheid van JO m/sec. Na 5 sec valt de steen op de grond. Wat is de hoogte die de steen bereikt, hoe ver is de goot boven de grond en met welke snelheid valt de steen op de grond? (De versnelling van de zwaartekracht g mag gelijk 2

worden genomen aan JO m/sec .) 9. Een auto heeft een massa van J500 kg en een snelheid van 72 km/uur. Als geremd wordt met een constante vertraging staat de auto in 0,2 min stil.

Bepaal de kracht die de auto ondervindt. JO. Twee muildieren trekken een schuit met massa m door middel van touwen die aan de boeg zijn bevestigd door een kanaal. De hoek tussen de touwen is 45° en de kracht in de touwen is resp. K(/3- I) en K/2. i)

Hoe groot zou de versnelling van de schuit zijn indien er geen weerstand van het water was?

ii) Als de schuit eenparig beweegt, hoe groot is dan de weerstand van het water?

11. Een man met een massa van 90 kg staat in een lift. Welke kracht oefent de

vloer op hem uit als de lift:

i)

eenparig omhoog of omlaag beweegt;

i i)

met een versnelling van 3 m/sec

2

omhoog of omlaag beweegt;

iii) als de kabel breekt en de lift vrij valt? J2. -

~

f

Een ma;teft_{_e_el_ punt P, mMJ.>a m, wondt doOft een punt 0 aange;tJtokken me;t een

kMc.h;t mll21xt·üv> 0), waaft_{_n lxl de al5-6tand ;to;t 0 _{_J.>, In een punt A, waM x=d (d > 0), woJtd;t P mrt een ~.>nel.hud v .{.n de Jt_{_c.hting OA wegguc.ho;te.n. 0

- V. 29 -

~-

i)

Gee6 de dimen6ie van

ü)

S:tel. de bewegingl.>veJtgilij/Ung en de beginvoo!W!aMden op. Laat zien da:t deze beweging~.>veJtgilij/Ung niet a6hang:t van het 6U:t

ofi P ûc.h Un/v.,

dan wel. Jtec.hU van 0 bevindt en o6 P naM 0 :toe dan wel. van 0 a6 beweegt. iil) Bepaal'. de Mel.hud en de poûtie van P ai'.!.> 6u.nc.tie van de tijd.

(Hin:t:

gebJtu.ik. opgave 5.)

iv)

Bepaal'. de Mel.hud van P ai'.!.> 6u.nc.tie van x. (Hin:t:gebJtu.ik opgave 4.)

v)

Bewij1.> da:t P vaalt el.ke waMde van v in 0 :teJtu.gkeeJt:t. 0 Bepaal'. de maximate waa!tde van x.

vil

Bepaal'. de Mel.hud waMmee P de ooMp!tong 0 paMeeJt:t.

vil) BucJvuj 6 de beweging van P. 13. Een materieel punt P, massa m, wordt door een vast punt 0 aangetrokken met 2 een kracht m~/r (~ > 0) waarin r de afstand tot 0 is. In een punt A, waar r

=

d (d

'>

0), wordt P zonder snelheid losgelaten. ~·

i)

Geef de dimensie van

ii)

Bewijs dat P naar 0 gaat bewegen, en geef de bewegingsvergelijking voor de fase dat P naar 0 toe beweegt. Geef de beginvoorwaarden.

iii) Met welke snelheid komt P in 0 aan? (Hint: gebruik opgave 4) 14. Een rakei, massa m, wordt loodrecht van de aarde, straal R, weggeschoten met

een snelheid v . De raket wordt door de aarde aangetrokken met een kracht 0 m~!r 2 , gericht naar het middelpunt 0 van de aarde, waarin r de afstand van de raket tot 0 is. De luchtweerstand wordt verwaarloosd.

i)

Bepaal de ontsnappingssnelheid van de raket (dit is de minimale waarde van v

waarvoor de raket uit het aantrekkingsveld van de aarde ontsnapt, 0 dus niet meer op de aarde terugkeert).

ii)

Bedenk dat de aantrekkingskracht op de aarde gelijk is aan mg en druk hiermee

~

uit in g en R.

iii) Bepaal de numerieke waarde van de ontsnappingssnelheid voor R = 6. 36 2 men g = 9.81 m/sec •

x I0

6

15. Een punt P, massa m, wordt vanaf een hoogte h met een snelheid v 0 verticaal omhoog geschoten. Het punt beweegt onder invloed van de zwaartekracht en ondervindt een luchtweerstand evenredig aan de snelheid, evenredigheidsconstante mk.

- V.30 -

i)

Geef de dimensie van k.

ii)

Stel de bewegingsvergelijking en de beginvoorwaarden op. Laat zien dat de bewegingsvergelijking niet afhangt van het feit of m naar boven dan wel naar beneden beweegt.

iii) Bepaal de snelheid en positie van P als functie van de tijd. iv)

Bepaal de maximale hoogte die P bereikt.

v)

Laat zien dat de snelheid waarmee P op de grond komt, voor voldoende grote h, nagenoeg onafhankelijk is van v

en h.

0

16.

y

v,; p

11

«

x

0 Een

P, mM~a m, woJtd:t vantU;t de. ooMpJtong 0 van e.e.n vM;t M~e.JU;te.t­ ~e.t OXY, me.;t de. Y-M veJLU.c.aa-f, atSg~c.ha;ten onde.Jt een hoef< a me.;t de X-M. P beweeg;(: ande.Jt .i.nv.toe.d van de zwaaJtte!GJtaeh;t en andeJtv.i.nd:t .tuehtwe.e.Mtand evel'tlte.cüg me.;t de. Me.ihud, e.ve.l'tlte.d.i.ghu~eoJU;tan.t:e miG I IG > 0) . mM~apun.t:

Be.pa!Lf de beweg.i.ng!.>ve.Jtge.Uj(G.{.ngen en de be.g.i.l'tvaaJtWaMden. U) Be.pa!Lf de Me.lhud en de paûtie. van P m tSunilie van de. tijd. ili) BeJ<J,[jJ.> dat de. ~ne.thud .i.n X-Jt.{.c.hting vaalt gJta;te ;t naM nul gaat. .i.)·

17. Als 16. maar zonder luchtweerstand. i)

Bepaal de bewegingsvergelijkingen en de beginvoorwaarden.

ii)

Bepaal de snelheid en de positie van P als functie van de tijd.

iii) Bepaal de grootste hoogte die P bereikt. iv)

Bepaal de horizontale afstand die P heeft afgelegd als P weer de X-as heeft bereikt. Voor welke waarde van a is deze afstand maximaal?

18. Een geladen deeltje, massa m, lading q, beweegt in een constant, uniform

electrisch veld .!':· Op t

loodrecht op 0 het E-veld. Het deeltje ondervindt van het E-veld een kracht q.!':· i)

=

0 heeft het deeltje een snelheid :,::

Bewijs dat het deeltje in het vlak door :,::

0

en.!': blijft bewegen.

- V.31 -

ii)

Bepaal de bewegingsvergelijkingen en de beginvoorwaarden.

iii) Bepaal de snelheid en de positie van het deeltje als functie van de tijd. iv)

Hoe ver is het deeltje van de

het deeltje in de

~ -richting

0

~ -richting

0

afgeweken op het moment dat

een afstand L heeft afgelegd.

19. Een massapunt P, massa m, beweegt in een vast OXY-stelsel en ondervindt daarbij van de X-as een aantrekkingskracht m~ 2 y, waarin y de afstand van P tot de X-as is. Op t

=0

bevindt P zich op deY-as op een afstand a van 0 en

heeft het een snelheid

~O

gericht in de positieve X-as.

Welke baan beschrijft P? Antwoorden

(§4.1.) ~O =

1. 0: inertiaal;

Q,

~O

constant, hoeft niet nul te zijn.

2. F = 0.

iii)

xCt) xCt) xc t)

iv)

x( t)

3. i) i i)

t + vo, x(t) =c- t 2 + vat + xo 2m ' m c t2 + va, x(t) = .<:.._ t3 + vot + xo 2m 6m c t3 c 4 - t + vat + xo + va' x(t) = 3m 12m I sin wt + _I_( I - cos wt) + vot + xo vo, x(t) = 2 mw

= ~

= =

mw

4. i i)

x2 (x)

2 Ze vo +-(xxo)' m

x2 (x)

c I I 2 ( - - -) vo + m x x ' 0

°2

00

6. mr - rnr8

7.

F

r'

mr8 + Zmi:IÏ

2Mf (f + g)

8. 80 m, 75 m, 40 m/sec. 9. 2500 N.

x2 (x)

i

2

c

= vo +-(x m

2

2

- xo)'

2 . x- sin ex) = vo +-I ( Slll xo) m

0

- V. 32 -

10. i)

2K m

ii) 2K.

11. i) 900 N;

ii) 1170 N, 630 N; -1

[)1]

12. i)

T

2 x + )1 x

i i)

iii) o.

.

=

0, x(Ol

vo, x(O)

d.

=

~~-~-

-d)J sin

iii) x(tl

t + vocos )1 t, vo d cos )Jt + - sin )lt. )1 +lv2 + )12(d2 - xz). - 0

x(t)

]1

iv)

x(x)

i i)

r + ~ = 0, r (0)

d,

r (OJ

0.

r

iii) 14. i)

oo.

~ R

16. il

x

10 4 m/sec ("'40.000km/uur).

-1 T .

=

x+

kx = -g, x(O) = h, x(O)

v0 .

- l\ + (v + fle -kt 0 k

iii) xCtl

iv)

iii) 1,12

[k]

15. i)

ii)

ii) )1

1 x(t) =h-l\ t + k(vo + k kv0 vo h + - -~ ln (1 + - ) . g k k

fl (1 -

e -kt )

x + kx

0, x(O)

y

-g, y(O) = 0, y(O) = v 0 sin a .

+

i i) _:::( t)

2:< t)

ky

vocos ae

= 0,

-kt

vo = k cos a( 1

x(O)

=

v cos a , 0

g -kt e + [- l\ + (v0 sin a + k)e Je-y -x k

-

e

-kt

. a )e-x + [- l\ t + k1 (VOSlil + k

fl (1

- e

-kt

) le-y

- V.33 -

17. i)

x

0, x(O) = 0, x(O) = v cos a . 0

y

-g, y(O) = 0, j(O) = v sin a •

0

i i)

'.'(t) = vocos ae + [-gt + vosin a]e -x -y ' r(t) = vot cos ae + [-lgt 2 + vat sin a]e -x -2 -y vo 2 iii) sin a. 2g 2 vo iv) - sin 2a; a 7r/4. g

18. ii)

x= 0, x(O) = v , x(O) = 0 (x: richting :!o) 0

y

= ;: , j(O) = 0, y(O) = 0 (y:

iii) ,_,(t) E(t)

iv)

19. y(x)

qEL 2

--2 2mv 0

= a

)JX

cos(-) vo

richting~)

- V,34-

4,2, Gedwongen beweging. Vrijmaken. Eenzijdige verbindingen Theorievragen

I. Wat verstaat U onder een gedwongen beweging en wat onder een eenzijdige verbinding? 2. Bij de nu volgende bewegingen treedt nergens wrijving op. Een punt P wordt gedwongen te bewegen: i)

in een plat vlak,

ii)

over een boloppervlak,

iii) langs een rechte lijn, iv)

langs een cirkel,

v)

aan het eind van een gespannen koord, waarvan het andere einde aan een vast punt is opgehangen (drie-dimensionale of konische slinger).

Hoeveel onbekende reactiekrachten moet U invoeren bij het vrijmaken? Hoe groot is het totaal aantal onbekenden en welke zijn dat? 3.

y 0

x G

Een stelsel OXY is vast verbonden aan een horizontaal vlak (zie figuur). Een punt P, dat alleen kan bewegen in het verticale OXY-vlak, wordt behalve door zijn gewicht

~nog

door een willekeurige kracht F belast. De wrijvingscoëffi-

ciënt tussen P en het horizontale vlak is f (fk

f_

s

=

f) en de verbinding

tussen P en dit vlak is eenzijdig. i)

Aan welke ongelijkheidsrelatie moet de Y-coordinaat van P voldoen?

ii)

Welke reactiekrachten kunnen er door het vlak op P worden uitgeoefend? Aan welke ongelijkheidsrelatie moeten deze reactiekrachten voldoen? Welke vereenvoudiging krijgt U als f = 0?

- V, 35 -

Onderscheid . de volgende gevallen: iii) P beweegt over het horizontale vlak (dwz. langs de x-as). Geef de condities voor de positie en snelheid van P. Hoeveel graden van vrijheid heeft P? Welke reactiekrachten treden op en aan welke condities moeten deze voldoen? Hoeveel onbekenden heeft dit probleem en welke vergelijkingen heeft U tot Uw beschikking? iv)

P is in rust op het horizontale vlak. Zelfde vragen als bij iii).

v)

P is los van het horizontale vlak. Zelfde vragen als bij iii).

vi)

Geef de conditiesvoorGen Fopdat de situaties iii), iv) of v) optreden, aangenomen dat P in rust is op t = 0.

4.

.B

I

r

p

In boven/.daande fliguuA J.dett P een mM.6apun:t, mM.6a m, vaalt da-t ügt op een ho!Uzol1ta.a.t vlak, w!Ujv-i.ng.6eoiL66.[e-i.ën:t

6,

en AB een mM.6a.ioze .6taa6, wetile

-i.n A met P -i..6 ve!Lbonden, ondeA ee.n hoek a (0

.ç

a < rr/2)

met de ho!Uzon:taai,

en WaaJLvan B alteen lang.6 een gladde ho!Lizontate !L~ kan bewegen. Op t = ~. P -i..6 dan -i.n JLU.6t, wa!Ldt het 6trnet -i.n B bel.Mt doo!L een ho!Uzon:taie. k!Lac.ht

F. -i.)

Wa-t -i..6 de kMc.ht dao!L AB op P u.Uge.oe6end? ILI.Lót büj6t? . opda-t P lang.6 het ho!Uzon:taie vlak gaa-t glijden? Geen dan de bewe-

moe.t(en) F en a voldoen, opda-t P

ili) Idem,

~n

g-i.ng.6veJLgeüjk,[ng voo!L P tezamen met de beg-i.nvoo!LWaaJLden. Bepaal. de Mel.hud van P ai.6 6unilie van de a6getegde. weg.

-i.v)

Idem, opda-t P la.6 komt van de g!Lond? Hoeveel gMden van v!Ujhe-i.d hee6t P nu?

- V .36 -

s.

,.,.-------- F A

r In bovenstaande figuur stelt P een rnassapunt, massa m, voor dat ligt op een horizontaal vlak, wrijvingscoëfficiënt f, en dat is verbonden aan een koord

dat een hoek a (0 s a s n/2) met de horizontaal maakt en waaraan via een vaste gladde pen A wordt getrokken met een kracht F (F > 0). Geef in een F-a-vlak de gebieden aan waarvoor (Hint: normeerFop (F/mg) en neem zelf een waarde voor f): i)

P in rust blijft,

ii)

P langs het horizontale vlak gaat glijden,

iii) P los komt van het vlak. 6.

Een massapunt P, massa m, ligt op een hellend vlak, hellingshoek a. De wrijvingscoëfficiënt tussen P en het hellend vlak is f. i)

Geef de conditie voor f opdat het blok gaat glijden.

ii) Indien aan deze conditie voldaan is, bepaal dan de positie en de snelheid van P als functie van de tijd.

- V. 37 -

7. Twe.e. ge.lijfle. m
ondeA e.e.n vtie.fl je., ,in te.ge.I'Ultelling :tot de. ve.eA, aUe.e.n e.e.n J.>:t{jfJhud he.e.nt :te:ge.n uU~e.flfle.n ma~ n-<-e.:t te.ge.n -<-n~uflfle.n {e.e.nz-<-jd-<-ge. veAb-<-nd-<-ng) . Be.antwoo~d de volgende. v~ge.n voo~ bude. J.>yJ.>te.me.n:

Ç)

0

k,lo p

0

!?J

k.fo

l~ rntt

!

•

Wa:t i!.> de. e.ve.IJLIJ,[c.htM:tand van P? {Ve. b,ij deze. !.>:tand ho~e.nde. ~eflhlng WMdt de. J.>~c.he u_äw,ijhlng ge.noe.md.) ü) Re.fl he.:t e.lM:t{e.flje/veeA nog e.e.n a6J.>:tand a vanuU de. e.ve.nw-<-c.htMtand uU e.n Raa:t he.m zondeA be.g-<-l'll.lne.lhud fol.>. S:te.l de. bewe.g,{_ngJ.>veAge.lijhlnge.n voo~ P me.:t de. be.ginvoo~~de op. ili) Wa:t i!.> de maximate hoogte d-<-e. P zal beAuflen? ,i)

8.

p 0 Een massapunt P, massa m, kan glijden over een glad horizontaal vlak en >s verbonden met een veer, veerstijfheid k, ongespannen veerlengte

~

0.

Stel de bewegingsvergelijkingen voor P op en laat zien dat deze onafhankelijk zijn van het feit of de veer ingedrukt dan wel uitgerekt is en of P naar links dan wel naar rechts beweegt. ·9. Als 8, maar nu met wrijving f tussenPen het vlak. Stel weer de bewegingsvergelijkingen op en laat zien dat deze nu wel essentieel verschillen als P naar links en als P naar rechts beweegt.

- V. 38 -

10. Een massapunt P, massa m, ligt los op een veer, veerstijfheid k, ongespannen veerlengte

~

0.

Vanuit de evenwichtsstand wordt de veer nog een extra afstand a ingedrukt.

Bewijs dat P los komt van de veer op het moment dat de veer zijn ongespannen veerlengte bereikt. Bepaal de maximale hoogte die P bereikt.

I

11.

I

k

'

)C

'

r--'"1I

' t J

Een blokje, massa m, zit bevestigd aan een veer, veerconstante k, en ligt op een horizontale, lopende band die met snelheid v in de aangegeven richting beweegt. Zie figuur. Tussen het blokje en de lopende band heerst wrijving met wrijvingscoëfficiënt f. Kies de oorsprong van de x-as zodanig dat bij engespannen veer het blokje zich in x de zwaartekracht is g. TOt aan t x

=

i)

=0

=0

bevindt. De versnelling van

bevindt het blokje zich in rust in

a en wordt daar vastgehouden.

=0

Voor welke waarden van a zal het blokje direct na loslating op t

naar rechts gaan bewegen? Bereken de positie x als functie van t, zolang ii)

x nog

kleiner dan v is.

Voor welke waarden van de snelheid v van de lopende band bereikt

h~t

blokje eveneens de snelheid v? En welke afstand heeft het blokje ·dan afgelegd? iii) Kan het blokje een snelheid groter dan v krijgen? Motiveer Uw anJt.woord:,. .... •.. ~._~~ ....,

iv)

!•l

Stel dat v zodanig is dat het blokje de snelheid .v niet bereikt;'oll'ere- r_ ken dan de afstand die het blokje aflegt alvorens momentaan tot stil..... stand te komen;

I

~

- V, 39 -

o~!~"

12.

>

~~k,ID

1"

"i

A -

----

f / /

'

/ /

/

/

m f:'

I

.. 13 .' . .__ /

/ /

/

/

~"-

/

/

/

i //

/

/

/

/

Een cylindrische staaf AB, massa m, lengte

~,

doorsnede-oppervlak S, hangt

verticaal onder een vast punt 0. Het bovenste punt A is met 0 verbonden door een veer,veerstijfheid k, engespannen veerlengte 2 . Onder 0 bevindt zich 0 een zeer groot bassin gevuld met water. De soortelijke massa (= massa per volume-eenheid) van het water geven we aan met p. Op t

= 0 is het systeem

in rust, is de veer engespannen en bevindt B zich juist in het water. De staaf wordt vanuit deze stand losgelaten. De afstand die B zich onder het niveau van het water, dat-constant mag worden genomen, bevindt, geven we aan

met x. De opwaartse kracht die de s·taaf AB van het water ondervindt wordt gegeven door de wet van Archimedes: "de opwaartse kracht is gelijk aan het gewicht van de verplaatste hoeveelheid water." De lengte t

is zo groot dat de staaf niet volledig onder water verdwijnt. De

versnelling van de zwaartekracht is g. i) Hoeveel graden van vrijheid heeft dit systeem?

ii) Geef de bewegingsvergelijking met de bijbehorende beginvoorwaarden. iiiJ Bepaal hieruit de snelheid en de verplaatsing van de staaf als functie van de tijd t. iv) Bereken het diepste punt dat B bereikt. v) Wat verandert er in de bewegingsvergelijking, indien de staaf behalve de opwaartse kracht ook nog een

visceuze

dempingskracht ondervindt

evenredig met de snelheid van AB, evenredigheidsconstante c. woorden)

aan wat de invloed hiervan op de beweging van AB is.t

staaf nu tot rust? Zo ja, in welke stand?

•-1".

- V .40 -

13.

Ee.n maMapunt P, maMa m, M vÁ.a e.e.n mM-:\aloo-:1 koond, le.ngte. t, ve.nbonde.n me.Z e.e.n vct-:~z punt 0. P be.we.e.gt Á.rt e.e.n ve.~ectctl vlak (vlakke. -:\Ünge.n) .

0 I{) I I

;_)

ü)

f

p

I e.e.n be.gÁ.n~;_jRj_ng e0 (0 < 8 0 < e.n laaZ he.m zonden be.gÁ.n-:~ne.lhe_j_d lo-:1. Ste.l de. be.we.gÁ.ng-:~ve_nge_l;_jRj_ng voon P op me.Z de. be.gÁ.nvoonwaande.n. Be.paal ë al-:\ 6unrne. van 8. Be.wÁ.j-:1 dat 8 nooil gnoze.n kan wonden dan 8 0 . Be.ne.ke.n de. Rna.eht Á.n hu koond a.l-:1 6unrne. van 8. WaMom M de.ze. Rna.eht vaan 8 = 0 gnozen dan mg? Ne.e.m 8 << 1. Hoe. kunt U Á.n d;.t 0 ge.vctl de. be.we.gÁ.ng-:~ve.ng~jRj_ng ve.ne.e.nvoud;.ge.n e.n kunt U u_;_t de.ze. vene.e.nvoud;.gde. ve_nge_l;_jRj_ng de Me.lhe_j_d van P al-:\ fiunrne. van de. tijd be.pale.nZ Ge.e.6 P op he.Z mome.nt dat hÁ.j ve.ntieaal onde.n 0 hangt e.e.n holdzontale. -:~ne.lheÁ.d v . Neem aan dat P een volled;.ge ~kei doonloopt. Gee6 de eon0 d;.Ue.-:~ waMClan ë e.n de. knaeht Á.n hu Roond moe.Ze.n voldoe.n opdat aan de.ze aanname. voldaan M. Hoe. gnoot moe.Z v 0 mj_n-:~ze.n-:~ ujn opdat dä hu ge. val M? Hoe. gnooz M dan de. -:~ne.lhe_j_d van P Á.rt ujn hoog-:~te. punt?

Ge.e.ó de.

-:~ünge.n

fl

14. Een puntmassa P, massa m, bevindt zich

0

op een gladde kegelmantel, met een verticale. as en een halve tophoek a, en is via een massaloos koord, lengte t, verbon-

den met de top 0 van de kegel. De lijn OP roteert met constante hoeksnelheid w om

~~

de verticaal door 0. i)

Bereken de snelheid van P.

ii)

Bepaal de kracht in het koord.

iii) Bepaal de reactiekracht van de kegelmantel op P. Hoe is deze gericht?

i

Voor welke waarde van w wordt deze reactiekracht nul? Wat gebeurt er als w groter wordt dan deze waarde?

--

- V.41 -

15.

,,

..

•-11 .

De hierboven getekende gladde, cirkelvormige buis AB ligt in een verticaal vlak. E~n massapunt P, massa m, wordt zonder beginsnelheid losgelaten in een punt dat op een hoogte h verticaal boven A ligt. i)

Met welke snelheid komt P bij A in de buis?

ii)

Bepaal, als P in de buis beweegt, de snelheid van P als functie van de afgelegde hoek

e.

iii) Bepaal de reactiekracht van de buis op P. iv)

Hoe groot moet h minstens zijn opdat P weer bij B de buis verlaat?

v)

Bereken de waarde van h, waarvoor P na de buis bij B verlaten te hebben, weer bij A in de buis terecht komt.

16.

Een electron, massa m, lading (-e), beweegt onder invloed van een constant, uniform magnetisch veld B in een cirkel, straal R, met een snelheid v die

constant van grootte is. Het !-veld staat loodrecht op het vlak van de cirkel en het electron ondervindt een kracht: -e(v x!) van dit veld. i)

Bepaal de richting van bovengenoemde kracht.

ii) Geef de relatie tussen !• v en R, welke moet gelden opdat bovenbeschreven beweging mogelijk is.

- V .42 -

c

I 7.

R

.B -

•

A

Een mcw~.>apwU: P, mMM. m, woJtd;t me;t J.JneJ'.hud v0 vana6 een ho!Uzomaal. vLa!G .<.n een veAÜc.ai.e, c
0 R

j~

Een massapunt P, massa m, wordt zonder snelheid losgelaten in het punt A van

de hierboven getekende verticale, cirkelvormige, gladde goot AB. Bepaal de door de goot op P uitgeoefende kracht en de snelheid van P als functie van de afgelegde hoek. Waarom is deze kracht in het onderste punt groter dan mg?

- V.43 -

p 19 •

"''J '·, I

. 0

'' '

r

Een massapunt P, massa m, kan bewegen langs een verticale, cirkelvormige,

gladde goot. i)

P wordt met te verwaarlozen beginsnelheid in het bovenste punt van de goot losgelaten. Waar verlaat het punt de goot?

ii)

P wordt met een zodanige horizontale snelheid v

0

vanuit het hoogste

punt weggeschoten dat het onmiddellijk de goot verlaat. Hoe groot moet v

0

minstens zijn1

iii) P wordt via een veer, veerstijfheid k, engespannen veerlengte

~O =

0,

verbonden met het middelpunt 0 van de cirkel. Hoe groot moet k zijn opdat P nergens loskomt van de goot, als P zonder beginsnelheid in hoogste punt wordt losgelaten? Antwoorden 2. i)

ii)

(§4.2.)

Een reactiekracht

(~vlak);

2 graden van vrijheid.

Als i).

iii) Twee

reactiekrachten(~

rechte); I graad van vrijheid.

i v)

Als iii).

v)

Een reactiekracht (in richting koord); 2 graden van vrijheid.

Steeds in totaal drie onbekenden.

3. i)

ii)

iii)

y " o. N

Ne , N :;: : 0,

w

-y We , -x

f

0 +

[R[ w

y

y

0,

fN,

:5

0.

x 1 0;

N > 0 en W

=

I graad van vrijheid;

-fN sign

x.

3 onbekenden: x, N, W.

vergelijkingen: mx =F cos a- W,

0 = N + F sin a- mg, W

-fN sign

x.

- V.44-

iv)

y=

x

y

0, nul graden van vrijheid.

=

1~1

N > 0 en

<;

fN.

2 onbekenden: N, W. vergelijkingen: 0 v)

cos a -

= F

W,

N + F sin a - mg.

0

y > 0, 2 graden van vrijheid. N = W

0.

2 onbekenden: x,y. vergelijkingen: mx = F cos a, my vi)

F sin a - mg.

geval iii): F cos a > f (mg - F sin a), F sin a < mg.

F cos

geval iv):

f(mg- F sin a),

a<

F sin a < rog. F sin a > mg.

geval v):

4. i) i i)

F --cos a

langs AB gericht. m!\f

F ,;

( I + f tan a)

mgf < F iii) ( I + f tan a)

<;

rng cotan a;

mgf, (x langs vlak), x(O)

mx = F (I + f tan a) ~(x)

iv)

=Jc2F (I + f tan

O·,

x(o)

a) - 2 gf]xe

-x

m

F > mg cotan a; 2 graden van vrijheid.

mgf

5. i) F ,; --~m~g~f~~­ co s a + f sin a

i i)

6. i) f < tan a; ii) v(t)

g(f cos a - s1n a)t, x(t)

cos a + f


a

mg

iii) F >

sin a

mg

sin a

~(f cosa-sin a)t 2 . 2

7. i)

ii)

mx + kx

mg, x(O)

+ a, 0 (x verticaal naar beneden van ongespannen lengte). Bewegingsvergelijking =

0, x(O)

geldt voor a) alleen als

= x

x > 0;

als x < 0 geldt: mx

iii) Maximale hoogte boven ongespannen lengte: a) als a a > mg k b ) a-

mg

k

<;

:g · zie b) _!_(ka 2mg

2

_ mg)

k

·

=

mg.

- V,45 -

8. rnx + kx

9.

10.

x> x< ~(ka

0 (x: uitrekking veer).

0: mi+ kx

-mgf,

0: mx + kx

mgf.

2

+ mg) boven evenwichtsstand. k

mg

a < mgf .

I I • i)

k

'

m~f

x(t) =

i i)

(a-m~f)cos

+

(mits a <

wt.;

m~f)

mgf iii) x = - - + k 2mgf x=-k--a.

iv)

12. i)

Een, x: uitrekking veer.

o.

mX+ (k+pgS)x=mg

x(O)

x(O) =

iii) x( t) = A( I - cos wt)

x(t)

Aw sin wt,

i i)

(A = mg/ (k + pgS)

iv)

x

v)

rnx +

x

13. i)

ma x

rust

~e

;

w = l(k + pgS) /m).

= 2mg/ (k + pgS).

eX

+ (k+pgS)x= mg,

= mg/(k + pgS),

+ mg sin

é (8)

e

0· '

= 0, 8(0)

± /Ztg(cos 8 -

cos 8 ) • 0

Kracht in koord: S = 3mg cos 8 - 2mg cos 8 • 8 ii)

0

é~

«

1:

0, S

~ë

0

+ mg8 = 0, v =/gE 8

~ 0, V8 E[O,ZTI];

vo ~ l5g9.; /gE.

0

sin(vft).

- V, 46 -

14. i)

i i)

w9.

HU Cl'

'

mg cos

Til!/ 9.

sin

2

a;

~

N

15. i) 12gh;

=

i i) /gR;

cos

Cl

(1.

kegelmantel),

" e;

iii) 3mg sin

mv.

2 vo 17 • i) gR<- 2·' 18. 3mg sin

Cl

i i) lzgh + 2gR sin

16. i i) eBR

e

+

2 mg sin a-mw9. sin g o, voor w = cos

iii) N

19. i)

Cl

2 vo i i) 2 < - < 5. gR '

e. lzgR '

s~n

2

arccos ())

2 vo iii) gR>- 5.

e.

(e is hoek OP met verticaal);

iii) k >

5mg

T·

e

2mgh

+ -R- ·.

iv) R;

5

v) ÏÏ R.

- V.47 -

4.3. Impulsmoment. Momentenstelling Theorievragen _ I. Geef de definities van het impulsmoment ~A en het moment !A· Aan welke con-

ditie(s) moet A voldoen opdat geldt:

Geef enkele voorbeelden. Is, voor een massapunt, de momentenstelling afhankelijk of onafhankelijk van de tweede wet van Newton?

2. Een massapunt P wordt aangetrokken door een punt A door een naar A gerichte kracht. Bewijs dat, onder bepaalde condities voor A (specificeer deze), het impulsmoment van P om A constant is.

V

3.

0

A

p Het ophangpunt A van een slinger beweegt met constante snelheid V langs een horizontale rechte. De hoek 8(t) is niet constant, dus é(t) # 0. i)

Bepaal het impulsmoment van P t.o.v. A.

ii) Bewijs dat 1A #!A' als V# 0, en dat 1A

0.

4. Bereken het impulsmoment van: i)

de aarde t.o.v. de zon, volgens de gegevens van vraagstuk 12 van hoofd24 stuk 2, en met de massa van de aarde = 5.98 x 10 kg;

ii)

een vlakke slinger t.o.v. zijn ophangpunt;

iii) van P om 0 (en O') van 13 en 14 van hoofdstuk 3, 5. Leid m.b.v. de momentenstelling de bewegingsvergelijkingen af van de vraagstukken: uit 4,2: 13 en 18, Toon aan dat deze vergelijkingen afhankelijk zijn van de eerder m.b.v. de tweede wet van Newton verkregen vergelijkingen.

--~~---

- V. 48 -

6. Een maá~apunt, maá~a P, ib ve~bonden aan

V

van een Roo~d, tengte L, dat ov~ een vMte, gtadde pen ib gutagen en wa~van het beginpunt A met een eon~tante ho~zontate Meth~d V beweegt. Op t = 0 bevindt A zieh boven 0 en maaRt OP een hoeR e0 met de v~eaat doo~ 0. het

~nde

Geen een uit~uRRing voo~ de lengte t{t) van OP. ü) Bepaal het imp~mome!U van P om 0. iü) L~d met behutp van de momente~tetüng om 0 een cli66~e!Uiaatv~geUj­ Qing voM e a6. iv) Laat de zwaMteRMeht buiten buehouwing {dwz. taat P bewegen in een ho!Uzontaal vtaR) en ~tet ë = w op :t = 0. Bewij~ da:t nu ~O eo~tant ib en t~d:t IU.~uit een uil~uRQing voo~ é aä 6unetie van :t a.fi. i)

7. De positievector van een massapunt van I kg wordt gegeven door r

=

(3t

2

3

- 6t) e - 4t e + (3t + 2)e m -y -z -x

Bepaal i)

de kracht op het deeltje,

ii)

het moment t.o.v. de oorsprong uitgeoefend op het deeltje,

iii) impuls en impulsmoment t.o.v. de oorsprong. iv)

8. Op t

verifieer

=0

~ = ~'

om de oorsprong.

bevindt zich een massa van 3 kg in r -

= Se-xm

met snelheid !Oe

-y

m/sec.

Er werken geen krachten. Bepaal het impulsmoment van de massa t.o.v. de oorsprong ten tijde t

=0

en t

=

12 sec. Beantwoord dezelfde vraag als op de

massa een steeds naar de oorsprong gerichte kracht werkt.

9. Bepaal voor het geladen deeltje uit vraagstuk 18 van§ 4.1 het impulsmoment t.o.v. de beginpositie van het deeltje. Welke vergelijking levert het toepassen van de momentenstelling hier op? Hoe groot is de verandering van het impulsmoment na t sec.

- V. 49 -

10. Een massapunt P, massa m, wordt door twee

váste punten 0

en 0 aangetrokken door 2 1 resp. ~ , waarbij (~: een-

2

~I

de krachten s tant)

f -m~El (El /

-m~E2 (E2

Op t i)

o,

0 heeftPeen snelheid y

=

Bewijs dat, indien

~I

en

~

loodrecht op het vlak door 0 , 0 en P. 2 1

0

2 de enige op P werkende krachten zijn, de

component langs 0 0 van het impulsmoment om 0 , of om 0 , constant is. 1 2 1 2 Schrijf deze relatie uit. ii) Bewijs dat als de positie van P t.o.v. het vlak door 0 , 0 en P con1 2 stant is, dat dan ook de snelheid loodrecht op de vlak constant moet zijn. Antwoorden m~

(§4.3.) 2·

e-

m~V

cos

e

(L vlak).

4. i)

ii)

m~ 2 ë

1·1·1·)

2 ' ,- mw R2 s1n ' 8 cos 8e , + rnw R2 s1n ' 2 ee 1 en mwr 2e , -mR Ge ---x -y -z -z

6. i)

i i)

(L vlak);

Ht)

=

2 m(L - Vt) ë;

iii) m(L iv)

L - Vt;

Vt)ë 2 wL

e

-

(L - Vt) 7. i)

ii)

6e

- 24te ·

(72t

2

-x

2mvê

e.

-mg sin

'

2

-y'

+ 48t)e

-x

iii) 6(t-1)e

-x

2

8. ISO kgm /sec.

+ (18t + 12)e

-y

- 12t 2e

-y

+ (-48t 3 + 144t 2 )e ; -z

+ 3e; (24t 3 +24t 2 )e + (9t 2 + 12t-12)e +(-12t 4 +48t 3)e. -z

-x

-y

-z

- V. 50 -

4.4. Methode van het stilzetten Theorievragen 1. Een waarnemer O' transleert met versnelling~' t.o.v. een inertiaal waarne-

mer 0. De positie van een punt P, massa m, t.o.v. 0 en 0' wordt aangegeven

met

E

resp.

E'·

Op P werkt een kracht F. Formuleer de tweede wet van Newton

t. o . v. 0 en t . o. v. 0 ' .

2. Als bij I, maar nu met een waarnemer 0' welke met constante hoeksnelheid w roteert t.o.v. 0. 3. 0' transleert resp. roteert eenparig t.o.v. 0. Geldt dan:

mY' ?

mr

4. Wat

~s

een centrifugaalkracht? Wanneer moet deze worden ingevoerd. Hoe is hij

gericht? Wat is een corioliskracht? Wat kunt U zeggen van zijn richting? 5. Maak de opgaven: 4,1: 11 (translatie), §

4.2: IS (rotatie) ,

met de methode van het stilzetten. 6.

L

o'

a·

),f,"'o

I

F

I

L

I& I I

I I

p

I I

m~

cy Bv.,c.houw ;twe_e_ üfi;ten, wei.R.e. bude me;t e.e.n ve;u.,nei.üng a veJt;t{c.a.af naaJL beneden bewegen. In bude. üfite.n be.v~ndt z~c.h e.e.n mil6~apunt P, mil6~a m, dat ~n gevat a) me;t een veen, ve.eN.>tij6hud k, ongv.,panne.n veenlengte ~ 0 = 0, aan e.e.n punt O' van de_ ü6t ~ opgehangen, tenw~j! ~n gevat b) P me;t e.e.n koond, !engte.~. met 0' ~ venbonden. Op t = 0 ~ P ~n n~t t.o.v. de_ ü6t e.n ~. vaan a) , de. veen een at)~t1111d u ~genekt en, vaan bI , maakt 0' P een hoek e0 me;t de veJt;t{c.a.al,O $ e0 $

y.

- V.SI -

_{)

Zet het met 0 ' mee.br.aJULeJtend J.JtW et Uil en bepaal. t.o.v. dil J.JtW et

de

beweg_{ngJ.JveJtg~j~ngen voo~

P, ondeJt de aanname dat _{n geval. b) het

QOO~d

ü) ~)

_{v) v)

ge.J.Jpannen b~jfit. VoM we.LQe waMden van u ~e.J.Jp. e0 b~jf,t P _{n ~UJ.Jt t.o.v. de ~fit? Neem a = g. Wat Qunt U dan zeggen van de beweg_{ng? WaMaan moet a voLdoen, opdat het Qoo~d O'P in b) _{nde~daad ge.J.Jpannen b~jfi;(;. Wat gebeMt eJt met P _{ndün a gMteJt ~ dan deze waMde? GeLdt, na J.J:tU'.zetien, t.o.v. 0' de momenteJUt~ng?

7.

a

Een massapunt P, massa m, ligt op een hellend vlak, hellingshoek a = n/6 wrijvingscoëfficiënt f

=

±13.

Het hellend vlak heeft een horizontale versnel-

ling a. Geef, voor a uit het gebied (-oo,oo), aan voor welke waarden van (a/g) het punt P: i)

langs het vlak naar beneden gaat glijden,

i i)

langs het vlak naar boven gaat glijden,

iii) in rust blijft t.o.v. het vlak, iv)

los komt van het vlak.

v)

Geef voor de gevallen i) en ii) de versnelling van P t.o.v. het vlak.

8.

LLTP 0'

t "'}

r

~~

Een massapunt P, massa m, ligt op een horizontaal vlak en is met een koord,

lengte t, verbonden met een punt O' van dat vlak. De wrijvingscoëfficiënt tussen P en het vlak is f. Het vlak stijgt met een verticale versnelling a (a > 0). Op t

recht op O'P.

0 heeft P t.o.v. het vlak een horizontale snelheid y

0

lood-

- V.52-

i)

Bepaal de normaalkracht die P ondervindt van het vlak. Waarom is deze groter dan mg?

ii)

Bepaal de snelheid van P als functie van de afgelegde hoek

e.

iii) Wat is de door P afgelegde weg op het moment dat hij tot rust komt t.o.v. het vlak? 9. In een lift van 260 kg staan drie personen met massa's 60, 80 en 100 kg. De kracht van de liftmotor is 5500 N. Hoe groot is de versnelling van de lift bij het stijgen? Veronderstel dat de man van 100 kg op een weegschaal staat. Hoeveel "weegt" hij dan als de lift stijgt?

p

o'

10.

x' 1----"--------11 m~

R

0 Beschouw de in opgave 11, hoofdstuk 2 beschreven translerende tafel met daarop een massapunt P, massa m. De wrijvingscoëfficiënt tussen P en de tafel

is f. i)

Bepaal de schijnkracht werkend op P, na stilzetten van een met O' meetranslerend stelsel.

ii)

Bepaal de normaalkracht dieP ondervindt van de tafel.

iii) Bepaal de maximale waarde van w waarvoor P nog in rust blijft t.o.v. de tafel.

11.

Brv.,cJwuw een met c.oYl6tan:t:e hoelunethud ~o~enende zweefimolen lz~e OOQ opgave 15, H.2). Ve maö~a van de ~~ang AP mag wo~den v~a~oo~d en P Qan alteen bewegen ~n hu met 0 ' , A en P mee~o~enende ve.Jt;Üc.ale vlaQ. Zet het met de, aan de moleYlaó venbonden,w~nemen 0' meena~enende ~~wet ~m.

-/--

R A

0:0" f..J

!

I

liJ

I'

I

p

Cf

n1'J

- V .53 -

i)

Bepaal. de op P WVtk.ende c.ent!Ufiugaal.- en c.o!UoWfvtac.M: (in gJWotie en !Uc.Wng).

U)

S;tel de bewegingJ.>vVtgilijk.ing voOJt P op.

~)

iv)

Bepaal. de doo~ de ~:tang op P ui:t:geoefiende ~eac.:tiek.~c.h:ten. Bepaal. w, ~ &unc.:tie van e, opda:t P ~n ~;t btij&:t :t.o.v. de molen. Hoe gJWo;t ûjn dan de ~eac.:tie~c.M:en ~n de ~:tang?

v)

Geld;t na

~:tilzetien

om A de

momen:te~:tûüng?

Zo ja, wa;t leveJt:t deze

dan op? 12. Een andere, buiten gebruik geraakte kermisattractie, is de zogenaamde "steile wand". Deze bestaat uit een cylindervormige ton met verticale as, die met een ~s

constante hoeksnelheid w om deze as roteert. Deze hoeksnelheid

zo groot

dat personen die tegen de binnenwand van de ton komen aan deze wand blijven "plakken", dus met de ton meebewegen. Neem de binnenstraal van de ton

R = 2,5 men de wrijvingscoëfficiënt f = I. i)

Hoe groot is de normaalkracht die de man van de wand ondervindt?

ii)

Hoe groot moet w minstens zijn, opdat een man van 80 kg blijft "plakken". Is deze waarde afhankelijk van het gewicht van de man?

iii) Welke extra schijnkracht ondervindt de man indien hij met een horizontale snelheid V t.o.v. de ton langs de wand gaat kruipen? iv)

Bewijs dat de normaalkracht op de man groter wordt indien hij in de draairichting kruipt en kleiner indien hij in tegenovergestelde richting kruipt.

13. Een motorrijder rijdt met een constante tangentiale snelheid v

langs de bin-

0

nenkant van een verticale cirkel met straal r. Hoe groot moet v

0

zijn opdat

de motorrijder niet naar beneden valt? 14. Een rivier stroomt op het noordelijk halfrond in zuidelijke richting. Laat zien dat het water door de op de waterdeeltjes werkende corioliskracht tegen de rechter (rechts voor een met de stroom meebewegende waarnemer) oever opstuwt.

- V,54-

15. Een gladde buis roteert met constante hoeksnelheid w in een horizontaal vlak om een vast punt 0. In de buis bevindt zich een massapunt P, massa m, dat via een veer,

veerstijfheid k, engespannen veerlengte ~O'

verbonden is met 0.

Bepaal, door de buis stil te zetten, i)

de bewegingsvergelijking van P,

ii)

de reactiekrachten door de buis op P uitgeoefend,

iii) de afstand OP, als functie van w, waarvoor P in rust blijft t.o.v. de buis. 16. Beschouw het in opgave 13, hoofdstuk 3, beschreven systeem. Neem aan dat er geen wrijving is en neem de draaiingsas verticaal.

Bepaal, door de rotatie van de ring stil te zetten, i)

de bewegingsvergelijking van P,

ii)

de reactiekrachten door de ring op P uitgeoefend,

iii) de waarden van 8, als functie van w, waarvoor P in rust blijft t.o.v. de ring.

(§4.4,)

Antwoorden

6. a) i)

m.X·

+ kx'

= m{g - a) (x': uitrekking

veer);

- a) i i) xo = m(g ; k b) i)

m~ë +

i i) als a iv) a 7. i) -g/3

<;

<;

m(g - a) sin e = 0·, <;

g: eo = o, als a

2:

,

g: eo

1T"

g. a < 0;

v) geval i): 8. i) m(g + a) ;

ii) a > g/3;

iii) 0

<;

a

<;

g/3;

iv) a < -g/3;

~ a/3, geval ii): ~ a/3 - g. ii)

V

lv2 - 2(g + a)f~8; 0

iii)

2 (g + a) f

·

- V. 55 -

9. I m/sec 2 ; 1100 N. I 0. i)

2 mw R cos ee-x ' + mw 2 R S1n ee ' (e-x ' langs tafel, e: hoek tussen DO' -y

F

-s

en horizontaal door 0); ii)

N ~ mg- mw 2 R sin e;

11. Eenheidsvectoren volgens 15, hoofdstuk 2.

i)

2 K = mw (R + -c

i i)

m~e

~

sin e)e-y "

mg cos e + m~8

2

-2mw~ë cos ee , -z

(R + 12. i)

ii)

~

-cor

"o

2

+ mw (R +

~ sin e)sin e (richting PA),

<j_ stang).

g sin e 8 = ~ , 82 ~ sin 6)cos 6 ' I cos 6

0.

2

iii) K

13.

=

mw R;

N

w

2mw~ë cos ee '

K -z -cor • e)cos e = 0; + mg sin e - mw 2 ( R + t s~n

2 rad/sec; is onafhankelijk van gewicht; =

2mwVe , (e , : radiaal). -x

-x

<: lgR/f.

15. Neem: e , langs buis en e 1 langs w (2>' -z -x 2 i) + (k - mw ) r = kJ', 0

re , ) • -x

mr

i i)

2. 2mw re , ,

!! I

-mg~z'

-y

k~o

iii) r

2

(k- mw )

16. i)

i i)

2

mRë - mg sin 6 - mw R sin e cos e 2

.

2

=

o.

NI

mw R s1n e - mg cos e - mR8

N2

2mwRÈl cos e (loodrecht vlak van de ring).

iii) e

==

0' e =

TI,

e

= +

(richting PO),

arccos(- _JL) (mits _jL < I ) . 2 2 wR wR

- V.56 -

4.5. Vrijmaken van stelsels van meerdere deeltjes In deze paragraaf beschouwen we stelsels van een beperkt aantal (dwz. 2 à 3) deeltjes. We zullen hier niet de totale beweging van het stelsel bekijken (dit gebeurt 1n hoofdstuk 5) maar de beweging van de vrijgemaakte deeltjes afzonderlijk. Theorievragen !.

vrijmaken:

r;.

-,:; ''

r.~

J:

Beschouw een, eventueel bewegend, massaloos katrol met twee massapunten.

Welke onderlinge reactiekrachten F

relaties moeten er gelden tussen de in de figuur getekende 1

t/m F ? 5

2.

Een blok I ligt op een ander blok II. Beide blokken bewegen rechtlijnig met snelheden v

resp. v . De wrijvingscoëfficiënt tussen de blokken is f. 2 Waar hangt de grootte en de richting van de wrijving door II op I uitgeoe1

fend vanaf en hoe is het verband tussen deze wrijving en de normaalkracht van II op I?

- V.57 -

3.

"

B

l,

c

M

Een blok A, mM.óa m, üg;t op e.e.n blok B, mMM. M , dat op e.e.n ho!Uzon;tacû vlak ügt. Ve. w!Ujvlng~.>c.oëût).{.uën;t ZuMe.n A e.n B .{./.) &7 e.n d.{.e. ZMI.>e.n B e.n he.t ho!U.zonMe. vlak .{./.) 62 • He.t blok B .{./.) vla e.e.n kooJtd, da;t oveJt e.e.n gLadde. pen .{./.) ge.!.>lagen, veJtbonde.n me.t e.e.n blok C, mMI.>a 2M, dat veJt;t.{_c_aa,t ondeJt de. pen hang;t. l)

Ne.e.m e.e.M;t m

0. Hoe. gJtoo;t moe.;t

=

n2 m.{.n~.>;te.n~.>

ûjn opda;t B n.{.e.;t ln be.we_-

glng kom;t? Hoe_ gJtoo;t .{_/.) dan de. I<Jtadtt: ln he.t koOJtd? Indltn M dan de hle.Jtvooft gevonde_n waa.Jtden, hoe gftoo;t zljn dan de_

n2

l
ve.Jt~.>ne.ll.{.n­

ge_n van B en C? WaMom .{_/.) de_ I<Jtac_h;t ln he.;t koo!td nu RtuneJt dan 2Mg? Ne.e.m veJtdeJL m i 0. ü)

Hoe. gJtoo;t moe.t 6z nu mln~.>;te.n~.> ûjn opda;t B n.{.e.;t ln be.we.glng kom;t? Hoe. gftoo;t zljn dan de. lk!tac_h;te.n?

ili) Stel

nz

RluneJt dan de. blj Ü) ge. vonden WaMde. Be.pacû de. Waa.Jtdtn van

opda;t A ln ftUI.>t büj6;t ;t.o.v. B. Be.pacû dan de. ve.Mne.l_f_.{_nge.n van A, B e.n C. lv)

4.

n1

Nte.m nu de. w!tljvlng ZUI.>I.>e.n B e_n he_;t ho!tlzontale. vlak ge.l.{.jk aan nul (6 2 = 0). Aan welke c.ond.{.tie moe.;t 61 voldoen opda;t A gaat be.we.ge_n ;t.o.v. B? Be.pacû ln d.{.;t ge_va,t de. ve.Mne.ll.{.nge.n van A, B tn C.

A De massapunten A, B en

B

c,

c

r

massa's resp. ]0 kg, 15 kg en 20 kg bewegen langs

een gladde horizontale rechte. De punten A en B en de punten B en C zijn verbonden door een koord, terwij 1 op C een horizontale kracht F

i)

SON werkt.

Bepaal de versnelling van de punten en de krachten in de koorden.

ii) Herhaal het vraagstuk indien het stelsel verticaal in plaats van horizontaal beweegt.

- V.58-

5.

~~ Een blok A, massa m, ligt op een blok B, massa M, dat weer ligt op een hellend vlak, hellingshoek a. De wrijvingscoëfficiënt tussen A en B bedraagt f

1

en die tussen B en het vlak f . Zowel A als B is aanvankelijk in rust. 2 Geef de relaties voor f en f , als functies vanmen M, opdat: 1 2 i)

A èn B in rust blijven,

ii)

A daalt maar B in rust blijft,

iii) A en B met dezelfde snelheid dalen. iv)

Geef in het f -f 2-vlak aan in welke gebieden de bewegingen i), ii) en 1 iii) optreden. Welke beweging zal in het opengebleven gebied plaatsvinden?

6.

A Een massapunt B, massa m, ligt op een lange rechte balk A, massa M, die op een glad horizontaal vlak ligt. De wrijvingscoëfficiënt tussen B en A is f. Op t

0 is B in rust en krijgt A plotseling een snelheid v . Daarna beweegt 0 het systeem verder vrij. i)

=

Beschrijf de beweging van A en B zolang B t.o.v. A beweegt.

ii) Welke weg heeft B t.o.v. de balk afgelegd op het moment dat B tot rust komt t.o.v. de

balk~

Hoe groot is dan de snelheid van het stelsel?

- V .59 -

7. a)

b)

P,M

IP,M

In bave.Mtaande. c.aM;Uw.c..ûv., ).)., nVtge.M W!Ujv.Wg en de. k.atJwUe.n ûjn maMalaM. Aan he.:t .6y.6;te.e.m waJtd;t ge.:tJtak.k.e.n me.:t e.r_n c.aM;tan;te k.nac.h;t F, op de Á-n de. 6.i_guUJt aangegeven w.{_jze. • .{_)

Hoe. gltoo;t mae.;t F ûjn, apda;t he.:t mM.6apun;t P, mMM M, naM boven gaa;t bewegen? Gee.6 Á-n dU ge.va.t de bwe.g.i_ng.6ve.ttgilijüng van P. Haevee.t M A ge.zak.;t, a.t-6 P een hoag;te. h M gu;te.ge.n? .<_;_) He.:t ünk.Vtk.atJw.t K WOJtd;t veJtzwaaJtd me.:t een mM.6apun;t Q, mM.6a m. Bean;t1 waoJtd dezû6de vJtagen a.t-6 b.<_j .{_); haevee.t d!taag;t de. c.an;t!tamMM Q b.i_j ;ta;t de ve.Jt.tag.{_ng van F.

8. a)

m,

A

m, b)

c)

Bepaal voor de hierboven getekende katrolsystemen de versnellingen van de massapunten en de krachten in de koorden. Alle katrollen zijn massaloos

en

er is nergens wrijving. Hoe groot moet voor c) m zijn opdat A naar beneden 1 beweegt?

- V.60 -

9.

B

. I'

Twee massapunten A en B, massa's resp. m en m , rusten op een horizontaal 1 2 vlak en zijn verbonden met een massaloos katrol, straal van de sehijf R,

lengte van het koord

~.

Op t

~

0 begint op het katrol een kracht F(t) te

werken welke van de tijd afhangt volgens F(t) i)

~

Zat.

Bewijs dat A en B aanvankelijk in eontact blijven met het horizontale vlak.

ii)

Neem m < m • Welk massapunt komt dan het eerst los en o,p welk tijdstip? 2 1 iii) Bepaal de versnelling van het stijgende massapunt gedurende de fase dat één massapunt los is en het andere nog op het horizontale vlak rust.

iv)

Bereken het tijdstip waarop ook het andere massapunt loskomt.

v)

Geef de versnellingen van A en B indien heide los ?.ijn van de vloer.

- V .61 -

10.

A

Een massapunt A, massa m , kan bewegen langs een vaste, verticale, cirkel1

vormige, gladde goot, middelpunt 0, straal R. Het massapunt A is via een in de goot liggend massaloos koord, lengte t, t > ~R, verbonden met een

ander massapunt B, massa m , m > m • Op het begintijdstipt = 0 is het 2 1 2 systeem in rust, bevindt A zich op dezelfde hoogte als 0 links van 0 en hangt B verticaal onder het tegenover A liggende punt van de goot. Het systeem gaat bewegen onder invloed van de zwaartekracht, versnelling g. Bepaal, als functie van de door A af gelegde hoek

e

etl zolang A nog in con-

tact is met de goot: i)

de bewegingsvergelijking met beginvoorwaarden;

ii)

de spankracht in het koord;

iii) de op A werkende normaalkracht. iv)

Geef de conditie waaruit het punt waarop A loskomt van de goot kan worden bepaald. Hoe moet de verhouding m /m worden gekozen, opdat A 2 1 precies verticaal boven 0 loskomt?

Antwoorden

3. i)

2.

'

2~!g;

(§4.5.)

I 3(2 - f2)g.

2M 2Mg; 0· 2Mg. (M + rn) ' 2M- (M+ m)f 2Mg - (M+m)gf 2 2 iii) fl ;" (3M + m) (3M + m) 2Mg - mgf 2M 1 iv) fl < gf 1; aB = aC aA (3M+ m) 3M i i)

- V,62-

a

=

i i) a

=

4. i)

5. i)

JO 2 = 250 N (tussen Ben C); = !00 N (tussen A en B). s2 9 m/sec ; SI 9 9 80 2 = !00 N N· 9 m/sec (naar beneden); SI = 250 9 . 9 ' s2

fl > tan a, f2 > tan a·'

mf i i)

fl < tan a, f2 >

+ M tan a

1

(m + M)

fmg t, VB = vo - fgt. M 2 Mv mvo 0 i i) 2(M + m)fg ' (M + m)

6. i)

V A

7. i)

F

~

= --

lMg; My

=

l (M- m) g; (M + m)y = 2F -

i i) F

. ...

2F- Mg; 2h.

•'

~

(M- m) g,

s

b) a A SA

c) a A SA

2m2 g (4ml + IDz) ' aB

s

=

2m m2 g 1 (4m +m2) ' SB 1

m2g (4m + m2) ' 1 =

2S.

2 (m - 2m ) 2 1 (naar boven), aB (4m + m2) 1 3m m 1 2 I s = mi > ,m2. (4ml + mz)

(m - 2m ) 2 1 (naar beneden), (4ml + m2)

._.

.

.

- V. 63 -

9. i i)

mig

=a;

A los op t

iii)

g;

iv) v)

I 0. i)

a

A

at =-m 1

8

at =--

g •

(m +m )Rë = m g- m g cos 1 2 2 1

e(O)

iv)

g, a

=

ê(O)

Los voor

et

0.

(3ml + rnz)

e 1 : et = mi

7f

--z

e

=

'

e,

als m 2

7f -

2m 1

= -3-

•

sin 8 I ; 2

- V .64 -

5. Arbeid en energie Theorievragen

y

I.

K A

x

0

Een punt P beweegt onder invloed van een kracht !(x,y) langs een vlakke kromme K van een positie A naar een positie B. De hierbij door F verrichte arbeid kan worden geschreven als: B

J (!,dE_)

A A

i)

Laat K gegeven zijn door de coördinaatvoorstelling: y = f (x)

Bewijs dat [F (x)+ f'(x)F (x)]dx

A

x

y

waarin: F (x) = F (x, f (x)) , x

ii)

x

Fy (x)

= F

y

(x, f (x)) en f' (x)

Laat K gegeven zijn door de parametervoorstelling:

en bewijs dan dat

'B

J

A

[Fx(T)f; (T) + Fy(T)f:Z(:)]dT

'A waarin: df(T) dT

df(x) dx

- V.65-

iii) Neem voor de parameter

T

de tijd t en bewijs dat:

tB

f (I_,~}dt

A

tA iv)

2. i)

ii)

Neem voor

T

de booglengte s•en bewijs dat

·Geef de definitie van de kinetische energie T van een massapunt. Bepaal de kinetische energie van de massapunten uit de vraagstukken: Hoofdstuk 2: 12, 14 (uitdrukken in eV), 18 en 20. Hoofdstuk 3: 11, 13, 14 en 15.

iii) Bewijs dat voor de arbeid A als P gaat van A naar B geldt:

3. Beschouw een op een punt P werkende kracht I_, welke alleen een functie 1s van de positie ~van P:

i)

!'_(~)

Wanneer is

conservatief? dat!(~)

Neem voor de nu volgende vragen aan ii)

conservatief is.

Geef een definitie van de potentiële energie Is bij

gegeven!'_(~)

U(~).

de potentiële energie volledig te bepalen?

iii). Hoe luidt het verband tussen F ,F ,F x

y

z

enerzijds en U(x,y,z) anderzijds

en tussen Fr' F

iv)

en U(r,8). 8 Bepaal de potentiële energie van de volgende krachten: a) F b) F c) F

ce , (bijvoorbeeld: zwaartekracht). -x cxe , (bijvoorbeeld: veer).

-x ~ e , (bijvoorbeeld: Newtons aantrekkingskracht). r

v)

2

-r

Bepaal I_ als de potentiële energie gegeven is door: a)

U(x)

=

ex of U(x)

=

ex + d.

Bewijs dat beide dezelfde kracht geven. b)

- V. 66 -

2

+ bxy + cy 2

c)

U(x,y)

ax

d)

U(x,y)

x + y + !(x + y)

e)

U(r,e)

r cos 8 + r sin e + ~r

2 2

Laat zien dat de bij d) en e) gevonden krachten gelijk zijn.

4. Geef voor een conservatief systeem met één graad van vrijheid en potentiële energie U

U(x) de voorwaarden voor:

=

i)

evenwicht,

ii)

stabiliteit van dat evenwicht.

iii) Stel: U

= U(x) = ax 2

- bx .

Bepaal de evenwichtsstand(en) en onderzoek hun stabiliteit. iv)

Idem, als U = U(8)

5. i)

a cos e, (a

> 0),

(0 ,;

e

< Z1r)

•

Laat z1en dat de resultaten van de vraagstukken 4.1: 4i),

4.2: ISii), overeenkomen met T + U

=

constant.

ii) Bewijs dat voor een punt met één graad van vrijheid (zeg: x): T +U

constant, gelijkwaardig is met de tweede wet van Newton: F (x) x

= mx •

- V,67-

6. Een punt P, massa m

~

1, beweegt onder invloed van de kracht: 2

a)

F

Ste + (3t - l)e -x -y

b)

F

xe + (1-3y 2 )e -x -y

Op het tijdstip t

0 bevindt P zich zonder beginsnelheid in de oorsprong.

Bepaal, voor a) als functie van de tijd t en voor b) als functie van de positie (x,y) van P, i)

de impuls van P,

ii)

de kinetische energie van P en

iii) de door de kracht verrichte arbeid. iv)

Vergelijk de antwoorden van ii) en iii).

v)

Zijn deze krachten conservatief? Zo neen, waarom niet? Zo ja, geef dan de bijbehorende potentiële energie,

7. Beschouw een kracht van de volgende vorm F -

~

2

mw ye -y

i)

Bereken de bij ~ behorende potentiële energie

ii)

Laat zien dat F overeenkomt met de centrifugaalkracht, werkend in het

(~u).

c

stilgezette systeem, op een massapunt P, massa m, indien P roteert

met hoeksnelheid w

(~

we ) om de -x

~as,

waarbij P zich op een afstand y

van de draaiingsas bevindt. iii) Verklaar nu waarom de bij i) berekende U de centrifugaalpotentiaal c

wordt genoemd. Laat zien dat deze U gelijk maar tegengesteld is aan c

de kinetische energie van P (bij de beweging volgens ii)) tgv. alléén de rotatie w (dus tgv. de sleepbeweging; daarom heet deze T: Tl( s

eep

));

dus toon aan dat

iv)

Geef aan op welke manier(en) U van een systeem met een voorgeschreven beweging de kinetische evenwichtsstanden kunt bepalen. Wat verstaat U hierbij onder kinetische evenwichtsstanden?

v)

Welke "energie-behoudwet"

~

er in een systeem met voorgeschreven bewe-

ging gelden; formuleer de hierbij behorende condities.

- V .68 -

8. Een m~~apunt P, m~~a m, kan bewegen lang~ een glad heltend vlak, h~ng6-

haek a. Op :t = 0 heef,:t P een naM boven gvuc.h:te ~netheid v . Brvteken, aM 0 fiunc.tLe van de doa~ P afigelegde weg x: -<.)

de doM de zwaM:te~ac.h:t v~c.h:te aJtbud,

~)

de vrvtandvung van de k-<-ne:ûó c.he_ eneJtg-i.e van P,

~)

de veJtandeJUng van de potentiele eneJtg-i.e. vmt P. Ió de keuze van he:t nuf.-

n-<-veau hi.rvtbij van belang?

iv)

Vrvtgeüjk de an:twoaJtden op i),

v)

Bepaal he:t

hoog~ :te

~)

en

~).

punt da:t P brvtuk:t en de Melheid waMmee P wervt in

zijn u-<-:tgangópunt :teJtugkom:t. v-<.)

Bean:twaa!td dezel6de vitagen indien he:t heltend vlak n-<-e:t glad ~, maM een w!t-<.jving6c.oë66ic.-<-ënt

á

heefi:t. (ad v) WaMaan moe.:t

6 voldoen,

opda:t

P indrvtdaad :teJtugkom:t). 9. Een massapunt P, massa m, beweegt zonder wrijving langs een verticale cirkel met straal R. Het punt P begint te bewegen vanuit het hoogste punt van de cirkel. Bereken de door de zwaartekracht verrichte arbeid als functie van:

i)

de afgelegde hoek,

ii) de verticale zakking van P. 10. Bepaal, door middel van een energiebeschouwing, de toename van de kinetische energie van het geladen deeltje uit opgave 18 van§ 4.1, nadat het deeltje een afstand L loodrecht op de !-richting heeft afgelegd. 11. Een massapunt P, massa m, valt onder invloed van de zwaartekracht vanuit rust

over een afstand h naar beneden. \~

Bereken:

i)

de door de zwaartekracht verrichte arbeid;

ii)

de toename van de kinetische energie van P;

iii) de afname van de potentiële energie van P. Is de keuze van het nulniveau hierbij van belang? iv)

Vergelijk de antwoorden op i), ii) en iii).

'(••.

- V.69 -

12. Een massapunt P, massa m, hangt aan een veer, veerconstante k, engespannen veerlengte

i)

~

0.

~

Hoe groot is de totale potentiële energie behorende bij de statische uitwijking.

ii)

Hoe groot is de potentiele energie bij een verticale verplaatsing x van P. Neem hierbij x zowel vanuit de ongespannen toestand van de veer als vanuit de statische uitwij-

king. Maakt het verschil of P naar boven of naar beneden is verplaatst? iii) Bewijs, met het resultaat van iii), dat de statische uitwijking een stabiele evenwichtsstand is. iv)

Geldt hier: T + U

=

constant? Zo ja, stel deze relatie dan op. Welke

vergelijking verkrijgt U door deze relatie naar de tijd te differentiëren?

!3. Geef de energie-betrekkingen behorende bij de opgaven 9 en JO van

,j"

leidt uit deze betrekkingen de bewegingsvergelijkingen af.

14. Een massapunt P, massa m, bevindt zich op een hoogte h boven het vrije uiteinde van een verticale veer,

veerconstante k, die op de vloer is bevestigd. Het punt wordt vanuit rust losgelaten. i)

Bepaal de snelheid van P op het moment dat hij op de veer valt.

ii) Bepaal de maximale indrukking van de veer.

§

3.2 en

- V. 70 -

15.

~ AA~.f.AAAAAI p

Af"vvvvvvv~

l

F

Een massapunt P, massa m, ligt op een horizontaal vlak, wrijvingscoëfficiënt

f, tegen het vrije einde van een horizontale veer die is verbonden met het

vaste punt A. Het punt P wordt in de richting van A gedrukt, waarbij de veer een afstand x (x > 2fmg) k wordt ingedrukt, en vervolgens vanuit rust losge0 0 laten. i)

Bewijs dat het massapunt los komt van de veer op het moment dat de veer zijn ongespannen lengte heeft bereikt.

ii)

Bepaal de snelheid van P als functie van zijn positie.

iii) Bepaal de plaats waar P tot rust komt.

16.

"'

/

/

/ /

' 'p

~\

I

I I

I I

t

I

'\

I I

\

''

I

' "

----

/ / ~

Een mM-I>apun:t P, mM-I>a m1, ,U., dooft m{.dde.t van een mMM.ioze ,

-~>:ta.a.6

OP veJtbon-

I

den me;t een vcu,.t pun.t 0 e.n kan bwegen .{.n een ve!t.t'lc.ate c...Ur.k.eL a) Ve 1') ,.{.

-~>.taa6 OP d!taa.M:

Ju

om 0.

I

Getd.t nu T + U = c.on6.ta.n.t? Zo ja, -i>c.hJUj 6 dan deze be;t!{ek./Ung uä.

,{.,{.)

Be!tek.en de veJtandeft.{.ng .{.n de /Une;t.{.öc.he eneJtg.{.e '·van P en .{.n de hoek.Me.thud van OP .tU6-6en he;t ondeftó.te en he;t boveJ:i,6.te pun.t van de c...Ur.k.el, af.6 gegeven ,U., da.t de. hoe.k.-i>ne.thUd .{.n he;t bove.nó.te. pun.t w ,U.,. ~) Be.paat de. e.venwic.h.t6-1>.tande.n van OP e.n onde.Jtzóek. hun -~>.tab~e..{..t. ·b) Ve -~>:ta.a.6 OP wo!td.t gedw9ngen me..t c.onö.ta.n.te hoek.-i>nq.hud w om 0 .te dtt.a.tU.en • .{.) GeU.t nu T + U = c.qnó.ta.n.t? Waaltom [ n.{.e;t) ? I 1

1

,{.,{.) Be.paat T e.n

U vaniP.

Bw.{.j-6 Uw antwoo!td op.{.).

-------~----~~-~-~~~====--------~-

,.,.-.-_,_.,~

- V,71 -

17, Een satelliet S, massa m, wordt door het middelpunt van de aarde 0 aangetrokken door een kracht F volgens

'$

mk

F

\

~r

2 r

I I

waarin k een constante is en r

re

-r

de

F

r

positie van S t.o.v. 0.

I

afstand a van 0 met een beginsnelheid

i)

11fo \

De satelliet wordt afgeschoten op een ~O

I

0

loodrecht op OS,

a.

Bepaal de kinetische en potentiële energie van S en formuleer de energiebehoudwet voor dit systeem.

ii)

Bewijs dat het impulsmoment om 0 van S behouden blijft en schrijf deze relatie uit. Bepaal hieruit

ë

iii) Stel een vergelijking op voor

als functie van r.

r

als functie van r.

iv)

Hoe groot mag v hoogstens zijn, opdat de afstand van S tot 0 begrensd 0 blij ft?

v)

Voor welke waarde vo gaat s in een cirkel om a bewegen? Bewijs dat als vo groter (kleiner) is dan de bij v) gevonden waarde dat

vi)

dan r

2:

a (r

<;

a).

18. Een massapunt P, massa m, ligt op een

horizontale schijf met wrijvingscoefficient f. Het punt P is door een koord, lengte t, verbonden met het middelpunt 0 van de schijf. Op t

=

0 is P in rust en

begint de schijf plotseling om 0 te roteren met hoeksnelheid w. i)

Stel de energiebalans voor P op. Komt deze overeen met T + U

ii)

Bepaal de snelheid van P als functie van de afgelegde hoek.

constant?

iii) Bewijs dat P na verloop van tijd met de schijf meebeweegt en bepaal de door P tot dit tijdstip afgelegde weg.

..

"'-~--

---~----

-·

--

-V.72-

19. Een, in een verticaal vlak gelegen cirkelvormige, massaloze schijf, straal R, mid-

delpunt 0, rust op twee vaste gladde pennen A en B. A en B liggen op een horizontale lijn en de hoek BAO is a (0
Geef uitdrukkingen voor de kinetische en potentiele energie van P.

ii)

Bepaal de hoeksnelheid van de schijf als functie van de hoekverdraaiing.

iii) Hoe groot is de snelheid van P in het laagste punt van zijn baan? iv)

Wat is de maximale hoogte die P aan de andere kant van 0 bereikt?

20.

a

ma.J.>.Mpun;t P, ma.J.>-ba m, kan zondeJr. w!Ujving güjde.n lang<~ e.e.n va.J.>.te., hoiUzo n.tale. Jte.c.h.te. 1: • He..t pun.t P .{;., via e.e.n ve.eJr., ve.eJr.c.o m.tan.te. k, ongu pannen ve.e.Jt.te.ng.te. 9, 0 , ve.Jtbo nde.n me..t een va.J.>.t pun;t A da.t e.e.n a6-<~.tand a ba ven J: üg.t. Een

i) UI

Bepaal de. kine.ti-be.he. en po.te.ntiUe evteJr.gie. vavt P. Bepaal de e.venwic.h.tM.tande.n van P. Toon aan da.t P -<~.f.ec.h.t:-6 an evenwic.h.t:-6-<~:tand heeM w R- ,; a en d!Ue a.t-6 R- > a. 0 0 iül OndeJr.zoek de -<~.tab~ei.t van de ondeJr. iül gevonden eve.nwic.w-6.tanden.

- V, 73 -

21.

f f",o 0

j

Een massapunt P, massa m, kan zonder wrijving bewegen langs een horizontale rechte L. Aan P zit een oog waardoor een elastisch koord loopt met veercon-

stante k en te verwaarlozen kleine engespannen lengte. De beide eindpunten van dit koord zijn bevestigd in twee vaste punten A en B welke in het verticale vlak door L liggen op de in de figuur aangegeven wijze. We onderscheiden de twee gevallen: a) het koord kan zonder wrijving door het oog glijden; b) het midden van het koord is vast aan het oog bevestigd. Beantwoord voor beide gevallen de volgende vragen. i)

Hoe groot is de potentiële energie?

ii)

Welke zijn de evenwichtsstand(en) van P?

iii) Zijn deze stand(en) stabiel?

22.

Een massapunt P, massa m, kan zonder wrijving bewegen in een, in een verticaal vlak gelegen cirkelvormige buis met straal R. P is via een elastiekje, veerstijf-

heid k, engespannen veerlengte nul, verbonden met het hoogste punt 0 van de buis. i)

Bepaal de totale

potenti~le

energie.

- V. 74 -

ii)

Bepaal de even~ichtsstanden van P, Bewijs dat de stand 8

=

0 (P in 0)

de enige evenwichtsstand is als (kR/mg) ~ 1, en dat er meerdere evenwiehtsstanden zijn als niet aan deze relatie voldaan is. iii) Bewijs dat de stand 8

=

0:

stabiel is als (kR/mg) > I, en instabiel is als (kR/mg) < I.

23. BV>chouw de opgaven 15 en 16 uM:

i I

§

4.4. Zd de vaoJtgv.,chJteven Jto:f:o.;t{_e J.>ill.

Bepaal de cen..t!tif,u.gaalpa:tentiaa.t.

M.J Welke "eneJtgie-behoudwu" geld:t in hu '->illgeze:t:te

Mrnel? Lud:t

hieJtuM: de beweging'-> veJtgeüjkirtg a1). i-U) Bepaal de kindif.>che eveYUA!ic.h:tM:tanden; hoeveel zijn eJt en Waalt .hcmg:t

di:t aan:tal van a1l? vi)

OndeJtzoek de J.>:tabiü:tei:t van de bij ili) gevonden '.>:tanden.

24.

h

,.

h

.--L-~-- ----·--~

B

Een staaf PQ kan zonder wrijving in horizontale richting ·glijden. langs een vast punt o van een vaste verticale as l. PQ kan t.o.v. l alleen transleren en niet roteren. De staaf is massaloos, heeft een lengte 2t in zijn eindpunten P en Q zijn twee massapunten, beide met massa m, bevestigd. Het midden van de staaf PQ is via twee identieke veren verbonden met twee vaste punten A en B op l

op afstand h boven resp.

onder PQ. De veren hebben veerstijfheid k en Het verticale vlak door l en PQ roteert met hoeksnelheid w om de verticale as l.

- V. 75 -

i)

Hoeveel graden van vrijheid heeft dit stelsel?

ii)

Bepaal de bewegingsvergelijking(en).

iii) Bepaal die standen van PQ, waarvoor PQ in rust kan blijven t.o.v. het roterende verticale vlak (kinetische evenwichtsstanden} • iv}

onderzoek de stabiliteit van de bij iii) gevonden kinetische evenwichtsstanden.

z

25.

Een verticaal vlak (x-as horizontaal, z-as.verticaal) roteert met constante hoeksnelheid w om de z-as. In dit verticale vlak bevindt zich een starre draad waarlangs een kraal met massa m zonder wrijving kan bewegen. De versnelling van de zwaartekracht bedraagt g. (i)

Bereken in het "stilgezette" x-z-vlak de schijnkracht die het massapunt, ter plaatse cx ,z l en met snelheid cx 0 0 0 vindt.

(ii)

,z 0 )

onder-

Bereken in het stilgezette vlak de potentiêle energie U(x,z), U(O,O}

= 0,

voor de resultante van de schijnkracht uit (i)

en de zwaartekracht. (iii)

Neem aan dat de starre draad van de vorm z

= x2

is. Op t = 0

bevindt de kraal zich in (0,0} en heeft de snelheid voe • -x Bereken, als functie van w en v , de maximale hoogte die de 0 kraal bereikt.

- V.76-

Schrijf als w

(iv)

=0

een integraaluitdrukking op voor de tijd die

de kraal nodig heeft om in (0,0) terug te keren. (v)

Beantwoord vraag (iii) voor het geval dat de starre draad de vorm z

(vi)

= x4

heeft.

Bepaal in geval (v) een positie, anders dan (0,0), op de draad waar de kraal zich in evenwicht kan bevinden.

26.

a

Een wagon beweegt met constante versnelling a langs een rechte lijn. Aan een punt A van het plafond van de wagon is via een koord, lengte i, een massapunt P, massa m, bevestigd. Op zeker tijdstip t

maakt het koord een 0 hoek e0 met de verticaal door A en is P in rust t.o.v. de wagon. Bepaal

e0 ,

opdat P in rust blijft t.o.v. de wagon. Hoe groot is dan de

spankracht in het koord? Is deze stand (in)stabiel?

I )

- v.n-

27.

Een halter bestaande uit een massaloze staaf, lengte ~, en twee massapUnten A, massa mA, en B, massa m , beweegt in een horizontaal vlak. 8 Een puntO' van de staaf op afstanddvan A beweegt langs een rechte J:. in het vlak met een voorgeschreven constante versnelling a.

i)

Hoeveel graden van vrijheid heeft het systeem?

ii)

Hoe groot moet d worden glenomen opdat iedere stand een evenwichtsstand is? '

iii) Neem aan dat d niet gelijk is aan de onder ii) gevonden waarde, en be'

wijs dan da~ er twee eve~~ichtsstanden bestaan. iv)

Bewijs dat van de onder i:ii) gevonden evenwichtsstanden er een stabiel

en een instabiel is.

Antwoorden

(H.S.)

2. ii) 26,2 x 10 lm(a

2

cos

32

2

2 2 2 J; 0,456eV; lm[V (J +w t ) + 2wr 2

wt + b

0

v

2 + w r;J;

2 2 2 2 sin wt); jm[(i:- 1 ) - 2wRi:' sin wt + w R J;

1 (. 2 zm r + w2 r 2) ;

2( 2 . 2 • 2) j [ 2( w S1n ~ + ~ ; ,m w R +

l mR

3. iv) a) -ex; v)

a) -ce ·

-x'

b) -lex

b)

2 (x

d) -(1 +x+y)e

-x

-

2

Jl,

sin 8)

2

+

Jl,

2. 2 e J.

c) c r

c

2 3/2 (x~x + y~y);

+y )

(I +x+y)e · -y'

c) -(2ax+by)e

-x

-

(bx+2cy)e; -y

e) - (r +cos e +sin e)~r + (sin e- cos 8)~8.

- V. 78 -

4. iii) x

b

e =

eel =

iv)

stabiel als a > a.

2ä'

= TI,

stabiel.

5 2 a) - t e + ( t 3 - t) e , 2 -x -y

6. i)

b)

x~x ±

a)

8I

2 4 2 t (4t + 17t +4);

iii) a)

8I

2 4 2 t (4t + 17t + 4);

ii)

v)

x

•

ziDX

2

3 - y + y 2

I

max

9. i) mgR( I - cos 8) ;

-v js~n o: - f cos a. mits f < tan a. a S1n a + f cos a ,

ii) mgy (y: zakking).

q2E 12

2 2mva i i) mgh;

!I. i) mgh;

iii) mgh.

ii) x vanuit t

x vanuit x

I

•

2 rnx

2

I

+ 2kx

14. i) lzgh;

15. i i)

x(x) x(x)

i i i) x

-

a eX

!ml1: 2

iv) Ja;

13.

.

iii) mgx sin a;

zmvo;

2 va x(a) -vo; 2g sin a , 2 va x(a) 2g(sin a + f cos a)

max

vi) x

l

i i)

I 2 2 b) :zx +y(l-y). I 2 2 b) :zx +y(l-y).

u = -!x 2

b) Ja;

-mgx sin a;

v)

(aanvankelijk: +teken).

lzy(I-i)

a) Neen;

8. i)

10.

ee2

a, instabiel en

+

2

=

x - x

~~kx 2

...

=

. .)

11

~I +

j1

k

2 _)~(x m a

-1; x~-

mg x - k): U(x)

: U(x) = -mg(t + x) + jkx 2 2 a -2 m g + (Zi.( - mgta); 2kx 1

constant.

- mgx

cons.tant;

k rust

a

0

•2 l mx + 2

1

zkx

2

-fmgx + constant .

+ 2kh]. mg

2 x ) - 2fg(xa- x) 2fg(xa- x)

2

- 2mgf xa + xa •

(x> a, x: indrukking veer);

(x< a).

2

- V, 79 -

2 2 Ja; !mR ë + mgR sin 8

16. a) i)

2mgR·,

i i)

iii) 8el

=

+ 4R8-

fw 2

cOnstant.

w•

~ (bovenste punt), instabiel en 8e2 (onderste punt)

stabiel. b) i) Neen. I 7 , i) i i)

I

1 2•2 '2 + zmr e

mk

2 mr

2

wt + 8(0)).

a

(I -~)[(I + ~)v2 - 2k ].

r

~ a

r

0

a

[f.. a

v)

ii) 8

19, i) T =

8 (8

s~n

mk

mv 2 0

l

r

.

mgR

=

avo -2r

8

.2 iii) r iv)

1 2w2 , U ,mR

ii) T

I

2fg 8.

iii)

,

~

.

\mR2 ë2 , U= -mgR sin 8;

,2w2 2fg x,

sin e;

ii) 8

iii) lzgR;

iv) hoogte van 0. 20. i) i i)

1

•2

=

0, x

u

,mx

T

x el

!kx

2

1

~O

xe , : stabiel als 2 3

i i)

u

a) x

e

c[x

2

+

2~,

a2 , mits ~0

+h2 - 0

e2,3

iii) xe : stabiel als

b)

2 - k~/x 2 + a2 + \k(a 2 + ~ol. a.


(3~-

b) xe

>

0

>

0.

>a (dus als ze bestaan).

x)

3

2

2

+

S~ 2 J.

~.

iii) Beide stabiel. 22. i)

2 2 U= \kR 8 - mgR(l - cos 8).

ii) 8el kR8e

0, plus eventuele (als kR < mg) andere oplossingen van

= =

mg sin 8e.

1T

2•

- V. 80 -

23. Opgave 15, i)

uc

§

4.4:, (zie ook Opg. 14, H. 3) , 2

-!m.w2r

i i)

I

•

2 mr

!mw 2 r 2

2

C·,

+ jk(r-9-0)2

k 9-0

iii) r =

(één) ;

2

(k- mw ) iv)

2 stabiel als w < k/m.

Opgave 16,

4.4: (zie ook Opg. 13, H. 3)

§

uc

i)

-

1 2

. 2 e; mw 2R2 s1n

c;

i i)

e1

0

instabiel,

82 =

1f

2 stabiel als w < g/R,

iii) iv)

arcos (-

24. i)

Een; ii)

mX

2 +), bestaat alleen als w wR

2 + (k-mw )x= 0;

lkTnï.

iii) iv) x= 0, stabiel als w <

25. i)

2

mw x e' -

i i) U = mgz -

2mwx e ; 0 -y v2 2 0 iii) w < 2g : z = 2 m (2g- w ) iv)

F

-s

0-x

(]

t = 2

v)

zm =

27. i)

Eén:~

2:

2g

0

[~g {1

26. tan eo = a/g;

2 w

~(I +4x 2 )/(v 2 - 2gx) 2 dx,

0 2

s

4 + /1 + sgv;/w }

=

> g/R en is dan stabiel.

f:

mla 2 +l.

(=hoek tussen L en O'A);

Z

m+ (x!

2 2

!nxu x ; oo•

, vo/fig);

- V.81 -

6. Dynamica

v~n

een stelsel van deeltjes

Theorievragen

1. Geef voor een stelsel van N deeltjes de definities van:

EM•

~. ~A en

T .

2. Bewijs dat

I i

E·

M:yM

~

.

3. Bewijs dat

L. ~M = -1nw of te wel dat

Ii

r!

x

E·

-~

~

Ii

r! x E! ~

-~

.

4. Aan welke conditie(s) moet de positie A voldoen opdat: '!.A

~A

Beschouw het volgende voorbeeld:

~~ t'll Een serie massapunten, P

1

t/m Pn' zijn verbonden door koorden en bewegen

over een horizontale tafel. Een massapunt P over de tafel hangt, met P Geldt, voordat P

1

en waarom (niet)?

1

0 is via een koord, dat bij A verbonden en beweegt verticaal naar beneden.

de rand bij A bereikt heeft, de momentenstelling

T

i

om:

- V. 82 -

5. Wanneer blijft van een stelsel

, T + U , -P, -LA' L. -~nw behouden? --~

6. Beschouw

Heeft de indrukking van de veer invloed op: i)

de beweging van het massamiddelpunt,

ii)

de verandering van de impuls,

iii) de verandering van de totale energie? 7. Twee massapunten P

Ez

waarin El en

1

en P

zijn verbonden door een starre staaf. Bewijs dat

2

de posities van P

1

resp. P

2

zijn.

8. Twee. mQ66apunte.n P en P , mQ6~.>a'~.> m1 = 2 kg ~e6p. m2 = 3 kg, bevinden zi~h 1 2 t.o.v. e.e.n ~Mte6iuh Q66e.Mtel;.,e)>_OXYZinde.punte.n (0,1,1) ~e6p. (-1,0,2). P he.e.6;t 1 e.e.n~.>nelheid

m/l.>e.~in

X-M~htivtg

e.n P e.e.n vavt 8 m/M.e 2 van 60° met de. X-Q6, e.ve.vtWijdig aan he.;t XV-vlak. van 10

de.

ovtd~

e.e.n hoe.!<

i)

Seh!tij & beide. Melhe.de.n in

ii)

Be"te.ke.n de.

ili)

B~e.ke.n

de. Melheid van M.

iv)

B~e.ke.n

de. ;to;tate. impul-6 .

v)

B~e.ke.n

vi)

B~e.ke.n

de. J.>nelhe.id van P1 e.n vavt P t.o.v. 2 het totale. impull.>mome.n;t t.o.v. M.

vii)

B~e.ke.n

het ;totale. impull.>mome.nt t.o.v. 0. Doe. dit op twee. manie"te_n.

vili)

B~e.ke.n

de. to:tate. RinctMc.he.

po~.>itie.

ve.w~vo~m.

van het mQ6Mmiddelpun;t M.

e.n~gie..

M.

- V. 83 -

9.

y I

e

-j

x

0

I P,

Drie gelijke massapunten P , P en P zijn door drie massaloze staven, elk 1 2 3 lengte ~. zodanig met elkaar verbonden dat zij de hoekpunten van een gelijkzij.dige driehoek vormen. De snelheden van P , P en P t.o.v. het in de fi2 1 3 guur getekende OXY-stelsel zijn gegeven door:

i)

yl

2e

+ 4e

,

Yz

= o:e

+ Ze

,

y3

= Se

Bepaal a,

-x

-x

-y -y

• -x + ye -y

s

en y.

i i) Bepaal de snelheid van het massamiddelpunt.

2 rnai>M.~!.> rn 1 en 1 lengte ~. Qu.nnen zondeJL wft{jv~ng bewe.ge.n t ; 0 ciJt.cuU;t hU pu.Ytt Pz mU !.>Ytelhud v0 da;t rnorne.Ytt woJtdt lo~.>ge.la;te.n.

I o. Twee m