MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE 2. FÉLÉV
A kiadvány KHF/4365-12/2008. engedélyszámon 2008.08.28. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv
A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.
Matematika szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai tanácsadó: Csatár Katalin, Somfai Zsuzsa Alkotószerkesztő: Ratkó Istvánné, Oláh Judit, Vidra Gábor Grafika: Csákvári Ágnes, dr. Fried Katalin, Lénárt István, Vidra Gábor Lektor: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit
H-AMAT1002 © Szerzők: Csákvári Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Lénárt István, Lövey Éva, Vidra Gábor Educatio Kht. 2008. Tömeg: 770 gramm Terjedelem: 33,73 (A/5 ív)
A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos-szakmai szakértő: dr.Marosváry Erika Technológiai szakértő: Zarubay Attila
tartalom
8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai (Vidra Gábor és Lénárt István) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei (Vidra Gábor és Lénárt István) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
10. modul: Gráfok (Lövey Éva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
11. modul: Kombinatorika és valószínűségszámítás (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa) . . . . . . . . . . . . . . 117 12. modul: Forgásszög szögfüggvényei (Csákvári Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13. modul: Statisztika (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 14. modul: Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek (Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . 217 Mellékletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.
8. MODUL hasonlóság és alkalmazásai Készítette: Vidra Gábor és Lénárt István
6
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
I. Egybevágóságok
TANULÓK KÖNYVE
(ismétlés)
A geometriai transzformáció: a sík vagy a tér pontjaihoz valamilyen utasítással hozzárendeljük a sík vagy a tér pontjait. Ezért geometriai transzformációknak nevezzük a pont a pont függvényeket, amelyeket síkon is és térben is értelmezhetünk. A függvény az értelmezési tartomány minden pontjához pontosan egy elemet rendel, ezért a geometriai transzformációról két dolgot biztosan tudunk: •
a sík, illetve a tér minden pontjának van képe, és
•
egy pontnak pontosan egy képe van.
Az előző évben négy geometriai transzformációt vizsgáltunk: tengelyes tükrözést, középpontos tükrözést, pont körüli forgatást, eltolást. Vannak más geometriai transzformációk is, például térkép készítésekor (többé-kevésbé) gömbfelületet síkká alakítunk, vagy fényképeken a térbeli alakzatok síkra való vetítését és kicsinyítését–nagyítását találjuk, vagy amikor árnyék képződik, a térbeli alakzatokhoz síkbelit rendelhetünk. A tavaly tárgyalt geometriai transzformációk néhány tulajdonsága: •
távolságtartás: bármely két pont távolsága megegyezik képeik távolságával ( AB = A' B' );
•
párhuzamosságtartás: párhuzamos egyenespár képe is párhuzamos egyenespár;
•
szögtartás: bármely két egyenes hajlásszöge megegyezik képeik hajlásszögével;
•
körüljárási irány tartás vagy fordítás: megőrzi, illetve megfordítja az alakzatok körüljárási irányát;
•
illeszkedéstartás: ha két görbe metszi egymást, akkor a görbék képei is metszik egymást (a metszéspontok képe a képgörbék metszéspontja);
•
egyenestartás: egyenes képe egyenes.
Egybevágóságoknak nevezzük a távolságtartó geometriai transzformációkat.
Mi továbbra is elsősorban síkbeli transzformációkkal foglalkozunk.
7
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Feladatok 1. Add meg, hogy melyik ábra a geometriai transzformációk mely tulajdonságát (vagy tulajdonságait) szemlélteti! a)
b)
c)
d)
e)
2. Jelöld be a táblázatba +/– jelöléssel, hogy melyik transzformációnak milyen tulajdonságai vannak! Tulajdonság
tengelyes középpontos tükrözés
forgatás
eltolás
tükrözés
távolságtartó szögtartó egyenestartó párhuzamosságtartó illeszkedéstartó körüljárási irányt tartó körüljárási irányt fordító
3. Milyen alakzatokat alkot a derékszögű háromszög és tükörképe együtt, ha a háromszöget tükrözzük az a) átfogójára; b) átfogójának felezőpontjára; c) egyik befogójára; d) egyik befogójának felezőpontjára?
8
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
4. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha köré írt körének sugara 4 cm, egyik befogója 5 cm! Tükrözd a háromszöget beírt körének középpontjára! Milyen síkidom a két alakzat metszete?
5. Rajzolj egy háromszöget, és szerkeszd meg a magasságpontját! Tükrözd a magasságpontot az oldalak egyeneseire, és szerkeszd meg a képpontok által meghatározott háromszög köré írható kört! Mit tapasztalsz?
6. Tükrözd a szög e és f szárát a P pontra! Jelölje R az f és az e’ egyenesek, Q az e és f’ egyenesek metszéspontját. Mi a kapcsolat P és a QR szakasz között?
7. Az alábbi ábrán egy térkép részlete szerepel. A gátőr azt a feladatot kapta, hogy vigyen a vizsgáló állomásra vízmintát a folyóból. Milyen irányba induljon el a gátőr, ha a lehető legrövidebb úton akar eljutni a vizsgáló állomásra a folyó érintésével? Szerkeszd meg az utat!
8. Tomi azt a feladatot kapta édesapjától, hogy ellenőrizze a villanypásztor működését mindkét megjelölt, egyenes szakaszon. A házuk egy meredek hegyoldal tövében áll, azon az oldalon nincsen kerítés. Szerkeszd meg Tomi útját úgy, hogy a legkevesebbet kelljen mennie!
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
9
9. Tervezd meg a következő logó négyzetét, ha adott a két szögszár és az S pont! Ezeket te rajzold meg magadnak az ábrának megfelelően.
10. Szerkessz négyzetet az alábbi körszeletbe úgy, hogy egyik csúcsa a megadott P pont legyen, és egy-egy csúcsa legyen a d átmérőn, illetve a köríven (a negyedik csúcsa mindegy, hová esik). Készíts vázlatot a feladat megoldásához!
Két síkidomot egybevágónak nevezünk, ha véges sok egybevágósági transzformáció egymást követő alkalmazásával egymásba vihetők.
A háromszögek egybevágóságára négy alapesetet tanultunk. Két háromszög egybevágó, ha •
oldalaik páronként egyenlők ( a = a'; b = b'; c = c' );
•
két oldaluk és az általuk közbezárt szög páronként egyenlő ( a = a '; b = b'; γ = γ ' );
•
két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög páronként egyenlő ( a = a'; b = b'; β = β ' );
•
egy oldaluk és a rajtuk fekvő két szög páronként egyenlő ( a = a'; γ = γ '; β = β ' ).
10
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 11. Adott az ABC háromszög, és az A pont tükörképe: A’. Szerkeszd meg a tükörtengelyt
és a háromszög képét!
12. Add meg azoknak az egybevágósági transzformációknak a sorozatát, amelyekkel az
ABC háromszög átvihető az A’B’C’ háromszögbe!
13. Igazak-e a következő állítások:
a) Két háromszög egybevágó, ha súlyvonalaik páronként egyenlők. b) Két háromszög egybevágó, ha megfelelő szögeik páronként egyenlők. c) Két egyenlőszárú háromszög egybevágó, ha alapjuk és az egyik szárhoz tartozó magasságuk páronként egyenlők. d) Két négyszög egybevágó, ha megfelelő oldalaik hossza páronként egyenlő. e) Két négyszög egybevágó, ha három megfelelő oldaluk hossza és a három közötti két-két szög is páronként egyenlő.
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
11
14. Keress a képen egybevágó háromszöge-
ket, négyszögeket!
15. A szabályos háromszög oldalainak negyedelő pontjait
az ábra szerint összekötöttük. Igazold, hogy a keletkező háromszög is szabályos!
16. Igaz-e, hogy a háromszögben egy adott csúcshoz tartozó súlyvonal egyenese egyenlő
távolságban van a másik két csúcstól?
17. Az ABC derékszögű háromszög átfogójára és egyik be-
fogójára négyzeteket állítunk, majd berajzoljuk az ábrán látható CQ és AP szakaszokat. Igazold, hogy ezek hossza egyenlő!
12
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
II. A hasonlósági transzformáció Az egybevágó alakzatok megfelelő méretei megegyeznek, az alakzatok pontosan fedésbe hozhatók. A hasonló alakzatoknak a lényege az, hogy „formájukban”, alakjukban megegyezzenek. Azért vigyázni kell a dimenziókkal: egy bölény a barlang falán megszólalásig hasonlíthat egy élő bölényre, de mégsem mondhatjuk, hogy a kettő hasonló (például mert egyik
két-, a másik háromdimenziós). A matematikában a hasonlóság szigorú fogalom, a nagyításhoz-kicsinyítéshez kötődik. Gyakorlati haszna szinte felsorolhatatlan. A geometriai transzformációknak több fajtáját ismerjük. Az egybevágóságok mellett hasonlóság, vetítések stb. is szerepet kapnak sok gyakorlati alkalmazásban.
Például a tengelyes tükrözést így definiáltuk: Adott a síkon egy t egyenes (tengely). Rendeljük t pontjaihoz önmagukat. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy a P’ pontot, hogy a PP’ szakasz felezőmerőlegese a t egyenes legyen. Az így meghatározott geometriai transzformációt tengelyes tükrözésnek nevezzük. A geometriai transzformációk használatára példa a térképek készítése. A feladat egy gömbsüveg síkban történő ábrázolása lehetőleg úgy, hogy megmaradjanak a távolságok arányai, a szögek nagysága. Ezt úgy érik el, hogy a földfelszínt kisebb szeletekre bontják (mint a narancs héjának kis darabja), és ezek a szeletek inkább a síkhoz hasonlítanak, mint a gömb felszínéhez. Ezután mintegy „kivasalják” a terepet, vagyis merőlegesen levetítik a gömbsüveget levágó síkra. A képen ennek a modelljét látjuk a gömbkészlet segítségével.
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
13
A középpontos hasonlósági transzformáció Nagyításhoz (kicsinyítéshez) meg kell adni egy pontot a síkon, és egy pozitív számot, amit a hasonlóság arányának hívunk. Az egybevágóságokhoz hasonlóan nem adjuk meg, hogy mit nagyítunk, ellenben azt meg kell mondani minden pont esetén, hogy mi lesz az adott pontnak a képe. A középpontos hasonlóság definíciója a következő: Adott a síkon egy O pont (középpont) és egy k pozitív szám. Rendeljük O-hoz önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P’ pontját, hogy OP ’ = k · OP legyen.
Pont transzformálása
Egyenes, háromszög transzformálása
A geometriai transzformációk definíciójában pontok képéről beszélünk, ezért minden síkidomot mint ponthalmazt transzformálunk. A síkidomok transzformációja tehát pontjaik transzformálásával történik.
14
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Találkozhatunk olyan matematikai szakirodalommal, ahol a hasonlóság arányszáma lehet negatív is. Ilyenkor k arányú középpontos hasonlóság és a hasonlóság középpontjára vonatkozó tükrözés egymásutánját hajtjuk végre.
Mintapélda1 Az ábrán az ABC háromszöget a P pontból nagyítottuk. Megszerkesztettük a táblázatban szereplő nevezetes vonalakat. Megmértük a táblázatban szereplő adatokat, és meghatároztuk oldalaik, magasságaik, súlyvonalaik, kerületük és területük arányát. Eredményeinket táblázatba foglaltuk:
a = 3,1 cm
b = 3,8 cm
s a = 2,7 cm
K = 9,3 cm
ma = 2,35 cm
T = 3,6 cm2
a ' = 6,2 cm
b' = 7,6 cm
s a ' = 5,4 cm
K ' = 18,6 cm
ma ' = 4,7 cm
T ' = 14,4 cm2
a' =2 a
b' =2 b
sa ' =2 sa
K' =2 K
ma '
T' =4 T
ma
=2
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
15
Általánosságban elmondhatjuk: Ha egy síkidomot k-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor minden távolságadata k-szorosára, területe pedig k 2-szeresére változik.
A középpontos hasonlóság tulajdonságait már megismertük a fenti példák kapcsán. Foglaljuk össze azokat! A középpontos hasonlóság tulajdonságai: aránytartó, szögtartó, egyenestartó, párhuza-
mosságtartó, illeszkedéstartó, körüljárási irányt tartó, nem távolságtartó (kivéve a |k|=1 esetet). Az egyenes képe vele párhuzamos egyenes. Az aránytartás azt jelenti, hogy bármely AB és CD szakaszra igaz az AB : CD = A’B’ : C’D’ kapcsolat (bármely két szakasz hosszának aránya megegyezik képeik hosszának arányával). Szemléletesen fogalmazva, az aránytartó geometriai transzformáció megőrzi a szakaszok hosszainak arányát. A középpontos hasonlóság fixpontja a középpont, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a középponton áthaladó egyenesek.
Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos hasonlóság és egybevágóság véges sok egymás utáni végrehajtásával keletkeznek.
Az olyan síkidomokhoz, amelyek „egyforma alakúak”, vagyis megfelelő szakaszaik aránya és szögeik egyenlők, mindig található hasonlóság, amely őket egymásba viszi.
16
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABCU ~ PQRU).
Mintapélda2 A tortát 6 egybevágó körcikkre osztottuk. Mindegyik körcikkre szeretnénk olyan kört rajzolni, amelyik érinti a körcikk sugarait és határoló ívét egyaránt. Hogyan lehet ezt megszerkeszteni? Megoldás: A feladat általánosan megoldható: adott egy körcikk; szerkessz olyan kört, amely érinti a sugarakat és a körcikk határolóívét is! Első lépés a vázlatkészítés: a kész megoldást elemezve meghatározzuk a szerkesztés elvi hátterét és a szerkesztés menetét. A feladat az O pont megszerkesztése. Segítségül hívjuk a hasonlóságot: a feladat egyik feltételét nem vesszük figyelembe. Szerkesztünk egy olyan kört, amely érinti a sugarakat, de nem feltétlenül érinti a körívet, és meghatározzuk, hogyan nagyítsuk a kellő mértékre. A kis kör középpontját könnyű megszerkeszteni: rajta van a körcikk szimmetriatengelyén, és a sugár merőleges az érin-
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
17
tőre (ezért kijelölünk egy tetszőleges P pontot, abból merőlegest szerkesztünk a szögszárra, és a t egyenessel alkotott metszéspont adja a középpontot). Nagyításkor e és f párhuzamosak maradnak, ezért F-ből e-vel párhuzamost húzva kapjuk az E pontot, amiből a szögszárra merőlegest állítva kapjuk az O pontot. OF adja a kör sugarát.
Feladatok 18. Válaszolj a következő kérdésekre: mit kell megadni, amikor definiáljuk a következő
transzformációkat: •
tengelyes tükrözés,
•
középpontos tükrözés,
•
eltolás,
•
pont körüli forgatás,
• hasonlósági transzformáció? Meg kell-e adni azt, hogy mit transzformálunk? Miért? 19. Egy ötszöget egy pontból nagyítottunk, és az a oldala 2,5 cm-ről 4,5 cm-re változott.
Mekkorák az új ötszög oldalai, ha az eredeti ötszög másik négy oldala: b = 3,6 cm, c = 4 cm, d = 5,2 cm, e = 4,2 cm. Hányszorosára változott az ötszög kerülete és területe?
20. A festők előre kinyújtott karjukban tartott ceruzával méregetik az arányokat. Mekkorá-
nak méri az 1,2 méteres magasságot a festő, ha a modell tőle 4 méterre van, és a ceruzával a szemétől 50 cm-re mér?
21. Egy fényképész a múzeumban egy 150 cm magas képről szeretne fotót készíteni úgy,
hogy az egész kép látható legyen a fotón. A fényképezőgépében 35 mm magas a film, amin a kép keletkezik, és a film az objektívtől 100 mm-re található. Milyen messze tegye a fényképezőgép állványát a képtől? Készíts vázlatot a feladat megoldásához!
22. A történetírók szerint Thalész árnyékuk segítségével
mérte meg a piramisokat úgy, hogy leszúrt egy botot a földbe, és kifigyelte azt a pillanatot, amikor azonos hosszúságú a bot és az árnyéka. Ekkor a piramis árnyéka egyenlő a magasságával.
18
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Peti a testmagasságát akarja hasonló módszerrel megmérni. Leszúr egy botot a földbe, aminek 42 cm-es darabja áll ki. Az árnyék hossza 26 cm. A saját árnyéka 109 cm hosszú. Milyen magas Peti? 23. Mekkora átmérőjű körlapot kell a szemünk elé tartani 50 cm-re, hogy a napot eltakar-
ja? A szükséges adatok: a Nap–Föld távolság kb. 1,5 ⋅ 10 8 km, a Nap átmérője 1,394 ⋅10 6 km.
24. Az ábrán egy téglalapot nagyítottunk (pontosabban
a téglalap AB oldalának nagyított képe, A’B’ látható). Másold át a füzetedbe az ábrát, keresd meg a nagyítás centrumát (középpontját), és egészítsd ki a rajzot!
25. Adott a síkon az ABCDE ötszög. Másold át a füzetedbe,
és nagyítsd az A pontból a háromszorosára!
26. A kék kört egy C centrumból 2-szeresére nagyítottuk. Másold át a füzetedbe, és keresd
meg a nagyítás középpontját! a)
b)
19
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
27. Másold át a füzetedbe az ábrákat, és kicsinyítsd 0,5-szeresére az egyenest és a kört
tartalmazó alakzatot a P pontból! a)
b)
28. Másold át a füzetedbe az ábrákat, és nagyítsd 1,5-szeresére az egyenest és a kört tar-
talmazó alakzatot a P pontból! a)
b)
29. Rajzolj egy általános ABC háromszöget, és szerkeszd meg az S súlypontját. Nagyítsd
abból a háromszöget 2-szeresére, majd a kapott háromszöget tükrözd a súlypontjára! A keletkező háromszögnek milyen vonalai lesznek az ABC háromszög súlyvonalainak egyenesei, és milyen pontjai az A, B, C pontok?
30. Az ABC háromszöget nagyítsd az A csúcsából 2-szeresére, és a kapott
háromszöget tükrözd az A csúcsra! Jelölje a keletkező csúcsokat B’ és C’, BC’ és B’C metszéspontját D. Az A pont milyen nevezetes pontja lesz a DB’C’ háromszögnek?
20
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
31. Rajzolj egy ABC háromszöget. Szerkessz négyzetet, amelynek egyik oldala a három-
szög AB oldalán legyen, és egy-egy csúcsa van a BC és AC oldalakon! 32. Szerkessz egy 60°-os középponti szögű körcikket, és szerkessz bele négyzetet, amely-
nek két csúcsa a határolóíven, egy-egy csúcsa a két sugáron helyezkedik el!
33. Vegyél fel egy szöget és a szögtartományban egy P pontot. Szerkessz olyan kört,
amely érinti szögszárakat, és áthalad a P ponton!
34. Egy ablak tetejét félkör alakúra képezték ki. Szeretnének bele négyzet alakú vésést
készíteni. Hogyan szerkesszék meg azt a négyzetet, amelynek két csúcsa a körszelet határoló ívén, másik két csúcsa a határoló egyenesén található?
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
21
III. Párhuzamos szelők tétele A tapasztalatok alapján felírható két tétel (amelyeket természetesen be is lehet bizonyítani): Párhuzamos szelők tétele: ha egy sík két egyenesét párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik egyenesen keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik egyenesen keletkezett szakaszok arányával.
Ez igaz a szög csúcsától a metszéspontokig terjedő szakaszokra is, és a metszéspontok közötti szakaszokra egyaránt.
Párhuzamos szelőkkel sokszor találkozunk a hétköznapokban is:
Jól szemléltethető a tétel olyan ábrával, ahol a két száron nem egyforma léptékeket használunk:
22
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Párhuzamos szelőszakaszok tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által a szögszárakból lemetszett megfelelő szakaszok (szeletek) arányával.
y a+b p+q = = x a p
A párhuzamos szelők tétele csak megszorítással fordítható meg. Párhuzamos szelők tételének megfordítása: Ha egy szög szárain a szög csúcsából kiindulva azonos arányú szakaszokat mérünk fel, akkor a szakaszok megfelelő végpontjait összekötő egyenesek párhuzamosak egymással.
Ha
a+b p+q = , akkor x || y . a p
Mintapélda3 Keressük meg a megfelelő arányokat, és töltsük ki a táblázat hiányzó részeit! a
b
p
10
15
q 25
x
y 18
Megoldás: A párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele miatt fennálló egyenlőségek értelmében y a+b 18 25 = , ahonnan = , ahová behelyettesítve az ismert értékeket x a x 10 x=
18 ⋅ 10 a+b p+q = 7,2 egység. Szintén fennáll az = egyenlőség, behelyettesítve a p 25
250 50 25 p + 25 = . Ebből adódik, hogy p = = ≈ 16,7 egység. 10 p 15 3
23
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Mintapélda4 Osszunk fel egy adott AB szakaszt 2:5 arányú részekre! Megoldás: A párhuzamos szelők tételét hívjuk segítségül: mérjünk fel egy segédegyenesre A-tól kezdve 2 + 5 egységnyi segédszakaszokat.A Q végpontot összekötjük B-vel, és a második
osztóponton
át
párhuzamost
szerkesztünk
ezzel
a
szakasszal.
Így
az
AP : PB = 2 : 5 is teljesül.
Mintapélda5 Az ABCD rombusz BC oldalának H harmadoló pontját összekötjük a D csúccsal, és a DH egyenes és AB egyenes metszéspontját P-vel jelöljük. Mekkora a BP szakasz hossza, ha a rombusz oldala 12 cm? Megoldás: HB a BC = AD szakasz harmada, a párhuzamos szelőszakaszok tétele szerint BP is harmada az AP szakasznak. 12 + x = 3 x , innen x = 6 .
A keresett távolság tehát 6 cm.
Feladatok 35. A párhuzamos szelők tétele ismét olyan tétel, amely megszorításokkal megfordítható.
Fogalmazzuk meg „akkor és csak akkor”, valamint „szükséges és elégséges” kifejezések használatával!
24
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
36. Keresd meg a megfelelő arányokat, és számítsd ki a táblázat hiányzó részeit!
a
b
p
q
x
10
15
25
18
2
5
7
6
12
14
8,4
16
11,2
3
4,2
12
5
y
14,4
6
16,8
4
12
20
16
12
9
42
6
10
15
32
37. A faház tetejének háromszög alakú homlokzatát 25 cm széles deszkával szeretnénk
befedni, egymás alatti csíkozással. Összesen mennyi deszkára van szükség, ha a homlokzat magassága 175 cm, és az alapzat szélessége 3,5 méter? 38. A létrát milyen hosszú lánc fogja össze a létra magasságának alulról mért harmadánál,
ha a talajon a két szárának távolsága 81 cm? 39. Rajzolj egy 7 cm hosszúságú szakaszt, és oszd fel a következő arányú részekre:
a) 2:7;
b) 3:5;
c) 75% : 25%;
d) 40% : 60%;
e) 45% : 55% !
40. Az ABCD téglalapban AB=12, BC=8 egység, az AC átló harmadoló pontjai P és Q.
Mekkora a DPBQ négyszög területe?
Szögfelezőtétel A háromszögben a szögfelező a szemközti oldalt két részre bontja. A tapasztalatokból leszűrhetjük, hogy ezek hossza kapcsolatos a szomszédos oldalak hosszával. A háromszögben a belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. Ezt az összefüggést szögfelezőtételnek hívjuk.
A szögfelezőtétel bizonyításához felhasználjuk a párhuzamos szelők tételét.
25
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Mintapélda6 Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c1 és c2 részekre osztja a c oldalt. c1 hoszszáról tudjuk, hogy a c hosszának 30%-a, c2 hossza 1,4 cm. A két másik oldal különbsége 1 cm. Mekkora a háromszög kerülete? Megoldás: A kerület kiszámításához először meghatározzuk az oldalakat. c2 a c 70%-a, vagyis c 2 = 0,7 ⋅ c = 1,4 , ahonnan c = 2 cm, c1 = 0,6 cm. A másik két oldal a és b = a + 1 .
A szögfelezőtétel szerint
a 0,3 a c1 = . Így 0,7a = 0,3 ⋅ (a + 1) , ahonnan = , így a + 1 0,7 b c2
a = 0,75 cm és b = 1,75 cm. Ellenőrzésként megvizsgáljuk, hogy van-e ilyen háromszög. Az oldalakra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál. A kerület 2 + 0,75 + 1,75 = 4,5 cm.
Feladatok 41. Számítsd ki a táblázat hiányzó részeit!
c1
c2
c
a
b
8 cm
1 dm
135 mm
4 cm
5 cm
6 cm
5 cm
4 cm
3 cm
3 cm
8 cm
15 mm
12 cm 2,5 dm
86, 4 mm
18 cm 11, 25 cm
3 dm
42. Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c1 és c2 részekre osztja a c oldalt. c1
hosszáról tudjuk, hogy a c hosszának 43,75%-a, c2 pedig 6,75 cm. A két másik oldal különbsége 2 cm. Mekkora a háromszög kerülete? 43. Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c1 és c2 részekre osztja a c oldalt. c1
hossza
60 , c hossza 20 egység, a másik két oldal összege 28 egység. Mekkora a há7
romszög kerülete? Speciális-e a háromszög?
26
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
IV. Háromszögek hasonlósága A testek és síkidomok hasonlósága adja a hasonlóság gyakorlati hasznát: kicsinyítve vagy nagyítva megalkothatjuk a tárgyak modelljeit, és azon kísérleteket hajthatunk végre (például szélcsatornában hajómodelleken, vagy kilengési teszteket megépítendő toronyházak modelljein). Hasonlóság nélkül nem lenne fényképezés, kivetítés a rendezvényeken és nem értenénk meg azt sem, hogyan keringenek a bolygók a naprendszerben, vagy éppen az elektron az atommag körül. A síkidomok hasonlóságának vizsgálatát a háromszögek hasonlóságának vizsgálatával kezdjük. Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő. A háromszögek esetén ez megfordítható állítás: ha a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő, akkor hasonlóak.
A háromszögek hasonlóságának alapesetei Két háromszög hasonló, ha
•
⎛ a ' b' c ' ⎞ megfelelő oldalainak aránya megegyezik ⎜ = = ⎟ ; ⎝a b c⎠
•
két-két szögük páronként egyenlő
•
két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik a ' b' ⎛ ⎞ ⎜ például = és γ = γ ' ⎟ ; a b ⎠ ⎝
•
két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik a ' b' ⎛ ⎞ = és β = β ' ⎟ ; ⎜ például b > a esetén a b ⎝ ⎠
Ezek a megállapítások a hasonlósági transzformáció definíciójával igazolhatók.
( pl. α = α ' , β = β ') ;
27
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Természetesen az arányok át is rendezhetők, így az mákban is: a '⋅b = a ⋅ b' , illetve
a ' b' = arány felírható a következő fora b
a a' = . b b'
Háromszögek hasonlóságának igazolásához az esetek többségében valamelyik alapeset teljesülését látjuk be.
Mintapélda7 Igazoljuk, hogy ha egy háromszöget „elvágunk” az egyik oldalával párhuzamos egyenessel, a keletkező kisebb háromszög az eredetihez hasonló! Megoldás:
β = β ' , mert egyállású szögek, α szögük közös, ezért a két háromszög szögei megegyeznek. Teljesül a háromszögek hasonlóságának egyik alapesete, ezért a két háromszög hasonló.
Mintapélda8 Az ábrán a kör O középpontjából kiinduló g egyenes párhuzamos az AB húrral, e a kör B pontbeli érintője, M a húr felezőpontja. Igazoljuk, hogy OBM háromszög hasonló a TOB háromszöghöz! Megoldás: A húr felezőmerőlegese OM, ezért M-nél derékszög van. A sugár merőleges az érintőre az érintési pontban, így az OBT szög is derékszög.
α = β , mert váltószögek. A két háromszögnek van két egyenlő szögpárja, teljesül a háromszögek hasonlóságának egyik alapesete. A két háromszög tehát hasonló.
28
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 44. Az ABC háromszög oldalfelező pontjai P, Q és R. Milyen
hasonló háromszögeket találunk az ábrán? A hasonlóságnak melyik alapesete teljesül?
45. P és R harmadoló pontok. Igazold, hogy ABCU ~ PBRU !
46. Keress hasonló háromszögeket az ábrán! P az ABC szabályos
háromszög
köré
írható
kör
egy
tetszőleges
pontja
(P ≠ A, P ≠ B, P ≠ C ) .
47. Az ABC háromszög köréírt körének C csúcsbeli érintője az e
egyenes. A BC oldallal párhuzamos, A csúcsból kiinduló félegyenes e-t a P pontban metszi. Igazold, hogy ABCU ~ PCAU!
48. Igazold, hogy a hegyesszögű háromszögben a magasságvonalak talppontjai által meg-
határozott (ún. talpponti) háromszögnek az oldalai az eredeti háromszögből ahhoz hasonló háromszögeket vágnak le!
29
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Mintapélda9 Egy trapéz két alapja 16 és 10 cm. Milyen arányban osztják egymást az átlók? Megoldás: Az átlók metszéspontjánál két olyan háromszög keletkezik, amelyeknek egyik oldala a trapéz alapja. Ezek a háromszögek hasonlóak, mert szögeik egyenlők (P-nél csúcsszögek, α = α ' váltószögek): APBU ~ CPDU. A hasonlóság miatt a megfelelő oldalak aránya egyenlő:
16 y = . x és y éppen egy átló két darabja, és az 10 x
arány mindkét átlóra fennáll. Egyszerűsítve a törtet, a keresett arány tehát 8 : 5. Az eredményt jegyezzük meg: a trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást. Sokszor okozhat problémákat az arány felírásakor, hogy melyek a háromszögekben az egymásnak megfelelő oldalak. Jegyezzük meg, hogy az egymásnak megfelelő oldalak mindig az egyenlő szögekkel szemben vannak.
Mintapélda10 A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által határolt háromszög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok hossza 12 cm és 4 cm, a száraké 8 cm és 3 cm? Megoldás: A szögek egyenlősége miatt ABEU ~ DCEU. A megfelelő oldalak aránya
12 8 + x 3 + y = = . x y 4
Az x-et tartalmazó arányok egyenlőségéből 3 =
8+ x , x
3x = 8 + x , ahonnan x = 4 , hasonlóan y = 1,5 . A kiegészítő háromszög oldalai tehát 1,5 cm, 4
cm és 4 cm.
30
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 49. Rajzolj egy szimmetrikus trapézt, amelynek alapjai 5 cm és 7 cm, magassága 3 cm!
a) Húzd be az átlókat, és számítsd ki azok hosszát! b) Keress hasonló háromszögeket, és indokold a hasonlóságot! c) Számítsd ki, hogy mekkora darabokra osztják az átlók egymást! d) Húzz az alapokkal párhuzamos szakaszt az átlók metszéspontján keresztül az ábrának megfelelően! Mekkora ennek a szakasznak a hossza? Megegyezik-e ez a szakasz a trapéz középvonalával? A szakaszt mekkora darabokra osztja az átlók metszéspontja?
50. Egy trapéz két alapja 12 cm és 5 cm. Milyen hosszúságú szakaszokra osztják egymást
az átlók, ha azok hossza 8 cm és 11 cm?
51. Egy szimmetrikus trapéz alapjai a és b. Mekkora darabokra osztja az átlók metszés-
pontja a d átlókat, ha a) a = 10 cm, b = 6 cm, d = 12 cm; b) a = 12 cm, b = 6 cm, d = 10 cm.
52. Egy trapéz két alapjának hossza a és c. Húzzunk az átlók metszéspontján keresztül
párhuzamost az alapokkal, és számítsuk ki, mekkora darabokra osztja ezt a szakaszt az átlók metszéspontja, ha a) a = 12 cm, c = 6 cm; ;
b) a = 10 cm, c = 7 cm;
c) a = 120 mm, c = 85 mm ?
53. Mekkorák a trapéz kiegészítő háromszögének oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik
alappal kezdve rendre a) 10 cm, 6 cm, 3 cm, 4 cm;
b) 11 cm, 5,4 cm, 6 cm, 3,5 cm;
c) a, b, c, d ?
54. Egy trapéz alapjai 15 cm és 20 cm, szárai 8 cm és 10 cm.
a) Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai? b) Mekkora annak az átlók metszéspontján átmenő, alapokkal párhuzamos szakasznak a hossza, melynek végpontjai a szárakon helyezkednek el?
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
31
55. Egy piramis magasságát úgy határozzuk meg, hogy
segítségül hívjuk társunkat: a piramis és közöttünk oda állítjuk, ahol a sisakja legfelső pontja éppen egyvonalban látszik a piramis tetejével. A piramis tőlünk 2,4 km távolságban van, a társunk 5,52 méterre. A szemünk 162 cm magasan, társunk sisakjának legfelső pontja 192 cm magasan van a talaj fölött. Milyen magas a piramis?
A háromszög súlyvonalai Rajzoljuk be az a, b és c oldalú háromszög sa és sb súlyvonalait az ábrának megfelelően. P és R oldalfelező pontok, ezért PR középvonal. A középvonalról két dolgot tudunk: •
párhuzamos az általa nem metszett oldallal, és ebből az következik, hogy ABRP trapéz;
•
fele a vele párhuzamos oldalnak, vagyis PR =
c . 2
A trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást, ami most éppen 1 : 2 arány. S tehát harmadoló pontja mindkét súlyvonalnak. Hasonlóan belátható, hogy a c oldalhoz tartozó súlyvonal is éppen az Sb P-hez közelebbi harmadoló pontján, vagyis S-en megy keresztül. Két állítást is igazoltunk: A háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást (súlypont). A súlypont harmadolja a súlyvonalakat (a csúcs felé eső rész a hosszabb).
Ezzel kiegészültek a háromszögek nevezetes vonalaira vonatkozó ismereteink. Ismételjük át a nevezetes vonalakat!
32
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Magasságvonalak: a háromszög csúcsaiból a szemközti oldalakra bo-
csátott merőleges egyenesek; egy pontban, a magasságpontban metszik egymást. Oldalfelező merőleges egyenesek: az oldalfelező pontokon átmenő,
az adott oldalra merőleges egyenesek; egy pontban, a háromszög köré írt kör középpontjában metszik egymást.
Szögfelezők: a szögeket felező egyenesek; egy pontban, a háromszög
beleírható körének középpontjában metszik egymást; a belső szögfelezők a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztják (szögfelezőtétel). Súlyvonalak: a csúcsokat a szemközti oldal felezőpontjával összekötő
egyenesek. Egy pontban, a súlypontban metszik egymást, ami harmadolja a súlyvonalakat (a csúcsoktól távolabbi harmadoló pontban). Érdekesség: MOS – a magasságpont, a köré írható kör középpontja és a súlypont egy egyenesre, az ún. Euler-egyenesre esnek.
Mintapélda11 Egy konvex ABCD négyszögben az AB és AD oldalak A-hoz közelebbi harmadolópontjából és BC és CD oldalak felezőpontjából alkottunk négyszöget. a) Lássuk be, hogy ez a négyszög trapéz! b) Mekkora a párhuzamos oldalak aránya? c) Milyen arányban osztja egymást a PR és az SQ szakasz? Megoldás: a) Rajzoljuk meg a BD átlót! Ekkor az ASP és ADB háromszögekre teljesül, hogy 2-2 megfelelő oldal aránya megegyezik, és a köztük levő szög egyenlő. ASPU ~ ADBU, amiből AP || DB. Hasonlóan igazolható, hogy RQ || DB, és a kettőből kapjuk: SP || RQ, vagyis SPRQ trapéz (van egy párhuzamos oldalpárja).
33
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
b) Az arány meghatározásához abból indulunk ki, hogy hasonlóság esetén a megfelelő távolságok aránya egyenlő. Ezért SP =
DB DB , és RQ = . 3 2
DB SP DB 2 2 = 3 = ⋅ = . A trapéz két alapjának aránya 2:3. Innen RQ DB 3 DB 3 2
c) A trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást, ezért PR és SQ 2:3 arányban osztja egymást.
Mintapélda12 Az ABC háromszögbe olyan félkört írunk, amelynek átmérője AB-vel párhuzamos, és érinti az AB oldalt. a) Szerkesszük meg a félkört! b) Mekkora a kör sugara, ha a háromszög AB oldala 20 cm, C-ből induló magassága 12 cm? Megoldás: a) A szerkesztéshez segédfélkört szerkesztünk, mely érinti az AB oldalt, és átmérője párhuzamos vele. Ezt az A csúcsból nagyítjuk: az AR egyenest felhasználva kapjuk az E pontot. b) DE és AB párhuzamossága miatt DECU ~ ABCU (szögeik egyenlők). A megfelelő távolságok aránya egyenlő, így c ⋅ m = (2 m + c)r ⇒ r = A félkör sugara 5,45 cm.
c m = ⇒ c(m − r ) = 2 r ⋅ m ⇒ cm − cr = 2 r ⋅ m . 2r m − r
c⋅m 20 ⋅12 240 = = = 5,45 cm. 2 m + c 24 + 20 44
34
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 56. Igazold, hogy egy konvex négyszög oldalfelező pontjait összekötve mindig paralelog-
ramma keletkezik!
57. Az ABCD négyszögben P és Q oldalfelező, R és S negyedelő
pontok (lásd az ábrát). Határozd meg PQ és RS arányát!
58. Az ABCD négyszögben P és Q harmadoló, R és S negyedelő
pontok, az ábrának megfelelően. a) Határozd meg PQ és RS arányát! b) Határozd meg, hogy SQ és RP milyen arányban osztja egymást!
59. Egy derékszögű háromszögben a két befogó hossza 6 cm és 8 cm.
a) Szerkessz a háromszögbe olyan félkört, amelynek átmérője párhuzamos az átfogóval, átmérőjének két végpontja egy-egy befogón van, és a körív érinti az átfogót! b) Mekkora a kör sugara?
60. Egy hegyesszögű háromszög egyik oldala 15 cm, a hozzátartozó magasság 26 cm.
Mekkora annak a félkörnek a sugara, amelynek átmérője az adott oldallal párhuzamos, végpontjai a két másik oldalon helyezkednek el, és a körív érinti a 15 cm-es oldalt?
61. Az ABC derékszögű háromszögben a két befogó hossza 15 cm és 8 cm. Az ABC há-
romszögbe olyan egyenlőszárú derékszögű háromszöget szerkesztünk, amelynek átfogója párhuzamos az ABC háromszög átfogójával, átfogójának két végpontja az ABC háromszög egy-egy befogóján van, és a derékszögű csúcsa az ABC háromszög átfogóján helyezkedik el! Mekkora az egyenlőszárú derékszögű háromszög befogója?
35
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
62. Az ABC derékszögű háromszögben a két befogó hossza 28 cm és 45 cm. Az ABC há-
romszögbe olyan szabályos háromszöget szerkesztünk, amelynek egyik oldala párhuzamos az ABC háromszög átfogójával, két csúcsa az ABC különböző befogóin, és egy csúcsa az ABC háromszög átfogóján helyezkedik el! Mekkora a szabályos háromszög oldala?
63. Az ábrán látható paralelogrammában PB = 6 cm.
Mekkora a BR szakasz hossza, ha a paralelogramma oldalai 20 cm és 35 cm?
64. Mekkora a beleírható és a köréírható kör sugara az a alapú, egyenlőszárú háromszög-
ben, ha a háromszög oldalai a) a = 12 cm; b = 10 cm;
b) a = 20 cm; b = 16 cm;
c) a és b ?
65. Az ábra szerinti ABC derékszögű háromszögben AC = 45,
CB = 60. Mekkora az EFB, a BED és a CDB háromszögek területe?
66. Az ABCD paralelogramma AD oldalának A-hoz legközelebbi ötödölő pontja P. Az AC
átló hányad részét metszi le a BP egyenes?
67. Egy ABC derékszögű háromszögbe (AB az átfogó) olyan téglalapot írunk, melynek
egyik csúcsa a C, ezzel átellenes csúcsa AB-re esik, és egy-egy oldala a BC és AC oldalakon fekszik. Mekkorák a téglalap oldalai, ha egyik oldala kétszerese a másiknak, és
a) BC = 3 cm, AC = 4 cm;
b) BC = a, AC = b ?
68. Az ABC háromszög c oldalának egy tetszőleges pontja P. Az AC egyenest a B-ből ki-
induló, CP-vel párhuzamos egyenes R-ben, a BC egyenest az A-ból kiinduló, CP-vel párhuzamos egyenes Q-ban metszi. Mekkora a CP szakasz hossza, ha a) AQ = 10 cm, BR = 14 cm;
b) AQ = p egység, BR = q egység?
36
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
V. Síkidomok hasonlósága A definíció szerint két síkidom akkor hasonló, ha van olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A háromszögek hasonlóságához elég, hogy a megfelelő oldalak aránya egyenlő legyen, de a sokszögek hasonlóságához ez általában nem elegendő. Például az ábrán látható két deltoid megfelelő oldalainak aránya kettő, és természetesen nem hasonlók. Négyszögek körében a megfelelő szögek egyenlősége sem biztosítja a két négyszög hasonlóságát (például négyzet és téglalap). Bonyolultabb síkidomok hasonlóságára nincs is általánosan használható szabály. Két sokszög akkor hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya és megfelelő szögeik egyenlők.
Két azonos oldalszámú szabályos sokszög mindig hasonló.
Feladatok 69. Igaz vagy hamis a következő kijelentések logikai értéke:
a) Minden kör hasonló egymáshoz. b) Minden rombusz hasonló egymással, mert minden rombuszban egyenlőek az oldalak. c) Minden négyzet hasonló egymáshoz.
37
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
d) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor az két, hasonló trapézra bontja a trapézt. e) Ha egy deltoid oldalai 5 cm, 5 cm, 3 cm, 3 cm, akkor az hasonló ahhoz a deltoidhoz, amelynek oldalai 15 cm, 15 cm, 9 cm, 9 cm. f) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor a keletkező kisebbik trapéz az eredetihez hasonló. g) Két rombusz hasonló, ha van azonos nagyságú szögük. h) Két négyszög hasonló, ha megfelelő szögeik páronként egyenlők.
70. Egy térképen két település távolsága 5,2 cm. Mekkora a valóságban ez a távolság, ha a
térkép méteraránya 1:25000 ?
71. Egy ötszög oldalainak aránya 6:8:9:12:15, egy hozzá hasonló ötszög kerülete 150 cm.
Mekkorák az oldalai?
72. Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló négy-
szögnek az oldalait, melynek
a)legkisebb oldala 20 cm;
b) kerülete 416 cm!
73. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 15 cm, egy hozzá hasonló háromszög megfelelő
oldala 25 cm. Határozd meg a két háromszög oldalait, ha a kisebb háromszög kerülete 37 cm! 74. Két hasonló sokszög leghosszabb oldala 10 cm, illetve 25 cm, kerületeik különbsége
33 cm. Mekkora a két háromszög kerülete?
75. Egy paralelogrammát úgy vágunk el az egyik oldallal párhuzamos egyenessel, hogy az
egyik keletkező paralelogramma az eredetihez hasonló legyen. Hol kell meghúzni az egyenest, ha a paralelogramma oldalai
a) b = 6 cm és a = 10 cm;
b) a és b?
38
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
76. Egy paralelogrammát úgy vágunk el az egyik oldallal párhuzamos egyenessel, hogy az
egyik keletkező paralelogramma az eredetihez hasonló legyen. A másik paralelogramma is hasonló az eredetihez?
77. Egy A4-es oldal méretei 210 mm×297 mm. Hogyan kell kétfelé vágni a lapot, hogy a
keletkező két lap közül az egyik hasonló legyen az eredetihez? Hasonló-e ekkor a másik is az eredeti A4-es laphoz?
Hasonló síkidomok területe, hasonló testek térfogata A hasonlóság sokszor használt gyakorlati alkalmazása a modellek, makettek készítése. A nagyon nagy vagy a nagyon kicsi dolgok hétköznapi méretű modelljei nemcsak segítenek elképzelni a tárgyak alakját, kapcsolatát, tulajdonságait, hanem laboratóriumi tesztek során méréseket is végeznek rajtuk. A tesztek eredményei alapján alakítják ki például a járművek alakját (kis légellenállási tényező), vagy módosíthatják az épületek terveit (például torony kilengése, híd teherbírása). A következőkben azt vizsgáljuk, hogy hasonlóság esetén hogyan változik a felszín és a térfogat. A sokszögeket mindig felbonthatjuk háromszögekre, így elég vizsgálni, hogy hasonlóság alkalmazásakor a háromszögek területével mi történik. k-arányú hasonlóság esetén a távolságadatok mindegyike, így az oldal és a hozzá tartozó magasság is k-szorosra változik. A háromszög területének változása: T ' =
(k ⋅ a ) ⋅ (k ⋅ m ) = k 2 ⋅ a ⋅ m = k 2 ⋅ T , vagyis a háromszög terü2
2
2
lete k -szeresére változik. Ez általában igaz minden síkidomra. Ha kocka éleit k-szorosára nagyítjuk vagy kicsinyítjük, térfogata V ' = k ⋅ a ⋅ k ⋅ a ⋅ k ⋅ a =
= k 3 ⋅ a 3 = k 3 ⋅V összefüggés szerint alakul. Ez nem csak a kockákra igaz, hanem az összes testre. Hasonló síkidomok területének aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével: T ’ = k2 · T . Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányának köbével. A felszínek aránya ebben az esetben is k2. V ’ = k3 · V ,
A ’ = k2 · A .
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
39
Feladatok 78. Mekkora a háromszög egyik középvonala által levágott kisebb háromszög és az eredeti
háromszög területének aránya?
79. Egy kockát 1,5-szeresére nagyítunk, az új kocka egy lapjának területe 144 cm2. Mek-
kora volt az eredeti kocka térfogata?
80. Egy könyv ábráit feles kicsinyítéssel tervezik (a kicsinyített ábrán valamennyire eltűn-
nek a rajzi hibák). A megrajzolt ábraterület 120 cm2. Mekkora terjedelmet jelent ez a megjelent könyvben?
81. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 12 : 5, átfogója 6,5 cm. Hányszorosára
nagyítottuk a háromszöget, ha területe 120 cm2 lett?
82. Egy háromszögben az egyik oldalt a hozzá tartozó magasság 54 cm és 21 cm-es ré-
szekre osztja. A magassággal párhuzamosan húzzunk olyan egyenest, amelyik a háromszög területét felezi. Mekkora részekre osztja ez az egyenes az oldalt?
83. Hány százalékkal változott kicsinyítéskor annak a síkidomnak a területe, amelynek a
kerülete 25%-kal csökkent?
84. Egy háromszög kerülete a tervrajzon 32 cm. A valóságban ez a kerület 2,08 méter.
Hányszorosa a valódi háromszög területe a tervrajzon szereplő háromszög területének? 85. Egy ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB = 20 cm és CD = 14 cm hosszúak. Milyen
hosszú az EF szakasz, ha az alapokkal párhuzamos, és az ABEF trapéz területe a trapéz területének negyedrésze?
40
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
VI. A hasonlóság alkalmazása Két pozitív szám mértani (geometriai) közepe: G (a, b ) = a ⋅ b . A következőkben olyan
tételekkel és feladatokkal foglalkozunk, amelyekben előfordul a mértani közép. Látni fogjuk, hogy a mértani középnek sok geometriai alkalmazása van, ezért a számtani közép mellett ezt is gyakran használjuk. A hétköznapi gyakorlat során egyéb közepekkel is találkozunk.
Érintő- és szelőszakaszok tétele
A körhöz egy adott külső pontból két, egyenlő érintőszakasz húzható (e), de szelőből végtelen sok. Elmondható az is, hogy az érintőszakasz hossza a szelőnek a ponttól a körrel való metszéspontjáig terjedő két szakasza (PA és PB) között van. A szelő- és érintőszakaszok tétele szigorúbban fogalmaz: Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz a pontból húzott szelőnek és a szelő ponttól körig tartó darabjának mértani közepe: e = s1 ⋅ s 2 . Megjegyzés:
Ebből az is következik, hogy ha egy külső ponton át szelőt húzunk a körhöz, akkor a ponttól a metszéspontig terjedő szakaszok szorzata nem függ a szelő választásától (az érintő hosszának négyzete). Ezt úgy szokás mondani, hogy egy külső pontból a körhöz húzott szelők metszeteinek szorzata egyenlő (ez az ún. szelőtétel).
Mintapélda13 A Pitagorasz-tétel alkalmazása nélkül számítsuk ki, hogy milyen hosszú érintő húzható egy 5 cm sugarú körhöz a középpontjától 12 cm távolságból! Megoldás: A vázlat felrajzolása után az érintő és szelőszakaszok tételét alkalmazva e = 17 ⋅ 7 = 119 ≈ 10,9 cm.
41
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Magasságtétel, befogótétel Egy derékszögű háromszögben a és b a két befogót, c az átfogót jelöli. Az átfogóhoz tartozó m magasság az átfogót c1 és c2 szakaszokra bontja. Keressük meg az összes hasonló háromszöget, és írjuk fel a megfelelő oldalak arányát! Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, közös szögek) BTCU ~ CTAU ~ BCAU . A megfelelő oldalak az egyenlő szögekkel szemben találhatók, ezeket táblázatba foglaljuk.
Szög
α
β
γ = 90°
BCA
a
b
c
BTC
c1
m
a
CTA
m
c2
b
A BTC és a CTA háromszögek hasonlóságából felírható az arány:
c1 m = , ahonnan m c2
m 2 = c1 ⋅ c 2 . Gyökvonás után adódik a magasságtétel: m = c1 ⋅ c 2 . A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság: m = c1 ⋅ c 2 .
BCA és BTC háromszögek hasonlóságából felírható az arány:
a c = , ahonnan a 2 = c ⋅ c1 . c1 a
Gyökvonás után adódik a befogótétel: a = c ⋅ c1 . Hasonlóan belátható: b = c ⋅ c 2 . A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével: a = c ⋅ c1 , illetve b = c ⋅ c 2 .
42
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 86. Egy tér közepén található szobortól 13 méterre a szobor α szögben látszik. A szobor
átellenes oldalán található egy olyan pont a szobortól 8 méterre, amelyből 90° − α szögben látszik. Milyen magas a szobor? 87. A derékszögű háromszög átfogója 12 egység, a magasság az átfogót 1:2 arányban oszt-
ja. Mekkorák a befogók és az átfogóhoz tartozó magasság? 88. Mekkora a derékszögű háromszög területe és befogói, ha az átfogóhoz tartozó magas-
ság az átfogót 6 és 10 egység hosszú szakaszokra bontja? 89. A derékszögű háromszögben az egyik befogó 8 cm, ennek vetülete az átfogóra 5 cm.
Mekkora az átfogó és a másik befogó? 90. Egy derékszögű háromszög két befogója 20 cm és 21 cm. Mekkora szeletekre osztja az
átfogót az átfogóhoz tartozó magasság? 91. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 12:5, átfogója 18,2 dm. Mekkora ré-
szekre bontja az átfogót a derékszögű csúcshoz tartozó magasság? 92. Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan
szeletre bontja, amely a magasságnál 2 cm-rel rövidebb, illetve 6 cm-rel hosszabb. Mekkora a háromszög kerülete? 93. Az ábra jelöléseit felhasználva töltsd ki a táblázat hiányzó
részeit! E érintési pont.
AB
BP
12 cm
10 cm
4,6 cm
6,6 cm
AP
PE
60 cm
30 cm
4 dm
25 cm
6m
11 m
9,2 cm
16,3 cm
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
43
94. Egy háromszög alapú gúla magasságát négy egyenlő részre osztjuk, és az osztóponto-
kon keresztül elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkokkal. Mekkora a legnagyobb rész és a teljes gúla térfogatának aránya? 95. Egy 5 cm sugarú kör középpontjától milyen távolságban van az a pont, ahonnan 12 cm
hosszúságú érintők húzhatók a körhöz? 96. Egy 4,5 cm sugarú kör átmérőjét meghosszabbítjuk a körön túl. Ezen az egyenesen a
középponttól milyen távolságban lesz az a pont, ahonnan 15,6 cm hosszúságú érintők húzhatók a körhöz?
Két kör közös érintői A körhöz egy külső pontból húzott érintőinek megszerkesztését már tanultuk: a Thalész-kör segítségével végezzük, kihasználva azt, hogy a kör minden pontjából az átmérő derékszögben látszik, és hogy az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra. Két kör közös érintőit „pumpálás”, illetve „leeresztés” segítségével találhatjuk meg. A kész ábrákból indulunk ki, és visszavezetjük a szerkesztést egy külső pontból húzott érintő megszerkesztésére. Az A középpontú, ra sugarú és a B középpontú, rb sugarú körök közös belső érintőinek megszerkesztését úgy végezzük, hogy az egyik (például a B középpontú) kör középpontja körül rajzolunk egy ra + rb sugarú kört. Ehhez húzunk érintőt a másik kör középpontjából (A). Az így kapott f egyenest az ábra szerint ra távolsággal eltolva, a közös belső érintőket kapjuk. Természetesen két közös belső érintő van, az ábrán csak az egyiket tüntettük fel.
44
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Az A középpontú, ra sugarú és a B középpontú, rb sugarú körök közös külső érintőinek megszerkesztését úgy végezzük, hogy az egyik (például a B középpontú) kör középpontja körül rajzolunk egy rb − ra sugarú kört. Ehhez húzunk érintőt a másik kör középpontjából (A). Az így kapott f egyenest az ábra szerint ra távolsággal eltolva a közös külső érintőket kapjuk. Természetesen két közös külső érintő van, az ábrán csak az egyiket tüntettük fel.
Mintapélda14 Két kör sugara 5 és 8 cm, középpontjuk távolsága 20 cm. A középpontokat összekötő egyenes mely pontjaiból húzhatók közös érintők a körökhöz? Megoldás: A belső érintő, a rá merőleges sugarak és a középpontokat összekötő szakasz (ún. centrális) által alkotott két háromszög derékszögű, és a P-nél levő csúcsszögek miatt egyenlőek a szögeik, ARPU ~ BQPU. A
megfelelő
oldalak
aránya
miatt
5 x 100 = , a nevezőkkel végigszorozva 5(20 − x ) = 8 x , ahonnan x = ≈ 7,7 cm. 8 20 − x 13 Tehát az AB szakaszon az A-tól 7,7 cm-re van az a pont, amelyből a két körhöz közös belső érintők húzhatók. A külső érintők esetében szintén a szögek egyenlősége miatt ARPU ~ BQPU. A megfelelő oldalak aránya miatt
5 x = , 8 20 + x
a
végigszorozva
nevezőkkel
5(20 + x ) = 8 x ,
x=
100 ≈ 33,3 cm. 3
ahonnan
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
45
Tehát az AB egyenesén az A-tól 33,3 cm-re és a B-től 53,3 cm-re van az a pont, amelyből a két körhöz közös külső érintők húzhatók.
Feladatok 97. Milyen hosszúságúak a két kör közös külső és belső érintőinek az érintési pontok közé
eső szakaszai, ha a körök sugara és a középpontok távolsága a) r1 = 5 cm, r2 = 8 cm, a = 20 cm; b) r1 = 4,5 cm, r2 = 9 cm, a =18 cm; c) r1, r2 és a ?
98. Gergő megfigyelte, hogy ha egy 2 cm és 5 cm sugarú golyót rak a felfelé táguló hely-
zetű tölcsérbe, akkor mindkettő beleszorul, pont összeérnek, és a tölcsér teteje éppen egy szintbe kerül a nagyobb sugarú golyó legfelső pontjával. Mekkora a tölcsér alapkörének átmérője?
Háromszögek egybevágósága és hasonlósága síkon és gömbön Két sokszöget egybevágónak tekintünk, ha megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik nagysága egyenlő (síkon és gömbön egyaránt). Ezek szerint két háromszög egybevágóságához hat-hat adat, vagyis összesen tizenkét adat ellenőrzése szükséges. Lehetne-e ebből „lealkudni” valamennyit? Lehetne-e úgy megválasztani az adatokat, hogy kevesebb adat ellenőrzése is elég legyen az egybevágósághoz? Belátható, hogy három-három adattal, vagyis összesen hat adattal már boldogulhatunk – ha jól választjuk meg az adatokat! Vizsgáljunk meg néhány esetet!
46 •
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Három oldal (síkon és gömbön ugyanúgy):
Megrajzoljuk az egyik oldalt. Két végpontjából a másik két oldal hosszával köröket rajzolunk. Ahol a körök metszik egymást, ott kapjuk a háromszög harmadik csúcsát. Ha az adatokból lehet háromszöget szerkeszteni, akkor két tükörképi háromszöget kapunk. Ezek szerint: Ha két háromszögben a három-három oldal rendre megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó. •
Két oldal és a közbezárt szög (síkon és gömbön ugyanúgy):
Megrajzoljuk az egyik oldalt. Egyik végpontjából felmérjük a szögnek megfelelő félegyenest. A közös csúcsból a félegyenesen felmérjük a másik oldalt. Ennek az oldalnak másik végpontja a háromszög harmadik csúcsa. Itt is két, tükörképi háromszöget szerkeszthetünk. Ezek szerint ez a három-három adat is elég az egybevágósághoz. •
Egy oldal és a rajta fekvő két szög (síkon és gömbön ugyanúgy):
Megrajzoljuk az oldalt, két végpontjából az oldal azonos oldalán (vagy, ha jobban tetszik: az oldal azonos partján) felmérjük a két szögnek megfelelő félegyeneseket. Ahol metszik egymást, ott a háromszög harmadik csúcsa. Itt is két tükörképi háromszög lehetséges. Ez a három-három adat is elég az egybevágósághoz. •
Két szög és egyikükkel szemben fekvő oldal (tehát NEM az az oldal, amelyen mind a
két szög rajta van!) Síkon Mivel a háromszög szögösszege mindig 180°, ezért megszerkeszthetjük a harmadik szöget, és ezzel a feladatot visszavezettük az „egy oldal és a rajta fekvő két szög” esetére. Ezért ez a három-három adat is elég az egybevágósághoz. Gömbön Itt a szögösszeg nem 180°, sőt nem is állandó. Ezért a harmadik szöget nem tudjuk úgy meghatározni, mint a síkon. Ettől még elképzelhető lenne, hogy van valamilyen más módszer, amivel a gömbháromszöget megszerkeszthetnénk, tehát ennyi adat is elég lenne az egybevágósághoz. Tekintsük a következő példát:
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
47
Egy gömbkétszög egyik oldalának tetszőleges pontjában, de nem az oldalfelező pontjában, merőlegest rajzolunk, így két gömbháromszögre bontjuk a gömbkétszöget. A két háromszög megegyezik egy-egy derékszögben, egy-egy α szögben, és az a közös oldalban – de ez a két háromszög nem egybevágó (ugyanis a harmadik szögek nem derékszögek, és egymást 180°-ra egészítik ki). Ez a három adat tehát a gömbön nem elég az egybevágósághoz. •
Két oldal és az egyikkel szemben fekvő szög (tehát NEM a közrezárt szög; síkon és
gömbön ugyanúgy) Megrajzoljuk azt az oldalt, amelyiken fekszik az adott szög. Az egyik végpontjából megszerkesztjük a szögnek megfelelő félegyenest, és a másik végpontból körzővel a másik oldal hosszának megfelelő sugárral kört rajzolunk. Ekkor két esetet kaphatunk: a) Ha a hosszabb oldallal szemközti szög volt megadva, akkor a körív egyértelműen kimetszi a félegyenesből a harmadik csúcsot. b) Ha a rövidebb oldallal szemközti szög volt megadva, akkor a körív két helyen metszi a félegyenest, a harmadik csúcs nem egyértelmű. Két háromszöget kapunk, és ezek nem egybevágók.
Ez a három-három adat tehát nem minden esetben elég az egybevágósághoz, csak ha a hosszabb oldallal szemközti szög adott.
48 •
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Három szög
Síkon két eset van. 1. Ha a három szög összege nem 180 fok, akkor nincs megfelelő háromszög. 2. Ha a szögösszeg éppen 180 fok, akkor végtelen sok, különböző háromszög lehetséges, amelyekben a megfelelő szögek azonosak, de a megfelelő oldalak különböznek. Ezeknek a háromszögeknek nagyon sok érdekes, közös tulajdonságuk van, de nem egybevágóak. Az alábbi háromszögek mindegyikében a három szög α, β és γ, de a háromszögek oldalai nem egyforma hosszúságúak.
Ha két síkháromszög szögei rendre megegyeznek, akkor a két háromszög hasonló. Ha két háromszög egybevágó, akkor hasonló is; de a síkon végtelen sok olyan háromszög van, amelyek hasonlóak, de nem egybevágóak. Gömbön Itt teljesen más a helyzet! Adott három gömbi szög, α, β és γ.
Megpróbálunk ebből a három szögből gömbháromszöget összeállítani. Itt a β és γ szögek által meghatározott háromszög harmadik, piros-zöld szögébe az α szög azért nem illik bele, mert túl kicsi. Megpróbáljuk ezért közelebb tolni egymáshoz a β és γ szöget, a kék vonal mentén. Itt a harmadik szög azért nem illik a háromszögbe, mert túl nagy.
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
49
Kell lenni tehát valahol a két helyzet között egyetlenegy olyan helyzetnek, amikor a három szög együtt éppen egy gömbháromszöget ad:
Mindez annyit jelent, hogy a gömbön a három darab szög egyértelműen meghatározza a gömbháromszöget, nem úgy, mint a síkon! Gömbön nincs értelme a háromszögek hasonlóságáról beszélni, mert két gömbháromszög csak akkor hasonló, ha egybevágó is. Más szóval: hasonló, de nem egybevágó gömbháromszögek nem léteznek.
Feladatok 99. Hasonlóak-e a szabályos háromszögek – síkon és gömbön?
100. Rajzoljuk fel egy háromszög három magasságvonalát! Állítsunk merőlegeseket a magas-
ságvonalakra a háromszög csúcspontjaiban! Így újabb, nagyobb háromszöget kapunk. Mit mondhatunk az eredeti háromszög és a nagyobb háromszög viszonyáról?
50
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Kislexikon Középpontos hasonlóság
Adott a síkon egy O pont (középpont), és egy k pozitív valós szám. Rendeljük O-hoz önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P’ pontját, hogy OP' = k ⋅ OP . (Találkozhatunk olyan esettel is, amikor k negatív. Ilyenkor P’ az OP egyenes
O-ból kiinduló, P-t nem tartalmazó félegyenesén van.) Az így meghatározott geometriai transzformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük. A középpontos hasonlóság aránytartó, szögtartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó, körüljárási irány tartó, nem távolságtartó (kivéve a |k|=1 esetet). A középpontos hasonlóság fixpontja a középpont, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a középponton áthaladó egyenesek. Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos ha-
sonlóság és egybevágóság véges sokszor történő egymás utáni végrehajtásával keletkeznek. Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABCU ~ DEFU). Két sokszög akkor hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya és megfelelő szögeik egyenlők.
Két azonos oldalszámú szabályos sokszög mindig hasonló. A háromszögek hasonlóságának alapesetei
Két háromszög hasonló, ha… •
megfelelő oldalainak aránya megegyezik ⎛ a ' b' c ' ⎞ ⎜ = = ⎟; ⎝a b c⎠
•
megfelelő szögeik egyenlők (α = α ' ; β = β ' ; γ = γ ') ;
•
két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik a ' b' ⎛ ⎞ ⎜ például = és γ = γ ' ⎟ ; a b ⎝ ⎠
•
két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik a ' b' ⎛ ⎞ ⎜ például = és β = β ' , a < b ⎟ . a b ⎝ ⎠
51
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Hasonló síkidomok területének aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével.
T '= k 2 ⋅T . Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányának köbével. A testek
felszínének aránya ebben az esetben is k2.
V ' = k 3 ⋅V ,
A' = k 2 ⋅ A .
52
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Tételek és bizonyítások Párhuzamos szelők tétele
Ha a szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, az egyik egyenesen keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik egyenesen keletkezett szakaszok arányával. b q = ; a p
a+b p+q = a p
Bizonyítás: 1. Ha az egyik száron egyenlők a szakaszok (a), akkor p
eltolással fedésbe hozható q-val, vagyis p és q aránya most is egyenlő az e egyenes szakaszainak arányával (1).
2. Ha az e egyenesre nem egyenlő szakaszokat mértünk
fel, de a és b aránya racionális szám, akkor található olyan kis rész, ami „közös egység” (s): annak n-szerese a, k-szorosa b (n és k egészek). a = n ⋅ s és b = k ⋅ s , így
b k⋅s k = . = a n⋅s n
Ekkor 1. miatt a p és q szakaszoknál egyenlő részek keletkeznek (s’), így teljesül az, hogy p = n ⋅ s ' és q = k ⋅ s ' , így p és q aránya
q k ⋅ s' k = = , vagyis az p n ⋅ s' n
arány ugyanannyi, mint a és b szakasz esetében. 3. Ha a és b aránya nem racionális, az állítás akkor is igazolható.
53
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Párhuzamos szelőszakaszok tétele
Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által a szögszárakból lemetszett szakaszok arányával. y a+b p+q = = x a p Bizonyítás: Húzzunk a P-n keresztül párhuzamost az f szögszárral. PRST négyszög paralelogramma, ezért RS = x. A Q csúcsú szögre felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét,
hiszen
PR || OS
szakaszokkal
metszettük:
a + b QS y = = . a RS x
A párhuzamos szelők tételének megfordítása
Ha egy szög szárain a szög csúcsából kiindulva azonos arányú szakaszokat mérünk fel, akkor a szakaszok végpontjait összekötő egyenesek párhuzamosak egymással. Ha
b+a p+q = , akkor x || y . a p
Bizonyítás: A bizonyítást indirekt módszerrel végezzük. Tegyük fel, hogy
b+a p+q = , ekkor persze a q
b q b q = is teljesül. Tegyük fel továbbá, hogy az állítás ellentéte teljesül, vagyis = , de x és a p a p y nem párhuzamosak. Ekkor található olyan z egyenes, amely párhuzamos az x egyenessel. Így a párhuzamos szelők tétele miatt teljesül, hogy
b q' = . Ezt összevetve a kiindulási feltétellel a p
q' = q adódik, ami ellentmond azzal, hogy q és q’ nem azonos. Az eredeti állítás tagadása ellentmondáshoz vezetett, ezért az eredeti állítás teljesül.
54
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Szögfelezőtétel
A háromszögben a belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. Bizonyítás: Húzzunk az A csúcson keresztül párhuzamost a szögfelezővel, és hosszabbítsuk meg az a oldalt! Ekkor PCA és CAQ szögek váltószögpár, PCB és AQC egyállású szögek, nagyságuk
γ 2
. Ezért ACQ egyenlőszárú háromszög, tehát x = b.
A B csúcsú szögre felírva a párhuzamos szelők tételét: p a a = = . q x b
A háromszög súlyvonalai
A háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást (súlypont). A súlypont harmadolja a súlyvonalakat (a csúcs felé eső rész a hosszabb). Bizonyítás: A P és R oldalfelező pontok, ezért PR középvonal. A középvonal párhuzamos a megfelelő oldallal, ezért RPS és SBA szögek váltószögek, egyenlők. PSR és ASB csúcsszögek, egyenlők egymással, így PRS és BAS háromszögek hasonlók. A hasonlóság aránya 1:2, mert a középvonal fele a vele párhuzamos oldalnak, PR =
c . A megfelelő 2
oldalpárok PS és SB, valamint RS és SA, ezek aránya szintén 1:2, vagyis S harmadolja a két említett súlyvonalat. Hasonlóan belátható, hogy a c oldalhoz tartozó súlyvonal is éppen sb P-hez közelebbi harmadoló pontján, vagyis S-en megy keresztül, ezért a három súlyvonal egy pontban metszi egymást.
55
8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI
Érintő- és szelőszakaszok tétele
Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz mértani közepe a pontból húzott szelőnek a ponttól a körig terjedő két darabja között. Bizonyítás: E-nél és A-nál egyenlők a jelölt szögek, mert a BE íven nyugvó kerületi szögek. P-nél közös szög található, így PBEU ~ PE PB = , ahonnan AP PE
PEAU. A megfelelő oldalak arányából PE 2 = AP ⋅ PB , gyökvonás után PE =
AP ⋅ PB .
Magasságtétel
A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság. Bizonyítás: Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, merőleges szárú hegyesszögek) BTCU ~ CTAU. A megfelelő oldalak arányából:
c1 m , ahonnan = m c2
m 2 = c1 ⋅ c 2 . Gyökvonás után m = c1 ⋅ c 2 .
Befogótétel
A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével. Bizonyítás: (L. az előző ábrát.) Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, közös szögek) CBTU ~ ABCU. A megfelelő oldalak arányából: sonlóan belátható: b = c ⋅ c 2 .
a c = , ahonnan a 2 = c ⋅ c1 . Gyökvonás után a = c ⋅ c1 . Hac1 a
9. MODUL hegyesszögek szögfüggvényei Készítette: Vidra Gábor és Lénárt István
58
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói Ha egy háromszöget nagyítunk vagy kicsinyítünk, a szögei nem változnak. Az aránytartás következtében a megfelelő oldalak aránya szintén állandó. Ebből arra következtethetünk, hogy a háromszögben a szögek és az oldalak aránya között kapcsolat van. A trigonometria (háromszögtan) foglalkozik a háromszögek adatainak, a szögek és oldalak kapcsolatával. A szögek és távolságok kapcsolatát már az ókorban is tanulmányozták és használták Kína, India területén csakúgy, mint Egyiptomban az építkezéseknél. Kr. e. 3–400 körül már használtak húrtáblázatokat, sőt szinusztáblázatokat is. Az első évszázadban hegyesszögekhez tartozó húrok hosszát foglalták táblázatba, félfokonként, és ismerték a két szög összegének és különbségének szögfüggvényeire vonatkozó képleteket (ma az emelt szintű érettségi tananyaga). A trigonometria alapja a szögfüggvények definíciói. A hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszögben értelmezzük, és ezeket a definíciókat később kiterjesztjük más szögekre is (nem hegyesszögekre).
A hegyesszögek szinusza Egy aluljáróból 17 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a járda szintjére, és a rámpa egyenletesen, 26,5°-ban emelkedik a vízszinteshez képest. Ezekből az adatokból meghatározható, hogy milyen mélyen van az aluljáró. Segítségül hívjuk a valóság modelljét: jelen esetben az eredetihez hasonló derékszögű háromszöget. Szerkesszünk egy 26,5°-os derékszögű háromszöget például 5 cm-es átfogóval. A két háromszög szögei páronként egyenlők, ezért a két háromszög hasonló, tehát a megfelelő oldalaik aránya egyenlő. Ha lemérjük az ABC háromszög 26,5°-os
59
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
szöggel szemközti befogóját, akkor a ≈ 2,2 cm-t kapunk. A keresett oldal hosszát x-szel jelöl-
ve:
x a 2,2 ⋅ 17 = , innen x ≈ ≈ 7,5 méter. 17 5 5
Segítségül bármilyen 26,5°-os derékszögű háromszöget hívhattunk volna, mert a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya a hasonlóság miatt állandó. Ezt a hányadost a hegyesszög szinuszának nevezzük, és jelen esetben 4 tizedesjegyre közelítő értéke ≈ 0,4462 .
A szöggel szemközti befogó, az átfogó és a hegyesszög között a szinusz szögfüggvény teremti meg a kapcsolatot. A 26,5°-os szög szinusza közelítőleg 0,4462. Ez a szorzószám adja meg, hogy egy ehhez hasonló háromszögben az átfogót mennyivel kell megszorozni,
hogy
megkapjuk
a
szöggel
szemközti
befogót:
sin 26,5° =
x , 17
ahonnan
x = 17 ⋅ sin 26,5° ≈ 7,59 méter. Egy α hegyesszög szinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa.
sin 26,5° ≈
0,4462 0,8924 1,3386 1,7848 = = = = ... 1 2 3 4
A szögek szögfüggvényeinek értékét legegyszerűbben zsebszámológép segítségével tudjuk meghatározni. Számológépet használunk akkor is, amikor azt kell meghatároznunk, hogy egy adott szögfüggvényértékhez mekkora szög tartozik. Jelenleg sokféle tudományos számológépet találunk a piacon. Leggyakoribbak a normál és a DAL típusúak. A normál típusúaknál előbb a számokat visszük be, majd a műveleteket választjuk ki a megfelelő gombokkal. A DAL típusú kalkulátoroknál a képleteket olyan módon visszük
60
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
be a gépbe, ahogyan azt a papírra leírjuk (például kezel törteket, és a szorzásjelet sem kell bevinni, ha zárójeles kifejezést szorzunk). A DAL típusú számológépeknél a műveletet előre jelezzük: sin 26,5° = A normál típusúaknál a szögfüggvény értékét így határozzuk meg: 26,5 sin „Visszakereséshez” ugyanezeket a billentyűket használjuk: a 2ndF vagy Shift billentyűvel elérhető második (sin-1) funkciójukat: DAL gépen:
, normál típusú gépen:
.
A szögek mértékegységei között a számológépen található DRG vagy RAD gombbal válthatunk. Amennyiben D üzemmódot jelöl a kijelző, a megadott adatokat a számológép foknak értelmezi. R esetében radiánnak, G esetén újfoknak.
A hegyesszögek koszinusza A szög szinusza a derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogót és az átfogót kapcsolja össze. Hasonlóan
egy szög koszinusza összekapcsolja a szög melletti befogót az átfogóval. Az 57 méter magas pisai ferde torony árnyéka 5 méter délben. Ezekből az adatokból a koszinusz szögfüggvény segítségével kiszámíthatjuk, hogy mekkora szöget zár be a talajjal a torony. A szemléltetés kedvéért kicsit még jobban eldöntöttük a tornyot.
cos α =
5 . 57
Zsebszámológéppel számolva: α ≈ 85°.
Egy α hegyesszög koszinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti befogó és az átfogó hányadosa.
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
61
A hegyesszögek tangense, kotangense Egy permetező repülőgép olyan helyen áll, ahol gyorsítás után a fákig 81 méter szabad út áll rendelkezésre a felszálláshoz. A 81 méter alatt 10 méter magasra kell emelkednie. A pilótának felszálláskor az emelkedés szögét be kell állítania. Mekkora a kérdéses szög? A feladatban a derékszögű háromszög két befogója és a hegyesszög közötti kapcsolatot a tangens szögfüggvény teremti meg: tgα =
10 , ahonnan α ≈ 7,04° . Ha a befo81
gók arányát fordítva írjuk fel, a szög kotangensét kapjuk. Egy α hegyesszög tangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti és az α melletti befogó hányadosa.
Egy α hegyesszög kotangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti és az α szöggel szemközti befogó hányadosa.
62
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Összefoglalva: a hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói derékszögű háromszögben:
sin α =
szöggel szemközti befogó a = átfogó c
tg α =
szöggel szemközti befogó a = szög melletti befogó b
cos α =
ctg α =
szög melletti befogó b = átfogó c
szög melletti befogó b = szöggel szemközti befogó a
A szögfüggvények értékeit általában négy tizedesjegyre kerekítjük, a fokokban megadott szögeket egy tizedesjegyre.
Régebben szinusz- és koszinusz-táblázatokból határozták meg a szögfüggvények értékét (a függvénytáblázatban is találunk ilyen jellegű táblázatokat), ma számológépet (kalkulátort) használunk. Vegyük észre, hogy a szögfüggvényértékeknek nincs mértékegysége, hiszen két távolság hányadosaként értelmeztük azokat.
Mintapélda1 Határozzuk meg zsebszámológéppel 52°12’ szögfüggvényeit! Megoldás: Egyes számológépeken nem kell átváltani a 12’-et fokká, külön billentyű található a fokperces adatbevitelre (DMS vagy °’” jelzéssel). Akinek nem ilyen a számológépe, előtte át kell váltani a 12’-et fokká:
12 = 0,2° ; 12' = 0,2° , és 52,2°-ot kell beütnie a gépbe. 60
A számológép kiadja az eredményt: 0,790155. 4 tizedesjegyre kerekítve sin 52°12' = 0,7902 . Hasonlóan, a többi szögfüggvényérték: cos 52°12' = 0,6129 ; tg 52°12' = 1,2892 . A számológépen nincsen gomb, amivel ki tudnánk számolni ctg 52°12' értékét. A definíciókból azonban kiderül, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka, ezért ctg 52°12' =
1 = 0,7757 . tg 52°12'
63
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
Megjegyzések:
DAL típusú számológépeken a művelet nyomógombja után a számok begépelése és az egyenlőségjel használata adja a szöget. Amennyiben a szöget ívmértékben (radiánban) adják meg, a RAD billentyűvel állíthatjuk át a számológépet ívmértékre.
Mintapélda2 Az emelkedő előtti közlekedési táblára 12%-ot írtak. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes irányú haladáshoz képest a lejtő emelkedése 12%. Hány fokos a lejtő emelkedési szöge?
Megoldás: Az adatok felhasználásával vázlatot készítünk. Kérdés:
α nagysága. A megadott oldalak és α között a kapcsolatot tg α =
a
tangens
szögfüggvény
teremti
meg:
0,12 ⋅ x = 0,12 . x
Visszakeresve: a szög 6,8428°, kerekítve 6,8°.
Mintapélda3 Szerkessz olyan hegyesszöget, amelynek koszinusza
1 ! 3
Megoldás: Egy szög koszinusza a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa, ezért e két távolság aránya 1:3. A megoldás az ABC derékszögű háromszög megszerkesztésére vezethető vissza, melynek egyik befogója 1 egység, átfogója pedig 3 egység hosszú. A szerkesztés egyik lehetséges módja: 1. AC = 1 egység felvétele; 2. AC-re C-ben merőlegest állítunk (e); 3. az A középpontú, 3 egység sugarú kör kimetszi e-ből a B csúcsot.
64
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda4 Számítsd ki az 55°-os szög kotangensét! Mekkora szögnek a kotangense 2,5?
Megoldás: A definíciókból leolvasható, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka: ctg α =
1 . Ez azért fontos, mert a számológépen nincsen gomb a szög kotangensének tg α
kiszámítására. 55° kotangensét úgy határozzuk meg, hogy kiszámítjuk a tangensét, és annak vesszük a reciprokát: tg 55° = 1,4281 . Ennek a számnak a reciproka ctg 55° =
1 = tg 55°
= 0,7002 . ctg α = 2,5 megoldását is úgy kezdjük, hogy a szög kotangense helyett a tangensét számítjuk ki, amiből már számológéppel a szöget ki tudjuk számítani: tg α =
1 1 = = 0,4 . ctg α 2,5
Számológéppel α = 21,8° adódik.
Mintapélda5 A négyzet alapú Nagy Piramis magassága 146 méter, alapjának hossza 230 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok a talajjal?
Megoldás: A vázlat mutatja az alaplap és az oldallap szögét és azt a derékszögű háromszöget, amelynek segítségével a keresett szög kiszámítható. A két befogót a tangens szögfüggvény kapcsolja össze: tg α =
146 ⇒ α ≈ 51,8° . 115
Feladatok 1. Határozd meg a következő szögek összes szögfüggvényét számológép segítségével!
Figyelj a helyes kerekítésre! a) 10°;
b) 30°;
g) 82,6°; h) 67,54°;
c) 45°; i) 12°6’;
d) 70°; j) 77°77’.
e) 20°;
f) 60°;
65
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
2. Mekkora az ismeretlen hegyesszög, ha
a) sin α = 0,1234 ;
b) sin α = 0,3420 ;
c) cos α = 0,6820 ;
d) cos α = 0,0872 ;
e) tg α = 0,3891 ;
f) tg α = 2,1445 ;
g) ctg α = 0,3245 ;
h) ctg α = 3,1102 ?
3. Igaz-e, hogy egy hegyesszög szinusza és koszinusza mindig 1-nél kisebb szám? Indo-
kold a választ! Elmondható-e ugyanez a hegyesszögek tangensére és kotangensére?
4. Szerkessz hegyesszöget, amelynek
a) szinusza 0,8;
b) szinusza
1 ; 2
c) koszinusza 0,3;
d) koszinusza
3 ; 8
e) tangense 2;
f) tangense
4 ; 3
g) kotangense 1,6;
h) kotangense
5 ! 12
5. Adott a derékszögű háromszög két befogója: a = 4,3 cm, b = 5,4 cm. Mekkorák a há-
romszög szögei?
6. A derékszögű háromszög 26 cm-es befogóján 32°-os szög nyugszik. Mekkora a három-
szög köré írt körének sugara?
7. Derékszögű háromszög 4 centiméteres magassága az átfogóból egy 3 centiméteres sza-
kaszt vág le. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei?
8. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 18 cm, a rajta fekvő szögek 45°-osak, a szá-
rak hossza 5 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe?
9. a) Egy lejtő hossza 122 méter, hajlásszöge 7°35’. Milyen magasra visz a lejtő?
b) Egy lejtő hossza a, hajlásszöge α . Milyen magasra visz a lejtő?
10. Egyenlőszárú háromszög alapja 10 cm, az alaphoz tartozó magasság szintén 10 cm.
Mekkorák a háromszög szögei?
66
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
11. Mekkora a faltól a tető gerincéig tartó tetőgerendák hossza, ha az egyenlőszárú három-
szög keresztmetszetű tető szélessége 7 méter, és a gerendák hajlásszöge a vízszinteshez képest 35° ?
12. Egyenlőszárú háromszögben a szárak hajlásszöge 70°, az alap 10,8 cm. Mekkora a
háromszög kerülete és területe?
13. Egy létra lábainak távolsága a talajon 86 cm, és 15°-ig hajtottuk szét a lábait. Hány
fokú a létra, ha a fokok 45 cm-enként követik egymást? Milyen magasan van a teteje a talajtól számítva, ha szétnyitják?
14. Egy téglalap oldalai 10 cm és 15 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldalak az átlóval?
15. Egy ablak méretei: 80 cm×150 cm. Mekkora szöget zárnak be az ablakra ragasztott,
átlósan haladó egyenes ragasztószalag-csíkok egymással? 16. Akadálymentesítéshez egy lépcsőre rámpát terveznek. A lépcsők magassága 20 cm,
hosszuk 30 cm, és 5 lépcső visz fel a járdáról a bejárathoz (a 6. a bejárat szintje). Milyen hosszú legyen a rámpa? Mekkora szöget zár be a járdával?
17. Az Eiffel-torony magassága 326 m, kilengése a legnagyobb szélben sem haladja meg a
12 cm-t. Mekkora a torony tetejének a függőlegessel bezárt szöge, ha a kilengés 12 cm?
18. Az Eiffel-toronytól a talajon, a toronytól 150 méterre áll egy autó. Mekkora szögben
látszik a torony emeleteiről, ha az emeletek 54 m, 115 m és 274 m magasan találhatók?
19. Egy forgáskúp alapkörének sugara 10 cm, testmagassága 25 cm. Mekkora a kúp nyí-
lásszöge?
20. Egy piramisról tudjuk, hogy alapja egy 130 m, illetve 150 m oldalhosszúságú téglalap,
magassága 18 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal?
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
67
21. Mekkora szögben látszik egy 7 cm-es húr az 5 cm sugarú kör O középpontjából, és
milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza?
22. Mekkora szögben látszik egy 10 cm-es húr a 8 cm sugarú kör O középpontjából, és
milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza? 23. Egy 6,9 cm sugarú körben mekkora szögben látszik az átmérő egyik végpontjából az a
8 cm hosszú húr, amely az átmérő másik végpontjából indul ki?
24. Egy rombusz egyik átlója 10,2 cm, oldala 6,8 cm. Mekkorák a szögei?
25. Egy rombusz átlói 16 cm és 12,6 cm. Mekkora az oldala, területe és a szögei?
26. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 10 cm, szárai 5 cm hosszúak. Mekkorák a
trapéz szögei?
27. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 16 cm és 10 cm, szárai 8 cm hosszúak. Mekkorák a
trapéz szögei?
28. Egy trapéz hosszabbik alapja 21 cm, az ezen fekvő szögek 32°és 44°-osak. A 44°-os
szög melletti szár hossza 6 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe?
68
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
II. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között Összefüggés egy szög tangense és kotangense között Egy szög szögfüggvényei között kapcsolatok vannak. Például – amint már láttuk – a derékszögű háromszögben tg α = és ctg α =
a b
b . a Egy hegyesszög tangense és kotangense egymás reciproka:
Más alakban felírva az összefüggést: ctg α ⋅ tg α = 1 .
Pótszögek szögfüggvényei Legyen a derékszögű háromszög két hegyesszöge α és β . Írjuk fel az α és β szögek szögfüggvényeit, és keressünk egyenlőket közöttük! sin α =
a c
cos α =
b c
tg α =
a b
ctg α =
b a
sin β =
b c
cos β =
a c
tg β =
b a
ctg β =
a b
Derékszögű háromszögben a két hegyesszög összege 90°, ezért β felírható β = 90° − α alakban. α -t és β -t egymás pótszögének nevezzük. Egy szög és pótszögének szögfüggvényei között a következő összefüggések találhatók:
sin α = cos (90°– α);
cos α = sin (90°– α);
tg α = ctg (90°– α);
ctg α = tg (90°– α).
69
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
Pitagoraszi azonosság Láttuk, hogy egy szög tangense és kotangense között egyszerű kapcsolat áll fenn: egymás reciprokai. Vizsgáljuk meg, mi lehet a kapcsolat egy szög szinusza és koszinusza között! Legyen a 60°-os derékszögű háromszög átfogója 2 egység. Írjuk fel a háromszög másik két oldalának hosszát! Mivel az ABC háromszög „fél egyenlő oldalú”, ezért AC = 1 , a BC befogó Pitagorasz tétele szerint BC = sin 60° =
AB 2 − AC 2 = 3 .
3 1 3 1 , cos 60° = , négyzetük összege sin 2 60° + cos 2 60° = + = 1 . 4 4 2 2
A kapott összefüggés minden hegyesszögre igaz. Egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege 1.
Ezt az összefüggést négyzetes összefüggésnek vagy pitagoraszi trigonometrikus azonosságnak hívjuk.
Az ábra szerint abban a derékszögű háromszögben, amelynek átfogója 1 egység, az oldalak hossza sin α és cos α . Ebből könnyen igazolható a négyzetes összefüggés, bármely hegyesszögre.
70
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolata a szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy sin α =
a b és cos α = . Ezeket egymással c c
a sin α a c a elosztva a következőre jutunk: = c = ⋅ = , ami éppen α tangense, és a számlálót cos α b c b b c
és a nevezőt felcserélve α kotangensét kapjuk. Fennáll a következő két azonosság:
Ezeknek az azonosságoknak nagy jelentőségük lesz később, amikor a szögfüggvények értelmezését kiterjesztjük nem hegyesszögekre is.
Mintapélda6 Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? a) sin 50° + tg10° ⋅ ctg10° − cos 40°
Megoldás: 50° és 40° egymás pótszögei. A pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó összefüggések szerint sin 50° = cos 40° , ezért különbségük 0. tgα ⋅ ctgα = 1 , ezért tg10° ⋅ ctg10° = 1 . A kifejezés értéke 1. b) sin 2 50° − 2 sin 50° ⋅ cos 40° + cos 2 40°
Megoldás: Az (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 nevezetes azonosság szerint 2
sin 2 50° − 2 sin 50° ⋅ cos 40° + cos 2 40° = (sin 50° − cos 40°) = 0 2 = 0 . 2
c) (sin α + cos α ) − 2 sin α cos α 2
Megoldás:
A nevezetes azonosság segítségével átalakítható a kifejezés:
(sin α + cos α )2 − 2 sin α cos α = sin 2 α + cos 2 α = 1.
= sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α − 2 sin α cos α =
71
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
Mintapélda7 Mutassuk meg, hogy minden α hegyesszögre fennáll a következő összefüggés: 1 = 1 + ctg 2 α . sin 2 α Megoldás:
A bal oldalt átalakítjuk a tanult összefüggések alkalmazásával: 1 + ctg 2 α = 1 +
cos 2α = sin 2α
sin 2 α + cos 2α 1 = , vagyis teljesül az egyenlőség. = 2 sin α sin 2 α
Feladatok 30. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül!
a) sin 2 30° − 2 + cos 2 30° ;
b) 1 − sin 2 75° − cos 2 75° ;
c) 1 − sin 2
d) cos 2 63° + cos 2 27° ;
e) sin 20° − cos 70° ;
f) sin 2
π 6
− sin 2
π 3
;
3π π + sin 2 + 2 . 10 5
31. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül:
a) (sin 10° + cos10°) + (sin 10° − cos10°) ; 2
2
b) sin 25° ⋅ cos 65° + sin 65° ⋅ cos 25° ; c) 1 − cos 2 32° − 2 sin 32 ⋅ ° cos 58° + cos 2 58° . 32. Igazak-e minden α hegyesszögre a következő egyenlőségek:
a)
1 = 1 + tg 2 α ; cos 2 α
c) ctg (90° − α ) ⋅
cos α = 1; sin α
b)
sin α 1 = ; cos α 1 − cos 2 α
d) tg 2α =
(1 + cosα )(1 − cos α ) . 1 − sin 2 α
33. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét:
a) (sin α + cos α ) ⋅ (sin α − cos α ) + 2 cos 2 α ;
b) tg (90° − α ) −
c) sin 4 α + sin 2 α ⋅ cos 2 α + cos 2 α ;
d)
cos α ; sin α
tg 2α (1 + sin α )(1 − sin α ) . (1 + cos α )(1 − cos α )
72
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
III. Nevezetes szögek szögfüggvényei Korábban megtanultuk, hogy az a oldalú szabályos háromszög magassága
a 3 , és az a ol2
dalú négyzet átlója a 2 . Ezekkel az ismeretekkel meghatározhatjuk nevezetes szögek, a 30°, 45° és 60° szögfüggvényeinek pontos értékeit.
30° és 60° szögfüggvényei a a 1 sin 30° = 2 = = = cos 60° . a 2a 2 a 3 3 cos 30° = 2 = = sin 60° . 2 a a 1 2 1 3 tg30° = 2 = ⋅ = = = ctg60° . 3 3 a 3 2 3 2
ctg30° =
1 = 3 = tg60° . tg30°
A számításban kihasználtuk a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióját, a pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó összefüggéseket, és gyöktelenítettünk is.
45° szögfüggvényei sin 45° = tg 45° =
a a 2
=
1 2
=
a = 1 = ctg45° . a
2 = cos 45° . 2
73
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
A nevezetes szögek szögfüggvényeit táblázatba is foglalhatjuk. A szögeket gyakran (például fizikai feladatokban) ívmértékben (radiánban) adják meg.
α
π
30°
6
π
45°
4
π
60°
3
sin α
cos α
tgα
ctgα
1 2
3 2
3 3
3
2 2
2 2
1
1
3 2
1 2
3
3 3
Mintapélda8 a) Mennyi a következő kifejezés pontos értéke: tg 45° + sin 2 18° − cos 20° − 4 cos 60° + 3 ⋅ tg 30° + cos 2 18° + sin 70° ? Megoldás:
Alkalmazzuk az eddig tanult azonosságokat és a nevezetes szögek szögfüggvényeit! Érdemes átcsoportosítani a kifejezést, hogy jobban lássuk az összetartozó értékeket:
= 1+1− 4 ⋅
1 3 + 3⋅ +0 = 2 3
3.
b) Milyen szög szinuszával egyenlő a következő kifejezés:
tg
π 4
⋅ cos
π 3
⋅ cos
π 6
Megoldás: tg
π 4
⋅ cos
π 3
⋅ cos
π 6
⋅ ctg
π
1 3 ⋅ 3= = 1⋅ ⋅ 2 2 6
3 3 π = . Ez szinusza. 4 2 3
⋅ ctg
π 6
?
74
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 34. 30°-os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 6 ⋅ 3 . Mekkora a két befogó pon-
tos hossza? 35. 30°-os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 10 ⋅ 12 . Mekkora a két befogó
pontos hossza? 36. 30°-os derékszögű háromszögben az átfogó hossza a ⋅ 3 . Mekkora a két befogó pon-
tos hossza?
37. Mekkora az AB, BC és CD szakasz hossza,
ha EB = 12 cm?
38. Az AD oszlop teteje a talajon az A-tól 6 méterre levő B pontból 45°-os szögben látszik.
Az AB irányban addig távolodunk az oszloptól a talajon, amíg azt 30°-os szögben nem látjuk. Milyen messze vagyunk az oszloptól? 39. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!
a) 2 cos 60° + 3 sin 30° + tg 45° ; c)
2 − tg 45° ; sin 60° + sin 30°
[
b) sin 2 60° − ctg45° + sin 2 30° ; d) (sin 60° + cos 30°) ⋅ tg30° ;
]
e) (cos 60° + sin 60°) − 1 ⋅ tg 60° . 2
40. Egy 10 cm sugarú körben milyen messze vannak egymástól a 120°-os és a 90°-os kö-
zépponti szöghöz tartozó, egymással párhuzamos húrok végpontjai, ha a kör középpontja
a) a húrok között helyezkedik el;
b) nem a húrok között helyezkedik el?
41. Egy négyzet alapú gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszöge 60°. Mekkora az
oldalél és az alaplap hajlásszöge?
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
75
42. Egy négyzet alapú gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszöge 45°. Mekkora az
oldalél és az alaplap hajlásszöge? 43. Egy 10 cm sugarú kör húrja a középponttól 5 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz
tartozó körszelet kerületét és területét! 44. Egy 12 cm sugarú kör húrja a középponttól 6 2 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz
tartozó körszelet kerületét és területét! 45. Egy 20 cm hosszúságú húr a kör középpontjától 10 3 cm-re található. Számítsd ki a
húrhoz tartozó körszelet kerületét és területét!
76
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
IV. A szögfüggvények alkalmazásai A szögfüggvényeket széles körben alkalmazzák mind a természettudományok, mind a hétköznapi élet területein. A következőkben erre látunk példákat, feladatokat.
Mintapélda9 Határozd meg a háromszög területét, ha két oldala 7 cm és 10 cm, a köztük levő szög 28°-os!
Megoldás: T=
1 ⋅ oldal ⋅ oldalhoz tartozó magasság 2
Az AB oldalhoz tartozó magasságot az ACT derékszögű háromszögből számítjuk ki: sin 28° =
T=
m , ahonnan m = 7 sin 28° . 7
1 ⋅10 ⋅ 7 ⋅ sin 28° ≈ 16,43 cm2. 2
A kapott összefüggés általánosan is igaz, mindenféle háromszögre: a háromszög területe kifejezhető úgy is, hogy összeszorozzuk két oldalát a közbezárt szög szinuszával, és a szorzatot kettővel osztjuk.
Ha az a és b oldalak által közbezárt szöget γ -val jelöljük, akkor ma = b ⋅ sin γ , és így
T=
1 1 ⋅ a ⋅ ma = ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ . 2 2 A háromszög trigonometrikus területképlete:
77
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
Mintapélda10 Fejezzük ki a hegyesszögű háromszög köré írt kör sugarát egy oldalának és egy szögének segítségével!
Megoldás: A köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, és egyenlő távol van a csúcsoktól. Legyen α az A csúcsnál levő szög. BOC szög a kerületi és középponti szögek tétele miatt α kétszerese, amit felez a BOC háromszög magassága.
a a BOT derékszögű háromszögben sin α = 2 = . Ebből a köré R 2R írt kör sugara R =
a . Ez az összefüggés bármelyik oldalra és a vele szemközti szög2 ⋅ sin α
re felírható. Átrendezve ezt az egyenlőtlenséget, a = 2 R sin α , vagyis az R sugarú körben egy a húr hossza az átmérő és a húrhoz tartozó kerületi szög szinuszának szorzatával egyenlő.
Feladatok 46. Határozd meg a háromszög területét, ha a szokásos jelölésekkel …
a) a = 156 cm, b = 2,6 m, γ = 68° ;
b) a = 42 cm, b = 32,7 cm, γ = 39° .
47. Mekkora az r sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körszelet kerülete és
területe, ha a) r = 5 cm; α = 70° ;
b) r = 12,3 dm; α = 38° ;
c) r = 0,3 cm; α = 52° ?
48. Mekkora az r sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körszelet kerülete és
területe?
49. Egy l hosszúságú húr x távolságra van a kör középpontjától. Mekkora a húr által lemet-
szett kisebb körszelet kerülete és területe, ha a) l = 7 cm; x = 2,5 cm;
b) l = 12 cm; x = 2 cm;
c) l = 10,9 cm; x = 21 cm?
78
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
50. Milyen hosszúak a szabályos ötszög átlói, ha köréírható körének sugara
a) 12 cm;
b) 18,3 dm?
51. Milyen hosszúak a szabályos ötszög átlói, ha oldalának hossza
a) 8 cm;
b) 11,8 cm?
52. A szabályos ötszög 5 átlója egy kisebb ötszöget zár közre. Mekkora ennek az ötszög-
nek az oldalhossza, ha az eredeti ötszög minden oldala a) 20 cm; b) 12, 8 m;
c) a ?
Mintapélda11 Egy kör kerületét a beleírt szabályos hatszög, illetve a beleírt szabályos hatvanszög kerületével közelítjük. Hány százalékos hibával közelítünk az egyes esetekben?
Megoldás: A hiba az eltérés és a kör kerületének aránya százalékban kifejezve. A kör kerülete 2rπ ,
π -t vegyük 3,141592654-nek (gépi adat). A beleírt hatszög kerülete 6r , a hiba 6r ⎞ 3⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 2 rπ − 6 r ⎞ 100 ⋅ ⎜ ⎟ = 100 ⋅ ⎜1 − ⎟ = 4,51% . ⎟ = 100 ⋅ ⎜1 − ⎝ 2 rπ ⎠ ⎝ π⎠ ⎝ 2 rπ ⎠ A beleírt hatvanszög egy oldala 2 ⋅ r ⋅ sin
180° = 2 ⋅ r ⋅ sin 3° . A hiba 60
⎛ 2rπ − 120r sin 3° ⎞ ⎛ 60 sin 3° ⎞ 100 ⋅ ⎜ ⎟ = 100 ⋅ ⎜1 − ⎟ = 0,05% . 2 rπ π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Mintapélda12 Határozd meg a szabályos tízszög kerületét és területét, ha 10 cm sugarú kör írható köré! Megoldás:
A tízszög 10 darab egybevágó háromszögre bontható a csúcsaiba húzott sugarakkal. Két szomszédos sugár által bezárt szög 36°. A terület kiszámítható a trigonometrikus területképlet segítségével: T = 10 ⋅
r 2 sin 36° ≈ 293,9 cm2. 2
A kerület meghatározásához előbb kiszámítjuk x hosszát: x = r ⋅ sin 18° ≈ 3,1 cm, K = 20 x ≈ 62 cm.
79
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
Feladatok 53. Az r sugarú kör területéből mekkora területű rész marad ki, ha n oldalú szabályos sok-
a) r = 20 cm; n = 8 ;
szöget írunk bele, és
b) r = 15 cm; n = 10 ;
c) r = 2,5 dm; n = 12 ? Oldd meg a feladatot általánosan is!
54. A kör területének hány százaléka marad ki, ha bele n oldalú szabályos sokszöget írunk,
és
a) n = 6;
b) n = 8;
c) n = 10;
d) n = 16 ?
55. Mekkora annak a 12 cm oldalhosszúságú szabályos sokszögnek a területe, amelynek
oldalszáma
a) 5;
b) 8;
c) 12?
56. Közelítsük a kör kerületét a beleírt 20 oldalú, szabályos sokszög kerületével! Hány
százalékos hibát vétünk?
57. Közelítsük a kör területét a beleírt 30 oldalú, szabályos sokszög területével! Hány szá-
zalékos hibát vétünk?
58. Az ókorban a kör kerületét, végső soron π pontos értékét a köré írt és a beleírt, azonos
oldalszámú szabályos sokszög kerületének átlagával közelítették. a) Keresd meg azt a k(n,r) összefüggést, amely az r sugarú körbe írt n oldalú szabályos sokszög kerületét adja meg! b) Keresd meg azt a K(n,r) összefüggést, amely az r sugarú kör köré írt n oldalú szabályos sokszög kerületét adja meg! c) Minél nagyobb n értéke,
k (n,1) + K (n,1) átlag annál jobban megközelíti az 1 egy2
ség sugarú kör kerületét, azaz 2π pontos értékét. Milyen n értékétől kezdve közelíti meg a tört értéke a 6,28318 értéket úgy, hogy az első 3 tizedesjegy értéke megfelelő?
80
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
59. Számítsd ki α szögfüggvényeinek pontos értékét: a) α = 15° ;
b) α = 22,5° !
60. Mekkora szöget zárnak be a belső és a külső érintők annál a két körnél, amelyek suga-
ra 8 cm és 3 cm, és középpontjaik távolsága 16 cm?
61. Mekkora szöget zárnak be a belső és a külső érintők annál a két körnél, amelyek suga-
ra 8 cm és 12 cm, és középpontjaik távolsága 30 cm?
Mintapélda13 Határozd meg az a(– 3; – 5) és b(4; 1) vektorok hajlásszögét! Megoldás:
Keressünk olyan derékszögű háromszögeket a koordinátarendszerben, amelyek segítenek a számításban! Az ábráról leolvasható, hogy a keresett szög α + 90° + β . 1 ⎫ ⇒ α ≈ 14°⎪ ⎪ 4 ⎬ a keresett hajlásszög 135°. 3 tgβ = ⇒ α ≈ 31° ⎪ ⎪⎭ 5
tgα =
Feladatok 62. Határozd meg az a és b vektorok hajlásszögét, ha a) a(1; 4) és b(5; 2);
b) a(– 2; – 5) és b(3; 2);
c) a(– 6; – 2) és b(5; 1);
d) a(2; –5) és b(– 4; 2).
63. Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha A(− 5;2), B(3;5), C (2;− 4) !
64. Egy labdát 30°-os szögben felfelé dobnak el, vo = 14 m/s kezdősebességgel. Határozd
meg vo kezdősebesség-vektor vízszintes és függőleges komponensének nagyságát!
65. A szánkó 170 centiméteres kötelét a földtől 22 cm magasságban rögzítették a szánkó-
hoz, és a kötél végét a földtől 1,20 méter magasan húzzuk, 120 N erővel. Mekkora a húzóerő vízszintes és függőleges komponense?
81
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
66. A vízszintes talajon egy pálcát ferdén, α szögben dugtak a földbe
úgy, hogy y hosszúságú darabja látszik ki. Mekkora a pálca árnyéka, ha a rajz szerinti elrendezésben a fénysugarak a függőlegessel
β szöget zárnak be, és a) y = 2 m; α = 30°; β = 12° ;
b) y = 120 cm; α = 27°; β = 8° .
67. Egy 22° hajlásszögű lejtőn nyugvó pontszerű test súlya 40 N. Számítsd ki, hogy meny-
nyi a súlyerőből eredő nyomóerő és gyorsító erő! A nyomóerő merőleges a felületre, a gyorsító erő a lejtővel párhuzamos.
68. Egy 48° hajlásszögű lejtőn nyugvó pontszerű test súlya 120 N. Számítsd ki, hogy
mennyi a súlyerőből eredő nyomóerő és gyorsító erő! A nyomóerő merőleges a felületre, a gyorsító erő a lejtővel párhuzamos.
69. Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót x és y hosz-
szúságú szeletekre bontja. Mekkorák a háromszög hegyesszögei és oldalai, ha a) x = 8 cm, y = 12 cm;
b) x = 3 dm; y = 40 cm;
c) x = 12,3 m; y = 5,4 m.
70. Egy derékszögű háromszögben a befogójának az átfogóra eső merőleges vetülete p.
Mekkorák a háromszög hegyesszögei és kerülete, ha a) a = 10 cm; p = 8 cm;
b) a = 20,4 cm; p = 18,2 cm?
71. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 20 cm és 14 cm, szárai
7 cm hosszúak?
72. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 14 cm és 8 cm, szárai 5
cm hosszúak?
73. A földtől 50 cm magasan lóg egy 2 m hosszú láncra erősített hinta. Milyen magasan
van a hinta a földtől akkor, amikor a lánca a függőlegessel 18°-ot zár be?
82
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
74. a) Egy 76° nyílásszögű spotlámpát egy gerendára rögzítettek 260 cm magasan, és pon-
tosan függőlegesen lefelé irányítottak. Mekkora a padlón megvilágított terület? b) Milyen magasan legyen a lámpa, ha azt szeretnénk, hogy legfeljebb egy 8 m2-es területet világítson be?
75. Egy félgömb alakú domb szélétől 16 méterre a domb a vízszintes talajhoz képest 17°-
os szögben látszik. Mekkora a gömb sugara?
76. Mekkora annak a körnek a sugara, amelyhez a körtől 15 cm távolságra levő külső
pontból húzható érintők hajlásszöge 46°?
77. Mekkora az a és b befogójú derékszögű háromszögben a beleírható és a köré írható kör
sugara, ha
a) a = 30 cm, b = 40 cm;
b) a = 18 cm; b = 26 cm.
78. Egy egyenlőszárú háromszög kerülete 42 cm, a szárak hajlásszöge 25°. Mekkorák a
háromszög oldalai és területe?
79. Egy egyenlőszárú háromszög kerülete 120 cm, az alap és a szár hajlásszöge 72°. Mek-
korák a háromszög oldalai és területe?
80. Az alexandriai világítótorony az ókor hét nagy csodájának egyike volt. Egy arab utazó,
Abou-Haggag Al-Andaloussi a tenger egy pontjáról a torony tetejét 4,46°-os szögben, egy 37 méterrel lejjebb eső részét 3,05°-os szögben látta. Milyen magas volt a torony, és milyen messziről nézte az utazó a tornyot?
81. Egy hegy tetején álló 8 méter magas kilátó alját egy pontról a vízszinteshez képest
15,9°-os, a tetejét 16,4°-os szögben látjuk. Milyen magas a hegy?
82. Egy 6 m magas oszlopon álló szobor alját 36,9°-os, tetejét 51,3°-os szögben látjuk.
Milyen magas a szobor?
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
83
83. Egy villanyoszlop tetején a jelzőbóját 3,43°-os szögben látjuk. 190 métert közeledve a
villanyoszlop felé, ez a szög 8,81°-ra változik. Milyen magasan van a jelzőbója?
84. Egy 6 m magasan elhelyezkedő ablakból egy fa alja 11,3°-os depressziószögben, a
teteje 28°-os emelkedési szögben látszik. Milyen magas a fa? (A depressziószög a megfigyelőtől egy nála alacsonyabban fekvő pontra irányuló látósugárnak a vízszintessel bezárt szöge.)
85. Egy hangya a földtől 63,2 cm magasságban az asztalról a szemközti szekrény alját 12°-
os depressziószögben, tetejét 18,3°-os emelkedési szögben látja. Milyen magas a szekrény?
86. 3,8 m magasban, egy ablakból határozzuk meg egy autó hosszát, amelynek hosszten-
gelye épp merőleges az ablak síkjára. Az autó eleje 20,8°-os, a hátulja 54,6°-os depressziószögben látszik. Milyen hosszú az autó?
87. Az autópálya egyenes szakasza felett merőlegesen átívelő felüljáróról nézzük a 2800 m
hosszú torlódást. A legelső autót 12,40°-os, a legutolsót 0,26°-os depressziószögben látjuk. Milyen magas a felüljáró?
Néhány szó a gömbi trigonometriáról (olvasmány) Láttuk, hogy síkon hogyan értelmezhetjük a szinusz- és koszinuszfüggvényeket. Számítógép és rárajzolható gömbi modellek segítségével könnyen elképzelhetjük és megszerkeszthetjük a gömbi ábrákat. Trigonometrikus számításokat pedig még jobb zsebszámológéppel is gyerekjáték elvégezni, akár nyolc-tíz tizedes jegy pontossággal is. Az alábbiakban, ízelítőül, egyetlen tételt mutatunk be a gömbi trigonometriából: a gömbi Pitagorasz-tételt. Ehhez szükséges tisztáznunk valamit, ami első pillantásra ellentmondásosnak tűnik.
84
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mindeddig élesen megkülönböztettük a gömbi távolságot a gömbi szögtől. A gömbi távolságot gömbi távolságegységekben, gömbi lépésekben mértük, és a főkör hosszát 360 gömbi lépésnek tekintettük. A gömbi szöget gömbi szögegységekben, gömbi fokokban mértük, és a teljesszöget 360 foknak tekintettük. Az ábra sötét gumidarabja a két fogpiszkáló között körülbelül 80 gömbi lépés hosszúságú főkördarabnak, gömbi szakasznak felel meg. Ha a gömbnek nemcsak a felületét, hanem belsejével együtt az egész gömböt tekintjük, akkor beláthatjuk, hogy a gömbi távolságot a háromdimenziós térben síkbeli szögként is felfoghatjuk. Annyit kell csak tennünk, hogy a gömbi főkördarab két végpontját összekötjük a gömb középpontjával, térbeli egyenes szakaszok segítségével. Az alábbi ábrán az előző gömbi szakasz a két fogpiszkáló félegyenesei által bezárt, körülbelül 80 fokos síkbeli szögnek felel meg. Ezek szerint a gömbi távolságot nemcsak gömbfelületi vonalként, de térbeli szögként is felfoghatjuk. Ezért nemcsak gömbi lépésekben, de a szögmérésnél megszokott fokokban is mérhetjük. Ebből következik, hogy adott gömbi szakasz szinuszát vagy koszinuszát is értelmezhetjük. A síkbeli Pitagorasz-tétel megfelelőjét keressük a gömbön. Első gondunk az, hogy a gömbháromszögnek nem csak egy, hanem két vagy három derékszöge is lehet. Hogyan választhatjuk ki ilyen esetben a három oldal közül az „átfogót”? Egyetlen értelmes megoldás lehetséges. Ha a háromszögben egynél több derékszög van, válasszuk ki az egyik derékszöget, és a vele szembeni háromszögoldalt tekintsük „átfogónak”, a másik kettőt „befogónak”. Erre az átfogóra és ezekre a befogókra kell teljesülnie a gömbi Pitagorasz-
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
85
tételnek. Természetesen, ha másik derékszöget választunk ki a háromszögben, és újra osztjuk az „átfogó” és „befogó” szerepeket, akkor a gömbi Pitagorasz-tételnek most is teljesülnie kell! A gömbi Pitagorasz-tétel így hangzik: Ha a gömbháromszögben találtunk egy derékszöget, a vele szembeni oldalt átfogónak nevezzük, és gömbi hosszúságát c-vel jelöljük. A másik két oldalt befogóknak tekintjük, és gömbi hosszúságukat a-val és b-vel jelöljük. a-t, b-t és c-t most síkbeli szögekként fogjuk fel, teljesül a következő egyenlőség: cos a cos b = cos c
Ezt a tételt sokféleképpen bizonyíthatjuk, de itt ezzel nem foglalkozunk.
Feladatok: 88. Hogyan teljesül a gömbi Pitagorasz-tétel a kétszer vagy
háromszor derékszögű háromszögekre?
89. Bizonyítsuk be a gömbi Pitagorasz-tétel segítségével, hogy
az a gömbháromszög, amelynek két szára 45 gömbi lépés, alapja pedig 60 gömbi lépés, nemcsak egyenlőszárú, hanem derékszögű is!
86
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Kislexikon Egy α hegyesszög szinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa. Egy α hegyesszög koszinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti befogó és az átfogó hányadosa. Egy α hegyesszög tangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az α melletti befogó hányadosa. Egy α hegyesszög kotangense az α szögű derékszögű háromszögben az α melletti befogó és az α szöggel szemközti befogó hányadosa. Nevezetes szögek szögfüggvényei
α 30° 45° 60°
π 6
π 4
π 3
sin α
cos α
tgα
ctgα
1 2
3 2
3 3
3
2 2
2 2
1
1
3 2
1 2
3
3 3
87
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
Tételek és bizonyítások Összefüggés egy szög tangense és kotangense között
A derékszögű háromszögben tg α =
a b és ctg α = definíciókból b a
leolvasható, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka: ctg α =
1 , más alakban felírva ctg α ⋅ tg α = 1 . tg α
Pótszögek szögfüggvényei
Egy derékszögű háromszög hegyesszögei α és β . Írjuk fel α és β szögek szögfüggvényeit, és keressünk egyenlőket közöttük! sin α =
a c
cos α =
b c
tg α =
a b
ctg α =
b a
sin β =
b c
cos β =
a c
tg β =
b a
ctg β =
a b
A két hegyesszög összege 90° (egymás pótszögei), ezért β felírható β = 90° − α alakban. Az így kapott összefüggéseket a pótszögek szögfüggvényeinek nevezzük. sin α = cos(90° − α ) ; cos α = sin(90° − α ) ; tg α = ctg(90° − α ) ; ctg α = tg (90° − α ) .
Pitagoraszi azonosság
a és b befogójú, c átfogójú derékszögű háromszögben (a-val szemközti szög: α ) a2 ⎫ ⎪ a2 b2 a2 + b2 c2 c2 ⎪ 2 2 sin α + cos α = + 2 = = 2 =1 2 2 2⎬ c c c c b cos 2 α = 2 ⎪ ⎪ c ⎭
sin 2 α =
Ugyanis a Pitagorasz-tétel szerint a 2 + b 2 = c 2 , ezért sin 2 α + cos 2 α = 1 . Ezt az összefüggést négyzetes összefüggésnek is hívjuk. Az összefüggésből az adódik, hogy sin α = 1 − cos 2 α , illetve cos α = 1 − sin 2 α .
88
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolata szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel
A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy sin α =
a b és cos α = . Ezeket egymással c c
a sin α a c a elosztva a következőre jutunk: = c = ⋅ = , ami éppen α tangense, és a számlálót cos α b c b b c
és a nevezőt felcserélve α kotangensét kapjuk. Fennáll a következő két azonosság: tg α =
sin α cos α és ctg α = . cos α sin α
Nevezetes szögek szögfüggvényei
A speciális háromszögeknél megtanultuk, hogy az a oldalú szabályos háromszög magassága a
3 , és az a oldalú négyzet átlója a 2 . Ezekkel az ismeretekkel meghatározhatjuk a neve2
zetes szögek, a 30°, 45° és 60° szögfüggvényeinek pontos értékeit. 30° és a 60° szögfüggvényei
a a 1 sin 30° = 2 = = = cos 60° a 2a 2
cos 30° =
tg30° =
a
3 2 = 3 = sin 60° 2 a
a 2
1 2 1 3 = ⋅ = = = ctg60° 3 3 2 3 3 a 2
ctg30° =
1 = 3 = tg 60° tg 30°
A számításnál kihasználtuk a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióját, a szögfüggvényekre vonatkozó összefüggéseket, és gyöktelenítettünk is.
9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
45° szögfüggvényei
sin 45° = tg 45° =
a a 2
=
1 2
=
a = 1 = ctg45° a
2 = cos 45° 2
89
10. MODUL gráfok Készítette: Lövey Éva
92
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Gráfok mindenhol A gráfelmélet a matematika viszonylag új ága. Történetét Euler svájci matematikus 1736-ban megjelent dolgozatától számítják, amely a königsbergi hidak néven ismert problémával foglalkozik.
A königsbergi hidak problémája Az 1730-as években Königsberg (ma Kalinyingrád, Oroszország) város polgárai azzal a kérdéssel fordultak Eulerhez, a kor neves matematikusához, hogy vajon át lehet-e menni a várost átszelő Pregel folyó két szigetére épült hét hídon úgy, hogy minden hídon csak egyszer áthaladva visszatérjünk a kiindulópontra?
A város térképe
A térkép sematikus rajza
Euler a problémát úgy oldotta meg, hogy készített egy rajzot, amelyben a városrészeket pontokkal szemléltette, az ezeket összekötő hidakat pedig vonalakkal.
Euler vázlata a városról:
Az így elkészített alakzatot gráfnak nevezzük. A gráfelméletben a pontokat csúcsoknak, az őket összekötő vonalakat pedig éleknek nevezzük.
93
10. modul: GRÁFOK
Euler nyomán tehát így fogalmazhatjuk át a problémát: Bejárhatjuk-e a gráfot úgy, hogy ugyanabba a csúcsba érkezzünk vissza, ahonnan elindultunk, és minden élen csak egyszer haladjunk végig? (A feladat megoldására majd visszatérünk.) Gráfelmélettel több híres magyar matematikus is foglalkozott és foglalkozik napjainkban is. Csak néhányat említve a nevek közül: Erdős Pál, Gallai Tibor, König Dénes, Lovász László, Pósa Lajos, Rényi Alfréd és T. Sós Vera. Erdős Pálról még a későbbiekben szó lesz.
Mintapélda1 Tekintsük most azt a gráfot, amelyet Euler rajzolt a königsbergi probléma megfejtéséhez. A csúcsokat A,B,C és D betűkkel jelöltük, és számoljuk meg, hogy az egyes csúcsokból hány él fut ki! Számoljuk meg azt is, hány élt tartalmaz a gráf, majd vessük össze a csúcsok fokszámainak összegével!
Egy gráfban a csúcsok fokszáma a csúcsba futó élek száma.
Megoldás: A csúcsokból kiinduló élek számát a függvényekhez hasonlóan jelöljük a matematikában, azaz az A csúcsból 5 él fut ki, tehát f ( A) = 5 . Hasonlóan az összes élre: f (B ) = 3,
f (C ) = 3,
f ( D ) = 3.
A gráf éleinek száma 7. Észrevehetjük, hogy f ( A) + f (B ) + f (C ) + f (D ) = 14 , ami éppen kétszer annyi, mint a csúcsok fokszáma összege. Véletlen-e ez az egybeesés? Könnyen beláthatjuk, hogy nem! Egy csúcs fokszáma azt jelzi, hogy hány él indul ki belőle. Ha tekintjük azt az élt, amelyik az A és C csúcsokat köti össze, azt beleszámoltuk az A csúcs és a C csúcs fokszámába is, ebből adódik a kétszeres szorzat.
94
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Megállapíthatjuk tehát: Bármely gráfban a csúcsok fokszámának összege az élek számának kétszerese.
Mintapélda2 Jancsi és Juliska elaludt egy fa alatt, és amikor felébredtek, nem találták édesapjukat. Fától fáig futottak és keresték őt, majd a fáradtságtól újra elnyomta őket az álom. Kóborlásuk alatt végig kavicsokat szórtak el az úton. Meg tudjuk-e mondani, hogy melyik fától indultak, és hol lehetnek most? Két különböző rajzunk van a történtekről:
Megoldás: Ha egy fához csak odaszaladtak, majd onnan el is mentek, a fát jelző csúcsnál két él jelenik meg. Az ilyen csúcsok fokszáma 2 vagy 4, vagy annyiszor kettő, ahányszor a fánál jártak. Az indulási és érkezési helyet onnan ismerjük fel, hogy az adott csúcsok fokszáma páratlan, hiszen nem ugyanannyiszor indultak el onnan, mint ahányszor megérkeztek. Tehát az első esetben az indulás és érkezés helye az A vagy az F fa lehet. A második esetben minden csúcs fokszáma páros. Tehát nem tudjuk megmondani, hol lehetnek most, de az biztos, hogy ugyanott, ahonnan elindultak.
10. modul: GRÁFOK
95
Mintapélda3 Mutassuk meg, hogy a königsbergiek hiába próbálkoznak a hidak bejárásával! Megoldás: Az első mintapéldában megállapítottuk, hogy a csúcsok fokszáma 5;3;3;3. Azt is megállapítottuk az előző mintapélda kapcsán, hogy ha egy gráf egy valóban bejárt útvonalat jelöl, vagy minden csúcs fokszáma páros, vagy pontosan 2 páratlan fokszámú csúcsa van, az indulásé és az érkezésé. A königsbergiek Eulerhez intézett kérdésére a válasz: a hidak tehát nem járhatók be a kérdésben szerepeltetett feltételeknek megfelelően, mert a Königsbergi hidak gráfjában 4 olyan csúcs van, melynek fokszáma páratlan.
Feladatok: 1. Egy házaspár elhatározza, hogy taxival fogja végigjárni a város bizonyos utcáit. Meg tudják-e ezt tenni úgy, hogy minden útszakaszon csak egyszer menjenek végig? Hova rendeljék a taxit, azaz honnan érdemes indulni? Tervezz meg egy utat a feltételeknek megfelelően! 2. A paraffinmolekula általános képlete CnH2n+2, tehát n számú szén és 2n+2 számú hidrogénatomból állnak. Tudjuk, hogy molekuláris modelljükben a szénatomot jelképező csomópontok fokszáma 4, a hidrogénatomoké 1. Rajzold fel azt a gráfot, amely az n = 1 (etán), n = 2 (metán) és az n = 3 (propán) molekuláris modelljét adja! 3. Hat kosárlabda csapat, A, B, C, D, E, és F körmérkőzést játszik egymással. A lejátszott mérkőzéseket az egyes csapatok közötti élek jelölik. a) Hány fordulós lesz a körmérkőzés? b) Hányadik fordulónál tartanak éppen most? d) Ennek a fordulónak melyik mérkőzése van még hátra? e) Írd fel, milyen mérkőzések lesznek az utolsó fordulóban!
96
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
4. A térkép Budapest metróhálózatát mutatja a négyes metró megépülése után. Az egyes állomásokat
rácspontoknak
tekintve add meg a rácspontok fokszámát! Add meg a legkisebb, illetve legnagyobb mások
fokszámú
nevét!
Mi
állo-
jellemzi
ezeket az állomásokat? 5. Rajzolj olyan hatpontú gráfot, melyben a pontok fokszáma: a)
1; 2; 2; 2; 3; 4,
b)
1; 1; 2; 2; 3; 5,
c)
5; 5; 5; 5; 5; 5,
d)
1; 2; 2; 3; 3; 4.
6. Egy tárgyalás kezdetén 5 ember van a teremben. Akik nem ismerik egymást, névjegykártyát cserélnek. a) Mutasd meg, hogy páros azoknak az embereknek a száma, akiknél a végén páratlan számú idegen névjegykártya van! b) Próbáld ezt igazolni akkor is, ha nem tudjuk, hány ember gyűlt össze a teremben! 7. Öt diák utazik együtt egy vasúti fülkében. Nevezzük őket Aladárnak, Bélának, Cilinek, Dénesnek és Elemérnek. Így nyilatkoznak: Aladár: A fülkében ülők közül 4 embert ismerek. Béla:
A fülkében ülők közül 3 embert ismerek.
Cili:
A fülkében ülők közül 2 embert ismerek.
Dénes. A fülkében ülők közül 1 embert ismerek. Elemér: A fülkében ülők közül nem ismerek senkit. Feltételezve, hogy senki nem számolja bele saját magát az ismerősei közé, és az ismeretségek kölcsönösek, igaz lehet-e a fenti állítás-sorozat? 8. Hány olyan 5 csúcsú, egyszerű gráf van, amelyben minden csúcs legalább harmadfokú?
97
10. modul: GRÁFOK
9. A gráf minden egyes csúcspontja egy-egy országot jelöl. Két országot akkor köt össze él, ha azok határosak egymással. Add meg, melyik betű melyik országot jelöli, ha tudod, hogy A = Magyarország és B = Moldova.
A I
B
H C
G
D F
E
98
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
II. A pletyka terjedése Mintapélda4 A térképen Budapest éjszakai járatait tüntették fel (a 2005-ös menetrend szerint).
Ha
az
állomásokat
csúcspontoknak, a buszjáratok két megálló közti részét pedig éleknek tekintjük, gráfot kapunk. Állapítsuk meg, el lehet-e jutni éjszakai járattal a III. kerületi Bécsi úttól a XV. kerületi Erdőkerülő utcáig. (A kiindulási és a célállomást piros körrel jelöltük.) Megoldás: Az út megtehető, ha az 1É (kék) járatról átszállunk a 173É (zöld) járatra. Ha gondosan vizsgálgatjuk a térképet, megállapíthatjuk, hogy a gráf bármely csúcspontjából el lehet jutni a gráf bármely másik csúcspontjába. Ilyenkor azt mondjuk, a gráf összefüggő.
Mintapélda5 Válaszd ki az alábbi gráfok közül az összefüggőeket! a)
b)
c)
99
10. modul: GRÁFOK
Megoldás: Az a) és b) jelű gráfok összefüggőek, míg a c) jelű nem, hiszen például a fölső pontból éleken haladva nem tudunk eljutni az alsó pontba.
Mintapélda6 Mutassuk meg, hogy a b) jelű gráf összefüggő, azaz mutassuk meg, mely csúcspontokon keresztül lehet eljutni az egyes pontokhoz! Megoldás: Elegendő megmutatni, hogy el lehet jutni A-ból B-be, mert ezt az utat visszafelé megtéve lehet eljutni B-ből A-ba. Hasonlóan a többi pontpárra is csak egy megoldást írtunk le. A F
B
C
E
A→B: A-E-B
B→E: B-E
A→C: A-C
B→F: B-E-F
A→D: A-D
C→D: C-E-D
A→E: A-E
C→E: C-E
A→F: A-E-F
C→F: C-E-F
B→C: B-E-C
D→E: D-E
B→D: B-E-D
D→F: D-E-F E→F: E-F
D
Tehát a b) jelű gráf összefüggő.
Mintapélda7 A
L
Egy munkahelyen 12 ember dolgozik: A, B ,C, D ,E,
B
F, G, H, I, J, K és L. L valahol meghallott egy rosszindulatú pletykát A-ról. A pletykát mindenki
C
K
továbbadja 5 perc alatt annak, akivel barátkozik. A következő gráf azt mutatja, hogy ki kivel van
D
J
baráti kapcsolatban. a)
Eljuthat-e a pletyka A-hoz?
b)
Hány különböző úton juthat el a pletyka hozzá?
E I F H
G
c)
Hány perc múlva juthat el hozzá a rossz hír?
d)
Valaki a társaságból nem adta tovább a pletykát, így A-hoz nem jutott el a hír. Ki lehetett az?
100
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Megoldás: a)
Igen, megtudhatja többféleképpen is, hiszen L elmondja például C-nek, C J-nek, J Bnek, B H-nak, H F-nek, majd F elújságolja A-nak.
b)
A következő három kérdésre sokkal könnyebben válaszolhatunk, ha a gráfot
másképpen, azaz „ügyesebben” rajzoljuk meg. Semmi sem kényszerít arra, hogy a csúcspontokat egy körön helyezzük el. Csak arra kell ügyelnünk, hogy pontosan azok a pontok legyenek élekkel összekötH
F
ve, mint az előző gráfon. A rajzot
J
C
célszerű a legmagasabb fokszámú
D
A
pont felrajzolásával kezdeni. IlyenE
B G
L
kor az eredetivel izomorf gráfot hozunk létre.
I
K
Ezen
a
gráfon
ellenőrizhetően
ugyanazok a csúcspontok vannak összekötve, mint az előzőn. Feladatunk szempontjából azonban sokkal praktikusabb, a válasz könnyen leolvasható. L-ből A-ba csak úgy juthatunk el, ha B-n keresztülmegyünk. L-ből B-be három úton juthatunk, B-ből A-ba szintén három úton, így L-től A-ig a pletyka 9 úton juthat el. Ezek a következők: L-C-J-B-H-F-A;
L-C-J-B-D-A;
L-C-J-B-I-G-A;
L-E-B-H-F-A;
L-E-B-D-A;
L-E-B-I-G-A;
L-K-B-H-F-A;
L-K-B-D-A;
L-K-B-I-G-A.
c)
A felsorolásból látszik, hogy eljuthat A-hoz a pletyka 20, 25 vagy 30 perc alatt.
d)
Ügyesebb ábránkból könnyen megállapíthatjuk, hogy egyedül B van abban a
helyzetben, hogy megállíthatja a pletykát.
Mintapélda8 Gondolom, sokaknak ismerős a következő ábra. Ez az iwiw ismeretségi hálón elérhető szolgáltatás. Térképnek hívják. A kékkel jelölt téglalapban szereplő embert ismerősei veszik körül. Az ismeretség tényét a nevük közé húzott él jelzi. Látszik,
10. modul: GRÁFOK
101
hogy az ismerőseink közti kapcsolat is gyakori, sok az ismeretségek által alkotott kapcsolati háromszög. Add meg a kékkel jelzett felhasználó csúcspontjának fokszámát! Megoldás: Az éleket megszámolni szinte lehetetlen, de mivel tudjuk, hogy a kék felhasználó ismerősei vannak a gráfon, elég megszámolni a gráf csúcspontjait, és abból levonni a kék csúcspontot. Tehát a kékkel jelzett felhasználó rácspontjának fokszáma 29 – 1 = 28.
Feladatok: 10. a) A nyomtatott nagybetűk közül melyiket tudjuk lerajzolni a ceruza felemelése nélkül úgy, hogy egyik vonalon se menjünk át kétszer? b) Hány olyan betű van ezek között, amit úgy tudunk megrajzolni, hogy ugyanoda érkezünk vissza, ahonnan elindultunk?
ABCDEFGHIJKLMNORPSTUVZ 11. Válaszd ki az alábbi rajzok közül, melyiket lehet a ceruza felemelése nélkül egyetlen vonallal lerajzolni úgy, hogy egy vonalon se haladj kétszer:
12. Egy öttagú társaságban igaz, hogy mindenki pontosan két embert ismer a társaságból. Igaz-e, hogy ennek ellenére egy információ bárkitől bárkihez eljuttatható? (Az ismeretséget kölcsönösnek tételezzük fel.) 13. Hat szigetet hat híd köt össze. Rajzold meg a hidakat úgy, hogy a) minden szigetről minden szigetre el lehessen jutni. b) legyen olyan sziget, ahonnan sehova sem lehet jutni. c) minden szigeten legyen legalább két híd, de ne lehessen minden szigetre eljutni egyikről sem.
102
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
14. Egy diákkonferencián megkérdezték a résztvevőket, kinek hány iskolatársa van jelen. A diákok mindegyike válaszolt. Öten mondták azt, hogy 4 iskolatársuk van ott, nyolcan mondtak 3-at, hárman 2-t és négyen 1-et. Minden iskolából jött egy kísérőtanár is, más tanár viszont nem volt jelen. Készíts a feladat alapján gráfot, melyben olyan diákokat kötsz össze, akik egy iskolából érkeztek. Összefüggő lesz-e a kapott gráf? Hány diák és hány tanár vett részt az összejövetelen?
10. modul: GRÁFOK
103
III. Családfa és egyéb fák Mintapélda9 Igaz-e, hogy dédapáink nagyapjai és nagyapáink dédapjai ugyanazon személyek? Megoldás: Rajzoljuk meg a rokonsági kapcsolatokat ábrázoló gráfot!
A gráf legalsó pontja a legifjabb leszármazott, a fölötte levő szinten a szülők, nagyszülők, és így tovább. A gráf egyes csúcspontjai feketék, illetve pirosak attól függően, hogy férfit, vagy nőt jelképeznek. A nagyapák dédapáit kékkel karikáztuk be, a dédapák nagyapjait zöld háromszög keretezi. Látható, hogy a két jelölés nem mindig ugyanazokat az ősöket jelöli, tehát a kérdésre a válasz nemleges. Az ilyen elrendezésű gráfokat fagráfoknak szokták nevezni. Hogy rámutassunk, miért is ez az elnevezés, tekintsük egymás mellett egy családfa, egy fa és egy fagráf ábráját.
Egy fagráf bármely két pontja között pontosan egy út vezet.
104
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A fagráfra jó példa a számítógép könyvtárának elrendezése is. Itt még a gyökér elnevezés is előfordul, ami szintén mutatja az elnevezés jogosságát: A számítógép könyvtárában az egyes elemek elérhetőségét egy fagráffal tudjuk a legszemléletesebben ábrázolni:
A családfákon általában minden csúcsba (minden emberhez) csak egy úton juthatunk el valamely másik emberhez, mert a rokonok közti házasság általában nem szokás. Ha egy régi királyi család családfáját tekintenénk, ott láthatnánk, hogy két unokatestvér is összeházasodott néha, így az ábra a következőképpen módosulna:
Az ifjú gróftól a kékkel bekarikázott úrig két különböző úton ( a piroson és a zöldön) is eljuthatunk. Ilyenkor a gráf nem fa. Fagráfot alkot általában a víz és csatornahálózat is, valamint az elektromos hálózat. Hátránya a fagráfnak, hogy bármely él sérülése esetén akadnak olyan csomópontok, amelyek között nem lesz út, a gráf már nem lesz összefüggő. Ha az emberi erek hálózatából csak az artériás vagy csak a vénás erek hálóját tekintjük, ugyancsak fagráfhoz jutunk. Így ha az ér egy ponton elzáródik, az óhatatlanul több vagy kevesebb sejt pusztulásával jár.
105
10. modul: GRÁFOK
Mintapélda10 Készítsük el az összes lehetséges 6 csúcsú fagráfot! Megoldás: 6 pontú gráfot már 5 él segítségével összefüggővé tudunk tenni. Minden további él elhelyezése esetén lesz két olyan pont, melyek között több út is vezet. Ha a gráfnak 5 éle van, akkor csúcspontjainak fokszámát összeadva 10-et kapunk. Minden csúcs fokszáma legalább 1, hiszen nem lehet izolált pont, ugyanis bármely két pont között pontosan 1 út vezet, tehát minden pontba vezet él. A 10-et 6 darab pozitív egész szám összegeként így állíthatjuk elő: 5 +1+1+1+1+1
4 + 2 +1+1+1+1
3 + 3 +1+1+1+1
3 + 2 + 2 +1+1+1
2 + 2 + 2 + 2 +1+1
3 + 2 + 2 +1+1+1
A fenti 6 ábra ezeknek felel meg. Megjegyzés: Megfigyelhetjük, hogy a 6 csúcspontú fagráfokban 5 él van. Egy budapesti autóstérképen keressük meg a Nagykörút és a Wesselényi utca környékét! Ha a mellékelt térképvázlatot nézzük, látható, hogy a budapesti belváros utcáin nem lehet mindkét irányba haladni. Ha az Akácfa utca és a Dob utca sarkától a Dob utca és Kis Diófa utca
sarkáig
akarunk
eljutni,
az
egyirányú
utcák
miatt
kerülőt
kell
tennünk.
Ha gráfon akarjuk ábrázolni ezt a környéket, az utcasarkok lesznek a csúcspontok, a köztük
106 levő
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
utcákat
azonban
irányított
TANULÓK KÖNYVE
élekkel
kell
ábrázolni. Látható, hogy az Erzsébet körúton és a Király utca egy szakaszán mindkét irányban lehet haladni, ezt a gráfon is tudjuk érzékeltetni. Az olyan gráfokat, melyekben az élek irányítást is kapnak, irányított gráfoknak nevezik. Irányított gráfokat gyakran használnak a vállalatok üzleti kapcsolatainak ábrázolására is.
Mintapélda11 Az ábra nyilai üzleti tranzakciókat mutatnak különböző cégek között. Ha a nyíl az A pontból a C-be mutat, az azt jelenti, hogy A ad megrendelést a C cégnek. Elemezzük az ábrát, és válaszoljunk a következő kérdésekre: a) Hány céggel áll üzleti kapcsolatban a G cég? b) Hány céggel áll üzleti kapcsolatban az F cég? c) Melyik cég adja a legtöbb megrendelést? (Találjuk ki, milyen jellegű tevékenységet folytathat.) d) Milyen jellegű tevékenységet folytathat az I cég?
Megoldás: a) A G cég 3 másik céggel van üzleti kapcsolatban. b) Az F cég nem áll kapcsolatban a fenti cégek egyikével sem (izolált pont). c) Az A és a D cég adja a legtöbb megrendelést, lehet, hogy kiskereskedelemmel foglalkoznak, beszállítóik vannak, ezért tőlük nem rendel senki. d) Az I cég lehet például egy termelő cég, melytől a többi cég rendel. Egyetlen másik cégtől rendel, ez a C, ami esetleg valamilyen alkatrészt gyárt.
107
10. modul: GRÁFOK
Mintapélda12 6 csapat körmérkőzést játszik. Az egymás elleni mérkőzések eredményeit egy táblára jegyezték, de sajnos valaki letörölte a csapatok nevét az első oszlopból. Szerencsére Sanyi egy papírdarabkára rajzolt gráfon rögzítette, ki győzött le kit. Segíts újra beírni a csapatok nevét a táblázatba! csapatok
A A B C D E F
1:3 0:0 1:2 1:0 2:1
B C D 3:1 0:0 2:1 1:1 0:2 1:1 1:1 2:0 1:1 1:0 1:2 2:2 3:0 4:3 2:1
E 0:1 0:1 2:1 2:2
F pontszám 1:2 5 0:3 1 3:4 5 1:2 4 1:0 7 0:1 8
Megoldás: A táblázatban 4 döntetlen mérkőzés van, a gráfon 4 oda-vissza nyíl, így csak ez jelentheti a döntetlen mérkőzést. Egy olyan csapat van, amely pontosan 3-szor nyer, de egy olyan csapat sincs, aki pontosan 3-szor veszített, ezért meg kell nézni, melyik irányú nyílból van valamely csapatnál pontosan 3. Ez a csapat az E jelű lesz. A gráfon az látszik, hogy a Balra csapata az, amelyiknek 3 azonos típusú nyila van, és ez a Balra csapat csúcsából indul ki, tehát a nyíl a győztestől a legyőzött felé mutat. Tehát E = Balra. 3 döntetlent csak egy csapat ért el, a C jelű, ez a gráf szerint a Hova. C = Hova. 4-szer csak egy csapat győzött, tehát F = Jobbra. Egy olyan csapat van, amely négyszer vesztett, tehát B = Előre. Egy olyan csapat van, amelyik kétszer győzött, tehát A = Sajtok. D csapat tehát csak a Tovább nevű csapat lehet. A helyesen kitöltött táblázat:
csapatok Sajtok Előre Hova Tovább Balra Jobbra
A A B C D E F
1:3 0:0 1:2 1:0 2:1
B C D 3:1 0:0 2:1 1:1 0:2 1:1 1:1 2:0 1:1 1:0 1:2 2:2 3:0 4:3 2:1
E 0:1 0:1 2:1 2:2
F pontszám 1:2 5 0:3 1 3:4 5 1:2 4 1:0 7 0:1 8
108
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok: 15. a) Készítsd el az összes lehetséges 4 csúcsú fagráfot! b) Készítsd el az összes lehetséges 5 csúcsú fagráfot! 16. Válaszd ki az alábbi gráfok közül, melyek fák, és melyek nem azok!
17. Az ábrán szereplő karikákban – a gráf csúcsaiban – ismeretlen számok vannak, de az irányított gráfban a piros nyilakról tudjuk, hogy a nagyobb szám felé mutatnak. Meg tudod-e rajzolni mindegyik kék nyíl hegyét úgy, hogy a nagyobb szám felé mutasson?
109
10. modul: GRÁFOK
IV. A 3 ház – 3 kút problémától a nyomtatott áramkörökig Olvasmány: Erdős Pálról (1913–1996) – a gráfelmélettel is foglalkozó világhírű matematikusról – érdemes megemlíteni, hogy élete folyamán nemcsak a matematikai problémák megoldásában, hanem érdekes problémák felvetésben is jeleskedett. Kiterjedt kapcsolatban állt a világ sok tudósával (nem kizárólag matematikusokkal), és nagy dicsőségnek számított (számít) az, ha valaki közösen publikálhatott vele. Annyira, hogy nemcsak azt tartják számon, ha valaki közvetlenül vele írt közös tudományos munkát, hanem azt is, ha olyan emberrel dolgozhattak együtt, aki vele kapcsolatban állt. A kapcsolat „közeliségét” az „Erdős-szám” jelzi. Vagyis Erdős Pál Erdős-száma 0, valakinek az Erdős-száma 1, ha írt Erdőssel közös cikket, valakinek az Erdős-száma 2, ha nem írt Erdőssel közös cikket, de írt közös cikket egy olyan szerzővel, akinek az Erdős-száma 1. Valakinek az Erdős száma 3, ha nem írt közös cikket sem Erdőssel, sem 1 Erdős-számú szerzővel, de írt közös cikket valamely 2 Erdős-számúval ... és így tovább. Próbáljuk ezt a kapcsolatot gráfokon szemléltetni. Erdős Pál Rényi Alfréddal és T. Sós Verával közösen írt egy cikket. Eszerint Rényi Alfréd és T. Sós Vera Erdős száma 1. T. Sós Vera közösen írt tankönyvet Laczkovich Miklóssal, de Laczkovich Miklós nem írt közös munkát Erdős Pállal, így az ő Erdős száma 2. (Az említettek mind nemzetközileg elismert matematikusok.)
Réni Alfréd Erdős Pál
T. Sós Vera
Laczkovich Miklós
Természetesen Erdős Pál nem csak Rényi Alfréddal és T. Sós Verával írt közös cikket, tehát sok százra tehető azon tudósok száma, akiknek Erdős száma 1. Ez azt jelenti, ha egy gráfon szeretnénk ábrázolni a tudósok tudományos kapcsolatait, abból a csúcsból, amelyik Erdős Pált jelképezi, több száz él indulna ki. Azt mondjuk, a gráf Erdős Pált jelképező pontjától Laczkovics Miklósig a legrövidebb út hossza 2, mivel két élen át haladva jutunk el oda.
110
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda13 Egy bútorgyár szerződést köt egy külföldi fagazdasággal nagy mennyiségű fa szállítására. A szállítás nem sürgős, egyetlen szempont, hogy olcsó legyen. A gráf mutatja a lehetséges szállítási módokat. (A fekete vasúti, a kék vízi, a barna közúti szállítást jelez.) Az éleken feltüntetett számok azt mutatják, hányszor tízezer forintba kerül a szállítás. Tervezzük meg a szállítás legolcsóbb módját! Megoldás: Számoljuk meg, hány különböző úton juthatunk el a fatelepről a gyárba, és közben adjuk össze az egyes utak éleinek összköltségét: fatelep–A–B–gyár: 3 + 5 + 6 = 14 , fatelep–B–gyár: 9 + 6 = 15 , fatelep–C–B–gyár: 4 + 3 + 6 = 13 , fatelep–C–D–gyár: 4 + 5 + 2 = 11 . Látható, hogy az utolsó útvonal a legolcsóbb, vízi úton C-ig, majd vasúton D-ig, onnan pedig közúton a gyárig.
Mintapélda14 Köss össze három házat három kúttal úgy, hogy az útvonalak ne keresztezzék egymást!
10. modul: GRÁFOK
111
Megoldás: Akárhogy próbálkozunk, 8 utat még meg tudunk építeni úgy, hogy ne legyen kereszteződés, de a kilencediket nem sikerül. Ennek oka az, hogy akárhogy próbáljuk megépíteni az első nyolc utat, keletkezik egy kör, mely elválasztja egymástól azt a kutat és házat, melyek még nincsenek összekötve. Amikor egy gráf olyan, hogy minden élét be tudjuk rajzolni úgy, hogy az élek között nincs metszésvonal, akkor a gráfot síkba rajzolhatónak nevezzük. A három ház – három kút gráf nem síkba rajzolható. Ez egy érdekes fejtörő, amit sokszor feladtak már az idők folyamán, de miért is olyan lényeges probléma ez a valós életben? Hiszen mi gondot okoz, ha néhány út keresztezi egymást? Azon túl, hogy nagy forgalmú utak kereszteződése mindig lassítja a keresztülhaladást, és balesetveszély forrása is, de az igazi ok a nyomtatott áramkörök világában kereshető. A nyomtatott áramkörök környezetünkben mindenütt megtalálhatóak. Nélkülük nem lehetne mobiltelefonod, MP3-lejátszód, számítógéped. Még az automata mosógépekben, a televízióban és a rádióban is megtalálhatók. A mai számítógépeddel azonos tudású számítógépet nyomtatott áramkörök nélkül csak teremnyi méretekben lehetne elképzelni. A nyomtatott áramkörök lényege az, hogy az áramkörök megépítésekor kusza vezetékdzsungelek helyett egy szigetelő lapra vezető anyaggal (általában rézzel) rajzolt csíkok vezetik az áramot. Így már érthető, miért is nem keresztezhetik egymást ezek a vonalak.
112
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A kék ábra azt mutatja, hogy a bonyolult kapcsolási rajzot hogyan készítik el. A jobb oldalon látható két kép a megvalósítást mutatja. A nyomtatott áramkör egyik oldalán a sárga szigetelő rétegen futnak a szürke vékony vezető csíkok, a másik oldalán pedig rögzítik az összekötendő áramköri elemeket. Ha a mérnökök azt tapasztalják, hogy a megtervezett áramköri gráf nem síkba rajzolható, kénytelenek többrétegű nyomtatott áramköröket tervezni.
Mintapélda15 Síkba rajzolható-e ez a gráf?
Megoldás: Ahhoz, hogy át tudjuk rajzolni a gráfot, érdemes nevet adni az egyes csúcspontoknak, és akkor könnyebben kísérletezünk az átrendezéssel.
10. modul: GRÁFOK
113
Feladatok: 18. Az alábbi irányított gráfon T-vel a termelőt, V-vel pedig a vevőt jelöltük. Az egyes nyilakon szereplő értékek pedig azt mutatják, hány százalékos árréssel dolgoznak az egyes kereskedők. (Azaz a vételi ár hány százalékával magasabb áron adják tovább a terméket.) A, B és C nagykereskedőket, D, E és F pedig a kiskereskedőket jelöli. a) Állapítsd meg, mikor jár a legjobban és mikor a legrosszabbul a vevő. b) Számítsd ki mindkét esetben, mennyibe kerül a termelő által 1000 €-ért eladott áru a vevőnek, ha a kiskereskedő a haszonkulcsán kívül még a 20%-os ÁFÁ-t (forgalmi adó) is az árhoz számítja!
19. Az ábrán látható gráf azt mutatja, hogy egy jó hírt milyen gyorsan tudnak meg az egyes emberek, azaz ki kinek hány perc alatt mondja el. A hír forrása E, és tudni szeretnénk, mikor tudja meg először a hírt D. (A jó hírt a legtöbben szívesen továbbadják, így előfordulhat, hogy egy-egy ember több ízben is „megtudja”.) 20. Döntsd el az alábbi gráfról, hogy síkba rajzolható-e, vagy sem:
114
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
21. Egy király végakaratában meghagyta három fiának, osszák föl az országot, de úgy, hogy valamennyien egymás szomszédjai maradjanak, tehát legyen közös határuk. (Igyekezzetek azonos nagyságú területekre osztani a kör alakú királyságot!) Oszd fel az országot a királyfiaknak úgy, hogy a király kívánsága teljesüljön, ha a királynak a) három fia van, b) négy fia van, c) öt fia van. 22. Tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcspontjai egy kocka csúcspontjai, és két csúcs között akkor van él, ha az a kocka éle. a) Hány csúcsa és éle van a gráfnak? b) Állapítsd meg a csúcsok fokszámát! c) Rajzolj meg egy ilyen gráfot a füzetedbe! d) Meg tudod-e rajzolni ezt a gráfot a síkban úgy, hogy az élek ne keresztezzék egymást? 23. Egy kocka hálóját látod a rajzon. Színezd ki a hálót a legkevesebb színnel úgy, hogy a hálót összehajtva se legyen a szomszédos lapoknak azonos színe!
24. Egy lakóparkba 5 nagyobb házat terveznek, valamint a következő épületeket: bolt, zöldséges, újságos pavilon, papírbolt, cukrászda, orvosi rendelő, gyógyszertár, óvoda, iskola. A tervezés fontos feltétele, hogy az utak ne keresztezzék egymást, és legyen közvetlen útja: – az 1. lakóháznak az újságoshoz, a bolthoz és a 3. lakóházhoz; – a 2. lakóháznak a zöldségeshez, a cukrászdához és az 5. lakóházhoz; – a 4. lakóháznak a rendelőhöz, a gyógyszertárhoz és a 3. lakóházhoz, – (az egyszer már szereplő utat nem említjük meg újra); – az 5. lakóháznak szintén a rendelőhöz és a gyógyszertárhoz; – a papírboltnak a 3. lakóházhoz, az óvodához és az iskolához; – a cukrászdának az óvodához és az iskolához;
10. modul: GRÁFOK
115
– a zöldségesnek a bolthoz és az újságoshoz; – a rendelőnek a patikához; – az óvodának az iskolához; – a boltnak az újságoshoz. a) Tervezd meg, hogyan helyezkedjenek el az egyes épületek és az utak! b) Be tudja-e járni a postás ennek a lakóparknak az összes épületét úgy, hogy egyetlen úton se haladjon többször?
116
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Kislexikon A gráfelméletben a pontokat csúcsoknak, az őket összekötő vonalakat pedig éleknek nevezzük. Egy gráfban a csúcsok fokszáma a csúcsba futó élek száma. Bármely gráfban a csúcsok fokszámának összege az élek számának kétszerese. Ha egy gráf bármely csúcspontjából el lehet jutni a gráf bármely másik csúcspontjába, azt mondjuk, a gráf összefüggő. Az olyan gráfot nevezzük fagráfnak melynek bármely két pontja között pontosan egy út vezet. Az olyan gráfokat, melyekben az élek irányítást is kapnak, irányított gráfoknak nevezik. Amikor egy gráf olyan, hogy minden élét be tudjuk rajzolni úgy, hogy az élek között nincs metszésvonal, akkor a gráfot síkba rajzolhatónak nevezzük.
11. MODUL Kombinatorika és valószínűségszámítás Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)
118
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. A valószínűség bevezetése Mintapélda1 Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása. Dobások száma Fejek száma
100
200
44
94
300 139
400 191
500
600
241
289
700 340
800 399
Relatív gyakoriság 0,44 0,47 0,463 0,478 0,482 0,482 0,486 0,499
900 1000 450
507
0,5
0,507
A fejek dobásának relatív gyakoriságát ábrázoljuk diagramon!
Fejek dobásának relatív gyakorisága 0,6 0,58 0,56 0,54 0,52 0,5 0,48 0,46 0,44 0,42 0,4 0
200
400
600
800
1000
1200
Dobások száma
Láthatjuk, hogy elég nagy dobásszám esetén, a fej dobásának relatív gyakorisága egy bizonyos állandó érték körül ingadozik. Ez az állandó a fej dobásának valószínűsége. A pénzérme dobásakor a két egyenlő esélyű kimenetel miatt ez az állandó érték éppen
1 . 2
Imént egy valószínűségi kísérletet hajtottunk végre, több ízben megismételtük, azonos körülmények között. Lejegyeztük a kísérlet kimeneteleit (fej vagy írás). A valószínűségszámításban egy kísérlet lehetséges kimenetelét eseménynek nevezzük.
119
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
Mintapélda2 Játsszunk egy gyufásdobozzal! A doboz egyes lapjaira írjunk számokat 1-től 6-ig úgy, hogy a két legkisebb lapra kerüljön az 1 és a 2, a közepes méretűre a 3 és a 4, a legnagyobb lapokra pedig az 5-6 számok. Az asztal szélére helyezve – alulról – pöcköljük 50-szer a skatulyát, és jegyezzük fel a lehetséges eseményeket a munkafüzet végén található mellékletben a 11.1. és 11.2 táblázatokba. Összesítsétek a táblán az összes dobáseredményt, minden 50 újabb dobáseredmény feljegyzése után számítsatok relatív gyakoriságot! Az eredményt jegyezzétek fel a munkafüzet végén található mellékletben a 11.3 táblázatba! Egyfajta műveletet ismételtünk meg sokszor, mégis két különböző valószínűségi kísérletet végeztünk, amikor különböző szempontok szerint vizsgáltuk a lehetséges kimeneteleket. Az első táblázatba lejegyzett kísérletben az események: 1. lapra esik, 2. lapra esik, és így tovább, a második táblázatba lejegyzett kísérletben az események: legkisebb lapra esik, középső lapra esik, legnagyobb lapra esik. Láthatjuk, hogy gyakrabban esik a doboz a legnagyobb lapjára, mint a legkisebbre. Ennek az eseménynek a relatív gyakorisága nagyobb. Mondhatjuk, hogy nagyobb annak a valószínűsége, hogy a megpöckölt gyufásdoboz a legnagyobb lapjára esik, mint az, hogy a legkisebbre. A valószínűség fogalma:
Ha n kísérletből az A esemény k-szor következik be, akkor a
k hányados n
az A esemény relatív gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.
Megjegyzés: A relatív gyakoriságot szokás százalékban is megadni. Az A esemény valószínűségére a P(A) jelölést szoktuk használni (probability = valószínűség). Persze nem mondhatjuk, hogy most már tudjuk, milyen valószínűséggel esik a gyufásdoboz valamelyik oldalára. Láthattuk, hogy a relatív gyakoriság hol nőtt, hol csökkent, amikor újabb és újabb kísérletek eredményét is beszámítottuk. Ahogy növeljük a kísérletek számát, úgy lesz megbízhatóbb becslésünk a valószínűség értékére.
120
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok: 1. Valaki egy forró nyári délután 1 órát tölt a Visszhangdombnál Tihanyban, megfigyeli az előtte elhaladó embereket, jegyezget, majd ennek alapján a következő grafikont készíti:
Fagyi nélkül 196
jégkrém 23
tölcséres 408
a) Állapítsd meg, ebben a valószínűségi kísérletben melyek voltak az események? b) Melyik eseménynek volt a legnagyobb relatív gyakorisága, és ez mekkora? c) Becsüld meg a legkisebb relatív gyakoriságú esemény valószínűségét a kísérlet eredménye alapján! 2. Migrénes (erős fejfájásos) betegek számára készített fájdalomcsillapító gyógyszer kipróbálásakor 200 beteg közül 100 betegnek hatóanyag nélküli tablettát (placebó) adtak, másik száznak viszont az új, hatóanyaggal rendelkező tablettát. (A betegek nem tudták, melyik fajta tablettából kaptak.) Beszámoltak annak hatásáról. Ennek alapján a következő táblázat készült: Enyhült a fájdalom
Nem enyhült a fájdalom
Gyógyszert kapott
79
21
Placebót kapott
38
62
a) Az elvégzett kísérletek alapján mi a valószínűsége annak, hogy az új gyógyszer hat? b) Az orvos megvizsgált egy olyan beteget, akinek nem hatott a bevett tabletta. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a beteg placebót kapott? 3. 1995-ben Budapesten a tűzoltók 7553 alkalommal vonultak ki. A riasztások közül 3711-et tűzeset miatt, 2151-et káreset miatt kaptak, a maradék 1691 viszont vaklárma vagy téves jelzés volt. Ha idén is hasonlóak az arányok, mi a valószínűsége annak, hogy a) egy riasztás alkalmával tűzesethez vonulnak? b) Készíts sávdiagramot, melyen ábrázolod az egyes riasztási okok relatív gyakoriságát!
121
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
II. Elemi események A kettes mintapéldában szereplő gyufásdobozt egyszer megpöckölve, a kísérlet lehetséges kimenetelei: az 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6-tal jelölt lapjára esik. Esemény például, hogy a doboz a legkisebb lapjára esik. Ezt az eseményt tudjuk még két további eseményre bontani (1-es vagy 2-es lapjára esik). Az elemi események olyan kimenetelek, amelyek tovább már nem bonthatók. A pöckölés során az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os dobást elemi eseményeknek hívjuk. Pénzérme feldobásánál elemi események: a fej vagy az írás bekövetkezése. Az, hogy dobások egy sorozatában egymás után ötször fejet dobunk, összetett esemény.
Mintapélda3 Dobjunk fel egy szabályos (hatlapú) dobókockát. Vizsgáljuk annak az eseménynek a valószínűségét, hogy a) A: 5-tel osztható számot dobunk b) B: páros számot dobunk c) C: 1-et vagy 3-at dobunk. Megoldás: Egy olyan kísérletnél, amikor egy szabályos dobókockát feldobunk, az elemi események: a dobókocka 1-et, 2-t, 3-t, 4-et, 5-öt vagy 6-ot mutat. A tapasztalatunk azt mutatja, ezek közül egyiknek sem nagyobb a valószínűsége, mint bármelyik másiknak. Ha elvégeznénk több millió kísérletet, várható, hogy az egyes kimenetelek relatív gyakorisága közel egyenlő lenne, így a valószínűségük is egyenlő. Mivel a relatív gyakoriság 0 és 1 közötti szám, ez a hat valószínűség csak úgy lehet egyenlő, ha mind
1 . 6
a) Öttel osztható szám csak egy van a dobókockán, az 5-ös, így ennek a valószínűsége
1 . 6
b) A kockán levő számok fele páros, fele páratlan. Elvárható, hogy sok kísérlet elvégzése esetén közel ugyanannyi páros szám jöjjön ki, mint páratlan, közel azonos lesz a relatív gyakoriságuk, így ennek a valószínűsége
1 . 2
c) Sok dobás esetén ennek a bizonyos két számnak a gyakorisága körülbelül feleakkora lesz,
122
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
mint a másik négy számé, így ennek az eseménynek a relatív gyakorisága az valószínűsége is
TANULÓK KÖNYVE
1 körül mozog, 3
1 . 3
Észrevehetjük, hogy ez a három esemény lefedi az összes lehetőséget, ami egy kockadobás esetén előfordulhat, mint kimenetel: Ha 1-est dobunk, a C esemény valósul meg, ha 2-est dobunk, a B esemény valósul meg, ha 3-ast dobunk, a C esemény valósul meg, ha 4-est dobunk, a B esemény valósul meg, ha 5-öst dobunk, az A esemény valósul meg, ha 6-ost dobunk, a B esemény valósul meg. Azt is megállapíthatjuk, a kísérlet minden lehetséges kimenetele esetén a három esemény közül csak egyetlenegy valósul meg. Ilyenkor azt mondjuk, hogy ez a három esemény (most A, B és C ) teljes eseményteret alkot.
A dobások kimenetelének vizsgálatakor úgy is felvehettünk volna teljes eseményteret, hogy az események a kockával dobott számok lettek volna: A1: 1-est dobunk A2: 2-est dobunk A3: 3-ast dobunk A4: 4-est dobunk A5: 5-öst dobunk A6: 6-ost dobunk
Ezekre is érvényes, hogy a kísérlet bármely kimenetele esetén valamely esemény megvalósul, és az is, hogy minden kimenetel csak egy esemény megvalósulására jellemző, tehát teljes eseményteret alkotnak. Erre az eseménytérre az is jellemző, hogy az összes benne szereplő esemény valószínűsége egyenlő. Ilyenkor az eseményteret klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük. Nagyon fontos megkülönböztetnünk ezt az esetet, amikor a teljes eseménytér ilyen véges számú, azonos valószínűségű eseményekből áll, ugyanis ilyenkor alkalmazható a valószínűség kiszámítására egy igen praktikus képlet:
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
123
Egy A esemény valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon: Legyen N az azonos valószínűségű elemi események száma, melyek az eseményterünket alkotják (továbbiakban:
összes esetek száma), k pedig azon elemi események száma, amelyek az A esemény összetevői (röviden: kedvező esetek száma). Ilyenkor P ( A) =
kedvező esetek száma k = összes eset száma N
A fenti számítási módot a valószínűségszámítás Laplace-féle modelljének nevezzük, és egy időben ezt tekintették a valószínűség definíciójának. Számunkra is nagyon hasznos, ha ügyelünk arra, hogy amikor az összes esetet, illetve ezek közül a kedvező eseteket felsoroljuk és megszámláljuk, mindig azonos valószínűségű eseményekből álljanak az „esetek”. Pierre-Simon Laplace francia matematikus, csillagász és fizikus 1749–1827 között élt. 1812-ben jelent meg a Théorie analitique des probalitités (A valószínűség analitikai elmélete) című műve, amely a valószínűségszámítást a matematika önálló ágaként tárgyalja. Ebben a műben jelent meg a valószínűség klasszikus modellje, amely akkor alkalmazható, ha véges sok elemi esemény van, és azok bekövetkezése egyformán valószínű. „Ha egy esemény valószínűségét akarjuk meghatározni, akkor meg kell keresnünk az összes olyan esetet, amelyek azt az eseményt eredményezik. Ezek a kedvező esetek. A valószínűséget a kedvező esetek és az összes eset számának hányadosa adja meg.” (Laplace )
Mintapélda4 Legyen a kísérlet az, hogy az ötös lottó sorsolásán kihúzzák az első nyerőszámot. (Az ötös lottón 90 szám közül sorsolnak ki öt számot.) Klasszikus valószínűségi mezőt alkot-e az alábbi három esemény? (Az elsőnek kihúzott szám az n.) A: Egy és harminc közötti számot húznak először ( 1 ≤ szám ≤ 30 )
124
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
B: Harminc és hatvan közötti számot húznak először ( 30 ≤ szám ≤ 60 ) C: Hatvan és kilencven közötti számot húznak először ( 60 ≤ szám ≤ 90 ). Megoldás:
Első ránézésre úgy tűnik, minden rendben van, és mindhárom esemény bekövetkezésének valószínűsége
1 . Ha jobban megnézzük, a három esemény még eseményteret sem alkot, 3
hiszen a 30-as vagy a 60-as szám kihúzása esetén két esemény is bekövetkezik. A valószínűségek sem egyenlők, hiszen P(B ) = P(C ) =
31 30 1 , míg P( A) = = . 90 90 3
Mintapélda5 Mi annak a valószínűsége, hogy két érmét feldobva mindkettővel fejet dobunk? Írjuk fel az összes lehetséges kimeneteleket, majd két érmét 20-szor feldobva jegyezzük fel a kimeneteleket a modul mellékletének 11.4 táblázatába! A három esemény relatív gyakorisága különbözik, a három esemény teljes eseményteret alkot ugyan, de nem klasszikus valószínűségi mezőt. Fel tudnánk-e bontani olyan elemi eseményekre a kísérlet kimeneteleit, hogy alkalmazható legyen a P( A) =
k képletünk? N
Képzeljük most el, hogy a két érménk különböző (mondjuk 10 és 20 forintos). A lehetséges kimenetelek most 10 Ft F F I I
20 Ft F I F I
azaz FF FI IF II
Ezek már valóban azonos valószínűségű események. Ezek száma 4, a számunkra egy a kedvező, így a Laplace-féle képletet alkalmazva a valószínűség
1 . 4
125
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
Mintapélda6 A magyar kártya 32 lapból áll. A lapoknak 4 különböző színe lehet: piros, tök, zöld és makk. Minden színből 8 van, ász, király, felső, alsó, X, IX, VIII és VII jelzésekkel. Mi a valószínűsége annak, hogy egy csomag magyar kártyából egy lapot kihúzva az éppen VIII-as lesz?
Megoldás: A kártya mind a 32 lapját azonos valószínűséggel húzzuk, így minden egyes lap kihúzásának valószínűsége
1 kedvező esetek száma k . Így használhatjuk a P ( A) = képletet, ahol = összes eset száma N 32
most a kedvező esetek száma k = 4, hiszen 4 darab VIII-as jelzésű van a pakliban: a zöld, a piros, a makk és a tök nyolcas. Az összes eset száma N = 32, tehát P =
4 1 = . 32 8
Feladatok 4. a) Írd be a munkafüzet végén található melléklet 11.5 táblázatába, hogy a következő
eseményeket milyen elemi események alkotják, ha szabályos dobókockával végezzük a kísérletet! b) A munkafüzet végén található melléklet 11.6 táblázatába írd fel azokat az eseményeket, amelyeket az alábbi elemi események alkotnak, ha szabályos dobókockával végezzük a kísérletet! 5. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 5.
Bontsd ezt föl elemi eseményekre! 6. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 4.
Bontsd föl az összetett eseményt azonos valószínűségű elemi eseményekre! Mekkora lesz így az egyes események valószínűsége?
126
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
7. Egy dobókockával dobunk. A kísérlet lehetséges kimeneteleit a következő eseményekre
bontottuk fel:
A1: Négyest vagy hatost dobunk. A2: Prímszámot dobunk. A3: a) Add meg a harmadik eseményt úgy, hogy a három esemény együtt teljes eseményteret alkosson! b) Melyik eseménynek mekkora lesz a valószínűsége? 8. Mi a valószínűsége annak, hogy magyar kártyából egy lapot húzva az
a) a tök alsó; b) valamelyik ász; c) valamelyik római számmal jelzett kártya lesz? 9. A kísérlet az, hogy a magyar kártyából egy lapot húzunk. Adj meg olyan eseményt,
amelynek a valószínűsége a)
1 4
;
b)
1 8
;
c)
1 2
;
d)
3 . 4
10. Az alábbi kísérleteknél határozd meg az eseményteret alkotó elemi eseményeket!
a) Három pénzérmét dobunk fel, és figyeljük mindegyik érmén, hogy fejet vagy írást dobunk. b) Négy pénzérmét dobunk fel, és figyeljük mindegyik érmén, hogy fejet vagy írást dobunk. c) Ani, Ildi, Panni és Zsuzsi között 2 jutalmat: egy CD-t és egy könyvet osztunk ki úgy, hogy egy lány csak egy ajándékot kaphat. d) Ani, Ildi, Panni és Zsuzsi között egy CD-t és egy könyvet osztunk ki úgy, hogy egy lány több ajándékot is kaphat. 11. Két dobókockával dobunk egyszerre, és figyeljük a dobott pontok összegét. Írd fel az
alábbi eseményeket alkotó elemi események halmazát!
A: A dobott pontok összege 6. B: A dobott pontok összege legfeljebb 6. C: A dobott pontok összege legalább 6.
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
127
12. Egy kör alakú céltáblára egyszer lövünk, és figyeljük a lövés helyét. Színezd be a
céltáblán az alábbi eseményeknek megfelelő ponthalmazokat !
A: Legfeljebb 7-est lőttünk. B: Legalább 8-ast lőttünk. C: 10-est lőttünk. D: Legalább 5-öst és legfeljebb 9-est lőttünk.
13. Az
számkártyák közül
véletlenszerűen kihúzunk kettőt, és a kihúzás sorrendjében egymás mellé helyezzük. Írd fel az alábbi eseményeket alkotó elemi események halmazát!
A: A kapott kétjegyű szám osztható 3-mal. B: A kapott kétjegyű szám osztható 6-tal. C: A kapott kétjegyű szám legfeljebb 30 lesz. 14. Két szabályos dobókockát egymástól függetlenül feldobva mi a valószínűsége annak,
hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz? 15. Dobjunk fel egy sárga, egy piros és egy zöld dobókockát egymástól függetlenül. Mi a
valószínűsége annak, hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz? 16. Három dobókockával dobva a dobott számokat összeadjuk. Mennyi a valószínűsége
annak, hogy legalább 17 lesz az összeg?
128
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
III. Biztos vagy lehetetlen? Mintapélda7 Van három számkártyánk a 0; 2; 8 számjegyekkel. Keverjük össze, majd helyezzük le mind a hármat egymás mellé. a) Mi a valószínűsége annak, hogy az így keletkezett szám páros lesz? b) Mi a valószínűsége annak, hogy páratlan számot rakunk ki? c) Mi a valószínűsége annak, hogy kétjegyű számot raktunk ki? d) Mi a valószínűsége annak, hogy a keletkezett szám háromjegyű lesz?
Megoldás: Először írjuk fel, milyen számok keletkezhettek: 0 2 8
0 8 2
2 0 8
2 8 0
8 0 2
8 2 0
E számok mindegyike azonos valószínűséggel keletkezhetett, tehát a továbbiakban számolhatunk a P =
kedvező esetek száma képletünkkel. összes eset száma
a) Már a számok felírása nélkül is látható, hogy biztosan páros szám keletkezik. Az összes esetek száma N = 6. A kedvező esetek száma szintén hat, hiszen az összes keletkező szám páros lesz. A keresett valószínűség tehát P =
6 = 1 . Ennél nagyobb valószínűség nem lehet, 6
hiszen az események bekövetkezésének relatív gyakorisága nem lehet 1-nél nagyobb. A biztos esemény valószínűsége 1.
b) Erről az esetről láthatjuk, hogy a bekövetkezése lehetetlen. Az összes esetek száma itt is 6, a kedvező eseteké viszont 0. A keresett valószínűség tehát P =
0 = 0 . Ennél kisebb 6
valószínűség nem lehet, mivel az események bekövetkezésének relatív gyakorisága sohasem vesz fel negatív értéket. A lehetetlen esemény valószínűsége 0. c) Kétjegyű számot akkor kaptunk, amikor a kirakott szám 0-val kezdődött. Láthatjuk, hogy ez a 6 esetből kétszer fordult elő, így a keresett valószínűség P =
2 1 = . 6 3
d) Háromjegyű számot kapunk az összes többi esetben, azaz négyszer, így a valószínűség
P=
4 2 = . Láthatjuk, hogy ezt a kísérletet vizsgálva két eset következhet be: Vagy kétjegyű, 6 3
vagy háromjegyű szám keletkezik, és ezek egyszerre nem következhetnek be. Ilyenkor azt
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
129
mondjuk, a két esemény egymás komplementere. Azt is megfigyelhetjük, hogy ilyenkor a két esemény bekövetkezésének valószínűsége mindig olyan lesz, hogy összegük 1. Egy kísérletnél a lehetséges kimeneteleket vizsgálva egy biztos esemény komplementere mindig egy lehetetlen esemény lesz. Az A esemény komplementer eseményét így jelöljük: A . Foglaljuk össze az eddig tapasztaltakat:
A biztos esemény valószínűsége 1. A lehetetlen esemény valószínűsége 0. Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül az egyik mindig bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás komplementere. Komplementer események valószínűségének összege 1.
P ( A) + P ( A ) = 1
Mintapélda8 Válasszuk ki az alábbi események közül azokat, amelyek lehetetlen események, és azokat, amelyek biztos események!
A: Idén júliusban valamelyik nap Magyarországon esni fog az eső. B: Egy pénzérmével 10-szer egymás után fejet dobunk. C: Egy szabályos dobókockával 7-tel osztható számot dobunk. D: Ha 30-szor feldobunk egy érmét, legalább 1 fej is lesz a dobások között. E: Ha két egész számot összeszorzunk, az eredmény egész szám lesz. F: Ha két egész számot elosztunk egymással, az eredmény racionális lesz. Megoldás: A: Nagyon valószínű esemény, de nem biztos. Előfordulhat olyan szélsőséges időjárás, hogy nincs eső az egész országban a hónap folyamán. 10
⎛1⎞ B: Ennek az eseménynek a valószínűsége igen kicsi, de nem nulla. Egészen pontosan ⎜ ⎟ , ⎝2⎠ azaz körülbelül egy ezred, azaz 0,1%.
130
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
C: Ez egy lehetetlen esemény. D: Ha fogadásról van szó, egészen nyugodtan tippelhetünk rá, hiszen igen magas a valószínűsége, mégsem 1. A komplementer esemény az lenne, hogy nincs a 30 dobás között 30
⎛1⎞ fej, azaz 30-szor egymás után írást dobunk. Ennek valószínűsége ⎜ ⎟ , így annak ⎝2⎠ ⎛1⎞ valószínűsége, hogy van közte fej: P = 1 − ⎜ ⎟ ⎝2⎠
30
(
)
≈ 1 − 9,3 ⋅ 10 −10 ≈ 0,99999999907 , ami igen
közel van az 1-hez, de mégsem annyi.
E: Ez biztos esemény. F: Nem lehetünk biztosak benne, mert ha az osztó 0, az osztást nem lehet elvégezni.
Feladatok 17. Írj 3 biztos és 3 lehetetlen eseményt, ha a kísérlet az, hogy a magyar kártyából 5 lapot
osztanak neked. 18. Egy kockával dobunk, határozzuk meg az alábbi események komplementer eseményét!
C: A dobott szám páros. D: A dobott szám legalább 5. E: A dobott szám kisebb, mint 3. F: A dobott szám prímszám. 19. Két kockával dobunk egy alkalommal. Add meg a lehetséges kimenetelekhez a
komplementer eseményt! a) Mindkét kockával egyest dobunk. b) Legalább az egyik kockával egyest dobunk. c) A dobott számok összege 10. d) A dobott számok összege legalább 10. f) A dobott számok összege legfeljebb 11. 20. Dobjunk fel két szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége
annak, hogy a kapott számok összege 9-nél kisebb lesz?
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
131
21. Van 5 számkártyánk: 1
2
5
6
8
Letesszük ezeket egymás mellé. A keletkező számra vonatkoznak a kérdések. Fogalmazd meg az események komplementer eseményét! Számítsd ki mindkét esemény valószínűségét! a) A: 5-tel osztható számot kapunk. b) B: 3-mal osztható számot kapunk. c) C: A keletkezett ötjegyű számban a számjegyek nem növekvő sorrendben követik egymást. 22. Zárás előtt egy cukrászdában már csak háromféle rétes maradt: meggyes, túrós, almás.
Bemegy egy vevő, aki négy szelet rétest szeretne vásárolni. Az eladóra bízza, hogy milyen rétest ad neki. a) Milyen kimenetelek lehetségesek? b) Mely események lehetségesek az alábbiak közül, melyik biztos és melyik lehetetlen?
A: Mindegyik fajtából kapott. B: Valamelyik fajtából legalább két szeletet kapott. C: Mindegyik rétes, amit kapott, különbözőféle. D: Két szelet meggyes rétest kapott. 23. 5-féle dobótestünk van: tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder.
Minden test oldallapjaira 1, 2, … stb. pöttyöt helyezünk el. Ezekkel a testekkel végzett kísérletek alapján töltsd ki a munkafüzet végén található melléklet 11.7 táblázatát! Mi a valószínűsége az alábbi eseményeknek?
132
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
IV. Összetett események és azok valószínűsége Mintapélda9 Legyen A az az esemény, hogy a dobókockával legfeljebb 4-est dobunk, B pedig az, hogy a dobókockával legalább 4-est dobunk. Mi lehet vajon az az esemény, amikor az A vagy B bekövetkezik? Ezt röviden A+B-vel jelöljük. Tetszőleges A és B esemény összege az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor legalább az egyik bekövetkezik. Jelölése: A+B. (Az események összegét szokás AUB-vel is jelölni.)
Megoldás: A+B ={ legfeljebb 4-est vagy legalább 4-est dobunk } A+B = {1, 2, 3, 4} + {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Észrevehetjük az A+B esemény és a két halmaz uniója közötti kapcsolatot:
Mintapélda10 Mi lehet az az esemény, amikor A és B egyszerre következik be? Ezt röviden A·B –vel jelöljük.
Megoldás: A·B ={ legalább 4-est dobunk és legfeljebb 4-est dobunk } = {4-est dobtunk}
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
133
Tetszőleges A és B esemény szorzata az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor A és B is bekövetkezik. Jelölése: A·B (Az események szorzatát szokás A∩B-vel is jelölni.)
Észrevehetjük a két esemény szorzata és a két halmaz metszete közötti kapcsolatot:
Mikor mondjuk, hogy két esemény kizárja egymást? Legyen A esemény az, hogy egy kockával 3-nál kisebb számot dobunk, B esemény pedig az, hogy egy kockával 4-nél nagyobb számot dobunk. Az együttes bekövetkezésük, azaz A ⋅ B esemény bekövetkezése lehetetlen, ennek valószínűsége 0. Tetszőleges A és B esemény egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz A·B = {lehetetlen esemény }. P( A ⋅ B ) = 0
134
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda11 Egy tálban három különböző gyümölcs van: alma, körte, szilva. Jelentse A azt az eseményt, hogy az alma kukacos, B azt, hogy a körte kukacos, C azt, hogy a szilva kukacos. Írjuk fel az
A, B, C eseményekkel és a műveletekkel a következőket: a) mind a három gyümölcs kukacos, b) egyik gyümölcs sem kukacos, c) legalább az egyik gyümölcs kukacos, d) pontosan egy gyümölcs kukacos, e) van olyan gyümölcs, amelyik nem kukacos.
Megoldás: a) Mind a három gyümölcs akkor lehet egyszerre kukacos, ha mind a három esemény egyszerre következik be. {mind a három gyümölcs kukacos} = A·B·C.
b) Egyik gyümölcs sem kukacos akkor, ha mind a három esemény komplementere egyszerre bekövetkezik. {egyik gyümölcs sem kukacos} = A · B ⋅ C .
c) Legalább egy gyümölcs kukacos úgy lehetséges, ha vagy az alma kukacos, vagy a körte kukacos vagy a szilva kukacos. {egy gyümölcs kukacos} = A+B+C.
d) Pontosan egy gyümölcs akkor kukacos, ha az alma kukacos és a másik kettő nem, vagy a körte kukacos és a másik kettő nem, vagy a szilva kukacos és a másik kettő nem.{pontosan egy gyümölcs kukacos} =A· B · C + A ·B· C + A · B ·C. e) Van olyan gyümölcs, amelyik nem kukacos, ez úgy lehetséges, ha vagy az alma vagy a körte vagy a szilva nem kukacos. {van olyan gyümölcs, amely nem kukacos} = A + B + C .
Mintapélda12 A kutatók felfedezték, hogy a tanulók bizonyos tanulási zavarai között összefüggés van. Az összes tanulónak körülbelül 4%-a hiperaktív, azaz túlzott aktivitása, mozgékonysága miatt nehezen kezelhető. A tanulók körülbelül 6%-ának számolási zavara (diszkalkuliája) van, azaz speciális fejlesztésre szorul a matematika terén.
135
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
Azt is észrevették, hogy a diszkalkuliás gyerekek között több a hiperaktív, körülbelül 30%. a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy tanuló egyszerre hiperaktív és diszkalkuliás legyen? b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy hiperaktív gyerek diszkalkuliás legyen? c) Mi a valószínűsége annak, hogy egy tanuló ezek közül egyik tanulási nehézséggel sem küzd?
A: a tanuló diszkalkuliás. B: a tanuló hiperaktív. P( A) = 0,06 . P (B ) = 0,04 .
Ábrázoljuk halmazábrán a két csoporthoz tartozást! Hogy könnyebben számoljunk, tegyük fel, hogy 100 000 diák alkotja az alaphalmazunkat, így az egyes halmazok számosságát tüntetjük fel az ábrában. A = 6 000
B = 4 000
A ∩ B = 0 ,3 ⋅ A = 1800 .
Először a két halmaz metszetébe érdemes beírni a számot.
a) P( A ⋅ B ) = ? Nézzük meg, mi lesz a valószínűsége ennek? A metszethalmaz számossága segít a valószínűség megállapításában: P( A ⋅ B ) =
A∩B 100 000
=
1800 = 0,018 , azaz körülbelül 2%. 100 000
b) Most csak a hiperaktív gyerekek számával kell osztani a hiperaktív és diszkalkuliás gyerekek számát: P =
(
)
c) P A + B =
1800 = 0,45 . 4000
91800 = 0,918 , azaz körülbelül 92%. 100 000
136
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda13 Egy útvesztőt látunk felülnézetben. Petike beszaladt, és mindig úgy választ irányt, hogy távolodjon a bejárattól. Nővére és szülei a három kijáratnál várják. a) Hányféleképpen juthat ki Petike az útvesztőből? b) Mi a valószínűsége, hogy Peti az A jelű kijáratnál várakozó édesanyja kezei közé szalad? Megoldás: a) Az útvesztő elágazási pontjaihoz odaírtuk, hogy hányféleképpen lehet eljutni az egyes elágazásokhoz. A gráfról leolvasható, hogy az A pontba 6, B-be és C-be 3-3 különböző úton juthat, míg az útvesztőből összesen 12-féleképpen lehet kiszabadulni. b) Ha a fenti utakon való áthaladás valószínűsége mind egyenlő lenne, akkor annak valószínűsége, hogy Peti A-ba jut,
1 volna. De az egyes 2
utak valószínűsége nem egyenlő. Most a gráfon azokat a valószínűségeket tüntetjük fel, melyekkel az egyes utakat választja. A piros vonal azokat az éleket mutatja, melyeket választ, a zöld élek pedig melyeket
1 valószínűséggel 3
1 valószínűséggel, a fekete élek 2
pedig azok, melyeket 1 valószínűséggel választ az egyes csomópontokban. Az A pontba hat úton juthat el. Ezek valószínűsége rendre: balra-balra-balra-jobbra: balra-balra-le:
1 1 1 1 ⋅ ⋅ = ; 2 3 3 18
balra-balra-jobbra-balra: balra-le-balra:
1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅1 = ; 2 3 3 18
1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅1 = ; 2 3 3 18
1 1 1 ⋅ ⋅1 = ; 2 3 6
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
balra-jobbra-balra-balra:
137
1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅1 = ; 2 3 2 12
1 1 1 1 jobbra-balra-balra-balra: ⋅ ⋅ ⋅ 1 = . 2 2 2 8 A fenti utakat egyszerre nem járhatjuk be, tehát a rajtuk való áthaladás valószínűsége összeadódik. Az A kijáratba érkezés valószínűsége tehát: P ( A) = 3 ⋅
1 1 1 1 13 + + + = ≈ 0,54 . 18 6 12 8 24
Megjegyzés: Igaz ugyan, hogy az egyes utakon való haladás valószínűsége különböző, de az
egyes csomópontokból a cél felé induló utakra Petike egyenlő valószínűséggel lép rá. (Például ha a csomópontból 2 út indul, úgy mindkét útra
1 valószínűséggel lép.) 2
Feladatok 24. Találomra felírunk egy kétjegyű számot. Jelentse A azt az eseményt, hogy a szám
páratlan, B azt, hogy a szám osztható 3-mal, a C azt, hogy a szám osztható 4-gyel. I. Mit jelentenek az alábbi események? II. Add meg az A, B, C, A , B , C események valószínűségét is! a) A+B,
b) A·B,
c) A ·B ,
e) A·C,
f) A ·C,
g) A· C .
d) A+ B ,
25. Egy kör alakú céltáblára lövünk. Jelentse A, B és C azt az eseményt, hogy a lövés a kör
kiszínezett részére esik.
Rajzold le az alábbi eseményeket: A+B, A+C, A·B, A·C.
138
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
26. Egy dobókockával dobunk. Állapítsd meg az A és a B események valószínűségét,
valamint az A ⋅ B esemény valószínűségét is! a) A: páros számot dobunk;
B: 3-nál nagyobb számot dobunk.
b) A: legalább 3-ast dobunk;
B: legfeljebb 3-ast dobunk.
c) A: legfeljebb 2-est dobunk;
B: 2-esnél nagyobbat dobunk.
d) A: hatost dobunk;
B: legalább 4-est dobunk.
e) A: 3-mal osztható számot dobunk;
B: 6-nál nagyobb számot dobunk.
27. Az előző feladat jelöléseit használva add meg minden esetben az A+B esemény
valószínűségét is! 28. A 25. feladat jelöléseit használva válaszd ki azokat az eseteket, amikor P ( A + B ) = P ( A) + P (B ) !
29. Az előző feladatok tapasztalatait felhasználva válaszolj:
Azokban az esetekben, amikor P( A + B ) = P( A) + P(B ) , mekkora lesz P( A ⋅ B ) ? 30. A 32 lapos magyar kártyából húzunk egy lapot. Állapítsd meg az A és a B események
valószínűségét, valamint az A ⋅ B és A + B események valószínűségét is! a) A: a húzott lap makk lesz;
B: a húzott lap nem piros lesz.
b) A: a húzott lapon római szám van;
B: a húzott lap piros.
c) A: a húzott lap alsó;
B: a húzott lap tök vagy makk.
d) A: a húzott lap a makk felső;
B: a kihúzott lapon nincs római szám.
31. Egy urnában 3 zöld, 5 sárga és 2 kék golyó van. Véletlenszerűen kihúzunk egyet. Állapítsd meg az A, B, A+B, A ⋅ B , A ⋅ B , A + B események valószínűségét! a) A: a kihúzott golyó kék;
B: a kihúzott golyó sárga.
b) A: a kihúzott golyó piros;
B: a kihúzott golyó nem zöld.
c) A: a kihúzott golyó nem fekete; B: a kihúzott golyó zöld.
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
139
32. Egy osztályból véletlenszerűen kiválasztunk egy tanulót. A jelentse azt az eseményt,
hogy a kiválasztott tanuló fiú, B azt, hogy a kiválasztott tanuló franciát tanul, C azt, hogy a kiválasztott tanuló OKTV matematika versenyt nyert. Tudjuk, hogy az osztálylétszám 30, ebből 20 fiú. 10 tanuló tanul franciát, köztük 3 fiú van: Péter, Balázs és Miklós. Matematika OKTV versenyt egyedül Pali nyert az osztályból. a) Írd le a következő eseményeket: A·( B+C );, A ·B·C. b) Add meg ezeknek az eseményeknek a valószínűségét! 33. Számítsd ki a 13. mintapélda ábrája alapján, milyen valószínűséggel jut Peti a C
kijárathoz!
140
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
V. Valószínűségek kiszámítása kombinatorikai módszerekkel Mintapélda14 3 kötetes könyvet a polcra visszatéve mi a valószínűsége annak, hogy jó sorrendben kerültek a helyükre? Megoldás: Az összes esetet három elem ismétlés nélküli permutációi adják meg. Összes eset: 1⋅2⋅ 3 =3! Kedvező eset csak 1 lehet, amikor jó sorrendben kerültek a könyvek a helyükre. A keresett valószínűség =
kedvező esetek száma 1 1 = = . összes eset száma 1·2·3 6
Mintapélda15 Mi a valószínűsége annak, hogy ha az A, A, B, L, N, O, T betűkártyákat találomra egymás mellé helyezzük, akkor a BALATON szót kapjuk? Megoldás: Az összes esetet ismétléses permutációval határozhatjuk meg, hét elem közül az egyik kétszer ismétlődik, a többiek ezektől és egymástól különbözőek. Összes eset:
7! =3 4·5·6·7 = 2520. 2!
Kedvező eset csak egy lehet, amikor a betűk megfelelő sorrendbe kerülnek egymás mellé. A keresett valószínűség =
1 kedvező esetek száma ≈ 0,00040 . = 2520 összes eset száma
Mintapélda16 Kovács úr ügyel a biztonságra. Kertkapuján lakat és zár is van, a bejárati ajtót felső és alsó zárral is biztosította. A kulcsok mind különbözőek. Kislánya ezt a négy kulcsot feltette egy karikára. Mi a valószínűsége annak, hogy a kulcsok a karikán úgy következnek, hogy amikor betette a lakatba a megfelelő kulcsot, akkor a karikán jobbra a kapukulcs, majd a bejárati ajtó fölső és alsó zárának kulcsa következik ebben a sorrendben?
141
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
Megoldás: Az összes lehetőség kiszámításakor a ciklikus permutáció képletét kell alkalmaznunk. n különböző dolgot (n – 1)! sorrendben lehet elhelyezni, ha a sorbarendezendő dolgok egy körön helyezkednek el. A kulcsoknak az ábrán szereplő elhelyezései azonos sorrendnek tekintendők:
A kulcsok a karikán 3! különböző sorrendben lehetnek, a kedvező esetek száma csak 1, így annak valószínűsége, hogy a kulcsok sorrendje ideális lesz: P =
1 1 = ≈ 0,17 . 3! 6
Feladatok 34. Egy automatából négyféle innivaló: tej, kávé, kakaó, tea és 10-féle szendvics: 2-féle
sonkás, 2-féle szalámis, 2-féle kolbászos, 2-féle vegetáriánus, 1 tepertőkrémes és 1 tojáskrémes választható. Peti reggelizni szeretne. Mi a valószínűsége annak, hogy találomra megnyomva egy ital és egy szendvics gombot, kakaót és vegetáriánus szendvicset fog kapni? 35. Mi a valószínűsége annak, hogy ha az É, H, S, Ú, V, T betűket találomra egymás mellé
helyezzük, akkor a HÚSVÉT szót kapjuk? 36. Hat osztálytárs moziba megy. Zolinak nagyon tetszik Katóka, de ezt nem meri
bevallani. Mi a valószínűsége annak, hogy az egymás mellé szóló hat jegyet véletlenszerűen kiosztva, Zoli és Katóka egymás mellé kerülnek? 37. Hét golyóra rendre felírjuk az 1, 3, 4, 4, 4, 5, 7 számjegyeket. A golyókat egy dobozba
tesszük, és jól megkeverjük. A golyókat a dobozból egyesével kivesszük, és a rajta levő számjegyeket balról jobbra haladva egymás mellé leírjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy olyan hétjegyű számot kapunk, amely 5-re végződik?
142
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
38. Hét jó barát, négy lány és három fiú vacsorázni mennek. Az étteremben egy téglalap
alakú asztal egyik oldalán egymás mellett foglalnak helyet. Mi a valószínűsége annak, hogy a) azonos neműek nem kerülnek egymás mellé, b) a három fiú egymás mellé kerül? 39. Egy kör alakú asztal körül 8 szék van. Négy házaspár véletlenszerűen foglal helyet az
asztal körül (minden lehetséges elhelyezkedés egyenlően valószínű). Mi annak a valószínűsége, hogy a) a házaspárok egymás mellé kerülnek, b) azonos neműek nem kerülnek egymás mellé? (Két elhelyezést akkor és csak akkor tekintünk különbözőnek, ha a társaságnak van legalább egy olyan tagja, akinek vagy a bal oldali vagy a jobb oldali szomszédja a két ülésrendben különböző.) 40. Egy urnában hat piros, két sárga és két fehér golyó van. Úgy húzunk az urnából, hogy
a kihúzott golyót nem tesszük vissza. a) Mi a valószínűsége annak, hogy először két piros golyót húzunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy először két sárga golyót húzunk? c) Mi a valószínűsége annak, hogy a hat piros golyó kihúzása a végére marad? 41. Van öt számkártyánk, melyeken a 0; 1; 2; 3; 4 számjegyek szerepelnek.
Véletlenszerűen lerakjuk az öt számkártyát egymás mellé. a) Mi a valószínűsége annak, hogy négyjegyű számot rakunk ki? (Lásd a 7. mintapéldát!) b) Mi a valószínűsége annak, hogy ötjegyű számot rakunk ki? c) Mi a valószínűsége annak, hogy hárommal osztható számot rakunk ki? d) Mi a valószínűsége annak, hogy néggyel osztható számot rakunk ki? 42. Négy barátnő, Anna, Bori, Cili és Dóri egy padon ülnek.
a) Mi a valószínűsége annak, hogy Anna a pad szélén ül? b) Mi a valószínűsége annak, hogy Anna és Dóri a pad szélén ülnek? c) Mi a valószínűsége annak, hogy a padon – balról jobbra nézve – éppen névsor szerint ülnek?
143
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
43. András számon tartja, hogy a barátai milyen sorrendben köszöntik fel a névnapján.
Tavaly Márton köszöntötte őt először, majd Imre, Panni, Feri és Sári következtek. Ebben az évben is felhívták őt mind az öten. a) Mi a valószínűsége annak, hogy idén is Márton köszöntötte őt először? b) Mi a valószínűsége annak, hogy idén pont ellenkező sorrendben hívják fel, mint tavaly? 44. Két egyforma sorsolási kereket kell elkészíteni egy vetélkedő előtt. Bálint és Géza
elvállalták, hogy hazaviszik és kifestik piros, zöld, sárga és fekete színekre a négy mezőt. Másnap az iskolában összehasonlítják a két korongot. Mi a valószínűsége, hogy egyforma lett a két korong, ha a) a mezők beosztása olyan, mint az A ábrán? b) a mezők beosztása olyan, mint a B ábrán? c) ha a mezők beosztása olyan, mint a C ábrán?
A
B
C
45. Tombolán 17 műsoros CD-t, 2 db MP3 lejátszót és egy hifitornyot sorsolnak ki.
Természetesen a három főnyeremény sorsolását a végére hagyják, de a CD lemezeket (7 Vangelis, 5 Pink Floyd, 5 LGT) véletlen sorrendben adják át a nyerteseknek. Mi a valószínűsége annak, hogy a) az első 5 kisorsolt CD mind Vangelis? b) a végére marad mind a 7 Vangelis CD? 46. Egy pakli magyar kártyát jól megkevernek, majd kihúznak belőle 1 lapot. Mi a
valószínűsége, hogy a) ez a lap nem a tök ász lesz?
144
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
b) ez a lap nem lesz zöld? c) ez a lap nem lesz ász?
47. Egy pakli magyar kártyából kiválogatják a makkokat, majd ezeket jól összekeverve
leteszik egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy a) a lapok növekvő sorrendben követik egymást (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király, ász)? b) az első négy lap figura (valamilyen sorrendben az alsó, felső, király ász)? 48. 1
2
3
4
5
Ezeket a számkártyákat véletlenszerűen elhelyezve az alábbi szorzásba,
a) mi a valószínűsége annak, hogy úgy rakjuk le őket,
٠
hogy a lehető legnagyobb szorzat keletkezzen? (Mi ez a szorzat?) b) mi a valószínűsége annak, hogy úgy rakjuk le őket, hogy páros szám keletkezzen? 49. 0
0
1
2
5
7
A fenti számkártyákat megkeverjük, majd véletlenszerűen lerakjuk egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy a) hattal osztható szám keletkezik? b) hússzal osztható szám keletkezik?
145
11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
Kislexikon Ha n kísérletből az A esemény k-szor következik be, akkor a
k hányados az A esemény n
relatív gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.
Az elemi események egy kísérlet lehetséges kimenetelei, amelyek tovább már nem bonthatók. Ha egy kísérlet lehetséges kimeneteleit olyan eseményekként írjuk fel, hogy a kísérlet minden lehetséges kimenetele esetén az események közül pontosan egy valósul meg, azt
mondjuk, hogy ezek az események teljes eseményteret alkotnak. Ha egy eseménytérben az összes benne szereplő esemény valószínűsége egyenlő, akkor az eseményteret klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük. A valószínűségszámítás klasszikus Laplace-féle modellje: Egy A esemény valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon: Legyen N az azonos valószínűségű elemi események száma, melyek az eseményterünket alkotják (továbbiakban:
összes esetek száma), k pedig azon elemi események száma, amelyek az A esemény összetevői (röviden: kedvező esetek száma). Ilyenkor P ( A) =
kedvező esetek száma k = . összes eset száma N
A biztos esemény valószínűsége 1. A lehetetlen esemény valószínűsége 0. Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül az egyik mindig bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás komplementere. Komplementer események valószínűségének összege 1. P ( A) + P ( A ) = 1
146
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Tetszőleges A és B esemény összege az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor legalább az egyik bekövetkezik. Jelölése: A+B. (Az események összegét szokás AUB-vel is jelölni.) Tetszőleges A és B esemény szorzata az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor A és B is bekövetkezik. Jelölése: A·B (Az események szorzatát szokás A∩B-vel is jelölni.) Tetszőleges A és B esemény egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz A·B = {lehetetlen esemény }. P( A ⋅ B ) = 0 .
12. MODUL Forgásszög szögfüggvényei Készítette: Csákvári Ágnes
148
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. FORGÁSSZÖGEK 1. Matematika: A szög1 (olvasmány, részletek) A szög fogalmát valószínűleg a babiloni csillagászok vezették be. Egyedülállóan sikeres innováció volt: a forma vált így mérhetővé, és ezzel megragadható lett a számok nyelvén. Hogy minden háromszögben két derékszögnyi a szögek összege, azt már jóval Eukleidész előtt tudták a hozzáértők. Mára ez nevenincs közhely, s nem gondolunk arra, hogy egyike a tiszta matematika legelső igazi tételeinek. Szerényen állít valamit, aminek érvényességi köre messze túl mutat a tapasztalaton. Egyáltalán nem álmélkodunk el rajta. Korán, talán túl korán közlik velünk az iskolában. Részévé válik annak, ahogy a világot látni véljük. Az elmúlt száz év során ugyanis kiderült: csak emberi léptékre érvényes, a kozmosz és a kvantummechanika geometriája nem euklideszi. MÉRÉS A szögnek – mint minden mennyiségnek – a méréséhez két dologra van szükség: mérési eljárásra és egységre. A babiloniak a szöget egy olyan körív hosszával mérték, amelynek középpontja a szög csúcsa. Az egység ezután tetszőlegesen választható mint a szöget mérő kör kerületének arányos része. Ennél azóta sincs jobb módszer. A babiloniak több mint háromezer éve osztották 360 egyenlő részre a szöget mérő kört: az így adódó ív jelöli ki az egységnyi nagyságú, 1°-os szöget. A bűvös 360-as szám a babiloni számrendszerből és kozmológiából ered. Amikor szöget mérünk, vagy például 90°-os szögről beszélünk, akkor a Biblia előtti korok csillagászainak, írnokainak eszközeit és nyelvét használjuk, még az ékírásos időkből. Mivel teljesen önkényes, a fok éppen olyan jó egység, mint bármi más. Van azonban két gyakorlati előnye. Egyrészt a csillagászatban gyakori fellépő kicsiny szögek mérőszáma így „emberi” nagyságrendű, másrészt az elemi geometriában megjelenő „nevezetes” szögek mértéke szép egész szám. Használatát a hagyományokhoz való ragaszkodáson túl az is indokolja, hogy több mint ezer éve az arab matematikusok erre az egységre készítették el az első trigonometriai táblázatokat. A szögmérés babiloni egységének nem volt igazi „konkurenciája”, itt nem burjánzott el az egységeknek az a dzsungele, mint a hosszúság vagy a súly mérésekor. Közrejátszhatott ebben az is, hogy szöget nem a piactéren vagy a vásárokban mértek, ez megmaradt a már akkor is a nemzetközi „tudományos-műszaki elit” feladatának. A szöggel mérhető mennyiségek nem voltak, és később sem lettek közvetlenül pénzre válthatók, nem úgy, mint a már említett hosszúság vagy a súlymérés esetében. AZ ÍVMÉRTÉK A középiskolában találkozunk a szögmérés egy másik egységével, a tudományosan hangzó radiánnal. A definíció világos: 1 radián az a szög, amelyet a méréshez felhasznált kör sugarával (sugár = rádiusz) egyenlő nagyságú ív mér.
1
Élet és Tudomány 1999. 22. szám. Diákoldal. Szerző: Pataki János
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
149
Az új egység bevezetésének következménye az, hogy ha egységnyi sugarú kört használunk a méréshez, és így a hosszúságmérés egységére vezetjük vissza a szögmérés egységét, akkor valóban a szögszárak által kimetszett körív hossza a szög mértéke, az ív közvetlenül méri a szöget. A radián bevezetése mintegy szinkronizálja a hosszúság és a szög mérését: egy fontos elv érvényesül az új egység bevezetésekor. Az egyik első következmény, hogy néhány összefüggés leegyszerűsödik: az r sugarú körből 1) ) ) az α radián nagyságú középponti szög α ⋅ r nagyságú ívet és α⋅ r 2 területű 2 körcikket metsz ki. AZ ISKOLÁBAN
Az új egység használatát különböző átváltási feladatokkal szokás gyakorolni, a jobb kalkulátorok pedig már automatikusan hajtják végre a megfelelő konverziókat. Ilyenkor jellemző hiba, ha a felhasználó elfeledkezik a gép beállításáról – vagy ami rosszabb, nem törődik vele –, és például radiánban „felejtett” gépével akarja kiszámítani, mennyi cos 60°. Jó esetben meglepődik a gép által közölt – 0,954… értéken – félreértés ne essék: nem ezért érdemes (kell) tudni, hogy például cos 60° = 0,5 –, de még mielőtt elemcserére vagy szervizre gondolna, érdemes ellenőrizni a beállításokat. A két egység egyidejű használatával első ránézésre zavarba ejtő egyenlőségeket kapunk, mint π . például 60° = 3 Ez az egyenlőség természetesen nem a mérőszámok, a 60, π illetve a ≈ 1,047 egyenlőségét mondja; nem is mondhat3 ja. Azt fejezi ki, hogy a két különböző egység felhasználásával mért szögek egyenlők. Hasonló ez a 13 = 1101 „egyenlőséghez”, ahol a bal és a jobb oldalon ugyanannak a számnak a tízes, illetve a kettes számrendszerbeli alakja áll. Az egyenlőség értelmezéséhez itt a számok jelentését is ismerni kell.
FOK VAGY RADIÁN?
Mikor melyik egységet érdemes használni? A legfontosabb tanács: ne mindkettőt egyszerre! Egy háromszög keresett szögének nagyságára éppoly jó válasz a 48°, mint a ≈ 0,838 radián. Ha táblázatot használunk, akkor érdemes fokokban kifejeznünk a szöget, az újabb kalkulátorok azonban mindkét egységben használhatók. Igazság szerint az ilyen feladatokban teljesen mindegy, hogy melyik egységet választjuk. Illetlenség azonban egy feladat megoldása közben váltani, vagy más egységben közölni az eredményt, mint ahogyan az adatokat kaptuk például a feladat kitűzésekor. A körben adódó számítási feladatokban a szükséges formulák egyszerűbbek, ha ívmértéket használunk. A körív hosszára vonatkozó összefüggés például fokokban α o ⋅π i= ⋅r . 180°
150
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
) Vegyük észre, hogy a formula úgy kapható meg a már említett i = α ⋅ r eredményből, hogy a szög fokokban megadott mérőszámát radiánba konvertáljuk: π ) α° → α = ⋅α° . 180°
2. Szögek mérése Ahogy az a bevezető olvasmányból is kiderült, a szög nagyságát kétféleképpen határozhatjuk meg. Mindkét esetben egy teljes kört hívunk segítségül. I. A kör középpontjából kiinduló két félegyenes egy szögtartományt, a középponti szöget határozza meg. Ezt a szöget fokokban mérjük. A teljes szög 360°-nak felel meg. 1° a teljes kör 360-ad része. II. A másik esetben nem a középponti szöget mérjük, hanem annak a körívnek a sugárhoz való viszonyát, amelyet a körből a szögszárak metszenek ki. Ez az ívmérték. A mérőszám meghatározásához felhasználjuk, hogy a körív nagysága és a középponti szög nagysága egyenesen arányos. Ezt az arányossági tényezőt nevezzük radiánnak. 1 radián jelenti azt a középponti szöget, amelynél a körív hossza éppen )⎛ i ⎞ a sugárral egyenlő. Jele: α⎜ = ⎟ . ⎝ r⎠ Tehát az ívmérték azt mutatja meg, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a sugárnak. A teljes szöghöz (360°) tartozó körív (teljes kör) a sugár 2π -szerese. (Ebből adódik a kör kerülete: K = 2rπ .) 360 o ≈ 57,3o . Tehát 360 o = 2π rad ⇒ 1 rad = 2π Ez a meghatározás kapcsolatot teremt a fokban mért adatok és a valós számok halmaza között. Megjegyzés: a mértékegységül szolgáló rad szócskát nem szoktuk kiírni, mivel az ívmérték hosszúságok arányát jelenti, egy valós számot. Például: 180° és a 180 nem ugyanazt a szöget jelöli, ugyanis 180° = 3,141592….. radián, míg 180 radián ≈ 10313,25°.
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
151
Mintapélda1 Hányszorosa a sugárnak a 47°-hoz tartozó körív? Megoldás:
Tudjuk: 180° esetén az ív a sugár π-szerese. π Ebből: 1° esetén az ív a sugár -szorosa. 180 π -szorosa ≈ 0,82-szerese. 47° esetén az ív a sugár 47 ⋅ 180 π ) Tetszőleges α szög esetén α = α o ⋅ . 180
Mintapélda2 Tudjuk, hogy a sugárnak 1,2-szerese a körív hossza. Hány fokos középponti szöghöz tartozik ez az ívhossz? Megoldás: ) Tudjuk: α = 1,2 . 180° esetén az ív a sugár π-szerese.
180 o esetén az ív a sugár 1-szerese. π 180 o 1,2 ⋅ ≈ 68,75° a középponti szög. π ) 180 o ) Tetszőleges α radián esetén α o = α ⋅ . π
Ebből:
Amikor számológéppel számoljuk ki a szög mérték fokban, akkor általában tizedestört alakot kapunk. A csillagászatban, asztrológiában előfordulhat, hogy tizedesjegyek helyett inkább perc és másodperc alak kellene. Van olyan számológép, amely gombnyomásra elvégzi az átváltást, de ha a sajátunkon nincs, nekünk kell átváltani.
Mintapélda3 a) Adjuk meg a 31,28° fok perc másodperc alakját! Megoldás:
31,28°=31°+0,28°. Tudjuk: 1°=60’. Ebből: 0,28°=0,28⋅60’=16,8’. Általában addig folytatjuk az átalakítást, amíg el nem fogynak a tizedesjegyek. 16,8’=16’+0,8’. Tudjuk: 1’=60”.
(mivel 1°=60’=3600”.)
Ebből: 0,8’=0,8⋅60’’=48”. A kapott eredményeket visszahelyettesítve kapjuk: 31,28°=31°16’48”.
152
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
b) Amennyiben a feladat perc másodperc formátumban adta meg az adatot, de például a számológép miatt tizedestört alakra lenne szükség, a következő eljárás segít: Váltsuk át tizedestörtté a 71°45’13” szöget! Megoldás: o
o
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Felhasználjuk: 1′ = ⎜ ⎟ valamint 1′′ = ⎜ ⎟ , ⎝ 60 ⎠ ⎝ 3600 ⎠ o
o
⎛ 42 ⎞ ⎛ 13 ⎞ 71°42′13′′ = 71° + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 71,7036° . ⎝ 60 ⎠ ⎝ 3600 ⎠
Feladatok 1. Váltsd át radiánba a következő, fokban megadott szögeket! Hozd a legegyszerűbb
alakba az eredményt: a) 30°;
b) 150°;
c) 240°;
d) 315°;
e) 132°.
2.Váltsd át fokba a következő, radiánban megadott szögeket!
a)
π ; 4
b)
3π ; 2
c)
2π ; 7
d) 0,2967;
e) 2,3736;
f) 1.
3. Alakítsd át a következő, fokban és percben megadott szögeket tizedestörtté!
a) 36°13’52”;
b) 121°36’;
c) 201°10’2”.
4. Add meg a következő szögeket fokban, percben, s ha szükséges, másodpercben!
a) 47,5°;
b) 93,12°;
c) 134,73°.
3. Forgásszögek A továbbiakban rögzítsük a középponti szög egyik szárát. Ez lesz a nyugvó szögszár, a másik pedig a forgó szögszár. Forgassuk ezt a szögszárat a kör középpontja körül. A forgatás nagyságát a forgó szögszár által súrolt tartomány határozza meg. A forgatás iránya pedig a szög előjelét határozza meg: ha az óramutató járásának irányával ellentétes irányba forgatunk, akkor a szög pozitív előjelű, ha pedig megegyező irányba, akkor a szög negatív előjelet kap.
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
153
Például: − 60°
+ 60°
Mintapélda4 Ábrázoljuk a következő szögeket! b) −1224°.
a) 576°;
−1224° = −(144°+3⋅360°)
576° = 360°+216°
5. Ábrázold a következő szögeket! (Használhatsz szögmérőt is.)
a) 75°;
b) 130°;
c) 194°;
d) 220°;
e) 295°;
g) 540°;
h) 2715°;
i) −30°;
j) −140°;
k) −517°.
f) 315°;
A forgó szögszárra illesztett vektor hossza, mint sugár, rögzített szög mellett egyenesen arányos a körív nagyságával. A forgó szögszárra helyezett egységvektor végpontja forgatás közben egy körön mozog. Ezek után helyezzük el azt a szöget és az egységvektor végpontja által meghatározott kört a koordináta-rendszerben úgy, hogy a kör középpontja essen egybe az origóval, a nyugvó szögszár pedig az x tengelyt meghatározó i egységvektorral. A forgó szögszárat jelöljük e-vel.
Megjegyzés: Az x tengely pontjait az i egységvektor
számszorosaival, az y tengely pontjait pedig a j vektor számszorosaival skálázzuk.
154
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda5 Állapítsuk meg, hogy az ábrán látható szög forgó szára melyik síknegyedben található, és becsüljük meg a nagyságát! (Szögmérővel ellenőrizhető a becslés.)
Megoldás: 2. síknegyed, kb. 110°.
A szög segítségével a forgó szögszáron felvett v vektor végpontját kétféleképpen is jellemezhetjük: 1. Az origótól való távolsággal valamint a szögszár és az x tengely pozitív felével bezárt pozitív előjelű szöggel.
2. A V pont koordinátáival, amelyek függenek a szögtől.
6. Hány fokos szöget kapsz, ha az α = 143°-os szög mozgószárát pozitív irányba még
kétszer teljes körrel elforgatod? És ha 12-szer?
7. Tükrözd az α = 143°-os szög forgószárát az x, az y tengelyre és az origóra. Hány
fokosak a kapott szögek? Tükrözd ugyanígy a 37°-os szöget is. Mit tapasztalsz?
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
155
II. Forgásszögek szinusza, koszinusza 8. Mérd meg 2 tizedesjegy pontossággal a következő forgásszögekhez tartozó OE
vektorok koordinátáit! a)
b)
c)
d)
Az egyes esetekben milyenek a koordináták előjelei?
A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének nevezzük annak az elforgatásnak a szögét, amely i-t e-be viszi át. (Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.)
156
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját (abszcisszáját) értjük.
TANULÓK KÖNYVE
Tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y koordinátáját (ordinátáját) értjük.
Látható, hogy sem a szög szinusza, sem a szög koszinusza nem lehet –1-nél kisebb, illetve +1-nél nagyobb.
Most megmutatjuk, hogy ez a definíció hogyan kapcsolódik a korábbi, derékszögű háromszögben megadott definícióhoz.
I. síknegyedben:
Ebben a derékszögű háromszögben: y x sin α = = y és cos α = = x . 1 1
A többi síknegyed esetén felhasználjuk a korábbi szögek tükrözésével szerzett tapasztalatokat. II. síknegyedben:
α ' = 180 o − α ; sin α = sin α ' = sin (180° − α ) ; cos α = − cos α ' = − cos(180° − α ) .
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
157
III. síknegyedben:
α ' = α − 180 o ; sin α = − sin α ' = − sin (α − 180°) ; cos α = − cos α ' = − cos(α − 180°) .
IV. síknegyedben:
α ' = 360 o − α ; sin α = − sin α ' = − sin (360° − α ) ; cos α = cos α ' = cos(360° − α ) .
Minden szög szinusza, ill. koszinusza visszavezethető egy első síknegyedbeli megfelelő szög szinuszára, ill. koszinuszára. Az egyes szögek szögfüggvényeinek előjeleit jól szemléltethetjük az egységsugarú körrel: cos α
sin α
cos 90° = cos 270° = 0.
sin 0° = sin 180° = 0.
9. Határozd meg az egységvektor koordinátáit két tizedesjegy pontossággal, ha adott a
vektor irányszöge! a) 37°;
b) 142°;
Használd a számológépet!
c) 198°;
d) 345°.
158
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda6 Eddig 0° és 360° közötti szögeket vizsgáltunk. Most megnézzük a negatív és a 360°-nál nagyobb szögeket! Számítsuk ki a szögek szinuszát, ill. koszinuszát! 1. sin 3218° = sin (338° + 8⋅360°) = sin 338° = − 0,3746; 2. cos (− 63°) = cos (− 63° + 360°) = cos 297° = 0,454; 3. sin (− 829°) = sin (251° − 3⋅360°) = sin 251° = − 0,9455. 10. Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett szögfüggvények értékeit!
a) sin 36°;
cos 54°;
b) sin (− 98°); c) sin 5261°;
cos (− 68°); cos 2183°;
d) sin 144°36’12”;
cos (− 52°23’48”);
e) sin (− 681°39’); f) sin 211,73°;
cos 536° 13’; cos 147,82°;
g) sin (− 26,2°);
cos (− 11,6°).
11. Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett szögfüggvények értékeit! 2π 10π cos a) sin ; ; 5 3
b) sin 45 ;
cos 30 ;
c) sin 0,56 ;
cos1,18 ;
d) sin− 3 ; 2 e) sin 1 π ; 3
cos− 0,1 ; 11 cos 2 π . 12
Mintapélda7 Végezzük el a kijelölt műveleteket! Ahol lehet, pontos értékkel számoljunk! a) sin 23° + sin 337°; b) cos 337° + cos 23°. Megoldás: a) sin 23° + sin 337° = sin 23° – sin (360°−337°) = = sin 23° − sin 23° = 0.
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
159
b) cos 337° + cos 23° = cos (360° − 337°) + cos 23° = = cos 23° + cos 23° = 2 · cos 23° ≈ 1,841.
12. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, majd számold ki a pontos érté-
küket! a) cos 111° − cos 249°; b) sin 47° + sin 317°; c) cos 157° + cos 203°; d) sin 348° − sin 168°;
π
e) sin
2
f) cos
π 3
+ sin π + sin
+ cos π − cos
g)
sin 53o ; sin 127 o
h)
cos 215 o ; cos 325 o
i) sin j) cos
π 2
π 2
3π ; 2 5π ; 3
⋅ cos π ⋅ sin
3π ; 2
⋅ cos π ⋅ sin
3π . 2
Mintapélda8 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! cos 48°
cos 76°
Megoldás:
A szögek koszinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok x koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának x tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs jel:
cos 48° > cos 76°.
160
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda9 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! sin 36°
sin 153°
Megoldás:
A szögek szinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok y koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának y tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs
jel: sin 36° > sin 153°.
13. Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet!
a) sin 33°
sin 46°;
b) cos 100°
cos 146°;
c) sin 211°
sin 256°;
d) cos 294°
cos 357°.
14. Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet!
a) cos 26°
cos 157°;
b) sin 253°
sin 53°;
c) cos 15°
cos 296°;
d) sin 318°
sin 218°.
Mintapélda10 Eddig adott szögek szinuszát, ill. koszinuszát határoztuk meg. Most megfordítjuk a kérdést: az a feladat, hogy egy szög szinusza (koszinusza) ismeretében keressük meg, mely szög(ek)é lehet! Az ilyen feladatokat visszakeresésnek is szokták nevezni. Mely szögekre teljesül a sin α = 0,7 egyenlőség, ha 0° ≤ α ≤ 360°?
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
Megoldás: Készítsünk ábrát! Vegyük fel az egységkört! A szögek
szinuszát az irányszögükhöz tartozó egységvektor y koordinátájával értelmezzük. A 0,7-es ordinátához két
egységvektort is tudunk találni, hiszen a 0,7-en áthaladó, az x tengellyel párhuzamos egyenes két pontban is metszi az egységsugarú kört. A két metszésponthoz tartozó irányszög:
α1 = 44,4°; α2 = 180° − 44,4° = 135,6°.
Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása Mintapélda11 Mely szögekre teljesül a sin α = − 0,9272 egyenlőség? Megoldás: A számológép segítségével α = −68°. Keressük meg a 0° és 360° közötti megfelelőjét, valamint az összes megoldást is!
α’ = |α| = 68°; α1 = 360° − α’ = 360° − 68° = 292°; α2 = 180° + α’ = 180° + 68° = 248°. Természetesen α1’ = 292° + 360°; α1” = 292° + 2 · 360°; stb. is megoldása a feladatnak:
Általános alakban felírva: α1 = 292° + k⋅360°, k ∈ Z;
α2 = 248° + l⋅360°, l ∈ Z. Mivel ezek egymástól független megoldások, különböző betűket használunk.
161
162
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda12 Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) − 2 · sin( x + 52° ) + 0,5 = 0; b)
1 · cos ( 36° − x ) − 0,25 = 0. 3
Megoldás:
a) − 2 · sin( x + 52° ) + 0,5 = 0, − 2 · sin( x + 52° ) = −0,5, sin( x + 52° ) = 0,25. Innen a zsebszámológép segítségével kapjuk, hogy x + 52° = 14,5°. A forgásszögek ismeretében ez két eset vizsgálatát jelenti: I. x1 + 52° = 14,5° + k · 360°, x1 = −37,5° + k · 360° = 322,5° + k · 360°, k ∈ Z. II. x2 + 52° = 165,5° + l · 360°, x2 = 113,5° + l · 360°,
b)
l ∈ Z.
1 · cos ( 36° − x ) − 0,25 = 0, 3
1 · cos ( 36° − x ) = 0,25, 3 cos ( 36° − x ) = 0,75. Zsebszámológép használatával: 36° − x = 41,4°. Innen két esetet kell megvizsgálni: I. 36° − x1 = 41,4° + m · 360°, x1 = 77,4° + m′ · 360°, II. 36° − x2 = 318,6° + n · 360°, x2 = 354,6° + n′ ⋅ 360°,
m ∈ Z és m′ ∈ Z. n ∈ Z és n′ ∈ Z.
15. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 0,5 sin x – 0,1743 = 0;
b) – cos x + 0,5628 = 1;
c) sin ( x + 15° ) = 0,3452;
d) 2 cos ( x – 20° ) = 1,4264.
16. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) cos α – 3 = – 2;
b) sin β +
1 1 =– ; 2 2
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
c) 2 sin γ = 1; e) cos (φ +
TANULÓK KÖNYVE
d)
π ) = 0; 6
163
1 2 ; cos δ = – 3 3 π ) = 0. 3
f) sin (ψ –
17. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 3 sin ( – x + 48° ) = 2,5681;
b) 0,2 cos ( x – 12° ) = 0, 1358.
18. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) cos ( α – c)
π 1 ) + = 0; 6 2
1 1 2 cos γ + = ; 2 5 5
b) 2 sin ( β +
π )= 2 2; 4
d) 3 sin δ –
3 =2 3.
19. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) | cos x | =
3 ; 2
b) sin2x +
1 = 1. 4
Mintapélda13 Egy 10 cm2 területű háromszög 5 cm-es oldalán 72°-os szög nyugszik. Milyen hosszú a háromszögnek ezt a szöget határoló másik oldala? Megoldás: b ⋅ mb T= , 2 5 ⋅ mb , innen 4 = mb. 10 = 2 Az ABB’ derékszögű háromszögben a szinusz szögfüggvényt felírva: mb m 4 = sin 72° = b , innen c = . c sin 72° sin 72° c ≈ 4,2 cm.
Felhasználva, hogy mb = c · sin α, kapjuk a háromszög területének egy másik – kob ⋅ mb b ⋅ c ⋅ sin α rábban már említett – lehetséges kiszámítási módját: T = . = 2 2
164
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A hegyesszögű háromszög területét megkapjuk, ha vesszük két oldalának és a közbezárt szögük szinuszának a szorzatát, és ezt a szorzatot elosztjuk kettővel. A mintapéldában szereplő módon igazolható az összefüggés bármely két oldalra és az általuk bezárt szögre.
T=
a ⋅ b ⋅ sin γ b ⋅ c ⋅ sin α a ⋅ c ⋅ sin β = = . 2 2 2
A fenti összefüggés érvényes derékszögű, illetve tompaszögű háromszög esetén is. Derékszögű háromszögben: γ = 90° , ezért sin γ = 1 értéket formálisan beírhatjuk a háromszög területképletébe:
T=
a ⋅ b ⋅ 1 a ⋅ b ⋅ sin 90° a ⋅ b ⋅ sin γ . = = 2 2 2
Tompaszögű háromszögben: m sin γ’ = a , b sin γ’ = sin ( 180° − γ ) = sin γ, innen ma = b · sin γ’ = b · sin γ, a ⋅ ma a ⋅ b ⋅ sin γ T= . = 2 2
Mintapélda14 Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei és a kerülete, ha területe 23 egységnégyzet, és szárai 8 egység hosszúak? Megoldás: b = 8; T = 23. α=? β = γ = ? (A háromszög egyenlőszárú.) K=? b ⋅ b ⋅ sin α 8 2 ⋅ sin α = T= , 2 2
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
165
46 = 64 · sin α, sin α = 0,7187 és 0° < α < 180°. I. α1 = 46°,
II. α2 = 180° − 46° = 134°,
β1 = (180° − 46°) : 2 = 67°,
β2 = (180° − 46°) : 2 = 23°,
γ1 = 67°.
γ2 = 23°.
Tehát a megadott adatokhoz egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszög is tartozik. A kerület meghatározásának egyik lehetséges módja: sin
α 2
=
a . 2b
a1 , innen 16 6,25 = a1.
a2 , innen 16 14,73 = a2.
I. sin 23° =
K1 = a1 + 2b = 6,25 + 16 = 22,25.
II. sin 67° =
K2 = a2 + 2b = 14,73 + 16 = 30,73.
20. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 30 cm és 4,2 dm hosszú, és 29°-os
szöget zárnak be egymással!
21. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 23 dm és 1,5 m hosszú, és 108°-os
szöget zárnak be egymással!
22. Számítsd ki a háromszög hiányzó adatát – az ábrán látható jelöléseket használva –, ha
ismert, hogy a) T = 18 cm2; c = 5,2 cm; a = 7,4 cm,
β = ?; b = ?
b) T = 35 dm2; b = c = 8 dm,
K=?
166
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
23. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két oldala 7 dm és 1,3 m, és a közbezárt
szögük 113°! A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. Tp = a · b · sin α.
24. Egy rombusz kerülete 36 cm, területe 52 cm2. Mekkorák az
oldalai és a szögei?
25. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két
átlója 6 cm és 10 cm, és a közbezárt szögük 52°!
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
167
Szinusz- és koszinuszfüggvény A forgásszögekkel való ismereteink megszerzése után már minden szöghöz egyértelműen hozzárendelhető annak szinusza és koszinusza. A hozzárendelésnél valós számokhoz valós számokat rendelünk, ezért a szöget radiánban kell megadni. Az így nyert két függvény: f(x) = sin x, illetve g(x) = cos x.
Az eddigi tapasztalatok alapján ezeknek a függvényeknek néhány tulajdonságát már ismerjük: 1. A függvényértékek [−1; +1 ] intervallumban találhatóak. A –1-et is és a +1-et is végtelen sok helyen veszi fel. 2. A függvényértékek 2π szerint ismétlődnek, tehát a függvények periodikusok, és periódusuk 2π. Az f(x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére x + p is az értelmezési tartományhoz tartozik, és f (x) = f (x + p). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni.
Példák periodikus függvényekre: 1. Törtrész függvény:
É.T.: R, f ( x ) = { x },
periódus: p = 1.
2. Konstans függvény:
É.T.: R, f ( x ) = 2,
periódus: minden valós szám megfelelő, de nincs közöttük legkisebb.
168
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
3. A valós életben például a szívritmus görbe (EKG):
Mintapélda15 Ábrázoljuk és jellemezzük az f( x ) = sin x függvényt! Megoldás:
Készítsünk értéktáblázatot! x
−2π
sin x
0
−
3π 2
1
−π
−
π 2
0
π 6
π 4
π 3
π 2
π
0
−1
0
1 2
2 2
3 2
1
0
7π 6
−
1 2
4π 3
5π 4
−
2 2
−
Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [−1; 1]. Zérushely: sin x = 0, x = k · π, k ∈ Z.
Periódus: 2 π. Monotonitás: π π + 2lπ ≤ x ≤ + 2lπ , l ∈ Z, 2 2 3π π szigorúan monoton csökkenő: + 2mπ ≤ x ≤ + 2mπ , m ∈ Z. 2 2 Szélsőérték: π maximumhely: x = + 2nπ ; n ∈ Z, 2 maximumérték: sin x = 1, szigorúan monoton növekvő: −
3 2
3π 2
2π
−1
0
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
169
3π + 2sπ ; s ∈ Z, 2 minimumérték: sin x = −1.
minimumhely: x =
Paritás: páratlan, mert sin x = − sin (− x). Alulról nézve konkáv: 2aπ ≤ x ≤ π + 2aπ; a ∈ Z intervallumon. Alulról nézve konvex: π + 2bπ ≤ x ≤ 2π + 2π; b ∈ Z intervallumon.
Mintapélda16 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = cos x függvényt!
Megoldás: Készítsünk értéktáblázatot!
x
−2π
cos x
1
−
3π 2
−π
0
−1
−
π 2
0
0
π 6
π 4
π 3
π 2
1
3 2
2 2
1 2
0
2π 3
−
1 2
3π 4
−
2 2
5π 6
−
3 2
Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [ –1; 1 ]. Zérushely: cos x = 0; π x = + k · π, k ∈ Z. 2 Periódus: 2 π. Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő: 2lπ ≤ x ≤ π + 2lπ; l ∈ Z, szigorúan monoton növekvő: π + 2mπ ≤ x ≤ 2π + 2mπ; m ∈ Z. Szélsőérték: maximumhely: x = 2nπ; n ∈ Z, maximumérték: cos x = 1, minimumhely: x = π + 2 s π; s ∈ Z, minimumérték: cos x = −1. Paritás: páros, mert cos x = cos (−x). Alulról nézve konkáv: − Alulról nézve konvex:
π
2
+ 2 aπ ≤ x ≤
π
2
+ 2aπ ; a ∈ Z.
3π π + 2bπ ≤ x ≤ + 2bπ ; b ∈ Z. 2 2
π
3π 2
2π
−1
0
1
170
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A valós életben e függvények transzformáltjaival találkozhatunk: Rezgőmozgás:
A hang terjedése:
A kék, illetve a piros fény terjedése:
A szinusz és koszinuszfüggvény ábrázolása függvénytranszformációkkal Kérdések:
1. Hogyan változik az f (x) = sin x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk a v(0; −2) vektorral? 2. Hogyan változik az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk a v( −
π 3
; 0) vektorral?
3. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = sin x függvény grafikonja a g(x) = cos x függvény grafikonjába?
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
171
4. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = cos x függvény grafikonja a g(x) = sin x függvény grafikonjába? 5. Mennyivel kell eltolni és milyen irányban az f (x) = sin x függvény grafikonját, hogy a függvényértékek ne legyenek pozitívak? 6. Hol vannak az f ( x ) = cos x + 1 függvény zérushelyei? 7. Mik lesznek a szinusz- és a koszinuszfüggvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely mentén
1 -szeresére zsugorítjuk? 4
8. Mik lesznek a szinusz-, ill. koszinuszfüggvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely mentén (−2)-szeresére nyújtjuk? 9. Milyen transzformációval kapjuk meg az f (x) = sin x függvény grafikonjából a
g (x) = sin (−x) függvény grafikonját?
π⎞ 1 ⎛ 10. Milyen transzformációs lépések találhatók az f( x ) = − cos⎜ x + ⎟ − függvény grafi2⎠ 2 ⎝ konjának elkészítésekor? 11. Mekkora a periódusa az f (x) = sin 3x függvénynek? 12. Hogyan változtatod meg az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítását, hogy a függvény periódusa a kétszeresére nőjön? 13. Milyen paritású az f (x) = cos (−x) függvény? 14. Milyen értékeket vehet fel az f (x) = | sin x | függvény?
Mintapélda17 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = −
1 ⎛ π⎞ sin⎜ x + ⎟ − 2 függvényt! 2 ⎝ 3⎠
Megoldás:
Transzformációs lépések: 1. a ( x ) = sin x,
π⎞ ⎛ 2. b ( x ) = sin ⎜ x + ⎟ , 3⎠ ⎝
← a függvény grafikonjának eltolása az x tengely ⎛ π ⎞ mentén a v ⎜ − ; 0 ⎟ vektorral, ⎝ 3 ⎠
3. c ( x ) =
1 ⎛ π⎞ sin ⎜ x + ⎟ , 2 ⎝ 3⎠
← b függvény grafikonjának y tengely menti zsugorítása,
1 -szeres 2
172
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
1 ⎛ π⎞ 4. d ( x ) = − sin ⎜ x + ⎟ , ← c függvény grafikonjának tükrözése az x tengelyre, 2 ⎝ 3⎠ 1 ⎛ π⎞ 5. f ( x ) = − sin ⎜ x + ⎟ − 2 . ← d függvény grafikonjának eltolása az y tengely men2 ⎝ 3⎠ tén a v(0; −2) vektorral.
Jellemzés: É.T.: R. É.K.: az ábráról is leolvasható, de algebrai úton is levezethető. Megjegyzés: Az É.K. az y tengely menti
1 -szeres zsugorítás és az y tengely menti –2-vel 2
való eltolás miatt változik, melyet a lépések sorrendjében levezethetünk: −1 ≤ sin α ≤ 1 1 1 1 ≥ − sin α ≥ − 2 2 2 −
⎛ 1⎞ / · ⎜− ⎟ , ⎝ 2⎠ / −2,
3 1 5 ≥ − sin α −2 ≥ − . 2 2 2
⎡ 5 3⎤ Az értékkészlet: ⎢− ;− ⎥ . ⎣ 2 2⎦ Zérushely: Egy jó ábráról szintén leolvasható. Most nézzük az algebrai levezetését: 1 ⎛ π⎞ − sin ⎜ x + ⎟ − 2 = 0 , 2 ⎝ 3⎠
π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = −4 , és mivel egy szög szinusza csak –1 és +1 közötti szám lehet ⇒ 3⎠ ⎝ nincs zérushelye. Periódus: 2π. Monotonitás:
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
173
Megjegyzés: Az ábráról olvassuk le a megfelelő intervallumokat. Célszerű először a
[0; 2π] intervallumon megkeresni a megfelelő szakaszokat, majd utána kibővíteni a periódussal. Igyekezzünk egybefüggő szakaszokat találni. Ha „túllóg” a [0; 2π] –n, akkor az utána lévő részt vegyük figyelembe. A szakaszok helyét az x tengelyre történő tükrözés (a − menti −
1 szorzó miatt) és az x tengely 2
π -mal történő eltolás befolyásolja. 3
7π ⎡π ⎤ + 2kπ⎥ ; k∈Z intervallumokban; Szigorúan monoton növő: ⎢ + 2kπ; 6 ⎣6 ⎦ 13π ⎡ 7π ⎤ + 2lπ⎥ ; l∈Z intervallumokban. Szigorúan monoton csökkenő: ⎢ + 2lπ; 6 ⎣6 ⎦ Szélsőérték: Megjegyzés: Egy jó ábráról leolvashatók a szélsőértékhelyek, de algebrai úton is
levezethetők. A szélsőérték-helyeket az x tengelyre történő tükrözés (a − π menti − -mal történő eltolás határozza meg. 3 1 ⎛ 5 π⎞ Minimumhely: − sin ⎜ x + ⎟ − 2 = − , 2 ⎝ 3⎠ 2
π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = 1 , 3⎠ ⎝ x+
π π = + 2mπ ; m ∈ Z, 3 2
x=
π + 2mπ. 6
Minimumérték: −
5 . 2
1 ⎛ 3 π⎞ Maximumhely: − sin ⎜ x + ⎟ − 2 = − , 2 ⎝ 3⎠ 2 x+
π 3π + 2nπ ; n ∈ Z, = 3 2
x=
7π + 2nπ. 6
1 szorzó miatt) és az x tengely 2
174
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
Maximumérték: −
TANULÓK KÖNYVE
3 . 2
Paritás: nem páros, nem páratlan. Megjegyzés: a grafikon nem szimmetrikus sem az origóra, sem az y tengelyre, ez
algebrailag is bebizonyítható. Ehhez a definíciókat használjuk fel: A függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemére –x is eleme az
értelmezési tartománynak, és f ( x ) = f ( −x ), illetve páratlan, ha f ( x ) = − f ( −x ). Állítsuk elő f (–x )-et! 1 ⎛ π⎞ f (–x ) = − sin ⎜ x + ⎟ − 2 , 2 ⎝ 3⎠
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = sin ⎜ − x + ⎟ nem teljesül, mert 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ π⎞ π ⎞⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ − x + ⎟ = sin ⎜⎜ − ⎜ x − ⎟ ⎟⎟ = − sin ⎜ x − ⎟ , ezért a függvény nem páros. 3⎠ 3 ⎠⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ – f (–x ) =
1 ⎛ π⎞ sin ⎜ − x + ⎟ + 2 , ezért a függvény nem páratlan. 2 ⎝ 3⎠
5π ⎡ 2π ⎤ + 2aπ⎥ , a ∈ Z intervallumokon. Alulról nézve konkáv a ⎢ + 2aπ; 3 ⎣3 ⎦ 2π ⎡ π ⎤ Alulról nézve konvex a ⎢− + 2bπ; + 2bπ⎥ , b ∈ Z intervallumokon. 3 ⎣ 3 ⎦ Megjegyzés: A grafikonról mindez leolvasható.
Mintapélda18 Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonjait, és állapítsuk meg a periódusukat, zérushelyüket és szélsőértékhelyüket! ⎛ 3π ⎞ − x⎟ ; a) f ( x ) = sin ⎜ ⎝ 2 ⎠
π⎞ ⎛ b) g ( x ) = cos⎜ 3x − ⎟ ! 2⎠ ⎝ Megoldás:
a) A grafikon elkészítéséhez alakítsuk át a hozzárendelési utasítást! ⎛ ⎛ 3π ⎛ 3π ⎞ sin ⎜ − x ⎟ = sin ⎜⎜ − ⎜ x − 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝
3π ⎞ ⎞⎞ ⎛ ⎟ ⎟⎟ = − sin ⎜ x − ⎟. 2 ⎠ ⎠⎠ ⎝
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
175
Ábrázolás menete: 1. d ( x ) = sin x, 3π ⎞ ⎛ 2. e ( x ) = sin ⎜ x − ⎟, 2 ⎠ ⎝
← d grafikonjának eltolása az x tengely mentén
3π ⎞ ⎛ 3. f ( x ) = − sin ⎜ x − ⎟, 2 ⎠ ⎝
← e grafikonjának tükrözése az x tengelyre.
Periódus: 2π. Zérushely:
3π ⎛ sin ⎜ x − 2 ⎝
⎞ ⎟=0, ⎠
x−
3π = kπ; k ∈ Z, 2
x=
3π ⎛ π ⎞ + kπ ⎜ = + k ′π ⎟ ; k′ ∈ Z. 2 ⎝ 2 ⎠
Szélsőérték-helyek: Minimumhely: 3π ⎛ − sin ⎜ x − 2 ⎝
⎞ ⎟ = −1 , ⎠
3π ⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ = 1, 2 ⎠ ⎝ x−
3π π = + 2lπ; l ∈ Z. 2 2
x = 2 π + 2lπ = 2 l’ π; l’ ∈ Z.
Maximumhely: 3π ⎞ ⎛ − sin ⎜ x − ⎟ = 1, 2 ⎠ ⎝ 3π ⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ = −1 , 2 ⎠ ⎝ x−
3π 3π = + 2mπ; m ∈ Z, 2 2
x = 3π + 2mπ = π + 2 ( m + 1 ) π = π + 2 m’ π; m’∈Z.
3π -vel, 2
176
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
b) A trigonometrikus függvények grafikonjának elkészítésekor az x változó együtthatójának 1-nek kell lennie, ezért az argumentumban kiemelést végzünk: ⎛ ⎛ π⎞ π ⎞⎞ ⎛ cos⎜ 3x − ⎟ = cos⎜⎜ 3⎜ x − ⎟ ⎟⎟ . 2⎠ 6 ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝ Periódus:
2π . 3
π⎞ ⎛ cos⎜ 3x − ⎟ = 0 , 2⎠ ⎝
Zérushely:
3x −
π π = + kπ; k ∈ Z, 2 2
3x = π + kπ = k’ π; k’ ∈ Z, x = k′
π 3
.
Szélsőérték-helyek: Minimumhely:
π⎞ ⎛ cos⎜ 3x − ⎟ = −1 , 2⎠ ⎝ 3x −
π = π + 2lπ ; l ∈ Z, 2
3x =
3π + 2lπ, 2
x=
2π π l. + 2 3
Maximumhely:
π⎞ ⎛ cos⎜ 3 x − ⎟ = 1 , 2⎠ ⎝ 3x −
π = 2mπ ; m ∈ Z, 2
3x =
π + 2mπ, 2
x=
2π π + m. 6 3
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
177
Tapasztalat: Ha x együtthatója nem 1, akkor az együtthatót kiemelhetjük: ⎛ ⎛ b ⎞⎞ cos(ax + b ) = cos⎜⎜ a⎜ x + ⎟ ⎟⎟ a ⎠⎠ ⎝ ⎝
(a ≠ 0) .
A függvény grafikonjának ábrázolása ebben az esetben 3 lépésből áll: 1) d(x) = cos x. 1) x tengely menti zsugorítás / nyújtás. A függvény periódusa
2π 1 -szorosára változik, azaz a a
lesz. Tehát e( x ) = cos (3x). 2) x tengely menti
b b nagyságú, előjelével ellentétes irányú eltolás. a a
⎛ ⎛ π ⎞⎞ Tehát f ( x ) = cos⎜⎜ 3⎜ x − ⎟ ⎟⎟ . 6 ⎠⎠ ⎝ ⎝
Megjegyzés: A szinusz- és a koszinuszfüggvény grafikonja
ilyen hullámok
ismétlődéséből épül fel. Egy hullám „hossza” 2π. Az x szorzótényezője – ha az abszolútértékben 1-nél nagyobb – szemléletesen azt mutatja meg, hogy hány db ilyen hullám fér bele egy 2π hosszú intervallumba. Ilyenkor a hullám „összenyomódik”. Ha a szorzótényező abszolútértékben 1-nél kisebb, például
intervallumba a hullámnak csak a fele
fér el.
1 , akkor egy 2π hosszúságú 2
2 esetén: 3
. Ekkor a
hullám „széthúzódik”. Minden esetben a hullám „hossza” éppen a szorzótényező reciprokszorosára változik.
178
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda19 Készítsük el a következő függvények grafikonját: a) cos2 x; Megoldás:
a)
b)
c)
d)
b) cos x2;
c)
sin x ;
d) sin x .
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
TANULÓK KÖNYVE
179
26. Készítsd el a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!
a) f ( x ) = sin x + 2;
b) g ( x ) = cos x −
5π ⎞ ⎛ d) k ( x ) = cos⎜ x + ⎟; 4 ⎠ ⎝
e) l ( x ) =
1 ; 2
3 · sin x; 2
c) h ( x ) = sin ( x − 2π ); f) m ( x ) = −2 · cos x.
27. Készítsd el a következő függvények grafikonját! Állapítsd meg a függvények paritását!
a) a ( x ) = sin | x |;
b) b ( x ) = | sin x |.
180
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
III. Forgásszögek tangense, kotangense Emlékeztető: α hegyesszög esetén: a szöggel szemközti befogó sin α = = , b szög melletti befogó cos α szög melletti befogó b cos α ctg α = = = . a szöggel szemközti befogó sin α tg α =
Tetszőleges α szögre már definiáltuk a szögek szinuszát és koszinuszát, így hányadosuk segítségével a tangensüket és a kotangensüket is értelmezhetjük, ha a nevezőben szereplő kifejezés helyettesítési értéke 0-tól különböző.
Ha x ∈ R és x ≠ nπ ( n∈ Z ), akkor ctg x =
π + kπ ( k ∈ Z ), akkor 2 sin x tg x = . cos x
Ha x ∈ R és x ≠
cos x . sin x
A sin α és cos α értéket korábban az α irányszögű egységvektor y, illetve x koordinátájaként definiáltuk. Megmutatjuk, hogy a tgα és a ctgα fenti definíciójának milyen geometriai tartalma van: 1) tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg. 2) ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1; 0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk. Az 1) geometriai tartalom következik a tg α definíciójából:
181
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
Az OAB, illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik: sin α sin α cos α = → = PQ , PQ 1 cos α tg α = PQ. Az első síknegyedre tehát érvényes az összefüggés; a többi síknegyedre hasonlóan igazolható. A 2) geometriai tartalom következik a ctg α definíciójából:
Vegyük észre, hogy az OAB derékszögű háromszögben OA = sin α, és AB = cos α. Az OAB, illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik: cos α sin α cos α = → = PQ , PQ x sin α ctg α = PQ. Az első síknegyedre érvényes az összefüggés, a többi síknegyedre hasonlóan igazolható. π Látszik, hogy a + kπ, k ∈ Z nagyságú szögeknek a tangense, az nπ, n ∈ Z nagyságú 2 szögeknek pedig a kotangense nem értelmezett, hiszen ekkor az egységvektor egyenese és a megfelelő érintő párhuzamosak. tg α esetén
ctg α esetén
182
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Ha egy szög nem 90°-os vagy attól nem tér el 180° valamely egész számú többszörösével, akkor a tangense létezik és egyértelműen meghatározható.
⎫ ⎧π Vagyis az R \ ⎨ + kπ , k ∈ Z ⎬ halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés: ⎭ ⎩2 f ( x ) = tg x. Ezt tangensfüggvénynek nevezzük.
Ha egy szög nem 180° vagy annak egész számú többszöröse, akkor létezik és egyértelműen meghatározható a kotangense is. Vagyis az R \ { nπ, n∈Z } Megfigyelések: halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés: az f ( x ) = ctg x. Ezt kotangensfüggvénynek nevezzük.
Megfigyelések: 1. Az f(x) = tg x függvény a III. síknegyedben, azaz 180° és 270° közötti szögekre ugyanazt az értéket veszi fel, mint az I. síknegyedben. Ez az állítás a g(x) = ctg x függvényre is érvényes. (0° < α < 180° és α + 180° tangense ugyanaz.) 2. Az f(x) = tg x függvény a IV. síknegyedben, azaz 180° és 270° közötti szögekre ugyanazt az értéket veszi fel, mint az II. síknegyedben. Ez az állítás a g ( x ) = ctg x függvényre is érvényes. 3. Az 1. és a 2. megállapításból következik, hogy az f(x) = tg x és a g(x) = ctg x függvények periodikusak, és periódusuk π. Ez algebrai úton is belátható: sin (α + π ) − sin α = tgα . tg (α + π ) = = cos(α + π ) − cos α 4. Az f ( x ) = tg x függvény páratlan, mert tg (− α ) =
sin (− α ) − sin α = = −tgα . cos(− α ) cos α
Hasonlóan a g ( x ) = ctg x függvény is páratlan. A fentiek alapján töltsétek ki a következő oldalon lévő táblázatot!
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
Nevezetes szögek szögfüggvényei 0° és 360° között: Fedezzetek fel minél több szimmetriát a táblázatban az értékekre, illetve az előjelekre vonatkozóan. Segítségképpen néhány értéket előre beírtunk.
183
184
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
28. A nevezetes szögek szögfüggvényeit felhasználva határozd meg a következő kifejezések pontos értékét! 2 − tg 225° b) ; a) sin245° – cos230°; sin 135° + cos 45° cos150° − sin 2 120° c) ; d) tg 840° + cos 240° – sin 1050°; tg 45° − ctg 225° π 11π π e) cos · sin · tg ; f) 2 tg 60° + ctg 135° – 3 tg 45° + 2 cos 120°. 3 4 6
29. Számold ki a következő értékeket!
a) tg 203°;
b) ctg ( –514°);
c) tg 5,64;
d) ctg 102°42’15”.
30. Add meg azokat a szögeket, amelyeknek tangense a) –3; b) 2 3 !
31. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) tg x = –1,2;
b) ctg x = 11;
32. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) tg 3x = 2 3 ;
b) tg 2x = –3;
c) tg ( x + 16° ) = –3;
π⎞ ⎛ c) ctg⎜ 5 x + ⎟ = 3 ; 2⎠ ⎝
d) tg x =
7 . 3
⎛π ⎞ d) tg⎜ − x ⎟ = −1 . ⎝ 16 ⎠
185
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
Mintapélda20 Ábrázoljuk az f ( x ) = tg x, illetve a g ( x ) = ctg x függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! Megoldás: f(x) = tg x
Jellemzés: É.T: É.K: Zérushely:
⎫ ⎧π R \ ⎨ + kπ ; k ∈ Z ⎬ ; ⎭ ⎩2 R; tg x = 0, x = l π; l ∈ Z.
Periódus: π. Monotonitás: szigorúan monoton növő a π ⎤ π ⎡ ⎥⎦ − 2 + mπ ; 2 + mπ ⎢⎣ ; m ∈ Z intervallumokon. Szélsőérték: nincs. Paritás: páratlan.
g(x) = ctg x
R \ { a π; a ∈ Z}; R;
ctg x = 0, π x = + b π; b ∈ Z. 2 π. szigorúan monoton csökkenő a ] c π ; π + c π [; c ∈ Z intervallumokon. nincs. páratlan.
186
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Konvexitás:
π ⎡ ⎡ az ⎢nπ ; + nπ ⎢ ; n ∈ Z 2 ⎣ ⎣ intervallumokon. Konkávitás: ⎤π ⎤ ⎥⎦ 2 + rπ ; π + rπ ⎥⎦ , r ∈ Z intervallumokon.
π ⎤ ⎤ ⎥⎦ dπ ; 2 + dπ ⎥⎦ ; d ∈ Z intervallumokon. ⎡π ⎡ ⎢⎣ 2 + eπ ; π + eπ ⎢⎣ , e ∈ Z intervallumokon.
33. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket!
a) f ( x ) = 2 tg x;
b) g ( x ) = – tg x;
π⎞ ⎛ e) l ( x ) = tg ⎜ x − ⎟ ; 3⎠ ⎝
c) h ( x ) = tg ( –x );
π⎞ ⎛ f) m ( x ) = tg ⎜ 2 x + ⎟ ; 2⎠ ⎝
d) k ( x ) = tg x + 2;
g) n ( x ) = | tg x |.
187
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
IV. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása I. A tangens és a kotangens függvények értelmezése: sin x π tg x = , ha x ≠ + k π; k ∈ Z. cos x 2 cos x , ha x ≠ l π; l ∈ Z. ctg x = sin x Ezek következménye: tg x · ctg x = 1
,
1 1 , illetve tg x = , azaz ugyanazon szög tangense és kotangense tg x ctg x π egymás reciproka, ha x ≠ n · ; n ∈ Z. 2 innen ctg x =
II. Pitagoraszi (négyzetes) trigonometrikus azonosság: sin2α + cos2α = 1
.
Megmutatjuk, hogy bármekkora szög esetén teljesül ez az összefüggés. Két esetet különböztetünk meg: π 1) α = k ; k ∈ Z 2 Ekkor vagy |sin α| = 1 és |cos α| = 0 vagy |cos α| = 1 és |sin α| = 0. Behelyettesítve a fenti összefüggésbe kapjuk: sin2α + cos2α = |sin α|2 + |cos α|2 = 12 + 02 = 1. π 2) α ≠ k ; k ∈ Z. 2 Minden esetben létrejön egy derékszögű háromszög, melynek befogói sin α, illetve cos α hosszúak, átfogója pedig |e| = 1 nagyságú. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt felhasználva, hogy |sin α|2 = sin2α és |cos α|2 = cos2α: |sin α|2 + |cos α|2 = |e|2, sin2α + cos2α = 12 = 1. III. Pótszög-összefüggések: π – α ), 2 π cos α = sin ( – α ), 2
sin α = cos (
π π – α ); x ≠ + k π k ∈ Z, 2 2 π ctg α = tg ( – α ); x ≠ nπ n ∈ Z. 2
tg α = ctg (
188
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
1) Az f(x) = cos x függvény ábrázolásakor tapasztaltuk, hogyha f grafikonját eltoljuk az x π tengely mentén + -vel, akkor éppen a g(x) = sin x függvény grafikonját kapjuk: 2
⎛ ⎛π π⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛π ⎞ sin x = cos⎜ x − ⎟ = cos⎜⎜ − ⎜ − x ⎟ ⎟⎟ = cos⎜ − x ⎟ . 2⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎝2 mivel a koszinuszfüggvény páros π 2) Ha az f(x) = sin x függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén + -vel, akkor 2 g(x) = – cos x függvény grafikonját kapjuk.
⎛ ⎛π π⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛π ⎞ − cos x = sin ⎜ x − ⎟ = sin ⎜⎜ − ⎜ − x ⎟ ⎟⎟ = − sin ⎜ − x ⎟ , 2⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎝2 mivel a szinuszfüggvény páratlan ⎛π ⎞ cos x = sin ⎜ − x ⎟ . ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos⎜ − x ⎟ sin x ⎝2 ⎠ = ctg⎛ π − x ⎞ , 3) tg x = = ⎜ ⎟ 2 cos x ⎛π ⎞ ⎝ ⎠ sin ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠
x≠
⎛π ⎞ sin ⎜ − x ⎟ cos x ⎝2 ⎠ = tg⎛ π − x ⎞ , 4) ctg x = = ⎜ ⎟ 2 sin x ⎛π ⎞ ⎝ ⎠ cos⎜ − x ⎟ 2 ⎝ ⎠
x ≠ nπ ; n ∈ Z .
π 2
+ kπ ; k ∈ Z .
189
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
Mintapélda21 Számítsuk ki a szög értékének meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét, és szerkesszük is meg a keresett szögeket, ha tudjuk, hogy 2 3 ; b) tg x = ! a) sin x = − 3 8 Megoldás:
2 . 3 cos x értékének meghatározásához a Pitagoraszi összefüggést használjuk fel:
a) sin x = −
sin2x + cos2x = 1, 2
⎛ 2⎞ 2 ⎜− ⎟ ⎜ 3 ⎟ + cos x = 1, ⎝ ⎠ 2 + cos2x = 1, 9 7 cos2x = , 9 7 . cos x = ± 3
tg x és ctg x értékek kiszámításhoz a tg x =
sin x 1 , illetve ctg x = összefüggéseket cos x tg x
alkalmazzuk: sin x = −
cos x =
7 , 3
2 3 =− 2, tg x = 7 7 3 1 7 ctg x = =− , tg x 2 −
Szerkesztés vázlata: 2 Ha sin α = , akkor 3
2 3
cos x = −
7 , 3
2 3 = 2, tg x = 7 7 − 3 1 7 = ctg x = . tg x 2 −
190
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Megjegyzés: Az egységet tetszőlegesen vehetjük fel. Mivel sin x = −
2 , ezért az egységkörön ábrázolva: 3
3 . 8 Közvetlenül ctg x értékét tudjuk kiszámítani: 1 8 ctg x = = . tg x 3 3 Szerkesztés: Ha x hegyesszög, akkor tg x = . 8
b) tg x =
Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható. Ha x tetszőleges forgásszög, akkor tg x =
3 értéket az egységkörön ábrázolhatjuk: 8
Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható.
191
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
34. Számítsd ki a szög nagyságának meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét, és szerkeszd is meg a keresett szögeket: a) sin x =
2 ; 7
1 b) cos x = − ; 5
c) tg x =
9 ; 7
d) ctg x = 3,8!
192
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
V. Kiegészítő anyag Mintapélda22 Mely x-ekre teljesül? 1 a) sin x ≥ − ; 2
b) tg 2x >
3 ; 3
c) | cos x | <
2 ; 2
d) ctg2x ≥ 1?
Megoldás: Mindegyik feladatnál először egy perióduson belül keressük meg a megoldást. Ez általában a szinusz- és koszinuszfüggvény esetén a [ 0; 2π ], tangens és kotangens függvény esetén pedig a [ 0; 2π ] intervallumot jelenti. Csak ezután általánosítunk.
a) sin x ≥ −
1 2
−
π 6
+ 2kπ ≤ x ≤
7π + 2kπ ; k ∈ Z. 6
193
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
b) tg 2x >
3 3
π π + mπ ≤ 2 x ≤ + mπ ; 6 2
π
12 c) | cos x | <
+ m′
π
2
≤x≤
π
4
+ m′
π 2
m ∈ Z.
;
m′ ∈ Z.
2 2
Az ábráról is leolvasható, de az abszolútérték definícióját felhasználva is kiderül, hogy azokat 2 2 < cos x < az x értékeket keressük, amelyekre − . 2 2 A keresett intervallumok: 5π 3π 7π π + 2kπ < x < + 2kπ , k ∈ Z. + 2nπ < x < + 2nπ , n∈ Z illetve 4 4 4 4 Mivel |cos x| periódusa π, ezért e két megoldási tartomány összefoglalható: 3π π + pπ < x < + pπ , p∈ Z. 4 4
194
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
d) ctg2x ≥ 1
Az ábráról leolvasható, hogy olyan x-eket keresünk, melyekre ctg x ≥ 1 vagy ctg x ≤ –1. A keresett intervallumok: π rπ < x ≤ + rπ , r ∈ Z, 4
3π + sπ ≤ x < (s + 1)π ; s ∈ Z. 4
illetve
35. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! a) sin x ≤
3 ; 2
b) cos x < −
1 ; 2
c) tg x ≤
3.
Mintapélda23 Oldjuk meg a következő egyenleteket: ⎛ 7π ⎞ − x⎟ ; a) cos 3x = cos ⎜ ⎝ 6 ⎠
π⎞ ⎛ b) sin ⎜ 2 x + ⎟ = sin x; 8⎠ ⎝
⎛π ⎞ c) tg x = tg ⎜ − 2 x ⎟ . ⎝4 ⎠
Megoldás:
A megoldás során felhasználjuk, hogy cos x = cos (2π – x) és sin x = sin (π – x). ⎛ 7π ⎞ − x⎟ a) cos 3x = cos ⎜ ⎝ 6 ⎠
195
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
7π – x = 3 x + 2kπ k ∈ Z 6 7π – 2kπ = 4x, 6 7π π − k = x. 24 2
I.
II.
7π – x = 2π – 3 x + n · 2π ; n ∈ Z, 6 7π 5π + 2π (n + 1) , 2x = + 2nπ = − 6 6 7π 5π + π (n + 1) . x= + nπ = − 12 12
π⎞ ⎛ b) sin ⎜ 2 x + ⎟ = sin x 8⎠ ⎝
π = x + 2mπ; m ∈ Z, 8 π x = – + 2mπ. 8
π = π – x + 2nπ; n ∈ Z, 8 7π 3x = + 2nπ, 8 7π 2 x= + nπ. 24 3
I. 2x +
c)
π 4
II. 2x +
⎛π ⎞ tg x = tg ⎜ − 2 x ⎟ , ⎝4 ⎠ – 2x = x + rπ; r ∈ Z, –3x = – x=
π 4
π
12
+ rπ, −r
π 3
.
36. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin x = sin 75°; c) sin
5π ⎞ x ⎛ = ⎜x − ⎟; 6 ⎠ 2 ⎝
e) tg 4x = tg (36° + x);
π⎞ ⎛ b) cos 2x = cos ⎜ x + ⎟ ; 4⎠ ⎝ d) cos (3x + 60°) = cos (x + 24°);
π⎞ ⎛ f) ctg πx = ctg ⎜ 3πx − ⎟ . 4⎠ ⎝
196
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Kislexikon Radián: megmutatja, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a kör sugarának; 180° = π radián. Átváltások: π ) fok → radián: α = α o ⋅ , 180 ) 180 o radián → fok: α o = α ⋅ . π Pótszög: a szöget 90°-ra egészíti ki. Kiegészítő szög: a szöget 180°-ra egészíti ki. Irányszög: A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének annak az elforgatásnak a szögét nevezzük, amely i-t az e-be viszi át. (Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.) Forgásszög koszinusza: Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját (abszcisszáját) értjük. Jele: cos α. Forgásszög szinusza: tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y koordinátáját (ordinátáját) értjük. Jele: sin α. Háromszög területe: a ⋅ b ⋅ sin γ a ⋅ c ⋅ sin β b ⋅ c ⋅ sin α = = T= . 2 2 2 Egy háromszög területe két oldalának és a közbezárt szögük szinusza szorzatának a fele.
Paralelogramma területe: A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. Tp = a · b · sin γ. Az f(x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére p + x is az értelmezési tartományhoz tartozik, és f(x) = f(x + kp). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni.
Forgásszög tangense: sin α π , α ≠ + kπ, (k ∈ Z). Definíció: tg α = cos α 2 Geometriai tartalom: tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1 ;0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg.
12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI
197
Forgásszög kotangense: cos α , α ≠ kπ, (k ∈ Z). Definíció: ctg α = sin α Geometriai tartalom: ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg. ⎫ ⎧π Tangensfüggvény: az R \ ⎨ + kπ , k ∈ Z ⎬ értelmezési tartományon érvényes f(x) = tg x ⎭ ⎩2 hozzárendelési utasítással megadott függvény.
Kotangensfüggvény: R \ {nπ, n∈Z} értelmezési tartományon érvényes f(x) = ctg x hozzárendelési utasítással megadott függvény. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása: sin α cos α 1) tg α = ; ctg α = → tg α · ctg α = 1, cos α sin α 1 ctg α = , tg α 1 a megfelelő értelmezési tartományon. tg α = ctg α 2) Pitagoraszi összefüggés: sin2α + cos2α = 1.
13. MODUL statisztika Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)
200
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Statisztikai mutatók, diagramok A mai világban való eligazodáshoz nagyon fontos a statisztika. Kilencedik osztályban már részletesen foglalkoztunk ezzel a témakörrel. Megismerkedtünk bizonyos statisztikai alapfogalmakkal: statisztikai sokaság, statisztikai ismérv, gyakoriság, relatív gyakoriság. Most, tizedik osztályban ezeket átismételjük, a statisztika ugyanis átvezet a valószínűség fogalmának megismeréséhez is. A gazdaság és a társadalom nagyon sok összetevőből áll, azonban általában csak néhány számadatból próbálunk választ kapni kérdéseinkre. Ezek a számadatok igen változatosak lehetnek. Közvetlen környezetünkben is találhatunk példákat ,,árulkodó” számokra: lakóhelyünkön a lakosok száma, nemek szerinti megoszlása, foglalkoztatottak és munkanélküliek aránya, iskolába járó tanulók száma és közülük a középiskolások megoszlása a különböző iskolatípusok között stb. A tömegesen előforduló jelenségek és folyamatok számbavételével, az így nyert adatok vizsgálatával, elemzésével foglalkozik a statisztika. A statisztikus először adatokat gyűjt a vizsgálat tárgyát képező egyedekről meghatározott szempontok alapján.
Mintapélda1 A következő diagram a június havi napi középhőmérsékleteket tartalmazza.
Június havi napi középhőmérsékletek 30 25 20 15 10 5 0 1.
2. 3.
4. 5.
6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
Készítsük el a napi középhőmérsékletek gyakorisági diagramját!
201
13. modul: STATISZTIKA
Számoljuk ki a június havi átlaghőmérsékletet! a) Határozzuk meg, hogy hány olyan nap volt, amikor a középhőmérséklet magasabb volt az átlagnál, és hány napon volt alacsonyabb? b) Határozzuk meg a napi középhőmérsékletek móduszát és mediánját, értelmezzük ezeket! Megoldás: a) Összegyűjtöttük, hogy melyik hőmérséklet hányszor fordul elő: Hőmérséklet 16 18 19 20 21 22 23 24 25 Gyakoriság
2
5
5
2
2
7
3
3
1
A középhőmérsékletek gyakorisági diagramja 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16
18
19
20
21
22
23
24
25
Június havi átlaghőmérséklet: ⋅ 2·16 + 5·18 + 5·19 + 2·20 + 2·21 + 7·22 + 3·23 + 3·24 + 25 = 20,6 3 °C. 30
a) Az átlagnál magasabb volt a középhőmérséklet: 16 napon, az átlagnál alacsonyabb volt a középhőmérséklet: 14 napon. b) A középhőmérsékletek módusza, azaz a leggyakrabban előforduló hőmérséklet: 22 °C. A középhőmérsékletek mediánja, azaz a statisztikai sokaság középső eleme: 21 °C.
202
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda2 Egy 35 fős osztályból véletlenszerűen választottunk ki 15 tanulót. A tanulók cipőméretét és kedvenc színét tartalmazza a következő táblázat.
Cipőméret Szín
Cipőméret Szín
Cipőméret Szín
1.
35
Sárga
6.
41
Fehér
11.
37
Fekete
2.
36
Piros
7.
37
Sárga
12.
35
Fekete
3.
38
Kék
8.
36
Piros
13.
37
Sárga
4.
35
Sárga
9.
35
Zöld
14.
38
Rózsaszín
5.
39
Zöld
10.
38
Sárga
15.
42
Fehér
Mennyiségi ismérv, azaz olyan szempont, amelynek alapján számadattal jellemezhetjük a
sokaságot: a cipőméret. Minőségi ismérv, azaz olyan szempont, amely alapján szöveggel jellemezhetjük a sokaságot:
a kedvenc szín. A mennyiségi és a minőségi ismérv alapján a statisztikai sokaságra vonatkozóan különböző statisztikai mutatókat lehet meghatározni. Határozzuk meg ezeket! Megoldás: Mennyiségi ismérv:
Legkisebb cipőméret: 35. Legnagyobb cipőméret: 42 A cipőméretek gyakorisága, relatív gyakorisága: Cipőméret
35
36
37
38
39
41
42
Gyakoriság
4
2
3
3
1
1
1
Relatív gyakoriság
0,27
0,13
0,2
0,2
0,07
0,07
0,07
A cipőméretek módusza, azaz a leggyakoribb cipőméret: 35. A cipőméretek mediánja, azaz a statisztikai sokaság középső eleme: 37.
203
13. modul: STATISZTIKA
Az átlagos cipőméret: 4·35 + 2·36 + 3·37 + 3·38 + 39 + 41 + 42 ≈ 37,3. 15 Minőségi ismérv:
Színek gyakorisága, relatív gyakorisága: Kedvenc szín Fehér Gyakoriság 2 Relatív gyakoriság 0,13
Fekete 2 0,13
Kék 1 0,07
Piros 2 0,13
Rózsaszín Sárga 1 5 0,07 0,3
Zöld 2 0,13
A kedvenc színek módusza, azaz a leggyakrabban előforduló szín: a sárga. Megjegyzés:
Ha a statisztikai sokaság számokból áll, akkor mind a három középérték meghatározható (átlag, módusz, medián). Ha a statisztikai sokaság minősített adatokból áll, és nem rendezhető sorba, akkor csak a módusz határozható meg. A statisztikai adatok szemléltetésére különböző grafikonokat, diagramokat használunk. Az ábrázolandó adathalmaz jellege határozza meg, hogy milyen típusú diagramot alkalmazunk. Az oszlopdiagramnál az adatokat, mint téglalapokat jelenítjük meg. A téglalapok magassága arányos az adat nagyságával (az oszlopok szélessége ugyanakkora, a negatív adatokat szokás lefelé rajzolni). A kördiagram segítségével általában a rész és egész arányát ábrázoljuk. A teljes kör jelképezi a 100%-ot, és az egyes részek arányát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög arányos a relatív gyakorisággal.
Mintapélda3 A 12. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot kapott, amely az 1, 2, 3, 4 és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta valamilyen sorrendben. a) Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották?
204
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
b) Az alábbi kördiagram a dolgozatok eredményét szemlélteti:
Adjuk meg, hogy hány tanuló érte el a szereplő érdemjegyeket! A választ foglaljuk táblázatba, majd a táblázat adatait szemléltessük oszlopdiagramon is! Megoldás:
a) Képezzük az összes lehetséges kódszámot! A kód első jegyét 5 szám közül, a másodikat már csak a maradék 4, a harmadikat 3, a negyediket a megmaradt 2 számból választhatjuk ki, végül az utolsó jegy így már meghatározott. Az összes kódok száma: 5·4·3·2·1 = 120. Tehát 120 tanuló írta meg a dolgozatot. b) A 120-at kell felosztani a középponti szögek arányában.
Jegyek
2
3
4
5
Fok
45 o
105 o
150 o
60 o
Fő
15
35
50
20
Készítsük el az oszlopdiagramot! 60
fő
50 40 30 20 10 0 2
3
4 érdemjegyek
5
205
13. modul: STATISZTIKA
Feladatok 1. Egy debreceni középiskolában 700 diák tanul öt megyéből. A megyénkénti eloszlást
tartalmazza a táblázat. Megye
Diákok száma
Szabolcs-Szatmár-Bereg
175
Hajdú-Bihar
441
Békés
42
Borsod-Abaúj-Zemplén
28
Jász-Nagykun-Szolnok
14
Összesen:
700
a) Állapítsd meg, hogy az egyes megyékből a tanulók hány százaléka jár a középiskolába! b) Ábrázold oszlopdiagramon, hogy megyénként hány fő jár az iskolába! (Ez lesz a gyakoriság.) A százalékos megoszlást ábrázoljuk kördiagramon! (Ez lesz a relatív gyakoriság.) c) Vajon tudnak-e minden vidéki tanulónak kollégiumi férőhelyet biztosítani, ha az iskola a várostól 318 kollégiumi férőhelyet kapott? Feltételezzük, hogy minden olyan tanuló kér kollégiumot, aki nem debreceni. A Hajdú-Bihar megyei diákok 70%-a debreceni. 2. Magyarázd meg, hogyan lehet igaz mindkét újság híre!
Miután értékelted Pesszimista újság és Optimista újság híreit, készítsd el az Objektív újság grafikonját! A möhönce árának valódi alakulását az alábbi táblázat mutatja:
Év
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Ár (Ft)
1000
1100
1200
1300
1400
1500
206
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
3. Egy önkormányzat az alábbi grafikonnal büszkélkedett arról, hogy milyen mértékben
nőtt náluk a szelektív hulladékgyűjtés. Ha nem figyelsz a grafikon függőleges tengelyére, hányszoros növekedést tippeltél volna?
207
13. modul: STATISZTIKA
4. Három telefontársaság (Király, Csúcs és Szuper) is harcol egy térségben a piacvezető
címért, ugyanis az emberek ahhoz a társasághoz fordulnak a legszívesebben, amelynél a legtöbb előfizető van. Az egyik társaság prospektusában a következő diagramot jelentette meg: Mire tippelsz, melyik lehet ez a társaság? A kördiagram az alábbi táblázat alapján készült: Király
Csúcs
Szuper
Előfizetések száma 300 000 300 000 300 000 Milyen eszközökkel élt a grafikon készítője, hogy a társasága a legsikeresebbnek látszódjon?
Előfizetések aránya az egyes szolgáltatóknál
Király Csúcs Szuper
5. A grafikon. a 2005. évi kémia érettségi vizsgán elért pontszámokat mutatja Hány diák
érettségizett kémiából 2005-ben? Hány pont volt a vizsgadolgozatok átlaga?
208
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
6. A grafikon a 2005-ös kémia érettségin a 4040 vizsgázó által elért százalékokat mutatja.
Állapítsd meg az adatsokaság móduszát és mediánját, és értelmezd ezeket a statisztikai jellemzőket!
209
13. modul: STATISZTIKA
II. A szóródás mérőszámai Mintapélda4 Adott két számsokaság, határozzuk meg ezek móduszát, mediánját és átlagát! I.: 10, 10, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18. II.: 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 18, 21, 22. Megoldás:
Mindkét adatsokaságban a leggyakrabban előforduló szám a 16, ez a módusz. Mindkét adatsokaság számait növekvő sorrendben írtuk fel, és a 15 áll a középső helyen, ez a medián. Mindkét sokaság átlaga:
187 ≈ 14,38 . 13
Látjuk, hogy egy sokaság mindhárom középértéke megegyezhet egy tőle különböző sokaságéval! Ha az átlagot tekintjük, kérdés, hogy az átlag mennyire jellemző a sokaságra, vagyis célszerű megnézni az átlagolandó értékek eltéréseit. az átlagtól. Egy átlag annál jobban jellemzi a sokaságot, minél kisebbek az eltérések az átlagolandó értékek és az átlag között. Ha az átlagolandó értékek az átlag körül tömörülnek, akkor azt mondjuk, hogy a szóródás kicsi, tehát az átlag jól jellemzi a statisztikai sokaságot. Az átlag érzékeny a sokaság legnagyobb és legkisebb elemére, a medián viszont nem. Ha a sokaság számokból áll, akkor meghatározható a sokaságnak mind a három középértéke. Ha a statisztikai sokaság rendezhető adatokból áll, akkor van a sokaságnak módusza és mediánja is. Az előzőekben láthattuk, hogy a leggyakrabban használatos középértékek – a módusz, a medián és az átlag – más-más jellegű információt nyújtanak a sokaságról, de önmagában egyik sem kielégítő. Gyakran felmerül az a kérdés, hogy egy adott középértéknek mennyire nagy az egyes elemektől való eltérése. Ennek megadására újabb mérőszámokat kell bevezetnünk. Az átlagolandó értékeknek az átlagtól való eltérését szóródásnak nevezzük.
A szóródás jellemzésére használt mutatószámok: – terjedelem, – átlagos abszolút eltérés, – átlagos négyzetes eltérés.
210
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Terjedelem Mintapélda5 Az alábbi táblázat magyarországi városokban mért csapadék mennyiségét mutatja havi bontásban. (A csapadék mennyiségét mm-ben mérik.) Ezeknél a városoknál lényegesen eltér az éves csapadékösszeg, kivéve Szentgotthárdot és Bakonybélt. Az ott élő embereknek mégis nagyon különböző benyomásuk lehetett az éves időjárásról. Találjunk erre magyarázatot! I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Kecskemét
26
29
32
45
56
55
48
45
Békéscsaba
31
30
35
49
59
69
56
Nyíregyháza
29
30
32
44
61
70
Pécs
41
46
41
58
66
69
Szentgotthárd 39
36
42
59
Bakonybél
50
60
68
46
VII. VIII. IX.
X.
XI.
XII.
Év
46
48
50
37
517
51
44
50
49
40
563
64
68
46
51
50
38
583
64
55
47
64
71
45
667
76
103 104
95
82
69
62
50
817
85
79
83
78
72
66
57
827
83
Megoldás:
Ábrázoljuk a lehullott csapadék mennyiségét ebben a két városban! A lehullott csapadék 120 100
mm
80 Szentgotthárd
60
Bakonybél
40 20 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
hónapok
A szentgotthárdiak valószínűleg arról panaszkodtak, hogy a tél nagyon száraz, a nyár viszont igen esős volt. Bakonybélben is több csapadék esett nyáron, mint télen, de a helyzet nem volt annyira szélsőséges, az adatok terjedelme nem olyan nagy. Bakonybélben a legtöbb csapadék 85 mm volt, a legszárazabb hónapban 46 mm. A két szélsőséges csapadékmennyiség közötti eltérés mindössze 39 mm. Ugyanezek az adatok Szentgotthárdnál: 104 mm, illetve 36 mm, az eltérés pedig 68 mm.
211
13. modul: STATISZTIKA
Egy adatsokaság terjedelme az adatsokaságban előforduló legnagyobb és legkisebb adat közti különbség. Kiszámítási módja: Terjedelem = előforduló legnagyobb érték – előforduló legkisebb érték
Mintapéldánkban a minta terjedelme: Szentgotthárdon: 104 mm – 36 mm = 68 mm Bakonybélben: 85 mm – 46 mm = 39 mm.
Átlagos abszolút eltérés Mintapélda6 Egy filmfesztiválon a tízfős zsűri minden tagja minden egyes filmet 1-től 10-ig terjedő pontszámmal díjazott. A megbeszélésen kiderült, hogy az első helyezést a pontszámok alapján két film is elnyerheti, mert pontozásuk így alakult: Összesen „Szépfilm” 10
3
10
10
10
9
1
2
8
10
73
„Jófilm”
8
1
8
7
8
8
7
8
10
73
8
Egy újságíró utóbb megszerezte ezt az összesítést, és így kommentálta az információt: „A két film átlagos megítélése a pontszámok alapján azonosnak mondható, de a „Szépfilm” sokkal inkább megosztotta a zsűrit. Jellemezzük ezt a megosztottságot egy számadattal!
212
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Megoldás:
„Szépfilm” pontszám
10 3 10 10 10 9 1 2 8 10 Ezek átlaga:
A két filmnek ítélt pontok terjedelme egyaránt
„Jófilm”
eltérés az eltérés az pontszám átlagtól átlagtól
2,7 -4,3 2,7 2,7 2,7 1,7 -6,3 -5,3 0,7 2,7
8 8 1 8 7 8 8 7 8 10
0
Ezek átlaga:
9 pont, tehát ezzel nem jellemezhetjük az adat-
0,7
sokaságokat. A pontok átlaga mindkét filmnél 7,3
0,7
pont, ezért ez sem alkalmas az összehasonlításra.
-6,3
Nézzük meg, az egyes pontozók által adott pont-
0,7 -0,3
számok hogyan térnek el az átlagtól:
0,7
Látjuk, hogy az eltérések általában a „Szépfilmnél”
0,7
nagyobbak. A különbségek átlagát nem érdemes
-0,3
vennünk, mert az átlag pontosan „arról híres”, hogy
0,7 2,7 0
a tőle való eltérések összege nulla. Vegyük inkább az átlagtól való abszolút eltérések átlagát! A „Szépfilm”-nél:
2,7 + 4,3 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 1,7 + 6,3 + 5,3 + 0,7 + 2,7 = 3,18 . 10 Ez elég sok, azt jelenti, hogy a pontozók átlagosan 3 ponttal térnek el az átlagos pontszámtól. Ugyanez a számítás a „Jófilm”-nél egészen más értéket ad:
0,7 + 0,7 + 6 ,3 + 0,7 + 0 ,3 + 0,7 + 0 ,7 + 0,3 + 0 ,7 + 2,7 = 1,38 . 10 A szóródás jellemzésére olyan mutatószámot kell keresnünk, amely nemcsak egyes szélső, kiugró értékeket, hanem minden átlagolandó értéket figyelembe vesz. Ez az érték az átlagos abszolút eltérés, amit úgy számítunk ki, hogy minden adatnak tekintjük az átlagtól való eltérésének abszolútértékét, ezeket az eltéréseket összeadjuk, és a kapott összeget elosztjuk az adatok számával. Ha a sokaság elemei a1, a2,…an, akkor a sokaságnak egy A számtól vett átlagos abszolút eltérését az a1 − A + a 2 − A + ... + a n − A képlettel számíthatjuk ki. n „A” általában az adatsokaság átlaga (számtani közepe).
213
13. modul: STATISZTIKA
Az átlagos négyzetes eltérés Az átlagos abszolút eltérésnél jobban jellemzi a sokaság szerkezetét az átlagos négyzetes eltérés. Ennek értékét úgy határozhatjuk meg, hogy tekintjük a sokaság minden adatának
eltérését az átlagtól, majd ezeket az eltéréseket egyenként négyzetre emeljük, és a kapott négyzeteket összeadjuk. Végül ezt a négyzetösszeget osztjuk az adatok számával.
Mintapélda7 Matematikadolgozatot írt 45 tanuló. A dolgozatok érdemjegyeit a javítás sorrendjében tartalmazza a következő adatsor: 1, 1, 3, 4, 2, 5, 3, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 1 Jellemezzük ezt az adatsokaságot! Megoldás:
A rendezés utáni adatsor: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 Gyakorisági táblázat: Érdemjegy
1
2
3
4
5
Gyakoriság
5
12
15
10
3
Gyakorisági diagram:
dolgozatok száma
Matematika dolgozatok érdemjegyei 16 14 12 10 8 6 4 2 0
15 12 10 5 3
1
2
3
4
5
érdemjegyek
Átlag:
5 ⋅ 1 + 12 ⋅ 2 + 15 ⋅ 3 + 10 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ≈ 2 ,87 . A legtöbben közepes dolgozatot írtak, módu45
sza: 3. Ha megkeressük, hogy melyik szám áll a sorbarendezett osztályzatok közül a 23. helyen, ott a hármast találjuk, tehát a medián: 3. A statisztikusok leggyakrabban az adatoknak a számtani középtől való úgynevezett négyzetes közepét számítják ki, s ezzel jellemzik a szóródást. Példánkban ez a következő:
214
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
5 ⋅ (1 − 2,87 ) + 12 ⋅ (2 − 2,87 ) + 15 ⋅ (3 − 2 ,87 ) + 10 ⋅ (4 − 2,87 ) + 3 ⋅ (5 − 2,87 ) ≈ 1,087 . 45 2
2
2
2
2
Az ilyen módon kiszámított szóródási mutatót szórásnak, négyzetét átlagos négyzetes eltérésnek, szórásnégyzetnek nevezzük.
Feladatok 7. Hasonlítsd össze az 5. mintapéldában az egyes városokban mért csapadékértékeknél a
terjedelmet! 8. Számítsd ki a 4. mintapéldában szereplő mindkét adatsokaságnál
a) az átlagtól való eltérést; b) az átlagtól való abszolút eltérést! c) Melyik sokaságot jellemzi jobban az átlaga? 9. Számítsd ki az 5. mintapélda adatai alapján a havi csapadékmennyiségek átlagát, átlagos
abszolút eltérését Kecskeméten, és értelmezd az eredményedet! 10. Számítsd ki az 5. mintapélda adatai alapján a havi csapadékmennyiségek átlagát és
szórását Pécsett! 11. Határozd meg a 4. mintapéldában az I. sokaság szórásnégyzetét és szórását! 12. Egy tanulócsoportban a fiúk és a lányok tanulmányi eredményei matematikából a
következők: Fiúk: 4, 4, 3, 3, 4, 3, 2, 5. Lányok: 5, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 1, 4 . Számítsd ki a fiúk és a lányok tanulmányi átlagát, az osztályzatok szóródásának terjedelmét, az átlagos abszolút eltérést és a szórást! 13. Három számról tudjuk, hogy átlaguk 8, terjedelmük 11, szórásuk pedig
tudod-e mondani, melyik ez a három szám?
62 . Meg 3
13. modul: STATISZTIKA
215
Kislexikon Szóródás: az átlagolandó értékeknek az átlagtól való eltérése. Terjedelem: az adatsokaságban előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége. Átlagos abszolút eltérés: Ha a sokaság elemei a1, a2,…an, akkor a sokaságnak egy A számtól a − A + a2 − A + ... + a n − A képlettel számíthatjuk ki. vett átlagos abszolút eltérését az 1 n (A általában az adatsokaság átlaga.) Átlagos négyzetes eltérés, szórásnégyzet: Ha a sokaság elemei a1, a2,…an, akkor a
sokaságnak az A átlagtól vett átlagos négyzetes eltérését az (a1 − A) 2 + (a2 − A) 2 + ... + (an − A) 2 képlettel számíthatjuk ki. n Szórás: a szórásnégyzet négyzetgyöke.
14. MODUL Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidra Gábor
218
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Közepek Sok adat (számsokaság) jellemzői között szerepel a legnagyobb és a legkisebb adat, a minta terjedelme (a legnagyobb és a legkisebb elem különbsége), a középmennyiségek (különböző átlagok, közepek) és az adatok középmennyiségek körüli elhelyezkedésére, szétszórtságára jellemző szórás. Eddigi tanulmányaink során megismerkedtünk néhány középértékkel a statisztika témakörében: •
Számtani közép vagy átlag:
a és b valós számok számtani közepe A =
a+b , vagyis két szám át2
lagát (összegük felét) a két szám számtani közepének nevezzük. •
Módusz: a számsokaság leggyakoribb adata.
•
Medián: páratlan számú adat esetén a rendezett minta középső eleme, páros számú adat esetén a két középső átlaga.
A számtani közép tehát azonos a köznapi értelemben használt átlag fogalmával. Több szám esetén a két száméhoz hasonlóan számoljuk ki a számtani közepüket: a számok összegét elosztjuk a számok darabszámával:
A=
a1 + a2 + ... + a n , ahol a1 , a2 , …, an valós számok. n
A számtani közép azonban nem minden esetben jellemzi megfelelően az adatokat. Vizsgáljuk meg a következő példát.
Mintapélda1 Egy cégnél 8 ember 90 ezer, 1 ember 140 ezer és 1 ember 500 ezer forintot keres havonta. Mennyi az átlagkereset? Megoldás:
8 ⋅ 90000 + 140000 + 500000 = 136000 . 10
219
14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP…
Ez aligha vigasztalja azokat, akik csak 90 ezer forintot keresnek. Érdemes lenne kiegészíteni a szórás nagyságával: 8 ⋅ (136000 − 90000) + (136000 − 140000 ) + (136000 − 500000) σ= ≈ 122 246 . 10 2
2
2
A szórás nagyságrendje is mutatja az adatok elhelyezkedését. Kiegészíthetjük azzal a megjegyzéssel is, hogy a dolgozók 80%-ának a fizetése az átlagkereset alatt van. Jól szemlélteti a problémát a keresetekből készített oszlopdiagram is.
Tapasztalataink szerint az átlagot a kiugró adatok elrontják, ezért szükség van további, az adatsokaságot jellemző, átlag jellegű adatokra (közepekre). Ilyen például a mértani közép.
a és b pozitív számok mértani közepe: G = a ⋅ b , vagyis két pozitív szám szorzatának négyzetgyökét a két szám mértani közepének nevezzük.
A medián, módusz, számtani és mértani közép mellett egyéb középértékeket is ismerünk: 1 1 + 1 a b • Harmonikus közép (H): = (a, b > 0), az algebrai átalakításokat elvé2 H 2ab gezve H = . a+b A harmonikus közép jól használható például átlagsebesség vagy áramkörökkel kapcsolatos számításoknál. •
a2 + b2 Négyzetes közép: N = (a ,b valós számok) A négyzetes közepet olyan 2 adatok jellemzésére szoktuk használni, amelyek átlaga nulla.
A mértani közép értelmezhető több szám esetén is, de erre most nem térünk ki. A számtani közepet A-val jelöljük (aritmetikai közép), a mértani közepet G-vel (geometriai közép).
220
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A mértani közép az aranymetszéssel is kapcsolatba hozható. Egy szakaszt akkor osztunk fel az aranymetszés szabálya szerint, ha a hosszabb és a rövidebb szakasz hosszának aránya ugyanannyi, mint az egész és a nagyobb szakasz hosszának az aránya:
a a+x = ⇒ a 2 = ax + x 2 ⇒ a 2 = x(a + x) . x a Innen a = x ⋅ (a + x ) , azaz észrevehetjük, hogy a hosszabb szakasz éppen a rövidebb és az egész szakasz hosszának mértani középarányosa.
Mintapélda2 Számítsuk ki két szám, 2 és 8 számtani és mértani közepét, és ábrázoljuk a közepeket a számegyenesen!
Megoldás: A=
2+8 =5, 2
G = 2 ⋅ 8 = 16 = 4 .
Mintapélda3 Adott egy téglalap, amelynek oldalai 24 és 6 egység. Mekkora a vele egyenlő területű négyzet oldala?
Megoldás: A téglalap területe: T = 6 ⋅ 24 = 144 . A négyzet területe: T = x 2 , x = 12 . Éppen x = 6 ⋅ 24 , vagyis a négyzet oldala a téglalap oldalainak mértani közepe.
221
14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP…
Mintapélda4 Határozzuk meg azt a két pozitív számot, amelyek számtani közepe 10, mértani közepe 8.
Megoldás: Jelöljük x és y-nal a keresett számokat! A számtani közép:
x+ y = 10 , innen 2
x + y = 20 .
A mértani közép:
x ⋅ y = 8 , innen
x ⋅ y = 64 .
Ebből adódik a 0 = x 2 − 20 x + 64 másodfokú egyenlet, amelyet megoldva x1 = 16 és x 2 = 4 . y értékei: y1 = 20 − 16 = 4 , y 2 = 20 − 4 = 16 .
Ellenőrzés után a feladatot a válasz leírásával zárjuk: a keresett számok 4 és 16.
A mértani középpel már többször találkoztunk geometriai problémák esetében is, például a hasonlóságnál tanultuk a következőket: •
Magasságtétel: a derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó
magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság. •
Befogótétel: a derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az
adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével. •
Érintő- és szelőszakaszok tétele: egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz
mértani közép a pontból húzott szelő és a szelőnek a ponttól a körig terjedő darabja között.
m = c1 ⋅ c2 a = c ⋅ c1 e = s1 ⋅ s 2
222
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda5 Az ABC háromszög BC oldalának C-n túli meghoszszabbításán levő D pontra igaz, hogy az ABC szög egyenlő a CAD szöggel. Bizonyítsuk be, hogy AD mértani közepe a CD és BD szakaszoknak! Megoldás: Először igazoljuk, hogy az ACD háromszög hasonló a BAD háromszöghöz. Mindkét háromszög egyik szöge β (ABD, valamint DAC szögek), s mindkét háromszögnek van egy α + β nagyságú szöge (ACD és BAD szögek). Felírva a megfelelő oldalak arányát: AD CD , amit átrendezve AD = CD ⋅ BD , vagyis az állítást igazoltuk. = BD AD
Feladatok 1. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! (A: számtani közép, G: mértani közép.)
a)
b)
a
100
15
b
125
20
c)
d)
14
208
8
168
A G
e)
f)
12
120
15
100
g)
h)
i)
j)
20
7,5
1
25
16
6
0,6
15
2. Egy busz a menetidejének első harmadát 60 km/h, fennmaradó részét 90 km/h sebes-
séggel tette meg. Mekkora volt az átlagsebessége?
3. Egy autó az út harmadát 60 km/h, kétharmadát 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkora
volt az átlagsebessége?
4. Az alábbi feladat Arkhimédész Lemmák c. könyvében
található: fejezd ki a holdkés területét r-rel! (A holdkés az ókorban használt vágóeszköz volt.)
14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP…
223
5. Egy derékszögű háromszögben az átfogót a hozzá tartozó magasság 10 és 16 cm-es da-
rabokra osztja. Mekkora a háromszög területe és befogói?
6. Egy derékszögű háromszögben az átfogót a hozzá tartozó magasság 3 cm és 5 cm nagy-
ságú részekre osztja. Mekkora a háromszög területe és kerülete?
7. Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 1,5. Az átfogóhoz tartozó magasság 10
cm. Mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság? 8. Mekkora a derékszögű háromszög köré írható kör sugara, ha a befogók aránya 3 : 4, és
az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek különbsége 4 cm?
9. Az ábra jelöléseit felhasználva igazold, hogy x 2 = y ⋅ z !
10. Egy körhöz egy adott pontból húzunk egy szelőt, és kiszámítjuk a szelőszakaszok
szorzatát. Húzható-e még egy olyan szelő a körhöz, amelyre a szelőszakaszok szorzata ugyanennyi?
11. Az ABC háromszög A csúcsból kiinduló szögfelezőjének a köré írt körrel alkotott met-
széspontja P, BC oldallal alkotott metszéspontja Q. Mutasd meg, hogy BP mértani közepe az AP és az QP szakasznak!
12. Bizonyítsd be, hogy a kör PR húrja mértani közepe a P-ből induló átmérőnek, és a
húrnak erre az átmérőre bocsátott merőleges vetületének!
13. Igazold Pitagorasz tételét a befogótételek felhasználásával!
14. Igazold, hogy a körben egy P belső ponton átmenő húrokat P két olyan szakaszra bont-
ja, amelyek mértani közepe minden P-n átmenő húr esetén egyenlő.
224
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés Mintapélda6 Számítsuk ki a következő számok számtani és mértani közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen a számokat és a közepeket! Milyen összefüggést találunk két szám számtani és mértani közepe között? a) 4 és 25;
b) 10 és 40;
c) 5 és 16;
d)
1 14 és ; e) 7,2 és 7,2. 3 5
Megoldás: a
b
A
G
a)
4
25
14,5
10
b)
10
40
25
20
c)
5
16
10,5
8,94
d)
1
14
0,97
3
5
47 ≈ 1,57 30
7,2
7,2
7,2
7,2
e)
Azt tapasztaltuk, hogy a számtani közép nem kisebb a mértani középnél, és mindkét közép a két szám által meghatározott intervallumba esik.
Két pozitív szám mértani közepe nem nagyobb, mint a két szám számtani közepe:
a ⋅b ≤
a+b . 2
Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő.
ha a = b
225
14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP…
Két pozitív szám (a és b) számtani és mértani közepét ábrán is szemléltethetjük.
Rajzoljuk meg az a+b hosszúságú szakasz Thalész-körét. Az ábra jelöléseivel: r =
a+b , és a 2
PQR derékszögű háromszögben a magasságtétel szerint m = a ⋅ b , vagyis a kör sugara a és b számtani közepe, az m-mel jelölt szakasz a és b mértani közepe. Mivel az m hosszúságú szakasz a kör sugaránál nem lehet hosszabb, érvényes az m ≤ r egyenlőtlenség, vagyis
a ⋅b ≤
a+b . Az egyenlőség akkor teljesül, ha m = r , vagyis a két 2
szakasz egyenlő hosszú: a = b . A számtani és a mértani közép közötti összefüggést a gyakorlatban változó mennyiségek esetén becslésre (egyenlőtlenség felírására) és szélsőérték-feladatok megoldására használ-
juk. Ehhez az kell, hogy vagy az összeg, vagy a szorzat állandó legyen.
Mintapélda7 Bizonyítsuk be, hogy az f ( x) = x +
1 (x > 0) függvény 2-nél kisebb értéket nem vesz fel. x
Megoldás: A számtani és a mértani közép közötti összefüggés 1 x ≥ x ⋅ 1 = 1 , innen x + 1 ≥ 2 . x 2 x
x+
szerint:
Ezt az állítást gyakran így fogalmazzuk meg: egy pozitív szám és reciprokának összege legalább 2.
226
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda8 120 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkora területű téglalap alakú telket lehet körülkeríteni? Megoldás: Legyen a és b a két oldal. Ekkor a kerület 2(a + b ) = 120 , vagyis a + b = 60 . Teljesül az összeg állandóságának feltétele, ezért becsülhetünk a számtani és mértani közép közötti összefüggéssel:
a⋅b ≤
a+b 2
⇒
a ⋅ b ≤ 30 ⇒
a ⋅ b ≤ 900 .
Tehát legfeljebb 900 m2 területű telket lehet körbekeríteni. A legnagyobb érték 900, ami a = b = 30 esetében, vagyis négyzet alakú teleknél lehetséges. Megjegyzés: A feladat megoldható másodfokú függvény szélsőértékének vizsgálatával is. Az a + b = 60 összefüggésből b = 60 − a . A téglalap területe T = ab = 60a − a 2 . A teljes négy-
(
) [
]
zetet tartalmazó kifejezéssé átalakítást alkalmazva T = − a 2 − 60a = − (a − 30) − 900 = 2
= −(a − 30) + 900 . A másodfokú függvény minimuma az M(30;900) pontban, azaz az 2
a = 30 m. Tehát a maximális terület 900 m2. Természetesen a = 30 m esetén b = 30 m adódik.
Mintapélda9 Legalább mennyi kerítésre van szükség egy 120 m2-es, téglalap alakú telek körbekerítéséhez? Megoldás: Legyen a és b a két oldal hossza. A kerítés hossza a kerület, vagyis 2(a+b). A számtani és mértani közép közötti összefüggést felírva a+b ⇒ 4 a ⋅ b ≤ 2(a + b) ⇒ 4 a ⋅ b ≤ K ⇒ 4 120 ≤ K ⇒ 43,82 ≤ K 2 Tehát legalább körülbelül 44 méter kerítés kell. a ⋅b ≤
Megjegyzés:
1. A kerítés a = b = 120 ≈ 11 m oldalhosszú négyzet esetén a legkisebb. 2. Ebben a feladatban a függvényvizsgálat középiskolában nem szereplő matematikai ismereteket igényel.
227
14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP…
Mintapélda10 Mekkora a maximális területe annak a téglalapnak, amelynek kerülete 40 cm? Mekkorák ekkor a téglalap oldalai? Megoldás: A feladat hasonlít az egyik előző mintapéldára, de most megoldjuk két másik módszerrel is. Jelölje x és y a két oldalt! 1. megoldás: x és y pozitív számok, ezért
x⋅ y ≤
x+ y ⇒ 2
x ⋅ y ≤ 10 ⇒ x ⋅ y ≤ 100 . Tehát
legfeljebb 100 cm2 lehet a terület. Egyenlőség (legnagyobb érték) abban az esetben fordul elő, ha x = y = 10 cm. Egyéb megoldások: A kerületből 2( x + y ) = 40 , ahonnan x + y = 20 , y = 20 − x . Ezt a területbe helyettesítve T = x ⋅ (20 − x ) = − x 2 + 20 x . A feladat nem más, mint megkeresni, hogy milyen x esetén lesz a másodfokú kifejezés értéke a legnagyobb. Ez két módszerrel: nevezetes azonosság vagy függvényvizsgálat felhasználásával is meghatározható. 2. megoldás: Alakítsuk át a terület képletét úgy, hogy teljes négyzet szerepeljen benne:
[
]
T = − x 2 + 20 x = −(x 2 − 20 x ) = − ( x − 10 ) − 100 = 100 − ( x − 10) . Ez a kifejezés x = 10 2
2
esetén veszi fel a legnagyobb értékét, ami 100. 3. megoldás: Határozzuk meg a kifejezés zérushelyeit, és vázoljuk fel a másodfokú kifejezéshez tartozó parabolát! A zérushelyeket a − x 2 + 20 x = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: 0 és 20. A parabola szimmetriája miatt a legnagyobb értékét a két zérushely között, éppen középen, azaz a
0 + 20 helyen veszi 2
fel, vagyis x = 10 esetén. Tehát a maximális terület 100 cm2, és 10 cm oldalú négyzet esetén teljesül. Megjegyzés: a szélsőérték vizsgálata differenciálszámítással is történhet. Ez az emelt szintű
érettségi anyaga.
228
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda11 Szerkessz 8 cm oldalhosszúságú szabályos háromszöget! Mekkorák az oldalai a háromszögbe írható téglalapok közül annak, amelynek területe a lehető legnagyobb? A kiszámítás után szerkeszd meg a háromszögbe a kapott téglalapot! Megoldás: Jelölje x és y a téglalap oldalait az ábra szerint, a téglalap területe T = x ⋅ y , ahol 0 < x < 8 . Az ADE derékszögű háromszög egyik szöge 60°, ezért x⎞ ⎛ DE = AE ⋅ 3 ⇒ y = 3 ⎜ 4 − ⎟ . 2⎠ ⎝ x⎞ 3 2 3 ⎛ T = x ⋅ 3⎜ 4 − ⎟ = 4 3x − x = x(8 − x ) másod2⎠ 2 2 ⎝ fokú kifejezés maximális értékét a két zérushely (0 és 8) számtani közepénél veszi fel, 4⎞ ⎛ vagyis x = 4 esetén. Ekkor y = 3 ⎜ 4 − ⎟ = 2 3 . A terület: T = 8 3 . 2⎠ ⎝ Megszerkesztése könnyű, mert az AB oldal negyedelő pontjait kell megszerkeszteni.
Feladatok 15. Szerkeszd meg a következő hosszúságú szakaszok számtani és mértani közepét!
a) 4 cm és 6 cm;
b) 3 cm és 9 cm;
c) 5 cm és 8 cm.
16. Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 5 cm. Legfeljebb mekkora lehet a te-
rülete, és a legnagyobb terület esetén mekkorák a háromszög oldalai?
17. Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 40 cm. Legfeljebb mekkora lehet a
területe, és a legnagyobb terület esetén mekkorák a háromszög oldalai?
229
14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP…
18. Egy rakétát függőlegesen felfelé lövünk ki v0 = 40
m kezdősebességgel. Milyen mas
gasra repül a rakéta, ha repülési magasságát az y = v0 ⋅ t −
g 2 t képlet alapján határoz2
hatjuk meg (t az indulástól számított idő). Mikorra állítsuk a robbanást meghatározó m⎞ ⎛ időzítőt, ha a pálya legmagasabb pontján kell robbantani? ⎜ g = 10 2 ⎟ . s ⎠ ⎝
19. Egy rakétát függőlegesen felfelé lövünk ki v0 = 30
m kezdősebességgel. Milyen mas
gasra repül a rakéta, ha repülési magasságát az y = v 0 ⋅ t −
g 2 t képlet alapján határoz2
hatjuk meg (t az indulástól számított idő). Mikorra állítsuk a robbanást meghatározó m⎞ ⎛ időzítőt, ha a pálya legmagasabb pontján kell robbantani? ⎜ g = 10 2 ⎟ . s ⎠ ⎝
20. Igazoljuk, hogy a > 0 esetén fennáll a 2 ≤
21. Igazoljuk, hogy a > 0 esetén fennáll a 2 ≤
a2 + 2 a +1 2
a2 + 3 a2 + 2
egyenlőtlenség!
egyenlőtlenség!
22. Igazold, hogy pozitív x, y, a és b számok esetén teljesülnek a következő egyenlőtlensé-
gek:
2ab a + b b) ≤ ; a+b 2
x2 + y2 ; a) x ⋅ y ≤ 2
23. Határozd meg az f ( x) = x +
a+b ≤ c) 2
a2 + b2 . 2
5 (x > 0) függvény minimális értékét! Milyen x esetén x
minimális a függvény értéke?
230
MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
24. a) Egy 20 cm hosszúságú szakaszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy
négyzetet. Mekkora részekre kell osztani a szakaszt, hogy a négyzetek területének öszszege a lehető legkisebb legyen? b) Oldd meg a feladatot általánosan is, amikor a szakasz hossza a egység! 25. Egy 40 cm hosszúságú szakaszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy szabá-
lyos háromszöget. Mekkora részekre kell osztani a szakaszt, hogy a háromszögek területének összege a lehető legkisebb legyen? Oldd meg a feladatot általánosan is, amikor a szakasz hossza a egység!
26. A 600 m2 területű, téglalap alakú telkeknek
a) legalább mekkora lehet az átlója? b) legalább mekkora lehet a kerülete?
27. 300 méteres kerítéssel 3 oldalról akarunk egy téglalap alakú telket körbe keríteni. Adj
becslést a telek legnagyobb területére!
28. 450 méteres kerítéssel 3 oldalról akarunk egy téglalap alakú telket körbe keríteni. Adj
becslést a telek legnagyobb területére!
29. Mekkorák a szabályos háromszögbe írható maximális területű téglalap oldalai, ha a
háromszög oldala …
a) 24 cm;
b) a.
231
14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP…
Kislexikon a és b pozitív számok számtani közepe (átlaga) A =
a+b , mértani közepe G = a ⋅ b . 2
Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség: két pozitív szám mértani közepe nem
nagyobb, mint számtani közepe. A számtani és a mértani közép akkor és csakis akkor egyenlő, ha a két szám egyenlő. ab ≤
a+b . 2
A számtani és a mértani közép mellett használjuk a következő közepeket is: •
Harmonikus közép (H):
1 1 + 1 a b 2ab = , az algebrai átalakításokat elvégezve H = . H 2 a+b •
Négyzetes közép (N):
a2 + b2 N= . 2 Az egyenlőtlenségek közötti kapcsolat: H ≤ G ≤ A ≤ N .
mellékletek
Matematika „A” 10. évfolyam • 11. modul melléklete
1.
11.1 táblázat Melyik lapra esik
gyakoriság
1. 2. 3. 4. 5. 6.
11.2 táblázat Milyen lapra esik Legnagyobb Középső méretű Legkisebb
gyakoriság
Matematika „A” 10. évfolyam • 11. modul melléklete
2.
11.3 táblázat n
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
Annak gyakorisága, hogy n dobásból a 4-es lapra esik Relatív gyakoriság n
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
Annak gyakorisága, hogy n dobásból a 4-es lapra esik Relatív gyakoriság n
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
Annak gyakorisága, hogy n dobásból a 4-es lapra esik Relatív gyakoriság n
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
Annak gyakorisága, hogy n dobásból a 4-es lapra esik Relatív gyakoriság
11.4 táblázat esemény
gyakoriság
relatív gyakoriság
Matematika „A” 10. évfolyam • 11. modul melléklete
11.5 táblázat Esemény
Elemi esemény
Dobókockával páros számot dobunk. Dobókockával páratlan számot dobunk. Dobókockával prímszámot dobunk. Dobókockával legalább 3-ast dobunk. Dobókockával legfeljebb 2-est dobunk. Dobókockával 4-est dobunk. Dobókockával páros prímszámot dobunk. Dobókockával 3-mal osztható számot dobunk.
11.6 táblázat Esemény
Elemi esemény A = {1, 2, 3, 4} B = { 4, 5, 6 } C = { 4, 6 } D={1} E = { 1, 4, 6 } F = { 2, 4, 6 } G = { 1, 3, 5 } H = { 2, 3, 5 }
3.
Matematika „A” 10. évfolyam • 11. modul melléklete
4.
11.7 táblázat Események 6-os dobása Összetett szám dobása Nem prímszám dobása Legalább ötös dobása 4-gyel nem osztható páros szám dobása Legalább 7-est dobunk
Tetraéder
Kocka
Oktaéder
Dodekaéder
Ikozaéder