MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 11. évfolyam TANULÓK KÖNYVE 1. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4386-13/2008. engedélyszámon 2008.12.17. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai tanácsadók: Csatár Katalin, Árváné Doba Mária Alkotószerkesztő: Oláh Judit Grafika: Darabos Noémi Ágnes, dr. Fried Katalin Lektor: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT1101 © Szerzők: Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Lövey Éva, Vidra Gábor Educatio Kht. 2008. Tömeg: 930 gramm Terjedelem: 24,81 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos szakmai szakértő: dr.Marosváry Erika Technológiai szakértő: Ábrahám Júlianna

tartalom

1. modul: Valószínűség, statisztika (Lövey Éva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény (Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3. modul: Exponenciális függvények és egyenletek (Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4. modul: A logaritmus (Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5. modul: Vektorok (Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

1. MODUL valószínűség, statisztika Készítette: Lövey Éva

6

MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM

TANULÓK KÖNYVE

I. Kombinatorika (ismétlés); permutációk Mintapélda1 Kata a héten elért osztályzatokról a következőképpen számolt be szüleinek: Kaptam egy csillagos ötöst, egy ötöst, egy négyes alát, egy négyest és egy négyes fölét. Tudjuk, hogy osztályzatait németből, történelemből, matematikából, informatikából és testnevelésből kapta. Számoljuk ki, hogy hányféleképpen szerezhette ezeket az osztályzatokat az egyes tárgyakból! Megoldás: Rögzítsük a tantárgyak sorrendjét, és nézzük meg, hányféleképpen írhatjuk alájuk az 5 különböző osztályzatot: német

történelem

matematika

informatika

testnevelés

5* 5 4/ 4 4\

5* 5 4/ 4\

5 4/ 4\

4/ 4\

4/

A német osztályzatot még öt különböző közül választhatjuk. Ha pl. német osztályzata 4-es volt, történelemből már csak 4 lehetőség marad, ha az 5*-re sikerült, akkor a matematika jegyre már csak 3 lehetőség marad. Ha az első tárgyból az ötféle jegy közül választhatunk, akkor a másodiknál már csak 4 közül, bármit is választottunk az elsőnél. Így az első és második tárgyhoz összesen 5 ⋅ 4 = 20 lehetőségünk van. Hozzávéve a harmadik, negyedik és ötödik tárgyat, a megoldást az 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 számítás adja. Az öt lehetséges osztályzat bármelyik sorrendjét az elemek permutációjának hívjuk. Az öt elem összes lehetséges sorrendje tehát 120. Általában: Helyezzünk el n különböző dolgot egy n rekeszből álló dobozba:

Az első rekeszbe n különböző elem közül választhatunk, de a másodikba már csak eggyel kevesebből, és így tovább… Az utolsóba már csak 1 lehetőség marad.

7

1. modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA…

Mintapélda2 A tanárok a haladási naplóba csak ötöst, négyest, hármast, kettest és egyest írnak. Számítsuk ki, hogy ebben az esetben hány lehetőség van Kata osztályzatainak beírására! Megoldás: Az első mintapéldában megkülönböztettük a következő lehetőségeket: 5* 5* 5* 5* 5* 5*

5 5 5 5 5 5

4/ 4/ 4 4 4\ 4\

4 4\ 4/ 4\ 4/ 4

4\ 4 4\ 4/ 4 4/

Ezek száma azért 3! = 6, mert ennyiféleképpen rendezhetem sorba a három különböző négyest, a 4\-t, a 4-est és a 4/-t. Ha első lépésben csak a négyesek különböző jelöléseitől tekintünk el, akkor ebből a 6 lehetőségből csak 1 marad:

5* 5* 5* 5* 5* 5*

5 5 5 5 5 5

4/ 4/ 4 4 4\ 4\

4 4\ 4/ 4\ 4/ 4

4\ 4 4\ 4/ 4 4/

Tehát az első mintapéldában szereplő 120 lehetőségből már csak

120 120 = = 20 marad. 3! 6

Ha most a csillag jelölést is „letöröljük” az ötösről, akkor bármely két – eddig különböző – lehetőség csak egynek tekinthető.

5* 5 4 4 4 5 5* 4 4 4

Így az eddigi 20 sorrend a felére változik, 10 lesz.

Összefoglalva: n = 5 osztályzatról van szó, ezek közül k1=3 azonos (négyesek) és k2=2 szintén azonos (ötösök). Ezek lehetséges sorrendje tehát:

5! 120 = = 10 . 3!⋅ 2! 6 ⋅ 2

Ha az n elem nem mind különböző, vagyis van köztük k1, k2,…km azonos, akkor ismétléses permutációról beszélünk. n! , ahol k1 + k 2 + ... + k m ≤ n . Ezek száma: k1!⋅ k 2 !⋅... ⋅ k m !

8


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda3 Egy henger alakú forgó hirdetőtáblára 4 plakátot akarnak elhelyezni egymás mellé. Hány különböző elrendezés lehetséges? Megoldás: Jelöljük a négy plakátot A, B, C és D betűkkel. Terítsük ki a henger alakban összeragasztott plakátokat (természetesen a kiterítéskor plakátot nem vághatunk ketté)! A négy betűt 4! sorrendben lehetne felsorolni, de az alábbi 4 elrendezés ugyanazt a képet eredményezi:

A

B

C

D

B

Így a megoldások száma

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

4! = 3!= 6 lesz. 4

Ciklikus permutációról beszélünk, ha n különböző elemet úgy rendezünk sorba, hogy nincs első és utolsó elem. Két permutáció akkor számít különbözőnek, ha van olyan tagja a permutációnak, melynek jobb vagy bal oldali szomszédja nem azonos. n elem ciklikus permutációinak száma: (n – 1)! .

Feladatok 1. Műkorcsolyázó versenyen nőknél a junior rövid programnak az alábbi előírt elemeket

kell tartalmaznia: (részlet az ISU MŰKORCSOLYA SZABÁLYKÖNYVéből):


9

a) dupla Axel Paulsen; b) egy dupla vagy tripla Lutz, amelyet közvetlenül megelőz összekötő lépés vagy hasonló szabadkorcsolyázó mozdulatsor; c) egy ugráskombináció két dupla, vagy egy dupla és egy tripla ugrásból; d) beugrós libelle; e) hátra vagy oldalra hajlós forgás; f) forgáskombináció, egy lábváltással és legalább két testhelyzetváltással (ülő, mérleg, álló helyzet vagy ezek variációja); g) spirál lépéssorozat; h) lépéssorozat (egyenes, kör-, ill. kígyóvonal alakú). Hányféleképpen építheti fel valaki a kűrjét ezeket az elemeket figyelembe véve, ha mindegyikből csak egyet-egyet épít be? 2. Tudjuk, hogy 2006 utolsó ötöslottó sorsolásán a kihúzott számok emelkedő sorrendben

a következők voltak: 5 , 21 , 35 , 62 , 76. Hány különböző sorrendben történhetett meg ezeknek a számoknak a kihúzása? 3. 5 Malév, 3 KLM, 4 Lufthansa, 2 Air France, 5 British Airways, 2 AUA gép várakozik

felszállásra a Ferihegy II. repülőtéren. Hány különböző sorrendben engedélyezhetik az indulásukat, a) ha minden járatot különbözőnek tekintünk? b) ha csak a gépek üzemeltetői szerint különböztetjük meg az egyes repülőket? 4. Az egyik metróállomáson a következő információkat közli egy végtelenített fényreklám:

KÉRJÜK A BIZTONSÁGI SÁVOT SZABADON HAGYNI! A METRÓN CSAK ÉRVÉNYES MENETJEGY BIRTOKÁBAN UTAZHAT. VIGYÁZZON ÉRTÉKEIRE! EGY VONALJEGY CSAK 30 PERCES UTAZÁSRA JOGOSÍT! Hány lényegesen különböző sorrendje lehet ezeknek az információknak a szalagon? 5. Egy barátodnak CD-t állítasz össze a 10 kedvenc dalából (5 lassú és 5 gyors).

a) Hányféleképpen teheted ezt meg? b) Hányféleképpen teheted ezt meg, ha azt akarod, hogy az első szám mindenképpen gyors, az utolsó pedig lassú legyen?

10


TANULÓK KÖNYVE

c) Hányféleképpen teheted ezt meg, ha azt akarod, hogy a gyors és lassú számok váltogassák egymást?

6. A bölcs király minden évben megjutalmaz 5 tudóst. Kioszt 1 Nemzet Bölcse, 2 Nemzet

Okosa és 2 Nemzet Tudósa kitüntetést. Az öt jutalmazandó személyét már eldöntötték (köztük volt Mindentudó Jakab is), de tanácsnokai mind különböző javaslatot adtak arra, hogyan osszák meg az 5 tudós között a kitüntetéseket, mi több: pontosan annyian voltak, hogy minden lehetőségre esett egy szavazat. Ezért a király úgy döntött, felvesz még egy tanácsnokot, így biztosan lesz legalább kettő, aki azonos véleményen van. a) Hány tanácsnoka lesz így a királynak? b) Hányan gondolták eredetileg úgy, hogy az egyik Nemzet Okosa kitüntetés Mindentudó Jakabnak jár? 7. A körtáncot tanuló lányok minden próbán más-más sorrendben állnak fel. 10 próbájuk

volt. Legalább hányan táncolnak?

11


II. Kombinációk, variációk Mintapélda4 Egy vetélkedő 100 fős közönségéből véletlenszerűen kiválasztott 3 embert egyformán akarnak megjutalmazni. Hányféleképpen tehetik ezt meg? Megoldás:

Képzeljük el, hogy az előadás előtt 30 perccel az ügyelő valamelyik három szék alá piros cédulát ragaszt; ezek lesznek a kiválasztottak. Mivel a jutalmak egyformák, lényegtelen, hogy a három cédulát milyen sorrendben helyezte el. A 100 szék közül kell tehát hármat kiválasztania, és a kiválasztás sorrendje közömbös. Mivel 97 „cédula nélküli” és 3 „cédulás” hely van, ezért az összes lehetőségek száma

100! 100 ⋅ 99 ⋅ 98 = = 161700. 97 !⋅ 3! 3 ⋅ 2 ⋅1

Ha n különböző elemből k darabot kell kiválasztani úgy, hogy a sorrend nem számít, kombinációról beszélünk. (k ≤ n) n! Ezek száma , melyet egy szimbólummal is jelölünk: k !⋅ (n − k )! ⎛n⎞ n! = ⎜⎜ ⎟⎟ (Olvasása: n alatt a k). k !⋅ (n − k )! ⎝ k ⎠

A fenti példa esetén

⎛100 ⎞ 100! ⎟⎟ alakban is. felírható ⎜⎜ 97!⋅ 3! ⎝ 3 ⎠

Mintapélda5 Egy pályázat eredményhirdetésére az első 10 helyezettet hívták meg. Az első helyezett pénzjutalmat, a második utazást, a harmadik elektronikus berendezést, a többiek pedig oklevelet kaptak. A meghívottak közül hányféleképpen kerülhettek ki azok, akik tárgyjutalmat kaptak?

1. megoldás: Az első helyezettet 10, a másodikat már csak 9, a harmadikat pedig a maradék 8 meghívottból lehet kiválasztani, tehát a jutalmazottak névsora 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 -féle lehet.

12


TANULÓK KÖNYVE

2. megoldás: ⎛10 ⎞ A 3 tárgyjutalmat kapó a 10 helyezett közül ⎜⎜ ⎟⎟ -féleképpen választható ki. Mivel a nyere⎝3⎠ mények nem egyformák, ezért ezeket 3!-féleképpen lehet szétosztani. Így az első 3 helyezettet ⎛10 ⎞ 10! ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 3!= = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 -féleképpen jutalmazhatták. 7! ⎝3⎠ Ha n különböző elemből k-darabot akarunk kiválasztani ( k ≤ n ), de a sorrend is számít, akkor variációról beszélünk. ⎛n⎞ n! Ezek száma , vagy másképpen: ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ k!. (n − k )! ⎝k ⎠

Mintapélda6 Magyarországon a rendszámok most 3 betűből és 3 számjegyből állnak. A betűk ékezet nélküliek, egyjegyűek. Hány autót jelölhetünk így különböző rendszámmal? Megoldás: Először vizsgáljuk meg, hogy hány darab 3 betűs sorozatot tudunk felírni. Egyjegyű, ékezet nélküli betűből 26 van (abcdefghijklmnopqrstuvwxyz). Ezekből rendszámot készíthetünk úgy, hogy minden helyre 26 betű közül választhatunk. Itt a lehetőségek száma 263 . A számjegyekből álló rész minden karakterére 10 számjegyből választhatunk, tehát itt 103 lehetőség lesz. Tehát 263 ⋅103 = 17576 ⋅1000 = 17576000 autót tudnak így ellátni különböző rendszámmal.

(Itt nem háromjegyű számokról van szó, tehát az első számjegy is lehet 0.) Ha n különböző elemből k darabot akarunk kiválasztani majd ezeket sorba rendezni, de egy elemet akár többször is választhatunk, akkor ismétléses variációról beszélünk. Ezek száma nk.


13

Feladatok 8. Egy kézilabdacsapatnak egyetlen kapusa van. A csapat 12 fővel utazik egy meccsre.

Hányféleképpen tudja kiválasztani az edző a 6 kezdőjátékost?

9. A történelem érettségi kezdetén az első 3 vizsgázó még mind a 20 tétel közül húzhat.

Hány különböző húzás lehetséges?

10. Ha tudjuk, hogy az érettségi első napján nem volt bukás, akkor a 12 felelő eredményei

hányfélék lehetnek magyarból?

11. Hány olyan 6 jegyű szám van, amelyben szerepel a 2-es számjegy?

12. A szinkronugrást 9 pontozóbíró figyeli. 2-2 bíró az egyes versenyzők mozgását pon-

tozza, 5 pedig a szinkronitásra ügyel. Ha előre ismert a pontozóbírák személye, hányféleképpen osztható ki nekik a feladat?

13. Nyolc fős társaság a hullámvasútra száll. Egymás mögötti helyekre ülnek párosával.

a) Hányféleképpen helyezkedhetnek el? b) Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha csak az számít, ki kinek a szomszédja és milyen messze ül a vonat elejétől?

14. A szalagavató bálon a 11.b osztály 10 lánya is táncol a nyitótáncban. A ruhapróbán két

fülke áll rendelkezésükre, egy két és egy 3 személyes. Hányféleképpen juthatnak a fülkébe próbálni, ha a) csak az számít, hogy előbb vagy később kerülnek sorra? b) ha az is számít, hogy a két vagy a háromszemélyes fülkében próbálnak?

14


TANULÓK KÖNYVE

III. Valószínűségszámítás Az elmúlt években sokszor találkoztunk már a valószínűség fogalmával. A valószínűségszámítás arra próbál választ adni, hogy bizonyos véletlen események milyen eséllyel következnek be. Ahhoz, hogy ezt vizsgálhassuk, sok információra van szükségünk. Az információk megszerzéséhez adatokat kell gyűjteni. Az adatgyűjtést a valószínűségszámításban kísérletnek is mondjuk akkor, ha az tetszőlegesen sokszor, ugyanolyan feltételek mellett végezhető

el, és többféle kimenetele lehet. A kísérlet lehetséges kimeneteleit eseményeknek (bizonyos esetekben elemi eseményeknek) nevezzük. Dobjunk fel egy kockát egymás után legalább 300-szor, és jegyezzük fel a dobások eredményét. A táblázat egy ilyen dobássorozat kimenetelét mutatja: 1-20 21-40 41-60 61-80 81-100 101-120 121-140 141-160 161-180 181-200 201-220 221-240 241-260 261-280 281-300

1 6 5 2 3 1 5 2 1 3 3 4 4 3 4

5 3 2 5 5 4 5 1 6 2 6 4 4 3 2

2 1 6 2 4 3 1 1 1 2 4 6 6 4 1

6 1 5 6 1 3 5 4 1 6 1 6 6 1 1

2 2 5 6 4 4 5 1 6 6 3 6 5 4 6

4 6 5 2 6 3 4 5 5 3 5 1 1 3 5

4 4 3 5 1 2 6 4 2 2 5 4 4 2 5

4 6 2 6 1 2 1 5 5 6 3 6 5 3 5

1 3 4 2 6 5 2 5 6 3 5 4 5 5 4

5 3 3 4 1 1 4 3 1 6 2 2 1 5 2

1 5 1 4 4 2 2 2 1 6 2 6 2 2 6

4 1 4 3 4 6 3 2 6 4 4 6 1 3 2

2 3 3 6 6 6 4 1 4 5 1 2 1 2 2

6 2 5 4 6 1 3 4 5 4 3 2 1 4 1

2 1 2 5 4 2 5 1 1 2 6 2 1 5 5

6 3 6 2 3 5 1 4 5 6 4 1 5 3 5

3 4 1 4 2 4 5 1 2 6 5 4 5 3 1

3 2 1 4 5 5 3 1 5 6 3 5 5 2 2

2 1 6 4 6 6 4 5 4 2 4 1 6 4 1

3 4 2 2 5 2 3 1 2 4 5 3 2 3 6

Vizsgáljuk meg, hogyan változik az 1-es dobás gyakorisága, ahogy a dobások száma nő: 1-es dobások relatív gyakorisága 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

50

100

150

200

250

300

Az az érték, ami körül a dobás gyakorisága ingadozik – és amit vártunk is –, az

350

1 = 0,16& érték. 6

Azt a számot, amely körül egy A esemény relatív gyakorisága ingadozik, az illető esemény valószínűségének nevezzük; jelölése: P(A) .

15


Tehát annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával egyest dobunk:

1 . 6

Ugyanezt az értéket kaptuk volna akkor is, ha annak a valószínűségét keressük, hogy kettest, hármast, négyest, ötöst vagy hatost dobunk. Legyen az

A1 esemény, hogy 1-est dobunk;

A2 esemény, hogy 2-est dobunk

A3 esemény, hogy 3-ast dobunk;

A4 esemény, hogy 4-est dobunk

A5 esemény, hogy 5-öst dobunk;

A6 esemény, hogy 6-ost dobunk.

Mivel kísérletünknek ezeken kívül más kimenetele nem lehet, és valamelyik esemény biztosan bekövetkezik, ezeknek az elemi eseményeknek a valószínűsége egyenlő. Ekkor az A1, A2, A3, A4, A5, A6 események teljes eseményteret alkotnak. Ilyen események körében vizsgálódott P. S. Laplace, aki a valószínűségszámítás klasszikus modelljét alkotta meg. Ő egy esemény bekövetkezésének valószínűségét így adta meg:

P( A) =

kedvező esetek száma összes eset száma

Laplace, Pierre-Simon (ejtsd: laplasz) (1749–1827) francia matematikus, fizikus és csillagász volt. Egy katonai iskolában tanára volt Napóleonnak, majd rövid ideig belügyminisztere is. Nevéhez fűződik az első monográfia megírása a valószínűség témakörében 1812ből. Címe magyarul: A valószínűségszámítás analitikai elmélete.

Mintapélda7 A Catan telepesei nevű társasjátékban az egyes mezők 2-től 12-ig számmal vannak jelölve. A játékosok két dobókockával dobnak, majd annak a mezőnek a jövedelméből részesülnek, mely megfelel a dobókockák által mutatott számok összegének. A hetes szám a rablót jelöli. Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy a 10-es mező termésének jövedelméből részesül egy játékos, vagy annak, hogy a rablónak megfelelő összeget dobjuk? Megoldás: I. Ha két kockával dobunk, a dobott számok összege 11-féle lehet (2-től 12-ig), ezek közül egyik a 10 és másik a 7. Egyik lehetséges válasz az lenne, hogy a kedvező esetek száma mindkét esetben 1, az összes lehetséges kimenetelek száma pedig 11, így a két esemény azonos,

1 valószínű11

séggel fordul elő. II. Gondosabb vizsgálat esetén látjuk, hogy két kockával dobás esetén a különböző összegek így alakulhatnak:

16


TANULÓK KÖNYVE

1+1 = 2

1+ 2 = 3

1+ 3 = 4

2+2 = 4

1+ 4 = 5

2+3 = 5

1+ 5 = 6

2+4 = 6

3+3 = 6

1+ 6 = 7

2+5 = 7

3+ 4 = 7

2+6 =8

3+5 = 8

4+4 =8

3+6 = 9

4+5 = 9

4 + 6 = 10

5 + 5 = 10

5 + 6 = 11

6 + 6 = 12

A lehetséges összegek száma 21, ezek közül a 10-es mezőnek kedvező esetek száma 2, így P(10-es mező)= nyados P(rabló)=

2 . A rabló számára kedvező összegek száma 3, így a keresett há21

3 . 21

III. Képzeljük el, hogy két különböző színű kockával dobunk, ekkor ilyen kimenetelek lehetségesek: Látható, hogy most az összes esetek száma 36, a kedvező eseteké pedig 3, illetve 6, így a valószínűségek

P(10-es mező)=

3 1 6 1 = , illetve P(rabló)= = . 36 12 36 6

A három gondolatmenettel három különböző eredményt kaptunk. Az első szerint azonos a két esemény valószínűsége, a második szerint annak a valószínűsége, hogy a rabló léphet színre, másfélszer akkora, mint annak, hogy a 10-es mező előnyeit élvezhetnénk, harmadik szerint pedig a rabló esélye kétszer akkora. Melyiknek lehet hinni? Mi okozza a különbséget?

Láthatjuk, hogy a valószínűség kiszámításakor a

kedvező esetek száma képlet csak akkor összes eset száma

alkalmazható, ha gondosan határozzuk meg a kedvező esetek és összes esetek számát az adott feladatban. Ezt az elemi események vizsgálatával tehetjük meg. Annak a valószínűsége, hogy két kocka dobásával 2 pontot érjünk el, nem ugyanakkora, mint annak, hogy 4-et, mert a két pont csak 1+1-ként, míg a 4 pont 1+3 vagy 2+2-ként is létrejöhet. Annak a valószínűsége, hogy két kockával 2+2-t, vagy 1+3-at dobunk, nem ugyanakkora, mert az 1+3 kétféleképpen is létrejöhet, ha a piros kockával dobunk 1-est, feketével 3-ast, vagy fordítva. Tehát első két módszerünk hibás eredményt hozott, mert mindkét esetben elkövettük azt a hibát, hogy a számlálóban és a nevezőben olyan eseményeket számoltunk össze, melyek kimenetele nem azonos valószínűségű.

17


A harmadik megoldásban szereplő elemi események száma 36, közülük mind azonos valószínűséggel következik be, így

P(rabló)=

1 1 > P(10-es mező)= , tehát a rabló színrelépésének valószínűsége a nagyobb. 12 6

Mintapélda8 Egyetlen dobókockával dobunk.

Két dobókockával dobunk, egy pirossal és

Legyen az A esemény, hogy párosat dobunk, a egy kékkel. B esemény, hogy 4-nél kisebb számot dobunk. Legyen az A esemény, hogy párosat dobunk a piros kockával, a B esemény, hogy 4-nél kisebb számot dobunk a kék kockával. Soroljuk fel a kísérletek lehetséges kimeneteleit! 1,2,3,4,5,6

11,12,13,14,15,16,

21,22,23,24,25,26,

31,32,33,34,35,36,

41,42,43,44,45,46,

51,52,53,54,55,56,

61,62,63,64,65,66.

Mekkora lesz a P(A) és a P(B) valószínűség? Az előző tanévben már megfogalmaztuk, mit jelent az A + B , A ⋅ B , A − B , A , A ⋅ B esemény! Ebben a feladatban számítsuk ki a valószínűségüket!

P ( A) =

kedvező 3 1 = = összes 6 2

P ( A) =


P (B ) =


P (B ) =


Az A + B esemény, hogy párosat, vagy

Az A + B esemény, hogy piros páros, vagy

4-nél kisebbet dobunk, ennek csak az 5

kék 4-nél kisebb, tehát

nem felel meg, tehát P( A + B ) =

5 . 6

P( A + B ) =

18 + 9 27 3 = = . 36 36 4

Az A ⋅ B esemény, hogy párosat és 4-nél

Az A ⋅ B esemény, hogy a pirossal párosat

kisebbet, azaz 2-t dobunk, tehát

dobunk és ugyanakkor a kékkel 4-nél kiseb-

P( A ⋅ B ) =

1 . 6

bet, tehát P( A ⋅ B ) =

9 1 = . 36 4

18


TANULÓK KÖNYVE

Az A − B esemény, hogy páros számot do-

Az A − B esemény, hogy pirossal párost do-

bunk, de ezek közül ki kell hagyni a 4-nél

bunk, de kékkel nem dobok 4-nél kisebbet,

kisebbeket, tehát 4-et, vagy 6-ot dobok,

tehát P( A − B ) =

tehát P( A − B ) =

2 1 = . 6 3

Az A esemény, hogy páratlan számot

()

dobunk, tehát P A =

Az A esemény, hogy a piros kockával páratlant dobunk (függetlenül a kék kocka eredmé-

3 1 = . 6 2

()

nyétől) tehát P A =

Az A ⋅ B esemény, hogy páratlan és 4-nél

(

9 1 = . 36 4

)

kisebbet dobunk, tehát P A ⋅ B =

2 1 = . 6 3

18 1 = . 36 2

Az A ⋅ B esemény, hogy pirossal páratlant dobunk és kékkel 4-nél kisebbet, tehát

(

)

P A⋅ B =

9 1 = . 36 4

Az itt tapasztalt eredmények általában is igazak: Az A + B esemény valószínűségét úgy kapjuk meg, hogy a két esemény valószínűségének összegéből levonjuk az együttes bekövetkezés valószínűségét, azaz P ( A + B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ⋅ B )

Ez az eredmény szemléletünkből is következik, hiszen mind az A esemény, mind a B esemény bekövetkezésének valószínűségének meghatározásakor beszámítjuk a két esemény együttes bekövetkezését. Két egymást kizáró esemény esetén annak a valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, a két esemény valószínűségének összege, azaz ha P( A ⋅ B ) = 0 , akkor P( A + B ) = P( A) + P(B ) .

19


Mintapélda9 Egy osztályban mindenki beszél németül vagy franciául. Tudjuk, hogy az osztály 30%-a tanul franciául, 85%-a pedig németül. a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha valakit véletlenszerűen megkérdezünk, akkor az mindkét nyelven beszél? b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen megkérdezett tanuló csak az egyik nyelven beszél?

Megoldás: a) Legyen az A esemény, hogy valaki beszél németül. Tudjuk, hogy P(A)=0,85. Legyen a B esemény, hogy valaki beszél franciául. Tudjuk, hogy P(B)=0,3. Tudjuk, hogy P( A + B ) = 1 , hiszen mindenki tanul a két nyelv valamelyikén. A korábban

elmondottak

alapján

az

együttes

bekövetkezés

valószínűsége:

P( A ⋅ B ) = P( A) + P(B ) − P( A + B ) = 0,85 + 0,3 − 1 = 0,15 , tehát 15% a valószínűsége,

hogy olyan diákkal találkozunk, aki mindkét nyelvet tanulja. b) Itt az ( A − B )+( B − A ) esemény valószínűségére vagyunk kíváncsiak. Mivel az osztályban mindenki tanul valamilyen idegen nyelvet, az

A− B

− azaz csak németül tanul;

B− A

− azaz csak franciául tanul; és az

A⋅ B

− azaz mindkét nyelven tanul események közül biztosan bekövetkezik

valamelyik, és csakis az egyik következik be, vagyis ez a három esemény teljes eseményrendszert alkot. Tehát P ( A − B ) + P ( A ⋅ B ) + P(B − A) = 1 , így P ( A − B ) + P (B − A) = 1 − P ( A ⋅ B ) = 1 − 0,15 = 0,85 .

Adott kísérlet kimeneteleit vizsgálva az A1, A2, …, Ak események teljes eseményrendszert (eseményteret) alkotnak akkor, ha közülük két esemény soha nem következhet be egyszerre, és nincs a kísérletnek olyan kimenetele, amelyik nem tartozik valamely eseményhez. A teljes eseményrendszer eseményeihez tartozó valószínűségeket összeadva 1-et kapunk, és az eseménytér bármely két eseményének együttes bekövetkezésének valószínűsége 0. Másképpen: P (Ai ⋅ A j ) = 0 , ha Ai és Aj tagjai az eseményrendszernek, és

P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak ) = 1

20


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda10 Sokéves tapasztalat alapján tudjuk, hogy januárban 0,4 annak a valószínűsége, hogy a járdák síkosak. Azt is tudjuk, hogy míg jó útviszonyok mellett csak minden tízezredik gyalogost ér baleset a járdán, addig csúszós időben minden 10000 gyalogos közül 8 összetöri magát. Mi a valószínűsége annak, hogy egy januári napon valakit baleset ér a járdán? Megoldás: Képzeljük el, hogy egy januári napon egymillió gyalogos sétál a járdákon az országban, egyenletes eloszlásban. Ezen a napon az ország 0,4 részén, tehát ott, ahol 400000 ember sétál, csúszós a járda. A fenti statisztika szerint közülük minden 10000-ből 8 balesetet szenved, így 40 ⋅ 8 = 320 -at baleset ér. Az ország maradék 0,6 részén viszont nem csúsznak a járdák, tehát az ott sétáló 600000 ember közül csak minden tízezredik esik el, tehát itt 60 ember esik el. Így 1000000 emberből 380-at ér baleset ezen az „átlagos” januári napon, tehát a sérülés valószínűsége

380 = 0,00038 . 1000000

Csak valószínűségekkel számolva: Csúszós úton

8 1 ⋅ 0,4 = 0,00032 , jó útviszonyok mellett ⋅ 0,6 = 0,00006 , 10 000 10 000

együttesen tehát 0,00038 a sérülés valószínűsége, függetlenül attól, hogy hány ember volt aznap az utcákon.

Feladatok 15. Legyen az A esemény, hogy a 32 lapos magyar kártyából ászt húzunk. Legyen a B esemény, hogy a csomagból makkot húzunk. Add meg a következő események valószínűségét: a) A, B .

b) A ⋅ B .

c) A + B .

d) A + B .

(A magyar kártyában alsó, felső, király, ász, VII, VIII, IX, X lapok vannak tök, makk, zöld és piros „színekben”.)

16. Legyen az A esemény, hogy a kockával páros számot dobunk, a B esemény, hogy a kockával páratlan számot dobunk, és a C esemény, hogy a kockával 4-gyel osztható számot dobunk. Mi lesz az A ⋅ B , B ⋅ C és A + B események valószínűsége?


21

17. Egy ötöslottó-sorsoláson az elsőnek kihúzott szám a 35 volt. a) Mi a valószínűsége annak, hogy a következőnek kihúzott szám ennél kisebb lesz? b) Tudjuk, hogy ezen a bizonyos héten a kihúzott számok emelkedő sorrendben a következők voltak: 5 , 21 , 35 , 62 , 76. Mi a valószínűsége annak, hogy a 35 után kihúzott szám ennél kisebb volt? Nemcsak hatlapú szabályos testből lehet készíteni dobókockát, hanem a többi szabályos test minden lapjára is azonos eséllyel esik le a homogén anyagból készült test, így belőlük is készíthető „dobókocka”. A következő feladatok különböző lapszámú dobókockákra vonatkoznak.

18. A tetraéderből készített dobókockánál dobáskor egy lapot nem látok, a másik három lapon 3-3 szám áll. Itt valójában nem is a lapok, hanem a csúcsok vannak megszámozva úgy, hogy a csúcsban találkozó 3 lap mindegyikén látható a csúcs közelében a szám. Azt a számot tekintjük a dobás eredményének, amelyik mindhárom lap felső csúcsán szerepel. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk? c) Ha két tetraéderrel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege prím lesz? d) Ha két ilyen testtel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok öszszege páros lesz? 19. A hagyományos (kocka alakú) dobókockán a számok 1-től 6-ig szerepelnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk? c) Ha két ilyen kockával dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege prím lesz? d) Ha két ilyen kockával dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege páros lesz?

22


TANULÓK KÖNYVE

20. Az oktaéder alakú dobókockán a számok 1-től 8-ig szerepelnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk? c) Ha két ilyennel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege prím lesz? d) Ha két ilyennel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege páros lesz? 21. Igaz-e, hogy az alábbi eseményterekben a megadott események valószínűsége megegyezik? a) Három kockával dobva a dobások összege lehet: 3,4,…,18. b) Két érmével dobva a lehetséges kimenetelek: FF, FI, IF, II. c) Déli 12 órakor a lehetséges időjárási helyzet: eső+fúj a szél eső+nincs szél nincs eső+nincs szél nincs eső+fúj a szél. d) Három érmével dobva a lehetséges kimenetelek: 3 fej, vagy 2 fej+1 írás, vagy 1 fej+2 írás, vagy 3 írás. 22. Mi a valószínűsége annak, hogy Anna és Kati ugyanúgy töltse ki a totószelvényét, ha mindketten véletlenszerűen töltik ki?

23


IV. A valószínűség kiszámítása kombinatorikus úton Mintapélda11 Egy vidámparkban a számítógép vezérelte „félkarú rabló” három oszlopában 3-féle jel fut: hold, szív és mosolygó arc. e♥☺. A gépet úgy állították be, hogy mindhárom jel azonos valószínűséggel forduljon elő mindhárom helyen. Akinek a gép 3 egyforma vagy 3 különböző jelet sorsol, az nyer egy csokit. A játszma ára 1 peták, a szomszédos büfében ezt a csokit 2 petákért lehet kapni. Hosszú távon kinek nyereséges ez a játék? Megoldás:

A játék akkor lenne számunkra hosszú távon veszteség nélküli vagy nyereséges, ha legalább (átlagban) minden második esetben nyernénk, tehát ha nyerési esélyünk 0,5 vagy annál nagyobb lenne. Most a kedvező esetek és az összes eset számának arányát fogjuk meghatározni, ügyelve arra, hogy mindkét esetben azonos valószínűségű elemi eseményekkel számoljunk. Az összes eset száma 33 = 27 , hiszen minden figura mellé bármely másik kettő választható. A kedvező esetek két részre bonthatók: I.

csupa egyforma, számuk 3

eee, ♥♥♥, ☺☺☺

II.

csupa különböző, számuk 3!=6

☺e♥, ☺♥e, e☺♥, e♥☺, ♥e☺, ♥☺e

A nyerési esély tehát

3+ 6 1 1 = < . A játék hosszú távon az üzemeltetőnek kedvez. 27 3 2

Feladatok 23. Egy 30 fős osztályban az irodalomtanár úgy döntött, hogy a három kisorsolt diák adja elő szóban a házi dolgozatát az osztály előtt. Mi a valószínűsége annak, hogy a kisorsolt három tanuló a névsorban egymás után következik? 24. Az alábbi táblázat a Forma1 2006-os Hungaroring futamának végeredményét mutatja. a) Ha a verseny előtt megkérünk egy mit sem tudó kívülállót (mondjuk, egy marslakót), jósolja meg a végeredményt, milyen eséllyel találta volna el? b) Ezen a versenyen a konstruktőrök (istállók) versenyében 1. helyezett lett a Honda, 2. a McLaren, 3. a BMW Sauber, 4. a Honda stb.

24


TANULÓK KÖNYVE

Ha a fent említett marslakót a futam sorrendjéről úgy kérdezzük, hogy csak az istállók sorrendje érdekel, milyen eséllyel találja el? Hely.

Versenyző

Forrás:www.forma1.hu

Istálló

Motor

Idő

Körök

1. Jenson Button

Honda

Honda

01:52:21

70

2. Pedro de la Rosa

McLaren

Mercedes 01:52:52

70

3. Nick Heidfeld

BMW Sauber

BMW

01:53:04

70

4. Rubens Barrichello

Honda

Honda

01:53:06

70

5. David Coulthard

Red Bull Racing

Ferrari

00:00:00

69

6. Ralf Schumacher

Toyota

Toyota

00:00:00

69

7. Felipe Massa

Ferrari

Ferrari

00:00:00

69

8. Michael Schumacher

Ferrari

Ferrari

00:00:00

67

9. Tiago Monteiro

Midland F1

Toyota

00:00:00

67

10. Christijan Albers

Midland F1

Toyota

00:00:00

67

11. Scott Speed

Scuderia Toro Rosso

Cosworth 00:00:00

66

12. Jarno Trulli

Toyota

Toyota

00:00:00

65

13. Takuma Sato

Super Aguri

Honda

00:00:00

65

14. Fernando Alonso

Renault

Renault

00:00:00

51

15. Kimi Räikkönen

McLaren

Mercedes 00:00:00

25

16. Vitantonio Liuzzi

Scuderia Toro Rosso

Cosworth 00:00:00

25

17. Nico Rosberg

Williams

Cosworth 00:00:00

19

18. Giancarlo Fisichella

Renault

Renault

00:00:00

18

19. Christian Klien

Red Bull Racing

Ferrari

00:00:00

6

20. Mark Webber

Williams

Cosworth 00:00:00

1

21. Sakon Yamamoto

Super Aguri

Honda

00:00:00

0

22. Robert Kubica

BMW Sauber

BMW

00:00:00

69


25

25. Egy urnában 5 fehér és 5 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót a második húzás előtt visszatesszük. Mi a valószínűsége annak, hogy 2 piros golyót húzunk ki belőle?

26.

a) Egy urnában 5 fehér és 5 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy 2 piros golyót húzunk ki belőle? b) Egy urnában 10 fehér és 10 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy 2 piros golyót húzunk ki belőle? c) Egy urnában 500 fehér és 500 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy 2 piros golyót húzunk ki belőle? d) Egy urnában 5000 fehér és 5000 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy 2 piros golyót húzunk ki belőle? e) Egy urnában n fehér és n piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy 2 piros golyót húzunk ki belőle?

26


TANULÓK KÖNYVE

V. Binomiális eloszlás Mintapélda12 A biológia témazáróra Marci a tudatlanok nyugalmával érkezik. A könyvet ugyan ki nem nyitotta, az órán sem figyelt, de tudja, hogy a dolgozatban 12 tesztkérdés szerepel lehetséges A, B, C válaszokkal, és a kérdések közül elég a harmadára helyesen válaszolnia a kettes eléréséhez. Úgy gondolja, nyugodtan a véletlenre és a jó szerencséjére bízhatja a dolgot. Mi a valószínűsége annak, hogy pontosan 4 kérdésre válaszol helyesen? Megoldás:

a) Annak a valószínűsége, hogy az első 4 kérdésre helyes választ ad, a többi nyolcra pe⎛1⎞ dig hibásat: ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

4

8

28 ⎛2⎞ ⋅ ⎜ ⎟ = 12 . Igen ám, de azt a négy feladatot, melyekre helyes vá⎝3⎠ 3

⎛12 ⎞ laszt ad, ⎜⎜ ⎟⎟ féleképpen lehet kiválasztani a 12-ből, így a keresett valószínűség ⎝4⎠ 4

8

⎛12 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 28 ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 495 ⋅ 12 ≈ 0 ,238 . 3 ⎝ 4 ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 3⎠

Az itt alkalmazott gondolatmenet általános esetben is működik: Ha egy esemény bekövetkeztének valószínűsége p, akkor annak valószínűsége, hogy n független kísérletből ez az esemény pontosan k-szor következik be:

⎛n⎞ k ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p ⋅ (1 − p )n − k . ⎝k ⎠

Mintapélda13 Kíváncsiak lehetünk még arra is, hogy minek a legnagyobb a valószínűsége, hány kérdésre ad helyes választ Marci? Térjünk most vissza az előző mintapélda adataihoz és számítsuk ki, hogy mi a valószínűsége a 0,1,2,…,12 helyes válasznak. Számításaink eredményét rendezzük táblázatba, majd ábrázoljuk is!


27

Helyes Ennek válaszok valószínűsége száma (k) P(k) 0

0,008

1

0,046

2

0,127

3

0,212

4

0,238

5

0,191

6

0,111

7

0,048

8

0,015

9

0,00331

10

0,000497

11

0,0000452

12

0,0000019

A táblázatból, de a grafikonból is jól látható, hogy annak a valószínűsége a legnagyobb, hogy a 12 kérdésből 4-et válaszol meg Marci.

Mintapélda14 Sok vizsgálat azt mutatta, hogy a gyártósoron elkészülő csavarok 95%-a tökéletesen használható. Markoljunk ki egy nagy zsákból 20 csavart. Mi a valószínűsége annak, hogy a kezünkben 1-nél több hibás csavar lesz?

Megoldás: A komplementer esemény valószínűségét egyszerűbb kiszámítani: mi a valószínűsége annak, hogy a kezünkben 0 vagy 1 hibás csavar lesz? Ismerjük annak valószínűségét, hogy egy kivett csavar hibás: 0,05. Legyen a zsákban 10000 csavar. Ha az ismert eloszlásban vannak benne a jó és hibás csavarok, akkor 9500 jó, és 500 hibás csavar van a zsákban. Ha kivettünk belőle 19 hibás csavart (aminek igen kicsi a valószínűsége), annak valószínűsége, hogy a következő is hibás lesz: 481 ≈ 0,048 . Ha kivettünk belőle 19 jó csavart, annak valószínűsége, hogy a követke9981 ző hibás lesz:

500 ≈ 0,050 , vagyis az eltérés csak két ezrelék, tehát ha azok száma, 9981

amiből a mintát vesszük, elég nagy, eltekinthetünk attól, hogy a mintavétel során nem tettük vissza az egyes elemeket.

28


TANULÓK KÖNYVE

Annak valószínűsége tehát, hogy 0 hibás csavar lesz: ⎛ 20 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,95 20 ⋅ 0,05 0 = 0 ,95 20 ⋅ 1 ≈ 0,358 . ⎝ 20 ⎠ Annak valószínűsége, hogy 1 hibás csavar lesz: ⎛ 20 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,9519 ⋅ 0,051 = 20 ⋅ 0 ,9519 ⋅ 0 ,05 ≈ 0,377 . ⎝ 19 ⎠ Annak valószínűsége tehát, hogy 1-nél több hibás csavar lesz a kezünkben: 1 − (0 ,358 + 0 ,377 ) ≈ 0 ,265.

Feladatok 27. Tízszer dobunk egymás után a kockával. Mi a valószínűsége annak, hogy a 10 dobásból pontosan 3-szor dobunk ötöst?

28. A csillagszórók közül – általában – minden 20. hibás, nem ég végig. Mi a valószínűsége annak, hogy ha vettünk 1 csomag, azaz 10 darab csillagszórót, abból kettő hibás lesz?

29. 200 vásárlót megkérdeztek a cukrászdában, melyik a kedvenc fagylaltjuk a választékból. A következő válaszokat kapták: vanília

31

citrom

40

erdei gyümölcs

17

csoki

23

puncs

25

kiwi

7

karamell

25

meggy

19

őszibarack

13

Készíts kördiagramot az adatok alapján! Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a fenti vásárlók közül valakinek éppen a csoki a kedvenc fagyija! Mi a valószínűsége, hogy az üzletvezető által megkérdezett 10 vevő közül pontosan 5-nek volt kedvence a csokoládé fagylalt?


29

30. Egy iskolai rendezvényről felvétel készült, melyről mind a 10 szereplő számára sokszorosítani szeretnénk a CD-t. Nincs időnk, hogy az összes másolatot ellenőrizzük, de a biztonság kedvéért készítünk belőlük 12-t. Mi a valószínűsége annak, hogy minden szereplőnek tudunk adni hibátlan CD-t, ha a másolás során általában minden huszadik CD-nek lesz valami hibája?

31. Tudjuk, hogy egy óriási raktárban 5:2 arányban vannak összevissza a radiál és diagonál gumik. Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kigurítva közülük 4 darabot, azt fel tudjuk szerelni a kocsinkra? (Szabály, hogy az első két, illetve a hátsó két gumi típusának meg kell egyeznie.)

30


TANULÓK KÖNYVE

VI. A szerencsejátékos szerencséje Ebben a fejezetben megismerkedünk néhány szerencsejátékkal. Nem azzal a céllal tesszük ezt, hogy biztassunk titeket a játékra, éppen ellenkezőleg: azt szeretnénk megmutatni, hogy ezekben a játékokban hosszú távon mindig a „bank” nyer. Mikor érdemes megkötni egy fogadást? Képzeljük el, abban fogadunk valakivel, hogy 6-ost dobunk a kockával. Ha elég sokszor játszottunk, azt tapasztaljuk, hogy 5-ször annyiszor veszítjük el a fogadást, mint ahányszor megnyerjük. Tehát ahhoz, hogy számunkra a fogadás ne legyen veszteséges („igazságtalan”), az kell, hogy a mi nyereményünk 5-ször akkora legyen, mint az övé. Képzeljük csak el, hogy 600-szor játszunk, és bejön a „papírforma”: 100-szor dobunk 6-ost, de 500-szor mást. Játszótársunk nyereménye így 500 · 1 forint = 500 forint lesz, de a miénk is 100 · 5 forint = 500 forint. Hosszú távon akkor „igazságos” egy fogadás, ha a nyereményünk annyiszorosa a játszótársunk nyereményének, ahányszorosa az ő nyerésének valószínűsége a miénkhez képest. Képzeljük el, hogy fej vagy írást játszunk egy barátunkkal, és tétünk minden esetben egy babszem. Megkérünk egy harmadik személyt, hogy dobáljon egy érmét. Ha fejet dob, megkapjuk a sajátunkén kívül barátunk babszemét is, tehát nyereményünk 2 babszem. Ha írást dob, elveszítjük a babszemünket, barátunk viszi mindkettőt. Minden dobás előtt ½ esélyünk van nyerni két babot, és ugyanakkora esélyünk van elveszteni a tétet. Mivel nyereményünk a „befektetett bab”

1 = 2 -szerese, a játék igazságos. 0 ,5

Nézzük hát a rulettet! Az ábrán egy rulettkereket, valamint azt a táblát látjuk, amelyen a téteket lehet megtenni.

31


A rulettkeréken a számok 0-tól 36-ig találhatók. Van 18 fekete és 18 piros szám, a nulla se nem fekete, se nem piros. Néhány lehetséges fogadást mutat be az ábra, ezekhez azt is megadjuk, rátett pénzünk hányszorosát kapjuk nyereményként (a rátett összegen felül). A:

egyetlen számra fogadsz (itt épp a 3-asra), nyereményed a befektetett pénz 35-szöröse.

B:

két számra fogadsz (itt épp az 5 és 8-asra), nyereményed a befektetett pénz 17-szerese.

C:

három számra fogadsz (a sor számai:10,11,12), nyereményed a befektetett pénz 11szerese.

D:

négy számra fogadsz (14,15,17,18), nyereményed a befektetett pénz 8-szorosa.

E:

hat számra fogadsz (19,20,21,22,23,24), nyereményed a befektetett pénz 5-szöröse.

F:

12 számra fogadsz, az oszlop számaira, nyereményed a befektetett pénz 2-szerese.

F:

Itt ismét 12 számra fogadsz, pl a „harmadik 12”-re azaz a 25-36-ig számokra, nyereményed a befektetett pénz 2-szerese.

G:

azt mutatja, hogy tétedet a nagyobb számokra, 19-36 tetted.

Ugyanígy teheted a piros, fekete, illetve a páros (even), páratlan (odd) téglalapokba is. Minden ilyen esetben nyereményed ugyanannyi, mint a téted.

Mintapélda15 Számítsuk ki, „igazságos”-e a nyeremény az A, illetve a D esetekben?

Megoldás: „A” jelű fogadásnál: Ha eltaláljuk a számot, akkor 1 zseton tét esetén 36 zsetont kapunk meg. Akkor lenne igazságos a fogadás, ha nyerési esélyünk számnak van azonos,

1 lenne. De a rulettben 37 36

1 esélye, tehát nyerési esélyünk kisebb, mint ami az igazságos 37

játék esetén lenne. „D” jelű fogadásnál a kedvező esetek száma 4, az összes eset száma 37, nyerési esélyünk tehát

4 . Akkor lenne tehát igazságos a fogadás, ha befektetett pénzünk 37

37 = 9,25 -szorosát kapnánk meg, de itt 1 zseton tét esetén 1+8=9 zsetont kapunk csak. 4 Ezek a látszólag apró eltérések biztosítják, hogy a kaszinó hosszú távon nyereséges legyen.

32


TANULÓK KÖNYVE

Mielőtt a következő feladattal foglalkoznánk, ismerkedjünk meg egy új fogalommal: Legyen az A kísérlet összes lehetséges kimenetele az A1, A2, …, An esemény (teljes eseményrendszer). Ha valamilyen Ai esemény bekövetkezésének valószínűsége pi, akkor az A kísérlet várható értéke a pi ·Ai szorzatok összege:

E ( A) = p1 ⋅ A1 + p2 ⋅ A2 + ... + pn ⋅ An .

Egy egyszerű kockadobás esetén a várható érték a következőképpen alakul: A1

1-est dobok, p1 =

1 ; 6

A2

2-est dobok, p 2 =

1 ; 6

A3

3-ast dobok, p3 =

1 ; 6

A4

4-est dobok, p 4 =

1 ; 6

A5

5-öst dobok, p5 =

1 ; 6

A6

6-ost dobok, p 6 =

1 . 6

A kísérletünk várható értéke tehát

1 7 1 1 1 1 1 1 ⋅ 1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 + ⋅ 4 + ⋅ 5 + ⋅ 6 = ⋅ 21 = = 3,5 . 6 6 6 6 6 2 6 6

Ilyen dobás persze nem jön létre soha, hiszen ez nem egész szám.

Mintapélda16 Van 3 zsetonunk. Elhatározzuk – ha törik, ha szakad –, három egymást követő körben felteszünk egy-egy zsetont a feketére. Számítsuk ki a nyeremény várható értékét!

Megoldás: A három pörgetés eredménye lehet az, hogy 0,1,2 vagy 3 alkalommal áll meg a golyó a feketén. Annak a valószínűsége, hogy a golyó a feketén áll meg: nem a feketén:

18 , annak pedig, hogy 37

19 , hiszen megállhat a 18 piroson és a nullán. 37 0

3

1

2

3

A1 : 0 fekete tehát -3 nyereség;

⎛ 3 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 19 ⎞ ⎛ 19 ⎞ p1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎝ 37 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠

A2 : 1 fekete tehát -1 nyereség;

⎛ 3 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 19 ⎞ p 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ; ⎝ 1 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠

33


2

1

3

0

2

1

A3 : 2 fekete, tehát +1 nyereség;

⎛ 3 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 19 ⎞ p3 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ; ⎝ 2 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠

A4 : 3 fekete, tehát +3 nyereség;

⎛ 3 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 19 ⎞ ⎛ 18 ⎞ p 4 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎝ 37 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠

3

A nyereség várható értéke tehát 3

1

2

3

⎛ 19 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 19 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 19 ⎞ ⎛ 18 ⎞ E ( A) = ⎜ ⎟ ⋅ (− 3) + 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ (− 1) + 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 1 + ⎜ ⎟ ⋅ 3 ≈ −0,08 . ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠ Ismét látszik tehát, hogy várhatóan a kaszinó lesz nyereséges.

Mintapélda17 Egy sorsjegyről a következőket tudjuk: A sorsjegy nettó nyereményeire

A JÁTÉK LÉNYEGE:

fordítandó összeg felosztása:

A sorsjegyen egy játékmező található, amely fedőrétegének ledörzsölése után állapítható meg, hogy nyertes-e a sorsjegy. Amennyiben a kaparófelület alatt egy pénzösszeg szerepel, a játékos nyert. Nyereménye a kaparófelület alatt feltüntetett nyereményösszeg. Amennyiben a játékos NEM NYERT feliratot talál, akkor nyereményt nem ért el.

Nyeremény db 5 500 50 000 50 000 500 000 1 000 000

Ft 3 000 000 Ft 10 000 Ft 1 000 Ft 600 Ft 300 Ft 200 Ft

A FORGALOMBA HOZATAL IDŐPONTJA: 2005. július 23. A SORSJEGY ÁRA: 150 Ft NYERÉSI ESÉLY: 1: 3,12 KIBOCSÁTOTT DARABSZÁM: 5 millió db sorozatonként Igaz-e a megadott nyerési esély? Mekkora a nyereség várható értéke egy sorsjegy megvásárlása esetén? Megoldás: A kibocsátott 5 millió szelvényből 1600505 nyer, tehát a nyerési esély a megadott nyerési esély pedig

1600505 ≈ 0,32 , 5000000

1 ≈ 0 ,32 , tehát helyesen adták meg az esélyt. (A két 3,12

érték között tízezredekben van csak eltérés.) Ha 1600505 szelvény nyer, akkor 3399495 szelvény nem nyer.

34


TANULÓK KÖNYVE

A1: a nyeremény 0 Ft;

p1 =

3399495 5000000


p2 =

1000000 = 0,2 5000000


p3 =

500000 = 0 ,1 5000000


p4 =

50000 = 0,01 5000000


p5 =

50000 = 0,01 5000000 p6 =

A6: a nyeremény 10000 Ft; A7: a nyeremény 3000000 Ft;

p7 =

500 = 0,0001 5000000

5 = 10 −6 . 5000000

A nyeremény várható értéke tehát 0⋅

3399495 + 200 ⋅ 0 ,2 + 300 ⋅ 0,1 + 600 ⋅ 0,01 + 1000 ⋅ 0,01 + 10000 ⋅ 10 − 4 + 3 ⋅ 10 6 ⋅ 10 −6 = 90 . 5000000

Levonva ebből 150 Ft-ot ( a sorsjegy ára), a várható „bevételünk” – 60 Ft.

Feladatok 32. Egy ismerősünkről mesélték, hogy nyert az ötöslottón. Azon a héten ezt láttuk a nyereményjegyzékben: ÖTÖS LOTTÓ Nyerőszámok: 52, 54, 65, 72, 88 5 találatos 0 db, nyereménye: 0 Ft 4 találatos 28 db, nyereménye: 1 800 231 Ft 3 találatos 3 056 db, nyereménye: 17 465 Ft 2 találatos 104 492 db, nyereménye: 993 Ft Mi a valószínűsége annak, hogy 1000 Ft-nál többet nyert?

35


33. Vizsgáld meg, igazságos-e a fogadás a ruletten (l. a 15. mintapéldát) a a)

B tét esetén?

b)

E tét esetén?

34. Mekkora lesz a nyereség várható értéke, ha kétszer egymás után 1-1 zsetonnal a középső oszlopra (F eset) fogadunk?

35. Egy sorsjegyről a következőket tudjuk (részlet a „Részvételi szabályzat”-ból): A sorsjegy ára: 200 Ft;

Nyerési esély: 1:3,12;

Kibocsátott darabszám: 5 millió db sorozatonként. A sorsjegy nettó nyereményeire fordítandó összeg felosztása:

Nyeremény db

Ft 10

5 000 000

50

100 000

5 000

5 000

100 000

1 000

100 000

600

400 000

400

1 000 000

200

a) Mi a valószínűsége annak, hogy nem veszítünk a vásárláson? b) Mi a valószínűsége annak, hogy legalább 5000 Ft-ot nyerjünk? c) Számítsd ki, mekkora a várható nyereség 1 sorsjegy vásárlása esetén!

36


TANULÓK KÖNYVE

VII. Geometriai valószínűség Mintapélda18 Egy 20 méter hosszú vízvezetékcső tört el valahol a fővezeték és a házunk között. Mi a valószínűsége annak, hogy a földet a cső fölött valahol 1 m hosszan felásva rátalálunk a hibára? Megoldás: Úgy érezzük, hogy a keresett valószínűség

1 . Valóban, ha a beszerelt cső minősége minde20

nütt azonos, és a fölötte levő terhelés is egyenletes, a törés a cső bármely pontján ugyanakkora valószínűséggel következhet be. Mi most itt a kedvező elemi események száma? És mennyi az összes elemi esemény száma? Mindkettő végtelen sok. Mégis, a keresett valószínűséget megkaphatjuk, hiszen a megtalálás valószínűsége egyenesen arányos a felásott föld hosszával, és ha a 20 métert ásnánk fel, akkor a hibát 1 valószínűséggel találnánk meg. Jelöljünk ki képzeletben egy pontot a csövön. Annak a valószínűsége, hogy ezt véletlenszerűen eltaláljuk, érzésünk szerint nulla. Találkoztunk tehát azzal, hogy bár a lehetetlen esemény valószínűsége 0, a 0 valószínűségű

esemény bekövetkezése nem lehetetlen. Tudjuk, hogy a koordináta-rendszerben végtelen sok rácspont van. Pontból pedig a koordinátasíkon még sokkal több. Annak a valószínűsége, hogy véletlenül rábökve a táblára, rácspontot találjunk el, 0, tehát a komplementer esemény, vagyis annak a valószínűsége, hogy a táblára rábökve nem rácspontot találok el, 1. Ez azonban mégsem biztos esemény! Tehát a biztos esemény valószínűsége 1, de az 1 valószínűségű esemény bekövetkezése

nem biztos!


37

Mintapélda19 Egy kert alaprajzát mutatja a következő ábra.

A kockázott terület kövezett terasz. A kék vonal a vízvezeték útját mutatja, mely a föld alatt 1 méter mélységben halad. Sajnos ez valahol, a vízóra (V) és a kerti csap (CS) között eltörött. Megmérték, hogy a kerti csap a garázs sarkától 6 m-re, a vízóra a ház sarkától 0,5 m-re van. A ház mindkét kerítéstől 1-1 m-re épült, amit itt – az előírásoktól eltérően – kivételesen engedélyeztek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha naponta 3 méter hosszan tudjuk kibontani a vezetéket, 3 napon belül megtaláljuk a hibát? b) Mi a valószínűsége annak, hogy a hiba megtalálásához nem kell felszedni a terasz köveit? c) A vízvezetéktől 1 m-re van az F-fel jelölt fa. Ha törzsétől számított 3 m-es sugarú körön belül mélyen leásunk, a fa károsodásának valószínűsége 0,3. Mi a valószínűsége annak, hogy a fa megmenekül? Megoldás: Az eddigi feladatok megoldásakor segített, ha a kedvező esetek számát osztottuk az öszszes eset számával, de itt ez megoldhatatlan feladat elé állítana minket. Még ha vonal-

38


TANULÓK KÖNYVE

szerűnek tekintjük is a vezetéket, akkor is bármely rövid szakaszán végtelen sok pont van. Ennek alapján azt kapnánk, hogy annak valószínűsége, hogy a vezeték a vízórától mondjuk 2 m-re lyukad ki, 1 (pont) osztva végtelen sok (pont), tehát 0. És ez valóban így is van. Ha a vezeték összes pontja azonos valószínűséggel romlik el, minden egyes pontjának 0 valószínűségű a hibaesélye. Mégis, azt is mondhatjuk, hogy a vezeték minden centiméterén ugyanakkora valószínűséggel keletkezik hiba, mint a szomszédos centimétereken, így a hiba előfordulásának valószínűsége egy 2 cm-es szakasz valamely pontján kétszer akkora, mint ugyanazon szakasz felén, tehát a valószínűség egyenesen

arányos a vizsgált szakasz hosszával. A vízvezetéket a ház oldalával párhuzamosan fektették le. Ha a csap a garázs sarkától 6 m-re van, akkor az utcai kerítéstől mért távolsága 4,8 m + 6 m=10,8 m. Tehát a kaputól az első sarokig 10,8 m vezeték van, ebből levonva a vízóra–kapu távolságot, 9, 8 m-t kapunk. A rá merőleges vezeték hosszát megkapjuk, ha a kert szélességéből (20 m) levonjuk a garázs szélességét (3 m), valamint a vízvezeték–kerítés távolságot (1 m − 0,5 m = 0,5 m). Tehát a vízvezeték teljes hossza a vízóra és a csap között 9,8 m + 20 m − (3 m + 0,5 m) = 26,3 m. a) Feltételezve, hogy a törés a vezeték minden pontján azonos valószínűséggel fordul elő, a megtalálás valószínűsége egyenesen arányos a felbontott szakasz hosszával. 26,3 m-es felbontás esetén a megtalálás valószínűsége 1, tehát ha három napon át naponta 3 m-t ásunk, akkor a hiba megtalálásának valószínűsége

9m ≈ 0,34 . 26,3 m

b) Mivel a terasz csempéit nem szívesen bontanák fel, ezért, ha a vízórától a teraszig nem találták meg a hibát, akkor a keresést a terasz túlsó oldalán folytatják. A kövezetet csak akkor szedik fel, ha a terasz túlsó fele és a csap között sem találták meg a hibát. Annak a valószínűsége, hogy a törés a terasz alatt van: 3m ≈ 0,114 , tehát annak valószínűsége, hogy nem kell felbontani a terasz köveit 26,3 m (komplementer esemény) 1 − 0,114 ≈ 0,886 . c) A fa megmenekülésének valószínűsége két esemény valószínűségének összege lesz: nem ásunk a fa közelében, illetve ott ásunk, de a fa túléli. Ahhoz, hogy erre a kérdésre választ ad-

39


junk, ki kell számítani, hogy a fa „veszélyes” környezetébe a vízvezetéknek milyen hosszúsága kerül. Tudjuk, hogy a fa törzse 1 m-re van a vezetéktől, tehát kérdés, hogy az F középpontú 3 m sugarú körben a kör középpontjától 1m-re milyen hosszú húr van. Pitagorasz-tétellel számolva, a húr hosszának fele

h = 3 2 − 12 = 8 , innen 2

h = 2 8 m ≈ 5,66 m . Tehát annak valószínűsége, hogy nem ásunk a fa közelében

26 ,3 − 5,657 ≈ 0 ,785. 26 ,3

Annak a valószínűsége, hogy a fa közelében is kell ásni, 1 − 0,785 ≈ 0,215 , de a fa megmenekülésének még itt is van 0,7 esélye, tehát itt a valószínűség: 0,7 ⋅ 0,215 = 0 ,151 . Összegezve, 0,785 + 0,151 = 0,936 az esélye annak, hogy a fa túléli a hibakeresést.

Mintapélda20 A fürdőszoba padlóját fekete-fehér kőlapok borítják. Egy-egy kis négyzet oldala 8 cm. Ha elejtünk rajta egy 16 mm átmérőjű fekete gombot, gyakran nem találjuk meg, mert „rejtőszíne” van. Ha úgy esik le a gomb, hogy teljes terjedelmével fekete négyzetre esik, szinte képtelenség meglátni. a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha leejtjük a gombot, az „láthatatlanná” válik? b) Hogyan változik ez a valószínűség, ha a négyzetlapok éle nagyobb: pl. 10 cm? c) Hogyan változik ez a valószínűség, ha a lap ugyan 8 cm oldalhosszúságú négyzet, de a gomb átmérője 10 mm? Megoldás: a) Nézzük meg, hogy hol van a kör alakú gomb középpontja, ha nem látjuk?

A jobb oldali ábra szerint a gomb középpontjának a fekete négyzeten belül egy kisebb (az ábrán satírozott) négyzetbe kell esnie, hogy a gomb ne „lógjon ki” a fekete kockakőből. A satírozott négyzet oldala 80 mm − 2 ⋅ 8 mm = 64 mm . A satírozott terület a fekete

40


TANULÓK KÖNYVE

területhez úgy aránylik, mint 64 2 : 80 2 = 16 : 25 . A keresett valószínűséget megkapjuk, ha kiszámítjuk a – megtalálás szempontjából – kedvezőtlen és az összes terület arányát. Az összes terület fele fekete, a fekete négyzet terület

16 része satírozott, tehát a gomb a teljes 25

8 1 16 = 0,32. ⋅ részére ejtve válik láthatatlanná. Így a keresett valószínűség 25 2 25

b) A satírozott négyzet oldala most 100 mm − 2 ⋅ 8 mm = 84 vmm lesz. A keresett terület2

1 ⎛ 84 ⎞ arány és egyben a valószínűség itt ⋅ ⎜ ⎟ = 0,3528 -ra módosul, tehát nő annak az 2 ⎝ 100 ⎠ esélye, hogy nem találjuk a gombot. c) A satírozott négyzet oldala most 80 mm − 2 ⋅ 5 mm = 70 mm -re változik. A keresett terü2

1 ⎛ 70 ⎞ letarány és egyben valószínűség itt ⋅ ⎜ ⎟ = 0,3828125 -ra módosul, tehát itt is nőtt 2 ⎝ 80 ⎠ annak az esélye, hogy nem találjuk a gombot.

Mintapélda21 Vének nevű község a Szigetköz keleti csúcsában fekszik. A tőle 3 km-re levő Kisbajcs faluból vezetik oda az áramot. Egy nagy vihar a két falu között valahol megrongálta a vezetéket. Mivel a vezetékről a két falu között is vannak leágazások tanyákhoz és mezőgazdasági üzemekhez, ezért nem áramtalanították az egész szakaszt, csak a hiba és Vének község közti részt iktatták ki. A vihar tovább tombolt, és egy újabb helyen is megrongálta a vezetéket a két falu között. Mi a valószínűsége annak, hogy az új hiba további lezárásokat tesz szükségessé, tehát a második szakadás az első hiba és Kisbajcs község közé esik?


41

Megoldás:

Az első hiba Kisbajcstól x km-re történt. Tudjuk, hogy 0 < x < 3 . A második hiba Kisbajcstól mért távolsága legyen y km. y-ra is érvényes az 0 < y < 3 egyenlőtlenség. Ahhoz az eseményhez, hogy a két szakadás Kisbajcstól x és y távolságra történt, rendeljünk hozzá egy P( x; y ) pontot a koordináta-rendszerben, tudva, hogy 0 < x < 3 és 0 < y < 3 feltételeknek fenn kell állniuk. Ezért a P pont csakis a sárgával jelzett 3-szor 3 egység területű négyzetben lehet. Az új hiba akkor tesz szükségessé további lezárásokat, ha a második hiba közelebb van Kisbajcshoz, mint az első, tehát ha y < x . Ez azt jelenti, hogy a P pont második koordinátája kisebb, mint az első. Az ilyen pontok a négyzetünkben a vonalkázott részen vannak. A vonalkázott háromszög területe a négyzet területének fele, tehát a keresett valószínűség 0,5.

Feladatok 36. Az ábra egy 30 cm átmérőjű céltáblát mutat. A két kisebb kör átmérője 10, illetve 20 cm. Mi a valószínűsége annak, hogy ha valaki beletalál a legnagyobb körbe, akkor a lövés a legkisebb körbe kerül?

37. A geoláda-keresés, idegen szóval geocaching (ejtsd: geokesing) egy világszerte elterjedt játék. Játékos kedvű emberek elrejtenek valahol egy ládát, majd a helyszín GPS-szel meghatározott koordinátáit közzéteszik az Interneten. Akinek van GPS-e, és kedveli a kalandokat, megpróbálja megtalálni ezt a ládát, és ha sikerrel jár, pontot

42


TANULÓK KÖNYVE

kap. Aki elég pontot gyűjtött, jogot szerez arra, hogy maga is elrejtsen valahol egy ilyen ládát… Egy éjszakai portyázáson GPS-ünk azt mutatta, hogy ahol állunk, annak 3 méteres körzetében kell lennie a ládának. Gazos, bokros részen jártunk, 1 négyzetméter átfésüléséhez 10 percre is szükségünk volt. Mi a valószínűsége annak, hogy fél órán belül – mielőtt a szúnyogok megesznek – megtaláljuk a ládát?

38. A metrón a reggeli csúcsforgalomban a szerelvények 5 percenként érkeznek: egész órakor, óra 5-kor, és így tovább. A szerelvény ½ percet áll a megállóban. Valaki reggel ½7 és 7 között a megállóhoz megy. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a várakozási ideje ne legyen több 2 percnél?

39. Egy bálterem méreteit az ábra mutatja. A nézők elhelyezkedése véletlenszerű. a) Mi a valószínűsége annak, hogy a színpadot legfeljebb 8 méterről láthassam? b) Mi a valószínűsége annak, hogy a színpadot hegyesszögben láthassuk?

40. A Budapest–Bamako verseny a Párizs–Dakar rallyhoz hasonló 7632 km-es verseny, mely Magyarországról Maliba vezet. A Camp Roi–Bedouin-Dakhla (540 km) szakaszon két versenyző (egy motoros és egy UAZ) is elakadt és segítséget kértek, mely elindult értük Bedouin–Dakhlából. Mi a valószínűsége annak, hogy előbb a motorosra találnak rá?

41. Péter és Panni randit beszélnek meg iskola után egy téren. Mivel mindketten tömegközlekedéssel utaznak, csak azt rögzítik, hogy 5 és 6 között próbálnak odaérni. Mégis, ha Panninak 10 percnél tovább kell várnia Péterre, akkor hangulata a mélypontra zuhan, Péter pedig 15 percnél hosszabb várakozás esetén garantáltan tönkreteszi a virágot. Mekkora a valószínűsége, hogy randijuk tökéletesen sikerül?


43

42. Az egyik kábeltévé társaság akciót hirdetett: Az új előfizető jelenlétében megforgattak egy színes tárcsát, és ha a tárcsa sárga része állt meg a mutatónál, egy havi előfizetése ingyenes volt, ha a piros része állt meg a mutatónál, akkor fél évi előfizetési díját elengedték. Végezd el a szükséges méréseket és állapítsd meg, hogy mekkora esélye volt az előfizetőknek a két kedvezmény valamelyikére!

43. Kirándulásunkon azt terveztük, hogy szállásunkról a zöld jelzésen haladva elmegyünk a tőle 20 km-re fekvő másik turistaházba. Azt a tájékoztatást kaptuk azonban, hogy valahol a két turistaház között az útvonal járhatatlan lett, mert a nagy esőzések miatt vízátfolyás keresztezi az utat. Ezért megváltoztattuk eredeti tervünket, és délelőttre csak egy rövid sétát terveztünk a az eredeti útvonalon, meglátogatva egy 2 km-re fekvő forrást. Mi a valószínűsége annak, hogy tervünket meg tudjuk valósítani, és eljutunk a forrásig?

44


TANULÓK KÖNYVE

VIII. Valószínűség és statisztika Mintapélda22 Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy az anya korának előrehaladtával hogyan változik a Down-kór kockázata a megszületendő csecsemőnél. Anya életkora (év) 25 év alatt 25 26 27 28 29 30 31 32

Downszindróma rizikója 1:1500 1:1350 1:1300 1:1200 1:1100 1:1000 1:910 1:800 1:680

Anya életkora (év) 33 34 35 36 37 38 39 40 41


Anya életkora (év) 42 43 44 45 46 47 48 49 50


Forrás: www.hazipatika.com

Éppen ezért tesztekkel vizsgálják a magzatot, hogy időben megtudják, nem beteg-e. Úgy tűnik azonban, a tesztek is bizonyos hibával működnek: az álpozitív ráta azon esetek arányát mutatja, melyekben a magzat nem beteg, bár a teszt rendellenességet mutat, az is előfordulhat, hogy a magzat beteg és ezt a teszt nem jelzi. Azt, hogy a betegség meglétét hány százalékban mutatja ki, a teszt érzékenységének nevezzük. Az egyes tesztek ilyen jellegű megbízhatóságát mutatja az alábbi táblázat: Az egyes tesztek megbízhatósága Down-szindrómára (nemzetközi adatok): Álpozitív ráta

Érzékenység

Kombinált teszt

1-2 %

95 %

Integrált teszt

1-2 %

90 - 95 %

Négyes teszt

5%

80 %

Forrás: Istenhegyi Géndiagnosztikai Nőgyógyászati és Családtervezési Centrum

Ismert, hogy a magzatok közül minden 700-adik születne meg ezzel a betegséggel. Valakit megvizsgálnak a Négyes teszttel, ami pozitív eredményt mutat. Mi az esélye annak, hogy a magzat valóban beteg?

45


Megoldás: Induljunk ki 10 0000 magzatból! Ha minden 700-adik magzat beteg, ez 100000 : 700 ≈ ≈ 143 beteg magzat. Közülük az érzékenységet figyelembe véve 143 ⋅ 0 ,8 ≈ 114 kap pozitív eredményt. Az egészséges magzatok száma 100000 − 143 = 99857 . Figyelembe véve az álpozitív rátát, közülük is 99857 ⋅ 0,05 ≈ 4993 -nál a teszt pozitív eredményt, azaz betegséget mutat. Ez azt jelenti, hogy összesen 114 + 4993 = 5107 teszteredmény mutat betegséget, de ezek közül valódi beteg magzat csak 114 van. Tehát a pozitív teszt esetén a betegség valószínűsége

114 ≈ 0,022 , azaz alig több, mint 2%. 5107

Mintapélda23 Egy üzletben egy csizmából a következő méreteket rendelték: Méret

40

41

42

43

44

45

46

darab

5

10

10

30

40

50

10

a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha egy kutya felkap egy darabot a polc előtt lerakott halomból, pontosan a módusznak megfelelő darabot választja? b) Mi a valószínűsége, hogy a mediánnak megfelelő darabbal fut el? Megoldás: Először állapítsuk meg, mi lesz ennek az adatsokaságnak a módusza, azaz a leggyakrabban előforduló eleme! 45-ös cipőből van a legtöbb, így annak valószínűségét kell kiszámítanunk, hogy a kutya egy 45-ös cipőt választ. p =

50 10 = ≈ 0 ,32 . 155 31

Az adatsokaság mediánját akkor kapjuk meg, ha nagyság szerint sorbaállított 155 cipőből kiválasztjuk a 78-adikat. 5 + 10 + 10 + 30 < 78 < 5 + 10 + 10 + 30 + 40, tehát a mediánnak megfelelő méret a 44-es. Annak valószínűsége, hogy a kutya egy 44-es cipővel szalad el p =

40 8 = ≈ 0 ,26 . 155 31

46


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda24 Az ábrán látható korfa a magyar népesség eloszlását mutatja 1999-ben. Kék színnel a férfiakat, pirossal pedig a nőket jelöltük. a) Állapítsuk meg annak valószínűségét, hogy 1999-ben egy véletlenszerűen kiválasztott ember nő volt. (A népesség Magyarországon ebben az évben 10091800 fő, a nők száma kb. 5247700 volt). b) Állapítsuk meg annak valószínűségét, hogy abban az évben egy véletlenszerűen kiválasztott ember 15 és 19 éves kor között volt. Megoldás: a) Az első valószínűség

5247700 ≈ 0,52 . 10091800

b) Annak valószínűségéhez, hogy 15 és 19 év közöttit válasszunk, meg kell állapítanunk a számukat: ilyen korú férfi körülbelül 350 000 volt, nő pedig ennél egy kicsit kevesebb, mondjuk 340 000. Tehát a korosztály létszáma 690 000. Annak valószínűsége tehát, hogy 15 és 19 év közöttit választunk,

690000 ≈ 0 ,068 . 10091800

Vizsgáljuk meg annak valószínűségét is, hogy ha valaki 1999-ben találkozott Magyarországon egy nővel, akkor az 15 és 19 év közötti volt! Azt kell megállapítanunk, hogy a nők hányad része esik ebbe a korba:

340000 ≈ 0 ,065 . 5247700

Állapítsuk meg azt is, mi a valószínűsége annak, hogy valaki egy 15 és 19 év közötti nővel találkozott! Van-e egyáltalán különbség az előbbi kérdéshez képest? Hát persze, hiszen itt a teljes lakosságból kell vizsgálni az ilyen idős nők arányát. A keresett valószínűség tehát 340000 ≈ 0 ,034 . 10091800 Állapítsuk meg, milyen összefüggés van a négy adat között!

47


Legyen az A esemény, hogy 15 és 19 éves kor közöttivel találkozunk; a B esemény, hogy nővel találkozunk; az AB esemény, hogy ilyen fiatal nővel találkozunk;

P ( A) ≈ 0,068 ; P (B ) ≈ 0,52 ; P ( AB ) ≈ 0,034

az A B esemény, hogy ha nővel találkozunk, az 15 és 19 év közötti P ( A B ) ≈ 0,065 . Észrevehető – és szemléletünkből is következik –, hogy

P(A B ) =

P( AB ) . P (B )

Mit jelent vajon P (B A) ? Annak valószínűségét, hogy ha 15 és 19 éves közötti emberrel találkozunk, az nő lesz. Ellenőrizzük ezen képletünket! Az ismert adatokkal P (B A) =

340000 ≈ 0,49 , képletünket használva pedig 690000

340000 P( AB ) 10091800 340000 . P(B A) = = = 690000 690000 P ( A) 10091800

A P(A | B) kifejezést feltételes valószínűségnek nevezzük. Azt mutatja meg, hogy milyen valószínűséggel teljesül az A esemény, ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezett.

Feladatok 44. A Budapesti Nemzetközi Vásár forgatagában a látogatók 70%-a tért be a C pavilonba, és ott minden 8. ember alávetette magát egy speciális hátmasszázsnak. Mi a valószínűsége annak, hogy a látogatók közül egy embert megkérdező riporter olyannal találkozik, aki részesült a masszázsban?

48


TANULÓK KÖNYVE

45. Az alábbi táblázat 2003-ban készült, és előre jelezte az ország demográfiai helyzetét 2007re. Országos népesség-előreszámítás, 2001–2050 Alapváltozat

2007. I. 1. Ennyi nő jut

Korcsoport (jan. 1.)

Férfi

Nő

Együtt

1000 férfira

0-4

251 072

236 487

487 559

942

5-9

247 836

235 404

483 240

950

10-14

288 714

275 185

563 899

953

15-19

318 410

304 594

623 004

957

20-24

335 329

325 043

660 372

969

25-29

400 925

383 821

784 746

957

30-34

417 178

403 554

820 732

967

35-39

360 759

352 731

713 490

978

40-44

300 417

303 651

604 068

1 011

45-49

317 902

336 665

654 567

1 059

50-54

381 327

420 153

801 480

1 102

55-59

317 794

369 823

687 617

1 164

60-64

250 241

315 980

566 221

1 263

65-69

199 514

287 918

487 432

1 443

70-74

158 526

256 798

415 324

1 620

75-79

120 504

219 786

340 290

1 824

80-84

71 764

158 019

229 783

2 202

85-89

27 441

68 393

95 834

2 492

90-94

7 889

21 733

29 622

2 755

95+

2 337

6 412

8 749

2 744

4 775 879

5 282 150

10 058 029

1 106

Összesen

Forrás: KSH Népességtudományi Kutató Intézet Előreszámítási adatbázis, 2003.

Fogadjuk el, hogy ez most az ország valós helyzetét mutatja. a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha nővel találkozol, az fiatalabb lesz 20 évesnél? b) Mi a valószínűsége annak, hogy ha 20 évesnél fiatalabbal találkozol, az nő lesz? c) Mi a valószínűsége annak, hogy ha 10 ember véletlenszerűen összejön, közülük pontosan 7 lesz 30 éven aluli?

49


46. Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy 470 totó eredményei hogy alakultak 1998-tól 2006 végéig. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

+1 összesen

1-es

194 210 212 227 230 205 226 206 228 190 214 201 199 176

2918

2-es

143 142 135 120 120 121 121 133 122 142 119 130 134 163

1845

x

133 118 123 123 120 144 123 131 120 138 137 139 137 131

1817

a) Mi a relatív gyakorisága annak, hogy egy mérkőzés kimenetele x (döntetlen) legyen? b) Mi a relatív gyakorisága annak, hogy egy mérkőzés kimenetele 1 legyen, vagyis a hazai csapat nyerjen? Hányszor akkora ez a gyakoriság, mint az x-es mérkőzéseké? c) Ha valaki minden mérkőzésre x-et tippel, milyen valószínűséggel találja el a végeredményt? d) És ha minden mérkőzésre a tippje 1-es? Hányszor akkora ez a valószínűség, mint az előző végeredmény?

50


TANULÓK KÖNYVE

Vegyes feladatok 47. Az áruházban 10 doboz 1 literes gyümölcslevet akarunk vásárolni, esetleg különbözőket. Négyfélét lehet vásárolni: alma-, narancs-, őszibarack- és szőlőlé van a polcokon. Hányféleképpen választhatunk?

48. A dodekaéder alakú „dobókockán” a számok 1-től 12-ig szerepelnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk? c) Ha két ilyen dodekaéderrel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege prím lesz? d) Ha két ilyen testtel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok öszszege páros lesz?

49. Az ikozaéder alakú dobókockán a számok 1-től 20-ig szerepelnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk?

50. Egy szerelmes programozó Valentin napjára megváltoztatta a játék programját úgy, hogy a szív előfordulási esélye minden oszlopban kétszer akkora legyen, mint a holdé vagy a mosolygó arcé. Hogyan változtat ez a nyerési esélyeken?

51. Egy történelemversenyen minden feladatban 4-4 eseményt kell időrendi sorrendbe állítani. Az kap 1 pontot, aki az 1. eseményt eltalálja, 2 pontot, aki az első 2 eseményt eltalálja, 3 pontot, aki az első három, 4 pontot, aki mind a 4 eseményt helyes sorrendbe rakja. a) Mi a valószínűsége annak, hogy valaki tippelgetéssel 0, 1, 2, 3, illetve 4 pontot szerezzen? b) A versenyben olyan feladatsort állítottak össze, amelyikben a fenti feladattípusból 5 szerepel. Mi a valószínűsége annak, hogy valaki történelmi ismeretek nélkül 18 pontot szerezzen?


51

52. Mi a valószínűsége annak, hogy Marci legalább kettesre megírja a témazárót, azaz a 12 tesztkérdésből legalább 4-re helyesen válaszolt az A, B és C lehetőségek közül?

53. Elhatározzuk, hogy a ruletten kétszer egymás után a feketére teszünk. Az első játékot 1 zsetonnal játsszuk. Azt is elhatározzuk, hogy ha első pörgetésnél nyerünk, a második pörgetéskor már a nyereséget is feltesszük, tehát 2 zsetonnal fogadunk, ha pedig veszítünk, akkor ismét 1 zsetonnal játszunk. Számítsd ki, mekkora a nyereség várható értéke?

54. Az ábra egy 30 cm átmérőjű céltáblát mutat. A két kisebb kör átmérője 10, illetve 20 cm. Tudjuk, hogy a céltáblára lövők 95%-a eltalálja a legnagyobb kört. Azt is tudjuk, hogy azok közül, akik eltalálják a legnagyobb kört, 80% eltalálja a legkisebbet is. Mi a valószínűsége annak, hogy valaki beletalál a legkisebb körbe?

52


TANULÓK KÖNYVE

Kislexikon Permutáció: n különböző elem egyik lehetséges sorrendje. n elem összes permutációinak száma: n ! , ahol n != n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 .

Ismétléses permutáció: n elem egyik lehetséges sorrendje, ha az n elem nem mind különböző, hanem van köztük k1, k2, … , km azonos (k1 + k 2 + ... + k m ≤ n ) . Ezek száma:

n! . k!1 ⋅k 2 !⋅... ⋅ k m !

Ciklikus permutáció: n különböző elemet úgy rendezünk sorba, hogy nincs első és utolsó elem. Két permutáció akkor számít különbözőnek, ha van olyan tagja a permutációnak, melynek jobb vagy bal oldali szomszédja nem azonos. n elem ciklikus permutációinak száma (n − 1)!

Kombináció: n különböző elemből k darabot kell kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít (k ≤ n). A lehetséges kiválasztások száma lummal is jelölünk:

n! , melyet egy szimbók !⋅ (n − k )!

⎛n⎞ n! = ⎜⎜ ⎟⎟ (olvasd: n alatt a k). k ! ⋅ (n − k )! ⎝ k ⎠

Ismétléses kombináció: (Kiegészítő anyag) n különböző fajta dologból k darabot kell kiválasztani úgy, hogy a sorrend nem számít, és egyfajta elemet többször is kiválaszthatunk. Az ⎛ n + k − 1⎞ ⎟⎟ . ismétléses kombinációk száma: ⎜⎜ ⎝ k ⎠

Variáció: n különböző elemből k darabot akarunk kiválasztani ( k ≤ n ), de a kiválasztás sorrendje is számít. A variációk száma:

⎛n⎞ n! = ⎜⎜ ⎟⎟ · k!. (n − k )! ⎝ k ⎠

Ismétléses variáció: n különböző elemből k darabot akarunk kiválasztani, majd ezeket sorba rendezni, de egy elemet akár többször is választhatunk. Az ismétléses variációk száma: n k .

53


Esemény: a valószínűségszámításban a kísérletek egy lehetséges kimenetele. Elemi események: melyek nem bonthatók további esetekre. Valószínűség: Egy A esemény valószínűsége az a szám, amely körül az esemény relatív gyakorisága ingadozik. Jelölése: P(A). Ha az elemi események valószínűsége egyenlő és teljes eseményteret (eseményrendszert) alkotnak, használhatjuk Laplace képletét a klasszikus valószínűség kiszámítására: P( A) =

kedvező esetek száma összes eset száma

A+B esemény: az az esemény, amely akkor teljesül, ha az A vagy a B esemény közül legalább

az egyik teljesül. A·B esemény: az az esemény, amely akkor teljesül, ha mind az A, mind a B esemény teljesül.

Az A + B esemény valószínűsége: a két esemény valószínűségének összegéből levonjuk az

együttes bekövetkezés valószínűségét, azaz P( A + B ) = P( A) + P(B ) − P( A ⋅ B ) .

Teljes eseményrendszer: Adott kísérlet kimeneteleit vizsgálva az A1 , A2 , ...Ak események

teljes eseményrendszert alkotnak, ha közülük két esemény egyszerre soha nem következhet be, vagyis a két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége 0, és nincs a kísérletnek olyan kimenetele, amely nem tartozik valamely eseményhez. A teljes eseményrendszer eseményeihez tartozó valószínűségeket összeadva 1-et kapunk.

Röviden jelölve: P (Ai ⋅ A j ) = 0 , ha Ai és A j tagjai az eseményrendszernek, és P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak ) = 1 .

Várható érték: Legyen egy kísérlet összes lehetséges kimenetele az A1 , A2 , ..., An esemény (teljes eseményrendszer). Ha az Ai esemény bekövetkezésének valószínűsége pi, akkor a kísérlet várható értéke a pi · Ai szorzatok összege: E ( A) = p1 ⋅ A1 + p 2 ⋅ A2 + ... + p n ⋅ An

54


TANULÓK KÖNYVE

Binomiális eloszlás: Ha egy esemény bekövetkeztének valószínűsége p, akkor annak valószínűsége, hogy n független kísérletből ez az esemény pontosan k-szor következik be: ⎛n⎞ k ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p ⋅ (1 − p )n −k . ⎝k ⎠ Feltételes valószínűség: (Kiegészítő anyag) Azt mutatja meg, hogy milyen valószínűséggel teljesül az A esemény, ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezett. Jelölése: P( A B ) . .

2. MODUL hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Készítették: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes

56


TANULÓK KÖNYVE

I. A hatványozásról tanultak ismétlése Az előző évek során megismerkedtünk a valós számok egész kitevőjű hatványaival, valamint a hatványozás azonosságaival, illetve a négyzetgyökvonással és a négyzetgyökös azonosságokkal. Ezeket az ismereteinket szeretnénk kibővíteni, de előbb ismételjük át a tanultakat. Hatványozás egész kitevőre

a n = a1 ⋅2 K4 ⋅ a , ahol a ∈ R, n > 1, n ∈ N 4 3 n darab tényező

a = a , ha a ∈ R . a 0 = 1 , ha a ≠ 0, a ∈ R . ( 0 0 -t nem értelmezzük) 1 a −n = n , ha a ≠ 0, a ∈ R, n ∈ N + a 1

A hatványozás azonosságai A hatványozás definíciójában felsorolt feltételek esetén: 1. a n ⋅ a m = a n + m an 2. m = a n − m a≠0 a n 3. (a ⋅ b ) = a n ⋅ b n n

an ⎛a⎞ 4. ⎜ ⎟ = n b ⎝b⎠

( )

5. a n

m

b≠0

= a n⋅m

Mintapélda1 Számítsuk ki a

28 −4 ⋅ 6 4 ⋅ 10 −4 kifejezés pontos értékét! 35 − 4 ⋅ 81 ⋅ 4 − 2

Megoldás: Az alapokat írjuk fel prímszámok szorzataként, és alkalmazzuk a hatványozás azonosságait:

(2 ⋅ 7 ) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 5) (5 ⋅ 7 ) ⋅ 3 ⋅ (2 ) 2

−4

4

−4

4

2 −2

−4

2 −8 ⋅ 7 −4 ⋅ 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 2 −4 ⋅ 5 −4 1 1 = = 2 −4 = 4 = 4 −4 −4 −4 16 2 5 ⋅7 ⋅3 ⋅2

57

2. modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY

Mintapélda2 Az a-nak hányadik hatványa az

( ) (a ) a (a )

a −6 a7 9

4

−2 5

3 −4

kifejezés?

Megoldás: Bontsuk fel a zárójeleket, és alkalmazzuk a hatványozás azonosságait, ha a ≠ 0 : a −6 ⋅ a 28 ⋅ a −10 a 12 = −3 = a 15 . Tehát a kifejezés a-nak 15. hatványa. 9 −12 a ⋅a a

Feladatok 1. Melyik szám a nagyobb?

a) 7 ⋅ 7 vagy (7 4

3

c) 2 ⋅ 3 10

10

)

119 b) 5 vagy 11⋅ 113 11

2 4

vagy 6 ⋅ 6 5

72 6 5410 d) 9 vagy 15 5 12 9 ⋅2

6

25 3 ⋅ 14 −4 ⋅ 28 3 12 −3 ⋅ 36 5 vagy f) 70 3 ⋅ 35 − 4 48 2 ⋅ 72 −1

28 2 ⋅ 36 2 ⋅ 63 212 ⋅ 30 2 ⋅ 6 3 e) vagy 4 2 ⋅ 6 3 ⋅ 54 90 2 ⋅ 36

2. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!

(a ) ⋅ (a ) (a ) ⋅ (a ) (a b ) d) (a ) ⋅ (a b ) 3 4

a)

(b ) ⋅ b (b ) ⋅ (b ) (ab ) ⋅ (b a ) e) (a b ) ⋅ (b a ) −2 −3

7 2

5 2

b)

3 8

4

3 5

2 3

3

− 2 −5

5 2

7

c)

− 5 −3

−2 3

3 −2

3

6

(c ) ⋅ (c ) ⋅ c (c ) ⋅ (c ) 4 −3

−12

−2 −4

3

20

−5 − 2

−3 6

⎛ 3a ⎞ f) ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠

−4 −2

2 −7

⎛ ba 2 ⋅ ⎜⎜ ⎝ 3

2

⎞ ⎛ a7 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎠ ⎝ b

⎞ ⎟⎟ ⎠

3. Rakd növekvő sorrendbe a következő számokat! 1

⎛3⎞ ⎜ ⎟; ⎝2⎠

3

0

−2

2

2

−1

⎛1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎛3⎞ ⎛ 5⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ; ⎜− ⎟ ; ⎜ ⎟ ; − ⎜ ⎟ ; ⎜− ⎟ ; ⎜ ⎟ . ⎝4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝3⎠

(− 0,5)3 ;

4. Írd fel a következő kifejezéseket törtmentes alakban!

1 1 ; ; 3 9

1 1 ; ; 27 64

2 3 ; ; 25 16

1 5 ; ; 2 a b6

1 ; a b4 3

1 4 ; ; −3 a b −5

5. Írd fel a következő kifejezéseket negatív kitevő használata nélkül! −2

−1

3a −4 ⎛1⎞ ⎛ 3⎞ . 2 ; 3 ; ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ; 3a −3 ; 4b − 2 ; 7 a − 2 b −5 ; 4b −3 ⎝4⎠ ⎝5⎠ −2

−1

1 . a b3 −2

−1

58


TANULÓK KÖNYVE

II. A négyzetgyökről tanultak ismétlése A négyzetgyök Ha a ≥ 0, akkor

a jelöli azt a nemnegatív számot, amelynek a négyzete a.

A négyzetgyökre vonatkozó azonosságok 1.

a ⋅b = a ⋅ b

2.

a = b

3.

ak =

a b

a ≥ 0, b ≥ 0

a ≥ 0, b > 0

( a)

k

a > 0, k ∈ Z

Mintapélda3 Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét! 2 ⋅ 18

a)

d)

(

72

b)

)

(

3 − 192 ⋅ 3

c) 10 − 51 ⋅ 10 + 51

2

e) 3 7 − 2 5

)

2

f) 3 ⋅ 20 + 45 − 80

Megoldás: a) Alkalmazzuk a négyzetgyökre vonatkozó 1. azonosságot:

2 ⋅ 18 = 36 = 6

72 = 36 = 6 2

b)

c) Alkalmazzuk a négyzetgyökre vonatkozó 1. azonosságot, majd alkalmazzuk az összeg és a különbség szorzatára vonatkozó nevezetes azonosságot:

(10 −

10 − 51 ⋅ 10 + 51 =

)(

)

51 10 + 51 = 10 2 −

( 51)

2

=

= 100 − 51 = 49 = 7 d) Felbontjuk a zárójelet:

3 ⋅ 3 − 192 ⋅ 3 = 9 − 576 = 9 − 24 = −15

e) Alkalmazzuk a kéttagú különbség négyzetére vonatkozó azonosságot:

(3

7 −2 5

) = (3 7 ) 2

2

( )

− 2⋅3 7 ⋅2 5 + 2 5

2

= 9 ⋅ 7 − 12 7 5 + 4 ⋅ 5 =

= 63 − 12 35 + 20 = 83 − 12 35 f) Emeljünk ki a gyökjel alól: 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 9 ⋅ 5 − 16 ⋅ 5 = 3 ⋅ 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 − 4 5 = 5 5

59


Feladatok 6. Végezd el a következő műveleteket!

a) 12 ⋅ 3

b) 18 ⋅ 8

c)

( 2) f)

g)

3

e)

3 ⋅ 3 3

2

98 2

(

)

5 + 125 ⋅ 5

3 ⋅ 15 vagy

c)

2 ⋅

92

b)

2

( 3) 7 vagy

5 ⋅ 90 2

2⋅

h)

7. Melyik szám a nagyobb?

a)

75 3

d)

3⋅

vagy

(

96 − 24 3

(

60 + 135 5

3

3

6

⋅ 12

8. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!

74 − 7 ⋅

a)

74 + 7

37 − 21 ⋅

b)

37 + 21


a)

(

3 + 27

)

2

b)

c) ⎛⎜ 8 + 15 + 8 − 15 ⎞⎟ ⎝ ⎠

2

(

3 − 2 12

)

2

d) ⎛⎜ 7 − 33 − 7 + 33 ⎞⎟ ⎝ ⎠

2

10. Végezd el a következő műveleteket!

a) 128 − 98 + 50 − 18 + 8 c)

b) 147 + 108 − 75 + 27 − 12

25a − 16a + 36a − 9a

d)

49b − 25b + 64b − 9b


a) 5 3 vagy 6 2

b) 3 5 vagy 4 3

12. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét!

a)

3 5

b)

6 5 2

c)

5 3 −1

d)

7 3− 2

e)

7+ 2 7− 2

)

)

60


TANULÓK KÖNYVE

III. Az n-edik gyök Mintapélda4 Egy kocka térfogata 125 cm 3 . Mekkora a kocka élének a hossza?

Megoldás: Mivel a kocka térfogata: V = a 3 , ezért 125 = a 3 . Azt a számot keressük, amelynek a harmadik hatványa 125. Ez a szám az 5, mert 5 3 = 125 . Az a valós szám köbgyöke az a valós szám, amelynek harmadik hatványa a:

( a) 3

3

=a

Például 3 125 = 5 , mert 53 = 125 .

Mintapélda5 Két kocka térfogatának különbsége 504 cm3, élhosszuk különbsége 6 cm. Számítsuk ki a térfogatuk arányát! Mekkora a hasonlóság aránya?

Megoldás: Jelöljük a kisebbik kocka élének hosszát a-val, ekkor a térfogata: V1 = a 3 . A nagyobbik kocka élének hossza ekkor a + 6 , térfogata: V2 = (a + 6 ) . 3

Különbségük: V2 − V1 = 504 ⇒

(a + 6 )3 − a 3 = 504 .

Felhasználva a (a + b ) = a 3 + 3 ⋅ a 2 b + 3 ⋅ ab 2 + b 3 nevezetes azonosságot: 3

a 3 + 18 ⋅ a 2 + 108 ⋅ a + 216 − a 3 = 504 .

A rendezés után egy másodfokú egyenletet kapunk: a 2 + 6 ⋅ a − 16 = 0 . A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva:

a1, 2 =

− 6 ± 36 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 16) ⇒ a1 = 2 a 2 = −8 . 2 ⋅1

Egy kocka élhossza csak pozitív szám lehet, ezért a = 2 . Ebből V1 = 2 3 = 8 , V2 = (2 + 6 ) = 8 3 = 512 3

Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő:

V1 8 1 = = = λ3 V2 512 64

3

⇒ λ=

A kockák térfogatainak aránya

3

1 1 1 ⎛1⎞ = , mert ⎜ ⎟ = . 64 4 64 ⎝4⎠

1 1 , a hasonlóság aránya . 64 4

61


Az előzőek alapján definiáljuk a gyököt általános formában is, de meg kell különböztetnünk a páros és páratlan eseteket. Páros gyökkitevő esetén a definíció hasonló lesz a négyzetgyök, páratlan gyökkitevő esetén a köbgyök definíciójához. Az n-edik gyök definíciója Páros pozitív egész n-re az a nemnegatív valós szám n-edik gyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a. Például:

4

81 = 3 , mert 3 4 = 81 ;

64 = 2 , mert 2 6 = 64 .

6

Páratlan, 1-nél nagyobb egész n-re az a valós szám n-edik gyöke az a valós szám, amelynek az n-edik hatványa a.

27 = 3 , mert 33 = 27 ;

3

Például:

5

Jelölés: az a szám n-edik gyöke:

Megjegyzés: n = 1 -re az

n

− 32 = −2 , mert (− 2) = −32 . 5

n

a.

a -t nem értelmezzük.

Az n-edik gyökre vonatkozó azonosságok A definíció által megengedett értékekre (n > 1, n ∈ N) 1.

n

a ⋅ b = n a ⋅ n b , ha n = 2p, akkor a ≥ 0, b ≥ 0 (p ∈ N+)

2.

n

a = b

3.

n

4.

n m

5.

n

n

a

n

b

ak =

b≠0

,

( a) n

k

a = n⋅ m a

a m = n⋅k a m⋅k , m, k ∈ Z\{0; 1}, n ∈ N\{0; 1}

62


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 13. Számítsd ki a következő kifejezések értékét!

a)

4

625

b)

e)

6

− 64

f)

i)

7

− 128

j)

5

m)

− 81

c)

8

256

d)

6

729

3

−8

g)

3

− 125

h)

5

− 100000

9

−1

k) 3 125

4

n) 11 1

32

o)

3

l)

1 8

p)

3

4

64 1 16

14. Számítsd ki a következő kifejezések értékét!

a)

4

(− 3)4

b)

6

76

b)

3

(− 3)3

d)

5

75

e)

4

a4

f)

6

a6

g)

3

a3

h)

5

a5

b)

3

1 vagy 4 16 −1 125


a)

5

32 vagy

3

27

16. Keresd meg a párját!

a)

5

b)

4

c)

4

d)

6

2 ⋅ 5 16

A)

3 ⋅ 4 27

B)

8 ⋅ 4 32

C)

4 ⋅ 6 16

D)

4

162 4

5

96

5 4

3 80

4 3

2

5 192

3

3


a)

3

8 − 37 ⋅ 3 8 + 37

b)

4

27 − 11 ⋅ 4

27 + 11

63


18. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! 3

a)

a3 ⋅ 3 a7 3

5

c)

4 5

(a ≠ 0)

a5

b 2 ⋅ 4 b3 b ⋅ 4

5 4

b

3

(b > 0)

(a )⋅ b) 4

3

3

3

d) 3

b

2

3

a − 2 ⋅ 3 a −5

a −1 ⋅ 3 a −7

b ⋅ 4 b 2 ⋅ b −3 −2

⋅

4 3

b ⋅ b 4

3

(a ≠ 0)

(b > 0)

64


TANULÓK KÖNYVE

IV. Hatványfüggvények, gyökfüggvények A hatványfüggvény és az n-edik gyökfüggvény ábrázolása

Mintapélda6 Ábrázoljuk és jellemezzük az m(x) = x0 és az n(x) = x1 függvényeket! Értelmezési tartományuk a valós számok halmaza. Megoldás:

Jellemzés: m(x) = x0 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás

R {1} nincs konstans függvény

5. szélsőérték

minden helyen minimuma és maximuma van, melynek értéke 1. páros

6. paritás

n(x) = x1 R R x=0 a teljes értelmezési tartományon szigorúan monoton növő nincs

páratlan

Mintapélda7 Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett f(x) = x2 és g(x) = x4 függvényeket! Megoldás: Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot. Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi tulajdonságok: 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás

R R+∪{0} x=0 x ≤ 0: szig. mon. csökk. x ≥ 0: szig. mon. növő abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 páros

65


Mintapélda8 Készítsük el a valós számok halmazán értelmezett h(x) = x3 és k(x) = x5 függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! Megoldás: Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot. Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi tulajdonságok 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás

R R x=0 a teljes értelmezési tartományon szigorúan monoton növő nincs páratlan

Mintapélda9 Ábrázoljuk és jellemezzük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett a(x) = b(x) =

4

x függvényeket!

Megoldás: Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot.

Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi tulajdonságok 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás

R+∪{0} R+∪{0} x=0 szigorúan monoton növő abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 nem páros, nem páratlan

x és

66


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda10 Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett c(x) =

3

x és d(x) =

5

x

függvényeket! Megoldás: Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot. Jellemzés: 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás

R R x=0 szigorúan monoton növő nincs páratlan

Feladatok 19. Válaszolj az alábbi kérdésekre! (Az 1 – 8. kérdések az f(x) = x2, a g(x) = x4, a h(x) = x3

és a k(x) = x5 függvényekre vonatkoznak.) 1. Milyen összefüggést veszel észre az értékkészlet és az x kitevője között? 2. Milyen összefüggést veszel észre ezen kitevő és a függvény paritása között? 3. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páros kitevőjű hatványfüggvény grafikonja áthalad? 4. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páratlan kitevőjű hatványfüggvény grafikonja áthalad? 5. E pontok segítségével mit tudsz mondani az f(x) = x2 és a g(x) = x4 függvények grafikonjának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt? 6. E pontok segítségével mit tudsz mondani az h(x) = x3 és a k(x) = x5 függvények grafikonjának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt? 7. Elmondható-e a páratlan függvényekről, hogy minden x helyhez pontosan egy függvényérték tartozik és fordítva, minden függvényértékhez pontosan egy x hely tartozik, vagyis a függvény kölcsönösen egyértelmű? 8. Elmondható-e ez a páros függvényekről is? Ha nem, tudsz-e az értelmezési tartománynak olyan részhalmazát mondani, amelyre teljesül?

67


Most vizsgáljuk az a(x) =

x , a b(x) =

4

x , a c(x) =

3

x és a d(x) =

5

x függvényeket!

9. Milyen összefüggést veszel észre az értékkészlet és a gyökkitevő között? 10. Milyen összefüggést veszel észre a gyökkitevő és a függvény paritása között? 11. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páros gyökkitevőjű függvény grafikonja áthalad? 12. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páratlan gyökkitevőjű függvény grafikonja áthalad? 13. E pontok segítségével mit tudsz mondani az a(x) =

x és a b(x) =

4

x függvények

grafikonjának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt? 14. E pontok segítségével mit tudsz mondani a c(x) =

3

x és a d(x) =

5

x függvények

grafikonjának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt? 15. Kölcsönösen egyértelműek-e ezek a függvények?

Definíciók: Minden valós számhoz egyértelműen hozzárendelhetjük annak n-edik hatványát, ahol n ∈ N+. Az f (x) = xn, n ∈ N+ hozzárendelési utasítással kapott függvényeket hatványfüggvényeknek nevezzük.

Ha n > 1 és páratlan, akkor minden valós számhoz hozzá tudjuk rendelni annak n-edik gyökét. Ha n páros, akkor minden nemnegatív valós számhoz tudjuk egyértelműen hozzárendelni annak n-edik gyökét. A g (x) = n x , n ∈ N \ {0,1} hozzárendelési utasítással kapott függvényeket gyökfüggvényeknek nevezzük.

Egy függvény invertálható, ha kölcsönösen egyértelmű.

68


TANULÓK KÖNYVE

20. Számítsd ki a függvények értékét a megadott helyeken! 3 a) f (x) = (x+2)4 x ∈ {–3,5; –2; – ; 0; 0,5; 1} 2 3 x ∈ {–2; – ; 0; 0,5; 3} b) g(x) = –x3–1 2 101 c) h(x)= 3 x − 3 x ∈ {–61; – ; 2; 3,125; 3} 8 1 x ∈ {–81; –1; 0; ; 2,0736; 625} d) k(x) = 2 4 x 16 21. Állapítsd meg, hogy az adott pontok mely függvények grafikonján találhatók! Egy

pont több függvény grafikonján is rajta lehet, illetve találhatsz olyan pontot is, amelyik egyik függvény hozzárendelési utasításának sem felel meg. Pontok: A(–1; 1)

B(1; –1)

G(7; 16807)

1 ⎞ ⎛ H ⎜ 5; ⎟ ⎝ 125 ⎠

L(–0,3; 0,000729) ⎛ 125 5 ⎞ P⎜ − ;− ⎟ ⎝ 512 8 ⎠

C(–1; –1)

D(–8; –2)

I(0,027; 0,3)

M(0,6; –0,07776) ⎛ 1 1⎞ Q⎜ ; ⎟ ⎝ 16 2 ⎠

⎛ 7 63 ⎞ R⎜ ; ⎟ ⎝ 4 343 ⎠

E(256; 4)

F(–2; –32)

J(–0,3; − 37,0& 37& )

K(–0,4; 6,25)

125 ⎞ ⎛ N ⎜ − 1,2; − ⎟ 216 ⎠ ⎝ ⎛1 ⎞ S ⎜ ;49 ⎟ ⎝7 ⎠

729 ⎞ ⎛ O⎜1,5; ⎟ 64 ⎠ ⎝ 32 ⎞ ⎛ 2 T⎜− ;− ⎟ ⎝ 3 243 ⎠

Függvények: a(x) =

3

x : ..............................................................................................................................

b(x) =

4

x : ...............................................................................................................................

c(x) = x-3: ................................................................................................................................. d(x) = x-4: ................................................................................................................................. e(x) = x5: .................................................................................................................................. f (x) = x6: ..................................................................................................................................

69


Kapcsolat a hatványfüggvény és a gyökfüggvény között Mintapélda11 Ábrázoljuk és jellemezzük az a(x) = x4 és a b(x) =

4

x függvényeket a legtágabb értelmezési

tartományon! Megoldás:

Jellemzés: a(x) = x4 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely

R R+ ∪ {0} x=0 x ≤ 0: szig. mon. csökk. 4. monotonitás x ≥ 0: szig. mon. növő abszolút minimumhely: x = 0 5. szélsőérték abszolút minimumérték: a (0) = 0 páros 6. paritás 7. invertálha- a megfelelő leszűkítés után invertálhatóság tó: x ∈ R+∪{0} vagy x ∈ R–∪{0}

b(x) =

4

x

+

R ∪{0} R+∪{0} x=0

szigorúan monoton növő abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: b (0) = 0 nem páros, nem páratlan invertálható

Mintapélda12 Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett c(x) = x3 és a d(x) = függvényeket! Megoldás:

3

x

70


TANULÓK KÖNYVE

Jellemzés: c(x) = x3 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás 7. invertálha– tóság

d(x) =

3

x



invertálható

invertálható

Általánosítva: Az eddigiekben a hatvány és a gyökfüggvények kapcsolatát vizsgáltuk. Megállapítottuk, hogy azonos páratlan kitevő esetén egymás inverzei. A gyökfüggvények vizsgálatához figyelembe kell venni, hogy ha a kitevő páros, akkor a gyök csak nem negatív számokra értelmezhető. Ha a kitevő páratlan, akkor tetszőleges valós számnak létezik gyöke. A megfelelő gyökfüggvények grafikonja:

A gyökfüggvények jellemzése: f (x) = 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás 7. invertálha– tóság

+

2k

g (x) =

x

2 k +1

x

R ∪{0} R+∪{0} x=0 szigorúan monoton növő abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 nem páros, nem páratlan

R R x=0 szigorúan monoton növő

invertálható

invertálható

nincs páratlan

71


Mintapélda13 Melyik az a legbővebb számhalmaz, amelyen a következő függvények értelmezhetők? a) a(x) = d) d(x) =

11

x +1

b) b(x) =

x 2 − 2x + 3

e) e(x) =

3

x +1

c) c(x) =

10

x 2 − 2x + 3

1 5

x

Megoldás: a) Mivel a gyökkitevő páros, ezért a gyökjel alatti kifejezés nem lehet negatív. x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ –1, azaz a megoldás a [–1; ∞ [ halmaz. b) Mivel a gyökkitevő páratlan, azért az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. c) Mivel a gyökkitevő páros, ezért a gyökjel alatti kifejezés nem lehet negatív. Oldjuk meg az x2 – 2x – 3 ≥ 0 egyenlőtlenséget! x1,2 =

2 ± 4 + 12 , ebből x1 = 3 és x2 = –1 2

A keresett tartomány: ] –∞; –1] ∪ [ 3; ∞ [ d) Mivel a gyökkitevő páratlan, azért az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. e) Mivel a gyökkitevő páratlan, ezért a gyökjel alatti kifejezés a valós számok halmazán értelmezett. Csak azt kell megvizsgálni, hogy a nevező hol veszi fel a nulla értéket, mert ott nincs értelmezve a tört. 5

x = 0, ebből x = 0, vagyis az e függvény értelmezési tartománya a valós számok hal-

maza, kivéve a 0-át.

Mintapélda14 Ábrázoljuk és jellemezzük az f (x) = – (x + 1)3 – 2 függvényt! Megoldás: Transzformációs lépések: 1. a(x) = x3

alapfüggvény ábrázolása

2. b(x) = (x + 1)3

a grafikonjának eltolása a v(–1; 0) vektorral

3. c(x) = – (x + 1)3

b grafikonjának tükrözése az x tengelyre

4. f (x) = – (x + 1)3 – 2

c grafikonjának eltolása a v(0; –2) vektorral

72


TANULÓK KÖNYVE

Jellemzés: 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás 7. invertálható

R R – (x + 1)3 – 2 = 0, ebből

x = 3 − 2 −1 szigorúan monoton csökkenő nincs nem páros, nem páratlan

Mintapélda15 Ábrázoljuk és jellemezzük az g(x) = 2 4 x − 2 + 1 függvényt! Megoldás: Transzformációs lépések: 1. a(x) =

4

x


2. b(x) =

4

x−2

a grafikonjának eltolása a v(2; 0) vektorral

3. c(x) = 2 x − 2 4

b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén

4. g(x) = 2 x − 2 + 1 c grafikonjának eltolása a v(0; 1) vektorral 4

Jellemzés: 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték

6. paritás 7. invertálható

[ 2; ∞ [ [ 1; ∞ [ nincs szigorúan monoton növő abszolút minimumhely: x=2 abszolút minimumérték: g(2) = 1 nem páros, nem páratlan


Mintapélda16 Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! b) f (x) = 4 32 − 16 x a) e(x) = 2 − 3 x Megoldás: a) Transzformációs lépések: 1. a( x ) = 3 x alapfüggvény ábrázolása 2. b( x ) = −3 x

3. e( x ) = 2 − 3 x

a grafikonjának tükrözése az x tengelyre b grafikonjának eltolása a v(0; 2) vektorral

Jellemzés: 1. É.T. 2. É.K.

R R

3. zérushely

2−3 x =0 23 x = 2 x=8 szigorúan monoton csökkenő nincs nem páros, nem páratlan

4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás 7. invertálható

b) Az ábrázoláshoz végezzük el a következő átalakítást: 4 32 − 16 x = 4 − (16 x − 32 ) = 4 − 16( x − 2 ) = 2 ⋅ 4 − ( x − 2 ) A transzformáció lépései: 1. a(x) =

4

x


2. b(x) =

4

x−2

a grafikonjának eltolása a v(2;0) vektorral

3. c(x) =

4

− ( x − 2)

b grafikonjának tükrözése az x = 2 egyenesre

4. f (x) = 2 4 − ( x − 2) c grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén

Jellemzés: 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás 7. invertálható

] –∞; 2 ] R+ x=2 szigorúan monoton csökkenő abszolút minimumhely: x = 2 abszolút minimumérték: f (2) = 0 nem páros, nem páratlan

73

74


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 22. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény! 4 a) f (x) = 4 x − 2 b) g(x) = 5 5 + x c) h(x) = x +1

d) i(x) = g) l(x) =

3 3

1 x−2 2x − 7

e) j(x) =

5 −2−x

f) k(x) =

2x − 7

23. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény! 4− x 2x + 5 a) a(x) = 6 x − 5 b) b(x) = 8 c) c(x) = 7 2+ x 2− x

d) d(x) = g) g(x) =

4

(x − 3)(2 x + 8)

e) e(x) =

12

36 − x 2

x2 − x − 6

h) h(x) =

6

x2 + 1

f) f (x) =

5

− x2 + 6 x − 8

24. Ábrázold és jellemezd az alábbi hatványfüggvényeket a megadott értelmezési tartományokon! b) g(x) = x3 + 2; x ∈ [–2; 1 [ a) f (x) = x4–1; x ∈ Z x4 c) h(x) = ; x ∈ ] –1,5; 1,5 [ d) i(x) = –2 x3; x ∈ N 4 e) j(x) = ( x – 1)4; x ∈ [ –1; 2] f) k(x) = ( x + 3 )3; x ∈ [ –5; –1] 25. Ábrázold és jellemezd az alábbi gyökfüggvényeket a megfelelő értelmezési tartományokon! b) b(x) = 3 x − 1 c) c(x) = − 4 x d) d(x) = 2 3 x a) a(x) = 4 x + 1 e) e(x) = 3 x − 1 f) f (x) = 4 x + 2 26. Ábrázold és jellemezd az alábbi hatványfüggvényeket a valós számok halmazán! 1 a) f (x) = –x4 + 1 b) g(x) = 2 – x3 c) h(x) = x3 + 3 2 4 4 d) k(x) = 2 x – 4 e) l(x) = ( x – 1 ) + 3 f) m(x) = ( x + 2 )3 – 1 27. Ábrázold és jellemezd az alábbi gyökfüggvényeket a megfelelő értelmezési tartományokon! 1 1 4 b) b(x) = 2 x − 2 a) a(x) = 4 x − 4 c) c(x) = – 3 x + 3 2 2

d) d(x) =

4

3+ x −2

e) e(x) =

3

x − 3 +1

75


V. A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre A hatvány fogalmát az eddig megismert egész kitevőkről tört kitevőkre is szeretnénk kiterjeszteni úgy, hogy az ismert azonosságaink továbbra is érvényben maradjanak. Az ilyen jellegű követelményt a matematikában permanencia-elvnek nevezzük.

Mintapélda17 Egy sejttenyészet óránként duplázódik meg. Kezdetben 1 sejtünk van. Mennyi lesz 1 óra, 2 óra, 3 óra, 4 óra, 4,5 óra múlva? Megoldás: 1 óra múlva: 1 ⋅ 2 = 2 = 21 2 óra múlva: 2 ⋅ 2 = 4 = 2 2 3 óra múlva: 4 ⋅ 2 = 8 = 2 3 4 óra múlva: 8 ⋅ 2 = 16 = 2 4 4,5 óra múlva: 2 4,5 A 2 4,5 értékét akarjuk meghatározni. Legyen x = 2 4,5 , ahol x > 0 . Az egyenletet mindkét oldalát négyzetre emelve: x 2 = (2 4,5 ) . Alkalmazzuk a hatvány hatványára 2

vonatkozó azonosságot: x 2 = 2 9 . Ennek a pozitív megoldása az x = 2 9 . Azaz azt kaptuk, hogy x = 2

4,5

9 2

= 2 = 2 9 = 512 ≈ 22,63 .

Megközelítőleg ennyi sejtünk van 4,5 óra múlva.

Mintapélda18 Próbáljunk értelmet adni az alábbi törtkitevőjű hatványoknak az előző feladat gondolatmenete alapján! 1

1

(− 16)2

a) 16 2 b) 64

1 3

1

(− 64)3

Megoldás: 1 2

a) Legyen x = 16 , értelmezzük.

1

y = (− 16 ) 2 , ahol x > 0 , mert pozitív számok hatványait pozitívnak

76


TANULÓK KÖNYVE

2

⎛ 1⎞ Négyzetre emelve: x = ⎜⎜16 2 ⎟⎟ = 16, ⎝ ⎠

2

1 ⎤ ⎡ y 2 = ⎢(− 16 ) 2 ⎥ = −16 . ⎦ ⎣

2

Ebből: x = 16 = 4 , mert x > 0 ; y = − 16 pedig nem értelmezhető. 1

Innen: x = 16 2 = 16 = 4 1

1

y = (− 64 ) 3 , ahol x > 0 , mert pozitív számok hatványait pozitívnak

b) Legyen x = 64 3 , értelmezzük.

3

⎛ 1⎞ Harmadik hatványra emelve: x = ⎜ 64 3 ⎟ = 64, ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

3

1 ⎤ ⎡ y 3 = ⎢(− 64 ) 3 ⎥ = −64 . ⎣ ⎦

3

Ebből: x = 3 64 = 4,

y = 3 − 64 = − 4 .

2 2 1 2 6 Mivel = , vizsgáljuk meg az x = 64 és az y = (− 64 )6 számokat. 3 6

( )

x = 64 2

1 6

1

= 4096 6 ,

[

y = (− 64 )

2

] = 4096 1 6

1 6

6

1 ⎛ ⎞ Hatodik hatványra emelve: x = ⎜⎜ 4096 6 ⎟⎟ = 4096 , ⎝ ⎠ 6

Ebből: x = 6 4096 = 4,

6

1 ⎡ ⎤ y = ⎢ 4096 6 ⎥ = 4096 ⎣ ⎦ 6

y = 6 4096 = 4 1 3

2 6

1

2

Észrevehetjük, hogy x = 64 = 64 = 4 , de y = (− 64) 3 = (− 64) 6 eredménye nem határozható meg egyértelműen (először – 4-et, másodszor 4-et kaptunk eredményül), ezért negatív alap esetén nem értelmezzük a törtkitevőjű hatványokat. Egy pozitív valós szám

n -adik hatványa az alap n-edik hatványából vont k

k-adik gyök. n k

a = k an

a > 0, a ∈ R n

n Megállapodás: Ha > 0, akkor 0 k = 0. k

n ∈ Z, k ∈ N \ {0; 1}

77


Mintapélda19 Számítsuk ki a következő hatványok pontos értékét! 5

3

a) 64 6

b) 256 4

−

c) 81

3 4

d) 125

−

2 3

f) 144 −0,5

e) 243 0, 2

Megoldás: 5 6

a) 64 = 6 64 5 =

( 64 )

5

6

3

b) 256 4 = 4 256 3 = −

c) 81

3 4

d) 125

= 4 81−3 =

−

2 3

(

4

= 2 5 = 32

256

( 81)

−3

4

= 3 125 − 2 =

)

3

= 4 3 = 64

= 3 −3 =

( 125 )

−2

3

1 1 = 3 27 3

= 5 −2 =

1 1 = 2 25 5

( 144 )

= 12 −1 =

1

e) 2430, 2 = 243 5 = 5 243 = 3 f) 144 −0,5 = 144

−

1 2

−1

= 144 −1 =

1 12

Feladatok 28. Írd fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

a) 5

1 2

b) 7

2 3

c) 6

−

1 3

d) 8 1

g) (9x )

1 2

h) (16y )

1 4

⎛ z ⎞3 i) ⎜ ⎟ ⎝8⎠

−

4

3 4

⎛ 3⎞3 e) ⎜ ⎟ ⎝5⎠

⎛ x ⎞ j) ⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠

−

1 2

⎛ y⎞ k) ⎜ ⎟ ⎝ 81 ⎠

⎛1⎞ f) ⎜ ⎟ ⎝4⎠ −

3 4

−

⎛ z ⎞ l) ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

5 2

−

2 3

29. Írd át törtkitevős alakra a következő gyököket!

a)

4

3

b)

3

5

c)

3

25

d)

30. Keresd meg a párját! 1

a) 3 5 b) 2

4 3

A) 3 16 B)

5

9 4

4

33

e)

3 5

f)

5

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

4

78


c) 2

−

TANULÓK KÖNYVE

3 4

C)

3

1 3

D)

5

3

2

⎛ 3 ⎞5 d) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 2⎞ e) ⎜ ⎟ ⎝3⎠ f) 3

−

−

3 4

E)

1 3

F)

1 4

8

4

27 8

31. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat!

2

1 3

8

4

1 3

3

16

2

1

−1 3

2

2

−

4 3

2

32. Írd fel 3 hatványaként a következő kifejezéseket!

a)

7

3

b)

5

34

c)

3

f)

9

1 34

g)

3

1 9

h)

6 3

81

d) i)

3

27 3

e)

3 4 ⋅ 3 37

j)

4

9 ⋅ 4 3 ⋅ 3 81 ⋅ 5 27 4

27 ⋅ 8 243 ⋅ 81 ⋅ 4 313 ⋅ 8 27 3

81 ⋅ 3 311

33. Hozd egyszerűbb alakra a következő hatványokat!

⎛ a) ⎜⎜ a ⋅ a ⎝ 1 2

3 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−2

⎛ 2 3⎞ d) ⎜⎜ d 3 ⋅ d 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

−4

⎛ b) ⎜⎜ b ⋅ b ⎝ 1 3

4 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3 2

1

⎛ 3 −5 ⎞ 2 e) ⎜⎜ e 4 ⋅ e 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠

⎛ c) ⎜⎜ c ⋅ c ⎝ 2 3

−

1 6

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3 ⎛ 2 ⎞ f) ⎜⎜ f 5 ⋅ f 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

3 5

−

1 3

79


Matematikai TOTÓ Határozd meg a következő kifejezések értékét!

1

2

X

1.

2 ⋅ 5 3 + 15 ⋅ 5 2

25375

625

6625

2.

2 45 + 3 80 − 125

13 5

205

41⋅ 5

3.

7 + 24 ⋅ 7 − 2 6

31

5

31

4.

4

−

1 81

−

1 3

1 3

Nem értelmezzük

5.

3

−

1 27

−

1 3

1 3

Nem értelmezzük

100

10

10000

124

32

2

8

0,125

1 4

6.

4

125 ⋅ 4 80 5

7.

128 5

5

4 3

8.

(0,25)− 2 −

9.

⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

1 3

−

10.

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 64 ⎠

2 3

11.

12.

125

a

−

2 3

2 3

3 2

− 16

1 16

16

1 25

25

− 25

2 3

−

4 3

a3

2

3

a2

1 3

a2

7

1 a9

a3 13.

⎛ 12 23 ⎞ ⎜a ⋅ a ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

−

2 3 9

1 a7

− 9 a7

80


TANULÓK KÖNYVE

Vegyes feladatok 34. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!

a)

(

)

(

2

3 − 12

b) 2 2 + 18

c) ⎛⎜ 6 + 20 − 6 − 20 ⎞⎟ ⎠ ⎝

2

)

2

d) ⎛⎜ 9 − 17 + 9 + 17 ⎞⎟ ⎠ ⎝

2

35. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény!

a) a(x) = d) d(x) =

10

3− x 2

b) b(x) =

x

e) e(x) =

6

9

7

7−x −3

c) c(x) =

3

−3 x +1

x

36. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény!

b) b(x) =

4

x +2

c) c(x) =

15

2x 2 − 8

e) e(x) =

5

x2 + 2

f) f (x) =

10

12 − 3x

5

d) d(x) = g) g(x) =

13

| x | −1

a) a(x) =

9

x+4

3x − 5

4− x − x2 −1

81


Kislexikon Köbgyök: Az a valós szám köbgyöke az a valós szám, amelynek harmadik hatványa a:

( a) 3

3

= a.

n-edik gyök:

•

Páros pozitív egész n-re az a nemnegatív valós szám n-edik gyöke az a nemnegatív

valós szám, amelynek az n-edik hatványa a (n ∈ N+\{1}). •

Páratlan, 1-nél nagyobb egész n-re az a valós szám n-edik gyöke az a valós szám,

amelynek az n-edik hatványa a. Jelölés: az a szám n-edik gyöke:

n

a.

Az n-edik gyökre vonatkozó azonosságok:

A definíció által megengedett értékekre. (n > 1, n ∈ N) 1.

n

a ⋅b = n a ⋅ n b ,

2.

n

a = b

3.

n

4.

n m

5.

n

ak =

n

a

n

b

ha n = 2p, akkor a ≥ 0, b ≥ 0 (p ∈ N+)

, b≠0

( a) n

k

a = n⋅ m a

a m = n⋅k a m⋅k ,

m, k ∈ Z\{0; 1}, n ∈ N\{0; 1}

Törtkitevős hatvány: egy pozitív valós szám

n -adik hatványa az alap n-edik hatványából k

vont k-adik gyök. n

a k = k an

a > 0, a ∈ R

n ∈ Z, k ∈ N \ {0; 1}

n

n Megállapodás: Ha > 0, akkor 0 k = 0. k Hatványfüggvény: A valós számok halmazán értelmezett f(x) = xn, n ∈ N+ függvényeket hatványfüggvényeknek nevezzük.

82


Gyökfüggvény: A g (x) =

n

TANULÓK KÖNYVE

x , n ∈ N \ {0,1} függvényeket gyökfüggvényeknek nevezzük.

Ha n > 1 és páratlan, akkor minden valós számhoz hozzá tudjuk rendelni annak n-edik gyökét. Ha pedig páros, akkor a nem negatív valós számokhoz tudjuk egyértelműen hozzárendelni annak n-edik gyökét. Invertálható függvény: Egy függvény invertálható, ha kölcsönösen egyértelmű. Permanencia-elv: Azt jelenti, hogy egy művelet értelmezését úgy terjesztjük ki bővebb

számhalmazra, hogy a szűkebb halmazban érvényes műveleti szabályok a bővebb halmazban is érvényesek maradjanak.

3. MODUL exponenciális függvények és egyenletek Készítették: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes

84


TANULÓK KÖNYVE

I. Exponenciális függvény Eddigi tanulmányaink során találkoztunk abszolútérték-függvénnyel, trigonometrikus függvényekkel, gyökfüggvényekkel, valamint hatványfüggvénnyel. Ez utóbbinál a hatványalap állandóan változott, a hatványkitevőt pedig rögzítettük. Most megnézzük, mi lesz a függvény képe, és milyen tulajdonságú lesz a függvény, ha a hatványalapot rögzítjük, és a hatványkitevőt változtatjuk. Először megnézzük egynél nagyobb, majd egynél kisebb szám hatványait. Ezek után az egy oszlopba tartozó számokból rendezett értékpárokat képezünk, amelyeket koordináta-rendszerben ábrázolunk.

Feladatok 1. Töltsd ki az alábbi értéktáblázatokat! a) −

–2

x

3 2

−

–1

1 2

1 4

0

1 2

1

2

3

2x

b)

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

−

–2

x

3 2

−

–1

1 2

1 4

0

1 2

1

2

3

x

c) x

–2

−

3 2

–1

−

1 2

0

1 4

1 2

1

2

3

1x

Megjegyzés: Ha az alap 1, akkor a már ismert konstans függvényt kapjuk, mivel 1-nek minden hatványa 1. Ezért az 1 alapot nem választjuk az exponenciális függvény alapjának.

85

3. modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK

2. Képezz pontokat az 1.a) és az 1.b) feladatok alapján az értéktáblázatok oszlopaiból, és ábrázold külön koordináta-rendszerben az 1.a) pontjait, és az 1.b) pontjait!

3. Válaszolj a következő kérdésekre! 1. Milyen előjelű lehet a hatványozás eredménye? 2. Eddigi ismereteid alapján milyen számok szerepelhetnek a hatványkitevőben? 3. Az elkészített grafikonoknak lehet-e közös pontjuk az x tengellyel? Miért? 4. Mit tudsz mondani a két grafikon monotonitásáról? 5. A valóságban elhelyezkedhetnek-e ezek a pontok sűrűbben? x

⎛1⎞ 6. Az f ( x ) = 2 x , illetve a g (x ) = ⎜ ⎟ tetszőleges x értékéhez egyetlen hatvány tar⎝2⎠ tozik-e? Igaz-e ez fordítva? A fentieket általánosíthatjuk: létezik az f (x ) = a x , a > 0 , a ≠ 1 függvény. Ez a függvény kölcsönösen egyértelmű. Megfigyelésünkben azt is láttuk, hogy a grafikon tetszőlegesen megközelíti az x tengelyt, de azt soha nem éri el. Az ilyen egyeneseket aszimptotának nevezik. Ezért az x tengely a függvény grafikonjának az aszimptotája. Ez azt jelenti, hogy a függvény alulról korlátos, mégpedig alsó korlátja a 0. Abszolút minimuma nincs, azaz nincs olyan legkisebb szám, amelynél kisebb értéket a függvény ne venne fel! Mivel az értelmezési tartomány a racionális számok halmaza, ezért a függvény grafikonja diszkrét pontokból áll függetlenül attól, hogy ezek a pontok tetszőlegesen közel helyezkedhetnek el egymáshoz. Az értelmezési tartomány – a permanencia-elv alapján – kiterjeszthető a valós számok halmazára úgy, hogy a hatványozás azonosságai és a függvény tulajdonságai érvényben maradnak. Ekkor a grafikon is folytonos lesz. Kiegészítő anyag:

Számítsuk ki a 3

2

értékét!

Azt már korábban láttuk, hogy egy irracionális szám tetszőleges pontosan megközelíthető racionális számmal. Adjunk egy tetszőleges közelítést a

2 -re.

86


TANULÓK KÖNYVE

1,4 < 2 < 1,5

1,41 < 2 < 1,42 1,414 < 2 < 1,415 1,4142 < 2 < 1,4143 Kihasználva a függvény szigorú monotonitását 3 2 -re a következő közelítést kapjuk: 4,7 ≈ 31, 4 < 3

2

< 31,5 ≈ 5,2

4,71 ≈ 31, 41 < 3

2

< 31, 42 ≈ 4,76

4,728 ≈ 31, 414 < 3

2

< 31, 415 ≈ 4,733

4,7287 ≈ 31, 4142 < 3

2

< 31, 4143 ≈ 4,7293

Ábrázoljuk számegyenesen ezeket az intervallumokat!

Az ábráról látszik, hogy tulajdonképpen egymásba skatulyázott intervallumokról van szó. Bebizonyítható, hogy bármeddig folytatjuk ezen egymásba skatulyázott intervallumok képzését, egyetlen olyan pont van, amelyik mindegyik intervallumnak közös pontja. Ehhez a ponthoz rendelt valós számmal definiáljuk a 3

2

hatványt.

Az eddigi tapasztalatok általánosításával eljutunk az exponenciális függvény fogalmához. Legyen a pozitív valós szám, a ≠ 1, x ∈ R. Ekkor az f (x) = ax függvényt exponenciális függvénynek nevezzük. Megjegyzés: A későbbiek során a fenti hozzárendelési utasítással megadott függvényt tekint-

jük alapfüggvénynek. A név az exponens latin szóból származik, mely kitevőt jelent. Vagyis a független változó a hatványkitevőben található.

87


Mintapélda1 Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett exponenciális függvényt (alapfüggvényt)! Megoldás: Az a értékétől függően két esetet különböztetünk meg:

Első eset: 0 < a < 1

R R+ nincs szigorúan monoton csökkenő nincs nem páros, nem páratlan invertálható

Második eset: a > 1

Jellemzés 1. É.T. 2. É.K. 3. zérushely 4. monotonitás 5. szélsőérték 6. paritás 7. invertálhatóság

R R+ nincs szigorúan monoton növő nincs nem páros, nem páratlan invertálható

4. Számítsd ki számológép használatával a függvényértékeket az alábbi helyeken, majd

becsüld meg a pont helyét a koordinátasíkon! A koordináta-rendszerben egy egység 0,2-nek feleljen meg. A függvényértékeket két tizedesjegy pontosan határozd meg!

−

3 2

–0,9

–0,5

−

10 3

0,01

0,42

0,8

5 4

3x

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

x

Exponenciális függvényekkel a valós életben is találkozhatunk, amikor bizonyos folyamatokat szeretnénk leírni. Ilyen folyamatok például: •

tőke növekedése

•

termelés növekedése

•

kamatos kamat

88


TANULÓK KÖNYVE

•

piaci folyamatok

•

élőlények szaporodása

•

radioaktív anyag bomlatlan atomjainak száma az eltelt idő függvényében

•

légnyomás csökkenése a magasság függvényében

Megjegyzés: Az első három folyamattal a sorozatoknál majd részletesen foglalkozunk.

Mintapélda2 Ha a 0 időpontban N0 számú bomlatlan atomot tartalmazott a radioaktív anyag, akkor t idő múlva a még bomlatlan atomok száma N t = N 0 ⋅ e − λ ⋅t lesz (e ≈ 2,718). A λ neve bomlási állandó (megadja, hogy időegység alatt az atomok hányad része bomlik el az adott anyagban),

⎛1⎞ értéke pedig a 14C szénizotóp esetén λ = 1,24 ⋅ 10−4 ⎜ ⎟ . ⎝ év ⎠ a) A 14C atomok szénatomok hány százaléka bomlik el 5, 10, 20, illetve 100 év múlva? b) A 14C atomok hány százaléka bomlik el évente? Megoldás: a) Tudjuk, hogy a kiindulási évben a bomlatlan szénatomok száma N0, majd t idő elteltével ez az érték N t = N 0 ⋅ 2,718−0, 000124⋅t lesz. Az

Nt ⋅100 érték adja meg, hogy t idő elN0

teltével a szénatomok hány százaléka marad bomlatlan. Ebből következik, hogy a szénatomok ⎛ N ⋅ 2,718−0,000124 ⋅ t ⎛ N ⎞ ⎜⎜1 − t ⎟⎟ ⋅ 100 = ⎜1 − 0 ⎜ N0 ⎝ N0 ⎠ ⎝

(

)

⎞ ⎟ ⋅ 100 = 1 − 2,718−0,000124 ⋅ t ⋅ 100 százalé⎟ ⎠

ka bomlik el. t helyébe behelyettesítjük a konkrét értékeket:

(

5 év múlva: 1 − 2,718

−0,000124 ⋅ 5

( 20 év múlva: (1 − 2,718 100 év múlva: (1 − 2,718 10 év múlva: 1 − 2,718

)⋅100 = 0,06197%, )⋅100 = 0,1239%, )⋅100 = 0,2477%, )⋅100 = 1,232%.

−0,000124 ⋅10

−0,000124 ⋅ 20

−0,000124 ⋅100

b) Tudjuk, hogy a t időpontban a bomlatlan atomok száma N t = N 0 ⋅ e − λ ⋅t , a következő évben pedig N t +1 = N 0 ⋅ e − λ ⋅(t +1) . Az

N t +1 hányados adja meg, hogy a következő évben Nt

89


az atomoknak hány százaléka maradt bomlatlan. Behelyettesítve kapjuk:

N 0 ⋅ e − λ (t +1) . N 0 ⋅ e −λ t

A hatványozás azonosságainak felhasználásával egyszerűsítés után az eredmény N t +1 = e −λ = 2,718 −0,000124 = 0,99988 . Vagyis a radioaktív szénatomok 99,988%-a maNt

rad bomlatlan évente. Tehát 0,012%-a bomlik el évente.

Feladatok 5. Egy tavirózsa a megfigyelés kezdetekor 1 m2 vízfelületet fed be, majd hetente megdup-

lázza a befedett felületet. a) Ábrázold, hogyan függ a befedett terület a hetekben mért időtől! b) Olvasd le a grafikonról, hogy mennyi idő alatt lesz a befedett terület 8 m2, 15 m2, 30 m2! 6. Az úgynevezett fékezett (logisztikus) növekedés matematikai modellje szerint egy po-

puláció egyedszáma időben nem a végtelenségig nő, hanem a vizsgálat kezdetétől eltelt t idő múlva a lélekszám N (t ) =

K ⋅ N0 , ahol N0 az induló egyedszám, N 0 + (K − N 0 ) ⋅ a t

K a körülmények szerint „eltartható” maximális egyedszám, a pedig a növekedésre jellemző állandó. Tudjuk, hogy egy populáció induló egyedszáma 20 000 volt, K = 240 000 , a = 0,6; a t időt években mérjük. Hány tagú lesz a populáció 2, 4, 8, 10 év múlva? 7. Ha a 0 időpontban N0 számú bomlatlan atomot tartalmazott a radioaktív anyag, akkor t

idő múlva a még bomlatlan atomok száma N t = N 0 ⋅ e − λ ⋅t lesz (e ≈ 2,718). A λ neve bomlási állandó (megadja, hogy időegység alatt az atomok hányad része bomlik el az adott anyagban). A gyógyászatban daganatos területek kezelésére ún. kobaltágyút használtak, amelyben a 60-as tömegszámú kobaltizotóp a radiokatív (gamma-sugár) ⎛1⎞ forrás. A kobaltizotóp bomlási állandója λ = 0,1323 ⎜ ⎟ . ⎝ év ⎠ a) A kobaltatomok hány százaléka bomlik el 2, 5, 10, 15 év alatt? b) A radioaktív atomok hány százaléka bomlik el évente?

90


TANULÓK KÖNYVE

Az exponenciális függvények ábrázolása Mintapélda3 Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Számítsuk ki a függvényértékeket a megadott helyeken! Állapítsuk meg a monotonitásukat! x

⎛2⎞ g (x) = ⎜ ⎟ ; g (0) = ?; g (1) = ?; g (–1) = ? ⎝4⎠

x

⎛6⎞ k (x) = ⎜ ⎟ ; k (0) = ?; k (1) = ?; k (–1) = ? ⎝4⎠

⎛1⎞ a) f (x) = ⎜ ⎟ ; f (0) = ?; f (1) = ?; f (–1) = ? ⎝4⎠ ⎛5⎞ b) h (x) = ⎜ ⎟ ; h (0) = ?; h (1) = ?; h (–1) = ? ⎝4⎠

x

x

Megoldás: a)

b)

f (0) = 1; f (1) = g (0) = 1; g (1) =

1 ; f (–1) = 4 4

1 ; g (–1) = 2 2

szigorúan monoton csökkenők

h (0) = 1; h (1) =

5 4 ; h (–1) = 4 5

k (0) = 1; k (1) =

3 2 ; k (–1) = 2 3

szigorúan monoton növekedők

91


Feladat 8. Válaszolj az alábbi kérdésekre!

1. Van-e olyan pont, amelyik minden alapfüggvény grafikonján rajta van? Ha igen, melyik ez? x

⎛1⎞ 2. Hogyan változik az f (x) = ⎜ ⎟ függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltol⎝3⎠

juk az y tengely mentén pozitív irányba 2 egységgel? 3. Mi lesz annak a függvénynek a hozzárendelési utasítása, melynek grafikonját az f (x) = 3x függvény grafikonjából annak x tengely menti –3 egységgel történő eltolásá-

val kapjuk? 4. Mi lesz annak a függvénynek a hozzárendelési utasítása, melynek a grafikonját úgy kapx

⎛2⎞ juk az f ( x ) = ⎜ ⎟ függvény grafikonjából, hogy minden függvényértéket megszor⎝3⎠

zunk 3-mal? 5. Hogyan változik az f (x) = 2x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját tükrözzük az x tengelyre? x

⎛1⎞ 6. Hogyan változik az f ( x ) = ⎜ ⎟ függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját tük⎝2⎠

rözzük az y tengelyre? Felhasználva a hatványozás negatív kitevőre vonatkozó azonosságát, hogyan tudnád másképp felírni ezt a hozzárendelési utasítást?

Mintapélda4 Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! x

a) f (x) = 2x – 1; x ∈ Z

b) g (x) = 3 x + 2; x ∈ ] –5; 0 [

Megoldás:

a) Transzformációs lépések: 1. a (x) = 2x

az alapfüggvény ábrázolása

2. f (x) = 2x – 1 a grafikonjának eltolása a v(0; –1) vektorral

⎛1⎞ c) h (x) = –2 ⎜ ⎟ ; x ∈ [ –1; 2 [ ⎝ 3⎠

92


TANULÓK KÖNYVE

Jellemzés: 1. É.T.: 2. É.K.: 3. Zérushely: 4. Monotonitás: 5. Szélsőérték: 6. Paritás: 7. Invertálható

Z ] –1; ∞ [ 2x – 1 = 0, ebből x = 0 szigorúan monoton növő nincs nem páros, nem páratlan

b) Transzformációs lépések: 1. a (x) = 3x,


2. g (x) = 3 x + 2 a grafikonjának eltolása a v( –2; 0) vektorral Jellemzés: ] –5; 0 [ ⎤1 ⎡ ⎥⎦ 27 ; 9 ⎢⎣

1. É.T.: 2. É.K.: 3. Zérushely: 4. Monotonitás: 5. Szélsőérték: 6. Paritás: 7. Invertálható c) Transzformációs lépések:

⎛1⎞ 1. a( x ) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

nincs szigorúan monoton növő nincs nem páros, nem páratlan

x

⎛1⎞ 2. b(x ) = 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

az alapfüggvény ábrázolása x

a grafikonjának kétszeres

nyújtása ⎛1⎞ 3. h( x ) = −2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

x

b grafikonjának tükrözése az x

tengelyre. Jellemzés: 1. É.T.: 2. É.K.: 3. Zérushely:

[ –1; 2 [ 2⎡ ⎡ ⎢⎣− 6; − 9 ⎢⎣ nincs

93


4. Monotonitás: 5. Szélsőérték:

szigorúan monoton növő minimumhely: x = –1 minimumérték: h(–1) = –6 nem páros, nem páratlan

6. Paritás: 7. Invertálható

Mintapélda5 Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! Határozzuk meg az értelmezési tartományukat és az értékkészletüket is! ⎛1⎞ a) f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

x

⎛1⎞ b) g ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

x

c) h( x ) =

4x − 4 2x + 2

Megoldás: x

⎛1⎞ a) Mivel az ⎜ ⎟ hatvány értéke mindig pozitív, ezért ⎝2⎠ x

x

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . Tehát az ábrázolandó függvény az ⎝2⎠ ⎝2⎠ x

⎛1⎞ f ( x ) = ⎜ ⎟ . Az értelmezési tartomány a valós számok hal⎝2⎠

maza, az értékkészlet a pozitív valós számok halmaza.

b) A

⎛1⎞ g (x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

x

függvény grafikonjának ábrázolásához hasz-

náljuk az abszolútérték definícióját: ⎧ ⎪ ⎪ g ( x) = ⎨ ⎪ ⎪⎩

x

⎛1⎞ ⎜ ⎟ , ha x ≥ 0 ⎝2⎠ −x ⎛1⎞ ⎜ ⎟ , ha x < 0 ⎝2⎠

A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Értékkészlete a ]0; 1] intervallumbeli valós számok. c) A függvény ott nincs értelmezve, ahol a nevező 0: 2 x + 2 = 0 , de 2 x > 0 miatt 2 x + 2 > 0 . Vagyis a függvény mindenütt értelmezhető.

94


TANULÓK KÖNYVE

Az ábrázoláshoz végezzük el a következő átalakítást: Vegyük észre, hogy 4 x − 4 = (2 x ) − 2 2 . 2

Az a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) azonosság felhasználásával a tört egyszerűsíthető. Így az ábrázolandó függvény a h( x ) = 2 x − 2 . Az ábrázolást megkönnyíti, ha felveszünk egy, a (0; –2) ponton átmenő, az x tengellyel párhuzamos egyenest, hiszen a grafikon ehhez az egyeneshez közelít majd, ez lesz a függvénygörbe aszimptotája. É.K.: ] –2; ∞ [

É.T.: R;

Feladatok 9. Készítsd el a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvények grafikonját, és jel-

lemezd a függvényeket!

a(x ) = 3x+2

⎛1⎞ b( x ) = 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

d ( x ) = 30 , 5 x

⎛1⎞ e( x ) = −⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

x

c ( x ) = 3− x x

x

⎛1⎞ f (x ) = ⎜ ⎟ + 2 ⎝ 3⎠

10. Ábrázold a következő függvények grafikonját! Határozd meg a függvények értékkész-

letét és monotonitását is! x

a(x) = 2 , x ∈ ] –2; 3] x

⎛1⎞ b(x) = ⎜ ⎟ , x ∈ Z ⎝2⎠

c(x) = 3x, x ∈ ] –4; 4[

11. Ábrázold a valós számok halmazán értelmezett következő függvények grafikonját, és

jellemezd a függvényeket! 1 a(x) = ⋅ 2 x + 1 2

⎛1⎞ b(x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

x +1

+2

c(x) = 3–x

95


12. A függvények grafikonja alapján döntsd el, x milyen értékeire lesz x

a) 2x < 8

⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ < 8 ⎝2⎠

c)

e) –3 < 2x < 16

f) 2x > 1024

⎛1⎞ g) ⎜ ⎟ > 1024 ⎝2⎠

x

1 < 2x < 4 2

d)

1 ⎛1⎞ < ⎜ ⎟ <4 2 ⎝2⎠

x

13. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett követ-

kező függvények grafikonját! x

f (x) = 1 – 2

⎛1⎞ g(x) = 1 – ⎜ ⎟ ⎝2⎠

x

h(x) = | 2x –1 |

14. Ábrázold a következő függvények grafikonját! Határozd meg az értelmezési tartomá-

nyukat is! 3 x + 3− x a(x) = 2

3 x − 3− x b(x) = 2

c(x) = 2

x 2 −9 x −3

⎛3⎞ 15. Vizsgáld a valós számok halmazán értelmezett f (x) = –2 ⎜ ⎟ ⎝4⎠

4x −1 d(x) = x 2 −1 x+2

– 4 függvényt!

a) Melyik alapfüggvény transzformációjáról van szó? b) Milyen transzformációkat, milyen sorrendben kell végrehajtani? (Több jó sorrend is lehetséges.)

Grafikon felhasználásával megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek Vannak olyan egyenletek, amelyek közvetlenül, hagyományos algebrai úton nem oldhatók meg. Az ilyen egyenletek bal, illetve jobb oldalából külön-külön képezünk függvényt. Ezeket közös koordináta-rendszerben, a megfelelő értelmezési tartományon ábrázolva, leolvassuk a metszéspont x helyét, amely egyben a megoldás is.

96


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda6 Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! x

a) 2 = 2 x x

x2 ⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ = 3 ⎝3⎠

Megoldás:

a) Az egyenlet bal oldalából képezzük az a(x) = 2x, a jobb oldalából a b(x) = 2x függ-

vényt. Készítsük el a két függvény grafikonját közös koordináta-rendszerben! Az ábráról leolvasható a megoldás: x1 = 1; x2 = 2.

A függvények szigorúan monoton növők. Ebből következik, hogy más megoldás nincs. b) Az a) részhez hasonlóan járunk el: a(x) =

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

x

,

x2 b(x) = 3 Az ábráról leolvasható a megoldás: x = 1.

Mintapélda7 Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket! a) 2 x = x 2 , x > 0

x

4 b) ⎛⎜ ⎞⎟ +1 = cos x ⎝3⎠

Megoldás:

a) Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezés legyen az a( x ) = 2 x függvény, míg a jobb oldalon található kife-

jezés legyen a b( x ) = x 2 függvény. Ábrázoljuk a-t és b-t közös koordináta-rendszerben! x = 2 megoldást ad, mert 2 2 = 2 2 .

97


Az ábráról leolvasható, hogy 0 < x < 2 esetén nincs megoldás, mert a hatványfüggvény az exponenciális görbe alatt halad, x > 2 esetén pedig fordítva. x

⎛4⎞ b) Ismét ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az a( x ) = ⎜ ⎟ + 1 és a ⎝3⎠ b( x ) = cos x függvényeket!

Az ábráról is leolvasható, hogy nincs megoldás, mert az a függvény tetszőlegesen megközelíti az 1-et, de sohasem x

⎛ 4⎞ éri el: ⎜ ⎟ > 0 . A b függvény értéke ⎝ 3⎠ pedig legfeljebb 1 lehet.

Mintapélda8 Oldjuk meg grafikusan a valós számok halmazán értelmezett következő egyenlőtlenségeket! x

a) 4 ≥ 0,25 ⋅ x x

⎛3⎞ b) ⎜ ⎟ > −1 ⎝4⎠

x

⎛7⎞ c) ⎜ ⎟ ≤ −1 ⎝5⎠

Megoldás:

a) x ≥ –1

b) x ∈ R

c) nincs megoldás

Megjegyzés: b) és c) megoldása közvetlenül következik a függvények értékkészletéből.

Feladatok 16. Oldd meg grafikusan a valós számok halmazán értelmezett következő egyenleteket! x

7 ⎛5⎞ a) ⎜ ⎟ = − x 5 ⎝7⎠

x

⎛5⎞ b) ⎜ ⎟ = −5 x + 2 ⎝3⎠

⎛3⎞ c) – x = ⎜ ⎟ ⎝7⎠ 2

x

98


TANULÓK KÖNYVE

II. Exponenciális egyenletek A korábban megismert első- és másodfokú egyenletek úgynevezett algebrai egyenletek, amelyek algebrailag, tehát csak a négy alapművelettel és négyzetgyökvonással megoldhatók. Most olyan egyenletekkel ismerkedünk meg, amelyek nem algebrai egyenletek, ezért új megoldási módokat kell keresnünk az ismeretlenek meghatározásához. Azokat az egyenleteket, ahol az ismeretlen a hatványkitevőben szerepel, exponenciális egyenleteknek nevezzük.

Az exponenciális függvények ismeretében megoldható egyenletek Először nézzük meg azokat az eljárásokat, melyeknél az a cél, hogy azonos alapú hatványok szerepeljenek az egyenlet mindkét oldalán.

Mintapélda9 Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) 2 2 x = 64 b) 9 x = 27 ⋅ 3 81 c) 4 x ⋅ 16 = 64 x − 2 Megoldás:

a) Mivel 64 = 2 6 , ezért az egyenletet 2 2 x = 2 6 alakba is írhatjuk. Az f ( x ) = 2 x szigorúan monoton növekvő függvény, ezért a függvényértékek csak akkor egyeznek meg, ha a kitevők azonosak. Tehát 2 x = 6 , innen x = 3 . Ellenőrzés: Bal oldal: 2 2⋅3 = 2 6 = 64 . Jobb oldal: 64 . b) Írjuk fel az egyenlet mindkét oldalát 3 hatványaként: 3

2x

4 3

= 3 ⋅ 3 . Azonos alapú hatvá3

13

nyokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk: 3 2 x = 3 3 . A 3-as alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik: 2 x =

13 13 ⎧13 ⎫ amiből: x = . Megoldáshalmaz: M = ⎨ ⎬ . 3 6 ⎩6⎭

A megoldás helyessége az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel ellenőrizhető.

99

3. modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY

c) Mindkét oldalt 4-es alapú hatvánnyá alakítjuk: 4 x ⋅ 4 2 = (4 3 )

x−2

, majd alkalmazzuk a

hatványozás azonosságait: 4 x + 2 = 4 3 x −6 . A 4-es alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik: x + 2 = 3 x − 6 , amiből: x = 4 . A megoldás helyességét visszahelyettesítéssel ellenőrizzük.

Mintapélda10 Oldjuk meg a következő egyenleteket a pozitív egész számok halmazán! a) 7

3 x −1

= 49 2 x −3

b) 125 ⋅ 2 x − 2 = 2 ⋅ 5 x c) 83 x

2

+10 x −8

=1

Megoldás:

a) Mivel 49 = 7 2 , ezért az egyenletet 7

= (7 2 )

2 x −3

3 x −1

alakba is írhatjuk. Hatványt úgy hat-

ványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük: 7

3 x −1

= 7 4 x −6 .

A 7-es alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik, azaz 3x − 1 = 4 x − 6 . Ha x ≥

1 , akkor 3 x − 1 nemnegatív, így abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az 3

abszolútérték jelet: 3 x − 1 = 4 x − 6 , ebből x = 5 , ami beletartozik az egyenlet alaphalmazába. Ha x <

1 , akkor 3 x − 1 negatív, abszolútértéke az ellentettje: − (3x − 1) = 4 x − 6 , azaz 3

x = 1 , ez a feltételben megadott tartományon kívül esik, ezért ebben a tartományban

nem kapunk megoldást. Ellenőrzés: Bal oldal: 7

3⋅5 −1

= 714 . Jobb oldal: 49 2⋅5−3 = 49 7 = (7 2 ) = 714 . 7

b) Azokat a hatványokat, melyeknek a kitevőjében különbség szerepel, azonos alapú hatványok hányadosaként is felírhatjuk: 5 3 ⋅ x

2x = 2 ⋅ 5 x . Az ismeretleneket egy oldalra ren2 2 3

2 x 23 ⎛2⎞ ⎛2⎞ dezve kapjuk, hogy x = 3 , azaz: ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . 5 5 ⎝5⎠ ⎝5⎠

100


TANULÓK KÖNYVE

⎛2⎞ A ⎜ ⎟ -öd alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek ⎝5⎠

egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik, azaz x = 3 . A megoldás eleme az alaphalmaznak, helyességét visszahelyettesítéssel ellenőrizzük. c) Felírjuk az 1-et 8 hatványaként: 8 3 x

2

+10 x −8

= 8 0 . A 8-as alapú exponenciális függvény

szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik, azaz 3 x 2 + 10 x − 8 = 0 ebből x1,2 = az x1 = −4, x 2 =

− 10 ± 10 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 8) − 10 ± 14 az= 2⋅3 6

2 , ezek egyike sem eleme az egyenlet alaphalmazának. 3

Feladatok 17. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

b) 2 − x = 32

a) 3 x = 27

c) 3 −2 x = 729

d) 2 2 x + 3 = 16

18. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! x

⎛1⎞ a) ⎜ ⎟ = 81 ⎝ 3⎠

⎛4⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

x+2

=

16 9

x

25 ⎛2⎞ c) ⎜ ⎟ = 4 ⎝5⎠

⎛2⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

2 −3 x

=

81 16

19. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 6 −3 x =

1 6

b)

8 x +3 = 3 16 x −2

c) 4

x+2

=

1 128

d) 5

2 x −3

= 125

20. Oldd meg az alábbi egyenleteket a nem negatívszámok halmazán!

a) 3 x = 2 x

b) 9 2 ⋅ 5 x = 25 ⋅ 3 2 x

c) 9 ⋅ 4 x − 64 ⋅ 3 x −1 = 0

d) 112 x

2

+ x −15

=1

Összetettebb exponenciális egyenletek Az exponenciális egyenletek egy másik csoportját alkotják azok az egyenletek, amelyek az exponenciális tagban válnak elsőfokú egyenletté. Ezeken az egyenleteken a hatványozás azonosságai segítségével tudunk olyan átalakításokat végezni, hogy abból az együtthatók leolvashatók legyenek.

101


Mintapélda11 Oldjuk meg a 3 x + 3 − 3 x −1 + 3 x + 2 = 107 egyenletet az egész számok halmazán! Megoldás:

Azokat a hatványokat, melyeknek a kitevőjében összeg szerepel, azonos alapú hatványok szorzataként, ahol különbség, azokat azonos alapú hatványok hányadosaként is fel3x + 3 x ⋅ 3 2 = 107 3

írhatjuk:

3 x ⋅ 33 −

Innen

1 ⎛ ⎞ 3 x ⎜ 33 − + 3 2 ⎟ = 107 3 ⎝ ⎠

3x ⋅

107 = 107 3

3 x = 3 , ebből: x = 1 .

Ellenőrzés: Bal oldal: 31+3 − 31−1 + 31+ 2 = 3 4 − 30 + 33 = 81 − 1 + 27 = 107 .

Mintapélda12 Oldjuk meg a 6 2 x ⋅ 4 x + 2 = 9 x ⋅ 8 x +18 egyenletet a pozitív számok halmazán! Megoldás:

Bontsuk fel a hatványalapokat prímtényezőkre:

(2 ⋅ 3)2 x ⋅ (2 2 )x + 2 = (32 )x ⋅ (2 3 )x+18

Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait:

2 2 x ⋅ 3 2 x ⋅ 2 2 x + 4 = 3 2 x ⋅ 2 3 x + 54

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 3 2 x -nel (ez x-től függetlenül mindig pozitív): 2 2 x ⋅ 2 2 x + 4 = 2 3 x +54 Innen

2 4 x + 4 = 2 3 x +54

A 2-es alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik:

4 x + 4 = 3x + 54 , azaz x = 50 .

Ellenőrzés: Bal oldal: 6 2⋅50 ⋅ 4 50 + 2 = 6100 ⋅ 4 52 = 2100 ⋅ 3100 ⋅ 2104 = 2 204 ⋅ 3100 . Jobb oldal: 9 50 ⋅ 8 50+18 = 3100 ⋅ 8 68 = 3100 ⋅ 2 204 .

102


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 21. Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket az egész számok halmazán!

a) 5 x +1 − 4 ⋅ 5 x + 5 x + 2 = 3250

b) 7 x + 2 + 6 ⋅ 7 x − 7 x +1 = 2352

c) 2 x − 2 x −1 + 2 x + 2 = 36

d) 2 x + 5 − 3 x + 3 = 5 ⋅ 3 x + 2 − 2 x + 4

e) 3 2 x −3 + 9 x −1 = 12

22. Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán!

a) (6

)

x − 3 3 x −1

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝6⎠

5 x −5 2

b) 4 x = 8 ⋅ 2 9 x + 2

2

c) 5 2 x ⋅ 5 3 x −1 = 5 3− 4 x

Másodfokú egyenletekre visszavezethető exponenciális egyenletek Vannak olyan exponenciális egyenletek, amelyek az exponenciális tagban válnak másodfokú egyenletté. Itt a másodfokú egyenlet megoldása után, ismét a függvény tulajdonságára hivatkozva tudjuk meghatározni az ismeretlen értékét.

Mintapélda13 Oldjuk meg a 3 2 x + 4 ⋅ 3 x − 21 = 0 egyenletet az egész számok halmazán! Megoldás:

( )

2

Észrevehetjük, hogy a 3 2 x = 3 x , ezért bevezetjük a 3 x = y új ismeretlent. A következő másodfokú egyenletet kapjuk: y 2 + 4 y − 21 = 0 . Ebből y1,2 =

− 4 ± 4 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 21) − 4 ± 10 azaz, y1 = 3, y 2 = −7 . = 2 ⋅1 2

Ha y1 = 3 , akkor 3 x = 3 , innen x = 1 . Ha y 2 = −7 , akkor 3 x = −7 , innen nem kapunk megoldást, hiszen minden x-re 3 x > 0 . Az egyenlet megoldása x = 1 . Ellenőrzés: Bal oldal: 3 2⋅1 + 4 ⋅ 31 − 21 = 9 + 4 ⋅ 3 − 21 = 0 . Jobb oldal: 0.

103


Feladatok 23. Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket a természetes számok halmazán! x x a) 4 − 5 ⋅ 2 + 4 = 0

b) 3 2 x − 7 ⋅ 3 x = 18

x x+2 c) 25 − 6 ⋅ 5 + 3125 = 0

d) 9 x +1 + 3 x + 3 = 162

e) 4 x +1 = 128 + 2 x + 4

f) 5 2 x +1 + 5 x + 2 = 2 ⋅ 5 3

g) 2 2 x + 2 − 192 = 2 x +3

h) 3 x − 79 =

162 3x

24. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 6 3 x + 2 = 216

b) 5 3 x − 2 = 125

c) 36 3 x −1 = 6

d) 27 4 x +1 = 81

25. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! ⎛4⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝9⎠

x +3

⎛ 27 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠

x−2

x

1 ⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ = 32 ⎝8⎠

⎛1⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝9⎠

x+2

=

1 27

d) 0 ,75 3 x +1 =

64 27

26. Oldd meg az alábbi egyenleteket a nemnegatív számok halmazán! 2

−5 x −12

a) 5 x −3 = 4 x −3

b) 132 x

e) 12 x = 1

f) 256 ⋅ 4 x −1 = 36 ⋅ 6 x +1

=1

c) 5 2 x −3 = 7 x −1,5

d) 6 x −3 = 112 x − 6

g) 5 5 ⋅ 2 x = 8 ⋅ 5 x

h) 7 x = 0

104


TANULÓK KÖNYVE

Kislexikon Exponenciális függvény: az f ( x ) = a x (a ≠ 1, x ∈ R) hozzárendelési utasítással megadott

függvény. Exponenciális egyenlet: Azok az egyenletek, amelyekben az ismeretlen a hatványkitevőben

szerepel. Aszimptota: Egy végtelenbe nyúló görbeív aszimptotája olyan egyenes, amelyet a görbe tet-

szőleges pontossággal közelít meg a végtelen felé haladva. Algebrai kifejezés: Változók, számok és matematikai műveletek összekötése, ha a változóval

(változókkal) csak algebrai műveleteket kell végezni. Algebrai egyenlet: Olyan egyenlet, amelynek mindkét oldala algebrai kifejezés.

4. MODUL a logaritmus Készítették: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes

106


TANULÓK KÖNYVE

I. A logaritmus Eddigi tanulmányaink során hatványozáskor először olyan esetekkel foglalkoztunk, amikor ismertük a hatványalapot és a kitevőt. Ekkor a hatványértéket határoztuk meg. Például: 2 3 = 8; 5 − 2 =

1 ; 70 = 1. 25

Ha a hatványértéket és a kitevőt ismertük, akkor az alapot kerestük. Például: x 3 = 8 esetén a hatvány alapja 2.

Ha x 2 = 4 , akkor a hatványalap x1 = 2 és x2 = –2 is lehetne. Ilyenkor gyökvonás segítségével hamar megkaptuk a keresett értéket. Most megnézzük, hogyan számítható ki a kitevő a hatványérték és az alap ismeretében. A logaritmus arra a kérdésre ad választ, hányadik hatványra kell emelni az alapot, hogy a meg-

adott értéket kapjuk:

2x = 8

x=?

7z = 1

z=?

5y =

1 25

y=?

Feladat 1. Írd föl a megadott számokat hatványalakban! Csoportosítsd a kapott értékeket 5,

és

1 ,2 3

1 alap hatványaként! 7

Számok: 1; 3;

1 ; 0,2; 125; 49; 2

3

3 ; 0,25;

1 ; 92; 2 4

2 ; 32. 14

Ebben a feladatban egyszerűen meg tudtuk állapítani a hatványkitevőket. Hogyan tudjuk kiszámítani kevésbé egyszerű esetekben? Például 3x = 8. Most csak azt tudjuk, hogy 1 < x < 2. Ez a probléma az ax = b (a > 0) típusú exponenciális egyenletek megoldásához vezet. Olyan hatványkitevőt keresünk, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Ha b ≤ 0, akkor ilyen hatványkitevő nincs. Ha b > 0, akkor az f (x) = ax (a > 0; a ≠ 1) exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt egyértelműen létezik ilyen hatványkitevő. Ezt a műveletet nevezzük logaritmuskeresésnek. A b pozitív szám a alapú (a > 0 és a ≠ 1) logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre a -t emelve b -t kapunk. Jelölés: logab (olvasva: a alapú logaritmus b).

107

4. modul: LOGARITMUS

Speciális jelölések: log10 b = lg b (de találkozhatunk a logb jelöléssel is) log e b = ln b (e alapú logaritmus b, természetes alapú logaritmus b) Matematikai jelölésekkel a logaritmus definíciója: a loga b = b , ahol b > 0; a > 0 és a ≠ 1

Az ax = b és az logab = x egyenletek ekvivalensek, hiszen mindkettőben a a hatványalap, x a kitevő és b a hatványérték. Speciális esetek: loga 1 = 0, mert a0 = 1. loga a = 1, mert a1 = a. loga an = n, mert an = an.

A logaritmus definíciójának alkalmazása Mintapélda1 Számítsuk ki a következő logaritmusértékeket! a) lg 0,001

b) log

3

27

c) log3 3

d) log 1 125 5

e) log1 4

f) log4 (–16)

g) log0,5 0

Megoldás:

a) lg 0,001 = −3 , 27 = 6 , 3

b) log

c) log3 3 = 1, d) log 1 5

3 125 = − , 2

mert 10–3 = 0,001 mert

6

3 = 27

mert 31 = 3 ⎛1⎞ mert ⎜ ⎟ ⎝5⎠

−

3 2

3

= 5 2 = 5 3 = 125

e) log1 4 értelmetlen,

mert 1– nek mindegyik hatványa 1.

f) log4 (–16) értelmetlen,

mert 4–nek egyik hatványa sem lehet negatív.

g) log0,5 0 értelmetlen,

mert 0,5 minden hatványa pozitív.

108


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda2 Határozzuk meg a következő hatványértékeket! a) lg x = 2

b) log 5 k = −2

e) log 8 z = 0

f) log 0 a = 7

c) log 5 a =

2 3

d) log 0, 2 d = −2

Megoldás: a) lg x = 2 b) log 5 k = −2 c) log 5 a =

2 3

⇒

x = 102 = 100

⇒

1 ⎛1⎞ k=5 = ⎜ ⎟ = 25 ⎝5⎠

⇒

a = 5 3 = 3 52 = 3 25

d) log 0, 2 d = −2

⇒

e) log 8 z = 0

⇒

2

–2 2

⎛1⎞ d = 0,2 = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ 0 z=8 =1

−2

–2

= 5 2 = 25

f) log 0 a = 7 : értelmetlen, mert a logaritmus alapja nem lehet 0.

Mintapélda3 Határozzuk meg a logaritmus alapját! b) log x 4 = −2

a) log a 8 = 3 e) log b 2 = −

2 3

c) log c 4 =

1 2

d) log k 3 = 1

f) log k 5 = 0

Megoldás:

A logaritmus alapja 1-től különböző pozitív szám, amelyre a következő összefüggések igazak: a) log a 8 = 3

⇒

a3 = 8

⇒

a=2

b) log x 4 = −2

⇒

x–2 = 4

1

= 4 ⇒ x2 =

x 1 2

1 c) log c 4 = 2

⇒

c =4

d) log k 3 = 1

⇒

k1 = k = 3

2 e) log b 2 = − 3

⇒

b

−

2 3

=2

2

⇒

c = 16

⇒

b=

1 1 ⇒ x = , mert x > 0 4 2

1 8

f) log k 5 = 0 értelmetlen, mert nincs olyan szám, amelynek 0. hatványa 5.

109


Mintapélda4 Számítsuk ki a következő hatványokat! a) 2

⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

log 2 4

f) 9 log3 4

log 1

3

3

d) 4 log4 (−2 )

c) 10 lg 8

e) 7 3⋅log7 5

g) 10 log100 2

Megoldás: A logaritmus definícióját használjuk fel: alogab = b, a > 0; a ≠ 1; b > 0. ⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

a) 2 log2 4 = 4

log 1 3 3

c) 10 lg 8 = 8

= 3

d) A logaritmust csak pozitív számokra értelmeztük, ezért a hatványkitevőnek nincs értelme. e) A hatványozás azonosságát felhasználva alakítsuk át a kitevőt:

(

)

3

73⋅log7 5 = 7 log7 5 = 53 = 125 .

(

( )

)

2 log 3 4 f) A 9-et írjuk fel 3 hatványaként: 9 log 3 4 = 3 2 = 3 2 ⋅ log 3 4 = 3log 3 4 = 4 2 = 16 .

g) a 10-et írjuk fel 100 hatványaként: 1 ⎞ ⎛ 10 log100 2 = ⎜100 2 ⎟ ⎝ ⎠

log100 2

1 ⋅ log

= 100 2

100

2

)

(

1 2

= 100 log100 2

1

= 22 = 2 .

Feladatok 2. Számold ki a következő logaritmus-értékeket!

a) log2 8

b) log 3

1 9

c) log 2 2

d) log 1 3 3

3. Számold ki a következő logaritmus-értékeket!

a) lg

1 10

b) log735 1

c) log 2 3

9 4

4. Számold ki a következő logaritmus-értékeket!

a) log 4 32

8 125 25

b) log 4

c) log 2 log 3 81

110


TANULÓK KÖNYVE

5. Határozd meg a betűkifejezések számértékét!

a) log 5 a = −1

b) lg b =

1 2

c) log

2

c=2

c) log

3

y=4


b) log 4 x =

a) log 2 v = −2

1 4


a) log 0, 4 p = −3

b) log 16 r = − 25

3 2

c) log 3 log 1 s = 1 2

8. Határozd meg a következő logaritmusok alapjait!

a) log a 8 = 3

b) log b 0 = 6

c) log c 9 = −2


a) log u 49 = −

3 2

b) log v

16 = −2 25

c) log x 3 2 = 0,5


a) log 1 p

27 3 =− 125 2

b) log

1 ⎛ c) log = ⎜ log r 8 ⎝

2 2 3= 3

2 r

3

q

11. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!

a) 10

lg 14

b) 25

log 25

1 4

c) 5 log5 (−3)


a) 9 log3 2

b) 2 log16 5

c) 5 2+log5 4

2

1⎞ ⎟ =4 8⎠

111



a) 25

log

5

7

b) 0,0012 lg 5−lg 4

c) 16 log 4 log3 1

14. Melyik a nagyobb? log 1 27

vagy

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

b) lg 106

vagy

log 2 64

c) log 0,01 1

vagy

log

a) log 3

1 27

3

5

125 5

112


TANULÓK KÖNYVE

II. A logaritmusfüggvény A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői Vizsgáljuk az azonos alapú exponenciális és logaritmusos kifejezések közötti kapcsolatot!

Mintapélda5 Töltsük ki az alábbi értéktáblázatokat, majd az értéktáblázatok oszlopaiból képzett értékpárokat ábrázoljuk feladatonként közös koordináta-rendszerben!

x

5 2

−2

−1

−0,5

0

0,25

0,5

1

2

x

0,125

0,25

0,5

1

2

4

8

−0,5

0

0,25

0,5

1

2

5 2

1

4

2

2

2

4

32

2x

log2x Megoldás: x

−2

−1

2x

0,25

0,5

x

0,125

0,25

0,5

1

2

4

8

log2x

–3

–2

–1

0

1

2

3

1 2

113


Az exponenciális függvény esetében rögzítettünk egy 1-től különböző pozitív valós a számot, és a tetszőleges valós x értékekhez ezen számnak a hatványait, ax-et rendeltük hozzá. Ennek az inverze a loga x függvény. Az f (x) = loga x, a > 0; a ≠ 1; x > 0 hozzárendelési utasítással megadott függvényt logaritmusfüggvénynek nevezzük.

Feladatok 15. Töltsd ki az alábbi értéktáblázatokat, majd az értéktáblázatok oszlopaiból képzett

értékpárokat ábrázold feladatonként közös koordináta-rendszerben! a) x

–2

–1

–0,5

0

0,25

0,5

1

x

1 81

1 9

1 3

1

3

9

–1

–0,5

0

0,25

0,5

1

2

3x

log3x

b) –2

x ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

x

2

114


x

1 81

TANULÓK KÖNYVE

1 9

1 3

1

3

9

log 1 x 3

16. Válaszolj a következő kérdésekre!

1) Milyen kapcsolat van az exponenciális függvény értékkészlete és a logaritmus függvény értelmezési tartománya között? 2) Van-e kapcsolat van az exponenciális, illetve a logaritmusfüggvény grafikonja pontjainak koordinátái között? 3) Milyen transzformációval tudnád átvinni az exponenciális függvény grafikonját a logaritmusfüggvény grafikonjába, ha azonos az alapjuk? 4) A grafikonoknak hol van metszéspontjuk a tengelyekkel? 5) Mi állapítható meg a logaritmusfüggvény monotonitásáról, ha alapja

1 , illetve 2? 2

6) Melyik egyenest közelíti meg az exponenciális, illetve a logaritmusfüggvény grafikonja? 7) Van-e a logaritmusfüggvényeknek szélsőértéke?

17. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a pozitív valós számok halmazán értelmezett

következő függvények grafikonjait! a) f (x) = log3 x

g(x) = log4 x

h(x) = lg x

b) a(x) = log 1 x

b(x) = log 1 x

c(x) = log 0,1 x

3

4

18. Válaszolj a következő kérdésekre!

1) Mi állapítható meg a grafikonok növekedésének / csökkenésének üteméből az a), illetve a b) esetben? 2) Melyik az a pont, amelyik rajta van mindegyik grafikonon?

115


Mintapélda6 Az eddigi tapasztalatokat általánosítva rajzoljuk meg a logaritmusfüggvény grafikonját, ha a logaritmus alapja 0 és 1 között van, illetve, ha nagyobb 1-nél! Jellemezzük is a függvényeket! Megoldás: f (x) = loga x

g (x) = loga x

0
1
Grafikon

Jellemzés: 1. É. T.

R+

R+

2. É. K.

R

R

3. Zérushely

x=1

x=1

4. Monotonitás

szigorúan monoton csökkenő

szigorúan monoton növekvő

5. Szélsőérték

nincs

nincs

6. Paritás

nem páros, nem páratlan

nem páros, nem páratlan

7. Invertálhatóság

invertálható

invertálható

Mintapélda7 Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát! a) f ( x) = log 2 (2 x + 11)

b) g ( x) = lg x − 3

c) h( x) = log 0,2 | 5 + 3x |

2 ⎞ ⎛ d) k ( x) = log 5 ⎜ − ⎟ ⎝ 7 − 2x ⎠

Megoldás:

a) A logaritmus definíciója szerint: 2 x + 11 > 0 ⇒ x > –5,5. Az értelmezési tartomány: ] – 5,5; + ∞ [ b) A logaritmus definíciója szerint: x − 3 > 0 ⇒ x – 3 > 0 ⇒ x > 3. Az értelmezési tartomány: ] 3; + ∞ [

116


TANULÓK KÖNYVE

c) A logaritmus definíciója szerint: 5 | 5 + 3x | > 0, és mivel 5 + 3x ≠ 0 ⇒ x ≠ − . Az értelmezési tartomány: R \ 3 d) A logaritmus definíciója szerint −

2 2 7 >0 ⇒ < 0 ⇒ 7 – 2x < 0 ⇒ x > . 7 − 2x 7 − 2x 2

⎤7 ⎡ Az értelmezési tartomány: ⎥ ; + ∞ ⎢ . ⎦2 ⎣

Mintapélda8 Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát!

(

a) f (x) = lg x 2 − 5 x + 6

)

⎛ 5 − 2x ⎞ b) g ( x) = log 2 ⎜ ⎟ ⎝ 3x + 8 ⎠ 3

c) h( x) =

1 lg x

Megoldás:

a) A logaritmus definíciója szerint: x 2 − 5x + 6 > 0

⇒

x < 2 vagy x > 3.

Az értelmezési tartomány: ] – ∞ ; 2 [ ∪ ] 3; ∞ [ . b) A logaritmus definíciója szerint 5 − 2x >0 3x + 8

⇒

I) 5 – 2x > 0 és 3x + 8 > 0

⇒

−

8 5 <x< 3 2

⎤ 8 5⎡ Az értelmezési tartomány: ⎥ − ; ⎢ ⎦ 3 2⎣

II) 5 – 2x < 0 és 3x + 8 < 0

c) A nevező miatt: lg x ≠ 0, ezért x ≠ 1 . A logaritmus értelmezési tartománya miatt: x > 0 Az értelmezési tartomány: R+ \ {1}.

⇒

nincs megoldás

⎧ 5⎫ ⎨− ⎬ . ⎩ 3⎭

117


Feladatok 19. Mely x-ekre értelmezhetők az alábbi függvények?

(3 − 2 x )2

a) a( x) = lg(− x)

b) b( x) = log

d) d(x) = log 1 ( x + 7)

e) e(x) = log 2 x − 7

9

3

c) c( x) = 2 log 3 (3 − 2 x) f) f (x) = log 2,6 x − 3

20. Mely x-ekre értelmezhetők az alábbi függvények?

a) a ( x) = log 0,7 ( x + 3)

(

d) d(x) = log 5 25 − x 2

)

b) b(x) = log 7 ( x − 4 )

c) c(x) = log 3 ( x − 3)( x − 5)

x−3 e) e(x) = log 3 5− x

f) f ( x) = log 5 x 2 + x − 12

(

)


(

)

a) m( x) = log ( x +1) 3x 2 + 4 x + 1

b) n( x) = lg

c) q ( x) = lg log 2 x

d) r ( x) =

x 2 + 3x + 2 x+4

lg x + 2 2x

A logaritmusfüggvény grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal Az előzőekben megismerkedtünk a logaritmusfüggvénnyel. A továbbiakban az

f ( x ) = log a x; a > 0; a ≠ 1; x > 0 függvényt az a alapú logaritmus alapfüggvényének nevezzük. Nézzük meg ennek a függvénynek néhány transzformáltját!

Mintapélda9 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a pozitív valós számok halmazán értelmezett következő függvényeket!

a) f (x) = log2 x + 2

b) g(x) = log 1 x − 3 2

118


TANULÓK KÖNYVE

Megoldás: a) Transzformációs lépések: 1. a(x) = log2 x


2. f (x) = log2 x + 2

a grafikonjának eltolása v(0; 2) vektorral

Jellemzés: 1. É.T.:

R+

2. É.K.:

R

3. Zérushely:

log2 x + 2 = 0,

log2 x = –2

A logaritmus definíciója alapján x = 2 − 2 = 4. Monotonitás:

szigorúan monoton növő

5. Szélsőérték:

nincs

1 4

6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható

b) Transzformációs lépések: 1. a(x) = log 1 x


2. g(x) = log 1 x − 3

a grafikonjának eltolása

2

2

v (0; –3) vektorral

Jellemzés: 1. É.T:

R+

2. É.K.:

R

3. Zérushely:

log 1 x − 3 = 0, 2

. log 1 x = 3 . 2

3

4. Monotonitás:

1 ⎛1⎞ A logaritmus definíciója szerint x = ⎜ ⎟ = . 8 ⎝2⎠ szigorúan monoton csökkenő

5. Szélsőérték:

nincs


119


Mintapélda10 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket! a) f (x) = log2 (x + 2), ha x > –2

b) g (x) = log 1 ( x − 3) , ha x > 3 2

Megoldás: a) Transzformációs lépések: 1. a(x) = log2 x


2. f (x) = log2 ( x + 2 )

a grafikonjának

eltolása v( –2; 0 ) vektorral Jellemzés: 1. É.T.:

] –2; ∞ [

2. É.K.:

R

3. Zérushely:

log2 ( x + 2 ) = 0 A logaritmus definícióját alkalmazva x + 2 = 1,

4. Monotonitás:

szigorúan monoton növő

5. Szélsőérték:

nincs

x = –1


b) Transzformációs lépések: 1. a ( x) = log 1 x

az alapfüggvény

2

ábrázolása 2. g ( x) = log 1 ( x − 3)

a grafikonjának

2

eltolása v( 3; 0) vektorral


] 3; ∞ [

2. É.K.:

R

120


3. Zérushely:

TANULÓK KÖNYVE

log 1 ( x − 3) = 0 2

A logaritmus definíciója alapján x − 3 = 1 , 4. Monotonitás:


5. Szélsőérték:

nincs

x=4


Mintapélda11 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket, ha x pozitív valós szám!

a) f (x) = –

1 log2 x 2

b) g (x) = 2 log 1 x 2

Megoldás: a)

Transzformációs lépések: 1. a(x) = log2 x

az alapfüggvény

ábrázolása 2. b(x) =

1 log2 x 2

a grafikonjának

1 -szeres 2

nyújtása / zsugorítása az y tengely mentén 3. f (x) = −

1 log2 x b grafikonjának tükrözése 2

az x tengelyre


R+

2. É.K.:

R

3. Zérushely:

–

1 log2 x = 0, 2

log2 x = 0

A logaritmus definícióját alkalmazva x = 1 4. Monotonitás:


5. Szélsőérték:

nincs


121


b) Transzformációs lépések: 1. a (x) = log 1 x

az alapfüggvény

2

ábrázolása 2. g (x) = 2 log 1 x

a grafikonjának

2

kétszeres nyújtása az y tengely mentén Jellemzés: 1. É.T.:

R+

2. É.K.:

R

3. Zérushely:

2 log 1 x = 0, 2

log 1 x = 0 2

A logaritmus definíciója szerint x = 1 4. Monotonitás:


5. Szélsőérték:

nincs


Mintapélda12 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket a megfelelő értelmezési tartományokon!

⎛ 1 ⎞ a) f (x) = log 2 ⎜ − x ⎟ ⎝ 2 ⎠

b) g (x) = log 1 (2 x ) 2

Megoldás: a)

Transzformációs lépések: 1. a (x) = log2 x


⎛1 ⎞ 2. b (x) = log 2 ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠

a grafikonjának két-

szeres nyújtása az x tengely mentén

⎛ 1 ⎞ 3. f (x) = log 2 ⎜ − x ⎟ ⎝ 2 ⎠ rözése az y tengelyre

b grafikonjának tük-

122


TANULÓK KÖNYVE


R–

2. É.K.:

R

3. Zérushely:

⎛ 1 ⎞ log 2 ⎜ − x ⎟ = 0 ⎝ 2 ⎠ A logaritmus definíciója alapján −

4. Monotonitás:


5. Szélsőérték:

nincs

1 x = 1, x = –2 2


b)

Transzformációs lépések: 1. a (x) = log 1 x az alapfüggvény ábrázolása 2

2. g (x) = log 1 (2 x )

a grafikonjának

2

1 -szeres zsugorítása az x tengely mentén 2


R+

2. É.K.:

R

3. Zérushely:

log 1 (2 x ) = 0 2

A logaritmus definícióját alkalmazva 2x = 1, x = 4. Monotonitás:


5. Szélsőérték:

nincs


1 2

123


Feladatok 22. Készítsd el a következő függvények grafikonját, majd jellemezd a függvényeket! Elő-

ször az értelmezési tartományukat határozd meg! a) e( x) = log 4 x − 2

b) f ( x) = 1 + log 1 x

c) g ( x) = log 3 (1 + x)

d) h( x) = log 1 ( x − 4)

e) i ( x) = 2 ⋅ log 5 x

1 f) j ( x) = − lg x 5

4

2

23. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! A c) feladatnál megadtuk az értel-

mezési tartományt, a többi függvény esetében először azt határozd meg! a) m( x) = 3 − log 1 x

b) n( x) = log 5 (5 − x )

c) p ( x) =| log 1 x | ; x ∈ ] 0; 5]

d) q ( x) = −2 lg x + 5

3

5

1 log 1 ( x − 2) 5 4

e) r ( x) =

24. Az alábbi logaritmusfüggvényeknek melyik exponenciális függvény az inverze?

a( x) = log 2 x

⎛3⎞ g ( x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

b( x) = log 5 x

h( x ) = 5 x

c( x) = log 1 x

⎛1⎞ k ( x) = ⎜ ⎟ ⎝5⎠

d ( x) = log 3 x

⎛2⎞ l ( x) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

e( x) = log 2 x

⎛1⎞ m( x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

f ( x) = log 1 x

n( x ) = 2 x

3

2

2

5

x

x

x

x

124


TANULÓK KÖNYVE

A grafikon felhasználásával megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek Már találkoztunk olyan exponenciális egyenletekkel, egyenlőtlenségekkel, amelyek algebrai módszerekkel nem, csak az exponenciális függvény tulajdonságait felhasználva, a grafikonjának pontos ismeretével oldhatók meg. Most olyan egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg, amelyekben logaritmikus kifejezés is szerepel.

Mintapélda13 Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log 2 x = x − 1

b) log 1 x = 9 x 2 3

Megoldás: a) Az egyenlet bal oldalából képezzük az a(x) = log 2 x , a jobb oldalából a b(x) = x – 1 függvényt. Készítsük el a függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben!

Az ábráról leolvasható a megoldás: x1 = 1; x2 = 2, más megoldás nincs. b) Az a) részhez hasonlóan járunk el: a(x) = log 1 x , b(x) = 9 x 2 3

Az ábráról leolvasható a megoldás: x =

1 , más megoldás nincs. 3

125


Mintapélda14 Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket a pozitív valós számok halmazán! a) log 4 x ≥ |x|

b) log 4 x < x 2

Megoldás: a)

b)

log 4 x < x 2 minden x-re teljesül.

Az egyenlőtlenség sehol sem teljesül.

Mintapélda15 A logaritmusfüggvény monotonitását felhasználva állapítsuk meg, melyik szám a nagyobb! a) log 7

1 8

vagy

1 log 7 ; 3

b) log 0,12 4

vagy

log 0,12

16 . 3

Megoldás: a) A logaritmus alapja nagyobb 1-nél, tehát a függvény szigorúan monoton növekvő. Ezért log 7

1 1 < log 7 . 8 3

b) A logaritmus alapja 0 és 1 között van, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ezért log 0,12 4 > log 0,12

16 . 3

Feladatok 25. A logaritmusfüggvény monotonitását felhasználva állapítsd meg, melyik szám a na-

gyobb! a) log 2 6

vagy

log 2 11 ;

log 21

7 ; 16

log 5

3 . 11

c) log 21

13 15

vagy

e) log 5

3 8

vagy

7

7

3 7

vagy

log 5

11 ; 5

d) log 2 5

vagy

log 2

13 ; 4

b) log 5

3

3

126


TANULÓK KÖNYVE

26. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!

a) 0,2 ⋅ log 5 x = − x

b) log 2 x = − x 2 + 5

27. Mely x értékekre teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek?

a) log 2 x < 1

⎛1⎞ b) log 1 ( x ) > ⎜ ⎟ 4

⎝4⎠

x

c) 1 + log 1 x ≥ x 2

127


III. A logaritmus azonosságai Ismerkedjünk meg azokkal az azonosságokkal, amelyek segítik a logaritmusos kifejezésekkel való számolást. Természetesen ezek a hatványozás azonosságainak logaritmusos megfelelői. Szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével.

Képletben: log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y, a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 . A logaritmus definíciója alapján: x = a log a x ,

y = a log a y .

Azonos alapú hatványokat szorzására tanult összefüggés alapján:

xy = a log a x ⋅ a loga y = a log a x+loga y . A logaritmus definíciójából következik: xy = a log a ( x⋅ y ) . A két egyenlőséget összevetve: a log a x +log a y = a log a ( x⋅ y ) . Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevő-

ik megegyeznek: log a x + log a y = log a xy . log a xy = log a x + log a y Hányados logaritmusa egyenlő a számláló logaritmusának és a nevező logaritmusának a különbségével.

Képletben: log a

x = log a x − log a y, a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 . y

A logaritmus definíciója alapján: x = a log a x ,

y = a log a y .

Azonos alapú hatványok osztására tanult összefüggés alapján:

x a loga x = = a loga x−loga y . y a loga y

⎛x⎞

log a ⎜⎜ ⎟⎟ x A logaritmus definíciójából következik: = a ⎝ y ⎠ . A két egyenlőséget összevetve: y

a

log a x − log a y

=a

⎛x⎞ log ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠

. Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevőik

megegyeznek: log a x − log a y = log a

log a

x . y

x = log a x − log a y y

128


TANULÓK KÖNYVE

Hatvány logaritmusa egyenlő a kitevőnek és az alap logaritmusának a szorzatával.

Képletben: log a x k = k ⋅ log a x, a > 0, a ≠ 1, x > 0, k ∈ R. A logaritmus definíciója alapján: x = a log a x .

(

Hatvány hatványozására tanult azonosság alapján: x k = a log a x

)

k

= a k ⋅log a x

k

A logaritmus definíciójából következik: x k = a log a x . A két egyenlőséget összevetve: k

a k log a x = a log a x . Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevőik megegyeznek: k log a x = log a x k . log a x k = k log a x

Áttérés más alapú logaritmusra

A logaritmus definíciója alapján: x = a log a x , a > 0, a ≠ 1, x > 0 . Vegyük mindkét oldal y alapú logaritmusát: log y x = log y a

log y a

y > 0, y ≠ 1

,

A hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság alapján: log y x = log a x ⋅ log y a Ebből: log a x =

log y x log y a

log a x =

log y x log y a

Mintapélda16 Számítsuk ki a következő kifejezések pontos értékét! a) 3 2+ log 3 4

b) 9 log3 7

c) 2 log

2

2 + log

2

9 − log

2

18

d) lg sin 30° + lg cos 60° + lg 40 Megoldás:

Alkalmazzuk a hatványozás és a logaritmus azonosságait! a) 3 2+ log 3 4 = 3 2 ⋅ 3 log 3 4 = 9 ⋅ 4 = 36 b) 9 log3 7 = (3 2 )

log 3 7

c) 2 log

2

2 + log

2

= 3 2 log3 7 = 3log3 7 = 3log3 49 = 49 9 − log 2

18 = log 2

2

22 ⋅ 9 = log 18

2

2=2

1 1 ⎛1 1 ⎞ d) lg sin 30° + lg cos 60° + lg 40 = lg + lg + lg 40 = lg⎜ ⋅ ⋅ 40 ⎟ = lg 10 = 1 2 2 ⎝2 2 ⎠

129


Feladatok 28. Keresd meg a párját!

a) log 6 2 + log 6 18 b)

1 log 5 125 3

A)

log 2 96 − log 2 3 2

B) lg 80 + lg 15 − lg 45 + 2 lg 3 − lg 12 + lg 50

c) log12 60 − log12 5

C) log 2 64 + log 4 16

d) 5 lg 10 + log 5 125

D)

1 log 2

e) 3 log 2 4

E)

log 4 8 log 32 8

f)

1 log 3 729 2

5

10 − log

5

2 − log

5

5

F) log 9 27 ⋅ log 3 81

g) 2 log 2 2

G) lg 15 + lg 12 − lg 75 + 2 lg 5 − lg 6

h) log 2 tg 30° + log 2 sin 60°

H) lg 2 + lg 50

29. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

a) 4 3+log 4 2

b) 6 2+ 2 log 6 3

c) 2 4+3 log 2 5

d) 4 log 4 3+log 4 2

e) 3 2 − log 3 6

f) 7 log 7 6−log 7 2

g) 8 log 2 5

h) 16 log 2 3

i) 4 2 log 2 3

30. Mennyivel egyenlő lg 200 , ha b = lg 2 ?

31. Mennyivel egyenlő log 3 108 , ha a = log 3 2 ?

32. Mennyivel egyenlő log 2 12 , ha c = log 2 9 ?

33. Az lg 2 ≈ 0,3010 és lg 7 ≈ 0,8451 felhasználásával határozd meg a következő kifeje-

zések értékét! a) lg 3,5

b) lg 14

c) lg 49

d) lg 2

130


TANULÓK KÖNYVE

IV. Logaritmikus egyenletek A logaritmusfüggvény ismeretében megoldható egyenletek Logaritmusos egyenleteknek nevezzük azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlent

tartalmazó kifejezés logaritmusa szerepel. Az ilyen típusú egyenletek egy részénél mindössze a logaritmus definícióját kell ismerni és alkalmazni. A logaritmusos egyenletek megoldását általában az értelmezési tartomány vizsgálatával kezdjük. A logaritmus argumentumában csak pozitív értékű kifejezés állhat, a logaritmus alapja is pozitív kifejezés kell, hogy legyen, ami nem lehet 1. Ha a vizsgálat túl bonyolult, hosszadalmas folyamat lenne, akkor kiválthatjuk a kapott gyök (gyökök) ellenőrzésével. Ha az egyenlet megoldásakor nem ekvivalens lépéseket alkalmazunk, akkor az ellenőrzés nem hagyható el.

Mintapélda17 Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) log 3 ( x + 1) = log 3 81 2

b) log 8 log 5 log 2 x = 0

Megoldás:

a) A logaritmus argumentumában csak pozitív értékű kifejezés állhat, ezért

(x + 1)2 > 0

⇒

x ≠ −1 . A kifejezés értelmezési tartományába x = −1 kivételével az

összes valós szám beletartozik. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( x + 1) = 81 . 2

Megoldjuk az egyenletet:

x + 1 = 9 ⇒ x1 = 8 ; x2 = −10 .

Mindkét gyök beletartozik az egyenlet értelmezési tartományába, így mindkettő megoldása az egyenletnek. b) Az értelmezési tartomány meghatározása hosszadalmas lenne, ezért majd a kapott gyököket ellenőrizzük. A logaritmus definíciója szerint log 5 log 2 x = 8 0 , azaz log 5 log 2 x = 1 . Ismét a logaritmus definícióját alkalmazva: log 2 x = 51 , vagyis log 2 x = 5 . Innen: x = 2 5 = 32 .

131


Ellenőrzés: Az egyenlet bal oldala: log 8 log 5 log 2 32 = log 8 log 5 5 = log 8 1 = 0 ami valóban megegyezik az egyenlet jobb oldalával. Tehát az x = 32 valóban gyöke az egyenletnek. Mivel a megoldás során csak ekvivalens lépéseket alkalmaztunk, az egyenletnek nincs más megoldása.

Feladatok 34. Határozd meg a kifejezésekben előforduló változók értékét!

a) log 2 a = 3

b) log 3 b = 2

c) log 3 81 = c

d) log 2 32 = d

e) log e 16 = 4

f) log f 27 = 3

35. Oldd meg a következő egyenleteket!

c) log 4 ( x + 3) = log 4 (3 x − 1)

b) log 4 x = log 4 3

a) lg x = lg 12

3

e) log 1 x 2 = log 1 (10 x − 24)

d) lg x 2 = lg16

3

3

f) log 5 ( x + 3) = log 5 ( x + 3) 2

3


a) log 9 log 2 log 3 x = 0 c) log 25 log 3 log 2 x =

b) log 3 log 4 log 2 x = 1

1 2

d) log 16 [6 − 4 log 5 (x − 3)] =

1 4

37. Fejtsd meg a keresztrejtvényt! Vízszintes 1. A log 5 (x − 25) = 3 egyenlet megoldása.

( (x

)

4. A log x x 3 + x 2 − 11x + 30 = 3 egyenlet megoldásai növekvő sorrendben. 5. A log 5

2

)

− 3x − 3 = 2 egyenlet megoldásai csökkenő sorrendben.

Függőleges 1. A log

2

x = log

(

2

5 + log

2

3 egyenlet megoldása.

)

2. A log 2 − x 2 + 12 x − 32 kifejezés értelmezési

tartományában előforduló egészek, növekvő sorrendben. 3. A log 3 17 1 = x egyenlet megoldása.

132


TANULÓK KÖNYVE

A logaritmus azonosságaival megoldható egyenletek A logaritmusos egyenletek egy másik típusában a logaritmus azonosságait alkalmazzuk. Célunk ilyenkor az, hogy az egyenlet két oldalán azonos alapú logaritmus szerepeljen. Ekkor a logaritmusfüggvények kölcsönös egyértelműségére (vagy szigorú monotonitására) hivatkozva, az argumentumok egyenlőségére következtetünk.

Mintapélda18 Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) lg( x + 10) − lg( x − 5) = 2 − lg 25

b) lg( x − 4 ) −

lg (3 x − 20 ) = 2 − lg 50 2

Megoldás:

a) Határozzuk meg az egyenlet értelmezési tartományát: x + 10 > 0, x − 5 > 0, azaz 5 < x . Az értelmezési tartomány: ] 5; + ∞ [ . I) Az egyenlet mindkét oldalán alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, valamint írjuk (x + 10) = lg 100 . át a 2-t lg 100 alakba: lg ( x − 5) 25 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt:

x + 10 = 4. x−5

Ebből x + 10 = 4(x − 5) ⇒ x = 10 . Ez eleme az egyenlet értelmezési tartományának, és visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldása az egyenletnek. II) Az egyenletet átírva:

lg( x + 10 ) − lg( x − 5) + lg 25 = 2

(x + 10) ⋅ 25 = 2

Az azonosságokat alkalmazva:

lg

A logaritmus definíciója alapján

(x + 10) ⋅ 25 = 10 2 = 100 , innen

x−5

x −5

25 x + 250 = 100 x − 500

750 = 75 x ⇒ x = 10 . Az ellenőrzést természetesen ennél a második megoldásnál is elvégezzük.

133


20 < x , vagyis 3

b) Az egyenlet értelmezési tartománya: x − 4 > 0, 3 x − 20 > 0 , azaz

⎤ 20 ⎡ x∈⎥ ; + ∞ ⎢ . ⎦ 3 ⎣ Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, valamint írjuk át a 2-t lg 100 alakba: lg( x − 4 ) − lg 3 x − 20 = lg 100 − lg 50

lg

(x − 4) 3x − 20

= lg

100 50

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x−4

3x − 20

=2

x − 4 = 2 3 x − 20

20 , akkor az egyenlet mindkét oldalán álló kifejezések pozitívak, ezért a 3 négyzetre emelés után az előzővel ekvivalens egyenletet kapunk:

Ha x >

( x − 4 )2

= 4(3 x − 20 )

x 2 − 20 x + 96 = 0 ⇒

x1 = 12 ; x 2 = 8

Mindkét megoldás hozzátartozik az egyenlet értelmezési tartományához, és mindkettő megoldás. Megjegyzés: Az ( x − 4 ) = 4(3 x − 20 ) egyenlethez másképp is eljuthatunk, ha az azonosságokon kívül csak a logaritmus definícióját alkalmazzuk: 2

2 ⋅ lg( x − 4 ) − lg(3 x − 20 ) = 4 − 2 ⋅ lg 50

A definíció szerint Így

(x − 4)2 ⋅ 50 2 3x − 20

⇒

2 ( x − 4 ) ⋅ 50 2 lg

3 x − 20

=4

= 10 4 = 10000

(x − 4)2 = 4(3x − 20) .

Feladatok 38. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) log 2 x = log 2 40 − log 2 5

b) log 6 3 x = log 6 12 + log 6 4

c) lg x = 2 − lg 5

d) log 2 (x + 2) = 4 + log 2 3

e)

lg( x − 1) =2 1 − lg 2

134


TANULÓK KÖNYVE


lg(4 x + 5) =2 lg( x − 4)

a) lg(2 x + 1) + lg(x + 3) = lg(2 x + 15)

b)

c) log 3 (x + 6) + log 3 x = 3

d) 2 log 2 ( x − 4) − log 2 2 = log 2 ( x − 4)


a) log 2 x + log 8 x = 12

b) log 3 x + log 9 x = 6

41. Oldd meg a következő egyenleteket! log 1 (3 x + 1)

1 a) log 3 (2 x − 1) = log 3 ( x − 2 ) 2

c)

1 log 2 2 + log 2 2

2

b)

x − 1 = log 2 ( x − 13)

2

= log 1 ( x − 3) 2

1 d) lg( x − 12 ) − lg( x − 9 ) = lg 100 − lg 50 2

További logaritmikus és exponenciális egyenletek Mintapélda19 Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) (log 3 2 x ) − 10 log 3 2 x + 9 = 0 2

b) lg 2 x + 2 lg x = lg x 3 + 2

Megoldás:

a) Határozzuk meg az egyenlet értelmezési tartományát: 2 x > 0, azaz 0 < x . Ez log 3 2 x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = log 3 2 x új ismeretlent, ekkor az egyenlet: y 2 − 10 y + 9 = 0 , megoldásai: y1 = 9 ; Ha y1 = 9 , akkor log 3 2 x = 9 , innen 2 x = 39

⇒ x=

Ha y 2 = 1 , akkor log 3 2 x = 1 , innen 2 x = 3 ⇒ Az egyenlet megoldásai: x1 =

x=

y2 = 5 .

39 . 2

3 . 2

39 3 ; x2 = . 2 2

b) Az egyenlet értelmezési tartománya: x > 0 . Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot: lg 2 x + 2 lg x = 3 lg x + 2

135


Vezessük be az y = lg x új ismeretlent, ekkor egyenletünk: y 2 − y − 2 = 0 , megoldásai: y1 = 2 ;

y 2 = −1 .

Ha y1 = 2 , akkor lg x = 2 , innen x = 100 . Ha y 2 = −1 , akkor lg x = −1 , innen x =

1 . 10

Az egyenlet megoldásai: x1 = 100 ; x 2 =

1 . 10

Mintapélda20 Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) 3 2 x − 14 ⋅ 3 x + 45 = 0

b) 5 x

2

−9

⋅ 3 x −3 = 1

c) x log 3 x −1 = 729, x > 0

Megoldás:

a) Ez 3 x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = 3 x új ismeretlent, ekkor y 2 = 3 2 x , ezzel az egyenlet: y 2 − 14 ⋅ y + 45 = 0 , megoldásai: y1 = 9 ;

y2 = 5 .

Ha y1 = 9 , akkor 3 x = 9 , innen x = 2 . Ha y 2 = 5 , akkor 3 x = 5 , innen x = log 3 5 =

lg 5 ≈ 1,465 . lg 3

Az egyenlet megoldásai x1 = 2; x 2 = log 3 5 . b) Észrevehetjük a x 2 − 9 = (x + 3)( x − 3) nevezetes azonosságot, így a kitevőt szorzattá alakíthatjuk: 5 ( x + 3 )( x −3 ) ⋅ 3 x −3 = 1 , majd alkalmazzuk a hatványozás azonosságait:

(5(

x +3)

⋅ 3)

x −3

= 1.

Egy hatvány két esetben lehet 1: 1. eset: A kitevő nulla, és a hatványalap nem nulla: x − 3 = 0 ⇒ 2. eset: A hatványalap 1: 5 ( x +3 ) ⋅ 3 = 1 ⇒ 5 x +3 =

x=3

1 . 3

Mivel mindkét oldal pozitív, tehát vehetjük az oldalak 10-es alapú logaritmusát: lg 5 x +3 = lg

1 3

Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot: 1 lg 1 (x + 3) lg 5 = lg ⇒ x = 3 − 3 ≈ −3,6826 3 lg 5

136


TANULÓK KÖNYVE

1 Az egyenlet megoldásai x1 = 3 ; x 2 = 3 − 3 . lg 5 lg

c) Az egyenlet értelmezési tartománya: R+. Vegyük mindkét oldal 3-as alapú logaritmusát: log 3 x log3 x −1 = log 3 729 Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot: (log 3 x − 1) log 3 x = 6 2

Rendezzük az egyenletet: log 3 x − log 3 x − 6 = 0 Vezessük be az y = log 3 x új ismeretlent, ekkor az egyenlet: y 2 − y − 6 = 0 , melynek megoldásai y1 = 3;

y 2 = −2 .

Innen log 3 x = 3 ⇒ x1 = 27, vagy log 3 x = −2 ⇒ x 2 = Az egyenlet megoldásai x1 = 27 ; x 2 =

1 . 9

1 . 9

Feladatok 42. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 7 x = 5

b) 3 x = 4

c) 4 x + 3 = 15

d) 2 ⋅ 3 2 x −3 = 7

e) 7 2 x + 5 ⋅ 7 x − 14 = 0

f) 2 2 x + 3 − 7 ⋅ 2 x + 2 + 24 = 0


a) log 3 (2 2 x +3 + 3) = log 3 7 + log 3 (2 x + 2 − 3) b) lg 2 x + 2 + lg(2 x − 4) = 7 ⋅ lg 2 c) x lg x −9 = 1010 , x > 0


137

V. Exponenciális és logaritmikus folyamatok A hétköznapi életben számtalan folyamattal találkozhatunk, amelyek exponenciális vagy logaritmikus összefüggésekkel modellezhetők. Ilyen folyamatok például:

•

tőke növekedése, termelés növekedése, piaci folyamatok, kamatos kamat;

•

élőlények szaporodása;

•

radioaktív anyag bomlatlan atomjainak száma az eltelt idő függvényében;

•

légnyomás csökkenése a magasság függvényében.

Az exponenciális és a logaritmus függvényekkel kapcsolatban már találkoztunk néhány konkrét modellel, most nézzük meg ezeket közelebbről!

Mintapélda21 Zsuzsi le akarja cserélni tévéjét egy újra, ami 40 000 Ft-ba kerül. Már van 38 000 Ft-ja. Ha ezt az összeget befektetné évi 6%-os kamatra, akkor mennyi idő múlva vehetné meg a tévét, feltéve, hogy annak ára nem változik? Megoldás:

Zsuzsi pénze x év alatt éri el a 40 000 Ft-ot. 1 év alatt 1,06-szeresére nő. 2 év alatt: 1,06 ⋅ 1,06 –szeresére változik. x év alatt: 1,06x-szerese lesz.

40 000 = 38 000 ⋅ 1,06x 40000 = 1,12 x 38000 1,05 = 1,12x Mivel mindkét oldal pozitív, vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, és a jobb oldalra alkalmazzuk a logaritmus azonosságát: lg 1,05 = x lg 1,12. Ebből x = 0,43 . 0,43 év = 12 ⋅ 0,43 =5,16 hónap. Zsuzsi kb. fél év múlva megveheti a tévét.

138


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda22 A következő témával már az exponenciális egyenleteknél is találkoztunk. Itt – a logaritmus ismeretében – további kérdésekre is választ tudunk adni. A 226-os tömegszámú rádium (Ra) eredetileg N0 számú, t év elteltével N számú bomlatlan t

⎛ 1 ⎞ 1600 . radioktív rádiumatomot tartalmaz, ahol N = N 0 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ a) Mennyi idő alatt bomlik el a rádiumatomok fele? (Mennyi a rádiumatomok felezési ideje?) b) A rádiumatomok hány százaléka bomlik el évente? c) Hány év alatt bomlik el a radioaktív atomok 20%-a? Megoldás: a) Ha t idő elteltével a radioaktív rádiumatomok fele elbomlik, akkor a fele marad N bomlatlan, vagyis N = 0 . Ezt visszahelyettesítve a fenti egyenletbe, N0-lal egysze2 t

1 ⎛ 1 ⎞ 1600 rűsíthetünk. Ezt kapjuk: = ⎜ ⎟ . 2 ⎝2⎠ Mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért a hatványkitevők is megegyeznek, azaz 1 =

t , ebből t = 1600 év. 1600

b) A képletből közvetlenül az számítható ki, hogy a radioaktív rádiumatomok hány százaléka nem bomlik el egy év alatt! 1

N ⎛ 1 ⎞ 1600 N1 = N 0 ⋅ ⎜ ⎟ . Ebből az 1 hányados értéke adja meg a keresett arányt. N0 ⎝2⎠ 1

N1 ⎛ 1 ⎞ 1600 = 0,99957 ⇒ 99,957 % =⎜ ⎟ N0 ⎝ 2 ⎠

Tehát egy év alatt az atomok 0,043 %-a bomlik el. c) t év alatt bomlik el a radioaktív atomok 20%-a, azaz t év múlva az atomok 80 %-a mat

N ⎛ 1 ⎞ 1600 rad bomlatlan. Ez éppen azt jelenti, hogy t = 0,8 ⇒ ⎜ ⎟ = 0,8 N0 ⎝2⎠ Mivel a keresett érték a hatványkitevőben van, valamint mindkét oldal pozitív, vegyük

mindkét oldalnak a 10-es alapú logaritmusát, és a bal oldalra alkalmazzuk a logaritmus azonosságát. Ekkor kapjuk: t 1 ⋅ lg = lg 0,8 . Ebből t ≈ 515 év. 1600 2

139


Mintapélda23 A 1850 -ben a Föld népessége kb. 675 millió fő volt. Megállapították, hogy évente átlagosan 0,3% a növekedés. Ennek alapján hány ember élt a Földön 100 évvel később, és mennyire becsülnéd változatlan növekedési ütem mellett a létszámot a 2100-ra? Megoldás:

Az első év végére az 675 000 000 fős népesség 675 000 000 ⋅ 1,003-szorosára nőtt. A második év végére a népesség 675 000 000 ⋅ 1,0032 fő lett. A 3. év végére 675 000 000 ⋅ 1,0033 , stb. 100 év múlva pedig: 675 000 000 ⋅ 1,003100 ≈ 910 000 000 fő lett. Ettől az időtől számítva 2100-ig 250 év telik el. Ekkorra a népesség száma az adott növekedési ütem mellett 675 000 000 ⋅ 1,003250 ≈ 1 430 000 000 főre becsülhető. Megjegyzés: Kiderült, hogy a statisztikusok igen rosszul állapították meg a növekedési

ütemet, hiszen a világ népessége már 1980-ban kb. 4,4 milliárd fő volt!

Mintapélda24 A kilométerben megadott h magasságban uralkodó p nyomás a p = p0 ⋅ e −0,1275h képlettel számítható ki, ahol p0 a Földön lévő légnyomás, és e ≈ 2,718, ez a természetes alapú logaritmus alapszáma. a) Mekkora magasságba kell emelkedni a Földtől, hogy a légnyomás a tengerszinten mért légnyomás felére csökkenjen? b) Mekkora magasságba kell emelkedni a Földtől, hogy a légnyomás a tengerszinten mért légnyomáshoz képest 10%-kal csökkenjen? Megoldás:

a) Tudjuk, hogy a keresett magasságban a légnyomás a felére csökken, azaz p = Ezt behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk: Egyszerűsítés után:

p0 . 2

p0 = p0 ⋅ 2,718−0,1275 h 2

1 = 2,718 − 0,1275h 2

Mivel mindkét oldal pozitív, vehetjük az egyenlet 10-es alapú logaritmusát, és alkalmazzuk a logaritmus azonosságait: lg 0,5 = –0,1275 h ⋅ lg 2,718; ebből h = 5,4. A nyomás kb. 5,4 km magasságban fele a tengerszinten mért nyomásnak.

140


TANULÓK KÖNYVE

b) Ha a keresett magasságban a p nyomás a tengerszinten mért nyomásnál 10%-kal kevesebb, akkor p = 0,9 p0 Behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk: 0,9 p0 = p0 ⋅ e −0,1275h Egyszerűsítés és a logaritmus definíciójának alkalmazása után kapjuk: lg 0,9 = –0,1275h ⋅ lg 2,718; ebből h = 0,83 . A nyomás kb. 830 m magasságban 90%-a a tengerszinten mért nyomásnak.

Feladatok 44. Egy szakszervezet azt követeli, hogy a bérek évi 8% -kal növekedjenek.

a) Ha ezt elérik, akkor mennyire nő meg 3 év alatt a mai 74 000 Ft-os fizetés? b) Ilyen növekedés mellett mikorra lenne a dolgozók fizetése legalább másfélszerese a mainak? 45. A Föld népessége évente 0,75%-kal növekszik, 2006-ban 6,5 milliárd ember élt a Föl-

dön. Változatlan szaporodási ütem mellett melyik évben érné el az össznépesség száma a 9 milliárdot? 46. Mennyi a felezési ideje annak a radioaktív izotópnak, amelynek az aktivitása kezdet-

ben 6 ⋅10−13 Bq, de 2 hét múlva már csak 4,78 ⋅10 −13 Bq? A radioaktív anyagok bomlását a C = C0 ⋅ 2

− Tt

egyenlet írja le, ahol C a pillanatnyi aktivitás, C0 a kezdeti aktivi-

tás, t az eltelt idő, T pedig az anyag felezési ideje; Bq, azaz becquerel, az aktivitás mértékegysége.

47. A gázok adiabatikus (hőcsere nélküli) állapotváltozását a

p κ−1 = állandó egyenlet írja Tκ

le, ahol p a gáz nyomása, T a hőmérséklete, κ (kappa) pedig egy, a gáz fajtájára jellemző arányszám. Mekkora ez az arányszám az oxigén esetén, ha a nyomást 100szorosára, a hőmérsékletet 4-szeresére növeljük?

141


Vegyes feladatok 48. Számold ki a következő logaritmus értékeket!

a) log 1 3

1 9

c) log 2 3 16

b) log 1 125 5


a) log 7 a = 1

b) log 1 b = 0

c) log 2 u = 2

2

3

d) log

−

2 5

z = −3


a) log a 5 4 =

1 5

b) log b

7 = −1 5

d) log d 100 = −4

c) log c (−5) = 2


a) 3

log3 9

⎛ 1 ⎞ e) ⎜ ⎟ ⎝ 49 ⎠

log7

c) (− 4 )log(− 4 )12

b) 7 log7 1 1 3

1−log 1 3

f) 3

g) 2

9

log 2

2

d) 3log3 0 1+ log 1 27

⎛ 1 ⎞ h) ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

3

9


a) a( x) = log

2

−x

d) d(x) = log1,7 x

b) b ( x ) = log 0 ,1 (3 + 4 x )

c) c(x) = log 4 (2 − x)

e) e(x) = lg 4 − x

f) f (x) = lg 5 − x


a) a ( x ) = log 0,3 (6 − x )

b) b( x ) = log1, 2 (x 2 − 9 )

c) c( x ) = log 3 (− x 2 + 8 x − 15)

d) d ( x ) = lg lg(5 − x )

e) e( x ) = log 1 8 − 2 x

f) f ( x ) = log12 ( x − 5)

5

3

54. Készítsd el a következő függvények grafikonját, majd jellemezd a függvényeket!

a) a ( x) = log 3 x ; x ∈ ]0; 3]

b) b( x) = log 1 x ; x ∈ Z

c) c( x) = − lg x ; x ∈ [1; 10[

d) d ( x) = lg 1 (− x) ; x ∈ ] –1; 0 [

3

10

142


TANULÓK KÖNYVE

55. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! Az a) feladatnál megadtuk az értel-

mezési tartományt, a többi függvény esetében először azt határozd meg! b) b( x) = lg | x + 1 |

a) a( x) = lg | x | ; x ∈ [–10; 10] \ {0} c) c( x) = log 2 (2 x + 1) 56. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) log 64 log 3 {27 ⋅ [log 5 (x + 3) + 1]} =

1 3

b) log 81 log 3 [3 + 3 log 4 x ] =

1 4


b) lg( x − 1) = 3 − lg 20

a) lg 2 x = 1 + lg 2


a)

lg(2 x + 21) = lg( x + 3) 2

b) log 2 x + log 2 ( x + 3) = 2

c) 2 log 3 ( x − 2) − log 3 4 = log 3 (2 x − 7 ) 59. Oldd meg a következő egyenleteket!

a)

1 lg( x − 5) + lg 2 = lg( x − 9 ) 2

b)

1 log 5 (x + 8) + log 5 x − 8 = log 5 6 2


b) 5 ⋅ 2 3 x +5 = 9

a) 5 x = 2

c) 3 x

2

−16

⋅ 4 x+4 = 1


3x + 3 = 2− x a) log 3 2 c) x log 2 x

2

+7

= 16, x > 0

b) log 3 (6 ⋅ 9 x + 5) = x + log 3 (3 x + 2 − 14 )

143


Kislexikon Logaritmus: A b pozitív szám a alapú (a > 0 és a ≠ 1) logaritmusának nevezzük azt a kite-

vőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Jelölés: logab (kiolvasva: a alapú logaritmus b). Matematikai jelölésekkel a logaritmus definíciója: a loga b = b , ahol b > 0; a > 0 és a ≠ 1 Logaritmusfüggvénynek nevezzük az f ( x ) = log a x; a > 0; a ≠ 1; x > 0 hozzárendelési utasí-

tással megadott függvényt. A logaritmus azonosságai:

log a x + log a y = log a xy log a x − log a y = log a

Áttérés más alapú logaritmusra:

k log a x = log a x k log y x log a x = log y a

x y

5. MODUL vektorok Készítette: Vidra Gábor

146


TANULÓK KÖNYVE

I. Ismétlés Mintapélda1 a) Számítsuk ki a koordináta-rendszerbe berajzolt síkidomok kerületét és területét! b) Mekkorák a B háromszög szögei? c) Mekkorák a C háromszög szögei? d) Ha a B háromszöget eltoljuk a (– 4; 2) vektorral, mik lesznek az új háromszög csúcsainak koordinátái? Megoldás: a) TA = 16 + π ≈ 19,1 ; TB = 4 ; TC = 6 (kétféle megoldás: T =

a⋅m , 2

vagy téglalap területéből kivonjuk két derékszögű háromszög területét). K A = 10 + 2π ≈ 16,3 , K B = 6 + 2 5 ≈ 10,5 ,

K C = 4 + 10 + 3 2 ≈ 11,4 .

(A háromszögek nem tengelyekkel párhuzamos oldalait Pitagorasz-tétellel számítjuk ki.) b) tangens szögfüggvénnyel: 63,4°, 90°és 26,6°. c) tangens szögfüggvénnyel: 63,4°, 45° és 71,6°. (PP’Q és PP’R háromszögből.) d) (1; 3), (3; 3), (2; 7). Az irányított szakaszt vektornak nevezzük. A fizikában több vektormennyiséget megismertünk: elmozdulás, sebesség, gyorsulás, erő stb. A vektorok kezdőpontjukkal és végpontjukkal kijelölnek egy irányt és egy távolságot. A távolságot a vektor hosszának vagy abszolútértékének nevezzük, és mindig valamilyen hoszszúságegységhez viszonyítjuk. A vektorok egyenlősége és azonossága különböző fogalmak. Két vektor azonos, ha kezdőpontjaik és végpontjaik páronként megegyeznek, jelölés: a ≡ b. Egy adott vektorral azonos vektor a síkon vagy a térben ugyanott helyezkedik el. Ezzel szemben egy adott vektorral egyenlő vektort a sík vagy tér bármely pontjából felmérhetünk, így egy adott vektorral egyen-

5. modul: VEKTOROK

147

lő vektorból végtelen sok van. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik (vagyis egyeneseik párhuzamosak és irányításuk azonos).

Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor: | e | = 1. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kez-

dőpontja és a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az a vektor ellentettjének nevezzük azt a vektort, amelyik vele egyenlő abszolútértékű, vele párhuzamos, de ellentétes irányú. Jelölése: – a . Ha egy vektor a koordináta-rendszer kezdőpontjából indul ki, azt helyvektornak nevezzük. A nem origó kezdőpontú vektorok a szabad vektorok.

Mintapélda2 Számítsuk ki az ábrán látható vektorok abszolútértékét! Megoldás: A koordináta-rendszer derékszögű négyzetrácsa és a Pitagorasz-tétel segítségével végezzük a számítást: | b | = 32 + 2 2 = 13 ≈ 3,6 egység. Hasonlóan számítva: | a | = 5 2 + 2 2 = 29 ≈ 5,4 egység.

Feladatok 1. Keress egyenlő, ellentett és azonos vektorokat a kockán és a szabályos hatszögön!

148


TANULÓK KÖNYVE

2. Keress az ábrán egyenlő, egyenlő abszolútértékű, illetve ellentett vektorokat!

Vektorműveletek Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: a) háromszög módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor az a + b vektor az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat.

b) paralelogramma módszer: ha a és b nem párhuzamosak, akkor az a és b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává; ekkor az a + b vektor a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora.

Több vektor összeadásánál használható a láncszabály:

Egy a vektor és a nullvektor összege az a vektorral egyenlő: a + 0 = a.

149

5. modul: VEKTOROK

A vektorok összeadása a számokkal végzett összeadáshoz hasonlóan kommutatív (felcserélhető) és asszociatív (csoportosítható) művelet: a + b = b + a és a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c )

A vektorok összeadásának ellentett művelete a vektorok kivonása. Az a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a – b vektor. Az a – b vektort úgy is megszerkeszthetjük, hogy az a vektorhoz hozzáadjuk b ellentett vektorát (– b vektort).

A vektorok kivonására a számok kivonásához hasonlóan nem teljesül sem a kommutativitás, sem az asszociativitás. A vektorok nyújtására és zsugorítására a számmal (skalárral) történő szorzást használjuk. Az ábrán az a, b és c vektorok között összefüggések állapíthatók meg: b=–a

ellentett vektorok, írhatjuk úgy is, hogy b = –1·a;

c = 2b,

valamint

c = 2·(– a) = –2·a.

További példák vektorok számmal való szorzására:

Az a vektor k-szorosa (k∈R, vagyis k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza |k|·|a|, iránya pedig k > 0 esetén a irányával megegyező, k < 0 esetén a irányával ellentétes, k = 0 esetén pedig nullvektort kapunk.

150


TANULÓK KÖNYVE

1-nél nagyobb abszolútértékű számmal megszorozva a vektort a hossza növekszik (nyújtás). Ha a szám abszolútértéke 0 és 1 közé esik, akkor a vektort vele megszorozva a vektor hossza csökken (zsugorítás). A csupán szorzótényezőjükben különböző vektorokat egyneműeknek tekintjük, így azok összevonhatók: például a + 2a = 3a. A vektorok összeadását és számmal való szorzását használjuk egy vektor összetevőkre bontásakor is. Ez a koordináta-rendszerben egyszerű, mert az x és y tengely egységvektorai (i és j) jelölik ki azokat az összetevőket, amelyekre a vektorokat bontjuk.

5. modul: VEKTOROK

151

II. Vektorkoordináták, vektorműveletek Mintapélda3 Bontsuk fel az ábrán szereplő vektorokat az i és j egységvektorok segítségével olyan összetevőkre, amelyek az x és y tengellyel párhuzamosak! Megoldás: Az ábra helyvektorát felbonthatjuk egy –2i és egy 4j nagyságú vektor összegére: b = –2i + 4j. Hasonlóan írható fel a szabad vektor is: a = 3i + (–2j), röviden a = 3i – 2j.

Ha a koordináta-rendszerben egy vektort az i és a j vektorok segítségével bontunk fel, akkor megkapjuk a vektor lineáris kombinációját, a v = v1 · i + v2 · j alakú felírást. A v1 és v2 számokat, vagyis i és j vektorok szorzóit a v vektor koordinátáinak nevezzük: v (v1; v2). A mintapéldában az a vektor első koordinátája 3, második –2, amit így jelölünk: a (3; –2). b koordinátái: b (–2; –4). Megjegyzés: A pontok és vektorok koordinátáit rendezett számpárnak is nevezik.

Azért „rendezett”, mert ezeket nem cserélhetjük fel: az 1. koordináta az x, a 2. koordináta az y tengely irányában mért távolságokat jelentik. Térben szükség van még egy koordinátára, ezért rendezett számhármasról beszélünk. Ekkor a z tengelyhez kapcsolódik a vektor 3. koordinátája. Helyvektor esetén a vektorkoordináták megegyeznek a végpont koordinátáival.

Mintapélda4 Adott egy négyszög négy csúcsa: A(–4; –1), B(–2; 4), C(2; 4), D(2; –3). a) Határozzuk meg az oldalak vektorait! b) Keressünk kapcsolatot a vektorkoordináták és a végpontok koordinátái között! Egészítsük ki a mondatot a megadott szavak felhasználásával (kötőszavakat, névelőket pótolhatsz)!

152


TANULÓK KÖNYVE

Adottak egy vektor kezdőpontjának és végpontjának koordinátái. A vektor koordinátáit megkapjuk, ha ……………………………………………………………………………. c) Számítsuk ki az AB vektor hosszát, és az A és C pontok távolságát! Megoldás: a) Leolvassuk az oldalvektorok koordinátáit: AB (2;5), BC (4;0), CD (0;−7), DA(−6;2) .

b) A vektor koordinátáit megkapjuk, ha a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont megfelelő koordinátáit. c) Az AB (2;5) koordinátáiból számítjuk ki a hosszát, egy derékszögű háromszög segítségével: | AB | = 2 2 + 5 2 = 29 ≈ 5,4 egység, amit méréssel ellenőrizhetünk. Az A(–4; –1) és C(2; 4) pontok távolságának meghatározásához szintén derékszögű háromszöget használunk, amelynek oldalai: 6 és 5 egység, így a távolság

61 ≈ 7,8 egy-

ség. Ha adott a vektor kezdőpontja: A (a1; a2) és végpontja: B (b1; b2), akkor a vektor koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont megfelelő koordinátáit.

A (a1; a2), B (b1; b2)

⇒ AB (b1 – a1; b2 – a2)

A kezdőpontjával és végpontjával megadott vektor hosszát a megfelelő koordináták különbségéből számítjuk ki ugyanúgy, mint a két pont távolságát: A (a1; a2), B (b1; b2)

⇒ |AB| =

(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 ) 2

A koordinátáival megadott vektor hosszát a koordináták négyzetösszegének négyzetgyöke adja: a (a1; a2) ⇒ | a | =

2

a1 + a 2

2

153

5. modul: VEKTOROK

Mintapélda5 Adott két vektor, a (5; 3) és b (6; –4). Rajzoljuk meg a következő vektorokat, és határozzuk meg a koordinátáikat: a) a + b;

b) a – b;

c) 2a;

d) – 0,5b.

Megoldás: a) a + b (11; –1); b) a – b (–1;7); c) 2a (10; 6); d) – 0,5b (–3; 2).

e) Keressünk összefüggéseket, és egészítsd ki a hiányzó mondatokat! Tegyük a helyükre a megadott szavakat! Kötőszavakat, névelőket pótolhatunk!

Két vektor összeadásakor … Két vektor kivonásakor … Ha egy vektort megszorzunk egy k számmal, akkor … Megoldás: Két vektor összeadásakor a megfelelő koordináták összeadódnak. a (a1; a2), b (b1; b2)

⇒ a + b (a1 + b1; a2 + b2)

Két vektor kivonásakor a megfelelő koordinátákat kivonjuk egymásból. a (a1; a2), b (b1; b2)

⇒ a – b (a1 – b1; a2 – b2)

Ha egy vektort megszorzunk egy k számmal, akkor a vektor koordinátái is k-val szorzódnak. a (a1; a2), k∈R ⇒ k · a (k · a1; k · a2)

154


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda6 Forgassuk el a b(–6; 4) vektort 90°-kal a kezdőpontja körül mindkét irányba, és olvassuk le a keletkezett vektorok koordinátáit! Megoldás: Az eredmény: (4; 6) és (–4; –6).

Általában is igaz, hogy ha egy vektort 90°-kal elforgatunk, akkor a koordinátái felcserélődnek, és az egyik (de csak az egyik!) előjelet vált. a (a1; a2)

90°

(a2; –a1), illetve (–a2; a1)

+90°-os forgatásnál (–a2; a1), –90°-os forgatásnál (a2; –a1) vektort kapunk.

Mintapélda7 a) Határozzuk meg annak a vektornak a koordinátáit, amelyik az a(–6; –3) vektorra merőleges, és hossza az a hosszának a fele! b) Határozzuk meg annak a vektornak a koordinátáit, amelyik az a(–6; –3) vektorra merőleges, és y koordinátája –2! Megoldás: a) Két ilyen vektor is van, ui. az a-t 90°-kal elforgatva két vektort kapunk: (3; –6) és (–3; 6). Fele akkora vektort a 0,5-tel való szorzás eredményez, így a keresett vektorok: (1,5; –3) és (–1,5; 3). b) Keressük azt az (x; –2) vektort, amelyik párhuzamos a (3; –6) vektorral. A második koordinátákat összevetve látható, hogy a (3; –6) vektort harmadára kell zsugorítani, így a keresett vektor: (1; –2). Szerkesztéssel ellenőrizzük!

155

5. modul: VEKTOROK

Mintapélda8 Adott az a(12; 8) és a b(–3; 5) vektor. Melyek a d vektor koordinátái, ha az

a + 4d − b vek2

torművelet eredménye nullvektor?

Megoldás: A vektorműveleteket koordinátánként végezzük. A megfelelő koordináták összege nulla, így

a1 12 9 + 4d1 − b1 = 0 , behelyettesítve: + 4d1 + 3 = 0 , ahonnan d1 = − . Hasonlóan a 2 2 4

második koordinátákra:

a2 1 8 + 4d 2 − b2 = 0 , ahonnan + 4d 2 − 5 = 0 , d 2 = . 4 2 2

⎛ 9 A keresett vektor: d ⎜ − ; ⎝ 4

1⎞ ⎟. 4⎠

Feladatok 3. Egy régi hegesztőgép csak sokszögeket képes vágni, és vektorokkal kell megadni, hogy a vágás során mi legyen a következő mozgás. Írd le, hogy milyen vektorsorozattal írható le az ábrán látható síkidomok vágása!

4. A monitoron a koordináta-rendszer kezdőpontja a képernyő bal alsó sarka. A rajzoló teknőc helyzete A(140; 220). a) Hová kerül a teknőc, ha (100; –80) képpontvektorral elmozdul a képernyőn? b) Határozd meg az új pontba mutató helyvektort!

5. A képernyő méretei a monitoron: 32 cm széles, és 24 cm magas, a monitor felbontása: 1024 x 768 képpont, a koordináta-rendszer kezdőpontja a bal alsó sarokban van. Gizi húzott egy szakaszt, amelynek kezdőpontja (358; 690), végpontja (870; 340). a) Hány képpont a vonal hossza?

156


TANULÓK KÖNYVE

b) Az egér mozgatásával a teljes képernyőt 4,5 cm oldalú, négyzet alakú területekkel lehet bekeretezni. Mennyi utat tett meg Gizi egere, mialatt a vonalat megrajzolta?

6. Adott: a(–2; 4) és b(4; 4). Számítsd ki a következő vektorműveletek eredményét, és ábrázold a megoldást a koordináta-rendszerben! Határozd meg az eredményvektorok hosszát is! a) a − 2b ;

b)

b + 2a ; 2

c) 3a −

b ; 2

d)

2a + b . 4

7. Adott: a(2; –3) és b(4; 1). Számítsd ki a következő vektorműveletek eredményét, és ábrázold a megoldást a koordináta-rendszerben! Határozd meg az eredményvektorok hosszát is!

a) a + 2b – 2a;

b)

1 1 2 a − 3b + b + a ; 3 2 3

c) 5a – (4b – a).

8. Adottak: a (10; 3), b (15; –5) és c (–4; –8). Melyek a d vektor koordinátái, ha a megadott vektorok összege nullvektor? a) a + b + c + d; d)

b) 2a – b – d + c;

c)

1 b c − 2a + 4d + ; 2 3

a + 2d − 2b + c . 4

9. Rajzold meg az AB vektort, ha A(2; 3) és B(5; –1)! Rajzolj olyan vektorokat, amelyek egyenlőek AB -vel és kezdőpontjuk a) C(3; 1);

b) D(0; –2);

c) E(–1; –4).

10. Határozd meg annak a téglalapnak az oldalvektorait, amelynek egyik oldala kétszer akkora, mint a másik, és az egyik oldal csúcsai (3; 3) és (1; 6)!

11. Határozd meg a (3; 4) vektorral párhuzamos egységvektor koordinátáit!

12. Melyik az a vektor, amelyik az (5, 12) vektorra merőleges, és hossza 20 egység!

157

5. modul: VEKTOROK

Vektor felmérése adott pontból Mintapélda9 Egy paralelogramma csúcsai: A(–3; 4), B( 1; 6); C(0; 3), D(–4; 1). a) Határozzuk meg az AB és a CD oldalvektorokat! b) Milyen összefüggés van a paralelogramma szemközti oldalainak vektorai között? c) Egy, az ABCD paralelogrammával egybevágó paralelogramma egyik csúcsa D’(0;–2). Határozzuk meg a másik három csúcs koordinátáit!

Megoldás: a) Mindkettő (4; 2) vagy (–4; –2). b) A szemközti oldalvektorok egyenlőek vagy ellentettek. c) D’-ből felmérjük a DA (1; 3) vektort, és leolvassuk a végpont koordinátáit: A’ (1; 1).

D’-ből felmérjük a DC (4; 2) vektort, és leolvassuk a végpont koordinátáit: C’ (4; 0).

A’-ből felmérjük a DC (4; 2) vektort, és leolvassuk a végpont koordinátáit: B’ (5; 3). És még három másik megoldást is találunk! Az előbbi példában többször előfordult, hogy a vektort egy adott pontból kell felmérni, és a végpont koordinátáit keressük. Például:

D’ (0; –2)

D’ (0; –2)

A’ (1; 1)

DA (1; 3)

DC (4; 2)

DC (4; 2)

A’ (1; 1) C’ (4; 0) B’ (5; 3) Korábban már volt szó arról, hogy a vektor koordinátáit úgy kapjuk, hogy a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont koordinátáit. Ha adott egy vektor és a kezdőpontja, akkor a végpontjának koordinátáit úgy kapjuk, hogy összeadjuk a vektor és a kezdőpont megfelelő koordinátáit.

A (a1; a2), AB (x; y)

⇒

A (a1; a2) B (a1 + x; a2 + y)

AB (x; y) B ( a1 + x; a2 + y)

158


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda10 Adott a koordináta-rendszerben egy négyszög, amelynek csúcsai: A(1; 5), B(7; 1), C(7; 5),

D(4; 7). a) Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz! b) Döntsük el, hogy szimmetrikus-e a trapéz vagy nem? Döntésünket igazoljuk számítással! c) Határozzuk meg a négyszög területét!

Megoldás: a) Megvizsgáljuk az oldalvektorokat. Amennyiben két vektor párhuzamos, akkor egymás számszorosai, vagyis a megfelelő koordináták hányadosa egyen-

Emlékeztető: k · a (a1, a2) ⇒ (k · a1, k · a2)

lő. Az ábra alapján a szóba jöhető két vektor AB és DC , koordinátáik: AB = (b1 – a1; b2 – a2) = (6; –4), valamint

DC = (c1 – d1; c2 – d2) = (3; –2). −4 6 = 2 és = 2 , vagyis AB = 2 ⋅ DC , tehát van két −2 3 párhuzamos oldal, a négyszög trapéz. b) A trapéz csak akkor lehet szimmetrikus, ha szárainak hossza egyenlő, ezért kiszámítjuk az AD és BC távolságokat:

AD = (d1 − a1 ) 2 + (d 2 − a2 ) 2 = 32 + 2 2 = 13 egység és BC = 4 egység, a szárak hossza nem egyenlő, a trapéz nem szimmetrikus. c) A terület kiszámításához segítségül hívjuk a négyzetrácsot: téglalap alakú keretbe foglaljuk a négyszöget, és a téglalap területéből kivonjuk a derékszögű háromszögek területét. ⎛ 2⋅3 4⋅6 ⎞ T = 62 − ⎜ 2 ⋅ + ⎟ = 18 egység. 2 2 ⎠ ⎝

159

5. modul: VEKTOROK

Feladatok 13. Egy paralelogramma három csúcsának koordinátái: a) A(–3; –2), B(4; 0), C(6; 3);

b) A(–1; 6), B(7; 2), C(3; –2);

c) A(5; –4), B(–1; 4), C(2; 8);

d) A(0; –5), B(0; 3), C(2; 0).

Határozd meg a paralelogramma negyedik csúcsának koordinátáit!

14. Egy paralelogramma három csúcsának koordinátái: (3; 1), (2; 4) és (–2; 1). Határozd meg a negyedik csúcs koordinátáit! Figyelj a megoldások számára is!

15. Határozd meg a négyzet hiányzó csúcsainak koordinátáit, ha két szomszédos csúcsának koordinátái: a) A(0; 0), B(5; 0);

b) A(3; 0), B(1; –5);

c) A(1; 6), B(3; 0).

16. Egy négyzet átlóinak metszéspontja a K(–2; 2) pont, egyik csúcsának koordinátái: A(1; 2). Határozd meg a további csúcsok koordinátáit!

17. Egy téglalap egyik oldala háromszor olyan hosszú, mint a másik. A rövidebb oldal két végpontja: (0; –1) és (–2; 2). Határozd meg a téglalap további csúcsainak koordinátáit!

18. Egy négyzet átlóinak metszéspontja a K(1; –1) pont, egyik oldalfelező pontja az F(5; –3). Határozd meg a négyzet csúcsainak koordinátáit, területét és kerületét!

19. Egy négyzet átlóinak metszéspontja a K(–1; 0) pont, egyik oldalvektora az a (–6; 2) vektor. Melyek a négyzet csúcsainak koordinátái?

20. Egy téglalap átlóinak metszéspontja a K(1; 2) pont, és az egyik hosszabb oldalának felezőpontjába mutató vektor koordinátái: a(0,5; 1,5). Határozd meg a téglalap csúcsainak koordinátáit, ha egyik oldala háromszor olyan hosszú, mint a másik oldala!

21. Egy deltoid átlóinak metszéspontja a K(2; 2) pont, amely a hosszabb átló egyik harmadoló pontjában található. A rövidebb átló hosszának másfélszerese a nagyobb átló hossza, és a rövidebb átló egyik végpontja az A(0; 5) pont. Határozzuk meg a deltoid többi csúcsát!

160


TANULÓK KÖNYVE

III. Vektorok skaláris szorzata A fizikában a vektormennyiségekből számokat is képezhetünk. Jellemző példa erre a munka (W). Ha egy szánkót húzunk, akkor az F húzóerő gyorsításra fordított munkája annál nagyobb, minél kisebb szöget zár be a kötél a talajjal:

Az F erő által végzett munka függ: •

az F erő nagyságától (F),

•

az elmozdulás nagyságától (s), valamint

•

az erővektor (F) és az elmozdulásvektor (s) által bezárt szögtől.

A munka skalármennyiség (szám), míg az elmozdulás és az erő vektormennyiségek. A két vektormennyiségből azok skaláris szorzata adja a munkát: W = F · s A vektorok skaláris szorzata függ a vektorok hosszától és hajlásszögüktől. a és b vektorok skalárszorzata: a · b = |a| ·|b|·cos α, ahol α a két vektor által bezárt szög (hajlásszögük).

Így már érthető, hogy ha egy erő az elmozdulásra merőleges (α = 90°), akkor az miért nem végez munkát (cos α = 0). Igazolható, hogy két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha merőlegesek egymásra. Ha az egyik vektor egységvektor, akkor a skaláris szorzat a másik vektornak az egységvektor egyenesére eső merőleges vetületének előjeles hosszával egyenlő.

161

5. modul: VEKTOROK

Ha a két vektor párhuzamos, α = 0° miatt cos α = 1, így a skaláris szorzat a két vektor hoszszának szorzata. Egy vektor önmagával való skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzeté-

vel egyenlő: a2 = a · a = | a | · | a | · 1 = | a |2 , ahonnan | a | = a 2 .

A vektorok skaláris szorzásának néhány tulajdonságát feladatokban is gyakran alkalmazzuk:

a · b = b · a (kommutativitás) és a · (b + c) = a · b + a · c (disztributivitás). A skaláris szorzat kifejezhető a vektorkoordinátákkal is:

a ⋅b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2

a · b = | a | · | b | · cos α = a1 · b1 + a2 · b2 . Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk értéke nulla: a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 = 0 .

A koordináta-rendszer bázisvektoraira érvényes összefüggések: i2 = j2 = 1, és i · j = 0.

Mintapélda11 Határozzuk meg az a(–1; 5) és a b(6; 3) vektorok skaláris szorzatát és hajlásszögét! Megoldás: A koordinátákból: a ⋅b = (−1) ⋅ 6 + 5 ⋅ 3 = 9 . 2

2

A hajlásszög meghatározásához kiszámítjuk a vektorok hosszát: | a |= a1 + a 2 = 26 2

2

és | b |= b1 + b2 = 45 . A hajlásszöget kifejezzük a skaláris szorzatból: cos α =

a ⋅b 9 , ahonnan a hajlásszög 74,7°. = |a | ⋅ |b | 26 ⋅ 45

Megjegyzés: A hajlásszög a skaláris szorzat alkalmazása nélkül is meghatározható, szögfüggvények és a négyzetrács segítségével.

162


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 22. Határozd meg a következő vektorok skaláris szorzatát! a) A vektorok hossza 6, illetve 7 egység, közbezárt szögük 60°. b) A vektorok hossza 4, illetve 10 egység, közbezárt szögük 120°. c) a( 5; 3) és b(–2; 7). d) a = 4i + 5j és b = –9j + 4i . e) a = 3i + 12j és b = –4i + j .

23. Az ABC szabályos háromszög oldala 6 cm. F-fel jelöljük a BC oldal felezőpontját. Határozd meg az alábbi skaláris szorzatok értékét: a) AB ⋅ AC ;

b) AB ⋅ BC ;

c) AF ⋅ BF ;

d) BA⋅ BF .

24. Az ABCD négyzet oldala 5 egység hosszú. A BC oldal felezőpontját F jelöli és a BF szakasz felezőpontját P. A négyzet középpontja K. Határozd meg az alábbi skaláris szorzatok értékét: a) AB ⋅ AD ;

b) AB ⋅ DC ;

c) AD ⋅ CB ;

e) AK ⋅ AB ;

f) AP ⋅ AF ;

g) KP ⋅ KF .

d) AB ⋅ AF ;

25. Határozd meg az a és b vektor hajlásszögét, ha a) a(12; 4) és b(4; 12);

b) a( 4, 5) és b( -8; -10);

c) a(2;5) és b(6; –4);

d) a(–8; 3) és b(–3; –5).

26. Válaszd ki, hogy mely vektorok és hajlásszögek nem tartoznak össze! a) a(2; 3), b(–3, 8), 68,2°;

b) a(–4, 5), b(–6, 3), 77,9°;

c) a(–7; –2), b(8; 3), 175,4°;

d) a(2; 5), b(–7; –5), 153°.

27. Egészítsd ki a mondatokat: Ha két vektor skaláris szorzata negatív, a két vektor hajlásszöge …. A skaláris szorzat abszolútértéke legfeljebb …

5. modul: VEKTOROK

163

28. Határozd meg y értékét úgy, hogy a (3; 8) és a (–2; y) vektorok merőlegesek legyenek egymásra! 29. Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha A(–3; 2), B(4; 4), C(1; –3). 30. Határozd meg az ABCD négyszög szögeit, ha A(–2; 4), B(2; 2), C(–1; –3), D(–4; 0). 31. A skaláris szorzat definíciója alapján döntsd el, hogy a skaláris szorzás kommutatív, illetve asszociatív művelet-e?

164


TANULÓK KÖNYVE

IV. Osztópontok, súlypont koordinátái Felezőpont koordinátái Mintapélda12 a) Olvassuk le a végpontjaikkal megadott szakaszok felezőpontjának koordinátáit a szakaszok felrajzolása után! Ha kell, szerkesszük meg a felezőpontot! A(0; 0), B (10; 5);

P(–8; –4), Q( 6, 10);

R(–7; 2), S(4; –3);

C(2; 8), D(7; 2).

b) Fogalmazzunk meg szabályt, amelyik a felezőpont koordinátái és a szakasz végpontjainak koordinátái közötti kapcsolatot írja le! Megoldás:

A felezőpontok rendre: F(5; 2,5); G(–1; 3); H(–1,5; –0,5); J(4,5; 5). Adottak a szakasz két végpontjának koordinátái. Ekkor a felezőpont koordinátáit úgy kapjuk, hogy a végpontok megfelelő koordinátáinak összegét 2-vel osztjuk.

Megjegyzés: A felezőpont koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepe. Az F felezőpont koordinátái megegyeznek a hozzá vezető f helyvektor koordinátáival. Így F meghatározásához elegendő a szakasz végpontjaiba mutató a és b helyvektorokkal kifejezni az f vektort. Az ábráról leolvasható, hogy f = a +

A(a1; a2), B(b1; b2)

⇒

b−a a+b = . 2 2

⎛ a + b a + b2 ⎞ F⎜ 1 1 ; 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

165

5. modul: VEKTOROK

Feladatok 32. Az A pontba mutató helyvektor a, b pedig a B pontba mutató helyvektor. Határozd meg az AB szakasz felezőpontjába mutató f helyvektor koordinátáit! a) a(5; 1), b(3; 9);

b) a(–3; 1), b(3; –5);

c) a(–6; –3), b(5; –3);

d) a(5; –7), b(–9; –2).

33. Egy szakasz felezőpontja F, egyik végpontja az A pont. Határozd meg a szakasz másik végpontját, ha

a) F(–0,5; 0,5) és A(2; 4);

b) A(–6; 1) és F(4; 1);

c) A(–2; 4) és F(1; 1);

d) A(–3; –1) és F(1; 1).

34. Adottak egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(–6; –3), B(4; 1), C(0; 5). Határozd meg a középvonalak háromszögének csúcspontjait!

35. Adottak egy háromszög oldalfelező pontjai: P(–6; –3), Q(4; 1), R(0; 5). Határozd meg a háromszög csúcsainak koordinátáit!

36. Adott az AB szakasz két végpontja: A(0; –2) és B(3; 2). A szakaszt meghosszabbítjuk mindkét irányban a saját hosszával. Mik lesznek az így nyert szakasz végpontjainak koordinátái?

37. Adott hat pont, amelyek egy háromszög csúcsai és oldalfelező pontjai. Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy melyek a csúcspontok. A koordináták: (0; 2), (1; –1), (–3; 4), (–1; –2), (3; 0) és (–2; 1).

38. Határozd meg a középvonalak (vagyis a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok) vektorait, ha a négyszög csúcsai: A(–1; 3), B(6, –1), C(4; –5), D(–3; –4)!

39. Egy paralelogramma szomszédos csúcsai: A(–2; 4) és B(6; 6), átlóinak metszéspontja: K(1; 2). Határozd meg a paralelogramma másik két csúcsát!

166


TANULÓK KÖNYVE

40. Az ABC háromszöget kétszeresére nagyítottuk egy K pontból. A csúcsok koordinátái: A(1; 4), B(–3; 2), C(–2; –2). A B csúcs képe: B’(0;0). Határozd meg a képháromszög másik két csúcsának koordinátáit! 41. Határozd meg a négyzet hiányzó csúcsait, ha két szemközti csúcsának koordinátái: a) (0; 0), (6; 0);

b) (3; 1), (1; –5);

c) (1; 6), (3; 0).

Osztópontok koordinátái A szakasz felezőpontjának meghatározásakor a felezőpontba mutató helyvektort fejeztük ki a végpontokba mutató helyvektorok segítségével. Ezt a módszert a szakasz bármely osztópontjának felírásakor követhetjük. Vizsgáljuk meg harmadolópontok esetén, hogyan alakulnak az összefüggések!

Mintapélda13 A szakasz A végpontjába mutató helyvektor a, B végpontjába mutató helyvektor b. Írjuk fel a harmadolópontokba mutató helyvektorokat az a és b vektorokkal! Megoldás: Jelölje h1 az A-hoz közelebbi, h2 a másik harmadolópontba mutató helyvektort! A h1 felírható két vektor összegeként: h1 = a +

b − a 3a + b − a 2a + b = = . 3 3 3

Hasonlóan a h2 helyvektorra: h2 = a + 2 ⋅

b − a 3a + 2b − 2a a + 2b = = 3 3 3

Az A és B végpontú szakaszok harmadoló pontjainak koordinátái: A(a1; a2), B(b1; b2)

⇒

⎛ a + 2b1 a 2 + 2b2 ⎞ ⎛ 2a + b 2a + b ⎞ H 1 ⎜ 1 1 ; 2 2 ⎟ és H 2 ⎜ 1 ; ⎟. 3 3 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠

Megjegyzés: 1. A harmadolópontok meghatározásával analóg módon a szakaszt bármely arányban osztó pont koordinátái meghatározhatók. 2. A harmadolópont koordinátáit a szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok súlyozott számtani közepeként kapjuk meg.

167

5. modul: VEKTOROK

A háromszög súlypontjának koordinátái A síkidomok, így a háromszög súlypontjának meghatározása tervezői szempontból fontos statikai feladat. A fizikában és kapcsolódó tudományaiban (például a térinformatikában) a testeket általában a súlypontjukkal helyettesítik. A koordinátageometriában egyszerű összefüggést találunk a háromszög csúcsainak és súlypontjának koordinátái között. A háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok megfelelő koordinátáinak számtani közepei.

A(a1; a2), B(b1; b2), C(c1; c2)

⇒

⎛a +b +c a +b +c ⎞ S⎜ 1 1 1 ; 2 2 2 ⎟ 3 3 ⎠ ⎝

Megjegyzés: Az összefüggés levezetésének egyik módszere a súlypontba mutató helyvektor felírása a csúcsokba mutató helyvektorok segítségével. Egy másik módszer a súlyvonal ismeretlen végpontját a felezőpont képletével írja fel, és azt használja ki, hogy a súlypont a súlyvonal csúcshoz közelebbi harmadoló pontja. A levezetés az emelt szintű érettségi anyaga, ezért ezen a helyen nem foglalkozunk vele.

Feladatok 42. Határozd meg a következő, A és B végpontjaikkal megadott szakaszok harmadoló pontjait! a) A(–4; –1), B(5; 2);

b) A(–3; 3), B(3, –1)

43. Határozd meg a szakasz ismeretlen végpontjának koordinátáit, ha egyik végpontja A és egyik harmadoló pontja H! a) A(4; 0), H(1; 1);

b) A(6; –2), H(3;0).

44. Határozd meg a szakasz összes negyedelő pontját, ha végpontjai A(0; –1) és B(3; 5) !

45. Határozd meg az ABC háromszög súlypontjának koordinátáit! A megoldást szerkesztéssel ellenőrizd! a) A(–5; 2), B(5; 8), C(9; –4);

b) A(–2; –2), B(–2; 3), C(5; 3).

168


TANULÓK KÖNYVE

46. Forgasd el az ABC háromszöget a súlypontja körül 90°-kal, az óramutató járásával

ellentétes irányba! Melyek az új háromszög csúcsainak koordinátái, ha az eredeti háromszög csúcsainak koordinátái: A(7; 2), B(–3; –3), C(5; 4)? 47. Adott egy háromszög két csúcsa és súlypontja. Határozd meg a harmadik csúcs

koordinátáit! a) A(5; –7), B(2; 4), S(4; –2);

b) A(5; 6), B(1; –4), S(–2; 3).

48. Adottak az ABC háromszög csúcsai: A(0; 5), B(7; 2), C(–5; –3). Határozd meg az

A csúcsból induló súlyvonal hosszát!

169

5. modul: VEKTOROK

Kislexikon Lineáris kombináció: Ha a koordináta-rendszerben egy vektort az i és a j egységvektorok

segítségével bontunk fel, akkor megkapjuk a vektor lineáris kombinációját, a v = v1 · i + v2 · j alakú felírást. v1 és v2 számokat, vagyis i és j vektorok szorzóit a v vektor koordinátáinak nevezzük: v (v1; v2). Vektor koordinátái: Ha adott a vektor kezdőpontja A (a1; a2) és végpontja B (b1; b2), akkor

az A kezdőpontból a B végpontba mutató vektor koordinátáit úgy kapjuk, hogy a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont megfelelő koordinátáit. A (a1; a2), B (b1; b2) ⇒ AB (b1 – a1; b2 – a2)

Két pont távolsága: A kezdőpontjával és végpontjával megadott vektor hosszát a megfelelő

koordináták különbségéből számítjuk ki ugyanúgy, mint a két pont távolságát: A (a1; a2), B (b1; b2) ⇒ |AB| =

(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2

Vektor hossza: A koordinátáival megadott vektor hosszát a koordináták négyzetösszegének

négyzetgyöke adja: a (a1; a2)

⇒

|a|=

2

a1 + a 2

2

Két vektor összeadásakor a megfelelő koordináták összeadódnak. a (a1; a2), b (b1; b2)

⇒ a + b (a1 + b1; a2 + b2)

Két vektor kivonásakor a megfelelő koordinátákat kivonjuk egymásból. a (a1; a2), b (b1; b2)

⇒ a – b (a1 – b1; a2 – b2)

Vektor szorzása számmal: Ha egy vektort megszorzunk egy k számmal, akkor a vektor

koordinátái is k-val szorzódnak. a (a1; a2), k∈R ⇒ k · a (k · a1; k · a2)

170


TANULÓK KÖNYVE

Vektor elforgatása 90°-kal: Ha egy vektort 90°-kal elforgatunk, akkor a koordinátái fel-

cserélődnek, és az egyik (de csak az egyik!) előjelet vált. a (a1; a2)

90°

(a2; –a1) és (–a2; a1)

+90°-os forgatásnál (–a2; a1), –90°-os forgatásnál (a2; –a1) vektort kapunk. Vektor végpontjának koordinátái: Ha adott a vektor és a kezdőpontja, akkor a végpont koordinátáit úgy kapjuk, hogy összeadjuk a vektor és a kezdőpont megfelelő koordinátáit.

A (a1; a2), AB (x; y) ⇒

A (a1; a2)

B (a1 + x; a2 + y)

AB (x; y) B ( a1 + x; a2 + y)

Vektorok skaláris szorzata: Az a és b vektorok skalárszorzata: a · b = | a | ·| a | · cosα , ahol

α a két vektor által bezárt szög (hajlásszögük). Egy vektor önmagával való skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetével egyenlő: |a | = a 2 . A vektorok skaláris szorzásának művelete kommutatív művelet: a · b = b · a, és teljesül a disztributivitás: a · (b + c) = a · b + a · c A koordináta-rendszer bázisvektoraira érvényes összefüggések: i2 = j2 = 1, és i · j = 0. Vektorok skaláris szorzata vektorkoordinátákkal kifejezve: a · b = a1 · b1 + a2 · b2. a · b = | a | · | b | · cos α = a1 · b1 + a2 · b2 .

Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzat értéke nulla: a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 = 0 .

Felezőpont koordinátái: Adott a szakasz két végpontja. Ekkor a felezőpont koordinátáit

úgy kapjuk, hogy a végpontok megfelelő koordinátáinak összegét 2-vel osztjuk. A(a1; a2), B(b1; b2)

⇒

⎛ a + b a + b2 ⎞ F ⎜ 1 1; 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

171

5. modul: VEKTOROK

Harmadolópont koordinátái: Az A és B végpontú szakaszok harmadolópontjainak

koordinátái:

A(a1; a2), B(b1; b2)

⇒

⎛ a + 2b1 a 2 + 2b2 ⎞ ⎛ 2a + b 2a + b ⎞ ; H 1 ⎜ 1 1 ; 2 2 ⎟ és H 2 ⎜ 1 ⎟. 3 3 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠

Súlypont koordinátái: A háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok megfelelő

koordinátáinak számtani közepei. A(a1; a2), B(b1; b2), C(c1; c2)

⇒

⎛ a +b +c a +b +c ⎞ S⎜ 1 1 1; 2 2 2⎟ 3 3 ⎝ ⎠

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Recommend Documents