MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK

F:\EGYJEGYZ\2011\alapok1.doc 4 Feb 2011

MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK www.rmki.kfki.hu/~szego/egyjegyz1 1. A Dirac-delta 2. Elektrodinamika mozgó közegekben 3. Függvénytranszformációk (Fourier transzformáció) 4. Konvektív derivált

1

A Dirac-delta, (x) Az 1-dimenziós Maxwell eloszlás m 2 T

f (v )  és

exp[( v  v 0 )2 /( 2T / m)]



 dv f ( v )  1



Jelölések: v – sebesség, m – tömeg, T – hőmérséklet. Az eloszlás alakja csökkenő T mellett (1, 0.5, 0.2, 0.05): 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25

-4

-2

2

4

2



lim  dv f ( v )  1

Azt tudjuk, hogy

T0 

DE MI AZ ÉRTELEME

lim f ( v )  lim

T0

T0

m 2 T

exp[ ( v  v 0 )2 /( 2T / m)]

Ez nem függvény, a függvényfogalom általánosítása kell, a határérték disztribúció.

lim f ( v )  ( v )

T0

ahol (v) nem 0: a disztribúció tartója A disztribúciót alapjában véve integrálja értelmezi: 

 dv ( v )  1

 

 dv f ( v ) v   f (0)

 

 dv f ( v )  v   f (0)



3

Műveletek: -azonos tartójú disztribúciót nem lehet összeszorozni 

1  1 ( v )  dv (av )   d(av ) (av )  | a | | a |   







 dv f ( v ) (a  v )   dv f (a  v ) ( v )  f (a)

 (v 2  a 2 )   ((v  a)(v  a )) 

1 { (v  a)   (v  a)} 2|a|

Általánosan

1 { (v  ai )} i | f ' (v) v  ai |

 ( f (v))  

deriválás: igaz maradjon az (u v)’ = u’ v + u v’ szabály. 

 dv f ( v ) ' v   f ' (0)



4

ELEKTRODINAMIKA MOZGÓ KÖZEGEKBEN Kérdés: hogyan transzformálódnak koordinátarendszerek között.

a

fizikai

mennyiségek

különböző

sebességgel

mozgó

Egyszerűbb kérdés először: töltések rendszerét vizsgáljuk elfogatás során.

5

Ha a „fekete” rendszert a „zöldbe” az R forgatás viszi át

 cos  sin   R     (ai, j )   sin  cos   A „zöld” rendszerben a „fekete” rendszer {x2, x2’} vektorait az R-1 transzformáció kapcsolja össze: x’=R-1 x

6

Definíciók: skalár

’(x’) = (x)

vektor

V’(x’) = R V(x)

tenzor

T’i,j(x’) = ai,i’ aj,j’ Ti’,j’(x) (ism. indexre összegzés)

Tértükrözés

P(x,y,z) = (-x,-y,-z)

pszeudoskalár P ’(x’) = -(x) axiálvektor vektor

P A’(x’) = A (x) P V’(x’) = -V(x)

két vektor vektorszorzata axiálvektor! Az egyes fizikai mennyiségek transzformációja eltérő a nem-relativisztikus és relativisztikus esetekben!!!! A Newton egyenletek invariánsok eltolásokra és elforgatásokra. Erre vonatkozóan: skalár – idő, töltés, töltéssűrűség, energia vektor – hely, sebesség, térerősség axiálvektor – mágneses tér ( mert rotE ~ B/t)

7

A Maxwell egyenletek invariánsok a Lorentz-transzformációkra (4-eltolás, elforgatás, gyorsítás). Erre vonatkozóan skalár – töltés 4-vector – (c idő, hely), (energia/c, sebesség) 4-tenzor: a térmennyiségek

Ex (x) Ey (x) Ez ( x)   0   E ( x ) B ( x ) B ( x ) 0     x z y F, ( x )   0  Ey ( x) Bz ( x)  B x ( x)      Ez ( x)  By ( x) Bx ( x) 0   Ha L, olyan Lorentz-transzformáció, amely az álló rendszerből u-sebességgel mozgó rendszerbe transzformál: F’,(x’)=L,’ L,’ F’,’(x) A transzformáció képletei u<












Ha egy rendszerben E’=0,  B = B’;

E = -(u x B’)/c 8

A Maxwell egyenletek cgs (Gauss) és SI rendszerben c.g.s.

0=1, 0=1

A Lorentz erő: SI rendszerben a vakuum permittivitása 0=10-9/(36) Farad/m, [dimenziója: t2 q2 / m l3 ] A permeabilitás 0= 4 10-7 Newton/amp2 = 4 10-7 Henry/m; [dimenziója: m l / q2 ] c=(0 0)-1/2 Az anyagi közeg relatív permittivitása a vakuumhoz képest , Azaz D =  0 E,

B = 0 H. 9

A Lorentz erő:

Az elektromágneses tér energiasűrűsége: c.g.s.: (H B + E D)/(8π) Poynting vektor (energiafluxus):

c.g.s:

(E  H) (c/4π)

SI: (H B + E D)/2 SI: E  H

Az impulzussűrűség ennek 1/c2-d része.

10

A Maxwell egyenletekben szerepel az “eltolási áram”, D/t. Megmutatjuk, hogy ez a nemrelativisztikus esetben elhanyagolható, mert u2/c2 rendű:

D/t = o E/ ~ oo uH/ = uH/ c2

a másik oldal: rot H ~ H/l

Ezért az eltolási áramot általában el fogjuk hagyni.

11

Függvénytranszformációk. A 3-d tér koordinátarendszerét az {ex, ey, ez} egységvektorok feszítik ki. Az a vektor koordinátái {ax, ay, az}. A koordinátákat megkapjuk: ax = a ex ,stb. Az a vektor ezután felírható komponenseivel: a = ax ex + ay ey + az ez

12

Ez általánosítható tetszőleges dimenzióra. A vektorterek analógiájára “merőlegességet”:

bevezethetünk

függvénytereket,

értelmezve

a

függvények

közötti

{ vn} vektortér  {gn(x)} függvénytér, „merőlegesség”: gn(x) gm(x) (x) dx = n,m Pl. 1/ {1/2, sinnx, cosnx …}, E szerint a függvénytér szerint kifejtve egy f(x) {-,}-ben periódikus, négyzetesen integrálható függvényt:

1  ak   f ( x ) cos(kx )dx   bk 

1   f ( x ) sin(kx )dx   

f ( x )  a 0 / 2   (ak cos kx  bk sin kx ) k 1

Így a függvényteret egy vektortér komponenseivel fejeztük ki; a függvényt számokra képeztük le.

13

További általánosítás, ha függvényt függvényekre képezzük le. {g(k,x)} függvénytér, „merőlegesség”: g(k,x) g*(k’,x) (x) dx = (k-k’) Pl. {exp(-ikx)}, (1/2)exp(-i(k-k’)x) dx = (k-k’)

1  F(k )   f ( x ) exp( ikx ) dx 2   inverze

1  f (x)   F(k ) exp(ikx ) dk 2   Praktikus eredmény: a deriválás a koordinátatérben szorzást jelent a Fourier térben!

14

CSOPORTSEBESSÉG

Legyen ai(x,t) hullámok szuperpozíciója, k=ko körül: ai(x,t) =  dk Ai(k) exp i(kx - (k)t) Sorbafejtve (k) = (ko) + k /ko ai(x,t) = Ai(ko) exp i(kox - (ko)t) dk exp ik (x - /ko t) Az integrál akkor ad járulékot, ha a hullámcsomag terjedési sebessége, a csoportsebesség értéke: vg = /k csoportsebesség = teljes energiafluxus/teljes energiasűrűség

15

Konvektív derivált A folyadékelem sebességének (v(x,t)) változását nem egy pontban, hanem az áramlás mentén szeretnénk vizsgálni:

16

17