Matematikai összefoglaló elméleti alapok érettségiz®knek Dézsi Krisztián 2011. július 10.
*Mi is ez amit kreáltam nektek érettségiz®knek? Ez egy nagyon egyszer¶ segédanyag a matematikai alaptananyagokhoz (nem innen kell megtanulni mindent) , de végs® soron segít az eddig tanultakat rendszerezni. Remélem elég közérthet® amit leírtam, probáltam nagyon erre törekedni. Readásul szemléltettem is 1-2 gyakorlati példával az elméletet.( Aztán nem pénzért tovább adni, mert seggbe lesztek rúgva! :P:D) Jó szórakozást hozzá :D
1
Alegbra és számelmélet
1, Számhalmazok: a,Termeszetes szamok:
:::::::::::::::::::::::::::::::::::
Jele:
N
Természetes számoknak nevezzük a pozitív egész számokat, az 0,1, 2, 3, 4, . . . . , tehát nem tudsz nekem olyan pozitiv egész számot mondani amit ne tartalmazna ez a halmaz. (a pozitiv egész szám az olyan számok mint pl 0,1,2,3,4,5,6...sok , de pl az ilyen ,hogy -6,-9 vagy 1.256 vagy 5.56 már nem sorolhatok ide "kimutatnak" a halmazból). Értelmezhet® m¶veletek: -pozitív egész szám összeadására zárt a halmaz -pozitív egész szám szorzására zárt halmaz (értsd: ha zárt a halmaz azt jelenti nem mutat ki belöle, tehát nem tudsz olyat csinálni ezzel a két m¶velettel ami kimutatni a halmazból, tehát akárhány számot összeadsz, vagy akár hány számot összeszorzol vagy ezek keveréke mindenképpen természetes számot fogsz kapni.) Kimutathatnak a halmazból -pozitív egész szám kivonása -pozitív egész szám osztása -gyökvonás (ezek a m¶veletek azért mutatnak ki a halmazból mert nem feltétlen kapunk két pozitív egész szám kivonásával pozitiv egész számot pl.:5
− 7 = −2 →
nem természetes szám, ahogy az sem , hogy
szerintem ,de nem egy természetes szám)
5 =0.625 8
ami szép szám
Egész számok: Z
::::::::::::::::::::::
Jele:
Egész számoknak nevezzük a
..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
számokat. Az egész számok halmazának tehát részhalmaza
a természetes számok halmaza. Az egész számok halmaza végtelen, hisz a természetes számok halmazát tartalmazza.(részhalmaz→azt jelenti , hogy eggyik halmaz tartalmazza a másikat, jelen esetben az Egész számok tartalmazzák a Természetes számokat, fölfogható ez a részhalmazos dolog úgy is , hogy nem minden rovar bogár, de minden bogár rovar is egyben, ez talán segít a megértésben.) Különbség: -egész számok kivonása nem mutat ki a halmazból AZ OSZTÁS KIMUTAT A HALAMZBÓL,GYÖKVONÁS KIMUTAT A HALMAZBÓL!
Racionális számok: Jele:
Q
A matematikában racionális számnak (vagy törtszámnak) nevezzük két tetsz®leges egész szám hányadosát, amelyet többnyire az a/b alakban írunk fel, ahol b nem nulla. Egy racionális számot végtelen sok alakban felírhatunk, például
3 2 1 = = 6 4 2
. A legegyszer¶bb, azaz tovább nem egyszer¶síthet® alak akkor áll
el®, amikor a-nak és b-nek nincs közös osztója. Minden racionális számnak pontosan egy olyan tovább nem egyszer¶síthet® alakja van, ahol a nevez® pozitív. A racionális számok tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos (tehát a felírásban egy ponton túl a számsorozat periodikusan ismétl®dik). A tétel fordítottja is igaz: ha egy szám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban, akkor az racionális szám.(magáért beszél de azért segítek a véges tízedtört az olyan amit le tudok érni még vmikor az életben lehet akármilyen
2
hosszú vagy rövid , de sikerülni fog ;) pl ilyen a
2 1 = = 0.5. 4 2
A végtelen szakaszos tízedestört meg olyat tud ,
hogy bár nem tudom leírni és sosem de tudom h mit kéne leírnom ha lekéne írni pl ilyen a
Valós szamok: R
1 = 1.333 3) 3
Jele:
Ez a halmaz már majdnem tartalmaz minden számot amit el lehet , de sajnos mégsem ! Van olyan
√
m¶velet ami nem végezhet® el mert kivezet a halmazból , ilyen például a természetes számok halmazán, de ha ha írom, hogy ott páros egész szám szerepel, a
2n + 1
√ 2n+1
−1 = −1
2n
−1
ez nem értelmezhet® a
már értelmezhet®. Ez a
2n
azt jelzi , hogy
pedig egy páratlan számot jelöl→ez nagyon fontos megjegyzés,
mert nem mutat ki minden gyökvonás a halmazból ezt jól jegyezzétek meg!!! Ezen a m¶veleten kivül(gyökvonás) mindegyik megfelel®, egyik m¶velet sem mutat ki a halmazból, ha azt valós számra végzem el(összeadás,kivonsá,szorzás,osztás,pozitiv egész kitev®j¶ hatvánoyzás) Fogalmak lehetnek még:
:::::::::::::::::::::::::::
-Prím: Az a szám amely nem osztható csak önmagával és 1-gyel(ezt nyilván az egész számok halmazán értelmezzük) -Oszthatóság: Egyik számot elosztva egy másik számmal,teljesül az,hogy egy egyész számot kapok valamint, ha ha megszorzom az osztót, és ezt az egész számot visszakapom az eredeti számot.
→
a =c→c∗b=a b 6 8 hogy lássuk pl: = 2 → 2 ∗ 3 = 6vagy = 4 → 4 ∗ 2 = 8 3 2
Matematika formában:
vegyünk pár számot is , -Maradékos osztás:
Hasonlóan De niálható ,mint az oszthatóság csak itt lehet maradék is! pl:→ 7:2=3
→
(3*2)+1=7
1
Feladatok lehetnek: 1, Egy termék árát növeltem 20 % -kal, majd csökkenttem azt 25% -kal, égy így 5000 FT ért adom el a temerméket. Kérdés vajon jól jártam-e? (ez kalaszikus :O) megoldás: legyen x az eredeti ára (úgyis mindig X-el jelöletek), ezek után már csak egy egyszer¶ lineáris egyenletet tudunk fölírni
x∗1.2∗0.75 = 5000 ( ↑ és ↑ az 1-hez viszonyítok
ez nagyon fontos, és nagyon sokhelyen el®fordulhat érettségiben és el® is fordul, ha növelek
valamit'x'a% -kal akkor azt el kell osztanom 100-zal, és hozzáadni ezt , ha csökkentek valamit , akkor úgyan ez csak nem hozzáadok hanem kivonom!)
x ∗ 0.9 = 5000 x = 4500 → ezt az erdeti ár, drágábban adtam el, mint az erdeti → jól átbasztam az embereket, öröm és boldogság nekem XD Másképpen:
x ∗ 120% ∗ 75% = 5000 → 100%
ár
így kellene csinálni , ha % -ban akarnánk számolni végig , a módszer tetsz®leges,
itt is úgyan az az eredmény!
3
2/a Minek a
:::
3 7
része a 42 -nek
Megoldás:
3 = 42 beszorzok 7-tel 7 x ∗ 3 = 294 x = 98 3 b, Mennyi 42-nek a része 7
x∗
Megoldás:
3 = 6 ∗ 3 = 18 7
42 ∗
3, Adjon meg 3 elemet ]5,7] intervallumon a,egész számhalmaz b,valós számhalmaz Elmételi kitekintés az inetvallumokról: -Zárt intervallum:
[]
Jele:
értelmezés az intervalúm két határa (legyen most mondjuk X és Y, szal [X,Y]) beletartozik az intervalumba( értsd: bele tartozikaz intervallumba
→halmaz
eleme),tehát ha azt kérik sorolj fel nekem elemeket a halmazból azt a két elemet is
nyugodt szívvel megtehetem(pl [1,3] ennek az egész számok halmazán 3om eleme van az 1,2,és a 3) -Nyilt intervallum:
][
Jele:
vagy akár ( )
]1,3[
Típushiba mindig elorontjátok
Az intervallum határai NEM tartoznak bele az intervallumba ,tehát mikor kérik h sorold föl akkor azt nem tehetem meg, hogy leírom a két határt!!!(pl
elemei az egész számok halmazán csak a 2 !!!)
] ])
-Kett® keveréke(ez is el®fordulhat, s®t el® is fordul!): kett® keveréke lehet az elöl nyitott hátul zárt (
vagy a elöl zárt hátul nyitott(
[ [)
ezek értelmezése úgyan az mint eddig,
csak az els® esetben az intervallum elejét jelz® elemet nem sorolhatjuk föl , a második esetben, pedig az intervallum végét jelz® elemet nem sorolhatjuk föl. Na most a feladat: Megoldás: mivel ez egy elölr®l nyitott hátulról zárt intervallum ezért tudjuk , hogy nem sorolhatjuk föl az 1. elemet !!! a,elemek az egész számok halmazán : 6 és a 7
→nincs
3 darab egész eleme a halmaznak !
b,Végtelen sok eleme van a valós számok halmazán. (ha az lenne ott ,hogy ]1,2[ akkor is végtelen sok elem lenne→végtelen sok elem van két szám között az egész számok halmazán , itt gondolok mindenféle törtre!) pl.: legyen
6=
18 , 3
akkor mondjuk
18 19 20 , , , 3 3 3
de lehetne még sok más elem is...
4
Hatványok
alapvet® dolgok: minden esetben "a" az alap az "n"pedig a kitev® an = a ∗ a ∗ a ∗ a ∗ ...} →"a" összeszorozva "n"-szer önmagával | ∗ a ∗ a ∗ a {z "n" szer szerepel "a" √ n
1
a = a n →melyik
az a szám, amelyiket "n"szer összeszorozva "a"-t kap juk,
fontos az is , hogy valós számok körében dolgozva,a gyök alatti szám nem minden esetben lehet negatív !! csak akkor lehet negatív, ha a kitev® páratlan, ezt jegyezzük meg ! (ha ilyet látunk írjuk oda a feladathoz, hogy nem megoldható a valós számok halmazán ! ) 1 −n → ha a kitev®ben negatív szám szerepel akkor az ezt jelenti an = a azonsosságok: √ m n
am = a n an n−m am = a an ∗ am = an+m a0 = 1 ha a nem egyenl® 0 a1 = a loga b = c → a a ∗ a ∗ ...} = b | ∗ a ∗ {z
ez a hatványozás inverze c (FONTOS: a "b" nem lehet csak poizitív szám abban az esetben , ha az "a" páro →
egészet értsd úgy , hogy ez egy "fordított" m¶velet , azt kapjuk meg , hogy egy "a" szám hanyadik hatványán veszi fel a
"b" értéket
pl: log2 8 = 3 → 23 = 8 Azonosságok: 5
logc b loga b = log → át tudom ca n ∗ loga b = loga bn loga b + loga c = loga b ∗ c loga b − loga c = loga cb aloga b = b loga 1 = 0
váltani más alapú logaritmusra
"a" nem lehet csak pozitiv szám, és nem lehet 1 sem ( 1nek minden hatványa 1) Feldatok lehetnek: 1,Állapítsa meg számológép használata nélkül a pontos értéket !: a, 1
3 4 ∗log3 2
b, √
2
4−log2 4
Megoldás: 1 √ 1 ∗log 2 1 log3 2 4 3 4 4 =3 a,3 → azonsság→= 2 = 4 2 b, √ √
2
4−log2 4
4
2
=
√ log2 4 2
c, Biz. be. hogy√: 1√ 2− 3
+
1√ 2+ 5
=
=
3+
4
log√ 4 2 √ log√ 2 2 2
√
5
=
4 √ 4 22
=
4 2
=2
!!!
esl® körben közös nevez®re hoznék utánna majd meglátjsuk , hogy tudunk továbbmenni ;)
√ √ √ 5+2+2− √ √3 = 3+ 5 → (2− 3)(2+ 5)√ √ √ √ 5+4− √ √ √3 √ = 3 + 5 2∗ 5+4− 3∗ 5−2∗ 3 √
√
5+4−
megnézem , hogy mi szerepel a nevez®ben keresztbeszorzok
√
3=2∗
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 5 + 4 ∗ 3 − 3 ∗ 5 − 6 + 10 + 4 ∗ 5 − 5 ∗ 3 − 2 ∗ 3 5 5 + 4 − 3 = 0 + 5 + 4 − 3
6
→
teljesen jó az eredmény
2, néhány könnyebb feladat a megértéshez:
23 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 54 = 5 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 5 = 625 35 = 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 = 273 210 = 1024 3 16 = 16 ∗ 16 ∗ 16 = 512 √ 6 64 = 2 √ 3 27 = 3 √ 9 512 = 2 √ 6 −17 → nem értelmezhet® a valós számok halmazán √ 3 512 = 16 √ 3 −8 = −2 √ 2 121 = 11 √ √ 1 2 6 642 = 64 6 = 64 3 = 3 64 = 4 √ 20 10 −220 = −2 10 = −22 = 4 √ √ 1 3 6 −23 = −2 6 = −2 2 = −2 → nem értelmezhet® a valós 1 = 0, 04 5−2 = 512 = 25 4 ∗ 2−3 = 243 = 84 = 0.5 125 ∗ 5−2 = 125 = 125 25 = 5 52
Polinomok 7
számok halmazán
pár formula ami lényeges lehet
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
(a + b)2 = a2 + 2 ∗ a ∗ b + b2 = (a + b)(a + b) = a2 + a ∗ b + a ∗ b + b2 (a − b)2 = a2 − 2 ∗ a ∗ b + b2 (a + b)3 = a3 + 3 ∗ a2 ∗ b + 3 ∗ a ∗ b2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3 ∗ a2 ∗ b + 3 ∗ a ∗ b2 − b3
Teljes négyzetté alakítás:
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
vegyük ezt → a2 + 2 ∗ a ∗ b + b2 A következ® az eljárás : veszük a négyzetes tagot , jelen esetben kett® is van, én mondjuk az "a"-t választom.A következ® lépésben csinálok egy olyat, hogy a lineáris tag (értsd: sima "a" nem pedig négyzetes ”a2”) szorzótényz®jének veszem a felét(itt pl a "b" lesz) ugyanolyan el®jelel( + vagy - elötte) és hozzáadom "a"-hoz és ezt a négyzetre emelem (tehát lesz belöle(a + b)2), ezzel nem vagyunk Venni kell a lineáris tag másik felét MINEDKÉPPEN NEGATÍVAN !, és négyzetesen (tehát ” − b2” jelen esetben ) ,valamint hozzá kell adni a maradékot, tehát → (a + b)2 − b2 + b2 = (a + b)2 visszakaptuk az eredetit minden szép és jó :) néhány példa:
::::::::::::::::::::::
z 2 − 10 ∗ z + 25 = (z − 5)2 − 25 + 25 = (z − 5)2 z 2 − 2 ∗ z + 2 = (z − 1)2 − 1 + 2 = (z − 1)2 + 1 5 2 37 z 2 + 5z + 3 = (z + 52 )2 − 25 4 + 3 = (z + 2 ) + 4 5z 2 + 10z + 25 = 5(z 2 + 2z + 5) = 5((z − 1)2 − 1 + 5) = 5(z + 1)2 + 20
Közepek
8
4 féle közepet ismerünk : -harmonikus(jele: H) -mértani(jele: M) -számtani(jele: A) -négyzetes(jele: N) Sorrend értékben :→ H 5 M 5 A 5 N
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Harmonikus közép: N db pozitív szám harmonikus közepe a számok reciprokaiból számított számtani közép reciproka. A harmonikus közepet általában H bet¶vel jelöljük. képlettel(ha a számok a1, a2, a3 ...an−1, an , tehát "n" darab szám) H= a1 + a1 +...na 1 + a1 1
2
n−1
n
egy egyszer¶ példa a könnyebb megértés érdekében : 1, Mi a harmonikus közepe a 1 ,3,5,15 számoknak ? -> ez 4 darab szám tehát: H= 11 + 13 +415 + 151 = 1515 + 155 +4 123 + 151 = 24154 = 2460 = 104 = 2, 5 Mértani közép: Két nemnegatív szám mértani (geometriai) középarányosa egyenl® a két szám szorzatának négyzetgyökével. Hasonlóan, több nemnegatív szám mértani közepe a számok szorzatának annyiadik gyöke, ahány számot vettünk. Jele általában G vagy M. Képlettel: G= √n a1 ∗ a2 ∗ ... ∗ an−1 ∗ an 9
ahol "n" egy természetes szám és "a" pedig egy pozitív valós szám(azért nem leh ismét egy példa: vegyük az elöz® négy √számnak mértani közepét(1,3,5,15) √ 4 G= 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 15 = 4 225 = 3, 87298 Számtani közép: Számtani vagy aritmetikai középértéken "n" darab szám átlagát, azaz a számok összegének "n"-ed részét értjük. A számtani közepet általában A bet¶vel jelöljük n−1 +an A= a1+a2+...+a n ahol "n" egy természetes szám és "a" pedig egy valós szám példa:(ismét úgyan az a négy szám)
A= 1+3+5+15 = 24 4 4 = 6 Négyzetes közép: "n" darab szám négyzetes közepe a számok négyzetösszege osztva a számok mennyiségével, és ha abból négyzetgyököt vonnunk akkor kapjuk meg azok négyzetes . jele: Q q 2 2közepét a1 +a2 +...+a2n−1 +a2n Q= n példa:( az) q még mindig úgyan q q √ 12 +32 +52 +152 1+9+25+225 260 Q= = = 65 = 8, 06225 4 4 4 = Azért használtam mind a négy esetben úgyan azokat a számokat , hogy megmutassam azt, hogy teljesül a reláció ;)
10
Egyenletek, Egyenl®tlenségek Az egyenlet egyenl®ségjellel összekapcsolt két kifejezés. A két kifejezést az egyenlet jobb és bal oldalának nevezzük. Az egyenletek többnyire (bár nem kötelez®en) változókat vagy határozatlan mennyiségeket is tartalmaznak, melyeket ismeretleneknek nevezünk. Az ismeretlenek száma szerint beszélünk egyismeretlenes, kétismeretlenes, illetve többismeretlenes egyenletr®l. Az egyenlet megoldásán az ismeretlen(ek) mindazon értékeinek meghatározását értjük, amelyeket behelyettesítve az egyenletbe, annak két oldala egyenl®vé válik. Ezeket az értékeket az egyenlet gyökeinek vagy megoldásainak nevezik.
Els®fokú egyenletek
::::::::::::::::::::::::::::::
1,
x−4 8
+2=
15x−60+240 120
3x+104 20
=
− x−8 12
18x+624−10x+80 120
15x + 180 = 8x + 704 7x = 524
x= 5257 525 Ell.:bal oldal: 7 8−4 + 2 = 10.857 jobb oldal: 3∗ 525 7 +104 20
−
525 −8 7
12
= 10, 857
2,Egy édesanya 21 évvel id®sebb, mint a gyereke. 6 év múlva a gyerek pontosan ötször lesz atalabb az édesanyjánál. Kérdés: Hol van az apa? Bár úgy t¶nik nincs összefüggés, a feladatnak matematikai megoldása van. (végre valami érdekes és gondolkodtató ;) ) két egyenlet két ismeretlen édesanya legyen mondjuk: y , a gyerek pedig legyen x els® egyenlet 11
x + 21 = y
második egyenlet (x + 6) ∗ 5 = y + 6
els® egyenletben ki van fejezve "y" amit behelyetesítek a második egyenletbe:
5 ∗ (x + 6) = x + 21 + 6 5x + 30 = x + 27 4x = −3 ->x=− 43 =-0,75
a matematikai része ennyi, most jön a gondolkodás :O vajon hol lehet az apa ha -9 hónapos a gyerek :P hát hol is lehetne ,ha nem éppen az anyukában :D:D ;) y= −34 + 21 = 814 éves az anya talán ezt nem kell ellen®riznem :P 3,Két vízcsapot egyszerre kinyitva 40 perc alatt töltenek meg egy medencét. Az általuk szolgáltatott vízmennyiség aránya 3:4 . Mikor telik meg a medence, ha az els® csapot 6 órakkor a, másodikat pedig 6 óra 25 perckor nyitják meg? kiszámítjuk hány egység víz van a megtelt medencében (3+4)*40=7*40=280 egység van a megtelt medencében (percet használom a másik egységnek) egyenlet fölírása: 280=3*25+7x (mivel 25 percig csak a 3om egység¶ csak m¶ködött ) 280=75+7x 205=7x x= 2057 =29,2857 -> tehát 6 óra 55 perc-re már megtelik a medence Ell.: x=29,2857 3*25+7*29,2587=279,99999 ami jó mivel kerekítettünk ;)
Egyenl®tlenségre is egy példa:(az egyenl®tlenséget számegyenesen ábrázoljuk, nem 2x−4 x−3
>3 12
els® a kikötés x − 3 6= 0 ( a kikötés az 1ik nagyon fontos része a feladatnak, módosíthatja a megoldást, mellesleg sok pont jár érte :P) x 6= 3
2x-4>3x-9 5>x (minden olyan valós szám jó megoldás ami kisebb mint 5 kivéve a 3mat) Másodfokú egyenletek rendkivül fontos dolog amit egy életre meg kell jegyezni a megoldó képlet ;) ax2 + bx +√c = 0 (ilyenre 2 x1,2 = −b± b2a−4∗a∗c
kell mindig rendezni az egyenletet ;))
Diszkirmináns: Diszkirminásnak nevezzük a négyzetgyök alatti kifejezést, tehát”b2 − 4 ∗ a ∗ c”, ez dönt el , hogy 2 megoldása van az egyenletnek( akkor ha a diszkimináns pozití egy megoldása van (akkor ha a diszkirmináns egyenl® 0-val), illetve nincsen megoldása a valós számok halmazán (ha a diszkrimináns negatív)
:::::::::::::::::::::::
pár példa 1, x2 − 3x − 4 = 0 √ √ √ 3± 32 −4∗1∗(−4) −3± 9+16 3± 25 behelyetesítés: x1,2 = = = 2 = 3±5 2∗1 2 2 x1 =
Ell.:
3+5 2
= 4 x2 =
3−5 2
= −1
::::::
x1 = 4 42 − 3 ∗ 4 − 4 = 16 − 12 − 4 = 0 x2 = −1 (−12) − 3 ∗ (−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0
2, Írjon fel másodfokú egyenletet amelynek gyökei -3 és 5 13
(általános alak ((x − x1)(x − x2) = 0 ahol x1 és x2 az egyenlet két megoldása) (x+3)(x-5)=0 x2 − 5x + 3x − 15 = 0 x2 − 2x − 15 = 0
Két autó versenyez . Az egyik egyenletesen 1 ms segességgel képes haladni, a másik viszont 2 sm2 gyorsulással mozog. Mikor és hol éri utol a másokdik autó az els®t, ha egyszerre indulnak , de az 1. kap 2 méter el®nyt ? jelöljük a változonkat "t"-vel mivel az az id® jele, így az egyenlet: t+2= t22∗2 (mivel akkor találkoznak ,ha egy helyen vannak, és itt a távolságra írtam egyenletet ;) ) t+2=t2 t2 − t − 2√= 0 x1,2 = x1,2 =
1± 1+3 2
√ √ 1± 1+8 1± 9 = = 2 2 1−3 x2 = 2 = −1
12 −4∗1∗(−2) 2∗1
=2
=
1±3 2
amib®l nyilván t=-1 nem jó mivel nincs olyan h -1 id®pillanat ;) Ell.: t=2 Bal oldal: 2+2=4 Jobb oldal: 222∗2 = 4
::::::
3,x4 − 5x2 + 6 = 0az ilyet áttéréssel lehet megoldani legyen pl x2 = y y 2 − 5y +√ 6 = 0 ami már hasonlít egy másodfokú egyenletre ;) √ √ 2
−4∗1∗6 y1,2 = 5± 52∗1 = 5± 25−24 = 5±2 1 = 5±1 2 2 5−1 5+1 y1 = 2 = 2 y2 = 2 = 3 ebb®l√ x: √ √ √ (4 megoldás van vigyázat) x1 = 2 x2 = − 2 x3 = 3 x4 = − 3
Ell.: csak x2-re és x4-re végzem el a másik kett®re belátható , hogy úgyan az adódik.
::::::
14
√ x2 √ =− 2 √ 2 4 (− 2) √− 5 ∗ (− 2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 x4 √ =− 3 √ (− 3)4 − 5 ∗ (− 3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
4, x2 − 2x + q = 0 egyenletben a "q" egy paraméter alakítsuk úgy "q" értékét, hogy az egyenletnek egy megoldása legyen. segítségül hívjuk a diszkriminánst és pakk(b2 − 4 ∗ a ∗ c = 0 )
22 − 4 ∗ 1 ∗ q = 0
4-4q=0 q=1 az egyenlet így:
x2 − 2x +√ 1 = 0 2 −4∗1∗1 = x1,2 = 2± 22∗1
Ell.: x=1
√ 2± 4−4 2
=
2 2
=1
::::::
12 − 2 ∗ 1 + 1 = 1 − 2 + 1 = 0
Gyökös egyenletek itt kezd®dnek már néhol 1 kis problémák, mivel gondolkodni kell , vagy akár meglátni , hogy mit kell csinálni egy adott egyenlettel erre adok pár tippet ;) 1, p p √ √ √ 2+
3+
2−
3=
6
legyen ez a feladat(igazoljuk ,hogy ezek egyenl®ek) ! √ nyilván nem a 6-tal kell majd szenvedni,hanem a másikk oldallal ;) alakítsuk hát : 1. lépésben négyzetre emelek , amib®l kijön egy szebb alak mivel ilyen alakban 15
√
p √ b+ a− b
szerepel ,hogy a + ,ha ehhez hasonló alakot tudunk kihozni az mindig jó lehet , jelen feladatban ez adódik munka nélkül is :P mindkét oldalt√négyzetrepemelve adódik, hogy: √ √ p √ 2 + 3 + 2 − 3 + 2 ∗ 2 + 3 ∗ 2 − 3 a két nagy négyzete szerepel ,és a KÉTSZERES SZORZAT ->tipikusan elfelejt®dik nagyon fontos rá oda gyleni(a kétszeres szorzatot írhattam volna úgy is , hogy: q √ √ (2 + 3) ∗ (2 − 3) mind a kett® jó, de az utóbbiban talán jobban látszik , hogy mitpcsinálok√;) √ √ p
4+2∗
4−2∗
3+2∗
3−3=4+2∗
√
1=4+2∗1=6 2 2 6 = 6 2 = 6 nyilván
a másik oldalon is nyilván ez szerepel mivel ;) 2, csináljunk most egy olyant ami picivel nehezebb , méghozzá egy egyenl®tlenségest, hogy belássuk az mégis hogyan m¶ködik ;) √ legyen ez: 3x − 1 < 3x − 1 ezt sokféleképpen meg lehet csinálni , van 1 számolósabb módja, meg van egy viszonylag egyszer¶bb ,a megoldás úgyan az, de a rövidebbhez kicsit ki kell nyitni a szemünket :P megcsinálom mind a kett®t, hogy lássuk miért jó nyitott szemmel járni ;) emeljünk brute force-al négyzetre: 3x − 1 < 9x2 − 6x + 1
rendezzük nullára
0 < 9x2 −√ 9x + 2 másodfokú megoldóval: √ √ 2 9± 81−72 9± 9 9± 9 −4∗9∗2 = = 18 = 9±3 x1,2 = 2∗9 18 18 nekem
ha leosztanánk 3-mal ;)
jobban tetszene ,
, de nem ez a megoldás vigyázat :O mivel ez egy egyenl®tlenség , ezért gyelni kell arra, hogy itt nagyobb kell legyen , mint 0 ;) Mivel ez elején csökken®, utánna növekv® görbe (ezt onnan tudjuk ,hogy az x2 es együttható pozitív(a görbe parabola alakú :P)) így a megoldás : x < 13 vagy x > 23 , de így is lehet fölírni 23 < x < 13 x1 =
3+1 6
=
4 6
=
2 3
x2 =
3−1 6
=
2 6
=
1 3
16
a kett® darabonként jó megoldás, nézzük a másik esetet is (ami a rövidebb) ;) nevezzük hát el 3x-1 mondjuk y-nal , ezek alapján így néz ki: √ y = y négyzetre emelünk itt is
y < y2 0 < y 2 − y itt elemjünk ki , hogy ne legyen annyi munkánk ;) 0 < y ∗ (y − 1) két megoldás y-re az y1 = 0 y2 = 1 akkor a megoldás 0=3x-1 -> 1=3x -> 13 = x1 a másik 1=3x-1 ->2=3x-> 32 = x2 a végs® megoldás itt is úgyan az :P 23 < x < 13
x-re:
ha ennél nem is tünik úgy , hogy itt rövidebb(habár az) másik feladatnál nagyon sok id®t megsporolhatunk ,ami nagyon jól jöhet még a késöbbiekben ;) 3, Ez ismét egy elviekben egy nehezebb feladat, de ha megnézzük akkor látjuk , hogy √ nincsen benne ;) √ semmi √ ördöngösség 3 − x + 2x − 3 =√ x + 2√emeljünk négyzetre
3 − x +√ 2x − 3 + 2 ∗ 3 − x 2x − 3 = x + 2 x + 2 ∗ −2x2 − 9 + 6x + 3x = x + 2 ha nem
bánjátok megsporolok 1 sort :P kivonok mind két oldalból x-et és osztok 2-vel is ;) √ −2x2 − 9 + 9x = 1 ismét négyzetre emelek −2x2 − 9 + 9x = 1 (mivel egynek a négyzete egy :P) −2x2 + 9x − 10 = 0 mivel rendszerint el szoktátok rontani a megoldó képletet, ezért az x2-es tagot mindig rendezzük úgy, hogy a szorzója 1 legyen x2 − 92 x +q5 = 0 x1,2 = x1 =
9± 2
9−1 2 2
2
9 2 −4∗1∗5 2
2∗1 = 48 =
√ 81
=
9± 2
2 x2 =
√ 81
9± 4 −20 = 2 2 9 1 10 5 2+2 2 = 4 = 2
80 4−4 2
= 2, 5
√1
=
9 2±
2
4
=
9±1 2 2
nem is volt olyan nehéz ;) de azért ellen®rzés nem árt :P ELL.: x1 = 2 Bal oldal:
:::::::::
17
2
√
3−2+
√
2∗2−3=
Jobb √ oldal:√ 2+2= x2 = 2, 5
4=2
√
√
Bal oldal: 3 − 2, 5 +
Jobb q oldal:q 5 2
+2=
9 2
√
1+
2, 5 ∗ 2 − 3 = =
√3 2
=
√
q
1 2
1=1+1=2
+
√
√
2=
2 2
+
√
2=
√ 3∗ 2 2
√ 3∗ 2 2
4, Oldjuk meg√az alábbi egyenletet a VALÓS SZÁMOK HALMAZÁN !!! p √ 14 + 3 ∗
−x + 5 = − 2x
most el lehetne kezdeni számolgatni nem is keveset ,mire megkapnánk legjobb esetben ,hogy nincsen megoldás a valós számok halmazán , de fölhívom a gyelmet az egyenlet alakjára, mégpedig arra ,hogy a szerepel egyszer ,úgy √ a változónk , hogy −x, ami önmagában nem baj mert lehet, hogy az x negatív √ és akkor még nem követünk el hibát, de a másik oldalon szerepel, hogy 2x ami azt jelenti , hogy x csak pozitív lehet ami ellentmondás, tehát nincs olyan valós szám ami kielégíti az egyenletet ;) Abszolult értékes egyenletek Itt csak arra kell ügyelnünk , hogy abszolult értéknek mindig két esete van, az egyik esetben pozitív ,a másik esetben pedig negatív. 1, √ x2 = 1
|x|=1
18
1. megoldás: x=1 2. megoldás: x=-1 2, 3x-|x+5|=7 1. eset(ha x>-5): 3x-x-5=7 2x-5=7 2x=12 x=6 2.eset(ha x<-5): 3x+x+5=7 4x+5=7 4x=2 x= 12 ami nyilvá rossz megoldás mert x-nek kisebb kell lennie -5-nél, ez a megoldás tehát nem felel meg , így csak egy megoldásunk van Ell.: x=6 3*6-|6+5|=18-11=7
::::::
19
2,Legyen 1 olyan amihez ,ha nem jó a képzel®er®nk ,akkor nem árt ábrázolni ;) ( a függvények ábrázolásáról majd késöbb ejtek szót most , ha nem tudjátok , akkor csak higyjétek el nekem ;)
1. ábra.
a számolni kivánt dolog: |x2 − x − 2| = x − x2 + 2 ezt kellene megoldani ,mint tudjuk az abszolult értéknél az érmének két oldala van;)vizsgáljuk tehát meg mind a kett® esetet:P 1, eset ha az baszolult értékjelben belül csak pozitív dolgok szerepelnek :O:P x2 − x − 2 = −x2 + x + 2 2x2 − 2x − 4 = 0 leosztok
hetem :P
kett®vel , mert ügyes vagyok és megte-
x2 − x − 2 = 0
megoldó √ képletet daráljuk √mint a nagyon ;) √ 1±
12 −4∗1∗(−2) 1± 1+8 = = 1±2 9 2∗1 2 4 1−3 −2 2 = 2 x2 = 2 = 2 = −1
x1,2 = x1 = 1+3 2 =
=
1±3 2
ez az egyik megoldás;) 2,másik eset az abszolult értéken belül minden negatív :O −x2 + x − 2 = −x2 + x − 2
20
0=0 elt¶nt minden és akkor wtf???:O:O Hát ilyenkor az áll fent , hogy egy azonosságot kaptunk :) Mit is jelent az azonosság-> azt hogy minden szám megoldás és ez tök jó ;) de nézzük meg a függvényünket láthatjuk , hogy abszolult értékes , ami azt vonja maga után ,hogy kicsit huncut , nem árt ábrázolni ;) Ábrázoltam külön ábra 1 nevet kapta ha itt megnézzük, akkor láthatjuk , hogy [-1,2] mind két oldalról zárt intervallum a megoldása a feladatnak ;) (az a megoldás ahol a függvények érintik egymást :P ) Határozzuk meg A,B,C állandók értékét úgy, hogy a 3x2 − 7x + 8 = A(x − 1)(x − 2) + B(x − 1) + C egyenl®ség legyen azonosság ! el®s körben mi az azonosság ?:O elöbbiekben írtam ,hogy az az azonosság , az egy olyan dolog, hogy minden szám legyen megoldás ;) tehát : 3x2 − 7x + 8 = A(x2 − 2x − x + 2) + B(x − 1) + C 3x2 − 7x + 8 = Ax2 − 3xA + 2A + xB − B + C
hogy is kéne ezt csinálni , úgybár van 1 egyenletünk ,de három ismeretlen szerepel benne(mivel x az nekünk kell, ami nem kéne ott legyen az A,B,C) rendezés tehát a változó fokszáma szerint t®rténik (a legmagasabbat teszem el®re, és természtesen x változóról l van szó) 3x2 − 7x + 8 = Ax2 − x(3A + B) + 2A + −B + C így kell rendezni 21
ebb®l három egyenlet következik, mégpedig : 3x2 = Ax2 innen jön , hogy A=3 egyéltelm¶síthet® −7x = −x(3A + B) ebb®l tudjuk ,hogy A=3 7 = 3 ∗ 3 + B ->-2=B 8 = −B + C + 2A A=3 B=-2 8 = 2 ∗ 3 − (−2) + C
8=6+2+C C=0 ezzel megkaptuk amegoldást ,ami így néz ki ;)
3x2 − 7x + 8 = 3x2 − x(3 ∗ 3 + (−2)) + 2 ∗ 3 + −(−2) + 0 ami 3x2 − 7x + 8 = 3x2 − 7x + 8 tehát valóban jól számoltunk
;)
Öszetett feladatok Egy kútba követ ejtünk és 2,7 másodperc múlva hallottuk meg a csobbanást. Milyen mélyen van a kútban a víz felszíne? amit tudni érdemes és2 kell! -a szabadesésnél s= g∗t2 ahol "t" az id® ,"s" a távolság,"g"a nehézségi gyorsulás -g=10 sm2 -hang terjedési sebessége c=340 ms hogyan is fogjunk hozzá mivel csak az össz id®t tudjuk :O ezt tudjuk t = t1 +t2 akkor -> t2 = t−t1 amiben csak egy ismeretlen szerepel további egyenletek: s = c ∗ t2
így néz akkor ki: 2 c ∗ t2 =
g∗t1 2
c ∗ (t − t1) =
g∗t21 2
innen már egyszer¶ csak egy ismeretlenünk van 22
mértékegységet csak a végén írom ki (mindent koherens egységrendszerben számolok: m,s, ms , sm2 ) ;) 10∗t21 2
340 ∗ 2, 7 − 340 ∗ t1 = 680 ∗ 2, 7 − 680 ∗ t1 = 10 ∗ t21 t2 + 68t1 −√183, 6 = 0 −68±
682 −4∗1∗(−183,6) 2∗1
√ −68± 4624+734,4 2
√ −68± 5358,4 2
= = = t1,2 = −68±73,2011 = 2 −68+73,2011 =2,6 sec t2 = −68−73,2011 =-70,6 ami nem jó megoldás t1 = 2 2 a valós t2 = 2, 7 − t1 = 0, 1 sec ami azt jelenti ha a k® 2,6 sec ig
esett, és a hangja rá 0,1 sec-re hallatszódott ;) a kérdés pedig innent®l egyszer¶ s=c ∗ t2=34 m ellen®rzésképp nézzük meg a másikat is ;) 2 s=
g∗t 2
= 33, 82
a külömbség a becselési határon belül van így helyes eredményt kaptunk ;) a hiba a kerekítések miatt van :O:P
Függvénytan
alap függvényeket ábrázolását külön elvégeztem (+ néhány eltolás ;) )
23
2. ábra.
3. ábra.
24
4. ábra.
5. ábra.
. . .
.
25
6. ábra.
7. ábra.
. . . . 26
8. ábra.
9. ábra.
. . . . 27
10. ábra.
11. ábra.
. . . . 28
12. ábra.
13. ábra.
. . . . 29
14. ábra.
15. ábra.
. Alapfogalmak: A függvény fogalma: függvénynek nevezünk minden olyan hoz30
16. ábra.
zárendelést, amely egy halmaz minden eleméhez egyértelm¶en hozzárendel egy másik (nem feltétlenül különböz®) halmaz valamely elemét. Tehát függvény pl. egy osztály tanulóinak év végi matematika-osztályzata (feltéve, hogy mindenkinek van matematika-jegye), a napi átlagh®mérséklet (ha minden nap van adat),stb Nem függvény viszont pl. ha minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit. Ez ugyanis nem egyértelm¶, hiszen egy-egy számnak több osztója is van. A függvény értelmezési tartománya: az a halmaz, amelynek elemeihez rendelünk valamit hozzá. Két példánkban az osztály tanulóinak halmaza, ill. a vizsgált napok halmaza az értelmezési tartomány. Az értelmezési tartományt Dfv -nyel jelöljük (D mellett alsó indexben a függvény neve.)sokan 31
használják még az Ért. jelölést is, mint értelmezési tartomány Szokás az értelmezési tartomány elemeit független változónak, vagy a függvény argumentumának is nevezni. pl ha azt mondom , hogy f(x)=x2 akkor ott az értelmezési tartomány az x , és az érték készlet az x2 A függvény képhalmaza: az a halmaz, amelynek az elemeib®l vesszük azokat, amiket az értelmezési tartomány elemeihez rendelünk. A képhalmaz nem egyértelm¶ dolog, míg ui. az értelmezési tartomány minden elemét használnunk kell a fv. de níciója szerint, a képhalmaz elemeire ez nem áll fenn, tehát negyobb halmaz bármikor tekinthet® képhalmaznak az eredetileg tekintett helyett. Célszer¶ azonban képhalmazként minél kisebbet választani, lehet®leg olyan kicsit, amely még tartalmazza az összes hozzárendelni kívánt elemet. A függvény értékkészlete: a képhalmaz azon elemei, amelyeket a függvény ténylegesen használ, azaz, amelyek ténylegesen hozzárendeltetnek az értelmezési tartomány elemeihez. Az értékkészletet Rfv -nyel jelöljük (R mellett alsó indexben a függvény neve.) vagy ÉK-val jelöljük :P Például az év végi matematika-jegyek, mint függvény képhalmaza, ha nincs bukás, esetleg csak a {2; 3; 4; 5} halmaz. 32
Az értékkészlet elemeit szokás a függvény értékeinek, vagy függ® változónak is nevezni. A függvényt meghatározza: az értelmezési tartománya és a hozzárendelés módja. Ha az értelmezési tartomány mégse lenne megadva, szokás szerint azt a legtágabb halmazt tekintjük annak, amin a függvény még értelmezhet®. Ha ez nem határozható meg, akkor meg kell adni az értelmezési tartományt. (középiskolában a legtágabb a valós számok halmaza) Függvényábrázolás Célja a szemléltetés. Fontos, hogy ne keverjük össze az ábrázolást magával a függvénnyel. Számítástechnika órán a táblázatkezel® diagrammkészít®jében sok függvényábrázolási móddal találkozhatunk.Matematikában a legfontosabb, és szinte kizárólagosan használt eljárás a gra kon. A gra kon egy derékszög® koordinátarendszerben(Dékárt koordinátarendszer) rajzolt ponthalmaz (többnyire vonal). Jelentése a következ®: a vizszintes (x-)tengely a függvény értelmezés tartományát jelképezi 33
(esetleg az értelmezési tartomány csak a tengely valamely része), a függ®leges (y-)tengely a függvény képhalmaza, a ponthalmaz a hozzárendelés módja; úgy értve, hogy egy konkrét pont azt jelenti, hogy a pont x-koordinátájához a fv. annak y-koordinátáját rendeli. Mostmár , hogy így megokosodtunk lássuk gyakorlatban ;) 1, Ha a 0 id®pontban N0 számú bomlatlan atomot tartalmazott a radioaktív anyag , akkor "t" id® múlva a még bomlatlan atomok száma Nt = N0 ∗ eλ∗t
lesz (e=2,718).A λ neve bomlási állandó(megadja,hogy id®egység alatt az atomok hányad része bomlik el az adott anyagban) a, A gyógyászatban daganatos területek kezelésére úgynevezett kobaltágyút használtak, amelyben a 60-as tömegszámú kobaltizotóp a rádioaktív(gamma-sugár) forrás.A kobalt 60-as izotópjának felezési ideje 5,24 év. A rádioaktív atomok hány százaléka bomlik el évente ? amit tudunk: t=5,24 és Nt = 0, 5 ∗ N0 a kérdés els® körben a λ, utánna pedig meghatározhatjuk amit valóban kérdeznek az Nt-t ;) ezzel az egyenlettel dolgozunk : Nt = N0 ∗ eλ∗t els® megoldandó egyenlet tehát: 0, 5 ∗ Ne = N0 ∗ eλ∗5,24
34
0, 5 = eλ∗5,24
itt alkalmazzuk a természetes alapú logaritmust amit
ln-nel szokás jelölni, de most kiírom ,hogy loge loge0, 5 = λ ∗ 5, 24 -> loge0, 5 = −0, 6931 −0, 6931 = λ ∗ 5, 24-> innen λ = −0, 13227, és akkor amit kerestünk: Nt = N0 ∗ eλ∗t = N0 ∗ e−0,13227∗1 = N0 ∗ 0, 87609
tehát az anyag kevesebb mint 13% a bomlott el b, A rádiokatív atomok mekkora része bomlik el 3 év alatt ? Nt = N0 ∗ eλ∗t = N0 ∗ e−0,13227∗3 = N0 ∗ 0, 6724 az anyag 0,327558-ad része bomlott el c, Mennyi id® alatt bomlik el a rádiokatív atomok 20% -a ? Nt = N0 ∗ eλ∗t 0, 8 ∗ Nt = N0 ∗ e−0,13227∗t 0, 8 = e−0,13227∗t loge0, 8 = −0, 13227 ∗ t
-0,2231=-0,13327*t t=1,687 év alatt bomlik el az atomok 20%-a 2,Döntse el, melyik igaz, melyik nem az alábbi kijelentések közül !Válaszát indokolja! a,Ha a ∈ (azt jelenti eleme= ∈) ]0;π[ akkor sin a < cos a . A két függvényt ábrázolom , de ha csak kinytjuk a függvénytáblát, és megnézzük az értékeket , már akkor láthatjuk ,hogy például π2 nél a sin értéke 0, a cos-é pedig -1 , így ez az állítás hamis bHa a ∈ ]0;π[ akkor sin a <1 35
az állítás helytelen ismét nézzük meg a függvénytáblát , és akkor meglátjuk, hogy a sin π2 =1 , ami ellentmond az állításnak. c, ,Ha a ∈ ]0;π[ akkor sin a ≥0 Ismét ábrát hoznék el®, vagy akár függvénytáblát, de szoba jöhet a józan ész is;) a sin az 0-tól π2 ig n®vekv® függvény π2 -z®l πig ,pedig csökken® és π -nél éri el a nullát , tehát ez teljesül ;) d,Ha a ∈ ]0;π[ ,b ∈ ]0;π[ és a>b ,akkor cos a < cos b Az az állítás , hogy nagyobb értékhez kisebb függvényérték kapcsolodók, ami abban az esetben igaz, ha a függvény csökken® ,ez itt teljesül ;) e,Ha a ∈ ]0;π[ ,b ∈ ]0;π[ és a>b ,akkor sin a > sin b Ez itt nem teljesül, mivel a sin függvény csak π2 -ig n® utánna csökken , így nem teljesül, mivel annak kellene teljesülnie,hogy nagyobb értékekhez nagyobb függvényérték tartozik , de ez itt nem áll fent ;) (2es ábra) 3, a,Mi a lehet® legb®vebb értelmezési tartománya a p √ √ 2x + 2 x2 − 1 − x − 1 kifejezésnek? Azt tudjuk a négyzetgyök függvényr®l, hogy nem lehet a négyzetgy®k alatt álló kifejezés sehol sem negatív ! Ez csak az x2 − 1 és az x-1 esetében fordulhat el®, ami akkor nemnegatív, ha x≥1 ,tehát az értelmezési tartomány az olyan valós számok halmaza, ami nagyobb vagy egyenl® ,mint 1 ,másképpen [1,∞[ b, Ábrázoljuk is ! 36
17. ábra.
Ilyen függvényt ,ha kapunk az alakja biztos hasonlítani fog, az eredeti négyzetgyök függvény alakjára ,de nem pont olyan lesz, ilyen esetben ,ha bizonytalanok vagyunk akkor helyetesítsünk be a függvénybe az a legjobb(pl x helyére bírjuk ,hogy 1 akkor elvégezzük a m¶veleteket amik vannak , és akkor megkapjuk y értéket ;) ) 4, ábrázoljunk függvényeket (Mutatok pár biztos lépést amit ránézésre tudni kellene, de ha nem akkor elég az is ,ha be tudunk helyetesíteni) √ a,f (x) = 2 x − 4 itt egyszer¶ a dolgunk eltoljuk a függvényt az origótól az x tengely pozitív irányában négy egységgel ,valamint az értékeket a kétszeresére n®veljük !
37
18. ábra.
b,
p g(x) = 2 ∗ (x − 4)
19. ábra.
úgyan az ,mint az elöbb ,csak √ itt nem kétszeresére n®vekednek az értékek,hanem 2-szersére 38
c, h(x) =
q
x2 −5 x−5
20. ábra.
hát kéne egy kis egyszer¶sítés utánna meg már könny¶ dolgunk van ;) q q h(x) =
x2 −5 x−5
=
(x−5)(x+5) x−5
=
√
x+5 persze mindenek elött a kikötés x6=5 ,és x≥-5,így már ez is csak egy
eltolás az x tengelyen negatív irányban 5-tel! d,j(x) = 3x − 1 ez egy rendes exponenciális függvény ,amit eltoltunk az y tengelyhez képest negatív irányban 1-el!
39
21. ábra.
e,k(x) = log 13 (x − 1) 1 3 -mad alapú logarítmust eltoljuk az x tengyehez képest pozitív irányban 1-el
22. ábra.
40
5, Hol metszik az ábrák egymást a függvények ? (Csak annyit kell√végig tenni ,hogy megoldjuk az egyenleteket!) a,f(x)=x2 g(x)= x
23. ábra.
√ x2 = x x4 = x x3 = 1 ->x=1, de ne felejtsük el,hogy a x=0 is teljesíti az egyenletet
;) behelyetesítéssel megkapjuk a megtszéspontokat P(0,0) és Q(1,1) 2 b,j(x)= 2+3x x−2 k(x)=(x − 2) + 3,ha x6=2
41
24. ábra.
8 = x−2 + 3 ezt az átalakítást a j(x) egyszer¶bben j(x)= 3x−6+8 x−2 mindig el kell végezni !(nem lehet változó a nevez®ben és a számlálóban is !) 8 x−2 8 x−2
+ 3 = (x − 2)2 + 3 = (x − 2)2 8 = (x − 2)3
2=x-2 4=x behelyetesítve k(4)=(4 − 2)2 + 3 = 22 + 3 = 7 -> P(4,7) az ábrázolás az 5ös ábrákon található !
Függvényvizsgálat Lépések amit mindig meg kell tegyünk,ha ilyet kér a feladat ! 42
1-2. lépés a Értelmezési tartomány , és Értékkészlet vizsgálat(ezekr®l már volt szó,így úrjra nem írom le!) 3. Zérushely: Meg kell keresni,hogy hol érinti az x tengelyt a görbét(függvényt), ez számolással történik alábbi módon f(x)=0 4.Monotonitás: Meg kell vizsgálni hol növ® és hol csökken® a függvény!Lehet egy adott tartományon: - monoton, akkor ,ha találunk olyan részt a tartományban,ahol egyenesen folytatódik a függvény -szigorúan monoton,ha csak növ®,vagy csak csökken® a függvény 5.Széls® értékek : azt kell vizsgálni,hogy hol van olyan pont ,ami elhatárolja a monoton növ®, illetve a monoton csökken®(maximum) pontokat,vagy akár fordítva(minimum),ha ez a pont a lehet® legnagyobb ,vagy legkisebb akkor abszolult pontról beszélünk ! 6.Korlátosság: korlátos ha van olyan pont amelynél a függvény csak nagyobb,vagy kisebb 7. Speciális tulajdonságok: -paritás(páros vagy páratlan függvény) >páros függvény:f(x)=f(-x) tehát az x tengelyre tegnelyesen szimmetrikus (mintha tükörbe nézne ;) ) >páraltan függvény:f(x)=-f(-x) a függvény pont ellentéte a két oldalon(el van fordulva 180 fokkal,vagy π radiánnal a másik oldalhoz képest) -periodikus:valamilyen periodicitással ismétl®dik a függvény 1,példa f(x)=x2 Df :Valós számok halmaza 43
Rf :valós
számok halmaza Zérushely: f(x)=0-> x2 = 0 ->x=0 Monotonitás: -Ha x≥0 ,akkor szigorúan monoton növ® -Ha 0≥x, akkor szigorúan monoton csökken® Széls® érték: Abszolult minimuma van -minimum hely x=0 -minimum érték y=0 Korátosság: -alulról korlátos , a korlátja pont az x tengely Speciális tulajdonsága: páros függvény 2,g(x)=cos(x) Df :Valós számok halmaza Rf :valós számok halmaza Zérushely: g(x)=0-> cos(x) = 0 ->x= π2 + k ∗ π a "k" az egy egész szám lehet (pl -1,0,1,2,3...) Monotonitás: -Ha 0 ≥ x ≥ −π ,akkor szigorúan monoton növ® -Ha π ≥ x ≥ 0, akkor szigorúan monoton csökken® Széls® érték: Abszolult minimuma ,és abszolult maximuma van 2 pi periodusonként -minimum hely x=π + k ∗ 2π -minimum érték y=-1 maximum hely x=0 + k ∗ 2π maximum érték y=1 Korátosság: -korlátos , a korlátja pont felülr®l az y=1 egyenes, alulról pedig az y=-1 egyenes Speciális tulajdonsága: - páros függvény -periódikus periódusa:2π 44
3,h(x)=tg(x) Df :Valós számok halmaza Rf :valós számok halmaza kivéve x= π2 + k ∗ π ,ahol "k" egy egész szám Zérushely:x=0+j ∗ π ,ahol "j" egy egész szám Monotonitás: minden intervallumban növ® (intervallumban azért ,mert nincs értelmezve a függvény π2 + l ∗ π pontokban !!!) Széls®érték : nincsen neki ,mivel a minimuma ,és a maximuma is egyaránt a végtelenben van !!! Speciális tulajdonság: -páratlan függvény -periódikus periódusa:π 4, j(x)=sin2(x) − 3x6 + 2 Df: Valós számok halmaza Rf: Valós számok halmaza(minden pontban értelmezhet® a függvény) Zh:
sin2(x) − 3x6 + 2 = 0 sin2 − 3 ∗ x6 = −2
ez itt bonyolult lenne tovább számolni,de ha kicsit gondolkodunk akkor egyszer¶bb lesz a dolog ;) ez alatt azt értem ,hogy tudjuk a szép szinusz függvényr®l ,hogy korlátos 1≥ sin(x) ≥ −1 a,hogy a sin2(x) is a maxiuma 1, de a minimuma 0 (alakja úgyan az, csak a pozitív tengelyen van minden pontja, és a periódusa π ,de külön ábrázolom ;) ) a gon45
25. ábra.
26. ábra.
dolatment a következ®: mivel a −3x6 csak negatív érték¶ lehet (pozitív a hatványkitev®) ezért olyan értéket kell keresni amelyre teljesül az elöbb látott egyenletez nyilván a -1 és egy tartományon 46
lehetséges(eleve 3mas szorzója van annak a porzasztóan nagy ,és gyorsan csökken® negatív q parabolának) vizsgáljuk eleve, csak a −3x6 = −2 -> x = 6 23 = 0, 9346 ezt az értéket behelyetesítve sin2(0, 9346) = 0, 647 ami azt jelzi , hogy nekünk a 0,9346-nál nagyobb szám kell (ami nyilvánvaló is volt) vegyük az átlagát ennek a pontnak, és az 1-nek 1+0,9346 ' 0.97 amit ,ha behelyetesítünk 2 akkor 0,1-et kapunk , ami még mindig nem nulla,de az átlagolás m¶veletét elvégezve megkapjuk a pontos eredményt ;) ,amit én megsúgok x=0,98206 , illetve mivel a függvény páros ezért ennek a -1-szerese is tehát x1 = 0, 98206 x2 = −0, 98206 Monotonitása: -∞ ≤ −0, 54 b szigorúan monoton növ®-0,54leq0 szigorúan monoton csökken® 0≤0,54 szigorúan monoton növ® 0,54≤ ∞ szigorúan monoton csökken® Széls® értékek: abszolult maximuma van ->maximum helyekx1 = 0, 54 x2 = −0, 54 nél ezekhez tartoz® maximum érték y=2,2 helyi minimuma van -> minimum hely x=0 minumum érték y=0 Speciális tulajdonság: páros függvény(csak h elhiggyétek behelyetsítek 1 értéket ;) ) j(1)=sin2(1) − 3 ∗ 16 + 2 = 0, 708 − 3 + 2 = −0, 2919 j(-1)=sin2(−1) − 3 ∗ (−1)6 + 2 = 0, 708 − 3 + 2 = −2, 919
Sorozatok
Számtani sorozat: A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat, régies néven szt.
:::::::::::::::::::::::
47
vagy aritmetikai haladvány) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén el®fordul. Egy legalább három számból álló ( akár véges, akár végtelen ) sorozatot akkor nevezünk számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbsége dierenciája (a sorozatra jellemz®) állandó. Triviális példák a csupa azonos elemb®l álló konstans sorozatok, hiszen ezekben két szomszédos elem különbsége mindig 0; a legegyszer¶bb nem triviális példák a természetes számok sorozata (0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ) vagy a páros számok sorozata (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ). A számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében de niálható egyváltozós lineáris függvény fogalmának diszkrét megfelel®je, ahol e függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (Df {an } ∈ N). gyakorlatban: alap érték a0 , a dierencia: d
a2 = a1 + d a3 = a1 + 2d .. . an = a1 + (n − 1) ∗ d jó tudni -> an − an−1 = d,ha n>1 Összegképlete: Sn = (a1 +a2 n )∗n fölhasználva a an = a1 + (n − 1) ∗ d is akkor átírhatjuk más alakra is Sn = [2a1 +(n−1)d]∗n 2 Mértani sorozat: mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megel®z® tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost idegen szóval kvóciensnek nevezzük. Jele: q.
::::::::::::::::::::::
a2 = a1 ∗ q a3 = a1 ∗ q 2 .. . an = a1 ∗ q n−1 Összegképlet(q6=1 ): n −1) Sn = a1 ∗(q q−1 Néhány Példa:1, Egy speciális körülmények között tartott baktériumtenyészet egyedeinek a száma n óra elteltével an = an−1 + 5(n − 1) volt 48
a,Ha kezdetben 1000 egyed volt, akkor 10 óra múlva hányan voltak ? Nem tudjuk eldönteni kezdetben, hogy ez a sorozat "miféle" sorozat, így vizsgáljuk az els® 3-om elemet !
a1 = 1000 a2 = 1000 + 5 ∗ (2 − 1) = 1005 a3 = 1005 + 5 ∗ (3 − 1) = 1015 a4 = 1015 + 5 ∗ (4 − 1) = 1030 így általánosan a sor: an = ((((a0 + 5 ∗ (1 − 1)) + 5 ∗ (2 − 1)) + 5 ∗ (3 − 1)) + 5 ∗ (4 − 1)) + . . . )5 ∗ (n − 1)) 5-öt kielmelve ->an = a0 + 5 ∗ (0 + 1 + 2 + · · · + n) a könnyebb felírás érdekében alkalmazzuk az összegképletet ;) = a0 + 5 ∗ 45 = a0 + 225 an = a0 + 5 ∗ (0+9)∗10 2 így a megoldás : a 10. elem=1000+225=1225 2, Egy egész számokból álló számtani sorozat els® 5 tagjának összege 65, szorzata 129168.Melyik ez a sorozat? (2∗a +(5−1)d)∗5 Amit tudunk: Sn = 65 ami tehát 65= 1 2 = 10a12+20d = 5a1 + 10d
a1 = 13 − 2d Másik sor: a1 ∗ a2 ∗ a3 ∗ a4 ∗ a5 ∗ a6 = 129168 a1 ∗ (a1 + d) ∗ (a1 + 2d) ∗ (a1 + 3d) ∗ (a1 + 4d) ∗ (a1 + 5d) = 129168 behelyetesítünk (13-2d)*(13-d)*(13)*(13+d)*(13+2d)=129168 .. . 52d4 + 175379d2 + 171366d + 317293 = 129168 52d4 + 175379d2 + 171366d = −188125 ami ellentmondás, mivel a páros kitev®j¶ tagok csak pozitívak lehetnek, csak a lineáris tag lehet negatív,de annak értéke túl kicsi(növ® függvény) már ,ha -1-et helyetesítünk be akkor is nagyobb számot kapunk , és mivel növ® a függvény utánna csak nagyobbat fogunk kapni, így nincs ilyen sorozat !!! 3, Egy derékszög¶ háromszög oldalai egy számtani sorozat három szomszédos tagját alkotják, melynek a különbsége 3 cm. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? d=3 49
a21 + a22 = a23 − > a21 + (a1 + 3)2 = (a1 + 2 ∗ 3)2 2a21 + 6a1 + 9 = a21 + 12a1 + 36 a21 − 6a1 − 27 = 0 a11 = 9 ez jó a12 = −3 ami nem lehet nyilván így az oldalak a1 = 9cm a2 = 12cm a3 = 15cm ez egy pitagorászi háromszög mégpedig a 3,4,5 számhármas, csak meg van szorozva 3-mal,így a szögek : 300 , 600 , 900 sorjában ;) 4,Határozza meg a 3 els® 10 pozitív egész kitev®j¶ hatványának az összegét !
S2 0 =
3∗(310 −1) 3−1
= 88572
5, Egy sertéshizlaldában 2500 sertés van. A mindenkori állomány évente 5% -kal gyarapszik, de kétévenként levágják a meglév® állomány 3%-át. Mennyi állat lesz 12 év múlva ?
q1 = 1, 05 q2 = 0, 97 a1 = 2500 a1 ∗ q112 ∗ q26 = 2500 ∗ 1, 0512 ∗ 0, 976 =3739,745 3739 disznó lesz 12 év múlva(csak egész szám lehet a disznók száma !!!) 6, Egy számtani sorozat els® négy tagjához rendre 5-öt,6-ot,9-et,15-öt adva egy mértani sorozat els® négy tagját kapjuk! Mennyi a különbség,a hányados,mekkorák a kezd® tagok? a számtani sorozatot "a"-val jelölöm a mértanit pedig "b"-vel
a1 + 5 = b 1 a2 + 6 = b2 − > a1 + d + 6 = (a1 + 5) ∗ q a3 + 9 = b3 − > a1 + 2d + 9 = (a1 + 5) ∗ q 2 a4 + 15 = b4 − > a1 + 3d + 15 = (a1 + 5) ∗ q 3 kifejezve a dolgat: d = a1 ∗ (q − 1) − 6 + 5q a1 + 2 ∗ a1 ∗ (q − 1) − 12 + 10q + 9 = (a1 + 5) ∗ q 2 − > a1 = mivel a nevez® sehol sem nulla , ezért minden szám jó lesz ;) innen visszahelyetesítünk d-be is 2 −10q+3 q 2 −4q+3 d= 5q ∗ (q − 1) − 6 + 5q = 2 −q +2q−1 −q 2 +2q−1 (már a megoldás szélén járunk :P) 5q 2 −10q+3 q 2 −4q+3 5q 2 −10q+3 3 + 3 ∗ + 15 = ( 2 2 −q +2q−1 −q +2q−1 −q 2 +2q−1 + 5) ∗ q
50
5q 2 −10q+3 −q 2 +2q−1
−7q 2 +8q−3 −q 2 +2q−1 3 2
3
= −q2−2q +2q−1 2q − 7q + 8q − 3 = 0 ez az ábráról leolvasva
27. ábra.
q1 = 32 ->jó megoldás q2 = 1->nem jó a kikötés miatt (nevez® nem lehet nulla) Behelyetesítés után : d=3 a1 = 3 b1 = 8 Ell.: a2 + 6 = b 2 a1 + d + 6 = b1 ∗ q kell legyen 3+3+6=12 8* 32 = 12 tehát jó a megoldás ;)
51
Geometria
Ezekkel az alapfogalmakkal de niáljuk a következ® fogalmakat: Két egyenes metszi egymást, ha pontosan egy közös pontjuk,->van metszéspontjuk . Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nem metszik egymást (nincs közös pontjuk). Két sík metszi egymást, ha pontosan egy közös egyenesük, van metszésvonaluk . Két sík párhuzamos, ha nem metszik egymást (nincs közös egyenesük) Egy egyenest egy P pontja két félegyenesre bontja.Ha nem mondunk mást, akkor a P pont mindkét félegyeneshez hozzátartozik. Egy síkot egy "e" egyenese 2 félsíkra bontja. Ha nem mondunk mást, akkor az "e" egyenes mindkét félsíkhoz hozzátartozik. A teret egy "S" síkja 2 féltérre bontja. Ha nem mondunk mást, akkor az "S" sík mindkét féltérhez hozzátartozik. Egy egyenest az A és a B pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. A szakaszt jelölhetjük AB-vel vagy egy tetsz®leges kis bet¶vel (pl.:a-val). Ha nem mondunk mást, akkor a szakasz végpontjai a szakaszhoz tartoznak. Távolsággal kapcsolatos de níciók: - Szakasz hossza: a két végpont közötti távolság - A szakasz hosszát méréssel határozzuk meg. A hosszúság egysége a méter (m). - Két pont közötti legrövidebb út, az ®ket összeköt® szakasz. - Két alakzat távolsága, egy-egy pontjuk között húzható legrövidebb szakasz hossza. Szögek: -Egy adott pontból kiinduló két félegyenes szöget (szögvonalat) alkot. -Az adott pont a szög csúcsa, a félegyenesek a szög szárai. -A szög szárai a síkot két szögtartományra bontják. -A két szögszár mindkét szögtartományhoz hozzátartozik. - A szögmérés (egyik) egysége: az
1o .
Ha a teljes szöget 2-vel jelöljük, akkor
1o = 600 (szgperc); 10 = 60”
(szögmásodperc) - Konvex szög: egy szög konvex, ha a szögtartomány bármely két pontját összeköt® teljes szakasz része a szögtartománynak. - Konkáv szög: egy szög konkáv, ha a szögtartományban találunk legalább két olyan pontot, melyeket összeköt® szakasz metszi legalább az egyik szögszárat. Kör:
28. ábra. -Azoknak a pontoknak a halmazát a síkon, amelyek a sík egy "O" pontjától adott r (r nem egyenl® 0)
52
távolságra vannak, egy körvonalnak nevezzük. - Azoknak a pontoknak a halmazát a síkon, amelyek a sík egy "O" pontjától adott r (r nem egyenl® 0) távolságnál nem nagyobb távolságra vannak, zárt körlapnak nevezzük. - kör = körvonal (de gyakran használjuk a kör kifejezést a körlapra is) Az érint® olyan egyenes (ábrán: e ), amelynek pontosan egy közös pontja van a körrel (É). A szel® (s) olyan egyenes, amely két pontban (M1 ill. M2) metszi a körvonalat. A húr olyan szakasz, mely a szel® s egyenes része, és végpontjai a körvonal pontjai (M1 ill. M2). A húr a kör síkterületét két szeletre bontja. A sugár (r) a kör középpontját és a kör egy pontját összeköt® szakasz. Az átmér® (d) olyan húr, melynek pontja a középpont. Az átmér® hossza kétszer akkora, mint a sugár hossza ( d=2r ). Az ív (i) a körvonal egy szakasza. A körcikk olyan síkidom, melyet két sugár, és egy ív határol. Ennek speciális esete a félkör, mely egyben speciális szelet is. A körgy¶r¶ két koncentrikus kör közé es® sík rész.
Háromszögek: A geometriában a háromszög olyan sokszög, aminek három oldala, másként fogalmazva három csúcsa van. Osztályzás: -Az egyenl® oldalú háromszög minden oldala azonos hosszúságú. Egyben minden bels® szöge is ugyanakkora, mégpedig
60o ;
29. ábra. - Az egyenl® szárú háromszögnek legalább két oldala azonos hosszúságú. Egyben két bels® szöge is ugyanakkora (az alapon fekv® szögek). - Az általános háromszög minden oldala különböz® hosszú, és bels® szögei is különböz®ek.
53
30. ábra.
31. ábra.
A háromszögek csoportosíthatók legnagyobb bels® szögük mérete szerint is: - A derékszög¶ háromszögnek van egy
90o -os
bels® szöge (egy derékszög). A derékszöggel szemközti oldalt
átfogónak, a másik két oldalt befogóknak nevezzük.
54
32. ábra.
- A tompaszög¶ háromszögnek van egy
90o -nál
nagyobb bels® szöge (egy tompaszög).
33. ábra. - A hegyesszög¶ háromszögnek mindhárom szöge
90o -nál
kisebb (három hegyesszög).
Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van; azaz: ha hosszúság szerinti sorrendbe állítjuk az oldalakat, pl.
a ≤ b ≤ c,
akkor a megfelel® (az oldalakkal szemközti) szögek is ugyanilyen nagyság
szerinti sorrendben követik egymást,
α ≤ β ≤ γ;
és fordítva: ha a szögeket állítjuk ilyen sorrendbe, akkor
a megfelel® oldalak is ugyanilyen sorrendben fogják egymást követni. Ezt az állítást néha olló-tétel néven emlegetik. Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha létezik olyan megfeleltetés, ahol a szögeik megegyeznek. Ebben
55
34. ábra.
az esetben megfelel® oldalaik aránya is megegyezik. Ebb®l következ®en két háromszög hasonló, hogyha létezik olyan megfeleltetés, amelyben: 1. két megfelel® szögük megegyezik, 2. két megfelel® oldal aránya és a közbezárt szög megegyezik, 3. megfelel® oldalaik aránya megegyezik, 4. két megfelel® oldal aránya, és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik Fontos!!! egy háromszög csak akkor létezik, ha akármelyik két oldal összege nagyobb ,mint a 3. oldal(legyen a háromszög három oldala a,b,c) a+b>c és a+c>b és b+c>a ezek mindegyikének teljesülni kell, csak akkor lehet létez® a háromszög ! A Pitagorasz-tétel Az euklideszi geometriában a háromszög bels® szögeinek összege (α kétszeresével (180
o
vagy
π
+ β + γ)
megegyezik a derékszög
radián). Ebb®l következik, hogy a háromszög két szögének ismeretében meg lehet
határozni a harmadikat. Egy fontos tétel a Pitagorasz-tétel, ami kimondja, hogy bármely derékszög¶ háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a két befogó négyzetének összegével. Ha c az átfogó, a tétel az alábbi alakban írható le:
a2 + b2 = c2 Ami azt is jelenti, hogy a derékszög¶ háromszög bármelyik két oldalából meg lehet határozni a harmadik oldalt. A Pitagorasz-tétel általánosítása a koszinusztétel:
a2 + b2 − 2ab ∗ cos(γ) = c2 ami minden háromszögre igaz, nem csak abban az esetben, ahol
γ
derékszög¶. A koszinusztétel lehet®vé teszi
a háromszög szögeinek és oldalainak meghatározását, ha ismert a háromszög három oldala, vagy két oldal és az általuk közrefogott szög. A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben, egy oldal hosszának hányadosa a szemközti szög szinuszával független az oldal választásától, a hányados pedig egyenl® a köré írt kör átmér®jével:
a sin(α)
=
b sin(β)
=
c sin(γ)
= 2R
ahol R a körülírt kör (a mindhárom csúcson áthaladó kör) sugara. A szinusztételt fel lehet használni a
56
háromszög oldalainak meghatározására két szög és egy oldal ismeretében. Ha két oldal és egy nem meghatározott hely¶ szög adott, a szinusztétel akkor is használható; ebben az esetben 0, 1 vagy 2 megoldás lehetséges. Magasság és terület: Az a, b és c oldalakhoz tartozó magasságokat
ma , mb és mc szimbólumakkal jelöljük és a következ®képpen
számíthatóak ki:
ma = b ∗ sin(γ) = c ∗ sin(β) mb = a ∗ sin(γ) = c ∗ sin(α) mc = a ∗ sin(β) = b ∗ sin(α) A terület valamely oldal és a hozzá tartoztozó magasság ismeretében számítható:
T = T = T =
a∗ma 2 b∗mb 2 c∗mc 2
a∗c∗sin(β) = a∗b∗sin(γ) = 2 2 b∗a∗sin(γ) b∗c∗sin(α) = = 2 2 c∗a∗sin(β) c∗b∗sin(α) = = 2 2
A szabályos háromszög esetében a képlet a következ®képpen egyszer¶södik le:
T =
a2 ∗sin(60o ) 2
=
√ a2 3 4
szabályos háromszögre további képletek :
1 m= 2
√
3a √ 1 beírt kör sugara: r = 6 3a √ 1 köré írt köre: R = 3 3a
magassága:
A Thalész-tétel kimondja, hogy ha a háromszög köré írt kör középpontja valamelyik oldalon van rajta, akkor a szemközti szög derékszög. Ennél többet is tudunk: ha a középpont a háromszög belsejében van, a háromszög hegyesszög¶, ha kívül van a háromszögön, akkor a háromszög tompaszög¶.
A magasságpont a magasságvonalak metszéspontja A háromszög magasságvonalán a csúcspontot a szemközti oldallal derékszögben összeköt® vonalat értjük. A magasságvonal hossza a csúcspont és az alap közötti távolsággal egyenl®. A három magasságvonal egy pontban metszi egymást, a háromszög magasságpontjában. A magasságpont akkor és csak akkor van a háromszög belsejében, ha a háromszög nem tompaszög¶.
A háromszög szögfelez®inek metszéspontja a beírt kör középpontja. A háromszög szögfelez®je az a csúcson átmen® egyenes, ami a csúcshoz tartozó szöget kettéosztja(lásd szögfelez® ábra) . A szögfelez® minden pontja a szög melletti oldalaktól egyenl® távolságra van. A három szögfelez® egy pontban metszi egymást, a beírt kör középpontjában. A beírt kör a háromszög belsejében található kör, ami mindhárom oldalt belülr®l érinti. Sugarára a szabályos háromszög esetében van egyszer¶ képlet:r
=
1 6
√
3a
ahol "r" a sugár ,és "a" az oldal.
A háromszög súlypontja.
57
A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felez®pontját összeköt® szakasz, ami a háromszög két egyenl® terület¶ részre bontja. A három súlyvonal egy pontban metszi egymást, a metszéspontot a háromszög súlypontjának nevezzük.( A súlypont egyben a háromszög tömegközéppontja is: ha a háromszöget például fából legyártanánk, a súlypontot vagy az egész súlyvonalat alátámasztva egyensúlyban lenne. A súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalat úgy, hogy a csúcstól fekszik távolabb.)
Példák: 1,Határozza meg a 8 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög magasságát és területét!
35. ábra.
a=8 cm ->
√ a2 ∗ 3 4
√
= 27.7128 m =
3a 2
58
= 6.9282
2,Határozza meg a 10cm sugarú:
36. ábra.
√ a2 ∗ 3 4
= 27.7128 a=8 cm -> abályos √ háromszög oldalát ! r= a=
1 6 6r √ 3
m =
√ 3a 2
= 6.9282
a,körbe írt sz-
3a √ = 34, 6410 = 6∗10 3 √ 3R R = 13 3a → a = √ = 17, 3205 3 képletet alkalmazzuk innen
b,ha köré írt köre 10 cm
3, Lehet √ e derökszög¶ háromszög az alábbi adatokkal ? a, 3,6, 45 ? pitagorasz tételt √ alkalmazzuk és megnézzük ! ->32 +62 = 9+36 = 45 tehát a 3. oldal 45 kell legyen ,hogy derékszög¶ legyen a háromszög , ami teljesül ! b, 4,6,10 az oldalak nézzük meg a háromoldalt, és észrevesszük , hogy alapvet®en még azt sem teljesíti a háromszög legyen megszerkeszthet® !!! (mivel 4+6=10 , és ennek nagyobbnak kéne lennie mint 10, hogy szerkeszthet® legyen , így csak egy egyeneset kapunk!) 4, Egy 300 − 600 − 900-os háromszög kerületének és területének 59
mér®száma megegyezik . Mekkorák az oldalai ? amit tudunk(Területképlet,sin,cos,tg,ctg függvények,pitagorasz tétel→ ezek közül bármelyik jó megoldásra vezet) : a + b + c = a∗b 2 sinα = ac tg α = ab ahol α = 300
innen már könnyen megkapható az eredmény ;)
tg 30 √
0
3b 3
√ 3b a =b→ 3 √= a √ 3b2 b√+ 2 33b = √ 6
0
sin30 =
a c
→ 0.5 =
√ 3b 3c
→c=
√ 2 3b 3
+ 0 = b( 3b − 6 − 6 3) mivel b nyilván nem lehet nulla(akkor 1 pontot kapnák mindre ami nem igazán egy háromszög :P ), így b=9,4641
a=5,4641
c=10,928203
Ell.: a+b+c=25,8564
a∗b 2
= 25, 8563
ami jó eredmény( hiba a kerekítések miatt lehet!)
Négyszögek
::::::::::::::::::
A geometriában a négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. A bels® és a küls® szögeinek összege egyaránt
3600
Típusok ,vagy fajták : -Trapéz: legalább két szemközti oldala párhuzamos.
37. ábra.
-Húrtrapéz: két szemközti oldala párhuzamos, és a másik két oldal egyenl® hosszúságú. Ebb®l az is
60
következik, hogy a párhuzamos oldalak melletti szögek megegyeznek, és az átlók egyenl® hosszúak.
38. ábra. A trapéz párhuzamos oldalit alapoknak, a másik két oldalt száraknak nevezzük. A trapéz magassága alatt a két párhuzamos oldalegyenes távolságát értjük. A szárak felez®pontját összeköt® szakasz a trapéz középvonala, hossza egyenl® az alapok számtani közepével. Az egyenl®szárú trapéz esetében az alapon fekv® szögek egyenl®ek. Az ilyen trapézt szimmetrikus trapéznak is nevezik, mert az alapok közös felez® mer®legese egyúttal szimmetriatengely is. Az egyenl®szárú trapéz továbbá egyúttal húrtrapéz is, mert van körülírt köre. Egy négyszög akkor és csak akkor trapéz, ha van benne két szomszédos csúcs, amelynek szögei kiegészít® szögek, azaz összegük
1800 .
Egy másik szükséges és elégséges feltétel, hogy az átlók ugyanolyan arányban
osztják föl egymást. A trapéz területe a következ®képpen számolható: vesszük két párhuzamos oldalának számtani közepét és megszorozzuk a magassággal. Tehát, ha a és c a két párhuzamos oldal, és m a köztük
-
lév® távolság (magasság), a területképlet a következ®: Paralelogramma:
(a+c)m 2
a két-két szemközti oldal párhuzamos. Ebb®l az is következik, hogy a szemközti oldalak egyforma hosszúak,
39. ábra. a szemközti szögek egyenl®ek, és az átlók felezik egymást. Minden paralelogramma trapéz. Területét egyik oldalának és az erre az oldalra mer®leges magasságának szorzata, illetve két szomszédos oldalának és az ezek által bezárt szög szinuszának szorzata adja:
61
T = a ∗ m = a ∗ b ∗ sinδ -Deltoid: két-két egymás melletti oldal azonos hosszúságú. Ebb®l az is következik, hogy a szögek közül az egyik
40. ábra. megegyezik a vele szemközti szöggel, és hogy az egyik átló mer®legesen metszi a másikat, és felezi azt. Minden deltoid érint®négyszög. Legyen e és f a deltoid két átlója, ekkor a deltoid T területe a következ®képpen
T =
számítható:
e∗f 2
-Rombusz: mind a négy oldal egyenl® hosszúságú. Ebb®l az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak, a
41. ábra. szemközti szögek egyenl®ek, és az átlók mer®legesen metszik és felezik egymást. A rombusz egyben deltoid és érint®négyszög is. Területe:
T =
e∗f 2
= a2 ∗ sinδ
-Téglalap: minden szöge derékszög¶. Ebb®l az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenl® hosszúak, illetve hogy az átlók egyenl® hosszúak és felezik egymást. A téglalap egyben
Terület: T=a*b -
paralelogramma és húrnégyszög is.
Négyzet (szabályos négyszög):
62
42. ábra.
mind a négy oldal egyenl® hosszúságú, és minden szöge derékszög. Ebb®l az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenl® hosszúak, illetve hogy az átlók egyenl® hosszúak, derékszögben metszik és felezik egymást. A négyzet egyszerre paralelogramma, deltoid és húrnégyszög.
43. ábra.
Terület: T = ra2= a beírható kör sugara:
-
Köré írt kör sugara: Húrnégyszög:
2√
R=
2a 2
a négy csúcspont köré kör írható, vagyis minden oldala ugyanannak a körnek a húrja.
T =
p
s(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
63
,ahol
s=
a+b+c+d (kerület fele ) 2
44. ábra.
-Érint®négyszög: minden oldala ugyanannak a beírt körnek az érint®je.
45. ábra.
T =
√
a∗b∗c∗d
ahol a,b,c,d a négyszög négy oldala.
-Bicentrikus négyszög: egyszerre húr- és érint®négyszög.
Konvexicitás: -Konvex: bármely vonal, mely a sokszögön áthalad, (és nem tangens egy élre vagy csúcsra) pontosan kétszer metszi azt. -Nem-konvex (konkáv): van olyan egyenes, amely több mint kétszer metszi.
64
Példák:
1,Egy könyvespolc végéreegy trapéz alakú oldalzáró lapot készítünk.(geo1-es ábra)
46. ábra.
a,Mekkora a lap területe? 2 féleképpen számolható (téglalap területéb®l kivonjuk a derékszög¶ háromszög területét, vagy trapéz területtel apellálunk) Legyen a trapéz mert az új :P
T =
28+20 2 35
= 840cm2
Hány % a hulladék, ha az ábrán látható téglalapból vágjuk ki ? az összterület a téglalap területe, a hulladék pedig a derékszög területe
Ttelj = 35 ∗ 28 = 980cm2
Thull =
meg , hogy hány % a hulladék
8∗35 2
140 arány= 980 = 17 = 0, 142857 → 14,2857% 2,Egy
"a"
négyzet
oldalú
két
négyzetbe
szemközti
írjon
csúcsa
két,
legyen
!
"a"
sugarú
Határozza
területet!
65
= 140cm2
ennek a hányadosa adja
a hulladék !
negyedkört meg
a
úgy,
negyed
hogy
körívek
középpontjuk által
a
közrezárt
47. ábra.
Egyszer¶ a dolgunk ,ha kicsit gondolkodunk, mégpedig az lenne az ötlet, hogy a négyzetb®l kivágjuk a negyedkör területet, azt megszorozzuk 2-vel , és azt kivonjuk a négyzetb®l ,akkor megkapjuk a kereset területet !
2
Tkeresett = a2 − 2(a2 − a 4∗π ) = 0, 5707963a2
3, Egy derékszög¶ sárkány deltoid formájú sárkány hosszabbik átlója 7,5 méter. Az egyik oldala 600 cm. A rövidebbik átló harmadolja a hosszabbat. a, Mekkora a sárkány kerülete tehát az kell tudni ábrázolásnál, hogy x=2,5m , valamint f-x=5 m, így az egyenletek
2, 52 + 32 = a2 6, 25 + 9 = a2 15, 25 = a2
66
48. ábra.
a=3,905 52 + 3 2 = b 2 25 + 9 = b2 b2 = 34b=5,8309
K=2*a+2*b=19,472 méter b, mekkora a területe T =
7,5∗6 2
=
45 2
= 22, 5m2
4, Egy derékszög¶ deltoid formájú sárkány hosszabbik átlója 1,3 méter. Az egyik oldala 50 cm. Mekkora a sárkány területe, és a másik átlója ? itt ami a megoldás kulcsa használni kell azt , hogy a deltoid egy érint® négyszög !!! f=1,3 méter a=0,5 méter másik átlója elgyen "e", másik oldala legyen "b" 67
49. ábra.
a két terülképlet a deltoidra T = e*f=2*a*b e∗f 2∗a
e∗f 2
=
√
a2 ∗ b2
így az egyenlet
=b
a másik két egyenlet egyszer¶ pitagorász tétel!
2
x2 + 2e2 = b2 2
2
2
∗f x2 + e4 = e4∗a 2 2 2 x + 0, 25 ∗ e = 1, 69 ∗ e2 x2 = 1, 44 ∗ e2
x=1,2*e
2
(f − x)2 + 2e2 = a2 f 2 − 2 ∗ x ∗ f + x2 + 0, 25 ∗ e2 = a2 1, 69 − 2, 6 ∗ 1, 2 ∗ e + 1, 69 ∗ e2 = 0, 25 1, 69 ∗ e2 − 3, 12 ∗ e + 1, 44 = 0
erre egyetlen megoldás adódik e=0,923 T =
e∗f 2
= 0, 59995m2
4,Szerkessze meg egy 3 cm oldalú négyzet belsejében azokat a pontokat, amelyeknek a négyzet minden oldalától való távolsága legalább 1cm 68
! Ábrázolás Geometria 1, megoldás a bels® négyzeten belüli pontok(lehet ez a határa is !)
50. ábra.
5, Egy szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai 10 cm és 20 cm, területe 180 cm2. Mekkora a trapéz magassága, szárai, átlója?
51. ábra.
69
Terület képletb®l könnyen megkapjuk a magasságot innen a magasság átrendezéssel megkapjuk T = (a+c)∗m 2 m=
2T a+c
=
360 10+20
= 12cm
szárai egyszer¶ pitagorász tétellel számolhatóak (a − c)2 + m2 = b2 102 + 122 = b2 100 + 144 = b2
b=15.6205 (mivel a b csak pozitív szám lehet) átlójához kis segédábra:
52. ábra.
innen tehát könnyen számítható az átló x2 = (a − 2c )2 + m2 x2 = 152 + 122 x2 = 225 + 144
x=19.2094 (mivel x csak pozitív szám lehet) 70
Térbeli testek
jelölések: A: felszín V:térfogat P:palást T:terület m:magasság Hasáb: A hasáb olyan poliéder, amelynek két párhuzamos lapja egymással egybevágó sokszög, a többi lapja pedig paralelogramma. Úgy is felfogható, hogy a hasáb az alapsokszög párhuzamos eltolása során keletkezik, ha az eltolást egy olyan egyenes mentén végezzük, amely nem a sokszög síkjában fekszik. Ha a párhuzamos eltolás az alapsokszög síkjára mer®leges egyenes mentén történik, akkor a hasáb egyenes hasáb lesz, más esetben pedig ferde hasáb.
53. ábra.
alapélek: az alaplapokat határoló élek alaplapok: két egybevágó és egymással párhuzamos sokszög alkotók: az alaplapok egymással megfelel® pontjait összekötésével 71
kapott szakaszok, amelyek az oldallapon haladnak csúcsok: az élek végpontjai magasság: az alaplapok távolsága, ami azonos az oldalélek hosszával oldalélek: az oldallapok élei, amelyek azonos magasságúak oldallapok: az alaplapon kívül többi lap palást: az oldallapokból álló felület A =P+2T V=Tm Gúla: A gúla olyan geometriai test, amelynek alaplapja n oldalú sokszög, palástja pedig olyan háromszögekb®l áll, amelyeknek egy közös, nem az alaplap síkjába es® csúcsuk van, és az ezzel a csúccsal szemben lev® oldalaik egyben az alapsokszög oldalai. Az egyenes gúla olyan gúla, aminek csúcspontja az alap középpontja fölött van. (Ennek akkor van értelme, ha az alapsokszögnek van valamilyen forgásszimmetriája.) Más szóval, a csúcsot és az alap középpontját összeköt® egyenes mer®leges az alaplap síkjára. A szabályos gúla olyan egyenes gúla, aminek az alapja szabályos sokszög.
54. ábra. A gúla térfogata: Felszíne:A
V =
=P +T
Tm 3
Csonkagúla: ha egy gúlát az alapjával párhuzamos síkkal elvágunk, egy gúlára és egy csonkagúlára esik szét. Az alaplap és a vele párhuzamos, a metszéskor keletkezett fed®lap két hasonló sokszög . A határoló felület többi része a test palástja.
V =
m 3 (T
+
√
t ∗ T + t),ahol T az alap területe, t pedig a fed®lap területe.
Tetraéder: 4 darab szabályos háromszögb®l álló test
3
√
V = a 12√3 , ha a szabályos háromszög oldalai 'a' hosszúságúak. A = a2 3 √ 6 körülírt gömb sugara: R = a √ 4 6 1 beírt gömb sugara r = 12 a by the way r = 3 R 72
55. ábra.
56. ábra.
Kocka:
57. ábra. A kocka (vagy szabályos hexaéder) egy térbeli geometriai alakzat, egy speciális téglatest. 6 négyzet alakú oldala és 12 egyenl® hosszúságú éle van, amelyek 8 csúcsban találkoznak. A kocka hasáb, szabályos test.
V = a3 2 A = 6a
r = a2 √ 3a köréírható gömb sugara: R = 2 a éleit érint® gömb sugara:Rerint √ 2
beírható gömb sugara:
Henger: azon pontok halmaza a térben, melyek egy egyenest®l egy állandónál nem nagyobb, távolságra esnek, és bármely, az egyenessel párhuzamos síkkal való metszete üres, vagy egyenes szakasz, vagy téglalap.
A = 2πr(r + m) V = r2 πm Forgáskúp: A matematikában a kúpok gúlaszer¶ térbeli testek. A kúp alapja kör, palástját a csúcsot az alap határpontjaival összeköt® szakaszok uniója alkotja. Megkülönböztethetünk egyenes és ferde kúpokat aszerint,
73
58. ábra.
59. ábra.
hogy a csúcs mer®leges vetülete az alapra egybeesik-e az alap középpontjával. Kúp alatt leggyakrabban az egyenes, kör alapú kúpokat értik.
2
V = r πm 3 A = πr(a + r) Csonkakúp: A kúpot az alapjával párhuzamos síkkal elmetszve csonkakúpot kapunk.
60. ábra.
V = π3 m(R2 + r2 + Rr) A = π[R2 + r2 + (R + r)a]
74
Gömb: Gömbnek nevezzük a térben azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól legfeljebb egy rögzített r távolságra vannak. Ekkor P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. A P ponttól pontosan r távolságra lév® pontokat együttesen a gömb felületének, vagy felszínének nevezzük.
V =
4π 3 3 r
= π6 d3
61. ábra.
A = πd2 = 4πr2
1,feladat Határozzuk meg a tetraéder magasságát, úgy hogy a tetraéder éle a=5 cm
62. ábra.
75
magyarázat mt:a test magassága,mo: oldal magassága az oldal magassága
63. ábra.
a2 = m2o + (0.5a)2 a√2 − 0.25a2 = m2o 3 2 a = mo m0 = 4, 33 cm a teljes magasságot úgy tudjuk könnyen meghatározni , ha megtaláljuk a szabályos háromszög középpontját, ez a súlyvonalak metszéspontja(súlypont): a szabályos háromszögek esetén a súlyvonal megegyezik a magasságvonallal, így könnyen meghatározható számítás nélkül ez a pont, mivel tudjuk az oldal magasságát!
64. ábra.
A test magasságát kétféle módon is meghatározhatjuk: 76
-vesszük a szabályos háromszögmagasságát 2/3át , a tetraéder élét, a test magasságát, az ezekb®l alkotott derékszög¶ben pedig felírunk egy pitagorász tételt -vesszük a szabályos háromszögmagasságának 1/3át, a szabályos háromszögmagasságát, és a test magasságát, az ezekb®l alkotott derékszög¶ben pedig felírunk egy pitagorász tételt az els® megoldás egyszer¶bbnek t¶nik, a másodikkal majd ellen®rzünk ;)
(2∗mo )2 + a2 = m2t 32 4m2o 2 2 9 +a =m √t mivel mo = 23 a-vel 3 2 4 2 2 4 a ∗ 9 + mt = a m2t = √23 a2 √ 2 √ mt = 3 a = 36 a
ezért
másik megoldással:
m2o = ( 13 mo )2 + m2t m2t = 89 m2o mivel itt is mo = m2t = √98 ∗ 34 a2 √ mt = √23 a = 36 a így mt =4,082cm
√
3 2 a
2,Egy téglatest éleinek aránya 3:4:5 , testátlója 20cm ? a, mekkorák az élek ? ezt egész egyszer¶en megkapjuk, hogy fölírunk két derékszög¶ háromszögre 2 pitagorasz tételt a következ® képpen
(3x)2 + (4x)2 = c2 9x2 + 16x2 = c2 c2 = 25x2 c=5x mivel c csak pozitív egész szám lehet a másik derékszög¶ háromszögre (5x)2 + (5x)2 = d2 d=20 25x2 + 25x2 = 202 50x2 = 400 √ √ x2 = 8 => x = 8 = 2 2 77
65. ábra.
√
innen az élek √ a = 3x = 6 2 = 8, 48cm
b = 4x = 8 √2 = 11, 31cm c = 5x = 10 2=14,14cm
78
Kombinatorika Permutáció: Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböz® dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés nélküli" arra utal, hogy a sorba rendezend® elemek különböz®ek, azaz nem ismétl®dnek. Egy n elem¶ halmaz összes permutációinak a száma:
Pn = n! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Megjegyzés: De níció szerint 0! = 1. Példa: Hányféleképpen sorakozhatnak fel egy egyenes sorban egy 26 f®s osztály tanulói? Az osztálynak mint 26 elem¶ halmaznak 26! permutációja van, azaz ennyiféle sorrend lehetséges. Ismétléses dezését
permutáció
értjük.
Ha
egy
alatt n
néhány,
elem¶
egymástól
multihalmazban
nem s
feltétlenül különböz®
különböz®
elem
fordul
dolognak el®,
a
sorba
mégpedig
az
reni-edik
fajta elem ki-szer (és így n=k1+k2+...+ks), akkor a multihalmaz összes ismétléses permutációinak a
Pn(k1 ;k2 ;...kx ) =
száma:
n! k1 ! ∗ k2 ! ∗ ... ∗ kx !
Példa: Hányféleképpen lehet sorba rendezni az a, a, a, b, c, c, d, d bet¶ket? Itt n=8 elemünk van, s=4 fajta, a bet¶b®l k1=3, b bet¶b®l k2=1, c és d bet¶kb®l k3=k4=2 darab, így a képlet alapján:
P83;1;2;2 =
Kombináció:
8! 3!∗1!∗2!∗2!
= 1680sorrend
Az ismétlés nélküli kombinációt alkalmazzuk akkor, ha adott egy véges halmaz, melynek n darabszámú elemeib®l k elemszámú halmazokat (kombinatorika nevén osztályokat) akarunk mindenféle módon képezni (és minden elem csak egyszer fordul el®). Ezt úgy hívjuk, hogy n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja. Az ismétlés nélküli kombináció képlete:
Cn;k = n k
n! k!∗(n−k)! binomiális együtthatókkal :
Az ismétléses kombinációt alkalmazzuk, amikor adott n elemekb®l k elemszámú multihalmazokat képzünk, ahol adva van legalább 1 multiplikált elem. Az ismétléses kombináció képlete:
i Cn;k =
n+k−1 k
Ismétlés nélküli valamint ismétléses variáció során egyaránt úgy járunk el, hogy osztályok szerint permutálunk. Vagyis eszerint azon túl, hogy n elem k-ad osztályú kombinációit állítjuk fel, permutálnunk is kell azokat. Az el®z® kombinatorikai operációkhoz hasonlóan változik a variáció aszerint, hogy ismétléses vagy ismétlés nélküli: amennyiben legalább 1 elem multiplikált, akkor ismétléses-, ellenben ismétlés nélküli variációról van szó. Az ismétlés nélküli variáció képlete:
Vn;k =
n! (n−k)!
Az ismétléses variáció képlete:
Vnk = nk
Példák : 1, Egy dobozban 2 darab szám van 1,15 . Visszatevéssel húzunk kétszer. a,Adja meg az eseményterer! ez az összes lehetséges kimetel ,tehát 4 darab van 1,1; 1,15;15,1;15,15; (ha számít a sorrend , ha nem akkor csak 3-om) b, mi a valószín¶sége, hogy a kihúzott számok között lesz 15?
3 4 mivel 3-om ban szerepel 15-ös a maradékban nem! Mennyi a valószín¶sége ,hogy azonos számokat húzunk ? 2 4 = 0.5 mivel a 4b®l 2t® ami úgyan az ! P=
2,Egy iskolai rendezvényen 30 ajándékot sorsolnak ki az eladott 500 tombolajegy vársárlói között.Ha 10 tombolajegyet vettünk, mennyi a valószín¶sége annak ,hogy : a,nyerünk?
30 3 3 47 500 = 50 , annak hogy vesztünk Pveszt = 1 − 50 = 50 ha úgy számolunk, hogy kivonjuk a 1-b®l ,azt a valószín¶séget , amikor nem nyerünk egyáltalán(10-b®l 10-et
annak a valószín¶sége ,hogy nyerünk 1-et
Pnyer =
vesztünk) , akkor megkapjuk a jó megoldást ;)
79
10
47 = 0, 461385 Pmin1−etnyer = 1 − 50 b,pontosan két ajándékot nyerünk ? ehhez az kell , hogy nyerjünk kett®t és maradok nyolcal meg nyerjünk !
(302)∗(470 8 ) = 0, 098432 500 ( 10 )
mivel 500 az összes választás ebb®l 30-al lehet nyerni , 470-nel veszteni ! 3,Egy 32 lapos magyar kártyából kihúzunk 4- lapot! a, mi annak a valószín¶sége ,hogy van benne piros lap és van benne ász is? a piros ász kissé megbonyolítja a dolgot ,de éppen ezért kettébontom a feladatot 1 összegre és akkor nincsen probléma ;)
(71)(31)∗(302)+(11)∗(313) = (324)
41 124
= 0, 37903
magyarázat 2 eset lehetséges 1. esetben nincs benne a piros ász a x húzások között csak a maradékban(7 darab olyan lap ami piros lap és nem ász, 3om olyan van mi ász de nem piros, és akkor 30 lap marad!), a 2. esetben csak a piros ászt húzzuk(1darab olyan lap van ami piros is meg ász is, marad 31 lap) ki xen(mindig ez az eljárás ilyen esetben) ! b, mi annak a valószín¶sége ,hogy pontosan 1 piros lap és 1 ász legyen benne ?
(71)(31)∗(212)+(11)∗(213) = (324)
287 1798
= 0, 15962
hasonló a gondolatmenet az elöz®höz , csak itt pontosan annyi lap kell legyen amennyit kér , így a maradékba nem vehetjük vele a piros illetve az ász lapokat (tehát a maradék lapok 32-11=21)
80
Trigonometrikus egyenletek
1,feladat
√
2 ennél a tipusú példánál els® körben meg kell nézni, hogy cos milyen 2 3π értéknél veszi ezt az értéket jelen esetben(radiánban számolva) az , illetve f rac5π4 (ezek 4 0 0
cos(2x + π3 ) = − szögben
135
225
) ezekkel az értékekkel számolva
1, eset
2x + π3 = 3π 4 2x = 5π 12 + k ∗ 2π x1 = 5π 24 2,eset
2x + π3 = 5π 4 2x = 11π 12 ∗ L ∗ 2π x2 = 11π 24 ahol k,L egész számok
2,feladat
sin2 (x) = 12 ebb®l√ csak annyi , hogy gyököt kell vonni 2 1, eset sin(x) = 2 π x1 = 4 ∗ k ∗ 2π és x2 = 3π ∗ L ∗ 2π itt is hasonló képpen 4
k,L egész számok (tök mindegy ,
hogy milyen bet¶vel jelöljük !) 2,eset
√
sin(x) = − 22 x1 = 5π ∗ G ∗ 2π 4
és
x2 =
7π 4
∗ H ∗ 2π
itt is hasonló képpen G,H egész számok (tök mindegy ,
hogy milyen bet¶vel jelöljük !)
3,feladat
cos(3x) = cos(x + π5 ) itt szimplán el lehet 3x = x + π5 2x = π5 π x = 10 ∗ k ∗ 2π (k szintén egész szám)
hagyni a coszinusz-t mivel mind a kett® az
4,feladat
3 ∗ cos2 (2x) − 5 ∗ cos(2x) + 2 = 0
helyetesítéssel egyszer¶en juthatunk eredményre:
y=cos(2x)
3y 2 − 5y + 2 = 0
megoldóképlettel ezt megoldva:
itt még vissza kell alakítani coszinusz-ra cos(2x)=1
2x = 0 + k ∗ 2π x=0+k∗π cos(2x) = 23 1,eset 2x = 0, 841 + L ∗ 2π x = 0, 42 + L ∗ π 2,eset
2x = 11.7264 + G ∗ 2π
81
y1 = 1
és
y2 =
2 3
x = 5.8632 + G ∗ π L ,G és k itt is egész számok
5, feladat
1 3tg 2 (x) + ctg 2 (x) = 4 tudván, hogy ctg(x) = tg(x) ez a négyzetükre is igaz! 1 2 2 3tg (x) + tg2 (x) = 4 beszorzom tg (x)-el 3tg 4 (x) + 1 = 4tg 2 (x) 3tg 4 (x) − 4tg 2 (x) + 1 = 0 szokásos másodfokúra visszavezethet® egyenlet z = tg 2 (x) 3z 2 − 4z + 1 = 0 másodfokú megoldoképlettel megoldva: z1 = 1 és z2 = 13 visszahelyetesítve tg 2 (x) = 1 négyzetgyököt vonva
legyen monjuk
1,eset tg(x)=1
x=
π 4
+k∗π
mivel a tangens az
π -ként
periódikus (tehát 180 fokonként)
2,eset tg(x)=-1
x = 3π +Z ∗π 4 tg 2 (x) = 13 itt is
gyököt kell vonni, ám vegyük észre a gyökteleníteni kell !
1,eset
√ √ √3 = 3 3 √ 3 tg(x) = 33 x = π6 ∗ L ∗ π √1 3
∗
2.eset
√ √ √3 = − 3 3 3 √ 3 tg(x) = − 3 x = 5π ∗W ∗π 6
− √13 ∗
k,L,Z,W egész számok
6,feladat
sin(x) ∗ cos(x) =
1 mivel a szinusz páratlan és a coszinusz páros ezért ez csak egy pontban 2
teljesülhet , ez a pont pedig:
x=
π 4
∗ k ∗ 2π
számításokkal ba jlódhatnánk , de azzal csak sokkal nehezebben következtethet®
a megoldás !
7,feladat
sin(2x) =
cos2 ennél a feladatnál el®nyös , ha tudjuk, mivel egyenl® sin(2x) 2
ezt az alábbi összefüggés alapján tudjuk meghatározni: sin(z+y)=sin(x)*cos(y)+sin(y)*cos(z) itt egyszer¶bb a dolgunk mivel itt y=z=x tehát sin(2x)=sin(x)*cos(x)+sin(x)*cos(x)=2*sin(x)*cos(x) amit behelyetesítve
2 ∗ sin(x) ∗ cos(x) =
cos2 (x) cos(x)-el osztva, és szorozva 2-vel 2
4*sin(x)=cos(x) alakítsunk ebb®l 1 jól ismert függvényt pl a tangens-t (lehetne cotanges is !)
sin(x) cos(x) = 41
tg(x)=
tg(x) x = 0, 24497 + k ∗ π 82
8,feladat
(sin(x) + cos(x))2 = 1 emeljünk négyzetre sin2 (x) + 2 ∗ sin(x) ∗ cos(x) + cos2 (x) = 1 itt két azonosságot is kell tudni alkalmazni, egyrészt: sin2 (x) + cos2 (x) = 1 valamint sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), ahogy azt már láttuk ! 1+sin(2x)=1 sin(2x)=0
2x = 0 + k ∗ 2π x=0+k∗π
9,feladat
1 + tg 2 (x) = 2
1 cos2 (x) 1 cos2 (x) 2
(x) 1 + sin = cos2 (x) 2 cos (x) + sin (x) = 1
π/2 + k ∗ 2π (kikötés
ami teljesül minden számra kivéve a x=
nevez® nem lehet 0) teljesül, mivel ez 1 azonosság !
10,feladat
q 2 cos(x) = ± 1 − 792 q cos(x) = ± 1 − 49 81 q 32 cos(x) = ± 81 q√ 32 cos(x) = ± q √9 cos(x) = ± 4 9 2 cos(x) = ±0, 6285 1,eset cos(x)=0,6285
x1 = 0, 8911 + k ∗ 2π
x2 = 5.3921 + L ∗ 2π
és
2,eset cos(x)=-0,6285
x3 = 2, 25 ∗ G ∗ 2π
és
x4 = 4.0327 + H ∗ 2π
k,L,G,H egész számok
83
,hogy a
66. ábra.
84
67. ábra.
85
68. ábra.
86
69. ábra.
87
70. ábra.
88
71. ábra.
89
