Matematikai összefoglaló elméleti alapok érettségiz®knek Dézsi Krisztián 2011. má jus 20.
1
Hatványok alapvet® dolgok:
loga b = c → a a ∗ a ∗ ...} = b ez a hatványozás inverze | ∗ a ∗ {z c
(FONTOS: a "b" nem lehet csak poizitív szám abban az esetben , ha az "a" páros) → egészet értsd úgy , hogy ez egy "fordított" m¶velet , azt kapjuk meg , hogy egy "a" szám hanyadik hatványán veszi fel a "b" értéket pl: log2 8 = 3 → 23 = 8
logc b → át tudom váltani más alapú logaritmusra logc a n ∗ loga b = loga bn loga b + loga c = loga b ∗ c loga b − loga c = loga cb aloga b = b loga 1 = 0 loga b =
"a" nem lehet csak pozitiv szám(a nulla nem pozitív szám), és nem lehet 1 sem ( 1nek minden hatványa 1) Feladatok: I. log3 (x2 + 3x) − log3 (x) = 4 kikötés: 1.x2 + 3x > 0
x(x + 3) > 0 tehát x>0 és x<-3 2. x>0 3.x 6= 0 2
x2 + 3x megoldás: log3 =4 x x2 + 3x log3 = log381 x x2 + 3x = log381 mivel x 6= 0 ezért log3 x log3x + 3 = log381 mivel az alapok azonosak ezért x+3=81 x=78 ELL: behelyeteítünk x-be
782 + 3 ∗ 78 log3(78 + 3 ∗ 78) − log3(78) = log3 = log3(78 + 3) = 4 78 2
tehát jó a megoldás
II. log5 (x2 + 2x + 1) = log5 (4x) kikötés: 1. x2 + 2x + 1√ > 0 megoldó képtet használunk
−2±
22 − 4 ∗ 1 ∗ 1 2
x1,2 = x = 1 tehát x>1 2. 4x>0 x>0
log5(x2 + 2x + 1) = log5(4x) mivel az alapok azonosak ezért x2 + 2x + 1 = 4x x2 − 2x +√ 1=0 2± (−2)2 −4∗1∗1 x1,2 = tehát x=-1 de ez nem megoldás mivel x>1 2 esetén jó csak a megoldás
3
III. lg(x+3)+lg(x+4)=3 kikötés: 1. x+3>0 x>-3 2. x+4>0 x>-4 lg(x+3)*(x+4)=3
lg(x2 + 7x + 12) = 3 lg(x2 + 7x + 12) = lg(1000) mivel azonos alapúak ezért x2 + 7x + 12 = 1000 x2 + 7x − 988 = 0p √ − 7 ± 49 + 3992 − 7 ± 72 − 4 ∗ 1 ∗ (−998) = = x1,2 = 2 2 √ − 7 ± 4041 2 √ − 7 + 4041 x1 = = 28, 28 2√ − 7 − 4041 x1 = = 35, 28 2 ELL: x=28,28 lg(28,28+3)+lg(28,28+4)=1,49+1,51=3 másikat is hasonlóképpen megfelel®
Kombinatorika Permutáció: Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböz® dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés nélküli" arra utal, hogy a sorba rendezend® elemek különböz®ek, azaz nem ismétl®dnek. Egy n elem¶ halmaz összes permutációinak a száma: Pn = n! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 Megjegyzés: De níció szerint 0! = 1. Példa: Hányféleképpen sorakozhatnak fel egy egyenes sorban egy 26 f®s osztály tanulói? Az osztálynak mint 4
26 elem¶ halmaznak 26! permutációja van, azaz ennyiféle sorrend lehetséges. Ismétléses permutáció alatt néhány, egymástól nem feltétlenül különböz® dolognak a sorba rendezését értjük. Ha egy n elem¶ multihalmazban s különböz® elem fordul el®, mégpedig az i-edik fajta elem ki-szer (és így n=k1+k2+...+ks), akkor a multihalmaz összes ismétléses permutációinak a (k1 ;k2 ;...kx )
száma:Pn
=
n! k1 ! ∗ k2 ! ∗ ... ∗ kx !
Példa: Hányféleképpen lehet sorba rendezni az a, a, a, b, c, c, d, d bet¶ket? Itt n=8 elemünk van, s=4 fajta, a bet¶b®l k1=3, b bet¶b®l k2=1, c és d bet¶kb®l k3=k4=2 darab, így a képlet alapján:
P83;1;2;2 =
8! 3!∗1!∗2!∗2!
= 1680sorrend
Kombináció: Az ismétlés nélküli kombinációt alkalmazzuk akkor, ha adott egy véges halmaz, melynek n darabszámú elemeib®l k elemszámú halmazokat (kombinatorika nevén osztályokat) akarunk mindenféle módon képezni (és minden elem csak egyszer fordul el®). Ezt úgy hívjuk, hogy n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja. Az ismétlés nélküli kombináció képlete: n! binomiális együtthatókkal : Cn;k = k!∗(n−k)! n k
Az ismétléses kombinációt alkalmazzuk, amikor adott n elemekb®l k elemszámú multihalmazokat képzünk, n+k−1 i ahol adva van legalább 1 multiplikált elem. Az ismétléses kombináció képlete: Cn;k = k Ismétlés nélküli valamint ismétléses variáció során egyaránt úgy járunk el, hogy osztályok szerint permutálunk. Vagyis eszerint azon túl, hogy n elem k-ad osztályú kombinációit állítjuk fel, permutálnunk is kell azokat. Az el®z® kombinatorikai operációkhoz hasonlóan változik a variáció aszerint, hogy ismétléses vagy ismétlés nélküli: amennyiben legalább 1 elem multiplikált, akkor ismétléses-, ellenben ismétlés nélküli variációról van szó. Az ismétlés nélküli variáció képlete:
Vn;k =
n! (n−k)!
Az ismétléses variáció képlete: Vnk = nk Példák : 1, Egy dobozban 2 darab szám van 1,15 . Visszatevéssel húzunk kétszer. a,Adja meg az eseményterer! ez az összes lehetséges kimetel ,tehát 4 darab van 1,1; 1,15;15,1;15,15; (ha számít a sorrend , ha nem akkor csak 3-om) b, mi a valószín¶sége, hogy a kihúzott számok között lesz 15? P= 34 mivel 3-om ban szerepel 15-ös a maradékban nem! Mennyi a valószín¶sége ,hogy azonos számokat húzunk ? 2 4 = 0.5 mivel a 4b®l 2t® ami úgyan az ! 2,Egy iskolai rendezvényen 30 ajándékot sorsolnak ki az eladott 500 tombolajegy vársárlói között.Ha 10 tombolajegyet vettünk, mennyi a valószín¶sége annak ,hogy : a,nyerünk? 30 3 3 annak a valószín¶sége ,hogy nyerünk 1-et Pnyer = 500 = 50 , annak hogy vesztünk Pveszt = 1 − 50 = 47 50 ha úgy számolunk, hogy kivonjuk a 1-b®l ,azt a valószín¶séget , amikor nem nyerünk egyáltalán(10-b®l 10-et vesztünk) , akkor megkapjuk a jó megoldást ;)
Pmin1−etnyer = 1 −
47 10 50
= 0, 461385
b,pontosan két a jándékot nyerünk ? ehhez az kell , hogy nyerjünk kett®t és maradok nyolcal meg nyerjünk !
(302)∗(470 8 ) = 0, 098432 500 ( 10 )
mivel 500 az összes választás ebb®l 30-al lehet nyerni , 470-nel veszteni ! 3,Egy 32 lapos magyar kártyából kihúzunk 4- lapot! 5
a, mi annak a valószín¶sége ,hogy van benne piros lap és van benne ász is? a piros ász kissé megbonyolítja a dolgot ,de éppen ezért kettébontom a feladatot 1 összegre és akkor nincsen probléma ;)
(71)(31)∗(302)+(11)∗(313) = (324)
41 124
(71)(31)∗(212)+(11)∗(213) = (324)
287 1798
= 0, 37903
magyarázat 2 eset lehetséges 1. esetben nincs benne a piros ász a x húzások között csak a maradékban(7 darab olyan lap ami piros lap és nem ász, 3om olyan van mi ász de nem piros, és akkor 30 lap marad!), a 2. esetben csak a piros ászt húzzuk(1darab olyan lap van ami piros is meg ász is, marad 31 lap) ki xen(mindig ez az eljárás ilyen esetben) ! b, mi annak a valószín¶sége ,hogy pontosan 1 piros lap és 1 ász legyen benne ?
= 0, 15962
hasonló a gondolatmenet az elöz®höz , csak itt pontosan annyi lap kell legyen amennyit kér , így a maradékba nem vehetjük vele a piros illetve az ász lapokat (tehát a maradék lapok 32-11=21)
6
