Matematikai érdekességek a mindennapokban
Paradoxonok Osztályozása Valódi Paradoxonok
Álparadoxonok Hamis Paradoxonok
„Látszólag” megengedett levezetés eredménye ellentmondás
Látszat Paradoxonok
A Paradoxon jelleget a „józan ésszel nem várt”, amúgy valós eredmény adja
Példa 10-es dobás: O O O
O O O
O O
O
O
O
O O
9-es dobás: O
O O O
O
O
O O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O
O
O O
O O
O
Mindkét szám kétféleképpen jöhet ki Mégis a 9-est gyakoribbnak érezzük…
Megoldás Hamis Paradoxon Helyes Megoldás:
Meg kell különböztetni a kockákat!
Példa II. (Múlt Óráról) Egy házaspár a következőt állítja:
„Született egy fiúnk, majd utána még egy gyermekünk.” Mi a valószínűsége, hogy lány? Egy házaspár a következőt állítja:
„Született egy fiúnk, és van még egy gyermekünk” Mi a valószínűsége, hogy lány? Mi a különbség a két kérdés között? Van különbség a válaszban?
Meggondolás Bár biológiailag sokkal több faktort figyelembe kell
venni, de feltételezve, hogy minden gyermek egyenlő eséllyel születik fiúnak vagy lánynak: Ha először született egy fiúnk (a feltételezésből
kiindulva), a második 50% eséllyel lehet fiú is, lány is. Ha nem tudjuk, hogy az idősebbik, vagy a fiatalabbik a
fiú:
Meggondolás Lehetséges esetek:
Fiú – Fiú Lány – Fiú Fiú – Lány
Lány – Lány Három lehetséges esemény, ebből kétszer lány a másik
gyermek, az esély tehát: 66,6% Meglepő eredmény – Látszat paradoxon
Fogoly Paradoxon Két férfit bevisznek a rendőrségre (egy időben, de nem
tudnak arról, hogy a másik is bent van). Egy bank kirablásával gyanúsítják őket, de csak
közvetett bizonyítékok vannak ellenük, a rendőrség egyetlen esélye, ha vallomást tesznek. Mindketten ugyanazt az ajánlatot kapják
Fogoly Paradoxon Ha beismered a tetted, vallasz a másik ellen, de ő nem
vall ellened, akkor szabad vagy, a másik kap 10 évet. Ha egyikőtök se vall, a közvetett bizonyítékok arra elegendőek, hogy mindketten kapjatok ½ - ½ évet. Ha mindketten rendesen bevalljátok, ezt értékelve, csak 6 – 6 évet kaptok. Mi fog történni?
Fogoly Paradoxon
Ha vallok: 0 év vagy 6 év
Ha nem vallok: ½ év vagy 10 év Őszintén, ti melyiket választanátok?
Fogoly Paradoxon A fogoly paradoxon a nem zéró összegű játékok egy
fajtája. Akárcsak a többi nem kooperatív játékelméleti problémában, itt is feltételezzük, hogy az egyes játékosok saját nyereségüket tartják szem előtt, tekintet nélkül a másik résztvevő nyereségére.
Fogoly Paradoxon A fogolydilemmánál a Nash-egyensúly nem vezet
mindkét fél számára optimális megoldáshoz, mert ez ebben az esetben azt jelenti, hogy mindkét fogoly vall a másik ellen, még akkor is, ha a kooperációval nagyobb lenne a nyereségük. Bár mindkét fogoly jobban járna, ha kooperálnának, és egyikük sem vallana a másik ellen, mégis mindkettejüknek személyes érdekében áll vallani, akkor is ha korábban kooperációt ígértek egymásnak. Ebben áll a fogoly paradoxon lényege.
Fogoly Paradoxon az életben POLITIKA VILÁGÁBAN: Két állam fegyverkezési versenybe kezd. Mindketten
két lehetőség közül választhatnak: vagy növelik a hadi költségvetést, vagy megegyezést kötnek a fegyverzet csökkentéséről. Bármelyik államnak a fegyverkezés a nyereségesebb stratégia, bármit is tesz a másik; ezért mindketten a fegyverkezés mellett döntenek. A paradoxon lényege az, hogy bár mindkét állam racionálisan jár el, az eredmény látszólag irracionális.
Fogoly Paradoxon az életben TUDOMÁNY VILÁGÁBAN: A környezettel foglalkozó tudományokban a fogoly
paradoxon jelenléte nyilvánvaló az olyan válságok esetén, mint a klímaváltozás. Minden ország a stabil éghajlattal jár a legjobban, de az egyes országok gyakran vonakodnak csökkenteni a saját széndioxidkibocsátásukat. Az országok a jelenlegi viselkedésükből származó azonnali hasznot nagyobbnak ítélik, mint az összes ország hasznát a viselkedés megváltoztatása esetén. Így magyarázható a klímaváltozást érintő zsákutca-helyzet.
Fogoly Paradoxon az életben DOPPINGOLÁS: A fogoly paradoxon alkalmazható a sportolók
problémájára, hogy doppingoljanak vagy ne. Mivel a doppingszerek körülbelül azonosan hatnak minden egyes sportolóra, a sportolók együttes érdeke az, hogy egyikük se doppingoljon (a mellékhatások miatt). Azonban, ha valamelyik sportoló használ doppingszereket, előnybe kerül azokkal szemben, akik nem használtak. Ha mindenki doppingol, akkor az előnyök megszűnnek, de a hátrányos mellékhatások megmaradnak
Fogoly Paradoxon után További kérdések: Egy fiatal pár reggel összeveszik az esti programon:
focimeccs vagy színház. Reggel nincs idő a megbeszélésre, este későn végeznek a munkájukkal, és ekkor kell dönteni ki hova menjen. A felek preferenciái: elsősorban együtt tölteni az estét, másodsorban az általa kedvelt helyen. (Nemek harca) Két autós hajt nyílegyenes egymással szembe… MI TÖRTÉNIK? („Ki a nyuszi?”)
A témakörrel bővebben foglalkozunk a
Matematikai érdekességek a mindennapokban – JÁTÉKELMÉLET című előadáson. Igen ez a reklám helye volt
Vissza a Paradoxonokhoz Kérek egy önként jelentkező hölgyet! Egy úriembert, akinek szimpatikus a kisasszony!
Az úriember két eldöntendő kérdést tesz fel, azaz
kérünk a hölgytől határozott igent vagy nemet! (Ne hazudj! )
Az ellenállhatatlan csábító 1. kérdés: „Ugyanazt válaszolod a következő
kérdésemre, mint erre a kérdésre?” IGEN
vagy
NEM
2. kérdés: „Megiszunk egy italt az óra után? ;) ” Mit válaszol a kisasszony?
Teljes indukció Bizonyítási eljárás, amikor egy állítást minden
természetes számra igazolni kell. Példa: Igazoljuk, hogy minden 9-cel osztható szám osztható 3-mal 9, 18, 27, 81… stb. Nyilván nem nézzük végig az összeset. A feladat másképp: Igazoljuk, hogy minden 9𝑛 alakú
szám osztható 3-mal, ahol 𝑛 ∈ ℕ
Teljes Indukció Bizonyítás:
I. Keressünk 𝑛 ∈ ℕ számot, melyre igaz, hogy 9𝑛 oszhtató 3-mal. 𝑛 = 1 esetén: 9 ∙ 1 tényleg osztható 3-mal II. Tegyük fel, hogy létezik 𝑘 ∈ ℕ, hogy ∀ 𝑛 < 𝑘 esetén: 9𝑘 osztható 3-mal Kellene: 𝑘 + 1-re is igaz legyen az állítás, azaz: 9 ∙ 𝑘 + 1 is osztható 3-mal. 9 ∙ 𝑘 + 1 = 9𝑘 + 9 ami nyílván osztható 3-mal. Az összeg első fele az indukciós feltevés miatt, az összeg másik fele pedig egy 3-mal osztható szám, így maga az összeg is osztható 3-mal.
Ló Paradoxon Állítás: Minden ló ugyanolyan színű
I. Keressünk 𝑛 ∈ ℕ számot, melyre igaz, hogy 𝑛 lóból álló ménesben minden ló ugyanolyan színű 𝑛 = 1 esetén: 1 lóból álló ménesben minden ló ugyanolyan színű. II. Tegyük fel, hogy létezik 𝑘 ∈ ℕ, hogy ∀ 𝑛 < 𝑘 esetén: Minden 𝑘 lóból álló ménesben minden ló ugyanolyan színű (nem üres feltevés, hisz láttuk 𝑘 = 1 –re igaz) Kellene: 𝑘 + 1-re is igaz legyen az állítás, azaz: Vegyünk egy 𝑘 + 1 lóból álló ménest. Ha innen kiveszünk egy tetszőleges lovat, a maradék 𝑘 lóból álló ménes egy színű az indukciós feltevés miatt!
Ló Paradoxon Rakjuk vissza a lovat a ménesbe és vegyünk ki egy másikat (amiről az előbb beláttuk, hogy ugyanolyan színű mint a többi). Mivel az első loval együtt ez így egy 𝑘 lóból álló ménest alkot, így az indukciós feltevés miatt, mindegyik ló egy színű, vagyis az először kivett ló is ugyanolyan. Vagyis, mind a 𝑘 + 1 ló ugyanolyan színű. Hehe
Vagy esetleg látott már valaki két különböző színű lovat életében?
Ló Paradoxon (Megoldás) A bizonyításban felhasználtuk, hogy bárhogy veszünk ki egy lovat, a maradék ménesek közül bármely kettőnek van közös eleme (lova), ami egyben adja is a közös színt, így kétségtelenül ugyanolyan színűek. Mi a helyzet a két elemű ménesekkel?
Nincs metszett, nincs közös szín, így bukik a teljes indukció. Probléma: 𝑛 = 1-re igaz, és ha 𝑛 = 3-ra igaz akkor 4-re is, akkor 6-ra is stb… A baj az 𝑛 = 2 eset, amire nem állja meg a helyét a bizonyítás, azaz 𝑛 > 2 sem.
JÁTÉK! Rendeződjetek párba! (Pl.: a mellettetek ülővel) Vegyetek elő aprópénzt Rakjátok magatok közé az asztalra az aprót és állapodjatok
meg, ki kezdi a játékot. Cél, maximalizálni a saját nyereményt! (Tegyük fel, minden érme egység értékű) Mindenki két érmét rakjon először középre. Szabály: Amennyi érmét elveszel, azt megtarthatod! Minden körben egy vagy két érmét vehetsz el! Ha egyet veszel el, a másik fél következik, ha kettőt AZONNAL VÉGET ÉR A JÁTÉK! A ki nem húzott érmék maradnak az asztalon.
JÁTÉK! Játsszátok le úgy, hogy először csak két érme van az
asztalon (pár játék) Majd játsszátok le párszor úgy, hogy kezdetben 3 érme van az asztalon Majd úgy párszor, hogy 4 érme van az asztalon Majd párszor úgy, hogy 5 érme van az asztalon Majd szűrjetek le valami konklúziót!
JÁTÉK! A paradoxon: Bárhány érme van az asztalon, mindig az első
elvesz kettőt és vége a játéknak, még ha mindenki több pénzhez jutna is akkor, ha egy ideig felváltva lépegetnének. Képzeljétek el, hogy nem érmék, hanem luxus Ferrarik
vannak „köztetek”. Megkockáztatod, hogy csak egy Ferrarid legyen, amikor biztosan lehetne kettő? Más kérdés, hogy mindketten jobban járnátok, ha felváltva
választanátok akár több tucattal a Ferrarikból…
Az oroszlán(y)ok Adva van 100 oroszlán. Nagyon agresszív oroszlánok, ha
éhesek és kiszagolják, hogy társuk alszik, akár magát oroszlán felebarátukat is megeszik. Úgy alakult, hogy régóta éheznek az oroszlánok, és találnak egy sérült impalát egy szurdokban (könnyű préda). Szűk a szurdok, csak szépen egyesével férnek az impalához. Az oroszlánok olyanok, hogy ha esznek (még ha kicsit is) annyira elálmosodnak, hogy egyből elalszanak. Mi fog történni? Mi van, ha 101 oroszlán van a falkában?
Az oroszlánok - Megoldás Mi a helyzet egy oroszlán van? Mi a helyzet ha két oroszlán van a falkában?
Mi van ha három? Mi van ha négy?
Következtetés? 100 oroszlánból egyik se fogja megenni az impalát. 101 oroszlánnál az első aki odaér megeszi.
Szerencse Vakság
Nyerő stratégia: Menjünk egy kaszinóba és játszunk rulettet. Rakjunk 1 zsetont a pirosra. Ha nyer, akkor a nyeremény 1 zseton rakjuk el, és tegyük fel újra a zsetont. Ha nem nyer, rakjunk fel 2-t. Ha ez nyer, akkor összesen 4 zsetont nyerünk, felraktunk eddig 1+2-t vagyis lett egy zseton nyereségünk, amit rakjunk el és kezdjük előről. Ha kétszer fekete, akkor 3. körben rakjunk fel 4 zsetont. Nyereményünk siker esetén 8 zseton (felraktunk 1 + 2 + 4 zsetont) vagyis megint van egy nyeremény zsetonunk, amit elrakunk és kezdjük előről. VAGYIS MINDEN PIROSNÁL NYERÜNK EGY ZSETONT!
Szerencse Vakság Mi van, ha túl sokszor van egymás után fekete? Annak a valószínűsége, hogy fekete jöjjön ki: ½
Annak a valószínűsége, hogy kétszer fekete: ½ * ½ Annak a valószínűsége, hogy 10-szer egymás után
fekete: (1 : 1024) Szinte lehetetlen… Szinte? „Én olyan peches vagyok, velem tuti előfordulna”
Szerencse Vakság (Megoldás) Örök ifjú tulajdonság (lásd majd: exponenciális
eloszlás): Ha többször ismétlünk meg egy kísérletet egymástól függetlenül(!), akármikor is vizsgáljuk a valószínűségeket, minden kísérletnél pontosan ugyanannyi, mintha először csinálnánk. Azaz teljesen mindegy hányszor lett fekete, bármelyik
kör előtt igaz, hogy 50% a valószínűség, hogy fekete lesz a gurítás.
Szerencse Vakság (Megoldás) Mi van, ha valaki így is bevállalja? „Van elég pénzem,
20 körön keresztül csak nem lesz végig fekete!” Magam láttam példát rá, hogy de…
Illetve a kaszinók sem ostobák: mindenhol van vagy
maximum tét (emiatt), vagy minimum tét (ami, meg olyan nagy, hogy nincs annyi vagyona senkinek a földön, hogy ezt sokáig játsza).
A témakörrel bővebben foglalkozunk a
Matematikai érdekességek a mindennapokban – A VÉLETLEN MATEMATIKÁJA című előadáson. Igen ez a reklám helye volt (megint)
