Differenciálegyenletek a mindennapokban

Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem

Kutatók éjszakája Szeged, SZTE

L. Csizmadia (Szeged)

Kutatók éjszakája 2011.

2011.09.23.

1 / 15

Pénz, pénz, pénz Valaki T0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva?



2011.09.23.

2 / 15

Pénz, pénz, pénz Valaki T0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? T0 (1 +


p ) 100


2011.09.23.

2 / 15

Pénz, pénz, pénz Valaki T0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? p ) 100 Amennyiben havonta tőkésítik a kamatot, úgy egy év alatt több pénz gyűlik össze, hiszen T0 (1 +



2011.09.23.

2 / 15


1. hónap végén: T0 (1 +


q 12 ),

q = p/100;


2011.09.23.

2 / 15


1. hónap végén: T0 (1 + 2. hónap végén: T0 (1 +


q 12 ), q q 2 12 ) ;

= p/100;


2011.09.23.

2 / 15


1. hónap végén: T0 (1 + 2. hónap végén: T0 (1 + .. .

q 12 ), q q 2 12 ) ;



= p/100;

q 12 12 ) .


2011.09.23.

2 / 15


1. hónap végén: T0 (1 + 2. hónap végén: T0 (1 + .. .

q 12 ), q q 2 12 ) ;


= p/100;

q 12 12 ) .

Például T0 = 1, p = 7 esetén az első esetben az számlán lévő összeg 1, 07, míg a második esetben 1, 0723.



2011.09.23.

2 / 15

Vágyálom Osszuk az egy évet n egyenlő részre és írjuk jóvá ezen időszakonként a kamatot, mert ekkor



2011.09.23.

3 / 15




2011.09.23.

3 / 15


Az év végén, azaz az n. időszak végén a pénzösszeg: T0 (1 + qn )n .



2011.09.23.

3 / 15

Még, még még!



2011.09.23.

4 / 15

Még, még még!

Minden határon túl sűrítjük azon idők számát, amikor kamatjóváírás történik, azaz q n → ∞ ⇒ T0 (1 + )n → ∞ ? n



2011.09.23.

4 / 15

A valóság



2011.09.23.

5 / 15

A valóság



2011.09.23.

5 / 15

A valóság

1 lim (1 + )n = e n

n→∞



2011.09.23.

5 / 15

A valóság

1 lim (1 + )n = e n

n→∞



2011.09.23.

5 / 15

A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban



2011.09.23.

6 / 15

A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban ∆T = T (t + h) − T (t), ∆t = h



2011.09.23.

6 / 15

A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban ∆T = T (t + h) − T (t), ∆t = h T (t + h) − T (t) h h→0

A tőke nagyságának változási sebessége: lim



2011.09.23.

6 / 15


A tőke nagyságának változási sebessége: lim Derivált ; sebesség



2011.09.23.

6 / 15


A tőke nagyságának változási sebessége: lim Derivált ; sebesség T 0 (t) =


dT (t) dt


2011.09.23.

6 / 15


A tőke nagyságának változási sebessége: lim Derivált ; sebesség T 0 (t) = kezdeti érték feladatot:


dT (t) dt

így a feladatunk megoldani az alábbi


2011.09.23.

6 / 15



dT (t) dt


T 0 = p · T , T (0) = T0



2011.09.23.

6 / 15



dT (t) dt


T 0 = p · T , T (0) = T0 Megoldás: T (t) = T0 e pt .



2011.09.23.

6 / 15

Forró nyomon Egy nyári napon valaki talált egy holttestet. A helyszínen rögzített adatok szerint:



2011.09.23.

7 / 15

Forró nyomon Egy nyári napon valaki talált egy holttestet. A helyszínen rögzített adatok szerint: Th = 25◦ C - a holttest hőmérséklete Tk = 23◦ C - a levegő hőmérséklete Vajon mióta halott az illető?



2011.09.23.

7 / 15

Forró nyomon Egy nyári napon valaki talált egy holttestet. A helyszínen rögzített adatok szerint: Th = 25◦ C - a holttest hőmérséklete Tk = 23◦ C - a levegő hőmérséklete Vajon mióta halott az illető?



2011.09.23.

7 / 15

A nyomozás Bones: „A hulla 4 óra alatt hül 36◦ C -ról 30◦ C -ra."



2011.09.23.

8 / 15

A nyomozás Bones: „A hulla 4 óra alatt hül 36◦ C -ról 30◦ C -ra." Both: „Newton lehülési törvénye:T 0 arányos a (T − Tk ) értékkel."



2011.09.23.

8 / 15

A nyomozás Bones: „A hulla 4 óra alatt hül 36◦ C -ról 30◦ C -ra." Both: „Newton lehülési törvénye:T 0 arányos a (T − Tk ) értékkel." Azaz: T 0 = λ(T − Tk ) .



2011.09.23.

8 / 15

A nyomozás Bones: „A hulla 4 óra alatt hül 36◦ C -ról 30◦ C -ra." Both: „Newton lehülési törvénye:T 0 arányos a (T − Tk ) értékkel." Azaz: T 0 = λ(T − Tk ) . Ennek megoldása: T (t) = Tk + ce λt .



2011.09.23.

8 / 15

A nyomozás Bones: „A hulla 4 óra alatt hül 36◦ C -ról 30◦ C -ra." Both: „Newton lehülési törvénye:T 0 arányos a (T − Tk ) értékkel." Azaz: T 0 = λ(T − Tk ) . Ennek megoldása: T (t) = Tk + ce λt . A kezdeti értékek figyelembevételével: t = 0 (a halál beálta) Th = 36◦ C ⇒ c = 13 .



2011.09.23.

8 / 15

A nyomozás Bones: „A hulla 4 óra alatt hül 36◦ C -ról 30◦ C -ra." Both: „Newton lehülési törvénye:T 0 arányos a (T − Tk ) értékkel." Azaz: T 0 = λ(T − Tk ) . Ennek megoldása: T (t) = Tk + ce λt . A kezdeti értékek figyelembevételével: t = 0 (a halál beálta) Th = 36◦ C ⇒ c = 13 . p 4 óra múlva Th = 30◦ C ⇒ e λ = 4 7/13 = 0, 8566.



2011.09.23.

8 / 15

A nyomozás Bones: „A hulla 4 óra alatt hül 36◦ C -ról 30◦ C -ra." Both: „Newton lehülési törvénye:T 0 arányos a (T − Tk ) értékkel." Azaz: T 0 = λ(T − Tk ) . Ennek megoldása: T (t) = Tk + ce λt . A kezdeti értékek figyelembevételével: t = 0 (a halál beálta) Th = 36◦ C ⇒ c = 13 . p 4 óra múlva Th = 30◦ C ⇒ e λ = 4 7/13 = 0, 8566. Tehát a test hőmérséklete az idő függvényeként: T (t) = 23◦ C + 13 · (0, 8566)t .



2011.09.23.

8 / 15

A nyomozás Bones: „A hulla 4 óra alatt hül 36◦ C -ról 30◦ C -ra." Both: „Newton lehülési törvénye:T 0 arányos a (T − Tk ) értékkel." Azaz: T 0 = λ(T − Tk ) . Ennek megoldása: T (t) = Tk + ce λt . A kezdeti értékek figyelembevételével: t = 0 (a halál beálta) Th = 36◦ C ⇒ c = 13 . p 4 óra múlva Th = 30◦ C ⇒ e λ = 4 7/13 = 0, 8566. Tehát a test hőmérséklete az idő függvényeként: T (t) = 23◦ C + 13 · (0, 8566)t . Jelenleg Th = 25◦ C , ezért kb. t = 12, 09 órával ezelőtt hunyt el. L. Csizmadia (Szeged)


2011.09.23.

8 / 15

Egy furcsa pár

Anna és Béla egy furcsa pár. Béla nehéz természetű: amikor Anna szereti őt, akkor ő kezdi kevésbé szeretni Annát. Anna normális: ha Béla szereti őt, akkor ő is egyre jobban kedveli, ugyanakkor barátságtalanná válik, ha Béla nem szereti. Milyen jövőt jósolunk kettejük kapcsolatának?



2011.09.23.

9 / 15

Jósoljunk

t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban



2011.09.23.

10 / 15

Jósoljunk

t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban a és b is legalább kétszer differenciálható függvények



2011.09.23.

10 / 15

Jósoljunk

t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban a és b is legalább kétszer differenciálható függvények a0 (t) b(t)-vel arányos, azaz a0 = A · b,



2011.09.23.

10 / 15

Jósoljunk

t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban a és b is legalább kétszer differenciálható függvények a0 (t) b(t)-vel arányos, azaz a0 = A · b, b0 (t) −a(t)-vel arányos, azaz b0 = −B · a, ahol A, B konstansok, legyen mindkettő 1.



2011.09.23.

10 / 15

Jósoljunk

t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban a és b is legalább kétszer differenciálható függvények a0 (t) b(t)-vel arányos, azaz a0 = A · b, b0 (t) −a(t)-vel arányos, azaz b0 = −B · a, ahol A, B konstansok, legyen mindkettő 1. Kezdeti érték feltételek: a(0) = a0 , b(0) = b0



2011.09.23.

10 / 15

A megoldandó egyenletrendszer:  0 a    0 b a(0)    b(0)


= = = =

b −a a0 b0


2011.09.23.

11 / 15


= = = =

b −a a0 b0

Ennek megoldása: a(t) = a0 cos t + b0 sin t



2011.09.23.

11 / 15


= = = =

b −a a0 b0

Ennek megoldása: a(t) = a0 cos t + b0 sin t b(t) = b0 cos t − a0 sin t



2011.09.23.

11 / 15


= = = =

b −a a0 b0

Ennek megoldása: a(t) = a0 cos t + b0 sin t b(t) = b0 cos√ t − a0 sin t a0 = b0 = 1/ 2 esetén a(t) = sin(t + π4 ), b(t) = cos(t + π4 )



2011.09.23.

11 / 15


= = = =

b −a a0 b0

Ennek megoldása: a(t) = a0 cos t + b0 sin t b(t) = b0 cos√ t − a0 sin t a0 = b0 = 1/ 2 esetén a(t) = sin(t + π4 ), b(t) = cos(t + π4 )



2011.09.23.

11 / 15

 0 a    0 b a(0)    b(0)


= = = =

2a + b −a a0 b0


2011.09.23.

12 / 15

 0 a    0 b a(0)    b(0)

= = = =

2a + b −a a0 b0

a0 = b0 = 1 választással a megoldások: a(t) = (1 + 2t)e t ,



2011.09.23.

12 / 15

 0 a    0 b a(0)    b(0)

= = = =

2a + b −a a0 b0

a0 = b0 = 1 választással a megoldások: a(t) = (1 + 2t)e t , illetve b(t) = (1 − 2t)e t



2011.09.23.

12 / 15

 0 a    0 b a(0)    b(0)

= = = =

2a + b −a a0 b0




2011.09.23.

12 / 15

 0 a    0 b a(0)    b(0)

= = = =

2a + b −a a0 b0


Ez a kapcsolat nem működőképes. L. Csizmadia (Szeged)


2011.09.23.

12 / 15

Newton Másodrendű differenciálegyenlet



2011.09.23.

13 / 15

Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika



2011.09.23.

13 / 15

Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája X F =m·a



2011.09.23.

13 / 15


a=


X d 2s dv = 2 ⇒ F = ms 00 dt dt


2011.09.23.

13 / 15


a=

X d 2s dv = 2 ⇒ F = ms 00 dt dt

Egy szép példa



2011.09.23.

13 / 15

Matematikai inga

Mozgásegyenlet: ϕ¨ +


g sin ϕ = 0 l


2011.09.23.

14 / 15

Matematikai inga

Mozgásegyenlet:

g sin ϕ = 0 l g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. ϕ¨ +



2011.09.23.

14 / 15

Matematikai inga

Mozgásegyenlet:

g sin ϕ = 0 l g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos. ϕ¨ +



2011.09.23.

14 / 15

Matematikai inga

Mozgásegyenlet:

g sin ϕ = 0 l g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos. A mozgásegyenlet: ϕ¨ +

ml ϕ¨ = −mg sin ϕ − kl ϕ˙



2011.09.23.

14 / 15

Matematikai inga

Mozgásegyenlet:

g sin ϕ = 0 l g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos. A mozgásegyenlet: ϕ¨ +

ml ϕ¨ = −mg sin ϕ − kl ϕ˙ http://illustrations.marin.ntnu.no//structures/dynamics/ pendulum/index.html



2011.09.23.

14 / 15

Búcsú Az inga mindennapjaink sokrétűen használt tárgya:



2011.09.23.

15 / 15

Búcsú Az inga mindennapjaink sokrétűen használt tárgya:

Köszönöm a figyelmet!



2011.09.23.

15 / 15

Differenciálegyenletek a mindennapokban

Recommend Documents