MATEMATIKA Základní poznatky z matematiky Cvičebnice s klíčem
Olomouc 2010 Autor: Mgr. Dana Kaprálová
Zpracováno v rámci projektu „Digitální škola: ICT ve výuce technických předmětů“ registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.04/01.0137
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
-1-
Informace o projektu Název projektu:
Digitální škola: ICT ve výuce technických předmětů
Registrační číslo:
CZ.1.07/1.1.04/01.0137
Příjemce:
Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická, Olomouc, Božetěchova 3
Partneři: Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Šumperk, Gen. Krátkého 1 Střední průmyslová škola elektrotechnická, Mohelnice, Gen. Svobody 2 Střední odborná škola průmyslová a Střední odborné učiliště strojírenské, Prostějov, Lidická 4 Střední průmyslová škola, Přerov, Havlíčkova 2
Cíl projektu: Základním cílem projektu je zavádění nových podmínek využívání ICT a digitálních výukových zdrojů ve výuce technických oborů pro žáky a pedagogy. Důraz je kladen na podporu kreativity žáků, využívání podpůrných ICT prostředků (notebooky jako individuální studijní pomůcky, digitální učebnice), zisk online informací a možnost využívání všech prvků e-learningového webového portálu na adrese www.digitalniskola.eu.
Hlavní aktivity projektu: Mezi hlavní aktivity projektu patří tvorba nových digitálních učebních pomůcek – inovovaných učebních textů se zaměřením na angličtinu, matematiku, fyziku a elektroniku, pracovních listů, prezentací a testových cvičení. Nedílnou součástí projektu je e-learningový webový portál pro přístup žáků z technických oborů k digitálním materiálům. Žáci druhých ročníků zapojených škol budou moci využívat 160 notebooků jako individuální studijní pomůcku pro každodenní digitální výuku. Velmi důležitou součástí projektu je také adekvátní proškolení v počítačové gramotnosti, které posiluje rozvoj klíčových kompetencí a dovedností žáků v oblasti ICT.
-2-
Obsah INFORMACE O PROJEKTU ............................................................................................................................. 2 OBSAH................................................................................................................................................................... 3 PRŮVODCE STUDIEM ...................................................................................................................................... 4 1
ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ......................................................................................... 5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
ČÍSELNÉ OBORY ......................................................................................................................................... 5 ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL ..................................................................................................................... 8 POMĚR, TROJČLENKA, PROCENTA ............................................................................................................ 10 MOCNINY S PŘIROZENÝM A CELÝM EXPONENTEM ................................................................................... 12 PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK ...................................................................................................................... 15
VÝSLEDKY ........................................................................................................................................................ 18 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
ČÍSELNÉ OBORY ....................................................................................................................................... 18 ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL ................................................................................................................... 20 POMĚR, TROJČLENKA, PROCENTA ............................................................................................................ 22 MOCNINY S PŘIROZENÝM A CELÝM EXPONENTEM ................................................................................... 24 PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK ...................................................................................................................... 25
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY ............................................................................................................... 27 SEZNAM OBRÁZKŮ ........................................................................................................................................ 28 SEZNAM POUŽITÝCH IKON ......................................................................................................................... 29
-3-
Průvodce studiem Tato sbírka úloh a příkladů je určena jak učitelům jako pomůcka při procvičování v hodinách matematiky, tak především žákům na samostatné upevňování poznatků formou samostudia. Žáci mají možnost kontroly svých vědomostí a dovedností v druhé části cvičebnice, kde najdou výsledky všech úloh a příkladů. Cvičebnice je členěna podle tematických okruhů do pěti kapitol, ve kterých si připomenete a prohloubíte učivo, které jste si více či méně osvojili na základní škole, a seznámíte se i s novým učivem. V první části si zopakujeme všechny číselné obory, základní početní operace a zákony s nimi související. Další dvě kapitoly jsou shrnutím učiva základní školy – elementární teorie čísel a poměr, trojčlenka, procenta. V posledních dvou kapitolách procvičíme mocniny s přirozeným a celým exponentem a příklady s pravoúhlým trojúhelníkem.
-4-
1 Základní poznatky z matematiky 1.1 Číselné obory Příklad 1.1.1 Napište množinu všech přirozených sudých čísel menších než 30 a větších než 15. Příklad 1.1.2 Využijte asociativnost, komutativnost a distributivnost a vypočítejte: a ) 54 + 42 + 8 + 16 = b) 11 + 27 + 69 + 43 = c) 4 ⋅ 31 ⋅ 5 = d ) 5 ⋅ 129 ⋅ 2 = e) 5 ⋅ 72 ⋅ 20 = f ) 3 ⋅ 10 2 + 5 ⋅ 10 2 + 2 ⋅ 10 2 = g ) 2 ⋅ 144 + 5 ⋅ 144 + 3 ⋅ 144 = Příklad 1.1.3 Vypočítejte zpaměti: a ) − 17 + (−33) =
g ) 4 ⋅ ( −9 ) =
b) 27 + (−65) =
h ) ( −4) ⋅ ( −15) =
c) 24 − (−8) = d ) 39 − (+54) =
i ) ( −3) ⋅18 = j ) 12 ⋅ ( −5) =
e) − 34 + 56 =
k ) ( −3) ⋅ 2 ⋅ ( −7 ) =
f ) 65 − 17 =
l ) ( − 6 ) ⋅ ( − 4 ) ⋅ ( − 5) =
Příklad 1.1.4 Vypočítejte zpaměti: a ) 7 − ( − 6) − ( 6 − 2) =
e) − 8 − (−2) − (4 − 16) =
b) (13 − 8) ⋅ (8 − 13) =
f ) (12 + 11) ⋅ (11 − 12) =
c) (−2) ⋅ (−6) − 14 : 2 =
g ) 32 : 8 − 6 =
d ) 2 ⋅ 122 − 8 ⋅ 122 =
h) (6 − 2) ⋅ 413 + (7 − 12) ⋅ 413 =
Příklad 1.1.5 Vyjádřete zlomky v základním tvaru: a)
36 180 108 264 , b) , c) − , d) . ɺ ɺ ɺ 48 252 144 440
Příklad 1.1.6 Daná desetinná čísla vyjádřete zlomkem v základním tvaru:
-5-
a ) 0,7; 0,25; 7,9; 3,4 b) 0,2; 0,12; 15,5; 0,325 c) 0,4; 0,635; 1,06; 2,85
Příklad 1.1.7 Vyjádřete jako desetinná čísla: 18 16 3 2 8 5 5 2 ; ; 5 ; ; − ; 3 −2 15 15 40 9 5 8 11 22
Příklad 1.1.8 Uspořádejte zlomky: 3 4 7 4 5 a ) vzestupně : , , ,− , 4 3 8 5 6 5 4 5 21 7 b) sestupně : ,− , , ,− 9 3 18 27 6
Příklad 1.1.9 Vypočítejte: 3 5 1 a) + : 3 = 4 6 6 5 8 b) 3 ⋅ − = 7 21 3 1 2 c) 2 : (1 − ) = 4 2 5 3 2 1 d) 4 − ⋅7 = 5 2 5
1 1 1 1 :( + + ) = 12 2 4 8 3 7 f ) + 3 ⋅ 100 = 4 10 3 3 1 1 g ) 6 : (1 + ) − = 10 5 2 3 2 3 15 3 h) 5 − ⋅ + 3 : = 3 5 6 4
e) 1
Příklad 1.1.10 Vypočítejte: a ) 6,7 + (−7,8) + (−6,7) + 1,8 + 6,1 = b) − 8,7 − 2,3 + 5,9 − 4,9 = c) 5,6 − 4,7 + 3,1 − 5,6 − 1,9 = d ) 6,5 − 7,4 + 1,3 − 6,5 − 9,1 =
Příklad 1.1.11 Vypočítejte:
1 2 a ) 7,5 + 2 ⋅ (1 : 2,5 − 3) = 2 3 8 7 1 b) ( − 1 + ) ⋅ 0,3 + 1,5 = 15 10 6 1 7 c) [−1 − (−1 )] : 0,2 = 2 8 5 1 5 d ) ⋅ 1,2 − 1 : = 6 3 6
-6-
Příklad 1.1.12 Vypočítejte: a) − 5 − 3 + − 4 = b) 8 − 10 − 3 − 9 = c) − 3 − 5 − 8 = d) − 2 − 3 +1 = Příklad 1.1.13 Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro která platí:
a) x = 4 b) x ≤ 3 c) x ≥ 0 d) x < 5 Příklad 1.1.14 Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro která platí:
a) x − 2 = 6
e) x + 5 < 3
b) x − 3 ≤ 1
f) x+2 ≥3
c) x − 1 ≥ 4
g) x − 3 ≤ 2
d) x − 4 > 3
h) x + 4 = 1
-7-
1.2 Elementární teorie čísel Příklad 1.2.1 Zapište všechna přirozená čísla x, která jsou násobkem čísla 3 a zároveň pro ně platí 105 ≤ x < 126. Příklad 1.2.2 Doplňte vynechanou číslici tak, aby vzniklo číslo, které je dělitelné čtyřmi. Je-li více možností, zapište všechny. a) 2 ∗ 4 b) 13 ∗ c) 1 ∗ 3 d ) 58 ∗ 2
Příklad 1.2.3 Najděte chybějící číslici tak, aby vzniklé číslo bylo násobkem čísla devět. Je-li víc možností, uveďte všechny. a ) 24 ∗ b) 1 ∗ 8 c) 3 ∗ 0 d ) ∗ 21
Příklad 1.2.4 Doplňte vynechanou číslici tak, aby vzniklé číslo bylo dělitelné šesti. Uveďte všechny možnosti. a ) 24 ∗ b) 7 ∗ 3 c) ∗ 50 d ) 37 ∗
Příklad 1.2.5 Rozložte čísla na součin prvočísel: a ) 180, b) 240, c) 460, d ) 232. Příklad 1.2.6 Určete všechny přirozené dělitele čísla: a ) 96, b) 150, c) 63, d ) 236. Příklad 1.2.7 Vypočítejte součet a součin všech prvočísel větších než 10 a zároveň menších než 20. Příklad 1.2.8 Určete D(60, 75). Příklad 1.2.9 Určete D(135, 420). Příklad 1.2.10 Určete D(108, 132, 180).
-8-
Příklad 1.2.11 Určete D(96, 120). Příklad 1.2.12 Určete n(60, 72). Příklad 1.2.13 Určete n(64, 80). Příklad 1.2.14 Určete n(12, 18, 21). Příklad 1.2.15 Určete n(28, 36). Příklad 1.2.16 Potřebujete rozstříhat barevný pás papíru tvaru obdélníku s rozměry 32 cm a 80 cm na co největší stejně veliké čtverce. Dokážete určit délku jejich strany? Kolik čtverců tak získáte? Příklad 1.2.17 Z autobusové zastávky vyjíždí přesně v 8 hodin autobusy linek A, B a C. Autobusy linky A jezdí každých 8 minut, linky B každých 12 minut a linky C každých 15 minut. V jakých časech mezi 8 a 14 hodinou odjíždějí autobusy všech tří linek ze zastávky současně? Příklad 1.2.18 Obvod obdélníku je 22 cm a obsah 30 cm2. Určete jeho rozměry, jsou-li délky stran obdélníku v centimetrech vyjádřeny celými čísly. Příklad 1.2.19 Babička rozdala 15 pomerančů a 27 ořechů svým vnukům rovným dílem, aniž nějaký pomeranč nebo ořech dělila na části. Kolik vnuků měla? Příklad 1.2.20 Kolik čtvercových dlaždic s délkou strany 4 dm je třeba k vydláždění haly tvaru obdélníku s rozměry 11,2 m a 8,8 m? (Mezery mezi dlaždicemi zanedbejte.) Příklad 1.2.21 Do obchodu dostali tři druhy kapesníků – 132 dětských, 156 dámských a 204 pánských. Kapesníky jednotlivých druhů byly baleny do krabiček po stejném počtu kusů všech tří druhů. Určete tento počet, víte-li, že v každé krabičce bylo více než 6 kapesníků. Příklad 1.2.22 Kolik jablek je v košíku, je-li možné je beze zbytku rozdělit do balíčků po 6, 14 i 21 kusech? Příklad 1.2.23 Krabička od sirek má délky hran 12 mm, 36 mm a 48 mm. Několik krabiček máme poskládat do krabice tvaru krychle. Jaké jsou nejmenší možné rozměry takovéto zaplněné krabice a kolik krabiček od sirek lze do ní naskládat?
-9-
1.3 Poměr, trojčlenka, procenta Příklad 1.3.1 Rozdělte 110 sešitů na dvě hromádky v poměru 2:3. Příklad 1.3.2 Určete tři přirozená čísla, která jsou v postupném poměru 3:5:8, je-li první z nich 12. Příklad 1.3.3 Polopřímka rozdělila úhel o velikosti 150° na dva úhly a jejich velikosti jsou v poměru 3:7. Určete velikosti těchto úhlů. Příklad 1.3.4 Tři přirozená čísla jsou v poměru 1:3:10, jejich součet je 70. Která jsou to čísla? Příklad 1.3.5 Obdélník má obvod 57,6 cm. Určete jeho rozměry, víte-li, že jsou v poměru 5:7. Příklad 1.3.6 Rozměry odlitku tvaru kvádru jsou a = 65 mm, b = 45 mm, c = 80 mm. Jaké rozměry bude mít odlitek na plánku zhotoveném v poměru 3:5? Příklad 1.3.7 Rovnostranný trojúhelník má délku strany 4,5 cm. O kolik centimetrů se změní jeho obvod, jestliže se jeho strana změní v poměru 5:2? Příklad 1.3.8 Ve škole koupili 35 ks učebnic zeměpisu a zaplatili za ně 1 890 Kč. Kolik korun by zaplatili za 82 ks této učebnice? Příklad 1.3.9 Firma dostala od obecního úřadu zakázku na vydláždění náměstí. Slíbila, že práci provede za 24 dní. Majitel firmy počítal se čtyřmi dlaždiči. Jeden z nich však onemocněl. O kolik dní se práce na zakázce prodlouží? Příklad 1.3.10 Při leteckém práškování pole bylo na 1,2 ha použito 72 kg přípravku. Kolik kilogramů přípravku musí být připraveno na práškování pole tvaru obdélníku s rozměry 3,6 km a 1 800 m? Příklad 1.3.11 Zvětšíme-li neznámé číslo o 8 % dostaneme číslo 864. Určete neznámé číslo. Příklad 1.3.12 Zmenšíme-li neznámé číslo o 539 dostaneme 65 % jeho hodnoty. Určete neznámé číslo. Příklad 1.3.13 V loňském roce se na gymnázium hlásilo 680 žáků. Počet zájemců letos poklesl o 15%. Kolik žáků se letos hlásí ke studiu?
- 10 -
Příklad 1.3.14 Určete čistý měsíční výdělek řemeslníka, víte-li, že 20 % tvoří daň, což je 3 400,- Kč a ta mu je z hrubého platu odečtena. Příklad 1.3.15 Z plechových desek o celkové hmotnosti 500 kg byly zhotoveny skladové regály o celkové hmotnosti 450 kg. Kolik procent materiálu připadlo na odpad? Příklad 1.3.16 Základní školu navštěvuje 184 chlapců, což je 46 % všech žáků. Kolik děvčat je v této škole? Příklad 1.3.17 Vypočítejte chybějící údaje v tabulce: Měřítko mapy - plánu
Skutečný rozměr
1 : 400 000 1 : 25 000
Rozměr na mapě - plánu 5 cm
800 m 10 km
2 cm
85 m
8,5 cm
Příklad 1.3.18 Zboží bylo dvakrát zlevněno. Nejprve o 10 %, později ještě o 10 % z nové ceny. Jeho konečná cena je 324 Kč. Urči původní cenu a počet procent o kolik bylo celkem zlevněno. Příklad 1.3.19 Na skladě je 30 tun brambor. První den odvezli 15 %, druhý den 10 % zbytku. Kolik tun brambor pak zbude na skladě? Příklad 1.3.20 Robert dal Oldovi úkol: „Zastaralý výrobek s původní cenou 4 000 Kč byl třikrát za sebou zlevněn o 20 % a pak ještě o 40 %. Jaká je jeho konečná cena?“ Olda se domnívá, že výrobek byl nakonec zadarmo. Měl pravdu? Jaká byla konečná cena?
- 11 -
1.4 Mocniny s přirozeným a celým exponentem Příklad 1.4.1 Upravte a vypočítejte: a ) 6.2 4 - 2.2 4 =
d)
5.2 2 - 2.2 2 + 3.2 2 =
b) - 8.610 - 3.610 =
e)
8b - 6b + b =
3
3
c) 14b - 3b =
f ) y 6 + 2y 6 - 5y 6 =
Příklad 1.4.2 Upravte a pak vypočítejte: a) 5 ⋅ 7 2 − 4 3 + 5 ⋅ 2 3 = b) 8 ⋅ 5 5 + 5 ⋅ 10 6 − 2 ⋅ 10 6 − 6 ⋅ 10 6 = c) 3n − 3n 2 + 7 n − 3n 2 = d ) a 3 − a 5 + a 3 + a 5 + 2a 3 = Příklad 1.4.3 Určete součiny mocnin zpaměti: a ) 3 2 ⋅ 33 =
d) k3 ⋅ k3 =
b) 5 9 ⋅ 5 3 =
e) 8 ⋅ 8 4 ⋅ 8 7 =
c) d 4 ⋅ d 6 =
f ) s3 ⋅ t 2 ⋅ s6 =
Příklad 1.4.4 Určete podíly mocnin zpaměti: a) 5 6 : 5 4 = b) 7 : 7 = 8
5
c) g 8 : g 3 = d)
y6 : y5 =
45 = 4 r5 f) = r2
e)
Příklad 1.4.5 Zjednodušte: a)
52 ⋅ 53 ⋅ 5 = 54
3 7 ⋅ 36 b) = 3 ⋅ 3 2 ⋅ 35
Příklad 1.4.6 Umocněte součiny:
a) (4 ⋅ 5) 3 =
c) ( x ⋅ y 3 ) 2 =
b) ( 2 6 ⋅ 7 2 ) 3 =
d ) (m 4 ⋅ n 9 ) 4 =
- 12 -
Příklad 1.4.7 Zjednodušte: a ) (b 3 ) 3 + (−b 3 ) 2 + 2b 9 − b 3b 3 = b) 3(− a 2 ) 3 + 2(− a 3 ) 2 + 2a 5 − (− a ) 2 a 3 + 3a ⋅ a 4 + a 2 (− a ) 3 ⋅ 3a = c ) x 6 ⋅ x + ( − x 2 ) 3 + 2( − x ) 3 ⋅ x 4 + ( − x ) 7 : x =
Příklad 1.4.8 Vyjádřete pomocí mocnin prvočísel: a)
9 5 2 5 36 ⋅ ⋅ = 27 2 96 6 3
10 2 81 (2 ⋅ 3) = b) ⋅ 2 ⋅ 39 64 12 6 ⋅ 4 3 ⋅ 15 4 = c) 50 2 ⋅ 16 4 ⋅ 9 4 3
d)
2
5(15 2 ⋅ 48) 2 (15 ⋅ 12) 3 ⋅ 8 2
(12 ⋅ 5) 6 ⋅ 16 2 ⋅ = 3 3 (25 ⋅ 18) ⋅ 32
8 ⋅ 10 2 ⋅ 9 −3 e) 4 −3 15 ⋅ 12
−3
2
24 −1 ⋅ 6 3 : 2 − 4 = 20 ⋅ 5
Příklad 1.4.9 Upravte a výsledky vyjádřete bez použití zlomků: a)
a 2 b ab 2 : = c3 c2
b)
a2 a : c −3 c 2
c)
a −3 b 2 c −3
−2
= 2
b 3c : 2 = a
Příklad 1.4.10 Zjednodušte dané výrazy: a)
2(ab) 3 (3a 3b 2 ) 2 ⋅ = 3a 2 b a 5b 3
5a 3 b 7 b) 2ab 6 c)
3
2a 2 b 3 = ⋅ 2 ab
2x 5 y 3
(2 x y ) 2
2
3
xy : 2 2 xy
( )
=
4
d)
7x4 y 7 x2 y : 8x 3 y 2 x 3 y 2
(
)
3
=
- 13 -
Příklad 1.4.11 Upravte: a)
3
2a 4 b 3 ⋅ 3 = a b
3(a 3b 2 ) 3 ( 2a 2 b) 2
2a 5 b 4 b) 3 3a b
(
3
2a 3 b 2 : 9 2a 2 b
(
) )
3
=
2
Příklad 1.4.12 Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že a, b, c, d jsou nenulová reálná čísla, a výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem:
9a − 2 c 3 a ) −2 8b
−3
= −2
9a 6 b − 5 b) c −3
c)
3 −1 b 3 : 2 −4 = a c 7 a 3b −2 c 28a −3b 4 d −5 : = 8a 2 d 3 64ab 6 c −2
4a 2 b d ) −3 2 c d
3
2a 5 b − 2 ⋅ − 4 3 c d
−2
=
Příklad 1.4.13 Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že a, b, c, d jsou nenulová reálná čísla, a výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem: 3
a 2 b −5 −2 d −4 = a ) 3 ⋅ c c 3ab b) 2 2 25 x y 4a 2 b c) 2 −3 d c
3
−3
4a : 2 5 xy
2a 5 b − 2 ⋅ −4 3 c d
−3
=
−2
=
- 14 -
1.5 Pravoúhlý trojúhelník Příklad 1.5.1 Vypočítej obsah rovnostranného trojúhelníku ABC o straně 12,4 cm. Příklad 1.5.2 Kosočtverec má úhlopříčky 24 cm a 10 cm. Urči délku jeho strany. Příklad 1.5.3 Jak vysoko je uchycený stožár, je-li lano dlouhé 12,9 m a vzdálenost kolíku lana od paty stožáru je 9,3 m. Příklad 1.5.4 Vypočítej délku úhlopříčky AC obdélníku ABCD, je-li a = 12 cm a b = 8 cm. Příklad 1.5.5 Kolik korun stojí omítnutí štítu domu tvaru rovnoramenného trojúhelníku, stojí-li jeden metr čtverečný omítky 115 Kč? Základna trojúhelníku je 16 m a ramena mají délku 10 m. Příklad 1.5.6 Dětský drak je upoután na motouzu dlouhém 80 m a vznáší se nad místem X, které je od stanoviště, odkud je drak vypouštěn, 29 m. Jak vysoko je drak? Příklad 1.5.7 Základna rovnoramenného trojúhelníku má délku 6 m, příslušná výška 4 m. Vypočítejte obvod tohoto trojúhelníku. Příklad 1.5.8 Vypočítejte obvod a obsah čtyřúhelníku ABCD na obr. 1, jestliže platí: |AB| = 4 cm, |AD| = 3 cm, |BC| = 12 cm, úhel DAB a úhel DBC je pravý. D A
B
C Obrázek 1 Čtyřúhelník ABCD
Příklad 1.5.9 Žebřík dlouhý 6 m je opřen o zeď. Jeho dolní konec je od zdi vzdálen 1,3 m. V jaké výšce se žebřík dotýká zdi? Příklad 1.5.10 Kolmo rostoucí topol nalomil vítr ve výšce 6 m nad zemí. Vrchol dopadl na zem ve vzdálenosti 8 m od paty topolu. Určete původní výšku topolu. Příklad 1.5.11 Vypočítej obvod pravoúhlého trojúhelníku ABC, je-li |AC| = 18,4 cm a úhel α = 35°.
- 15 -
Příklad 1.5.12 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC. Určete délku odvěsny b a vnitřní ostré úhly, jestliže: a = 14,4 cm a c = 24 cm. Příklad 1.5.13 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, kde c je přepona. Určete zbývající délky stran a úhly, jestliže: β = 30° a c = 9 cm. Příklad 1.5.14 Vypočtěte ostré vnitřní úhly pravoúhlého trojúhelníku o obsahu 19,8 cm2, jehož jedna odvěsna má délku 4,5 cm. Příklad 1.5.15 Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je-li dáno: c = 43 cm a b = 21 cm. Příklad 1.5.16 Štít střechy má tvar rovnoramenného trojúhelníku. Šířka je 12,8 m, sklon střechy 38°. Vypočtěte výšku štítu. Příklad 1.5.17 V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C je a = 7 cm, c = 8 cm. Vypočítej velikost úhlu α a β. Výsledek zaokrouhli na celé stupně. Příklad 1.5.18 Vypočítej velikost úhlu α a β v pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu C. a) a = 65 mm; b = 33 mm b) c = 26 mm; b = 12 mm Příklad 1.5.19 Sílu o velikosti F = 150 N rozložte na dvě kolmé složky F1, F2 tak, aby úhel mezi silami F, F1 byl 45°. Příklad 1.5.20 Vypočtěte délky stran rovnoramenného trojúhelníku ABC, je-li dáno vc = 8,4 cm, úhel α = 32°. Příklad 1.5.21 Na hmotný bod působí dvě k sobě kolmé síly o velikostech F1 = 78 N, F2 = 46 N. Vypočtěte velikost výslednice F a úhly, které svírají síly F, F1 a F, F2. Příklad 1.5.22 Pravoúhlý trojúhelník ABC má přeponu c = 20 cm a výšku vc = 8 cm. Jak velké úseky vytíná výška vc na přeponě c? Příklad 1.5.23 Lano délky 1 500 m spojuje dvě stanice lanovky. Dolní stanice lanovky leží ve výšce 1 232 m. n. m. a horní stanice leží ve výšce 2 018 m. n. m. Jaká je vodorovná vzdálenost stanic lanovky? Příklad 1.5.24 Stožár byl upevněn dva metry pod vrcholem šesti lany o celkové délce 122,4 m. Každé z nich je upevněno ve vzdálenosti 8,4 m od paty stožáru. Jak vysoký je stožár?
- 16 -
Příklad 1.5.25 K letišti letí dvě letedla. První z nich letí rychlostí 800 km/h a je od letiště vzdáleno 255 km, druhé letí rychlostí 600 km/h a je od letiště vzdáleno 136 km. Jaká bude nejkratší vzdálenost mezi letadly za 12 minut, jestliže jejich dráhy letu jsou navzájem kolmé?
- 17 -
Výsledky 1.1 Číselné obory Příklad 1.1.1 Množina K = {16, 18, 20, 22, 24, 26, 28} Příklad 1.1.2 a) 120, b) 150, c) 620, d) 1 290, e) 7 200, f) 1 000, g) 1 440 Příklad 1.1.3 a) - 50, b) - 38, c) 32, d) - 15, e) 22, f) 48, g) - 36, h) 60, i) - 54, j) - 60, k) 42, l) - 120
Příklad 1.1.4 a) 9, b) - 25, c) 5, d) - 732, e) 6, f) - 23, g) - 2, h) - 413 3 5 3 3 Příklad 1.1.5 a) , b) , c) - , d) 4 7 4 5
Příklad 1.1.6 a)
7 1 79 17 1 3 31 13 2 127 53 57 , , , , b) , , , , c) , , , 10 4 10 5 5 25 2 40 5 200 50 20
Příklad 1.1.7 1,2; 1,0 6; 5,075; 0, 2; 0,975; 1, 36 4 3 5 7 4 21 5 5 7 4 Příklad 1.1.8 a) − , , , , , b) , , , − , − 5 4 6 8 3 27 9 18 6 3
1 37 16 5 1 13 3 26 5 3 a) , b) = 1 , c) = 2 , d) − = −2 , e) = 1 , f) 370 , 2 21 21 2 2 5 5 21 21 4 Příklad 1.1.9 8 2 49 1 g) = 2 , h) =8 3 3 6 6
Příklad 1.1.10 a) 0,1, b) − 10, c) − 3,5, d) − 15,2 Příklad 1.1.11 a)
25 1 6 1 15 7 3 = 8 , b) = 1 , c) = 1 , d) − 3 3 5 5 8 8 5
Příklad 1.1.12 a) 12, b) − 4, c) 6, d) 0 Příklad 1.1.13 a) K = {− 4; 4}, b) K = − 3;3 , c) K = R, d) K = (− 5;5) a) -4
0
4
b)
-3
0 - 18 -
3
c) 0
d)
-5 Příklad 1.1.14
0
5
a) K = {− 4; 8}, b) K = 2; 4 , c) K = (− ∞; − 3 ∪ 5; ∞ ), d) K = (− ∞; 1) ∪ (7; ∞ ), e) K = (− 8; − 2 ), f) K = (− ∞; − 5 ∪ 1; ∞ ), g) K = 1;5 , h) K = {− 5;−3}
a) -4
0
2
b) 2
0
8
3
4
c) -3
0
1
0
1
5
d) 4
7
e) -8
-5
-5
-2
-2
0
f) 0
1
g) 0
3
1
h) -5
-4 -3
0
- 19 -
5
1.2 Elementární teorie čísel Příklad 1.2.1 množina A = {105, 108, 111, 114, 117, 120, 123} Příklad 1.2.2 a) 204, 224, 244, 264, 284; b) 132, 136; c){ }, d) 5 812, 5 832, 5 852, 5 872, 5 892 Příklad 1.2.3 a) 243, b) 108, 198, c) 360, d) 621 Příklad 1.2.4 a) 240, 246 b) { }, c) 150, 450, 750, d) 372, 378 Příklad 1.2.5 a) 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5, b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5, c) 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 23 = 2 2 ⋅ 5 ⋅ 23, d) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 29 = 2 3 ⋅ 29
Příklad 1.2.6 a) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96}, b) {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150},
c) {1, 3, 7, 9, 21, 63}, d) {1, 2, 4, 8, 29, 58, 116, 232}
Příklad 1.2.7 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 = 46 189; 11 + 13 + 17 + 19 = 60 Příklad 1.2.8 15 Příklad 1.2.9 15 Příklad 1.2.10 12 Příklad 1.2.11 24 Příklad 1.2.12 360 Příklad 1.2.13 320 Příklad 1.2.14 252 Příklad 1.2.15 252 Příklad 1.2.16 a = 16 cm; 10 ks čtverců Příklad 1.2.17 autobusy odjíždí v 8 h, v 10 h, ve 12 h a ve 14 h Příklad 1.2.18 a = 5 cm, b = 6 cm Příklad 1.2.19 1 nebo 3 vnuky Příklad 1.2.20 616 dlaždic
- 20 -
Příklad 1.2.21 12 kapesníků Příklad 1.2.22 42 jablek Příklad 1.2.23 a = 144 mm; 144 kusů
- 21 -
1.3 Poměr, trojčlenka, procenta Příklad 1.3.1 44 a 66 Příklad 1.3.2 12, 20, 32 Příklad 1.3.3 45° a 105° Příklad 1.3.4 5, 15, 50 Příklad 1.3.5 a = 12 cm, b = 16,8 cm Příklad 1.3.6 a = 39 mm, b = 27 mm, 48 mm Příklad 1.3.7 o 20,25 cm Příklad 1.3.8 4 428 Kč Příklad 1.3.9 o 8 dní Příklad 1.3.10 38,88 t Příklad 1.3.11 800 Příklad 1.3.12 1 540 Příklad 1.3.13 578 žáků Příklad 1.3.14 13 600 Kč Příklad 1.3.15 10 % Příklad 1.3.16 216 dívek
- 22 -
Příklad 1.3.17 Měřítko mapy - plánu
Skutečný rozměr
Rozměr na mapě - plánu
1 : 400 000
20 km
5 cm
1 : 25 000
800 m
3,2 cm
1 : 500 000
10 km
2 cm
1 : 1 000
85 m
8,5 cm
Příklad 1.3.18 400 Kč ; o 19 % Příklad 1.3.19 22,95 t Příklad 1.3.20
Ne, cena je 1 228,80 Kč
- 23 -
1.4 Mocniny s přirozeným a celým exponentem Příklad 1.4.1 a ) 4 ⋅ 2 4 = 64; b) − 11 ⋅ 610 ; c) 11b 3 ; d ) 6 ⋅ 2 2 = 24; e) 3b; f ) − 2 y 6 Příklad 1.4.2 a ) 221; b) 8 ⋅ 5 5 − 3 ⋅ 10 6 ; c) − 6n 2 + 4n; d ) 4a 3 Příklad 1.4.3 a ) 35 ; b) 512 ; c) d 10 ; d ) k 6 ; e) 812 ; f ) s 9 t 2 Příklad 1.4.4 a ) 5 2 ; b) 7 3 ; c) g 5 ; d ) y; e) 4 4 ; f ) r 3 Příklad 1.4.5 a ) 5 2 ; b) 35 Příklad 1.4.6 a ) 4 3 ⋅ 5 3 ; b) 218 ⋅ 7 6 ; c) x 2 y 6 ; d ) m16 n 36 Příklad 1.4.7 a ) 3b 9 ; b) − 4a 6 + 4a 5 ; c) − x 7 − 2 x 6 32 317 ⋅ 5 2 5 2 2 Příklad 1.4.8 a ) ; b) 3 ⋅ 2; c) 3 ; d ) 5 ; e) 2 2 25 Příklad 1.4.9 a ) ab −1c −1 ; b) a 4 c −1 ; c) ab −4 c Příklad 1.4.10 a ) 6a 2 b 3 ; b) 20a 5 b 4 ; c) 4 xy 4 ; d ) 7 x 2 y 8 Příklad 1.4.11 a ) 6a 8 b10 ; b)
4ab 5 3
Příklad 1.4.12 a )
512a 6 2a 5 d 2 16b 7 c 2 11 ; b ) a bc ; c ) ; d ) c 729b 6 c 9 a4
Příklad 1.4.13 a )
b 30 c15 20 3 x 3 16b 7 c ; b ) ; c ) a 12 d 12 33 b 3 a4
- 24 -
1.5 Pravoúhlý trojúhelník Příklad 1.5.1 66,6 cm 2 Příklad 1.5.2 13 cm Příklad 1.5.3 8,9 m Příklad 1.5.4 14,4 cm Příklad 1.5.5 5 520 Kč Příklad 1.5.6 74,6 m Příklad 1.5.7 16 m Příklad 1.5.8 o = 32 cm, S = 36 cm 2 Příklad 1.5.9 5,9 m Příklad 1.5.10 16 m Příklad 1.5.11 53,8 cm Příklad 1.5.12 b = 19,2 cm; α = 53°10' ; β = 36°50' Příklad 1.5.13 a = 7,8 cm; b = 4,5 cm; α = 60°; β = 90° Příklad 1.5.14 α = 27°; β = 63° Příklad 1.5.15 a = 37,5 cm; α = 61°; β = 29° Příklad 1.5.16 v = 5 m Příklad 1.5.17 α = 61°; β = 29° Příklad 1.5.18 a) α = 63°; β = 27°; b) α = 62,5°; β = 27,5° Příklad 1.5.19 F1 = 106 N; F2 = 106 N Příklad 1.5.20 a = b = 15,9 cm; c = 26,9 cm Příklad 1.5.21 F = 90,6 N; α = 59°; β = 31°
- 25 -
Příklad 1.5.22 16 cm; 4 cm Příklad 1.5.23 s = 1 278 m Příklad 1.5.24 v = 20,6 m Příklad 1.5.25 96 km
136 km
L 255 km Obrázek 2 Nákres k příkladu
Nejprve vypočítáme vzdálenosti, které letadla urazí za 12 minut = 0,2 h. 1. letadlo: s1 = v1 . t = 800 . 0,2 = 160 km; 2. letadlo: s2 = v2 . t = 600 . 0,2 = 120 km. O tyto vzdálenosti se letadla za 12 minut přiblížila k letišti, takže v daném okamžiku je první letadlo vzdáleno od letiště 95 km a druhé letadlo pouhých 16 km. Nyní použijeme Pythagorovu větu pro výpočet přepony.
l 2 = s1 + s 2 2
2
l 2 = 95 2 + 16 2 l = 9 281
16 km
l = 96 km
95 km
Obrázek 3 Nákres k příkladu
- 26 -
Seznam použité literatury •
CALDA, E., PETRÁNEK, O., ŘEPOVÁ, J. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 1. část. Dotisk 6. vydání. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 978 80-7196-041-1.
•
JIRÁSEK, F., BRANIŠ, K., HORÁK, S., VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU 1. část. Dotisk 5. vydání. Praha : Prometheus, 2004. ISBN 80-85849-55-0.
•
BĚLOUN, F. a kol. Sbírka úloh z matematiky pro základní školu. Dotisk 7. vydání. Praha : Prometheus, 1995. ISBN 80-85849-63-1.
•
KUČINOVÁ, E. Matematická cvičení s diferencovaným zadáním. 1. vydání. Praha : SPN, 2004. ISBN 80-7235-259-8.
•
BUŠEK, I., CALDA, E. Matematika pro gymnázia Základní poznatky z matematiky. 4. vydání. Praha : Prometheus, 2008. ISBN 978-80-7196-366-0.
- 27 -
Seznam obrázků Obrázek 1 Čtyřúhelník ABCD ................................................................................................. 15 Obrázek 2 Nákres k příkladu .................................................................................................... 26 Obrázek 3 Nákres k příkladu .................................................................................................... 26
- 28 -
S EZNAM POUŽITÝCH IKON 1. Průvodce studiem
2. Literatura
3. Klíč k úkolům
- 29 -
