Gymnázium Globe, s. r. o., Bzenecká 23, 628 00 Brno
5.2 Vzdělávací oblast - Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika 5.2.2 Cvičení z matematiky Ročník Hodinová dotace Matematika Cvičení z matematiky
1.
2.
3.
4.
3
3
3
2
0
0
R (2)
R (2)
Vyučovací předmět Matematika vychází ze vzdělávacího obsahu oboru Matematika a její aplikace RVP G a je koncipován jako samostatný předmět zařazený ve všech ročnících studia. Žáci mohou od 3. ročníku navštěvovat volitelný předmět Cvičení z matematiky, který prohlubuje a doplňuje základní učivo a kompetence. Matematika rozvíjí především logické myšlení, ale také paměť. Napomáhá rozvoji abstraktního a analytického myšlení, vede ke srozumitelné a věcné argumentaci. Učí pamatovat si pouze nejpotřebnější informace a vše ostatní si odvodit. Významným aspektem je rozvoj geometrické představivosti, jak v rovině, tak v prostoru. Během studia žáci získají základní informace ze všech moderních partií matematiky, důraz je kladen na komplexnost a souvislosti jak mezi jednotlivými matematickými partiemi, tak i s ostatními přírodovědnými obory, ale také na užití matematického aparátu v ostatních vědních disciplínách i v běžném životě. V hodinách je kladen důraz na soustavné procvičování probíraného učiva, při němž jsou žáci nuceni vysvětlovat svůj postup. Učitelé žáky vedou k systematičnosti a vytrvalosti při hledání správného a úplného řešení. Pozornost je věnována i zapojování žáků do matematických soutěží (Matematický klokan a Matematická olympiáda). Průřezová témata: • Mediální výchova Výchovné a vzdělávací strategie: Učitel • prokládá výklad názornými příklady • zařazuje do vyučování práci s chybou, vede žáky k odhalování záměrných chyb ve výkladu • vhodně zadává domácí úkoly a pomocí nich umožňuje žákům kontrolovat vlastní úspěšnost • zařazuje vhodné slovní úlohy, a tím posiluje vazbu učiva k reálnému světu • zařazuje do výuky matematické rozcvičky • vhodně volí úlohy, které lze algoritmizovat • společně s žáky vytváří algoritmy řešení, které potom slouží jako pomůcka při řešení úloh obdobných • upozorňuje žáky na chyby, kterých se při práci mohou dopustit, a ukazuje jim metody odstranění • systematičnost a zkouška • s žáky odvozuje vzorce a podporuje jejich odvozování během řešení úloh • zařazuje práci s přehledy vzorců • pomocí vhodných úloh ukazuje a s žáky hledá různé metody řešení související s různými oblastmi matematiky (geometrické a algebraické řešení apod.) • vede žáky k využívání náčrtků při řešení úloh • vede žáky k hledání dalších řešení, jestliže jejich nejsou správná nebo úplná • vede žáky ke komentáři svého postupu při řešení úloh u tabule 200
Gymnázium Globe, s. r. o., Bzenecká 23, 628 00 Brno
• • • • • •
vede žáky, aby vysvětlili svoji strukturu řešení a jasně formulovali závěr využívá tabulku a graf při vyjádření svých myšlenek vede diskusi při řešení úlohy a dbá na respektování názorů i nesprávných oceňuje žáky, kteří se dovedou konkrétně zeptat na nejasnost či problém volí přiměřeně náročné úlohy pro různé skupiny žáků podporuje vhodnou vzájemnou pomoc při řešení úloh
Klíčové kompetence: • Kompetence k učení – žák/yně – efektivně využívá různé strategie učení k získání a zpracování poznatků a informací, hledá a rozvíjí účinné postupy ve svém učení, uvádí jednotlivé poznatky do souvislosti • Kompetence k řešení problémů – žák/yně – rozpozná problém, objasní jeho podstatu, rozčlení ho na části; vyváří hypotézy, navrhuje postupné kroky, zvažuje využití různých postupů při řešení problému nebo ověřování hypotézy; zvažuje možné klady a zápory jednotlivých variant řešení, včetně posouzení jejich rizik a důsledků • Kompetence komunikativní – žák/yně – se výstižně a souvisle vyjadřuje k určité problematice; používá s porozuměním odborný jazyk a symbolická a grafická vyjádření informací různého typu; efektivně využívá moderní informační technologie • Kompetence sociální a personální – žák/yně – rozhoduje se na základě vlastního úsudku, odolává společenským a mediálním tlakům • Kompetence občanské – žák/yně – promýšlí souvislosti mezi svými právy, povinnostmi a zodpovědností • Kompetence k podnikavosti – žák/yně – využívá a rozvíjí své schopnosti a dovednosti Očekávané výstupy: Žák: 1 čte a zapisuje tvrzení v symbolickém jazyce matematiky 2 užívá správné logické spojky a kvantifikátory 3 rozliší definice a větu, rozliší předpoklad a závěr věty 4 rozliší správný a nesprávný úsudek 5 vytváří hypotézy, zdůvodňuje jejich pravdivost a nepravdivost, vyvrací nesprávné tvrzení 6 zdůvodňuje svůj postup a ověřuje správnost řešení problému 7 užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel 8 operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty 9 provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy 10 odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí, účelně využívá kalkulátor 11 upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu 12 rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic 13 řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších příkladech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení 14 rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy 15 geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy, graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav 16 analyzuje a řeší problémy, nichž aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav 17 řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možní případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet) 18 využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti, upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly 19 diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení
201
Gymnázium Globe, s. r. o., Bzenecká 23, 628 00 Brno
20 volí a užívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat (využívá výpočetní techniku) 21 reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a grafy, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k jejich odlišným charakteristikám 22 načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednouchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti 23 formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností 24 využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů 25 aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi 26 modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí 27 řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a posloupnostech 28 interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice 29 používá geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině v prostoru, na základě vlastností třídí útvary 30 určuje vzájemnou polohu lineárních úvarů, vzdálenosti a odchylky 31 využívá náčrt při řešení rovinného nebo prostorového problému 32 v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravy výrazů, pracuje s proměnnými a iracionálními čísly 33 řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím všech bodů dané vlastnosti, pomocí shodných zobrazení a pomocí konstrukce na základě výpočtu 34 zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol a jehlan, sestrojí a zobrazí rovinný řez těchto těles 35 řeší planimetrické a stereometrické problémy motivované praxí 36 užívá různé způsoby analytického vyjádření přímky v rovině (geometrický význam koeficientů) 37 řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních útvarech v rovině 38 využívá charakteristické vlastnosti kuželoseček k určení analytického vyjádření 39 z analytického vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce 40 řeší analyticky úlohy na vzájemnou polohu přímky a kuželosečky
202
Gymnázium Globe, s. r. o., Bzenecká 23, 628 00 Brno
Vzdělávací oblast:
Vzdělávací obor:
Člověk a příroda Očekávané výstupy žáka 3, 4, 5, 6 1, 6 1, 2, 4, 5
7, 8, 10
9
11, 12
13, 14, 15, 16
Předmět:
Matematika a její aplikace
Rozpracované výstupy žáka
Matematika Učivo
rozumí logické stavbě matematické věty
provádí správně operace s množinami, množiny využívá při řešení úloh operuje s intervaly jako s příklady množiny pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory dokáže určit prvky číselných množin aplikuje znaky dělitelnosti určí prvočíselný rozklad prvočísla určí největší společný dělitel a nejmenší společný násobek čísel vhodně převádí odmocniny na mocniny zapisuje výsledek v různých tvarech sečte, odečte, vynásobí a vydělí mnohočleny rozloží mnohočlen pomocí vytýkání nebo vzorce určí společného dělitele a společný násobek mnohočlenů vyjádří neznámou ze vzorce sečte, odečte, vynásobí a vydělí lomené výrazy určuje definiční obor proměnné využívá ekvivalentních úprav při řešení rovnic, zjišťuje počet řešení řeší jednoduché slovní úlohy pomocí lineárních kvadratických rovnic algebraicky i graficky řeší lineární nerovnice a jejich soustavy interpretuje výrazy |x-a |
Základní poznatky z matematiky – výrok, definice, věta, důkaz Množiny – inkluze a rovnost množin, operace s množinami Výroková logika
Průřezová témata
Ročník, pozn.
1. 1. 1.
Číselné obory – přirozená, celá, racionální a reálná čísla
1. Mocniny – mocniny s přirozeným, celým a racionálním exponentem, odmocniny Výrazy s proměnnými – mnohočleny, lomené výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami
Rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou
1.
1.
1.
Gymnázium Globe, s. r. o., Bzenecká 23, 628 00 Brno
22, 23
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28
29, 30, 31, 32, 33, 35
29, 31, 32, 34, 35
17
řeší pomocí různých metod soustavu rovnic o dvou neznámých využívá vhodné metody řešení lineárních rovnic o třech a více neznámých řeší kvadratickou rovnici rozkladem využívá vzorců při řešení kvadratické rovnice načrtne grafy funkcí daných předpisem a určí jejich vlastnosti určí definiční obor funkce z jejího předpisu a grafu z grafu funkce určí funkční hodnoty v daných bodech načrtne graf funkce daných vlastností aplikuje znalost parametrů v předpisech funkcí při zakreslování jejich grafů řeší kvadratické nerovnice užitím grafu kvadratické funkce
používá geometrické pojmy ve správných souvislostech a zapíše je pomocí matematických symbolů využívá shodnosti, podobnosti trojúhelníků, Pythagorovy věty a Euklidových vět při řešení slovních úloh z praxe zobrazí geometrický útvar ve shodném zobrazení a ve stejnolehlosti
využije znalosti výpočtů povrchů a objemů těles na příkladech z praxe
upravuje výrazy a řeší rovnice s faktoriály a kombinačními čísly rozliší variace, permutace a kombinace bez opakování užívá pravidlo součinu a součtu při řešení kombinatorických úloh pomocí binomické věty umocní dvojčlen 204
Obecné poznatky o funkcích – pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkce
Funkce – lineární, kvadratická, lineární lomená, funkce absolutní hodnota, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální , logaritmické, goniometrické Logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice Geometrie v rovině – rovinné útvary (klasifikace), obvody a obsah; shodnost a podobnost trojúhelníků; Pythagorova věta a věty Euklidovy; množiny bodů dané vlastnosti; úhly v kružnici, shodná zobrazení (osová a středová souměrnost, posunutí, otočení); stejnolehlost; konstrukční úlohy Geometrie v prostoru – polohové a metrické vlastnosti, základní tělesa, povrchy a objemy těles, volné rovnoběžné promítání Kombinatorika – elementární kombinatorické úlohy, variace, permutace a kombinace (bez opakování), binomická věta, Pascalův trojúhelník
2.
2.
2.
3.
3.
Gymnázium Globe, s. r. o., Bzenecká 23, 628 00 Brno
18
19, 20, 21
používá základní pojmy z pravděpodobnosti ve správných souvislostech zapíše výčtem množinu všech možných výsledků náhodného pokusu využívá znalosti průniku a sjednocení jevů při řešení úloh rozliší závislé a nezávislé jevy na daném příkladu objasní pojem aritmetický průměr, medián, modus, percentil, kvartil, směrodatná odchylka, mezikvartilová ochylka a tyto charakteristiky vypočítá, situaci znázorní pomocí tabulky a grafu
aplikuje znalosti řešení pravoúhlého a obecného trojúhelníku na příkladech z praxe 30, 32
36, 37, 38, 39, 40
23, 27, 28
určí vzájemnou polohu dvou přímek určí vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost dvou rovnoběžek a odchylku přímek převede obecnou rovnice kuželosečky z obecného do vrcholového/středového tvaru a určí z něj základní charakteristiky, danou kuželosečku načrtne v soustavě souřadnic určí rekurentní zadání posloupnosti určí posloupnost pomocí vzorce pro n-tý člen pomocí geometrické posloupnosti řeší příklady z finanční matematiky (úrokování)
205
Pravděpodobnost – náhodný jev a jeho pravděpodobnost, pravděpodobnost průniku a sjednocení jevů, nezávislost jevů
Práce s daty – analýza a zpracování dat v různých reprezentacích, statistický soubor a jeho charakteristiky (vážený aritmetický průměr, medián, modus, percentil, kvartil, směrodatná odchylka, mezikvartilová odchylka) Goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi Trigonometrie – sinová a kosinová věta, trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku Analytická geometrie v rovině – vektory a operace s nimi, analytická vyjádření přímky v rovině, kuželosečky (kružnice, elipsa, parabola, hyperbola)
Posloupnost – určení a vlastnosti posloupnosti, aritmetická a geometrická posloupnost
MV – Mediální produkty a jejich význam
3.
MV – Mediální produkty a jejich význam
3.
4.
4.
MV – Mediální produkty a jejich význam
4.
Gymnázium Globe, s. r. o., Bzenecká 23, 628 00 Brno
Vzdělávací oblast:
Člověk a příroda Očekávané výstupy žáka
1, 2, 3, 4, 5 13, 14
8, 9, 15
31, 38
42
1 – 42
Vzdělávací obor:
Předmět:
Matematika a její aplikace
Rozpracované výstupy žáka
Cvičení z matematiky Učivo
přímý důkaz a důkaz sporem
používá přímý důkaz a důkaz sporem při důkazu jednoduché matematické věty řeší lineární a kvadratické rovnice s parametrem řeší kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel užívá Gaussovu rovinu k zobrazení komplexních čísel vyjádří komplexní číslo v algebraickém a goniometrickém tvaru vypočítá absolutní hodnotu a argument komplexního čísla a chápe jejich geometrický význam provádí aritmetické operace s komplexními čísla umocňuje komplexní čísla užitím Moivreovy věty užívá parametrické vyjádření roviny a obecnou rovnici roviny určí a aplikuje v úlohách polohové a metrické vztahy bodů, přímek a rovin s porozuměním užívá pojmy vlastní a nevlastní limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost využívá věty o limitách posloupnosti k výpočtu limity posloupnosti užívá podmínky konvergence nekonečné geometrické řady a vypočítá její součet řeší i složitější úlohy z celé oblasti středoškolské matematiky
Průřezová témata
Ročník, pozn.
3. – 4.
rovnice
3. – 4. komplexní čísla
3. – 4.
analytická geometrie v prostoru
4. limita posloupnosti a nekonečná geometrická řada
4.
opakování a prohlubování učiva středoškolské matematiky
206
3.,4.
