1 VÝZNAM Algebraický výraz se zavádí intuitivn – bez p esn ího vymezení a v kolizi s názvy dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fale ná p edstava, e ísla ozna ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímané skute nosti. P edstava, které se pejorativn íká kupecké po ty. Potí s matematikou tkví v tom, e áci nev dí, e ísla ádné mno ství neozna ují, ale e jsou to symboly ve h e se zcela p esnými pravidly, a i kdy se ísla dají pou ít k ozna ení mno ství i délky i úhlu, je to sice velmi u ite né, ale pro hru zvanou matematika zcela nepodstatné. Up esn ní významu slova VÝRAZ má pomoci v lep ím vhledu do logiky matematiky. ALGEBRAICKÝ VÝRAZ
je p edpis jedné nebo více matematických operací. OPAKOVÁNÍ
m2 Je výrazem a ⋅ ? x+ y ANO! Je to p edpis, který obsahuje blí e neur ené znaky (a; m; x; y – nevíme zda jsou to konstanty i prom nné a neznáme jejich hodnotu) a operátory násobení, umoc ování, d lení (co je operátorem d lení v daném p íkladu?) a s ítání.
ÍKLADY a) 3 (není, neobsahuje operátor) e) a ⋅
b c
x 3
b) 3 + a
c)
f) abx
g) 5c
d) 1 – 2 h) 5.3 – b
b Pro jednou pí eme operátor násobení ( a ⋅ ) a podruhé jej nepí eme (abx)? c Operátor násobení pí eme jenom 1 3 1 7 • Tam, kde je to nezbytn nutné (nap . 3 ⋅ = na rozdíl od 3 = ) 2 2 2 2 • Pro v í p ehlednost
(
)
i) a x 3 − 1 k)
3 4
j) x2 – 1 = 8 l) b5
(není, to je u rovnice; srovnání matematického výrazu na jedné stran s hodnotou znaku na druhé stran )
m) x
(není, je to nerovnice;
n) x (není, neobsahuje operátor) o) a ≤ 1 srovnávání hodnot znak )
M a te m a t ik a v á s n e m á n a u i t p o í t a t, matematika vás má nau it pravidl m a jejich pou ívání!
!
2 ZAPI TE JAKO VÝRAZ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
sou et dvojnásobku znaku x a ísla 5……………..... 2x + 5 dvojnásobek sou tu znaku x a ísla 5………………. 2(x + 5) druhou mocninu rozdílu znak m a n………………. (m – n)2 rozdíl druhých mocnin znak m a n………………... m2 – n2 sou in výraz 2r a 7s zmen ený o jejich rozdíl……. 14rs – (2r – 7s) nebo také 14rs – 2r + 7s rozdíl výraz 2r a 7s (v tomto po adí) zv ený o jejich sou et 4r Ve t íd je d dívek a chlapc je o 3 mén ne dívek. Zapi výrazem po et ák ! 2d – 3 5 8) Sada esti výrobk stojí v K . Jakou ástku stojí 5 výrobk ? v 6 9) Rychlík jede pr rnou rychlostí b kilometr za hodinu. 17b Jakou dráhu ujede za 17 minut? 60 10) Auto ujelo za 3 hodiny a km. Kolik kilometr ujede auto stejnou rychlostí za 4 hodiny?
4a 3
π 1 , výrazy s prom nnou nap . 5 − a je-li prom nná ve zlomku 2 x −1 (jako v daném p íkladu) jde o lomený výraz. Prom nnou ve výrazu rozumíme znak, který ozna uje libovolné íslo z ur ité mno iny, kterou nazýváme obor prom nné nebo defini ní obor výrazu. Pokud není obor prom nné výslovn ur en, pova ujeme za obor prom nné mno inu v ech ísel, která lze do výrazu dosadit, ani ztratí smysl n která z uvedených operací (nedochází nap . k d lení nulou, odmoc ování záporného ísla apod.). íkáme, e pro hodnoty z defini ního oboru má výraz smysl. Dosadíme-li za prom nné do výrazu libovolná ísla, pro která má daný výraz smysl, a provedeme v echny p edepsané operace, dostaneme jako výsledek íslo – hodnotu výrazu.
Známe íselné výrazy nap . 32 – 1; 4 –
íklady Vyhodno , který p íklad je výrazem a uve mno inu, ve které má smysl a 1) a+1 2) a – 1 3) 4) a 3 1 q1q2 5) 4 +3 6) 8) πr 2 7) π 2 4πε 0 r
9)
+
10)
11)
1 a −1
12)
1 2 a 3
1) Je výrazem a má smysl: v mno in p irozených ísel N, v mno in celých ísel Z, v mno in racionálních ísel Q a v mno in reálných ísel R 2) Je výrazem a má smysl: v mno in celých ísel Z, v mno in racionálních ísel Q a v mno in reálných ísel R. V mno in p irozených ísel N smysl nemá, proto e v bodu a = 1 je hodnota výrazu rovná nule a nula do mno iny p irozených ísel nepat í. 3) Je výrazem a má smysl: v mno in racionálních ísel Q a v mno in reálných ísel R. 4) Je výrazem a má smysl: v mno in kladných reálných ísel R+ {a ∈ R; a ≥ 0} . 5) Je výrazem a má smysl: v mno in ovoce (plod atd.)
6) Je výrazem a má smysl: v mno in reálných ísel R – {0} ( teno: v mno in reálných ísel mimo bodu r = 0).
3
7) Není výrazem. 8) Je výrazem a má smysl: v mno in p irozených ísel N, v mno in celých ísel Z, v mno in racionálních ísel Q a v mno in reálných ísel R 9) Je výrazem a má smysl: v mno in domácích zví at 10) Není výrazem 11) Je výrazem a má smysl v mno in racionálních ísel Q – {1} a v mno in reálných ísel R – {1} teno: v mno in reálných ísel mimo bodu jedna) 12) Je výrazem a má smysl: v mno in racionálních ísel Q a v mno in reálných ísel R. Udejte, kdy mají smysl následující výrazy: a)
2− x ( x ≠ 0) 2x
d)
x+2 ( x − 2 )( x − 3)
f)
x−7
b)
3 ( x ≠ 0) 4x 2
( x ≠ 2, x ≠ 3)
( x ≥ 7)
g)
c)
1 ( x ≠ 1) x −1
e)
4 (v mno in R v dy) x +1 2
x 2 + 3 (v mno in R v dy)
Tedy defini ními obory výraz jsou: a) R – {0} , b) R – {0} , c) R – {1} , d) R – {2;3} , e) R , f)
{ x ∈ R; x ≥ 7} , g) R
Hodnota výrazu 1) Ur ete hodnotu výrazu: 5x − x 2 a) pro x = – 2 a pro x = 3 7 −6 − x b) pro x = – 2 a pro x = 3 2 c) ( 3 x − 2 ) x pro x = 0; 0,5; 1; 2; –3 d)
2 x −1 4 − x − 3 2
e)
5 ( 2 x − 3) + 4 ( x 2 − 9 ) pro x = 3; –1; –3;
pro x = 4; 0; 1; –2;
1 2
1 2
6 7 9 –2; − 2 0; –0,25; 1; 8; 33
–2;
7 1 7 5 7 ; −2 ; − ; −3 ; − 3 3 6 3 4
15; –57; –45; –45
3 ( 2 − 3 x ) − 4 (1 − x 2 ) pro x = 3; –2; –1; −
1 1 11; 36; 15; 5 2 2 2 2 2 2) Zjednodu te výraz 2 x + 3 x − x − 6 x + 3 − x + 5 a správnost výrazu ov te dosazením x = –2 do daného i upraveného výrazu. ( −3 x + 8; 14 )
f)
Výraz 2 x 2 + 3 x − x 2 − 6 x + 3 − x 2 + 5 u pat í do zvlá tní kategorie výraz , kterým se íká mnoho leny. Mnoho len s jednou prom nnou je výraz tvaru nap . ax4 – bx3 + cx – 5; kde a, b, c jsou koeficienty mnoho lenu a x je prom nná. Výrazy ax4, bx3, cx a 5 jsou leny (jedno leny) mnoho lenu. Pojem mnoho lenu lze ilustrovat i na p ípadu více prom nných, kde místo mocnin x jedné prom nné jsou sou iny mocnin n kolika prom nných. Uvedu n kolik p íklad : 2 x3 y − 5 xy 2 + y + 1 ; x 2 − 3 y 2 + 2 ; x 7 − y + z 2 ; xy + yz + xz Se ítat a od ítat m eme jen ty leny mnoho lenu, které se li í nanejvý koeficientem:
!
( x3 + 3x 2 y + 2 xy 2 + y3 ) + ( x + 2 x 2 y − 3xy 2 ) = x3 + x + 3x2 y + 2 x2 y + 2 xy 2 − 3xy 2 + y 3 = = x 3 + x + 5 x 2 y − xy 2 + y 3
4
i násobení mnoho len je t eba ka dý len jednoho mnoho lenu násobit ka dým lenem druhého mnoho lenu. P i násobení jednotlivých len se ídíme pravidlem pro násobení mocnin: am . a n = a m+n
!
íklad:
( 2 x − 3) ( 3x 2 + 5x − 6) = 2 x.3x 2 + 2 x.5x + 2 x.( −6) + ( −3) .3x 2 + ( −3) .5 x + ( −3) . ( −6) = = 6 x 3 + 10 x 2 − 12 x − 9 x 2 − 15 x + 18 = 6 x 3 + x 2 − 27 x + 18 Zvlá tním p ípadem násobení mnoho len je druhá mocnina dvoj lenu a tak zvaný rozdíl tverc . Postupujeme podle vzorc :
( A + B)
2
( A − B)
= A2 + 2 AB + B 2 ;
2
= A2 − 2 AB + B 2 ;
( A + B )( A − B ) = A2 − B 2
Pro jsou leny dvoj lenu ona eny velkým písmenem? Proto e ozna ují mo nost nahrazení velkého 2 písmena dal ím mnoho lenem. Tak nap . ve vzorci ( A − B ) = A2 − 2 AB + B 2 m e být A = ax + b (nebo jakýkoliv jiný mnoho len) a B = 3 (nebo také dal í mnoho len); to znamená, e
( ax + b − 3)
2
!
= ( ax + b ) − 2 ( ax + b ) .3 + 32 = a 2 x 2 + 2abx + b 2 − 6ax − 6b + 9 2
íklad: 2
2
1 1 1 1 2 2 a − = a − 2a ⋅ + = a − a + 2 2 2 4
i d lení mnoho lenu jedno lenem je t eba ka dý len mnoho lenu d lit jedno lenem. ídíme se p i tom pravidlem pro d lení mocnin. a m : a n = a m− n íklad:
15a 3 x 5 − 10a 4 x 4 − 25a 5 x3 15a 3 x 5 10a 4 x 4 25a 5 x3 = − − = 3 x 2 − 2ax − 5a 2 3 3 3 3 3 3 3 3 5a x 5a x 5a x 5a x imn te si, e zápis d lení ve tvaru zlomk je daleko p ehledn klasického d lení.
í ne zápis ve tvaru
(15a 3 x 5 − 10a 4 x 4 − 25a 5 x3 ): 5a 3 x 3 = 15a 3 x 5 : 5a 3 x 3 – 10a 4 x 4 : 5a 3 x 3 – 25a5 x 3 : 5a 3 x 3 = = 3 x 2 − 2ax − 5a 2 íklady a)
( 7 a − 3b + 2 ) + ( 4b − 2a − 1) =
5a + b + 1
b)
( −2k + 8c − 1) + ( 2 − 5c ) + ( 9k − 3 + 4c ) =
7 k + 7c − 2
c)
( 5m
3m 2 + 2am + 5,5a 2
2
− 4am + 2a 2 ) + ( 3,5a 2 + 6am − 2m 2 ) =
!
5 5 2 1 d) t + r − 2 + 5 − r + 0, 7t = 6 5 3
1 1,1t − r + 3 2
e) a 2 + ( b 2 − c 2 ) + b 2 − ( a 2 + c 2 ) − c 2 − ( a 2 − c 2 ) =
−a 2 + 2b 2 − 2c 2
f)
( a − b ) − ( b + c − d ) + ( b + c − d ) + ( 2b − a ) =
b
g) 3. ( 2r 2 − 6r + 0, 2 ) − 2. ( 0,5r 2 + 2r − 1, 7 ) = h)
( 5d − 2 ) + ( 4 + 2d ) 2
2
+ ( 2d − 3d 2 ) .2 =
i) Ur ete výraz, který musíme p
1 7, 4n + 30 − 2
5r 2 − 22r + 4
p .
23d 2 + 20
2 íst k výrazu 5n − 20 + p , abychom dostali výraz 3 7 2, 4n + 50 − p 6
2 j) Ur ete výraz, který musíme ode íst od výrazu k 2 − 2k + 0, 6 , abychom dostali výraz 5 2 0,1k 2 − 2,5k + 6,9 ( 0,3k + 0, 5k − 6,3) . k)
( −3ab ) ( 4a 2b − 2ab2 + 7ab − 5a 2 ) =
l)
(1, 4 z
2
−12a 3b 2 + 6a 2b3 − 21a 2b2 + 15a3b
− 2 z + 0,3) . ( −4 z 2 ) =
−5, 6 z 4 + 8 z 3 − 1, 2 z 2
m) (11 j − 3)( 0, 9 − 4 j ) =
−44 j 2 + 21,9 j − 2, 7
n)
( 7b − 2 y )( 5 y − 3b ) =
−21b 2 + 41by − 10 y 2
o)
( −x + 2 y)
=
x 2 − 4 xy + 4 y 2
p)
(10 − 2a )
=
100 − 40a + 4a 2
q)
( −3b − 2 )
2
2
2
=
POZOR! To je jako ( −1)( 3b + 2 ) = ( −1) ( 3b + 2 ) = 9b 2 + 12b + 4 2
2
2
anebo: ( −3b ) − 2 ( −3b ) .2 + ( −2 ) = 9b 2 + 12b + 4 2
r)
( y − 0,1)
2
=
2
y 2 − 0, 2 y + 0, 01
Rozklad mnoho len na sou in: Jde o vyjád ení mnoho lenu ve tvaru sou inu n kolika mnoho len nap . z d vodu krácení v lomeném výrazu. Provádí se nej ast ji pomocí tzv. vytýkání nebo pou itím vhodných vzorc . Vytýkání: Je zalo eno na distributivním zákonu A . C + B . C = C. ( A + B ) V konkrétních p ípadech bývá nejv ím problémem poznat spole ného d litele jednotlivých len . íklad: 15m 2 − 6m = 3m ( 5m − 2 )
6 x 2 y 3 − 8 x 4 yz = 2 x 2 y.3 y 2 − 2 x 2 y.4 x 2 z = 2 x 2 y ( 3 y 2 − 4 x 2 z )
6 Pou ití vzorc :
A2 + 2 AB + B 2 = ( A + B ) ; 2
A2 − 2 AB + B 2 = ( A − B ) ; 2
A2 − B 2 = ( A + B )( A − B )
i rozkladu na sou in lze asto pou ít vý e uvedených vzorc pro druhé mocniny dvoj lenu. íklad: 2 2 xy 2 − 20 xy + 50 x = 2 x ( y 2 − 10 y + 25 ) = 2 x ( y − 5 )
a 2 − 6a + 9 − b 2 = ( a − 3) − b 2 = ( a − 3 + b )( a − 3 − b ) (rozdíl tverc ) Pozor: astým omylem je pokus vytvo it i vzore ek pro rozklad sou tu tverc . Tento dvoj len nelze v mno in reálných ísel rozlo it. Sou et tverc lze rozlo it na sou in pouze v oboru komplexních ísel, který se na Z nevyu uje. asto vede k cíli i postupné vytýkání, nap .: ( 3ac − 7a ) − ( 7 − 3c ) = 3ac + 3c − 7 a − 7 = 3c ( a + 1) − 7 ( a + 1) = ( a + 1)( 3c − 7 ) kdy vede k cíli dopln ní výrazu na druhou mocninu n jakého dvoj lenu se sou asným ode tením dopl ku a následným pou itím vzorce pro rozdíl tverc – viz p íklad: Výraz x 2 − 6 x + 5 nelze vytknutím zm nit v sou in a výraz nelze ani rozlo it podle vzorce. Zkusíme doplnit na druhou mocninu dvoj lenu ( x − 3) a to, co jsme doplnili vzáp tí ode íst. 2
x 2 − 6 x + ( 5 + 4 ) − 4 = x 2 − 6 x + 9 − 4 = ( x − 3) − 22 = ( x − 3 + 2 )( x − 3 − 2 ) = ( x − 1)( x − 5 ) Z p íkladu jasn vyplývá, e tato cesta vede k cíli jen tehdy, je-li dopln k druhou mocninou. 2
íklady 2 ( 2 x − 3)
1. 4 x − 6 =
4 y ( 2x − 3 y )
2. 8 xy − 12 y 2 =
( −3 z )( 2 z + 3 + 4 y ) 2 (3 − v ) 4 (t − 2) ( x − 1)( a − b )
3. −6 z 2 − 9 z − 12 zy = 4. 3 − v − ( v − 3) = 5. 5 ( t − 2 ) + 2 − t = 6. ax − bx − a + b =
( r − 1) ( r 2 + 1)
7. r 3 − r 2 + r − 1 = 8.
( 3a + y )
2
( 3a + y − c )( 3a + y + c )
− c2 =
5 y2 ( y − 4)
9. 5 y 4 − 40 y 3 + 80 y 2 =
( 2s − u )( 3k − 1)
10. 3k ( 2 s − u ) + u − 2a =
( a − 8) ( a2b − 1)
11. 8 − s + a 2b ( s − 8) =
( 2m − 1)( 3t − 4 )
12. ( 2m − 1) 3t − 4 ( 2m − 1) = 13. ( 4a − b ) ( −3v ) − 2 ( b − 4a 2
14. 2nz + ky + kz + 2ny = 15. 3ac + 2d − 3ad − 2c = 16. 50k 2 − 32 p 2 = 17. 5d 2 − 5d + 1, 25 =
2
2
)=
( 4a
2
− b ) ( 2 − 3v )
( z − y )( 2n + k ) ( 3a − 2 )( c − d ) 2 ( 5k − 4 p )( 5k + 4 p )
5 ( d − 0,5 )
2
7 Lomený výraz Lomeným výrazem nazýváme výraz, který lze zapsat ve tvaru podílu dvou mnoho len . Pou íváme stejné termíny jako u ísel a zlomk – itatel, jmenovatel, nejmen í spole ný násobek a d litel, spole ný jmenovatel apod. Lomené výrazy m eme podobn jako zlomky roz ovat, krátit, se ítat, od ítat, násobit, d lit a umoc ovat podle stejných pravidel jako zlomky. V dy v ak uvádíme, kdy mají dané výrazy smysl. íklad: 2 2 4 ( x − 2) 4 x 2 − 16 x + 16 4 ( x − 4 x + 4 ) = = = 6 x 2 − 24 6 ( x − 2 )( x + 2 ) 6 ( x2 − 4)
=
2 ( x − 2) 3( x + 2)
/vlo ená poznámka: 4 proti 6 lze krátit bez problém . x – 2 v itateli proti x – 2 ve jmenovateli v ak pouze za p edpokladu, e se x – 2 nerovná 0 a tedy e x ≠ 2 ! Pro ? Proto e nulou nelze d lit! /
x ≠ ±2
íklady 1.
k2 + k = k +1
k;
2.
3s − 9 = s2 − 3
s ; s ≠ ±3 s+3
3.
a 2 − 2a + 1 = 4a − 4
a −1 ; a ≠1 4
4.
m −1 = 1− m
5.
t 2 − 25 = 5−t
− ( t + 5) ; t ≠ 5
6.
8b + 4u = 4b + 4bu + u 2
4 u ; b≠− 2b + u 2
2
k ≠ −1
– 1; m ≠ 1
Se ítání a od ítání lomených výraz íklad x+2 2− x + Nejprve posoudíme obor, ve kterém mají oba výrazy smysl. Daný výraz x−2 x+2 má smysl pro x ≠ ±2 . Jmenovatelé nejdou rozlo it na sou in a nemají spole né d litele – spole ným jmenovatelem bude tedy jejich sou in.
Se
me výrazy
2 2 x2 + 4 x + 4 − ( x 2 − 4 x + 4 ) x + 2 2 − x ( x + 2 ) + ( −1)( x − 2 ) 8x + = = = 2 nebo x−2 x+2 x −4 ( x − 2)( x + 2) ( x − 2 )( x + 2 )
2 (1 − x ) 1 1 2x 1 − x +1 + x − 2x 2 − 2x 2 + − = = = = x ≠ ±1 co je nejenom podmínka 2 2 2 1+ x 1− x 1− x 1− x 1− x (1 − x )(1 + x ) 1 + x smyslu výraz , ale také podmínka krácení výrazem 1 − x
8 íklady a.
7 6 + = a + b 3a + 3b
9 ; a ≠ −b a+b
b.
5a 7a − 3 + 2 = ( a − 1)( a + 1) a − 1
12a − 3 ; a ≠ ±1 a2 − 1
c.
5 z 2 − 11 z2 − 2 − = 4 z 2 − 9 ( 2 z − 3)( 3 + 2 z )
1; z ≠ ±
d.
7 3 − = x 2x − y
11x − 7 y ; x ≠ 0, x ( 2x − y )
e.
2t + u u + 2t − = u 2t + u
2t u ; u ≠ 0, t ≠ − u 2
f.
2b + v − 1 v − 1 − = 3v 5v
2 ( 5b + v − 1) ; v≠0 15v
g.
k −7 k 2k − + 2 = k −3 k +3 k −9
k − 21 ; k ≠ ±3 k2 −9
1 + m ( m − 1) h. + = 2 4m 2
a 2 − b2 = a
3 2
3m 2 + 1 ; m≠0 4m b2 ; a≠0 a
i.
a−
j.
a+b−
k.
2x − y 1 1 − − = 2 x + xy x x + y
−2 y ; x ≠ 0, x + xy
l.
2x 3y 2x2 + 3 y2 + − 2 = x+ y x− y x − y2
xy ; x ≠ ±y x − y2
a 2 − b2 = a
5 4 − 3x 2 m. − −3 = 2 x2 + 6 x x2 − 9
y ≠ 2x
b ( a + b) ; a≠0 a 2
y ≠ −x
2
51x − 15 ; x ≠ 0, x ≠ ±3 2 x ( x2 − 9 )
n.
2a − 1 2a 1 − − = 2a 2a − 1 2 a − 4 a 2
1 1 − ; a ≠ 0, a ≠ a 2
o.
1 1 3x − − 2 = 6x − 4 y 6 x + 4 y 4 y − 9x2
1 2y ; x≠ 3x − 2 y 3
9 Násobení a d lení lomených výraz Lomené výrazy násobíme stejným zp sobem jako zlomky. Dva lomené výrazy násobíme tak, e násobíme mezi sebou itatele a do jmenovatele výsledku zapí eme výsledek násobení jmenovatel . P i násobení s výhodou krátíme itatele proti jmenovateli. Sledujeme a vyhodnocujeme kdy má daný výraz smysl.
!
íklad x 2 x2 y 2 − x2 x2 + y2 − x2 y2 − x2 y2 1 − ⋅ + 1 = ⋅ = ⋅ = 1 x ≠ y, 2 2 2 y2 y 2 − x2 y2 y 2 − x2 y y −x
y≠0
lení lomených výrazu je vlastn jenom podmno inou násobení, proto e dva lomené výrazy d líme tak, jako zlomky – to znamená, e první zlomek násobíme p evrácenou hodnotou zlomku druhého. Trochu to e komplikovat zápis, kdy se n kdy pou ívá pro operátor d lení dal í zlomková ára. V postupu se ak nic nem ní – sta í si uv domit, e zlomková ára ozna uje d lení. íklad c + d c 2 + cd c + d 2c 2 − 2d 2 c + d 2 ( c + d )( c − d ) 2 ( c + d ) : 2 = ⋅ = ⋅ = , c ≠ ±d , c ≠ 0 c − d 2c − 2d 2 c − d c 2 + cd c−d c (c + d ) c
1 1 2 −1 − 2 x 2 x = 2 x = 1 : 1 = 1 ⋅ 2 x = x, x ≠ 0 1 1 2 −1 2x 2x2 2 x 1 − x2 2 x 2 2x2
íklady 1) 7v ⋅
2v = z
14v 2 ; z≠0 z
2)
3a − 5 ⋅ ( 3a + 5 ) = 2
9a 2 − 25 2
3)
2d − 1 3c ⋅ = 6 c−d
c ( 2d − 1) ; c≠d 2(c − d )
4)
m 2 − 2m + 1 3m ⋅ = 5m m −1
3 ( m − 1) ; m ≠ 0, m ≠ 1 5
5)
t 2 − 2ta + a 2 9a ⋅ = 3t 2 (t − a )
3a ( t − a ) ; t ≠ 0, t ≠ a 2t
6)
x 2 + 4ax + 4a 2 x −1 ⋅ 2 = x + 2a x − 2x + 1
x + 2a ; x ≠ −2a, x ≠ 1 x −1
7)
c 2 + 2cd + d 2 c − d ⋅ = 2d c+d
c2 − d 2 ; d ≠ 0, c ≠ −d 2d
3n 1 8) 3n − ⋅ 1 − 2 = n + 1 3n
3n 2 − 1 ; n ≠ 0, n ≠ −1 n +1
a+6 a+3 a−2 ⋅ − = 7a + 6 a + 6 a − 6
1 6 ; a ≠ − , a ≠ ±6 6−a 7
9)
!
10 a)
2 s − 10 s − 5 : = s − 4s + 4 s − 2
2 ; s ≠ 2, s ≠ 5 s−2
b)
32 : 36 = 8v
1 ; v≠0 32v
2
x2 x + 2y c) − y 2 : = 4 12
3 ( x − 2 y ) ; x ≠ −2 y
x2 x d) 2 + 1 : 1 − = 2 y −x x−y
y ; y+x
e)
a−b a : 1 − = a +b b
−
y ≠ 0,
y ≠ ±x
b ; a ≠ ± b, b ≠ 0 a+b
2 1 2a f) − 1 : − a = 1− a 1− a
1 1 ; a ≠ 1, a ≠ 0, a ≠ 3a − 1 3
3k 2 k g) + 1 : 1 − = 2 k −1 1− k
k +1 1 ; k ≠ ±1, k ≠ ± 2k + 1 2
1 1 h) m + 1 + : 1 + 2 = m −1 m −1
m + 1; m ≠ ±1, m ≠ 0
i)
a x+a x−a x − − : = x x−a x+a a
j)
1 2r 3 = 3s 2
1 ; r ≠ 0, s ≠ 0 6r 3 s 2
y2 1+ 2 x = k) y2 1− 2 x
x2 + y 2 ; x ≠ ± y, x ≠ 0 x2 − y 2
Zpracoval: Pou ité prameny:
ax ; x ≠ ± a, x ≠ 0, a ≠ 0 x − a2 2
Leopold Kyslinger Algebraické výrazy Sbírka úloh z matematiky pro Z
doc. PaedDr. Dalibor Marti ek, Ph.D PaedDr. Franti ek B loun a kolektiv
