Matematika Teknik Persamaan Diferensial Transformasi Laplace. Elektronika Dasar Hukum OHM Hukum KIRCHOFF I dan II

Pengetahuan dan Pemahaman tentang : ; Matematika Teknik ; Persamaan Diferensial ; Transformasi Laplace

; Elektronika l k ik D Dasar ; Hukum OHM ; Hukum KIRCHOFF I dan II

Dasar Otomatisasi@2007

2

Bab ini menjelaskan proses umum dlm perancangan suatu sistem pengaturan Â Sistem Pengaturan yg terdiri dari komponen2 yg saling berhubungan dirancang utk mencapai suatu tujuan yang dikehendaki/diinginkan

Otomatisasi 2005, AAU, Yogyakarta, 2005 Modern Control System, Richard C. Dorf and Robert H. Bishop, Prentice-Hall, USA, 2004 Control System Engineering, Norman S. Nise, Wiley, USA, 2003 Schaum’s Outline of Feddback and Control System, Allen J. Stubberud, Ivan J. Williams dan Joseph J. DiSt f DiStefano, M McGraw-Hill; G Hill 2nd Ed, Ed USA USA, 1994 Modern Control Engineering, K. Ogata, PrenticeHall, USA, 2002

Â Utk memahami tujuan dari suatu Sistem Pengaturan, ada baiknya mempelajari contoh2 Sistem Pengaturan dari masa ke masa. Sistem2 terdahulu memanfaatkan ide-ide yg sama ttg umpan balik spt yg banyak digunakan pd sistem2 saat ini Â Penggunaan teknik pengaturan modern melibatkan penggunaan strategi perancangan kontrol guna diantaranya meningkatkan proses2 manufaktur, efisiensi penggunaan energi dan kontrol kendaraan yg lebih maju Â Di sini i i juga j didiskusikan didi k ik gagasan ttg tt celah l h perancangan. Celah C l h ini i i muncull antara sistem fisik yg dipelajari dgn model yg digunakan dlm sintesa Sistem Pengaturan Â Sifat iteratif perancangan memperbolehkan utk menangani celah perancangan scr efektif dgn memperhatikan kompromi2 dlm kompleksitas, kinerja dan biaya dlm rangka mencapai spesifikasi2 perancangan


3


4

1

Sistem Pengaturan JeratTerbuka – menggunakan sebuah pengatur atau aktuator pengaturan utk mendapatkan tanggapan yg dikehendaki.

) Sistem – Suatu keterhubungan elemen2 dan alat2 utk satu tujuan yg dikehendaki ) Sistem Pengaturan – Suatu keterhubungan komponen2 yg membentuk satu konfigurasi sistem yg akan memberikan satu tanggapan yg dikehendaki

Sistem Pengaturan JeratTertutup – menggunakan umpan balik utk membandingkan output aktual dgn g tanggapan gg p output p yg dikehendaki

) Proses – Alat, mesin atau sistem dibawah pengaturan. Hubungan input dan output yg merepresentasikan hubungan sebab-akibat dr proses

Sistem Pengaturan Variabel Majemuk Dasar Otomatisasi@2007

5

Yunani (SM) – Mekanisme Alat Pengatur Pelampung Belanda (Abad 16)– Alat Pengatur Suhu


6

Alat Pengatur Pelampung Permukaan Air

Watt’s Flyball Governor (Abad 18) Dasar Otomatisasi@2007

7


8

2

Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Berumpan Balik

J.C. Maxwell

Persamaan Differensial untuk governor

I.A. Vyshvegradskii

Teori Matematis berbagai Regulator

Bode, Nyguist, Black

Sistem Telepon dgn Penguat Umpan Balik (Bell Telephone Lab); Frequency Domain

Uni Sovyet

Gunakan Time Domain Penggunaan Transformasi Laplace, Frekuensi Kompleks, Metode Bidang dengan pendekatan Root Locus


Teori Pengaturan Optimal (Efek Sputnik)

9


10

)

Abad 18 – James Watt membuat pengatur sentrifugal utk mengatur kecepatan mesin uap

Æ Lyapunov dan Minorsky

)

1920-an 1920 an – Minorsky membuat alat pengatur otomatis kemudi kapal

Æ L.S. Pontryagin

)

1930-an – Nyquist membangun metode utk menganalisa kestabilan suatu sisten pengaturan

Æ R. Bellman (AS)

)

1940-an – Metode Frequency response digunakan utk merancang sistem pengaturan jerat-tertutup linier

)

1950an – Metode Root-locus diselesaikan oleh Evans

)

1960an – Metode State space, pengaturan optimal dan pengaturan adaptif diperkenalkan

)

1980an – Penelitian ttg pengaturan mulai dikembangkan

)

Saat ini dan yg sedang berjalan meliputi aplikasi teori sistem pengaturan modern bidang non-teknik spt sistem biologi, biomedis, ekonomi dan sosio-ekonomi

)

???????????????????????????????????

Frequency Domain dan Time Domain digunakan serentak utk analisa Sistem Pengaturan


11


12

3

(a) Sistem Kendali Kemudi Mobil (b) Pengemudi menggunakan perbedaan antara arah perjalanan aktual dgn yg dikehendaki utk membangkitkan pengaturan terkontrol pd roda kemudi (c) Grafik tanggapan arah yg dikehendaki dgn arah perjalanan aktual


13

Sistem Pengaturan Manual utk mengatur permukaan cairan di dalam tangki dgn mengatur Katup output. Operator mengamati permukaan cairan melalui sebuah lubang di sisi tangki


Blok Diagram Sistem Berumpan Balik Negatif Menggambarkan Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Dasar Alat Pengatur biasa disebut dengan “Controller”


14

Sistem Pengaturan tiga-sumbu utk menginspeksi tiap-tiap wafer semikonduktor menggunakan kamera dgn sensitivitas tinggi 15


16

4

Sistem Pengaturan pada Komputer

Sistem Pengaturan Terkoordinasi suatu Generator Uap Dasar Otomatisasi@2007

17


18

CIRI-CIRI FEEDBACK CONTROL SYSTEM 1.

Meningkatkan ketelitian

2.

Mengurangi kepekaan perbandingan keluaran terhadap masukan

3 3.

Mengurangi akibat ketidak linieran dan distorsi

4.

Memperbesar lebar pita

5.

Kecenderungan menuju osilasi/ketidakstabilan

Dua macam perancangan Control System :


19

1.

Analisis Æ memperbaiki karakteristik dari konfigurasi sistem yg sudah ada

2.

Sistesis Æ mendefinisikan bentuk sistem dari karakteristiknya


20

5

Beberapa definisi dalam Control System Â Tranduser Æ piranti yg ubah satu bentuk energi menjadi b t k lainnya bentuk l i Â Umpan balik negatif Æ titik penjumlahannya merupakan sebuah pengurang. Contoh : o/p = x-y Â Umpan balik positif Æ titik penjumlahannya merupakan sebuah penjumlah. Contoh : o/p = x+y Â Rangsangan Æ setiap isyarat masukan yg dimasukkan dr luar yg pengaruhi keluaran sistem Â Tanggapan waktu Æ keluarannya sebagai fungsi dr waktu, akibat penerapan masukan yg ditentukan sebelumnya pd syarat2 operasi yg telah ditetapkan.

Satu Model Sistem Pengaturan Umpan Balik dari Pendapatan Nasional


21


22


23


24

6

Evolusi Masa Depan Sistem Pengaturan dan Robotik Dasar Otomatisasi@2007

25

26


KONSEP KAPAL LISTRIK Vision Integrated Power System

All Electric Ship

Electrically Reconfigurable Ship

Technology Insertion Reduced manning Electric Drive Warfighting Automation Reduce # of Prime Capabilities Eliminate auxiliary Movers systems (steam, Fuel savings hydraulics, compressed Reduced maintenance air)

Increasing Affordability and Military Capability

Propulsion Motor

Motor Drive

Power Conversion Module


27


Main Power Distribution

Generator

Prime Mover

Ship Service Power

28

7

CVN(X) FUTURE AIRCRAFT CARRIER


29


30


31


32

8

(a) Pengaturan Jerat-Tertutup Kecepatan suatu Meja Putar (b) Model Blok Diagram Dasar Otomatisasi@2007

Batas Insulin dan Gula Darah Manusia Sehat

33


34

35


36

(a) Pengaturan Jerat-Terbuka (tanpa Umpan Balik) dan (b) Pengaturan Jerat-Tertutup Gula Darah Dasar Otomatisasi@2007

9

Challenger

Tacoma Bridge

Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Disk Drive


37


38

Exercises and Problems

References, and Resources http://www.ieeecss.org/siteindex/SITEindex.html http://www-control.eng.cam.ac.uk/extras/Virtual_Library/Control_VL.html


39


40

10

Exercises and Problems

Beberapa Konsep Aljabar Input dan Output

o/p = i/p + y

o/p = i/p + y

=x+y

o/p = i/p + y + z

=x–y

=x+y–z

d dx

d dt

o Dasar Otomatisasi@2007

41

SOAL 1. Buat diagram blok untuk persamaan matematka sbb : a. x3 = a1 x1 + a2 x2 - 5 b b. s = p2x + 2qx 2 +4 4r 2. Gambarkan blok diagram untuk persamaan berikut :

⎛ dx ⎞ a. x1 = a1 ⎜ 1 ⎟ ⎝ dt ⎠ b. x4 = ∫ x3 dt 3.

Buatkan blok diagram untuk sistem sbb : a. Air Conditioning System b. Tangan Robot Dasar Otomatisasi@2007

43

p

= y=

dx dt

o

p

= y=

dv dx


42

¾

Untuk merancang g dan menganalisa g Sistem Pengaturan g digunakan g model2 matematika kuantitatif. Tingkah laku dinamis pd scr umum digambarkan oleh Persamaan Diferensial (PD). Krn sebagian besar sistem2 fisik bersifat tidak linier, di sini akan didiskusikan aproksimasi linier menggunakan metode Transformasi Laplace. Sistem2 tsb meliputi sistem mekanik, hidrolik dan elektrik.

¾

Kemudian akan dilanjutkan dgn membuat hub input-output komponen dan subsistem dlm bentuk Fungsi Transfer (FT). Blok2 FT dpt diatur k d ke dalam l diagram2 di 2 blok bl k atau t Signal Si l Flow Fl Graph G h (SFG, (SFG Grafik G fik Aliran Ali Sinyal (GAS)) utk menggambarkan scr grafis keterkaitannya. Diagram2 blok (dan GAS) sangat membantu dan perangkat alami utk merancang dan menganalisa Sistem Pengaturan yg kompleks.


44

11

Ta( t) − Ts( t)

) ) ) ) ) )

Definisikan Sistem dan Komponen2nya Formulasikan Model Matematika dan Buat Daftar Asumsi2 Penting Tulis PD yg Menjelaskan Model di atas Selesaikan PD utk Variabel2 Output yg Dikehendaki Uji Solusi dan Asumsi Bila Perlu, Analisa atau Rancang Ulang Sistem

Ta( t) ω( t )

Ta( t)

Ts ( t ) ωs( t) − ωa( t) = through - variable

angular l rate t difference diff = across-variable i bl

45


0

46


Kapasitansi Listrik Induktansi Listrik

v 21

d L⋅ i dt

E

1 2

2

⋅ L⋅ i

v 21

2

E

1 F ⋅ 2 k

1 d ⋅ T k dt

E

F

d M⋅ v 2 dt

E

T

d J⋅ ω2 dt

E

Q

d Cf ⋅ P21 dt

E

q

d Ct⋅ T2 dt

E

2

E

1 T ⋅ 2 k

d I⋅ Q dt


E

1 2

2

2

⋅ M ⋅ v 21

1 2

2

⋅ M⋅ v 2

1 2

⋅ J⋅ ω2

2

p Cairan Kapasitansi

Kelembaman Cairan P21

1

Massa Putar

Pegas Putar ω21

d C⋅ v 21 dt

Massa Translasi

Pegas Translasi

1 d ⋅ F k dt

i

1 2

2

⋅ Cf ⋅ P21

Kapasitansi Panas

2

⋅ I⋅ Q

47


Ct⋅ T2 48

12

Resistansi Listrik i

1

⋅ v 21

P

b⋅ v21

P

R

1 R

2

⋅ v 21

f.y

k.y

Peredam Geser F

k

Gesekan Tembok, f

2

b⋅ v21

y y

Peredam Putar T

b ⋅ ω21

P

b ⋅ ω21

2

r(t)

Gaya, r(t)

Resistansi Cairan 1

Q

Rf

⋅ P21

1

P

Rf

⋅ P21

2

Resistansi Panas 1

q

Rt

⋅ T21

1

P

Rt

(a) Sistem Pegas-Massa-Peredam (b) Diagram Massa-bebas

⋅ T21 49


M⋅

d

2

dt

2

d y ( t) + fb ⋅ y ( t ) + k⋅ y ( t ) dt

r( t )

50


PERSAMAAN DIFFERENSIAL SISTEM FISIS

Satuan Æ Sistem Internasional (SI) Contoh :

a. Pegas

Sumber Arus r(t)

Æ Hk Newton F = m.a Æ F = k.f.m.a

v(t)

Rangkaian RLC

Dimana : k = tetapan pegas ideal

r(t)= M

k

d2 y(t) dt2

+f

dy(t) + k y(t) dt

f = tetapan gesekan

v (t )

r(t) = F M= m

MASSA

y=a

y

PD orde 2

R

y(t ) = k1 e −α1t sin( β1 + θ1 )

f r(t) Dasar Otomatisasi@2007

bila y( t ) = y(0) 51

+C

dv ( t ) dt

+

1 t v ( t ) dt = r ( t ) L ∫0

y ( t ) = K1e −α1t sin ( β1t + θ1 ) Dasar Otomatisasi@2007

52

13

b. Rangkaian Listrik Dimana : I

R

L

i(t) = I

C

v(t) = V

V

I=

V V v (t ) dv(t ) 1 t + C.V + ⇒ r (t ) = +C + ∫ v (t ) dt ..... R L R dt L 0

bila r (t ) = 1 ⇒ v (t ) = K 2e −α 2 t cos(β 2 t + θ 2 ) bila v( t ) =

dy( t ) dv( t ) ⇒ r (t ) = M + f v( t ) + k dt dt

∫

Variabel Ekivalen Sistem Analog

t

v( t ) dt ....

0

Tanggapan Tegangan utk Rangkaian RLC underdamped

Analogi Tegangan - Kecepatan 53


K2 := 1

α 2 := .5

y ( t) := K2⋅ e y(

− α 2⋅ t

y1( t) := K2⋅ e

β 2 := 10

(

⋅ sin β 2⋅ t + θ 2

− α 2⋅ t


54

θ 2 := 2

)

y2( t) := −K2⋅ e

− α 2⋅ t

y

1 y ( t) y1 ( t )

0

y2 ( t )

1

0

1

2

3

4 t


5

6

(a) Massa yg diletakkan di atas suatu Pegas Tidak Linier (b) Grafik Gaya Pegas vs y

7 55


56

14

M := 200gm

Sistem-sistem Linier – Kondisi Tertentu

g := 9.8

m s

( )

L := 100cm

2

θ 0 := 0rad

θ := −π ,

−15π 16

.. π

T0 := M ⋅ g ⋅ L⋅ sin θ 0

T1( θ ) ::= M ⋅ g ⋅ L⋅ sin ( θ )

Prinsip Superposisi

( )(

)

T2( θ ) := M ⋅ g ⋅ L⋅ cos θ 0 ⋅ θ − θ 0 + T0

Sifat Keserbasamaan (Homogenity)

10

5

T 1( θ )

Deret Taylor dpt dilihat pd alamat ini

0

T 2( θ )

http://www.maths.abdn.ac.uk/%7Eigc/tch/ma2001/notes/node46.html

5

10

4

3

2

1

0

1

2

3

4

θ

Students are encouraged to investigate linear approximation accuracy for different values of θ 0


57

58


Perspektif Sejarah – Operator2 Heaviside Timbulnya Operasi Calculus (1887)

p

0

Perspektif Sejarah – Operator2 Heaviside v

i

Z( p )

Z( p )

v = H(t)

t

⌠ ⎮ 1 du ⌡

1

d dt

p

Expanded in a power series

R + L⋅ p

Timbulnya Operasi Calculus (1887) 1

i

R + L⋅ p

⋅ H( t )

1 L⋅ p ⎛⎜ 1 +

⎝

1 p

i


59

n

⋅ H( t )

1 R

⎡R

⋅⎢

⎣L

t

R L⋅ p

⎞ ⎟ ⎠

⋅ H( t )

1 R

2 3 ⎡R 1 ⎤ R R 1 1 ⋅ − ⎛⎜ ⎟⎞ ⋅ + ⎛⎜ ⎟⎞ ⋅ .....⎥ ⋅ H( t ) ⎢ L p ⎝ L ⎠ p2 ⎝ L ⎠ p3 ⎥ ⎣ ⎦

⋅⎢

n

n!

⋅t −

⎤⎤ ⎡⎛ R ⎞ 2 t 2 ⎛ R ⎞ 3 t 3 ⎢⎜ ⎟ ⋅ + ⎜ ⎟ ⋅ − ..⎥ ⎥ ⎣⎝ L ⎠ 2! ⎝ L ⎠ 3! ⎦⎦

⎡

i

1 R

−

⎛ R ⎞⋅t⎤ ⎜ ⎟ ⎥

⎢ L ⋅⎣1 − e ⎝ ⎠

⎦

(*) Oliver Heaviside: Sage in Solitude, Paul J. Nahin, IEEE Press 1987. Dasar Otomatisasi@2007

60

15

Determine the Laplace transform forfungsi-fungsi the functions Tentukan Transformasi Laplace untuk berikut :

Definition Definisi ⌠ ⎮ ⌡

L( f ( t ) )

f1( t) := 1

a)

∞

f ( t) ⋅ e

− s⋅ t

t≥0

for untuk

= F(s)

dt

⌠ F1( s ) := ⎮ ⌡

0

∞

e

− s⋅ t

dt

1 − ( s⋅ t ) − ⋅e s

=

0

Frekuensi Kompleksnya adalah Here the complex frequency is :

s

1 s

ρ + j⋅ w

Transformasi Laplace p timbul The Laplace p Transform existsketika when b)

⌠ ⎮ ⌡

∞

f ( t) ⋅ e

− s⋅ t

dt < ∞

means thatintegralnya the integralkonvergen converges Ini this berarti bahwa

0

f2( t) ⌠ ⎮ ⌡

F2( s )

e

∞

e

− ( a⋅ t )

− ( a⋅ t ) − ( s⋅ t )

⋅e

dt

=

0

61


−

1 s+1

⋅e

− [ ( s+ a) ⋅ t ]

F2( s )

1 s+a 62


PracticalPraktis Example - ConsiderListrik the circuit. Contoh – Rangkaian

EvaluateTransformasi the laplace transform the derivative of a function Evaluasi Laplace of turunan suatu fungsi berikut :

⎞ ⎛d L⎜ f ( t) ⎟ ⎝ dt ⎠

⌠ ⎮ ⎮ ⌡

∞

The KVL equation is adalah : Persamaan KVL-nya − ( s⋅ t ) d f ( t) ⋅ e dt dt

d 4⋅ i( t) + 2⋅ i( t) dt

assume i(0+) = 5 A asumsi

0

0

⌠ by the use of ⎮ u dv menggunakan ⌡ where u dimana

e

− ( s⋅ t )

= dv

⌠ u ⋅ v − ⎮ v du ⌡

Applying theTransformasi Laplace Transform, we have Aplikasikan Laplace, diperoleh ⌠ ⎮ ⎮ ⌡

df ( t)

−s ⋅ e

− ( s⋅ t )

4⋅ I( s ) + 2⋅ ( s ⋅ I( s ) − i( 0) )

⋅ dt

and dan

v

f ( t)

I( s ) :=

kita peroleh we obtain ⌠ ⎮ ⌡

∞

u dv

=

⎛ 4⋅ i( t ) + 2⋅ d i( t) ⎞ ⋅ e− ( s⋅ t ) dt 0 ⎜ ⎟ dt ⎝ ⎠

0

and,dari from which dan du

∞

f ( t) ⋅ e

− ( s⋅ t )

0

⌠ −⎮ ⌡

∞

f ( t ) ⋅ ⎡⎣ −s ⋅ e

5 s+2

= -f(0+) +

f ( t) ⋅ e

− ( s⋅ t )

0

⌠ dt + 2⋅ ⎮ ⎮ ⌡

∞

− ( s⋅ t ) d i( t) ⋅ e dt dt

0

0

0

t ≡ ( 0 , 0.01.. 2)

− ( 2⋅ t ) 4 i( t )

0

2

L⋅ ⎜


− ( s⋅ t )

6

dt

⎛ d f ( t) ⎞ ⎟ = sF(s) - f(0+) catat awal dilibatkan di dalam note bahwa that thekondisi initial condition is included in thetransformasi transformation ⎝ dt ⎠

i( t) ⋅ e

4⋅ I( s ) + 2⋅ s ⋅ I( s ) − 10

0

⎦ dt i( t) ≡ 5⋅ e

∞

∞

transforming back to theketime domain, with our present knowledge transformasikan kembali wilayah waktu, dengan pengetahuan kita of LaplaceTransformasi transform, we may say thatdikatakan bahwa tentang Laplace, dapat

− ( s⋅ t ) ⎤

0

⌠ s ⋅⎮ ⌡

⌠ 4⋅ ⎮ ⌡

63

0

0 Dasar Otomatisasi@2007 1

2

64

t

16

Ekspansi Pecahan-Parsial (atau (or Teorema Eskpansi Heaviside) The Partial-Fraction Expansion Heaviside expansion theorem)

Property Sifat

Frequency Domain Kawasan Frekuensi e

Andaikan Suppose: that

F( s)

Time Domain Kawasan Waktu

s + z1

1. Time delay

f ( t − T) ⋅ u ( t − T)

2. Time scaling

f ( at )

Eskpansi pecahan parsial menunjukkan bahwa terdiri dari of The partial fraction expansion indicates thatF(s) F(s) consists

( s + p1 ) ×( s + p2 )

− ( s⋅ T )

1

penjumlahan j l of hf terms, tterm, each di dimana i adalah d oflf h kt d dariii a sum h off masing-masing which hi i h iis a ffactor the hffaktor d denominator.

The values K1dan and are determined by combining the penyebut. NilaiofK1 K2K2 ditentukan dengan menggabungkan

a

⋅ F( s )

⋅ F⎛⎜

s⎞ ⎟ ⎝ a⎠

individual fractions by melalui meanspenyebut of the lowest common masing-masing pecahan bersama terendah dan 3. Frequency

denominator and comparing the pembilang resultant numerator membandingkan koefisien-koefisien resultan dengan

atau or

differentiation

d − F( s ) ds

t⋅ f ( t )

coefficients with pembilang those of the coefficients of thedalam numerator koefisien-koefisien sebelum pemisahan term yang

F( s)

K1 s + p1

+

K2

before separation in different terms. berbeda

s + p2

4. Frequency shifting

f ( t) ⋅ e

5. Frequency

f ( t)

Integration

− ( a⋅ t )

F( s + a) ⌠ ⎮ ⌡

t

Evaluasi Ki dalam telahjust dijelaskan memerlukan serentak persamaan-persamaan n. Evaluation of Ki incara theyang manner described requires solusi the simultaneous solution of n equations. Satu metode alternatif dengan mengalikan persamaan (s +setting pi) kemudian An alternative methodadalah is to multiply both sides kedua of the sisi equation by (sdengan + pi) then s= - pi, the

6. Initial-value

Theorem

Lim( f ( t) )

∞

F( s ) ds

0

Lim( s ⋅ F( s ) )

f ( 0)

right-hands side zero except for Ki so thatKi sehingga mengatur = -pi,issisi kanan menjadi 0 kecuali t -> 0

Ki

( s + pi ) ×( s + z1) ( s + p1 ) + ( s + p2 )

7. Final-value

s = - pi


65

Theorem

s -> infinite

Lim( f ( t) )

Lim( s ⋅ F( s ) )

t -> infinite

s -> 0


66

TRANSFORMASI LAPLACE

Pasangan2 Transformasi Laplace yg Berguna

Substitusi persamaan aljabar sederhana Persamaan Diferensial Cara

– Tabel Sifat-sifat Transformasi Laplace

:

a Dapatkan Persamaan Diferensial a. b. Dapatkan Transformasi Laplace

http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/Table_prop.html

– Tabel Pasangan Transformasi Laplace

c. Selesaikan

http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/Table_pairs.html

– Tabel Transformasi Laplace Bentuk2 Gelombang Umum Syarat : Persamaan Differensial Linier pd Integral Konvergen

http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace_cwf/laplace_cwf.html

– Tabel Transformasi Laplace dari Fungsi2 Dasar http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace p p p _basic/laplace p _basic.html

– Tabel Transformasi Laplace Fungsi2 Trigonometri

f (t ) ≅ ∫ f (t ) e −σ 1t dt < ~

http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace_trig/laplace_trig.html

0


67


68

17

Contoh : Pegas:

r (t ) = M =M

⇒ F ( s) = ∫ f (t )e − st dt ≅ { f (t )} ~

Transformasi Laplace f(t)

dt 2 d2 y dt 2

+ f

dy( t ) + k y( t ) dt

dy ( t )

+f

s≡

+ ky ( t )

dt

d dt

0

⇒ f (t ) =

Inverse Transformasi Laplace

Operasi Diferensial

d 2 y( t )

s≡

1 σ + jω F ( s)e + st ds 2πj ∫σ − jω

⎛ dy(0+ ) ⎞ + R( S ) = M ⎜ s 2Y ( s ) − sy(0+ ) − ⎟ + f ( sY ( s ) − y(0 ) + kY ( s ) ⎜ dt ⎟⎠ ⎝

d dt

r ( t ) = 0, y(0+ ) = y0 ,

Bila :

dy dt

= 0; maka t =0

R(s) = Ms Y(s)-Msy 0 + f sY(s)-fy 0 + kY(s) = 0 2

Integral

t 1 ≡ ∫ dt s 0

= Y ( s )( Ms 2 + fs + k ) − y0 ( Ms + f ) = 0

69


Sehingga :

Y ( s) =

y0 ( Ms + f ) Ms 2 + fs + k

=

p( s ) ⇒ q( s ) = penyebut sukubanyak q( s )

70


Y ( s) =

p( s) Zero Zero ⇒ ≈0 bila Zero = 0 dan Pole = ~ maka Pole Pole q( s )

Contoh : Bila K/M = 2, f/M = 3, maka Æ K = 2M dan f = 3M

Bila

q(s) = 0

Æ Persamaan respons karakteristik karena tentukan watak respons waktu

Y ( s) =

( Ms + f ) y0 Ms 2 + fs + k

=

( Ms + 3 M ) y0 Ms 2 + 3 Ms + 2 M

Pole Æ

persamaan karakteristik atas

Zero Æ

Akar2

suku banyak untuk pembilang

titik2

jω

singular sistem

( s + 3) y0 ( s 2 + 3 s + 2)

( s + 3) y0 = ( s + 1)( s + 2)

DEFINISI Akar2

=

.....(*) … p(s) … q(s)

Z e ro

0 -3

Pole dan Zero Æ Frekuensi2 kritis

X -2

X -1

σ

0

P o le


71


72

18

Steady State (keadaan mantap) tanggapan y(t) dpt ditentukan dari :

Bila (*) diuraikan ke dlm bentuk ekspansi pecahan bagian ⇒

Y ( s) =

k1 k + 2 s +1 s + 2

k1 dan k2 Æ koefisien penguraian

=

Invers Transformasi Laplace :

−1

k1 = =

t→∼

( s − s1 ) p( s) q( s) s1 =−1

lim y(t) = lim sY(s) = 0 bila kutub Y(s) pada titik (0,0) t→∼

⎧ −1 ⎫ −t −2t ⎨ ⎬ ⇒ y(t) = 2e − e ⎩ s + 2⎭

⎧ 2 ⎫ ⎨ ⎬+ ⎩s +1⎭

s→0

Pada bagian Pegas ditemukan :

( s + 2)( s + 3) −2+3 = = −1 ( s + 1)( s + 2) s =−2 − 2 + 1

kj = residu (sisa)

y(t) =

lim y(t) = lim s Y(t)

( s − s 2 ) p( s ) q( s) s2 = −2

k2 =

s→0

Maka y = 0 Æ kedudukan keseimbangan yang lazim

−1

jω (s 1+3)

( s + 1)( s + 3) =2 ( s + 1)( s + 2) s = −1

0 -3

X -2

σ

X S 1=-1

0

s 1+2 73


p(s) = Y ( s ) dpt ditulis sbb : q(s)

Ingat : K/M = 2 dan f/M = 3 ⇒ Y ( s) =

dimana ζ Æ perbandingan redaman

( s + 2ζωn ) y0 s 2 + 2ζωn s + ω 2 n

jω

......(**)

s1 X

ωn Æ frekuensi alamiah Akar-akarnya : s1, s2 = -ζωn ± ω n ζ 2 − 1 Bila :

dimana ω≈ =

k

M

dan ζ =

Bila ζ berubah-ubah dan ωn tetap, pasangan akar2 konjugat akan menempati suatu locus berbentuk lingkaran

Pemetaan Zero dan Pole Y(s) dimana θ = Cos-1ζ

( s + 3) y0 ( s + 3) y0 ( s + f M ) y0 = = ( s + 1)( s + 3) s2 + 3s + 2 s2 + ( f M )s + k M =

f 2

ωn

jω n 1 − ζ θ

kM

− 2ζ ω n − ζζωn

ζ > 1 Æ akar akar-akarnya akarnya nyata dan sama (teredam kritis)

ζ =φ

2

s 2X

S1, 2 = ζωn ± jωn 1 − ζ 2 75

jω − jω n

σ

s>1

s<1

σ

0 ζ =1

ζ < 1 Æ akar-akarnya kompleks dan saling konjugat (kurang teredam)


74


− jω n 1 − ζ

2


76

19

Uraian pecahan bagian persamaan Pegas :

Y ( s) = Y ( s) =

Pada kasus ini ditemukan :

K1 K2 + karena s 2 adalah konjugat j g kompleks p s1 maka: ( s − s1 ) ( s − s2 ) K1 K* + ( s − s1 ) ( s − s2 )

* = konjugat

=

Maka Kj adalah :

K1 = =

=

y0 2 1− ζ 2

e

j (θ −π 2 )

2 1− ζ

( s1 + 2ζω n )

− jω n 1 − ζ

2

σ

− 2ζω n

π

y0 2

77

y0 ⎡e j (θ −π 2 ) e −ζωnt + e 2 1 − ζ 2 ⎢⎣ y0 2 1− ζ

2

e −ζωnt sin (ωn

j ( π 2 −θ )

e −ζω n t e − jωn

1−ζ 2

e

j ( −θ ) 2


78

⎤ ⎥⎦

1−ζ 2 t +θ )

KESIMPULAN Transformasi Laplace dan pendekatan bidang s adalah teknik yg sangat berguna untuk analisa dan rancang suatu sistem, karena performa steady state dan transient sangat diutamakan.

ov er dam ped

y0

jω

2ωn 1 − ζ 2 ej π 2

y(t ) = K1 e s1t + K 2 e s2t =

y(t)

K2 =

M 2 = magnitude ( s1 − s1*)


Akhirnya :

y0 ωne jφ

dimana θ = Cos −1ζ

( s1 + 2 ζω n) y0 M 1 = magnitude ( s1 + 2 ζω n) ( s1 − s1*) M 1e jφ y0 π M2 e j 2

K1 =

0

t

e

− ζ ω nt

under dam ped


79


80

20

Plot bidang-s pole dan zero Y(s)

Perhatikan sistem massa-pegasperedam

( Ms + b ) ⋅ yo

Y( s )

Persamaan equation 2.21 2.21

2

Ms + bs + k

y(s )

s1

s2

⎛ s + b ⎞⋅ y ⎜ ⎟( ) M⎠ o ⎝ b 2 ⎡s + ⎛ ⎞ ⋅ s + k ⎤ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ M⎦ ⎣ ⎝M⎠

(

)

2

(

)

2

− ζ⋅ ωn + ω n ⋅ ζ − 1

(s + 2⋅ ζ⋅ ωn) 2

s + 2⋅ ζ⋅ ωn + ω n

k

ωn

M

2

ζ

(2⋅

Locus akar-akar dimana z berubah dgn ωn konstan

b

k⋅ M )

− ζ⋅ ωn − ωn ⋅ ζ − 1

Akar-akar Roots Nyata Real Nyata Berulang Real repeated Imajiner Imaginary(konjugat) (conjugates) Kompleks (konjugat) Complex (conjugates)

(

)

2

(

)

2

s1

− ζ⋅ ω n + j⋅ ω n ⋅ 1 − ζ

s2

− ζ⋅ ω n − j⋅ ω n ⋅ 1 − ζ

Tanggapan sistem massa-pegasperedam 81


Contoh 2.2

i

v1

v2

Ekpansi pecahan menghasilkan The partial fractionparsial expansion yields: : d2

d y(t) + 4⋅ y(t) + 3⋅y(t) 2 dt dt

Jaringan RC

V1( s )

V2( s )

⎛ R + 1 ⎞ ⋅ I( s ) ⎜ ⎟ Cs ⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ ⋅ II(( s ) ⎜ ⎟ ⎝ Cs ⎠

V2( s ) V1( s )

82


R+

Z1( s )

R

1

(s2⋅Y(s) − s⋅y(0)) + 4⋅(s⋅Y(s) − y(0)) + 3Y(s)

1

Karena R(s)=1/s dan y(0)-1 y(0)-1,we diperoleh Since R(s)=1/s and y(0)=1 y(0)=1, obtain: : (s + 4) 2 Y(s ) + 2 2 s + 4s + 3 s⋅ s + 4s + 3

Cs

(

)

(

)

r(t)

1

−1 1 ⎤⎥ 2 ⎡⎢ 3 ⎥⎤ ⎡⎢ −1 2 2 3 3 ⎢ (s + 1) + (s + 3) ⎥ + ⎢ (s + 1) + (s + 3) ⎥ + s ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Therefore the transient response is: : Maka tanggapan transiennya adalah 2⋅R(s )

y(t)

⎛ 3 ⋅e− t − 1 ⋅e− 3⋅t⎞ + ⎛ −1e− t + 1 ⋅e− 3t⎞ + 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 2 ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ 3

Sehingga tanggapan steady-state-nya adalah : The steady-state response is: lim y(t) t→∞

Z2( s ) 1

Y(s)

d y(0) 0 dt The Laplace transform yields: Transformasi Laplace menghasilkan : Initial Conditions: Kondisi2 Awal : Y(0)

Z2( s )

1 Cs

2⋅r(t)

2 3

Z 1( s ) + Z 2( s )

Cs


83


84

21

Contoh 2.3

Contoh 2.4


85


86


88

Contoh 2.5

Contoh 2.5


87

22

Contoh 2.5 φ

Contoh 2.5

K f ⋅ if

Tm

K 1 ⋅ K f ⋅ if ( t ) ⋅ ia ( t )

field controled motor - Lapalce Transform

Vf( s )

( K 1 ⋅ K f⋅ Ia )⋅ If( s ) (R f + Lf⋅ s )⋅ If( s )

T m( s )

T L( s ) + T d ( s )

T L( s )

J⋅ s ⋅ θ ( s ) + b ⋅ s ⋅ θ ( s )

T m( s )

2

rearranging equations T L( s )

T m( s ) − T d ( s )

T m( s )

K m ⋅ If( s )

If( s )

Td ( s )

0

Vf ( s )

θ (s )

Km

R f + L f⋅ s

Vf( s )

s ⋅ ( J⋅ s + b ) ⋅ Lf⋅ s + Rf


(

) 89

Contoh 2.5


90


92

Contoh 2.5


91

23

V 2( s )

−1

V 1( s )

RCs

V 2( s ) V 1( s )

−RCs

93


V 2( s )

R 2( R 1⋅ C⋅ s + 1)

V 1( s )

R1

V 2( s )

−( R 1⋅ C 1⋅ s + 1) ( R 2⋅ C 2⋅ s + 1)

V 1( s )

R 1⋅ C 2⋅ s

94


θ (s )

Km

s ( τ ⋅ s + 1)

Vc( s )

θ (s ) V f(s )

Km

τ

s ⋅ ( J⋅ s + b ) ( L f ⋅ s + R f )

J ( b − m)

m = slope of linearized torque-speed curve (normally negative)

⎛ K ⎞ ⎜ R ⋅R ⎟ ⎝ c q⎠

Vo( s )

(s ⋅ τc + 1)⋅ (s ⋅ τq + 1)

Vc( s )

θ (s ) V a( s )

Km

Lq τq Rc Rq For the unloaded case: id 0 τc τq τc

s ⋅ ⎡⎣( R a + L a⋅ s ) ( J⋅ s + b ) + K b⋅ K m⎤⎦

Lc

0.05s < τc < 0.5s Dasar Otomatisasi@2007

95

V12 Dasar Otomatisasi@2007

Vq

V34

Vd

96

24

Y( s )

K

X( s ) s ( Ms + B) A ⋅ kx K B kp d

kx

dx g ( x, P)

g

kp

g

2 ⎛ A ⎞ ⎜b + ⎟ kp ⎠ ⎝

d

g

dP

flow

A = area of piston

V2( s )

R2

R2

V1( s )

R

R1 + R2

R2

θ

R

θ max

Gear Ratio = n = N1/N2 N2⋅ θ L

N1⋅ θ m

θL

n⋅θ m

ωL

n ⋅ ωm

ks θ 1( s ) − θ 2( s )

V2( s )

ks⋅ θ error( s )

97

)

Vbattery

ks Dasar Otomatisasi@2007

(

V2( s )

θ max 98


The Transfer Function of Linear Systems V2( s ) Kt

Kt⋅ ω( s )

y ( t) − xin( t)

xo( t)

Kt⋅ s ⋅ θ ( s )

−s

Xo( s ) Xin( s )

constant

2

s +

2

⎛ b ⎞ ⋅s + k ⎜M⎟ M ⎝ ⎠

For low frequency oscillations, where ω < ωn Xo( j⋅ ω)

Xin( j⋅ ω)

V2( s )

ka

V1( s )

s⋅τ + 1

q( s )

Ro⋅ Co

T Ct Q S Rt q( s )

and is often negligible for controller amplifier Dasar Otomatisasi@2007

1 Ct⋅ s + ⎛⎜ Q⋅ S +

⎝

τ < 1s

99

2

k M

T( s )

Ro = output resistance Co = output capacitance τ

ω

1

⎞ ⎟

R⎠

To − Te = temperature difference due to thermal process = = = = =

thermal capacitance fluid flow rate = constant specific heat of water thermal resistance of insulation rate of heat flow of heating element


100

25

x

r⋅ θ

converts radial motion to linear motion



101

103

102


Diagram Asli

Diagram Ekivalen

Diagram Asli

Diagram Ekivalen


104

26

Diagram Asli

Diagram Ekivalen

Diagram Asli

Diagram Ekivalen


Diagram Asli

Diagram Ekivalen

Diagram Asli

Diagram Ekivalen

105


106


108

Contoh 2.7


107

27

Utk sistem2 rumit, menjadikan metode Diagram Blok sulit dilakukan. Dgn menggunakan Model Signal Flow Graph (SFG) prosedur (SFG), d reduksi d k i tidak tid k perlu l lagi l i menentukan t k hubungan di antara variabel2 sistem

Contoh 2.7

109


Y1( s )

G11( s ) ⋅ R1( s ) + G12( s ) ⋅ R2( s )

Y2( s )

G21( s ) ⋅ R1( s ) + G22( s ) ⋅ R2( s )


111

110



a11⋅ x1 + a12⋅ x2 + r1

x1

a21⋅ x1 + a22⋅ x2 + r2

x2

112

28

Contoh 2.10

Contoh 2.8

Y( s )

⎡⎣G 1⋅ G 2⋅ G 3⋅ G 4⋅ (1 − L 3 − L 4)⎤⎦ + ⎡⎣G 5⋅ G 6⋅ G 7⋅ G 8⋅ ( 1 − L 1 − L 2)⎤⎦

R( s )

1 − L 1 − L 2 − L 3 − L 4 + L 1⋅ L 3 + L 1⋅ L 4 + L 2⋅ L 3 + L 2⋅ L 4

Y( s )

G 1⋅ G 2⋅ G 3⋅ G 4

R( s )

1 + G 2⋅ G 3⋅ H 2 − G 3⋅ G 4⋅ H 1 + G 1⋅ G 2⋅ G 3⋅ G 4⋅ H 3

113



114


116

Design Examples

P1 Δ Δ1

Y( s )

P1 + P2⋅ Δ 2 + P3

R( s )

Δ

G1⋅ G2⋅ G3⋅ G4⋅ G5⋅ G6

P2

G1⋅ G2⋅ G7⋅ G6

P3

G1⋅ G2⋅ G3⋅ G4⋅ G8

1 − ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 + L7 + L8) + ( L5⋅ L7 + L5⋅ L4 + L3⋅ L4) Δ3

1

Δ2

1 − L5

1 + G4⋅ H4


115

29

Design Examples

Design Examples

Speed control of an electric traction motor. Dasar Otomatisasi@2007

117

Design Examples


118


120

Design Examples


119

30

The Simulation of Systems Using MATLAB

Design Examples


121




122


123


124

31




125




126


127


128

32




129




130


131


132

33




133




134


135


136

34



error

Sys1 = sysh2 / sysg4 Dasar Otomatisasi@2007

137



138


error

Num4=[0.1]; Dasar Otomatisasi@2007

139


140

35




141

Sequential Design Example: Disk Drive Read System


143


142



144

36


P2.11

= 145



P2.11

146

http://www.jhu.edu/%7Esignals/sensitivity/index.htm

1

1

( L d + L a) ⋅ s + ( R d + R a )

L c⋅ s + R c

+Vd

Vq

Id

K2

K1

1

1

J⋅ s + b

s

Tm Km

θ

Vc -Vb Ic

K3

1 L q⋅ s + R q Dasar Otomatisasi@2007

147


148

37

http://www.jhu.edu/%7Esignals/ ) Isu-isu KESTABILAN suatu Sistem Umpan Balik Jerat-Tertutup adalah inti dari perancangan sistem pengaturan. Dgn mengetahui bahwa sistem jeratp y nilai,, kita hrs mencari metode2 utk tertutupp yg tidak stabil tdk mempunyai menganalisa dan merancang sistem2 yg stabil. Suatu sistem stabil akan menampilkan output terbatas bila input-nya terbatas. Ini disebut dgn kestabilan Bounded-Output Bounded-Input (BIBO) dan merupakan topik utama Bab III ini. ) Kestabilan suatu sistem umpan balik secara langsung berkaitan dgn lokasi akar2 persamaan karakteristik Fungsi Transfer (FT) sistem. Metode RouthHurwitz adl perangkat yg berguna utk melihat kestabilan sistem. Teknik ini membantu kita menghitung jumlah akar2 persamaan karakteristik di dlm setengah-bidang datar bag kanan tanpa hrs menghitung nilai akar2nya dan menentukan kestabilan sistem dgn cepat. Ini memberi kita suatu metode perancangan utk menentukan nilai2 parameter2 sistem tertentu utk menuju ke kestabilan jerat-tertutup. Utk sistem yg stabil, akan disampaikan ide ttg kestabilan relatif yg memperbolehkan kita utk mengkarakterisasi derajat kestabilan sistem. Dasar Otomatisasi@2007

149

150


Konsep kestabilan dpt diilustrasikan dgn suatu kerucut yg ditempatkan di atas suatu permukaan k horisontal h i t l datar d t

4 Suatu sistem yang stabil adalah suatu sistem dinamis dengan tanggap output terbatas terhadap input terbatas a) Stabil

4 Kestabilan absolut adalah suatu penggolongan stabil/tidak stabil suatu sistem umpan balik jerat-tertutup. Bila sistem tsb stabil, kita dpt menggolongkan derajat kestabilan atau kestabilan relatifnya

Stabil

b) Netral

c) Tidak Stabil

Netral

Tidak Stabil

Kondisi penting dan cukup bagi suatu sistem umpan balik dikatakan stabil adl semua pole FT sistem mempunyai p y bagian nyata (real) negatif

Suatu sistem dikatakan stabil terbatas bila hanya input2 terbatas tertentu akan menghasilkan suatu output terbatas Dasar Otomatisasi@2007

151


152

38

a n s n + a n −1 s n −1 + a n − 2 s n − 2 + Λ + a1 s + a 0 = 0

Persamaan Karakteristik, q(s) Larik Routh

) Ditemukan bahwa semua koefisien dr Persamaan Karakteristik HARUS mempunyai tanda sama dan TIDAK NOL jika semua akar2 terletak di bidang sebelah kiri

Kriteria Routh-Hurwitz menyatakan bahwa jumlah akar2 bag nyata positif q(s) adl sama dgn jumlah perubahan tanda pd kolom pertama Larik Routh

) Persyaratan2 ini perlu namun tdk mencukupi. Jika persyaratan di atas tdk dipenuhi, maka sistem tidak stabil. Namun, bila persyaratan2 tsb dipenuhi, kita hrs tetap menyelidiki sistem utk menentukan kestabilannya ) Kriteria Routh-Hurwitz adl kriteria yg penting dan mencukupi utk kestabilan sistem2 linier

153


Kasus Pertama : Semua elemen kolom pertama tidak sama dgn 0 Contoh 3.1. tingkat-kedua Example 6.1 Sistem Second-order system

an a n −1 bn −1

an − 2 an −3 bn −3

an − 4 an−5 bn − 5

s n −3 • • • s0

c n −1 • • • hn −1

cn −3 • • •

cn −5 • • •

bn −1 =

(a n −1 )(a n − 2 ) − a n (a n −3 ) = a n −1

bn − 3

− 1 an −2 = a n −1 a n −1

an− 4

cn −1

− 1 a n −1 = bn −1 bn −1

an −3 bn − 3

− 1 an a n −1 a n −1

an − 2 an −3

a n −3


154

Kasus Kedua : Nol2 pd kolom pertama sedangkan bbrp elemen dr baris yg mengandung satu NOL pd kolom pertama adl TIDAK NOL IfJika only one element in the is zadl ero, it may bedigantikan replaced w ithsuatu a small positiv e hanya satu elemen di array dlm larik NOL, ia dpt dgn bilangan number is allow ed to approach after completing the array. ε that positif ε shg diperbolehkan mendekati 0 zero stlh larik selesai

The Characteristic polynomial of a tingkat-kedua second-orderadalah sys tem Persamaan Karakteristik dr sistem : is: q(s )

sn s n −1 s n−2

2

a2⋅ s + a1⋅ s + a0

q( s )

5

4

3

2

s + 2s + 2s + 4s + 11s + 10

LarikRouth Routharray ditulisissbb : The then:

The w ritten as: LarikRouth Routharray ditulisissbb :

w here:: dimana b1

a1⋅ a0 − ( 0) ⋅ a2 a1

s2

a2

a0

s

1

a1

0

s

0

b1

0

a0

s5

1

2

11

s4 s3 s2 s1 s0

2 b1 c1 d1 10

4 6 10 0 0

10 0 0 0 0

w here: : Dimana


6⋅ c1 − 10ε 4ε − 2⋅ 6 −12 0 ε c1 d1 6 c1 2 ε ε There are tw o sign changes in the first column due to the large negative number Tdp perubahan tanda dua kali pd kolom pertama krn bilangan negatif besar pd c1. calculated f or c1. Thus, the stabil system is unstable because tw o pd roots lie indatar the Maka, sistem dinyatakan tidak karena dua akar2nya terletak bidang right half of the plane. Dasar Otomatisasi@2007 b1

Theref orepersyaratan the requirement f or asistem stabletingkat-kedua second-orderygsystem is Sehingga utk suatu stabil adl simply that all coef f icients be positive or all the coef ficients be semua koefisien HARUS positif atau negatif negative. 155

2⋅ 2 − 1⋅ 4

sebelah kanan

156

39

Kasus Ketiga : NOL2 pd kolom pertama dan elemen2 lain pd baris yg mengandung NOL juga (bernilai) NOL This case occurs bila w hen theq(s) polynomial q(s) hasNOL zeros locatedsecara sy metrically aboutpd thetitik awal Kasus ini terjadi PK mempunyai terletak simetris origin of the such as (s+(s+jω)(s-jω). -jω). This c ase is solvedmenggunakan using σ)(s -σ) or (s+jω)(s bidang-s, spts-plane, (s+ σ)(s-σ) atau Kasus ini diselesaikan the auxiliary poly nomial, U(s), w hich is located in the row above the row containing persamaan auxiliary U(x), yg diletakkan di dalam baris di atas baris yg mengandung the zero entry in the Routh array. masukan NOL pd Larik Routh q( s )

3

Kasus Keempat : Akar2 berulang Persamaan Karakteristik pd sumbu jw

2

s + 2⋅ s + 4s 4 +K

s3 s2

Larik Routh Routh array: :

s

1

1 2

4 K

8− K 2

0

K

0

s0

Dgn akar2 sederhana pd sumbu jw, sistem akan memiliki tingkah laku stabil terbatas. Lain halnya bila akar2 berulang. Akar2 berulang pd sumbu jw akan menyebabkan sistem menjadi tidak stabil. Sayangnya, Larik Routh tidak mampu mengungkapkan ketidak stabilan ini

For asistem stable system w edipersyaratkan require that 0
Utk kasus stabilstable terbatas, = 8,the baris s1 Larik NOL semua. Pers For the marginally case,KK=8, s^1 row of theRouth Routh berisi array contains all zeros. The 2 auxiliary berasalcomes dari baris auxiliary plynomial f rom s the s^2 s 2 row . U( s )

2

2s + Ks

0

2

2⋅ s + 8

(

2

)

2s +4

2( s + j⋅ 2) ( s − j⋅ 2)

ItIni c an bedibuktikan proven that bahwa U(s) is aU(s) f actoradl of faktor the characteris dpt dr PK tic polynomial: q( s )

s+2

U( s )

2

Thus, w hen K=8, theKfactors of the characteristic Sehingga, ketika = 8, faktor2 dr PK adl : polynomial are: q(s )

( s + 2) ( s + j⋅ 2) ( s − j⋅ 2) Dasar Otomatisasi@2007

157

158


Contoh 3.5. Sistem Kendali Alat Patri

Contoh 3.4

Controller

Head Dynamics

R(s) Posisi yg dikehendaki

Y(s) Posisi Data Kepala

Dgn reduksi Diagram reduction Blok diperoleh : that: Using block diagram we find

The LarikRouth Routharray : is then:

s4

1

11

s3 s2 s1 s0

6 b3 c3 Ka

( K + 6) Ka

where: b3 Dimana :

60 − K 6

Ka

and

c3

b 3( K + 6) − 6⋅ Ka b3

For Utk the sistem system agar to stabil, be stable b3 dan bothccbHARUS and c3 must positif be positive. 3 Using these equations a ini, relationship can be determined for K utk andKa dan . Gunakan persamaan2 suatu hubungan dpt ditentukan ε Dasar Otomatisasi@2007

159


160

40

Contoh Perancangan : Kendali Belok Wahana yg Bergerak pd suatu Jalur

Permasalahan : Perancangan kendali belok utk suatu wahana yg berjalan pd suatu jalur. Pilih K dan a sehingga sistem stabil. Sistem dimodelkan sbb :

Kadang perlu utk mengetahui peredaman relatif setiap akar thd PK. Kestabilan sistem relatif dpt diukur dgn mengamati bag nyata relatif setiap akar. Pd diagram sebelah r2 relatif lebih stabil drpd pasangan akar r1

Y(s)

Throttle

Arah

Steering

Perjalanan

Satu metode utk menentukan kestabilan relatif setiap akar adl menggunakan pergeseran sumbu di dlm domain-s dan kemudian menggunakan Larik Routh spt pd contoh 3.6. Y(s)

R(s) Arah Belok Yg Diinginkan Dasar Otomatisasi@2007

161

Kestabilan Sistem


162

Kestabilan Sistem

The characteristic equationsistem of thisadalah system: is: Persamaan Karakteristik 1 + Gc⋅ G( s )

0

or atau 1+

K( s + a ) s ( s + 1) ( s + 2) ( s + 5)

0

Thus, Maka, s ( s + 1) ( s + 2) ( s + 5) + K( s + a )

1

17

Ka

s3 s2

8 b3

( K + 10) Ka

0

s1

c3

s0

Ka

0 where dimana

or atau 4

s4

3

2

s + 8s + 17s + ( K + 10)s + Ka

b3

0

126 − K

To determine a stable region forsistem, the system, wedgn establish Routh as: Utk menentukan daerah stabil periksa Larik the Routh sbbarray :

where dimana b3

4

s s3

1 8

17 ( K + 10)

2

s s1

b3 c3

Ka

s0

Ka

126 − K 8

and

and

8

c3

b 3( K + 10) − 8Ka b3

Therefore, Oleh karena itu,

Ka 0

K < 126 K⋅ a > 0 ( K + 10) ( 126 − K) − 64Ka > 0

c3

b 3( K + 10) − 8Ka b3


163


164

41

Kestabilan Sistem Menggunakan MATLAB


System Stability Kestabilan Sistem Menggunakan Using MATLAB MATLAB

165




166


167


168

42

Matematika Teknik Persamaan Diferensial Transformasi Laplace. Elektronika Dasar Hukum OHM Hukum KIRCHOFF I dan II

Recommend Documents