Matematika SMA (Program Studi IPA)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang - Blogspot

Page 1 of 13

5. 2.

Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Simbol 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑦 ′ =

Definisi

𝑑𝑦 𝑑 = (𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim

dengan catatan limit ini ada

Turunan Fungsi Aljabar

Turunan Fungsi Trigonometri

𝑓(𝑥) = 𝑐 → 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 →

𝑓 ′ (𝑥) = 0 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛. 𝑎𝑥 𝑛−1

Sifat: 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑢 → 𝑓(𝑥) = 𝑢 ± 𝑣 → 𝑓(𝑥) = 𝑢 ∙ 𝑣 →

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘𝑢′ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ ± 𝑣 ′ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′

𝑢 𝑓(𝑥) = 𝑣

→

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑢) →

𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 → 𝑓(𝑥) = cot 𝑥 → 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 → 𝑓(𝑥) = csc 𝑥 →

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′ 𝑣2 ′ (𝑥) ′ (𝑢) 𝑓 =𝑓 ∙ 𝑢′ 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑓 ′ (𝑥) = sec 2 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = − csc 2 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = − csc 𝑥 cot 𝑥

Aplikasi Turunan Fungsi Gradien Garis Singgung Kurva 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) di titik 𝑥 = 𝑎

Persamaan Garis Singgung di titik (𝑥1 , 𝑦1 )

𝑚 = 𝑓 ′ (𝑎)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.

Grafik Fungsi 𝑓 Naik

Grafik Fungsi 𝑓 Tidak Naik dan Tidak Turun

Grafik Fungsi 𝑓 Turun

𝑓 ′ (𝑎) > 0

𝑓 ′ (𝑎) = 0

𝑓 ′ (𝑎) < 0

Titik dimana grafik fungsi 𝑓 tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.

Titik Maksimum

Titik Belok

Titik Minimum

“naik – stasioner – turun”

“naik – stasioner – naik” atau “turun – stasioner – turun”

“turun – stasioner – naik”

Page 2 of 13

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar. Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 → 𝒇′ (𝒙) = 𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏−𝟏 𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏

𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏−𝟏

Proses mencari turunan fungsi 𝑎𝑥 𝑛 : 1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya! 3. Selesai!

Page 3 of 13

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya: 𝑦 = sin 𝑥 →

𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝑦′ = cos 𝑥

𝑦 = cos 𝑥

→

𝑦′ = −sin 𝑥

𝑦 = −sin 𝑥

→

𝑦′ = −cos 𝑥

𝑦 = −cos 𝑥

→

𝑦′ = sin 𝑥

Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus. KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian: 𝑢 𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣 ′ 𝑦= → 𝑦′ = 𝑣 𝑣2 Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan 𝑥? ⇒ 𝑦 = tan 𝑥 = ⇒ 𝑦′ =

′ sin 𝑥 → 𝑢 = sin 𝑥 ⇒ 𝑢 ′ = cos 𝑥 𝑣 = cos 𝑥 ⇒ 𝑣 = − sin 𝑥 cos 𝑥

𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣 ′ cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 (− sin 𝑥) cos2 𝑥 + sin2 𝑥 1 = = = = sec 2 𝑥 2 2 2 𝑣 cos 𝑥 cos 𝑥 cos 2 𝑥

Jadi, 𝑦 = tan 𝑥 → 𝑦 ′ = sec 2 𝑥. Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot 𝑥 , sec 𝑥 , dan csc 𝑥 menggunakan aturan dan sifat tersebut!!! LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 }⇒ 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⇓

turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga 𝐭𝐚𝐧 𝒙 dan 𝐜𝐨𝐭 𝒙 turunannya kembar

tan 𝑥

cot 𝑥

sec 𝑥

csc 𝑥

□𝟐

□𝟐

Cara membacanya: 𝑦 = tan 𝑥 → 𝑦 = cot 𝑥 → 𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦 = csc 𝑥 →

𝑦′ 𝑦′ 𝑦′ 𝑦′

= sec 2 𝑥 = − csc 2 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥

Tips membaca LOGIKA PRAKTIS:

□𝟐

Turunannya tan 𝑥 adalah sec 2 𝑥. Turunannya cot 𝑥 adalah – csc 2 𝑥.

Turunannya sec 𝑥 adalah sec 𝑥 tan 𝑥 Turunannya csc 𝑥 adalah − csc 𝑥 cot 𝑥

Page 4 of 13

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva 𝑓(𝑥)

Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓 ′ (𝑥)

Gradien Garis Singgung Kurva di 𝑥 = 𝑎 adalah

Persamaan Garis Lurus melewati titik (𝑥1 , 𝑦1 ) dengan gradien 𝑚 adalah:

𝑚 = 𝑓 ′ (𝑎)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

Gradien Garis Singgung Kurva 𝑓(𝑥) di titik (𝑥1 , 𝑦1 ) dengan gradien 𝑚 adalah: (𝑦 − 𝑦1 ) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Contoh Soal: Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2𝑥 − 3 pada titik (1, −4). Titik potong garis ℎ dengan sumbu X adalah …. a. b. c. d.

(−3,0) (−2,0) (−1,0) 1 (− , 0) 2 1 3

e. (− , 0) Pembahasan: Diketahui kurva 𝑓(𝑥) yaitu: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 8𝑥 + 2 Gradien garis singgung kurva di 𝑥 = 1 adalah: 𝑚 = 𝑓 ′ (𝑥) ⇒ 𝑚 = 𝑓 ′ (1) = 3(1)2 − 8(1) + 2 =3−8+2 = −3 Persamaan garis singgung kurva di titik (1, −4) dengan gradien 𝑚 = −3 adalah: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) ⇒ 𝑦 − (−4) = −3(𝑥 − 1) ⇔ 𝑦 + 4 = −3𝑥 + 3 ⇔ 𝑦 = −3𝑥 + 3 − 4 ⇔ 𝑦 = −3𝑥 − 1 Jadi garis ℎ adalah 𝑦 = −3𝑥 − 1. Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat 𝑦 = 0, sehingga: 𝑦 = 0 ⇒ 0 = −3𝑥 − 1 ⇔ 3𝑥 = −1 1 ⇔ 𝑥=− 3 1

Jadi, titik potong garis ℎ terhadap sumbu X adalah (− 3 , 0).

Page 5 of 13

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi. Hubungan antara Jarak (𝒔), Kecepatan (𝒗), dan Percepatan (𝒂). *) Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:

𝒔 𝒗 𝒂

turun

Turun artinya turunan fungsi. Sehingga cara membacanya seperti ini:

turun

𝑑𝑠

Fungsi 𝑣 adalah turunan dari fungsi 𝑠. atau dinotasikan 𝑣 = 𝑑𝑡 = 𝑠 ′ (𝑡) Fungsi 𝑎 adalah turunan dari fungsi 𝑣. atau dinotasikan 𝑎 =

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= 𝑣 ′ (𝑡)

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika

Contoh Soal 1: Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah 𝑡 detik dirumuskan dengan ℎ(𝑡) = 120𝑡 − 5𝑡 2 , maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …. meter. a. b. c. d. e.

270 320 670 720 770

Pembahasan: Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ(𝑡). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah 𝑣(𝑡). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah: 𝑑 𝑑 𝑣(𝑡) = (ℎ(𝑡)) ⇒ 𝑣(𝑡) = (120𝑡 − 5𝑡 2 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ∴ 𝑣(𝑡) = 120 − 10𝑡 Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol. 𝑣(𝑡) = 0 ⇒ 120 − 10𝑡 = 0 ⇔ −10𝑡 = −120 −120 ⇔ 𝑡= −10 ∴ 𝑡 = 12 s Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat 𝑡 = 12 s, yaitu ℎ(𝑡) = 120𝑡 − 5𝑡 2 ⇒ ℎ(2) = 120(12) − 5(12)2 = 1440 − 720 = 720 m Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.

Page 6 of 13

Contoh Soal 2: 1

3

Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu 𝑡 diberikan oleh fungsi 𝑠(𝑡) = 4 𝑡 4 − 2 𝑡 3 − 6𝑡 2 + 5𝑡. Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat 𝑡 = …. detik a. b. c. d. e.

6 4 3 2 1

Pembahasan: Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah 𝑠(𝑡). Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah 𝑣(𝑡). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah: 𝑑 𝑑 1 3 𝑣(𝑡) = (𝑠(𝑡)) ⇒ 𝑣(𝑡) = ( 𝑡 4 − 𝑡 3 − 6𝑡 2 + 5𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 4 2 9 ∴ 𝑣(𝑡) = 𝑡 3 − 𝑡 2 − 12𝑡 + 5 2 Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan (𝑎(𝑡) = 0). 𝑑 𝑑 9 𝑎(𝑡) = (𝑣(𝑡)) ⇒ 𝑎(𝑡) = (𝑡 3 − 𝑡 2 − 12𝑡 + 5) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 ∴ 𝑎(𝑡) = 3𝑡 2 − 9𝑡 − 12 Sehingga, 𝑎(𝑡) = 0 ⇒ 3𝑡 2 − 9𝑡 − 12 = 0 (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3) ⇔ 𝑡 2 − 3𝑡 − 4 = 0 (𝑡 + 1)(𝑡 − 4) = 0 ⇔ pembuat nol ⇒ 𝑡 + 1 = 0 atau 𝑡 − 4 = 0 ⇔ 𝑡 = −1  atau   𝑡 = 4 TM Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk 𝑡 = −1 adalah TM (tidak memenuhi). Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat 𝑡 = 4 detik.

Page 7 of 13

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva 𝑓(𝑥)

Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓 ′ (𝑥)

Periksa nilai 𝑓 ′ (𝑥) pada interval [𝑎, 𝑏]

𝑓 ′ (𝑥) > 0 ⇒ Fungsi 𝑓 naik

𝑓 ′ (𝑥) < 0 ⇒ Fungsi 𝑓 turun

“Fungsi Naik”

“Fungsi Turun”

+

−

𝑓 ′ (𝑥) 𝑏

𝑎

𝑎

Contoh Soal: 2 3

Grafik dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 12𝑥 + 20 naik untuk interval …. a. b. c. d. e.

3 < 𝑥 < −2 −2 < 𝑥 < 3 𝑥 < −2 atau 𝑥 > 3 𝑥 < 2 atau 𝑥 > −3 𝑥 < −3 atau 𝑥 > −2

Pembahasan: Naik atau turunnya grafik fungsi 𝑓(𝑥) dapat dilihat dari nilai 𝑓′(𝑥). 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 12𝑥 + 20 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 2𝑥 − 12 3 Fungsi 𝑓(𝑥) naik apabila 𝑓 ′ (𝑥) > 0. Sehingga, 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇒ ⇔ ⇔

2𝑥 − 2𝑥 − 12 > 0 (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 2) 𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) > 0 pembuat nol ⇒ 𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 = −2  atau   𝑥 = 3

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

+

+

− −2

3

Jadi grafik fungsi 𝑓(𝑥) akan naik dalam interval 𝑥 < −2 atau 𝑥 > 3.

Page 8 of 13

𝑓 ′ (𝑥) 𝑏

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner). Kurva 𝑓(𝑥)

Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓 ′ (𝑥)

Periksa nilai 𝑓 ′ (𝑥) pada 𝑥 = 𝑎

𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 ⇒ Fungsi 𝑓 naik atau turun

𝑓 ′ (𝑎) = 0 ⇒ Fungsi 𝑓 stasioner

Menentukan jenis titik stasioner grafik fungsi 𝑓(𝑎)

Metode grafis (Uji turunan pertama) titik maksimum +

Metode analitis (Uji turunan kedua)

titik minimum −

+

𝑓 ′ (𝑥)

𝑏

𝑎

𝑓 ′′ (𝑎) < 0 Titik Maksimum

𝑓 ′′ (𝑎) = 0 Titik Belok

𝑓 ′′ (𝑎) > 0 Titik Minimum

stasioner naik turun naik stasioner

TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:

titik belok −

− 𝑎

+ 𝑏

+

Perhatikan Grafik Fungsi 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

𝑓 ′ (𝑥)

𝑐

turun naik stasioner stasioner turun naik stasioner

𝒎𝒂𝒙 sin 𝑥 360° 𝒎𝒊𝒏

TIPS Mengingat Titik Belok: Perhatikan Grafik Fungsi 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

Page 9 of 13

cos 𝑥 360° 𝒃𝒆𝒍𝒐𝒌

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum). Nilai maksimum atau minimum fungsi 𝑓(𝑥) pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Tentukan nilai 𝑓(𝑥) pada ujung interval 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏)

Tentukan nilai stasioner 𝑓(𝑥) (Jika ada)

Pilih nilai terbesar  nilai maksimum Pilih nilai terkecil  nilai minimum Contoh Soal: 1

3

Nilai maksimum dari fungsi 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 2𝑥 + 9 pada interval −≤ 𝑥 ≤ 3 adalah …. 2

a. 9 3 5

b. 9 6 c.

10 1

d. 10 2 e. 10

2 3

Pembahasan: Nilai 𝑓(𝑥) pada ujung interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 3. 1 3 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(0) = (0)3 − (0)2 + 2(0) + 9 = 9 3 2 1 3 3 𝑥 = 3 ⇒ 𝑓(0) = (3) − (3)2 + 2(3) + 9 = 9 3 2 Fungsi 𝑓(𝑥) stasioner saat 𝑓 ′ (𝑥) = 0. 1 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 9 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 3 2 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 0 ⇔ ⇔ 𝑥 − 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = 1 atau 𝑥 = 2 +

− 1

+

𝑓 ′ (𝑥)

2

Sehingga, dari sketsa kurva 𝑓(𝑥) pada interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 terlihat bahwa: 𝑓(𝑥) maksimum di titik 𝑥 = 1 atau mungkin maksimum di 𝑥 = 3 dan 𝑓(𝑥) minimum di 𝑥 = 2. Periksa dulu apakah 𝑓(𝑥) maksimum di 𝑥 = 1 atau di 𝑥 = 3 dengan membandingkan nilai 𝑓(𝑥) pada kedua titik tersebut. 1 3 5 𝑥 = 1 ⇒ 𝑓(0) = (1)3 − (1)2 + 2(1) + 9 = 9 3 2 6 1 3 𝑥 = 3 ⇒ 𝑓(0) = (3)3 − (3)2 + 2(3) + 9 = 9 3 2 5

Jadi nilai maksimum 𝑓(𝑥) adalah 9 6.

Page 10 of 13

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum). Y Agar luas daerah arsir maksimum, maka: 𝑏

1 2

𝑎

1 2

Koordinat titik 𝑀 = ( 𝑎, 𝑏)

1 1 𝑀 ( 𝑎, 𝑏) 2 2

1

X

Luas maksimum 𝐿 = 4 𝑎𝑏

Y Agar luas daerah arsir maksimum, maka:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 𝐶 𝐵

1𝐶 2𝐴

Koordinat titik 𝑀 = (

1𝐶 1𝐶 𝑀( , ) 2𝐴 2𝐵 𝐶 𝐴

,

1𝐶 ) 2𝐵

1 𝐶2

X

ℓ

Luas maksimum 𝐿 = 4 𝐴𝐵

Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi. 𝑝=𝑠 } 𝐿 = 𝑝 × ℓ = 𝑠 × 𝑠 = 𝑠2 𝑙 =𝑠

𝑝

Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut: Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan

Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi

Periksa keadaan stasioner fungsi

Page 11 of 13

Contoh Soal: Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila koordinat M adalah …. Y a. b. c. d. e.

(2, 5) (3, 4) (3, 5) (4, 3) (5, 3)

6 𝑀 8

X

Pembahasan: Persamaan garis lurus yang melewati titik (8, 0) dan (0, 6) adalah: 6𝑥 + 8𝑦 = 48 Misal koordinat 𝑀 adalah (𝑥, 𝑦). Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang 𝑥 dan lebar 𝑦. Panjang = 𝑥 Lebar = 𝑦, dari persamaan 6𝑥 + 8𝑦 = 48 ⇒ 8𝑦 = 48 − 6𝑥 ⇔ 𝑦= ⇔ 𝑦=

48−6𝑥 8 3 6− 𝑥 4

Jadi luas persegi panjang adalah: 𝐿 =𝑝×ℓ 3 = 𝑥 (6 − 𝑥) 4 3 2 = 6𝑥 − 𝑥 4 3 3 𝐿 = 6𝑥 − 𝑥 2 ⇒ 𝐿′ = 6 − 𝑥 4 2 Luas persegi panjang akan maksimum jika 𝐿′ = 0 3 𝐿′ = 0 ⇒ 6 − 𝑥 = 0 2 3 ⇔ − 𝑥 = −6 2 −6 ⇔ 𝑥= 3 −2

⇔ ⇔

2 𝑥 = −6 × (− ) 3 𝑥=4 3

Substitusikan 𝑥 = 4 ke 𝑦 = 6 − 𝑥 diperoleh: 4 3 𝑦 = 6 − (4) = 6 − 3 = 3 4 Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat 𝑀 = (4, 3) Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Y Agar luas daerah arsir maksimum, maka: 𝑏

1

𝑎

1

Koordinat titik 𝑀 = (2 𝑎, 2 𝑏)

1 1 𝑀 ( 𝑎, 𝑏) 2 2

1

X

Luas maksimum 𝐿 = 4 𝑎𝑏

Karena 𝑎 = 8 dan 𝑏 = 6, dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat 𝑀 = (4, 3).

Page 12 of 13

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4 x 2  8 x  24 ) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah .... Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, A. Rp16.000,00 𝑈(𝑥) = 40𝑥 − (4𝑥 2 − 8𝑥 + 24)𝑥 = −4𝑥 3 + 8𝑥 2 +′ 16𝑥 𝑈(𝑥)akan maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈 (𝑥) = 0 tidak mungkin negatif sehingga B. Rp32.000,00 ⇒ 𝑈 ′ (𝑥) = 0 yang memenuhi hanya 𝑥 = 2 C. Rp48.000,00 ⇔ −12𝑥 2 + 16𝑥 + 16 = 0 (dibagi − 4) Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), D. Rp52.000,00 ⇔ 3𝑥 2 − 4𝑥 − 4 = 0 diperoleh: E. Rp64.000,00 ⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 𝑈(𝑥) = −4(2)3 + 8(2)2 + 16(2) ⇔

2.

𝑥=−

2 atau 𝑥 = 2 3

= −32 + 32 + 32 = 32

Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 5 x 2  10 x  30  dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah .... A. Rp10.000,00 𝑈(𝑥) = 50𝑥 − (5𝑥 2 − 10𝑥 + 30)𝑥 = −5𝑥 3 + 10𝑥′2 + 20𝑥 Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈 (𝑥) = 0 tidak mungkin negatif sehingga B. Rp20.000,00 𝑈(𝑥)akan ⇒ 𝑈 ′ (𝑥) = 0 yang memenuhi hanya 𝑥 = 2 C. Rp30.000,00 ⇔ −15𝑥 2 + 20𝑥 + 20 = 0 (dibagi − 5) Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), D. Rp40.000,00 ⇔ 3𝑥 2 − 4𝑥 − 4 = 0 diperoleh: E. Rp50.000,00 ⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 𝑈(𝑥) = −5(2)3 + 10(2)2 + 20(2) ⇔

𝑥=−

2 atau 𝑥 = 2 3

Page 13 of 13

= −40 + 40 + 40 = Rp40