Matematika SMA (Program Studi IPA)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Hario Pamungkas

4. 2.

Menyelesaikan persamaan trigonometri.

Nilai Perbandingan Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri 𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝐭𝐚𝐧 𝜽

0°

0

1

0

30°

1 2

1 √3 2

1 √3 3

45°

1 √2 2

1 √2 2

1

60°

1 √3 2

1 2

√3

90°

1

0

−

Kuadran

Relasi Sudut

Periodisasi

90°

Periksa Sudut

sin 𝑥 = sin(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°)

sin +

Semua +

Kuadran II

Kuadran III

Kuadran IV

0° 360°

Pilih Acuan

cos 𝑥 = cos(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°)

cos +

270°

SEMUA SINdikat TANgan KOSong

Genap 180° ± α 360° − α

Ganjil 90° ± 𝛼 270° ± 𝛼

Fungsi Tetap

Fungsi Berubah sin ↔ cos tan ↔ cot

360°

(−𝑥)

𝑥

tan 𝑥 = tan(□ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°) 𝑥

Grafik sin 𝛼

(180° − 𝑥)

𝑥

Kuadran I

180°

tan +

𝜽

Cek Kuadran Tanda ± Selesai

cos 𝛼

dimana 𝑛 bilangan bulat

Persamaan Trigonometri sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° (180° − 𝛼)

𝛼

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 360°

Relasi Sudut Negatif

tan 𝛼 360°

(−𝛼)

𝛼

sin(−𝛼) = − sin 𝛼 cos(−𝛼) = cos 𝛼 tan(−𝛼) = − tan 𝛼

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼 dimana 𝑛 bilangan bulat

LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri:

Persamaan Trigonometri Sederhana sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°

Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut: o Jika ada persamaan sin 𝑥 = sin 𝛼, maka penyelesaiannya adalah: 𝑥1 = 𝛼 + 𝑛 ∙ 360° 𝑥2 = (180° − 𝛼) + 𝑛 ∙ 360°

(180° − 𝛼)

𝛼

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° (−𝛼)

𝛼

o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya adalah: x1 = 𝛼 + 𝑛 ∙ 360° x2 = (−α) + n ∙ 360°

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°

o Jika ada persamaan tan x = tan α, maka penyelesaiannya adalah:

𝛼 dimana 𝑛 bilangan bulat

x = 𝛼 + 𝑛 ∙ 180°

Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal. Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah: Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari: Persamaan Awal pada Soal

Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri

Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana

sin 𝑥 = sin 𝛼

cos 𝑥 = cos 𝛼

cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1 ⇒ (2 cos 2 2𝑥 − 1) − cos 2𝑥 = −1 ⇔ 2 cos 2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 1 = −1 ⇔ 2 cos 2 2𝑥 − cos 2𝑥 = 0 ⇔ cos 2𝑥 (2 cos 2𝑥 − 1) = 0

⇔ cos 2𝑥 = 0 atau cos 2𝑥 =

1 2

tan 𝑥 = tan 𝛼

Cari Himpunan Penyelesaian

Jadi, untuk cos 2𝑥 = 0 = cos 90°, maka 2𝑥1 = 90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 45° + 𝑛 ∙ 180° 2𝑥2 = −90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −45° + 𝑛 ∙ 180° 1

Jadi, untuk cos 2𝑥 = = cos 60°, maka 2 2𝑥1 = 60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 30° + 𝑛 ∙ 180° 2𝑥2 = −60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −30° + 𝑛 ∙ 180° Dst… dst…. Sehingga akan diperoleh himpunan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut.

LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri: Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu.

Grafik periode

360°

Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai sinus sama dengan 1?

periode

Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk: 360°

sin 𝑥 = 1 = sin 90° ⇒ 𝑥 = 90° Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin 90°.

periode

360°

Daerah kuadran bernilai positif

Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90°. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1.

Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya? Perhatikan gambar di atas. Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf “S” tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Jadi,

sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼

(180° − 𝛼)

Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf “C” tidur. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?). Jadi, cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° (−𝛼)

𝛼

Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180°. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 180°. Jadi, tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼

Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri. Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah …. a. {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°} b. {30°, 60°, 135°, 180°, 210°, 225°, 300°, 330°} c. {0°, 30°, 135°, 150°, 210°, 225°, 300°, 330°} d. {30°, 45°, 120°, 135°, 210°, 225°, 300°} e. {30°, 45°, 135°, 150°, 240°, 225°, 315°} Penyelesaian: cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1 ⇒ (2 cos 2𝑥 − 1) − cos 2𝑥 = −1 ⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 1 = −1 ⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 = 0 ⇔ cos 2𝑥 (2 cos 2𝑥 − 1) = 0 2

1

⇔ cos 2𝑥 = 0 atau cos 2𝑥 = 2 Jadi, untuk cos 2𝑥 = 0 = cos 90°, maka 2𝑥1 = 90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 45° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥 = 45° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 225° 2𝑥2 = −90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −45° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 225° untuk 𝑛 = 2 ⇒ 𝑥 = 315° 1

Jadi, untuk cos 2𝑥 = 2 = cos 60°, maka 2𝑥1 = 60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 30° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥 = 30° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 210° 2𝑥2 = −60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = −30° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 150° untuk 𝑛 = 2 ⇒ 𝑥 = 330° Sehingga himpunan penyelesaian adalah {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°}.

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Himpunan penyelesaian persamaan cos2x  2 cos x  1; 0  x  2π adalah .... 𝜋 cos 2𝑥 − 2 cos 𝑥 = −1 1 3 cos 𝑥 = 0 = cos A. {0, π, π, 2π } ⇒ (2 cos 2 𝑥 − 1) − 2 cos 𝑥 + 1 = 0 2 2 2 Penyelesaiannya: ⇔ 2 cos 2 𝑥 − 2 cos 𝑥 = 0 𝜋 1 2 𝑥 = ± + 𝑘 ∙ 2𝜋 2 cos 𝑥 (cos 𝑥 − 1) = 0 B. {0, π, π, 2π } ⇔ 2 ⇔ 2 cos 𝑥 = 0 atau cos 𝑥 − 1 = 0 2 3 𝜋 1) 𝑥 = + 𝑘 ∙ 2𝜋 ⇔ cos 𝑥 = 0   cos 𝑥 = 1 2 1 3 𝜋 C. {0, π, π, π, } = 2 2 2 1 2 cos 𝑥 = 1 = cos 0 D. {0, π, π } Penyelesaiannya: 2 3 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋 1 E. {0, π, π } 3) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋 2 = 0, 2𝜋

𝜋

2) 𝑥 = − + 𝑘 ∙ 2𝜋 3

2

= 𝜋 2

Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < 𝑥 < 2𝜋 𝜋 3 maka yang memenuhi hanya { , 𝜋} 2 2

𝜋 3

Jika intervalnya diubah 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka penyelesaiannya {0, , 𝜋, 2𝜋} 2 2

2.

Himpunan penyelesaian persamaan cos4x  3sin 2x  1 ; 0  x  180 adalah .... 1 cos 4𝑥 + 3 sin 𝑥 = −1 A. {120, 150} sin 2𝑥 = − = − sin 30° = sin(−30°) 2 2 (1 − 2 sin 2𝑥) + 3 sin 2𝑥 + 1 = 0 B. {150, 165}⇒ 1 2 ⇔ −2 sin 2𝑥 + 3 sin 2𝑥 + 2 = 0 sin 2𝑥 = − = − sin 150° = sin(−150°) 2 C. {30, 150} ⇔ (−sin 2𝑥 + 2)(2 sin 2𝑥 + 1) = 0 Penyelesaiannya: D. {30, 165} ⇔ − sin 2𝑥 + 2 = 0 atau 2 sin 2𝑥 + 1 = 0 1 1) 𝑥 = −30° + 𝑘 ∙ 360° 2) 𝑥 = −150° + 𝑘 ∙ 360°   sin 2𝑥 = − E. {15, 105} ⇔ sin 2𝑥 = 2 (mustahil) = −15° + 𝑘 ∙ 180° = −75° + 𝑘 ∙ 180° 2

= 165°

= 105°

Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 150°, tapi salah ketik. Seharusnya 105°.

3.

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2 x  2 sin x  1 ; 0  x  2 π adalah .... cos 2𝑥 − 2 sin 𝑥 = 1 3π sin 𝑥 = 0 = sin 0 = sin 𝜋 A. {0, π, , 2π} ⇒ (1 − 2 sin2 𝑥) − 2 sin 2𝑥 − 1 = 0 3𝜋 sin 𝑥 = −1 = sin 2 ⇔ −2 sin2 𝑥 − 2 sin 𝑥 = 0 2 Penyelesaiannya: 4π ⇔ −2 sin 𝑥 (sin 𝑥 + 1) = 0 B. {0, π, , 2π} ⇔ −2 sin 𝑥 = 0 atau sin 𝑥 + 1 = 0 3 ⇔ sin 𝑥 = 0       sin 𝑥 = −1 1) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋 2) 2 =0 C. {0, π, π, 2π} 3 TRIK SUPERKILAT: D. {0, π, 2π} 3𝜋 Satu-satunya jawaban yang tidak memuat 3) 𝑥 = + 𝑘 ∙ 2𝜋 2 3π 2𝜋 adalah E. Perhatikan batas yang 3𝜋 E. {0, π, } = diminta soal. 2𝜋 tidak diikutkan.  2 2

𝑥 = 𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋 =𝜋

4.

Himpunan penyelesaian persamaan cos2x  3 cos x  2  0 untuk 0  x  2π adalah .... 1 𝜋 cos 2𝑥 − 3 cos 𝑥 + 2 = 0  π 3  cos 𝑥 = = cos 2 A. 0, , π, 2π  ⇒ (2 cos 𝑥 − 1) − 3 cos 𝑥 + 2 = 0 2 3  2 2  ⇔ Penyelesaiannya: 2 cos 2 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 1 = 0 𝜋 (2 cos 𝑥 − 1)(cos 𝑥 − 1) = 0  π 5  ⇔ 𝑥 = ± + 𝑘 ∙ 2𝜋 B. 0, , π, 2π  ⇔ 2 cos 𝑥 − 1 = 0 atau cos 𝑥 − 1 = 0 3 𝜋 𝜋  3 3  1 1) 𝑥 = + 𝑘 ∙ 2𝜋 2) 𝑥 = − 3 + 𝑘 ∙ 2𝜋 3 ⇔ cos 𝑥 =   cos 𝑥 = 1 𝜋  π 3  5 2 = = 𝜋 C. 0, , π, 2π  3 3 3 2   cos 𝑥 = 1 = cos 0 2   π D. 0, , π, π  Penyelesaiannya: 3   2 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋  π  E. 0, , π, 2π  3) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋  2  = 0, 2𝜋 Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋 𝜋 5 maka yang memenuhi hanya {0, , 𝜋} 3 3

𝜋 5

Jika intervalnya diubah 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka penyelesaiannya {0, , 𝜋, 2𝜋} 3 3