Matematika pro chemicke´ inˇzenyry ´ Drahoslava Janovska´
´ sky ZS 2011-2012 Pˇrednaˇ
´ ´ soustav nelinearn´ ´ ıch Fazov e´ portrety ´ ıch rovnic diferencialn´
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Obsah
1
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety ´ zn´ych stavu˚ nelinearn´ ´ ıch soustav Klasifikace rovnovaˇ ´ ı soustavy Linearizace nelinearn´ ´ zn´ych stavu˚ Stabilita rovnovaˇ
2
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
3
Uzavˇrene´ trajektorie
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ Uvod
´ ´ linearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ jsou globaln´ ´ ı fazov ´ ´ Fazov e´ portrety e´ portrety ´ trajektori´ı pokr´yva´ celou rovinu. U nelinearn´ ´ ıch soustav obvykle system ´ ı fazov ´ ´ v okol´ı rovnovaˇ ´ zn´ych stavu˚ a ty pak vyˇsetˇrujeme lokaln´ e´ portrety ´ ame, ´ ´ ı fazov´ ´ ´ sklad abychom z´ıskali v´ysledn´y globaln´ y portret.
´ ´ crty fazov´ ´ ´ u˚ jsou pˇrevzaty ze skript ´ Poznamka Nasleduj´ ıc´ı naˇ ych portret ˇ ´ ı rovnice, VSCHT A. Kl´ıcˇ , M. Kub´ıcˇ ek: Matematika III - Diferencialn´ Praha, 1992, ISBN 80-7080-162-X.
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych ´ ıch soustav Klasifikace rovnovaˇ ´ stavu˚ nelinearn´
´ znych ´ ıch soustav Klasifikace rovnovaˇ ´ stavu˚ nelinearn´ ˇ ´ ı soustavu Mejme nelinearn´ x˙ y˙
= =
v1 (x, y ) v2 (x, y ).
´ zn´y stav teto ´ soustavy, t.j. plat´ı Necht’ S0 = (x0 , y0 ) je izolovan´y rovnovaˇ v1 (x0 , y0 ) = v2 (x0 , y0 ) = 0 , ´ zˇ e v nem ˇ neleˇz´ı zˇ adn´ ´ y dalˇs´ı r.s. a existuje okol´ı r.s. S0 takove, Tayloruv ˚ rozvoj v1 , v2 v bodeˇ (x0 , y0 ), (x, y ) ∈ O(x0 , y0 ), v1 (x, y)
=
v1 (x0 , y0 ) + | {z } =0
v2 (x, y )
=
v2 (x0 , y0 ) + | {z } =0
∂v1 (x0 , y0 ) ∂v1 (x0 , y0 ) (x − x0 ) + (y − y0 ) + R1 (x, y ) ∂x ∂y ∂v2 (x0 , y0 ) ∂v2 (x0 , y0 ) (x − x0 ) + (y − y0 ) + R2 (x, y ) ∂x ∂y
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
´ znych ´ ıch soustav Klasifikace rovnovaˇ ´ stavu˚ nelinearn´
Oznaˇcme
∂v1 (x0 , y0 ) ∂x ∂v2 (x0 , y0 ) = ∂x
∂v1 (x0 , y0 ) ∂y ∂v2 (x0 , y0 ) = ∂y
a11 =
a12 =
a21
a22
Dostaneme Jacobiho matici J v bodeˇ S0 , S0 = (x0 , y0 ): ∂v1 (x0 , y0 ) ∂v1 (x0 , y0 ) a11 a12 ∂x ∂y J(S0 ) = = ∂v (x ∂v2 (x0 , y0 ) a21 a22 2 0 , y0 ) ∂x ∂y Zaved’me transformaci souˇradnic z1 := x − x0 , z2 := y − y0 . Pak r.s. S0 = (x0 , y0 ) pˇrejde v r.s. (z1 , z2 ) = (0, 0) . Dostaneme soustavu z˙ 1 z˙ 2
=
a11 z1 + a12 z2 + R1 (z1 , z2 )
=
a21 z1 + a22 z2 + R2 (z1 , z2 ) .
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ı soustavy Linearizace nelinearn´
´ ı soustavy Linearizace nelinearn´
´ budou cˇ ´ısla z1 = x − x0 , z2 = y − y0 a Je-li okol´ı bodu S0 dostateˇcneˇ male, ´ t.j. zbytky R1 (z1 , z2 ), R2 (z1 , z2 ) velmi mala, R1 = O(x − x0 )2 , R2 = O(y − y0 )2 . | {z } | {z } z1 z2 ´ ım zbytku˚ dostaneme soustavu linearn´ ´ ıch diferencialn´ ´ ıch rovnic: Zanedban´ z˙ 1 z˙ 2
= a11 z1 + a12 z2 =⇒ z˙ = J(S0 ) · z = a21 z1 + a22 z2 | {z } ´ ı soustavy v okol´ı r.s. S0 = (x0 , y0 ) linearizace nelinearn´
z˙ = J(S0 ) · z . . . rovnice ve variac´ıch soustavy x˙ = v1 (x, y), y˙ = v2 (x, y ), J(S0 ) . . . matice linearizace. ´ ´ soustav linearn´ ´ ıch diferencialn´ ´ ıch rovnic uˇz um´ıme, jen je ted’ Fazov e´ portrety ´ ıme jen v malem ´ okol´ı rovnovaˇ ´ zneho ´ provad´ stavu.
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ı soustavy Linearizace nelinearn´
Pˇr´ıklad 1 rovnic
ˇ fazov´ ´ ´ soustavy nelinearn´ ´ ıch diferencialn´ ´ ıch Naˇcrtnete y portret x˙ y˙
ˇ sen´ ˇ ı Re
=
ln(y 2 − x)
=
x − y − 1.
´ zne´ stavy: Nejprve urˇc´ıme rovnovaˇ ln(y 2 − x) x −y −1
= =
0 0
=⇒
y2 − x −y + x
= =
1 1
=⇒
´ zne´ stavy S1 = (0, −1), S2 = (3, 2). soustava ma´ dva rovnovaˇ −1 2y −1 −2 −1 4 J(x, y ) = y 2 − x y 2 − x =⇒ J(S1 ) = , J(S2 ) = . 1 −1 1 −1 1 −1 Charakteristicka´ rovnice a vlastn´ı cˇ ´ısla √ J(S1 ): λ2 + 2λ + 3 = 0 =⇒ λ1,2 = −1 ± i 2 =⇒
S1 je stabiln´ı ohnisko .
ˇ charakteristicka´ rovnice a vlastn´ı cˇ ´ısla J(S2 ): Obdobne, λ2 + 2λ − 3 = 0 =⇒ λ1 = 1, λ2 = −3 =⇒ S2 je sedlo (nestabiln´ı) .
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ı soustavy Linearizace nelinearn´
2 Vlastn´ımu cˇ ´ıslu λ1 = 1 odpov´ıda´ vlastn´ı vektor h1 = a 1 −2 vlastn´ımu cˇ ´ıslu λ2 = −3 odpov´ıda´ vlastn´ı vektor h2 = . Vektory h1 a 1 ˇ ve kter´ych z S2 (pro λ > 0) vychazej´ ´ ı separatrix sedla, resp. h2 urˇcuj´ı smery, ´ ı separatrix do S2 . (pro λ < 0) vchazej´
´ Poznamka
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ı soustavy Linearizace nelinearn´
´ zn´y stav nelinearn´ ´ ı soustavy ˇ Necht’ S0 = (x0 , y0 ) je rovnovaˇ Veta x˙ y˙
= =
v1 (x, y ), v2 (x, y ).
(1)
Necht’ J(S0 ) je pˇr´ısluˇsna´ matice linearizace a necht’ obeˇ vlastn´ı cˇ ´ısla matice J ´ e´ cˇ asti. ´ maj´ı nenulove´ realn ´ ´ nelinearn´ ´ ı soustavy (1) v jistem ´ okol´ı rovnovaˇ ´ zneho ´ Pak je fazov´ y portret ´ ´ soustavy stavu S0 kvalitativneˇ stejn´y jako fazov´ y portret ´ z˙ = J(S0 )z v okol´ı poˇcatku .
(2)
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ı soustavy Linearizace nelinearn´
´ zn´y stav soustavy (1), Definice Necht’ S0 = (x0 , y0 ) je izolovan´y rovnovaˇ J(S0 ) pˇr´ısluˇsna´ matice linearizace s vlastn´ımi cˇ ´ısly λ1 , λ2 , ktera´ neleˇz´ı na ´ ı ose. Pak imaginarn´ ´ ´ zn´y stav S0 uzlem. 1) Je-li λ1 · λ2 > 0, λ1 , λ2 ∈ R, naz´yvame rovnovaˇ ´ ´ zn´y stav S0 sedlem. 2) Je-li λ1 · λ2 < 0, λ1 , λ2 ∈ R, naz´yvame rovnovaˇ ´ ´ zn´y stav S0 ohniskem. 3) Je-li λ1,2 = a ± ib, a · b 6= 0 naz´yvame rovnovaˇ ´ ı ose, muˇ Tedy kromeˇ pˇr´ıpadu, kdy λ1 , λ2 leˇz´ı na imaginarn´ ˚ zeme klasifikaci ´ ´ u˚ nelinearn´ ´ ıch soustav v okol´ı rovnovaˇ ´ zneho ´ ´ fazov´ ych portret stavu pˇrevest ´ ´ u˚ linearizace techto ˇ ´ na klasifikaci fazov´ ych portret soustav v okol´ı poˇcatku.
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚ ´ zn´y stav soustavy (1). Necht’ J(S0 ) je pˇr´ısluˇsna´ ˇ Necht’ S0 je rovnovaˇ Veta matice linearizace.
Maj´ı-li obeˇ vlastn´ı cˇ ´ısla matice ´ ´ e´ cˇ asti, ´ J(S0 ) zaporn e´ realn je S0 asymptoticky ljapunovsky sta´ zn´ym stavem. biln´ım rovnovaˇ Existuje-li vlastn´ı cˇ ´ıslo matice ´ ´ ı, je J(S0 ) s kladnou realnou cˇ ast´ ´ zn´y stav S0 ljapunovsky rovnovaˇ nestabiln´ı.
Vrat’me se k Pˇr´ıkladu 1. √ S1 = (0, 1), J(S1 ) ma´ vl. cˇ . − 1 ± i 2 =⇒ S1 je ljapunovsky stabin´ı S2 = (3, 2), J(S2 ) ma´ vl. cˇ . λ1 = 1, λ2 = −3 ⇒ S2 je ljapunovsky nestabin´ı.
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚
Definice ´ zn´y stav soustavy x(t) Rovnovaˇ ˙ = v(x(t)) je ljapunovsky stabiln´ı ⇐⇒ ´ zˇ e ∀x ∈ Oδ (x0 ) je ϕx (t) ∈ Oε (ϕx0 (t)) ∀t ≥ 0 . ∀Oε (x0 ) ∃Oδ (x0 ) takove,
´ zn´y stav soustavy x(t) Rovnovaˇ ˙ = v(x(t)) je asymptoticky ljapunovsky stabiln´ı ⇐⇒ je ljapunovsky stabiln´ı a lim ρ(ϕx0 (t) − ϕx (t)) = 0 ∀x ∈ Oδ (x0 ) t→∞
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚
Homeomorfismus
Uvaˇzujme nyn´ı dveˇ soustavy x˙
=
´ v(x), x ∈ M1 ⊆ R2 , ϕ(t, x) fazov´ y tok na M1 ,
(3)
x˙
=
´ ´ soustavy na M2 . u(x), x ∈ M2 ⊆ R2 , ψ(t, x) fazov´ y tok teto
(4)
ˇ ıkame, ´ ´ ´ soustav (3) a (4) jsou topologicky Definice R´ zˇ e fazov e´ portrety ekvivalentn´ı, jestliˇze existuje homeomorfismus h : M1 −→ M2 , kter´y zobrazuje ´ ı trajektorie prvn´ı soustavy na trajektorie druhe´ soustavy pˇri zachovan´ orientace, t.j. plat´ı h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)) . ´ h a h−1 jsou ´ Poznamka h : M1 −→ M2 je homeomorfismus ⇐⇒ h je proste, ´ spojita.
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚
´ Poznamka Necht’ soustavy (3) a (4) jsou topologicky ekvivalentn´ı prostˇrednictv´ım homeomorfismu h. Pak (i) h zobrazuje stabiln´ı (nestabiln´ı) r.s. soustavy (3) na stabiln´ı (nestabiln´ı) r.s. soustavy (4), ˇ (ii) h zobrazuje uzavˇrene´ trajektorie na uzavˇrene´ o stejne´ periode, (iii) h zobrazuje ω−limitn´ı mnoˇziny trajektori´ı soustavy (3) na ω−limitn´ı mnoˇziny trajektori´ı soustavy (4), (iv) h zobrazuje homokliniky (heteroknliniky) soustavy (3) na homokliniky (heterokliniky) soustavy (4). Definice Necht’ trajektorie γx odpov´ıda´ ˇreˇsen´ı ϕx (t) soustavy x˙ = v(x(t)). ´ zˇ e existuje Existuje-li posloupnost {ti }∞ i=1 , lim ti = ∞ takova, i−→∞
´ lim ϕx (ti ) = z ∈ Rn , naz´yvame bod z ω−limitn´ım bodem trajektorie γx .
i−→∞
Mnoˇzina vˇsech ω−limitn´ıch bodu˚ = ω−limitn´ı mnoˇzina trajektorie γx . Znaˇc´ıme ω(γx ) nebo jen ω(x).
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚
´ zn´y stav soustavy x˙ = v(x(t)), γa trajektorie ˇreˇsen´ı ϕa (t), pro Je-li x1 rovnovaˇ ktere´ plat´ı (i) lim ϕa (t) = x1 t→∞
→ (ii) lim ϕ0a (t) = − τ1 t→∞
→ ˇ ıkame, ´ ´ ı do r.s. x1 ve smeru ˇ vektoru − R´ zˇ e trajektorie γa vchaz´ τ 1. ˇ plat´ı-li pro r.s. x2 Podobne, (i) (ii)
lim ϕb (t) = x2
t→−∞
→ lim ϕ0b (t) = − τ2
t→−∞
ˇ ıkame, ´ ´ ı z r.s. x2 ve smeru ˇ R´ zˇ e trajektorie γb pˇr´ısluˇsna´ ˇreˇsen´ı ϕb (t) vychaz´ → vektoru − τ 2. ´ ´ Poznamka Plat´ı-li jen prvn´ı vztah a lim ϕ0a (t) neexistuje, ˇr´ıkame, zˇ e t→∞
´ ı do r.s. spiralovit ´ ˇ trajektorie konˇc´ı v bodeˇ x1 (trajektorie vchaz´ e). Obdobneˇ neexistuje-li lim ϕ0b (t), trajektorie zaˇc´ına´ v r.s. x2 . t→−∞
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚
´ spojite´ zobrazen´ı, h−1 ´ Poznamka h : M1 −→ M2 homeomorphismus (proste, ´ take´ spojite) ´ Topologicka´ ekvivalence = vztah mezi fazov´ ymi toky soustav: h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)) | {z } | {z } ⊆ M1 ⊆ M2
Topologicka´ ekvivalence h nerozliˇs´ı uzel a ohnisko (napˇr. dikritick´y uzel lze ´ ´ stabiln´ıho ohniska). Aby bylo moˇzno zobrazit homeomorfneˇ na fazov´ y portret ´ rozliˇsit uzel a ohnisko, mus´ı b´yt h difeomorfismus, t.j. h mus´ı b´yt proste, ´ ı derivace h i h−1 mus´ı b´yt take´ spojite. ´ spojite´ a parcialn´
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚
Diferencovatelneˇ ekvivalentn´ı soustavy ˇ ˇ dveˇ soustavy Mejme opet x˙
=
v(x), x ∈ M1 ⊆ R2 ,
(5)
x˙
=
u(x), x ∈ M2 ⊆ R2 ,
(6)
kde M1 , M2 jsou oblasti v R2 , h : M1 −→ M2 homeomorfismus, kter´y zobrazuje ´ ı trajektorie prvn´ı soustavy na trajektorie druhe´ soustavy pˇri zachovan´ ´ ´ soustav jsou topologicky ekvivalentn´ı orientace, t.j. fazov e´ portrety h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)) . | {z } pˇrep´ısˇ eme ve tvaru ψ t (h(x)) = h(ϕt (x)) , kde h je difeomorfismus, h(x)
=
h0 (x)
=
h(x1 , x2 ) = (h1 (x1 , x2 ), h2 (x1 , x2 )) a ∂h1 (x) ∂h1 (x) ∂h(x) ∂x1 2 ∂h (x) ∂h∂x(x) = 2 2 ∂x ∂x1 ∂x2
je derivace difeomorfismu h (Jacobiova matice zobrazen´ı h) .
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ znych Stabilita rovnovaˇ ´ stavu˚
ˇ ıkame, ´ ´ ´ soustav (5) a (6) jsou diferencovatelneˇ Definice R´ zˇ e fazov e´ portrety ekvivalentn´ı, jestliˇze existuje difeomorfismus h : M1 −→ M2 , kter´y zobrazuje ´ ı trajektorie prvn´ı soustavy na trajektorie druhe´ soustavy pˇri zachovan´ orientace, t.j. plat´ı ψ t (h(x)) = h(ϕt (x)) . ´ soustavy, y∗ = h(x∗ ) . . . r.s. ´ Poznamka x˙ = v(x), x ∈ M1 ⊆ R2 , x∗ r.s. teto 2 soustavy x˙ = u(x), x ∈ M2 ⊆ R . Necht’
Pak
J(x∗ )
...
matice linearizace 1. soustavy v r.s. x∗
J(y∗ )
...
matice linearizace 2. soustavy v r.s. y∗ = h(x∗ )
=
h0 (x∗ ) · J(x∗ ) · (h0 (x∗ ))−1
∗
J(y )
=⇒
´ zn´ych stavech obou soustav, ktere´ si odpov´ıdaj´ı Matice linearizace v rovnovaˇ ´ Maj´ı tedy stejna´ vlastn´ı cˇ ´ısla. pˇri difeomorfismu h, jsou podobne. ´ er ˇ Diferencovatelna´ ekvivalence rozliˇs´ı uzel a ohnisko. Zav
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
ˇ (Grobmanova–Hartmanova) Necht’ soustava x˙ = v(x), x ∈ Rn , ma´ Veta izolovan´y r.s. x∗ takov´y, zˇ e pˇr´ısluˇsna´ matice linearizace J(x∗ ) ma´ vˇsechna ´ ymi cˇ astmi. ´ vlastn´ı cˇ ´ısla s nenulov´ymi realn´ ´ zˇ e na O(x∗ ) je fazov´ ´ ´ soustavy x˙ = v(x) Pak existuje O(x∗ ) takove, y portret ´ ´ ´ ı soustavy x˙ = J(x∗ ) · x, topologicky ekvivalentn´ı s fazov´ ym portretem linearn´ ´ t.j. fazov e´ toky soustav ´ ı) x˙ = v(x) (nelinearn´
a
´ ı) x˙ = J(x∗ ) · x (linearn´
´ jsou topologicky ekvivalentn´ı prostˇrednictv´ım vhodneho homeomorfismu. ˇ ´ ´ ´ Poznamka Pˇripomenme, zˇ e topologicka´ ekvivalence nerozliˇs´ı fazov´ y portret ´ ´ matice uzlu a ohniska. Pro n = 2 (rovinne´ soustavy) lze ukazat, zˇ e ma-li linearizace J(x∗ ) vlastn´ı cˇ ´ısla λ1,2 = a ± ib, a · b 6= 0, pak trajektorie maj´ı v ´ ktere´ konˇc´ı v r.s. x∗ (je-li x∗ stabiln´ı), je-li x∗ nestabiln´ı, okol´ı x∗ tvar spiral, ´ ktere´ se odv´ıjej´ı od x∗ . trajektorie maj´ı tvar spiral,
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ˇ Veta (Bendixonovo kriterium) ˇ v rovine, x˙ = v(x),
ˇ ´ ıch rovnic Mejme soustavu diferencialn´
x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ,
Jestliˇze div v(x) =
i.e.,
x˙ 1 x˙ 2
= =
v1 (x1 , x2 ) v2 (x1 , x2 ) .
∂v2 (x) ∂v1 (x) + 6= 0 ∂x1 ∂x2
ˇ e´ jednoduˇse souvisle´ oblasti D ⊂ R2 , pak soustava x˙ = v(x) nema´ v na nejak ´ oblasti D zˇ adnou uzavˇrenou trajektorii γ ⊂ D.
´ ´ nelinearn´ ´ ıch soustav v rovineˇ Fazov e´ portrety
Pˇr´ıklad 0
x y0
= =
ˇ Grobmanova–Hartmanova Veta
Uzavˇrene´ trajektorie
´ ıch rovnic v rovine: ˇ Soustava diferencialn´ −y + x(1 − x 2 − y 2 ), x + y(1 − x 2 − y 2 ),
i.e.,
∂v1 = 1 − 3x 2 − y 2 , ∂x
v1 (x, y ) v2 (x, y )
= =
−y + x(1 − x 2 − y 2 ) , x + y (1 − x 2 − y 2 ) .
∂v2 = 1 − x 2 − 3y 2 . ∂y
divv(x) = 2(1 − 2(x 2 + y 2 )) = 0
⇐⇒
x2 + y2 =
1 . 2
1 =⇒ 2 ´ ´ a´ cela´ uzavˇrena´ uvnitˇr kruˇznice nemuˇ leˇzet zˇ adn ˚ ze podle Bendixonova kriteria trajektorie. divv(x) > 0
⇐⇒
x2 + y2 <
ˇ sek kruˇznice nen´ı jednoduˇse souvisla´ oblast a vetu ˇ nelze ´ Poznamka Vnejˇ pouˇz´ıt. Nev´ım nic o existenci uzavˇrene´ trajektorie vneˇ kruhu.
