Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky

Matematika III ´ Zaklady vektorove´ analyzy ´ ´ Drahoslava Janovska, ´ Daniel Turz´ık Miroslava Dubcova,

´ Ustav matematiky

´ sky LS 2015-2016 Pˇrednaˇ

´ ı a vektorovy´ soucin ˇ Skalarn´

Obsah

1

´ ı a vektorovy´ soucin ˇ Skalarn´ ´ ı souˇcin Skalarn´ Vektorový souˇcin

2

´ ı operace 1. rˇadu ´ Diferencialn´ Gradient Divergence Rotace ˇ Greenova veta ´ ı operace 2. ˇradu ´ Diferencialn´ ´ ˇ Gaussova–Ostrogradskeho veta

´ ı operace 1. rˇadu ´ Diferencialn´



´ ı soucin ˇ Skalarn´

´ ı soucin ˇ Skalarn´ ´ dveˇ Vektorový prostor (V , +, ·) . . . Mnoˇzina V, na ktere´ jsou definovany ´ ı (+) a nasoben´ ´ ´ ym cˇ ´ıslem (·), ktere´ splnuj´ ˇ ı8 operace, a to sˇc´ıtan´ ı realn´ axiomu˚ (komutativita, asociativita, distributivita, nulový a opaˇcný prvek ´ ı a jednotkový prvek vzhledem k nasoben´ ´ ´ ym vzhledem ke sˇc´ıtan´ ı realn´ cˇ ´ıslem). ´ ı souˇcin: Skalarn´ u = (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ Rn , v = (v1 , v2 , . . . , vn ) ∈ Rn , =⇒

u·v =

n X

ui vi ∈ R ,

i=1

ˇ vektoru ||v || · cos α . . . kolmý prum ˚ et ˇ vektoru u, v do smeru u · v = ||u|| · ||v || · cos α v R2



´ ı soucin ˇ Skalarn´

´ ıho souˇcinu: Vlastnosti skalarn´ Necht’ V je vektorový prostor, a, b ∈ V , α, β ∈ R. Pak plat´ı

Pˇr´ıklad

a·a

≥0

∀a ∈ V ,

a·a=0⇔ a=0

a·b

=

b·a

a · (b + c)

=

a·b+c·d

(α a) · (β b)

=

(α β) a · b

a·b =0

⇔

a = 0 ∨ b = 0 ∨ a⊥b |{z} π cos = 0 2

´ Dokaˇzte, zˇ e uhlopˇ r´ıcˇ ky v kosoˇctverci jsou k sobeˇ kolme. ´ Dveˇ sousedn´ı strany v kosoˇctverci lze povaˇzovat za dva vektory a, b. Vek´ eˇ nezavisl ´ tory a, b jsou linearn e´ a ||a|| = ||b|| = 6 0. Jestliˇze i uhlopˇ r´ıcˇ ky v ´ kosoˇctverci uvaˇzujeme jako vektory u a v , je u = a + b, u 6= 0, v = b − a, v 6= 0. Potom u · v = (a + b) · (b − a) = −||a||2 + ||b||2 = 0, ´ a tedy vektory u a v jsou k sobeˇ kolme.



ˇ Vektorovy´ soucin

ˇ Vektorovy´ soucin Vektorový souˇcin jen pro vektory v R3 , t.j. u ∈ R3 , v ∈ R3 . Necht’ ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1). ~i ~j ~k w = u × v = u1 u2 u3 = v1 v2 v3 u u3 ~ u1 u3 ~ u1 u2 + k · − j· = ~i· 2 v1 v2 v2 v3 v1 v3

=

= (u2 v3 − u3 v2 , −u1 v3 + u3 v1 , u1 v2 − u2 v1 ) ∈ R3 . ˇ zn´ıka (ϕ je menˇs´ı z uhl Plocha rovnobeˇ ´ u, ˚ ktere´ vektory sv´ıraj´ı) ku × v k = ||u|| · ||v || · sin ϕ . | {z } ˇ zn´ıka urˇceneho ´ plocha rovnobeˇ vektory u a v




´ Vlastnosti vektoroveho souˇcinu ˇ ı Cvicen´

Pro a, b, c ∈ R3 , k ∈ R, dokaˇzte: a×0

=

0,

a×b

=

−(b × a) = −b × a = b × (−a)

´ eˇ zavisl ´ a, b linearn e´ vektory

⇒

a×b =0

a × (b + c)

=

a×b+a×c

(k a) × b

=

k (a × b) = a × (k b)

ˇ ı Cvicen´

Dokaˇzte

´ Poznamka

~i × ~i = 0, ~j × ~j = 0, ~i × ~j = ~k , ~j × ~k = ~i,

a × b = ||a|| · ||b|| · sin α · |{z} n ,

a×a=0

~k × ~k = 0 ~k × ~i = ~j . kde α ∈ h0, πi ,

´ y vektor jednotkový normalov´

ˇ ı Cvicen´

ˇ Dokaˇzte, zˇ e vektor u × v je kolmý k obema vektorum ˚ u a v.




ˇ y´ soucin ˇ Sm´ısen

Sm´ısˇ ený souˇcin: a, b, c ∈ R3 , pak a · (b × c) ∈ R . ˇ znostenu, ˇ V = |a · (b × c)| . . . objem rovnobeˇ ´ ı z tehoˇ ´ z vrcholu a jsou jehoˇz tˇri hrany vychazej´ urˇceny vektory a, b, c.

ˇ ı Cvicen´

Dokaˇzte, zˇ e pro vektory a, b, c ∈ R3 plat´ı a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) , a1 a · (b × c) = b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

.



Gradient

Gradient Necht’ f : Rn → R , bod X0 ∈ D(f ). Vektor ∂f ∂f ∂f (X0 ), (X0 ), . . . , (X0 ) , grad f (X0 ) ≡ ∇ f (X0 ) = ∂x1 ∂x2 ∂xn

Definice

´ ı derivace existuj´ı, nazývame ´ pokud vˇsechny tyto parcialn´ gradientem funkce f v bodeˇ X0 . Notace: ∂ ∂ ∂ ´ ∇ . . . operator nabla . . . ∇ = , ,... ∂x1 ∂x2 ∂xn ´ a´ smer ˇ nejrychlejˇs´ıho rustu ´ Poznamka Gradient je vektor, který udav ˚ funkˇcn´ıch hodnot. Ukaˇzme si, zˇ e gradient funkce je vˇzdy kolmý na vrstevnice ´ funkce. teto



Gradient

´ F Normalov y´ vektor ke kˇrivce ´ ˇ ˇ Veta Necht’ je dana rovnice F (x, y) = 0 a bod (x0 , y0 ), který ji splnuje, tj. F (x0 , y0 ) = 0. Necht’ grad F (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Pak body (x, y) z okol´ı bodu ˇ ı rovnici F (x, y) = 0, tvoˇr´ı jistou kˇrivku prochazej´ ´ ıc´ı (x0 , y0 ), ktere´ splnuj´ ´ ˇ ´ ˇ bodem (x0 , y0 ), jej´ ı z norm alov´ y vektor v tomto bod e je pr av e vektor ˇ grad F (x0 , y0 ) =

∂F ∂x

(x0 , y0 ),

∂F ∂y

(x0 , y0 ) .

Dukaz ˚ Necht’ napˇr´ıklad ∂F (x0 , y0 ) 6= 0.Pak na okol´ı bodu (x0 , y0 ) je rovnic´ı ∂y ´ funkce v F (x, y ) = 0 implicitneˇ definovana´ funkce y = f (x). Derivace teto ˇ ´ bodeˇ x0 , a tedy smernice k teˇcny k dane´ kˇrivce v bodeˇ (x0 , y0 ), je dana vztahem ∂F (x0 , y0 ) ∂x k = − ∂F . (x0 , y0 ) ∂y ∂F ∂F ˇ ym vektorem teˇcny ke Tedy vektor − (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) je smerov´ ∂y ∂x ˇ grafu f v bodeˇ (x0 , y0 ), a tedy k nemu kolmý vektor ∂F ∂F (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) grad F (x0 , y0 ) = ∂x ∂y ´ ym vektorem vrstevnice v bodeˇ (x0 , y0 ) . je normalov´



Gradient

ˇ Derivace ve smeru Necht’ f = f (x, y ), a = (a1 , a2 ) ∈ R2 : ||a|| = 1, (x0 , y0 ) ∈ D(f ) ˇ vektoru a v bodeˇ (x0 , y0 ): Derivace f ve smeru Da f (x0 , y0 ) = lim

t→0

f (x0 + ta1 , y0 + ta2 ) − f (x0 , y0 ) , t

ˇ jednotkoveho ´ pokud limita existuje. Tedy derivace f ve smeru vektoru a ´ ı nebo klesan´ ´ ı hodnot funkce f ve smeru ˇ tohoto popisuje rychlost stoupan´ vektoru. ´ ˇ y ´ Poznamka Pokud bychom uvaˇzovali m´ısto jednotkoveho vektoru a nejak´ ´ ˇ ı se hodnota limity prav ´ eˇ α−krat: ´ jeho α nasobek, zmen´ Dαa f (x0 , y0 ) = lim α · t→0

f (x0 + tαa1 , y0 + tαa2 ) − f (x0 , y0 ) = αDa f (x0 , y0 ) . αt

ˇ libovolneho ´ Pokud budeme poˇc´ıtat derivaci ve smeru vektoru v , budeme ˇ derivaci ve smeru ˇ jednotkoveho ´ ´ touto derivac´ı rozumet vektoru pˇr´ısluˇsneho k v v , tedy a := . kv k



Gradient

ˇ Veta Necht’ f ∈ C 1 (G), kde G ⊂ Rn je otevˇrena´ mnoˇzina, X0 = (x0 , y0 ) ∈ G , a ∈ Rn , ||a|| = 1 . Pak Da f (X0 ) = ∇f (X0 ) · a = ||∇f (X0 )|| · ||a|| · cos ϕ . | {z } ´ ı souˇcin skalarn´ Poloˇz´ıme-li a :=

(1)

∇f (X0 ) , je a jednotkový vektor, ||a|| = 1, a ||∇f (X0 )||

Da f (X0 ) = ||∇f (X0 )|| ⇒ cos ϕ = 1 ⇒ ϕ = 0 . ˇ s´ı, pokud a bude jednotkový vektor pˇr´ısluˇsný Tedy Da f (X0 ) bude nejvetˇ gradientu f v bodeˇ X0 . ∂f ˇ ˇ ych je ˇ ı Ukaˇzte, zˇ e pro funkci dvou promenn´ derivac´ı ve smeru Cvicen´ ∂x ∂f ˇ vektoru e2 = (0, 1). vektoru e1 = (1, 0) a je derivac´ı ve smeru ∂y ´ Poznamka

ˇ ych f (x1 , x2 , . . . xn ) je Obecneˇ pro funkci n promenn´ ∂f (X0 ) = Dei f (X0 ) . ∂xi



Gradient

ˇ derivaci funkce f (x, y ) = x 2 y − xy 2 ve smeru ˇ vektoru a Pˇr´ıklad Vypoˇctete v bodeˇ (1, 2); a je jednotkový vektor pˇr´ısluˇsný vektoru v = (3, 4). 1 ˇ sen´ ´ spojiteˇ diferencovatelna, ´ ˇ ı ||v || = 5 ⇒ a = (3, 4) , f je spojita, Re 5 ∂f ∂f grad f (x, y) = (x, y ), (x, y ) = (2xy − y 2 , x 2 − 2xy) , ∂x ∂y Da f (1, 2) = ∇f (1, 2) · a = (0, −3) ·

1 12 (3, 4) = − . 5 5

ˇ ∇f (1, 2, e) a derivaci ve Pˇr´ıklad f (x, y , z) = x 2 + x ln z − y 3 . Vypoˇctete ˇ gradientu v bodeˇ (1, 2, e). smeru ˇ sen´ ˇ ı: Re ∇f (x, y , z) = (2x + ln z, −3y 2 ,

x ), z

1 ∇f (1, 2, e) = (3, −12, ) . e

ˇ gradientu v bodeˇ (1, 2, e) je Derivace ve smeru r Da f (1, 2, e) = ||∇f (1, 2, e)|| =

9 + 144 +

1 . = 12.37478627. e2



Gradient

ˇ derivaci funkce f (x, y ) = Pˇr´ıklad Vypoˇctete a = 51 (3, −4) v bodeˇ X0 = (0, 1) .

p 3 ˇ vektoru x(y − 1)2 ve smeru

ˇ sen´ ´ nen´ı v bodeˇ (0, 1) spojiteˇ diferencovatelna, ´ tedy ˇ ı f je spojita, Re ´ podle definice. poˇc´ıtam q 16 2 3 3 t · 25 t −0 . f (0 + t 53 , 1 − t 45 ) − f (0, 1) 5 Da f (0, 1) = lim = lim = 0, 726848 t→0 t→0 t t ´ Poznamka

´ ˇ ´ F Gradient vektoroveho pole Mejme dano vektorove´ pole v (x, y , z) = (v1 (x, y , z), v2 (x, y , z), v3 (x, y , z)) ,

ktere´ je spojite´ a spojiteˇ diferencovatelne´ na otevˇrene´ mnoˇzineˇ G ⊂ R3 . Pak ´ gradient vektoroveho pole v definujeme jako tenzorový souˇcin vektoru˚ ∇ a v , ∂vi , i, j = 1, 2, 3 . grad v = ∇ ⊗ v = (∇j vi ) = ∂xj ´ ´ Gradient vektoroveho pole je tenzorove´ pole 2. ˇradu, jehoˇz souˇradnice tvoˇr´ı prvky Jacobiovy matice funkc´ı v1 (x, y, z), v2 (x, y, z), v3 (x, y, z) . Tedy  ∂v  ∂v ∂v  gradv = 

1

1

1

∂x ∂v2 ∂x ∂v3 ∂x

∂y ∂v2 ∂y ∂v3 ∂y

∂z ∂v2 ∂z ∂v3 ∂z

 .



Divergence

Divergence ´ Divergence a rotace jsou vektorove´ operatory, jejichˇz vlastnosti jsou ´ ı chovan´ ´ ı vektoroveho ´ odvozeny z pozorovan´ pole tekutiny nebo plynu. ´ Divergenci vektoroveho pole si lze pˇredstavit tak, zˇ e vektorove´ pole F ud´ıl´ı rychlost toku kapaliny. Jak se rychlost toku zvyˇsuje, kapalina expanduje pryˇc ´ ´ z poˇcatku. V tomto pˇr´ıpadeˇ je divergence vektoroveho pole kladna´ (obr. vlevo), div F > 0 . Jestliˇze vektorove´ pole pˇredstavuje tekutinu, ktera´ teˇce tak, zˇ e se stlaˇcuje do ´ ´ ´ ´ ı poˇcatku, divergence tohoto vektoroveho pole je zaporn a´ div F < 0, dochaz´ ke kompresi tekutiny (obr. vpravo).



Divergence

´ ı vektorove´ pole rychlosti F := F (x, y ) . . . dvoudimenzionaln´ ´ ım prostoru F := F (x, y , z) . . . vektorove´ pole rychlosti v tˇr´ıdimenzionaln´ ´ ˇ r´ı expanzi nebo kompresi vektoroveho ´ Divergence vektoroveho pole meˇ pole ´ bode, ˇ neudav ´ a, ´ ve kterem ´ smeru ˇ se expanze nebo komprese deje ˇ v danem ´ =⇒ divergence je skalar F : R3 −→ R3 ,

F = (F1 , F2 , F3 ),

div F =

∂F1 ∂F2 ∂F3 + + ∂x ∂y ∂z

´ ı souˇcin vektoru˚ ∇ a F , Pak divergence je skalarn´ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , · (F1 , F2 , F3 ) = F1 + F2 + F3 ∇· F = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z



Divergence

Pˇr´ıklady Pˇr´ıklad 1.

F (x, y , z) = (−y , xy, z)

=⇒

div F = 0 + x + 1 = x + 1

Pˇr´ıklad 2. F (x, y , z) = (x, y, z) =⇒ div F = 1 + 1 + 1 = 3 . . . kladna´ ´ ı divergence na volbeˇ bodu (x, y , z). konstanta. V tomto pˇr´ıpadeˇ nezavis´ Tekutina expanduje. Pˇr´ıklad 3.

ˇ ´ Vypoˇcteme divergenci vektoroveho pole (x, y , z) , (x 2 + y 2 + z 2 )3/2 div F (x, y , z) = F (x, y , z) =

ˇ sen´ ˇ ı Re

(x, y , z) 6= (0, 0, 0).

=

∂ x ∂ y ∂ z + + x (x 2 + y 2 + z 2 )3/2 y (x 2 + y 2 + z 2 )3/2 z (x 2 + y 2 + z 2 )3/2

=

(x 2 + y 2 + z 2 ) − 3x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) − 3y 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) − 3z 2 + + 2 2 2 5/2 2 2 2 5/2 (x + y + z ) (x + y + z ) (x 2 + y 2 + z 2 )5/2

=

3(x 2 + y 2 + z 2 ) − 3(x 2 + y 2 + z 2 ) =0 (x 2 + y 2 + z 2 )5/2

´ Tedy pokud nejsme v poˇcatku, nen´ı tok ani expanduj´ıc´ı ani kontrahuj´ıc´ı, div F = 0.



Divergence

ˇ ´ Ponoˇrme do kapaliny kuliˇcku upevnenou v poˇcatku a uvaˇzujme vektorove´ pole z Pˇr´ıkladu 2. Tekutina proud´ı pryˇc od kuliˇcky. Protoˇze ma´ vektorove´ pole ´ kladnou divergenci vˇsude, bude tok vektoroveho pole pryˇc od kuliˇcky, i kdyˇz ´ kuliˇcku posuneme z poˇcatku. ´ ı vektorove´ pole z Pˇr´ıkladu 2, vpravo je Vlevo na obr. je tˇr´ıdimenzionaln´ ´ ı vektorove´ pole z Pˇr´ıkladu 4. dvoudimenzionaln´



Divergence

´ Zavislost na dimenzi

Pˇr´ıklad 4.

´ ı verze vektoroveho ´ Dvoudimensionaln´ pole z Pˇr´ıkladu 3.

F (x, y) =

div F (x, y ) =

(x, y ) , (x 2 + y 2 )3/2

(x, y ) 6= (0, 0)

∂ x ∂ y + x (x 2 + y 2 )3/2 y (x 2 + y 2 )3/2

=

(x 2 + y 2 ) − 3x 2 (x 2 + y 2 ) − 3y 2 + 2 2 5/2 (x + y ) (x 2 + y 2 )5/2

=

2(x 2 + y 2 ) − 3(x 2 + y 2 ) −1 = 2 <0 (x 2 + y 2 )5/2 (x + y 2 )3/2

´ Vˇsude kromeˇ poˇcatku je div F (x, y) < 0. Tekutina se stlaˇcuje, i kdyˇz proud´ı ”ven”. Vloˇz´ıme-li kruh do proud´ıc´ı tekutiny, proud´ı tekutina do kruhu rychleji, neˇz z kruhu



Rotace

Rotace

´ ´ ´ ı z myˇslenky, jak muˇ Pˇredstava vektoroveho operatoru rotace vychaz´ ˚ ze kapalina nebo plyn rotovat (cirkulovat).

´ Rotace 2d vektoroveho pole

´ Rotace vektoroveho pole ve 3d



Rotace

F . . . vektorove´ pole, ktere´ reprezentuje tok tekutiny ˇ Vloˇzme do tekutiny malou kuliˇcku a upevneme jej´ı stˇred =⇒ kuliˇcka se ´ cet v libovolnem ´ smeru ˇ kolem sveho ´ muˇ stˇredu, ale nemuˇ ˚ ze otaˇ ˚ ze se hýbat. ˇ r´ı rotaci rot F vektoroveho ´ ´ Tato rotace meˇ pole F v bodeˇ ve stˇredu (male) ´ kuliˇcky . . . mikroskopicka´ rotace (cirkulace) vektoroveho pole F . Rotace je ˇ ruje podel ´ osy rotace a jeho orientaci urˇc´ıme vektor, rot F ∈ R3 , který smeˇ podle pravidla prave´ ruky. ∂ ∂ ∂ rot F = ∇ × F = × (F1 , F2 , F3 ) = , , ∂x ∂y ∂z i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = i ∂y ∂z − j ∂x ∂z + k ∂x ∂y = = F1 F2 F1 ∂x ∂y ∂z F3 F3 F2 F1 F2 F3 ∂F3 ∂F2 ∂F3 ∂F1 ∂F2 ∂F1 − i− − j+ − k, ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ˇ kde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) jsou jednotkove´ vektory ve smeru souˇradnicových os.



Rotace

Pˇr´ıklady ˇ rot F . F (x, y , z) = (−y , xy, z). Vypoˇctete i j k ∂ ∂ ∂ = i(0 − 0) − j(0 − 0) + k(y + 1) = (0, 0, y + 1) . rot F == ∂x ∂y ∂z −y xy y

Pˇr´ıklad

ˇ rot F . F (x, y , z) = (y , x 2 , −z). Vypoˇctete i j k ∂ ∂ ∂ = i(0 − 0) − j(0 − 0) + k(2x − 1) = (0, 0, 2x − 1) . rot F == ∂x ∂y ∂z y x 2 −z Pˇr´ıklad

Notace: rot F ≡ curl F = ∇ × F ,

F = (F1 , F2 , F3 ) ∈ R3 ,

rot F ∈ R3



Rotace

Makroskopicka´ rotace

Mikroskopicka´ rotace – kuliˇcka vhozena´ do kapaliny, stˇred kuliˇcky upevn´ıme, ´ cet ve vˇsech smerech ˇ ´ takˇze kuliˇcka se muˇ kolem sveho stˇredu, ale ˚ ze otaˇ nemuˇ ˚ ze se hýbat ´ cet v Makroskopicka´ rotace – uvoln´ıme stˇred kuliˇcky a kuliˇcka se zaˇcne otaˇ kruz´ıch nesena´ tokem tekutiny. Nelze ji jednoduˇse spoˇc´ıtat jako rotF . Pˇr´ıklad F (x, y , z) = (−y , x, 0) . . . rotace kolem osy z. V tomto pˇr´ıpadeˇ si ´ kuliˇcky v muˇ ˚ zeme makroskopickou rotaci pˇredstavit jako rotaci (volne) tekutineˇ v rovineˇ z = 0. Pozor!!! Tato makroskopicka´ rotace nen´ı rotF ´ ˇ rit rotF , mus´ıme upevnit stˇred kuliˇcky. vektoroveho pole F . Abychom mohli meˇ ˇ si, zˇ e rot F = (0, 0, 2) . Vypoˇctete (−y , x, 0) , (x, y ) 6= (0.0). Pˇr´ıklad F (x, y , z) = 2 x + y2 2 ´ kruˇznic x + y 2 = konstanta =⇒ dostaneme Rozliˇs´ıme 2 pˇr´ıpady: Podel pˇredchoz´ı pˇr´ıklad, tedy makroskopickou rotaci kolem osy z. ˇ rte. Pro obecný bod, který neleˇz´ı na ose z dostaneme rot F = (0, 0, 0) . Oveˇ



ˇ Greenova veta

ˇ Greenova veta

´ C . . . orientovana,jednoduch a´ uzavˇrena´ kˇrivka =⇒ Z − →− → ´ kˇrivkový integral F dr reprezentuje rotaci F ”kolem”kˇrivky C. C

´ ukazuje, jak Napˇr. je-li F rychlostn´ı pole toku vody, tento integral ´ cesty ve smeru ˇ orientace C. velkou tendenci ma´ voda cirkulovat podel ˇ ´ ı výpoˇcet Greenova veta . . . pˇrevad´ ´ ´ vektorovho pole pˇres uzavˇrenou kˇrivku C na dvojný kˇrivkoveho integralu ´ pˇres vnitˇrek C integral Ale co budeme integrovat pˇres vnitˇrek C, aby byl výsledek stejný, jako kdybychom integrovali po uzavˇrene´ kˇrivce C?



ˇ Greenova veta

ˇ udav ´ a´ vztah mezi makroskopickou rotac´ı podel ´ uzavˇrene´ Greenova veta kˇrivky C a souˇctem mikroskopických rotac´ı uvnitˇr C.

Makroskopicka´ cirkulace ´ ´ C vektoroveho pole F podel Z ZZ − →− → F dr = C

Souˇcet mikroskopických cirkulac´ı ´ vektoroveho pole F uvniˇr C

D

mikroskopicka´ cirkulace F dA {z } | (rot F ) · k

D . . . oblast ”uvnitˇr”uzavˇrene´ kˇrivky C, ˇ osy z, k . . . jednotkový vektor ve smeru ´ (rot F ) · k . . . z−ova´ sloˇzka operatoru rot F



ˇ Greenova veta

ˇ Greenova veta Necht’ C je kladneˇ orientovana´ jednoducha´ uzavˇrena´ kˇrivka, D je oblast ”uvnitˇr”uzavˇrene´ kˇrivky C. Pak Z ZZ ZZ − →− → ∂F2 ∂F1 F dr = (rot F ) · k dA = dA . − ∂x ∂y C D D Z

y 2 dx + 3xydy , kde C je kladneˇ orientovana´ hranice

ˇ Vypoˇctete

Pˇr´ıklad

C

horn´ıho pulkruhu D. ˚ F (x, y ) = (y 2 , 3xy)

6 y

´ ´ integrand Pomoc´ı dvojneho integralu:

'$ C D −1

- 6 -

1 x

∂F1 ∂F2 − = 3y − 2y = y ∂x ∂y √ oblast D: −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x 2



ˇ Greenova veta

Z

y 2 dx + 3xydy =

C

ZZ

ZZ (rot F ) · k dA = D

y dA = D

 √  Z 1−x 3 Z 1 1 2  = y dy  dx = (1 − x 2 )dx = . 2 3 −1 0 −1 Z

1

´ Jiný zpusob výpoˇctu: kˇrivkový integral: ˚ Z I= y 2 dx+3xydy , C je kladneˇ orientovana´ hranice horn´ıho pulkruhu D. ˚ C

Parametrizace C1 : r = 1, t ∈ h0, πi , x = cos t, y = sin t , dx = − sin tdt, dy = cos tdt

6 y

'$ C1 D −1 C2

- 6 -

1 x

Parametrizace C2 : t ∈ h−1, 1i , x = t, y = 0 , dx = dt, dy = 0



ˇ Greenova veta

Z

Z y 2 dx+3xydy +

I= C1

Z = Z

C2

π

sin t (− sin2 t + 3 cos t)dt = −

0

−

y 2 dx+3xydy =

π

Z

(− sin3 t+3 cos t sin t)dt+

π

sin t(1 − cos3 t)dt + 3

1

0dt = −1

0

Z

Z

Z

0

π

sin t cos tdt 0

Z 1 cos t = u = (1−u 2 )du = 1− cos3 t sin t (1−cos2 t)dt = − sin tdt = du 3 Z Z 1 cos t = u sin t cos tdt = = − udu = − cos2 t − sin tdt = du 2 π iπ 1 1h 2 cos2 t = . I = 1 − cos3 t − 3 2 3 0 0

ˇ ı Cvicen´

ˇ pomoc´ı Greenovy vety ˇ (kˇrivku nakreslete) Vypoˇctete Z √ 1 ( x − y ) dx + + x dy , 1 + y2 C

´ paraboly y 2 = x mezi body A = (0; 0) a kde kˇrivka C je sjednocen´ı cˇ asti ´ smyslu. B = (1; 1) a useˇ ´ cky AB. Kˇrivka je prob´ıhana´ v kladnem



ˇ Greenova veta

´ ´ ´ na ceste: ˇ ´ Poznamka Nezavislost kˇrivkoveho integralu Necht’ F = (F1 , F2 , F3 ) je vektorove´ pole na j.s. oblasti G ⊂ R3 , C uzavˇrena´ ´ vektoroveho ´ kˇrivka. Pak kˇrivkový integral pole Z − →− → ´ ı na integraˇcn´ı cesteˇ (tedy F je potencialn´ ´ ı na G) F dr nezavis´ C

⇐⇒ ∂F1 ∂F2 = , ∂y ∂x

∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F3 = , = , ∂z ∂x ∂z ∂y ⇐⇒ rot F = 0 .

´ ı definice divergence – integralem ´ ´ Poznamka Integraln´ se v tomto pˇr´ıpadeˇ ´ nebudeme se t´ım zabývat. mysl´ı ploˇsný integral, ´ Poznamka Chemicka´ interpretace divergence: div v (P), kde vektorove´ pole v je gradientem koncentrace, znamena´ ´ mnoˇzstv´ı chemicke´ latky, ktere´ v okol´ı bodu P pˇribude difuz´ ´ ı nebo vznikne chemickou reakc´ı (div v (P) < 0) a nebo z okol´ı bodu P zmiz´ı (div v (P) > 0).



ˇ Greenova veta

´ je div v (P) > 0 (expanze) se nazýva´ zdrojem Definice Bod P, ve kterem ´ ´ div v (P) < 0 (komprese) nebo zˇr´ıdlem vektoroveho pole v . Bod P, ve kterem se nazýva´ propadem . ´ Poznamka Vektorove´ pole v na oblasti G se nazýva´ nezˇr´ıdlove´ neboli ´ ı, jestliˇze solenoidaln´ div v (P) = 0 ∀P ∈ G, ´ y bod G nen´ı ani zˇr´ıdlem, ani propadem. t.j. zˇ adn´ ´ Poznamka

ˇ pak se podm´ınka Je-li v (x, y , z) rychlostn´ı pole v kapaline, div v = 0

nazýva´ v hydrodynamice rovnic´ı kontinuity nestlaˇcitelne´ kapaliny. Definice

Vektorove´ pole v (x, y , z), pro ktere´ plat´ı rot v (x, y , z) = 0,

´ se nazýva´ nev´ırove.




´ ı operace 2. rˇadu ´ Diferencialn´ ´ ı operace 2. ˇradu ´ ´ Diferencialn´ jsou výsledkem dvojnasobn e´ aplikace ´ ´ ı nebo vektorove´ pole. operatoru nabla ∇ na skalarn´ ´ ı pole tˇr´ıdy C 2 (G), t.j. funkce f : R3 −→ R, Necht’ f (x, y , z) je skalarn´ 2 f ∈ C (G) , a(x, y , z) je vektorove´ pole tˇr´ıdy C 2 (G). div grad f div grad f = ∇·∇f =

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

Poloˇzme 4f =

∂f ∂f ∂z , , ∂x ∂y ∂z

=

∂2f ∂2f ∂2f + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z

∂2f ∂2f ∂2f + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2

´ ı operator, ´ ´ 4 . . . Laplaceuv Laplacian ˚ diferencialn´ ˇ Nekdy se pouˇz´ıva´ oznaˇcen´ı ∂2 ∂2 ∂2 + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 ´ ı souˇcin operatoru ´ skalarn´ nabla se sebou samým. 4=∇ · ∇} = ∇2 = | {z




´ Poznamka

Laplaceova a Poissonova rovmice 4u = g na Ω ⊂ R2 ,

u = u0 na Γ = ∂Ω, . . .

´ ı diferencialn´ ´ ı rovnice 2. ˇradu ´ ´ . . . parcialn´ eliptickeho typu g=0

Laplaceova rovnice

g 6= 0

Poissonova rovnice

4u = 0

harmonicke´ funkce

div rot a div rot a = ∇ · (∇ × a) = ∇ ·

∂a3 ∂a2 ∂a1 ∂a3 ∂a2 ∂a1 − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

∂ 2 a3 ∂ 2 a2 ∂ 2 a1 ∂ 2 a3 ∂ 2 a2 ∂ 2 a1 − + − + − =0 ∂x∂y ∂x∂z ∂y ∂z ∂x∂y ∂x∂z ∂y ∂z =⇒ ˇ ı Cvicen´

Upravte

rot (rot a).

div rot a = 0 .

=




rot grad f ,

f ∈ C 2 (G)

i j k ∂ ∂ ∂ rot grad f = ∇ × ∇f = ∂x ∂y ∂z = ∂f ∂f ∂f ∂x ∂y ∂z 2 2 2 ∂ f ∂2f ∂ f ∂2f ∂ f ∂2f i −j +k = 0. − − − ∂y ∂z ∂z∂y ∂x∂z ∂x∂z ∂y ∂z ∂z∂y Tedy rot grad f = 0 . Kdybychom uvaˇzovali (∇ × ∇)f . . . i j k ∂ ∂ ∂ ∇ × ∇ = ∂x ∂y ∂z = 0, a tedy (∇ × ∇)f = 0 · f = 0 ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z

´ Poznamka



´ ˇ Gaussova–Ostrogradskeho veta

´ ˇ Gaussova–Ostrogradskeho veta ´ ˇ Veta Gaussova–Ostrogradskeho, divergenˇcn´ı Necht’ Ω ⊂ R2 je omezena´ oblast s Lipschitzovskou hranic´ı Γ, u ∈ H 1 (Ω) . Pak Z Z ∂u dx = u ni dS , i = 1, 2, Γ Ω ∂xi ˇ s´ı normala ´ ke Γ. kde n = (n1 , n2 ) je jednotkova´ vnejˇ ˇ ˇr´ıka, ´ zˇ e dvojný integral ´ pˇres Ω (= vnitˇrek C) je roven kˇrivkovemu ´ ´ Veta integralu ´ pˇres hranici Γ oblasti Ω, kde Γ = C je uzavˇrena´ kˇrivka kladneˇ orientovana. ˇ eˇ u := v · w. Dostaneme Poloˇzme ve vet Z Z ∂v ∂w w+ v dx = v · w · ni dS , ∂xi ∂xi Ω Γ

i = 1, 2,

1. Greenova formule Z Z Z ∂w ∂v wdx = v · w · ni dS − v dx , ∂x i Γ Ω ∂xi Ω

v , w ∈ C 1 (Ω), Ω ⊂ R2 .

i = 1, 2,

v , w ∈ C 1 (Ω), Ω ⊂ R2 .




Rozepiˇsme 1. Greenovu formuli do sloˇzek: Z Z Z ∂v wdx = v · w · n1 dS − ∂x1 ZΩ ZΓ ZΩ ∂v wdx = v · w · n2 dS − Ω ∂x2 Γ Ω Nyn´ı v rovnici (2) dosad´ıme w := Tedy Z Ω

Z Ω

∂v ∂w dx ∂x1 ∂x1 ∂v ∂w dx ∂x2 ∂x2

∂w v dx ∂x1 ∂w v dx ∂x2

(2) (3)

∂w ∂w a v rovnici (3) dosad´ıme w := . ∂x1 ∂x2

Z v·

= Γ

Z v·

= Γ

∂w · n1 dS − ∂x1

Z

∂w · n2 dS − ∂x2

Z

Ω

Ω

∂2w v dx ∂x12

(4)

∂2w v dx ∂x22

(5)




Rovnice (4) a (5) seˇcteme: Z

∂v ∂w ∂v ∂w + dx = ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 Ω Z Z 2 ∂2w ∂w ∂w ∂ w v· + · n1 + · n2 dS − v dx, ∂x1 ∂x2 ∂x12 ∂x22 Γ Ω

tedy Z

Z

Z

grad v · grad wdx =

v grad w · ndS −

Ω

neboli

Γ

Z

Z ∇v ∇wdx = Ω

v Γ

4 w · v dx Ω

∂w dS − ∂n

Z 4w v dx . Ω

2. Greenova formule Z Z Z ∂w − 4w v dx = − v dS + ∇v ∇wdx ∂n Ω Γ Ω

Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky

Recommend Documents