1 Úvod - jazyk matematiky Co je to matematika Co je algebra Jazyk matematiky... 6

Obsah 1 Úvod - jazyk matematiky 1.1 Co je to matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Co je algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Jazyk matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Polynomy 2.1 Co to je polynom? . 2.2 Operace s polynomy 2.3 Hornerovo schema . 2.4 Kořeny polynomu . . 2.5 Cvičení . . . . . . . 2.6 Výsledky . . . . . .

2 2 3 6

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

12 12 13 20 21 35 36

3 Matice 3.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . 3.2 Operace s maticemi . . . . . . . . 3.3 Elementární transformační matice 3.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Výsledky . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

38 38 39 45 56 58

4 Determinanty 4.1 Permutace . . . . . . . . 4.2 Determinant matice . . 4.3 Vlastnosti determinantů 4.4 Výpočet determinantu .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

61 61 68 72 78

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

Rejstřík

Anna Kalousová: Úvod do algebry

85

1

1. října 2006

Kapitola 1

Úvod - jazyk matematiky Velkou knihu přírody mohou číst jen ti, kteří rozumějí jazyku, jímž byla napsána. A tímto jazykem je matematika. (Galileo Galilei)

Na otázku: Co je to matematika? většina lidí asi odpoví, že matematika jsou vlastně počty. Ti, kteří se budou chtít trochu blýsknout, možná řeknou, že se jedná o vědu o číslech. Ale je to tak doopravdy? Zkusme se nejprve zamyslet nad tím,

1.1

Co je to matematika

Na počátku určitě bylo počítání a tedy i čísla. No, na úplném počátku byl smysl pro počet, tedy schopnost vyjádřit počet pomocí slov. V primitivních společnostech byla tato slova jen pro „ jedenÿ a „dvaÿ. Větší počty se označovaly slovem „mnohoÿ. Pozůstatky toho nacházíme i v indoevropských jazycích, kde slovo „třiÿ má podobný základ jako slovo označující „mnohoÿ, „přesÿ, či „zaÿ. Dalším dokladem je existence zvláštního duálního čísla podstatných jmen. I v hodinách českého jazyka jste se jistě setkali s pozůstatky duálu, který současná čeština používá už jen pro slova označující části těla vyskytující se po dvou (oči, uši, . . . ). V těchto primitivních společnostech se ještě nepočítalo. Počítání totiž předpokládá uvědomění si jakýchsi vztahů mezi jednotlivými počty. Pak ale lidé objevili snadný způsob zaznamenávání větších počtů (pomocí prstů na rukou a případně i na nohou, tyčinek, kamínků, škeblí, . . . ) a lidstvo začalo počítat. První známý početní systém pochází ze Středního východu. Organizované zemědělství potřebovalo nějak zaznamenávat stav zásob, sestavovat plán, uzavírat obchody, . . . Používali k tomu asi jeden centimetr velké pečlivě tvarované hliněné předměty (válce, disky, kužely, . . . ). Každý tvar zřejmě označoval něco jiného (zvíře, objemovou či délkovou míru, . . . , později i vyráběné předměty). Tyto předměty byly pro potřeby účetnictví ukládány do hliněných pouzder, která pak byla zapečetěna. To nebylo moc praktické, protože když chtěl někdo prozkoumat obsah pouzdra, musel nejprve odstranit pečeť. Sumerští účetní proto začali na pouzdra vyrývat symbolické značky označující počet kusů uvnitř. Tím se samotný obsah pouzder stal zbytečným, protože všechny důležité informace už byly na vnější straně pouzdra. Dost dlouho ale ještě trvalo, než si to uvědomili a než začali používat hliněné tabulky s vyrytými znaky. To byl obrovský krok v dějinách matematiky. Byl to vlastně přechod od fyzických předmětů k abstraktním symbolům. K tomu, aby lidé mohli počítat, byl důležitý také zápis čísel. Představte si třeba, že máte sečíst dvě čísla zapsaná římskými číslicemi. A co teprve, kdybyste je měli vynásobit. K „počítáníÿ je vhodný poziční zápis čísla, tak jak ho běžně používáme. Starověké civilizace používaly tento zápis v desítkové (Indové, Číňané), dvacítkové (Mayové, Kelti) nebo dokonce v šedesátkové (Sumerové) soustavě. Ve starověku se počítání (aritmetika) používalo k ryze praktickým účelům (výpočty plochy, úrody, rozměrů oltářů, pyramid, . . . ). Používala se pouze kladná celá čísla a jejich zlomky. V dochovaných textech jsou i snahy popsat postupy výpočtu, ale vždy jen pro konkrétní čísla. I když je leckdy zřejmé, že tato čísla slouží jen jako příklady a dají se nahradit jakýmikoli jinými. Je také zajímavé, s jakou √ přesností dokázali spočítat přibližné hodnoty některých iracionálních čísel. Třeba v Indii spočítali hodnotu 2, která se od skutečné liší zhruba o dvě miliontiny. Babyloňané se lišili dokonce o méně než jednu miliontinu (a to prosim v šedesátkové soustavě). Anna Kalousová: Úvod do algebry

2

1. října 2006

1.2. Co je algebra

3

V Řecku stála v popředí geometrie, čísla měla význam určitých vzdáleností, objemů. Řekové byli první, kdo přestali matematiku chápat jako jakousi „kuchařkuÿ, jak něco změřit, spočítat, . . . , a začali ji studovat. Thalés zavedl myšlenku matematického důkazu, Aristoteles položil základy logiky, Eukleides formuloval základní postuláty geometrie. V 17. století nezávisle na sobě Isaac Newton a G.W. Leibniz zavedli koncepci diferenciálního a integrálního počtu. Tím se matematika stala také naukou o pohybu a změnách. Ale právě diferenciální a integrální počet vedl matematiky k zamyšlení nad „základyÿ matematiky, vznikla teorie množin a spolu s ní se znovu začala rozvíjet matematická logika. Ve 20. století došlo k ohromnému rozvoji matematiky, původní obory jako třeba aritmetika, geometrie, algebra, . . . se rozdělily na různé podobory, vznikly také nové obory, třeba teorie výpočetní složitosti, . . . Jak tedy odpovědět na otázku, kterou jsme si položili na úvod? V poslední době se matematika definuje jako věda o strukturách. Zkoumá struktury numerické, struktury tvarů, pravděpodobnostní struktury, struktury reálné nebo vymyšlené, statické i dynamické. Podle zkoumaných struktur pak vznikla různá odvětví matematiky. Otázkou je, jak moc matematika souvisí s reálným světem. Jistě jste i vy sami několikrát matematiku pro řešení nějakých „praktickýchÿ problémů (jako např. „kolik rohlíků můžu denně sníst, když mám na tři dny padesát korunÿ nebo „kolik zaplatím za nový koberec, když jsem starý zničilÿ nebo „ jakou rychlostí by musel jet autobus městské dopravy, abych stihnul aspoň závěr cvičení, které končí za deset minutÿ apod.) použili. Ve škole jste různé děje ve světě popisovali pomocí matematických vzorců. Snad v každé vědecké práci se nějaký ten matematický vztah objevuje. Je to tedy tak, že svět kolem nás se chová podle nějakých matematických vztahů a úkolem vědy je tyto vztahy objevovat? Máme vlastně dva různé světy. Ten „skutečnýÿ svět věcí a vztahů mezi nimi a ten „matematickýÿ, pomocí kterého ten skutečný svět popisujeme. Cesta ze skutečného světa do světa matematiky se nazývá abstrakce (odhlédneme od nepodstatných věcí, jako třeba že z těch pěti jablek na stole je jedno shnilé a dvě nezralá), cesta v opačném směru se nazývá specifikace. Když tedy řešíme nějaký problém v reálném světě, pomocí abstrakce ho převedeme do matematického světa (popíšeme ho nějakými rovnicemi, . . . ), tam ho vyřešíme a to řešení zase pomocí specifikace převedeme do reálného světa. Když se vrátíme k těm jablkům na stole - je jich pět, nás je taky pět, matematicky je to jasné, každý si vezme jedno jablko. No, radši si to své půjdu rychle vybrat.

1.2

Co je algebra

Již od nejstarších dob se při řešení konkrétních příkladů objevovaly úlohy, které bychom dnes označili jako řešení lineárních nebo kvadratických rovnic, případně jejich soustav. Ve starověku byly tyto úlohy formulovány slovně, nepoužívala se žádná symbolika (první pokusy o jakousi algebraickou symboliku nacházíme až v Diofantově Aritmetice), často byla využívána geometrická terminologie (neznámá byla označována jako strana, její druhá mocnina jako čtverec, pokud byly neznámé dvě, byly označovány jako délka a šířka, ). Při řešení byla někdy formulována nějaká pravidla, ta ale nebyla nijak zdůvodňována. Na egyptských papyrech nacházíme úlohy, které vedou na řešení rovnic typu x + ax = b a x + ax + cx = b. Egypťané je řešili metodou falešného předpokladu. Rovnice řešili také v Číně. Nejstarším zachovaným dílem je Jiu zhang suan shu, česky Matematika v devíti knihách nebo také Devět kapitol o matematickém umění, stručně Devět kapitol. Doba jeho vzniku je nejasná, ale určitě to bylo před naším letopočtem. Shrnuje poznatky z předchozích dob. Na konkrétních příkladech jsou zde ukázány metody výpočtů, které Číňané používali. Poznáváme, že znali zlomky, počítali druhé a třetí odmocniny, obsah kruhu (ale používali π = 3), . . . Zajímavá je 8. kapitola, kde je popsána metoda řešení soustav lineárních rovnic nazývaná fang čcheng. Jde o jakousi obdobou Gaussovy eliminace, o které bude v těchto skriptech ještě řeč. Koeficienty jednotlivých rovnic Číňané „zapisovaliÿ do sloupců a následně prováděli eliminaci elementárními sloupcovými úpravami. Číňané čísla v pravém slova smyslu nezapisovali. Na počítací desce je znázorňovali pomocí tyčinek. Měli „znakyÿ (určité uspořádání tyčinek) pro číslice od jedné do devíti a ty byly dvojího druhu (pro sudé a liché řády). Čísla pak „zapisovaliÿ v desítkové soustavě. Samostatný znak pro nulu neměli, pokud se v desítkovém zápisu čísla někde nula objevila, prostě tam žádnou tyčinku nepoložili. Při manipulaci se v tabulce někdy objevovala i záporná čísla, ta byla na desce odlišena červenou barvou tyčinek. Záporná řešení rovnic Číňané neznali. Ve středověku zaujímala významné místo arabská matematika. V roce 850 vydal arabský matematik Abou Jafar Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi knihu Kitab al-jabr wa’l muqabalah. Kniha v šesti krátkých kapitolách popisovala způsoby řešení šesti typů lineárních a kvadratických rovnic (řešením byla stále jen kladná čísla). K tomu, aby se rovnice upravila na jeden z probíraných typů, se používaly dva kroky. Jeden se nazýval al-jabr Anna Kalousová: Úvod do algebry

3

1. října 2006

4

Kapitola 1. Úvod - jazyk matematiky

a odpovídal převedení členu z jedné strany rovnice na druhou s opačným znaménkem. Tedy z rovnice x + 3 = y odvodíme rovnici x = y − 3. Druhým krokem byl al-muqabalah, kterému odpovídala eliminace stejných nebo opačných členů, např. z rovnice y + 3 = x + 3 odvodíme rovnici y = x nebo z rovnice a + y − a = x odvodíme rovnici y = x. Tato kniha byla ve 12. století přeložena do latiny a vydána pod názvem Liber algebrae et almucabola (překladatel Robert de Chester si nedal moc práce s překladem názvu) a odtud pochází název algebra. Jméno autora bylo do latiny přepsáno jako „Algorismiÿ a časem z něho vzniklo slovo algoritmus. Další arabský matematik al’Karadží jako první vymezil algebru jako vědu, která učí, jak vypočítat neznámé veličiny pomocí veličin známých. Až do 17. století lze algebru charakterizovat jako zobecnění a rozšíření aritmetiky. Zabývala se především řešením polynomiálních rovnic. Zavedla také symbolické znaky pro operace a začala označovat neznámou písmeny. V 16. století italští matematici odvodili vzorce pro výpočet kořenů polynomů 3. a 4. stupně. Při výpočtech se ale pod druhou odmocninou objevovala i záporná čísla. Docházelo k tomu dokonce i v případech, kdy kořeny byly reálné. To vedlo k zavedení nových čísel označovaných trochu hanlivě jako čísla imaginární (pomyslná, vymyšlená, . . . ) nebo dokonce „impossibleÿ. Ne všichni matematici totiž byli ochotni je přijmout. Až o dvě století později se velcí matematici jako d’Alembert, Gauss nebo Euler zasadili o jejich přijetí. V 19. století irský matematik William Hamilton vytvořil algebraickou teorii komplexních čísel (pohled na komplexní čísla jako na uspořádanou dvojici čísel reálných). Pokusil se komplexní čísla rozšířit a vytvořil teorii kvaternionů. V 19. století se v algebře stále zkoumala otázka řešitelnosti polynomiálních rovnic vyšších řádů pomocí radikálů, tedy užitím algebraických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování. Při zkoumání této otázky francouzský matematik Evariste Galois zavedl pojem grupy a to už byl počátek moderní algebry. þ

Krátký život Evariste Galoise je jako román. Narodil se 25. října 1811 v Bourg-la-Reine nedaleko Paříže. Jeho otec byl starostou městečka, matka dcerou soudce. Ve dvanácti letech (do této doby byl vyučován matkou) vtoupil Evariste do lycea Ludvíka Velikého. Zpočátku studoval velmi úspěšně, pak ale zlenivěl, takže musel jeden ročník opakovat. Začal navštěvovat lekce matematiky ve třídě M. Verniera. Školní matematika mu nestačila, a tak četl práce matematiků tehdejší doby. V roce 1828 se sám připravoval na přijímací zkoušky na pařížskou Polytechniku. Neuspěl. Vrátil se na lyceum. V té době publikoval svůj první matematický článek. Také napsal první pojednání o rovnicích a poslal je na Akademii věd. Cauchy ale tuto práci ztratil. 2. července 1829 spáchal Galoisův otec sebevraždu kvůli pomluvám, které o něm začal rozšiřovat nový místní kněz. O pár dní později Galois podruhé neuspěl u přijímacích zkoušek na Polytechniku. Traduje se, že při zkoušce rozhořčený Galois hodil po examinátorovi hadr na mazání tabule. Začal studovat na École Normale. Napsal další pojednání o polynomiálních rovnicích a poslal je znovu do Akademie věd. Fourier si vzal rukopis domů, ale o něco později zemřel, takže rukopis byl zase ztracen. Před a po revoluci v roce 1830 se politika stala důležitou součástí Galoisova života. Pro své dva články byl vyloučen ze školy. V květnu 1831 byl uvězněn, v červnu propuštěn, v červenci znovu zadržen a v říjnu odsouzen na 6 měsíců jako recidivista. V březnu následujícího roku byli vězni kvůli epidemii cholery přestěhováni do nemocnice s policejním dozorem. Tady se asi seznámil s „femme fataleÿ svého života. Okolnosti jsou nejasné, ale 30. května 1831 měl Galois duel, při kterém byl zraněn a opuštěn jak soupeřem tak vlastními sekundanty. Našel ho vesničan a dopravil do nemocnice, kde následující den zemřel v náručí svého mladšího bratra. Bylo mu dvacet let. Tak svět přichází o matematiky . . . Jeho práce byly znovuobjeveny až po více než deseti letech. V září 1843 Joseph Liouville v Akademii oznámil, že v Galoisových pracech našel odpověď na otázku řešitelnosti polynomiálních rovnic pomocí radikálů. O dva roky později tyto práce vydal bez jakýchkoli vlastních komentářů.

Grupa je základní algebraická struktura. Příkladem může být třeba množina celých čísel s operací sčítání. Nebo množina nenulových racionálních čísel s operací násobení. Množina reálných čísel s operací sčítání, . . . Ve všech těchto případech jsou splněny následující podmínky: 1. Operace je asociativní. Když třeba sčítáme (1 + 2) + 3, dostaneme stejný výsledek, jako když sčítáme 1 + (2 + 3). Když násobíme (1 · 2) · 3, dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme 1 · (2 · 3). Zřejmě to platí i v ostatních případech. 2. Existuje vždycky výjimečný prvek, který má tu vlastnost, že když vstoupí do operace s jakýmkoli číslem, výsledek je to číslo. U sčítání má tuto vlastnost nula, vždycky a + 0 = a a také 0 + a = a. Pro násobení je tímto číslem jednička, zase a · 1 = a a 1 · a = a. Takovémuto číslu říkáme neutrální prvek, někdy také jednotkový (násobení) nebo nulový (sčítání). 3. Ke každému číslu můžeme najít takové číslo, že výsledek operace provedené s těmito dvěma čísly je roven příslušnému neutrálnímu prvku. Tak třeba v případě sčítání celých čísel je 3 + (−3) = 0, 5 + (−5) = 0, −3 + 3 = 0, obecně a + (−a) = 0. V případě násobení nenulových racionálních čísel máme 5 · 51 = 1, (− 41 ) · (−4) = 1, obecně a · a1 = 1. Takovému číslu pak říkáme opačný (v případě sčítání) nebo inversní (v případě násobení) prvek. 4. Asi také všichni víte, že tyto operace jsou komutativní (např. když sčítáme 2+3, dostaneme stejný výsledek jako když sečteme 3 + 2, nebo když násobíme 2 · 3, dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme 3 · 2). 1. října 2006

4


1.2. Co je algebra

5

Ale to v případě grup není pravidlem. Pokud má grupa navíc tuto vlastnost, říkáme jí komutativní nebo také Abelova grupa. Co je těmto příkladům společné? Vždy jsme měli nějakou množinu s nějakou binární operací. Raději nebudeme rozebírat, co to je množina, a spokojíme se s intuitivní představou nějakého souboru prvků. Slovo operace se také běžně používá. Co si pod tím ale představit? Vezměme třeba to sčítání celých čísel. K čemu při něm vlastně dochází? To vezmeme nějaká dvě celá čísla a přiřadíme jim jejich součet, tedy zase nějaké celé číslo. Při násobení je to podobné, vezmeme nějaká dvě čísla a přiřadíme jim jejich součin, zase nějaké číslo. Mohli bychom se tedy na operaci obecně dívat jako na nějaké zobrazení, které každé dvojici (raději uspořádané, ne všechny operace jsou komutativní) prvků přiřadí nějaký prvek (někdy jiný, někdy stejný jeko jeden z nich). A musí do operace vždycky vstupovat dva prvky? Co brání, aby byly tři, čtyři, . . . nebo jen jeden? Nebrání tomu nic. Počet prvků, které do operace vstupují, se nazývá četnost nebo také arita operace. Jsou potom operace unární, třeba taková, která číslu přiřadí jeho převrácenou hodnotu, binární, to jsou známé operace sčítání, odčítání, násobení nebo dělení, ternární, . . . , obecně n-ární. Důležité je, že to zobrazení musí přiřazovat „výsledekÿ každé uspořádané n-tici prvků z množiny. V tomto smyslu například dělení reálných čísel není operací, protože nelze dělit nulou. Když ale vezmeme množinu nenulových reálných čísel, dělení operací je. Definujme si nyní grupu. 1.2.1 Definice Grupa je neprázdná množina G s jednou binární operací ∗, která splňuje následující podmínky 1. pro všechny prvky a, b, c z množiny G platí a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (asociativita operace ∗). 2. V množině G existuje prvek j takový, že pro všechny prvky a z množiny G je a ∗ j = j ∗ a = a (existence neutrálního prvku). 3. ke každému prvku a z množiny G existuje prvek a−1 takový, že a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = j (existence inversního prvku). Pokud navíc pro všechny prvky a, b z množiny G platí, že a ∗ b = b ∗ a (komutativita operace ∗), nazveme tuto grupu komutativní nebo Abelovou. Je vidět, že podle této definice jsou grupami také množina racionálních čísel s operací sčítání, množina nenulových reálných čísel s operací násobení, množina komplexních čísel s operací sčítání, množina nenulových komplexních čísel s operací násobení, množina všech polynomů s operací sčítání, . . . Grupou ale není množina přirozených čísel s operací sčítání, protože zde nemáme opačné prvky. Taky třeba množina všech racionálních čísel s operací násobení, protože k nule neexistuje inversní prvek. Na reálných číslech ale známe dvě operace - sčítání a násobení. Spolu s operací sčítání tvoří tato množina grupu, dokonce komutativní. Když odebereme nulu a uvažujeme operaci násobení, máme opět komutativní grupu. Navíc víme, že obě tyto operace jsou spojeny distributivními zákony. Existuje nějaké pojmenování takovéto struktury? Ano, říkáme jí těleso (v tomto případě dokonce komutativní těleso). Uveďme si ještě definici tělesa, protože lineární prostory, což je hlavní téma těchto skript, se obecně budují právě nad komutativními tělesy. My se budeme omezovat pouze na lineární prostory nad reálnými čísly, ale často budeme používat vlastnosti reálných čísel, které plynou právě z toho, že reálná čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso. 1.2.2 Definice Těleso je alespoň dvouprvková množina T s dvěma binárními operacemi + a ·, která splňuje následující podmínky 1. pro všechny prvky a, b z množiny T platí, že a + b = b + a (komutativita operace +). 2. pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a + (b + c) = (a + b) + c (asociativita operace +). 3. v množině T existuje prvek o takový, že pro všechny prvky a z množiny T je a + o = o + a = a (existence nulového prvku). 4. ke každému prvku a z množiny T existuje prvek (−a) takový, že a + (−a) = (−a) + a = o (existence opačného prvku). 5. pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a · (b · c) = (a · b) · c (asociativita operace ·). Anna Kalousová: Úvod do algebry

5

1. října 2006

6


6. v množině T existuje prvek j takový, že pro všechny prvky a z množiny T je a · j = j · a = a (existence jednotkového prvku). 7. ke každému prvku a z množiny T \ {0} existuje prvek a−1 takový, že a · a−1 = a−1 · a = j (existence inversního prvku). 8. pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a · (b + c) = (a · b) + (a · c). 9. pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí (a + b) · c = (a · c) + (b · c). Pokud navíc pro všechny prvky a, b z množiny T platí, že a · b = b · a (komutativita operace ·), nazveme toto těleso komutativní. 1 Příklady těles, se kterými jste se již setkali, jsou (kromě reálných čísel s obvyklým sčítáním a násobením) ještě také komplexní nebo racionální čísla vždy s obvyklými operacemi. Pokud znáte operaci modulo (zbytek po dělení čísla a číslem b), může pro vás být příkladem tělesa také množina Zp = {0, 1, 2, . . . , p}, kde p je prvočíslo a kde sčítáme a násobíme právě modulo p. Ve všech těchto příkladech byla tělesa dokonce komutativní. Příkladem nekomutativního tělesa jsou již zmiňované kvaterniony. Zase nás může napadnout, proč by tyto operace musely být jen dvě. A proč obě binární? Samozřejmě to není nezbytné. Můžeme mít množiny s konečně i nekonečně operacemi různých arit, které zase splňují nějaké podmínky. Pro většinu z nich už nemáme speciální název, obecně je označujeme jako (univerzální) algebry. Dál už tento námět zkoumat nebudeme, protože by šel daleko nad rámec skript. Chtěla jsem jen naznačit, co zkoumá dnešní algebra. Předmětem jejího studia jsou algebraické struktury, tedy neprázdné množiny, na kterých jsou definovány určité algebraické operace. Z algebry se vydělilo další odvětví matematiky a to lineární algebra. Lineární algebra zkoumá lineární (také se říká vektorové) prostory a vše, co s nimi souvisí, např. lineární zobrazení, lineární formy, ale také soustavy lineárních rovnic, matice, . . . Počátky lineární algebry najdeme v 17. století, kdy René Descartes jako první popsal geometrické problémy (jako třeba průsečík přímek) formou lineárních rovnic. Více se rozvíjet začala až v 19. století, jsou s ní spjata jména jako Gauss, Jordan nebo Hamilton, který zavedl označení vektor. Zpočátku lineární algebra studovala prostory dimense dvě a tři. Pak se ale rozšířila na prostory libovolné konečné i nekonečné dimense. S pojmem lineární prostor se setkáte téměř ve všech oblastech matematiky.

1.3

Jazyk matematiky

1.3.1 Příklad Plocha čtverce přidaná k jeho straně je rovna 34 . Řešení: Vezmi 1. Rozděl 1 na polovinu, dostaneš 12 . Výsledek umocni na druhou a dostaneš 41 . Přičti 1. To je odmocnina z 1. Odečti 21 , kterou jsi dostal dělením 1 dvěma. Získal jsi stranu čtverce.

3 4

a dostaneš

Takto nějak vypadalo řešení příkladů ve starověku. Šlo o příklad, který bychom dneska popsali jako řešení kvadratické rovnice 3 x2 + x = . 4 Když použijeme dnes dobře známou formulku, obdržíme dvě řešení, jednak 12 , tedy řešení, které získali i starověcí matematici, a pak také − 32 , což je řešení, které ve starověku neznali a také neuznávali, protože délka strany samozřejmě nemůže být záporná. Z uvedeného jsou snad vidět nejméně dvě výhody, které matematická symbolika přináší. 1. Příklad lze zapsat stručně a jasně. 2. Lze popsat obecné řešení, které je použitelné pro větší množství případů. Na druhé straně se nic nesmí přehánět. Pokud by se v zápisu používaly jen symboly, text by byl nesrozumitelný. Např. S(f, x0 ) ⇔ ∀ε∃δ(ε > 0 ∧ δ > 0 ∧ ∀x(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε))

je vám jistě známá definice spojitosti funkce f v bodě x0 (to označujeme S(f, x0 )). Nevím, jaký dojem ve vás vznikl, když jste tento zápis viděli poprvé, a to (předpokládám) vám předem vysvětlili, co ten pojem znamená, 1V

literatuře se často nerozlišuje mezi tělesem a komutativním tělesem.

1. října 2006

6


1.3. Jazyk matematiky

7

ale myslím, že asi nebyl úplně příjemný. A představa, že matematický text se bude skládat jen z takovýchto formulek řazených jedna za druhou, je asi dost hrůzná. Nabízí se analogie s hudbou. Ta používá také speciální symbolický jazyk - notový zápis. Kdyby notový zápis neexistoval, bylo by velmi obtížné reprodukovat slyšenou skladbu, snad jen nějakou jednoduchou píseň. Naproti tomu, když člověk dostane do ruky notový zápis, nemusí být schopný zapsanou melodii „slyšetÿ, snad jen tu jednoduchou. Záleží jistě na zkušenosti a hudebním sluchu. Ale je to namáhavé. Podobně i v matematice je pro nás symbolický text výhodný, jak bylo naznačeno v úvodu této podkapitoly, ale i pro člověka s velkou zkušeností se symbolickými znaky je velmi namáhavé číst jen samé formulky. Proto je v matematice dobré využívat symboliky, ale je třeba ji také prokládat „normálnímÿ nesymbolickým textem. Protože tato skripta jsou určena pro „matematiky-začátečníkyÿ, bude v nich jen málo neznámých matematických symbolů. Výhodou symbolů je také jejich jednoznačnost. Příkladem může být spojka nebo, kterou používáme ve dvojím významu - vylučovacím a nevylučovacím. Když řekneme „Přijde tam Petr nebo Pavelÿ, může to znamenat, že tam přijde právě jeden z nich (vylučovací) nebo také že přijde aspoň jeden z nich, možná i oba (nevylučovací). V matematice bychom v prvním případě použili symbol ⊕ a ve druhém ∨. Význam těchto dvou symbolů je jednoznačně dán a není tedy potřeba nějak složitě popisovat, co se tím vlastně myslí. Význam (sémantika) jednotlivých logických spojek je dán pravdivostními tabulkami pro jednotlivé spojky, s nimiž jste se již pravděpodobně setkali na střední škole. Pro zopakování uvedeme pravdivostní tabulky základních logických spojek, tedy negace(¬), konjunkce (∧), disjunkce (∨), implikace (⇒) a ekvivalence(⇔).

a 0 1

¬a 1 0

a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

a∧b a∨b a⇒b a⇔b 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1

V matematickém textu se také můžeme setkat s „kvantifikátoryÿ. Jeden se nazývá všeobecný, zapisuje se ∀ a znamená, že tvrzení platí pro všechny hodnoty proměnné, která je za kvantifikátorem uvedena. Druhý se nazývá existenční, zapisuje se ∃ a znamená, že tvrzení platí alespoň pro jednu hodnotu proměnné, která je za ním uvedena. Opatrní musíme být při negování tvrzení s kvantifikátory. Pokud totiž není pravda, že pro všechna x platí P (x), znamená to, že aspoň pro jedno x neplatí P (x), a ne že P (x) pro všechna x neplatí. Analogicky, pokud neplatí, že existuje x, pro které P (x) platí, znamená to, že P (x) neplatí pro žádné x. Když to zapíšeme symbolicky, máme ¬∀xP (x) odpovídá ∃x¬P (x). ¬∃xP (x)

odpovídá ∀x¬P (x).

Ale matematický text se nevyznačuje jen speciálními symboly. Často se v něm objevují slova definice, věta, důkaz. Je možné, že jste se s těmito pojmy ještě nesetkali, proto si trochu objasníme, co znamenají. Možná se vám někdy stalo, že jste se s rodiči domluvili, že se vrátíte večer, ale při vašem návratu pak došlo k jakémusi nedorozumění vyvolanému tím, že vaše představa o tom, co je večer, byla jiná, než představa vašich rodičů. Podobně když vám někdo v zimě řekne, že je venku docela teplo, může tam být chladněji, než když se v létě dozvíte, že dnes tam moc teplo není. Je vidět, že v běžném jazyce používaná slova nemají obvykle přesně vymezený význam. Občas díky tomu člověk narazí, ale většinou se lidé nějak domluví. V matematice je situace poněkud jiná. Protože se pohybujeme v abstraktním světě, je potřeba používané pojmy přesně definovat (vymezit, popsat). Definice je tedy jakási úmluva, že něčemu, co jsme tady na spoustě řádek pečlivě a přesně popsali, budeme říkat několika málo (obvykle jedním či dvěma) slovy. Například večer můžeme definovat jako období od 18 do 22 hodin zeměpisné šířce odpovídajícího času. A teplo může být, když je více než 20 Celsiových stupňů. V definici by zřejmě měly vystupovat pouze pojmy již dříve definované (pomineme-li spojovací slovíčka z běžného jazyka). To se ale obvykle nevyžaduje, spíše se uvedou na začátku pojmy, jejichž znalost se předpokládá. Pokud je někdo nezná, musí si je najít v jiné literatuře. Kdybychom totiž chtěli všechno definovat „od základůÿ, příliš by narostl počet stránek a než by se čtenář prokousal k tomu novému, co mu chceme sdělit, asi by text odložil. V definici tedy zavádíme nějaký nový pojem prostřednictvím pojmů známých (definovaných již dříve nebo těch, jejichž znalost se předpokládá). Ve větách pak popisujeme vztahy mezi pojmy. Matematická věta je většinou ve tvaru implikace. Dá se tedy rozdělit na dvě části - předpoklady a tvrzení. Předpoklady jsou uvozeny slovy „nechťÿ, „pokudÿ, „ jestližeÿ, „buďteÿ, „mějmeÿ, . . . Vlastní tvrzení následuje za slovy „potomÿ či „pakÿ. Někdy ta první část (předpoklady) chybí. Takové tvrzení má prázdnou množinu předpokladů, platí vždy. Anna Kalousová: Úvod do algebry

7

1. října 2006

8


Každá matematická věta musí být dokázána, to znamená, že musí být ověřena její platnost. V důkazu se obvykle používají některé vlastnosti pojmu, které vypreparujeme z jeho definice, a také některé předchozí (již dokázané) věty. Používáme při tom postupy, které matematika považuje za „správnéÿ. O tom, které to jsou, se dozvídáme z matematické logiky. Kromě těchto tří pojmů se v matematických textech objevují ještě různá tvrzení, pozorování, důsledky, lemmata, . . . Jsou to v podstatě také věty, ale těmito označeními rozlišujeme jakousi důležitost nebo složitost. Třeba tvrzení je obvykle nějaká „menšíÿ věta, jejíž důkaz je jednoduchý. Pozorování je něco, čeho si lze „všimnoutÿ bez nějakého velkého „studováníÿ. Důkaz je natolik jednoduchý, že se často vůbec neuvádí. Důsledek je věta, která přímo (snadno) plyne z jiné věty. Lemma je pomocné tvrzení. Používá se většinou tam, kde je důkaz věty obtížný a dlouhý. Zformuluje se několik pomocných tvrzení (lemmat), která sama o sobě nemusí být zrovna moc zajímavá a jejichž důkazy většinou nejsou lehké. Když se jimi ale člověk prokouše, je důkaz věty naprostá hračka (no, to je trochu nadnesené, ale význam lemmat je opravdu v tom, aby z nich ta „krásnáÿ věta vyplývala jednoduše). I na střední škole jste se setkali se základními typy důkazů. Jak už bylo řečeno, je matematická věta většinou ve tvaru implikace, tedy P ⇒ T , kde P jsou předpoklady a T je vlastní tvrzení. Můžeme postupovat přímo, tedy použijeme postupně předpoklady a pomocí „správnýchÿ úsudků odvodíme tvrzení, nebo nepřímo, kdy vlastně dokazujeme ekvivalentní implikaci, totiž ¬T ⇒ ¬P . 1.3.2 Příklady Ilustrujme si tento typ důkazu na několika příkladech. 1. Druhá mocnina sudého čísla je opět sudé číslo. Přesněji bychom měli napsat: Pro všechna celá čísla z platí: Je-li z sudé číslo, pak také z 2 je sudé číslo. Všeobecný kvantifikátor se ale v textu často vynechává. Také údaj, o jaká čísla se jedná, může v textu chybět, myslí se pak největší možná množina těch čísel, pro která má daná vlastnost (sudost) smysl. V našem případě je to množina celých čísel. Tvrzení platí i pro libovolnou podmnožinu, tedy i pro množinu přirozených čísel. Než začneme větu dokazovat, musíme si ujasnit, co znamená, že je nějaké číslo sudé. Pravděpodobně víte, že sudá čísla jsou násobky dvou. Jak to ale matematicky zachytit? Většinou se používá následující definice: Celé číslo z nazveme sudé, jestliže existuje takové celé číslo a, že z = 2 · a. Přistupme nyní k dokazování. Předpokladem věty je, že z je sudé číslo, vlastní tvrzení pak říká, že také z 2 je sudé číslo. Přepíšeme si (podle definice), co to znamená, že z je sudé. Existuje takové celé číslo a,

že z = 2 · a.

Spočítáme z 2 a potřebujeme ukázat, že i toto číslo je sudé, tedy že ho můžeme napsat ve tvaru 2 · b, kde b je nějaké celé číslo. z 2 = (2 · a)2 = 4 · a2 = 2 · (2a2 )

Položíme-li b = 2a2 , pak opravdu můžeme psát z = 2 · b, kde b je celé číslo, protože vzniklo z celého čísla a operacemi (umocněním a vynásobením dvěma), na které jsou celá čísla uzavřená. Tím je tvrzení dokázáno. 2. Je-li z 2 liché číslo, je také z liché číslo. Uvědomme si nejprve, co znamená, že je nějaké číslo liché. Pravděpodobně každý ví, že toto číslo není sudé. Uvedená věta se tedy dá přeformulovat ve tvaru Jestliže z 2 není sudé číslo, pak také z není sudé číslo. To je ale ekvivalentní s předchozím, námi již dokázaným tvrzením, jak se můžeme přesvědčit z následující pravdivostní tabulky, kde P označuje tvrzení z je sudé a T tvrzení z 2 je sudé. P 0 0 1 1 1. října 2006

T 0 1 0 1

¬P 1 1 0 0

¬T 1 0 1 0 8

P ⇒T 1 1 0 1

¬T ⇒ ¬P 1 1 0 1 Anna Kalousová: Úvod do algebry


9

3. Druhá mocnina lichého čísla je opět liché číslo. Opět si nejprve musíme ujasnit, co znamená, že je číslo liché. Asi nám moc nepomůže to, co jsme použili v předchozím důkazu, totiž že není sudé. Dokonce ani když to přepíšeme ve tvaru Celé číslo z nazveme liché, jestliže nexistuje takové celé číslo a, že z = 2 · a neboli celé číslo z nazveme liché, jestliže pro všechna celá čísla a je z 6= 2 · a. Potřebujeme nějaké „pozitivníÿ vyjádření. Třeba Celé číslo z nazveme liché, jestliže existuje takové celé číslo a, že z = 2 · a + 1. A teď už budeme postupovat podobně jako v prvním důkazu. Spočítáme druhou mocninu a přepíšeme ji ve tvaru 2 · b + 1. z 2 = (2 · a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 · (2a2 + 2a) + 1 = 2 · b + 1, jestliže položíme b = 2a2 + 2a. 4. Je-li z 2 sudé číslo, je také z sudé číslo. Použijeme-li opět toho, že celá čísla jsou buď sudá nebo lichá, tedy že být sudý znamená nebýt lichý, je zřejmé, že toto tvrzení je ekvivalentní s předchozím, které již bylo dokázáno. Další způsob důkazu, se kterým jste se již setkali, je důkaz sporem. Ten využívá pravidlo o vyloučení třetího, což je jedno z pravidel platných v matematické logice. Říká vlastně, že vždycky musí platit tvrzení nebo jeho negace, nemůže nastat situace, kdy neplatí ani jedno z nich (jakási „třetí možnostÿ). Důkaz pak provádíme tak, že předpokládáme, že uvedené tvrzení neplatí (tedy platí jeho negace), a z tohoto „předpokladuÿ dále něco vyvozujeme. Naším cílem je odvodit nějaký nesmysl, něco, co určitě není pravda. Pokud se nám to podaří (ovšem ne díky nějakým našim špatným úsudkům - to by se to dokazovalo), označíme tento nesmysl jako spor (se zdravým rozumem, s nějakou obecně známou pravdou, s tím nesprávným předpokladem, . . . ). Jestliže jsme tedy z předpokladu, že tvrzení neplatí, odvodili spor, znamená to, že tento předpoklad byl nesprávný, nepravdivý, a tedy (podle pravidla o vyloučení třetího) musí být pravdivé to původní tvrzení. Důkaz sporem se velmi často užívá v případě tvrzení ve tvaru „Neplatí, že . . . ÿ a také při důkazech jednoznačnosti, tj. „Existuje jediný . . . ÿ, kdy předpokládáme, že existuje více (tedy dva) objektů s uvedenou vlastností, a dostaneme se ke sporu. Na ukázku si uvedeme jeden příklad důkazu sporem. 1.3.3 Příklad

√

2 není racionální číslo.

√ Důkaz provádíme sporem, proto předpokládáme, že 2 je racionální číslo (negace dokazovaného tvrzení). Zase si nejprve musíme uvědomit, co je to racionální číslo. Jedna z definic (pro nás výhodná) říká: Číslo a nazveme racionálním, jestliže existují nesoudělná celá čísla p a q, q > 0 taková, že a = pq . √ √ Kdyby tedy 2 bylo racionální číslo, musela by existovat nesoudělná celá čísla p a q, q > 0 taková, že 2 = pq . Tento výraz umocníme na druhou (tím se rovnost neporuší) a máme 2=

2 p p2 = 2, q q

tedy p2 = 2 · q 2 .

To ale znamená, že p2 je sudé. Podle posledního příkladu v minulé části víme, že je sudé také číslo p. Můžeme ho proto zapsat jako 2 · a, kde a je nějaké celé číslo. Nyní do předchozího vztahu dosadíme za p = 2 · a. p2 = (2 · a)2 = 4 · a2 = 2 · q 2 ,

tedy q 2 = 2 · a2 .

To ovšem znamená, že q 2 je sudé a tedy i q je sudé. A tím jsme u cíle. Proč? No přece p i q jsou sudá čísla, jejich společným dělitelem je číslo 2. A přitom podle předpokladu měla být nesoudělná! Možná ještě někdo váhá na tím, co znamená, že jsou čísla nesoudělná. To se definuje tak, že jejich jediný společný dělitel je číslo 1. A my √ 2 je racionální číslo, jsme našli jiného společného dělitele. To je samozřejmě kýžený spor. Takže předpoklad, že √ je špatný. Musí platit jeho negace, tj. 2 není racionální číslo. Anna Kalousová: Úvod do algebry

9

1. října 2006

10

þ


Možná jste se s tímto důkazem již setkali. Velice často se používá jako příklad důkazu sporem. Já jsem si ho vybrala proto, že je hezký (nepoužívají se žádné složité pojmy a úpravy), taky jsme využili toho, co jsme dokázali v předchozí části, a navíc se k němu pojí zajímavá historka. Tento důkaz je tradičně připisován Hippasovi z Metapontu. Patřil mezi pythagorejce, žáky Pythagora, o kterém jste už jistě slyšeli. Pythagorejci viděli v číslech obraz pravé podoby vesmíru, znali však pouze čísla přirozená a jejich zlomky (jak by také vzdálenost mohla být třeba záporná). Tím, že Hippasos objevil, že takovou přirozenou věc, jakou je úhlopříčka jednotkového čtverce, nelze vyjádřit v uznávaném tvaru, velmi otřásl základy jejich filosofie. Za trest byl ze společenství vyloučen a pythagorejci mu dokonce zřídili hrob, aby bylo jasné, že je pro ně mrtvý. Traduje se, že ho dokonce vyvezli na širé moře a√tam ho hodili do vody, aby se utopil. Jak vidíte, nebylo vždy lehké být matematikem a objevovat nové věci. Objev iracionality 2 se pak pythagorejci snažili držet v tajnosti.

Posledním typem důkazu, o kterém se zmíníme, je důkaz matematickou indukcí. Je to jedna z nejsilnějších zbraní matematiky, protože nám umožňuje dokázat tvrzení pro všechna přirozená čísla (kterých je nekonečně mnoho), pokud dokážeme platnost pouze dvou tvrzení. Můžeme si to znázornit na tzv. dominovém efektu. Představte si, že máte řadu dominových kostek a chcete, aby spadly všechny, když strčíte do jedné z nich. Co k tomu budete potřebovat? Jedním požadavkem bude, aby ty kostky stály tak blízko u sebe, aby každá padající kostka porazila i tu následující, tedy aby pád n-té kostky vyvolal pád (n + 1)-ní kostky. No a potom ještě potřebujeme vybrat kostku, do které strčíme. Zřejmě to musí být první kostka, protože kdybychom strčili do druhé, třetí, . . . , spadly by jen ty za nimi, ty před nimi by zůstaly stát. Řada dominových kostek je ve skutečnosti jen konečná (takže bychom mohli třeba strčit i do poslední kostky a požadovat, aby každá kostka shodila předchozí), ale tento princip můžeme použít i pro abstraktní situaci, kdy řada je nekonečná. A stejný princip používá i matematická indukce. Chceme-li dokázt, že nějaké tvrzení T (n) platí pro všechna přirozená čísla n, stačí ukázat, že platí T (1) (shození první kostky) a že z platnosti pro n plyne platnost pro n + 1, tedy že pro všechna n ∈ N platí T (n) ⇒ T (n + 1) (n-tá kostka shodí (n + 1)-ní kostku). Ukážeme si to opět na příkladu. 1.3.4 Příklad Ukažte, že pro všechna n ∈ N platí: 1 1 1 1 n + + +···+ = 1·2 2·3 3·4 n · (n + 1) n+1 Důkaz provedeme matematickou indukcí. Nejprve dokážeme platnost pro n = 1. 1 1 1 = = 1·2 2 1+1 Teď potřebujeme dokázat indukční krok. Předpokládáme tedy, že pro nějaké n platí 1 1 1 n 1 + + +··· + = , 1·2 2·3 3·4 n · (n + 1) n+1 a chceme dokázat, že potom platí 1 1 1 1 1 n+1 + + +··· + + = . 1·2 2·3 3·4 n · (n + 1) (n + 1) · (n + 2) n+2 Vezmeme levou stranu dokazovaného výrazu a budeme ji upravovat, až získáme stranu pravou. První úpravou je rozložení upravovaného výrazu na součet součtu prvních n členů a (n + 1)-ního členu, abychom mohli využít indukční předpoklad a součet prvních n členů nahradit. Potom oba zlomky převedeme na společného jmenovatele a upravíme. 1 1 1 1 1 1 1 1 + +···+ + = + +···+ = + 1·2 2·3 n · (n + 1) (n + 1) · (n + 2) 1·2 2·3 n · (n + 1) (n + 1) · (n + 2) =

n 1 n · (n + 2) 1 n2 + 2n + 1 + = + = = n + 1 (n + 1) · (n + 2) (n + 1) · (n + 2) (n + 1) · (n + 2) (n + 1) · (n + 2) =

Tím je tvrzení dokázáno. 1. října 2006

n+1 (n + 1)2 = . (n + 1) · (n + 2) n+2

10



11

Někdy se matematická indukce používá v trochu jiném tvaru. Můžeme například dokazovat, že nějaké tvrzení platí jen pro přirozená čísla, která jsou větší nebo rovna nějakému přirozenému číslu n 0 . Potom samořejmě ten první krok nedokazujeme pro jedničku, ale pro n0 . 1.3.5 Příklad Ukažte, že pro všechna přirozená n ≥ 3 platí: 2n > 2n + 1. Nejprve dokážeme platnost pro n = 3. 23 = 8 > 7 = 2 · 3 + 1

Nyní dokážeme indukční krok. Předpokládáme, že pro nějaké libovolné n ≥ 3 platí 2n > 2n + 1, a chceme dokázat, že potom platí také 2n+1 > 2(n + 1) + 1 = 2n + 3. Opět si levou stranu upravíme, abychom mohli použít indukční předpoklad. 2n+1 = 2 · 2n > 2 · (2n + 1) = 4n + 2 Zbývá nám dokázat, že 4n + 2 > 2n + 3. Protože n ≥ 3, je n > 2 a 4n + 2 = 2n + 2n + 2 > 2n + 2 · 2 + 2 = 2n + 6 > 2n + 3. Tím je tvrzení dokázáno. Někdy může být situace ještě složitější. Když se zase vrátíme k dominovým kostkám, můžeme si ji znázornit tak, že jsou kostky rozloženy po ploše tak, že každá z nich může bý shozena nějakou kostkou, která je před ní. Nevíme ale, která to je. Může jich být zapotřebí i víc (jedna nestačí). Jak potom zajistíme, aby kostka spadla? Abychom měli jistotu, je potřeba, aby spadly všechny, které jsou před ní. Indukce pak probíhá takto: Nejprve zase tvrzení dokážeme pro nějakou nejmenší hodnotu (někdy raději i pro několik malých hodnot - pro jistotu). A potom z toho, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla menší než n, dokážeme, že platí i pro n. To je indukční krok. Pokud toto zvládneme, můžeme směle prohlásit, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla (případně od nějakého počínaje). Ač se to možná na první pohled nezdá, jsou oba tyto principy matematické indukce (říká se jim slabý a silný) ekvivalentní. 1.3.6 Příklad Ukažte, že každé přirozené číslo n ≥ 2 lze rozložit na součin prvočísel (tj. čísel, která lze dělit jen jimi samými a jedničkou). Toto tvrzení jistě platí pro „maláÿ přirozená čísla. 2 = 2,

3 = 3,

4 = 2 · 2 = 22 ,

5 = 5,

6 = 2 · 3,

...

Musíme ještě dokázat indukční krok. Mějme nějaké přirozené číslo n ≥ 2. Mohou nastat dva případy. Buď je toto číslo prvočíslo, pak není třeba rozkládat (n = n), nebo prvočíslem není a dá se napsat jako součin dvou čísel (např. n = k · m), která jsou menší než n. Ale každé menší číslo už umíme rozložit na součin prvočísel (indukční předpoklad), proto i číslo n můžeme rozložit tak, že vynásobíme ty dva rozklady. n = m · k = (m1 · m2 · · · ms ) · (k1 · k2 · · · kt ) Je vidět, že jsme tady nemohli použít ten předchozí „slabýÿ princip. Tedy mohli, jsou totiž ekvivalentní, ale museli bychom tou ekvivalencí „projítÿ, což by bylo zdlouhavé.


11

1. října 2006

Kapitola 2

Polynomy S polynomy jste se pravděpodobně setkali už na střední škole. A budete je potkávat i nadále, a to nejen v matematice, ale i v jiných oborech. Často se používají k výpočtu přibližné hodnoty funkce v nějakém bodě (možná jste se již setkali s Taylorovým polynomem), používají se i k popisu chování některých veličin (naměřenými hodnotami se „prokládáÿ polynomiální křivka). V této kapitole shrneme základní poznatky o polynomech.

2.1

Co to je polynom?

Jak český název (mnohočlen) napovídá, je polynom výraz, který má „mnoho členůÿ. „Mnohoÿ znamená blíže neurčený konečný počet (alespoň jeden), členy jsou výrazy typu „číslo krát mocnina proměnnéÿ. To číslo může být reálné (reálné polynomy) nebo komplexní (komplexní polynomy),. . . a říká se mu koeficient. Pokud nebude řečeno něco jiného, budeme v rámci těchto skript pod pojmem polynom rozumět vždy reálný polynom. Pouze v části věnované kořenům polynomů budeme muset přibrat polynomy komplexní, protože se může stát (jak jistě víte ze střední školy), že polynom s reálnými koeficienty nemá žádné reálné kořeny (má pouze komplexní kořeny). Naproti tomu všechny kořeny komplexního polynomu jsou komplexní čísla (nemusíme zavádět nějaká nová). Budeme-li potřebovat zdůraznit, že koeficienty polynomu jsou čísla komplexní, reálná, racionální, či celá, budeme mluvit o polynomu s komplexními, reálnými, racionálními, či celočíselnými koeficienty. Proměnná se může jmenovat různě (x, y, z, a, b, . . . , α, β, . . .), mluvíme pak o polynomu v proměnné x, y, z, . . . , α, β, . . . Polynom je součtem svých členů. Některé koeficienty mohou být nulové, ty nás příliš nezajímají, v zápisu polynomu se zpravidla vynechávají. Píšeme x5 + x3 − 2x + 1 místo x5 + 0x4 + x3 + 0x2 − 2x + 1 nebo místo 0x6 + x5 + 0x4 + x3 + 0x2 − 2x + 1. Může nás také zajímat, jaká je nejvyšší mocnina proměnné, u níž je nenulový koeficient. Tomuto číslu říkáme stupeň polynomu. Pokud žádné takové číslo neexistuje, tedy pokud má polynom všechny koeficienty rovny nule (nulový polynom), položíme stupeň roven −1. To, co jsme si tady popsali, teď zformulujeme do několika definic. 2.1.1 Definice Nechť a0 , a1 , . . . , an−1 , an jsou reálná čísla. Algebraický výraz an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

což stručně zapisujeme

n X

a i xi ,

i=0

nazveme polynom (v proměnné x), čísla a0 , a1 , . . . , an nazýváme koeficienty polynomu. Nulový polynom O(x) je polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny nule. 2.1.2 Definice Nechť P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 je polynom. Stupeň polynomu P (označujeme st P ) je největší m ∈ N takové, že am 6= 0. Stupeň nulového polynomu položíme roven −1. Polynom nultého stupně se nazývá konstantní, prvního stupně lineární, druhého stupně kvadratický a třetího stupně kubický. 2.1.3 Příklady 1. Polynom P1 (x) = 3x2 + 5 má stupeň 2, je to kvadratický polynom. Anna Kalousová: Úvod do algebry

12

1. října 2006

2.2. Operace s polynomy

13

2. Polynom P2 (x) = 0x4 + 0x3 + 3x2 + 5 má stupeň 2, je to kvadratický polynom. 3. Polynom P3 (x) = 3 má stupeň 0, je to konstantní polynom. 4. Polynom P1 (x) = 2x3 + 3x − 1 má stupeň 3, je to kubický polynom. 2.1.4 Definice Řekneme, že se polynomy P (x) =

n X

a i xi

a

Q(x) =

i=0

m X

b i xi

i=0

sobě rovnají, jestliže mají stejný stupeň (st P = st Q = k) a navíc ai = bi pro všechna i = 0, 1, . . . , k. 2.1.5 Příklady 1. Polynomy P (x) = 2x3 + x2 − 2 a Q(x) = 0x5 + 2x3 + x2 + 0x − 2 se sobě rovnají, protože mají stejný stupeň (st P = st Q = 3) a koeficienty u jednotlivých mocnin se sobě rovnají. 2. Polynomy P (x) = 3x3 − x2 + x a Q(x) = 0x3 + 3x2 − x + 1 se sobě nerovnají (nemají stejný stupeň). 2.1.6 Poznámka Mějme polynom an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . Zřejmě platí následující rovnosti an xn + · · · + a1 x + a0 = 0xn+1 + an xn + · · · + a1 x + a0 = 0xn+2 + 0xn+1 + an xn + · · · + a1 x + a0 = · · · To znamená, že každý polynom můžeme „natáhnoutÿ na libovolnou délku tím, že přidané koeficienty položíme rovny nule. Toho budeme využívat v případech, kdy bude potřeba, aby nějaké dva polynomy byly „stejně dlouhéÿ. 2.1.7 Poznámka V matematice se často můžete setkat i s jiným chápáním termínu polynom, totiž jako polynomiální funkce. To je taková (reálná nebo komplexní) funkce P (x) (reálné nebo komplexní) proměnné, že existují (reálná nebo komplexní) čísla a0 , a1 , . . . , an−1 , an taková, že pro všechna x ∈ R nebo x ∈ C je P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . Rovnost polynomů se pak chápe jako rovnost funkcí a ukáže se, že platí to, co jsme my měli jako definici 2.1.4. Podobně operace se chápou jako operace s funkcemi a ukáže se, že platí vztahy, které my budeme mít jako definiční.

2.2

Operace s polynomy

Polynomy můžeme sčítat (člen po členu, přičemž ten „kratšíÿ doplníme nulami, aby měl stejnou „délkuÿ jako ten „delšíÿ), násobit (reálným) číslem (opět člen po členu) a také násobit mezi sebou (každý člen s každým členem a následně sečíst koeficienty u stejných mocnin). Polynomy můžeme také dělit, ovšem pouze částečně a se zbytkem. 2.2.1 Definice Součet polynomů: Nechť P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 a Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 jsou polynomy a nechť m ≤ n. Položme bi = 0 pro i = m + 1, . . . , n. Součtem polynomů P (x) a Q(x) nazveme polynom (P + Q)(x) definovaný (P + Q)(x) = (an + bn )xn + · · · + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ) = 2.2.2 Příklad P (x) = 2x3 − x2 + 5,

n X

(ai + bi )xi .

i=0

Q(x) = 3x2 − 2x + 1

(P + Q)(x) = (2x3 − x2 + 5) + (3x2 − 2x + 1) = (2x3 − x2 + 0x + 5) + (0x3 + 3x2 − 2x + 1) = = (2 + 0)x3 + (−1 + 3)x2 + (0 − 2)x + (5 + 1) = 2x3 + 2x2 − 2x + 6 Anna Kalousová: Úvod do algebry

13

1. října 2006

14

Kapitola 2. Polynomy

2.2.3 Pozorování Vlastnosti sčítání polynomů 1. Sčítání polynomů je komutativní, tedy pro každé dva polynomy P, Q platí, že P + Q = Q + P . 2. Sčítání polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že (P + Q) + R = P + (Q + R). 3. Nulový polynom je neutrální vzhledem ke sčítání, tedy pro jakýkoli polynom P platí, že P +O = P = O+P . 4. Ke každému polynomu P existuje opačný polynom −P takový, že platí P + (−P ) = O = (−P ) + P . Důkaz. Nechť P (x) =

n X

i

ai x ,

Q(x) =

i=0

n X

i

bi x ,

R(x) =

i=0

n X

c i xi ,

i=0

pokud byly některé polynomy „kratšíÿ, doplnili jsme je nulovými koeficienty.

1. Sčítání reálných čísel je komutativní (použijeme u druhé rovnosti), proto (P + Q)(x) =

n X

(ai + bi )xi =

i=0

n X

(bi + ai )xi =

i=0

n X

ai xi = (Q + P )(x)

i=0

2. Sčítání reálných čísel je asociativní (použijeme u druhé rovnosti), proto ((P + Q) + R)(x) =

n X

((ai + bi ) + ci )xi =

i=0

n X

(ai + (bi + ci ))xi = (P + (Q + R))(x)

i=0

3. Díky komutativitě stačí dokázat jen jednu rovnost, třeba P +O = P . Nula je neutrální vzhledem ke sčítání reálných čísel, proto n n X X (P + O)(x) = (ai + 0)xi = ai xi = P (x). i=0

4. Položme (−P )(x) =

n X

(−ai )xi ,

i=0

i=0

kde − ai je opačné číslo k číslu ai .

Opět stačí dokázat jen jednu rovnost, třeba P + (−P ) = O. Zřejmě (P + (−P ))(x) =

n X

(ai + (−ai ))xi =

i=0

n X i=0

(ai − ai )xi =

n X i=0

0 · xi = O(x) -,

2.2.4 Poznámka Tyto čtyři vlastnosti jsou vlastně axiomy komutativní grupy, které byly uvedeny v definici 1.2.1. Množina polynomů s obvyklým sčítáním proto tvoří komutativní grupu. Díky poslední vlastnosti můžeme také definovat odčítání polynomů jako přičítání opačného polynomu, tedy (P − Q)(x) = (P + (−Q))(x).

2.2.5 Příklad P (x) = 2x3 − x2 + 5,

Q(x) = 3x2 − 2x + 1

(P − Q)(x) = (2x3 − x2 + 5) − (3x2 − 2x + 1) = (2x3 − x2 + 0x + 5) + (−0x3 − 3x2 − (−2)x − 1) = = (2 − 0)x3 + (−1 − 3)x2 + (0 + 2)x + (5 − 1) = 2x3 − 4x2 + 2x + 4 1. října 2006

14



15

2.2.6 Definice Násobení polynomu číslem: Nechť P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 je polynom, α (reálné) číslo. α-násobkem polynomu P (x) nazveme polynom (α · P )(x) definovaný n

(α · P )(x) = α · an x + · · · + α · a1 x + α · a0 =

n X i=0

(α · ai )xi

2.2.7 Příklad P (x) = 2x3 − x2 + 5 (3 · P )(x) = 3 · (2x3 − x2 + 5) = (3 · 2)x3 + (3 · (−1))x2 + (3 · 5) = 6x3 − 3x2 + 15 2.2.8 Pozorování Pro jakékoli polynomy P, Q a jakákoli (reálná) čísla α, β platí 1. α · (β · P ) = (αβ) · P . 2. (α + β) · P = α · P + β · P . 3. α · (P + Q) = α · P + α · Q. 4. 1 · P = P . 5. 0 · P = O. Důkaz. Nechť P (x) =

n X

a i xi ,

n X

Q(x) =

i=0

b i xi ,

i=0

pokud byl jeden z nich „kratšíÿ, doplnili jsme jej nulovými koeficienty. 1. Násobení reálných čísel je asociativní, proto (α · (β · P ))(x) =

n X i=0

i

(α(βai )) · x =

n X i=0

i

((αβ)ai ) · x = (αβ) ·

n X i=0

ai xi = (αβ) · P (x)

2. Násobení reálných čísel je distributivní vzhledem ke sčítání, proto ((α+β)·P )(x) =

n X

((α+β)·ai )·xi =

i=0

n X i=0

(α·ai +β ·ai )·xi =

n X

(α·ai )·xi +

i=0

n X i=0

(β ·ai )·xi = (α·P +β ·P )(x).

3. Opět využijeme distributivity násobení reálnýchch čísel vzhledem ke sčítání (α·(P +Q))(x) =

n X

(α·(ai +bi ))·xi =

i=0

n X

(α·ai +α·bi )·xi =

i=0

n X i=0

(α·ai )·xi +

n X (α·bi )·xi = (α·P +α·Q)(x). i=0

4. Číslo 1 je neutrální vzhledem k násobení, proto (1 · P )(x) =

n X i=0

i

(1 · ai ) · x =

n X i=0

ai · xi = P (x).

5. Součin jakéhokoli reálného čísla s nulou je roven nule, proto (0 · P )(x) =

n X i=0

(0 · ai ) · xi =

n X i=0

0 · xi = O(x). -,


15

1. října 2006

16


2.2.9 Definice Součin polynomů: Nechť P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 a Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 jsou polynomy. Položme ai = 0 pro i = n + 1, . . . , n + m a bi = 0 pro i = m + 1, . . . , m + n. Součinem polynomů P (x) a Q(x) nazveme polynom (P · Q)(x) definovaný (P · Q)(x) = cm+n xm+n + · · · + c1 x + c0 =

n X i=0

c i · xi ,

kde pro k = 0, 1, 2, . . . , m + n je ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak−1 b1 + ak b0 = 2.2.10 Příklad P (x) = 2x2 + 5,

k X

ai bk−i .

i=0

Q(x) = x − 2

(P · Q)(x) = (2x2 + 5) · (x − 2) = (2x3 + 5x) + (−4x2 − 10) = 2x3 − 4x2 + 5x − 10 To odpovídá i vzorci pro koeficienty ck , které jsou uvedeny v definici, neboť P (x) = 0x3 + 2x2 + 0x + 5, Q(x) = 0x3 + 0x2 + x − 2 a tedy c0 c1 c2 c3

= 5 · (−2) = 5 · 1 + 0 · (−2) = 5 · 0 + 0 · 1 + 2 · (−2) = 5 · 0 + 0 · 0 + 2 · 1 + 0 · (−2)

= −10 = 5 = −4 = 2

2.2.11 Pozorování Vlastnosti násobení polynomů 1. Násobení polynomů je komutativní, tedy pro každé dva polynomy P, Q platí, že P · Q = Q · P . 2. Násobení polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že (P · Q) · R = P · (Q · R). 3. Polynom E(x) = 1 (konstantní jednička) je neutrální vzhledem k násobení, tedy pro jakýkoli polynom P platí, že P · E = P = E · P . 4. Násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání, to znamená, že pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že (a) P · (Q + R) = P · Q + P · R

(b) (P + Q) · R = P · R + Q · R

Důkaz. Opět budeme využívat známých vlastností operací s reálnými čísly. 1. Mějme polynomy P (x) =

n X

a i xi

a Q(x) =

i=0

označme

m X

b i xi ,

i=0

S = P · Q a T = Q · P,

potom platí

sk = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak−1 b1 + ak b0 = b0 ak + b1 ak−1 + · · · + bk−1 a1 + bk a0 = tk pro všechna k = 0, 1, 2, . . . , m + n. 2. Mějme polynomy P (x) =

n X

a i xi ,

Q(x) =

i=0

označme U = P · Q, 1. října 2006

V = Q · R,

m X

b i xi

a R(x) =

i=0

S = (P · Q) · R = U · R 16

p X

c i xi ,

i=0

a T = P · (Q · R) = P · V, Anna Kalousová: Úvod do algebry


17

potom platí uj = a0 bj + a1 bj−1 + · · · + aj−1 b1 + aj b0 , vj = b0 cj + b1 cj−1 + · · · + bj−1 c1 + bj c0

a tedy

sk = u0 ck + u1 ck−1 + · · · + uk c0 = a0 b0 ck + (a0 b1 + a1 b0 )ck−1 + · · · + (a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 )c0 = = a0 (b0 ck + b1 ck−1 + · · · + bk c0 ) + a1 (b0 ck−1 + · · · + bk−1 c1 ) + · · · + ak b0 c0 = a0 vk + a1 vk−1 + · · · + ak v0 = tk pro všechna k = 0, 1, 2, . . . , m + n + p.

3. Důkaz je zřejmý, neboť číslo 1 je neutrální vůči násobení reálných čísel. 4. Díky komutativitě násobení polynomů stačí dokázat jen jednu rovnost. Mějme polynomy P (x) =

n X

a i xi ,

Q(x) =

i=0

m X

b i xi

a R(x) =

i=0

m X

c i xi ,

i=0

které jsme opět doplnili na potřebnou délku, a označme S = P · (Q + R) a T = (P · Q) + (P · R), potom platí sk = a0 (bk + ck ) + a1 (bk−1 + ck−1 ) + · · · + ak−1 (b1 + c1 ) + ak (b0 + c0 ) = = a0 bk + a0 ck + a1 bk−1 + a1 ck−1 + · · · + ak−1 b1 + ak−1 c1 + ak b0 + ak c0 =

= (a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak−1 b1 + ak b0 ) + (a0 ck + a1 ck−1 + · · · + ak−1 c1 + ak c0 ) = tk ,

pro všechna k = 0, 1, 2, . . . , m + n.

-,

2.2.12 Poznámka S operací násobení polynomy netvoří grupu, protože není splněna podmínka existence inversních prvků. Takovouto algebraickou strukturu nazýváme pologrupa. Množina polynomů s obvyklým násobením tedy tvoří komutativní pologrupu. Na množině polynomů jsme definovali dvě binární operace, sčítání a násobení. Jsou spolu spojeny distributivními zákony. Ale množina polynomů s těmito dvěma operacemi netvoří těleso, protože opět není splněna podmínka existence inversních prvků. Takovéto algebraické struktuře říkáme okruh. Množina polynomů s obvyklým sčítáním a násobením tedy tvoří komutativní okruh. 2.2.13 Pozorování Pro polynomy P, Q platí: 1. st(P + Q) ≤ max{st P, st Q}. 2. st(α · P ) = st P

pro α 6= 0,

st(0 · P ) = −1.

3. st(P · Q) = st P + st Q, pokud jsou oba polynomy nenulové, v opačném případě je stupeň roven −1. Důkaz. Tvrzení je (snad) zřejmé.

-,

2.2.14 Věta Dělení polynomů se zbytkem: Ke každým dvěma polynomům P a Q, kde polynom Q je nenulový, existují polynomy Y a Z takové, že P =Y ·Q+Z

a

st Z

<

st Q.

Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Anna Kalousová: Úvod do algebry

17

1. října 2006

18


Důkaz. Dokážeme nejprve jednoznačnost polynomů Y (částečný podíl) a Z (zbytek). Důkaz provádíme sporem, to znamená, že budeme předpkládat, že existují dvě různé dvojice polynomů s požadovanými vlastnostmi. Tedy předpokládáme, že existují polynomy Y1 , Y2 , Z1 , Z2 takové, že Y1 6= Y2 nebo Z1 6= Z2 a st Z1 < st Q,

st Z2 < st Q

a

P = Y 1 · Q + Z1 ,

P = Y2 · Q + Z 2

Platí P = Y 1 · Q + Z 1 = Y2 · Q + Z 2 ,

po úpravě dostaneme

(Y1 − Y2 ) · Q = Z2 − Z1

Podle pozorování 2.2.13 je

st((Y1 − Y2 ) · Q) = st(Y1 − Y2 ) + st Q ≥ st Q,

pokud Y1 6= Y2 ,

naproti tomu st(Z2 − Z1 ) < st Q.

Z rovnosti polynomů ale podle definice 2.1.4 musí platit

st((Y1 − Y2 ) · Q) = st(Z2 − Z1 ), To je ovšem spor. Musí tedy platit, že Y1 = Y2 . Potom Z2 − Z1 = (Y1 − Y2 ) · Q = 0 · Q = 0,

což znamená, že Z1 = Z2

A tím se dostáváme znovu ke sporu, tentokrát s předpokladem, že Y1 6= Y2 částečný podíl i zbytek jsou určeny jednoznačně.

nebo Z1 6= Z2 . Platí tedy, že

Existenci dokážeme indukcí podle stupně polynomu P (x). Nechť n = st P a m = st Q, P (x) =

n X

a i xi

a Q(x) =

i=1

m X

b i xi .

i=1

1. Pokud je polynom P (x) nulový, je zřejmě Y (x) = 0 a Z(x) = 0. Pokud je polynom P (x) konstantní, potom v případě, že Q(x je také konstantní, je Y (x) = ab00 a Z(x) = 0, v případě, že st Q ≥ 1, je Y (x) = 0 a Z(x) = a0 . 2. Nyní dokážeme indukční krok. Předpokládáme, že tvrzení platí pro všechna k < n a dokážeme, že tvrzení pak platí i pro n. Rozlišíme dva případy (a) Pokud je n < m, je zřejmě Y = O a Z = P . (b) Pokud je n ≥ m, položíme R(x) =

an · xn−m bm

a S(x) = (P − R · Q)(x).

Zřejmě P = S +R·Q. Protože st S < n, můžeme využít indukční předpoklad. Existují tedy polynomy T a Z takové, že st Z < st Q a S = T · Q + Z.

Dosadíme-li do předchozího vztahu, je

P = S + R · Q = T · Q + Z + R · Q = (T + R) · Q + Z = Y · Q + Z, položíme-li Y = T + R. Tím je tvrzení dokázáno. -,

1. října 2006

18



19

2.2.15 Existenci polynomů z předchozí věty můžeme také dokázat pomocí algoritmu pro dělení polynomů, který si teď popíšeme. Mějme polynomy P (x) =

n X

a i xi

a Q(x) =

i=0

m X

b i xi

a nechť

st P = n,

i=0

st Q = m ≥ 0.

1. Položíme Y = 0, Z = P , k = st Z − st Q a označíme a koeficient u nejvyšší mocniny polynomu Z. 2. Pokud k ≥ 0, položíme c = a/bm , Y = Y + cxk , Z = Z − cxk · Q, k = st Z − st Q a označíme opět a koeficient u nejvyšší mocniny polynomu Z. Opakujeme, dokud je splněna podmínka. 3. Pokud k < 0, výpočet ukončíme. Pokud n < m, zastaví se algoritmus hned po prvním kroku, protože k < 0. Bude tedy Y = O a Z = P . Pokud n ≥ m, sníží se při každém průchodu stupeň polynomu Z a tedy i k. Tím máme zaručeno, že se výpočet po konečně mnoha krocích zastaví. Zároveň v každém kroku platí, že P = Y · Q + Z. V okamžiku ukončení výpočtu je k < 0, tedy st Z < st Q. 2.2.16 Příklad Vydělte (se zbytkem) polynom P (x) polynomem Q(x), jestliže P (x) = 2x5 + x4 + 3x2 + x − 2 a Q(x) = x2 + 2x + 1. 1. Nejprve položíme

Y (x) = 0,

2. Protože k ≥ 0, položíme c = 2,

Z(x) = P (x) = 2x5 + x4 + 3x2 + x − 2, Y (x) = 2x3 ,

4. Protože k ≥ 0, položíme c = 4,

Z(x) = −3x4 − 2x3 + 3x2 + x − 2,

Y (x) = 2x3 − 3x2 ,

3. Protože k ≥ 0, položíme c = −3,

Z(x) = 4x3 + 6x2 + x − 2,

Y (x) = 2x3 − 3x2 + 4x,

Z(x) = −2x2 − 3x − 2,

Y (x) = 2x3 − 3x2 + 4x − 2,

5. Protože k ≥ 0, položíme c = −2,

k = st Z − st Q = 3,

Z(x) = x,

a = 2.

k = 2,

a = −3.

k = 1,

a = 4.

k = 0,

a = −2.

k = −1,

a = 1.

6. Protože k < 0, výpočet ukončíme. Platí tedy, že 2x5 + x4 + 3x2 + x − 2 = (2x3 − 3x2 + 4x − 2) · (x2 + 2x + 1) + x

Postup dělení obvykle zapisujeme způsobem, který znáte z mladšího školního věku, kdy jste se zbytkem dělili přirozená čísla. Do prvního řádku napíšeme P (x) : Q(x) a za rovnítko napíšeme podíl členů s nejvyššími mocninami (tedy to, co jsme označili cxk ). Pak potřebujeme od polynomu P (x odečíst cxk · Q(x). Pod polynom P (x) do druhého řádku proto napíšeme cxk · Q(x) s opačnými znaménky. Podtrhneme a odečteme. Opět vydělíme členy s nejvyššími mocninami, vynásobíme a odečteme a stejně postupujeme i dále. Vše bude jistě jasné z následujícího zápisu. (2x5 −2x5

+ −

x4 4x4 −3x4 3x4

+

3x2

+

x − 2) : (x2 + 2x + 1) = 2x3 − 3x2 + 4x − 2

3

−

2x

− +

2x3 6x3

+ +

3x2 3x2

+

x −

2

4x3 −4x3

+ −

6x2 8x2

+ x − − 4x

2

−2x2 2x2

− 3x − + 4x +

2 2

x V dalších příkladech už budeme jen zapisovat postup dělení (nebudeme rozepisovat jednotlivé kroky podle popsaného algoritmu). Anna Kalousová: Úvod do algebry

19

1. října 2006

20


2.2.17 Příklady Polynomy vydělte se zbytkem. 1.

(x5 −x5

+ 2x4 − 2x4

+ +

x3 x3

+

7x2

+ 4x − 3) : (x2 + 2x − 1) = x3 + 2x + 3

2x3 −2x3

+ −

7x2 4x2

+ 4x − + 2x

3

3x2 −3x2

+ 6x − − 6x +

3 3 0

Zbytek je nulový, říkáme, že polynom x5 + 2x4 + x3 + 7x2 + 4x − 3 je polynomem x2 + 2x − 1 dělitelný beze zbytku. Platí x5 + 2x4 + x3 + 7x2 + 4x − 3 = (x3 + 2x + 3) · (x2 + 2x − 1) 2.

(3x5 −3x5

+

4x4

− +

2x3 6x3

− 2x2 − 3x2

4x4 −4x4

+

4x3

− 5x2 + 8x2

4x3 −4x3

+ 3) : (x3 − 2x + 1) = 3x2 + 4x + 4 +

3

+ 3x2

− 4x + + 8x −

3 4

3x2

+ 4x −

1

Platí tedy, že

− 4x

3x5 + 4x4 − 2x3 − 2x2 + 3 = (3x2 + 4x + 4) · (x3 − 2x + 1) + 3x2 + 4x − 1 3.

(3x5 −3x5

+ 4x4 − 4x4

− 2x3 − 4x3

−

2x2

− 6x3 6x3

− +

2x2 8x2 6x2 −6x3

+

3) : (3x2 + 4x + 4) = x3 − 2x + 2

+

3

+ 8x + − 8x −

3 8 −5

+ 8x

Platí tedy, že

3x5 + 4x4 − 2x3 − 2x2 + 3 = (x3 − 2x + 1) · (3x2 + 4x + 4) − 5 Z druhého a třetího příkladu je patrné, že záleží na tom, kterým polynomem dělíme. Zbytek má mít totiž nižší stupeň než dělenec (nikoli než podíl), proto když dělíme „opačněÿ můžeme dělit déle.

2.3

Hornerovo schema

Hornerovo schema umožňuje spočítat hodnotu polynomu pro nějaké (reálné) číslo s minimálním počtem násobení. Zbytečné násobení totiž vede k časovým ztrátám a zatěžuje také výsledek větší chybou. Nejprve zapíšeme polynom trochu jiným způsobem. Platí totiž P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 = (an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a2 x + a1 ) · x + a0 = 1. října 2006

20


2.4. Kořeny polynomu

21

= ((an xn−2 + an−1 xn−3 + · · · + a2 ) · x + a1 ) · x + a0 = · · · = ((· · · (an x + an−1 )x + · · · + a2 )x + a1 )x + a0 Máme spočítat hodnotu polynomu P (x) v bodě x0 . Podle předchozího zápisu je P (x0 ) = ((· · · (an x0 + an−1 )x0 + · · · a2 )x0 + a1 )x0 + a0 . Položme bn bn−1 bn−2 .. .

= an = bn x0 + an−1 = bn−1 x0 + an−2 .. .

b1 b0

= b 2 x0 + a 1 = b 1 x0 + a 0

= an x0 + an−1 = (an x0 + an−1 )x0 + an−2 .. . = (· · · ((an x0 + an−1 )x0 + an−2 )x0 + · · · + a2 )x0 + a1 = ((· · · ((an x0 + an−1 )x0 + an−2 )x0 + · · · + a2 )x0 + a1 )x0 + a0

Zřejmě P (x0 ) = b0 . Také platí, že P (x) = (x − x0 )(bn xn−1 + bn−1 xn−2 + · · · + b2 x + b1 ) + b0 , což můžeme ověřit roznásobením. Hornerovo schema je tabulka, která má tři řádky. V prvním řádku jsou zapsány koeficienty polynomu P (x) (včetně nulových). Do třetího řádku budeme postupně zapisovat koeficienty b i , nejprve bn = an , potom vždycky tak, že nejprve do druhého řádku zapíšeme bi+1 · x0 a potom sečteme čísla v prvním a druhém řádku. Koeficient bi je roven tomuto součtu. Schema tedy vypadá takto an x0 bn

an−1 b n x0 bn−1

an−2 bn−1 x0 bn−2

2.3.1 Příklad Užitím Hornerova schematu spočtěte x0 = 2. 3 0 2 6 3 6

... a2 . . . b 3 x0 ... b2

a1 b 2 x0 b1

a0 b 1 x0 b0

hodnotu polynomu P (x) = 3x4 − 2x2 − 5x + 1 pro číslo −2 −5 12 20 10 15

1 30 31

Tedy P (2) = 31 a také platí, že P (x) = 3x4 − 2x2 − 5x + 1 = (x − 2) · (3x3 + 6x2 + 10x + 15) + 31. 2.3.2 Příklad Užitím Hornerova schematu spočtěte hodnotu polynomu P (x) = 3x4 − 2x2 − 5x + 1 pro číslo x0 = −2. 3 0 −2 −5 1 −2 −6 12 −20 50 3 −6 10 −25 51 Tedy P (−2) = 51 a také platí, že P (x) = 3x4 − 2x2 − 5x + 1 = (x + 2) · (3x3 − 6x2 + 10x − 25) + 51.

2.4

Kořeny polynomu

V této části musíme pojem polynomu rozšířit na komplexní polynom. Budeme se nadále zajímat především o polynomy reálné, ale z důvodů, které již byly uvedeny na začátku kapitoly (reálný polynom může mít pouze komplexní kořeny), se na ně budeme dívat jako na polynomy komplexní. To lze, protože každé reálné číslo je také číslem komplexním (s nulovou imaginární částí). 2.4.1 Definice Nechť P (x) je nenulový (komplexní) polynom. Řekneme, že komplexní číslo α je kořenem polynomu P , jestliže P (α) = 0. Anna Kalousová: Úvod do algebry

21

1. října 2006

22


2.4.2 Věta Komplexní číslo α je kořenem polynomu P (x) právě tehdy, když je polynom P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x − α). Důkaz. Tvrzení je ve tvaru ekvivalence, musíme proto dokázat dvě implikace. 1. Nejprve ukážeme, že pokud je α kořenem P (x), je polynom P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x−α), tj. existuje polynom Y (x) takový, že P (x) = Y (x) · (x − α). Podle věty 2.2.14 existují polynomy Y (x) a Z(x), takové, že st Z(x) < st(x − α)

a platí

P (x) = Y (x) · (x − α) + Z(x).

Polynom (x − α) je stupně 1, proto Z je konstantní polynom. Můžeme psát Z(x) = c pro nějaké komplexní číslo c. Platí tedy P (x) = Y (x) · (x − α) + c. Protože α je kořenem polynomu P (x), musí být P (α) = 0. Dosadíme-li do předchozího vztahu, máme 0 = P (α) = Y (α) · (α − α) + c = Y (α) · 0 + c,

tedy c = 0.

Zbytek je nulový, to znamená, že polynom P (x) je beze zbytku dělitelný polynomem (x − α). 2. Dokážeme, že pokud je P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x − α), je α kořenem polynomu P (x).

To, že je P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x − α), znamená, že existuje polynom Y (x) takový, že P (x) = Y (x) · (x − α). Spočítejme hodnotu polynomu P (x) pro x = α. P (α) = Y (α) · (α − α) = Y (α) · 0 = 0,

to znamená, že α je kořenem polynomu P (x). -,

Může se stát, že α je také kořenem polynomu Y (x) z důkazu předchozí věty. To znamená, že i polynom Y (x) je beze zbytku dělitelný polynomem (x − α) a polynom P (x) je beze zbytku dělitelný (x − α) 2 . Tento postup můžeme opakovat. Tím se dostáváme k pojmu vícenásobný kořen. Dá se říci, že násobnost kořene α je číslo, které udává, kolikrát jsme takto beze zbytku mohli dělit. 2.4.3 Definice Řekneme, že (komplexní) číslo α je k-násobným kořenem polynomu P (x), jestliže k je největší přirozené číslo takové, že P (x) je beze zbytku dělitelný polynomem (x − α)k . 2.4.4 Poznámka Tato definice vyhovuje i případu, kdy dané číslo není kořenem polynomu, je totiž 0-násobným kořenem. Místo o jednonásobném kořenu mluvíme většinou o jednoduchém kořenu. 2.4.5 Pozorování (Komplexní) číslo α je k-násobným kořenem polynomu P (x) právě tehdy, když existuje polynom Q(x) takový, že P (x) = Q(x) · (x − α)k a Q(α) 6= 0. Důkaz. Je to jen přeformulování definice, kde slovo největší je nahraženo opisem, že víckrát už dělit nelze, neboť α není kořenem podílu. -,

2.4.6 Věta Základní věta algebry: Každý (komplexní) polynom alespoň prvního stupně má alespoň jeden (komplexní) kořen. Tuto větu uvádíme bez důkazu.1 Případný zájemce ho nalezne třeba v . 2.4.7 Důsledek Nenulový polynom n-tého stupně má právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost. 1 O důkaz tohoto tvrzení se pokoušelo vícero matematiků. Konečný důkaz bývá připisován Gaussovi, ale někteří tvrdí, že větu dokázal již d’Alembert. Dnes je možno najít několik variant důkazu, ale většinou jsou třeba hlubší znalosti z matematické analýzy (důkaz není algebraický).

1. října 2006

22



23

Důkaz. Tvrzení můžeme přeformulovat tak, že stupeň polynomu je roven součtu násobností všech jeho kořenů. 1. Pro n = 0 tvrzení platí - takový polynom zřejmě nemá žádný kořen. 2. Jestliže je n ≥ 1, má polynom P (x) alespoň jeden kořen α1 , jeho násobnost označme k1 . Podle pozorování 2.4.5 musí existovat polynom Q1 (x) takový, že P (x) = Q1 (x) · (x − α1 )k1

a Q1 (α1 ) 6= 0.

Označme n1 stupeň polynomu Q1 . Zřejmě n1 = n − k1 . (a) Pokud n1 = 0, je n = k1 a P (x) má jeden n-násobný kořen. Tedy tvrzení platí. (b) Pokud n1 ≥ 1, má polynom Q1 (x) alespoň jeden kořen α2 násobnosti k2 . Existuje tedy polynom Q2 (x) takový, že Q1 (x) = Q2 (x) · (x − α2 )k2 a Q2 (α2 ) 6= 0. To znamená, že P (x) = Q1 (x) · (x − α1 )k1 = Q2 (x) · (x − α2 )k2 · (x − α1 )k1 . Označme n2 stupeň Q2 . Zřejmě n2 = n1 − k2 = n − (k1 + k2 ). Pokračujeme stejným způsobem dále. Po konečně mnoha krocích (tento počet označíme s) dojde k tomu, že ns = 0, tedy 0 = n − (k1 + k2 + · · · + ks ). To znamená, že stupeň polynomu P (x) (tedy n) je roven součtu násobností jednotlivých kořenů (k1 + k2 + · · · + ks ). Tvrzení je tímto dokázáno. -,

2.4.8 Z důkazu předchozí věty také plyne, že polynom P (x) můžeme zapsat ve tvaru P (x) = Qs (x) · (x − αs )ks · · · (x − α2 )k2 · (x − α1 )k1 , kde α1 , . . . , αs jsou kořeny tohoto polynomu a k1 , . . . , ks jejich násobnosti. Stupeň polynomu Qs (x) je nula, jedná se o konstantní polynom. Zřejmě Qs (x) = an . Platí tedy P (x) = an · (x − αs )ks · · · (x − α2 )k2 · (x − α1 )k1 Tomuto zápisu se říká rozklad polynomu na součin kořenových činitelů (resp. kořenových polynomů). 2.4.9 Příklady Pro ilustraci uvedeme dva modelové příklady na rozklad polynomů na součin kořenových činitelů. Využijeme v nich znalostí ze střední školy - řešení kvadratických rovnic. 1. P (x) = x4 − 5x2 + 4 Hledáme-li kořeny polynomu P (x), řešíme vlastně polynomiální rovnici P (x) = 0. V našem případě můžeme provést substituci y = x2 , čímž získáme kvadratickou rovnici. Tu již umíme vyřešit. y 2 − 5y + 4 = 0 y1 = 4 y2 = 1 Zbývá ještě vyřešit rovnici x2 = y pro obě hodnoty y. Ale to už je snadné. x2 = 4,

tedy x1 = 2,

x2 = −2

x2 = 1,

tedy x3 = 1,

x4 = −1

Rozklad na součin kořenových činitelů je P (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x + 1). Anna Kalousová: Úvod do algebry

23

1. října 2006

24


2. P (x) = x4 − 3x2 − 4 Opět provédeme substituci y = x2 , získáme kvadratickou rovnici a vyřešíme ji. y 2 − 3y − 4 = 0 y1 = 4 y2 = −1 Vyřešíme ještě rovnici x2 = y pro obě hodnoty y. x2 = 4, x2 = −1,

tedy x1 = 2, tedy x3 = i,

x2 = −2 x4 = −i

Rozklad na součin kořenových činitelů je P (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x − 2)(x + 2)(x − i)(x + i). 2.4.10 Důsledek Nechť P a Q jsou polynomy stupně nejvýše n-tého, α1 , . . . , αn+1 navzájem různá komplexní čísla taková, že P (αi ) = Q(αi ) pro všechna i = 1, . . . , n + 1. Potom P = Q. Důkaz. Uvažujme polynom R = P − Q. Tento polynom má stupeň nejvýše n. Přitom R(α i ) = 0 pro všechna i = 1, . . . , n + 1, tedy má n + 1 navzájem různých kořenů. To ale podle předchozího důsledku není možné pro žádný nenulový polynom. Tedy R = O a P = Q. -, Dále se budeme zabývat pouze reálnými polynomy (přesněji polynomy s reálnými koeficienty). Jak už bylo uvedeno, takový polynom nemusí mít žádné reálné kořeny. A jak vypadají jeho komplexní kořeny? U kvadratického polynomu jsou takové kořeny komplexně sdružená čísla. O tom, co platí pro polynomy vyšších stupňů, mluví následující věta. 2.4.11 Věta Nechť P (x) je polynom s reálnými koeficienty a komplexní číslo a + bi, b 6= 0 je jeho k-násobný kořen. Pak také komplexně sdružené číslo a − bi, je k-násobným kořenem polynomu P (x). Důkaz. Protože platí P (α) = P (α), je P (a − bi) = P (a + bi) = P (a + bi) = 0 = 0. Tedy pokud je a + bi kořenem polynomu P (x), je také a − bi kořenem tohoto polynomu. Podle věty 2.4.2 musí být P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x − (a + bi)) a také polynomem (x − (a − bi)), tedy i jejich součinem. To znamená, že existuje polynom Q(x) takový, že P (x) = Q(x) · (x − (a + bi))(x − (a − bi)) = Q(x) · (x2 − 2ax + a2 + b2 ). Protože polynomy P (x) i (x2 − 2ax + a2 + b2 ) mají reálné koeficienty, má reálné koeficienty také polynom Q(x). Pokud je a + bi vícenásobným kořenem polynomu P (x), je také kořenem polynomu Q(x). Potom a − bi je kořenem Q(x) a tedy alespoň dvojnásobným kořenem P (x). Analogicky postupujeme dále. Pokud tedy je a + bi k-násobným kořenem P (x), je také a − bi, k-násobným kořenem tohoto polynomu. -,

2.4.12 Důsledek Reálný polynom lichého stupně má vždy aspoň jeden reálný kořen. Důkaz. Součet násobností komplexních kořenů je vždy sudé číslo. Je-li polynom lichého stupně, musí mít aspoň jeden reálný kořen. -, Věta 2.4.11 nám umožňuje rozložit reálný polynom na součin tzv. ireducibilních reálných polynomů. Ireducibilní znamená nerozložitelný. Co to znamená v případě polynomů, popisuje následující definice. 1. října 2006

24



25

2.4.13 Definice Ireducibilní polynom s koeficienty v tělese T je takový polynom, který se nedá zapsat jako součin dvou polynomů alespoň prvního stupně s koeficienty v tělese T . Ireducibilní reálný polynom je tedy takový (reálný) polynom, který se nedá zapsat jako součin dvou reálných polynomů alespoň prvního stupně. 2.4.14 Tvrzení Ireducibilní reálné polynomy jsou pouze polynomy prvního stupně a takové polynomy druhého stupně, které mají jen komplexní kořeny. Důkaz. Tyto dva typy polynomů jsou zjevně ireducibilní. Zbývá ukázat, že žádný jiný polynom ireducibilní není. Pokud má nějaký polynom alespoň druhého stupně nějaký reálný kořen α, dá se podle věty 2.4.2 napsat jako Q(x) · (x − α), kde Q(x) je aspoň prvního stupně. Není tedy ireducibilní. Zbývá ukázat, že nejsou ireducibilní ani polynomy vyššího než druhého stupně, které mají jen komplexní kořeny. Pokud má takový polynom komplexní kořen a + bi, má také kořen a − bi a je beze zbytku dělitelný polynomem (x2 − 2ax + a2 + b2 ). Dá se zapsat ve tvaru Q(x) · (x2 − 2ax + a2 + b2 ), kde Q(x) je reálný polynom aspoň prvního stupně, a není proto ireducibilní. -,

2.4.15 Každý polynom s reálnými koeficienty můžeme rozložit na součin ireducibilních reálných polynomů, to znamená zapsat ve tvaru P (x) = an (x − α1 )k1 · · · (x − αr )kr · (x2 + p1 x + q1 )l1 · · · (x2 + pt x + qt )lt , kde α1 , . . . , αr jsou reálné kořeny polynomu P (x) a (x2 + p1 x + q1 ), . . . , (x2 + pt x + qt ) jsou součiny kořenových polynomů odpovídajících vždy dvěma komplexně sdruženým kořenům. 2.4.16 Příklady Uvažujme polynomy z příkladu 2.4.9. 1. Polynom P (x) má pouze reálné kořeny, proto rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je stejný jako rozklad na součin kořenových činitelů. P (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x + 1). 2. Polynom P (x) má dva komplexní kořeny i a −i. Vynásobením odpovídajících kořenových polynomů získáme (x − i) · (x + i) = x2 + 1 Proto rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je P (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 1). V některých případech můžeme nějaký komplexní kořen znát. Podle věty 2.4.11 potom známe i další kořen, totiž komplexně sdružené číslo. Polynom pak musí být beze zbytku dělitelný součinem odpovídajících kořenových polynomů. Po vydělení získáme polynom nižšího stupně. 2.4.17 Příklady Následující polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů. 1. P (x) = x6 − 4x4 − 8x3 + 4x2 + 16x + 16 a jeho kořenem je číslo α = −1 + i Podle věty 2.4.11 víme, že také číslo −1 − i je kořenem tohoto polynomu. Proto můžeme polynom P (x) vydělit součinem odpovídajících kořenových polynomů, tedy polynomem (x + 1 − i)(x + 1 + i) = x2 + 2x + 2. Anna Kalousová: Úvod do algebry

25

1. října 2006

26


(x6 −x6

2x

−

5 5

−2x 2x5

− −

4x4 2x4

− 8x3

− +

4

6x 4x4

3

− 8x + 4x3

−2x4 2x4

− 4x3 + 4x3

4x2

+

+ 16x + 16)

: (x2 + 2x + 2) = = x4 − 2x3 − 2x2 + 8

4x2 4x2

+ +

8x2 −8x2

+ 16x + − 16x −

16 16 0

Musíme ještě rozložit polynom x4 − 2x3 − 2x2 + 8. Možná byly ty komplexní kořeny vícenásobné. Zkusme tento polynom znovu vydělit polynomem x2 + 2x + 2. (x4 −x4

− −

2x3 2x3

− −

2x2 2x2

−4x3 4x3

− +

4x2 8x2 4x2 −4x2

+ 8) : (x2 + 2x + 2) = x2 − 4x + 4 +

8

+ 8x + − 8x −

8 8 0

+ 8x

Zbývá ještě rozložit polynom x2 − 4x + 4, ale ten už je kvadratický, takže ho rozložíme snadno. Zřejmě x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 . Rozklad polynomu P (x) na součin ireducibilních reálných polynomů je x6 − 4x4 − 8x3 + 4x2 + 16x + 16 = (x2 + 2x + 2)2 · (x − 2)2 . 2. P (x) = x6 − 5x4 + 12x3 − 4x2 − 8x + 12 a jeho kořenem je číslo α = 1 + i Opět polynom P (x) vydělíme součinem kořenových polynomů, které odpovídají kořenům 1 + i a 1 − i, tedy polynomem (x − 1 − i)(x − 1 + i) = x2 − 2x + 2. (x6 −x6

+

2x

5 5

2x −2x5

− −

5x4 2x4

+

12x3

4

7x 4x4

+ −

3

− +

12x 4x3

−3x4 3x4

+ −

8x3 6x3

− +

4x2 6x2

2x3 −2x3

+ +

2x2 4x2

−

4x2

8x + 12)

: (x2 − 2x + 2) = = x4 + 2x3 − 3x2 + 2x + 6

6x2 −6x2 1. října 2006

−

26

− −

8x 4x

− 12x + + 12x −

12 12 0 Anna Kalousová: Úvod do algebry


27

Musíme ještě rozložit polynom x4 + 2x3 − 3x2 + 2x + 6. Zkusme ho znovu vydělit polynomem x2 − 2x + 2. (x4 −x4

+ +

2x3 2x3

− −

3x2 2x2

+ 2x + 6) : (x2 − 2x + 2) = x2 + 4x + 3

4x3 −4x3

− +

5x2 8x2

+ 2x − 8x

3x2 −3x2

− 6x + + 6x −

6 6 0

Zbývá ještě rozložit kvadratický polynom x2 + 4x + 3. Zřejmě x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3). Rozklad polynomu P (x) na součin ireducibilních reálných polynomů je x6 − 5x4 + 12x3 − 4x2 − 8x + 12 = (x2 + 2x + 2)2 · (x + 1) · (x + 3). V matematice je často důležité najít kořeny polynomů, případně udělat rozklad polynomu na součin kořenových či ireducibilních reálných polynomů (vy se s tím setkáte např. při integraci racionálních funkcí, řešení diferenciálních rovnic,. . . ). Hledat kořeny polynomů je však úloha velmi obtížná a obecně se dá řešit pouze pro polynomy nejvýše 4. stupně. Pravděpodobně všichni umíte řešit lineární a kvadratické rovnice. Někteří možná znají i tzv. Cardanovy vzorce pro výpočet kořenů polynomů třetího stupně, či úpravy, které umožňují hledat kořeny polynomů čtvrtého stupně. þ

Gerolamo Cardano byl italský matematik. Narodil se v Pavii roku 1501. Otec byl matematik, přítel Leonarda da Vinci. Vystudoval medicínu v Pavii a v Padově. Věnoval se matematice, později medicíně v Miláně a v Bologni, často cestoval. Vzorce, které nesou jeho jméno, vymámil z jiného italského matematika Niccolo Fontany, řečeného Tartaglia (koktavý), když se zavázal slavnostní přísahou, že je nikdy nevyzradí. Několik let skutečně držel slovo, ale když se dozvěděl, že Scipione dal Ferro (další italský matematik) uměl některé rovnice třetího řádu řešit již dříve, cítil se zproštěn své přísahy. V knize Ars Magna (1545) tuto metodu představil. Tartaglia mu nikdy neodpustil. Cardano se věnoval také astrologii a říká se, že když se nesplnila předpověď jeho smrti, spáchal sebevraždu, aby ji potvrdil.

Řada matematiků se v dalších stoletích pokoušela najít vzorce pro výpočet kořenů polynomů vyšších řádů, ale všechny známé postupy selhávaly. V 18. a počátkem 19. století se tímto problémem zabývali i Joseph Louis Lagrange a Paolo Ruffini. Ten jako první ukázal, že tyto rovnice nejsou algebraicky řešitelné. Jeho článek byl uveřejněn v málo známém časopise a důkaz obsahoval chyby. Až Niels Abel definitivně dokázal, že obecný vzorec pro výpočet kořenů polynomů stupně vyššího než čtyři neexistuje. Některé polynomiální rovnice 5. a vyššího stupně však algebraicky řešit lze. Na otázku, které to jsou, dal odpověď Evariste Galois. Tak vidíte, zrovna moc polynomiálních rovnic řešit neumíme. Lineární, kvadratické, . . . U rovnic třetího a čtvrtého stupně jsou vzorce sice známy, ale jsou dost složité a také se v nich objevují odmocniny ze záporných čísel i v případech, kdy má rovnice pouze reálná řešení. V následujících odstavcích si ukážeme, jak můžeme hledat kořeny některých speciálních typů rovnic. 2.4.18 Při řešení binomických rovnic můžeme vyjít z Moivreovy věty. Pro rovnici xn − a = 0,

kde a ∈ C

dostáváme řešení xk =

p n

α + 2kπ α + 2kπ |a| · cos + i · sin n n

,

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

přičemž využíváme zápisu čísla a v goniometrickém tvaru, tedy a = |a| · (cos α + i · sin α). Anna Kalousová: Úvod do algebry

27

1. října 2006

28


2.4.19 Při rozkládání binomických polynomů můžeme využít i následujících vztahů: x2 − a 2 x2 + a 2 x3 − a 3 x3 + a 3 x4 − a 4 x4 + a 4 x6 − a 6 x8 − a 8

= = = = = = = =

(x − a)(x + a) (x − a · i)(x + a · i) (x − a)(x2 + ax + a2 ) (x + a)(x2 − ax + a2 ) 2 2 (x2 − a2 )(x2 + a2 ) = (x − a)(x √ + a)(x2 + a 2) √ 2 2 2 2 2 2 (x + a ) − 2x a = (x + 2ax + a ) · (x − 2ax + a2 ) 2 (x3 − a3 )(x3 + a3 ) = (x − a)(x2 + ax + a2 )(x + a)(x − ax + a2 ) √ √ (x4 − a4 )(x4 + a4 ) = (x − a)(x + a)(x2 + a2 )(x2 + 2ax + a2 )(x2 − 2ax + a2 )

2.4.20 Příklady Následující polynomy rozložte na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních reálných polynomů. 1. P (x) = x4 − 16.

Kořeny najdeme nejprve užitím Moivreovy věty, potom využitím vztahů z předchozího odstavce. (a) Nejprve rovnici upravíme a pravou stranu napíšeme v goniometrickém tvaru P (x) = x4 − 16 = 0,

tedy x4 = 16 = 16 · (cos 0 + i · sin 0)

Jednotlivé kořeny vypočteme podle uvedeného vzorce √ 4 x0 = √ 16 · (cos 0 + i · sin 0) 4 2π 16 · (cos 2π x1 = √ 4 + i · sin 4 ) 4 4π x2 = √16 · (cos 4 + i · sin 4π 4 ) 6π x3 = 4 16 · (cos 6π + i · sin 4 4 )

= 2 = 2i = −2 = −2i

Rozklad na součin kořenových činitelů je tedy x4 − 16 = (x − 2)(x − 2i)(x + 2)(x + 2i), rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4). Díky komutativitě a asociativitě násobení polynomů je samozřejmě pořadí činitelů libovolné. (b) Rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je x4 − 16 = x4 − 24 = (x2 − 22 )(x2 + 22 ) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4), rozklad na součin kořenových činitelů je x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x − 2i)(x + 2i) 2. P (x) = x4 + 81. Kořeny opět najdeme nejprve užitím Moivreovy věty, potom využitím vztahů z předchozího odstavce. (a) Nejprve rovnici upravíme a pravou stranu napíšeme v goniometrickém tvaru P (x) = x4 + 81 = 0,

tedy x4 = −81 = 81 · (cos π + i · sin π)

Jednotlivé kořeny vypočteme podle uvedeného vzorce x0 x1 x2 x3 1. října 2006

= = = =

√ 4 81 · (cos π4 + i · sin π4 ) √ 4 3π 81 · (cos 3π 4 + i · sin 4 ) √ 4 5π 81 · (cos 5π 4 + i · sin 4 ) √ 4 7π 81 · (cos 4 + i · sin 7π 4 ) 28

√

3 2 = 2 √ 2 = − 3√ 2 2 = − 3√ 2 3 2 = 2

√

2 + i 3√ 2 3 2 +i √ 2 2 − i 3√ 2 3 2 −i 2



29

Rozklad na součin kořenových činitelů je tedy √ √ √ ! √ ! 2 2 2 2 3 3 3 3 · x+ · x4 + 81 = x − −i −i 2 2 2 2

√ √ ! 3 2 3 2 x+ · +i 2 2

√ √ ! 3 2 3 2 x− , +i 2 2

rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je √ √ x4 + 81 = (x2 + 3 2x + 9) · (x2 − 3 2x + 9). Díky komutativitě a asociativitě násobení polynomů je samozřejmě pořadí činitelů libovolné. (b) Rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je √ √ √ √ x4 +81 = x4 +34 = (x2 +32 )2 −18x2 = (x2 +9+3 2x)(x2 +9−3 2x) = (x2 +3 2x+9)·(x2 −3 2x+9), rozklad na součin kořenových činitelů dostaneme např. doplněním na čtverec     √ !2 √ !2 9 3 9 2 2 3 + · x− + = x4 + 81 =  x + 2 2 2 2 √ √ ! 3 2 3 2 · x+ −i 2 2

=

√ √ ! 3 2 3 2 x+ · +i 2 2

√ √ ! 3 2 3 2 x− · −i 2 2

√ √ ! 3 2 3 2 x− +i 2 2

Při hledání kořenů polynomů s celočíselnými koeficienty nám může pomoci následující věta, která omezuje množinu možných racionálních kořenů polynomu. 2.4.21 Věta Nechť koeficienty polynomu P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 jsou celá čísla, an 6= 0 a nechť racionální číslo pq , kde p a q jsou nesoudělná celá čísla, je kořenem tohoto polynomu. Potom p dělí a 0 a q dělí an . Důkaz. Protože

p q

je kořenem polynomu P (x), musí platit P

p n−1 p p n p + an−1 + · · · + a1 = an + a0 = 0 q q q q

Po vynásobení číslem q n dostaneme rovnici an · pn + an−1 · pn−1 · q + · · · + a1 · p · q n−1 + a0 · q n = 0, kterou přepíšeme ve dvou tvarech, aby byla názornější an · pn a0 · q n

= −q · (an−1 · pn−1 + · · · + a1 · p · q n−2 + a0 · q n−1 ) = −p · (an · pn−1 + an−1 · pn−2 · q + · · · + a1 · q n−1 )

Odtud je patrné, že q dělí an · pn a tedy i an , protože čísla p a q jsou nesoudělná, a p dělí a0 · q n a tedy také a0 . -,

2.4.22 Příklady Následující polynomy rozložte na součin kořenových činitelů. 1. P (x) = x6 + 2x5 − 8x4 − 14x3 + 11x2 + 28x + 12. Absolutní člen je 12, jeho dělitelé jsou 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 6, −6, 12, −12. Protože koeficient u nejvyšší mocniny je 1, jsou možné racionální kořeny také tato čísla. Nyní můžeme zkoušet jedno po druhém, zda je kořenem polynomu P (x). Použijeme při tom Hornerovo schema, protože pro nalezený kořen α tím získáme také podíl Q(x) = P (x) : (x − α). Polynom Q(x) už má nižší stupeň než polynom P (x). Takto postupně snižujeme stupeň polynomu, jehož kořeny hledáme, až se (snad) dostaneme k polynomu kvadratickému, jehož kořeny umíme najít. Anna Kalousová: Úvod do algebry

29

1. října 2006

30


Je výhodné začít s co nejmenšími čísly, protože počítání s nimi je snadnější. Pokud takto najdeme kořen, snížíme stupeň polynomu, čímž se počítání usnadní. Pokud zvolené číslo není kořenem, aspoň se moc nenadřeme. Je také rozumné, když nějaký kořen najdeme, zkusit, zda není vícenásobný. Takže vyzkoušíme nejprve číslo 1.

1

1 2 −8 −14 11 28 1 3 −5 −19 −8

12 20

1 3 −5 −19

32

20

−8

Protože P (1) = 32, není číslo 1 kořenem polynomu P (x). Zkusme číslo −1. 1

2 −8 −14 11 28 12 −1 −1 9 5 −16 −12

−1 1

1 −9

−5 16

12

0

P (−1) = 0, proto je číslo −1 kořenem polynomu P (x) a platí, že P (x) = (x5 + x4 − 9x3 − 5x2 + 16x + 12) · (x + 1). Nyní budeme hledat kořeny polynomu x5 + x4 − 9x3 − 5x2 + 16x + 12. Nejprve vyzkoušíme, jestli číslo −1 není vícenásobným kořenem polynomu P (x). Budeme ho „dosazovatÿ tak dlouho, dokud hodnota polynomu nebude různá od nuly. 1

1 −9 −1 0

1 −1

0 −9 −1 1

−1

1 −1 −8 −1 2

−1

1 −2 −6

−5 9

16 12 −4 −12

4 12 8 −12 12 6

0

0

18

Číslo −1 tedy je trojnásobným kořenem polynomu P (x) a platí P (x) = (x3 − x2 − 8x + 12) · (x + 1)3 . Zbývá najít kořeny polynomu x3 − x2 − 8x + 12. Zkusme číslo 2. 2

1 −1 −8 12 2 2 −12 1

1 −6 2 6

1

3

2

0

0

Číslo 2 je dvojnásobným kořenem, platí x3 − x2 − 8x + 12 = (x − 2)2 · (x − 3). Polynom P (x) má trojnásobný kořen −1, dvojnásobný kořen 2 a jednoduchý kořen 3. Rozklad na součin kořenových polynomů má následující tvar P (x) = (x + 1)3 · (x − 2)2 · (x − 3). 1. října 2006

30



31

2. P (x) = x6 + 8x5 + 27x4 + 50x3 + 54x2 + 32x + 8. Absolutní člen je 8, jeho dělitelé jsou 1, −1, 2, −2, 4, −4, 8, −8. Protože koeficient u nejvyšší mocniny je 1, jsou možné racionální kořeny také tato čísla. Protože všechny koeficienty polynomu jsou kladné, nemůže mít žádný kladný kořen (když dosadíme jakékoli kladné číslo, bude výsledek kladný). Budeme zkoušet jen záporná čísla, tedy −1, −2, −4, −8. Pokud najdeme nějaký kořen, ihned zjistíme jeho násobnost. Vyzkoušíme nejprve číslo −1. 1 8 27 50 54 32 8 −1 −1 −7 −20 −30 −24 −8 1

7 20 30 24 −1 −6 −14 −16

1

6 14 −1 −5

−1 −1 1

5

16 −9

9

8 −8

8 −7

7

0

0

1

Číslo −1 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x) a platí Nyní zkusme číslo −2.

P (x) = (x + 1)2 · (x4 + 6x3 + 14x2 + 16x + 8). 1

6 14 16 8 −2 −8 −12 −8

1

4 6 −2 −4

−2 −2 1

2

4 −4

2

0

0

Číslo −2 je dvojnásobným kořenem, platí

x4 + 6x3 + 14x2 + 16x + 8 = (x + 2)2 · (x2 + 2x + 2).

Polynom x2 + 2x + 2 má komplexní kořeny −1 + i a −1 − i. Rozklad na součin kořenových polynomů má následující tvar P (x) = (x + 1)2 · (x + 2)2 · (x + 1 − i) · (x + 1 + i).

3. P (x) = 2x5 − x4 − 2x3 + 5x2 + 2x − 2.

Absolutní člen je 2, koeficient u nejvyšší mocniny je 2. Možné racionální kořeny jsou čísla 1, −1, 2, −2, 21 , − 21 . Pokud najdeme nějaký kořen, ihned zjistíme jeho násobnost. Vyzkoušíme nejprve číslo 1. 1

2 −1 −2 5 2 −2 2 1 −1 4 6 2

Číslo 1 není kořenem, vyzkoušíme číslo −1.


1 −1

4 6

4

−1

2 −1 −2 −2 3

5 2 −2 −1 −4 2

−1

2 −3 −2

1 5

4 −2 −6 2

−1

2 −5 −2

6 7

−2 −13

2 −7

13

-15

31

0

0

1. října 2006

32


Číslo −1 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x) a platí P (x) = (x + 1)2 · (2x3 − 5x2 + 6x − 2). Nyní zkusme číslo 2. 2 −5 6 −2 4 −2 8

2

2 −1

4

6

Číslo 2 není kořenem, vyzkoušíme číslo −2. −2

2 −5 6 −4 18

−2 −48

2 −9 24

-50

Číslo −2 není kořenem, vyzkoušíme číslo 21 . 2 −5 6 −2 1 −2 2

1 2

2 −4 Číslo

1 2

4

0

je jednoduchým kořenem polynomu P (x), 2x2 − 4x + 4 = 2 · (x − 1 − i) · (x − 1 + i).

Rozklad na součin kořenových polynomů má následující tvar

1 P (x) = 2 · (x + 1)2 · (x − ) · (x − 1 − i) · (x − 1 + i) = (x + 1)2 · (2x − 1) · (x − 1 − i) · (x − 1 + i). 2 4. P (x) = x6 − 2x5 − 12x3 + 13x2 − 2x − 30 a jeho kořenem je číslo α = 1 + i. Nejprve polynom P (x) vydělíme součinem kořenových polynomů, které odpovídají kořenům 1 + i a 1 − i, tedy polynomem x2 − 2x + 2. (x6 −x6

− 2x5 + 2x5

−

2x

4 4

−2x 2x4

−

12x3

+

13x2

3

12x 4x3

+ +

2

− −

13x 4x2

−16x3 16x3

+ −

17x2 32x2 −15x2 15x2

−

2x − 30)

: (x2 − 2x + 2) = = x4 − 2x2 − 16x − 15

− 2x + 32x + 30x − − 30x +

30 30 0

Musíme ještě rozložit polynom x4 − 2x2 − 16x − 15. Zkusme ho znovu vydělit polynomem x2 − 2x + 2, abychom zjistili, jestli kořeny, které známe, nebyly vícenásobné. (x4 −x4

+

2x3

− 2x2 − 2x2

−

16x − 15) : (x2 − 2x + 2) = x2 + 2

2x3 −2x3

− 4x2 + 4x2

− −

16x 4x −20x −

1. října 2006

32

15 Anna Kalousová: Úvod do algebry


33

Zbytek je nenulový, kořeny byly pouze jednoduché. Možná má polynom nějaké racionální kořeny. Mohla by to být čísla 1, −1, 3, −3, 5, −5, 15, −15. Zkusíme číslo 1. 1

1 0 −2 −16 1 1 −1

−15 −17

1 1 −1 −17

-32


1

0 −2 −1 1

−1

1 −1 −1 −1 2

−15 −1

1 −2

-16

−16 −15 1 15

1

0

Číslo −1 je jednoduchým kořenem, vyzkoušíme ještě číslo 3. 1 −1 −1 −15 3 6 15

3

1

2

5

0

Číslo 3 je také jednoduchým kořenem, polynom x2 + 2x + 5 už má jen komplexní kořeny −1 + 2i a −1 − 2i. Rozklad na součin kořenových polynomů má následující tvar P (x) = (x + 1) · (x − 3) · (x − 1 − i) · (x − 1 + i) · (x + 1 − 2i) · (x + 1 + 2i). 2.4.23 Příklady Následující polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů. 1. P (x) = x6 − 5x4 + 6x3 + 6x2 − 16x + 8. Možné racionální kořeny jsou 1, −1, 2, −2, 4, −4, 8, −8. Postupně je vyzkoušíme, začneme číslem 1. 1

1 0 −5 6 1 1 −4

6 −16 8 2 8 −8

1

1 1 −4 2 1 2 −2

8 0

−8 8

1 2 −2 1 3

0 1

8 1

0

1 3

1

1

1

0

9

Číslo 1 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x), zkusme číslo −1. 1 −1 1

2 −2 0 8 −1 −1 3 −3 1 −3 3

5

Číslo −1 není kořenem, vyzkoušíme číslo 2. Anna Kalousová: Úvod do algebry

33

1. října 2006

34


1 2 −2 0 2 8 12

2

1 4

8 24

6 12

32

Číslo 2 není kořenem, vyzkoušíme číslo −2. 1

2 −2 −2 0

1

0 −2 4 −2 4 −4

−2 −2

1 −2

2

0 8 4 −8 0

0

Číslo −2 je dvojnásobným kořenem, polynom x2 − 2x + 2 už má jen komplexní kořeny, je ireducibilní. Rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů má tvar P (x) = x6 − 5x4 + 6x3 + 6x2 − 16x + 8 = (x − 1)2 · (x + 2)2 · (x2 − 2x + 2). 2. P (x) = 2x6 − 3x5 + 2x4 + 10x3 − 18x2 − 31x − 10. Absolutní člen je 10, koeficient u nejvyšší mocniny je 2. Možné racionální kořeny jsou čísla 1 1 5 5 1, −1, 2, −2, , − , 5, −5, , − , 10, −10. 2 2 2 2 Vyzkoušíme nejprve číslo 1. 1

2 −3 2 10 −18 −31 2 −1 1 11 −7

−10 −38

2 −1

-48

1 11

−7 −38


2 −3 −2

2 5

10 −18 −31 −10 −7 −3 21 10

−1

2 −5 −2

7 3 −21 −10 7 −14 11 10

−1

2 −7 14 −11 −10 −2 9 −23 34 2 −9 23 −34

0

0

24

Číslo −1 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x), vyzkoušíme číslo 2. 2

2

2 −7 14 −11 −10 4 −6 −16 10 2 −3 4 2

1. října 2006

1 34

8 2 10

5 20

0

25 Anna Kalousová: Úvod do algebry

2.5. Cvičení

35

Číslo 2 je jednoduchým kořenem, vyzkoušíme číslo −2. −2

2 −3 8 −4 14

5 −44

2 −7 22

-39

Číslo −2 není kořenem, vyzkoušíme číslo 21 . 1 2

2 −3 8 5 1 −1 3, 5 2 −2

Číslo

1 2

7

8,5

není kořenem, vyzkoušíme číslo − 21 . − 21

2 −3 −1

8 5 2 −5

2 −4 10

0

Číslo − 21 je jednoduchým kořenem, polynom 2x2 − 4x + 10 = 2 · (x2 − 2x + 5) už má jen komplexní kořeny, je ireducibilní. Rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů má tvar 1 P (x) = 2x6 − 3x5 + 2x4 + 10x3 − 18x2 − 31x − 10 = 2(x + 1)2 · (x − 2) · (x + ) · (x2 − 2x + 5) = 2 = (x + 1)2 · (x − 2) · (2x + 1) · (x2 − 2x + 5).

2.5

Cvičení

1. Vydělte (se zbytkem) polynom P (x) polynomem Q(x). (a) P (x) = (x6 + 2x5 − x3 − 4x2 + x + 2), Q(x) = (x2 + x − 3)

(b) P (x) = (x6 + 2x5 + 4x3 − 12x2 + 10x − 2), Q(x) = (x2 + 2x − 3)

(c) P (x) = (x7 + 2x6 − 4x5 − 6x4 + 5x3 − 4x2 + 3x + 2), Q(x) = (x3 − 3x + 1)

(d) P (x) = (x7 − x6 − 7x5 + 7x4 − x3 − 5x2 + 2x + 1), Q(x) = (x3 − 3x2 + 2) 2. Polynomy rozložte na součin kořenových polynomů . (a) P (x) = x4 + 1. (b) P (x) = x4 − 1.

(c) P (x) = x4 + 16.

(d) P (x) = x3 + 8. (e) P (x) = x3 − 8. 3. Polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů. (a) P (x) = x6 − 64.

(b) P (x) = x8 − 1.

(c) P (x) = x4 − 81.

(d) P (x) = x4 + 1.

4. Polynomy rozložte na součin kořenových polynomů . (a) x6 − 2x5 − 8x4 + 14x3 + 11x2 − 28x + 12 Anna Kalousová: Úvod do algebry

35

1. října 2006

36


(b) x6 − 4x5 + 3x4 + 6x3 − 10x2 + 8

(c) x6 + 4x5 + 3x4 − 2x3 + 6x2 + 16x + 8

(d) 2x5 + x4 − 2x3 + 3x2 + 6x + 2

(e) 2x5 − 5x4 − 2x3 + 2x2 + 16x − 8

(f) 2x6 − 3x5 − x4 − x3 + 9x2 − 8x + 2

(g) 2x6 + 5x5 + 6x4 − 6x3 − 26x2 + 9x + 10

(h) 2x6 + x5 + 3x4 + 18x3 + 16x2 − 3x − 5

5. Určete násobnost kořene α polynomu P (x). Polynom P (x) rozložte na součin kořenových polynomů. (a) P (x) = x6 − 7x5 + 12x4 + 14x3 − 59x2 + 57x − 18, 6

4

3

2

6

4

3

6

4

3

6

5

(b) P (x) = x − 4x + 8x + 4x − 16x + 16, 2

(c) P (x) = x − 5x − 12x − 4x + 8x + 12, 2

(d) P (x) = x − 2x + 18x − 13x − 2x + 30, 4

3

3

2

α=1+i α = −1 − i α =1−i

2

(e) P (x) = x − 4x + 6x − 6x − 5x − 22x + 30, 6

4

(f) P (x) = x − x − 14x − 2x + 16x + 40, 5

4

3

2

(g) P (x) = 2x − 3x − 6x − 2x + 16x + 8,

α=1

α = 1 − 2i

α = −1 + i α=1

6. Polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů. (a) x6 + 7x5 + 12x4 − 14x3 − 59x2 − 57x − 18

(b) x6 + 4x5 + 3x4 − 6x3 − 10x2 + 8 (c) x6 − 5x4 − 6x3 + 6x2 + 16x + 8

(d) 2x5 − x4 − 2x3 − 3x2 + 6x − 2

(e) 2x5 + 5x4 − 2x3 − 2x2 − 16x + 8 (f) 2x6 + x5 − 3x4 + 3x3 + 7x2 − 2

(g) 2x6 − x5 + 3x4 − 18x3 + 16x2 + 3x − 5

(h) 2x6 + 3x5 + 2x4 − 10x3 − 18x2 + 31x − 10 7. Určete násobnost kořene α polynomu P (x). Polynom P (x) rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů. (a) P (x) = x6 − 2x5 − 3x4 + 20x3 − 36x2 + 32x − 12, 6

5

4

3

3

2

2

(b) P (x) = x + 4x + 6x + 6x − 5x + 22x + 30, 6

4

(c) P (x) = x − x + 14x − 2x − 16x + 40, 6

5

4

3

2

6

5

4

3

2

(e) P (x) = x − 4x + 3x + 2x + 6x − 16x + 8, 4

3

2

(f) P (x) = 2x + 3x − 6x + 2x + 16x − 8,

2.6

α=1−i

α = 1 − 2i

(d) P (x) = x − 4x + 7x − 6x − 2x − 16x + 40, 5

α=1+i

α = −1 − i

α=1

α=1

Výsledky

1. (a) (x6 + 2x5 − x3 − 4x2 + x + 2) = (x4 + x3 + 2x2 + 2) · (x2 + x − 3) − x + 8

(b) (x6 + 2x5 + 4x3 − 12x2 + 10x − 2) = (x4 + 3x2 − 2x + 1) · (x2 + 2x − 3) + 2x + 1

(c) (x7 + 2x6 − 4x5 − 6x4 + 5x3 − 4x2 + 3x + 2) = (x4 + 2x3 − x2 − x) · (x3 − 3x + 1) − 6x2 + 4x + 2

(d) (x7 − x6 − 7x5 + 7x4 − x3 − 5x2 + 2x + 1) = (x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1) · (x3 − 3x2 + 2) − 2x − 1 2. (a) P (x) = x4 + 1 = (x −

√ 2 2

−

√ 2 2 i)

· (x −

√ 2 2

+

√ 2 2 i)

· (x +

(b) P (x) = x4 − 1 = (x − 1) · (x + 1) · (x − i) · (x + i)· = (x 1. října 2006

36

√ √ 2 2 2 − 2 i) · (x √ √ + 22 + 22 i).

+

√ 2 2

+

√ 2 2 i).


2.6. Výsledky

37 √

√ √ √ √ √ √ √ 2i) · (x − 2 + 2i) · (x + 2 − 2i) · (x + 2 + 2i)·. √ √ (d) P (x) = x3 + 8 = (x + 2) · (x − 1 − 3i) · (x − 1 + 3i). √ √ (e) P (x) = x3 − 8 = (x − 2) · (x + 1 − 3i) · (x + 1 + 3i). (c) P (x) = x4 + 16 = (x −

2−

3. Polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů. (a) P (x) = x6 − 64 = (x − 2) · (x + 2) · (x2 + x + 4) · (x2 − x + 4). √ √ (b) P (x) = x8 − 1 = (x − 1) · (x + 1) · (x2 + 1) · (x2 + 2x + 1) · (x2 − 2x + 1).

(c) P (x) = x4 − 81 = (x − 3) · (x + 3) · (x2 + 9). √ √ (d) P (x) = x4 + 1 = (x2 + 2x + 1) · (x2 − 2x + 1).

4. (a) x6 − 2x5 − 8x4 + 14x3 + 11x2 − 28x + 12 = (x − 1)3 · (x + 2)2 · (x − 3)

(b) x6 − 4x5 + 3x4 + 6x3 − 10x2 + 8 = (x + 1)2 · (x − 2)2 · (x − 1 + i) · (x − 1 − i)

(c) x6 + 4x5 + 3x4 − 2x3 + 6x2 + 16x + 8 = (x + 1)2 · (x + 2)2 · (x − 1 + i) · (x − 1 − i)

(d) 2x5 + x4 − 2x3 + 3x2 + 6x + 2 = (x + 1)2 · (2x + 1) · (x − 1 + i) · (x − 1 − i)

(e) 2x5 − 5x4 − 2x3 + 2x2 + 16x − 8 = (x − 2)2 · (2x − 1) · (x + 1 + i) · (x + 1 − i)

(f) 2x6 − 3x5 − x4 − x3 + 9x2 − 8x + 2 = (x − 1)3 · (2x − 1) · (x + 1 + i) · (x + 1 − i)

(g) 2x6 + 5x5 + 6x4 − 6x3 − 26x2 + 9x + 10 = (x − 1)2 · (x + 2) · (2x + 1) · (x + 1 + 2i) · (x + 1 − 2i)

(h) 2x6 + x5 + 3x4 + 18x3 + 16x2 − 3x − 5 = (x + 1)3 · (2x − 1) · (x − 1 + 2i) · (x − 1 − 2i) 5. (a) α je trojnásobný kořen a platí P (x) = (x − 1)3 · (x + 2) · (x − 3)2 .

(b) α je dvojnásobný kořen a platí P (x) = (x + 2)2 · (x − 1 + i)2 · (x − 1 − i)2 .

(c) α je dvojnásobný kořen a platí P (x) = (x − 1) · (x − 3) · (x + 1 + i)2 · (x + 1 − i)2 .

(d) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x + 1) · (x + 3) · (x − 1 + i) · (x − 1 − i) · (x − 1 + 2i) · (x − 1 − 2i). (e) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x − 1) · (x − 3) · (x + 1 + i) · (x + 1 − i) · (x − 1 + 2i) · (x − 1 − 2i). (f) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x − 2)2 · (x + 1 + i) · (x + 1 − i) · (x + 1 + 2i) · (x + 1 − 2i).

(g) α není kořenem a platí P (x) = (x − 2)2 · (2x + 1) · (x + 1 + i) · (x + 1 − i). 6. (a) x6 + 7x5 + 12x4 − 14x3 − 59x2 − 57x − 18 = (x + 1)3 · (x − 2) · (x + 3)2 (b) x6 + 4x5 + 3x4 − 6x3 − 10x2 + 8 = (x − 1)2 · (x + 2)2 · (x2 + 2x + 2) (c) x6 − 5x4 − 6x3 + 6x2 + 16x + 8 = (x + 1)2 · (x − 2)2 · (x2 + 2x + 2)

(d) 2x5 − x4 − 2x3 − 3x2 + 6x − 2 = (x − 1)2 · (2x − 1) · (x2 + 2x + 2)

(e) 2x5 + 5x4 − 2x3 − 2x2 − 16x + 8 = (x + 2)2 · (2x + 1) · (x2 − 2x + 2) (f) 2x6 + x5 − 3x4 + 3x3 + 7x2 − 2 = (x + 1)3 · (2x − 1) · (x2 − 2x + 2)

(g) 2x6 − x5 + 3x4 − 18x3 + 16x2 + 3x − 5 = (x − 1)3 · (2x + 1) · (x2 + 2x + 5)

(h) 2x6 + 3x5 + 2x4 − 10x3 − 18x2 + 31x − 10 = (x − 1)2 · (x + 2) · (2x − 1) · (x2 + 2x + 5) 7. (a) α je dvojnásobný kořen a platí P (x) = (x − 1) · (x + 3) · (x2 − 2x + 2)2 .

(b) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x + 1) · (x + 3) · (x2 − 2x + 2) · (x2 + 2x + 5). (c) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x + 2)2 · (x2 − 2x + 2) · (x2 − 2x + 5).

(d) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x − 2)2 · (x2 + 2x + 2) · (x2 − 2x + 5). (e) α je dvojnásobný kořen a platí P (x) = (x − 1)2 · (x − 2)2 · (x2 + 2x + 2). (f) α není kořenem a platí P (x) = (x + 2)2 · (2x − 1)2 · (x2 − 2x + 2).


37

1. října 2006

Kapitola 3

Matice Matice typu (m, n) je vlastně tabulka, která má m řádků a n sloupců. Jednotlivé řádky a sloupce neoddělujeme čarami a celou „tabulkuÿ uzavřeme do kulatých závorek. Například   1 2 2 −1 A= 2 0 1 0  je matice typu (3, 4). 1 1 2 1

Když chceme takovou tabulku zadat, můžeme třeba diktovat řádek po řádku nebo sloupec po sloupci. Anebo taky „napřeskáčkuÿ, když třeba údaje v tabulce získáváme postupně (např. výsledky zápasů ve fotbale nebo v hokeji). V každém případě musíme zadat, co je na pozici (i, j), tedy v i-tém řádku a j-tém sloupci pro všechny hodnoty i ∈ {1, 2, . . . , m} a j ∈ {1, 2, . . . , n}. To znamená, že se na matici můžeme dívat jako na zobrazení, které každé pozici, tj. uspořádané dvojici (i, j) přiřadí nějaké číslo aij . Definičním oborem tohoto zobrazení je množina všech uspořádaných dvojic (i, j), tj. kartézský součin {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n}. Oborem hodnot je nějaký číselný obor. Pro nás to budou vždy reálná čísla.

3.1

Základní pojmy

3.1.1 Definice (Reálná) matice typu (m, n) je zobrazení A : {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} −→ R. Matici budeme zapisovat takto: 

  A= 

nebo stručněji

A = (aij ) ,

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

am1

am2

. . . amn

    

kde i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n.

3.1.2 Definice Uspořádanou dvojici (i, j) nazýváme pozice, i je řádkový a j je sloupcový index, číslu a ij říkáme člen nebo prvek matice (v i-tém řádku a j-tém sloupci). Uspořádanou n-tici (ai1 , ai2 , . . . , ain ) nazýváme i-tým řádkem matice a uspořádanou m-tici     

a1j a2j .. . amj

    

nazýváme j-tým sloupcem matice.

3.1.3 Definice Pokud má matice stejný počet řádků i sloupců, to znamená, že je typu (n, n), nazýváme ji čtvercovou maticí řádu n. V opačném případě hovoříme o obdélníkové matici. Čtvercová matice, ve které a ij = 0, pro všechna i 6= j, se nazývá diagonální matice. Anna Kalousová: Úvod do algebry

38

1. října 2006

3.2. Operace s maticemi

39

3.1.4 Příklady  1 2 3 A= 4 5 6  7 8 9   1 0 0 B= 0 5 0  0 0 9 

1. Matice

2. Matice

je čtvercová řádu 3.

je diagonální.

3.1.5 Definice Diagonální matici En = (eij ) řádu n takovou, že eii = 1 nazveme jednotkovou maticí. Matici Omn typu (m, n), která má všechny členy nulové, nazveme nulovou maticí. Pokud to není nezbytné, obvykle se indexy udávající typ u těchto matic vynechávají. 3.1.6 Definice Matice A a B typu (m, n) se sobě rovnají, rovnají-li se jako funkce, to znamená, že pro každé i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n platí aij = bij . 3.1.7 Definice Matici AT = (aji ), kde j = 1, 2, . . . , n a i = 1, 2, . . . , m, typu (n, m) nazveme transponovanou maticí k matici A. Pokud platí AT = A, řekneme, že matice A je symetrická. 3.1.8 Příklad A=

1 2 3 4 5 6

 1 2 3 A =  2 −1 0  , 3 0 2 

 1 4 potom AT =  2 5  3 6   1 2 3 AT =  2 −1 0  , matice A je symetrická. 3 0 2 

,

potom

3.1.9 Pozorování Zřejmě platí

AT

3.2

Operace s maticemi

T

= A.

Matice můžeme sčítat a násobit (reálným) číslem stejně jako funkce, tedy člen po členu. Sčítáme pouze matice stejného typu. Násobení matic je ale definováno jinak než násobení funkcí. Důvody této odlišnosti se ozřejmí v kapitole o lineárních zobrazeních. 3.2.1 Definice Součet matic: Nechť A, B jsou matice typu (m, n), potom A + B je opět matice typu (m, n) taková, že     

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

am1

am2

. . . amn

3.2.2 Příklad





    +  

b11 b21 .. .

b12 b22 .. .

... ... .. .

b1n b2n .. .

bm1

bm2

. . . bmn





    =  

a11 + b11 a21 + b21 .. .

a12 + b12 a22 + b22 .. .

am1 + bm1

am2 + bm2

... ... .. .

a1n + b1n a2n + b2n .. .

. . . amn + bmn

    

     2 3 1 3 1 1 0 1 1 2 1 2  2 −1 1 0  +  2 −1 2 2  1 2  =  4 −2 0 2 −1 3 1 0 −1 2 −1 2 0 1 

3.2.3 Pozorování Vlastnosti sčítání matic:

1. Sčítání matic je komutativní, to znamená, že pro každé dvě matice A, B stejného typu platí, že A + B = B + A. Anna Kalousová: Úvod do algebry

39

1. října 2006

40

Kapitola 3. Matice

2. Sčítání matic je asociativní, to znamená, že pro každé tři matice A, B, C stejného typu platí, že (A + B) + C = A + (B + C). 3. Nulová matice O (patřičného typu (m,n)) je neutrální vzhledem ke sčítání, to znamená, že pro každou matici A typu (m,n) platí, že A + O = O + A = A. 4. Ke každé matici A = (aij ) typu (m,n) existuje opačná matice −A = (−aij ) stejného typu taková, že platí A + (−A) = (−A) + A = O. Důkaz. Protože při sčítání matic sčítáme vlastně reálná čísla na odpovídajících si pozicích, plynou všechny tyto vlastnosti z vlastností sčítání reálných čísel. -,

3.2.4 Poznámka Je zřejmé, že množina matic typu (m, n) s operací sčítání tvoří komutativní grupu, neboť jsme právě ověřili axiomy, jak byly uvedeny v definici 1.2.1. Poslední uvedená vlastnost nám umožňuje definovat odčítání matic jako přičítání opačné matice, tedy A − B = A + (−B). 3.2.5 Příklad           1 2 1 1 1 0 1 2 1 −1 −1 −0 0 1 1  2 −1 1  −  2 1 1  =  2 −1 1  +  −2 −1 −1  =  0 −2 0  −1 2 0 1 0 1 −1 2 0 −1 −0 −1 −2 2 −1 3.2.6 Definice Násobení matice reálným číslem: Nechť A je matice typu (m, n), α ∈ R, potom α · A je opět matice typu (m, n) taková, že 

  α·A=α· 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

am1

am2

. . . amn





    =  

α · a11 α · a21 .. .

α · a12 α · a22 .. .

... ... .. .

α · a1n α · a2n .. .

α · am1

α · am2

. . . α · amn

    

3.2.7 Příklad    1 2 1 2 3 6 3 6 3 ·  2 −1 1 0  =  6 −3 3 0  −1 2 0 1 −3 6 0 3 

3.2.8 Pozorování Pro každé dvě matice A, B typu (m, n) a jakákoli reálná čísla α, β platí 1. α · (β · A) = (αβ) · A. 2. (α + β) · A = α · A + β · A. 3. α · (A + B) = α · A + α · B. 4. 1 · A = A. 5. 0 · A = O. 1. října 2006

40



41

Důkaz. Protože členy matic jsou reálná čísla, všechny tyto vlastnosti plynou z vlastností sčítání a násobení reálných čísel. -, Jak už jsme uvedli výše, násobení matic je definováno poněkud odlišným způsobem. Pro násobené matice platí, že ta první musí mít stejný počet sloupců jako druhá řádků, výsledná matice pak má stejně řádků jako první matice a stejně sloupců jako druhá. Mějme matici A typu (m, n) a matici B typu (n, p). Označme C = A · B součin těchto matic. Prvek cij , tedy v i-tém řádku a j-tém sloupci, získáme následujícím postupem: Vezměme i-tý řádek matice A, tedy (ai1 ai2 . . . ain ) a j-tý sloupec matice B, tedy     

b1j b2j .. . bmj

    

Vynásobme spolu první, druhé, . . . , n-té členy. Prvek cij je součtem těchto součinů, tedy cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj 3.2.9 Příklad Spočítejte A · B, kde A=

1 2 3 0 1 2

,

 1 1 B= 1 0  1 2 

Matice A je typu (2, 3), matice B je typu (3, 2), počet sloupců matice A je roven počtu řádků matice B (je roven 3), matice můžeme vynásobit. Výsledná matice bude mít stejný počet řádků jako matice A , tj. dva, a stejný počet sloupců jako matice B, tj. dva. Označíme-li C = A · B, pak C bude čtvercová matice řádu dvě. Spočítáme jednotlivé členy matice C.   1 c11 = 1 2 3 ·  1  = 1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1 = 5 1 c12 =

c21 =

c22 =

 1 1 2 3 · 0 =1·1+2·0+3·2=7 2   1 0 1 2 · 1 =0·1+1·1+2·1=3 1   1 0 1 2 · 0 =0·1+1·0+2·2=4 2 5 7 C=A·B= . 3 4



Po získání určité praxe v násobení matic není potřeba počítat jednotlivé členy zvlášť, můžeme psát rovnou   1 1 1 2 3 1·1+2·1+3·1 1·1+2·0+3·2 5 7   1 0 · = = . 0 1 2 0·1+1·1+2·1 0·1+1·0+2·2 3 4 1 2

Po získání ještě větší praxe (a pro „rozumnáÿ čísla) můžeme vynechat i tu prostřední část a násobit a sčítat zpaměti. Nyní budeme součin matic přesně definovat.


41

1. října 2006

42

Kapitola 3. Matice

3.2.10 Definice Součin matic: Nechť A je matice typu (m, n), B je matice typu (n, p). Součinem těchto matic je matice C = A · B typu (m, p) taková, že pro všechna i = 1, 2, . . . , m a pro všechna j = 1, 2, . . . , p platí cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . . + ain · bnj

nebo stručněji cij =

n X k=1

aik · bkj .

Je zřejmé, že zkoumání vlastností součinu matic bude složitější, než tomu bylo v případě součtu a reálného násobku. Prozkoumejme třeba komutativitu. Mějme matice A typu (m, n) a B typu (n, p), m 6= p. Součin A · B definovaný je, naproti tomu B · A provést nelze. V předchozím příkladu matice A byla typu (2, 3), matice B typu (3, 2), oba součiny lze provést. Ovšem matice A · B je typu (2, 2), matice B · A typu (3, 3). Nemohou se tedy rovnat. Omezme se na čtvercové matice stejného řádu. Tam jsou oba součiny definované a výsledkem jsou opět čtvercové matice téhož řádu. Ale i v tomto případě se nemusí sobě rovnat, jak ukáže následující příklad. 3.2.11 Příklad

1 2 3 −1

−1 2 −1 8 · = 0 3 −3 3 −1 2 1 2 5 −4 · = 0 3 3 −1 9 −3

Násobení matic tedy není komutativní. Pro některé matice ale platí, že se oba součiny sobě rovnají. 3.2.12 Definice Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n. Řekneme, že matice A a B spolu komutují (nebo že A, B jsou komutující matice), jestliže platí A · B = B · A. 3.2.13 Příklady 1.   2 1 2 1 0 0  0 1 0  ·  1 −1 0 −1 2 −1 0 0 1 

2 1 2  =  1 −1 0 −1 2 −1

2 1 2  =  1 −1 0 −1 2 −1









 1 0 0 · 0 1 0  0 0 1  

2.   0 0 0 2 1 2  0 0 0  ·  1 −1 0 0 0 0 −1 2 −1

  0 0 0 2 1 2  =  0 0 0  =  1 −1 0 0 0 0 −1 2 −1

 3.

1 2 0 1





 0 0 0 · 0 0 0  0 0 0  

1 −2 1 0 1 −2 1 2 · = = · 0 1 0 1 0 1 0 1

4. Samozřejmě každá čtvercová matice komutuje sama se sebou (platí A · A = A · A). S další „podivostíÿ se setkáme, když budeme chtít krátit. U reálných čísel platí, že z rovnosti a · b = a · c, resp. b · a = c · a, resp. a · b = c · a, plyne, že b = c. V maticových rovnostech nejen že neplatí, že z rovnosti A · B = C · A plyne B = C (neboť násobení není komutativní), ale dokonce ani to, že z rovnosti A · B = A · C, resp. B · A = C · A plyne, že B = C. V maticových rovnostech tedy nemůžeme krátit. 3.2.14 Příklady Opět si to ukážeme na příkladech. 1.

ačkoli zřejmě

1 −2 3 −1

·

3 −3 −1 1

1. října 2006

=

5 −5 10 −10

1 −2 3 −1

42

6=

=

2 1 4 2

2 1 4 2

·

3 −3 −1 1

,



2.

ačkoli zřejmě

4 −2 −2 1

43

2 1 2 6 4 −2 1 2 · = = · , 3 −1 −1 −3 −2 1 1 1 2 1 3 −1

6=

1 2 1 1

Zmíníme se ještě o jedné „podivnostíÿ násobení matic a to o existenci tzv. dělitelů nuly, tedy nenulových matic, jejichž součinem je nulová matice. Je to opět něco odlišného od násobení čísel, protože tam z rovnosti a · b = 0 plyne, že a = 0 nebo b = 0. 3.2.15 Příklad

0 0 2 4 = · 0 0 1 2

−1 2 2 −4

3.2.16 Pozorování Vlastnosti násobení matic: 1. Násobení matic není komutativní. 2. Násobení matic je asociativní, to znamená, že pro každé tři matice A typu (m, n), B typu (n, p) a C typu (p, s) platí (A · B) · C = A · (B · C). 3. Jednotková matice je neutrální vzhledem k násobení, to znamená, že pro každou matici A typu (m, n) platí A · En = Em · A = A. 4. Násobení matic je distributivní vzhledem ke sčítání, to znamená, že (a) pro všechny matice A typu (m, n), B typu (n, p) a C typu (n, p) platí A · (B + C) = A · B + A · C. (b) pro všechny matice A typu (m, n), B typu (m, n) a C typu (n, p) platí (A + B) · C = A · C + B · C. Důkaz. 1. Ukázali jsme v příkladě 3.2.11. 2. Položíme G = A · B, H = B · C, S = (A · B) · C = G · C, T = A · (B · C) = A · H, potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , s platí ! p p p X p n n X n X X X X X sij = gik ckj = (ail blk ) ckj = ail (blk ckj ) = ail blk ckj = k=1

k=1

=

k=1 l=1

l=1

n X

ail

l=1

p X

blk ckj

k=1

!

=

n X

l=1 k=1

ail hlj = tij

l=1

3. Položíme B = A · En a C = Em · A, potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n platí bij =

n X

aik · 0 + aij · 1 = aij

n X

0 · akj + 1 · aij = aij

k=1,k6=j

cij =

k=1,k6=i


43

1. října 2006

44

Kapitola 3. Matice

4. (a) Položíme G = A · (B + C), H = A · B + A · C, potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , p platí n n n n X X X X gij = aik · (bkj + ckj ) = (aik bkj + aik ckj ) = aik bkj + aik ckj = hij k=1

k=1

k=1

k=1

(b) Položíme G = (A + B) · C, H = A · C + B · C, potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , p platí n n n n X X X X gij = (aik + bik ) · ckj = (aik ckj + bik ckj ) = aik ckj + bik ckj = hij k=1

k=1

k=1

k=1

-,

3.2.17 Poznámka Díky distributivitě násobení vzhledem ke sčítání můžeme matice „roznásobovatÿ a „vytýkatÿ. Při vytýkání ale musíme rozlišovat, zda vytýkáme před anebo za závorku. Díky asociativitě násobení matic nemusíme psát závorky a můžeme definovat mocniny matic. 3.2.18 Definice Mocniny matic: Položme A0 = E a dále definujme An = A · An−1 pro všechna přirozená čísla n. Můžeme také uvažovat o tom, zda lze matice nějakým způsobem dělit. Opět je to poněkud složitější, jak naznačují příklady 3.2.14 a 3.2.15. „Děleníÿ matic souvisí s pojmem inversní matice, kterému se budeme věnovat v 5. kapitole, až probereme pojem determinantu. 3.2.19 Tvrzení Nechť A a B jsou matice typu (m, n), C je matice typu (n, p) a α je reálné číslo. Potom platí T

1. (A + B) = AT + BT 2. (α · A)T = α · AT T

3. (A · C) = CT · AT Důkaz. 1. 



  = 

2.

  T (A + B) =  

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .





    +  

b11 b21 .. .

b12 b22 .. .

... ... .. .

b1n b2n .. .

T

   = 

bm1 bm2 . . . bmn . . . amn T  a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n a11 + b11 a21 + b21 . . . am1 + bm1  a12 + b12 a22 + b22 . . . am2 + bm2 a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n     = .. .. .. .. .. .. .. ..   . . . . . . . . am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn a1n + b1n a2n + b2n . . . amn + bmn     a11 a21 . . . am1 b11 b21 . . . bm1  a12 a22 . . . am2   b12 b22 . . . bm2      T T = . .. ..  +  .. .. ..  = A + B .. ..  .. . . . .   . . .  a1n a2n . . . amn b1n b2n . . . bmn 

  (α · A)T =   1. října 2006

am1

am2

αa11 αa21 .. .

αa12 αa22 .. .

... ... .. .

αa1n αa2n .. .

αam1

αam2

. . . αamn

T



     =   44

αa11 αa12 .. .

αa21 αa22 .. .

... ... .. .

αam1 αam2 .. .

αa1n

αa2n

. . . αamn



  = 



   = α · AT 


3.3. Elementární transformační matice

45

3. Označme F = A · C, G = (A · C)T a H = CT · AT . Potom prvek gij = fji získáme tak, že vynásobíme j-tý řádek matice A a i-tý sloupec matice C, tedy gij = fji = aj1 · c1i + aj2 · c2i + · · · + ajn · cni = c1i · aj1 + c2i · aj2 + · · · + cni · ajn = hij , neboť to odpovídá vynásobení i-tého řádku matice CT a j-tého sloupce matice AT . -,

3.2.20 Tvrzení Nechť A je matice typu (m, n), B je matice typu (n, p) a α je reálné číslo. Potom α · (A · B) = (α · A) · B = A · (α · B). Důkaz. Nechť A = (aij ),

B = (bjk) . Označme C = α · (A · B),

D = (α · A) · B,

F = A · (α · B).

Potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a k = 1, 2, . . . , p platí cik = α ·

n X

aij bjk =

j=1

n X j=1

α · (aij · bjk ) =

n X

(α · aij ) · bjk = dik

(α · aij ) · bjk =

n X

n X

j=1

a také cik = α ·

n X j=1

aij bjk =

n X j=1

α · (aij · bjk ) =

n X j=1

j=1

(aij · α) · bjk =

j=1

aij · (α · bjk ) = fik ,

protože α, aij a bjk jsou reálná čísla a násobení reálých čísel je asociativní, komutativní a distributivní vzhledem ke sčítání. -,

3.3

Elementární transformační matice

V této části si trochu hlouběji probereme, co se vlastně s maticemi při násobení děje. 3.3.1 Příklad Mějme matice A a B takové, že můžeme spočítat A · B. Například     1 −1 1 0 −1 1  2 0   1 0  a B= A =  2 −1  −1 1  0 1 −1 −1 0 1

Označme C = A · B. Jak vypadá první řádek matice C? To vezmeme první řádek matice A a postupně ho pronásobíme prvním a druhým sloupcem matice B. Máme c11 = 1 · 1 + 0 · 2 + (−1) · (−1) + 1 · 0 = 2,

c12 = 1 · (−1) + 0 · 0 + (−1) · 1 + 1 · 1 = −1

Analogicky, když chceme spočítat, co je ve druhém řádku matice C, stačí vzít druhý řádek matice A a postupně ho pronásobit sloupci matice B. c21 = 2 · 1 + (−1) · 2 + 1 · (−1) + 0 · 0 = −1,

c22 = 2 · (−1) + (−1) · 0 + 1 · 1 + 0 · 1 = −1

Stejné je to i pro třetí řádek matice C - třetí řádek matice A postupně pronásobíme sloupci matice B. c31 = 0 · 1 + 1 · 2 + (−1) · (−1) + (−1) · 0 = 3, Anna Kalousová: Úvod do algebry

c32 = 0 · (−1) + 1 · 0 + (−1) · 1 + (−1) · 1 = −2 45

1. října 2006

46

Kapitola 3. Matice

Co když nás bude zajímat první sloupec matice C? Ten získáme tak, že první sloupec matice B postupně pronásobíme prvním, druhým a třetím řádkem matice A. c11 = 1 · 1 + 0 · 2 + (−1) · (−1) + 1 · 0 = 2,

c21 = 2 · 1 + (−1) · 2 + 1 · (−1) + 0 · 0 = −1,

c31 = 0 · 1 + 1 · 2 + (−1) · (−1) + (−1) · 0 = 3

Podobně druhý sloupec matice C získáme tak, že druhý sloupec matice B postupně pronásobíme jednotlivými řádky matice A. c12 = 1 · (−1) + 0 · 0 + (−1) · 1 + 1 · 1 = −1,

c22 = 2 · (−1) + (−1) · 0 + 1 · 1 + 0 · 1 = −1,

c32 = 0 · (−1) + 1 · 0 + (−1) · 1 + (−1) · 1 = −2 Z příkladu je patrné, že k získání i-tého řádku součinu dvou matic stačí znát jen i-tý řádek matice nalevo (a samozřejmě všechny sloupce matice napravo, tj. celou tuto matici). Ostatní řádky matice nalevo se na tom řádku nijak nepodílejí. Analogicky k získání j-tého sloupce součinu nám (kromě znalosti matice nalevo) stačí znát jen j-tý sloupec matice napravo. Zkusme nyní zleva násobit nějakou matici různými typy řádků a zkoumejme, jak vypadá výsledný řádek. 3.3.2 Příklady Pro naše „zkoumáníÿ jsem vybrala matici   a b c A= d e f  g h i

1. Vynásobíme nejprve matici A řádkem (1, 0, 0).   a b c (1, 0, 0) ·  d e f  = (a + 0 + 0, b + 0 + 0, c + 0 + 0) = (a, b, c) g h i Je vidět, že výsledný řádek je roven prvnímu řádku matice A.

2. Vynásobme nyní matici A řádkem (0, 1, 0).   a b c (0, 1, 0) ·  d e f  = (0 + d + 0, 0 + e + 0, 0 + f + 0) = (d, e, f ) g h i Získali jsme druhý řádek matice A. Když budeme násobit řádkem (0, 0, 1), získáme třetí řádek matice A (vyzkoušejte). 3. Vynásobme nyní matici A řádkem (0, 0, 2).   a b c (0, 0, 2) ·  d e f  = (0 + 0 + 2g, 0 + 0 + 2h, 0 + 0 + 2i) = (2g, 2h, 2i) g h i Získali jsme dvojnásobek třetího řádku. Analogicky můžeme získat třeba pětinásobek třetího řádku vynásobením řádkem (0, 0, 5) nebo trojnásobek prvního řádku vynásobením řádkem (3, 0, 0) (opět můžete vyzkoušet). 4. Násobme nyní matici A  a (2, 1, 0) ·  d g

řádkem (2, 1, 0).  b c e f  = (2a + d + 0, 2b + e + 0, 2c + f + 0) = (2a + d, 2b + e, 2c + f ) h i

Tento řádek získáme tak, že ke druhému řádku matice A přičteme dvojnásobek jejího prvního řádku. 1. října 2006

46



47

5. Násobme nyní matici A řádkem (−1, 0, 1).   a b c (−1, 0, 1) ·  d e f  = (−a + 0 + g, −b + 0 + h, −c + 0 + i) = (−a + g, −b + h, −c + i) g h i Tento řádek získáme tak, že od třetího řádku matice A odečteme její první řádek. 6. Když matici A vynásobíme řádkem (α, β, γ), znamená to, že sečteme α-násobek prvního řádku s β-násobkem druhého řádku a γ-násobkem třetího řádku matice A. 3.3.3 Příklady Zkusme nyní matici A násobit zleva maticemi, jejichž řádky budou některé řádky z předchozích příkladů. 1.

2.

     0 0 2 a b c 2g 2h 2i  2 1 0  ·  d e f  =  2a + d 2b + e 2c + f  1 0 0 g h i a b c 

     0 1 0 a b c d e f  3 0 0 · d e f = 3a 3b 3c  −1 0 1 g h i −a + g −b + h −c + i 

Z uvedených příkladů je patrné, že když matici A násobíme zleva nějakou maticí B, děje se „cosiÿ s řádky matice A. To „cosiÿ záleží na tom, jaké řádky má matice B. A jak to vypadá, když matici násobíme zprava? Musíme tentokrát násobit jednotlivými sloupci (aby bylo násobení definováno). 3.3.4 Příklady Budeme opět násobit matici  a b c A= d e f  g h i 

1.

       a b c 1 a+0+0 a  d e f · 0 = d+0+0 = d  g h i 0 g+0+0 g 

Je vidět, že výsledný sloupec je roven prvnímu sloupci matice A. 2.

       b 0+b+0 0 a b c  d e f · 1 = 0+e+0 = e  h 0+h+0 0 g h i 

Získali jsme druhý sloupec matice A. Čím musíme násobit matici A, abychom získali její třetí sloupec? Rozmyslete si. 3.

       2c 0 + 0 + 2c 0 a b c  d e f  ·  0  =  0 + 0 + 2f  =  2f  2i 0 + 0 + 2i 2 g h i 

Získali jsme dvojnásobek třetího sloupce. Analogicky můžeme získat třeba pětinásobek třetího sloupce nebo trojnásobek prvního sloupce. (Čím budeme násobit? Promyslete si.) Anna Kalousová: Úvod do algebry

47

1. října 2006

48

Kapitola 3. Matice

4.

       a b c 2 2a + b + 0c 2a + b  d e f  ·  1  =  2d + e + 0  =  2d + e  g h i 0 2g + h + 0 2g + h 

Tento sloupec získáme tak, že ke druhému sloupci matice A přičteme dvojnásobek jejího prvního sloupce. 5.

       −a + c −a + 0 + c −1 a b c  d e f  ·  0  =  −d + 0 + f  =  −d + f  −g + i −g + 0 + i 1 g h i 

Tento sloupec získáme tak, že od třetího sloupce matice A odečteme její první sloupec. 3.3.5 Příklady Zkusme nyní matici A násobit zprava maticemi, jejichž sloupce budou některé sloupce z předchozích příkladů. 1.

     a b c 0 2 1 2c 2a + b a  d e f  ·  0 1 0  =  2f 2d + e d  g h i 2 0 0 2i 2g + h g 

2.

     b 3a −a + c 0 3 −1 a b c  d e f · 1 0 0  =  e 3d −d + f  h 3g −g + i 0 0 1 g h i 

Zřejmě se při násobení matice A zprava nějakou maticí B „cosiÿ děje s jejími sloupci. To „cosiÿ nyní záleží na tom, jaké jsou sloupce matice B. Při práci s maticemi se často matice „upravujíÿ pomocí nějakých řádkových nebo sloupcových úprav. Ty nejjednodušší úpravy se nazývají elementární a jsou to 1. Přehození dvou řádků. 2. Vynásobení libovolného řádku nenulovým reálným číslem. 3. Přičtení libovolného násobku nějakého řádku k jinému řádku. To jsou elementární řádkové úpravy. Analogicky pro sloupce máme tyto elementární sloupcové úpravy 1. Přehození dvou sloupců. 2. Vynásobení libovolného sloupce nenulovým reálným číslem. 3. Přičtení libovolného násobku nějakého sloupce k jinému sloupci. 3.3.6 Příklady Použití těchto úprav si múžeme ukázat na několika příkladech. 1. Mějme matici  1 2 −1 2  A =  −1 0 2 2 −2 

a upravme ji nejdříve tak, že ke druhému řádku přičteme první řádek. Tuto úpravu budem zapisovat takto: R2 := R2 + R1 . Potom ke třetímu řádku přičteme (−2)-násobek prvního řádku, tedy vlastně od třetího řádku „odečtemeÿ dvojnásobek prvního řádku. Opět to můžeme symbolicky zapsat, dostaneme R3 := R3 − 2 · R1 . Při těchto úpravách jsou vzniklé matice určitým způsobem ekvivalentní (později se dozvíte, že tyto úpravy nemění hodnost matice), proto mezi původní a upravenou matici budeme psát symbol ∼. Máme tedy 1. října 2006

48



49

     1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 2 1  1 ∼ 0 2 ∼ 0 2 A =  −1 0 0 −2 0 2 2 −2 2 2 −2 

Získali jsme matici, která má v prvním sloupci ve všech řádcích kromě prvního samé nuly. Zkusme upravovat dále. Přičtěmě nyní ke třetímu řádku řádek druhý, tedy R3 := R3 + R2 . Máme    1 2 −1 1 2 −1 2 1 ∼ 0 2 1  A∼ 0 0 −2 0 0 0 1 

Získali jsme matici, která má „pod členy aii ÿ samé nuly (říká se jí horní trojúhelníková matice). Na horní trojúhelníkové (příp. horní stupňovité v případě obdélníkových matic) budeme matice upravovat velmi často. Postupu, který jsme si tady ukázali, se říká Gaussova eliminace a popíšeme ji v následujících odstavcích. Upravujme naši matici ještě dále. Odečtěme od druhého řádku třetí řádek a potom k prvnímmu řádku přičtěme třetí řádek. Symbolicky zapíšeme R2 := R2 − R3 a R1 := R1 + R3 . Získáme      1 2 0 1 2 −1 1 2 −1 0 ∼ 0 2 0  1 ∼ 0 2 A∼ 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 

Odečtěme ještě od prvního řádku druhý řádek (R1 := R1 −R2 ) a potom druhý řádek vynásobme polovinou (R2 := 12 · R2 ).      1 2 0 1 0 0 1 0 0 A∼ 0 2 0 ∼ 0 2 0 ∼ 0 1 0  0 0 1 0 0 1 0 0 1 

Získali jsme jednotkovou matici. Tomuto jakémusi „obojetnému (tam i zpátky) choduÿ Gaussovy eliminace říkáme Jordanova eliminace a budeme ji využívat především při výpočtu inversní matice. Ne každou matici ale můžeme takto upravit až na jednotkovou. 2. Mějme matici  0 2 −1 1 1 2  B =  −1 0 2 1 −2 −1 

Přehodíme nejprve první a druhý řádek (R1 ←→ R2 ) a potom ke třetímu řádku přičteme dvojnásobek prvního (původné druhého) řádku (R3 := R3 + 2 · R1 ). Máme      0 2 −1 1 −1 0 1 2 −1 0 1 2 B =  −1 0 1 2  ∼  0 2 −1 1  ∼  0 2 −1 1  2 1 −2 −1 2 1 −2 −1 0 1 0 3 

Přehodíme nyní druhý a třetí řádek (R2 ←→ R3 ) a potom od třetího řádku odečteme dvojnásobek druhého řádku (R3 := R3 − 2 · R2 ). Máme      −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 0 3  0 3 ∼ 0 1 B ∼  0 2 −1 1  ∼  0 1 0 0 −1 −5 0 2 −1 1 0 1 0 3 

Tato matice není přímo trojúhelníková, ale základní vlastnost horní trojúhelníkové matice, tedy nulovost členů „pod členy aii ÿ, je splněna. Takovéto matici budeme říkat horní stupňovitá matice. Anna Kalousová: Úvod do algebry

49

1. října 2006

50

Kapitola 3. Matice

3. Mějme matici  1 2 −1 2  A =  −1 −2 2 3 −1 

Nyní opět přičteme k druhému řádku první řádek (R2 := R2 + R1 ) a od třetího odečteme dvojnásobek prvního řádku (R3 := R3 − 2 · R1 ).      1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 2 ∼ 0 0 1 ∼ 0 0 1  A =  −1 −2 2 3 −1 2 3 −1 0 −1 1 

V takto získané matici přehodíme druhý a třetí řádek a získáme opět horní trojúhelníkovou matici.    1 2 −1 1 2 −1 0 1  ∼  0 −1 1  A∼ 0 0 −1 1 0 0 1 

Tu můžeme ještě úpravami „zpětného choduÿ (R2 := R2 − R3 , R1 := R1 + R3 a následně R1 := R1 + 2 · R2 a R2 := −R2 ) upravit opět na jednotkovou matici.          1 2 −1 1 2 −1 1 2 0 1 0 0 1 0 0 A ∼  0 −1 1  ∼  0 −1 0  ∼  0 −1 0  ∼  0 −1 0  ∼  0 1 0  0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 

To, co jsme si ilustrovali na předchozích příkladech, nyní popíšeme přesněji. 3.3.7 Definice Řekneme, že matice A typu (m, n) je horní stupňovitá, jestliže aij = 0 pro všechna i > j. Řekneme, že matice A typu (m, n) je dolní stupňovitá, jestliže aij = 0 pro všechna i < j. Pokud je m = n, tedy matice A je čtvercová, mluvíme o horní, resp. dolní trojúhelníkové matici. Každou matici můžeme pomocí řádkových úprav převést na horní stupňovitou matici. Postupu, kterým to provádíme, říkáme Gaussova eliminace. Popišme si, jak probíhá. Nejprve se pomocí řádkových úprav pokusíme převést do žádaného tvaru první sloupec matice. Pokud je -násobek prvního řádku. Tím se ve druhém řádku prvek a11 různý od nuly, přičteme k druhému řádku − aa21 11 ai1 prvního sloupce objeví nula. Podobně postupujeme i u dalších řádků, vždy k i-tému řádku přičteme − a11 násobek prvního řádku. První sloupec teď má v prvním řádku prvek a11 , v ostatních řádcích jsou nuly. Kdyby prvek a11 byl roven nule, přehodili bychom první řádek s některým řádkem, který v prvním sloupci nemá nulu, a dále bychom postupovali stejně jako předtím. Pokud by žádný takový řádek neexistoval (v prvním sloupci by byly samé nuly), vůbec bychom první sloupec neupravovali a pokračovali bychom úpravami druhého sloupce. Nyní už si nebudeme všímat prvního řádku ani prvního sloupce a budeme analogicky upravovat druhý ai2 -násobek druhého řádku. Tím sloupec. Pokud je prvek a22 různý od nuly, přičteme k dalším řádkům vždy − a22 máme ve druhém sloupci pod prvkem (a22 ) samé nuly. Pokud by a22 byl roven nule, zase bychom přehodili druhý řádek s některým jiným (ale ne prvním), ve kterém by v druhém slopci byl nenulový prvek. Pokud by všechny prvky byly nulové, druhý sloupec bychom neupravovali. Analogicky postupujeme v dalších sloupcích. Samozřejmě je příjemné, když prvky na pozicích (i, j) jsou jedničky, protože pak odečítáme vždy jen a ij aij násobek j-tého řádku (a ne ajj -násobek). Ne vždy tomu tak ale je. Můžeme si pak pomoci nějakou řádkovou úpravou. Třeba přehozením řádků nebo přičtením nějakého násobku řádku. 3.3.8 Příklady Na několika dalších příkladech si ukážeme průběh Gaussovy eliminace. Je samozřejmě možné tyto matice upravovat i jiným způsobem. Výsledek není dán jednoznačně. Snad by se dalo říci, že si vždy ukážeme jeden z „rozumných postupůÿ. 1. října 2006

50



51

1. Matici A upravte na horní stupňovitou.  0 2 2 1 1 −1  A =  −2 1 2 1 −1 −2 

a11 = 0, proto přehodíme první a druhý řádek (R1 ←→ R2 ). Potom ke třetímu řádku přičteme ten nový první řádek (R3 := R3 + R1 ). Tím „vynulujemeÿ první sloupec.      0 2 2 1 −2 1 1 −1 −2 1 1 −1 1 −1  ∼  0 2 2 1 ∼ 0 2 2 1  A =  −2 1 2 1 −1 −2 2 1 −1 −2 0 2 0 −3 

Nyní jen od třetího řádku odečteme druhý (R3 := R3 − R2 ) a    −2 −2 1 1 −1 1 ∼ 0 A∼ 0 2 2 0 0 2 0 −3

matice je upravená.  1 1 −1 2 2 1  0 −2 −4

2. Matici A upravte na horní trojúhelníkovou.  3 −3 −1 0  −2 2 2 1   A=  2 1 1 −1  3 1 −1 0 

V prvním řádku opět v prvním sloupci nemáme jedničku. Když ale k prvnímu řádku přičteme druhý řádek (případně odečteme třetí), už tam jednička bude. První úprava tedy bude přičtení druhého řádku k prvnímu (R1 := R1 + R2 ), potom již upravujeme standardně. K druhému řádku přičteme dvojnásobek prvního řádku (R2 := R2 + 2R1 ), od třetího odečteme dvojnásobek prvního řádku (R3 := R3 − 2R1 ) a od čtvrtého odečteme trojnásobek prvního řádku (R4 := R4 − 3R1 ).     1 −1 1 1 1 −1 1 1 3 −3 −1 0   0   −2  −2 0 4 3 2 2 1 2 2 1 ∼ ∼ A=  2 1 1 −1 1 1 −1   2 1 1 −1   2 3 1 −1 0 3 1 −1 0 3 1 −1 0     1 −1 1 1 1 −1 1 1   0  0 0 4 3  0 4 3  ∼   0 3 −1 −3  3 −1 −3   0 0 4 −4 −3 3 1 −1 0 



 ∼ 

Ve druhém sloupci máme zase na hlavní diagonále nulu. Ani v jiných řádcích druhého sloupce není jednička. Ale když od čtvrtého řádku odečteme třetí, budeme mít ve čtvrtém řádku druhého sloupce jedničku (R4 := R4 − R3 ). Pak přehodíme druhý a čtvrtý řádek R2 ←→ R4 a nakonec od třetího řádku odečteme trojnásobek druhého řádku (R3 := R3 − 3R2 ).   1 −1 1 1 1 −1 1 1  0   0 0 4 3 0 4 3 ∼ A∼  0 3 −1 −3 3 −1 −3   0 0 1 −3 0 0 4 −4 −3 

  1 −1 1 1 1 −1 1 1   0   0 1 −3 0 1 −3 0 ∼ ∼   0 0 8 −3 3 −1 −3   0 0 0 4 3 0 0 4 3 



   

Přehodíme ještě třetí a čtvrtý řádek R3 ←→ R4 a potom od čtvrtého řádku odečteme dvojnásobek třetího řádku (R4 := R4 − 2R3 ). Anna Kalousová: Úvod do algebry

51

1. října 2006

52

Kapitola 3. Matice

  1 −1 1 1 1 −1 1 1   0  0 1 −3 0 1 −3 0 ∼ A∼  0 0 4 3 0 8 −3   0 0 0 8 −3 0 0 4 3 

3. Matici A upravte na horní trojúhelníkovou. 

1  2 A=  −1 0

 1 −1 1 1   0 1 −3 0   ∼   0 0 4 3  0 0 0 −9 



 2 −1 0 1 1 −1   1 −2 2  3 −3 4

V prvním řádku prvního sloupce máme jedničku, tak jen od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku (R2 := R2 − 2R1 ) a ke třetímu první řádek přičteme (R3 := R3 + R1 ). 1  2  A= −1 0 

    1 2 −1 0 2 −1 0   3 −1  1 1 −1  ∼  ∼  0 −3     −1 1 −2 2 1 −2 2 0 3 −3 4 3 −3 4

 1 2 −1 0 0 −3 3 −1   0 3 −3 2  0 3 −3 4

Ve druhém sloupci máme na diagonále číslo −3, ale v dalších řádcích tohoto sloupce jsou jeho násobky. Stačí tedy ke třetímu a čtvrtému řádku druhý řádek přičíst (R3 := R3 + R2 , R4 := R4 + R2 ).      1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0  0 −3   3 −1  3 −1  3 −1   ∼  0 −3  ∼  0 −3  A∼  0 3 −3 2   0 0 0 1   0 0 0 1  0 3 −3 4 0 3 −3 4 0 0 0 3 

Často se úpravy zapisují úsporněji. Zapisuje se až úprava celých sloupců. Třeba poslední příklad bychom zapsali jenom       1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0  2 1   1 −1  3 −1  3 −1   ∼  0 −3  ∼  0 −3  A=  −1 1 −2 2   0 3 −3 2   0 0 0 1  0 3 −3 4 0 3 −3 4 0 0 0 3

Při jakémkoli „zkracováníÿ zápisu ale musíme dávat pozor, abychom pracovali s aktuálními řádky. Například ve druhém příkladu by někoho mohlo napadnout, že od čtvrtého řádku odečte první (tím získá nulu v posledním řádku), potom ke druhému přičte třetí (tím získá nulu ve druhém řádku) a nakonec ke třetímu řádku přičte druhý (a tím získá nulu ve třetím řádku). První dvě úpravy byly v pořádku, ale tu třetí takto provést nejde, protože druhý řádek už je upravený a má v prvním sloupci nulu. Nemůžeme pracovat s neupraveným řádkem. Toto je velmi častá chyba, které se určitě nedopustíte, budete-li všchny úpravy dělat tak, že k řádkům budete přičítat nějaký násobek prvního (pokud chcete „vynulovatÿ první sloupec) řádku. Proto je tak výhodné nejprve matici upravit tak, aby v levém horním rohu (prvek a11 ) byla jednička. Pokud upravujete druhý sloupec, je dobré přičítat násobky druhého řádku atd. Protože si budeme chtít ukázat, jak souvisí tyto úpravy s násobením matic určitými speciálními maticemi (říká se jim elementární transformační matice), popíšeme si elementární úpravy přesněji („pojmenujemeÿ si řádky, resp. sloupce, . . . ) 3.3.9 Definice Elementárními řádkovými úpravami jsou 1. Přehození i-tého a j-tého řádku. 2. Vynásobení i-tého řádku nenulovým reálným číslem α. 3. Přičtení α-násobku i-tého řádku k j-tému řádku, kde α ∈ R. 1. října 2006

52



53

Elementárními sloupcovými úpravami jsou 1. Přehození i-tého a j-tého sloupce. 2. Vynásobení i-tého sloupce nenulovým reálným číslem α. 3. Přičtení α-násobku i-tého sloupce k j-tému sloupci, kde α ∈ R. 3.3.10 Definice Elementární transformační matice jsou matice, které vznikly z jednotkové matice některou elementární řádkovou nebo sloupcovou úpravou. 3.3.11 Poznámka Pokud elementární transformační matice vznikla nějakou elementární řádkovou úpravou, vznikla i nějakou elementární sloupcovou úpravou a naopak. Například vznikla-li matice přehozením druhého a třetího řádku v jednotkové matici, vznikla také přehozením druhého a třetího sloupce této matice. Vynásobením druhého řádku jednotkové matice číslem 5 získáme totéž, co vynásobením druhého sloupce číslem 5. A když k druhému řádku jednotkové matice přičteme dvojnásobek čtvrtého řádku, získáme stejnou matici, jako když ke čtvrtému sloupci jednotkové matice přičteme dvojnásobek druhého sloupce. Zamysleme se nyní nad tím, jak se změní matice, vynásobíme-li ji zleva nebo zprava nějakou elementární transformační maticí. 3.3.12 Příklady Uvažujme opět matici  a b c A= d e f  g h i 

Násobme ji nejprve zleva.

1. Nejprve vynásobíme tuto matici maticí T1 , která vznikla z jednotkové přehozením prvního a druhého řádku, tedy   0 1 0 T1 =  1 0 0  0 0 1

Položme C = T1 · A. První řádek matice C získáme tak, že prvním řádkem matice T1 postupně násobíme jednotlivé sloupce matice A. Zřejmě dostaneme druhý řádek matice A. Druhý řádek matice C získáme analogicky, když použijeme druhý řádek matice T1 . Zřejmě jen opíšeme první řádek matice A. Ve třetím řádku matice C bude třetí řádek matice A. Platí tedy      d e f a b c 0 1 0 T1 · A =  1 0 0  ·  d e f  =  a b c  g h i g h i 0 0 1 

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má přehozené první dva řádky. Analogicky, kdybychom matici A násobili zleva maticí, která vznikla z jednotkové přehozením druhého a třetího řádku, získáme matici, která vznikla z matice A přehozením druhého a třetího řádku. Obecně lze říci, že když libovolnou matici násobíme zleva maticí, která vznikla z jednotkové přehozením i-tého a j-tého řádku, získáme matici, která vznikla z původní přehozením i-tého a j-tého řádku. 2. Nyní vynásobíme matici A maticí T2 , která vznikla z jednotkové vynásobením třetího řádku dvěma, tedy   1 0 0 T2 =  0 1 0  0 0 2 Položme C = T2 · A. První dva řádky matice C budou stejné jako první dva řádky matice A. Ve třetím řádku matice C bude dvojnásobek třetího řádku matice A. Platí tedy Anna Kalousová: Úvod do algebry

53

1. října 2006

54

Kapitola 3. Matice

     1 0 0 a b c a b c e f  T2 · A =  0 1 0  ·  d e f  =  d 0 0 2 g h i 2g 2h 2i 

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má ve třetím řádku dvojnásobek třetího řádku matice A. Obecně, když libovolnou matici násobíme zleva maticí, která vznikla z jednotkové vynásobením i-tého řádku nenulovým reálným číslem, získáme matici, která vznikla z původní vynásobením i-tého řádku tímto reálným číslem. 3. Nakonec vynásobíme matici A maticí T3 , která vznikla z jednotkové tak, že jsme k prvnímu řádku přičetli trojnásobek třetího řádku, tedy   1 0 3 T3 =  0 1 0  0 0 1 Položme C = T3 · A. Druhý a třetí řádek matice C budou stejné jako druhý a třetí řádek matice A. V prvním řádku matice C bude součet prvního a trojnásobku třetího řádku matice A. Platí tedy     1 0 3 a b c a + 3g T3 · A =  0 1 0  ·  d e f  =  d 0 0 1 g h i g 

 b + 3h c + 3i e f  h i

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má v prvním řádku součet prvního a trojnásobku třetího řádku matce A. Obecně, když libovolnou matici násobíme zleva maticí, která vznikla z jednotkové přičtením α-násobku j-tého řádku k řádku i-tému, získáme matici, která vznikla z původní přičtením α-násobku j-tého řádku k řádku i-tému. Nyní budeme matici A násobit transformačními maticemi zprava. 1. Nejprve vynásobíme matici A maticí T1 , která vznikla z jednotkové přehozením prvního a druhého sloupce, tedy   0 1 0 T1 =  1 0 0  0 0 1

Položme C = A · T1 . První sloupec matice C získáme tak, že postupně vynásobíme jednotlivé řádky matice A prvním sloupcem matice T1 . Zřejmě dostaneme druhý sloupec matice A. Analogicky získáme druhý sloupec matice C, když použijeme druhý sloupec matice T1 . Zřejmě jen opíšeme první sloupec matice A. Ve třetím sloupci matice C bude třetí sloupec matice A. Platí tedy      a b c 0 1 0 b a c A · T1 =  d e f  ·  1 0 0  =  e d f  g h i 0 0 1 h g i 

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má přehozené první dva sloupce. Analogicky, kdybychom matici A násobili zprava maticí, která vznikla z jednotkové přehozením druhého a třetího sloupce, získáme matici, která vznikla z matice A přehozením druhého a třetího sloupce. Obecně lze říci, že když libovolnou matici násobíme zprava maticí, která vznikla z jednotkové přehozením i-tého a j-tého sloupce, získáme matici, která vznikla z původní přehozením i-tého a j-tého sloupce. 2. Nyní vynásobíme matici A maticí T2 , která vznikla tedy  1 T2 =  0 0

z jednotkové vynásobením třetího sloupce dvěma,  0 0 1 0  0 2

Položme C = A · T2 . První dva sloupce matice C budou stejné jako první dva sloupce matice A. Ve třetím sloupci matice C bude dvojnásobek třetího sloupce matice A. Platí tedy

1. října 2006

54



55

     a b c 1 0 0 a b 2c T2 · A =  d e f  ·  0 1 0  =  d e 2f  g h i 0 0 2 g h 2i 

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má ve třetím sloupci dvojnásobek třetího sloupce matice A. Obecně, když libovolnou matici násobíme zprava maticí, která vznikla z jednotkové vynásobením i-tého sloupce nenulovým reálným číslem, získáme matici, která vznikla z původní vynásobením i-tého sloupce tímto reálným číslem. 3. Nakonec vynásobíme matici A maticí T3 , která vznikla z jednotkové tak, že jsme k prvnímu sloupci přičetli trojnásobek třetího sloupce, tedy   1 0 0 T3 =  0 1 0  3 0 1 Položme C = A · T3 . Druhý a třetí sloupec matice C budou stejné jako druhý a třetí sloupec matice A. V prvním sloupci matice C bude součet prvního řádku a trojnásobku třetího sloupce matice A. Platí tedy      a b c 1 0 0 a + 3g b c A · T3 =  d e f  ·  0 1 0  =  d + 3f e f  g h i 3 0 1 g + 3i h i 

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má v prvním sloupci součet prvního a trojnásobku třetího sloupce matce A. Obecně, když libovolnou matici násobíme zprava maticí, která vznikla z jednotkové přičtením α-násobku j-tého sloupce k sloupci i-tému, získáme matici, která vznikla z původní přičtením α-násobku j-tého sloupce k sloupci i-tému. 3.3.13 Tvrzení Násobíme-li libovolnou matici zleva nějakou elementární transformační maticí, získáme matici, která vznikla z původní matice stejnou řádkovou úpravou, jakou vznikla transformační matice z matice jednotkové. Násobíme-li libovolnou matici zprava nějakou elementární transformační maticí, získáme matici, která vznikla z původní matice stejnou sloupcovou úpravou, jakou vznikla transformační matice z matice jednotkové. Předchozí tvrzení vlastně říká, že násobení zleva nějakou elementární transformační maticí odpovídá nějaká elementární řádková úprava a násobení zprava nějakou elementární transformační maticí odpovídá nějaká sloupcová úprava. Můžeme je ale také obrátit a každou elementární úpravu provést jako násobení (zleva nebo zprava) nějakou elementární transformační maticí. O tom hovoří následující tvrzení. 3.3.14 Tvrzení Nechť matice B vznikla z matice A nějakou elementární řádkovou úpravou. Potom existuje elementární transformační matice T taková, že B = T · A. Nechť matice B vznikla z matice A nějakou elementární sloupcovou úpravou. Potom existuje elementární transformační matice T taková, že B = A · T. Důkaz. Pro řádkové úpravy násobíme matici zleva elementární transformační maticí, která vznikla z jednotkové požadovanou elementární řádkovou úpravou. Pro sloupcové úpravy násobíme matici zprava elementární transformační maticí, která vznikla z jednotkové požadovanou elementární sloupcovou úpravou. -,

3.3.15 Příklady Uvažujme elementární řádkové a sloupcové úpravy matice   a b c A =  d e f . g h i Anna Kalousová: Úvod do algebry

55

1. října 2006

56

Kapitola 3. Matice

1. Nejprve přehodíme první a třetí řádek. Tomu odpovídá násobení zleva maticí  0 0 1 T =  0 1 0 , 1 0 0 

     0 0 1 a b c g h i  0 1 0 ·  d e f  =  d e f . 1 0 0 g h i a b c 

protože

2. Nyní vynásobíme druhý řádek číslem 3. Tomu odpovídá násobení zleva maticí  1 0 0 T =  0 3 0 , 0 0 1 

protože

     1 0 0 a b c a b c  0 3 0  ·  d e f  =  3d 3e 3f  . 0 0 1 g h i g h i 

3. Nakonec ke třetímu řádku přičteme dvojnásobek druhého řádku. Tomu odpovídá násobení zleva maticí  1 0 0 T =  0 1 0 , 0 2 1 

     a b c a b c 1 0 0  0 1 0 · d e f = d e f . g + 2d h + 2e i + 2f g h i 0 2 1 

protože

4. Nejprve přehodíme první a třetí sloupec. Tomu odpovídá násobení zprava maticí  0 0 1 T =  0 1 0 , 1 0 0 

     a b c 0 0 1 c b a  d e f ·  0 1 0  =  f e d . g h i 1 0 0 i h g 

protože

5. Nyní vynásobíme druhý sloupec číslem 3. Tomu odpovídá násobení zprava maticí  1 0 0 T =  0 3 0 , 0 0 1 

protože

     a 3b c 1 0 0 a b c  d e f  ·  0 3 0  =  d 3e f  . g 3h i 0 0 1 g h i 

6. Nakonec ke třetímu sloupci přičteme dvojnásobek druhého sloupce. Tomu odpovídá násobení zprava maticí  1 0 0 T =  0 1 2 , 0 0 1 

protože

     a b c + 2b 1 0 0 a b c  d e f  ·  0 1 2  =  d e f + 2d  . g h i + 2g 0 0 1 g h i 

3.3.16 Poznámka V předchozích příkladech jsme transformačními maticemi vždy násobili čtvercovou matici. Bylo to proto, abychom mohli násobit zprava i zleva. Podobně lze ale násobit i matice obdélníkové, např.       a b a b 1 0 0  0 3 0  ·  c d  =  3c 3d  , druhý řádek vynásobený třemi. e f e f 0 0 1   1 0 0 a 3b c a b c , druhý sloupec vynásobený třemi. · 0 3 0 = d 3e f d e f 0 0 1

3.4

Cvičení

1. Spočtěte A · B, jestliže (a)  1 −1 2 1 0 , A= 2 1 2 −1 

1. října 2006

56

 0 −1 1 1 −1  B= 2 −1 2 2 


3.4. Cvičení

57

(b)  2 1 1 A =  1 −1 0  , 0 1 1

 1 2 −1 B= 2 1 1  1 2 −2



(c)



 1 −1 2 1 2  B= 2 −2 1 1

 1 −1 0 1 1 , A= 0 2 −1 1





(d)

1  −1 A=  1 0 

(e)

 2 0 1 1  , 1 −1  1 1

 1 1 2 B =  −1 1 1  0 2 −1 

 2 1 0  0 1 −1  , A=  1 −1 0  1 1 0 

(f)

 1 2 1 0 1 , A =  −1 1 −1 0 

(g)

 1 1 −1 2 0 1  B= 2 1 1 2 1 2 

 1 2 −1 1 0 −2  B= 2 1 2 1 1 2 

 1 1 −1 0 1 0 1 , A =  −1 1 −1 0 1 

2. Spočtěte A2 a A3 , jestliže

1  2 B=  2 1 

 2 −1 2 1 1 1   2 1 0  2 2 1

(a)  1 −1 2 1 0  A= 2 1 2 −1 

(b)

 1 1 0 1 −1  A =  −1 1 −1 −1 

(c)

 2 0 −1 0  A =  1 −1 3 −1 −1 

(d)

 1 −1 2 A =  −1 1 −2  −1 1 −2 

3. Rozhodněte, zda spolu matice A a B komutují. (a)

 1 1 −1 0 , A= 2 1 0 1 −2 


57

 1 −1 2 1 −2  B= 1 1 0 −1 

1. října 2006

58

Kapitola 3. Matice

(b)  1 1 1 0 −1  , A= 1 1 −1 1 

(c)

 1 1 1 A =  0 1 1 , −1 0 1 

(d)

 1 −1 1 0 −1  , A= 2 1 1 0 

 1 2 1 0 −2  B= 2 1 −2 1 

 1 1 0 B= 1 0 1  −1 1 1 

 1 0 −1 1  B =  −1 1 0 1 2 

4. Najděte matici A, aby pro všechny hodnoty a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l platilo (a) 

(b)

a b A· e f i j 

a b A· e f i j (c)

  c d a + 2e b + 2f g h = i−a j −b k l 3e 3f

  2e − i 2f − j c d  a+e+i b+f +j   g h = i − 2a j − 2b k l i+a j +b



(d)

  a b c a+j  d e f   =  g + 2d A·  g h i  d+g−j j k l   a b c   d e f      g h i ·A= j k l 

(e)

  a b c   d e f      g h i ·A = j k l 

(f) 

a b  e f i j

3.5

c + 2g k−c 3g

 d + 2h l−d  3h

2g − k c+g+k k − 2c k+c

b+k h + 2e e+h−k

 2h − l d+h+l   l − 2d  l+d

 c+l i + 2f  f +i−l

 a − b c + 2b 2c − a d − e f + 2e 2f − d   g − h i + 2h 2i − g  j − k l + 2k 2l − j

c − 2b a + 2b 2c + a f − 2e d + 2e 2f + d i − 2h d + 2h 2i + g l − 2k j + 2k 2l + j

  b + 2d c − b c d g h  · A =  f + 2h g − f j + 2l k − j k l

a−c e−g i−k

 2a 2d   2g  2j  a + 2d e + 2h  i + 2l

Výsledky

1. (a)  −4 2 6 1  A · B =  2 −1 5 −1 −3 

1. října 2006

58


3.5. Výsledky

59

(b)  3 3 1 A · B =  −1 1 −2  3 3 −1 

(c)

 −1 −2 0 A·B= 0 2 3  −2 −2 3 

(d)



−1  −2 A·B=  0 −1

(e)

 3 4 2 −2   0 4  3 0

 4 3 −2 5  1 −1 −1 −1   A·B=  −1 0 −1 1  3 2 −1 3 

(f)

 7 5 0 −1 2 1  A · B =  1 −1 −1 1 −1 3 

(g)

 1 1 −1 3 4 0  A·B= 2 1 0 3 0 2 

2. (a)

 1 2 0 A2 =  4 −1 4  , 4 −1 3 

(b)

 0 2 −1 0 , A2 =  −3 1 1 1 2 

(c)

 1 1 −1 A2 =  1 1 −1  , 2 2 −2 

(d)

 0 0 0 A2 =  0 0 0  , 0 0 0 

3. (a) Nekomutují.

 5 1 2 A3 =  6 3 4  5 1 5 

 −3 3 −1 A3 =  −4 −2 −1  2 0 −3 

 0 0 0 A3 =  0 0 0  0 0 0 

 0 0 0 A3 =  0 0 0  0 0 0 

(b) Komutují. (c) Komutují. (d) Nekomutují. Anna Kalousová: Úvod do algebry

59

1. října 2006

60

Kapitola 3. Matice

(a)  1 2 0 A =  −1 0 1  0 3 0 

(b)

0  1 A=  −2 1 

(c)

 2 −1 1 1   0 1  0 1

 1 0 0 1 0  A= 0 2 1 0 1 1 −1 

(d)

 1 0 −1 0  A =  −1 2 0 1 2 

(e)

 0 1 1 2 A =  −2 2 0 0  1 0 2 0 

(f)

 0 0 1 1  −2 −1 0 0   A=  −2 1 −1 0  1 0 0 2 

1. října 2006

60


Kapitola 4

Determinanty Determinant matice je (reálné) číslo, které matici určitým způsobem charakterizuje. Jeho myšlenka vznikla ze snahy najít nějaký vztah mezi koeficienty soustavy lineárních rovnic a jejím řešením. V Evropě se objevila v 17. století u Gottfrieda Wilhelma Leibnize, ve století následujícím pak Gabriel Cramer formuloval pravidlo pro řešení soustav lineárních rovnic, které používá determinanty matic. Název determinant pak pochází od Augustina Louise Cauchyho. Determinanty mají i geometrickou interpretaci, lze je totiž chápat jako objem určitého rovnoběžnostěnu. Ale determinanty hrají významnou roli i v jiných oblastech matematiky. Determinant lze definovat několika navzájem ekvivalentními způsoby, ale žádný z nich není jednoduchý. Definice, kterou budeme formulovat, je založena na pojmu permutace, povězme si tedy nejprve něco o nich.

4.1

Permutace

4.1.1 Definice Permutace Π na množině M = {1, 2, . . . , n} je libovolná bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) množiny M na sebe samu. Jestliže Π(i) = pi pro i = 1, 2, . . . , n, můžeme zapsat permutaci Π ve tvaru tabulky 1 2 ... n Π= . p1 p2 . . . pn

Pokud jsou v prvním řádku tabulky čísla uspořádaná od nejmenšího k největšímu, říkáme, že je permutace zapsaná v základním tvaru, pokud jsou v jiném pořadí, je zapsaná v obecném tvaru. Prvek, který se zobrazuje sám na sebe, nazveme samodružným, pokud se nezobrazuje sám na sebe, je nesamodružný. 4.1.2 Příklad Na množině M = {1, 2, 3, 4} jsou 1 2 4 3 4 3 2 1 2 1 3 4 1 2 3 4 = = = Π= 2 3 4 1 4 1 3 2 3 2 1 4 2 3 1 4 různé tvary permutace Π, přičemž ten první je základní. Číslo 4 je samodružným prvkem, ostatní čísla jsou nesamodružná. 4.1.3 Věta Množina M = {1, 2, . . . , n} má právě n! navzájem různých permutací. Důkaz. Větu budeme dokazovat matematickou indukcí podle n. 1 . 1. Pro n = 1 existuje zřejmě jediná permutace a to Π = 1 2. Nyní dokážeme indukční krok. Předpokládáme, že tvrzení platí pro množinu {1, 2, . . . , n}, to znamená, že existuje n! navzájem různých permutací této množiny. Ukážeme, že množina {1, 2, . . . , n, n + 1} má potom (n + 1)! navzájem různých permutací. Zamysleme se nejprve nad tím, v kolika permutacích se číslo n + 1 vyskytuje na prvním místě. Zřejmě v n! permutacích. Znamená to totiž pouze to, že ve všech permutacích množiny {1, 2, . . . , n} napíšeme Anna Kalousová: Úvod do algebry

61

1. října 2006

62

Kapitola 4. Determinanty

v tabulce pod číslo 1 číslo n + 1 a ostatní čísla v druhém řádku o jedno místo posuneme. Nechť Π je nějaká permutace množiny {1, 2, . . . , n}, napíšeme si tabulku této permutace 1 2 3 ... n Π= . p1 p2 p3 . . . pn Odpovídající permutace množiny {1, 2, . . . , n, n + 1}, kde na prvním místě je číslo n + 1, pak je dána tabulkou 1 2 3 ... n n+1 . n + 1 p1 p2 . . . pn−1 pn Analogicky se v n! permutacích vyskytuje číslo n + 1 na druhém místě (v tabulce necháme na svém místě číslo pod 1, pod 2 napíšeme n + 1 a ostatní čísla o jedno posuneme). 1 2 3 ... n n+1 p1 n + 1 p2 . . . pn−1 pn

Stejný je i počet permutací, kde je n + 1 na třetím, čtvrtém, . . . , n-tém a (n + 1)-ním místě. Celkový počet permutací získáme, když (n + 1)-krát sečteme n!, tedy existuje (n + 1) · n! = (n + 1)! různých permutací na množině {1, 2, . . . , n, n + 1}

Tím je tvrzení dokázáno.

-,

4.1.4 Příklad Na M = {1, 2} existuje 2! = 2 permutace. Jsou to 1 2 1 2 . a Π2 = Π1 = 2 1 1 2 4.1.5 Příklad Na M = {1, 2, 3} existuje 3! = 6 permutací. 1 2 3 1 2 Π1 = Π2 = 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 Π4 = Π5 = 2 3 1 3 1

Jsou to 3 2 3 2

Π3 =

1 2 3 2 1 3

Π6 =

1 2 3 3 2 1

4.1.6 Definice Permutaci I množiny M = {1, 2, . . . , n} nazveme identickou, je-li každý prvek množiny M samodružným, tedy 1 2 ... n . I= 1 2 ... n 4.1.7 Definice Nechť Π =

1 p1

2 p2

... n . . . pn

je permutace množiny {1, 2, . . . , n}. Permutaci

Π−1 =

p1 1

... n . . . pn

p2 2

. . . pn ... n

nazveme inversní permutací k permutaci Π. 4.1.8 Definice Nechť Π1 =

1 p1

2 p2

a Π2 =

p1 s1

p2 s2

. . . pn . . . sn

jsou dvě permutace na množině M = {1, 2, . . . , n}. Součinem permutací Π1 a Π2 nazveme permutaci 1 2 ... n . Π = Π 2 · Π1 = s1 s2 . . . sn 1. října 2006

62


4.1. Permutace

63

4.1.9 Poznámka Díváme-li se na permutace jako na zobrazení, je zřejmě identická permutace identickým zobrazením, inversní permutace zase inversním zobrazením. Součin permutací odpovídá skládání zobrazení. Proto násobíme jakoby „pozpátkuÿ. 4.1.10 Příklady V příkladu 4.1.5 jsme si vypsali všechny permutace na množině {1, 2, 3}. 1. Permutace Π1 je zřejmě identická. Je inversní sama k sobě. 2. Také permutace Π2 , Π3 , Π6 jsou inversní samy k sobě, neboť 1 3 2 1 2 3 Π−1 = = = Π2 , 2 1 2 3 1 3 2 Π−1 3 Π−1 6

=

2 1 3 1 2 3

=

3 2 1 1 2 3

3 1 2 1 2 3

=

1 2 3 2 1 3

= Π3 ,

=

1 2 3 3 2 1

= Π6 .

=

1 2 3 2 3 1

= Π4 .

K permutaci Π4 je inversní permutací Π5 , k permutaci Π5 je inversní permutace Π4 , neboť 2 3 1 1 2 3 Π−1 = = = Π5 , 4 1 2 3 3 1 2 Π−1 5 =

3. Součinem permutace s permutací inversní je permutace identická Π1 · Π1 = Π 2 · Π2 = Π 3 · Π3 = Π 6 · Π6 = Π 4 · Π5 = Π 5 · Π4 =

1 2 3 1 2 3

= Π1 = I

4.1.11 Poznámka Násobení permutací je asociativní, identická permutace je neutrální vzhledem k násobení permutací. Ke každé permutaci existuje permutace inversní a platí, že součinem těchto dvou permutací je permutace identická. Není ale komutativní. Vidíme, že n!-prvková množina permutací na množině {1, 2, . . . , n} s operací součinu splňuje axiomy grupy, jak byly uvedeny v 1.2.1. Nazývá se symetrická grupa permutací a značíme ji Sn . 4.1.12 Definice Nechť Π je permutace na n-prvkové množině. Inversí nazveme uspořádanou dvojici čísel (i, j) takovou, že i < j a Π(i) > Π(j). 4.1.13 Příklad Permutace Π1 v příkladu 4.1.4 nemá žádnou inversi, permutace Π2 má jednu inversi, totiž uspořádanou dvojici (1, 2). Platí totiž, že 1 < 2, ale Π2 (1) = 2 > 1 = Π2 (2). 4.1.14 Příklad Permutace Π1 v příkladu 4.1.5 nemá žádnou inversi, permutace Π2 má jednu inversi, totiž uspořádanou dvojici (2, 3). Platí totiž, že 2 < 3, ale Π2 (2) = 3 > 2 = Π2 (3). Podobně permutace Π3 má jednu inversi, uspořádanou dvojici (1, 2), permutace Π4 dvě inverse (1, 3) a (2, 3), permutace Π5 dvě inverse (1, 2) a (1, 3) a permutace Π6 tři inverse (1, 2), (1, 3) a (2, 3). V následujících tabulkách těchto permutací jsou inverse vyznačeny obloučky. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Π1 = Π2 = Π3 = 1 2 3 1 3 2 2 1 3 Π4 =

1 2 3 2 3 1

Π5 =

1 2 3 3 1 2

Π6 =

1 2 3 3 2 1

4.1.15 Definice Znaménko permutace Π (sgn Π) je rovno 1, pokud má permutace Π sudý počet inversí, a −1, má-li jich lichý počet. Můžeme tedy psát sgn Π = (−1)p , kde p je počet inversí permutace Π. Anna Kalousová: Úvod do algebry

63

1. října 2006

64


4.1.16 Příklad Znaménka permutací z příkladu 4.1.4 jsou sgn Π1 = (−1)0 = 1,

sgn Π2 = (−1)1 = −1.

4.1.17 Příklad Znaménka permutací z příkladu 4.1.5 jsou sgn Π1 = (−1)0 = 1, sgn Π4 = (−1)2 = 1,

sgn Π2 = (−1)1 = −1, sgn Π5 = (−1)2 = 1,

sgn Π3 = (−1)1 = −1, sgn Π6 = (−1)3 = −1.

4.1.18 Věta Permutace Π a Π−1 mají stejné znaménko. Důkaz. Pokud dvojice (i, j) je inversí permutace Π, platí i < j a Π(i) > Π(j). Označme Π(i) = k a Π(j) = l. Potom zřejmě Π−1 (k) = i a Π−1 (l) = j. Platí tedy, že l < k a Π−1 (l) > Π−1 (k) a dvojice (l, k) je inversí permutace Π−1 . Naopak každé inversi permutace Π−1 odpovídá inverse permutace Π. Obě permutace mají shodný počet inversí, a proto mají i stejné znaménko. -,

4.1.19 Definice Transpozice Ti,j je permutace, která pouze prohodí čísla i a j. Tedy 1 2 ... i ... j ... n Ti,j = 1 2 ... j ... i ... n

.

4.1.20 Tvrzení Každou permutaci Π můžeme napsat jako součin vhodných transpozic. Důkaz. Budeme postupovat rekurentně. Označme Tk k-tou provedenou transpozici a položme Πk = Tk · Tk−1 · · · T2 · T1 . Položme T1 = T1,Π(1) , zřejmě Π1 = T1 . Co vlastně tato transpozice provedla? Zajistila, že číslu 1 je přiřazeno číslo Π(1). Další transpozicí je T2 = TΠ1 (2),Π(2) . Ta zajistí, že číslu 2 je přiřazeno číslo Π(2). Stejně postupujeme dále, vždy položíme Tk = TΠk−1 (k),Π(k) . Nakonec dostaneme, že Π = Πn−1 = Tn−1 · · · T2 · T1 . No, malinko jsme to ošidili, protože možná některá z těch našich „transpozicÿ vůbec transpozice nebyla, ale byla to identita (nebylo potřeba nic přehazovat). V tom našem součinu tyto „falešné transpoziceÿ vynecháme. -,

4.1.21 Příklady 1. Uvažujme permutaci Π=

1 2 3 4 5 3 2 4 5 1

.

Nejprve provedeme transpozici T1,3 , která přehodí čísla 1 a 3. Je tedy 1 2 3 4 5 Π1 = T 1 = . 3 2 1 4 5 Protože Π1 (2) = 2, bude další „transpozicíÿ T2 = T2,Π(2) = T2,2 . Máme T2 = 1. října 2006

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

64

a Π2 =

1 2 3 4 5 3 2 1 4 5


4.1. Permutace

65

Protože Π2 (3) = 1, bude další „transpozicíÿ T3 = T1,Π(3) = T1,4 . Máme 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 a Π3 = T3 = 3 2 4 1 5 4 2 3 1 5 Protože Π3 (4) = 1, bude poslední „transpozicíÿ T4 = T1,Π(4) = T1,5 . Máme 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 T4 = a Π4 = =Π 5 2 3 4 1 3 2 4 5 1 Protože T2 nebyla transpozice, ale identita, musíme ji vynechat. Platí tedy, že Π = T 4 · T3 · T1 . 2. Uvažujme permutaci Π=

1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 6 4

.

Nejprve provedeme transpozici T1,2 , která přehodí čísla 1 a 2. Je tedy 1 2 3 4 5 6 Π1 = T 1 = . 2 1 3 4 5 6 Protože Π1 (2) = 1, bude další „transpozicíÿ T2 = T1,Π(2) = T1,3 . Máme 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 a Π2 = T2 = 2 3 1 4 5 6 3 2 1 4 5 6 Protože Π2 (3) = 1, bude další „transpozicíÿ T3 = T1,Π(3) = T1,1 . 1 2 3 4 5 6 T3 = . 1 2 3 4 5 6 To je opět identita, kterou vynecháme. Protože Π3 (4) = 4, bude další „transpozicíÿ T4 = T4,Π(4) = T4,5 . Máme 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 T4 = a Π4 = 1 2 3 5 4 6 2 3 1 5 4 6 Protože Π4 (5) = 4, bude poslední „transpozicíÿ T5 = T4,Π(5) = T4,6 . Máme 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 T5 = a Π5 = =Π 1 2 3 6 5 6 2 3 1 5 6 4 Platí tedy, že Π = T 5 · T4 · T2 · T1 . 4.1.22 Poznámka Rozklad permutace na součin transpozic není určen jednoznačně, ale pro každou permutaci platí, že každý její rozklad obsahuje sudý počet transpozic nebo každý její rozklad obsahuje lichý počet transpozic. 4.1.23 Věta Znaménko transpozice Ti,j je -1. Důkaz. Spočítáme inverse v této permutaci. Jsou to všechny uspořádané dvojice (i, k), kde k ∈ {i+1, . . . , j −1}, tedy j − i − 1 inversí, dále všechny dvojice (k, j), kde k ∈ {i + 1, . . . , j − 1}, také j − i − 1 inversí a uspořádaná dvojice (i, j). Dohromady je inversí 2 · (j − i − 1) + 1, to znamená lichý počet. Znaménko této permutace je −1. -,


65

1. října 2006

66


4.1.24 Tvrzení Nechť Π je permutace na množině {1, 2, . . . , n}. Označme znam Π = (−1) t , kde t je počet transpozic, na které se rozkládá permutace Π. Potom sgn Π = znam Π. Důkaz. Stačí nám vlastně dokázat pouze to, že když vynásobíme libovolnou permutaci nějakou transpozicí, změní se její parita; pokud byla permutace sudá, stane se lichou, pokud byla lichá, stane se sudou. Tedy že přibude nebo ubude lichý počet inversí. Když totiž permutaci rozložíme na součin transpozic, tak právě počet transpozic říká, kolikrát jsme „přidaliÿ nebo „ubraliÿ lichý počet inversí. Je-li tedy počet transpozic sudý, je sudý i počet inversí, je-li lichý, je lichý i počet inversí. Protože násobení permutací není komutativní, měli bychom uvažovat násobení z obou stran. K důkazu věty stačí jen jedno násobení, protože je jedno, jestli začneme zleva a budeme postupovat doprava, tj. uděláme „posledníÿ transpozici a pak se podíváme, co jsme museli udělat předtím, nebo zprava, tj. nejprve uděláme první transpozici, pak druhou,. . . Uděláme přesto oba důkazy. Začít zleva (tj. násobit zprava) je jednodušší na zápis důkazu, začít zprava (násobit zleva) je logičtější, protože tak jsme při tom rozkládání na transpozice postupovali. 1. Začneme s důkazem, že vynásobíme-li nějakou permutaci Π zprava transpozici T i,j , kde i < j, změní se počet inversí o lichý počet. Násobení zprava vlastně znamená, že nejprve uděláme transpozici (přehodíme i a j) a potom provedeme permutaci Π. Tedy 1 2 ... i ... j ... n . Π1 = Π · Ti,j = Π(1) Π(2) . . . Π(j) . . . Π(i) . . . Π(n) Inverse můžeme rozdělit do několika skupin. Do první skupiny budou patřit inverse, ve kterých se nevyskytuje i ani j. Tyto inverse zůstanou zachovány. Druhou skupinu tvoří inverse typu (k, i) a (k, j), kde k < i(< j), resp. inverse typu (i, k) a (j, k), kde (i <)j < k. Také ony zůstanou zachovány. Třetí skupinou budou inverse, pro které i < k < j. Nechť Π(k) < Π(i) a Π(k) < Π(j), inverse (i, k) zůstane zachována. Podobně je tomu v případě, že Π(k) > Π(i) a Π(k) > Π(j), potom zůstane zachována (k, j). Zbývají případy Π(j) < Π(k) < Π(i) a Π(i) < Π(k) < Π(j). V tom prvním jsou v permutaci Π inverse (i, k) a (k, j), které po provedení transpozice zmizí. V tom druhém naopak v permutaci Π inverse není a po provedení transpozice se objeví inverse (i, k) a (k, j). Zatím ke změně parity nedošlo. Buď se nic nezměnilo nebo přibyly či naopak ubyly dvě inverse. Ale ještě máme jednu dvojici, o které jsme zatím neuvažovali, a tou je (i, j). Pokud Π(i) < Π(j), nebyla tato dvojice inversí. Po „přehozeníÿ ale inversí je. Pokud naopak Π(j) < Π(i), je tato dvojice inversí, kdežto po „přehozeníÿ už inversí není. Dvojice (i, j) tedy způsobí, že se parita permutace změní. 2. Nyní budeme permutaci Π násobit transpozicí Ti,j , kde i < j, zleva. Tomu odpovídá, že nejprve provedeme permutaci Π a potom přehodíme i a j. Označme si p = Π−1 (i) a q = Π−1 (j). Potom 1 2 ... p ... q ... n Π2 = Ti,j · Π = , pokud p < q, Π(1) Π(2) . . . j . . . i . . . Π(n) nebo Π2 = Ti,j · Π =

1 2 Π(1) Π(2)

... q ... i

... p ... n . . . j . . . Π(n)

,

pokud q < p.

Opět máme několik skupin inversí. Tou první jsou inverse, ve kterých se nevyskytuje p ani q. Ty samozřejmě zůstanou zachovány. Další skupinu tvoří inverse typu (k, p) a (k, q), kde (i <)j < Π(k) a (p, k) a (q, k), kde Π(k) < i(< j). Ty také zůstanou zachovány. Zbývají případy, kdy i < Π(k) < j. Pokud k < p a k < q, budeme místo inverse (k, p) mít inversi (k, q), pokud p < k a q < k bude inverse (q, k) nahrazena inversí (p, k). Pokud p < k < q, objeví se v permutaci Π2 dvě nové inverse (p, k) a (k, q), pokud q < k < p, máme v permutaci Π inverse (q, k) a (k, p), které v permutaci Π2 už inversemi nejsou. Opět zatím ke změně parity nedošlo. Tu zase způsobí dvojice (p, q), resp. (q, p). Pokud totiž p < q, pak (p, q) není inversí v permutaci Π, ale je inversí v permutaci Π2 , pokud p > q, pak (q, p) je inversí v permutaci Π, ale není inversí v permutaci Π2 . Tím se opět změní parita permutace. -,

1. října 2006

66


4.1. Permutace

67

4.1.25 Příklady Vše si zase můžeme ilustrovat na několika příkladech. 1. Uvažujme transpozici T2,6 a permutaci Π=

1 2 3 4 5 6 7 3 6 2 5 7 4 1

.

Po vynásobení permutace Π zprava transpozicí T2,6 získáme permutaci 1 2 3 4 5 6 7 Π1 = Π · T2,6 = . 3 4 2 5 7 6 1 Do první skupiny inversí patří ty, v nichž se nevyskytuje ani 2 ani 6. Jsou to (1, 3), (1, 7), (3, 7), (4, 7) a (5, 7). Do skupiny druhé patří inverse (2, 7), (6, 7), protože 2 < 6 < 7. Všechny tyto inverse se vyskytují v permutaci Π a také v Π1 . Dále máme Π(3) = 2 < 6 = Π(2) a Π(3) = 2 < 4 = Π(6). Tomu odpovídá inverse (2, 3), která se opět vyskytuje v obou permutacích. Podobně je Π(5) = 7 > 6 = Π(2) a Π(5) = 7 > 4 = Π(6), čemuž odpovídá inverse (5, 6) opět v obou permutacích. Protože je Π(4) = 5 < 6 = Π(2) a Π(4) = 5 > 4 = Π(6), máme v permutaci Π inverse (2, 4) a (4, 6). V permutaci Π1 už však tyto dvojice inversemi nejsou. Poslední inversí v permutaci Π je (2, 6), která už ale v Π1 inversí není. V permutaci Π1 je tedy o tři inverse méně než v permutaci Π. 2. Uvažujme transpozici T2,5 a permutaci Π=

1 2 3 4 5 2 3 4 1 5

.

Po vynásobení permutace Π zprava transpozicí T2,5 získáme permutaci 1 2 3 4 5 . Π1 = Π · T2,5 = 2 5 4 1 3 Do první skupiny inversí patří ty, v nichž se nevyskytuje ani 2 ani 5. Jsou to (1, 4) a (3, 4). Obě tyto inverse se vyskytují v permutaci Π a také v Π1 . Inverse z druhé skupiny se v této permutaci nevyskytují. Dále máme Π(4) = 1 < 3 = Π(2) a Π(4) = 1 < 5 = Π(5), čemuž odpovídá inverse (2, 4) opět v obou permutacích. Protože je Π(2) = 3 < 4 = Π(3) a Π(5) = 5 > 4 = Π(3), přibudou nám v permutaci Π 1 inverse (2, 3) a (3, 5), které v původní permutaci Π inversemi nejsou. Poslední dvojicí je (2, 5), která v Π inversí není, ale v Π1 inversí je. V permutaci Π1 je tedy o tři inverse více než v permutaci Π. 3. Uvažujme transpozici T2,6 a permutaci Π=

1 2 3 4 5 6 7 3 6 2 5 7 4 1

.

Po vynásobení permutace Π zleva transpozicí T2,6 získáme permutaci 1 2 3 4 5 6 7 . Π2 = T2,6 · Π = 3 2 6 5 7 4 1 Zřejmě p = Π−1 (2) = 3 a q = Π−1 (6) = 2. Do první skupiny inversí patří ty, v nichž se nevyskytuje 2 ani 3. Jsou to (1, 7), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7) a (6, 7). Do skupiny druhé patří inverse (2, 7), (3, 7), protože Π(7) = 1 < 2 < 6. Všechny tyto inverse se vyskytují v permutaci Π a také v Π 2 . V permutaci Π máme dále inverse (2, 4) a (2, 6). Protože q = 2 < 4 = k a p = 3 < 4 = k, resp. q = 2 < 6 = k a p = 3 < 6 = k, jsou tyto dvě inverse nahrazeny inversemi (3, 4) a (3, 6). Podobně je k = 1 < 2 = q a k = 1 < 3 = p, proto je inverse (1, 3) nahrazena inversí (1, 2). Poslední inversí v permutaci Π je (2, 3), která už ale v Π2 inversí není. V permutaci Π2 je tedy o jednu inversi méně než v permutaci Π. Anna Kalousová: Úvod do algebry

67

1. října 2006

68


4. Uvažujme transpozici T2,5 a permutaci Π=

1 2 3 4 5 2 3 4 1 5

.

Po vynásobení permutace Π zleva transpozicí T2,5 získáme permutaci 1 2 3 4 5 . Π2 = T2,5 · Π = 5 3 4 1 2 Zřejmě p = Π−1 (2) = 1 a q = Π−1 (5) = 5. Do první skupiny inversí patří ty, v nichž se nevyskytuje 1 ani 5. Jsou to (2, 4) a (3, 4). Obě tyto inverse se vyskytují v permutaci Π a také v Π 2 . Inverse z druhé skupiny se v této permutaci nevyskytují. Inverse (1, 4) zůstane zachována, protože Π(4) = 1 < 2 = i < j. Pro k = 2 a k = 3 máme situaci i = 2 < Π(k) < 5 = j a p = 1 < k < 5 = q, přibudou tedy dvě dvojice inversí (1, 2), (2, 5) a (1, 3), (3, 5) Poslední dvojicí je (1, 5), která v Π inversí není, ale v Π2 inversí je. V permutaci Π2 je tedy o pět inversí více než v permutaci Π. Z předchozího tvrzení plyne, že znaménko permutace můžeme také definovat jako (−1) t , kde t je počet transpozic, na které se rozkládá permutace Π. 4.1.26 Věta Nechť Π1 a Π2 jsou permutace na množině {1, 2, . . . , n}. Potom sgn(Π1 · Π2 ) = sgn Π1 · sgn Π2 . Důkaz. Rozložíme obě permutace na součin transpozic. Nechť Π1 = T1 · T2 · · · Tt a Π2 = S1 · S2 · · · Ss . Potom Π1 · Π2 = T1 · T2 · · · Tt · S1 · S2 · · · Ss . Počet transpozic, na které se rozkládá permutace (Π1 · Π2 ), je tedy (t + s). Podle tvrzení 4.1.24 je sgn(Π1 · Π2 ) = (−1)t+s = (−1)t · (−1)s = sgn Π1 · sgn Π2 -, Uvedli jsme si základní poznatky o permutacích, které nám umožní definovat determinant matice a odvodit jeho základní vlastnosti.

4.2

Determinant matice

Mějme čtvercovou matici řádu n a vyberme v ní n prvků tak, abychom z každého sloupce a z každého řádku vybrali právě jeden. Tato úloha je ekvivalentní úloze rozmístit na šachovnici s n x n políčky n věží tak, aby se vzájemně neohrožovaly. Na toto vybírání se můžeme dívat tak, že v každém řádku vybíráme prvek v jistém sloupci, tedy vlastně vytváříme jakési zobrazení množiny řádků (či řádkových indexů) na množinu sloupců (či sloupcových indexů), tedy zobrazení množiny {1, 2, . . . , n} na množinu {1, 2, . . . , n}. Toto zobrazení je prosté, protože když jsme v nějakém řádku vybrali prvek z nějakého sloupce, v žádném jiném řádku už prvek z tohoto sloupce vybrat nemůžeme. Je také na, protože z každého sloupce jsme vybrali nějaký prvek. Takže je to zobrazení vzájemně jednoznačné, neboli bijekce množiny {1, 2, . . . , n} na sebe samu, tedy permutace na této množině. To znamená, že každému výběru prvků odpovídá nějaká permutace a naopak také každé permutaci odpovídá výběr. Jak jsme si ukázali v předchozí podkapitole, je permutací na n-prvkové množině n!, tedy i navzájem různých možných výběrů je n!. 4.2.1 Příklad Uvažujme čtvercovou matici A řádu  a11  a21 A=  a31 a41

4. a12 a22 a32 a42

Výběr můžeme provést třeba takto:

1. října 2006

68

a13 a23 a33 a43

 a14 a24   a34  a44


4.2. Determinant matice

69

1. V prvním řádku vybereme prvek a12 , tedy z druhého sloupce, ve druhém řádku a24 , tedy ze čtvrtého sloupce, ve třetím řádku a31 , tedy z prvního sloupce a ve čtvrtém řádku a43 , tedy ze třetího sloupce. Odpovídající permutace je 1 2 3 4 , Π1 = 2 4 1 3 ta má tři inverse, její znaménko sgn Π1 = −1.

2. V prvním řádku vybereme prvek a14 , tedy ze čtvrtého sloupce, ve druhém řádku a21 , tedy z prvního sloupce, ve třetím řádku a33 , tedy ze třetího sloupce a ve čtvrtém řádku a42 , tedy z druhého sloupce. Odpovídající permutace je 1 2 3 4 , Π2 = 4 1 3 2 ta má čtyři inverse, její znaménko sgn Π2 = 1.

3. V prvním řádku vybereme prvek a12 , tedy z druhého sloupce, ve druhém řádku a23 , tedy ze třetího sloupce, ve třetím řádku a34 , tedy ze čtvrtého sloupce a ve čtvrtém řádku a41 , tedy z prvního sloupce. Odpovídající permutace je 1 2 3 4 , Π3 = 2 3 4 1 ta má opět tři inverse a znaménko sgn Π3 = −1.

Celkem bychom mohli najít 4! = 24 různých výběrů. Pokračujme ve výpočtu determinantu. Uděláme všechny možné výběry. U každého z nich vynásobíme vybraná čísla mezi sebou a pak ještě znaménkem odpovídající permutace. Tak v předchozím příkladu 4.2.1 dostáváme v prvním případě součin (−1)·a12 ·a24 ·a31 ·a43 , ve druhém (+1)·a14 ·a21 ·a33 ·a42 a ve třetím (−1)·a12 ·a23 ·a34 ·a41 . Nakonec všechny tyto součiny sečteme a výsledné číslo se nazývá determinant matice. To, co jsme si teď rozebrali, zformulujeme do přesné definice. 4.2.2 Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Determinantem matice A nazveme reálné číslo X det A = sgn Π · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n) , Π∈Sn

kde Sn značí symetrickou  a11 a12  a21 a22  Místo det  . ..  .. . am1

am2

grupu permutací na množině {1, 2, . . . , n}.  a11 . . . a1n  a21 . . . a2n  ..  budeme stručněji psát .. .. . . .  am1 . . . amn

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

am2

. . . amn

.

4.2.3 Příklad Čtvercová matice řádu 1 má jediný člen a11 . Na jednoprvkové množině existuje jediná permutace (identická), její znaménko je 1. Platí tedy, že det (a11 ) = a11 . 4.2.4 Příklad Uvažujme čtvercovou matici řádu 2. V příkladu 4.1.4 jsme si ukázali, že na množině {1, 2} existují dvě permutace: 1 2 1 2 Π1 = , která má znaménko (+1), a Π2 = ), která má znaménko (−1). 1 2 2 1 Potom

a det A = 11 a21

a12 = 1 · a11 · a22 + (−1) · a12 · a21 = a11 · a22 − a12 · a21 a22

4.2.5 Definice Uspořádané n-tici (a11 , a22 , a33 , . . . , ann ) říkáme hlavní diagonála matice, uspořádané n-tici (a1,n , a2,n−1 , . . . , an,1 ) říkáme vedlejší diagonála matice. Anna Kalousová: Úvod do algebry

69

1. října 2006

70


To, co jsme spočítali v příkladu 4.2.4, můžeme také zformulovat takto: Determinant matice řádu 2 je roven rozdílu součinu členů na hlavní diagonále a součinu členů na vedlejší diagonále. 4.2.6 Příklad Uvažujme čtvercovou matici řádu 3. V příkladu 4.1.5 jsme si ukázali, že na množině {1, 2, 3} existuje šest permutací: 1 2 3 1 2 3 Π1 = , sgn Π1 = (+1) Π2 = , sgn Π2 = (−1) 1 2 3 1 3 2 Π3 =

1 2 3 2 1 3

Π5 =

1 2 3 3 1 2

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Potom a11 det A = a21 a31

,

,

sgn Π3 = (−1) sgn Π5 = (+1)

Π4 =

1 2 3 2 3 1

,

sgn Π4 = (+1)

Π6 =

1 2 3 3 2 1

,

sgn Π6 = (−1)

= (a11 ·a22 ·a33 +a12 ·a23 ·a31 +a13 ·a21 ·a32 )−(a11 ·a23 ·a32 +a12 ·a21 ·a33 +a13 ·a22 ·a31 )

4.2.7 Poznámka Přidejme k matici A další dva řádky tak, že zopakujeme řádek první a druhý. Potom součiny s kladným znaménkem (ty, které přičítáme) jsou „ve směru hlavní diagonály,ÿ součiny se záporným znaménkem (ty, které odečítáme) jsou „ve směru vedlejší diagonályÿ.     a11 a12 a13 a11 a12 a13          a21   a22 a23  a22 a23    a21             kladné: a32 a33  záporné: a32 a33   a31  a31           a11   a12 a13  a12 a13    a11      a21 a22 a23 a21 a22 a23

Podobně můžeme k matici A přidat dva další sloupce (opět první a druhý). Součiny s kladným znaménkem jsou opět ty „ve směru hlavní diagonály,ÿ součiny se záporným znaménkem ty „ve směru vedlejší diagonályÿ. 

a11

   a21   a31

a12

a13

a22

a12

a23

a32

a11 a21

a33

a22

a31

a32





    

a11

   a21   a31

a12

a13

a22

a23

a32

a11

a12

a21

a22

a31

a32

a33

     

To, co jsme spočítali v příkladu 4.2.6, můžeme zformulovat takto: Determinant matice řádu 3 spočítáme tak, že vynásobíme členy ve směru hlavní diagonály a sečteme je. Od nich pak odečteme součet součinů členů ve směru vedlejší diagonály. Tento způsob výpočtu nazýváme Sarrusovo pravidlo. 4.2.8 Poznámka Analogie Sarrusova pravidla pro matice řádu většího než tři by byla příliš složitá. Kdybychom třeba pro matici čtvrtého řádu chtěli vzít součiny ve směru hlavní diagonály a ve směru vedlejší diagonály, bylo by jich celkem osm. Všech permutací na {1, 2, 3, 4} je ale 4! = 24. Zbylé výběry nejsou ani ve směru hlavní ani ve směru vedlejší diagonály. Pro výpočet determinantu matic vyšších řádů používáme jiné způsoby, které si ukážeme v dalších podkapitolách. Přímo z definice se dají spočítat determinanty „řídkýchÿ matic, tedy takových, které obsahují hodně nul. Není to případ pro praxi příliš použitelný, ale pro ilustraci definice si ho ukážeme v následujícím příkladu. 1. října 2006

70


4.2. Determinant matice

71

4.2.9 Příklad Spočtěte determinant matice  1 0 −1 0  1 1 0 1   A=  1 −1 1 0  0 0 1 −1 

Tato matice obsahuje hodně nul. Vybereme-li v nějakém řádku číslo 0, bude součin vybraných čísel roven 0, v součtu se tedy neprojeví. Zajímají nás proto pouze ty výběry, kdy jsou všechna vybraná čísla nenulová. Jsou možné čtyři takové výběry: 1. výběr 1.řádek 2.řádek 3.řádek 4.řádek

. . . 1. . . . 2. . . . 3. . . . 4.

sloupec sloupec sloupec sloupec

. . . číslo . . . číslo . . . číslo . . . číslo

1 1 1 -1 1 2 3 4 , její znaménko je +1, odpovídající součin je Odpovídající permutace je Π1 = 1 2 3 4 (+1) · 1 · 1 · 1 · (−1) = −1.

2. výběr 1.řádek 2.řádek 3.řádek 4.řádek

. . . 1. . . . 4. . . . 2. . . . 3.



1 1 -1 1 1 2 3 4 Odpovídající permutace je Π2 = , její znaménko je +1, odpovídající součin je 1 4 2 3 (+1) · 1 · 1 · (−1) · 1 = −1.


. . . 3. . . . 1. . . . 2. . . . 4.



-1 1 -1 -1 1 2 3 4 Odpovídající permutace je Π3 = , její znaménko je +1, odpovídající součin je 3 1 2 4 (+1) · (−1) · 1 · (−1) · (−1) = −1.


. . . 3. . . . 2. . . . 1. . . . 4.



-1 1 1 -1 1 2 3 4 Odpovídající permutace je Π4 = , její znaménko je −1, odpovídající součin je 3 2 1 4 (−1) · (−1) · 1 · 1 · (−1) = −1.

Determinant matice A je roven součtu těchto čtyř součinů (jak už bylo dříve uvedeno, jsou ostatní nulové), tedy det A = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −4. 4.2.10 Definice Čtvercovou matici A nazveme regulární, pokud det A 6= 0. V opačném případě, tj. když det A = 0, nazveme matici A singulární. Anna Kalousová: Úvod do algebry

71

1. října 2006

72


4.2.11 Příklady Rozhodněte, zda je matice A regulární. 1.

 1 2 −1 1  A =  −1 0 2 1 −1 1 2 −1 1 = (0 + 1 + 4) − (0 + 1 + 2) = 5 − 3 = 2 det A = −1 0 2 1 −1 

MaticeA je regulární. 2.

 1 2 −2 1 −1  A= 2 1 −1 1 1 2 −2 1 −1 = (1 + 4 − 2) − (−2 + 1 + 4) = 3 − 3 = 0 det A = 2 1 −1 1 

Matice A je singulární.

4.2.12 Příklady Rozhodněte, pro jaké hodnoty reálného parametru α je matice A regulární. 1.

 1 1 α A =  −1 α + 1 α + 2  1 α −1 1 1 α −1 α + 1 α + 2 = (−α − 1 − α2 + α + 2) − (α2 + α + α2 + 2α + 1) = 1 α −1 

det A =

= (−α2 + 1) − (2α2 + 3α + 1) = −3α2 − 3α = −3α(α + 1)

Determinant matice A je roven nule pro α = 0 a pro α = −1. Matice A je regulární, jestliže α ∈ R\{0, −1}. 2.

 α+1 α α+1 2α 2α − 1 α − 1  A= 2 1 2 

α+1 α α+1 det A = 2α 2α − 1 α − 1 2 1 2

= (4α2 +2α2−2+2α2 +2α+2α2−2α2)−(4α2 +2α2−2+α2 −1+4α2 ) =

= (8α2 + 2α2 − 2) − (9α2 + 2α2 − 3) = −α2 + 1

Determinant matice A je roven nule pro α = 1 a pro α = −1. Matice A je regulární, jestliže α ∈ R\{1, −1}.

4.3

Vlastnosti determinantů

4.3.1 Tvrzení Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom det A = det AT Důkaz. Vyberme v matici A členy a1Π(1) , . . . , anΠ(n) . V matici AT tomu odpovídá výběr aΠ(1)1 , . . . , aΠ(n)n , neboli a1Π−1 (1) , . . . , anΠ−1 (n) . Protože sgn Π = sgn Π−1 (podle 4.1.18), je zřejmě X X det A = sgn Π · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n) = sgn Π−1 · a1Π−1 (1) · a2Π−1 (2) · · · anΠ−1 (n) = det AT Π∈Sn

Π∈Sn

-,

1. října 2006

72


4.3. Vlastnosti determinantů

73

4.3.2 Tvrzení Nechť matice B vznikne ze čtvercové matice A tak, že její řádky napíšeme v jiném pořadí, tedy provedeme permutaci ϕ řádků matice A. Potom det B = sgn ϕ · det A. Důkaz. Uvažujme nějaký výběr a1Π(1) , . . . , anΠ(n) v matici A, tomu odpovídá permutace Π. Chceme-li tytéž prvky vybrat v matici B, odpovídá tomuto výběru permutace Π · ϕ−1 . Proto X X sgn Π · sgn ϕ−1 · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n) , sgn(Π · ϕ−1 ) · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n) = det B = Π∈Sn

Π∈Sn

neboť podle věty 4.1.26 je sgn(Π·ϕ−1 ) = sgn Π·sgn ϕ−1 . Z každého sčítance můžeme vytknout sgn ϕ−1 a protože sgn ϕ−1 = sgn ϕ, dostaneme X det B = sgn ϕ−1 · sgn Π · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n) = sgn ϕ−1 · det A = sgn ϕ · det A. Π∈Sn

-,

4.3.3 Pozorování Nechť čtvercová matice A má stejné dva řádky. Potom det A = 0. Důkaz. Nechť jsou stejné řádky i-tý a k-tý. Uvažujme matici B, která vznikne z A přehozením těchto dvou řádků. Zřejmě A = B a tedy det A = det B. Podle předchozího tvrzení 4.3.2 ale platí, že det B = (−1) · det A, protože přehození i-tého a k-tého řádku odpovídá transpozice Tik , která má znaménko (-1). Platí tedy, že det A = − det A, což je možné pouze v případě, že det A = 0.

-,

4.3.4 Pozorování Nechť matice B vznikne z čtvercové matice A vynásobením i-tého řádku reálným číslem α. Potom det B = α · det A. Důkaz. Vyberme z každého řádku a každého sloupce matice B právě jeden prvek. Nechť to jsou třeba prvky b1,Π(1) , b2,Π(2) , . . . , bi,Π(i) , . . . , bnΠ(n) ,

kde bj,Π(j) = aj,Π(j)

pro j 6= i

a bi,Π(i) = α · ai,Π(i) .

Když vybraná čísla mezi sebou vynásobíme, můžeme z každého takového součinu vytknout číslo α. Je tedy X X sgn Π · a1Π(1) · a2Π(2) · · · α · aiΠ(i) · · · anΠ(n) = sgn Π · b1Π(1) · b2Π(2) · · · biΠ(i) · · · bnΠ(n) = det B = Π∈Sn

Π∈Sn

=α·

X

Π∈Sn

sgn Π · a1Π(1) · a2Π(2) · · · aiΠ(i) · · · anΠ(n) = α · det A. -,

4.3.5 Pozorování Nechť je v matici A i-tý řádek α-násobkem k-tého řádku. Potom det A = 0. Anna Kalousová: Úvod do algebry

73

1. října 2006

74


Důkaz. Tvrzení je přímým důsledkem předchozích dvou pozorování. „Vytkneme-liÿ z i-tého řádku konstantu α, získáme matici, která má stejné dva řádky a jejíž determinant je roven nule. Determinant matice A je αnásobkem tohoto determinantu, tedy opět nulový. -, Podle tvrzení 4.3.1 můžeme matici transponovat, aniž se změní determinat, získáváme tak analogická tvrzení i pro sloupce matice. 4.3.6 Tvrzení Nechť matice B vznikne ze čtvercové matice A tak, že její sloupce napíšeme v jiném pořadí, tedy proveďme permutaci ϕ sloupců matice A. Potom det B = sgn ϕ · det A. 4.3.7 Pozorování Nechť čtvercová matice A má stejné dva sloupce. Potom det A = 0. 4.3.8 Pozorování Nechť matice B vznikne z čtvercové matice A vynásobením i-tého sloupce reálným číslem α. Potom det B = α · det A. 4.3.9 Pozorování Nechť je v matici A i-tý sloupec α-násobkem k-tého sloupce. Potom det A = 0. þ

Nyní uvedeme větu, která vystihuje důležitý vztah mezi determinanty a násobením matic. Říká totiž, že determinant součinu matic je roven součinu determinantů těchto matic. Důkaz této věty většinou využívá toho, že determinant je vlastně multilineární forma řádků nebo sloupců matice. Ovšem pojem multilineární formy není úplně jednoduchý a také není v osnovách tohoto předmětu. Důkaz lze také (např. ??, ??) provést tak, že se obě matice upraví na horní trojúhelníkové, jejich součinem je pak opět horní trujúhelníková matice a využije se toho, že determinant takovýchto matic je roven součinu členů na hlavní diagonále. Musí se ovšem použít úpravy, které nemění determinant, a ukázat, které to jsou. V těchto skriptech bych ale pro důkaz toho, co se děje s determinantem při řádkových či sloupcových úpravách, chtěla použít právě tato větu. Dostala bych se tedy při dokazování do kruhu. Proto jsem hledala nějaký jiný důkaz. V již uvedeném (Zahradník) jsem našla důkaz který nepotřebuje definovat nové pojmy a nepoužívá řádkové úpravy matic. Ale není jednoduchý. V té knize je asi na jednu a půl stránky formátu A5, tedy hodně zahuštěný. Trochu jsem ho „rozžvýkalaÿ, aby byl pro čtenáře stravitelnější. Přesto je jen pro velmi odvážné. A i ti ho možná zdolají až po několikerém přečtení. Je tady také dobře vidět úloha pomocných tvrzení, tedy lemmat. Nejprve dokážeme čtyři lemmata (a důkazy nebudou úplně jednoduché) a potom s jejich pomocí (snadno) dokážeme větu. Zasvěcenější čtenáři si možná všimnou, že důkaz vlastně využívá toho, že determinant je multilineární forma, ale explicitně se to tam neříká.

Nejprve si všimněme, že každou matici A můžeme zapsat jako „ jakousiÿ správně uzávorkovanou „sumuÿ matic, které mají v každém řádku nejvýše jednu nenulu (ve sloupcích mohou mít nenulových členů i víc). Ta případná nenula je vždy rovna číslu, které je na téže pozici v matici A. „Sčítatÿ budeme matice, které se liší nejvýše v jednom řádku. „Součetÿ takovýchto matic pak bude roven matici, která na tom řádku, ve kterém se matice liší, bude mít součet odpovídajících řádků, ostatní řádky se nemění, to znamená, že jsou pro všechny tři matice (oba „sčítanceÿ i jejich „součetÿ) stejné. Protože se tedy nejedná o „obvykléÿ sčítání, nebudeme je značit znaménkem +, ale znaménkem ⊕. 4.3.10 Příklad

     2 2 5 1 0 2 1 2 3  1 0 2 ⊕ 1 0 2 = 1 0 2  2 1 1 2 1 1 2 1 1 

Matice se lišily pouze v prvním řádku, tam jsme jejich členy sečetli, v ostatních řádcích jsme jen opsali členy těchto řádků. 4.3.11 Poznámka Všímavý čtenář se jistě zeptá, jak budeme sčítat matice, které se od sebe vůbec neliší, to znamená matici A se sebou samotnou. Které řádky vybereme, abychom je sečetli? V tomto případě definujeme jako „součetÿ opět matici A. Tedy A ⊕ A = A. 4.3.12 Lemma Nechť ϕ je libovolné (tedy ne nutně vzájemně jednoznačné) zobrazení množiny {1, 2, . . . , n} do množiny {1, 2, . . . , n}. Označme Aϕ matici, která má na pozicích (i, ϕ(i)) odpovídající prvky matice A, tedy ai,ϕ(i) a na ostatních pozicích nuly. Potom (při vhodném uzávorkování) platí, že M A= Aϕ , L P kde má stejný význam jako pro „normálníÿ sčítání. 1. října 2006

74



75

Důkaz. Než přikročíme k důkazu lemmatu, ilustrujeme si je na dvou příkladech. Uvažujme čvercovou matici řádu dvě. Nejprve „rozepíšemeÿ její první řádek tak, že v každé matici bude jedna nula a jedno číslo z odpovídající pozice v púvodní matici, potom v každé z těchto matic „rozepíšemeÿ ještě druhý řádek. Máme tedy

A=

a b c d

=

a 0 c d

⊕

0 b c d

=

a 0 c 0

⊕

a 0 0 d

⊕

Uvažujme nyní čtvercovou matici řádu tři. Opět nejprve „rozepíšemeÿ první        a b c a 0 0 0 b 0 0  d e f = d e f ⊕ d e f ⊕ d g h i g h i g h i g Potom „rozepíšemeÿ druhý  a 0  d e g h A nakonec „rozepíšemeÿ  a  d g

0 b c 0

⊕

0 b 0 d

.

řádek.  0 c e f  h i

řádek. Uvedeme to jen pro první matici, druhé dvě se rozepíší analogicky.        a 0 0 a 0 0 a 0 0 0 f = d 0 0 ⊕ 0 e 0 ⊕ 0 0 f  g h i g h i g h i i

třetí řádek, což opět   a 0 0 0 0 0 = d 0 g 0 h i

uvedeme pouze   a 0 0 0 ⊕ d 0 0 h 0

pro první matici.    a 0 0 0 0 ⊕ d 0 0  0 0 i 0

Nyní je už zřejmé, jak budeme postupovat v obecném případě. Ve čtvercové matici řádu n nejprve „rozepíšemeÿ první řádek, dostaneme n matic, které se liší pouze v prvním řádku, kde mají samé nuly kromě jedné pozice, kde je prvek z odpovídající pozice matice A. V každé z těchto matic pak „rozepíšemeÿ druhý řádek, získáme n · n matic, které se liší pouze v prvních dvou řádcích, mají v každém z nich samé nuly kromě jedné pozice, kde mají prvek z odpovídající pozice matice A. Podobně postupujeme v dalších řádcích, až dostaneme požadovaný rozklad. Ten bude mít nn sčítanců. -,

4.3.13 Lemma Nechť A a B jsou čtvercové matice řádu n a platí, že A = A·B=

M

(Aϕ · B).

L

Aϕ . Potom

Důkaz. Důkaz vlastně stačí provést pouze pro případ „ jednotlivých závorekÿ, tedy C = C 1 ⊕ C2 ⊕ . . . ⊕ Cn , kde Cj jsou matice, které se od matice C liší pouze v jednom řádku (třeba i-tém), kde mají na pozici (i, j) prvek ci,j a jinde nuly. Přes jednotlivé „úrovněÿ se pak dostaneme až k dokazovanému vztahu. Ilustrujme si to opět na příkladu čtvercové matice řádu tři. Mějme matice, které se liší jen v jednom řádku (třeba prvním), kde mají samé nuly kromě jedné pozice. Máme tedy         a b c a 0 0 0 b 0 0 0 c  d e f = d e f ⊕ d e f ⊕ d e f  g h i g h i g h i g h i Uvažujme matici



r s B= u v x y

Platí   r s a b c C·B= d e f · u v x y g h i 


 t w . z

  ar + bu + cx as + bv + cy t w  =  dr + eu + f x ds + ev + f y gr + hu + ix gs + hv + iy z 75

 at + bw + cz dt + ew + f z  gt + hw + iz 1. října 2006

76


Vynásobme maticí B i jednotlivé sčítance. Dostáváme       a 0 0 r s t ar as at C1 · B =  d e f  ·  u v w  =  dr + eu + f x ds + ev + f y dt + ew + f z  g h i x y z gr + hu + ix gs + hv + iy gt + hw + iz   r s 0 b 0 C2 · B =  d e f  ·  u v x y g h i    0 0 c r s C3 · B =  d e f  ·  u v g h i x y 

  t w = z   t w = z

bu bv dr + eu + f x ds + ev + f y gr + hu + ix gs + hv + iy cx cy dr + eu + f x ds + ev + f y gr + hu + ix gs + hv + iy

 bw dt + ew + f z  gt + hw + iz  cz dt + ew + f z  gt + hw + iz

Zřejmě mají všechny čtyři matice stejné druhé a třetí řádky a součet prvních řádků „rozloženýchÿ matic je roven prvnímu řádku „nerozloženéÿ matice. Zřejmě platí C · B = C1 · B ⊕ C2 · B ⊕ C3 · B

Analogicky můžeme postupovat v obecném případě. Nechť C = C1 ⊕ C2 ⊕ . . . ⊕ Cn , kde Cj jsou matice, které se od matice C liší pouze v jednom řádku (třeba i-tém), kde mají na pozici (i, j) prvek c i,j a jinde nuly. Nechť B je libovolná čtvercová matice řádu n. Matice C · B a Cj · B mají stejné řádky kromě i-tého, kde jsou v maticích Cj · B aij -násobky j-tého řádku matice B a v matici C · B je součet těchto čísel. Platí tedy, že M C·B= (Cj · B).

-,

4.3.14 Lemma Nechť B je libovolná čtvercová matice řádu n, Aϕ matice, která má nuly na všech pozicích kromě pozic (i, ϕ(i)) pro i = 1, 2, . . . , n. Potom platí, že det (Aϕ · B) = det Aϕ · det B. Důkaz. Podívejme se zase nejprve na příklad čtvercových matic třetího řádu. 1. Uvažujme třeba matice  0 m 0 Aϕ =  n 0 0  0 0 p 

Platí

Zřejmě



 a b c a B =  d e f . g h i

     md me mf a b c 0 m 0 Aϕ · B =  n 0 0  ·  d e f  =  na nb nc  pg ph pi g h i 0 0 p 

md me mf d e f a b c det(Aϕ · B) = na nb nc = m · n · p · a b c = −m · n · p · d e f = det Aϕ · det B. pg ph g h i g h i pi

Při výpočtu jsme nejprve z prvního řádku vytkli číslo m, z druhého řádku n a ze třetího p (využili jsme pozorování 4.3.4), potom jsme přehodili první a druhý řádek matice, čímž se změnilo znaménko determinantu (podle tvrzení 4.3.2). To, že det Aϕ = −m · n · p, je zřejmé. 2. Uvažujme ještě případ  0 m 0 Aϕ =  n 0 0  p 0 0 

1. října 2006

76

 a b c a B =  d e f . g h i 



Potom

77

md me mf a b c det(Aϕ · B) = na nb nc = 0 = 0 · d e f = det Aϕ · det B pa pb g h i pc

Protože třetí řádek matice Aϕ je np -násobkem druhého řádku této matice (pokud n 6= 0), je det Aϕ = 0 (podle pozorování 4.3.5). Podobně je třetí řádek matice Aϕ · B np -násobkem druhého řádku této matice, a proto je det Aϕ · B = 0.

Pokud n = 0, je druhý řádek v matici Aϕ i v matici Aϕ · B nulový, proto det Aϕ = 0 a det Aϕ · B = 0.

V obecném případě v i-tém řádku matice Aϕ · B je ai,ϕ(i) -násobek ϕ(i)-tého řádku matice B. Pokud žádný z řádků matice Aϕ není násobkem jiného řádku této matice, je det Aϕ roven součinu a1,ϕ(1) · a2,ϕ(2) · · · an,ϕ(n) vynásobeným znaménkem odpovídající permutace, kterou je zobrazení ϕ. Platí det Aϕ · det B = sgn ϕ · a1,ϕ(1) · a2,ϕ(2) · · · an,ϕ(n) · det B.

Při výpočtu det Aϕ · B vytkneme z každého řádku číslo ai,ϕ(i) . Zbude matice, která má stejné řádky jako matice B, jen zapsané v jiném pořadí. To opět odpovídá permutaci ϕ. Platí tedy det(Aϕ · B) = a1,ϕ(1) · a2,ϕ(2) · · · an,ϕ(n) · sgn ϕ · det B.

Pokud je některý řádek matice Aϕ násobkem jiného řádku této matice, platí totéž pro řádky matice Aϕ · B. Potom je det Aϕ · det B = 0 · det B = 0 a det(Aϕ · B) = 0. V obou případech tedy platí, že det Aϕ · det B = det(Aϕ · B), což jsme chtěli dokázat.

-,

4.3.15 Lemma Nechť A a B jsou čtvercové matice, které se liší jen v jednom řádku. Potom det (A ⊕ B) = det A + det B.

Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že se matice liší v prvním řádku. Permutaci Π odpovídají tyto „výběryÿ: 1. pro matici A je to a1,Π(1) , a2,Π(2) , . . . , an,Π(n) 2. pro matici B je to b1,Π(1) , a2,Π(2) , . . . , an,Π(n) 3. pro matici A ⊕ B je to (a + b)1,Π(1) , a2,Π(2) . . . , an,Π(n)

Protože

je zřejmě

a1,Π(1) · a2,Π(2) · · · an,Π(n) + b1,Π(1) · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = (a + b)1,Π(1) · a2,Π(2) · · · an,Π(n) , det (A ⊕ B) = det A + det B.

Nyní máme všechno připraveno pro důkaz věty. Jak bylo výše uvedeno, bude již velmi jednoduchý.

-,

4.3.16 Věta Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n. Potom platí: det(A · B) = det A · det B

Důkaz. det(A · B) = det

M X X Aϕ · B = (det Aϕ · B) = (det Aϕ · det B) = Aϕ · B = det X M = det Aϕ · det B = det Aϕ · det B = det A · det B

M

U první a poslední rovnosti jsme použili lemma 4.3.12, u druhé rovnosti lemma 4.3.13, u třetí a předposlední lemma 4.3.15, u čtvrté lemma 4.3.14 a u páté jsme pracovali jen s reálnými čísly a využili jsme distributivity násobení vzhledem ke sčítání. -,


77

1. října 2006

78

4.4


Výpočet determinantu

V úvodní části jsme si slíbili, že se naučíme počítat determinanty větších matic. Budeme uvažovat matice alespoň druhého řádu. Uvedeme si dva způsoby. První vychází z toho, že determinant trojúhelníkové matice je roven součinu členů na hlavní diagonále. Upravíme tedy matici na trojúhelníkovou a zachytíme změny determinantu, ke kterým při tom došlo. Druhý způsob je výpočet determinantu rozvojem podle nějakého řádku nebo sloupce. 4.4.1 Tvrzení Determinant trojúhelníkové (horní či dolní) matice je roven součinu členů na hlavní diagonále. Důkaz. Tvrzení stačí dokázat pouze pro horní trojúhelníkovou matici, protože matice transponovaná k dolní trojúhelníkové je matice horní trojúhelníková. Jejich determinanty se sobě rovnají podle tvrzení 4.3.1. Mějme tedy horní trojúhelníkovou matici A. Vybírejme z každého řádku a z každého sloupce právě jeden prvek. Vybereme-li nulu, je součin vybraných prvků roven nule a ve výsledném součtu se neprojeví. Vybírejme tedy jen (potenciálně) nenulové prvky. V posledním řádku musíme vybrat prvek a nn , protože všechny ostatní jsou rovny nule. Tím už máme vybrán prvek z posledního sloupce a v žádném dalším řádku prvek z posledního sloupce vybrat nemůžeme. V předposledním řádku jsou všechny prvky kroumě předposledního a posledního nulové. Ten poslední už vybrat nemůžeme, musíme tedy vybrat prvek an−1n−1 . Podobně postupujeme v dalších řádcích, zřejmě vždy musíme vybrat prvek na hlavní diagonále. Všechny ostatní výběry obsahují aspoň jednu nulu, součin prvků je proto nulový. Permutce odpovídající výběru prvků na hlavní diagonále je identická, proto je její znaménko +1. Determinant této matice je tedy roven součinu členů na hlavní diagonále. -, V předchozí kapitole jsme si ukázali, že každou čtvercovou matici můžeme upravit pomocí elementárních řádkových úprav na horní trojúhelníkovou matici. Podle předchozího tvrzení víme, že je potom snadné spočítat determinant. Nezmění se ale determinant při řádkových úpravách? Podle tvrzení 3.3.14 víme, že elementární řádkové úpravy můžeme nahradit násobením zleva vhodnou elementární transformační maticí. Podle věty 4.3.16 platí, že determinant součinu matic je roven součinu determinatů matic. Mějme tedy matici A a proveďme nějakou řádkovou úpravu, tj. vynásobme ji zleva maticí T. Tím získáme matici B. Platí det B = det(T · A) = det T · det A Změna, ke které došlo, je vyjádřena determinantem transformační matice. Stačí nám tedy znát determinanty jednotlivých transformačních matic. 4.4.2 Tvrzení Nechť matice T vznikla z jednotkové přehozením i-tého a j-tého řádku. Potom det T = −1. Důkaz. Tvrzení je přímým důsledkem tvrzení 4.3.2, kde je permutací ϕ transpozice Tij . Ta má znaménko (−1), determinant jednotkové matice je roven jedné. Odtud již dostáváme požadované tvrzení. -,

4.4.3 Tvrzení Nechť matice T vznikla z jednotkové vynásobením i-tého řádku nenulovým reálným číslem α. Potom det T = α. Důkaz. Počítáme vlastně determinant diagonální matice, která má v i-tém řádku číslo α a v ostatních jedničky. Součin členů na hlavní diagonále je roven α. -,

4.4.4 Tvrzení Nechť matice T vznikla z jednotkové přičtením α-násobku i-tého řádku k j-tému řádku. Potom det T = 1. Důkaz. Tato transformační matice se od jednotkové liší jen v j-tém řádku, kde má na pozici (j, i) číslo α. Přesto jediný výběr prvků, jejichž součin nebude roven nule, je výběr členů na hlavní diagonále. Kdybychom totiž vybrali v j-tém řádku číslo α, které je v i-tém sloupci, museli bychom v i-tém řádku vybrat nějakou nulu. Součin členů na hlavní diagonále je roven jedné. -,

1. října 2006

78


4.4. Výpočet determinantu

79

4.4.5 Příklad Znázorněme si to na příkladu. Mějme čtvercovou matici řádu 4, která vznikla z jednotkové přičtením dvojnásobku třetího řádku ke druhému řádku. Tedy   1 0 0 0  0 1 2 0   T=  0 0 1 0 . 0 0 0 1

Jeden možný nenulový výběr je vybrat prvky na hlavní diagonále. Je také jediný, protože kdybychom ve druhém řádku vybrali číslo 2, nesměli bychom už ve třetím řádku vybrat ve třetím sloupci jedničku (ze třetího sloupce jsme už vybírali), ale museli bychom vybrat nějaký prvek z jiného sloupce, no a to jsou všechno jen nuly. Součin vybraných prvků by tedy byl roven nule. Protože sloupcovým úpravám odpovídá násobení elementárními transformačními maticemi zprava, můžeme vše shrnout do následující věty. 4.4.6 Věta Změny determinantu při elementárních úpravách. 1. Nechť matice B vznikla z matice A přehozením i-tého a j-tého řádku nebo sloupce. Potom det B = (−1) · det A,

tedy

det A = − det B.

2. Nechť matice B vznikla z matice A vynásobením i-tého řádku nebo sloupce nenulovým reálným čílem α. Potom 1 det B = α · det A, tedy det A = · det B. α 3. Nechť matice B vznikla z matice A přičtením α-násobku i-tého řádku k j-tému řádku nebo α-násobku i-tého sloupce k j-tému sloupci. Potom det B = det A. Počítáme-li determinant matice tímto způsobem, musíme zachytit všechny změny, ke kterým cestou došlo. Není proto rozumné nejprve matici upravovat (se znakem ∼), potom spočítat součin členů na hlavní diagonále a nakonec přemýšlet, jestli náhodou nedošlo k nějaké změně. Rozumnější je počítat přímo determinant a změny v něm rovnou zachytit. 4.4.7 Příklady Spočtěte determinant matice A, jestliže 1.

 0 2 2 1  A =  −2 1 2 1 −1 

a11 = 0, proto přehodíme první a druhý řádek, tomu odpovídá změna znaménka determinantu. Potom ke třetímu řádku přičteme ten nový první řádek, determinant se nezmění. Nakonec od třetího řádku odečteme druhý. To opět determinant nezmění. Je tedy −2 1 −2 1 1 −2 1 0 2 1 1 2 −2 1 2 = −(−2) · 2 · (−2) = −8 2 = − 0 2 2 = − 0 2 1 = − 0 2 0 0 −2 0 2 0 2 1 −1 2 1 −1 Ke stejnému výsledku dojdeme, když použijeme Sarrusovo pravidlo.

2.

 3 −3 −1 0  −2 2 2 1   A=  2 1 1 −1  3 1 −1 0 

K prvnímu řádku přičteme nejprve druhý řádek (žádná změna). K druhému řádku přičteme dvojnásobek prvního řádku, od třetího odečteme dvojnásobek prvního řádku a od čtvrtého odečteme trojnásobek Anna Kalousová: Úvod do algebry

79

1. října 2006

80


prvního řádku. Tím se opět determinant nezmění. Máme „vynulovanýÿ první sloupec. Potom od čtvrtého řádku odečteme třetí. Pak přehodíme druhý a čtvrtý řádek (změna znaménka) a nakonec od třetího řádku odečteme trojnásobek druhého řádku. Tím máme „vynulovanýÿ druhý sloupec. Přehodíme ještě třetí a čtvrtý řádek (opět změna znaménka) a potom od čtvrtého řádku odečteme dvojnásobek třetího řádku (žádná změna). 3 −3 −1 1 1 0 1 −1 −2 2 2 1 2 2 1 −2 = = 2 1 1 −1 1 1 −1 2 3 1 −1 0 1 −1 0 3 = −

3.

1 −1 1 1 0 1 −3 0 = + 0 0 8 −3 0 0 4 3

1 −1 1 1 0 0 4 3 0 3 −1 −3 0 4 −4 −3 1 −1 1 1 0 1 −3 0 0 0 4 3 0 0 0 −9

 1 2 −1 0  2 1 1 −1   A=  −1 1 −2 2  −2 −1 −1 4 

=

1 −1 1 1 0 0 4 3 = 0 3 −1 −3 0 1 −3 0

= −36

Od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku, ke třetímu první řádek přičteme a ke čtvrtému přičteme dvojnásobek prvního řádku (žádná změna). Ke třetímu a čtvrtému řádku přičteme druhý řádek (opět žádná změna). 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 2 1 1 −1 0 −3 3 −1 0 −3 3 −1 = = =0 −1 1 −2 2 0 3 −3 2 0 0 0 1 −2 −1 −1 4 0 3 −3 4 0 0 0 3

Dalším způsobem výpočtu determinantu matic vyšších řádů je rozvoj podle řádku nebo sloupce. Nejprve zase musíme nadefinovat nějaké pojmy. 4.4.8 Definice Nechť A = aij je čtvercová matice řádu n ≥ 2. Doplňkem matice A příslušným pozici (i,j) je číslo Dij = (−1)i+j · det Aij , kde Aij je matice, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. 4.4.9 Příklad Mějme matici  0 2 2 1 . A =  −2 1 2 1 −1 

Potom například 1 1 D11 = (−1)2 · 1 −1

= −2,

−2 1 D12 = (−1)3 · 2 −1

= 0,

0 2 = −(−4) = 4. D23 = (−1)5 · 2 1

4.4.10 Věta (o rozvoji determinantu podle i-tého řádku:) a11 a12 . . . a1n n a21 a22 . . . a2n X = ai1 · Di1 + ai2 · Di2 + · · · + ain · Din = aij · Dij . .. .. . . .. .. . . j=1 an1 an2 . . . ann

1. října 2006

80



81

Důkaz. Položme nejprve i = 1 (rozvoj podle prvního řádku). Vyjdeme z definice determinantu X det A = sgn Π · a1,Π(1) · a2,Π(2) · · · an,Π(n) Π∈Sn

a permutace z množiny Sn rozdělíme do n skupin podle toho, co přiřazují číslu 1. Mějme Sn,1 množinu permutací Π, pro které Π(1) = 1, . . . , Sn,j množinu permutací Π, pro které Π(1) = j, . . . , Sn,n množinu permutací Π, pro které Π(1) = n. Potom můžeme psát X X det A = sgn Π · a1,1 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) + · · · + sgn Π · a1,n · a2,Π(2) · · · an,Π(n) Π∈Sn,1

Π∈Sn,n

Uvažujme nejprve permutace z množiny Sn,1 , tedy takové, pro které je Π(1) = 1. Každé takové permutaci můžeme přiřadit permutaci Π0 na množině {2, 3, . . . , n} definovanou tak, že pouze „vynechámeÿ první prvek. Tak například permutaci 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 . přiřadíme permutaci Π = Π= 4 5 3 6 2 1 4 5 3 6 2 Obě tyto permutace mají vždy stejný počet inversí. Přiřazení je vzájemně jednoznačné. Označíme-li S n0 množinu všech permutací na množině {2, 3, . . . , n}, můžeme psát, že X X sgn Π · a1,1 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a1,1 · sgn Π0 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a11 · det A11 = a11 · D11 . Π∈Sn,1

0 Π0 ∈Sn

Uvažujme nyní permutace z množiny Sn,2 , tedy ty, pro které je Π(1) = 2. Budeme to chtít převést na předchozí případ, potřebujeme tedy přehodit první dva sloupce. Hledáme permutaci Π? , která po vynásobení zleva transpozicí T1,2 dá permutaci Π. Musíme tedy permutaci Π vynásobit inversní permutací k T1,2 , což je opět T1,2 . Pro permutaci Π? platí, že Π? (1) = 1, Π? (Π−1 (1)) = Π(2) a Π? (j) = Π(j) pro všechna ostatní j. Této permutaci můžeme přiřadit permutaci Π0 jako v předchozím případě. To odpovídá vynechání prvního sloupce upravené matice, tedy druhého sloupce matice původní. Tak například pro permutaci 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 Π= máme Π? = a Π0 = . 2 4 6 5 3 1 1 4 6 5 3 2 4 6 5 3 2 Permutace Π? a Π0 mají opět stejný počet inversí a tedy stejné znaménko, permutace Π? má o jednu inversi méně než Π, proto má opačné znaménko. Opět můžeme psát, že X X sgn Π · a1,2 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a1,2 · sgn Π0 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a12 · (− det A12 ) = a12 · D12 . 0 Π0 ∈Sn

Π∈Sn,2

Analogicky postupujeme dále. Pro permutaci Π z množiny Sn,j zase hledáme permutaci Π? , která po vynásobení zleva součinem transpozic T1,j · T1,2 · · · Tj−3,j−2 · Tj−2,j−1 dá permutaci Π. Tomu odpovídá, že napíšeme sloupce v pořadí j-tý, první, druhý,. . . , (j − 1)-ní, (j + 1)-ní,. . . , n-tý. Dostaneme ji tak, že permutaci Π násobíme inversní permutací k tomu součinu, tedy vlastně těmi transpozicemi v opačném pořadí. Protože jsme násobili (j − 1) transpozicemi, dojde ke změně znaménka pouze v případě, že j je sudé. Permutaci Π ? opět přiřadíme permutaci Π0 (stejné znaménko jako Π? ) a můžeme psát, že X X sgn Π0 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a1j · (−1)j−1 det A1j ) = sgn Π · a1,j · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a1,j · 0 Π0 ∈Sn

Π∈Sn,j

= a1j · (−1)j+1 det A1j ) = a1j · D1j .

Máme tedy det A =

X

Π∈Sn,1

sgn Π · a1,1 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) + · · · +

X

Π∈Sn,n

sgn Π · a1,n · a2,Π(2) · · · an,Π(n) =

= a11 · D11 + a12 · D12 + · · · + a1n · D1n Anna Kalousová: Úvod do algebry

81

1. října 2006

82


Chceme-li rozvíjet podle i-tého řádku, nejprve řádky napíšeme v pořadí i-tý, první, druhý, . . . , (i − 1)-ní, (i + 1)-ní,. . . , n-tý a tím to převedeme na předchozí případ. To znamená, že tentokrát budeme odpovídajícími transpozicemi násobit zprava (celkem (i − 1) transpozic). Každý člen rozvoje proto musíme násobit (−1) i−1 . Dostáváme det A = ai1 ·(−1)i+1 det Ai1 +ai2 ·(−1)i+2 det Ai2 +. . .+ain ·(−1)i+n det Ain = ai1 ·Di1 +ai2 ·Di2 +· · ·+ain ·Din -, Protože det A = det AT , platí analogická věta i pro sloupce. 4.4.11 Věta (o rozvoji determinantu a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. .. .. .. . . . . an1 an2 . . . ann

4.4.12 Tvrzení Platí

podle j-tého sloupce:) n X aij · Dij . = a1j · D1j + a2j · D2j + · · · + anj · Dnj = i=1

n X

aij · Dkj = ak1 · Di1 + ai2 · Dk2 + · · · + ain · Dkn = 0 pro i 6= k.

n X

aij · Dik = a1j · D1k + a2j · D2k + · · · + anj · Dnk = 0 pro j 6= k.

j=1

i=1

Důkaz. První vztah odpovídá rozvoji determinantu matice, která má stejný i-tý a k-tý řádek, druhý vztah rozvoji determinantu matice, která má stejný j-tý a k-tý sloupec. Determinanty takovýchto matic jsou nulové, jak jsme si ukázali v pozorováních 4.3.3 a 4.3.7. -,

4.4.13 Příklady Výpočet si zase ukážeme na příkladech 1. Spočtěte determinant matice  3 −3 −1 0  −2 2 2 1   A=  2 1 1 −1  3 1 −1 0 

Můžeme udělat rozvoj podle kteréhokoli řádku nebo sloupce. Určitě se vyplatí si matici trochu prohlédnout a vybrat řádek nebo sloupec, ve kterém je hodně nul. Pokud totiž aij = 0, je také aij · Dij = 0 a je tedy zbytečné Dij počítat. V našem případě je takový výhodný čtvrtý sloupec. Uděláme proto rozvoj podle tohoto sloupce. Stačí spočítat D24 a D34 . 3 −3 −1 1 1 = 1 · ((−3 − 2 − 9) − (−3 + 3 + 6)) = −20 D24 = (−1)6 · 2 3 1 −1 D34

3 −3 −1 2 2 = (−1)7 · −2 3 1 −1

= (−1) · ((−6 + 2 − 18) − (−6 + 6 − 6)) = 16

Potom det A = 0 · D14 + 1 · (−20) + (−1) · 16 + 0 · D44 = −36. 1. října 2006

82



83

2. Spočtěte determinant matice  1 2 −1 0  2 1 1 −1   A=  −1 1 −2 2  −2 −1 −1 4 

Tady tak „moc výhodnýÿ řádek ani sloupec nemáme. Pouze v prvním řádku a čtvrtém sloupci máme jednu nulu. Protože v minulém příkladu jsme dělali rozvoj podle sloupce, uděláme teď rozvoj podle prvního řádku. Budeme počítat jen D11 , D12 a D13 . 1 1 −1 2 = 1 · ((−8 + 1 − 2) − (−2 − 2 + 4)) = −9 D11 = (−1)2 · 1 −2 −1 −1 4 D12

2 1 −1 2 = (−1) · ((−16 − 1 − 4) − (−4 − 4 − 4)) = 9 = (−1)3 · −1 −2 −2 −1 4

D13

2 1 −1 1 2 = 1 · ((8 − 1 − 4) − (2 − 4 − 4)) = 9 = (−1)4 · −1 −2 −1 4

Potom det A = 1 · (−9) + 2 · 9 + (−1) · 9 + 0 · D14 = 0.

4.4.14 Poznámka Z uvedených příkladů je vidět, že při tomto způsobu výpočtu se nám sice sníží řád matic, jejchž determinant počítáme, ale zase těch matic přibývá. Kdybychom počítali determinant matice pátého řádu, která by neměla na žádné pozici nulu, museli bychom spočítat pět determinantů matic čtvrtého řádu, tedy 5 · 4 = 20 determinantů matic třetího řádu. Ty sice můžeme spočítat Sarrusovým pravidlem, ale je toho počítání hodně. Mohlo by se zdát, že je výhodnější počítat determinanty tím prvním způsobem. Ale to je velmi nevýhodné u matic, které obsahují nějaký parametr. Musí se potom hlídat, abychom nenásobili nulou, a taky úpravy řádků jsou nepříjemné. Proto se vyplatí oba uvedené způsoby zkombinovat. Nejprve si matici trochu upravit, „vynulovatÿ nějaký řádek nebo sloupec a potom udělat rozvoj podle tohoto řádku nebo sloupce. V tom případě už počítáme jen jeden determinant matice nižšího řádu. 4.4.15 Příklady Výpočet si zase ukážeme na příkladech 1. Spočtěte determinant matice  3 −3 −1 0  −2 2 2 1   A=  2 1 1 −1  3 1 −1 0 

Zřejmě je nejjednodušší „vynulovatÿ poslední sloupec. Stačí ke třetímu řádku přičíst řádek druhý. Tím se determinant nezmění. Pak uděláme rozvoj podle čtvrtého sloupce. 3 −3 −1 0 3 −3 −1 0 3 −3 −1 −2 2 2 1 2 2 1 −2 3 3 = = 1 · D24 = 1 · (−1)6 · 0 = 2 3 3 0 1 1 −1 0 3 1 −1 3 1 −1 0 1 −1 0 3 = −((−9 + 0 − 27) − (−9 + 9 + 0)) = −36

2. Spočtěte determinant matice  1 2 −1 0  2 1 1 −1   A=  −1 1 −2 2  −2 −1 −1 4 


83

1. října 2006

84


Zřejmě bude nejvýhodnější „vynulovatÿ první řádek nebo poslední sloupec, protože tam už máme jednu nulu. Ale můžeme „vynulovatÿ i kterýkoli jiný řádek či sloupec. Tak třeba vybereme ten první řádek. V prvním sloupci je jednička, tu zachováme, od druhého sloupce odečteme dvojnásobek prvního sloupce a ke třetímu sloupci první sloupec přičteme. Determinant se nezmění. Pak uděláme rozvoj podle prvního řádku. 1 2 −1 0 1 0 0 0 −3 3 −1 2 2 −3 1 1 −1 3 −1 = = 1 · D11 = 1 · (−1)2 · 3 −3 2 −1 1 −2 2 −1 3 −3 2 3 −3 4 −2 −1 −1 4 −2 3 −3 4

Nyní bychom už mohli použít Sarrusovo pravidlo. Ale můžeme také z prvního a druhého sloupce vytknout číslo tři, čímž se počítání zjednoduší. −1 −3 1 −1 3 −1 2 = 9 · ((4 + 1 + 2) − (1 + 2 + 4) = 9 · 0 = 0 2 = 3 · 3 · 1 −1 det A = 3 −3 3 −3 1 −1 4 4

Také jsme mohli matici ještě upravit a „vynulovatÿ nějaký řádek nebo sloupec. Třeba druhý sloupec. Můžeme zachovat trojku v prvním řádku a první řádek přičíst ke druhému a třetímu řádku. Pak uděláme rozvoj podle druhého sloupce. −3 3 −1 −3 3 −1 3 0 1 1 = 3 · D12 = 3 · (−1) · 2 = 0 0 det A = 3 −3 0 3 3 −3 3 4 0 0

=3·0=0

Možná se vám v těchto příkladech zdály všechny postupy stejně náročné (či spíš nenáročné). Rozdíl se projeví při výpočtu determinantu matice, ve které se vyskytuje nějaký parametr. V následujícím příkladu spočítáme determinant téže matice různými způsoby. Můžete se pak sami rozhodnout pro způsob, který se vám bude zdát nejvýhodnější. 4.4.16 Příklad Nechť p je reálné číslo. Spočtěte determinant matice  −p + 1 p + 2 0 p+2  p−1 p 1 −p A=  2p 2p − 1 2 −2p + 1 p + 4 −p − 3 −1 −p − 3

1. října 2006

84

   


Rejstřík determinant, 65 rozvoj podle řádku, 76 rozvoj podle sloupce, 77 změny při elementárních úpravách, 74

součin, 58 symetrická grupa, 59 transpozice, 60 základní tvar, 57 znaménko, 59 polynom, 12 ireducibilní, 25 koeficienty, 12 nulový, 12 rovnost polynomů, 13 stupeň, 12 polynomy dělení se zbytkem, 17 kořeny, 21 násobnost, 22 násobení číslem, 15 odčítání, 14 součet, 13 součin, 16

eliminace Gaussova, 49 Jordanova, 49 grupa, 5 matice, 38 člen, 38 čtvercová, 38 řádek, 38 diagonální, 38 doplněk, 76 elementární úpravy, 52 elementární transformační, 52 hlavní diagonála, 65 index řádkový, 38 sloupcový, 38 jednotková, 39 komutující, 42 mocniny, 44 násobení reálným číslem, 40 nulová, 39 pozice, 38 prvek, 38 rovnost, 39 sloupec, 38 součet, 39 součin, 42 stupňovitá dolní, 50 stupňovitá horní, 50 transponovaná, 39 trojúhelníková dolní, 50 trojúhelníková horní, 50 vedlejší diagonála, 65

Sarrusovo pravidlo, 66 těleso, 5 základní věta algebry, 22

permutace, 57 identická, 58 inversní, 58 nesamodružný prvek, 57 obecný tvar, 57 samodružný prvek, 57 Anna Kalousová: Úvod do algebry

85

1. října 2006

1 Úvod - jazyk matematiky Co je to matematika Co je algebra Jazyk matematiky... 6

Recommend Documents