Keith Devlin: Jazyk matematiky 1

Keith Devlin: Jazyk matematiky

1

Keith Devlin

Jazyk matematiky Jak zviditelnit neviditelné Argo a Dokoˇra´ n, Praha, 2002 ˇ abenicky´ preklad: Jan Sv´ • 11 V posledn´ıch asi tˇriceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou vˇetˇsina dneˇsn´ıch matematiku˚ souhlas´ı: matematika je vˇedou o strukturách. • 13 Souˇcasné matematické knihy se zdaj´ı byt ´ symboly pˇr´ımo zahlceny, ale matematicky´ znak jeˇstˇe nen´ı sám o sobˇe matematikou, tak jako notovy´ part jeˇstˇe nen´ı hudbou (. . .). Notovy´ list hudbu jen zapisuje; ovˇsem samotnou melodii uslyˇs´ıme, aˇz kdyˇz ji podle not zazp´ıváme nebo pˇrehrajeme na hudebn´ım nástroji. Teprve bˇehem pˇredstaven´ı hudba ˚ zeme proˇz´ıt. Hudba nevzniká okamˇzikem notového zápisu, ale teprve ve chv´ıli, kdy pronikne do naˇs´ı oˇzije a my ji muˇ mysli. Totézˇ plat´ı pro matematiku. Symboly na stránce jsou pouhymi zástupnymi znaky. Pokud se vˇsak dostanou do ´ ´ rukou vn´ımavému cˇ tenárˇ i, jako by obˇzivly. Matematika pak zˇ ije a dych´ ´ a v jeho mysli jako nˇejaká abstraktn´ı symfonie. • 16 ´ Vysoká urove nˇ abstrakce v matematice a z toho plynouc´ı nutnost pouˇz´ıvat symbolické zápisy bohuˇzel znamená, zˇ e ˚ ˚ navˇzdy nedostupné. Dokonce i ty pˇr´ıstupnˇejˇs´ı cˇ a´ sti, popsané v populárnˇe nauˇcnych mnohé oblasti zustanou laikum ´ knihách, jakou je i tato, skryvaj´ ´ ı pˇred laikem vˇetˇsinu své vnitˇrn´ı krásy. Proto by se mˇel kaˇzdy, ´ kdo byl obdaˇren schopnost´ı vn´ımat a ocenit vnitˇrn´ı krásu matematiky, snaˇzit alesponˇ nˇeco z jej´ı cˇ istoty a elegance pˇredat ostatn´ım. • 22 (. . .) Pojem abstraktn´ıho cˇ ´ısla si mus´ı cˇ lovˇek osvojit postupnˇe. Malé dˇeti jej zˇrejmˇe zaˇcnou chápat ve chv´ıli, kdy se nauˇc´ı poˇc´ıtat. Názor, zˇ e pojem cˇ ´ısla nen´ı vrozeny, ´ potvrzuj´ı studie kultur, které se vyv´ıjely izolovanˇe od modern´ı spoleˇcnosti. ˚ Kdyˇz chce napˇr´ıklad pˇr´ısluˇsn´ık kmene Vedda ze Sr´ı Lanky spoˇc´ıtat kokosové oˇrechy, vezme nejprve nˇekolik hulek a ke kaˇzdému oˇrechu poloˇz´ı jednu. Pokaˇzdé, kdyˇz pˇridává dalˇs´ı, rˇ ekne: To je jeden.“. Ale jestliˇze se ho zeptáme, ” ˚ jednoduˇse ukázˇ e na hromadu hulek ˚ kolik vlastn´ı oˇrechu, a rˇ ekne: Tolik.“. Tento poˇcetn´ı systém má ale k abstraktn´ım ” ˚ daleko; domorodec poˇc´ıtá“ v pojmech zcela konkrétn´ıch hulek. ˚ cˇ ´ıslum ” ´ Veddové pouˇz´ıvaj´ı poˇcetn´ı systém, ktery´ byl objeven jiˇz na usvitu lidského vˇeku. Jeden soubor pˇredmˇetu˚ – rˇ eknˇeme ˚ ˚ hulek nebo oblázku˚ – slouˇz´ı k urˇcen´ı poˇctu prvku˚ jiného souboru tak, zˇ e se hulky cˇ i oblázky spáruj´ı s pˇredmˇety, které je tˇreba spoˇc´ıtat. • 24 (. . .) V obdob´ı rozvoje státn´ı byrokracie od roku 3300 pˇr. n. l. do 3250 pˇr. n. l. byly hlinˇené zˇ etony uchovávány dvˇema ˚ ˚ bˇezˇ nymi zpusoby. Oznaˇcené zˇ etony se prodˇeravˇely, navlékly na sˇ nˇ urku a navázaly do obdéln´ıkového hlinˇeného ´ ˚ Jednoduché zˇ etony se ukládaly do hlinˇenych rámeˇcku, na nˇemˇz bylo vyznaˇceno mnoˇzstv´ı a druh zˇ etonu. ´ nádob – ˚ eru 5 aˇz 7 centimetru, ˚ které byly oznaˇceny poˇctem vloˇzenych dutych koul´ı o prumˇ zˇ etonu˚ a poté zapeˇcetˇeny. Jak ´ ´ ´ cetn´ım záznamum. ˚ rámeˇcky s navázanymi zˇ etony, tak zapeˇcetˇená pouzdra slouˇzily k uˇ ´ Zapeˇcetˇená hlinˇená pouzdra mˇela jednu zˇrejmou nevyhodu – kdyˇz nˇekdo chtˇel prozkoumat jejich obsah, musel peˇcet’ ´ ´ cetn´ı proto zaˇcali na nádoby jeˇstˇe pˇred jejich uzavˇren´ım vyryvat poruˇsit. Sumerˇst´ı uˇ symbolické znaˇcky. ´ T´ım se samotné zˇ etony staly nadbyteˇcnymi, protoˇze se vˇsechny poˇzadované informace nacházely na vnˇejˇs´ı stranˇe ´ ´ pouzder. A tak bˇehem nˇekolika následuj´ıc´ıch generac´ı zˇ etony zmizely ze svˇeta uplnˇ e. Nakonec se zaˇcaly pouˇz´ıvat ´ cetn´ı nahradili fyzická hlinˇené tabulky s vyrytymi symboly. V dneˇsn´ı terminologii bychom mohli rˇ´ıci, zˇ e sumerˇst´ı uˇ ´ poˇc´ıtadla psanymi cˇ ´ıslicemi. ´ Z historického pohledu na vyvoj poznán´ı je zaj´ımavé, zˇ e Sumerové nepˇrikroˇcili k oznaˇcován´ı mnoˇzstv´ı na jediné ´ ˚ tabulce okamˇzitˇe, ale pomˇernˇe dlouho pouˇz´ıvali oznaˇcená pouzdra s jiˇz nadbyteˇcnymi zˇ etony. Puvodn´ ı zˇ etony vy´ jadˇrovaly mnoˇzstv´ı zrn´ı, poˇcet ovc´ı atd., zat´ımco symbolické znaky na povrchu pouzder nepˇredstavovaly konkrétn´ı ˚ ale reprezentovaly poˇcet a typ vloˇzenych ˚ Sumerum ˚ trvalo velmi dlouho, neˇz pomnoˇzstv´ı reálnych ´ objektu, ´ zˇ etonu. ˚ zeme povaˇzovat pˇrechod od chopili, zˇ e jsou zˇ etony pro vyjádˇren´ı urˇcitého mnoˇzstv´ı v podstatˇe nadbyteˇcné. Proto muˇ


2

˚ za skuteˇcny´ pokrok v poznán´ı. Samozˇrejmˇe zˇ e symbolické vyjádˇren´ı fyzickych ´ prostˇredku˚ k abstraktn´ım symbolum ´ mnoˇzstv´ı obil´ı jeˇstˇe neznamenalo upln´ e osvojen´ı pojmu cˇ ´ısla tak, jak jej chápeme dnes, kdy na cˇ ´ısla pohl´ızˇ ´ıme jako na vˇeci“ cˇ i abstraktn´ı pˇredmˇety“. Kdy pˇresnˇe uˇcinilo lidstvo tento krok, nev´ıme, stejnˇe tak jako nezjist´ıme pˇresnˇe ” ” na den, kdy se malé d´ıtˇe nauˇcilo poˇc´ıtat. Jisté ovˇsem je, zˇ e jakmile sumerská spoleˇcnost pˇrestala uˇz´ıvat pro vyjádˇren´ı urˇcitého poˇctu fyzické pˇredmˇety, zaˇcala se op´ırat o takové pojmy jako jednonásobek, dvojnásobek nebo trojnásobek, jejichˇz symboly zaznamenávala na tabulkách. • 70 Pˇreveden´ım logickych struktur do algebraického jazyka se nic podstatného nezmˇen´ı. Ale co se opravdu zmˇen´ı, je ´ ˚ ˚ ze zpusob, jakym ´ o tˇechto strukturách uvaˇzujeme. To, co je v jedné oblasti nepˇrirozené a tˇezˇ ko zvládnutelné, se muˇ jinde jevit jako snadné a pˇrirozené. Nejenom v matematice, ale i v zˇ ivotˇe nen´ı cˇ asto podstatné, co rˇ´ıkáme, ale to, jak to rˇ´ıkáme. • 78 ˚ formáln´ı prostˇredky k zachycen´ı struktur matematického dukazu. ˚ Vyvoj predikátové logiky poskytl matematikum ´ Neznamená to vˇsak, zˇ e je nutné otrocky lpˇet na pravidlech predikátové logiky. Nikdo netrvá na tom, aby se ma˚ tematická tvrzen´ı vyjadˇrovala v predikátové logice nebo aby byly vˇsechny dukazy formulovány pomoc´ı pravidla modus ponens a dedukˇcn´ıch pravidel s kvantifikátory. Kdyby se mˇelo takto postupovat, pak by se jednalo – kromˇe ˚ ˚ nejjednoduˇssˇ´ıch dukaz u˚ – o nesm´ırnˇe namáhavou práci a vysledn´ emu dukazu bychom témˇerˇ nerozumˇeli. Nicménˇe ´ ˚ detailn´ım rozborem struktury predikátové logiky si matematici lépe osvojili koncepci formáln´ıho dukazu a nav´ıc se ujistili, zˇ e disponuj´ı spolehlivymi prostˇredky ke stanoven´ı matematické pravdy. To se ukázalo d´ıky vyvoji v jinych ´ ´ ´ ˚ zité. oblastech matematiky jako neobyˇcejnˇe duleˇ • 79 V matematice se pravdivost neovˇerˇ uje experimentem, vˇetˇsinovou volbou ani diktátem, i kdyby byl diktátor nej˚ uznávanˇejˇs´ım matematikem na svˇetˇe. Matematická pravda je dána dukazem. • 82 ˚ obvykle se najde v´ıce neˇz jedna soustava objektu, ˚ která by dané (. . .) Kdykoli stanov´ıme nˇejakou mnoˇzinu axiomu, ˇ axiomy splnovala. • 83 ˚ nevad´ı, je-li jejich práce povaˇzovaná za hru“, ale popud´ı je, jestliˇze ji nˇekdo pokládá za nesmyslnou Matematikum ” ” hru“. Historie civilizace jim dává za pravdu – pro vysledky matematickych u˚ se vˇetˇsinou najde uplatnˇen´ı v´ıce ´ ´ vyzkum ´ neˇz dost. • 84 (. . .) Posun smˇerem k vyˇssˇ´ı a vyˇssˇ´ı abstrakci za posledn´ıch asi sto let se netykal jen matematiky. Ke stejnému vyvoji ´ ´ ˚ cˇ asto porozum´ı jen jejich tvurce. ˚ doˇslo v literatuˇre, hudbˇe, mal´ırˇ stv´ı cˇ i sochaˇrstv´ı, a tak i umˇeleckym ´ d´ılum • 93 ˚ Teorie modelu, ˚ kterou vytvoˇril pˇredevˇs´ım americky´ matematik polského puvodu Alfred Tarski, zkoumá v matematické axiomaticky´ systém struktuˇre vztah mezi pravdivost´ı a tvrzen´ım. Vˇeta o teorii modelu˚ popisuje závˇery, (. . .) zˇ e jakykoli ´ ˚ ze byt muˇ ´ pravdivy´ pro v´ıce neˇz jednu strukturu. V 50. letech 20. stolet´ı pouˇzil americky´ logik a odborn´ık na aplikovanou matematiku Abraham Robinson postupy teorie modelu˚ k vypracován´ı teorie infinitezimáln´ıch veliˇcin (nekoneˇcnˇe malych ´ veliˇcin), a t´ım ukázal, jak doj´ıt ke zcela odliˇsnému a v mnoha ohledech dokonalejˇs´ımu diferenciáln´ımu poˇctu (. . .). Do teorie mnoˇzin vneslo novy´ impuls pouˇzit´ı technik teorie modelu˚ na Zermelovu-Fraenkelovu teorii. Podstatny´ ˚ zlom pˇriˇsel v roce 1963, kdy mlady´ americky´ matematik Paul Cohen nalezl zpusob, jak jednoznaˇcnˇe dokázat, zˇ e ˚ zeme na základˇe Zermeje urˇcity´ matematicky´ vyrok nerozhodnutelný – pˇresnˇeji rˇ eˇceno, zˇ e u daného vyrok u˚ nemuˇ ´ ´ lovych-Fr´ ıenkelovych ´ ´ axiomu˚ dokázat ani jeho pravdivost, ani nepravdivost. Tento objev mˇel daleko sˇ irˇs´ı dosah neˇz ¨ Godelova vˇeta, která neˇr´ıká v´ıce neˇz to, zˇ e v jakémkoli axiomatickém systému (tedy i v Zermelovˇe-Fraenkelovˇe te˚ postup umoˇznil nerozhodnutelnost urˇcitého tvrzen´ı pˇr´ımo orii mnoˇzin) nerozhodnutelná tvrzen´ı existuj´ı. Cohenuv dokázat. Sám Cohen pouˇzil tuto metodu pˇri formulaci hypotézy kontinua, velmi známého problému, ktery´ pˇredloˇzil v roce 1900 Hilbert. Cohen ukázal, zˇ e hypotéza kontinua je nerozhodnutelná. ¨ Ve 30. letech se objevuje teorie vyˇc´ıslitelnosti. K rozvoji tohoto oboru vyznamnˇ e pˇrispˇel sám Godel. Z dneˇsn´ıho hlediska ´ je zaj´ımavé vrátit se k pojmu vyˇc´ıslitelnost, ktery´ byl definován asi dvacet let pˇred zaveden´ım prvn´ıho skuteˇcného ˚ Vudˇ ˚ c´ı osobnost´ı tohoto oboru byl anglicky´ matematik a lopoˇc´ıtaˇce a padesát let pˇred nástupem osobn´ıch poˇc´ıtaˇcu. gik Alan Turing, jenˇz vytvoˇril teorii abstraktn´ıho univerzáln´ıho poˇc´ıtaˇce – tzv. Turingova stroje, ktery´ by byl schopen


3

provádˇet bˇezˇ né aritmetické operace. Krátce poté americky´ logik Stephen Cole Kleene pˇriˇsel s dalˇs´ı abstraktn´ı teori´ı, která dokazovala, zˇ e program pro takovyto ´ stroj nen´ı podstatnˇe odliˇsny´ od samotnych ´ dat, která stroj zpracovává. Vˇsechny tyto oblasti matematické logiky mˇely spoleˇcny´ charakter – byly skuteˇcnˇe matematické. Matematika nebyla jen nástrojem zkoumán´ı, ale i samym (. . .) ´ pˇredmˇetem vyzkumu. ´ • 102 ˇ Je zaj´ımavé, zˇ e v dobˇe, kdy mnoz´ı lidé prohlaˇsuj´ı, zˇ e na matematiku nemaj´ı bunky, lingvisté a statistici dokládaj´ı, zˇ e rˇ eˇc sama obsahuje matematické struktury, aniˇz bychom si to bˇezˇ nˇe uvˇedomovali. • 102 ˚ ze nám pomoci, abychom pochopili sami sebe. Matematika nen´ı jenom jazykem vesm´ıru, jak tvrdil Galilei, ale muˇ • 110 Zenonova hádanka je skuteˇcnym ´ paradoxem jedinˇe tehdy, pokud pˇredpokládáme, zˇ e nekoneˇcná rˇ ada mus´ı m´ıt také nekoneˇcny´ souˇcet. • 135 Základn´ı vˇeta diferenciáln´ıho a integráln´ıho poˇctu je zárˇ nym ´ pˇr´ıkladem obrovského pˇr´ınosu, ktery´ pramen´ı z hledán´ı hlubˇs´ıho, obecnˇejˇs´ıho a abstraktnˇejˇs´ıho modelu. • 142 Matematici totiˇz nikdy nezavrhnou krásnou matematiku, i kdyˇz pop´ırá vˇsechny jejich dosavadn´ı zkuˇsenosti – mus´ı byt ´ ovˇsem postavena na pevnych ´ základech. • 160 Na prvn´ı pohled vypadaj´ı tˇri kuˇzeloseˇcky jako zcela rozd´ılné typy kˇrivek: jedna tvoˇr´ı uzavˇrenou smyˇcku, druhá jednoduchy´ oblouk a tˇret´ı se skládá ze dvou oddˇelenych ´ cˇ a´ st´ı. Teprve kdyˇz vid´ıme, jak vznikaj´ı rˇ ezem dvojitého kuˇzele, uvˇedom´ıme si, zˇ e vˇsechny maj´ı cosi spoleˇcného – spoleˇcnou strukturu. Abychom tuto strukturu objevili, mus´ıme vstoupit do vyˇssˇ´ı dimenze. Vˇsechny tˇri kuˇzeloseˇcky leˇz´ı v dvojrozmˇerné rovinˇe, zat´ımco sjednocuj´ıc´ı struktura je trojrozmˇerná. • 167 ˚ Stoj´ı za povˇsimnut´ı, zˇ e na kaˇzdé rˇ eˇsen´ı [tˇr´ı problému˚ antické geometrie] se pˇriˇslo teprve tehdy, kdyˇz byl puvodnˇ e cˇ istˇe ˚ geometricky´ problém pˇreloˇzen do algebry, coˇz umoˇznilo jeho zkoumán´ı jinymi metodami. V puvodn´ ı formulaci se ´ ˚ Jejich koneˇcné tyto tˇri problémy tykaly struktur (posloupnost´ı) geometrickych ´ ´ konstrukc´ı za pouˇzit´ı urˇcitych ´ nástroju. rˇ eˇsen´ı spoˇc´ıvalo v transformaci problému˚ do ekvivalentn´ıch algebraickych ´ struktur. • 176 Zvlásˇ tˇe fascinuj´ıc´ı je, zˇ e Einsteinova teorie relativity a astronomická pozorován´ı, která prokázala jej´ı nadˇrazenost ˚ stolet´ı po objevu neeukleidovské geometrie. I tato skuteˇcnost dobˇre nad Newtonovou teori´ı, se objevily v´ıce neˇz pul ˚ odvozené ilustruje, jak vyvoj matematiky pˇredb´ıhá poznán´ı naˇseho svˇeta. Prvn´ı abstrakce geometrickych ´ ´ modelu, ˇ z pozorován´ı vnˇejˇs´ıho svˇeta, pˇrivedly Reky k vyvoji bohaté matematické teorie – eukleidovské geometrie. Bˇehem 19. ´ ˚ ˚ k objeven´ı dalˇs´ıch geometrickych stolet´ı vedly cˇ istˇe matematické otázky, které se tykaly axiomu˚ a potˇrebnych u, ´ ´ dukaz ´ ˚ teori´ı. Puvodnˇ e se zdálo, zˇ e tyto alternativn´ı geometrie jsou cˇ istˇe abstraktn´ımi axiomatickymi teoriemi, které zdánlivˇe ´ nemaj´ı zˇ a´ dné uplatnˇen´ı ve skuteˇcném svˇetˇe. Pozdˇeji se vˇsak ukázalo, zˇ e pro studium vesm´ıru s jeho obrovskymi ´ dimenzemi jsou daleko vhodnˇejˇs´ı neˇz eukleidovská geometrie. • 185 David Hilbert • Stejnˇe tak by platilo, kdyby slova bod a pˇr´ımka byla nahrazena slovy pivn´ı dˇzbánek a stul ˚ a slovn´ı spojen´ı leˇzet na pˇr´ımce a prot´ınat se v jediném bodˇe by vystˇr´ıdaly vyrazy stát na stejném stole a být pod stejným pivn´ım dˇzbánkem. ´ • 190 Dokonce i velmi zkuˇseny´ matematik se tˇezˇ ko orientuje ve zdlouhavych ´ algebraickych ´ postupech, ale kaˇzdy´ z nás si v duchu snadno pˇredstav´ı obrazy a tvary. Této základn´ı lidské schopnosti vyuˇz´ıváme, kdyˇz pˇrevád´ıme sloˇzité problémy do oblasti geometrie. • 220 ˇ ˚ e numerické struktury za zdánlivˇe nesouvisej´ıc´ıch okolnost´ı, asi Cten´ arˇ e, kteˇr´ı si jiˇz zvykli na stále se objevuj´ıc´ı ruzn´ mnoho nepˇrekvap´ı, zˇ e cˇ ´ıslo zlatého rˇ ezu φ (pˇribliˇznˇe 1, 618) se objevuje i (. . .) [u Penrosova dlázˇ dˇen´ı]. Maj´ı-li vˇsechny ´ ´ r´ıcˇ ka v kosoˇctverci na levé stranˇe má délku φ a kratˇs´ı uhlopˇ r´ıcˇ ka strany obou kosoˇctvercu˚ (. . .) délku 1, pak delˇs´ı uhlopˇ v druhém kosoˇctverci má délku 1/φ. Jestliˇze je celá rovina vydlázˇ dˇena tˇemito dvˇema obrazci, pak pomˇer poˇctu sˇ irˇs´ıch dlaˇzdic ku poˇctu zkosenˇejˇs´ıch dlaˇzdic vyjádˇreny´ limitou je právˇe φ.


4

• 221 Odborn´ıci na krystalografii si povˇsimli, zˇ e urˇcitá slitina manganu a hlin´ıku má molekulárn´ı strukturu, která se vyznaˇcuje lokáln´ı pˇetinásobnou symetri´ı. Protoˇze krystalová mˇr´ızˇ ka má jen jednonásobnou, dvojnásobnou, trojnásobnou, cˇ tyˇrnásobnou nebo sˇ estinásobnou symetrii, nemohla byt ´ slitina krystalem v obvyklém slova smyslu. Odtud tedy pocház´ı novy´ pojem – kvazikrystal. Obecnˇe je kvazikrystal slouˇcenina, která sice nemá pravidelnou mˇr´ızˇ kovou struk˚ nicménˇe jej´ı atomy jsou velmi organizovanˇe uspoˇra´ dány zpusobem, ˚ turu obyˇcejnych krystalu, ktery´ se vyznaˇcuje ´ lokáln´ı symetri´ı. Zda je struktura libovolného kvazikrystalu strukturou Penrosova dlázˇ dˇen´ı, nen´ı známo, protoˇze studium kvazikrys˚ ze byt talu je dosud v plenkách a závˇery nejsou zat´ım jednoznaˇcné. Fakt, zˇ e rovina muˇ ´ vyplnˇena vysoce pravidelnym, ´ a pˇresto nemˇr´ızˇ kovym ´ stylem vyznaˇcuj´ıc´ım se lokáln´ı pˇetinásobnou symetri´ı, nab´ız´ı matematicky´ rámec, ktery´ po˚ slouˇz´ı jako vychodisko pro porozumˇen´ı tˇemto novym Nakonec jsme tedy doˇsli k dalˇs´ımu pˇr´ıkladu ´ ´ materiálum. zdánlivˇe neuˇziteˇcného vyvoje v cˇ isté matematice, na ktery´ navazuje praktická aplikace. ´ • 223 Proslulá mapa londynsk´ eho metra (. . .) vznikla v roce 1931. Jej´ım autorem byl devˇetadvacetilety´ projektant Henry C. ´ ´ ı, neˇz se mu podaˇrilo Beck, ktery´ pˇr´ıleˇzitostnˇe pracoval pro londynsk´ e metro. Stálo ho dva roky nepˇretrˇzitého usil´ ´ pˇresvˇedˇcit nadˇr´ızené, aby alesponˇ na zkouˇsku vydali nyn´ı vˇseobecnˇe známy´ plán s´ıtˇe jednotlivych ´ tras. I tak vydalo ´ redn´ıci se totiˇz obávali, zˇ e mapa je tak nepˇresná, oddˇelen´ı pro veˇrejnost mapu jen v malém nákladu – zodpovˇedn´ı uˇ zˇ e j´ı vˇetˇsina cestuj´ıc´ıch nebude rozumˇet. Mylili se. Lidé si mapu pˇr´ımo zamilovali a po roce uˇz´ıván´ı byla jej´ı zvˇetˇsená ´ verze um´ıstˇena ve vˇsech stanic´ıch metra. Kaˇzdy´ cestuj´ıc´ı se v tomto ryze topologickém znázornˇen´ı s´ıtˇe londynsk´ eho ´ metra snadno zorientoval bez jakéhokoli návodu a vysvˇetlivek, a nav´ıc si vˇetˇsina lid´ı okamˇzitˇe uvˇedomila vyhody ´ tohoto zpracován´ı pˇred klasickym ´ geometrickym ´ zobrazen´ım. • 250 Studium uzlu˚ je klasickym ´ pˇr´ıpadem matematického pˇr´ıstupu k nové oblasti studia. Nejprve se zkoumá urˇcity´ jev ˚ – zde je to zpusob, jakym ´ je uzel uvázán. Potom matematici oddˇel´ı od zkoumaného pojmu vˇsechny nepodstatné ˚ zitych ˚ V tomto pˇr´ıpadˇe jsou vˇeci, které nemaj´ı pro dalˇs´ı studium vyznam, a formuluj´ı exaktn´ı definice duleˇ ´ ´ pojmu. ˚ ˚ e podstatnymi pojmy uzel a uzlová ekvivalence. Dalˇs´ı krok spoˇc´ıvá v nalezen´ı zpusobu, jak popsat a analyzovat ruzn´ ´ ˚ e uzlové struktury. druhy uzlu˚ – ruzn´ • 268 ˇ u˚ maj´ı dodnes Matematika je jediná vˇeda, v n´ızˇ teorie formulované v 17. stolet´ı na základˇe poznatku˚ starovˇekych ´ Rek stejnou platnost, jakou se vyznaˇcovaly jiˇz dˇr´ıve. Matematika je jedineˇcná v tom, zˇ e bˇehem svého vyvoje nezpo´ ˇ chybnuje jiˇz dokázané teorie, ale naopak na nich stav´ı. Od Pythagorovy vˇety a Diofantovy Aritmetiky vede dlouhá ˚ cesta aˇz k Fermatovˇe odkazu a k dneˇsn´ı bohaté a vyznamn´ e teorii zavrˇsené Wilesovym K tomuto ´ ´ koneˇcnym ´ dukazem. ˇ a zˇ ij´ı po celém svˇetˇe, hovoˇrili a hovoˇr´ı rozmanitymi ˚ Zili vyvoji pˇrispˇelo mnoho skvˇelych jazyky. Vˇetˇsina ´ ´ matematiku. ´ z nich se nikdy nesetkala ani nesetká. To, co je spojuje, je láska k matematice. Navzájem si pomáhaj´ı a nové generace ˚ u. ˚ Aˇckoli je rozdˇeluje cˇ as, prostor i kultura, matematiku˚ pˇrij´ımaj´ı a dále rozpracovávaj´ı myˇslenky svych ´ pˇredchudc ´ castn´ı tohoto jedineˇcného závodu. V tomto smˇeru snad matematika slouˇz´ı jako pˇr´ıklad celému lidstvu. vˇsichni se uˇ • 270 V cˇ istˇe náhodné události, kterou posuzujeme izolovanˇe, zˇ a´ dnou pravidelnost nenajdeme. Abychom nalezli v náhodˇe nˇejaky´ rˇ a´ d, tj. objevili jej´ı matematickou strukturu, mus´ıme zkoumat dˇej, ktery´ se mnohokrát opakuje. • 276 ˚ Tabulky pravdˇepodobné délky zˇ ivota se koncipuj´ı prostˇrednictv´ım statistického pruzkumu obyvatelstva. Prvn´ı ta˚ kovy´ pruzkum provedl v Londynˇ ´ e roku 1662 obchodn´ık John Graunt. Detailnˇe analyzoval poˇcty narozenych ´ a zemˇrelych v letech 1604–1661 a své vysledky publikoval v knize Natural and Political Observations made ´ obyvatel Londyna ´ ´ ıho seznamu zemˇrelych). Hlavn´ım zdroupon the Bills of Mortality (Pˇrirozené a politické postˇrehy odvozené z tydenn´ ´ ´ jem, z nˇejˇz cˇ erpal informace, byl seznam zemˇrelych ´ nazvany´ Bills of Mortality, ktery´ mˇesto Londyn ´ zaˇcalo shromaˇzd’o´ vat od roku 1603. V seznamu zemˇrelych uvádˇela vˇsechna hlásˇ ená umrt´ ı ve mˇestˇe vˇcetnˇe ´ se po jednotlivych ´ tydnech ´ ´ jejich pˇr´ıcˇ in. Seznam byl doplnˇen o poˇcet pokˇrtˇenych ı, mezi ´ dˇet´ı. Speciáln´ı pozornost vˇenoval Graunt pˇr´ıcˇ inám umrt´ nimiˇz pˇrevládal mor, ktery´ v té dobˇe zuˇril v celé Evropˇe. Obyvatele dneˇsn´ıho Londyna ´ by asi pˇrekvapilo, zˇ e bˇehem celého roku 1632, ktery´ Graunt také analyzoval, doˇslo ve mˇestˇe pouze k sedmi vraˇzdám. V témˇze roce dle Graunta ´ zapˇr´ıcˇ inilo smrt 1× pokousán´ı vzteklym ´ psem a 1× ulek. Nen´ı známo, co vedlo Graunta k jeho vyzkumu. Mohlo j´ıt jenom o intelektuáln´ı zv´ıdavost. Ve svém d´ıle uvád´ı, zˇ e ´ ˚ e záhadné v analyze ıho seznamu zemˇrelych ´ opom´ıjeného tydenn´ ´ ´ nacházel velké potˇesˇ en´ı proto, zˇ e pˇricházel na ruzn´ ˚ a neoˇcekávané spojitosti. Na druhé stranˇe se zdá, zˇ e sledoval také obchodniˇcil. P´ısˇ e totiˇz, zˇ e mu pruzkum umoˇznil


5

. . . poznat, kolik zde zˇ ilo lid´ı obou pohlav´ı, vˇeku, státn´ı pˇr´ısluˇsnosti, náboˇzenstv´ı, postaven´ı a podobnˇe, coˇz by bylo ” uˇziteˇcné i pro obchodn´ıky a vládu. Kdyby byly známy poˇcty uvedenych ´ lid´ı, mohla by se odhadnout jejich spotˇreba ˚ a obchodn´ıci by pak mohli tomu pˇrizpusobit svou nab´ıdku.“. At’ jiˇz byla jeho motivace jakákoli, stala se Grauntova ˚ práce jedn´ım z prvn´ıch pˇr´ıpadu˚ modern´ıho statistického sbˇeru dat a pruzkumu trhu. • 280 finanˇcny´ expert Fischer Black • Burziáni z Wall Street dobˇre vˇed´ı, zˇ e se trh nechová zdaleka tak ideálnˇe, jak se domn´ıvaj´ı teoretici z univerzit. • 283 Daniel Bernoulli ˚ ´ erny´ mnoˇzstv´ı jiˇz dˇr´ıve vlastnˇeného majetku. • Uˇzitek vyplyvaj´ bohatstv´ı je nepˇr´ımo umˇ ´ ıc´ı z malého nárustu • 286 ˚ eru Uvˇedomme si, zˇ e o muˇzi, ktery´ má hlavu v rozpálené troubˇe a nohy v ledniˇcce, by se dalo rˇ´ıci, zˇ e se v prumˇ c´ıt´ı dobˇre. Pˇresto by asi nikdo z nás nechtˇel byt ´ na jeho m´ıstˇe – vysoká smˇerodatná odchylka vyluˇcuje pocit tepelné pohody. • 299 Pˇres veˇskeré technické vymoˇzenosti druhé poloviny 20. stolet´ı se málokdo dokázˇ e za jasné noci zahledˇet na oblohu, plnou zárˇ´ıc´ıch hvˇezd, bez jistého záchvˇevu báznˇe. Pˇrestoˇze v´ıme, zˇ e jasnˇe blikaj´ıc´ı svˇetla, která vid´ıme, jsou pˇr´ırodn´ımi nukleárn´ımi reaktory stejnymi ´ jako naˇse Slunce, nijak to nesniˇzuje násˇ dojem z tohoto velkolepého pˇredstaven´ı. Pokud si nav´ıc uvˇedom´ıme, zˇ e svˇetlo z mnohych ´ hvˇezd k nám letˇelo miliony let, násˇ dojem z neomezené velikosti vesm´ıru se jeˇstˇe znásob´ı. • 302 (. . .) Heliocentricky´ model se ukazuje jako vhodnˇejˇs´ı, protoˇze jeho matematicky´ základ je mnohem jednoduˇssˇ´ı neˇz u geocentrického modelu. Kopern´ıkovská revoluce se trvale zapsala do matematické historie mimo jiné proto, zˇ e poprvé v dˇejinách pˇrevázˇ ilo prosté matematické vysvˇetlen´ı nad t´ım, co vid´ıme na vlastn´ı oˇci. • 303 Matematicky´ vzorec spojuje dvˇe nebo v´ıce (. . .) cˇ ´ıselnych veliˇcin, cˇ ´ımˇz vytvárˇ´ı urˇcity´ popis zkoumaného jevu, ale ´ nevysvˇetluje podstatu ani neodkryv´ ´ a jeho pˇr´ıcˇ iny. • 311 (. . .) Mus´ıme si pˇripomenout, zˇ e se pˇri práci s Maxwellovymi rovnicemi pohybujeme v galileovském matematickém ´ ˚ ymi svˇetˇe, ktery´ jsme si sami vytvoˇrili. Vztahy mezi ruzn ´ matematickymi ´ veliˇcinami se v naˇsich rovnic´ıch (jestliˇze jsme ˚ které zkoumáme. Matematika nám tedy vˇeci navrhli správnˇe) shoduj´ı s odpov´ıdaj´ıc´ımi vlastnostmi skuteˇcnych ´ jevu, podává neobyˇcejnˇe uˇziteˇcny´ popis, ale neposkytuje pravdivé vysvˇetlen´ı. • 330 ˇ ˚ ze pouze zamyˇ Ve skuteˇcnosti vlastnˇe ani nemá smysl se ptát, zda je nˇejaká vˇedecká teorie správná. Clovˇ ek se muˇ ´ slet nad t´ım, jestli teorie odpov´ıdá pozorován´ım a zda poskytuje pˇresnˇejˇs´ı odpovˇed’ neˇz kterákoli jiná teorie. • 336 Kompaktnost je vlastnost topologickych ´ prostoru˚ a znamená, zˇ e jestliˇze kaˇzdy´ bod prostoru nám poskytuje informace o svém bezprostˇredn´ım okol´ı, pak z´ıskáme informaci o celém prostoru propojen´ım jednotlivych ´ informac´ı, jeˇz z´ıskáme ˚ z koneˇcného poˇctu bodu. • 337 ´ Matematické studium kaˇzdého jevu uzce souvis´ı se studiem jevu jiného. Na zaˇca´ tku provedeme zjednoduˇsen´ı, pˇri kterém pojmenujeme a osamostatn´ıme kl´ıcˇ ové pojmy. Ty jsou pak analyzovány do vˇetˇs´ı a vˇetˇs´ı hloubky, pˇritom obje´ vujeme a zkoumáme pˇr´ısluˇsné struktury a snaˇz´ıme se stanovit vychoz´ ı axiomy. Urove nˇ abstrakce se zvyˇsuje. Formu´ lujeme hypotézy, jejichˇz pravdivost se snaˇz´ıme dokázat. Odkryv´ oblastmi matematiky. Teorie je ´ a se spojen´ı s jinymi ´ ˇ ana, coˇz vede k odhalen´ı dalˇs´ıch souvislost´ı, které nás pˇrivádˇej´ı k jinym ˚ zobecnov´ ´ matematickym ´ oborum.

Stano Krajˇci, 26. 7. – 2. 8. 2008

typeset by LATEX

Keith Devlin: Jazyk matematiky 1

Recommend Documents