Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III ˇ Rady ´ Daniel Turz´ık, Drahoslava Janovska´ Miroslava Dubcova, ´ Ustav matematiky ´ sky ZS 2012-2013 Pˇrednaˇ

ˇ ıselne´ rˇady. C´

ˇ ı rˇady. Funkcn´

Mocninna´ a Taylorova rˇada.

Obsah

1

ˇ ıselne´ rˇady. C´ Souˇcet nekoneˇcne´ ˇrady. ´ Kriteria konvergence

2

ˇ ı rˇady. Funkcn´ Bodova´ konvergence. ˇ a´ konvergence. Stejnomern

3

Mocninna´ a Taylorova rˇada. ˇ konvergence. Mocninna´ ˇrada. Polomer Taylorova ˇrada.

4

Literatura

Literatura




Literatura

ˇ nekonecn ˇ e´ rˇady. Soucet

´ ych ( pˇr´ıpadneˇ komplexn´ıch) cˇ ´ısel Nekoneˇcnou posloupnost {an }∞ n=1 realn´ zapsanou ve tvaru souˇctu ∞ X an n=1

´ nazývame cˇ ´ıselnou ˇradou. Definice 1. Souˇcet prvn´ıch n cˇ lenu˚ rˇady, tj. souˇcet sn =

n X

ai ,

i=1

´ ´ ˇ ym ˇ nazývame n-tym ´ cˇ aste cn ´ souctem dane´ rˇady. Je-li limita lim sn = s n→∞

´ nazývame ´ ˇ koneˇcna, cˇ ´ıslo s souctem rˇady, p´ısˇ eme s =

∞ X

ai

i=1

´ a rˇ´ıkame, zˇ e tato rˇada konverguje. Je-li lim sn nevlastn´ı nebo tato limita n→∞

´ neexistuje, souˇcet rˇady nedefinujeme a rˇ´ıkame, zˇ e rˇada diverguje. P∞ 1 ˇ ´ zeme, zˇ e tato ˇrada ´ Ukaˇ Pˇr´ıklad: Rada yva´ ˇrada harmonicka. n=1 n se naz´ je divergentn´ı.





Zˇrejmeˇ s2n = 1 +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ( + ) + ( + + + ) + ( + ··· + ) + ... 2 3 4 5 6 7 8 9 16 ··· + (

1 1 1 1 + n−1 + · · · + n ) ≥ n. , 2n−1 + 1 2 +2 2 2

´ ˇ s´ı neˇz 21 . Odtud nebot’ kaˇzdý výraz v zavorce je vetˇ lim s2n ≥ lim n ·

n→∞

n→∞

1 = +∞, 2

a harmonicka´ ˇrada tedy diverguje. Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme ˇradu ∞ X (−1)i = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . . i=0

Zˇrejmeˇ sn =

n−1 X 0 (−1)i = 1 i=0

pro n sude´ , ´ pro n liche.

Tedy lim sn neexistuje a tato ˇrada diverguje. n→∞

Literatura




Literatura


∞ P

ˇ 1. Je-li rˇada Veta

ai konvergentn´ı, pak lim ai = 0. i→∞

i=1

Dukaz: ˚ Necht’ ˇrada

∞ P

´z ai konverguje a s = lim sn . Pak ale teˇ n→∞

i=1

s = lim sn−1 . Odtud n→∞

lim an = lim (sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0.

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

ˇ 1 ˇr´ıka, ´ zˇ e podm´ınka lim an = 0 je nutnou podm´ınkou pro konvergenci Veta n→∞ ∞ P ˇrady ˇ nelze obratit, ´ tj. ze vztahu lim an = 0 neplyne, zˇ e ˇrada an . Vetu ∞ P

n=1

n→∞

an konverguje, jak ukazuje pˇr´ıklad harmonicke´ ˇrady

n=1

ale ˇrada diverguje.

∞ P n=1

1 , n

1 n→∞ n

kde lim

= 0,





Velmi duleˇ ˚ zitou ˇradou je tzv. geometricka´ ˇrada. Je to kaˇzda´ ˇrada tvaru a + aq + aq 2 + · · · =

∞ X

aq i ,

kde a, q ∈ R, a 6= 0.

i=0

ˇ ıslo q nazývame ´ C´ kvocientem geometricke´ ˇrady. ∞ P ´ eˇ tehdy, kdyˇz |q| < 1. ˇ 2. Geometricka´ rˇada Veta aq i je konvergentn´ı prav i=0

V tomto pˇr´ıpadeˇ pro jej´ı souˇcet plat´ı vztah ∞ X

aq i =

i=0

a . 1−q

Dukaz: ˚ Podle vzorce pro rozd´ıl n-tých mocnin 1 − q n = (1 − q)(1 + q + q 2 + · · · + q n−1 ) ´ ame ´ dostav sn = a + aq + · · · + aq n−1 = a

1 − qn . 1−q

´ ame ´ Je-li |q| < 1, je lim q n = 0 a dostav n→∞

lim sn = lim a

n→∞

n→∞

1 − qn a = . 1−q 1−q

Literatura




Literatura


ˇ 1 je dana´ Naopak je-li |q| ≥ 1, pak lim aq i nen´ı rovna nule a tedy podle vety i→∞

ˇrada divergentn´ı. ˇ ıkame, ´ Definice 2. R´ zˇ e rˇada rˇada

∞ P

∞ P

ˇ jestliˇze konverguje ai konverguje absolutne,

i=1

|ai |.

i=1

ˇ 3. Jestliˇze rˇada Veta

∞ P

ˇ pak tato rˇada konverguje. ai konverguje absolutne,

i=1

Jinak rˇeˇceno: konverguje-li rˇada

∞ P

|ai |, konverguje i rˇada

i=1

ale jak v´ıme, ˇrada

n=1

n

ˇ | diverguje. Rada | (−1) n

ai .

i=1

ˇ 3 nelze obratit. ´ Pozdeji ˇ ukaˇ ´ zeme, zˇ e ˇrada Tvrzen´ı vety ∞ P

∞ P

∞ P n=1

∞ P n=1

(−1) n

n

(−1)n n

konverguje,

je tedy pˇr´ıkladem

konvergentn´ı ˇrady, ktera´ nen´ı absolutneˇ konvergentn´ı. Urˇcit souˇcet konvergentn´ı ˇrady je obvykle znaˇcneˇ obt´ızˇ na´ uloha, kterou um´ıme ˇreˇsit pro ´ ´ v nekter´ ˇ geometrickou ˇradu a dale ych jednoduchých pˇr´ıpadech. Jednoduˇssˇ ´ı ulohou muˇ zjistit, zda je dana´ ˇrada konvergentn´ı (aniˇz bychom ´ ˚ ze být uloha ´ ˇ ´ ı ´ urˇcovali jej´ı souˇcet). K tomu slouˇz´ı tzv. kriteria konvergence. Techto kriteri´ ˇ ´ zeme. je cela´ ˇrada, nekter a´ z nich si nyn´ı ukaˇ




Literatura

´ Kriteria konvergence

ˇ 4 (Srovnavac´ ´ ´ Veta ı kriterium). Necht’ pro kaˇzde´ n ≥ 1, pˇr´ıp. n ≥ n0 , plat´ı 0 ≤ an ≤ bn . Potom plat´ı: (i) konverguje-li rˇada

∞ X

bn , konverguje i rˇada

n=1

∞ X

an ,

n=1

´ z ve negovane´ formeˇ nebo toteˇ (ii) diverguje-li rˇada

∞ X

an , diverguje i rˇada

n=1

∞ X

bn .

n=1

Dukaz: ˚ Oznaˇcme sn = (a1 + a2 + · · · + an ) a Sn = (b1 + b2 + · · · + bn ). zˇrejmeˇ sn ≤ Sn a obeˇ posloupnosti {sn } i {Sn } jsou neklesaj´ıc´ı. Je-li tedy ´ je nutneˇ koneˇcna´ i lim sn a t´ım je tvrzen´ı dokaz ´ ano. ´ lim Sn koneˇcna, n→∞

n→∞

ˇ eˇ 4 je moˇzno platnost pˇredpokladu 0 ≤ an ≤ bn poˇzadovat pro vˇsechna Ve vet ˇ y pevný index. Konvergence nebo divergence n ≥ n0 , kde n0 ≥ 1 je nejak´ ˇrady totiˇz nezaleˇ ´ z´ı na hodnotach ´ koneˇcneho ´ poˇctu sˇc´ıtancu. ˚




Literatura


Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme ˇradu ∞ P n=1

∞ P n=1

1 2n

1 . n.2n

Protoˇze 0 ≤

1 n.2n

≤

1 2n

pro n ≥ 1 a ˇrada

je konvergentn´ı (je to geometricka´ ˇrada s kvocientem q = 1/2), je

ˇ 4 konvergentn´ı i ˇrada podle vety ∞ P

ˇ Pˇr´ıklad: Rada

n=2

∞ P n=1

1 ln n

1 . n.2n

je divergentn´ı, protoˇze

1 ln n

≥

1 n

pro n ≥ 2 a ˇrada

∞ P n=2

1 n

je

divergentn´ı. ˇ 5 (Pod´ılove´ kriterium). ´ Veta Uvaˇzujme rˇadu

∞ P

an , an 6= 0.

n=1 1

Je-li lim | n→∞

2

Je-li lim | n→∞

∞ X an+1 ˇ | < 1, pak rˇada an konverguje absolutne. an n=1

an+1 | > 1, pak rˇada an

∞ X

an diverguje.

n=1

ˇ nebudeme dokazovat. Poznamenejme jen, zˇ e dukaz ´ spoˇc´ıva´ Vetu prvn´ı cˇ asti ˚ ´ ı dane´ ˇrady s jistou geometrickou ˇradou. Pro druhou cˇ ast ´ lze na porovnan´ ´ ˇ ˇ ukazat, zˇ e ˇrada nesplnuje nutnou podm´ınku pro konvergenci danou vetou 1.




Literatura


Je-li lim |

n→∞

an+1 | = 1, an

´ pod´ılove´ kriterium o konvergenci ˇrady nerozhodne. Existuj´ı ˇrady konvergentn´ı ∞ P 1 (napˇr. ) i ˇrady divergentn´ı (napˇr. harmonicka´ ˇrada), pro ktere´ plat´ı, zˇ e n2 n=1

limita pod´ılu je 1). ∞ X ˇ 6 (Odmocninove´ kriterium). ´ Veta Uvaˇzujme rˇadu an , a necht’ existuje n=1 p ´ limita lim n |an | = L. Potom plat´ı: (koneˇcna´ i nekoneˇcna) n→∞

1

2

je-li L < 1, rˇada je-li L > 1, rˇada

∞ X n=1 ∞ X

an je absolutneˇ konvergentn´ı, an je divergentn´ı.

n=1

Dukaz: ˚ Je-li L < 1, zvolme ε > 0 tak, aby √ platilo L + ε < 1. Potom existuje ´ zˇ e pro n ∈ N, n ≥ n0 je n an < L + ε < 1, odkud an < (L + ε)n . n0 ∈ N takove, ∞ X ˇ Rada (L + ε)n je konvergentn´ı geometricka´ ˇrada. n=1




Literatura


´ ´ ˇ 4) ˇrada Podle srovnavac´ ıho kriteria (Veta

∞ X

an konverguje.

n=1

√ ´ zˇ e pro n ∈ N, n ≥ n0 je n an ≥ 1. Je-li L > 1, potom existuje n0 ∈ N takove, ˇ Plat´ı tedy an ≥ 1 pro n ≥ n0 , nen´ı tedy splnena nutna´ podm´ınka konvergence ∞ X ˇ ˇ 1). Rada (Veta an diverguje. n=1 √ ´ ˇ zˇ e lim n an neexistuje nebo je Odmocninove´ kriterium selˇze v pˇr´ıpade, n→∞

´ rovna jedne. Pˇr´ıklad: Vyˇsetˇreme konvergenci ˇrady

∞ X n=2

1 . (ln n)n

´ Pouˇzijeme odmocninove´ kriterium: s 1 1 lim n = lim = 0 < 1. n→∞ n→∞ ln n (ln n)n ˇ Rada tedy konverguje.




Literatura


´ Zat´ım se uvedena´ kriteria týkala absolutn´ı konvergence. Uved’me nyn´ı jedno ´ ´ pro neabsolutn´ı konvergenci, Leibnitzovo kriterium. Týka´ se tzv. kriterium ˇ ı znamenko. ´ alternuj´ıc´ıch ˇrad, tj. ˇrad, jejichˇz cˇ leny pravidelneˇ men´ ˇ 7 (Leibnitzovo kriterium). ´ Veta Necht’ pro posloupnost {an } plat´ı: an ≥ an+1 ≥ 0 pro kaˇzde´ n ≥ 1, a souˇcasneˇ lim an = 0. n→∞

Potom rˇada

∞ X (−1)n an

konverguje.

n=1

ˇ Pˇr´ıklad: Rada klesaj´ıc´ı a

∞ P

ˇ ˇ 7 (posloupnost { n1 } je podm´ınky vety (−1)(n+1) n1 splnuje

n=1 lim n1 = n→∞

ˇ ukaˇ ´ zeme, zˇ e jej´ı souˇcet je 0 ) a tedy konverguje. (Pozdeji

ˇ srovnej ln 2.) Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, tato ˇrada nekonverguje absolutne, s harmonickou ˇradou.




Literatura


ˇ 8 (Integraln´ ´ ı kriterium). ´ Veta Necht’ funkce f (x) definovana´ pro x ≥ 1 je ˇ ıc´ı podm´ınku f (x) ≥ 0 pro x ≥ 1. nerostouc´ı spojita´ funkce splnuj´ ∞ R∞ P ´ eˇ tehdy, kdyˇz konverguje rˇada f (n). Pak f (x) dx konverguje prav n=1

1

ˇ Pˇr´ıklad: Rada

∞ P n=1

1 n2

Z∞ 1

´ konverguje, protoˇze integral

∞ 1 1 1 dx = − = lim (− ) − (−1) = 1 x→∞ x2 x 1 x

konverguje. ´ ıho kriteria ´ ´ Pˇr´ıklad: Pomoc´ı integraln´ muˇ divergenci ˚ zeme take´ dokazat ∞ P 1 ´ ˇ ´ harmonicke rady . Protoˇze integral n n=1

Z∞

1 dx = [ln x]∞ lim ln x = ∞ 1 = x→∞ x

1

diverguje, diverguje i ˇrada

∞ P n=1

1 n

.




Literatura

Bodova´ konvergence.

´ e´ funkce jedne´ realn ´ e´ promenn ˇ e´ Definice 3. Necht’ n ∈ N a fn je realn ∞ X ´ ˇ ı rˇadou v definovane´ na intervalu I. Potom rˇadu fn (x) nazývame funkcn´ ˇ ıkame, ´ I. R´ zˇ e rˇada

∞ X

n=1

fn (x) konverguje bodoveˇ v mnoˇzineˇ D ⊂ I, jestliˇze pro

n=1

kaˇzdou hodnotu x ∈ D konverguje rˇada

∞ X

´ fn (x). Mnoˇzinu D nazývame

n=1

oborem konvergence rˇady. Oznaˇc´ıme-li sm (x) =

m X

´ cný souˇcet fn (x) cˇ asteˇ

n=1

rˇady a plat´ı-li lim sm (x) = s(x), pro x ∈ D, potom p´ısˇ eme m→∞

∞ X

fn (x) = s(x), pro x ∈ D.

n=1

´ Duleˇ týkaj´ıc´ı se ˇrad funkc´ı je to, zda se vlastnosti jednotlivých ˚ zitou otazkou ´ s´ı take´ na souˇcet ˇrady. cˇ lenu˚ ˇrady (spojitost, existence derivace, apod.) pˇrenaˇ ´ k tomu nestaˇc´ı, mus´ıme proto zavest ´ silnejˇ ˇ s´ı typ Bodova´ konvergence nam konvergence.




ˇ a´ konvergence. Stejnomern

ˇ ıkame, ´ Definice 4. R´ zˇ e rˇada

∞ X

ˇ eˇ k souˇctu fn (x) konverguje stejnomern

n=1

ˇ asteˇ ´ cných souˇctu˚ s(x) na intervalu I, jestliˇze posloupnost {sm (x)}∞ n=1 jejich c ˇ eˇ k funkci s(x) na I (p´ısˇ eme sm ⇒ s), tj. konverguje stejnomern ´ zˇ e ∀x ∈ I a ∀n ∈ N, n ≥ n0 plat´ı |sm (x) − s(x)| < ε. ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N takove, ˇ Je tˇreba si uvedomit, zˇ e slabˇs´ı vlastnost bodove´ konvergence znamena´ ´ zˇ e a ∀n ∈ N, n ≥ n0 plat´ı |sm (x) − s(x)| < ε. ∀x ∈ I ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N takove, ˇ 9 (Weierstrassovo kriterium). Necht’ an ≥ 0 a Veta

∞ X

an konverguje.

n=1

Necht’ pro vˇsechna x ∈ I a vˇsechna n ∈ N plat´ı |fn (x)| ≤ an . Potom rˇada ∞ X ˇ eˇ na I. fn (x) konverguje stejnomern n=1

ˇ ˇ eˇ Pˇr´ıklad: Rozhodneme, kde ˇrada konverguje stejnomern ∞ X cos nx . n4 n=1

Literatura




Literatura


´ Pouˇzijeme Weierstrassovo kriterium 1 cos nx ≤ 4 n4 n ˇ Rada

pro

x ∈ R.

∞ X 1 ˇ eˇ v R . konverguje, tedy dana´ ˇrada konverguje stejnomern n4 n=1

ˇ 10. Necht’ rˇada funkc´ı Veta

∞ X

ˇ eˇ na I a ma´ na I fn (x) konverguje stejnomern

n=1

´ pak je na I spojita´ take´ souˇcet s(x). Jsou-li vˇsechny funkce fn (x) na I spojite, funkce s(x). ˇ 11. Necht’ rˇada funkc´ı Veta

∞ X

ˇ eˇ na I = [a, b] a fn (x) konverguje stejnomern

n=1

´ pak je ma´ na I souˇcet s(x). Jsou-li vˇsechny funkce fn (x) na I integrovatelne, na I integrovatelna´ take´ funkce s(x) a plati ! Z b Z b X ∞ Z b ∞ ∞ Z b X X s(x) dx = fn (x) dx, tj. fn (x) dx = fn (x) dx. a

n=1

a

a

n=1

n=1

a




Literatura


Z ˇ Pˇr´ıklad: Vypoˇctete 0

ˇ Rada

∞ X

1 2

∞ X

! nx

n−1

dx.

n=1

ˇ eˇ na [0, 12 ] (podle Weierstrassova n x n−1 konverguje stejnomern

n=1

´ kriteria). Plat´ı proto ! Z 1 X Z ∞ ∞ X 2 n−1 nx dx = 0

n=1

n=1

ˇ 12. Necht’ rˇada funkc´ı Veta

∞ X

1 2

! nx

n−1

dx

=

∞ X

0

xn

1 2

0

=

∞ X 1 = 1. 2n n=1

n=1

´ intervalu fn (x) konverguje na otevˇrenem

n=1

I = (a, b) a ma´ na I souˇcet s(x). Necht’ rˇada funkc´ı

∞ X

fn0 (x) konverguje

n=1

ˇ eˇ na I. Maj´ı-li vˇsechny funkce fn (x) na otevˇrenem ´ intervalu I stejnomern derivaci pro vˇsechna n ∈ N, potom ma´ take´ funkce s(x) derivaci na I a plati !0 ∞ ∞ ∞ X X X s0 (x) dx = fn0 (x) dx, tj. fn (x) = fn0 (x). n=1

n=1

n=1




Literatura

ˇ konvergence. Mocninna´ rˇada. Polomer

ˇ Definice 5. Radu tvaru

∞ X

an (x − x0 )n ,

n=0

´ a´ cˇ ´ısla, x je promenn ˇ a, ´ nazývame ´ kde x0 , a0 , a1 , . . . jsou realn mocninnou ˇ ısla a0 , a1 , . . . nazývame ´ rˇadou. C´ koeficienty a cˇ ´ıslo x0 stˇred mocninne´ rˇady. ˇ e´ x je mocninna´ rˇada cˇ ´ıselnou rˇadou. Souˇcet Pro zvolenou hodnotu promenn ´ eˇ pro ty hodnoty mocninne´ ˇrady pˇredstavuje jistou funkci, definovanou prav ˇ e´ x, pro ktere´ odpov´ıdaj´ıc´ı cˇ ´ıselna´ ˇrada konverguje. promenn ∞ P Pˇr´ıklad: Mocninna´ ˇrada x n (se stˇredem x0 = 0) je geometrickou ˇradou n=0

´ eˇ pro x ∈ (−1, 1). Podle vety ˇ 2 pro jej´ı s kvocientem x, a tedy konverguje prav souˇcet plat´ı ∞ X 1 xn = pro x ∈ (−1, 1) . 1−x n=0




Literatura


ˇ 13. Necht’ Veta

∞ P

an (x − x0 )n je mocninna´ rˇada. Pak existuje cˇ ´ıslo

n=0

´ zˇ e: R ∈ h0, +∞i (tj. R ∈ h0, +∞) nebo R = +∞), takove, 1

Je-li R = 0, pak dana´ mocninna´ rˇada konverguje pouze pro x = x0 a pro ostatn´ı x 6= x0 diverguje.

2

Je-li R ∈ (0, +∞), pak dana´ mocninna´ rˇada konverguje absolutneˇ pro kaˇzde´ x ∈ (x0 − R, x0 + R) a diverguje pro kaˇzde´ x ∈ (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, +∞).

3

Je-li R = +∞, pak dana´ mocninna´ rˇada konverguje absolutneˇ pro kaˇzde´ x ∈ R.

ˇ ıslo R nazývame ´ ˇ C´ polomerem konvergence mocninne´ rˇady. ˇ konvergence mocninne´ ˇrady Polomer

∞ P

an (x − x0 )n je moˇzno urˇcit pomoc´ı

n=0

´ ´ pod´ıloveho kriteria. Oznaˇcme an . R = lim n→∞ an+1




Literatura


´ zeme, zˇ e R je polomer ˇ konvergence dane´ mocninne´ ˇrady. Plat´ı Ukaˇ an+1 (x − x0 ) an+1 an+1 (x − x0 )n+1 . = lim lim lim = |x − x0 | · n→∞ n→∞ an (x − x0 )n n→∞ an an Odtud okamˇziteˇ plyne, zˇ e pro |x − x0 | < R mocninna´ rˇada konverguje ˇ absolutneˇ a naopak pro |x − x0 | > R diverguje. Tedy R je polomerem ˇ 13, tj. v pˇr´ıpadeˇ konvergence dane´ mocninne´ ˇrady. V pˇr´ıpadeˇ 2. vety R ∈ (0, +∞), nelze ˇr´ıci obecneˇ nic o konvergenci mocninne´ ˇrady pro x = x0 − R a x = x0 + R. Existuj´ı pˇr´ıklady, kdy mocninna´ ˇrada konverguje jak pro x = x0 − R tak pro x = x0 + R, pˇr´ıklady kdy konverguje pouze pro jednu ˇ ˇ z techto hodnot, i pˇr´ıklady, kdy pro obeˇ z techto hodnot diverguje. ∞ n P x ˇ e´ x konverguje ˇrada Pˇr´ıklad: Urˇcete, pro ktere´ hodnoty promenn . n n=1

Protoˇze

n+1 x lim n+1 n n→∞ x n

n = lim x · = |x| , n→∞ n + 1

´ ´ je podle pod´ıloveho kriteria dana´ ˇrada absolutneˇ konvergentn´ı pro ˇ konvergence x ∈ (−1, 1) a divergentn´ı pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞). Polomer dane´ mocninne´ ˇrady je tedy roven 1.





Pro x = 1 je dana´ ˇrada harmonickou ˇradou, a tedy ˇradou divergentn´ı, pro ∞ X 1 x = −1 je dana´ ˇrada ˇradou (−1)n , u ktere´ jsme jiˇz urˇcili, zˇ e konverguje. n n−1

Literatura




Taylorova rˇada.

´ u. Definice 6. Necht’ funkce f ma´ v bodeˇ x0 derivace vˇsech rˇad ˚ Taylorovou rˇadou funkce f se stˇredem v x0 rozum´ıme rˇadu ∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n . n! n=0

Pˇr´ıklad: Odvod’te Taylorovu ˇradu funkce f (x) = ex se stˇredem v bodeˇ x0 = 0 a urˇcete, pro ktera´ x tato ˇrada konverguje. Pro f (x) = ex je f (n) (x) = ex , a tedy f (n) (x0 ) = 1. Taylorova ˇrada je tedy ˇrada ∞ X xn . n! n=0

´ ˇrady pod´ılovým kriteriem: ´ Vyˇsetˇreme konvergenci teto n+1 x x (n+1)! = 0 pro kaˇzde´ x ∈ R . lim x n = lim n→∞ n! n→∞ n + 1 ˇ Rada

∞ P n=0

xn n!

tedy konverguje pro kaˇzde´ x ∈ R. Souˇcet Taylorovy ˇrady, pokud

existuje, budeme znaˇcit symbolem T (x).

Literatura




Taylorova rˇada.

´ ´ eˇ Protoˇze Tayloruv ˚ polynom Tn (x) n-teho stupneˇ funkce f v bodeˇ x0 je prav ´ funkce, je podle definice ´ ˇ ym ˇ n-tým cˇ aste cn ´ souctem Taylorovy rˇady teto T (x) = lim Tn (x) . n→∞

´ V dalˇs´ım se budeme zabývat otazkou, kdy f (x) = T (x). Z Taylorova vzorce f (x) = Tn (x) + Rn (x) dostaneme limitn´ım pˇrechodem pro n → ∞ f (x) = lim Tn (x) + lim Rn (x) = T (x) + lim Rn (x) . n→∞

n→∞

n→∞

´ rovnosti plyne, zˇ e f (x) = T (x) prav ´ eˇ pro ta x, pro ktera´ je Z teto lim Rn (x) = 0.

n→∞

´ ´ ˇ T´ım jsme dokazali nasleduj´ ıc´ı vetu: ˇ 14. Pro souˇcet T (x) Taylorovy rˇady funkce f se stˇredem v x0 plat´ı Veta ´ eˇ tehdy, kdyˇz T (x) = f (x) prav

lim Rn (x) = 0 .

n→∞

Je duleˇ ˚ zite´ poznamenat, zˇ e existuj´ı funkce, ktere´ maj´ı v bodeˇ x0 vˇsechny derivace, a tedy maj´ı Taylorovu ˇradu, jej´ızˇ souˇcet se dane´ funkci v okol´ı x0 ´ nerovna.

Literatura




Literatura

Taylorova rˇada.

Pro tyto funkce zˇrejmeˇ lim Rn (x) 6= 0. Pˇr´ıkladem takove´ funkce je funkce n→∞

( f (x) =

− 12

e 0

pro x 6= 0 pro x = 0 .

x

´ ˇ 14. Lze ukazat, zˇ e T (x) = 0 pro vˇsechna x ∈ R. Ilustrujme si pouˇzit´ı vety ´ zeme, zˇ e Pˇr´ıklad: Ukaˇ ex =

∞ X xn n!

pro kaˇzde´ x ∈ R .

n=0

Z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu v´ıme, zˇ e ˇrada

∞ P n=0

xn n!

je Taylorovou ˇradou funkce ex se

stˇredem v x0 = 0 a zˇ e tato rˇada konverguje pro kaˇzde´ x ∈ R. Pro pevneˇ ˇ o zbytku v Tayloroveˇ formuli. zvolene´ x ∈ R plat´ı prodle vety ec x n+1 , kde c leˇz´ı mezi x a x0 . (n + 1)! ec x n+1 |Rn (x)| = x n+1 ≤ e|x| . (n + 1)! (n + 1)!

Rn (x) = Zˇrejmeˇ




Literatura

Taylorova rˇada.

x n+1 n→∞ (n+1)!

´ zeme-li, zˇ e lim Ukaˇ

= 0, pak nutneˇ i lim Rn (x) = 0. Ale ˇrada n→∞

∞ P n=0

xn n!

ˇradou konvergentn´ı, a tedy podle vety ˇ 1 je xn x n+1 lim = lim =0. n→∞ n! n→∞ (n + 1)! ´ er ˇ tohoto odstavce uved’me Taylorovy ˇrady nekter´ ˇ Na zav ych funkc´ı, spolu ˇ s intervaly, kde se temto funkc´ım rovnaj´ı: ∞ X xn , x ∈R ex = n! n=0

sin x

=

∞ X (−1)n n=0

cos x

x 2n+1 , x ∈R (2n + 1)!

=

∞ X x 2n (−1)n , x ∈R (2n)!

=

∞ X xn , x ∈ (−1, 1i (−1)(n+1) n

=

∞ X x 2n+1 (−1)n , x ∈ h−1, 1i 2n + 1

n=0

ln(x + 1)

n=1

arctg x

n=0

je




Literatura

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Recommend Documents