Matematika- opakování (2009) 1.ZÁKLADNÍ POZNATKY Z LOGIKY A TEORIE MNOŽIN, DŮKAZY VĚT 1) Určete, které zápisy jsou výroky a určete jejich pravdivostní hodnotu: a) Student gymnázia. b) Písek je hlavní město ČR. c) 3 2 2 0 e) 2 x 5 1
d) Dnes je úterý. f) Začněte pracovat!
2) Znegujte výroky: a) Nejvýše tři dny bude mráz. c) Každé prvočíslo je kladné. e) x R, x 0
b) Chybí právě čtyři židle. d) Žádný člověk není nesmrtelný. f) x R, x 0
g) Výstavu navštíví Jana a Pavel. h) Aspoň čtyři žáci přišli pozdě. i) Jestliže nepůjde Jana, pak půjde Pavel. 3) Jsou dány množiny A = ,1;2;3;4;5;6;7;8;9;11;13}, B = { 2;3;5;7;15;17}, C = {2;4;6;8;10}. Určete: a) A B C b) A B C c) B A C 4) Zapište pomocí intervalů a znázorněte na číselné ose. A x R, 1 x 5 ,
C x R, 2 x 6 . Určete A B , A C B, A B C,
B x R, 2 x 3 ,
A B C .
5) a) Jsou dány množiny A = 1;2;5 a B = xN, 2 x 7 . Určete jejich průnik, sjednocení a rozdíl B - A. b) Zapište pomocí intervalů a znázorněte na číselné ose sjednocení a průnik množin A a B. A = -2;5, B = xR,x - 2 1. 6) Dokažte, že pro každé přirozené číslo platí: a) jestliže 3 dělí n2 + 2, pak 3 nedělí n
b) 2 dělí 3n(n + 1).
7) Dokažte větu: n N ; 3 / n 2 2 3 / n .
1 1 1 1 n 1 2 2 3 3 4 nn 1 n 1
8) Dokažte matematickou indukcí pro všechna n N ; a) b) 2 4 6 2n n n 1 c)
n n 1 1 4 9 n2 1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 2 2n 1
2. ROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 1) Řešte v R: a)
12 1 3x 1 3x 2 1 3x 3x 1 1 9x
b)
2 x 19 3x 17 3 2 2 5x 5 1 x x 1
Výsledky: a) 1 , b) 3 , c) 8 2) Řešte v R:
a)
x x 1 2x 1
b)
2 x 3 3 x
c)
3x 4 x 3 2 x 1
d)
1 x 2 x2 8 x 1
Výsledky: a) 0 , b) 3 , c)
4 ,
d) 0;2
c)
1 x 2 20 2 1 x 4 x 16
3) Řešte v R: a) x 4 2 x 2 8 0
Výsledky: a) 2;
b) 4 x 4 37 x 2 9 0
c)
x 3 x 1 4 x 3 x 5
1 1 2 , b) 3; ; ; 3 , c) 4; 9 2 2
x 8 x 8 7 6 22 0 x2 x 2
x 1 x 1 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1
4) Řešte v R: a)
b)
x 3 x 3 5 3 9 0 x2 x 2
c)
Výsledky: a) 0; 3 , b) 5 , c)
3; 1
5) Řešte soustavu v R3: a) 4 x y z 0
b) 5x 5 y z 2
2y z 1 4 x 5 y 3z 8
3x 4 y 3z 1 2 x y z 1
c) x 2 y 5z 1
3x 4 y 7 z 2 6x 8 y 9z 4
Výsledky: a) 0;1;1 , b) 1; 1; 2 , c) 0; ; 0 2
1
6) Turista má vykonat cestu 45 km. Kdyby urazil za hodinu o 0,5 km méně, došel by do cíle o 1 hodinu později. Určete rychlost turistovy chůze. Výsledky: 5 km.h-1 7) Zemědělec měl do určité lhůty osít 200 ha polí. Denně však osel o 5 ha více, než bylo plánováno, a proto ukončil setí 2 dny před plánem. Za kolik dní tedy zemědělec pole osel? Výsledky: 8 dní 8) Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku jsou v poměru 3 : 4. Určete obvod tohoto trojúhelníku, je-li obsah 54 cm2. Výsledky: obvod je 36 cm 9) Na diskotéce bylo třikrát tolik dívek než chlapců. Když osm chlapců a osm dívek odešlo, zbylo pětkrát víc dívek než chlapců. Kolik dívek a kolik chlapců bylo na diskotéce na začátku? Výsledky: 48 dívek, 16 chlapců 10) Cena tkaniny byla snížena o tolik procent, kolik korun stál jeden metr před snížením cen. O kolik procent byla tato cena snížena, jestliže se metr pak prodával za 16 korun? Výsledky: 80 Kč , 80% nebo 20Kč, 20% 11) Ve škole bylo přespolních žáků o 8 více než domácích. Domácích žáků je právě tolik % celého počtu žáků, kolik bylo všech žáků. Určete počet žáků. Výsledky: a) celkem 40 žáků, přespolních 24, domácích 16
b) celkem 10 žáků, přespolních 9, domácí 1
12) Pumpou A se naplní nádrž za 12 minut, pumpou B za 24 minut. Za jak dlouho se naplní nádrž, pracuje-li 3 minuty jen pumpa A a potom obě pumpy současně? Výsledky: 9 minut
3. NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 1) Řešte v R: a)
6 x 3 2 x
b)
2 3x 0 x 11 x 2
c)
6 7 x 2 3 x
4
Výsledky: a) ; 0 2; , b) ; 1 ; 1 , c) 2; 3; 3 13
2) Řešte početně i graficky v R: a) x 2 2 x 3 0
b) x 2 4 6 x 5
c) x 2 4 x 4 0
Výsledky: a) 1; 3 , b) 3 , c) R 2 3) Řešte v R: a)
x2 9 3 x
b)
x 2 x 12 6 x
Výsledky: a) ; 3 3 , b) ; 4 3;
a)
d) 2 x 1 x 2
48 , c) 1; , d) 5; 13
4) V kartézské soustavě souřadnic znázorněte řešení dané soustavy:
x y 6 x y 0 y20
c) 3x 2 1
2x y 2 b) x y 0 y30
6 y x c) x y 1 y 1
5) Řešte soustavu nerovnic pro x R : a)
5 x 3 3x 19 4 x 1 22 3x
b)
4 x2 9 0 x 15 0
Výsledky: a) 11; 3 , b)
4. ROVNICE S PARAMETREM 1) Řešte v R rovnici s parametrem a) p R :
p2 p x 1 4x 2 x
b)
2 p 1 x 6 px
c)
x p p x 1
d) px 2 6 p 2 x p 0
Výsledky:
p 1 K
p 2 K R 0 a)
p 2 p R 2; 2 K 2 p 2 nelze
p 0 K R d)
2p b) p R 1;1 K 1 p p 1 nelze
1 p K 1 3 1 1 p ; 0 0; K 3 3
1 p K 1 3 1 1 p ; ; K 3 p 9 p 2 1; 3 p 9 p 2 1 3 3
p 1 K c)
6 p R 1 K p 1
2) Určete, pro které m R má rovnice (s reálnou neznámou x ): a) dva reálné kořeny; m 1x 2 m 2x 2m 1 0 b) jeden kořen; mx 2 2m 1 x m 0
8 7
1 4
Výsledky: a) m 0;1 1; , b) m 0; 3) Řešte v R rovnici s parametrem p R :
Výsledky: p 0 K ; 0 ,
x2 p p x
p 1 p 1; 0 K , p ; 1 K 2
kx 2 y 3 3x ky 4 Určete, pro která celá čísla k je řešením této soustavy x; y taková,
4) Je dána soustava s reálným parametrem k:
Výsledky:
že x 0 a y 0 .
k 2; 1; 0;1; 2
5. ZÁKLADY PLANIMETRIE
1) Je dána kružnice o poloměru r. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby byl vepsán této kružnici. Jeho vrcholy dělí obvod kružnice v poměru 2:3:7. Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníku ABC. Výsledky: 45,105, 30 2) Vypočtěte velikost vnitřních úhlů čtyřúhelníku ABCD, který dostanete tak, že spojíte na ciferníku hodinek body vyznačující čísla 1, 3, 7, 12. Výsledky: 135, 90, 45 , 90 3) Nad stranami čtverce vepsaného do kružnice o poloměru r jsou opsány půlkružnice, které procházejí středem čtverce. Vypočtěte obsah obrazce ve tvaru čtyřlístku. Výsledky: S r 2 2 4) Vypočtěte obsah a obvod útvaru, je-li dáno: a) útvar vznikne sestrojením kružnic nad stranami rovnostranného trojúhelníku o straně délky a b) útvar vznikne sestrojením shodných kružnic se středy ve vrcholech čtverce a poloměrem
3 3 2 3 a , o a 2 4 8
Výsledky: a) S
a , kde a je hrana čtverce. 2
3 4
b) S a 2 1 , o 3 a
5) Je dána úsečka AB, AB 4cm . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí AB 4cm ,
45 . 6) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
BC 5cm ,
a) b) c) d) e) f)
va = 5 cm, a = 6 cm, va = 5 cm, b = 6 cm, 0 a = 6 cm, ta = 2,5 cm, a = 5 cm, , tb = 3 cm ta = 9 cm, tb = 6 cm, AS, d(AS) = 6 cm, AS je těžnice, dále je dáno 30 , d(AB) = 5cm.
7) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: a) a 6cm, b 8cm, AC 10cm b) a 6cm, b 8cm, va 5cm
6. FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI 1) Určete definiční obor funkce: f1 :
D f1 R 0;2;3 ,
Výsledky:
y
1 x 5x 2 6 x
y 2 x x2
f3 :
y
x 1 x2 4
D f 3 2;1 2;
D f 2 1;2 ,
2) Určete vlastnosti funkce a) y 3x 2 6
f2 :
3
pro x 1;2
b) y 2 x 5
pro x 1;7
c) y 4 2 x 2
pro x 2;2
3) Rozhodněte, zda je funkce sudá nebo lichá: a) y
x x
b) y x 5 1
c) y
x2 x x 1
d) y 2 x 2 1
Výsledky: a) lichá, b) ani lichá ani sudá, c) ani lichá ani sudá, d) sudá 4) Dokažte, že funkce f : y
x2 pro x 5; 5 je sudá. x2 4
5) Dokažte, že funkce: a) f : y 5x 2
je klesající
b) f : y 4 x 9
je rostoucí
6) Je dána funkce f : y 2 x 3 , x 2; 1 . a) Dokažte, že k funkci existuje funkce inverzní. b) Určete definiční obor inverzní funkce. c) Sestrojte graf inverzní funkce v soustavě Oxy. d) Určete zápis inverzní funkce v soustavě Oyx a v soustavě Oxy. 7) Je dána funkce f : y 3 1 , x Z . Určete, zda je funkce periodická, jaká je nejmenší perioda ( pokud existuje ) a načrtněte její graf. x
Výsledky: je , nejmenší perioda je 2 8) Rozhodněte, která z daných množin je funkce: a) A
x, y R R; x
2
y 2 18
b) B x, y Z Z ; x y 4
c) C x, y W R; y 2 x 1, W 1;2;3;4 Výsledky: a) není , b) není , c) je
7. ABSOLUTNÍ HODNOTA REÁLNÉHO ČÍSLA 1) Sestrojte graf funkce: a) y x 2 1 x 2 Řešte v R rovnici: a) x 1 2 x 3 0 d) 3x 4 6 2 x 1
5 3
c) y 2 x 1 3 x 1 x 3 x
b) y 2 x 3
5 3
b) x 2 5 2 x 8
c) 2 x 3 3x 2
e) 2 x 7 5 3x 8
f) x 4 2 x 1 0
9 5
Výsledky: a) K 7; , b) K ;5 , c) K 1;1 , d) K 1; , e) K 10;6 f) K 2;2 3) Řešte v R nerovnici: a) x 2 x 8
Výsledky: a) K 3;5 , b) K ;
b) 5 x 2 2 x 3
c)
2x 5 2 x3
5 1 3 3 1 ; ; , c) K ; 3 3; 3 7 2 2 4 b) y x 2 2 x 3 1 6 x
4) Sestrojte graf funkce: a) y 4 x 2 1 x 2 d) y x 2 4 x 2 9 3 5) Řešte v R rovnici: a) x 2 9 x 2 4 5
c) y x x 3
e) y 2 x 2 1 x 1
b) x 2 4 5 9 x 2
c) 1 2 x x 2 1 x
Výsledky: a) K 3; 2 2;3 , b) K ; 3 3; , c) K 0;1 6) Řešte v R nerovnici: a) x 6 x 2 5x 9
b) x 2 2 x 3 3x 3
c) x 2 7 x 12 x 4
Výsledky: a) K 1;3 , b) K 2;5 , c) K 2;4 7) V kartézské soustavě souřadnic znázorněte, pro které x; y R R je splněno: a) x 1 z 3
b) x 1 y 3
c) x 1 2 y 2 3
8. RACIONÁLNÍ FUNKCE 1) Najděte rovnici lineární funkce f, jejíž graf obsahuje body A 3; 2 , Výsledky: y
B 4; 0 .
2 8 x 7 7
2) Graf lineární funkce prochází body A6;4 , a B 2;1 , určete předpis funkce, obor hodnot této funkce, je-li její definiční obor 3;4 . Určete funkční hodnoty pro x 2;0;1 . Určete,zda je funkce rostoucí nebo klesající.
Výsledky: y
3 1 11 5 x , H f ; , 4 2 4 2
1 1 f 2 2, f 0 , f 1 2 4
3) a) Určete lineární funkci f , jestliže její graf prochází body A 2;5 , a B 1; 1. b) Vypočtěte průsečíky grafu funkce s osami souřadnými.
3
c) Určete, zda body M 3; 4 , N ;4 jsou body dané funkce. 2
1
Výsledky: a) y 2 x 1 , b) X ;0 , Y 0;1 , c) M f , N f 2 4) Je dána lineární funkce, pro kterou platí : f 1 7, f 2 23 . Určete její rovnici, průsečíky s osami souřadnými a hodnoty x , pro které platí 7 f x 13 . Výsledky: y 10 x 3,
3 X ;0 , Y 0;3 , 10
x 1;1
5) Určete rovnici kvadratické funkce, pro kterou platí: a) prochází body A 2; 2 , B 5;1 , C 0;6 b) f 2 8, f 2 0, f 1 4
c) funkce f je sudá v R, hodnota minima je -8 a jeden z průsečíků grafu funkce s osou x má souřadnice *2;0+ d) funkce f je v intervalu ; 3
rostoucí, v intervalu 3 ;
je klesající, graf prochází počátkem soustavy
sou-
řadnic, hodnota maxima je 18. Výsledky: a) y x 2 6 x 6 , b) y 2 x 2 2 x 4 , c) y 2 x 2 8 , d) y 2 x 2 12 x 6) Sestrojte graf funkce a) f : y
7) Sestrojte graf funkce a) y
8) Zakreslete grafy funkcí
3 2 3 9 x x 4 2 4
x 1 x2
b) y
b) y 2 x 2 6 x 1
x 1 x2
c) y
5 2x x3
a) f : y x 1
5
b) g : y x 4 3
d) y x 2 1
e) y x 2 1
3
d) y
h: y
c)
3
5 2x x3
1 1 x 2
f) y x 1 3 4
9. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE 1) Určete definiční obor funkce: a) f : y log 2 x 3 c) f : y log 2
3x 7 x 5
d) f : y log8 7 2 x
b) f : y log
e) f : y log3
2x 4 x3
2x 5 x3
f) f : y log x 2 2 x 15
7 3
Výsledky: a) D f 1; , b) D f ; 3 7; , c) D f ; 5;
5 2
d) D f ;3 , e) D f ; 3 ; , f) D f 5;3
2) Načrtněte graf funkce: a) g : y log 1 x 2
b) f :
y log 3 x 3
c) h : y log6 x 3 1
2
3) Řešte v R exponenciální rovnici: a) 4 x 3 2 x1 16 0
1 e) 23 x 1 4 8x 1 2
d ) 9 x 12 3x 27 0
b) 9 x 4 3x 45
4
4 x 3 2 x 3
6
16
x
Výsledky: a) K 3 , b) K 2 , c) K 2 , d)
f ) 32 x 1 32 x 2 32 x 4 315
b) log x 13 log x 3 1 log2 d) log x
c) log x 5 log 2 x 3 log30 1
log 6 x 2 2 log x 3
g ) 42 x 6 4 x 8 0
1 K 1;2 , e) K 2 , f) K 3 , g) K 1; 2
4) Řešte v R rovnici: a) logx 3 logx 2 2 log 2
e)
c)
f) log x
1 2 log x
3 2 log x log 4 x 3 g) 2 log x 2
Výsledky: a) K 7 , b) K , c) K 6 , d) K 1000;0,1 , e) K 11 , f) K 10 , g) K 7 6) Určete, jakému výrazu se rovná x
a) log z x n 3 log z a 2log z b 2
b) log z x 3log z a 4 2log z a 4 2log z a 2 16
c) log x 2log a n 2 log b 3
d) log x 2log a 3 3log a 3 2log a 2 9
a n 3 Výsledky: a) x 2 2 , bz
b) x a 4 ,
103 a 2 c) x n 2 , d) x a 3 b
5) Určete hodnotu výrazu: a) x log 0, 2 0,0016 3 log 8 0,125 c) x log2 8 log2 8 log2 0,25 log2 4 Výsledky: a) x 1 , b) x
5 , c) x 6,25 , d) 2
1 log3 3 27 d) x 0,1 log0,1 log10 10
b) x log3 27 log3 1 log3
x 0,25
10. GONIOMETRICKÉ FUNKCE
9 4
1) Určete základní velikosti daných úhlů: 1675, 1005, 1925, 395, ,
Výsledky: 235, 75,125 , 325 ,
20 37 11 , , 3 6 2
7 2 11 3 , , , 4 3 6 2 3 4
2) Určete hodnotu výrazu: a) 6sin 2cos
4cos 2 6
5 4
5 3
3
b) 3cos 3cos 2sin
3 5 11 4cos d) 4cos 2sin 3sin 2 3 6 2 6 3 2 3 3 2 7 3 3 , c) 1 , d) 2 Výsledky: a) 2 3 3 2 , b) 2 2 2 2 5 4
c) 3sin 2sin
3) Zakreslete graf funkce: a) f : y
sin 2 x 1 cos x
b) f : y 2sin x
d) f : y sin x
4) Vyjádřete funkcemi jednoduchého úhlu: a)
2 3
c) f : y cos2 x 1
2
f) f : y cot g x
e) f : y tgx 2
4
sin sin 2 1 cos cos 2
4 3
Výsledky: a) tg , 2k , 2k , k Z , b)
b)
1
cos2 x cos2 x sin 2 x
1 tgx, x k , x k , k Z 2 2
3 b) cot g 4 x 3 3 2 3 2 2 2 2 d) sin x 3cos x cos x 1 e) sin x cos x 3sin x 2 0
c) tg 2 2 x tg 2 x
g) 6cos2 2 x 7sin 2 x 1 0
i) cos2 x
5) Řešte v R rovnici: a) sin 2 x
Výsledky: a)
b)
kZ
d)
2
c)
kZ
2
e) cot g x
Výsledky: a)
1 4
kZ
2
kZ
f) sin x
11 2k , 6
e)
11 15 2k ; 2k , h) 6 6
g) cos x
kZ
2k ; k , f)
kZ
kZ
h) tg x
2
7 9 2k ; 2k , c) 4 4
5 4
2
k ;
4
d) sin x
1 6
kZ
4
k ;
2
3 x ; 2
4
k
3
4 2k ; 4 2k ,
kZ
k
5 x ; 13 2 12 3 x ;2 c) cos x 13 2
3 6 1 12 5 12 , sin x , cot gx , tgx , cot gx , b) cos x , 3 3 13 12 5 2 5 5 12 c) sin x , tgx , cot gx 13 12 5
Výsledky: a) cos
1
1
7) Určete hodnoty ostatních goniometrických funkcí, je-li: a) sin x b) tgx 2
4
kZ
c) tgx 1
2 2
5 7 2k ; 2k , b) 3 3
2k ;
2 2
b) cos x
2
k ; 3 2k ; 3 2k ,
5 i) 2k ; 2k ; 2k 3 3 kZ
2 h) k ; 2k ; 2k , 3 3 kZ 2 1 2
f)
kZ
6) Řešte v R nerovnici: a) cos x
kZ
kZ
4
1 1 cos x 0 2 2
k 2 ; 8 k 2 ,
2k 1 2 ; 3 2k ; 3 2k , e) 3 2k ; 3 2k ,
5 g) k ; k , 12 kZ 12
g)
4 k 4 ,
kZ
d)
f) tgx 2sin x 0
h) 2cos x 3 cot gx
3 k ; 2 k ,
4
3
2
11. VYUŽITÍ VLASTNOSTÍ PRAVOÚHLÉHO A OBECNÉHO TROJÚHELNÍKA
1) Paty dvou sousedních sloupů mají výškový rozdíl 10,5m. Jak dlouhé vodiče spojují oba sloupy, je-li sklon svahu, na kterém sloupy stojí, 3930 ? Výsledky: x 16,51 m 2) Lanovka má přímou trať o délce 1450 m s úhlem stoupání 35 . Jaký je výškový rozdíl mezi dolní a horní stanicí? Výsledky: x 831,69 m 3) Dalekohled měřicího přístroje je 1,7 m nad vodorovnou rovinou a je vzdálen 185 m od paty komína. Vypočtěte výšku komína, je-li změřen výškový úhel 2922 . Výsledky: v 105,8 m 4) Z věže ve výšce 105 m nad hladinou moře je zaměřena loď v hloubkovém úhlu 149 . Jak daleko je loď od věže? Výsledky: d 3 310,5 m 5) Vlak jede rychlostí 14 m s 1 a dešťové kapky kreslí na oknech čáry, které svírají s vodorovným směrem úhel 60 . Jakou rychlostí kapky dopadají? Výsledky: v 24,2 m s 1 6) Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano, je-li těleso o hmotnosti 50 kg zavěšeno podle obrázku. 300
Výsledky: F1 250 N ,
600
F2 433 N
7) Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano, je-li těleso o hmotnosti 200 kg zavěšeno podle obrázku. 600
Výsledky: F1 2 309,4 N ,
F2 1154,7 N
8) Síla F = 200 N se rozkládá na dvě složky, které s ní svírají úhly o velikostech α = 270 , β = 740. Vypočítejte velikosti obou složek. Výsledky: F1 92,5 N , F2 195,85 N 9) Síla F = 200 N se rozkládá na dvě složky F1 = 150 N a F2 = 100N. Vypočítejte úhel, který svírají síly F1 a F2. Výsledky: 76 10) Je dán obdélník ABCD s rozměry AB a, k přímce BD od bodu A. Výsledky:
x
2 5 a 5
BC b 2a . Určete vzdálenost paty kolmice vedené bodem A
11) Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a . Určete vzdálenost bodu A od tělesové úhlopříčky EC. Výsledky:
xa
2 3
12) Určete délky všech stran a velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 cm, c = 7 cm, γ = 400 . Výsledky: b 10,44 cm, 3326, 10634 13) Vypočítejte velikosti zbývajících stran a úhlů v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 9,4 cm, β = 630. Výsledky: c 20,71 cm, b 18,45 cm, 27 14) Obsah trojúhelníku ABC je 64,6 cm2, a = 9,4 cm, β = 750. Vypočtěte délky stran b, c, poloměr kružnice opsané trojúhelníku a velikosti vnitřních úhlů. Výsledky: 3734, 6726, b 14,89 cm, c 14,23 cm, r 7,71 cm 0
15) V trojúhelníku ABC je b = 8,4 cm, c = 6,9 cm, α = 56 . Vypočtěte délku strany a, poloměr kružnice opsané trojúhel-
níku, velikosti vnitřních úhlů a obsah trojúhelníku. Výsledky: a 7,3 cm, r 4,4 cm, 7233, 5127,
S 24,03 cm2
16) Určete obsah trojúhelníku ABC a poloměr jeho kružnice opsané, je-li dáno: a = 6 cm, b = 3 cm, = 300. Výsledky: S 7,79 cm2 , r 3 cm 17) Určete obsah trojúhelníku ABC a poloměr jeho kružnice opsané, je-li dáno: a = 6 cm, c = 7 cm, = 400. Výsledky: S 20,128 cm2 , r 5,445 cm 18) Na vrcholu kopce stojí rozhledna 35 m vysoká. Patu i vrchol vidíme z určitého místa v údolí pod výškovými úhly o velikosti 280 a 310. Jak vysoko je vrchol kopce nad vodorovnou rovinou pozorovacího místa? Výsledky: x 269 m 19) Dvě přímé důlní chodby, které ústí do téhož místa A a svírají úhel 370 46´, mají být spojeny chodbou (prorážkou) BC, spojující bod B na jedné chodbě s bodem C na druhé chodbě. Jak dlouhá bude prorážka, je-li AB = 137,8 m a AC = 105,3m? Výsledky: BC 84,48 m 20) Silnice vedoucí po hrázi rybníka, má být po zrušení rybníka nahrazena přímou zkratkou. Její krajní body A, B jsou zaměřeny z bodu C pod úhlem 600, Přičemž vzdálenost CA je 421 m a vzdálenost CB je 233 m. Jak dlouhá bude zkratka? Výsledky: x 365,3 m 21) Z kopce 155 m nad horizontální rovinou je vidět vrchol továrního komína v hloubkovém úhlu 18 0 34 a jeho patu v hloubkovém úhlu 290 15. Jak vysoký je komín? Výsledky: x 62 m 22) Z okna domu stojícího těsně nad řekou vidíme kámen na protějším břehu v hloubkovém úhlu 100 45. Z okna, které leží 10 metrů 0
nad prvním oknem, vidíme týž kámen v hloubkovém úhlu 13 30. Jak široká je řeka?
Výsledky: x 199 m 23) Při stavbě elektrického vedení lesem se má provést přímý průsek mezi body A, B, ležícími na krajích lesa. Mimo les bylo zvoleno 0 stanoviště C, z něhož jsou oba konce průseku vidět pod úhlem 67 36. Vzdálenost AC je 361 m a vzdálenost BC je 324 m. Jak dlouhý bude průsek?
Výsledky: x 382,3 m 24) Sestrojte úsečku délky: a) x 10 j
b) x 7 j
c) x 12 j
d) x 13 j
e) x 21 j
12. SHODNÁ A PODOBNÁ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ 1) Je dána úsečka AS, AS 6 cm . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, které mají těžnici AS, 30,
AB 5 cm .
2) Je dána úsečka AA1 ( AA1 5cm ). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA1 těžnicí ta a b = 6 cm, β = 450. 3) Je dána úsečka BB1 ( BB 1 4cm ). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je BB1 těžnicí tb a c = 5 cm, γ = 300. 4) Je dána úsečka AS, AS 5cm . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC s těžnicí AS, je-li známo: a) 45, 60
b) AC 6cm , tb 6cm
c) t c 6cm , t b 9cm .
5) Je dán půlkruh s průměrem d = 8cm a jeho vnitřní bod K. Sestrojte všechny úsečky UV, které mají střed K a krajní body na hranici půlkruhu. 6) Je dán čtverec ABCD a jeho vnitřní bod M. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky KLM, které mají vrcholy K, L na hranici čtverce. 7) Je dána přímka p, bod A a kružnice k se středem S. Sestrojte všechny rovnoběžníky SABC, které mají vrchol B na přímce p a vrchol C na kružnici k. 8) Dvě kružnice k, m se protínají v bodech A, M. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC, pro které platí: B k , C m , velikost úhlu BAC je 1200. 9) Jsou dány dvě kružnice k1 a k2 a přímka p. Sestrojte čtverec ABCD tak, aby bod A ležel na kružnici k1, bod C na kružnici k2 a úhlopříčka BD na přímce p. 10) Jsou dány přímka p a kružnice k (S, 4cm), vzdálenost středu S od přímky p je 7cm. Přímka a kružnice nemají společný bod. Je dán bod A, který je od bodu S vzdálen 6cm a od přímky p je vzdálen 4cm. Sestrojte všechny čtverce ABCD, které mají vrchol B na přímce p a vrchol D na kružnici k. 11) Jsou dány dvě různoběžné přímky p a q a kružnice k. Sestrojte čtverec ABCD tak, aby platilo: bod A leží na přímce q, bod C na kružnici k a úhlopříčka BD na přímce p. 12) Je dána kružnice k a bod M v její vnitřní oblasti. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které procházejí bodem M a jsou jím děleny na dvě úsečky v poměru 2 : 5. 13) Je dána kružnice k a bod M v její vnitřní oblasti. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které procházejí bodem M a jsou jím děleny na dvě úsečky v poměru 3 : 4. 14) Sestrojte dvojice kružnic k(O; 3cm), m(S; 2cm) a jejich středy stejnolehlosti v případech, kdy: a) OS 1cm, b) OS 0,5cm, c) OS 2cm,
d ) OS 5cm, e) 6,5cm .
15) Sestrojte aspoň jeden trojúhelník ABC, který má tyto vlastnosti: a) AB : BC : AC 2 : 3 : 4, va 4cm b) 75, vc 4cm, Nápověda: 1, 2, 3, 4, 5 – středová souměrnost 6, 8, 10 – otočení 7 – posunutí 9, 11 – osová souměrnost 12, 13, 14, 15 – stejnolehlost (homotetie)
BC : CA 2 : 3 .
13. ZÁKLADY STEREOMETRIE 1) Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou KLM. Rozměry kvádru jsou: AB = 7 cm, BC = 4 cm,AE= 5cm. Body K, L, M jsou vnitřní body hran kvádru a platí: AK:KD = 2 : 1,FM:FG = 1 : 2, HL:GL = 1 : 1. 2) Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou KLM. Rozměry kvádru jsou: AB = 7 cm,BC = 4 cm, AE= 5cm. Body K, L, M jsou vnitřní body hran kvádru a platí: AK:KB = 1 : 2,CL:CG = 1 : 4, HM:GH = 1 : 2. 3) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM. Body K, L, M jsou vnitřní body hran krychle a platí: AK:KB= 1 : 2,CL:LG = 1 : 3, HM:GM = 1 : 1. 4) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM. Body K, L, M jsou po řadě středy hran AE, CD a FG. 5) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou 4 cm a výškou 6 cm. Sestrojte řez jehlanu rovinou MNP. Pro body M, N, P platí: M je středem hrany DV, N leží na polopřímce DC za bodem C aCN:DN= 1 : 2, bod P je vnitřním bodem hrany AB a AP:PB = 2 : 1. 6) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou 6 cm a výškou 10 cm. Sestrojte řez jehlanu rovinou MNP. Pro body M, N, P platí: M je středem hrany DV, N leží na polopřímce DC za bodem C aCN:DN= 1 : 3, bod P je vnitřním bodem hrany AB a AP:PB = 2 : 1. 7) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou 6 cm a výškou 10 cm. Sestrojte řez jehlanu rovinou MNP. Pro body M, N, P platí: M je středem hrany AV, P leží na polopřímce AB za bodem B aBP:AP= 1 : 5, bod N je vnitřním bodem hrany CV a CN:VN = 1 : 2. 8) Je dána krychle ABCDEFGH o hraně a. Určete odchylku přímek BP a HF, P je střed hrany GH. Výsledky: 45 9) Je dána krychle ABCDEFGH o hraně a. Vypočtěte odchylku přímek BH a DM, M je střed hrany BC. Výsledky: 3914 10) Je dána krychle ABCDEFGH o hraně a. Body M a N jsou po řadě středy hran EF a AE. Určete odchylku rovin EFG a MNH. Výsledky: 4811 11) Je dán kvádr ABCDEFGH o rozměrech AB = 4 cm, BC = 6 cm, AE = 8 cm, bod M je středem hrany AE. Určete odchylku přímek AG a MH. Výsledky: 2853 12) Je dán pravidelný trojboký hranol ABCDEF, AB = 5 cm, AD = 6 cm. Vypočtěte odchylku přímek AE, BC. Výsledky: 7120 13) Je dána krychle ABCDEFGH o hraně a. Body K a L jsou postupně středy hran CD a CG. Určete odchylku rovin ABC a KBL. Výsledky: 4811 14) Je dána krychle ABCDEFGH o hraně a. Body L a N jsou postupně středy hran FB a HD. Určete odchylku přímky AE a roviny NGL. Výsledky: 5444 15) Je dán pravidelný trojboký hranol ABCDEF, AB = a, AD = 2a. Vypočtěte odchylku přímek BF, DE. Výsledky: 775 16) Vypočítejte odchylku přímek BP a EC v krychli ABCDEFGH o hraně a = 6cm. Bod P je střed hrany GH. Výsledky: 5444
17) Čtyřboký jehlan ABCDV má rozměry AB= 3cm,BC= 4cm, v = 6cm. Vypočtěte vzdálenost bodu B od přímky DV. Výsledky:
x
60 cm 4,615 cm 13
18) Je dán pravidelný čtyřboký hranol ABCDEFGH s rozměry AB=BC= a, AE= b. Vypočítejte vzdálenost bodu C od roviny BDG. Výsledky:
x
ab a 2b 2 2
19) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má rozměry AB= a, SV= v (výška). Určete vzdálenost bodu A od přímky BV. Výsledky:
x
a 2 4v 2 a 2 2 2v 2 a 2
20) Vypočítejte vzdálenost rovin ACH a BGE v krychli ABCDEFGH, je-li délka tělesové úhlopříčky HB 6cm. Výsledky:
x
a 3 2cm 3
21) Je dán kvádr ABCDEFGH který má rozměry AB AD a 4cm,
AE c 6cm . Určete vzdálenost bodu B od
roviny ACF. Výsledky:
x
ac 2c 2 a 2
, x
24 cm 2,56cm 88
22) Vypočítejte povrch pravidelného šestibokého jehlanu s délkou hrany podstavy a = 16cm a výškou v = 15cm. Výsledky: S 1645,3cm2 23) Vypočítejte objem čtyřbokého hranolu jehož povrch je 57 cm2 a délky hran jsou v poměru a:b:c = 2:4:5. Výsledky: V 15 3 cm3 24) Vypočítejte objem čtyřbokého hranolu jsou - li délky hran v poměru 2 : 3 : 4 a povrch hranolu je 13 cm2. Výsledky: V 3 cm3 25) Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 20 cm. Výška válce je dvakrát větší než průměr podstavy. Vypočítejte objem a povrch válce. Výsledky: V 160 5 cm3 ,
S 200 cm2
26) Obsah podstavy rotačního kužele se má k plášti jako 3 : 5. Jeho tělesová výška je 4 cm. Vypočítejte povrch a objem kužele. Výsledky: s 24 cm2 , V 12 cm3 27) Povrch rotačního kužele má se k obsahu podstavy jako 18 : 5. Určete objem a povrch kužele, je-li jeho tělesová výška 12 cm. Výsledky: V 100 cm3 , S 90 cm2 28) Nádoba tvaru duté polokoule je naplněna vodou do výšky 10 cm. Určete objem vody v nádobě, je-li vnitřní průměr nádoby 28cm. Výsledky: V 3 351cm3 29) Určete objem kulové vrstvy, která vznikne z polokoule o poloměru 5 cm odříznutím úseče, jejíž výška je 1,5 cm. Výsledky: V 230 cm3 30) Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 25 cm2. Vypočítejte povrch a objem válce. Výsledky: S 37,5 cm2 117,8 cm2 , V 31,25 cm3 98,17 cm3
31) Vyjádřete v litrech objem koše na papír, který má tvar pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu. Hrany podstav mají délky 28 cm a 20 cm, boční hrana má délku 36 cm. Výsledky: V 20,6 litru 32) Rotační komolý kužel má podstavy o poloměrech 6 cm a 3 cm. Vypočítejte jeho objem, rovná-li se jeho plášť součtu obsahů obou podstav. Výsledky: V 84 cm3
14. KOMPLEXNÍ ČÍSLO
1) Vypočítejte: a) 2 i i
3 i 2i
b)
b)
1 i 2 2
c)
1 i 2 2
d) 4 5i
2) Zobrazte v Gaussově rovině: a) z 2 3i z 3 i
e) i
Výsledky:
a)
3 2
b)
c) z 1 i z 2 i
z 3i z 4 3 i 1 2i
1 i 2i
i 1
f) 0
b ) 2 3i z 2
d) 2 z 1 2i 2 i 5
3) Určete absolutní hodnotu: a)
i 1 i i i 1 1 1 1 1 f) 3 5 7 9 i i i i c) 1
e) i 3 i13 i 23 i 33 i 43
d) 2 i 9 i12 5 i16 3i11 Výsledky: a) 3i
3 i 1 3i 1 2i 2 2 i2
b)
3i
i 4 3i
2 2
4) Určete reálná čísla x, y, která jsou řešením rovnice: a) 5 2i x 3 5i y 9 16i b) 2 x 1 i x y 17 3i
c) 2 x 2 i y 1 4i x iy 1 3i 3x y i 1
d) 1 i x 2 1 i y 2 25 7i
e)
Výsledky: a) x 3, y 2 d) x1 4, y1 3,
7i x iy 3 4i 4 i
b) x 7, y 4
x2 4, y2 3, x3 4, y3 3, x4 4, y4 3
d) y 10 3i z i 5 z 2
c) 4 z 2 5i 3 2i z
1 3
b) z
10 11 i 13 13
x 3, y 5
e)
b) 8 z i 2 4 5i z
5) Řešte rovnici pro z C : a) 2 i z i 1 i z
Výsledky: a) z i
c) x 3, y 2
c) z 8 3i
d) z
2 1 i 5 5
6) Je dáno komplexní číslo u, určete mocninu tohoto čísla a výsledek zapište v algebraickém tvaru:
a) u 2 cos
i sin
3 Výsledky: a) u6 64
6 , u 3
b) u 2 cos
b) u5 32i
i sin
5 , u 2 2 5 c) u 4 4i
7 4
7 4
c) u 2 cos i sin ,
u5
7) Řešte v množině C rovnice: a) 3x 2 7 x 5 0 d) x 2 2 3i x 5 1 i 0
7 6
Výsledky: a) e)
b) 9 x 2 6 x 10 0
1 3
b) i ;
1 2 i ; 1 2 i
1 i 3
c) 2i ; 2i
3 3 3 3 3 3 3 i ; x1 ; x2 i 4 4 2 4 4 2 1 3 1 3 c) x0 ; x1 i ; x2 i 3 3 3 3 3
d) x 4 81 0 b) x0 2;
Výsledky: a) x0
e) x0
d) 1 2i ; 3 i
f) 3 2i ; 2 i
8) Řešte v množině C rovnici a výsledek zakreslete v Gaussově rovině: a) 8 x 3 27 0 b) x 4 16 0 c) 27 x 3 8 0
d) x0
52 52 10 x x 10 10 x
f) x 2 5 3i x 4 7i 0
e) x 2 2 xi 1 0
11 7 11 i; i 6 6 6
c)
e) x 3 2 1 i
x1 2i ; x2 2; x3 2i
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 i ; x1 i ; x2 i ; x3 i 2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 i 1 3 2
;
x1 1 i ; x2
1 3 i 1 3
2
9) Určete, pro která m R má rovnice: a) m 5 x 2 2mx m 1 0 dva imaginární kořeny b) mx 2 2 2m 3 x 4m 3 0 dva komplexní sdružené kořeny.
5 4
Výsledky: a) m ;
b) m 1;
15. KOMBINATORIKA , PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
1) Kolik různých pěticiferných čísel lze zapsat číslicemi 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9, nemá-li se žádná číslice opakovat a kolik jich je sudých? Výsledky: 2 160 pěticiferných, 660 sudých 2) Určete počet všech přirozených čísel větších než 2 000, v jejichž zápisech se vyskytují cifry 1, 2, 4, 6, 8, a to každá nejvýše jednou. Výsledky: 216 3) Kolika způsoby lze 20 dětí rozdělit do tří skupin tak, aby v první bylo 10 dětí, ve druhé bylo 6 dětí a ve třetí zbytek? Výsledky: 38 798 760 4) V soutěži je 8 závodníků. Za předpokladu, že každou z medailí získá právě jeden závodník, vypočítejte, kolik je možností rozdělení medailí zlaté, stříbrné a bronzové mezi závodníky. Výsledky: 336 5) Kolika způsoby lze postavit do řady vedle sebe na poličku 15 různých knih? Výsledky: 1 307 674 368 000
6) Na běžecké trati běží 8 závodníků. Do finále postupují první tři. Kolik je možností na postupující trojici? Výsledky: 56 7) Zvětší-li se počet prvků o 4, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků o 30. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 6 8) Zmenší-li se počet prvků o 27, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků desetkrát. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 40 9) Zmenší-li se počet prvků o 2, zmenší se počet permutací vytvořených z těchto prvků dvacetkrát. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 5 10) V krabici je 10 výrobků, z toho jsou 2 vadné. Kolika způsoby můžeme vybrat 4 výrobky tak, aby mezi nimi a) byl právě jeden vadný b) byl nejvýše jeden vadný c) byly alespoň tři vadné? Výsledky: a) 112 b) 182 c) 0 12) Ve skupině 11 osob jsou 3 ženy. Kolika způsoby můžeme vybrat 5 osob tak, aby mezi nimi a) byly právě dvě ženy b) byla nejvýše jedna žena c) byly alespoň čtyři ženy? Výsledky: a) 168 b) 266 c) 0 13) Ve skupině je 20 dětí, každé dvě děti mají jiné jméno. Jsou mezi nimi i Alena a Jana. Kolika způsoby lze vybrat 8 dětí tak, aby mezi vybranými: a) byla Alena d) byla alespoň jedna z dívek Alena, Jana b) nebyla Alena e) byla nejvýše jedna z dívek Alena, Jana c) byla Alena a Jana f) nebyla ani Alena, ani Jana? Výsledky: a) 50 388 b) 75 582 c) 18 564 d) 82 212 e) 107 406 f) 43 758 14) Řešte rovnici pro x N : a) K 2, x 2 K x 2, x 1 K 0, x 0
c)
V 7, x V 5, x 13 V 5, x
x x 1 f) 4 2 2 Výsledky: a) 2;3
d)
b) 2 K x 4, x 6 K x 2, x 4 24 10 x
K 5, x K 6, x 2 K 4, x 1 3
x 1 x 2 4 x 2 x 4
e)
x x 2 x 4 x3 g) 88 3 3 3 2 b) 0;5 c) 9 d) 8 e) 4
15) Určete čtvrtý člen mnohočlenu, který vznikne po výpočtu
h) x 2 ! 42 x ! f) 3
7
9
2 16) Určete x R tak, aby pátý člen binomického rozvoje x byl roven 2 016 . x 3 Výsledky: x 2
1 2
Výsledky: x1 ;
x2
1 2
3
h) 5
a b pomocí binomické věty. a 0; b 0
Výsledky: 35a 2b b
17) Určete x R tak, aby sedmý člen binomického rozvoje
g) 6
9
1 x 6 1 x byl roven 63 .
14
3x 2 4 y 3 18) V binomickém rozvoji 5 najděte člen, který a) obsahuje y10 x y Výsledky: a) 7 mý člen b) 4 tý člen
b) obsahuje x 7 .
19) V osudí je 6 koulí modrých a 3 koule bílé, náhodně vybereme 4 koule. Určete pravděpodobnost že: a) budou všechny bílé b) alespoň 2 koule budou bílé c) nejvýše jedna koule bude bílá d) žádná koule nebude bílá. Výsledky: a) p A 0
b) p B
51 0,4047 126
c) p C
75 0,595 126
d) p D
15 0,119 126
20) V bedně je 7 bílých koulí a 3 modré koule. Náhodně vybereme 4 koule. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou: a) nejvýše 2 modré koule b) samé modré koule ? Výsledky: a) p A
203 0,967 210
b) p B 0
21) Určete pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami a) padne alespoň jedna šestka b) padne součet 9 nebo součet 11 d) nepadne ani součet 9, ani součet 11. Výsledky: a) p A
11 36
b) p B
1 6
c) p C
5 6
22) Na výrobku se objevují tři druhy závad Z1; Z 2 ; Z 3 , přičemž pravděpodobnost výskytu jednotlivých závad je
0,1; 0,05; 0,02 . Předpokládejte, že jednotlivé závady jsou jevy navzájem nezávislé. Určete pravděpodobnost, že výrobek bude bez vady. Výsledky: p 0,838 23) Petr přijde na večerní trénink s pravděpodobností 0,9, zatímco Pavel přijde s pravděpodobností 0,75, a to nezávisle na Petrovi. Určete pravděpodobnost, že: a) na trénink nepřijde ani jeden z nich b) na trénink přijde alespoň jeden z nich c) na trénink přijdou oba dva. Výsledky: a) p A 0,025 b) p B 0,975 c) p C 0,675 24) Při písemné práci dosáhli studenti těchto výsledků: 3x výborný, 8x chvalitebný, 12x dobrý, 5x dostatečný a 2x nedostatečný. Sestavte tabulku rozdělení četností, určete relativní četnosti, průměrnou známku, modus, medián a znázorněte rozdělení četností graficky. Výsledky: x
85 2,83; Mod x 3; Med x 3 30
25) Vypočtěte aritmetický, harmonický a geometrický průměr čísel 3,1; 3,7; 3,8; 3,9; 3,8. Výsledky: x 3,66; xh 3,63; xG 3,65 26) Zpracujte následující tabulku 50 hodnot délek získaných měřením. Sestavte tabulku rozdělení četností, určete relativní četnosti. Určete aritmetický průměr, modus, medián, rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient. Rozdělení četností znázorněte graficky. 4,8 5,0 5,1 5,2 4,9
4,7 4,8 4,9 4,7 5,1
Výsledky: x 4,998;
5,2 5,0 5,1 4,8 5,0
5,3 4,8 4,8 5,0 5,0
4,7 5,2 5,0 4,8 5,1
5,0 5,2 4,9 5,0 5,1
5,1 5,3 4,9 5,0 5,2
4,7 5,0 5,1 5,3 4,9
Mod x 5,0; Med x 5,0; s 2 0,0279; s ,0165; v 3,3%
5,0 4,9 4,8 5,0 5,1
5,3 5,1 4,9 5,0 5,1
16. POSLOUPNOSTI A ŘADY 2
n an 1 an . Vyjádřete tuto posloupnost vzorcem pro n-tý n 1
1) Posloupnost an n 1 je dána rekurentně: a1 1;
člen a uvedenou hypotézu ověřte matematickou indukcí. Výsledky: an
1 n2
1 2) Zadejte posloupnost an n 1 rekurentně. n n 1 n 1 1 n Výsledky: a1 ; an 1 an 2 n2
n 1 3) Vyjádřete posloupnost rekurentně: a) n n 1 b) n 1 n n 1 2 Výsledky: a) a1 2; an 1 an 2 n 1 nebo a1 2; an 1 an 1 n
b) a1 2;
an 1
n2 1 n an
3n 1 4) Je dána posloupnost . Určete její vlastnosti, limitu a zakreslete graf. (Vyslovené hypotézy dokažte.) n 2 n 1 3n 1 Výsledky: posloupnost je rostoucí , omezená, konvergentní , lim 3 n n 2 5) Zjistěte, zda daná posloupnost je rostoucí nebo klesající. (Hypotézu ověřte)
1 3n 4 a) an n 1 b) a n n 1 2 n 1 n n 1 n 1 Výsledky: a) klesající b) rostoucí c) klesající
n 2 2n 5 6) Vypočtěte: a) lim n n3 1
n2 n3 n 3n 2 1 n 2
b)
2 3
c)
d)
7) Řešte v množině R rovnice: a) 1
f) lim n
1 16
e)
1 3
f)
n2 n n
b)
6; 4
10
Výsledky:
a)
4 7
b) x 2
c)
1 4
c)
5 1
n5 1 d) lim 5 n 2n 3n
b)
4
8 3 9 27 1 2 3 x 10 x x x
d) 2 x 4 x 8x 16x 1
d) 1
8) Vypočtěte součet nekonečné geometrické řady: a) 1
b) x x 4 x 8 x 16 x , x 0
1 2
2 4 8 4x 3 2 3 x x x 3x 4
c)
c) log x log x log 4 x log 8 x 2 Výsledky: a) 6
an n1 2n 5n1
n4 1 c) lim 3 n n 2n 2 3
2n 2 3n 5 b) lim n 3n 2 3
e) lim Výsledky: a) 0
c)
3 9 27 81 4 16 64 256
52
2
52
3
5 2
1 9) Určete podmínku konvergence daných řad a potom vypočtěte jejich součet a) n 1 x x Výsledky: a) x ; 1 1; ; s b) x R; s 2 x x 1 10) Daná periodická čísla napište jako zlomky ve tvaru Výsledky:
a)
2 3
b)
73 33
n 1
m , kde m Z n N : a) 0, 6 n
b)
2 n 1
b) 2, 21
x n 1
c) 0,545
6 11
c)
17. ARITMETICKÁ A GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST
2n 1 3 n 1
n n 1 n 1
1) Zjistěte, zda daná posloupnost je aritmetická nebo geometrická: a)
b)
n 3 c) 2n 5n 1 d) e) 32 n 1 n 1 2n n 1 a) je aritmetická b) není aritmetická ani geometrická c) je aritmetická d) není aritmetická ani geometrická e) je geometrická
Výsledky:
2) V tabulce pro aritmetickou posloupnost doplňte chybějící údaje
a1
d
2 0 3
n
an 18 5
11 0,5
c)
1 ; n 33 2
0
1 ; sn 27,5 c) n 13; an 3 2 3) Určete, ve které aritmetické posloupnosti platí ( určete a1 , d ): a) a8 2; a10 0 a) d
Výsledky:
sn 330
a3 a7 38 a5 a10 58
b) d
d)
a1 a7 22
e)
a3 a4 88
a2 a3 9
b) a6 7; a13 15
f)
a2 a3 14
a1 a3 6 2a2 a4 a6 2
9 8 ; d c) a1 3; d 4 d) a1 2; d 3 7 7 e) a1 3; d 5 nebo a1 12; d 5 f) a1 1; d 2 a) a1 9; d 1
Výsledky:
b) a1
4) V tabulce pro geometrickou posloupnost doplňte chybějící údaje
a1
q
N
an
sn
0,5
8 7
2 1458 567
847
2 3 Výsledky: a) a1 256; sn 510
b) q 3; sn 2 186
5) Určete, ve které geometrické posloupnosti platí ( určete a1 , q ): a)
c) a1 7; n 5
a1 a4 18 a2 a3 12
b)
a3 a1 24 a5 a1 624
c)
a1 a2 4 a4 a2 24
Výsledky:
d)
a) a1 2; q 2
c) a1 1; q 3 nebo e) a1 1; q 1
a1 a4 14
e)
a3 a2 4 nebo a1 16; q 0,5
a1 4; q 2 f) a1 2; q 0 nebo
a1 a3 2
f)
a2 a4 2 b) a1 1; q 5 nebo
d) a1 16; q 0,5 nebo
a2 a3 0 a1 a3 2
a1 1; q 5
a1 2; q 2
a1 1; q 1
6) Mezi čísla 1 a 25 vložte tolik čísel, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost o součtu 117. Určete vložená čísla a jejich počet. Výsledky: počet : 7, čísla : 4; 7;10;13;16;19; 22 7) Součin tří po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu. Určete tyto členy, víte-li, že diferen-
13 . 3 13 13 1 14 14 1 Výsledky: ; 0; nebo ; ; 9 nebo 9; ; 3 3 3 3 3 3 ce posloupnosti je
8) Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna má délku 24 cm. Jak velké jsou jeho strany? Výsledky: 18cm, 24cm, 30cm 9) Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak jsou dlouhé, je-li jeho obsah 6 dm2? Výsledky: 3dm, 4dm, 5dm 10) Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Součet délek všech hran kvádru je 96 cm, povrch kvádru je 334 cm2. Určete objem kvádru. Výsledky: V 312cm3 11) Na střeše tvaru lichoběžníku jsou srovnány tašky do řad tak, že při hřebenu je 85 tašek a v každé následující řadě je o jednu tašku více než v řadě předcházející. Kolika taškami je pokryta střecha, má-li řada při okapu 100 tašek? Výsledky: 1 480 tašek 12) Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hran kvádru je 28 cm. Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 8 cm3. Výsledky: 1cm, 2cm, 4cm nebo 4cm, 2cm, 1cm 13) Povrch kvádru je 78 cm2, součet jeho rozměrů je 13 cm. Jak velký je jeho objem, tvoří-li rozměry tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti? Výsledky: V 27cm3 14) Součet čtyř po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 80. Určete je, víte-li, že člen poslední je devětkrát větší než člen druhý. Výsledky: 2; 6;18; 54 nebo 4;12; 36;108 15) V určitém roce dosáhl hrubý objem výroby v jednom závodě 10 miliónů korun. Jaký hrubý roční objem výroby můžeme očekávat za 5 let při 10 % ročním přírůstku výroby? Výsledky: 16 105100 Kč 16) Určete přibližný počet obyvatel města na začátku roku 2010, jestliže počet obyvatel na začátku roku 1994 byl 80 000 a předpokládaný každoroční přírůstek je 3%. Výsledky: 128 377 obyvatel
17) Původní náklady na výrobu jednoho výrobku činily 1 500 Kč. Jaká bude výše nákladů na jeden výrobek za 4 roky, jestliže se tyto náklady každoročně snižují o 5 %? O kolik procent se sníží náklady na jeden výrobek za 4 roky vzhledem k původním nákladům? Výsledky: náklady :1 221,80 Kč ; snížení : o 18,55 % 18) Ve městě s 10 000 obyvateli je průměrný roční přírůstek 25 obyvatel na 1 000 lidí. Kolik obyvatel bude žít v tomto městě za 10 let? Výsledky: 12 800 obyvatel 19) Do banky uložíme 14 000 Kč. Kolik budeme mít po 2 letech, jestliže roční úroková míra je 7% a úročení probíhá pololetně? (Daň z úroků je 15%, z účtu po celou dobu nevybíráme ani na účet neukládáme další peníze.) Výsledky: 15 741,80 Kč 20) Klient získal od banky úvěr ve výši 500 000 Kč, a to na dobu 4 let s roční úrokovou mírou 14% (úrokovací období je 1 rok ). Úvěr bude splácet v šesti stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedna splátka a kolik korun celkem klient bance zaplatí? Výsledky: splátka :128 578,80 Kč , celková částka : 771 472,50 Kč 21) Vkladatel uložil na počátku roku na termínovaný vklad na 2 roky částku 32 000 Kč. Roční úroková míra je 9,5%. Jak vysokou částku bude mít na konci druhého roku, jestliže si v průběhu celé doby nevybíral úroky a je-li úrokovací období a) 1 rok, b) polovina roku, c) čtvrt roku, d) 1 měsíc? (Daň z úroků je 15 %) Výsledky: a) 37 376,70 Kč b) 37 489,50 Kč c) 37 548,30 Kč d) 37 588,40 Kč 22) Cena nového stroje je 58 560 Kč. Při každoroční inventuře se odepisuje 5% hodnoty stroje z předcházejícího roku (tzv. amortizace). Jaká bude cena stroje po 10 letech? Výsledky: 35 062 Kč
18.VEKTOROVÁ ALGEBRA 1) Určete číslo m tak, aby platilo: a) AB d , A 2m 2; 2;1 , B 2; m 5; 1 , d 2 26 b) AB d , A 1;1; m , B 4; m; 0 , d 22 Výsledky: a) m1 3, m2 5
b) m1 3, m2 2
2) Určete čísla r, s tak, aby platilo: a) u AB, A2r 3; 6 , B 4 r; 3 , u 5; s
b) u AB, A 3; 5 , B r 3; 2 , u 2; s Výsledky: a) r 4, s 9
b) r 2, s 3
3) Zjistěte, zda vektor w je lineární kombinací vektorů u, v : a) w 1; 5; 8 , u 2; 1; 5 , v 3; 0; 2
b) w 0; 6; 3 , u 2; 0;1 , v 1; 3; 2 Výsledky: a) není
b) není
c) w 1;1; 2 , u 1; 5; 2 , v 1; 2; 0
c) je
a) u 1; 2; 3 , v 6; 0; 4 , w 3; 2;1 , a 1, b 2, c 0 b) u 1; 2; 3 , v 6; 0; 4 , w 3; 2;1 , a 2, b 3, c 4
4) Určete lineární kombinaci au bv cw vektorů:
Výsledky:
a) 11; 2; 11
b) 32; 12; 10
5) Určete čísla m, n tak, aby platilo: a) 2 m; 3 3 1; n 7; 6 Výsledky:
a) m 5, n 4
b) m 3, n 6
b) 3 5; m 4 4 3 n; 2 3; 5
6) Určete vektor u , který je kolmý k vektoru v 3; 4 a má velikost 15 jednotek . Výsledky:
u 12; 9 , u 12; 9
7) Určete vektor u , který je kolmý k vektoru v 5; 12 a má velikost 4 jednotky . Výsledky:
48 20 48 20 u ; , u ; 13 13 13 13
8) Jsou dány body A3; 2 , B 1; 2 , C 1; 1 . a) Dokažte, že body tvoří trojúhelník. b) Určete délku strany AB. c) Určete souřadnice těžiště trojúhelníku. d) Určete velikost úhlu . e) Určete obsah trojúhelníku. Výsledky:
b) AB 2 5 j
1
d) 2634
c) T 1; 3
e) S 5 j 2
9) Jsou dány body A1; 0; 2 , B 1; 4; 2 , C 3; 2; 6 , které tvoří trojúhelník. Určete: a) délky stran trojúhelníku b) souřadnice těžiště T trojúhelníku c) velikost nejmenšího úhlu trojúhelníku d) obsah trojúhelníku e) souřadnice bodu D tak, aby body ABCD tvořily rovnoběžník. Výsledky: a) AB 6, AC 6, BC 6 2
b) T 1; 2; 2
c) 45 d) S 18 j 2 e) D 1; 2;10
10) Jsou dány body A2; 3;1 , B 1; 5; 2 , C 2; 3; 5 , které tvoří trojúhelník. Určete: a) délky stran trojúhelníku b) souřadnice těžiště T trojúhelníku c) velikost největšího úhlu trojúhelníku d) obsah trojúhelníku e) souřadnice bodu D tak, aby body ABCD tvořily rovnoběžník.
5 8
1
664 j 2 e) D 5; 5; 4 Výsledky: a) AB 14, AC 52, BC 82 b) T 1; ; c) 10715 d) S 2 3 3 11) Vypočtěte souřadnice bodu A, který leží na ose y a má od bodu B 6; 5 vzdálenost 10. Výsledky:
A1 0; 3 , A2 0; 13
12) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH je-li dáno: a) A2;1; 0 , B 3; 3;1 , D 4; 2;1 , E 1;1; 0
b) A1; 2; 3 , B 4;1; 1 , D 3; 3;1 , E 2; 0; 5
Výsledky: a) V 3 j
3
b) V 112 j
3
12) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV je-li dáno: a) A2; 3; 4 , B 1; 4; 2 , D 0; 2; 5 , V 3; 2;1
b) A3;1; 2 , B 1; 1; 2 , D 1; 6;10 , V 5; 4; 5
Výsledky: a) V 5 j 3
b) V
296 3 j 3
13) Jsou dány body A3;1; 2 , B 1;1; 2 , C 1; 6;10 , D 3; 4; 2 . Vypočítejte: a) objem čtyřstěnu ABCD b) povrch stěny BCD c) obvod stěny ABC d) velikost vnitřních úhlů stěny ABC. Výsledky: a) V 24 j 3
b) S
1 3796 j 2 2
c) O 4 2 173 j d) 8115, 8115, 1730
19.ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 1) Jsou dány body A1; 3 , B 2; 4 , C 2; 3 . a) Dokažte, že body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku. b) Napište obecnou rovnici přímky, na níž leží těžnice ta trojúhelníku ABC. c) Napište obecnou rovnici přímky, na níž leží výška vb trojúhelníku ABC. d) Napište obecnou rovnici osy úsečky AC. Výsledky: b) 5x 6 y 13 0 c) x 2 y 6 0 d) 2 x 4 y 1 0 2) Jsou dány body A3; 0 , B 0; 3 , C 3; 3 , které tvoří trojúhelník. Určete: a) obecnou rovnici přímky, na které leží výška vc b) velikost výšky vc c) těžnici tc d) přímku procházející bodem C a rovnoběžnou s přímkou AB. Výsledky: a) x y 0 , b) vc
9 2 , c) 2
3 9 3 9 t; t , t 0; 1 ,d) x y 6 0, 3 3t; 3 3t , t R 2 2 2 2
3) Určete vzájemnou polohu přímky p a úsečky AB. Pokud existuje průsečík, určete jeho souřadnice. a) p 7 4t; 8 5t , t R, A 4; 5 , B 3; 3
A2; 7 , B 2; 0
b) p : 3x 2 y 7 0,
Výsledky: a) různoběžné, nemají průsečík
b) různoběžné, P 0; 3,5
4) Napište obecnou rovnici přímky p , která prochází bodem M 3; 5 a je rovnoběžná s přímkou : a) 5x 2 y 42 0 Výsledky:
b)
a) 5x 2 y 5 0
3 2t; t , t R
b) x 2 y 7 0
5) Napište obecnou rovnici přímky q , která je kolmá na přímku p a prochází bodem A, je-li dáno:
A 3; 3 Výsledky: a) x 2 y 3 0
b) p : 3 2t; 4 5t , t R,
a) p : 2 x y 1 0,
A1; 4
b) 2 x 5 y 22 0
6) Napište obecnou rovnici přímky m , která prochází průsečíkem přímek p : 2 x 7 y 8 0, bodem A 2; 3 . Určete směrnici přímky m a odchylku přímky m od osy x .
Výsledky: a) m : x y 1 0,
q : x 2 y 1 0 a
k 1, 45
7) Na přímce p : 4 x 12 y 2 0 určete bod A , který má od přímky q : 5x 12 y 5 0 vzdálenost 3 .
7
Výsledky: a) A1 4; , 6
14 31 A2 ; 18 3
8) Jsou dány roviny : x y z 1 0, : 3x 4 y z 0 a bod A 2; 1; 0 . Určete: a) vzájemnou polohu rovin a jejich průsečnici (pokud existuje) b) vzdálenost rovin a c) přímku p , která prochází bodem A a je kolmá k rovině d) průsečík přímky p a roviny . Výsledky:
a) různoběžné, t;
5 2 d) P 0; ; 3 3
1 4 4 1 t; t , t R b) v , 0 c) p 2 3r;1 4r; r , r R 5 5 5 5
a . Jsou-li různoběžné, určete jejich průsečnici. Jsou-li roviny rovnoběžné, vypo : x 4 y 8z 7 0, : x 4 y 8z 11 0 : 3x 2 y 5z 4 0, : 2 x 3 y z 7 0 : 2 x 4 y 6z 18 0, : 3x 6 y 9 z 27 0 Výsledky: a) rovnoběžné různé, v , 2 b) různoběžné, 2 t ;1 t; t , t R 9) Určete vzájemnou polohu rovin čítejte jejich vzdálenost. a) b) c)
c) rovnoběžné totožné, v ; 0 10) Určete vzájemnou polohu roviny a přímky p :
a) 1 r 3s; 2 3r 3s; 3 7r s , r R, s R , p 2 t; 7 3t; 6 3t , t R
b) 4 3r s; 5 3r 3s; 2 r 7s , r R, s R , p 5 t; 6; 3 2t , t R
c) 1 r 3s;1 3r 6s; 2 3r 4s , r R, s R , p 4 3t; 3 2t; 6 4t , t R Výsledky: a) přímka p leží v rovině , b) přímka p je s rovinou rovnoběžná , c) přímka p je s rovinou různoběžná,
P 1;1; 2
11) Určete vzdálenost bodu A od přímky p , je-li dáno: a) A6; 6; 5 ,
p 4;1 6t; 4 6t , t R
Výsledky: a) v A, p 6
b) A3; 1; 4 ,
p t; 2 t;1 t , t R
b) v A, p 2 6
12) Je dána přímka p 3 2t; 5 t;1 2t , t R a roviny : 3x 4 y 9 0 a : 5x y 7 z 11 0 . a) Určete odchylku přímky b) Určete odchylku přímky c) Určete odchylku rovin Výsledky: a) 4149
p od roviny . p od roviny .
a . b) 7412
c) 6358
13) Určete vzájemnou polohu přímek p, q v prostoru. V případě, že jsou různoběžné, určete jejich průsečík. a) p 14 7t; 3 5t; 5 3t , t R, b) p 2 2t;1 2t; 3 6t , t R,
c) p 2 2t; 4 t;1 6t , t R, d) p 1 2t; 1 t; 3 3t , t R, Výsledky: a) různoběžné,
P 0; 7; 11
q 2 2s; 4 3s; 8 3s , s R
q s; 3 s; 3 3s , s R
q 7 3s; 0,5 1,5s; 2 9s , s R
q 1 s;1 s; 3 3s , s R b) totožné
c) rovnoběžné různé
d) mimoběžné
14) Jsou dány body A0;1; 4 , B 0; 0; 3 , C 2; 1;1 , M 2;1; 4 , N 2; 0; 1 . Určete: a) obecnou rovnici roviny ABC b) vzdálenost bodu M od roviny ABC c) odchylku přímky MN od roviny ABC d) vzdálenost bodu C od přímky MN . Výsledky: a) x 2 y 2 z 6 0
b) v M ; ABC
2 3
c) 1152
d) v C ; MN
43 14
15) Je dán bod M 2; 1; 0 a přímka p 3 t;1 t; 3 , t R. Na přímce p určete bod K tak, aby odchylka přímek KM a p byla 30 . Výsledky:
K1 1; 5; 3 , K2 8; 4; 3
20.ANALYTICKÁ GEOMETRIE KVADRATICKÝCH ÚTVARŮ 1) Určete rovnici kružnice, která je určena body: a) A7;1 , B 3; 9 , C 2; 4 Výsledky: a) x y 6 x 8 y 0 2
2
b) A0; 4 , B 10; 2 , C 2; 6
b) x y 8x 4 y 32 0 2
2
2) Určete rovnici kružnice, která prochází body A, B a jejíž střed leží na přímce p . a) A1; 3 , B 3;1 , p : 2 x y 8 0
b) A5; 3 , B 6; 2 ,
c) A 2;1 , B 1; 4 , p : x y 2 0
x 2
Výsledky: a)
2
y 4 50
p : 3x 4 y 3 0 c) x 2 y 2 17
b) x 2 y 2 18x 12 y 92 0
2
2
3) Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2 y 2 20 a přímky p : x 3 y c 0 v závislosti na parametru c . Výsledky:
c 10 2; 10 2 sečna, c 10 2; 10 2 tečna,
c ; 10 2 10 2;
vnější přímka 4) Určete vzájemnou polohu přímky a kružnice a souřadnice společných bodů, pokud existují. a) p : 2 x y 0, k : x 2 y 2 3x 2 y 3 0 b) p : 2 x y 6 0, k : x 2 y 2 4 x 5 y 1 0 Výsledky:
1 61 1 61 1 61 1 61 ; ; , P2 , 5 5 10 10
a) sečna, P1
5) Napište rovnice tečny kružnice v daném bodě: a) k : x 2 y 2 25, T 3; 4
13 4 ; 5 5
b) sečna, P1 5; 4 , P2
b) k : x 2 y 2 13, T 2; y 0
c) k : x 3 y 5 20, T x0 ; 3 2
Výsledky:
2
a) 3x 4 y 25 0
b) 2 x 3 y 13 0
c) 2 x y 1 0, 2 x y 11 0
6) Je dána kulová plocha se středem S 3; 2; 1 , která prochází počátkem soustavy souřadné a úsečka AB , kde
A3;1;1 , B 4; 0; 2 . Určete rovnici kulové plochy a společné body útvarů(pokud existují).
Výsledky:
: x 3 y 2 z 1 14 , společný bod B 4; 0; 2 2
2
2
7) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech E 3;1 , F 5;1 a vedlejší poloosu 3. Určete souřadnice význačných bodů. Výsledky:
x 4
2
10
y 1
2
9
1, S 4; 1 , A 4 10; 1 , B 4 10; 1 , C 4; 4 , D 4; 2
8) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech E 3;1 , F 5;1 a hlavní vrchol A7; 1 . Určete souřadnice význačných bodů. Výsledky:
x 4 9
2
y 1 8
2
1, S 4; 1 , , B 1; 1 , C 4; 1 8 , D 4; 1 8
9) Napište rovnici tečny elipsy v daném bodě: a) 49 x 2 100 y 2 294 x 400 y 4 059 0, T 9; y0 b) 9 x 2 16 y 2 54 x 64 y 129 0, T 8; y0 .
Výsledky: a) 21x 40 y 493 0, 21x 40 y 333 0 10) Určete společné body elipsy a přímky: a) elipsa : 9 x 2 4 y 2 36, přímka : 3x 2 y 6 0 b) elipsa : 4 x 2 9 y 2 36, přímka : 2 x 3 y 6 0
Výsledky: a) P 2; 0 ,
R 0; 3
b) P 3; 0 ,
R 0; 2
b) 45x 28 y 465 0,
45x 28 y 353 0
11) Je dána hyperbola 9 x 2 25 y 2 18x 100 y 316 0 . Určete souřadnice středu, velikosti poloos a excentricitu. Určete společné body hyperboly a úsečky AB, A 2; 6 , B 2; 5.
Výsledky:
S 1; 2 , a 5, b 3, e 34, společné body neexistují
12) Je dána hyperbola 2 x 2 3 y 2 8x 6 y 25 0 . Určete souřadnice středu, velikosti poloos a excentricitu. Určete společné body hyperboly a úsečky AB, A 2; 3 , B 1; 2.
Výsledky:
S 2;1 , a 15, b 10, e 5, společné body neexistují
13) Určete rovnice všech přímek, které procházejí daným bodem hyperboly a mají s ní právě jeden společný bod.
x2 y 2 1 T x0 ; 3 25 16 Výsledky: t1 : 4 x 3 y 16 0, t2 : 4 x 3 y 16 0,
p3 : 4 x 5 y 10 0,
p1 : 4 x 5 y 40 0,
p2 : 4 x 5 y 10 0
p4 : 4 x 5 y 40 0
14) Určete rovnice všech přímek, které procházejí daným bodem hyperboly a mají s ní právě jeden společný bod.
T 2; y0
3x 2 y 2 3
Výsledky: t1 : 2 x y 1 0,
t2 : 6 x 3 y 3 0,
p3 : 3x y 2 3 3 0,
p1 : 3x y 2 3 3 0,
p2 : 3x y 2 3 3 0
p4 : 3x y 2 3 3 0
15) Určete rovnice tečen hyperboly 3x 2 2 y 2 6 0 , které jsou kolmé k přímce x y 1 0 . Výsledky: tečna neexistuje 16) Určete rovnice tečen hyperboly 2 x 2 3 y 2 6 0 , které jsou rovnoběžné s přímkou x y 1 0 . Výsledky: t1 : x y 1 0, t2 : x y 1 0 17) Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy A 3; 0, B 3; 4 a jedno ohnisko E 3; 5 . Výsledky:
y 2
2
4
x 3
2
5
1
18) Napište rovnici hyperboly, která má vrchol A 1; 4 a ohniska E1; 2, F 1; 6 . Výsledky:
y 2
x 1
2
4
12
2
1
19) Je dána parabola x 2 4 y 4 0 , určete souřadnice vrcholu, ohniska, rovnici řídící přímky a průsečíky s polopřímkou AB, A 3; 2, B 4; 1 .
Výsledky: V 0;1 ,
p 2, F 0; 2 , d : y 0, společné body neexistují
20) Je dána parabola y 2 4 y 2 x 4 0 , určete souřadnice vrcholu, ohniska, rovnici řídící přímky a průsečíky s úsečkou AB, A 1; 2, B 2; 1 .
1 1 p 1, F ; 2 , d : x , společné body neexistují 2 2
Výsledky: V 0; 2 ,
21) Určete rovnice všech parabol, které procházejí body A 2; 4 , B 1; 7 , C 1; 3 a mají osu rovnoběžnou s osou y. Výsledky:
x 1
2
y 3
22) Určete rovnice všech parabol, které procházejí body A 3; 3 , B 0; 12 , C 4; 6 a mají osu rovnoběžnou s osou x. Výsledky:
y 6
2
9 x 4
23) Určete rovnice všech přímek, které mají s parabolou x y 2 4 y 7 právě jeden společný bod a procházejí jejím bodem M x0 ; 2 .
Výsledky: M 19; 2 ,
m : y 2, t : x 8 y 3 0
24) Určete rovnice všech přímek, které mají s parabolou y 2 x 2 5x 1 právě jeden společný bod a procházejí jejím bodem M 2; y0 .
Výsledky: M 2; 1 ,
m : x 2, t : 3x y 7 0
25) Určete rovnice tečen k parabole 8 x 1 y 3 , které procházejí bodem A3; 1 . 2
Výsledky: t : x y 2 0 26) Rozhodněte o typu kuželosečky, která je dána rovnicí 16 x 2 9 y 2 32 x 18 y 119 0 . Určete souřadnice význačných bodů a načrtněte polohu kuželosečky. Výsledky: elipsa,
A1; 5 , B 1; 3 , C 4;1 , D 2;1 , E 1;1 7 , F 1;1 7 , S 1;1
21. ÚPRAVY VÝRAZŮ
1) Upravte dané výrazy a určete podmínky.
a 4 b4 a 2b 2 a) b 2 2a a 2 1 a 2 1 b b2
x3 x2 x y y2 y x2 y2 y2 x2
b)
p 2 q2 1 p 2 q2 p q g) : p q q p p pq
ab , a 0, b 0, a b Výsledky: a) ab d) a b, a b
e)
3a a2 4 : a 3 8 4 a 2 2a 4
x2 y2 1 1 x3 y3 y : 2 2 2 e) y x y2 x x
4ab b 2ab a d) a b : 2 2 ab a b ba a b 3ab 5a b 2 2a 2 2 2 f) 2 a ab a b a b2
c)
x2 , x 0, y 0, x y b) x y
xy 2 , x 0, y 0, x y x y
f)
ab , a b, a 0 ab
c) g)
12a
a 2 a 2 2
, a 2
p , p 0, q 0, p q pq
2) Upravte dané výrazy a určete podmínky. a)
1 x 3 x 3 x 1 x 1 x 1 x
c) 2a
Výsledky: a)
2a 2a 2 : a 2a a 2
4x 2 , x 0 x 1 1 x
1 x 1 x 1 4 x x x 1 x 1
b ab a b b a : a b ab ab ab b
b) x d) a
b) 4 x, x 0 x 1
c) a, a 0 a 2
d)
ab , a 0, b 0 a
3) Upravte dané výrazy a určete podmínky.
a)
1
x 2 y xy b) 2 : t z tz
x 3 x 4 x3 6 x5 x 12 x 5
Výsledky: a) x, x 0
d)
n 2 ! 4 n 1 2 n
n 2
n 1
n!
1 3 n2 4 n ! n 1 ! n 2 !
b)
n 1! n!
c)
12
n! n 1!
5
d) y 3 , y 0
n 2 ! 2 n 1! n ! n! n 1! n 2 !
f)
n n! n 3! 2
c) 2, n N n 2 d) 0, n N 0
b) 1, n N n 1
c)
e)
1 , nN n 2!
n n 1 2n 3 , nN n 3 2
5) Upravte dané výrazy a určete podmínky. a)
6 y 4 3 y 2 d) 5 y3
xyz , x 0, y 0, z 0
n2 9 6 1 n 3! n 2! n 1!
e)
Výsledky: a) 2, n N n 2 f)
2
y , x 0, y 0, z 0, t 0 z
b)
4) Upravte dané výrazy a určete podmínky. a)
98 45 43 x y z c) 2 3 5 x3 y4 z 6
1 cos 2 x sin 2 x sin 2 x 1 cos 2 x
b) sin4 x cos4 x cos2 x
sin x sin 2 x d) 1 cos x cos 2 x
e)
sin x 1 sin x cos2 x cos x 1 sin x 2
c)
1 cos x sin x sin x 1 cos x
f)
1 sin x 1 2 1 sin x cos x 1 sin x
c) 0, x R x k , k Z , k Z b) sin 2 x, x R 2 2 4 d) tgx, x R 2k 1 , 2k , 2k , k Z e) tg 2 x, x R x 2k 1 , k Z 2 2 3 3 sin x f) , x R 2k 1 , k Z 2 cos x 2
Výsledky: a) 2 tgx, x R k
3 5
6) Vypočtěte: a) sin 2 tg
5 17 cos cot g 3 6 4
3 2 4sin 8 tg 2sin 2 2 3 1 6 Výsledky: a) b) 1 4 6 c) 3cos
Výsledky: a)
27 32
1 2
18
b)
3 2
cos 120 tg 570 sin 675 cos300 cos180
d) sin 225 cos240 tg 300 cot g 330 c) 4 3
d)
c)
1 2 2 3
5
1 8 24 4 160 2 7) Vypočtěte: a) 1 9 2 27 3 16 1 3
b)
b)
4
6
53 3 6 5 :3 6 3 3
215 23 4 23
13 12 10 8 3 : 2 4 c) 2 3 14 18 248 25 4
22. LIMITA A DERIVACE 1) Vypočtěte limity funkcí:
a)
x2 x 6 x 3 x 2 x 2
b)
x x 9 3
g)
lim
f ) lim 0
k ) lim x 1
x5 1 x7 1
lim
x 1 x 5 2
c) lim
lim
x 1 3 x 10
h) lim
x 1
x 10
l ) lim x 3
Výsledky: a) 0 , b) 4 , c)
x2 x 6 x 2 x 2 x 2
9 x2 3x 3
x 3
x2 9 x2 2x 3
x 4 16 x 2 x 3 8
d)
e) lim
x3 x2 x 1 x 1 x 2 2x 3
i) lim
x2 2 x 3 x 1 x 3 x 2 2 x 2
m)
x 2 5x 6 x 2 x 2 3x 2
lim
lim
n ) lim x 2
j) lim1 x
3
3x 2 5x 2 27x 3 1
x2 2 x 8 x3
5 8 1 1 7 5 3 1 , d) , e) 1 , f) 6 , g) , h) 12 , i) , j) , k) , l) , m) 4 , n) 3 3 6 2 9 7 2 6
2) Vypočtěte limity funkcí: 3sin x cos2 x x 0 x
a) lim
f)
b) lim x
4x 3 x 2 x 3x 3 x 2 x 2 lim
x 2 3 x2 6 2x 1
g) lim
x
l) lim
7x 3 x 5 x 3x 3 x 2 4x 1 lim
q) lim 2x 4x 2 3x
2 x3 x x5 1 u) lim x 2 x 2 4 x 5
x
v)
lim 2
1 x
h) lim x x 2 1 x
m) lim x
4
tg x 1 cot g x 1
r) lim
x
w)
x 0
1 cos x x 0 sin x
sin x c) lim tg 2x 2 x cos x 2
cos2 x 3cos x 4 x cos 2 x 4cos x 5
5sin x cos2 x x 0 2x
k) lim
p)
6
2sin 2 x sin x 1 2sin 2 x 5sin x 2
lim
x 5
2x 2 3x 5 x 2x 3
d) lim
e) lim
1 5x 2 x j) lim 2 2 x 1 x
2 4x x 3 7x
i) lim
n) lim x
2
sin x cos x cos 2x
x2 1 x2 1 x
s) lim
2x 1 x 5
y)
3x 2 5x 5 x 3x 6
o) lim
5 8x x 3 5x
lim
x 5
1 8x 2 x t) lim 3 2 x 1 x
2x 1 x 5
1 4 3 4 5 5 , d) 0 , e) , f) , g) , h) 0 , i) , j) 4 , k) , l) , m) 1 , n) 1 , o) , 2 3 2 7 2 6 7 3 8 1 p) , q) , r) 2 , s) , t) 7 , u) , v) 0 , w) , y) 3 4 5 4
Výsledky: a) 3 , b) 1 , c)
3) Vypočítejte derivace funkcí:
a) y 4x x 1
b) y 6 x 5
2 1 c) y 5 x 2 x 7
f ) y x 2 1 sin x
g) y sin x tgx
h) y
2
l) y ln
2x 2x
3
m) log 2x 3 3
x 2 2x 1 x2
n) y e 3cos x
d) y 2sin x 3cos x
i) y
2x 1 x3
o) y e x sin x
j) y
e) y
cot gx 2x
p) y cos 2x
x
3
x 5 x x
k) y
x 1 x 1
q) y e sin x
2
Výsledky: a) y 8 x 1 , b) y
f) 2 x sin x x 1 cos x , j) y
2
x cos x sin x , 2 x 2 sin 2 x
3
g) y
x2
c) y
,
2 2 1 , d) y 2cos x 3sin x , e) y , 2 x 6x 6 x 35 5 x 3
sin x 1 cos2 x
k) y
2
cos x
1
x 1
2
h) y
,
x 1 , x 1
l) y
n) y 3e3cos x sin x , o) y e x sin x cos x , p) y
2 x2 2 x 2
1 x
2 2
4 , 4 x2
sin 2 x , cos 2 x
4) Určete derivace implicitně zadané funkce: a) x 2 y 2 1
i) y
,
m) y
7
x 3
q) y esin x cos x c) 6 x5 y 2 3 0
30x 4 y
d) y
5) Určete rovnici tečny křivky v bodě T: a) y x 2 2 x, T 4; y0
b) y
x y
b) y
c) x 2 xy y 2 1, T 2; 3
1 x3 , T 2; y0 f) y x 1 Výsledky: a) 6 x y 16 0 f) y 3x 3
3x 2 2y
c) y
,
6x2 , 2 x3 3 ln10
b) y 2 x 3
Výsledky: a) y
2
d) y 2 x 2 x
2x 1 2y
2x 1 , T 2; y0 x 1 e) y 2 2 x 2 16, T 0; 4
d) x 2 4 y 2 4, T 0;1
g) x 2 4 y 2 2 x 16 y 13 0, T 1; 1 b) 3x y 11 0 g) y 1
c) 7 x 4 y 2 0
N 1; 3 b) 4 x 3 y 30 0
e) y 4 0
b) y x 2 x 4,
6) Určete rovnici normály křivky v bodě N: a) x 2 y 2 9, Výsledky: a) x 3 y 8 0
d) y 1 0
2
2x 4 7) Vypočítejte druhou derivaci funkce v bodě x0 : a) y , x0 1 x3 2 Výsledky: a) y 1 36 b) y 2 27
N 6; 2
x2 2 b) y , x0 2 x 1
23. UŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU 1) Určete intervaly monotonie, konvexity, konkávity a extrémy funkce. a) y 3x 2 x 3
b) y x 4 2 x
c) y x 3 6 x 2 32
d) y
2 x 1 x2
e) y
x2 4 x 4 x 1
Výsledky: rostoucí
klesající
a)
0;2
;0 a
2;
b)
1;0 a 1;
; 1 a
0;1
c)
0;4
;0 a
4;
d) e)
; 1 a 1; ; 4 a 2;
;1
konvexní
3 a ; 3
konkávní
1; 3 ; 3
;2
1;1
;
4; 1 a 1;2
1;
3 3 ; 3 3
2;
3 a 0; 3
3;0 a
; 1
3;
max
min
x2
x0
x0
x 1 x 1
x4
x0
x 1
x 1
x 4
x2
2) Uzavřená válcová nádoba má povrch 6m 2 . Určete její rozměry, je-li její objem maximální.
1
Výsledky: r
cm, v
2
cm
3) Určete rozměry válcové silážní jámy tak, aby při objemu 27 m3 bylo potřeba na její vyzdění nejmenší množství materiálu. Výsledky: r
3
27
m 2,05m, v
3
27
m 2,05m
4) Najděte takové kladné číslo x aby součet čísla a jeho převrácené hodnoty byl minimální. Výsledky: x 1 5) Do kružnice o poloměru r vepište rovnoramenný trojúhelník o maximálním obsahu. Výsledky: rovnostranný , a r 3 6) Nádrž na vodu má mít čtvercové dno, objem 256m3 a tvar kvádru. Vypočítejte rozměry nádrže tak, aby spotřeba materiálu na vyzdění stěn a dna byla nejmenší. Výsledky: 8 m, 8 m, 4 m 7) Rozložte číslo 48 na součet dvou kladných sčítanců tak, aby součet třetí mocniny prvního sčítance a druhé mocniny druhého sčítance byl nejmenší. Výsledky:
16 128 3 3
8) Najděte válec, který má při daném objemu minimální povrch. Výsledky: r
3
V , v 2r 2
9) Přímočarý pohyb hmotného bodu je dán vztahem s t kt 2 lt m . Určete jeho zrychlení. Výsledky: a 2k 10) Vyšetřete průběh funkce a načrtněte její graf: a) f : y c) f : y Výsledky:
x4 8x2 4
d) f : y 2 x 4 4 x 2 6
1 1 x2
b) f : y
x2 2 x2 4
e) f : y 3x 3 12 x 2 12 x
24. PRIMITIVNÍ FUNKCE
1) Vypočtěte: a)
5 x x 1 x x dx
d)
x 3 3x x 2 dx
h)
sin
2 2
x
Výsledky: a)
e)
e)
x 2 5x 6 x 3 dx
3 dx cos2 x
i)
2 2 x x 5x C 5
b)
x4 1 x x3 dx
b)
x2 2x C 2
i) tgx x C
2
j)
xdx
x3 xC 3
j)
1 tgx C 2
1 x 2 3 dx
1
c)
cos2 x
cos x sin x dx
x
x5 2 x3 3x c 5 3
d)
1 cos2 x dx
k)
g) sin x cos x C
k)
2
g)
x2 1 2 2 C 2 2 x 3x x
f)
x
x4 1 x 2 1 dx
f)
tg
c)
2 3 dx 2 3 2 x x x2 3ln x C 2
h) 2cot gx 3 tgx C
2 3 2 x 9 3 x C 3 x
2) Vypočtěte s použitím integračních metod: a)
xcos x dx
f)
xsin x dx
Výsledky:
b)
2 x x e dx
g) 5 x
3
c) 3x
x 2 3 dx
5 ln 3x 2 2 C 6
h)
3 ln 5x 2 4 C 10
e)
1
24 1 4 x i)
x 2 5 dx
3x 5x 2 4 dx
d)
i)
5x 3x 2 2 dx
x3
1 4 x 4
b) x 2e x 2 xe x 2e x C
a) x sin x cos x C
d)
h)
4
3 2
C
1 C 16 1 4 x 4
c)
2
dx
e)
x2
1 4 x3
sin x
6 2 x 5 4 x 2 5 C 5
f) x cos x sin x C
g)
15 2 x 3 3 x 2 3 C 8
d)
cos
h)
1 cos 2 xdx
1 2
j) cos 2 x C
cos 2 x
1 cos x dx
b)
1 sin x 1 sin x dx
e)
cos2 2 x 1 sin 2 x dx
f)
tg
2
Výsledky: a) ln 1 cos x C e) x
1 cos 2 x C 2
x
1 dx cos2 x
c)
g)
b) 2x tgx C
f) x C
sin
2
1 dx x cos2 x
cot g
2
x
dx
j) sin 2x dx
3) Vypočtěte s použitím úprav: a)
3
1 dx sin 2 x
c) tgx cot gx C
g) 2cot gx x C
cos 2 x dx 2 x sin 2 x 1
d) cot gx tgx C h)
1 tgx C 2
2
2sin x 3cos x dx
4) Vypočtěte: a)
2
b) ln x dx
0
c)
1
2 x 1
2
1
2
e) ln x 1 dx
x cos x dx
d)
dx
0
1
0
2
2
f)
x
2
g)
cos x dx
2
xe dx x
0
h)
1
g) e 2
h)
98 3
c) i) 1
4 x
0
49 3 50 j) 3
d)
2
3
x
i)
dx
1
b) 1 ln 4
Výsledky: a) 4
2 x 1
3
2
j)
dx
2
x
2
2 x dx
1
1
e) 1 ln 4
f)
2 4
2
5) Určete křivku, která prochází : a) bodem A 4; 5 a jejíž tečna v libovolném bodě x; y má směrnici 2 x 14 b) bodem A 2; 3 a jejíž tečna v libovolném bodě x; y má směrnici 3x 1
c) bodem A 4; 5 a jejíž tečna v libovolném bodě x; y má směrnici 2 x 4
Výsledky:
b) y
a) y x 2 14 x 45
3 2 x x 5 2
c) y x 2 4 x 5
25. OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ A OBJEMY TĚLES V INTEGRÁLNÍM POČTU
1) Určete obsah obrazce omezeného danými křivkami: a) y 0, b) y x,
1 y , x
e) y 0,
y x 2 x 6, x 1, x 3
g) y x, Výsledky:
2
59 3
b)
1 ln 2 2
c)
y4
d) 4 y x 2 ,
x 2y 4 0
3 x1 0, x2 2 y 2 x i) y x 2 2 x 2,
f) y sin x,
h) y 2 2 y 2 x,
y x 2, x 1, x 3 a)
x2 y , 4
c) y x ,
y 0, x 2
y x 2 2 x 3, x 2; 3
32 3
d) 9
e)
56 3
f) 3
g) 12
h)
16 3
y x2 4x 2 i) 9
2) Určete objem tělesa, které vznikne rotací množiny ohraničené danými křivkami kolem osy x . a) y 2 x 2 , d) y 2 6 x, Výsledky:
a)
b) y x,
y x2
e) y 1 x 2 ,
x3 16 3
b)
5 6
c)
125 6
1 , x y x2 y
d) 27
y 0, x 2
c) y 2 5x,
f) y 3 x 2 , e)
2 2 3
f)
yx
y 1 x2
32 3
3) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kužele, který má poloměr podstavy r a výšku v . 4) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o poloměru r .
Použitá literatura: Příprava k maturitě a na vysoké školy ( J. Petáková); Repetitorium středoškolské algebry v příkladech, (F. Janeček); Sada učebnic matematiky pro gymnázia; Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám ( J. Kubát); Sbírka úloh z matematiky pro SVVŠ; Sbírka maturitních příkladů; Řešené příklady z matematiky pro střední školy k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysokou školu
