Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai 1. Hány olyan téglalap van, amelynek esnek?
csúcsai az alábbi négyzetrács rácspontjaira
Megoldás: A téglalapok oldalai vagy ,,függőlegesek" és ,,vízszintesek", vagy ,,ferdék". ,,Ferde" téglalap csak egyféle lehet (. ábra).
Ebből kettő van. Az álló téglalapokat oldaluk hossza szerint csoportosítjuk. Először az 1 egység magasságúakat vesszük. •-• | | -ból 6 darab van, 3 a felső sorban, 3 az alsó sorban •-• •-•-• | •-•-•
| -ból 4 darab van, 2 a felső sorban, 2 az alsó sorban
•-•-•-• | | -ból 2 darab látható •-•-•-• Most a 2 magasak következnek. •-• | | • • -ból összesen 3 darab, | | •-• •-•-• | • • | •-•-•
| • -ból 2 darab, míg a |
•-•-•-• | | • • • • -ból 1 darab van. | | •-•-•-• Összesen 20 téglalap van. 2. A 2001 olyan szám, amelynek tízesekre, százasokra és ezresekre kerekített értéke megegyezik. Hány ilyen négyjegyű pozitív egész szám van? Megoldás: A tízesekre kerekített érték kerek ezres, legalább 1000, legfeljebb 10000. Ha a kerekített érték 1000, akkor a szám lehetett 1000, 1001, 1002, 1003 vagy 1004, ez 5 lehetőség. Ha a kerekített érték 10000, akkor a szám lehetett 9995, 9996, 9997, 9998, 9999, ez is 5 lehetőség. Ha a kerekített érték 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, vagy 9000, akkor ezt az értéket kaphattuk lefele- vagy fölfele kerekítéssel. Ez ezresenként 10, összesen 80 lehetőség. Tehát 5+5+80=90 megfelelő szám van. Megjegyzés Nem használtuk a számok százasokra kerekítésére vonatkozó feltételt. 3. Egy dobozban tíz számkártya volt, az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számokkal. Ági, Béla, Cili, Dani és Elek egymás után 2-2 kártyát húzott. Danit kivéve a többiek elárulták az általuk húzott számok összegét: Ági 5-öt, Béla 12-t, Cili 10-et, Elek 12-t mondott. Mely számokat húzta Dani? Megoldás: A tíz szám összege 55, ezért Dani kártyáin a számok összege 55−(5+12+10+12)=16 volt. Így Dani csak a 10-es és a 6-os, vagy a 9-es és a 7-es kártyákat húzhatta. Ha Dani 10+6-ot húzott, akkor Béla és Elek kártyáin 9+3, 8+4, vagy 7+5 állt. Az Áginál lévő számok összege 5, ez csak 1+4 vagy 2+3 lehet. Ha eddig jól osztottuk ki a lapokat, akkor a Cilinél lévő számok összege biztosan 10. Így több esetben is kapunk megoldást. Ági Béla Dani Elek Cili (1;4) (3;9) (6;10) (5;7) (2;8) (1;4) (5;7) (6;10) (3;9) (2;8) (2;3) (4;8) (6;10) (5;7) (1;9) (2;3) (5;7) (6;10) (4;8) (1;9) Ha Dani kártyáin 7 és 9 szerepelt, akkor Béla és Elek csak 10+2-t, illetve 8+4-et húzhatott. Ekkor Áginak nem juthatott sem 1+4, sem 2+3, másként viszont nem lehet 5 a kártyáin lévő számok összege. Tehát ez az eset nem lehetséges. Azaz Dani biztosan a 6-os és a 10-es kártyát húzta. 4. A derékszögű koordináta-rendszerben az ábrán látható e és f egyenes 2560 területegységnyi négyszöget vág le az első síknegyedből. Határozd meg a P pont koordinátáit!
Megoldás:
A P második koordinátája, ami egyben az ABP egyik magassága is, legyen az y. Ezzel az OBPC négyszög területe:
amiből y=64. Ennélfogva az APT-ben OC középvonal, azaz x=OT=32, így P(32; 64). 5. Egy tizenkét tagú társaságban van férfi is, nő is, gyerek is. 12 veknit visznek: minden férfi két veknit, minden nő egy fél veknit, a gyerekek mind egy-egy negyed veknit. Hány férfi, nő és gyerek volt a társaságban? Megoldás: 6-nál kevesebb férfi visz veknit, különben nő is, gyerek is vekni nélkül maradna. 4-nél több férfinél kell legyen vekni, különben a nőkkel és a gyerekekkel együtt több, mint 12-en lennének. Az 5 férfi 10 veknije mellett 7-en együtt visznek 2 veknit, ami nyolc negyed, de ebből legalább egy fél veknit egy nő visz, a maradék hat negyed veknin hatan kell osztozkodjanak. Így csak 1 nő és 6 gyerek visz vekni részeket az 5 férfi 2-2 veknije mellett.
6. Egy focicsapat pályán lévő 11 játékosának életkora 11 szomszédos egész szám. Miután egy játékost kiállítottak, a pályán maradt 10 csapattag átlagéletkora pontosan 28, 7 év lett. Hány éves a kiállított játékos? Megoldás: Célszerű jelöléssel a focisták életkora: x-5;x-4;x-3;x-2;x-1;x;x+1;x+2;x+3;x+4;x+5életkoruk összege:11x Kiállítás után életkoruk összege:1028,7=287 Legyen a kiállított játékos életkora y11x-y=28711x=287+y Az egyenlet baloldala osztható 11-gyela jobboldal is osztható 11-gyel 287 maradéka 11-gyel osztva 1, ezért y felveheti a 10;21;32; 43… értékeket. Ha y=1011x=297x=27, ami lehetetlen, mert a legfiatalabb ekkor 27-5=2210 Ha y=2111x=308x=28, ami lehetetlen, mert a legfiatalabb ekkor 28-5=2321 Ha y=3211x=319x=29, ami jó, mert a középső életkor 29, és 32=29+3 7. András vásárolt két könyvet, majd később eladta azokat, mindkettőt ugyanannyiért. Az egyiken 20%-ot vesztett, a másikon 20%-ot nyert, és így összesen 50 Ft-ot vesztett. Mennyiért vette és adta el a könyveket András? Megoldás: Az első könyvet x, a másodikat y Ft-ért vetteeladási ár:z=0,8x=1,2y, mert az eladási x áruk ugyanaz 1,5 x=1,5y y A vételár 50 Ft-tal több az eladási árnál x+y=2z+50 1,5y+y=21,2y+50 2,5y=2,4y+50 0,1y=50y=500x=750 Ell.: 7500,8=600 és 5001,2=600 8. Egy szabályos ötszög összes átlóját megrajzoltuk. a.) Hányféle egymástól különböző, szimmetrikus háromszöget találhatunk az ábrában? b.) Összesen hányféle szimmetrikus háromszög van az ábrában?
Megoldás: A feladatbeli háromszögek oldalait az ötszög (1) két oldala és egy átlója; (2) egy oldala és két átlója, vagy átlóegyenese; (3) három átlója, illetve átlóegyenese határolja.
(4) Az ABE szimmetrikus háromszögnek további négy, vele egybevágó társa van, az ötszög ötödrendű forgásszimmetriája miatt. A háromszög szimmetrikus, mivel AB=AE (21) Az ABT szimmetrikus az ötszög AB oldalának felező merőlegesére. Az ötszög középpontja körüli elforgatásokkal további négy ilyen háromszöget nyerünk. (22) Az ABD típusú háromszögekből is összesen öt található az ötszögben a (21) esetben előadott érvek miatt (23) Az ABS és ABV háromszögek egybevágók, mivel az AB felezőmerőlegesére szimmetrikusak. Egyenlőszárúságuk, pl. az ABS esetében az S és az A csúcsoknál lévő szögek egyenlőségéből adódik, mivel az ABCR négyszög paralelogramma (szemköztes oldalegyenesei az ötszög egy-egy szimmetriatengelyére merőlegesek, és így párhuzamosak) A és R csúcsánál levő szögei kiegészítőszögek, és az ABS S-nél lévő szögének mellékszöge viszont a paralelogramma R csúcsú szögével egyenlő.
A forgásszimmetriából adódóan az ötszög minden oldalához egy-egy ABS illetve ABV típusú háromszög tartozik, összesen tehát tíz ilyen háromszögünk van. (3) A három átló közül kettő ugyanabból a csúcsból indul ki, ellenkező esetben a sokszögnek legalább 6 csúcsa lenne. A három átló (egyenes) vagy egy BEP vagy egy AST típusú háromszöget határol. E két típus mindegyikéhez négy-négy velük egybevágó háromszög található. b) Összeszámlálva: összesen 5+5+5+10+10=35 szimmetrikus háromszög található az ábránkban. a) Nem egybevágó szimmetrikus háromszögekből az (1) és a (2) jelűek egy-egy példányt adnak, míg a (3) alattiak két, a korábbiakkal sem egybevágó háromszöget hoznak. Összesen tehát 6-féle (nem egybevágó) szimmetrikus háromszögünk van.
9. Az ABC és az ABD háromszögekben az AB = AC = BD. Az AC szakasz a BD szakaszt merőlegesen metszi. Mekkora az ACB és az ADB összege? Megoldás: Az ábra jelöléseivel: CB=90°-, tehát egyrészt ABD=2 -90°, másrészt ABD=180°-2 Ez utóbbi két összefüggésből 2-90°=180°-2, azaz +=135°.
10. Egy matematika tanár a következőképpen adta meg korát: ,,Életkorom kétjegyű egész szám, amelyet számjegyeinek szorzatával megszorozva csupa azonos jegyből álló háromjegyű számot kapunk.'' Hány éves a matematika tanár? Megoldás: 37 éves Jelölje a kétjegyű egész számot 10a+b, ahol 1a 9 és 1 b 9.
ahol 1 c 9. Mivel 37 osztója a (10a+b)a·b -nek és 37 prím, így a tanár életkora 37 vagy 74 év. 1.) Ha 37 éves, akkor 37·3·7=777, ezért ez jó megoldás. 2.) Ha a tanár 74 éves, akkor 74·7·4=2072, azaz nem háromjegyű szám.
