Pembahasan Soal
SBMPTN 2016 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS
Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK)
Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SBMPTN 2016 TKD SAINTEK Matematika IPA Kode Soal 252 =
1.
Titik dan
+
Y
adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan sumbu- . Nilai adalah ....
A. B. C. D. E.
8
TRIK SUPERKILAT: =
+
Y 8 (0, )
O
8
X
O Pembahasan:
Dari sketsa gambar kita akan segera tahu bahwa besar sudut , sehingga kita akan cepat tahu juga bahwa segitiga pada gambar siku-siku sama kaki, 8 sehingga .
Ingat, Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat ke garis singgung lingkaran. Misal lingkaran berpusat di dan garis singgung lingkaran dapat dinyatakan dalam , maka jari-jari lingkaran adalah:
Perhatikan, Terdapat dua lingkaran pada soal, yaitu: (i) (ii) Perhatikan ilustrasi berikut,
Y 8
O
8
X
Karena panjang jari-jari kedua lingkaran adalah sama, maka besar gradien dari garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah sama dengan besar gradien dari garis yang melalui kedua pusat lingkaran. Sehingga, gradien garis singgung persekutuan dua lingkaran yang dimaksud sama dengan gradien garis yang melalui titik dan yaitu:
Halaman 1
X
Titik adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan sumbu- , maka persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran yang dimaksud adalah persamaan garis lurus dengan gradien yang melalui adalah:
Jari-jari lingkaran pusat lingkaran
yaitu dapat dihitung menggunakan jarak titik ke garis singgung , yaitu:
Sehingga, nilai Jadi, nilai
atau .
Halaman 2
2.
Segitiga dan
siku-siku di . Titik maka ....
pada
sehingga
TRIK SUPERKILAT:
A. B.
=3
3
C.
dan
. Jika
Luas dapat dicari dengan dua cara menggunakan rumus , maupun rumus sinus:
= 26
26
D. 5
E. 1
2
= 5
2
1
Pembahasan: Cara 1: Aturan Kosinus Ingat, Pada suatu segitiga
seperti pada gambar di samping berlaku aturan kosinus:
Perhatikan segitiga
,
Karena segitiga
dan
Sekarang perhatikan segitiga
Nilai
siku-siku B maka berlaku teorema Pythagoras,
, berlaku aturan kosinus,
dapat dicari menggunakan identitas trigonometri,
Halaman 3
Cara 2: Rumus Pengurangan Dua Sudut Sinus Ingat, Rumus pengurangan dua sudut sinus:
Perhatikan segitiga
dan
serta sudut
dan ,
Maka diperoleh nilai-nilai trigonometri berikut,
Perhatikan baik-baik bahwa
.
Sehingga,
Nilai
dapat diperoleh dengan mengkuadratkan nilai
,
Halaman 4
3.
Fungsi interval ....
untuk TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan apa gunanya syarat berikut pada soal????? dan Jelas pada nilai tersebut fungsi tidak terdefinisi, dan naik turunnya fungsi sudah semestinya akan terpotong pada nilai tersebut. Jawaban A, C, dan E pasti salah. Tersisa pilihan jawaban B atau D saja yang mungkin benar.
A. B. C. D. E. Pembahasan: Ingat, Fungsi
dan
naik pada
naik pada Sekarang tinggal cek aja apakah fungsi naik atau turun menggunakan dua nilai pada interval jawaban:
Karena , maka pada interval 0 sampai fungsi turun. Karena yang ditanyakan interval fungsi naik, jadi jelas bahwa jawaban yang benar pastilah D.
apabila
Perhatikan,
Misal,
Maka,
Syarat fungsi
naik adalah
, sehingga:
Daerah yang memenuhi dapat dicek dengan menguji nilai
pada garis bilangan berikut
Karena nilai pertidaksamaan yang diminta adalah negatif, maka daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah . Halaman 5
4.
Suatu transformasi terdiri dari pencerminan terhadap , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu . Jika dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah .... A. B. C. D. E. Pembahasan:
TRIK SUPERKILAT:
Titik potong dan sudut yang dibentuk oleh garis dan sumbu berturut-turut adalah dan , sehingga komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis dilanjutkan oleh sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat sebesar
Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula. Jadi, bayangan titik adalah tetap . S .! Gampang kan?
Cara 1: Pemetaan Transformasi Ingat, Apabila suatu titik dicerminkan terhadap garis , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Apabila suatu titik dicerminkan terhadap sumbu , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Perhatikan, apabila transformasi terdiri dari pencerminan terhadap garis dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
,
Sehingga,
Jadi, apabila titik transformasinya adalah:
dikenakan transformasi
sebanyak 24 kali, maka hasil
Sampai disini, kita harus dapat menemukan pola dari transformasi tersebut, karena akan ribet banget kalau sampe f .H . Mari kita periksa,
Perhatikan, ternyata transformasi adalah berulang setiap 4 kali, sehingga hasil transformasi ke-24 terhadap transformasi adalah:
Jadi, bayangan titik
terhadap transformasi
sebanyak 24 kali adalah
.
Halaman 6
Cara 2: Matriks Transformasi Ingat, Apabila suatu titik dicerminkan terhadap garis , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Apabila suatu titik dicerminkan terhadap sumbu , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap garis :
Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu :
Misal,
Perhatikan, apabila transformasi terdiri dari pencerminan terhadap garis dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
Jadi, apabila titik transformasinya adalah:
dikenakan transformasi
Sampai disini, kita harus dapat menemukan nilai
,
sebanyak 24 kali, maka hasil
.?
Mari kita periksa terlebih dahulu,
Perhatikan, karena
Maka, bayangan titik
Jadi, bayangan titik
, maka nilai
adalah berulang setiap 4 kali, sehingga:
terhadap transformasi
terhadap transformasi
sebanyak 24 kali adalah:
sebanyak 24 kali adalah
.
Halaman 2
Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Sifat komposisi pencerminan dua garis saling berpotongan) Ingat, Operasi dua pencerminan berurutan terhadap dua garis yang saling berpotongan akan menghasilkan rotasi, dengan: Pusat rotasi adalah titik potong kedua garis. Sudut rotasi sebesar dua kali sudut yang dibentuk oleh garis pertama dengan garis kedua. Perhatikan sketsa grafik di bawah,
Titik potong antara garis dan sumbu ( adalah titik Sudut yang dibentuk antara garis dengan sumbu adalah
. .
Perhatikan lagi sketsa grafik di bawah,
Sehingga, komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat sebesar
.
dilanjutkan oleh
Nah, karena transformasi sebanyak 24 kali, maka sama artinya dengan dikenakan sebanyak 24 kali rotasi tersebut. Namun, coba perhatikan: ; Dan mengingat sifat sudut rotasi
, maka:
Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula. Jadi, bayangan titik
adalah tetap
.
Halaman 2
5.
Diketahui kubus . . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Jika adalah sudut antara bidang dan garis maka nilai .... TRIK SUPERKILAT:
A.
Apabila kita geser FH ke dasar maka jelas terlihat bahwa sudut Perhatikan gambar berikut:
B.
H
G F
E
C.
P
D. E.
.
N
D M
C
Q
A
B
Pembahasan:
Asumsi kita bahwa sudut , maka nilai sinus sudut pasti lebih besar dari , dan hanya ada dua jawaban yang mungkin benar, yaitu jawaban A dan B. Jawaban B hanya sedikit lebih besar dari dan bisa dipertimbangkan .. S A .
Perhatikan gambar berikut, H
G F
E
Tantangan di soal ini adalah bagaimana mencari sudut yang dibentuk antara garis dan bidang, sedangkan tidak dapat dilihat secara langsung titik tembus garis pada bidang tersebut.
P
N
D M
C
Q
A
B
Alternatif langkah penyelesaiannya adalah:
H
(i) Bidang diperluas dan garis diperpanjang sedemikian sehingga garis dapat menembus bidang di suatu titik tembus, sehingga sudut antara garis dan bidang dapat diamati dan dihitung yaitu sudut yang dibentuk antara garis dan proyeksi garis pada bidang. Perhatikan ilustrasi di samping!
G
𝜶
E
F
P
N
D M
C
Q
A
B
(ii) Bidang atau garis dapat digeser asalkan masih tetap sejajar dengan bidang atau garis semula. a) Garis dapat kita geser ke bidang dasar, sehingga garis berhimpit dengan garis . Sehingga, sudut yang terbentuk antara garis dan bidang dapat diwakili oleh sudut antara garis dan bidang . Perhatikan ilustrasi berikut: H
b) Bidang dapat kita geser menjadi bidang , ini dapat dilakukan karena bidang sejajar bidang . Sehingga, sudut antara garis dan bidang dapat diwakili oleh sudut antara garis dan bidang . Perhatikan ilustrasi berikut: H
G F
E
E
P
A
G
R F
P
N
D M
𝜶
Q B
N
D
C
M A
C Q B
Halaman 3
Kita menggunakan alternatif jawaban pada cara (ii) b), yaitu menggeser bidang MNP menjadi bidang ACH. Perhatikan gambar berikut, H E
𝜶
G
R F
P
N
D
C
M
Q
A
Sudut
B
adalah sudut antara garis
dan bidang
.
Jadi,
Nah, berarti kita tinggal mencari panjang merupakan sisi miring pada segitiga siku-siku
adalah panjang rusuk kubus, dan .
Misalkan terlebih dahulu panjang rusuk kubus adalah . Maka panjang Perhatikan, titik
Panjang
merupakan titik potong antara diagonal .
dapat dicari pada segitiga siku-siku
dan diagonal
. , maka
, yaitu:
Jadi,
Halaman 2
6.
Jika sisa pembagian oleh A. B. C. D. E.
oleh adalah
adalah , maka
, dan sisa pembagian = ....
TRIK SUPERKILAT:
33 43 53 63 73
dibagi oleh bersisa dibagi oleh bersisa dibagi oleh bersisa Karena dibagi bersisa Maka , sehingga
,
Pembahasan: Cara 1: R
S
B
B
“
”
Ingat, Rumus pembagian suku banyak, dimana, yang dibagi;
pembagi;
hasil bagi;
sisa pembagian
Perhatikan, Sisa pembagian
oleh
adalah
, maka:
Perhatikan juga bahwa yang akan dicari adalah sisa pembagian oleh dalam bentuk , maka kita harus dapat menemukan bentuk terlebih dahulu. Perhatikan uraian berikut:
Perhatikan bentuk
Jadi, sisa pembagian sisa pembagian terlebih dahulu bentuk
berikut,
oleh oleh
sama artinya juga dengan mencari . Oleh karena itu, mari kita jabarkan sehingga diperoleh:
Sehingga, sisa pembagian dapat diperoleh dengan pembagian bersusun “
”:
Halaman 3
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Horner Modifikasi) S “ ” sisa pembagian oleh pembagi derajat berapapun, khususnya pembagi yang tidak bisa difaktorkan, juga dapat diperoleh dengan Horner Modifikasi. Caranya adalah perhatikan bentuk pembagi berikut:
Maka, Angka kita susun dari bawah ke atas di bagian kiri bagan Horner Modifikasi. Lalu koefisien dari fungsi yang dibagi ditulis seperti biasa pada Horner Biasa. Hasil sisa pembagian perhitungan Horner Modifikasi berikut:
Hasil
Sisa Pembagian
oleh
dapat dilihat pada
Langkah-langkah Horner Modifikasi: Kolom pertama dijumlahkan, hasilnya 9. 9 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 27, Kolom kedua dijumlahkan, hasilnya 6. 6 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 18, (Perkalian berhenti kalau kolom terakhir sudah terisi, yaitu Kolom ketiga dijumlahkan, hasilnya 16. Kolom keempat dijumlahkan, hasilnya . Kolom kelima dijumlahkan, hasilnya .
Jadi, Sisa pembagian
oleh
adalah
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
Halaman 4
. .
.)
7.
Grafik
berada di bawah grafik
A. B. C. D. E.
jika ....
TRIK SUPERKILAT: Karena untuk maka jelas
dan dan
nilai , tidak bisa v . Jadi jawabannya adalah jelas C. Sudah gitu aja, gampang kan?
,
Bukti: Untuk
, maka
Untuk
, maka
Pembahasan: Cara 1: Pertidaksamaan Eksponen Ingat, Pada pertidaksamaan eksponen, berlaku: Untuk
, maka: .
Perhatikan, Grafik
berada di bawah grafik
, maka:
f
H
f f f
Jadi, grafik
berada di bawah grafik
jika
.
Tambahan: Pemfaktoran bentuk
menggunakan metode Horner.
Perhatikan, karena jumlah semua koefisien maka salah satu faktornya adalah , sehingga:
adalah
,
Jadi,
Halaman 5
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Cek Interval Pilihan Jawaban) Karena batas interval di pilihan jawaban hanya memuat , , dan . Tidak terlalu banyak dan rumit untuk diperiksa satu per satu untuk menguji jawaban mana yang benar. Nah, waktu yang diperlukan mungkin bisa lebih singkat ketimbang membuktikan jawaban benar dengan menguraikan menggunakan sifat pertidaksamaan eksponen. Oke, mari kita coba. Ada dua alternatif cara TRIK SUPERKILAT yang bisa dilakukan pada soal ini. Jadi, sebenarnya kita cukup mengecek hal berikut: Pertama, cek nilai setiap interval yang disediakan pilihan jawaban. Ambil sebarang nilai pada setiap interval, lalu substitusikan dan periksa interval mana saja yang menyebabkan
bernilai benar.
0 Untuk
, maka
1 Untuk
, maka
3 Untuk
, maka
Untuk
maka
Dari pengujian nilai setiap interval, jelas diperoleh interval yang menyebabkan
Kedua, cek apakah
adalah
.
,
, dan
nilai
pada pilihan jawaban menyebabkan
.
Lihat pada Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban) di bawah ini:
Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban) Kedua, cek apakah nilai Mari kita periksa: Untuk
, maka
Jadi, karena untuk
,
, dan
pada pilihan jawaban menyebabkan
. Untuk
dan
, maka
Untuk
nilai
, maka sangatlah
jelas bahwa dan Perhatikan pilihan jawaban yang tersedia, Untuk
, maka
v
.
, maka
Jadi jawabannya adalah jelas C. Sudah gitu aja, gampang kan?
Halaman 6
8.
.... TRIK SUPERKILAT: Abaikan dan coret sin terlebih dahulu. Dan keluarkan
A.
pada pembilang.
B. C. D. E.
Pembahasan: Ingat, Konsep dasar limit trigonometri:
Perhatikan,
Bentuk Padahal,
mungkin akan banyak disalahpahami menjadi
.
bukanlah sudut dari sinus.
Jadi, biar tidak salah paham maka Sehingga,
dipindah ke depan
.
.
Maka, bentuk limit akan menjadi,
Jadi,
Halaman 7
9.
Jika dalam suatu barisan geometri ....
dan
, maka
TRIK SUPERKILAT:
A. B. C. D. E.
Karena
dan
, maka
Pembahasan: Cara 1: Barisan dan Deret Geometri
Maka
Ingat, Rumus suku ke- dan jumlah
suku pertama barisan geometri adalah:
S
Perhatikan, Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .
f
H
f
Jadi,
Tambahan: Pemfaktoran Perhatikan karena
menggunakan metode Horner. .
Jadi, kemungkinan nilai adalah jelas tidak mungkin, sehingga kita pilih
. ,
Jadi,
Halaman 8
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Feeling dan Cek Angka pada Pilihan Jawaban) Ingat, Rumus suku ke- dan jumlah
suku pertama barisan geometri adalah:
S
Perhatikan, Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .
. S
. .
Jadi,
Halaman 9
10.
Misalkan A. B. C. D. E.
. Jika nilai minimum dan maksimum berturut-turut adalah dan , maka ....
3 19 20 83 100
TRIK SUPERKILAT:
Nilai minimum pastilah , dan nilai maksimum di antara dua nilai atau . Setelah diperiksa ternyata, dan , jadi nilai maksimum adalah
Dari uji turunan pertama, dan batas interval diperoleh garis bilangan:
+ 2
1
0
′
2
2
Pembahasan:
pada selang
Sehingga, Jadi,
2
dan
1
Ingat,
Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi interval adalah sebagai berikut:
pada
(i) Menentukan nilai fungsi pada batas interval yaitu dan . (ii) Menentukan nilai pada interval yang menyebabkan nilai maksimum atau minimum dengan syarat stasioner serta menentukan nilai fungsinya. (iii) Membandingkan nilai fungsi pada langkah (i) dan (ii), lalu dipilih sesuai yang diinginkan. Apakah mencari nilai maksimum atau nilai minimum. Perhatikan, Pada soal diberikan batas interval
, maka hitung nilai
Perhatikan lagi
dan
, maka turunan pertama dan kedua
Lalu, tentukan nilai dari syarat fungsi stasioner, yaitu
adalah:
,
Kemudian menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua Periksa jenis stasioner di Untuk
atau
,
, maka
memiliki titik belok di
, maka
memiliki titik balik minimum di
Jadi, dari syarat stasioner hanya diperoleh nilai minimum
Sehingga dengan membandingkan nilai
Jadi,
.
, maka Karena
.
, maka Karena
Untuk
.
yaitu
.
:
, diperoleh:
Nilai minimum, Nilai maksimum, . Halaman 10
