Matematika I
Název studijního programu
RNDr. Jaroslav Krieg
2014 České Budějovice 1
Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké škole technické a ekonomické v Českých Budějovicích" s registračním číslem CZ.1.07./2.2.00/29.0019. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
1. vydání ISBN © Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 2014 Vydala: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, Okružní 10, 370 01 České Budějovice
Za obsahovou a jazykovou správnost odpovídají autoři a garanti příslušných předmětů.
2
Obsah Značení ..................................................................................................................................... 12 Kvantifikátory ........................................................................................................................ 12 Logické spojky .................................................................................................................... 12 Množinové symboly ........................................................................................................... 12 Číselné obory ..................................................................................................................... 13 Intervaly ............................................................................................................................. 15 Kapitola 1 - Vektorové prostory ............................................................................................... 16 1.1 Vektorové prostory ......................................................................................................... 18 1.1.1 Úvod .......................................................................................................................... 18 1.1.2 Aritmetický vektorový prostor ................................................................................. 18 1.1.3 Příklad ....................................................................................................................... 19 1.1.4 Příklad ....................................................................................................................... 20 1.1.5 Definice (aritmetického vektorového prostoru) ...................................................... 20 1.1.6 Poznámka.................................................................................................................. 21 1.1.7 Definice (vektorového podprostoru) ........................................................................ 22 1.1.8 Poznámka.................................................................................................................. 22 1.1.9 Definice (lineární kombinace)................................................................................... 23 1.1.10 Poznámka................................................................................................................ 23 1.1.11 Příklad ..................................................................................................................... 23 1.1.12 Definice (lineární závislosti a nezávislosti) ............................................................. 24 1.1.13 Poznámka................................................................................................................ 24 1.1.14 Příklad ..................................................................................................................... 25
3
1.1.15 Věta (lineární nezávislost podmnožiny lineárně nezávislých vektorů) .................. 26 1.1.16 Definice (lineárního obalu množiny) ...................................................................... 27 1.1.17 Poznámka................................................................................................................ 27 1.1.18 Lemma (vlastnosti vektorového podprostoru)....................................................... 28 1.1.19 Příklad ..................................................................................................................... 28 1.1.20 Definice (množiny generátorů) ............................................................................... 29 1.1.21 Poznámka................................................................................................................ 29 1.1.22 Lemma (elementární úpravy na množině generátorů) .......................................... 29 1.1.23 Poznámka................................................................................................................ 30 1.1.24 Tvrzení .................................................................................................................... 30 1.1.25 Příklad ..................................................................................................................... 30 1.1.26 Příklad ..................................................................................................................... 31 1.1.27 Příklad ..................................................................................................................... 31 1.1.28 Poznámka................................................................................................................ 32 1.1.29 Definice (báze vektorového prostoru).................................................................... 32 1.1.30 Příklad ..................................................................................................................... 32 1.1.31 Poznámka................................................................................................................ 33 1.1.32 Věta (Steinitzova věta o výměně) ........................................................................... 33 1.1.33 Důsledek Steinitzovy věty (věta o dimenzi) ............................................................ 34 1.1.34 Definice (dimenze vektorového prostoru) ............................................................. 34 1.1.35 Důsledky (Steinitzovy věty) .................................................................................... 34 1.1.36 Věta (o jednoznačném vyjádření souřadnic vektoru) ............................................ 35 1.1.37 Definice (souřadnic vektoru) .................................................................................. 35
4
1.1.38 Příklad ..................................................................................................................... 35 1.1.39 Příklad ..................................................................................................................... 36 1.2 Skalární součin a ortogonalita vektorů ........................................................................... 36 1.2.1 Definice (vektorového prostoru se skalárním součinem) ........................................ 37 1.2.2 Definice (skalárního součinu aritmetických vektorů) ............................................... 37 1.2.3 Definice (velikosti vektoru) ....................................................................................... 37 1.2.4 Věta (vlastnosti nulového vektoru, velikost násobku vektoru) ................................ 38 1.2.5 Definice (kolmosti vektorů) ...................................................................................... 38 1.2.6 Definice (ortogonálního doplňku) ............................................................................ 38 1.2.7 Příklad ....................................................................................................................... 39 1.2.8 Tvrzení (základní vlastnosti ortogonálních doplňků) ................................................ 39 1.2.9 Příklad ....................................................................................................................... 40 Kapitola 2 - Matice ................................................................................................................... 43 2.1 Pojem matice .................................................................................................................. 44 2.1.1 Definice (matice)....................................................................................................... 44 2.1.2 Příklad ....................................................................................................................... 45 2.1.3 Definice (rovnosti matic) .......................................................................................... 45 2.1.4 Definice (speciálních typů matic) ............................................................................. 46 2.1.5 Příklad ....................................................................................................................... 48 2.1.6 Řádkový a sloupcový prostor matice ........................................................................ 50 2.1.7 Věta (o dimenzi řádkového a sloupcového prostoru matice) .................................. 50 2.1.8 Definice (hodnosti matice) ....................................................................................... 50 2.1.9 Poznámka.................................................................................................................. 51 2.1.10 Tvrzení (vlastnosti trojúhelníkové a schodovité matice)........................................ 51
5
2.1.11 Definice (elementárních řádkových úprav matice) ................................................ 52 2.1.12 Definice (ekvivalentních matic) .............................................................................. 52 2.1.13 Příklad ..................................................................................................................... 52 2.1.14 Věta (o hodnosti ekvivalentních matic) .................................................................. 52 2.1.15 Poznámka................................................................................................................ 53 2.1.16 Gaussova eliminační metoda.................................................................................. 53 2.1.17 Příklad ..................................................................................................................... 54 2.1.18 Poznámka................................................................................................................ 55 2.1.19 Příklad ..................................................................................................................... 56 2.1.20 Příklad ..................................................................................................................... 58 2.1.21 Příklad ..................................................................................................................... 58 2.1.22 Příklad ..................................................................................................................... 59 2.2 Algebraické operace s maticemi ..................................................................................... 60 2.2.1 Definice (regulární a singulární matice).................................................................... 60 2.2.2 Poznámka.................................................................................................................. 60 2.2.3 Příklad ....................................................................................................................... 60 2.2.4 Definice (součtu matic a skalárního násobku matice) .............................................. 61 2.2.5 Definice (součinu matic) ........................................................................................... 62 2.2.6 Poznámka.................................................................................................................. 62 2.2.7 Příklad ....................................................................................................................... 62 2.2.8 Vlastnosti operací s maticemi................................................................................... 64 2.2.9 Věta (vektorový prostor matic) ................................................................................ 65 2.2.10 Poznámka................................................................................................................ 65
6
2.2.11 Věta (vlastnosti operací násobení a sčítání matic) ................................................. 65 2.2.12 Poznámka................................................................................................................ 65 2.2.13 Věta (další vlastnosti operací s maticemi) .............................................................. 66 2.2.14 Definice (inverzní matice) ....................................................................................... 66 2.2.15 Poznámka................................................................................................................ 67 2.2.16 Věta (o existenci a unicitě inverzní matice)............................................................ 67 2.2.17 Příklad ..................................................................................................................... 67 2.2.18 Tvrzení (vlastnosti inverzních matic) ...................................................................... 68 2.2.19 Příklad ..................................................................................................................... 68 2.3 Maticové rovnice ............................................................................................................ 69 2.3.1 Příklad ....................................................................................................................... 70 2.3.2 Příklad ....................................................................................................................... 71 2.3.3 Příklad ....................................................................................................................... 71 2.3.4 Příklad ....................................................................................................................... 72 2.3.5 Příklad ....................................................................................................................... 73 2.3.6 Příklad ....................................................................................................................... 74 Kapitola 3 - Řešení soustav lineárních rovnic ........................................................................... 76 3.1 Soustavy lineárních rovnic .............................................................................................. 76 3.1.1 Definice (soustavy lineárních rovnic)........................................................................ 76 3.1.2 Poznámka.................................................................................................................. 78 3.1.3 Příklad ....................................................................................................................... 78 3.1.4 Příklad ....................................................................................................................... 79 3.2 Homogenní soustavy....................................................................................................... 81 3.2.1 Definice (homogenní soustavy) ................................................................................ 81
7
3.2.2 Poznámka.................................................................................................................. 81 3.2.3 Definice (nulového prostoru matice) ....................................................................... 81 3.2.4 Poznámka.................................................................................................................. 81 3.2.5 Věta (vztahy mezi řádkovým a nulovým prostorem matice soustavy A) ................. 81 3.2.6 Poznámka.................................................................................................................. 82 3.3 Řešení homogenních soustav Gaussovou metodou ....................................................... 82 3.3.1 Definice (ekvivalentních soustav) ............................................................................. 82 3.3.2 Věta (o ekvivalentních soustavách) .......................................................................... 82 3.3.3 Poznámka.................................................................................................................. 82 3.3.4 Příklad ....................................................................................................................... 83 3.3.5 Poznámka.................................................................................................................. 84 3.3.6 Příklad ....................................................................................................................... 86 3.4 Nehomogenní soustavy .................................................................................................. 86 3.4.1 Definice (nehomogenní soustavy) ............................................................................ 86 3.4.2 Poznámka.................................................................................................................. 87 3.4.3 Věta (Frobeniova) ..................................................................................................... 88 3.4.4 Věta (o počtu řešení řešitelné soustavy) .................................................................. 88 3.4.5 Tvrzení (řešitelnost soustav lineárních rovnic) ......................................................... 88 3.4.6 Příklad (diskuse řešitelnosti soustavy)...................................................................... 89 3.4.7 Příklad (diskuse řešitelnosti soustavy)...................................................................... 89 3.4.8 Poznámka.................................................................................................................. 90 3.5 Řešení nehomogenních soustav Gaussovou metodou ................................................... 90 3.5.1 Příklad ....................................................................................................................... 90
8
3.5.2 Definice (posunutí vektorového prostoru o vektor) ................................................ 92 3.5.3 Věta (řešení nehomogenní soustavy) ....................................................................... 92 3.5.4 Důsledek ................................................................................................................... 92 3.5.5 Poznámka.................................................................................................................. 92 3.5.6 Příklad ....................................................................................................................... 93 3.6 Soustavy s regulární maticí ............................................................................................. 95 3.6.1 Tvrzení (existence a jednoznačnost řešení soustavy s regulární maticí).................. 95 3.6.2 Příklad ....................................................................................................................... 95 3.6.3 Poznámka (Gaussova-Jordanova metoda) ............................................................... 96 3.6.4 Výpočet inverzní matice ........................................................................................... 96 3.6.5 Příklad ....................................................................................................................... 97 3.6.6 Poznámka.................................................................................................................. 99 3.6.7 Formální postup hledání inverzní matice pomocí jednotkové matice ..................... 99 3.6.8 Příklad ....................................................................................................................... 99 Kapitola 4 - Determinanty, Funkce......................................................................................... 102 4.1 Úvod .............................................................................................................................. 102 4.2 Determinanty 2. a 3. řádu ............................................................................................. 103 4.2.1 Definice (determinantu, algebraického doplňku, subdeterminantu) .................... 104 4.2.2 Poznámka (terminologie a značení) ....................................................................... 105 4.2.3 Poznámka (Laplaceova věta) .................................................................................. 105 4.2.4 Poznámka (výpočet determinantu 2. a 3. řádu) ..................................................... 106 4.2.5 Příklad ..................................................................................................................... 108 4.2.6 Příklad ..................................................................................................................... 109 4.2.7 Věta (determinant transponované matice)............................................................ 109
9
4.2.8 Poznámka................................................................................................................ 109 4.2.9 Úmluva (řady determinantu) .................................................................................. 109 4.2.10 Poznámka (Laplaceova věta pro sloupce) ............................................................ 110 4.2.11 Věta (o rozvoji determinantu podle j-tého sloupce – Laplaceova věta) .............. 110 4.2.12 Příklad ................................................................................................................... 110 4.2.13 Poznámka (technická)........................................................................................... 111 4.2.14 Příklad ................................................................................................................... 111 4.3 Řadové úpravy determinantu ....................................................................................... 112 4.3.1 Příklad ..................................................................................................................... 112 4.3.2 Věta (řadové úpravy determinantu) ....................................................................... 112 4.3.3 Příklad ..................................................................................................................... 113 4.3.4 Příklad (řešení příkladu 4.3.1) ................................................................................. 114 4.3.5 Poznámka................................................................................................................ 114 4.3.6 Poznámka (determinanty lišící se v jedné řadě)..................................................... 115 4.4 Determinant schodovité a trojúhelníkové matice ........................................................ 117 4.4.1 Věta (determinant schodovité matice) .................................................................. 117 4.4.2 Příklad ..................................................................................................................... 117 4.4.3 Poznámka................................................................................................................ 118 4.4.4 Věta (hodnota determinantu regulární a singulární matice) ................................. 118 4.4.5 Příklad ..................................................................................................................... 119 4.4.6 Věta (determinant, hodnost matice, existence inverzní matice) ........................... 119 4.4.7 Důsledek (další pravidla pro počítání determinantů) ............................................. 119 4.4.8 Věta (o násobení determinantů) ............................................................................ 120
10
4.4.9 Důsledek ................................................................................................................. 120 4.5 Determinanty a inverzní matice.................................................................................... 120 4.5.1 Definice (adjungované matice) ............................................................................... 120 4.5.2 Poznámka................................................................................................................ 121 4.5.3 Věta (výpočet inverzní matice) ............................................................................... 122 4.5.4 Příklad ..................................................................................................................... 122 4.6 Cramerovo pravidlo ...................................................................................................... 123 4.6.1 Věta (Cramerovo pravidlo) ..................................................................................... 123 4.6.2 Příklad ..................................................................................................................... 124 4.6.3 Poznámka................................................................................................................ 124 Použitá a doporučená literatura ............................................................................................ 126
11
Značení Kvantifikátory Kvantifikátory jsou symboly používané v predikátové logice a matematice. Rozlišují se dva základní druhy kvantifikátorů – obecný (též univerzální, velký) kvantifikátor (označujeme
∀)
s významem „pro každý“ a existenční (též malý) kvantifikátor (označujeme ∃ ) s významem „existuje“. Např. ( ∀x ∈R )( x < 0) , tj. pro každé reálné číslo x platí, že je menší než nula (nepravdivý výrok) a ( ∃x ∈ R )( x < 0) , tj. existuje reálné číslo, které je záporné (pravdivý výrok).
Logické spojky Nechť p a q jsou výroky.
∧ - konjunkce, tj. p ∧ q znamená, že platí p a současně platí q. ∨ - disjunkce, tj. p ∨ q znamená, že platí p nebo platí q. ⇒ - implikace, tj.
p ⇒q znamená, že z p plyne q .
⇔ - ekvivalence, tj.
p ⇔ q znamená, že p platí právě tehdy, když platí q .
Množinové symboly
x ∈M - objekt x je prvkem množiny M x ∉M - objekt x není prvkem množiny M M = {x1 , x2 ,K , xn } - n prvková množina zadaná výčtem svých prvků x 1 , x 2 ,K , x n M = { x ∈ A; ϕ ( x )} - množina těch prvků x z množiny A, které mají charakteristickou vlastnost
ϕ , např. M = {x ∈ R; x ≤ 1} = ( −∞ ,1
. Množina zadaná charakteristickou vlastností.
12
∅ - prázdná množina A × B = {( a , b ) ; a ∈ A , b ∈ B} - kartézský součin množin A a B, obecně pro
n∈N
A1 × A2 × K × An = {( a1 , a2 , K , an ) ; a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , K , an ∈ An }
A = B - rovnost množin A ⊆ B - množina A je podmnožinou množiny B A ⊂ B - množina A je vlastní podmnožinou množiny B, tj. A ⊆ B a A ≠ B , resp. B \ A ≠ ∅ A ∪ B - sjednocení množin A a B A ∩ B - průnik množin A a B A \ B - rozdíl množin A, B, tj. množina prvků x ∈ A a x ∉ B
Číselné obory
N - množina přirozených čísel, tj. čísel 1,2,3,K (celá kladná čísla). N0 - množina přirozených čísel a nula, tj. čísel 0,1,2,3,K (nula a celá kladná čísla).
Z - množina celých čísel, tj. čísel K , −3, −2, −1,0,1,2,3, K Q - množina racionálních čísel, tj. čísel, která lze zapsat ve tvaru zlomku
p , kde p , q ∈ Z a q
q≠0
R - množina reálných čísel. Graficky jsou vyjádřena body na číselné ose R + - množina kladných reálných čísel
R0+ - množina nezáporných reálných čísel R \ Q - množina iracionálních čísel, např. π , e, 2, 3 ∈ R \ Q
R * = R ∪ {−∞ , ∞} - množina zobecněných reálných čísel, resp. rozšířená reálná osa
13
Pro uspořádání množiny R * platí
( ∀x ∈ R ) − ∞ < x < +∞ , speciálně
− ∞ < +∞
±∞ = +∞
Pro algebraické operace sčítání a násobení definované na množině R a rozšířené na množinu R * platí
(1) ( ∀x ∈ R ) (2) ( ∀x ∈ R ) (3) ( ∀x ∈ R + ) ( 4 ) ( ∀x ∈ R − )
x + ∞ = +∞ + x = +∞
(5) ( ∀x ∈ R )
x =0 ±∞
x − ∞ = −∞ + x = −∞ x ⋅ ( ±∞ ) = ( ±∞ ) ⋅ x = ±∞ x ⋅ ( ±∞ ) = ( ±∞ ) ⋅ x = m ∞
Nedefinované výrazy, tzv. neurčité výrazy
∞ − ∞ , − ∞ + ∞ , 0 ⋅ ( ±∞ ) , ( ±∞ ) ⋅ 0,
a ±∞ 0 , ∀a ∈ R * , 1±∞ , 0±∞ , ( ±∞ ) , 00 ±∞ 0
(
)
C - množina komplexních čísel, např. 2 − 3i , kde i ∈ C je imaginární jednotka ( i 2 = −1 )
14
Intervaly Nechť a , b ∈ R .
( a, b) - otevřený interval, ( a, b) = {x ∈ R; a < x < b} a, b - uzavřený interval, a, b = { x ∈ R; a ≤ x ≤ b} a , b ) - polouzavřený interval, a , b ) = { x ∈ R a ≤ x < b}
(a, b
- polouzavřený interval, ( a , b = { x ∈ R ; a < x ≤ b}
( a , ∞ ) = { x ∈ R ; a < x} a , ∞ ) = {x ∈ R ; a ≤ x}
( −∞ , a ) = {x ∈ R; x < a}
( −∞ , a = {x ∈ R ; x ≤ a} Pokud používáme a ,b jako desetinná čísla, používáme zápis intervalu se středníkem, aby nedošlo k záměně s desetinnou čárkou, tj. místo ( a, b ) píšeme ( a; b ) .
15
Kapitola 1 - Vektorové prostory KLÍČOVÉ POJMY Aritmetický vektorový prostor, vektorový podprostor, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost, množina generátorů, Steinitzovy věty, souřadnice vektoru, skalární součin vektorů, velikost vektoru, ortogonalita vektorů
CÍLE KAPITOLY Pochopení vektorových prostorů, porozumění sčítání a odčítání vektorů, skalárnímu součinu vektorů
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU STUDIU KAPITOLY 8 hodin
VÝKLAD
Lineární algebra je odvětví matematiky, které se zabývá mimo jiné vektory, vektorovými prostory, soustavami lineárních rovnic a lineárními transformacemi (tzv. homomorfismy) na vektorových prostorech. Vektorové Vektorové prostory jsou totiž důležitou tou součástí moderní matematiky. Aplikovaná lineární algebra má široké využití například v přírodních, ekonomických a sociálních vědách, ale a také v logistice a v nejrůznějších technických odvětvích. Lineární algebra se proto dnes přednáší prakticky ve všech kurzech matematiky na vysokých školách.
16
Historicky jako první část lineární algebry vznikla teorie řešení soustav lineárních rovnic a v souvislosti s jejich řešením vznikl v roce 1693 i pojem determinantu. Cramerovo pravidlo je z roku 1750 a Gaussův eliminační algoritmus pochází z roku 1849. Pojem matice se objevuje při tomto studiu mnohem později a to poprvé v roce 1857 v pracích Arthura Cayleyho. Na základě pojmu hodnost matice z roku 1877 pak bylo možno jednoduše vyjádřit podmínky řešitelnosti soustav lineárních rovnic. Studiem soustav lineárních rovnic a determinantů se zabývali matematici v 18. -19. století. Centrálními pojmy studia moderní lineární algebry ve 20. století se staly vektorové prostory, homomorfismy vektorových prostorů, lineární, bilineární a kvadratické formy a obecně multilineární formy na vektorových prostorech. Lineární algebra má svoje počátky ve studiu vektorů v kartézském dvourozměrném a trojrozměrném prostoru, základy pro toto studium položil René Descartes zvaný Cartesius (1601-1650), který zavedl pravoúhlou tzv. kartézskou soustavu souřadnic, a ztotožnil tak geometrické pojmy jako bod, přímka, rovina apod. s množinami řešení soustav lineárních rovnic a položil tak základy analytické geometrie, která umožňuje algebraicky (rovnicemi) popsat přímky, roviny a jejich podmnožiny a jejich geometrické vztahy řešit algebraickými prostředky. Z geometrického vektoru a
jeho umístění jako orientované
úsečky
charakterizované svojí velikostí, která je dána délkou úsečky a také jejím směrem tak vznikl v analytické geometrii aritmetický vektor, resp. jeho umístění charakterizované jeho souřadnicemi v kartézské soustavě souřadnic. Obecně jsou ale vektory jakékoliv objekty, které lze dobře sčítat a násobit číslem (viz dále definice vektorového prostoru). Vektory a jejich geometrická nebo algebraická představa slouží dobře ve fyzice jako reprezentace tzv. vektorových veličin (rychlost, síla, intenzita pole, magnetická indukce, …). Vektorem ale může být také polynom, funkce nebo posloupnost. Z těchto vektorů můžeme navíc vybrat vektory s nějakou vlastností, která se zachová při sčítání i násobení reálným (komplexním) číslem (u funkcí spojitost nebo diferencovatelnost, u polynomů nejvyšší stupeň, u posloupností omezenost, …)
17
Podstatou lineární algebry (obecně všech matematických teorií) je, že všechna dokázaná tvrzení například o vektorových prostorech platí pro všechny vektorové prostory, nezávisle na tom jak definujeme sčítání vektorů nebo jejich násobení číslem. Stačí, že příslušné objekty studia (nazývané jako vektory) splňují podmínky definice vektorového prostoru. Obecná metoda, kdy je nalezen způsob pohledu na nějaký problém z hlediska lineární algebry a ten je pak vyjádřen pomocí matematického aparátu lineární algebry a je vyřešen například pomocí matic, tak to je jedna z velmi často používaných metod práce v matematice.
1.1 Vektorové prostory 1.1.1 Úvod Ve výuce geometrie a fyziky na střední škole jste poznali pojem vektoru a jeho grafické vyjádření jako orientované úsečky v rovině či prostoru. Tyto tzv. geometrické vektory jsme se naučili graficky sčítat resp. odčítat a násobit libovolným reálným číslem. Po zavedení pravoúhlých kartézských souřadnic jsme těmto geometrickým vektorům mohli přiřadit souřadnice a vytvořit tzv. aritmetické vektory. Pomocí souřadnic těchto vektorů je pak možno zavést jejich součet a násobek reálným číslem jako nové operace na množině aritmetických vektorů. V dalším textu, nebude-li řečeno jinak, se zaměříme právě na množiny aritmetických vektorů, neboť mají jisté výsadní postavení mezi ostatními vektorovými prostory. Všechny konečně dimenzionální vektorové prostory lze reprezentovat právě aritmetickým vektorovým prostorem příslušné dimenze.
1.1.2 Aritmetický vektorový prostor Aritmetické vektory budeme chápat jako uspořádané n-tice reálných čísel a zapisovat
×4 R244 ×K ×3 R . Množina R n je množinou uspořádaných n-tic a = (a1 ,K , an )∈ R n , kde Rn = R 14 n− krát
reálných čísel.
18
Vektory v tisku obvykle značíme tučným písmem a , b ,K , x , y a v psaném textu pak r r r r a , b ,K , x , y . Čísla a1 ,K , an ∈ R ve vektoru a = (a1 ,K , an )∈ R n se nazývají souřadnice (složky) vektoru. Vektor o = ( 0,0,K ,0) je tzv. nulový vektor. Prvky (uspořádané n-tice) z R n si můžeme představovat jako body v n-rozměrném prostoru nebo jako n-rozměrné vektory. Rovnost vektorů a = ( a1 ,K , an ) , b = ( b1 ,K , bn ) ∈ R n definujeme takto:
( ∀i ∈{1,K , n}) ( a ,K , a ) = ( b ,K , b ) ⇔ a = b 1
n
1
n
i
i
.
Součet vektorů a = ( a1 ,K , an ) , b = ( b1 ,K , bn ) ∈ R n definujeme jako a + b = ( a1 + b1 ,K , an + bn ) . Sčítání vektorů je zobrazení R n × R n → R n .
1.1.3 Příklad Vypočtěme součet vektorů a = (1,2,3) a b = ( 0, −2,13) . Řešení a + b = (1,2,3 ) + ( 0, −2,13 ) = (1 + 0,2 + ( −2 ) ,3 + 13 ) = (1,0,16 ) .
Skalární c-násobek vektoru a = ( a1 ,K , an ) ∈ R n pro c ∈ R definujeme vztahem
ca = ( ca1 , ca2 ,K , can ) . Skalární c-násobek vektoru je zobrazení R × R n → R n . Opačným vektorem k vektoru a = ( a1 ,K , an ) ∈ R n nazveme vektor
−a = −1 ⋅ ( a1 ,K , an ) = ( −a1 ,K , −an ) .
19
Rozdílem vektorů a = ( a1 ,K , an ) ∈ R n , b = ( b1 ,K , bn ) ∈ R n rozumíme součet vektoru a a vektoru opačného k vektoru b tedy
a − b = a + ( −b ) = ( a1 ,Kan ) + ( −b1 ,K , −bn ) = ( a1 − b1 ,K , an − bn ) .
1.1.4 Příklad Nechť a = ( −1,7 ) a b = ( 2, −4 ) . Vypočtěme 2a − 3b . Řešení
2a − 3b = 2( −1,7 ) − 3( 2,4 ) = ( −2,14 ) + ( −6, −12) = ( −8,2) .
1.1.5 Definice (aritmetického vektorového prostoru) Množina R n s operacemi sčítání vektorů a skalárního násobku vektoru se nazývá n-rozměrný aritmetický vektorový prostor, splňují-li tyto operace následující vlastnosti
u+v =v+u ( ) 2)( ∀u , v , w ∈ R ) (u + v ) + w = u + (v + w ) 3)( ∃o ∈ R )( ∀u ∈ R ) u+o=u 4)( ∀u ∈ R ) ( ∃( −u ) ∈ R ) u + ( −u ) = o , tj. u − u = o 5)( ∃o ∈ R ) ( ∀u ∈ R ) 0⋅u = o 6)( ∀u ∈ R ) 1⋅u = u 7)( ∀s , t ∈ R ) ( ∀u ∈ R ) s ( t ⋅ u ) = ( st ) ⋅ u 8)( ∀s , t ∈ R ) ( ∀u ∈ R ) (s + t )⋅u = s ⋅u + t ⋅u 9)( ∀s ∈ R ) ( ∀u , v ∈ R ) s ⋅ (u + v ) = s ⋅ u + s ⋅ v 1) ∀u , v ∈ R n
n
n
n
n
n
n
n
n
komutativita sčítání vektorů asociativita sčítání vektorů existence nulového vektoru existence opačných vektorů násobek vektoru 0 ∈ R násobek vektoru 1 ∈ R
n
"asociativita"
n
"distributivita"
n
"distributivita"
20
1.1.6 Poznámka a) V této definici se vyskytují pod stejným označením dvě různé operace sčítání vektorů a sčítání skalárů (reálných čísel) a dvě různé operace násobení vektoru skalárem a násobení skalárů. Vzhledem k tomu, že nehrozí jejich záměna, není nutné je odlišně značit. b) Vektorový prostor R n s operacemi sčítání a skalární násobení vektorů budeme též označovat Vn . Speciálně pro n = 2 je V2 = R 2 aritmetický vektorový prostor dvoučlenných aritmetických vektorů, na které můžeme též pohlížet jako na geometrické vektory v eukleidovské rovině a analogicky pro n = 3 je V3 = R 3 aritmetický vektorový prostor trojčlenných aritmetických vektorů, na které můžeme též pohlížet jako na geometrické vektory v eukleidovském třírozměrném prostoru. c) Pokud v definici 1.1.5 vezmeme místo množiny R n obecnou neprázdnou množinu V dostaneme obecnou definici vektorového prostoru. Této obecné definici pak kromě množiny aritmetických vektorů s výše uvedenými operacemi vyhovuje i množina geometrických vektorů s obvyklými operacemi sčítání vektorů a násobení vektorů reálným číslem (skalárem), ale také například:
•
Množina všech reálných funkcí definovaných na libovolné neprázdné množině s obvyklým sčítáním funkcí
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
a násobení
funkce reálným číslem ( rf )( x ) = rf ( x ) .
•
Speciálně množina všech reálných posloupností s obvyklou operací sčítání posloupností {an } + {bn } = {an + bn } a násobení posloupnosti reálným číslem
r {an } = {ran } . •
Množina všech řešení soustavy homogenních lineárních rovnic, viz dále.
•
Množina všech matic stejného typu s obvyklými operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem, viz dále.
21
•
Speciálně množina všech reálných (komplexních) čísel s obvyklými operacemi na těchto množinách.
1.1.7 Definice (vektorového podprostoru) Množina vektorů W ⊆ V je vektorový podprostor (vektorového) prostoru V , pokud W je neprázdná množina a pro každé dva vektory u , v ∈W a libovolné skaláry s , t ∈ R platí
su + tv ∈W . Jinými slovy, W je uzavřená na lineární kombinace vektorů z W . Skutečnost, že W je vektorový podprostor prostoru R n budeme označovat W ⊆⊆ R n .
1.1.8 Poznámka a) Uvedená
definice
je
ekvivalentní
s
tvrzením,
že
∅ ≠ W ⊆⊆ V ⇔ ( ∀a , b ∈ W ) a + b ∈ W ∧ ( ∀r ∈ R )( ∀a ∈ W ) ra ∈ W , tj. neprázdná
podmnožina W množiny V je podprostorem vektorového prostoru V právě tehdy, když je uzavřená vzhledem k operaci sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. b) Předpoklad ∅ ≠ W ⊆⊆ V implikuje, že W je sám také vektorovým prostorem, neboť splňuje definici 1.1.5, speciálně V ⊆⊆ V . c) Každý vektorový podprostor W ⊆⊆ V obsahuje nulový vektor o vektorového prostoru V , neboť ∅ ≠ W ⊆⊆ V ⇒ ( ∃v ∈W ⊆ V ) v − v = o ⇒ o ∈W ⊆ V . d) Množina
{o}
obsahující pouze nulový vektor je vektorovým podprostorem
libovolného vektorového prostoru V a nazývá se triviální vektorový prostor. Je to jediný vektorový prostor s konečným počtem prvků, totiž s jedním prvkem. Obsahujeli totiž vektorový prostor alespoň jeden nenulový vektor, pak musí s ním obsahovat všechny jeho reálné násobky a těch je nekonečně mnoho.
22
1.1.9 Definice (lineární kombinace) Nechť je dán vektorový prostor V . Vektor u ∈V je lineární kombinací vektorů u1 ,K , u m ∈ V , právě tehdy, když existují skaláry s1 ,K , sm ∈ R takové, že m
u = s1u1 + K + smum = ∑ si ui . i =1
Čísla s1 ,K , sm se nazývají koeficienty lineární kombinace. Lineární kombinace vektorů, ve které jsou všechny koeficienty rovny nule, se nazývá triviální lineární kombinace.
1.1.10 Poznámka a) Nulový vektor o je triviální lineární kombinací libovolné skupiny vektorů, neboť
( ∀a1 ,K , am ∈V ) o = 0 ⋅ a1 + K + 0 ⋅ am . b) Lineární kombinace lineárních kombinací vektorů je opět lineární kombinace vektorů.
1.1.11 Příklad Zjistěme, je-li vektor u = (1,2,3) lineární kombinací vektorů a = (1,0, −1) a b = ( 2,0, −1) . Řešení Podle definice lineární kombinace vektorů hledáme s1 , s2 ∈ R tak, aby platilo u = s1 a + s 2 b .
Do této rovnice dosadíme souřadnice daných vektorů a obdržíme
(1,2,3) = ( s1 + 2s2 ,0s1 + 0s2 , −s1 − s2 ) . Z definice rovnosti aritmetických vektorů získáme následující soustavu rovnic
1 = 1s1 + 2s2 , 2 = 0s1 + 0s2 , 3 = −1s1 − 1s2 .
23
Druhá rovnice jasně ukazuje, že neexistuje žádné řešení této soustavy rovnic, a proto vektor u není lineární kombinací vektorů a a b .
1.1.12 Definice (lineární závislosti a nezávislosti) Vektory u1 ,K , u m ∈ V , kde V je vektorový prostor, se nazývají lineárně závislé, právě když existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru, tj. existují reálná čísla s1 ,K , sm z nichž alespoň jedno je různé od nuly taková, že s1 u1 + K + sm u m = o . V opačném případě se vektory u1 ,K , u m ∈ V nazývají lineárně nezávislé.
Mluvíme ve
stejném slova smyslu o lineární závislosti, resp. nezávislosti množiny vektorů {u1 ,K , um } .
1.1.13 Poznámka V celé této poznámce předpokládáme, že V je vektorový prostor. a) Vektory u1 ,K , u m ∈ V jsou podle definice lineárně závislé, jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru. Naopak u1 ,K , u m ∈ V jsou lineárně nezávislé, jestliže každá jejich netriviální lineární kombinace je různá od nulového vektoru, tj. když nulovému vektoru je rovna pouze jejich triviální lineární kombinace. b) Vektory u1 ,K , u m ∈ V jsou lineárně závislé, pokud je některý z nich lineární kombinací ostatních vektorů, neboť z
u i = s1 u1 + K + si −1 u i −1 + si +1 u i +1 + K + sm u m
plyne, že o = s1 u1 + K + si −1 u i −1 − 1u i + si +1 u i +1 + K + sm u m a tedy existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru. c) Speciálně pro jeden vektor
( m = 1)
dostáváme s1 u 1 = o , takže jeden vektor je
lineárně závislý právě tehdy, když je nulový. d) Speciálně pro dva vektory ( m = 2) dostáváme s1 u1 + s2u 2 = o , takže dva vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden z nich je reálným násobkem druhého.
24
e) Vektory u1 ,K , u m ∈ V jsou lineárně nezávislé, když platí
( ∀s ∈ R; ∀i ∈{1,K , m}) s u i
1
1
+ K + smum = o ⇔ s1 = K = sm = 0 .
f) Jednotkové vektory (jejich velikost je jedna) z Vn
e1 = (1,0,0,K ,0,0) ,
e2 = ( 0,1,0,K ,0,0) , M
en = ( 0,0,0,K ,0,1) , jsou lineárně nezávislé. g) Každá skupina vektorů obsahující nulový vektor je lineárně závislá. h) Dva geometrické vektory z R 2 (resp. R 3 ) jsou lineárně závislé, právě když jsou rovnoběžné. i) Tři geometrické vektory z R3 jsou lineárně závislé, právě když leží ve stejné rovině. j) Každé tři vektory z R 2 jsou lineárně závislé.
1.1.14 Příklad Zjistěme, zda vektory z aritmetického vektorového prostoru dvoučlenných vektorů jsou lineárně závislé nebo nezávislé. a) u1 = ( −1,2) , u2 = ( 2,4 ) ∈V2 , b) u1 = ( −1,2) , u2 = ( −2,4 ) ∈V2 .
25
Řešení Ve shodě s definicí 1.1.12 hledáme s1 , s2 ∈ R , pro která platí s1 u1 + s2u 2 = o . Do rovnice dosadíme souřadnice zadaných vektorů a řešíme soustavu lineárních rovnic. a)
− s1 + 2s2 = 0, 2s1 + 4s2 = 0. Tato soustava má jediné řešení s1 = s2 = 0 a tedy nulovému vektoru o je rovna pouze triviální lineární kombinace vektorů u1 , u2 . Vektory u1 , u2 jsou tudíž lineárně nezávislé. b)
− s1 − 2s2 = 0, 2s1 + 4s2 = 0. Tato soustava má nekonečně mnoho řešení tvaru s1 = −2s2 , s2 ∈ R a tedy nulovému vektoru o je rovno dokonce nekonečně mnoho netriviálních lineárních kombinací vektorů u1 , u 2 .
Pro ilustraci uveďme například volbu s1 = −2, s2 = 1 . Vektory u1 , u2 jsou tudíž lineárně závislé. O tomto výsledku je možné lehce rozhodnout podle poznámky 1.1.13 b), resp. d), neboť u 2 = 2u1 ⇔ 2u1 − u 2 = o .
1.1.15 Věta (lineární nezávislost podmnožiny lineárně nezávislých vektorů) Nechť {u1 ,K , un } je množina lineárně nezávislých vektorů z vektorového prostoru V a n ≥ 2 . Pak také {u1 ,K , uk } , kde 1 ≤ k ≤ n je množina lineárně nezávislých vektorů z vektorového prostoru V . Jinak řečeno, každá podmnožina lineárně nezávislých vektorů je též lineárně nezávislá množina vektorů.
26
1.1.16 Definice (lineárního obalu množiny) Lineární obal [ M ] neprázdné množiny vektorů ∅ ≠ M ⊆ V , kde V je vektorový prostor, je množina všech lineárních kombinací vektorů z M tj.
[ M ] = {u ∈V ; u = s1u1 + K + smum , u1 ,K , um ∈ M , s1 ,K , sm ∈ R} . Místo {u 1 , u 2 ,K , u m } budeme psát krátce [ u1 , u2 ,K , um ] .
1.1.17 Poznámka a)
( ∀M ⊆ V , M ≠ ∅ ) [ M ] ⊆⊆ V , kde V
b)
[u1 , u2 ,K , um ]
je vektorový prostor.
je nejmenší (ve smyslu uspořádání relací ⊆ ) vektorový prostor
obsahující vektory u1 , u 2 ,K , u m ∈ M . c) Vektorový prostor [o] = {s ⋅ o; s ∈ R} = {o} se nazývá triviální vektorový prostor. d) Je-li u ≠ o nenulový vektor v R 2 (resp. R3 ), je [ u] = {su; s ∈ R} , tj. geometricky je [ u] přímka procházející počátkem, se směrovým vektorem u . e) Jsou-li u , v dva různoběžné vektory v R3 , je [ u , v ] = {su + tv ; s , t ∈ R} , tudíž [ u, v ] je rovina procházející počátkem určená vektory u , v , tj. jinak řečeno vektor z R3 je lineární kombinací vektorů u a v právě když leží v rovině procházející počátkem, která je určena těmito dvěma vektory. f) Jsou-li u , v dva rovnoběžné vektory v R3 , pak v je násobkem u , a proto [ u , v ] = [ u] , což je přímka procházející počátkem. g) Jsou-li u , v dva různoběžné vektory v R 2 , je každý vektor v R 2 jejich lineární kombinací a tudíž [ u , v ] = R 2 je celá rovina. h) Lineárním obalem přímky v R 2 , která neprochází počátkem, je celá rovina R 2 . i) Lineárním obalem přímky v R3 , která neprochází počátkem je rovina, která obsahuje tuto přímku a prochází počátkem.
27
1.1.18 Lemma (vlastnosti vektorového podprostoru) Následující vlastnosti neprázdné podmnožiny ∅ ≠ W ⊆ V , kde V je vektorový prostor, jsou ekvivalentní. a) W ⊆⊆ V . b) W je uzavřená na libovolné lineární kombinace svých prvků. c)
[W ] = W .
1.1.19 Příklad a) Triviální vektorový prostor
[o] = {o}
je podprostorem každého vektorového
prostoru. b)
( ∀n ∈ N ) Rn ⊆⊆ Rn .
c) Nechť V ⊆ R5 je množina těch vektorů, jejichž 2. a 4. souřadnice jsou nulové, pak
V ⊆⊆ R5 .
d) Množina V = {( a ,2b , a ,3c , b ) ∈ R 5 ; a , b , c ∈ R} je vektorový podprostor vektorového prostoru R5 . e) Podprostory R 2 . Nechť ∅ ≠ M ⊆ R2 , pak
•
pokud M obsahuje pouze počátek (tj. nulový vektor), pak [ M ] = {o} ,
•
pokud M obsahuje jeden nenulový vektor, pak [ M ] = [ u] , což je geometricky přímka procházející počátkem,
•
pokud M obsahuje dva různoběžné vektory u, v , pak [ M ] = [ u , v ] = R2 ,
•
V je tedy podprostorem R 2 právě tehdy, když je to buď {o} nebo přímka procházející počátkem souřadnic a nebo R 2 .
f) Podprostory R3 . Analogicky jako v předešlém bodě e) je V podprostorem R3 tehdy a jen tehdy, když je to buď {o} nebo přímka procházející počátkem souřadnic nebo rovina procházející počátkem souřadnic a nebo R3 .
28
1.1.20 Definice (množiny generátorů) Říkáme, že konečná podmnožina M vektorů z vektorového prostoru V , (tj. M ⊆ V ) generuje podprostor W vektorového prostoru V (resp. je množinou generátorů W , kde
W ⊆⊆ V ) právě tehdy, když je W jejím lineárním obalem, tj. [ M ] = W .
1.1.21 Poznámka a) Množina vektorů {u1 ,K , uk } je množinou generátorů vektorového prostoru V právě tehdy, když platí V = [ u1 ,K , uk ] . b) Triviální vektorový prostor {o} je generován nulovým vektorem o , tj. [o] = {o} .
1.1.22 Lemma (elementární úpravy na množině generátorů) Nechť {u1 ,K , uk } je množina vektorů z vektorového prostoru V a {v 1 ,K , v j } je množina vektorů, která vznikla z množiny vektorů {u1 ,K , uk } následujícími postupy a) záměnou pořadí vektorů, b) vynásobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem, c) přičtením k libovolnému vektoru lineární kombinace ostatních vektorů, d) vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů, e) přidáním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů, pak platí [ u1 ,K , u k ] = v 1 ,K , v j . Jestliže navíc je množina vektorů {u1 ,K , uk } množinou generátorů vektorového prostoru V , pak je množina vektorů {v 1 ,K , v j } rovněž množinou generátorů vektorového prostoru V .
29
1.1.23 Poznámka a) Lemma 1.1.22 přináší seznam tzv. elementárních úprav, pomocí nichž můžeme z jedné množiny generátorů získat jinou množinu generátorů daného vektorového prostoru. b) Zároveň z tohoto lemmatu plyne, že netriviální vektorový prostor má nekonečně mnoho množin generátorů. Bezprostředním důsledkem předešlého lemmatu je následující tvrzení.
1.1.24 Tvrzení Každá konečná množina vektorů M má lineárně nezávislou podmnožinu M se stejným lineárním obalem, tj. M = [ M ] .
1.1.25 Příklad Určeme, jsou-li vektory a = ( −1,2) , b = ( −1,1) generátory aritmetického vektorového prostoru V2 . Řešení Vektory a , b generují vektorový prostor V2 , pokud
( ∀u = (u , u ) ∈V ) ( ∃x 1
2
2
1
, x 2 ∈ R ) u = x1a + x 2 b .
Dosadíme do předchozího vztahu souřadnice a získáme vztah
(u1 , u2 ) = x1 ( −1,2) + x2 ( −1,1) a dostaneme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x1 , x2
u1 = − x1 − x2 , u2 = 2x1 + x2 .
30
Sečteme-li obě rovnice, obdržíme
x1 = u1 + u2 . Dosazením za x1 do první rovnice získáme
x2 = −2u1 − u2 . Takže každý vektor u = ( u1 , u2 ) ∈V2 lze zapsat ve tvaru
u = x1a + x2b = ( u1 + u2 ) a + ( −2u1 − u2 ) b , a proto je vektorový prostor V2 generován vektory a , b a nebo též řekneme, že množina vektorů
{a, b}
je množinou generátorů vektorového prostoru V2 a nebo také píšeme
[a, b] = V2 . 1.1.26 Příklad Ukažme, že vektory e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0) , e3 = ( 0,0,1) jsou množinou generátorů aritmetického vektorového prostoru V3 . Řešení Je zřejmé, že každý vektor u = ( u1 , u2 , u3 ) ∈V3 lze zapsat jako lineární kombinaci vektorů
e1 , e2 , e3 ve tvaru u = u1e1 + u2e2 + u3e3 .
1.1.27 Příklad Dokažme,
že
vektory
a = ( −1,2) , b = ( −1,1) , c = ( 0,1)
jsou
množinou
generátorů
vektorového prostoru V2 . Řešení Po dosazení souřadnic vektorů do definičního vztahu má získaná soustava rovnic nekonečně mnoho řešení a například pro volbu x3 = 0 platí u = ( u1 + u2 ) a + ( −2u1 − u2 ) b + 0c . Poznamenejme, že to ovšem není lineárně nezávislá množina generátorů prostoru V2 .
31
1.1.28 Poznámka a) Z předešlých příkladů vidíme, že množina generátorů vektorového prostoru V2 není jediná, ani jednoznačně určená počtem svých členů. A právě o těchto výsledcích hovoří obecně lemma 1.1.22. b) Jsou-li vektory v konečné množině všech generátorů vektorového prostoru V lineárně závislé, pak nutně alespoň jeden z těchto vektorů je lineární kombinací ostatních vektorů a takový vektor můžeme podle lemmatu 1.1.22 z množiny generátorů vyjmout, protože ostatní zbývající vektory generují tentýž vektorový prostor V . Tuto úvahu můžeme opakovat a provádět ji tak dlouho, až po konečném počtu kroků dostaneme konečnou množinu generátorů, které již budou lineárně nezávislé (viz tvrzení 1.1.24).
1.1.29 Definice (báze vektorového prostoru) Podmnožina B netriviálního vektorového prostoru V se nazývá báze vektorového prostoru
V právě tehdy, když je B množina lineárně nezávislých vektorů, které generují vektorový prostor V .
1.1.30 Příklad Dokažme, že vektory e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0) , e3 = ( 0,0,1) ∈V3 tvoří bázi aritmetického vektorového prostoru V3 . Řešení V příkladu 1.1.26 jsme ukázali, že vektory e1 , e2 , e3 ∈V3 jsou množinou generátorů vektorového prostoru V3 .
32
Rovnice s1e1 + s2e2 + s3e3 = o vede na soustavu rovnic
s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, která má jediné řešení ( s1 = s2 = s3 = 0) a vektory e1 , e2 , e3 ∈V3 jsou tudíž lineárně nezávislé. Podle definice 1.1.29 tvoří bázi vektorového prostoru V3 .
1.1.31 Poznámka Příklad 1.1.30 lze analogicky zobecnit na vektory e1 , e2 ,K , en ∈Vn z poznámky 1.1.13 f) a tedy tyto vektory tvoří bázi Vn . Tato báze se nazývá kanonická báze.
1.1.32 Věta (Steinitzova věta o výměně) Nechť V je vektorový prostor, nechť vektory v 1 ,K , v s generují podprostor W ⊆⊆ V a dále
w 1 ,K , w r jsou libovolné lineárně nezávislé vektory z W . Pak platí a) r ≤ s , tj. počet lineárně nezávislých vektorů z W je nejvýše roven počtu jeho generátorů, b) při
vhodném
přečíslování
vektorů
v 1 ,K , v s
je
W = [ v1 ,K , v s ] = [ w1 ,K , w r , v r +1 ,K , v s ] , tj. v systému generátorů v 1 ,K , v s prostoru
W lze r vhodných vektorů vyměnit za vektory w 1 ,K , w r .
∎
Tato věta má pro praktické výpočty velmi důležité důsledky.
33
1.1.33 Důsledek Steinitzovy věty (věta o dimenzi) Každé dvě báze libovolného podprostoru vektorového prostoru V mají stejný počet vektorů. ∎ Číslo udávající počet vektorů v libovolné bázi je podle důsledku Steinitzovy věty 1.1.33 určeno jednoznačně a charakterizuje daný vektorový prostor. Tato skutečnost nás opravňuje k následující definici.
1.1.34 Definice (dimenze vektorového prostoru) Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dim V .
1.1.35 Důsledky (Steinitzovy věty) Nechť V je podprostor libovolného konečně generovaného vektorového prostoru, speciálně Vn = R n , pak platí
a) Každá lineárně nezávislá podmnožina množiny V se dá rozšířit na bázi V . b) Každá množina, která generuje V , obsahuje bázi V . c) Položme dim V = m . Pak m ≤ n . d) Každá podmnožina množiny V , která má více než m prvků, je lineárně závislá. e) Každá lineárně nezávislá podmnožina množiny V , která má m prvků, je bází V . f)
dim R n = n .
34
1.1.36 Věta (o jednoznačném vyjádření souřadnic vektoru) Nechť {u1 ,K , uk } je množina generátorů vektorového prostoru V (tj. každý vektor v ∈V se dá vyjádřit ve tvaru v = s1u1 + K + sk u k ). Pak vektory u1 ,K , uk tvoří bázi vektorového prostoru V právě tehdy, když koeficienty s1 ,K , sk ∈ R jsou určeny jednoznačně.
∎
Tato věta nás opravňuje k následující definici.
1.1.37 Definice (souřadnic vektoru) Nechť B = {u1 ,K , uk } je báze vektorového prostoru V a
v = s1u1 + K + sk uk ∈V .
Jednoznačně určené koeficienty s1 ,K , sk ∈ R této lineární kombinace se nazývají souřadnice vektoru
v ∈V
{v}B = ( s1 ,K , sk ) .
vzhledem
k bázi
B = {u1 ,K , uk } .
Tuto
skutečnost
označujeme
Pokud je B kanonická báze (viz poznámka 1.1.31), pak píšeme krátce
v = ( s1 ,K , sk ) .
1.1.38 Příklad Určeme souřadnice vektoru u = ( 0,1,4 ) ∈V3 vzhledem k bázi B = {(1,2,3) , ( 2,1,2) , (3,2,1 )} . Řešení Vektory (1,2,3) , ( 2,1,2) , (3,2,1) skutečně tvoří bázi prostoru V3 = R 3 (ověřte samostatně). Nyní vyjádříme vektor u = ( 0,1,4 ) jako lineární kombinaci vektorů (1,2,3) , ( 2,1,2) , (3,2,1) , tj.
(0,1,4) = x1 ⋅ (1,2,3) + x2 ⋅ (2,1,2) + x3 ⋅ (3,2,1) .
Tato vektorová rovnice vede na řešení
soustavy lineárních rovnic x1 + 2x2 + 3x3 = 0, 2x1 + x2 + 2x3 = 1, 3x1 + 2x2 + x3 = 4.
35
Tato soustava má právě jedno řešení x1 = 1, x2 = 1, x3 = −1 . Toto jsou zároveň souřadnice vektoru {u}B = (1,1, −1) vzhledem k bázi B = {(1,2,3) , ( 2,1,2) , (3,2,1 )} prostoru V3 = R 3 . Připomeňme, že zápis u = ( 0,1,4 ) vyjadřuje souřadnice vektoru u vzhledem ke kanonické bázi {e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0) , e3 = ( 0,0,1 )} .
1.1.39 Příklad a) Každá přímka v R 2 nebo v R3 , která prochází počátkem, má dimenzi 1. Bází je její směrový vektor. b) Každá rovina v R3 , která prochází počátkem, má dimenzi 2. Bází je dvojice vektorů, které figurují v její parametrické rovnici.
1.2 Skalární součin a ortogonalita vektorů Zatím jsme si řekli jak ve vektorových prostorech sčítat nebo odčítat vektory, jak je násobit skalárem (tj. prodlužovat, zkracovat nebo měnit jejich orientaci). Díky lineárním kombinacím umíme zjišťovat jejich vzájemnou vazbu, resp. vzájemnou polohu. Abychom však mohli určovat velikosti vektorů a úhly mezi nimi, potřebujeme zavést tzv. skalární součin. V následující definici uvedeme základní vlastnosti skalárního součinu definovaného na vektorovém prostoru.
36
1.2.1 Definice (vektorového prostoru se skalárním součinem) Vektorový prostor V ⊆⊆ R n se nazývá vektorový prostor se skalárním součinem právě tehdy, když je dáno zobrazení V × V → R , které každé dvojici vektorů ( u , v ) ∈V 2 přiřazuje reálné číslo u ⋅ v tak, že platí a)
( ∀u ∈V ) ( u ⋅ u ≥ 0 ∧ ( u ⋅ u = 0 ⇔ u = o ) ) ,
b)
( ∀u , v ∈V ) u ⋅ v = v ⋅ u ,
c)
( ∀u, v , w ∈V ) u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w ,
d)
( ∀u, v ∈V )( ∀a ∈ R )( au ) ⋅ v = a ( v ⋅ u ) .
Při daných u , v ∈V nazýváme reálné číslo u ⋅ v ∈ R (též krátce píšeme uv ∈ R ) skalárním součinem vektorů u a v .
1.2.2 Definice (skalárního součinu aritmetických vektorů) Skalární součin vektorů x = ( x1 ,K , xn ) , y = ( y1 ,K , yn ) ∈ R n je reálné číslo n
x ⋅ y = x1 y1 + K + x n yn = ∑ x i yi . i =1
1.2.3 Definice (velikosti vektoru) Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a u je libovolný vektor z V , pak číslo
u ⋅ u nazýváme velikostí vektoru u (nebo též normou vektoru u ) a značíme jí symbolem
u . Speciálně pro u = ( u1 ,K , un ) ∈ R n je u = u12 + K + un2 .
37
1.2.4 Věta (vlastnosti nulového vektoru, velikost násobku vektoru) Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem, pak platí a)
( ∀v ∈V ) v ⋅ o = 0 ,
b)
( ∀v ∈V ) v = 0 ⇔ v = o ,
c)
( ∀v ∈V )( ∀a ∈ R ) av = a ⋅ v .
1.2.5 Definice (kolmosti vektorů) Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Vektory u , v ∈V se nazývají kolmé (též ortogonální) právě tehdy, když jejich skalární součin je roven nule, tj. u ⋅ v = 0 . Speciálně pro V = R n říkáme, že vektory x , y ∈ R n jsou na sebe kolmé (ortogonální) a píšeme x ⊥ y ,
pokud platí x⋅y =0 .
1.2.6 Definice (ortogonálního doplňku) Nechť W je vektorový prostor se skalárním součinem a V jeho podprostor. Množinu všech těch vektorů z W , které jsou ortogonální (kolmé) ke všem vektorům z V , nazveme ortogonální doplněk podprostoru V v prostoru W a značíme ho V ⊥ . Speciálně ortogonální doplněk V ⊥ vektorového podprostoru V vektorového prostoru R n je množina všech vektorů z R n , které jsou kolmé ke všem vektorům z V , tj.
{
}
V ⊥ = v ∈ Rn ;( ∀u ∈V ) v ⊥ u .
38
1.2.7 Příklad a) Je-li n = ( a , b, c ) ∈ R3 nenulový vektor, pak {n} = ⊥
{( x , y , z ) ∈ R ;ax + by + cz = 0} . Je 3
to tedy rovina o rovnici ax + by + cz = 0 . Je-li V ⊆ R3 přímka s parametrickou rovnicí
X = sn , kde s ∈ R , tj. V = [n ] , je V ⊥ = {n} , tedy rovina ax + by + cz = 0 . Všimněme ⊥
si, že vektor n = ( a , b, c ) ∈ R3 je tzv. normálový vektor roviny zadané rovnicí ax + by + cz = 0 . Normálový vektor je vektor, který je kolmý ke všem přímkám ležícím
v dané rovině. b) Naopak, je-li W ⊆ R3 rovina ax + by + cz = 0 , pak W ⊥ = ( a , b , c ) , což je přímka se směrovým vektorem ( a , b, c ) procházející počátkem. c) Nechť W ⊆ R3 je rovina z = 0 . Její ortogonální doplněk W ⊥ je osa z . Libovolný vektor u = ( x , y , z ) ∈ R3 se dá rozložit na dva vektory u = ( x , y ,0) + ( 0,0, z ) , přitom první z nich patří do W a druhý do W ⊥ . Takový ortogonální rozklad existuje pro každý podprostor a jeho ortogonální doplněk.
1.2.8 Tvrzení (základní vlastnosti ortogonálních doplňků) Nechť V ⊆⊆ R n , pak platí a)
( ∀u ∈ R ) ( ∃ x ∈ V ) ( ∃ y ∈ V ) u = x + y , ⊥
n
b) V ∩ V ⊥ = {o} , c)
( ∀S ⊆ R ) S
d)
( S ⊆ R ∧ [S ] = V ) ⇒ S
e)
( ∀V ,W ⊆⊆ R ) ( (V
f)
(V )
n
⊥
⊆⊆ R n ,
n
n
⊥
⊥
⊥
⊥
=V ⊥ ,
)
= W ) ⇒ (W ⊥ = V ) ,
=V ,
g) dim V ⊥ = n − dim V .
39
1.2.9 Příklad Řešení soustavy homogenních lineárních rovnic 2x2 + x3 − 4 x 4 = 0, x1 − 2x3 + 3x 4 = 0, − x3 − x 4 + 3x5 = 0.
Přepišme danou soustavu ve tvaru 0x1 + 2x2 + x3 − 4 x 4 + 0x5 = 0, 1x1 + 0x2 − 2x3 + 3x 4 + 0x5 = 0, 0x1 + 0x 2 − x3 − x 4 + 3x5 = 0.
Označme x = ( x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ) ∈ R 5 ,
r1 = ( 0,2,1, −4,0 ) , r2 = (1,0, −2,3,0) ,
r3 = ( 0,0, −1, −1,3) ,
pak lze soustavu zapsat následujícím způsobem
r1 ⋅ x = 0, r2 ⋅ x = 0, r3 ⋅ x = 0.
Podle definice 1.2.5 je vektor řešení
x
ortogonální k tzv. řádkovým vektorům
r1 , r2 , r3 ∈ V ⊆ R 5 , tj. r1 ⊥ x , r2 ⊥ x , r2 ⊥ x .
Protože vektory r1 , r2 , r3 ∈ V ⊆ R 5 jsou lineárně nezávislé (ověřte), tvoří bázi V = [r1 , r2 , r3 ] a tedy dimV = 3 .
40
Závěr a) Vektor x = ( x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 ) ∈ R5 je řešením zadané soustavy rovnic, právě když soustavy, právě když je kolmý k vektorům x ∈ V ⊥ , tj. vektor x ∈ R5 je řešením soustavy, r1 , r2 , r3 ∈ V ⊆ R5 .
b) Množina všech řešení homogenní omogenní soustavy lineárních rovnic tvoří podprostor V ⊥ prostoru R5 , jehož dimenze je podle tvrzení 1.2.8 g) dim V ⊥ = n − dim V = 5 − 3 = 2 .
STUDIJNÍ MATERIÁLY
[1]
BUBENÍK UBENÍK, F. a O. ZINDULKA, ZINDULKA 2005. Matematika 1. 1. 1. vyd. Praha: ČVUT, 159 stran. ISBN
978-80--0103-309-8 8.
[2]
CHARVÁT, J., J., V. KELAR a Z. ŠIBRAVA, ŠIBRAVA 2005. MATEMATIKA 1: Sbírka příkladů příkladů.. 1. vyd.
Praha: ČVUT, 163 stran. ISBN 80-01-03323 80 03323-6.
[3]
KAŇKA, M., M., 2009. Sbírka řešených řešených příkladů z matematiky: pro studenty vysokých škol. škol
1. vyd.. Praha: Ekopress, 298 stran tran.. ISBN 978-80-86929 978 86929-53-8.
[ 4]
KAŇKA M., J. COUFAL KAŇKA, OUFAL a J. KLŮFA, LŮFA, 2007. Učebnice matematiky pro ekonomy ekonomy.. 1. vyd.
Praha: Ekopress, 198 stran. ISBN 978-80978 -86929-24-8. 8.
[5]
MOUČKA, J. a P. RÁDL, 2010. Matematika pro studenty ekonomie. ekonomie. 1. vyd. Praha: Grada,
272 stran. ISBN 978-80-247-3260 978 3260-2.
OTÁZKY A ÚKOLY Příklady v textu kapitoly.
41
KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK viz. text
42
Kapitola 2 - Matice KLÍČOVÉ POJMY Matice, rovnost matic, speciální typy matic, řádkový a sloupcový prostor matice, hodnost matice, ekvivalentní matice, Gaussova eliminační metoda, regulární a singulární matice, součet a součin matic, vlastnosti operací s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice
CÍLE KAPITOLY Pochopení pojmu matice a algebraických operací s maticemi, maticových rovnic
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU STUDIU KAPITOLY 8 hodin
VÝKLAD
Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl již v roce 1693 německý matematik W. G. Leibniz (1646-1716), (1646 1716), ale jeho objev upadl v zapomenutí. V roce 1750 dospěl znovu k pojmu determinantu švýcarský matematik G. Cramer (1704-1752). (1704 1752). Všeobecně se začalo v matematice používat determinantů až koncem 18. století. Zasloužili se o to zejména matematici A. T. Vandermonde (1735 (1735-1796) 1796) a A. L. Cauchy (1789-1857). (1789 1857). Současně s teorií determinantů se rozvíjela teorie matic,
43
jejímž zakladatelem je anglický matematik A. Cayley (1821-1895). Na dalším rozvoji teorie matic se podíleli zejména G. Frobenius (1849-1917), J. J. Sylvester (1814-1897) a K. Weierstrass (1815-1897).
2.1 Pojem matice 2.1.1 Definice (matice) Matice typu m × n je uspořádané obdélníkové schéma sestavené z reálných čísel zapsaných do m řádků a n sloupců,
a11 a12 a a22 A m×n = ( aij ) = 21 m×n K K am1 am2
(1.1)
K a1n K a2n , K K K amn
pro i ∈{1,K , m} ; j ∈{1,K , n} ; m, n ∈ N . Čtvercová matice má stejný počet řádků jako sloupců, tj. m = n a místo matice typu n × n říkáme též čtvercová matice n-tého řádu (resp. čtvercová matice řádu n). Matice, která není čtvercová, se nazývá obdélníková matice, tj. m ≠ n .
∎
Matice obvykle značíme velkými písmeny A m×n , Bk ×l ,K , En×n nebo stručně A , B ,K , E , resp.
(a ) ,(b ) ij m×n
Matici
ij k ×l
(1.1)
aritmetických
,K , ( eij )
n×n
nebo krátce ( aij ) , ( bij ) ,K , ( eij ) .
∎
lze též chápat jako m pod sebe vodorovně zapsaných n-rozměrných vektorů
z vektorového
prostoru
Vn ,
tj.
r1 = ( a11 ,K , a1n ) ,K , rm = ( am1 ,K , amn ) ∈Vn , které se nazývají řádkové vektory (řádky) matice A .
∎
Matici (1.1) lze též považovat za n vedle sebe svisle zapsaných m-rozměrných aritmetických vektorů z vektorového prostoru Vm , tj. s1 = ( a11 ,K , am1 ) ,K , sn = ( a1n ,K , amn ) ∈Vm , které se nazývají sloupcové vektory (sloupce) matice A .
∎
44
Reálným číslům aij ∈ R říkáme prvky matice A . Index i se nazývá řádkový index prvku aij a index j se nazývá sloupcový index prvku aij , takže aij označuje prvek, který leží v matici A v i-tém řádku a j-tém sloupci.
∎
Prvky a11 ,K , amm , m ≤ n matice (1.1) , jsou diagonální prvky a tvoří hlavní diagonálu matice
(1.1) . Je-li m ≥ n , pak hlavní diagonálu tvoří diagonální prvky a11 ,K , ann .
∎
Podobně se definuje pojem vedlejší diagonály. Vedlejší diagonálu pro m ≤ n tvoří prvky a1,n , a2,n−1 ,K , an ,n−m+1 a při m ≥ n jsou to prvky a1,n , a2,n−1 ,K , an ,1 .
∎
2.1.2 Příklad Matice
1 −2 3 −4 A = 2 0 −1 2 −3 0 6 1 je matice typu 3 × 4 a vektor r3 = ( −3,0,6,1) je třetím řádkem matice A , vektor
s2 = ( −2,0,0) je druhým sloupcem matice A . Prvek a23 = −1 , ale prvek a32 = 0 . Hlavní diagonálu matice A tvoří prvky a11 = 1, a22 = 0, a33 = 6 a vedlejší diagonálu matice A tvoří prvky a14 = −4, a23 = −1, a32 = 0 .
2.1.3 Definice (rovnosti matic) Matice A , B stejného typu m × n jsou si rovny a píšeme A = B právě tehdy, když pro všechna i ∈{1,K , m} a j ∈{1,K , n} platí aij = bij , tj. A = B znamená, že matice A , B jsou stejného typu a jejich prvky na odpovídajících si místech jsou si rovny.
45
2.1.4 Definice (speciálních typů matic) a) Matice
O
typu
m×n ,
pro
jejíž
všechny
prvky
platí
aij = 0 ( ∀i ∈{1,K , m} ) ( ∀j ∈{1,K , n} ) , se nazývá nulová matice typu m × n a
označujeme ji Om×n nebo je-li typ matice z kontextu zřejmý, stručně ji označíme O .
b) Jednotková matice En (též se v literatuře značí jako In nebo Jn ) řádu n je čtvercová matice řádu n , jejíž prvky mimo hlavní diagonálu jsou nuly a prvky na hlavní diagonále jsou rovny jedné, tj. ( ∀i ∈ {1,K , n} ) ( ∀j ∈ {1,K , n} )
1) aii = 1,
2) ( i ≠ j ⇒ aij = 0) .
Zřejmě řádky jednotkové matice tvoří jednotkové vektory z Vn .
c) Diagonální matice je čtvercová matice, pro jejíž prvky platí i ≠ j ⇒ aij = 0 . Zřejmě každá jednotková matice je diagonální matice.
d) Matice A typu m × n se nazývá trojúhelníková matice, jestliže platí
( ∀i ∈{1,K , m}) ( ∀j ∈{1,K , n}) , 1) m ≤ n (tj. nemá více řádků než sloupců), 2) aii ≠ 0 (tj. na hlavní diagonále nemá žádnou nulu),
3) ( i > j ⇒ aij = 0) (tj. pod hlavní diagonálou má samé nuly).
e) Matice A typu m × n se nazývá schodovitá matice, má-li každý nenulový řádek, s výjimkou prvního, na začátku více nul než řádek předchozí a všechny nulové řádky jsou na konci.
46
Jinak řečeno, nazveme-li první nenulový prvek daného řádku vedoucím prvkem řádku, pak matice A typu m × n je ve schodovitém tvaru, jestliže pro každé dva její vedoucí prvky aij , akl platí pro jejich indexy i < k ⇒ j < l a nad nenulovým řádkem v matici A není žádný nulový řádek.
Je jasné, že každá trojúhelníková matice je schodovitá. Schodovité a trojúhelníkovité matice mají význam při určování tzv. hodnosti matice.
f) Matice AT , která vznikne z matice A tak, že zaměníme řádky za sloupce (resp. sloupce za řádky), přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A .
Je-li A matice typu m × n , pak AT je matice typu n × m a aijT = a ji , takže transponovanou matici AT k matici A získáme „překlopením“ matice A podle hlavní diagonály.
Protože podle definice je
(A ) T
T
= A , říkáme, že matice A a AT jsou navzájem
transponované.
Dále je-li A diagonální matice, pak platí AT = A a speciálně ETn = E .
OT = O ⇔ O je čtvercová matice.
g) Matice A se nazývá symetrická, jestliže AT = A . h) Matice, která vznikne z matice A typu m × n vynecháním některých řádků nebo sloupců, se nazývá submatice matice A .
47
2.1.5 Příklad a) Matice
0 0 0 O = O2×3 = 0 0 0 je nulová matice typu 2 × 3 .
b) Matice
1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1 je jednotková matice 3. řádu.
c) Matice
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 − 2 0 , 0 1 0 , 0 0 0 , 0 0 0 3 0 0 1 0 0 −2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
jsou diagonální matice.
d) Matice
−2 0 6 1 0 0 0 1 −2 −4 3 , 0 5 −1 , 0 2 0 0 0 −2 −2 0 0 0 −3 0 0 3 0 jsou trojúhelníkové matice, matice
−3 0 0 0
5 −2 1 2 3 8 3 , 0 0 −2 0 −7 0 0 −3 0 0
nejsou trojúhelníkové matice.
48
e) Matice
π 0 0 −1 0 0
1 0 0 e , 0 2 0 0
2 2 0 0 0
3 0 0 5 1 0 0 3 , 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 π 0
jsou schodovité.
f) K matici
6 −1 5 0 3 0 A = −7 9 0 1 0 −4 je transponovaná matice
6 0 −7 1 A = −1 3 9 0 . 5 0 0 −4 T
g) Matice
−9 1 −2 3 1 1 0 −5 A = −2 0 −7 2 3 −5 2 0 je symetrická, protože platí AT = A .
h) Matice
1 −5 B= 3 0 je submaticí matice A z předešlého příkladu 2.1.5 g), neboť vznikla z matice A vynecháním prvního a třetího řádku a druhého a třetího sloupce.
49
2.1.6 Řádkový a sloupcový prostor matice Řádky matice A typu m × n tvoří množinu vektorů v R n . Lineární obal této množiny se nazývá řádkový prostor matice A a označíme ho R ( A ) .
R ( A ) = [r1 ,K , rm ] a tedy R ( A ) ⊆⊆ R n . Sloupce matice A typu m × n tvoří množinu vektorů v R m . Lineární obal této množiny se nazývá sloupcový prostor matice A a označíme ho S ( A ) .
S ( A ) = [s1 ,K , sn ] a tedy S ( A ) ⊆⊆ R m .
2.1.7 Věta (o dimenzi řádkového a sloupcového prostoru matice) Nechť A je matice typu m × n , pak platí
dim R ( A ) = dim S ( A ) .
2.1.8 Definice (hodnosti matice) Dimenze řádkového prostoru matice A se nazývá hodnost matice A a označuje se h ( A ) a tedy
h ( A ) = dim R ( A ) .
50
2.1.9 Poznámka a) Hodnost nulové h( O ) = 0 . Jestliže A ≠ O ⇒ h( A ) ∈ N . b) Podle Steinitzovy věty 1.1.32 a jejích důsledků je hodnost matice rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice a podle předešlé věty 2.1.7 též maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců matice, tj. Je-li A matice typu m×n ,
h( A ) ≤ min ( m, n ) , c) Podle věty 2.1.7, je-li A libovolná matice typu m × n je hodnost matice A rovna hodnosti matice transponované AT , tj.
( ∀A ) h( A ) = h( AT ) . Hodnost matice budeme počítat s použitím trojúhelníkové matice (definice 2.1.4 d) nebo obecně schodovité matice (definice 2.1.4 e).
2.1.10 Tvrzení (vlastnosti trojúhelníkové a schodovité matice) Je-li A trojúhelníková nebo schodovitá matice, pak a) její nenulové řádky jsou lineárně nezávislé, b) její nenulové řádky tvoří bázi řádkového prostoru R ( A ) , c) hodnost h ( A ) je rovna počtu jejích nenulových řádků.
51
2.1.11 Definice (elementárních řádkových úprav matice) Nechť A , B jsou matice typu m × n . Řekneme, že matice B vznikla elementárními řádkovými úpravami z matice A , jestliže vznikla opakováním konečného počtu následujících úprav a) záměnou pořadí dvou řádků, b) vynásobením libovolného řádku matice nenulovým reálným číslem, c) přičtením reálného násobku libovolného řádku k libovolnému řádku matice.
2.1.12 Definice (ekvivalentních matic) Řekneme, že matice A , B jsou ekvivalentní právě tehdy, když matice B vznikne z matice A konečným počtem elementárních řádkových úprav. Značíme A ~ B .
2.1.13 Příklad Jsou dány matice
1 2 −3 A = , 2 −1 −6
1 2 −3 B= . 0 −5 0
Protože matice B vznikla z matice A tak, že jsme k druhému řádku matice A přičetli ( −2) násobek prvního řádku, platí A ~ B .
2.1.14 Věta (o hodnosti ekvivalentních matic) Nechť matice B vznikne provedením konečné posloupnosti elementárních řádkových úprav na matici A , tj. A ~ B , pak R ( B ) = R ( A ) a h( B ) = h( A ) .
52
2.1.15 Poznámka a) Budeme-li provádět elementární řádkové úpravy na matici AT , pak je to totéž jako bychom prováděli tyto úpravy na sloupce matice A , tj. tyto úpravy jsou vlastně elementární řádkové úpravy aplikované na sloupce matice A , a proto je nazýváme elementární sloupcové úpravy matice A .
b) Podle poznámky 2.1.9 c) víme, že navzájem transponované matice mají stejnou hodnost, proto můžeme při převodu matice na trojúhelníkovou nebo schodovitou matici používat též elementární sloupcové úpravy nebo kombinaci obou úprav.
c) POZOR!!!
Elementární řádkové úpravy aplikované na sloupce místo na řádky
(tj. elementární sloupcové úpravy) matice A zachovávají hodnost matice, ale nemusí zachovávat řádkový prostor matice A .
d) V této souvislosti též mluvíme o elementárních úpravách neměnících hodnost matice, což je souhrnný název pro elementární řádkové a sloupcové úpravy.
2.1.16 Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda je obecný postup, jak pomocí elementárních úprav neměnících hodnost matice získat z libovolné nenulové matice A ekvivalentní schodovitou (speciálně trojúhelníkovou) matici B , která má stejnou hodnost jako matice A (hodnost matice A je pak rovna počtu nenulových řádků ekvivalentní matice B ). Celý postup Gaussovy eliminační metody je nejpřehlednější na konkrétních příkladech.
53
2.1.17 Příklad Určeme hodnost matice
1 −1 2 2 1 −1 A = −1 2 1 3 −7 8
3 4 2 0 . 1 3 9 13
Řešení 1) Zpravidla začínáme prvním řádkem matice A typu m × n , pokud je jeho vedoucí člen ve sloupci, který má nejnižší nebo stejný sloupcový index jako ostatní řádky. V opačném případě prohodíme první řádek s jiným vhodným řádkem, který tento požadavek již splňuje. Ostatní řádky se pak pomocí tohoto prvního řádku upraví tak, aby v prvním nenulovém sloupci (tj. pod vedoucím prvkem prvního řádku) byly samé nuly; vznikne tak z matice A nová matice
A1 , která je s původní maticí A ekvivalentní.
2) Tento postup z bodu 1) zopakujeme se submaticí, která vznikne z matice A1 vynecháním prvního řádku a prvního sloupce a tím získáme matici A2 , která je ekvivalentní s maticí A1 , a tedy i s maticí A . 3) Opětovným opakováním tohoto postupu obdržíme nejpozději po m − 1 krocích schodovitou matici A m−1 , která je zřejmě ekvivalentní i s maticí A . Jasně platí, že
h( A ) = h( A1 ) = K = h( A m−1 ) . Hodnost schodovité matice A m−1 snadno určíme jako počet jejích nenulových řádků a tím je úloha vyřešena.
ad 1) V našem konkrétním příkladu můžeme první řádek ponechat na místě a dále postupovat sledem následujících úprav
54
1 −1 2 2 1 −1 A = −1 2 1 3 −7 8
1 −1 0 0 0
3 4 2 0 r − 2r 1 3 r + r 9 13 r − 3r 2
1
3
1
4
1
4 3 −5 −4 −8 0 −14 −16 −29 0 −14 −16 −29 r 2
3
4
− r3
1 −1
4 3 −5 −4 −8 1 3 4 7 −3r + r −4 2 0 1 3r + 4r
0 0
3
3
0
2
4
1 −1 0 0 0
2
2
4 3 −5 −4 −8 ⇒ h( A ) = 3 . 0 −14 −16 −29 0 0 0 0 2
3
Předešlé schéma ukazuje, jak jsme postupně nulovali hodnoty ve sloupcích pod vedoucími prvky jednotlivých řádků. Napravo od každé matice je zapsaná elementární řádková úprava, kterou provedeme, abychom získali následující ekvivalentní matici. Například elementární úprava −3r3 + r2 znamená, že k ( −3) -násobku třetího řádku přičteme druhý řádek. V tomto příkladu nám po třech krocích vyšla schodovitá matice s třemi nenulovými řádky, a proto je její hodnost rovna třem, což je též hledaná hodnost matice A .
2.1.18 Poznámka Pomocí výpočtu hodnosti matice můžeme jednodušeji (bez přímého použití definice 1.1.12) rozhodnout o lineární závislosti a nezávislosti vektorů. Máme-li m vektorů z Vn a zapíšeme-li je do řádků matice, dostaneme matici A typu m × n . Pak platí
h ( A ) = m ⇒ vektory jsou lineárně nezávislé, h ( A ) < m ⇒ vektory jsou lineárně závislé.
.
55
2.1.19 Příklad Určeme hodnost matice
0 1 0 −1 A = 0 1 0 0
0 0 0 1 −3 0 . 1 3 0 2 0 0
0 0 0 0
Řešení
a) Řešíme pouze pomocí elementárních řádkových úprav
0 1 0 −1 A = 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0r 0r 0
0 0 1 −3 1 3 2 0
0 0 1 −3 0 6 0 6
0 0 0 0r
4
− r3
2
+ r1
3
− r1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1 −3 0 1 3 0r 2 0 0r
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 −3 0 6 0 0
3
− r2
4
− 2r2
0 0 ⇒ h( A ) = 3 . 0 0
b) Řešíme s užitím řádkových i sloupcových elementárních úprav
56
0 1 0 −1 A = 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 −3 1 3 2 0 0 0 1 −3 0 6 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 s 0 0
0 0 1 −3 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0r 0r 0 0 , 0 0
1
3
− r2
4
− 2r2
↔ s2
1 0 0 0
1 −1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1 −3 0 s 1 3 0 2 0 0
0 0 1 −3 0 6 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0r
4
2
↔ s4
− r3
opět h( A ) = 3 , přičemž například pomocný zápis s3 ↔ s5 znamená záměnu (prohození) třetího sloupce s pátým sloupcem.
Všimněme si, že při postupu řešení a) navíc zjistíme
V = ( 0,1,0,0,0,0) , ( 0, −1,0,1, −3,0) , ( 0,1,0,1,3,0) , ( 0,0,0,2,0,0) = = ( 0,1,0,0,0,0) , ( 0,0,0,1, −3,0) , ( 0,0,0,0,6,0) a dále, že vektory ( 0,1,0,0,0,0) , ( 0, −1,0,1, −3,0) , ( 0,1,0,1,3,0) , ( 0,0,0,2,0,0) jsou lineárně závislé, zatímco vektory ( 0,1,0,0,0,0) , ( 0,0,0,1, −3,0) , ( 0,0,0,0,6,0) jsou lineárně nezávislé a tudíž tvoří bázi vektorového prostoru V .
Naproti tomu při postupu řešení b) zjistíme pouze hodnost matice A , a že dané řádkové vektory
jsou
lineárně
závislé.
Jinak
zřejmě
V ≠ (1,0,0,0,0,0 ) , ( 0,1, −3,0,0,0 ) , ( 0,0,6,0,0,0) = W , neboť například (1,0,0,0,0,0) ∉V a
(0,0,0,2,0,0) ∉W .
57
2.1.20 Příklad Rozhodněme o lineární závislosti či nezávislosti vektorů a) a = ( 2,0,1, −1,3) , b = (3,1,0, −2,5) , c = ( 0, −2,3,2,1) , b) a = ( 2,0,1, −1,3) , b = (3,1,0, −2,5) , c = (5,1,1, −3,8 ) . Řešení a)
2 0 1 −1 3 2 0 1 −1 3 A = 3 1 0 −2 5 0 2 −3 −1 1 0 −2 3 2 1 0 −2 3 2 1
2 0 1 −1 3 0 2 −3 −1 1 , 0 0 0 1 2
h( A ) = 3 ⇒ a , b, c jsou lineárně nezávislé vektory. b)
2 0 1 −1 3 2 0 1 −1 3 2 0 1 −1 3 A = 3 1 0 −2 5 0 2 −3 −1 1 0 2 −3 −1 1 , 5 1 1 −3 8 0 2 −3 −1 1 0 0 0 0 0
h( A ) = 2 ⇒ a , b, c jsou lineárně závislé vektory.
2.1.21 Příklad Zjistěme,
je-li
vektor
v = ( −1,0, −3, −1)
lineární
kombinací
vektorů
u1 = ( 0,0, −3,1) , u2 = ( 2,0,0,4 ) , u3 = (3,0, −3,7 ) . Řešení Sepišme vektory do matice tak, že vektor v zapíšeme na poslední řádek a matici dále upravíme pomocí elementárních řádkových úprav tak, že v prvních třech řádcích ponecháme vektory u1 , u2 , u3 v libovolném pořadí a ve čtvrtém řádku zůstane vektor v ,
58
0 2 3 −1
0 −3 1 0 0 4 0 −3 7 0 −3 −1
1 3 0 −1
0 0 2 0 −3 7 0 −3 1 0 −3 − 1
1 0 0 0
0 0 0 −3 0 −3 0 −3
2 1 1 1
1 0 0 0
0 0 0 −3 0 0 0 0
2 1 . 0 0
Z uvedeného postupu vidíme, že hodnost submatice tvořené řádkovými vektory u1 , u2 , u3 je rovna 2, stejně jako hodnost celé matice tvořené řádky u1 , u2 , u3 , v . To implikuje tvrzení, že přidáním vektoru v se lineární obal [ u1 , u2 , u3 , v ] = [ u1 , u2 , u3 ] nezmění, takže vektor v je obsažen v lineárním obalu vektorů u1 , u2 , u3 , a proto je vektor v lineární kombinací vektorů u1 , u2 , u3 . Dokonce
se
snadno
můžeme
[u1 , u2 , u3 , v ] = [u1 , u2 , u3 ] = [u1 , u2 ] = [u2 , u3 ] = [u1 , u3 ]
přesvědčit,
že
a tedy vektor v lze vyjádřit jako
lineární kombinaci libovolné dvojice různých vektorů z vektorů u1 , u2 , u3 .
2.1.22 Příklad Určeme, jsou-li vektory (1,2,3) , (3,2,1) , (1,1,1) bází R 3 = V3 . Řešení
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 0 −4 − 8 0 1 2 1 1 1 0 −1 −2 0 −1 −2
1 2 3 0 1 2 . 0 0 0
1 2 3 Matice 3 2 1 má tedy hodnost 2 a řádkové vektory jsou tudíž lineárně závislé, a proto 1 1 1 nemohou tvořit bázi R3 (ostatně víme, že dim R3 = 3 ) a dimenze jejich lineárního obalu je 2. Generují tedy pouze nějaký vektorový podprostor prostoru R3 , který má dimenzi 2 (geometricky se jedná o jistou rovinu v třírozměrném euklidovském prostoru).
59
2.2 Algebraické operace s maticemi Podobně jako na číselných oborech, lze na množině matic zavést základní operace typu „sčítání“ a „násobení“.
Zaveďme nyní ještě jeden pojem, který budeme potřebovat v dalším textu, a to pojem regulární a singulární matice.
2.2.1 Definice (regulární a singulární matice) Matice A se nazývá regulární, jestliže je čtvercová a má lineárně nezávislé řádky. Čtvercová matice, jejíž řádky jsou lineárně závislé, se nazývá singulární.
2.2.2 Poznámka a) Čtvercové matice dělíme na regulární a singulární. b) Pro regulární matici A řádu n je h( A ) = n . Hodnost singulární matice řádu n je
h( A ) < n .
2.2.3 Příklad Zjistěte, je-li daná matice regulární či singulární a)
1 2 3 A = 2 3 1 , 3 1 2 b)
1 2 3 B = 3 2 1 , 2 0 −2
60
c)
1 0 0 0 C = 0 1 0 0 . 0 0 1 0 Řešení a)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 A = 2 3 1 0 −1 −5 0 −1 −5 ⇒ h ( A ) = 3 , tj. matice A je regulární. 3 1 2 0 −5 −7 0 0 18 b)
1 2 3 B = 3 2 1 2 0 −2
1 2 3 1 2 3 0 −4 − 8 0 − 4 − 8 ⇒ h ( B ) = 2 , 0 −4 − 8 0 0 0
tj.
matice
B
je
singulární. c)
1 0 0 0 C = 0 1 0 0 , matice není čtvercová, a proto není regulární ani singulární. 0 0 1 0
2.2.4 Definice (součtu matic a skalárního násobku matice) Nechť A = ( aij ) , B = ( bij ) jsou libovolné matice typu m × n a s ∈ R , pak definujeme a) součtem matic A + B matici C = ( cij ) typu m × n , pro kterou platí
cij = aij + bij , i = 1,K , m; j = 1,K , n , b) skalárním násobkem sA matici C = ( cij ) typu m × n , pro kterou platí
cij = saij , i = 1,K , m; j = 1,K , n .
61
2.2.5 Definice (součinu matic) Nechť A = ( aij ) je matice typu m × p a matice B = ( bij ) typu p × n . Pak součinem matic A , B (v tomto pořadí) je matice C typu m × n taková, že pro všechna i = 1,K , m ; j = 1,K , n je p
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + K + aip bpj = ∑ aik bkj . k =1
2.2.6 Poznámka a) Pro skalárním násobek s ∈ R matice A platí sA = As , ale upřednostňujeme zápis sA . b) Všimněme si, že součin matic AB je definován, je-li délka řádků (= počet sloupců) matice A stejná jako délka sloupců (= počet řádků) matice B a matice AB má na místě c ij skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B , tj.
cij = riA ⋅ sBj = ai 1b1 j + ai 2b2 j + K + aip bpj . c) Pokud A nemá stejný počet sloupců jako B řádků, pak součin AB není vůbec definován. d) Násobení matic není komutativní operace, tj. AB ≠ BA a to ani, když oba součiny
AB a BA existují a jsou stejného typu.
2.2.7 Příklad a) Součet matic
−1 3
2 5
4 3 + 0 −4
5 2 2 7 6 = , 6 −8 −1 11 −8
b) skalární násobek matice
−1 ( −3) 2 4
3 3 −9 5 = −6 −15 , 0 −12 0
62
c) rozdíl matic definujeme podobně jako rozdíl vektorů (viz příklad 1.1.3). Zavedeme opačnou matici −B k matici B vztahem −B = ( −1) B a rozdílem matic A − B stejného typu m × n rozumíme součet matic A a matice −B opačné k matici B , tj.
A − B = A + ( −B ) .
3 2 A = 2 −4 1 2
5 3 2 6 , B = 2 −4 5 6 1
1 2 , 1
3 2 A − B = 2 −4 1 2
5 3 2 6 − 2 −4 1 5 6
1 0 0 4 2 = 0 0 4 , 1 −4 −4 0
3 2 B − A = 2 −4 5 6
1 3 2 2 − 2 −4 1 1 2
5 0 0 −4 6 = 0 0 −4 , 1 4 4 0
2A − 3B = 2 6 4 = 4 −8 2 4
3 2 2 −4 1
2
10 12 − 2
5 3 2 1 6 − 3 2 −4 2 = 1 5 6 1 9 6 3 −3 −2 6 −12 6 = −2 4 15 18 3 −13 −14
7 6. −1
d) součin matic
3 2 2 −4 1 2
5 1 6⋅ 0 1 −1
2 −2 32 3 = −4 16 , 4 0 12
−1 2 1
0 −4 4 4 ⋅ = 32 , 6 2 16
63
e) násobení matic není komutativní
3 1 2 4 7 12 26 10 A = , B = ⇒ A ⋅B = , ale B ⋅ A = . 5 2 1 0 12 20 3 1 1 0 0 1 2 3 1 2 3 C= , D = 0 1 0 ⇒ C ⋅D = , ale součin matic D ⋅ C 3 2 1 3 2 1 0 0 1 není definován.
Musíme rozlišovat, v jakém pořadí matice násobíme!!!
Na tomto místě shrňme vlastnosti operací s maticemi, které jsou přímým důsledkem jejich definic a pravidel pro počítání s reálnými čísly.
2.2.8 Vlastnosti operací s maticemi Nechť Mm×n označuje množinu všech matic typu m × n . Pak platí
1)( ∀A , B ∈ Mm×n )
2)( ∀A , B , C ∈ Mm×n )
3)( ∃O ∈ Mm×n )( ∀A ∈ Mm×n )
A+B=B+ A
komutativita sčítání matic
A + (B + C) = ( A + B) + C
asociativita sčítání matic
A+O= A
existence nulové matice
4)( ∀A ∈ Mm×n ) ( ∃( − A ) ∈ Mm×n ) A + ( − A ) = O, tj. A − A = O existence opačných matic
5)( ∃O ∈ Mm×n )( ∀A ∈ Mm×n ) 6)( ∀A ∈ Mm×n )
7)( ∀s , t ∈ R )( ∀A ∈ Mm×n )
8)( ∀s , t ∈ R )( ∀A ∈ Mm×n )
9)( ∀s ∈ R )( ∀A , B ∈ Mm×n )
0⋅ A = O
skalární násobení matice 0 ∈ R
1⋅ A = A
skalární násobení matice 1 ∈ R
s ( t ⋅ A ) = ( st ) ⋅ A
"asociativita"
(s + t )⋅ A = s ⋅ A + t ⋅ A s ⋅ ( A + B) = s ⋅ A + s ⋅ B
"distributivita" "distributivita"
64
2.2.9 Věta (vektorový prostor matic) Množina Mm×n spolu s operacemi sčítání matic a reálného násobku matice tvoří vektorový prostor matic dimenze m ⋅ n (viz definice 1.1.5).
2.2.10 Poznámka Pro operaci násobení matic jsme v předešlém příkladu ukázali, že není obecně komutativní. Ovšem pro libovolnou čtvercovou matici A řádu n a jednotkovou matici En platí
AEn = En A = A .
2.2.11 Věta (vlastnosti operací násobení a sčítání matic) a) Pro každé matice A typu m × n , B typu n × p , C typu p × q platí
A ( BC ) = ( AB ) C , tj. asociativní zákon pro násobení matic. b) Pro každé matice A typu m × n , B a C typu n × p platí A ( B + C ) = AB + AC , tj. distributivní zákon operace násobení matic vzhledem k operaci sčítání matic. c) Pro každé matice A typu n × p , B a C typu m × n platí ( B + C ) A = BA + CA , tj. distributivní zákon operace násobení matic vzhledem k operaci sčítání matic.
2.2.12 Poznámka Protože násobení matic není komutativní, musíme distributivní zákon operace násobení matice vzhledem k operaci sčítání matic rozdělit na dva kroky, viz body b) a c) v předešlé větě.
Další vybrané vlastnosti operací s maticemi shrneme v následující větě.
65
2.2.13 Věta (další vlastnosti operací s maticemi) a) Pro každou matici A typu m × n platí
(A ) T
T
=A.
b) Pro každou matici A , B typu m × n platí
( A + B)
T
= AT + BT .
c) Pro každou matici A typu n × p , B typu p × n platí
( AB )
T
= BT AT .
Pro reálná čísla platí, že ke každému nenulovému reálnému číslu a existuje číslo a −1 =
1 a
takové, že aa −1 = a −1a = 1 . Této vlastnosti říkáme existence inverzních prvků v množině nenulových reálných čísel. Navíc je číslo a −1 ke každému a ≠ 0 určeno jednoznačně. V případě operace násobení matic analogické tvrzení platí pouze pro speciální čtvercové matice. Označíme Mn množinu všech čtvercových matic řádu n .
2.2.14 Definice (inverzní matice) Nechť A je čtvercová matice n -tého řádu ( A ∈ Mn ). Matice X , pro kterou platí AX = En se nazývá inverzní matice k matici A . Inverzní matici k matici A budeme označovat A −1 , tj.
X = A −1 .
66
2.2.15 Poznámka a) A , A −1 , En ∈ Mn , tj. jsou stejného řádu. b)
( ∀A , A
−1
)
, En ∈ Mn AA −1 = A −1 A = En .
2.2.16 Věta (o existenci a unicitě inverzní matice) Ke čtvercové matici A existuje jednoznačně určená inverzní matice A −1 tehdy a jen tehdy, když matice A je regulární (viz definice 2.2.1).
2.2.17 Příklad
2 −1 3 1 Dokažme, že matice A −1 = je inverzní maticí k matici A = . −5 3 5 2 Řešení
3 1 2 −1 1 0 2 −1 Protože platí AA −1 = = = E2 je matice inverzní maticí 5 2 −5 3 0 1 −5 3 3 1 2 −1 3 1 1 0 −1 k matici . Všimněme si nyní, že také platí A A = = = E2 , 5 2 −5 3 5 2 0 1 3 1 tento výsledek není náhodný a ukazuje, že také matice je inverzní maticí k matici 5 2 2 −1 , a proto můžeme hovořit o navzájem inverzních maticích. −5 3
Shrňme si nyní některé základní poznatky o inverzní matici k dané matici.
67
2.2.18 Tvrzení (vlastnosti inverzních matic) a) Inverzní matice neexistuje ke každé čtvercové matici. b) Pokud inverzní matice k dané (čtvercové) matici existuje, je určena jednoznačně. c) Matice A je regulární, právě když má inverzní matici. d) Matice A je singulární, právě když nemá inverzní matici. e) Pro libovolné dvě čtvercové regulární matice A , B n -tého řádu platí ( AB ) = B −1 A −1 −1
f) Pro libovolnou regulární matici A ∈ Mn platí ( A −1 ) = A . −1
g) Pro libovolnou regulární matici A ∈ Mn platí ( AT ) = ( A −1 ) . −1
T
2.2.19 Příklad
3 1 Najděme inverzní matici k matici A = . 5 2 Řešení Podle definice inverzní matice hledáme matici
x X = 1 x3
x2 , x4
pro kterou platí AX = E2 , tj.
3 1 x1 5 2 x3
x2 1 0 . = x 4 0 1
Vynásobíme matice na levé straně této maticové rovnice a z rovnosti matic sestavíme soustavu lineárních rovnic.
3x1 + x3 = 1, 5x1 + 2x3 = 0, 3x2 + x 4 = 0, 5x2 + 2x 4 = 1.
68
Tato soustava má jediné řešení, x1 = 2, x2 = −1, x3 = −5, x 4 = 3 . Hledaná matice X má tvar
2 −1 X = A −1 = . −5 3
2.3 Maticové rovnice Z matic můžeme sestavovat pomocí algebraických operací s maticemi rovnice s neznámou maticí, které nazýváme maticové rovnice.
Připomeňme si, že operace s maticemi nejsou úplnou analogií operací s čísly a při výpočtu maticových rovnic musíme mít tato specifika na mysli. Předně násobení matic není obecně komutativní a ke každé nenulové i čtvercové matici nemusí existovat inverzní matice.
Z hlediska postupu řešení rozlišíme tři základní tvary maticových rovnic. Neznámou hledanou matici označíme X , matice A , B, C jsou konkrétně zadané matice.
1) A + X = B , kde A , B, X jsou stejného typu. 2) AX = B , resp. XA = B , kde lze provést maticový součin AX resp. XA . 3) AXB = C , kde lze provést maticový součin AXB .
Řešením maticové rovnice rozumíme nalezení neznámé matice X , po jejímž dosazení do dané rovnice získáme rovnost matic.
Nyní si obecně řekneme, jak zadanou rovnici, která není v základním tvaru 1) - 3), upravíme pomocí pravidel pro počítání s maticemi na příslušný základní tvar. ad 1) Rovnice typu A + X = B řešíme odečtením matice A od obou stran rovnice a dostaneme hledanou matici X = B − A .
69
ad 2) Je-li matice A regulární, tj. existuje k ní inverzní matice A −1 , pak zleva vynásobíme obě strany rovnice maticí A −1 a řešení získáme následující úpravou
A −1 AX = A −1B ,
(A A)X = A −1
−1
B,
X = A −1B . Není-li matice A regulární, tj. je singulární nebo není čtvercová, pak k ní nelze nalézt inverzní matici A −1 a rozepíšeme součin AX podle definice součinu matic. Porovnáním matic na levé a pravé straně rovnice dostaneme soustavu lineárních rovnic, jejímž řešením jsou prvky hledané neznámé matice X . ad 3) Jsou matice A , B regulární, najdeme k nim inverzní matice A −1 , B−1 a vynásobíme obě strany rovnice maticí A −1 zleva a maticí B−1 zprava a řešení pak získáme následující úpravou
A −1 AXBB−1 = A −1CB−1 , X = A −1CB−1 . Řešení rovnic, kde alespoň jedna z matic A , B není regulární, dostaneme kombinací postupů uvedených v předešlých bodech 1) - 3).
2.3.1 Příklad
1 2 3 6 −5 4 Řešme rovnici A + X = B , kde A = , B = . 4 5 6 −3 2 −1 Řešení Zřejmě platí, že
X =B−A, 6 −5 4 1 2 3 5 −7 1 X = − = . −3 2 −1 4 5 6 −7 −3 −7
70
2.3.2 Příklad
3 1 2 4 Mějme dány matice A = , B = . Řešme rovnici XA = 2B − E2 , kde E2 je 5 2 1 0 jednotková matice druhého řádu a X je neznámá matice. Řešení Vynásobíme rovnici zprava maticí A −1 (tuto matici jsme již vypočítali v příkladu 2.2.19)
XAA −1 = ( 2B − E2 ) A −1 , XE2 = ( 2B − E2 ) A −1 , X = ( 2B − E2 ) A −1 ,
2 −1 a protože A −1 = , pak po dosazení dostaneme −5 3
2 4 1 0 2 −1 4 8 1 0 2 −1 X = 2 − = − = 1 0 0 1 −5 3 2 0 0 1 −5 3 3 8 2 −1 −34 21 = = . 2 −1 −5 3 9 −5
2.3.3 Příklad
3 1 2 4 Řešme rovnici AX = A + B , kde A = , B = . 5 2 1 0 Řešení Tentokrát násobíme rovnici maticí A −1 zleva
A −1 AX = A −1 ( A + B ) , E2X = A −1 ( A + B ) , X = A −1 ( A + B ) = A −1 A + A −1B = E2 + A −1B ,
71
a po dosazení
8 4 8 1 0 2 −1 2 4 1 0 3 X = + = + = . 0 1 −5 3 1 0 0 1 −7 −20 −7 −19
2.3.4 Příklad
3 1 2 4 Řešíme-li rovnici AX + B = E2 − BX , pro A = , B = , převedeme výraz BX 5 2 1 0 nalevo a B napravo, pak AX + BX = E2 − B ,
( A + B ) X = E2 − B , −1 X = ( A + B ) ( E2 − B ) . 5 5 Protože matice ( A + B ) = je regulární, snadno k ní najdeme inverzní matici výpočtem 6 2 pomocí definice 2.2.14, kde
( A + B)
−1
−1
− 101 5 5 = =L = 3 6 2 10
(další možné způsoby − 1 4 1 4
výpočtu inverzní matice probereme později), ale připomeňme, že rozhodně
( A + B)
−1
≠ A −1 + B−1 .
Nyní již můžeme vypočítat
X = ( A + B)
−1
− 101 E − B = ( 2 ) 3 10
−1 −4 − 207 = − −1 1 − 201 1 4 1 4
1 −7 13 . = − 20 −1 −29 13 20 29 20
72
2.3.5 Příklad
3 1 2 4 Řešíme-li rovnici 3X + XA = B − A , kde A = , B = , použijeme následující 5 2 1 0 úpravu levé strany rovnice
3X + XA = X (3E2 ) + XA = X (3E2 + A ) , a dále upravujeme X (3E2 + A ) = B − A , X = ( B − A )(3E2 + A ) . −1
Protože matice
6 1 je regulární, snadno k ní najdeme inverzní matici 5 5
(3E2 + A ) =
výpočtem pomocí definice 2.2.14, kde (3E2 + A )
−1
−1
15 6 1 L = = = 1 5 5 −5
− 251 . 6 25
Nyní již můžeme vypočítat
−1 3 15 −1 X = ( B − A )(3E2 + A ) = 1 −4 −2 − 5
− 251 − 54 = 2 6 25 −5
1 −20 19 . = − 25 −10 −8 19 25 8 25
Je možné, že některá inverzní matice nemusí existovat a pak musíme hledat jinou cestu k nalezení řešení. Další příklad ukazuje na jednoduchou rovnici, kterou nelze vyřešit symbolickou manipulací pomocí inverzní matice.
73
2.3.6 Příklad
3 1 Řešme rovnici XA = AX , kde A = . 5 2 Řešení V tomto případě je nutné rozepsat hledanou neznámou matici X na jednotlivé její neznámé prvky například takto
x X= z
y u
a rovnici rozepíšeme následovně
x z
y 3 1 3 1 x = u 5 2 5 2 z
y , u
3x + 5 y x + 2 y 3x + z 3 y + u = 3z + 5u z + 2u 5x + 2z 5 y + 2u a z rovnosti matic získáme soustavu rovnic
3x + 5 y = 3x + z , x +2y =3y +u , 3z + 5u = 5x + 2z , z + 2u = 5 y + 2u .
Tato soustava homogenních lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení tvaru x = s + t , y = t , z = 5t , u = s , kde s , t ∈ R .
s +t Řešením zadané rovnice je tedy nekonečně mnoho matic tvaru X = 5t
t , kde s , t jsou s
libovolná reálná čísla.
74
STUDIJNÍ MATERIÁLY
[1]
BUBENÍK UBENÍK, F. a O. ZINDULKA, ZINDULKA 2005. Matematika 1. 1. 1. vyd. Praha: ČVUT, 159 stran. ISBN
978-80--0103-309-8 8.
[2]
CHARVÁT, J., J., V. KELAR a Z. ŠIBRAVA, ŠIBRAVA 2005. MATEMATIKA 1: Sbírka příkladů příkladů.. 1. vyd.
Praha: ČVUT, 163 stran. ISBN 80-01-03323 80 03323-6.
[3]
KAŇKA, M., M., 2009. Sbírka řešených řešených příkladů z matematiky: pro studenty vysokých škol.
1. vyd.. Praha: Ekopress, 298 stran tran.. ISBN 978-80-86929 978 86929-53-8.
[4]
KAŇKA M., J. COUFAL KAŇKA, OUFAL a J. KLŮFA, LŮFA, 2007. Učebnice matematiky pro ekonomy ekonomy.. 1. vyd.
Praha: Ekopress, 198 stran. ISBN 978-80978 -86929-24-8. 8.
[5]
MOUČKA, J. a P. RÁDL, 2010. Matematika pro studenty ekonomie. ekonomie. 1. vyd. Praha: Grada,
272 stran. ISBN 978-80-247-3260 978 3260-2.
OTÁZKY A ÚKOLY Příklady v textu kapitoly.
KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK viz. text
75
Kapitola 3 - Řešení soustav lineárních rovnic KLÍČOVÉ POJMY Soustava lineárních rovnic, homogenní soustava, nehomogenní soustava, Gaussova metoda, soustava s regulární maticí, Gaussova-Jordanova Gaussova Jordanova metoda
CÍLE KAPITOLY Pochopení pojmu soustava lineárních rovnic, homogenní soustava, nehomogenní soustava, soustava s regulární maticí a porozumění řešení homogenních a nehomogenních soustav Gaussovou metodou
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU STUDIU KAPITOLY 8 hodin
VÝKLAD
3.1 Soustavy lineárních rovnic 3.1.1 Definice (soustavy lineárních rovnic) 1) Soustava m lineárních rovnic o n neznámých x1 ,K , xn kde m, n ∈ N je soubor rovnic tvaru
76
a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1 , (S)
a21 x1 + a22 x2 + K + a2n xn = b2 , M am1 x1 + am2 x2 + K + amn xn = bm .
Koeficienty u neznámých aij , kde i = 1,K , m; j = 1,K , n a pravé strany rovnic
b1 ,K, bm jsou daná reálná čísla. Řešení (nebo partikulární řešení) této soustavy je kterýkoliv vektor x = ( x1 , x2 ,K , xn ) ∈ R n , jehož souřadnice splňují všechny rovnice soustavy (S). Množině všech řešení se říká obecné řešení.
2) Matice soustavy (S) je matice typu m × n
a11 a12 K a1n a a K a2n . A = ( aij ) = 21 22 M am1 am2 K amn
3) Vektor řešení (neznámých) je vektor x = ( x1 ,K , xn ) ∈ Rn a můžeme ho považovat za matici typu 1 × n . Pak lze psát
x1 x = M . x n T
4) Vektor pravých stran (též sloupec pravých stran) je vektor b = ( b1 ,K , bm ) ∈ R m a tedy lze psát
b1 bT = M . b m
5) Zápis soustavy (S) je možné provést v symbolickém maticovém tvaru AxT = bT .
77
6) Rozšířená matice soustavy (S) je matice Ar typu ( m × ( n + 1 ) ) , kde
(
A r = A | bT
)
a11 a = 21 M am1
a12 a22 M am2
L a1n L a2n O M L amn
b1 b2 . M bm
3.1.2 Poznámka 1) Soustavě lineárních rovnic (S) odpovídá právě jedna rozšířená matice soustavy Ar a naopak každou soustavu lineární rovnic lze charakterizovat rozšířenou maticí soustavy.
2) Dále budeme značit h - hodnost matice soustavy ( h = h( A ) ), hr - hodnost rozšířené matice soustavy ( hr = h ( A r ) ).
3) Zřejmě platí hr = h nebo hr = h + 1 . 3.1.3 Příklad Systém tří rovnic o třech neznámých a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x 2 + a23 x3 = b2 , a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 = b3 ,
můžeme vnímat a) algebraicky - pokud každá rovnice obsahuje nějakou podmínku, která se nedá odvodit z ostatních rovnic, a rovnice nejsou v rozporu, pak existuje právě jedno řešení, které úpravami rovnic vypočteme.
78
Pokud některá rovnice se dá odvodit z ostatních, pak je k dispozici málo informací a řešení může být více. Rovnice také mohou být ve vzájemném rozporu, a pak neexistuje žádné řešení, b) geometricky - každá rovnice je rovnicí roviny v prostoru. Mají-li roviny pouze jeden společný bod, pak jeho souřadnice jsou řešení soustavy. Pokud mají společnou např. přímku, pak je řešení nekonečně mnoho. Nemají-li společný bod, řešení neexistuje. Z analytické geometrie a teorie vektorových prostorů vyplývá, že tři roviny mají společný bod, právě když jsou jejich normálové vektory lineárně nezávislé. Z teorie matic vyplývá, že to nastane, právě když matice, jejímiž prvky jsou koeficienty na levé straně soustavy rovnic, má plnou hodnost rovnu třem.
3.1.4 Příklad a) Soustava rovnic
2x1 + 3x2 = 1, x1 − x2 = 3, má jediné řešení ( 2, −1) . Rovnice představují dvě různoběžné přímky v rovině a bod
(2, −1) je jejich průsečík. b) Soustava rovnic
2x1 − 3x2 = 1, −4x1 + 6x2 = 3,
nemá žádné řešení. Rovnice představují dvě různé rovnoběžné přímky v rovině, a ty nemají žádný společný bod.
79
c) Soustava rovnic
2x1 − 3x 2 = 1, −4 x1 + 6 x 2 = −2,
má nekonečně mnoho řešení. Obě rovnice reprezentují tutéž přímku s parametrickou rovnicí X = ( 2,1) + t (3,2) , t ∈ R , jinak řečeno vektor ( x1 , x2 ) je řešením, právě když existuje t ∈ R takové, že x1 = 2 + 3t , x2 = 1 + 2t .
d) Maticový zápis soustavy z předešlého příkladu
2x 1 − 3x 2 1 = , −4 x1 + 6 x2 −2 2x1 − 3x2 2 −3 x1 = ⋅ , −4 x1 + 6 x2 −4 6 x2 2 −3 x1 1 ⋅ = . −4 6 x2 −2
e) Maticí a rozšířenou maticí soustavy
2x 2 + x3 − 4 x 4 = 1, x1 − 2x3 + 3x 4 = −2, − x3 − x 4 + 3x5 = 4,
jsou matice
0 A = 1 0
2 1 −4 0 −2 3 0 −1 −1
0 0 0 , Ar = 1 3 0
2 1 −4 0 −2 3 0 −1 −1
0 1 0 −2 . 3 4
Vektor pravých stran je b = (1, −2,4 ) .
80
3.2 Homogenní soustavy 3.2.1 Definice (homogenní soustavy) Soustava lineárních rovnic (S) se nazývá homogenní, právě když má na pravé straně samé nuly, tj. když vektor pravých stran je nulový vektor ( b = o ) .
3.2.2 Poznámka a) Maticový zápis homogenní soustavy je AxT = oT . b) Homogenní soustava je jednoznačně určena svojí maticí soustavy A .
3.2.3 Definice (nulového prostoru matice) Množina všech řešení homogenní soustavy AxT = oT se nazývá nulový prostor matice A a označujeme ho
{
}
N ( A ) = x ∈ R n ; AxT = oT .
3.2.4 Poznámka Každá homogenní soustava lineárních rovnic má vždy triviální řešení, tj.
x1 = x2 = K = xn = 0 , a proto o ∈ N ( A ) .
3.2.5 Věta (vztahy mezi řádkovým a nulovým prostorem matice soustavy A) Pro libovolnou matici soustavy A typu m × n platí i.
N ( A ) ⊆⊆ R n ,
ii.
N (A) = R(A) ,
iii.
dim N ( A ) = n − h( A ) , kde n je počet neznámých v soustavě homogenních lineárních
⊥
rovnic s maticí soustavy A , iv.
Soustava AxT = oT má jediné řešení x = o , právě když h( A ) = n .
81
3.2.6 Poznámka Pro čtvercovou matici homogenní soustavy A platí
•
Je-li A regulární matice, pak AxT = oT má jediné tzv. triviální řešení x = o .
•
Je-li A singulární matice, pak AxT = oT má nekonečně mnoho řešení.
3.3 Řešení homogenních soustav Gaussovou metodou Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 – 1855, byl slavný německý matematik a fyzik.
Víme, že schodovité nebo trojúhelníkové matice získané elementárními řádkovými úpravami mají stejný řádkový prostor jako původní matice. Nyní potřebujeme nalézt nulový prostor matice. Podstata Gaussovy metody řešení vychází z následující věty o ekvivalentních soustavách.
3.3.1 Definice (ekvivalentních soustav) Soustavy lineárních rovnic považujeme za ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu řešení.
3.3.2 Věta (o ekvivalentních soustavách) Jestliže v matici soustavy, resp. v rozšířené matici soustavy (S) uděláme libovolné elementární řádkové úpravy, dostaneme matici, které odpovídá ekvivalentní soustava lineárních rovnic.
3.3.3 Poznámka Podle předešlé věty o ekvivalentních soustavách můžeme řešit soustavy lineárních rovnic tak, že upravíme matici soustavy resp. rozšířenou matici soustavy na trojúhelníkový či schodovitý tvar, kde postup je stejný jako při určování hodnosti matice s použitím elementárních řádkových úprav. Výsledné trojúhelníkové nebo schodovité matici přiřadíme soustavu, jejíž postup řešení je jednodušší než původní zadané soustavy,
82
a přitom má stejnou množinu řešení. Toto je podstatou řešení soustavy lineární rovnic tzv. Gaussovou eliminační metodou.
3.3.4 Příklad Soustava
2x1 − x2 + x3 + 8 x 4 + 2x5 = 0, 4 x1 − 3x 2 + 5x 3 + x 4 + 7 x5 = 0, 8 x1 − 6 x2 + 8 x3 + 12x 4 + 12x5 = 0, 6 x1 − 4 x2 + 6 x3 + 9x 4 + 9x5 = 0, má matici soustavy
2 4 A = 8 6
−1 −3 −6 −4
1 8 2 5 1 7 . 8 12 12 6 9 9
Postupnými elementárními řádkovými úpravami (úpravy proveďte samostatně) z ní dostaneme schodovitou matici
8 2 2 −1 1 0 −1 3 −15 3 A′ = . 0 0 −2 10 −2 0 0 0 0 0 Soustava A ′xT = oT je tak ekvivalentní s původně zadanou soustavou a má tvar 2x1 − x2 + x3 + 8 x 4 + 2x5 = 0, − x2 + 3x3 − 15x 4 + 3x5 = 0, −2x3 + 10x 4 − 2x5 = 0, 0 = 0.
Poslední rovnici můžeme vynechat, neboť nepřináší žádnou novou informaci pro další postup řešení.
83
3.3.5 Poznámka V předešlé ekvivalentní soustavě rovnic se schodovitou maticí soustavy jsou dva druhy neznámých, jednak tzv. vedoucí neznámé, to jsou ty, které se v některé rovnici vyskytnou na začátku, v našem příkladu x1 , x2 , x3 a volné neznámé, to jsou ty ostatní, v našem příkladu
x4 , x5 . Volné neznámé zvolíme jako libovolná reálná čísla, přičemž počet volných neznámých se rovná dim N ( A ) = n − h ( A ) (viz věta 3.2.25 iii.). Vedoucí neznámé jsou pak již jednoznačně určeny zvolenými hodnotami volných neznámých.
∎
Nyní ukážeme postup řešení soustavy homogenních lineárních rovnic z předešlého příkladu 3.3.4.
1. „Algebraický“ postup řešení Zvolíme libovolně volné proměnné
x 4 = s, s ∈ R , x5 = t , t ∈ R a upravujeme rovnice zdola nahoru. Ze třetí rovnice vyjádříme
x3 = 5s − t a to dosadíme do druhé rovnice
− x2 + 3(5s − t ) − 15s + 3t = 0 a odtud vypočteme x2 = 0 . Po dosazení za x2 , x3 do první rovnice dostaneme
2x1 + (5s − t ) + 8s + 2t = 0 , odkud je x1 = −
13s + t . 2
84
Tím jsme získali výsledné řešení
13s + t ; 0;5s − t ; s ; t ∈ R5 , kde s , t ∈ R . N ( A ) = − 2 2. „Geometrický“ postup řešení Vychází z toho, že h( A ) = 3 , a proto dim N ( A ) = n − h( A ) = 2 . Stačí tedy najít dva lineárně nezávislé vektory u , v z vektorového prostoru N ( A ) = R ( A ) , které ⊥
generují množinu všech řešení a tvoří bázi celého prostoru řešení. Víme, že za neznámou x 4 a x5 můžeme zvolit libovolné reálné číslo, protože reprezentují volné neznámé, ale dále musíme zaručit, aby vektory u , v byly lineárně nezávislé. To je možné zajistit např. následující volbou u = ( x1 , x 2 , x3 ,1,0 ) , v = ( x1′ , x 2′ , x3′ ,0,1 ) .
Zbylé souřadnice vektorů u , v vypočítáme dosazením do ekvivalentní soustavy (proveďte samostatně) s následujícím výsledkem
u = ( − 132 ,0,5,1,0) ,
v = ( − 12 ,0, −1,0,1) .
Výsledné řešení dostaneme ve tvaru N ( A ) = [ u , v ] = {s ( − 132 ,0,5,1,0 ) + t ( − 12 ,0, −1,0,1) ; s , t ∈ R} .
Shrnutí Obě řešení nás vedou ke stejnému cíli, tj. geometricky řečeno k parametrické rovnici 5 roviny procházející počátkem souřadnic ( N ( A ) ⊆⊆ R ).
85
3.3.6 Příklad a) Soustava
3x − 2 y = 0, x + 5 y = 0, 3x − 11 y = 0, má matici soustavy
3 −2 A = 1 5 , kde h( A ) = 2, 3 −11 a proto je vektor řešení x = ( x ,y ) = ( 0,0) jediným řešením soustavy, tzv. triviální řešení. b) Volné neznámé nemusí být nutně posledními souřadnicemi vektoru řešení x . V následující soustavě
x1 + 2x2 + 3x3 − 4x 4 = 0, x3 + 5x 4 = 0, jsou volné neznámé např. x2 a x 4 . POZOR!!! Rozhodně není možné současně libovolně volit neznámé x3 a x 4 (zdůvodněte).
3.4 Nehomogenní soustavy 3.4.1 Definice (nehomogenní soustavy) Soustava lineárních rovnic (S) se nazývá nehomogenní, právě když pro vektor pravých stran platí b ≠ o .
86
3.4.2 Poznámka a) Každá soustava lineárních rovnic (S), která není homogenní, se nazývá nehomogenní. b) Maticový zápis nehomogenní soustavy vyjadřuje maticová rovnice AxT = bT , kde
b≠o. c) Nehomogenní soustava je jednoznačně určena svojí rozšířenou maticí soustavy Ar (viz definice 3.1.1).
∎
Nechť A je matice soustavy (S) typu m × n a s1 = (a11 ,K, am1 ),K, sn = (a1n ,K, amn ) její sloupcové vektory. Pro vektor řešení x = ( x1 ,K , xn ) ∈ Rn platí
a11 K a1n x1 a11 x1 + K + a1n xn Ax = M O M M = M O M = a m1 L amn xn am1 x1 + K + amn x n a11 a1n = x1 M + K + xn M = x1sT1 + K + x nsTn , a a m1 mn T
což implikuje, že rovnice AxT = bT má alespoň jedno řešení x , právě když je vektor pravých stran b lineární kombinací sloupcových vektorů matice soustavy A , kde koeficienty této lineární kombinace jsou x1 ,K , xn , tj. b ∈ S ( A ) a z toho dostáváme
( ) h ( A | b ) = dim S ( A | b ) = dim S ( A ) = dim R ( A ) = h ( A ) . S A | bT = [s1 ,K , sn , b] = [s1 ,K , sn ] = S ( A ) ⇔ T
T
∎ Výše uvedená úvaha je důkazem následující tzv. Frobeniovy věty (Ferdinand Georg Frobenius, 1849 – 1917, německý matematik).
87
3.4.3 Věta (Frobeniova) Soustava lineárních rovnic (S) má řešení tehdy a jen tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.
3.4.4 Věta (o počtu řešení řešitelné soustavy) Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic (S) má řešení (tj. splňuje podmínku Frobeniovy věty) a nechť h je hodnost matice soustavy A a n je počet neznámých. Potom platí, a) jestliže h = n , pak má soustava (S) právě jedno řešení, b) jestliže h < n , pak má soustava (S) nekonečně mnoho řešení, přičemž za n − h volných neznámých zvolíme libovolná reálná čísla a ostatní vázané neznámé jsou již touto volbou určeny jednoznačně.
3.4.5 Tvrzení (řešitelnost soustav lineárních rovnic) 1) Pro řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic v množině reálných čísel může nastat pouze jeden z těchto případů
•
soustava nemá řešení,
•
soustava má jedno řešení,
•
soustava má nekonečně mnoho řešení.
2) Homogenní soustava lineárních rovnic je podle Frobeniovy věty vždy řešitelná a má buď pouze triviální řešení, tj. xi = 0 pro všechna i nebo nekonečně mnoho řešení, přičemž triviální řešení je jedním z nich (je tedy tzv. partikulárním řešením).
88
3.4.6 Příklad (diskuse řešitelnosti soustavy) Soustava
x + 2 y + 3z = −4, −2x + y + 2z = 1, − x + 3 y + 5z = −3, má rozšířenou matici
1 2 3 −4 A r = −2 1 2 1 . −1 3 5 −3 Po elementárních řádkových úpravách dostaneme schodovitou matici, která je ekvivalentní s původní rozšířenou maticí, tj.
Ar
1 2 3 −4 0 5 8 −7 , a tedy h = h ( A ) = h( A r ) = 2 . 0 0 0 0
Podle Frobeniovy věty existuje řešení zadané soustavy. Protože 2 = h < n = 3 , kde n je počet neznámých, má soustava nekonečně mnoho řešení, podle věty 3.4.4.
3.4.7 Příklad (diskuse řešitelnosti soustavy) Soustava
x + 2 y + 3z = −4, −2x + y + 2z = 1, − x + 3 y + 5z = 2,
má rozšířenou matici
1 2 3 −4 A r = −2 1 2 1 , −1 3 5 2
89
Elementární řádkové úpravy převedou matici Ar na ekvivalentní schodovitou matici
Ar
1 2 3 −4 0 5 8 −7 , a tedy h = h( A ) = 2 ≠ 3 = h ( A r ) . 0 0 0 5
Soustava nemá podle Frobeniovy věty žádné řešení.
3.4.8 Poznámka Předešlé příklady ukazují jednoduchou metodu ke zjištění, zda je nějaký vektor lineární kombinací jiných vektorů. Příklad 3.4.6 dokazuje, že vektor b = ( −4,1, −3) je lineární kombinací vektorů s1 = (1, −2, −1) , s2 = ( 2,1,3) , s3 = (3,2,5) a příklad 3.4.7 říká, že vektor
b = ( −4,1,2) není lineární kombinací vektorů s1 = (1, −2, −1) , s2 = ( 2,1,3) , s3 = (3,2,5) .
3.5 Řešení nehomogenních soustav Gaussovou metodou Rozšířenou matici soustavy převedeme pomocí elementárních řádkových úprav na ekvivalentní matici (trojúhelníkovou či schodovitou), která reprezentuje ekvivalentní soustavu s původní soustavou, tj. soustavu se stejnou množinou řešení.
3.5.1 Příklad Řešme soustavu z příkladu 3.4.6
x + 2 y + 3z = −4, −2x + y + 2z = 1, − x + 3 y + 5z = −3.
90
Řešení Zjistili jsme, že ekvivalentní soustava má tvar x + 2 y + 3z = −4, 5 y + 8 z = −7.
Soustava má jednu volnou neznámou z ∈ R . Z druhé rovnice vypočteme y = z první rovnice x =
−7 − 8 z a 5
−6 + z . Množina všech řešení tvoří vektor řešení 5 −6 + z − 7 − 8 z x = , , z , kde z ∈ R . 5 5
Podívejme se na geometrickou povahu této množiny všech řešení. Vektor řešení x upravme následujícím způsobem
−6 + z −7 − 8 z 6 7 1 8 x = , , z = − , − ,0 + z , − ,1 , z ∈ R. 5 5 5 5 5 5
6 7 1 8 Položme P = − , − ,0 a u = , − ,1 , takže můžeme psát 5 5 5 5
X = P + zu , z ∈ R ,
což je parametrická rovnice přímky určené bodem P a směrovým vektorem u . Nyní si všimneme, že nulovým prostorem matice soustavy, tj. řešením odpovídající homogenní soustavy je přímka s parametrickou rovnicí X = zu , z ∈ R .
91
Tento příklad signalizuje, že množina všech řešení nehomogenní soustavy (S) sice není vektorový podprostor vektorového prostoru R n (neobsahuje totiž nulový vektor o , ale je „posunutím“ nulového prostoru N ( A ) .
3.5.2 Definice (posunutí vektorového prostoru o vektor) Posunutím vektorového prostoru V ( V ⊆⊆ R n ) o vektor u rozumíme množinu
u + V = V + u = {u + v ; v ∈V } .
3.5.3 Věta (řešení nehomogenní soustavy) Je-li x0 libovolné (tzv. partikulární) řešení soustavy (S), tj. soustavy AxT = bT , pak množina všech řešení má tvar x 0 + N ( A ) .
3.5.4 Důsledek Pro libovolnou soustavu s m rovnicemi a n neznámými, která je řešitelná, platí: a) Počet volných neznámých je n − h( A ) . b) Soustava (S), tj. soustava AxT = bT má právě jedno řešení, právě když h( A ) = n , tj. nemá žádné volné neznámé.
3.5.5 Poznámka Předešlá věta dává návod na „geometrické“ řešení nehomogenní soustavy (S):
•
Elementárními řádkovými operacemi převedeme rozšířenou matici soustavy (S) na ekvivalentní trojúhelníkovou resp. schodovitou matici a tím získáme soustavu, která je ekvivalentní se soustavou (S).
92
•
Dosazením konkrétních hodnot za volné proměnné najdeme jedno partikulární řešení.
•
Poté nahradíme pravou stranu nulami a najdeme nulový prostor matice soustavy.
Jinak řečeno: Všechna řešení nehomogenní soustavy (S) získáme tak, že nalezneme jedno libovolné řešení této soustavy a k němu pak „přičteme“ všechna řešení odpovídající homogenní soustavy.
3.5.6 Příklad Řešme soustavu
2x1 − x2 + x3 + 8 x 4 + 2x5 = 1, 4 x 1 − 3x 2 + 5 x 3 +
x 4 + 7 x5 = 2,
8 x1 − 6 x2 + 8 x3 + 12x 4 + 12x5 = 3, 6 x1 − 4 x2 + 6 x3 + 9x 4 + 9x5 = 3. Řešení Rozšířená matice soustavy je
2 4 Ar = 8 6
−1 −3 −6 −4
1 8 2 1 5 1 7 2 8 12 12 3 6 9 9 3
L { po úpravě
8 2 1 2 −1 1 0 −1 3 −15 3 0 , 0 0 −2 10 −2 −1 0 0 0 0 0 0
takže ekvivalentní soustava má tvar
2x1 − x2 + x3 + 8 x 4 + 2x5 = 1, − x2 + 3x3 − 15x 4 + 3x5 = 0, − 2x3 + 10x 4 − 2x5 = −1.
93
Vedoucí proměnné jsou x1 , x2 , x3 a volné x4 , x5 . Potřebujeme najít jedno libovolné (partikulární) řešení, zvolme tedy za volné proměnné například x4 = x5 = 0 a z rovnic postupně vypočítáme x3 = 12 , x2 = 32 , x1 = 1 . Tím jsme dostali
x0 = (1, 32 , 12 ,0,0) .
Nyní musíme najít nulový prostor matice soustavy A . Ten jsme ale vypočetli dříve (viz poznámka 3.3.5), a proto N ( A ) = {s ( − 132 ,0,5,1,0 ) + t ( − 12 ,0, −1,0,1) ; s , t ∈ R} .
Řešením je tedy množina x 0 + N ( A ) = {(1, 32 , 12 ,0,0 ) + s ( − 132 ,0,5,1,0 ) + t ( − 12 ,0, −1,0,1 ) ; s , t ∈ R} .
Jinými slovy, řešením je „rovina“ v R5 s parametrickou rovnicí
X = (1, 32 , 12 ,0,0) + s ( − 132 ,0,5,1,0) + t ( − 12 ,0, −1,0,1) ; kde s , t ∈ R ,
tj. řešením je vektor
x = ( x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 ) ⇔ ( ∃s , t ∈ R ) x1 = 1 − 132 s − 12 t , x2 = 32 , x3 = 12 + 5s − t , x 4 = s , x5 = t .
94
3.6 Soustavy s regulární maticí 3.6.1 Tvrzení (existence a jednoznačnost řešení soustavy s regulární maticí) Pro regulární matici A řádu n platí
a) Homogenní soustava AxT = oT má právě jedno řešení x = o . b) Soustava AxT = bT má pro každé b ∈ R n právě jedno řešení, pro které platí xT = A −1 bT .
∎
Soustavy s regulární maticí soustavy lze řešit obměnou Gaussovy metody.
3.6.2 Příklad Řešte soustavu rovnic s rozšířenou maticí soustavy
3 −4 5 1 2 −3 1 0 . 3 −5 −1 0 Řešení Nejprve hledáme ekvivalentní schodovitou matici
3 −4 5 1 3 −4 5 1 2 −3 1 0 0 1 7 2 3 −5 −1 0 0 −1 −6 −1
3 −4 5 1 0 1 7 2 . 0 0 1 1
Vidíme, že matice soustavy A je ekvivalentní s trojúhelníkovou maticí a její hodnost je rovna řádu matice A . To nám umožní pomocí elementárních řádkových úprav „vynulovat“ také všechny prvky nad diagonálou
95
3 −4 5 1 3 −4 0 1 7 2 0 1 0 0 1 1 0 0
−4 0 −5 1 1
0
3 0 0
0 0 −24 1 0 0 −8 1 0 −5 0 1 0 −5 . 0 1 1 0 0 1 1
Nyní můžeme rovnou zapsat řešení
= −8,
x1
= −5,
x2
x3 = 1.
3.6.3 Poznámka (Gaussova-Jordanova metoda) Gaussova-Jordanova metoda kombinuje oba předešlé postupy s tím, že nad i pod jednotkovým prvkem na diagonále vytváříme nuly, např.
3 −4 5 1 3 −4 5 1 2 − 3 1 0 0 1 7 2 3 −5 −1 0 0 −1 −6 −1
3 0 0
0 33 9 1 7 2 0 1 1
3 0 0 1 0 0
−24 0 −5 1 1
0
1 0 0 −8 0 1 0 −5 . 0 0 1 1
3.6.4 Výpočet inverzní matice Podle definice 2.2.14 je X inverzní maticí k matici A pokud platí AX = En , kde A , X , En ∈ Mn . Označme i - tý sloupcový vektor matice X jako siX a matice En jako siEn . Takže pro každý
( )
sloupcový vektor siX matice X musí platit rovnice A ( siX ) = siEn T
T
. Je-li A regulární, má
tato rovnice právě jedno řešení pro každý sloupec siX , což je ekvivalentní s AX = En .
96
Řešit uvedenou rovnici znamená vlastně vyřešit n nehomogenních soustav, které se liší jen pravou stranou. Elementární řádkové operace můžeme tedy provádět najednou na všech pravých stranách Gaussovo-Jordanovou metodou.
3.6.5 Příklad
1 2 Vypočtěme inverzní matici ke čtvercové matici A = . 3 4 Řešení
x Hledáme matici X = 1 x3
x2 z maticové rovnice x4
1 2 x1 ⋅ 3 4 x3
x2 1 0 . = x 4 0 1
Rovnici přepíšeme na soustavu
+ 2x3 + 4 x3
x1 3x 1 x2 3x 2
= 1, = 0, + 2x 4 = 0, + 4 x 4 = 1.
Neznámé v této soustavě jsou oddělené tak, že lze uvažovat o dvou soustavách lineárních rovnic o neznámých x1 ,x3 (ta odpovídá soustavě vzniklé po vynásobení matice A prvním sloupcem matice X ) a o neznámých x2 , x4 (ta odpovídá soustavě vzniklé po vynásobení matice A druhým sloupcem matice X ). Jedná se tedy o následující dvě soustavy
x1 + 2x3 = 1,
a
3x1 + 4x3 = 0,
x2 + 2x4 = 0, 3x2 + 4x 4 = 1.
Obě soustavy řešíme Gaussovou - Jordanovou metodou. Rozšířené matice soustav jsou
1 2 1 3 4 0
a
1 2 0 . 3 4 1
97
Obě soustavy mají stejnou matici soustavy A , tudíž je můžeme řešit současně, přičemž místo aplikace elementárních řádkových úprav na jednotlivé rozšířené matice (úpravy by byly v obou případech stejné) budeme upravovat matici, ve které bude před svislou čarou matice soustavy A a za svislou čarou budou sloupce pravých stran obou soustav lineárních rovnic, tj.
1 2 1 0 . 3 4 0 1 Postupně získáme
2 1 0 1 0 −2 1 1 1 2 1 0 1 3 4 0 1 0 −2 −3 1 0 −2 −3 1 0
0 −2 1
3 2
1 . − 12
Hodnost matice soustavy h = h( A ) = 2 , matice A je tedy regulární. Hodnost rozšířené matice soustavy je v obou soustavách hr = h( A r ) = 2 a počet neznámých je v obou soustavách n = 2 . Obě soustavy mají proto právě jedno řešení, neboť h = hr = n = 2 . Řešení najdeme tak, že přejdeme k ekvivalentním soustavám lineárních rovnic ve tvaru
x1
= −2, x3 =
3 2
,
a
= 1,
x2
x 4 = − 12 .
Pro hledanou inverzní matici k matici A tím dostáváme
−2 1 1 −4 2 X = A −1 = 3 = 2 . 1 2 − 2 3 −1
98
3.6.6 Poznámka Předchozí příklad nám dává návod, jak hledat inverzní matici. Nalezení inverzní matice k matici A spočívá v současném řešení soustav lineárních rovnic se stejnou maticí soustavy, Gaussovo-Jordanovou metodou. Totiž všechny soustavy mají stejnou matici soustavy A a sloupce pravých stran jsou sloupce jednotkové matice E .
3.6.7 Formální postup hledání inverzní matice pomocí jednotkové matice Čtvercovou matici A rozšíříme o sloupce jednotkové matice E stejného řádu jako matice A . Tuto matici upravíme na ekvivalentní matici pomocí elementárních řádkových úprav (zásadně nepoužíváme sloupcové úpravy!!!) tak, aby na místě matice A vznikla jednotková matice E . Za svislou čarou na původním místě jednotkové matice tím vznikne inverzní matice A −1 .
Schematicky zapsáno
( A | E)
L
(E| A ) , −1
kde matici ( A | E ) převedeme na matici tvaru ( E | A −1 ) výhradně pomocí elementárních řádkových úprav.
3.6.8 Příklad Řešme soustavu
x1 + 2x2 = 4, 3x1 + 4x2 = 2, pomocí inverzní matice.
99
Řešení Podle předešlého příkladu 3.6.5 víme, že k matici soustavy A existuje inverzní matice
−2 1 A −1 = 3 . 1 2 −2 Při označení x = ( x1 , x2 ) , b = ( 4,2) můžeme danou soustavu zapsat maticově ve tvaru
(
A ⋅ xT = bT
)
A −1 ⋅ A ⋅ xT = A −1 ⋅ bT
(A
−1
)
⋅ A ⋅ xT = A −1 ⋅ bT E ⋅ xT = A −1 ⋅ bT xT = A −1 ⋅ bT
Po dosazení do poslední maticové rovnice dostaneme
−2 1 4 −6 xT = A −1 ⋅ bT = 3 ⋅ = . 1 2 − 2 2 5 Řešením je tedy vektor x = ( −6,5) , tj. x1 = −6, x2 = 5 .
STUDIJNÍ MATERIÁLY
[1]
BUBENÍK UBENÍK, F. a O. ZINDULKA, ZINDULKA 2005. Matematika 1. 1. 1. vyd. Praha: ČVUT, 159 stran. ISBN
978-80--0103-309-8 8.
[2]
CHARVÁT, J., J., V. KELAR a Z. ŠIBRAVA, ŠIBRAVA 2005. MATEMATIKA 1: Sbírka příkladů příkladů.. 1. vyd.
Praha: ČVUT, 163 stran. ISBN 80-01-03323 80 03323-6.
100
[3]
KAŇKA, M., M., 2009. Sbírka řešených řešených příkladů z matematiky: pro studenty vysokých škol. škol
1. vyd.. Praha: Ekopress, 298 stran tran. ISBN 978-80-86929 978 86929-53-8.
[4]
KAŇKA M., J. COUFAL KAŇKA, OUFAL a J. KLŮFA, LŮFA, 2007. Učebnice matematiky pro ekonomy ekonomy.. 1. vyd.
Praha: Ekopress, 198 stran. ISBN 978-80978 -86929-24-8. 8.
[5]
MOUČKA, J. a P. RÁDL, 2010. Matematika pro studenty ekonomie. ekonomie. 1. vyd. Praha: Grada,
272 stran. ISBN 978-80-247-3260 978 3260-2.
OTÁZKY A ÚKOLY Příklady v textu kapitoly.
KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK viz. text
101
Kapitola 4 - Determinanty, Funkce KLÍČOVÉ POJMY Determinant, determinant 2. a 3. řádu, Laplaceovy věty, řadová úprava determinantu, determinant schodovité a trojúhelníkovité matice, adjungovaná adjungovaná matice, Cramerovo pravidlo
CÍLE KAPITOLY Pochopení pojmu determinant, determinant 2. a 3. řádu, řádu determinant schodovité a trojúhelníkovité matice, porozumění řadovým úpravám determinantu, Cramerovu pravidlu
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU STUDIU KAPITOLY 10 hodin
VÝKLAD
4.1 Úvod Historie vzniku pojmu determinantu a matice lze vystopovat již ve 4. až 2. století př.n.l. u Egypťanů a Babyloňanů v souvislosti s řešením praktických úloh vedoucích na soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, dále u Číňanů (kolem 100 let př.n.l.), kteří řeší lineární soustavy rovnic metodou, která je předchůdkyní Gaussova eliminačního algoritmu, s použitím sloupcových úprav. Tuto metodu metodu pak rozvíjí japonský matematik Takakazu Šinsuke Seki Kowa (1642 – 1708), který bývá někdy označován jako objevitel determinantu.
102
Za objevitele determinantu bývá však obvykle považován německý matematik Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646 – 1716), který o svém řešení soustavy lineárních rovnic píše francouzskému matematikovi markýzi L’Hospitalovi (1661 – 1704), ale ještě nepoužívá název determinant ani matice. S názvem determinant přichází poprvé mezi roky 1803 – 1809 německý matematik Johann Carl Fridrich Gauss (1777 – 1855) a s názvem matice přichází ještě později v roce 1850 anglický matematik James Joseph Sylvester (1814 – 1897).
4.2 Determinanty 2. a 3. řádu 1) Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých s regulární maticí soustavy A je dvojice rovnic
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 ,
která má právě jedno řešení tvaru
x1 =
b1a22 − b2a12 , a11a22 − a12a21
x2 =
b2a11 − b1a21 , a11a22 − a12a21
za předpokladu, že společný jmenovatel obou zlomků a11a22 − a12a21 ≠ 0 (tento předpoklad je splněn, neboť matice soustavy A je regulární). Právě toto číslo se nazývá determinant matice A řádu 2. 2) Obsah rovnoběžníku v rovině určeného vektory r1 = ( a11 , a12 ) a r1 = ( a11 , a12 ) lze také vyjádřit pomocí determinantu, totiž
S = r1 × r2 = a11a22 − a12a21 , tj. jako velikost
vektorového součinu vektorů r1 , r2 .
103
3) Obdobně při řešení soustavy lineárních rovnic o třech neznámých s regulární maticí soustavy dostaneme ve jmenovateli výraz
a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .
Toto číslo vzniklé z koeficientů u příslušných neznámých v dané soustavě je determinantem matice soustavy řádu 3.
4) Objem rovnoběžnostěnu určeného řádkovými vektory matice A řádu 3 s řádky označenými r1 = ( a11 , a12 , a13 ) , r2 = ( a21 , a22 , a23 ) , r3 = ( a31 , a32 , a33 ) , kde vektory r2 , r3 tvoří strany podstavy rovnoběžnostěnu, je roven absolutní hodnotě tzv. smíšeného součinu r1 ⋅ ( r2 × r3 ) (první operace „ ⋅ “ je skalární součin a druhá operace „ × “ je vektorový součin
vektorů), který je roven opět výše uvedenému výrazu tvaru
a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .
4.2.1 Definice (determinantu, algebraického doplňku, subdeterminantu) Nechť A je čtvercová matice řádu n . Determinant řádu n matice A je reálné číslo, které je jednoznačně přiřazeno každé čtvercové matici následujícím způsobem 1) Je-li matice A = ( a11 ) , tj. matice 1. řádu, je det A = a11 .
2) Označme symbolem Mij determinant matice řádu n − 1 , který vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Pomocí tohoto subdeterminantu prvku aij definujme algebraický doplněk Aij prvku aij jako součin
Aij = ( −1)
i+ j
Mij .
104
3) Jestliže A je čtvercová matice řádu n , pak pro libovolný index i ∈{1,K , n} definujeme
n
det A = ∑ aij Aij = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + K + ain Ain = j =1 n
= ∑ ( −1) j =1
i+ j
aij Mij = ( −1)
i +1
ai 1 Mi 1 + ( −1)
i +2
ai 2Mi 2 + K + ( −1)
. i +n
ain Min
4.2.2 Poznámka (terminologie a značení) a) Determinant čtvercové matice A řádu n budeme značit det A nebo A a zapisovat ve tvaru
det A = A =
a11
a12 L a1 j L a1n
a21
a22 L a2 j L a2n
M ai 1 M
M
O
M
ai 2 L aij M
M
M
an1 an2 L anj
M
M
L ain O
.
M
L ann
b) U determinantů budeme používat tutéž terminologii jako u matic (prvky, řádky, sloupce determinantu, hlavní a vedlejší diagonála determinantu).
4.2.3 Poznámka (Laplaceova věta) a) Vztah uvedený v definici determinantu 4.2.1 3) se nazývá rozvoj determinantu podle i-tého řádku a umožňuje výpočet determinantu řádu n jako součet determinantů řádu n − 1 . b) Lze ukázat, že na výběru indexu i nezáleží, tj. volbou libovolného i ∈{1,K , n} se hodnota determinantu nezmění.
105
c) Determinant lze definovat i jiným ekvivalentním způsobem a pak se vztah uvedený v definici determinantu 4. 2. 13) uvádí jako věta, která se nazývá Laplaceův rozvoj determinantu podle i-tého řádku nebo krátce Laplaceova věta (Pierre Simon de Laplace [laplas], 1749 – 1827, francouzský matematik).
4.2.4 Poznámka (výpočet determinantu 2. a 3. řádu) Aplikací definice determinantu 4.2.13) nyní vypočteme determinant 2. a 3. řádu rozvojem například podle 1. řádku
a) Determinant 2. řádu
a11
a12
a21 a22
= ( −1)
1 +1
a11 a22 + ( −1)
1+2
a12 a21 = a11a22 − a12a21 .
Slovy: Determinant 2. řádu vypočteme jako rozdíl součinu prvků na hlavní diagonále a součinu prvků na vedlejší diagonále. Tento postup se nazývá křížové pravidlo.
Schéma křížového pravidla
a11 a12 a21 a22 −
= a11a22 − a12a21 +
106
b) Determinant 3. řádu
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a 1 +1 a23 = ( −1 ) a11 22 a32 a33
a23 a 1+2 + ( −1 ) a12 21 a33 a31
a23 a 1 +3 + ( −1 ) a13 21 a33 a31
a22 = a32
= a11 ( a22a33 − a23a32 ) − a12 ( a21a33 − a23a31 ) + a13 ( a21a32 − a22a31 ) = = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .
Determinant matice 3. řádu se počítá postupem, který se nazývá Sarrusovo pravidlo (Pierre Frédéric Sarrus , 1798 - 1861, francouzský matematik). Sarrusovo pravidlo je vlastně mnemotechnická pomůcka pro zapamatování výsledku předešlého výpočtu.
Princip Sarrusova pravidla spočívá v tom, že pod zadaný determinant 3. řádu opíšeme první dva řádky a prvky ležící na uhlopříčkách vynásobíme, přičemž těm součinům, které směřují zleva doprava, ponecháme jejich znaménko a těm, které směřují zprava doleva, změníme znaménko, a tím dostaneme součiny podle níže uvedeného schématu.
Schéma Sarrusova pravidla a11 a21
a12 a22
a13 a23
a31
a32
a33
−
a11
a12
a13
+
− −
a21
a22
a23
+ +
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21 .
107
4.2.5 Příklad Vypočtěme determinanty
a) Rozvojem podle 2. řádku (tj. podle definice determinantu)
1 4 2+1 2+2 = ( −1) ⋅ ( −3) ⋅ 4 + ( −1) ⋅ 2 ⋅ 1 = 12 + 2 = 14 , −3 2
křížovým pravidlem
1 4 = 1 ⋅ 2 − 4 ⋅ ( −3) = 14 . −3 2
b) Rozvojem podle 3. řádku (tj. podle definice determinantu)
1
1
2
−1 −2 −1 = ( −1) 3 2 1
3 +1
⋅3⋅
1
2
−2 −1
+ ( −1)
3+ 2
⋅2⋅
1
2
−1 −1
+ ( −1 )
3+ 3
⋅1⋅
1
1
−1 −2
=
= 1 ⋅ 3 ⋅ 3 − 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ ( −1) = 6, Sarrusovým pravidlem
1
1
2
− 1 −2 − 1 = 1 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 1 + ( − 1 ) ⋅ 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 3 − ( − 1 ) ⋅ 2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) = 3 2 1 = −2 − 4 − 3 + 12 + 2 + 1 = 6.
108
4.2.6 Příklad Vypočtěme determinant 4. řádu (např. rozvojem podle 1. řádku)
−1 1 1 −1
1 1
1 1
−1 1 1 1 1 1 1+2 ⋅ ( −1 ) ⋅ 1 −1 1 + ( −1) ⋅ 1 ⋅ 1 −1 1 + 1 1 −1 1 1 −1
= ( −1 ) 1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 1 1 +3 1+ 4 + ( −1 ) ⋅ 1 ⋅ 1 1 1 + ( −1 ) ⋅ 1 ⋅ 1 1 −1 = − 1 −1 1 − 1 −1 1 + 1 1 −1 1 1 1 1 1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 + 1 1 1 − 1 1 −1 = −4 − 4 + ( −4 ) − 4 = −16 . 1 1 −1 1 1 1 1 1
1 +1
4.2.7 Věta (determinant transponované matice) Nechť A je čtvercová matice. Jsou-li A a AT navzájem transponované matice, pak
det A = det AT .
4.2.8 Poznámka Z předešlé věty plyne, že není nutné rozlišovat řádky a sloupce determinantu v tom smyslu, že pokud platí nějaké tvrzení pro řádky determinantu, platí také pro jeho sloupce.
4.2.9 Úmluva (řady determinantu) V dalším textu budeme řádky a sloupce determinantu označovat společným názvem řady determinantu.
109
4.2.10 Poznámka (Laplaceova věta pro sloupce) Podle věty 4.2.7 se transponováním matice nezmění hodnota jejího determinantu, takže je možné vyslovit Laplaceovu větu i pro sloupce matice.
4.2.11 Věta (o rozvoji determinantu podle j-tého sloupce – Laplaceova věta) Je-li A čtvercová matice řádu n , pak pro libovolný index j ∈{1,K , n} platí
n
det A = ∑ aij Aij = a1 j A1 j + a2 j A2 j + K + anj Anj = i =1
n
= ∑ ( −1) i =1
i+ j
,
aij Mij = ( −1)
1+ j
a1 j M1 j + ( −1)
2+ j
a2 j M2 j + K + ( −1)
n+ j
anj Mnj
kde Aij označuje algebraický doplněk prvku aij a M ij subdeterminant prvku aij v matici A .
4.2.12 Příklad Ukažme na příkladu 4.2.5 b) výpočet determinantu pomocí rozvoje podle sloupce
a) podle 1. sloupce
1 1 2 −2 −1 1 2 1 2 1+1 2 +1 3+1 −1 −2 −1 = ( −1) ⋅1 ⋅ + ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ + ( −1) ⋅ 3 ⋅ =6, 2 1 2 1 −2 −1 3 2 1
b) podle 3. sloupce
1 1 2 −1 −2 1 1 1 1 1+ 3 2+3 3+ 3 −1 −2 −1 = ( −1) ⋅ 2 ⋅ + ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ + ( −1) ⋅1 ⋅ = 6, 3 2 3 2 −1 −2 3 2 1
110
4.2.13 Poznámka (technická) Počítáme-li determinant rozvojem podle některé jeho řady (tj. řádku nebo sloupce), je vhodné volit tuto řadu tak, aby obsahovala co nejvíce nulových prvků. Pokud taková řada v determinantu není, můžeme ji vytvořit pomocí úprav, které si níže odvodíme. Tím se mimo jiné také vyhneme počítání determinantů vyšších řádů podle definice, protože je zdlouhavé a vyžaduje výpočet velkého množství determinantů nižších řádů.
4.2.14 Příklad Vypočtěte determinant 4. řádu
2 1 3 1
0 0 2 0
1 4 0 3
5 0 . 2 4
Řešení
2 1 3 1
0 0 2 0
1 4 0 3
5 2 1 5 0 3+ 2 = ( −1) ⋅ 2 ⋅ 1 4 0 = −46 . 2 1 3 4 4
111
4.3 Řadové úpravy determinantu Na následujícím příkladu ukážeme, že počítání determinantů podle definice není šikovné. 4.3.1 Příklad Vypočtěte determinant 5. řádu
1
2 −1
3 −4
2 −1
2 −1
1
5
3 −2
1 −2 .
2
2 −1
3 −1
2 −1
3
1
3
Návod k řešení Rozvojem podle libovolné řady determinantu musíme spočítat pět determinantů 4. řádu a každý z nich opět rozvineme podle některé řady, čímž dostaneme 5.4 = 20 determinantů 3. řádu, které musíme vypočítat například Sarrusovým pravidlem. Hodnota tohoto determinantu je 28. Při výpočtu determinantů vyšších řádů proto postupujeme použitím následující věty (viz dále příklad 4.3.4).
4.3.2 Věta (řadové úpravy determinantu) 1) Vyměníme-li navzájem v determinantu dvě rovnoběžné řady, pak determinant změní znaménko. 2) Násobíme-li libovolnou řadu determinantu číslem c , c ∈ R , potom se číslem c vynásobí hodnota determinantu. 3) Přičteme-li k některé řadě determinantu libovolnou lineární kombinaci řad s ní rovnoběžných, pak se hodnota determinantu nezmění.
∎
Ilustrujme předešlou větu na následujícím příkladu.
112
4.3.3 Příklad Vypočtěme determinant
2 0 1
D= 3 2 5 . 0 1 4 Řešení a) Sarrusovým pravidlem
2 0 1 D = 3 2 5 = 16 + 3 + 0 − 0 − 10 − 0 = 9 . 0 1 4
b) Jestliže v determinantu D prohodíme 1. a 3. řádek dostaneme
0 1 4
D1 = 3 2 5 = 0 + 0 + 10 − 0 − 16 − 3 = −9 = −D , determinant změnil znaménko, a 2 0 1 2 0 1
0 1 4
proto 3 2 5 = − 3 2 5 , tj. D = −D1 . 0 1 4 2 0 1
c) Vynásobíme-li v determinantu D například 2. sloupec dvěma, pak
2 0 1
D2 = 3 4 5 = 32 + 6 + 0 − 0 − 20 − 0 = 18 = 2D ,
hodnota
determinantu
se
0 2 4
2 0 1 2 0 1 1 1 zdvojnásobila, a proto 3 2 5 = ⋅ 3 4 5 , tj. D = D2 . 2 2 0 1 4 0 2 4
113
d) Přičteme-li v determinantu například k 3. řádku trojnásobek 1. řádku, pak
2 0 1
D3 = 3 2 5 = 28 + 3 + 0 − 12 − 10 − 0 = 9 = D , hodnota determinantu se nezměnila, 6 1 7
2 0 1 2 0 1 a proto 3 2 5 = 3 2 5 , tj. D = D3 . 0 1 4 6 1 7
4.3.4 Příklad (řešení příkladu 4.3.1) Vyzbrojeni větou 4.3.2 předvedeme elegantnější a hlavně rychlejší řešení příkladu 4.3.1. Řešení 1 2 −1 2 −1 3 −4 2 −1 1 5 3 −2 1 −2 2 2 −1 3 −1 2 −1 3 1 3
= ( −1)
1 +3
0 0 −1 0 0 5 0 2 3 −1 = { 3 −1 −2 −3 0 s1 + s3 0 −1 1 0 s2 +2 s3 1 s4 + 2 s3 s5 − s3 5 5 3 7 0 3 −1 −3
( −1)( −1) ( −1) 1+ 4
1 5
0 5
1 7
= {
5 0 3 −1 3 −1 −3 0 1 +3 = { ( −1 ) ( −1) 1 0 1 0 rozvoj podle 1.řádku 5 5 7 0
= { rozvoj podle 4.sloupce
( −1) (0 − 15 − 5 − 0 − 15 + 7) = 28 . 11
Sarrusovo pravidlo
4.3.5 Poznámka Postup uvedený v předešlém příkladu je často používaný při výpočtu determinantů vyšších řádů a spočívá v tom, že si podle věty 4.3.2 vytvoříme v některé vhodné řadě co nejvíce nul (pokud již tam nejsou) a podle této řady provedeme rozvoj determinantu a tím získáme determinant o řád nižší. Tento postup opakujeme, dokud neskončíme u determinantu 3. řádu, který pohodlně spočteme Sarrusovým pravidlem.
114
4.3.6 Poznámka (determinanty lišící se v jedné řadě) a)
a11 a12 a21 a22 M M cai 1 cai 2
L a1 j L a1n a11 a12 a21 a22 L a2 j L a2n O M M M M M =c L caij L cain ai 1 ai 2
M an1
M an2
M M L anj
a11 a21 M ai 1
a12 a22 M ai 2
M an1
M M M an2 L canj
O M L ann
L a1 j L a1n L a2 j L a2n O M M M L aij L ain
M M M M an1 an2 L anj
O M L ann
nebo
a11 a12 L ca1 j L a1n a21 a22 L ca2 j L a2n O M M M M M =c L caij L ain ai 1 ai 2 O M L ann
L a1 j L a1n L a2 j L a2n O M M M . L aij L ain
M M M M an1 an2 L anj
O M L ann
Společný činitel jedné řady lze vytknout před determinant, např. platí
5 27 5 27 = 3⋅ = 3 ⋅ (15 − 27) = −36 , resp. 3 9 1 3
5 27 5 3 = 9⋅ = 9 ⋅ (5 − 9) = −36 . 3 9 3 1
115
b) Pro součet dvou determinantů, které se liší v jedné řadě, platí
a11 a12 a21 a22 M M ai 1 + bi 1 ai 2 + bi 2 M an1
a11 a21 M = ai 1 M an1
a12 a22 M ai 2 M an2
M an2
L L O L M L
a1 j a1n L L a2 j a2n L L O M M M = L aij + bij L ain + bin M L
a1 j a2 j M aij M anj
L L M L O L
a11 a21 M ai 1
a12 a22 M ai 2
M anj
O L
a1n a11 a12 a2n a21 a22 M M M + ain bi 1 bi 2 M M M ann an1 an2
M ann
L a1 j L a2 j O M L bij M M L anj
L L M L O L
a1n a2n M bin M ann
nebo
L a1 j + b1 j L a1n L a2 j + b2 j L a2n O M M M = L aij + bij L ain
M M M M an1 an2 L anj + bnj
a11 a21 M ai 1
a12 a22 M ai 2
O M L ann
L a1 j L a1n a11 a12 L a2 j L a2n a21 a22 O M M M M M + L aij L ain ai 1 ai 2
M M M M an1 an2 L anj
O M L ann
L b1 j L a1n L b2 j L a2n O M M M . L bij L ain
M M M M an1 an2 L bnj
O M L ann
116
Determinant lze rozložit na součet dvou determinantů např. takto
2 0 1
2
0
1
2 0 1
2 0 1
3 2 5 = 1 + 2 0 + 2 3 + 2 = 1 0 3 + 2 2 2 = −5 + 14 = 9 0 1 4 0 1 4 0 1 4 0 1 4
nebo
2 0 1
2 0 1+0
2 0 1
2 0 0
3 2 5 = 3 2 2+3 = 3 2 2 + 3 2 3 =7+2= 9. 0 1 4 0 1 2+2 0 1 2 0 1 2
4.4 Determinant schodovité a trojúhelníkové matice 4.4.1 Věta (determinant schodovité matice) Je-li čtvercová matice schodovitá (tedy i např. trojúhelníková), pak její determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále.
4.4.2 Příklad Převodem matice na schodovitý tvar vypočteme determinant
2 2 3 2
1 4 5 2
3 1 1 1
1 0 . 5 4
117
Řešení
2 1 3 1
2 1
3
1
2
1
3
1
2 1
3
1
2 1
3
1
2 4 1 0 0 3 −2 −1 1 0 3 −2 −1 1 0 3 −2 −1 1 0 3 −2 −1 7⋅ 7 r3 = = = = = 3 5 1 5 3 5 1 5 2 6 10 2 10 2 0 7 −7 7 2 0 7 −7 7 2 2 1 4 2 2 1 4 2 2 1 4 2 2 1 4 0 1 −2 3 r2 − r1
2 70 = 20 0
1 3 1 2 3 −2 −1 r2 ↔r3 7 0 = − 1 −1 1 20 1 −2 3 0
2 r3
r3 − 3 r1
1 3 1 2 r3 −3r2 1 −1 1 r4 −r2 7 0 = − 3 −2 −1 20 1 −2 3 0
r4 − r1
1 3 1 2 1 −1 1 r4 +r3 7 0 = − 0 1 −4 20 0 −1 2 0
1
1 3 1 1 −1 1 = 0 1 −4 0 0 −2
7 = − ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ( −2) = 14 . 2
4.4.3 Poznámka a) Předešlý příklad ukazuje často užívaný postup při výpočtu determinantu vyššího řádu. b) Determinant jednotkové matice je roven 1.
4.4.4 Věta (hodnota determinantu regulární a singulární matice) Nechť A je čtvercová matice. Pak platí 1) det A ≠ 0 právě tehdy, když je matice regulární, 2) det A = 0 právě tehdy, když je matice singulární.
118
4.4.5 Příklad Rozhodněte, zda je matice
3 1 2 A = 2 1 0 5 1 6 regulární nebo singulární. Řešení
3 1 2 2 1 0 = 18 + 4 + 0 − 10 − 0 − 12 = 0 . Matice A je tudíž singulární. 5 1 6
4.4.6 Věta (determinant, hodnost matice, existence inverzní matice) Nechť A je čtvercová matice řádu n pak následující tvrzení jsou ekvivalentní
1) Řádky matice jsou lineárně nezávislé. 2) Hodnost matice A je rovna jejímu řádu n , tj. h( A ) = n . 3) K matici A existuje inverzní matice A −1 . 4) Matice A je regulární, tj. det A ≠ 0 .
4.4.7 Důsledek (další pravidla pro počítání determinantů) a) Je-li jedna řada determinantu násobkem jiné řady s ní rovnoběžné (speciálně pokud se rovnají), je determinant roven nule. b) Je-li v matici nulová řada, je determinant roven nule.
119
4.4.8 Věta (o násobení determinantů) Nechť A , B jsou čtvercové matice řádu n . Platí
det AB = det A ⋅ det B .
4.4.9 Důsledek Pro libovolné čtvercové matice A , B řádu n platí a) Je-li A regulární matice, pak det A −1 =
1 . det A
b) Součin matic AB je regulární matice, právě když jsou obě matice A , B regulární.
4.5 Determinanty a inverzní matice Inverzní matici k regulární matici lze též nalézt pomocí determinantů. 4.5.1 Definice (adjungované matice) Nechť A = ( aij ) je čtvercová matice řádu n s prvky aij determinant Aij je algebraický doplněk prvku aij a M ij je subdeterminant prvku aij . Matice
T
A11 A12 L A1n A11 A A22 L A2n A12 adj A = 21 = M M O M M An1 An2 L Ann A1n ( −1 )1+1 M11 ( −1)2+1 M21 L ( −1)1+2 M12 ( −1 )2+2 M22 L = M M O 1+ n 2+ n ( −1 ) M1n ( −1) M2n L
A21 L An1 A22 L An2 = M O M A2n L Ann n +1 ( −1) Mn1 n+2 ( −1) Mn2 M n+ n ( −1) Mnn
se nazývá adjungovaná matice k matici A .
120
4.5.2 Poznámka Laplaceova věta o rozvoji determinantu říká, že pro každý i-tý řádek platí det A = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain = ( ai 1 , ai 2 ,..., ain ) ⋅ ( Ai 1 , Ai 2 ,..., Ain ) 14 4244 3 144244 3 i-tý řádek matice A
i-tý sloupec matice adj A
a dále
a11
K a1, j −1
a1 j
a1, j +1
K a1n
K
O
K
K
K
K
ai −1,1 K ai −1, j −1 ai −1, j 0 K 0 1
K
ai +1,1 K ai +1, j −1 ai +1, j
ai −1, j +1 K ai −1,n i+ j 0 K 0 = ( −1) ⋅ 1 ⋅ Mij = Aij . ai +1, j +1 K ai +1,n
K
K
K
K
O
an ,1
K an , j −1
anj
an , j +1
K ann
K
K
Lze dokázat, že
a11 a A ⋅ adj A = 21 M an1 =
A 0 M 0
a12 a22 M an2 0 A M 0
L a1n A11 L a2n A12 ⋅ O M M L ann A1n L 0 1 L 0 0 = A ⋅ M O M L A 0
A21 A22 M A2n 0 1 M 0
L An1 L An2 = O M L Ann L L O L
0 0 = A ⋅ En , M 1
a proto
A ⋅ adj A = En ⋅ det A −1
A ⋅ A adj A = A −1 ⋅ En ⋅ det A adj A = A −1 ⋅ det A
121
4.5.3 Věta (výpočet inverzní matice) Je-li A regulární matice, pak
A −1 =
1 ⋅ adj A . det A
4.5.4 Příklad Nalezněme inverzní matici k matici
0 3 6 A = 3 4 1 . 2 5 7 Řešení Sestavíme adjungovanou matici
4 5 3 adj A = − 5 3 4
1 7
3 1 − 2 7
6 7
0 6 2 7
6 1
−
0 6 3 1
T
3 4 2 5 T 9 −21 23 −19 7 23 0 3 = − 9 −12 6 = −19 −12 18 . 2 5 6 −9 −21 18 −9 7 0 3 3 4
Vypočteme determinant matice A
0 3 6 det A = 3 4 1 = 96 − 48 − 63 = −15 2 5 7
122
a podle předešlé věty
23 9 −21 − 15 23 1 1 A −1 = ⋅ adj A = − −19 −12 18 = 19 15 det A 15 − 7 7 6 − 9 15
− 159 −
12 15 6 15
− . 21 15 18 15 9 15
4.6 Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic s regulární maticí soustavy pomocí determinantů.
Je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 ,K, xn
a11 x1 + a12 x 2 + K + a1n x n = b1 , a21 x1 + a22 x 2 + K + a2n x n = b2 , KKKKKKKKKKKK an1 x1 + an2 x 2 + K + ann x n = bn ,
Tuto soustavu umíme řešit Gaussovou eliminační metodou, a pokud matice soustavy A je regulární, pak také pomocí inverzní matice. Výše uvedenou soustavu s regulární maticí A lze v maticovém zápisu vyjádřit A ⋅ x T = bT a má právě jedno řešení ve tvaru xT = A −1 bT (viz tvrzení 3.6.1).
4.6.1 Věta (Cramerovo pravidlo) Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 ,K, xn . Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, které má pro libovolné j = 1,K , n tvar
xj =
det A j det A
, ( ∀ j ∈{1,K , n} ) ,
123
kde A j je matice, která vznikne z matice soustavy A nahrazením j-tého sloupce sloupcem pravých stran bT .
4.6.2 Příklad Řešte Cramerovým pravidlem soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých
x1 + 4 x 2 + x3 = 3,
3x1 − x2 − x3 = 1, 2x1 + x 2 + 2x3 = 6.
Řešení Nejprve vypočteme determinant matice soustavy.
1
4
1
det A = 3 −1 −1 = −2 + 3 − 8 + 2 + 1 − 24 = −28 ≠ 0 . 2 1 2
Matice soustavy je tedy regulární a můžeme použít Cramerovo pravidlo.
3 4 1 1 3 1 1 4 3 1 1 1 x1 = − 1 −1 −1 = 1, x2 = − 3 1 −1 = 0, x3 = − 3 −1 1 = 2 . 28 28 28 6 1 2 2 6 2 2 1 6
4.6.3 Poznámka Hlavní význam Cramerova pravidla je v tom, že umožňuje explicitně vyjádřit řešení soustavy pomocí prvků rozšířené matice soustavy a dále můžeme určit libovolnou neznámou nezávisle na ostatních neznámých soustavy. Pro určení většího počtu neznámých však Cramerovo pravidlo není příliš výhodné.
124
STUDIJNÍ MATERIÁLY
[1]
BUBENÍK UBENÍK, F. a O. ZINDULKA, ZINDULKA 2005. Matematika 1. 1. 1. vyd. Praha: ČVUT, 159 stran. ISBN
978-80--0103-309-8 8.
[2]
CHARVÁT, J., J., V. KELAR a Z. ŠIBRAVA, ŠIBRAVA 2005. MATEMATIKA 1: Sbírka příkladů příkladů.. 1. vyd.
Praha: ČVUT, 163 stran. ISBN 80-01-03323 80 03323-6.
[3]
KAŇKA, M., M., 2009. Sbírka řešených řešených příkladů z matematiky: pro studenty vysokých škol. škol
1. vyd.. Praha: Ekopress, 298 stran tran. ISBN 978-80-86929 978 86929-53-8.
[4]
KAŇKA M., J. COUFAL KAŇKA, OUFAL a J. KLŮFA, LŮFA, 2007. Učebnice matematiky pro ekonomy ekonomy.. 1. vyd.
Praha: Ekopress, 198 stran. ISBN 978-80978 -86929-24-8. 8.
[5]
MOUČKA, J. a P. RÁDL, 2010. Matematika pro studenty ekonomie. ekonomie. 1. vyd. Praha: Grada,
272 stran. ISBN 978-80-247-3260 978 3260-2.
OTÁZKY A ÚKOLY Příklady v textu kapitoly.
KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK viz. text
125
Použitá a doporučená literatura [1]
BUBENÍK, F. a O. ZINDULKA, 2005. Matematika 1. 1. vyd. Praha: ČVUT, 159 stran. ISBN
978-80-0103-309-8.
[2]
CHARVÁT, J., V. KELAR a Z. ŠIBRAVA, 2005. MATEMATIKA 1: Sbírka příkladů. 1. vyd.
Praha: ČVUT, 163 stran. ISBN 80-01-03323-6.
[3]
KAŇKA, M., 2009. Sbírka řešených příkladů z matematiky: pro studenty vysokých škol.
1. vyd. Praha: Ekopress, 298 stran. ISBN 978-80-86929-53-8.
[ 4]
KAŇKA, M., J. COUFAL a J. KLŮFA, 2007. Učebnice matematiky pro ekonomy. 1. vyd.
Praha: Ekopress, 198 stran. ISBN 978-80-86929-24-8.
[5]
MOUČKA, J. a P. RÁDL, 2010. Matematika pro studenty ekonomie. 1. vyd. Praha: Grada,
272 stran. ISBN 978-80-247-3260-2.
126
