Fyzika plazmatu. Přednášející: Prof. RNDr. Jaroslav Vlček, CSc

Fyzika plazmatu

Přednášející: Prof. RNDr. Jaroslav Vlček, CSc.

Fyzika plazmatu

1. 2. 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.4. 3. 3.1. 3.2.

3.3. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

2004

Úvod (výskyt plazmatu na Zemi a ve vesmíru, význam fyziky plazmatu pro rozvoj plazmových technologií) Elementární procesy v plazmatu Základní částice plazmatu (základní charakteristika, vnitřní struktura atomů a molekul, excitované stavy a jejich popis) Srážkové procesy Základní charakteristiky srážek (účinný průřez, rychlost procesu, srážková frekvence, střední volná dráha, obecná formule pro rychlost procesu a její zjednodušení) Přenos energie při binárních srážkách (pružné a nepružné srážky) Srážky nabitých částic (účinný průřez pro přenos hybnosti) Nepružné srážky (nepružné srážky elektron-těžká částice, účinné průřezy, nepružné srážky těžkých částic) Záření plazmatu Popis radiačních procesů (spektrální hustota toku záření, diferenciální rychlost procesu mezi fotony a látkovými částicemi) Základní typy interakce foton-látková částice (čárové a spojité spektrum, fotoexcitace, Einsteinovy koeficienty, fotoionizace) Rozšíření spektrálních čar (přirozené rozšíření čar, rozšíření tlakem, starkovské a dopplerovské rozšíření, využití v diagnostice plazmatu) Opticky tenké a tlusté plazma (charakteristika, optické únikové faktory) Vztahy platné v termodynamické rovnováze (Boltzmannův vztah, Sahova rovnice, využití v diagnostice plazmatu, Maxwellovo rozdělení, Planckův zákon, lokální termodynamická rovnováha, princip detailní rovnováhy a jeho aplikace) Rozdělovací funkce částic a zákony zachování Boltzmanova rovnice (formulace, srážkový člen) Zákony zachování (obecná formule pro rovnici kontinuity, zákon zachování energie, rovnice pro energii elektronů v neizotermickém plazmatu, rovnice pro rozložení teplot ve stacionárním DC výboji, rovnice kontinuity pro elektrony, tok elektronů ve výboji, rovnice pro difúzi, difúze v cylindrickém systému, ambipolární difúze) Srážkově-radiační model atomárního plazmatu (výchozí rovnice a jejich zjednodušení, uvažované procesy a jejich rychlostní koeficienty, tvar bilančních rovnic a jejich řešení, interpretace výsledných vztahů) Základní makroskopické charakteristiky plazmatu Kvazineutralita plazmatu a Debyeův poloměr stínění (Poissonova rovnice a její řešení) Oblast prostorového náboje na rozhraní plazma-pevná látka (potenciál plovoucí elektrody, tloušťka vrstvy prostorového náboje) Doba odezvy plazmatu a plazmová frekvence (rovnice pro oscilaci elektronů v plazmatu a její řešení, souvislost plazmové frekvence z Debyeova poloměru) Sondová diagnostika plazmatu (metoda jedné sondy, měřící obvod, Langmuirova teorie, plovoucí potenciál a potenciál plazmatu, teoretické stanovení V-A charakteristiky, způsob stanovení teploty a koncentrace elektronů) Šíření elektromagnetických vln v plazmatu (Maxwellova rovnice pro elmag. pole v plazmatu, rovnice r r pro E a J , disperzní vztah, elmag vlnění v bezesrážkovém plazmatu, vliv srážek, způsob stanovení koncentrace elektronů a střední frekvence srážek elektronů s těžkými částicemi)

Strana 1

Fyzika plazmatu

1.Úvod Výskyt plazmatu na Zemi a ve vesmíru Plazma jako stav hmoty znám lidem od nepaměti: Empedoklés (430 př. n. l.): vše je tvořeno čtyřmi živly – země, voda, vzduch a oheň Crookes (r. 1879): prostředí vytvořené elektrickým výbojem je čtvrtým stavem hmoty Langmuir (r 1923): prostředí tvořené elektrony, několika druhy iontů a neutrálními atomy a molekulami = plazma Výskyt plazmatu ve vesmíru: 99% hmoty ve vesmíru je v plazmatickém stavu (všechny hvězdy včetně Slunce jsou masami vysokoteplotního plazmatu, mezihvězdný prostor a hvězdné mlhoviny jsou v plazmatickém stavu) ⇒ Crookes neměl pravdu: plazma není čtvrtým, ale prvním stavem hmoty Pozn.: Možný vznik života na Zemi – plazmochemickými reakcemi ve výbojích v atmosféře (bouře) - výzkum ukázal, že za atmosférických podmínek lze jiskrovým a následným tichým výbojem ve směsi CH4, NH3, H2 a vodních par syntetizovat aminokyseliny, nukleové kyseliny a jiné organické sloučeniny (uvedená směs se mohla vyskytovat na Zemi v prvních fázích jejího vývoje) Význam fyziky plazmatu pro rozvoj plazmových technologií Mimořádný význam plazmových technologií pro průmysl v USA, Japonsku a v zemích EU (mimořádné zisky a investice) 5 hlavních oblastí: Úprava materiálů, zejména jejich povrchů, a změny látek v nízkotlakém plazmatu (LPP = low-pressure (i) plazma processing) Obvykle: doutnavé DC, RF a mikrovlnné výboje za tlaku ≤ 1Torr - depozice tenkých vrstev požadovaných vlastností (tvrdé, otěruvzdorné, odolné proti korozi, optické vlastnosti, atd.), plazmové leptání – mikroelektronika, plazmové modifikace povrchů (např. difúze dusíku do oceli ⇒ vznik tvrdých nitridů Fe), preparativní chemie – syntéze O3, NH3, snížení obsahu SOx a NOx ve spalinách motorů, atd. Úprava materiálů a změny látek ve vysokotlakém plazmatu (HPP = high-pressure plasma processing) (ii) Obvykle: obloukové výboje za atmosférického tlaku (často tryska do atmosféry) - metalurgie: svařování a řezání materiálu, zpracování šrotu, tavení rud, znovuzískání kovů z odpadu, vysokoteplotní chemie – např. výroba acetylénu ze zemního plynu, detoxikace PCB, DDT a Dioxinu plazmovou pyrolýzou, plazmový nástřik nových materiálů (odolné keramické nebo kovokeramické vrstvy), atd. Nové zdroje světla (iii) - lasery a vysoce účinné výbojové lampy (nízkotlaké: Na a Hg, vysokotlaké) Vypínače „vysokovýkonových“ obvodů (elektrárny) (iv) - okamžité přerušení elektrických obvodů při napětí až několik MV a proudech až stovky kA: plazma obloukového výboje Pulzní zdroje o velmi vysokém výkonu (v) - opakované nahromadění obrovské energie kapacitní nebo induktivní vazbou, její rychlé jednorázové přenesení - využití pro nukleární fúzi, intenzivní elektronové a iontové svazky k ovlivnění povrchů materiálů, v medicíně, sterilizace jídla – elektronový svazek, iontová implantace, realizace některých unikátních chemických reakcí, rozklad NOx a SOx na výstupu tepelných elektráren

2. Elementární procesy v plazmatu 2.1. základní částice plazmatu - v částečně ionizovaných plynech se vyskytuje 5 typů částic (i) Foton – nemá vnitřní strukturu, nabývá libovolných energií ε = hν ,

h…Planckova konstanta ν…frekvence fotonu (ii) Elektron – nemá vnitřní strukturu, energie volného elektronu závisí jen na jeho translační rychlosti 1 ε = mev 2 (nerelativistický případ) 2 (iii) Atom nebo molekula (v základním nebo excitovaném stavu) - elektronová excitace v atomu nebo v molekule (taková molekula je tvořena atomy, z nichž alespoň u jednoho byl elektron vybuzen ze základního stavu) - molekula s vybuzenými vibračními stavy (vibrační energie odpovídá oscilacím jader atomů vzhledem k rovnovážné poloze)

2004

Strana 2

Fyzika plazmatu

- molekula s vybuzenými rotačními stavy (rotační energie odpovídá otáčení molekuly kolem osy jdoucí jejím těžištěm) Pozn.: Tzv. jednoelektronová excitace víceelektronových systému je mnohem pravděpodobnější, než dvouelektronová excitace (v jednom atomu vybuzeny současně 2 elektrony), atd. (iv) Kladný iont (atomový nebo molekulární) - může být jednou i vícekrát ionizovaný (viz např. výskyt iontů Fe25+, Fe24+, atd. jako nečistot v systémech pro termonukleární syntézu – vznikají intenzivním bombardováním stěn z nerezové oceli) - může být v základním nebo v excitovaném stavu (elektronová excitace atomárních i molekulárních iontů, molekulární ionty s vybuzenými vibračními a rotačními stavy) (v) Záporný iont (atomový nebo molekulární) - vzniká zachycením elektronu některými atomy nebo molekulami (soustava energetických hladin je tvořena pouze základní hladinou a hranicí kontinua – vzdálenost mezi nimi určuje tzv. elektronová afinita: dodání takové energie vede k uvolnění elektronu od atomu nebo molekuly) Vnitřní struktura atomů (viz. cvič. 1-2) Zjednodušený energetický diagram atomu (vodíkovský model)

εij – excitační energie pro přechod elektronu i → j εi – ionizační energie pro i-tou energetickou hladinu gi – statistická váha i-té hladiny kontinuum – oblast nad ionizační energií zákl. hladiny ε1, kde již elektron není vázán v atomu; vzniká volný elektron a iont, které mohou mít vůči sobě libovolnou energii v závislosti na vzájemné dodané kinetické energii ⇒ název „energetické“ kontinuum Pozn.: V KM při stanovení energetického spektra je obvykle hranice kontinua, resp. hrana série, ztotožněna s nulovou energií, potom základní hladina má „nejzápornější“ hodnotu energie – elektron je v tomto případě nejsilněji vázán k jádru, tj. v atomu Metastabilní stavy - vybuzený elektron v atomu, tj. vybuzený atom, spontánně přechází za typickou dobu 10-8s (viz. souvislost s Ekoeficienty) do nižšího energetického stavu, při tom vyzáří foton - metastabilním stavem nazveme takový stav elektronu v atomu, ze kterého jsou optické přechody elektronu zakázány (viz. výběrová pravidla cvič. 1-2), a pravděpodobnost přechodu je tudíž velmi nízká ⇒ doba života takového stavu je 10-3s a více Pozn.: Metastabilní atomy ztrácejí svou energii srážkami s elektrony, s jinými atomy a molekulami nebo se stěnami reakčních komor, jde o důležité „zdroje“ energie: význam nejen pro interakce v plazmatu, ale i pro interakci plazma-pevná látka (modifikace povrchů materiálů) Platí:

2004

Strana 3

Fyzika plazmatu

Některé údaje o struktuře atomů Atomové Element Atomová číslo Z hmotnost

Excitační energie 1.excitované hladiny ε12 (eV) 10.2 19.8

Ionizační energie zákl. stavu (tzv. první ioniz. potenciál) ε1 (eV) 13.6 24.6

1 H 1.008 2 He 4.003 : 6 C 12.010 1.26 11.3 7 N 14.010 2.38 14.6 : 11 Na 23.0 2.10 5.14 : 18 Ar 39.94 11.6 15.8 : 26 Fe 55.85 0.859 7.90 : 80 Hg 200.6 4.67 10.4 Pozn.: Velikost excitační a ionizační energie Střední kinetická energie částic v plazmatu je definována vztahem: 3 ε = kT T …obecně tzv. kinetická teplota částic 2 - o teplotě částic lze (přesně vzato) hovořit pouze v termodynamické rovnováze, kdy jsou teploty všech částic stejné; mimo termodynamickou rovnováhu – což je typická situace pro téměř všechny výboje využívané v plazmových technologiích – je kinetická teplota elektronů Te ≥ Ta kinetická teplota atomů (často Te >> Ta v důsledku urychlení elektronů elektrickým polem) Míra energie částic je charakterizována faktorem: 1.38 × 10 −23 T [K ] [eV ] K −1 kT = 1.38 × 10 −23 JK −1 × T [K ] = T [K ][eV ] K −1 = 11609 1.602 × 10 −19 …tj. částice musí mít teplotu 11609 K, aby faktor kT = 1eV ⇒ střední kin. energie jedné částice bude ε = 1.5 eV : tato hodnota je výrazně nižší než ε12 a ε1 pro mnoho atomů (viz zejména vodík a inertní plyny), přesto dochází k jejich excitaci a ionizaci srážkami s částicemi z chvostu jejich rozdělení podle rychlosti, resp. energie - v případě doutnavých výbojů za nízkých tlaků (p ≅ 10-3 ÷ Torr) je plazma výrazně neizotermické: Te ≅ 10 000 ÷ 50 000K >> Ta ≅ 300 ÷ 350K - v případě obloukových výbojů za atmosférického tlaku (p = 760 Torr) je plazma kvaziizotermické: Te ≥ Ta = 2 000 ÷ 20 000K Vnitřní struktura molekul - významnou roli v teorii molekul sehrává fakt, že me << m j ⇒ v e >>v j

[

]

[ ]

[ ]

mj…hmotnost jader atomů tvořících molekulu ve…rychlost pohybu elektronů v molekule vj…rychlost pohybu jader

⇒ je uplatněn následující postup: ƒ jádra jsou považována za zcela nehybná ƒ pro různou vzdálenost jader v molekule jsou stanoveny možné hodnoty celkové energie elektronů v molekule, tzv. elektronové termy (elektronově excitované stavy) - případ atomů: energetické hladiny elektronů jsou charakterizovány množinou hodnot energie - případ molekul: elektronové termy jsou charakterizovány závislostí Eel = Eel (r ) Eel – celková energie molekuly pro danou vzdálenost nehybných jader r = celková energie soustavy elektronů + energie elstat. působení jader mezi sebou Pozn.: pro každou kombinaci excitovaných atomů tvořících molekulu (viz. např. atom v zákl. stavu + atom v zákl. stavu, resp. atom v zákl. stavu + atom v různých excitovaných stavech) dostáváme jinou závislost Eel = Eel (r) – viz diagram N2 Označení elektronově excitovaných stavů (termů) dvouatomové molekuly - v případě atomů byly excitované stavy charakterizovány hodnotou kvantového čísla L určujícího celkový orbitální moment hybnosti elektronů - v případě molekul jsou elektronově excitované stavy charakterizovány hodnotou kvantového čísla Λ určujícího průmět orbitálního momentu hybnosti elektronů do osy symetrie molekuly (spojnice obou jader)

2004

Strana 4

Fyzika plazmatu

Platí analogie: ATOM ↔ MOLEKULA kvantové číslo stav kvantové číslo stav L=0 S Λ=0 Σ L=1 P Λ=1 Π L=2 D Λ=2 ∆ výše ležící stavy molekuly nejsou obvykle zkoumány - násobnost elektronového termu molekuly je dána stejným vztahem jako v případě atomů: 2S+1, kde S celkový spin všech elektronů v molekule 2S +1 Λ př.: Λ=1, S=1 ⇒ 3Π (tripletní term) - označení elektronového termu molekuly: Pozn.: Další symboly (+ nebo – v horním indexu Σ-termů, resp. g nebo u v dolním indexu všech termů dvouatomové molekuly se stejnými atomy) souvisejí s geometrickou symetrií molekuly, která se projeví v symetrii vlnové funkce Platí: [Laudan, Lifšic: Kvantovaja mechanika, Nauka, Moskva 1974] Σ+ - term popsaný vlnovou funkcí, která nezmění znaménko při odrazu v rovině jdoucí osou symetrie Σ- - term popsaný vlnovou funkcí, která změní znaménko při odrazu v rovině jdoucí osou symetrie molekuly - odraz v rovině jdoucí osou symetrie nemůže vést k jiné energii molekuly V dolním indexu symbolu termu vystupuje: g – pokud nedojde ke změně znaménka vlnové funkce při změně znaménka souřadnic všech elektronů, tzv. sudý term u – pokud dojde ke změně znaménka vlnové funkce při změně znaménka souřadnic všech elektronů, tzv. lichý term - hamiltonián systému se nemůže změnit při změně znaménka souřadnic všech elektronů při konstantních souřadnicích jader, neboť dvouatomová molekula se stejnými atomy má střed symetrie (= počátek souřadného systému) Základní stav naprosté většiny dvouatomových molekul (chemicky stabilních): 1 + Σ , neboť S = 0 (celkový spin molekuly – celkově sudý počet elektronů) a vlnová funkce se nemění při odrazu 1 + Σ g , když oba atomy jsou stejné (platí totéž), navíc: g – vlnová fce nezávisí na změně znaménka

souřadnic elektronů) Základní elektronový term molekuly H2, resp. N2, atd.

Σu+ - pro tripletní stav energie Eel monotónně klesá s růstem vzdálenosti r, což odpovídá odpuzování obou atomů, hovoříme o tzv. repulsivním stavu molekuly, ⇒ disociace molekuly (systém zaujímá stav s nejnižší energií) 1 + Σ g - singletní elektronový term odpovídá vytvoření stabilní molekuly – viz. výrazné minimum pro 3

rovnovážnou vzdálenost jader r = r0 Vibrační a rotační stavy (viz cvič. 3-4) - platnost vztahu me << mj dává možnost počítat celkovou energii molekuly (včetně vibračního a rotačního pohybu) ve dvou krocích (i) nejprve stanovit celkovou energii soustavy elektronů pro nehybná jádra v závislosti na vzájemné vzdálenosti jader, tj. funkci Eel = Eel (r) pro různé elektronově excitované stavy (ii) potom pro daný elektronový stav započítat pohyb jader (vzájemná vibrace jader a rotace kolem osy jdoucí hmotným středem molekuly)

2004

Strana 5

Fyzika plazmatu

Platí: E = Eel + Evib + Erot

Platí: (viz cvič. 3-4) ∆Eel >> ∆Evib >> ∆Erot

E…celková energie molekuly Eel…celková energie elektronů (včetně coulombické interakce jader) pro rovnovážnou vzdálenost jader Evib…vibrační energie molekuly (je kvantována) Erot…rotační energie molekuly (je kvantována)

∆Eel…interval mezi elektronově excitovanými stavy jedné molekuly ∆Evib…interval mezi vibračními stavy, které odpovídají danému elektronově excitovanému stavu ∆Erot…interval mezi rotačními stavy, které odpovídají danému elektronově excitovanému stavu ⇒ vibrační pohyb jader štěpí elektronové termy na poměrně blízko ležící hladiny, tyto hladiny jsou dále jemně rozštěpeny v důsledku rotačního pohybu molekuly Pozn. Metastabilní stavy - také v případě molekul vznikají excitované stavy s dlouhou dobou života (deexcitace je zakázána výběrovými pravidly), tzv. metastabilní stavy molekuly; vliv na průběh srážek v plazmatu, plazmochemických procesů a interakce plazma–pevná látka Excitace, ionizace a disociace molekul

Platí:

A2 - molekula s oběma atomy A v základním stavu, tj. jejich elektrony nejsou vybuzeny A2* - molekula tvořená jedním atomem v základním stavu A a jedním atomem v excitovaném stavu A* A2+ - molekulární iont tvořený jedním atomárním iontem v základním stavu A+ a jedním atomem v základním stavu A ε dis - energie pro tepelnou disociaci molekuly, molekula se rozloží na atomy přes vibrační stavy (disociační energii odpovídá vibrační kvantové číslo v ′ → ∞ ) Křivka b : disociace molekuly A2 v důsledku její srážky s elektronem – excitace molekuly ze základního stavu na křivku Eel = Eel (r), která odpovídá nestabilnímu řešení, tj. vede k disociaci (pro molekulu je výhodné zaujmout stav s nejnižší energií) ε ion - ionizační energie molekuly (odpovídá energetickému rozdílu mezi stavy v ′ = 0

Křivka a : ionizace molekuly v důsledku její srážky s elektronem, nezbytná energie nemusí být nutně rovna εion (posun minim) Křivka c : excitace molekuly po srážce s elektronem

2004

Strana 6

Fyzika plazmatu

Tepelná disociace a disociace dopadem elektronu DISOCIAČNÍ ENERGIE (eV) Molekula Tepelná Dopadem elektronu 4.476 8.8 H2 N2 9.760 24.3 5.080 7.0 O2 NO 6.48 >10.0 Ionizační energie některých molekul Molekula Ionizační energie (eV) 15.427 H2 N2 15.576 12.063 O2 NO2 9.78 10.19 NH3 12.704 CH4

2004

Strana 7

Fyzika plazmatu

2.2. Srážkové procesy 2.2.1. Základní charakteristiky srážek Účinný průřez Svazek nalétávajících částic 1

Terčová částice 2

Platí: Γ1 = n1g , kde

n1 – objemová koncentrace nalétávajících částic g – relativní rychlost nalétávajících částic vzhledem k terčovým částicím Γ1 – intenzita svazku = plošná hustota toku dopadajících částic (počet nalétávajících částic, které projdou za 1s jednotkovou plochou kolmou na směr svazku)

Platí: tot (g ) = Q12

Pozn.:

X , kde X je počet dopadajících částic, které se za 1s srazí s terčovou částicí Γ1

tot (g ) - celkový účinný průřez pro srážku nalétávající částice 1 s terčovou částicí 2 Q12 (i) rozměr účinného průřezu: , tj. účinný průřez je efektivní plocha „překážky“, kterou představuje s −1 tot = −3 −1 = m 2 terčová částice pro svazek nalétávajících částic – charakterizuje Q12 m ms pravděpodobnost interakce (ii) celkový účinný průřez je atomovou veličinou, která závisí pouze: ƒ na typu interagujících částic – pro různé částice v různých stavech registrujeme odlišnou pravděpodobnost různých procesů ƒ na jejich vzájemné rychlosti

[ ]

tot el inel Platí: Q12 = Q12 + ΣQ12 el Q12 …účinný průřez pro pružnou srážku částic 1a 2 (nedochází ke změně vnitřní energie částic) inel ΣQ12 …suma účinných průřezů pro všechny nepružné srážky 1 a 2 (př. nepružné srážky – excitace částice 2: m→n, kde m charakterizuje jednotlivé energetické hladiny částice 2) → při definici jednotlivých „dílčích“ účinných průřezů je nutno příslušný proces charakterizovat v čitateli definičního výrazu

Diferenciální účinný průřez

Platí: Q12 =

∫I

12

(χ ,ϕ )dΩ

…diferenciální účinný

4π

průřez pro rozptyl částice 1 po srážce s částicí 2 do tělesového úhlu dΩ = sin χdχdϕ (viz. r 2dΩ = r 2 sin χdχdϕ ) π

- za předpokladu azimutální symetrie lze provést integraci přes úhel ϕ ∈ 0,2π : Q12 = 2π I12 (χ ) sin χdχ

∫ 0

2004

Strana 8

Fyzika plazmatu

Účinný průřez pro přenos hybnosti

r r Platí: g ′ = g , neboť při pružné

srážce se zachovává celková hybnost a celková kinetická energie

Platí (pro 1 částici): m1g − m1g cos χ = m1g (1 − cos χ ) 144 42444 3 pokles z - ové složky hybnosti částice (z - směr původního pohybu)

Platí (pro n částic): celkové zmenšení z - ové složky hybnosti

všech částic za 1s 64 444447444444 8 el m1g (1 − cos χ ) Γ1I12 (χ , ϕ )dΩ = 14 4244 3

∫

4π

počet dopadající ch částic, které jsou za 1s pružnou srážkou rozptýleny do elementárn ího úhlu dΩ

m1gΓ1 123

∫ (1 − cos χ )I

el 12

(χ ,ϕ )dΩ

hustota toku hybnosti 4π ve svazku dopadající ch částic (hybnost částic svazku, které projdou za 1s jedn. plochou)

S ohledem na definici účinného průřezu lze psát: (1) (g ) = Q12

∫ (1 − cos χ )I

el 12

(χ ,ϕ )dΩ ..účinný průřez pro přenos hybnosti

4π

Rychlost procesu Předpoklady: (i) Pro jednoduchost zatím předpokládáme, že vzájemná rychlost všech interagujících částic je konstantní (nerealistický předpoklad – později opuštěn) (ii) Zvolíme jednu částici jako terčovou, ionizovaný plyn budeme považovat za superpozici elementárních svazků nalétávajících částic o nekonečně malé intenzitě dΓ Platí: dΓ1 = g ⋅ dn1 dΓ1…hustota toku částic ve svazku (mají týž směr rychlosti) – diferenciální hustota toku nalétávajících částic dn1…objemová koncentrace nalétávajících částic, které mají týž směr rychlosti Po sumaci přes všechny svazky: n g Q počet nalétávaj ících částic, které za 1s interagují s jednou terčovou částicí 1 12 { Γ1 Po vynásobení objemovou koncentrací terčových částic n2 dostáváme: R12 = n1n2gQ12 …celková rychlost procesu (celkový počet srážek mezi nalétávajícími a terčovými částicemi v jednotce objemu za 1s) Rychlost vybraného procesu p: p p (g ) R12 = n1n2gQ12

2004

Q12…účinný průřez pro p-tý proces

Strana 9

Fyzika plazmatu

Srážková frekvence R Platí: ν 12 = 12 = n2gQ12 (g ) n1 ν12…celková frekvence srážek = počet všech srážek jedné nalétávající částice za 1s se všemi terčovými částicemi p p (g ) = n2gQ12 Pro jednotlivé procesy platí: ν 12 1 1 (g ) Příklad frekvence srážek s přenosem hybnosti: ν 12 = n2gQ12

Platí: ν 1 =

∑ν

1s

=

s

∑ n gQ s

1s

…celková frekv. srážek dopadajících částic s terčovými částicemi různého typu

s

Střední volná dráha 1 l1 = g ⋅ …kde l1 je střední volná dráha = střední dráha nalétávající částice mezi dvěma po sobě Platí:

ν1

jdoucími srážkami 1 …střední doba mezi dvěma srážkami nalétávající a terčové částice

ν1

Po dosazení:

l1 = g

1

g

∑n Q

1s

s

s

Pozn.:

=

1

∑n Q s

1s

s

Jsou-li terčovými částicemi neutrální částice, l1 ~

1 , neboť p ~ ns (viz. Daltonův zákon) p

Obecný výraz pro rychlost procesů - budeme uvažovat skutečné rozdělení částic podle rychlosti (viz. bod (i) výše) Platí: r r r dΓ1 = C − W n1f1 C d 3C

()

dΓ1 …diferenciální hustota toku nalétávajících částic r r C − W …okamžitá velikost rel. rychlosti nalétávající a terčové částice r W ...rychlost terčové částice r dn1 = n1f1 C d 3C …objemová koncentrace částic ve svazku, které mají rychlost v r r r intervalu C, C + dC r f1 C d 3C …pravděpodobnost, že nalétávající částice má v daném čase v daném místě rychlost r r r v intervalu C, C + dC Normovací podmínka pro rozdělovací funkci: +∞ r f1 C d 3C = 1 …celková pravděpodobnost výskytu částice 1 v rychlostním prostoru

()

() (

(

)

)

∫ ()

−∞

Platí:

)

(

()

( )

r r r p r r p dR12 = n1f1 C d 3C C − W Q12 C −W 1444442444443

r n2f2 W d 3W 142 4 43 4

počet terčových částic počet dopadající ch částic v elementárn ím svazku, v jednotce objemu, které které interagují za 1s s jednou terčovou částicí mají r rrychlost r v intervalu W ,W + dW

(

)

…diferenciální rychlost procesu p = počet procesů za 1s v jednotce objemu mezi nalétávajícími r r r r r r částicemi s rychlostmi C, C + dC a terčovými částicemi s rychlostmi W ,W + dW Po integraci: +∞ +∞ r r r r p r r 3 3 p R12 = n1n2 f1 C f2 W C − W Q12 C − W d Cd W

(

∫∫ ( ) ( )

(

)

(

)

)

−∞−∞

144444444244444444 3 tzv. rychlostní integrál

Pozn.: (i) Rychlostní integrál vyjadřuje střední hodnotu veličiny gQ12, která charakterizuje pravděpodobnost procesu

2004

Strana 10

Fyzika plazmatu

(ii) V případě procesů s prahovou energií (viz excitace, ionizace, atd.) je integrál nenulový pouze tam, p kde Q12 ≠0 Důležitý případ z hlediska modelování výbojového plazmatu: r r Často platí: W << C , viz. srážky elektronů s těžkými částicemi (me<<mh.p.) Potom lze psát: r r g = C ≡C r r r p p p (C ) Q12 C − W = Q12 C = Q12

)

(

( )

…tj. účinný průřez pro daný proces závisí pouze na rychlosti nalétávajících částic Po dosazení:

∫ ()

+∞

R = n1n2 p 12

∫ ( )

+∞

r p (C )d 3C f1 C CQ12

−∞

r f2 W d 3W

−∞

142 4 43 4

1 (viz normovací podmínka)

Dostáváme formuli pro rychlost procesu: +∞ r p p (C )d 3C , tj. rychlost procesu závisí na objemových koncentracích interagujících R12 = n1n2 f1 C CQ12

∫ ()

−∞

částic, na účinném průřezu srážky a na rozdělovací funkci nalétávajících částic 2.2.2. Přenos energie při binárních srážkách (cvič. č. 6) (i) Pružné srážky (ii) nepružné srážky 2.2.3. Srážky nabitých částic Případ pružných srážek dvou nabitých částic: (i) Výhoda oproti popisu srážek nenabitých částic - známe přesný výraz pro diferenciální účinný průřez pro rozptyl (Rutherfordova formule) – důsledek využití C-zákona: Ze 2 2 (b 2) 4πε 0 χ b I (χ , g ) = 0 , kde tg = 0 , b0 = 2 4 χ 2 b m 12 g sin 2 m12…redukovaná hmotnost obou částic b0…záměrná vzdálenost nalétávající částice pro její rozptyl pod úhlem 90° (χ = 90°, potom b = b0, viz tangens) I(χ,g) je největší pro χ→0, kdy b >> b0 (viz. tg

χ 2

)

Pozn.: Platí:

m12 =

m1m2 g2 ; lze ukázat, že ε = m12 je kinetická energie vzájemného pohybu obou částic; g je m1 + m2 2

vzájemná rychlost obou částic (ii) Problém vznikne při výpočtu účinného průřezu pro přenos hybnosti při takové srážce (důležitá veličina pro popis chování nabitých částic v plazmatu, zejména při stanovení jejich rozdělovacích funkcí podle energie) Po dosazení do výchozí formule: Q (g ) = 2π 1 12

π

∫

( ) (1 − cos χ )

b0 2 2 4 χ 2

sin

0

Platí: cos χ = cos2

2004

χ 2

− sin2

χ 2

sin χdχ

= 1 − 2 sin2

χ 2

⇒ 1 − cos χ = 2 sin2

χ 2

Strana 11

Fyzika plazmatu

Po dosazení:

( )

π

1 (g ) = 2π 2 sin2 Q12

∫

χ 2

0

b0 2 2 4 χ 2

sin

χ

χ

2 sin 2 cos 2 dχ

χ

χ

substituce : sin 2 = t ⇒ cos 2 ⋅

1 dχ = dt 2

Po dosazení: Q (g ) = 4πb 1 12

2 0

1

1

∫ t dt = 4πb

2 0

ln

0

1 → +∞ , tj. integrál diverguje!! 0

Fyzikální objasnění: Divergence integrálu je způsobena silnou tendencí částic k rozptylu pod velmi malými úhly; efektivní plocha překážky, kterou představuje terčová částice pro svazek nalétávajících částic (viz fyzikální význam účinného průřezu), se jeví nekonečně velká, neboť díky coulombické interakci „na dlouhou vzdálenost“ (viz U pot ~ 1 r ) interagují s terčovou částicí současně prakticky všechny částice. Řešení problému Později bude ukázáno, že pole bodového náboje q je vždy v plazmatu stíněno náboji opačné polarity, lze psát: q ϕ (r ) = e − 2r / λ …potenciál ve vzdálenosti r od náboje q 4πε 0 r D

1 2

⎛ ε kT ⎞ λD = ⎜⎜ 0 2e ⎟⎟ …Debyeův poloměr stínění – charakterizuje rozměr oblasti, v níž je narušena ⎝ nee ⎠ kvazineutralita Te…teplota elektronů ne…koncentrace elektronů

Podmínka platnosti modelu (splněna prakticky vždy): 4 ND = πλ3D ne >> 1 …počet elektronů v debyeovské kouli – musí být dostatečný, abychom mohli 3 hovořit o kolektivním chování nabitých částic, které vede ke stínění náboje opačné polarity Pozn.: Ve výrazu pro ND vystupuje koncentrace elektronů, přestože stínění záporného náboje je prováděno kladnými ionty; mimo D-kouli totiž platí podmínka kvazineutrality plazmatu: ne = ni ni…objemová koncentrace iontů ( ni+ >> ni+ + , atd.) V první aproximaci lze psát: Pozn.: Dostaneme stejný výsledek jako při těžkopádném postupu se stíněným potenciálem Ze ϕ (r ) = pro r ≤ λD ⇒ b ≤ bmax = λD 4πε 0 r Platí: I (χ , g ) ≠ 0 (viz formule výše), tj. tg

χ min 2

=

b0 bmax

b0 << 1 , aby χmin bylo co nejmenší, tj. abychom neignorovali rozptyl do velmi malých úhlů bmax (automaticky zaplněno, když ND>>1) ϕ (r ) = 0 pro r > λD ⇒ pro b > bmax = λD

Pozn.: Musí být

Platí: I (χ , g ) = 0 , tj. žádný rozptyl

Po dosazení (viz výše): 1 (g ) = 2π Q12

π

∫

(1 − cos χ )

χ min π

= 2πb02

∫

χ min

2004

cos χ2 sin χ2

( )

b0 2 2 4 χ 2

sin

π

sin χdχ = 2π

∫

χ min

2 sin2

χ 2

( )

b0 2 2 4 χ 2

sin

χ

χ

2 sin 2 cos 2 dχ =

dχ

Strana 12

Fyzika plazmatu

Substituce: χ = π − 2θ , tj.

χ 2

=

π 2

− θ ⇒ dχ = −2dθ

Po dosazení: 1 (g ) = 4πb02 Q12

θ max

∫ 0

sin θdθ = −4πb02 ln cos θmax cos θ

Platí (snaha vyjádřit názorněji cosθmax): sin(π2 − θmax ) cos θ max b χ tg 2 = = = 0 bmax cos(π2 − θmax ) sin θmax 1424 3

( ) min

cot gθ max

= λD (bmax=λD)

sin + cos = 1 2

2

⎡ ⎛b = ⎢1 + ⎜⎜ max 2 ⎢ ⎝ b0 ⎛ bmax ⎞ ⎣ ⎟⎟ 1 + ⎜⎜ ⎝ b0 ⎠

1 tg 2 + 1 = ⇒ cos θmax = cos2

1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

− 12

Po dosazení: 1 2

⎡ ⎛ λ ⎞2 ⎤ 1 2 Q12 (g ) = 4πb0 ln⎢1 + ⎜⎜ D ⎟⎟ ⎥ , kde b0 ~ 1 ⎢ ⎝ b0 ⎠ ⎥ g2 ⎦ ⎣

Přechod ke středním hodnotám (zbavíme se závislosti účinného průřezu na vzájemné rychlosti obou částic) - v případě srážky elektron-iont obvykle není problém se stanovením g, neboť g ≡ C (viz. C>>W, W –rychlost iontu), avšak v případě srážky elektron-elektron je situace komplikovaná ⇒ je praktické přejít ke středním hodnotám účinných průřezů - zavádí se veličina Λ: Λ=

λD b0

kde b0 =

Ze 2 4πε 0m12 g 2

…záměrná vzdálenost, při které se jakási „střední částice“ systému rozptýlí pod úhlem 90°

m12 g 2 = 3kTe , neboť

2

m12 g 3 = kTe 23 2 12

střední hodnota vzáj. kin. ener.

- za předpokladu lnΛ >>1, který je dost dobře splněn ve většině výbojů, kde lnΛ ≅ 5 ÷15 Dostáváme: Qei1 = 6π b02 ln Λ …střední hodnota účinného průřezu pro srážku s přenosem hybnosti mezi elektronem a iontem lnΛ…tzv. Coulombův logaritmus (viz. C-interakce)

(

(Pozn.: ln 1 + ∆2

)

12

(

)

( )

= 1 2 ln 1 + ∆2 = 1 2 ln ∆2 = ln ∆ )

6…faktor daný středováním, tj. integrací 1 Pozn.: Pro Z = 1 (náboj iontu) Qei1 = Qee

2004

Strana 13

Fyzika plazmatu

Formule pro číselné vyjádřeni uvedených veličin a jejich hodnoty pro dva typické výboje 1 Předpoklad: Z = 1, viz b0 ~ Z ⇒ Λ ~ , Qei1 ~ ln Λ Z Obloukový výboj Formule Doutnavý výboj Te = 10 000K Te = 25 000K ne = 1×1016m-3 ne = 1×1022m-3 1

⎛T ⎞ λD = 69.0⎜⎜ e ⎟⎟ [m] ⎝ ne ⎠ 5.56 × 10 −6 [m] b0 = Te 2

⎛T 3 ⎞ Λ = 1.24 × 10 ⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝ ne ⎠

1

1.09 × 10-4 m ≈ 0.1mm

6.9 × 10-8 m ≈ 7×102Å

2.22 × 10-10 m ≈ 2Å

5.56 × 10-10 m ≈ 6Å

4.9 × 105 (lnΛ = 13.1)

1.24 × 102 (lnΛ = 4.82)

1.22 × 10-17 m2

2.82 × 10-17 m2

2

7

Qei1 = 5.85 × 10 −10

[ ]

ln Λ 2 m Te2

↑ vysoké hodnoty ↑ (viz C-interakce dlouhého dosahu) Pozn.: Typická hodnota pro účinný průřez srážky s přenosem hybnosti mezi elektronem a neutrální částicí je 1 = Qee

1 Qen ≅ 10 −19 m2 , tj. zhruba o dva řády nižší hodnota než Qei1 2.2.4. Nepružné srážky (i) Nepružné srážky elektron-těžká částice (atom, iont a molekula) - nepružné srážky elektronů s těžkými částicemi jsou nejdůležitějšími srážkami v plazmatu: elektrony jsou „nejaktivnějšími“ částicemi plazmatu (urychlovány elektrickým polem) a neutrální těžké částice tvoří výbojový plyn ƒ Excitace a deexcitace atomů excitace

(m ) A2 ↔ A(n ) + e 1 3 + e deexcitace

atom A ve stavu m

- účinné průřezy pro excitaci různých atomů při srážce s elektronem vykazují velkou podobnost ⇒ lze použít univerzálních poloempirických formulí, viz např. Drawin (1963): Opticky dovolené přechody m→n ∆l = ±1 a ∆ S2= 0 , tj. spontánní přechod n → m existuje Platí: 1 4 4 3 tj. nejde o interkombi nační přechod se změnou multipletn osti

⎛ H A (ε ) = 4πa02 ⎜⎜ ε1 Qmn ⎝ ε mn

2

⎞ A ε ε mn − 1 ⎟ fmnα mn ln(1.25 β mn ε ε mn ) ⎟ (ε ε mn )2 ⎠

A (ε ) …účinný průřez pro excitaci m → n; index A = allowed = dovolen Qmn

πa02 = 0.879 × 10 −20 m 2 , neboť a0 = 0.529 × 10 −10 m (1. Bohrův poloměr) (typická hodnota charakter. vel. účinných průřezů) ε…relativní kinetická energie nalétávajícího elektronu vzhledem k terčové částici ε 1H = 13.59 eV …ionizační energie vodíku ε mn = ε 1n − ε 1m , excitační energie pro přechod m → n

a α mn

fmn ... tzv. síla oscilátoru pro daný přechod (charakterizuje pravděpodobnost dovoleného přechodu, fmn ~ Anm – Einsteinův koeficient) a β mn - tzv. „filtrovací“ koeficienty – číselné faktory dané porovnáním teoretických křivek s experimentálními (tvar křivky, poloha maxima, celkový souhlas) A (ε ) není experimentální údaj, obvykle se volí: - když o účinném průřezu Qmn A α mn = 1 a β mn = 1

Pozn.:

2004

- Einsteinův koeficient Anm charakterizuje pravděpodobnost spontánního přechodu elektronu n→m, tj. pravděpodobnost tzv. radiační deexcitace (je vyzářen foton o energii ε mn = hν mn )

Strana 14

Fyzika plazmatu

- Platí (viz uvedená formule):

A (ε ) ~ ε − ε mn , tj. lineární růst (obvykle rychlý), pro ε ≥ ε mn , tj. blízko prahové energie Qmn souhlas s experimenty A (ε ) ~ ln ε pro ε >> ε mn Qmn

ε

souhlas s kvantově-mechanickými výpočty Opticky zakázané přechody (1 ∆ ≠4 ±1 , ale ∆ S2 =4 0) 4l2 3 1 4 3 tj. spontánní přechod nedochází ke změně ⎧⎪narušeno výběrové multipletnosti, tj. výběrové ⎨pravidlo, tzv. zákon pravidlo splněno n → m je zakázán ⎪⎩ zachování parity (viz. KM) P P (ε ) = 4πa02α mn Qmn

ε ε mn − 1 P α …číselný faktor daný porovnáním s experimentem (ε ε mn )2 mn

P…parity forbidden = „paritně“ zakázáno Opticky zakázané přechody (1 ∆4 S2≠4 0) 3 tj. spontánní přechod ⎧⎪ změna multipletnosti, ⎨ tzv. interkombinační ⎪⎩přechod n → m je zakázán S S (ε ) = 4πa02α mn Qmn

(ε ε mn )2 − 1 (ε ε mn )5

S α mn … číselný faktor daný porovnáním s experimentem

S…spin forbidden = „spinově“ zakázán Pozn.: - Účinné průřezy pro opticky zakázané přechody mohou být svou velikostí srovnatelné s účinnými průřezy pro opticky dovolené přechody P S - V případě Qmn a zejména Qmn registrujeme posun maxima směrem k nižším energiím a rychlejší ƒ

A pokles hodnot za maximem oproti Qmn (viz obr. pro He) Ionizace atomů a tříčásticová rekombinace

→ A(m ) + e ←ionizace A + (1) + rekombinac e

e

↓ dříve vázáný elektron, který se uvolnil

+

e

↓ nalétávají cí el., který při srážce ztratil energii ε m

Pozn.: Ionizace srážkou s elektrony je nejdůležitějším procesem pro udržení výboje (viz. vytváření nosičů náboje), ionizace obecně podstatně mění chemickou aktivitu prvků (viz. reaktivnost iontů inertních plynů – vnější slupka není uzavřena) ⇒ plazmochemie A Drawin (1963) (viz podobnost s Qmn ): 2

⎛εH ⎞ ε εm − 1 Qm (ε ) = 4πa ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ξ mα m ln(1.25 β m ε ε m ) (ε ε m )2 ⎝ εm ⎠ …účinný průřez pro ionizaci atomu ve stavu m ε m …ionizační energie pro m-tou energetickou hladinu ξ m …počet energeticky ekvivalentních elektronů na m-té hladině (počet elektronů se stejnými n a l) 2 0

α m a β m …“fitovací“ parametry, v případě neexistence experimentálních dat: α m = 0.67 a β m = 1 Pozn.

el. el. 2 el. 6 487 4 86 487 4 8 } 2 2 6 2 - ξ1 = 1 pro H, 2 pro He, 6 pro Ar (18 el.): ( 1s 2s 2 p 3s 3 p 6 ) – viz. struktura atomů { 6 el.

ξn = 1 pro n ≥ 2, neboť uvažujeme pouze jednoelektronovou excitaci atomů, tj. excitovaný atom má vybuzen pouze 1 elektron - Rychlosti inverzních procesů (deexcitace, tříčásticová rekombinace) je možno vyjádřit pomocí účinných průřezů pro přímé procesy (excitace, ionizace) pomocí principu detailní rovnováhy (viz. dále)!!

2004

Strana 15

Fyzika plazmatu

Některé účinné průřezy pro nepružné srážky v He (Carman, Maitland 1987)

ƒ

Excitace, ionizace a disociace molekul (viz. partie o vnitřní struktuře molekul) → (AB ) + e AB + e ←excitace deexcitace *

molekula v excitovaném stavu (excitace elektronových stavů, rotačních a vibračních stavů) Pozn.: (viz. obr. – rozdíly v prahových energiích ↔ souvislost s energetickou strukturou N2): S postupným narůstáním energie nalétávajících elektronů startují procesy excitace: ƒ Rotačních stavů (ε ≅ 10-2 – 10-1 eV) ƒ Vibračních stavů (ε ≅ 100 eV) ƒ Elektronových stavů (ε ≅ 100 – 101 eV)

AB + e disociace → A + B + e Pozn.: Jde o disociaci molekuly přes její repulzivní stav (viz dříve), obvyklým výsledkem disociace je vzrůst chemické aktivity produktů vzhledem ke zdrojové molekule přímá ionizace AB + e ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→(AB ) + e + e +

disociativní ionizace AB + e ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯ ⎯→ A + + B + e + e

2004

Strana 16

Fyzika plazmatu

Některé účinné průřezy pro srážky elektronů s molekulami N2 (Y. Itikawa 1986)

(ii) Nepružné srážky těžkých částic ƒ Excitace a deexcitace atomů

→ A(m ) + B (1) ←excitace A(n ) + B (1) deexcitace

B(1)…nalétávající částicí je atom v základním stavu, neboť téměř vždy B(1) >> B(2) > B(3 ) , atd.; velmi často: B (1) ≡ A(1) (viz. případ výboje v jednom plynu) Pozn.: - na rozdíl od srážek elektron-atom není k dispozici tolik experimentálních údajů o účinných průřezech, ani realistických poloempirických formulí - v případě stanovení rychlosti procesu je nutno vzít T ≡ Ta – teplota atomů ƒ Ionizace a tříčásticová rekombinace ionizace → A(m ) + B ← tříčástico A+ + B + e vá rekombinac e

B…opět obecně uvažujeme A ≠ B, opět (viz. výše) B ≡ B(1) Pozn.: - ionizace základní hladiny atomu A, tj. m = 1, má obvykle dost vysokou prahovou energii a je málo efektivní, neboť nalétávající atomy mají většinou mnohem menší energii než ε 1A - proces ionizace při srážkách atom-atom je mnohem účinnější při srážce dvou různých atomů, pro něž A B platí: ε 1m > ε 1

ε 1B …ionizační energie základního stavu atomu B ε 1Am …excitační energie m-tého stavu atomu A

potom lze psát: A(m ) + B (1) ↔ A(1) + B + +

e

↓ uvolněný elektron o kinetické energii ε 1Am − ε 1B

Zvláštní případ této srážky: Penningova ionizace V tom případě: A(m ) - metastabilní stav atomu Pozn.: - Metastabilní stavy atomů jsou významné mezi excitovanými stavy, neboť jejich obsazení je vysoké, pokud stupeň ionizace není poměrně vysoký (potom by srážky s elektrony snižovaly přepopulování metastabilních stavů) ⇒ rychlost Penningovy ionizace je vysoká (zejména když p ≤ 10-2 Torr, kdy je střední volná dráha částic dostatečně dlouhá) - Penningova ionizace vede k existenci iontů materiálu terče, který je rozprašován při depozičních procesech (bombardováním ionty inertních plynů, nejčastěji Ar+), a ke zvýšení stupně ionizace plazmatu

2004

Strana 17

Fyzika plazmatu

ƒ

(jeden z důvodů použití Ar, resp. He, kde ε 1Arm = 11.6 eV , resp. ε 1He m = 19.8 eV , při plazmových technologiích) Asociativní ionizace a disociativní rekombinace asociativní ionizace → A(m ) + B ← disociativ ní rekombinace

⎛⎜ ⎝

AB ⎞⎟⎠

+

+e

↓ molekulární iont

- Asociativní ionizace a disociativní rekombinace určují v mnoha případech rychlost vzniku a zániku nabitých částic v plazmatu: - asociativní ionizace je významná zejména v počáteční fázi vzniku výboje ve slabě ionizovaném plazmatu (např. těsně po průchodu silné rázové vlny), kdy koncentrace elektronů ne je ještě relativně nízká - disociativní rekombinace probíhá při dostatečném výskytu molekulárních iontů v plazmatu (jde o jeden z nejrychlejších rekombinačních procesů) Platí: koncentrace molekulárních iontů ⎛ dne ⎞ ⎜ ⎟ = −ne n2+α , kde α = dis. ⎝ dt ⎠rek.

∑d

m

…rychlostní koeficient pro disociat. rekombinaci (až 10-6cm3s-1)

m

koncentrace elektronů rychlostní koeficient pro rekombinaci, která rychlost úbytku počtu elektronů vede ke vzniku atomu v m-tém stavu Pozn.: Ionizačně-rekombinační nerovnováha v plazmatu - když převládá ionizace nad rekombinací, hovoříme o plazmatu v ionizační nerovnováze (tj. plazma je vytvářeno) Příklad: tzv. ionizační zóny výbojů, kde Te je relativně vysoká v důsledku dodávání energie elmag pole ƒ Oblast v ose výbojů mezi elektrodami (doutnavé a obloukové výboje) ƒ Oblast plazmových trysek ƒ Oblast vinutí a těsně nad ním u induktivně vázaných RF výbojů (ICP) – proud ve vinutí r cívky ⇒ B nejsilnější v ose ⇒ kruhový pohyb elektronů ⇒ průraz - když převládá rekombinace nad ionizací, hovoříme o plazmatu v rekombinační nerovnováze (tj. plazma zaniká) Příklad: tzv. rekombinační zóny výbojů, kde Te je relativně nízká ƒ Plazma dohasínajících výbojů – fáze po vypnutí zdroje energie (Te klesá s časem); např.: před dalším pulzem ƒ Expandující plazma vytvořené např. plazmovými tryskami – při vzdalování od ionizační zóny Te klesá - za stacionárních podmínek ve výboji se nemění koncentrace elektronů, resp. iontů ani v ionizační zóně, odkud nosiče náboje odtékají (difúze, konvekce – viz. trysky), ani v rekombinační zóně, kam nosiče náboje přitékají ƒ Konverze atomárních iontů v molekulární atom. iontu → (AB ) + X A + + B + X konv. ← rozpad mol. iontu +

- proces konverze atomárních iontů v molekulární je velmi efektivní v plazmatu slabě ionizovaných plynů za vyšších tlaků (p ≥ 100 Torr) - v případě TR (plazma je však většinou mimo TR) lze psát:

(n )

+ R A

( )

+ ⋅ nBR = nAB

R

⋅

1 − EkTdis e R03

…tj. poměrné zastoupení atomárních iontů je vyšší, když disociační energie molekulárních iontů je nižší (snazší rozpad) a teplota je vyšší (snazší disociace) + nA …rovnovážná koncentrace atomárních iontů nBR …rovnovážná koncentrace atomů B + n AB …rovnovážná koncentrace molekulárních iontů

R0 …vzdálenost odpovídající řádově lin. rozměru molekulárního iontu

2004

Strana 18

Fyzika plazmatu

ƒ Přenos náboje V případě atomů: e− asymetrick ý přenos náboje A(m ) + B + ←⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ A + + B e− symetrický rez. přenos náboje A(m ) + A + ←⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ A + + A(m ) Pozn.: - oba typy náboje jsou důležité v příelektrodové oblasti výbojů využívaných v plazmových technologiích, kde výrazně ovlivňují energii iontů a neutrálních částic, které dopadají na elektrodu Příklad: Plazmová nitridace (modifikace povrchu katody doutnavého výboje difúzí dusíku z výbojové směsi – vytváření tvrdých, otěruvzdorných a nekorozivních nitridů kovů v povrchové vrstvě kovových materiálů) Přenos náboje v příkatodové oblasti Symetrický přenos náboje: e−

N 2S {

+

+ N 2F {

→

rychlý molekulárn í iont (urychlen silným elektrický m polem v příkatodov í oblasti)

pomalá neutrální molekula

N2+S {

+

pomalý molekulárn í iont (vznikl z pomalé neutrální molekuly)

N 2F {

rychlá neutrální molekula (vznikla z molekulárn ího iontu po zisku elektronu)

Důsledek: Neutrální molekuly přispívají k ohřátí katody, které je nezbytné pro difúzy dusíku do materiálu (400550 °C); nemohou být zahřáty el. polem (nenesou náboj), ani pružnou srážkou s elektrony (nízký stupeň ionizace) Asymetrický (disociativní) přenos náboje: e−

N 2S {

pomalá neutrální molekula

+

N 2F {

rychlý molekulárn í iont

→

NS+ {

pomalý atomární iont (vznikl disociací pomalého molekulo vého iontu po přenesení náboje

+

NS {

pomalý atom (disociace N2+S )

+

N 2F {

rychlá neutrální molekula

Důsledek: Na nitridovanou katodu dopadají rychlé neutrální molekuly, ale i pomalé atomární ionty (ty však mohou vzniknout i disociací molekulárního iontu N2+ ) a pomalé atomy ƒ Vznik záporných iontů Nejdůležitější proces: disociativní záchyt → AB + e ← asociativn A− + B í uvolnění elektronu

Pozn.: Proces disociativního záchytu se vyskytuje v částečně ionizovaném plazmatu při nízkých teplotách, existence záporných iontů podstatně ovlivňuje elektrickou vodivost plazmatu (přítomnost dalších záporných nosičů náboje kromě elektronů), rychlost ionizace a rekombinace (zánik nosičů při rekombinaci kladných a záporných iontů), a rychlost difúze plazmatu - Základní veličinou, která charakterizuje záporný iont, je tzv.elektronová afinita = energie, kterou je nutno dodat elektronu, aby byl uvolněn od atomu nebo molekuly Atom Elektronová afinita (eV) Molekula Elektronová afinita (eV) 0.43 H 0.754 O2 C 1.25 Cl2 <1.7 O 1.465 CN 3.8 Cl 3.613 HBr 3.03 2.4 NO2 2.12 CCl4 SF6 3.39 Z tabulky je vidět, že záporné ionty se nejsnáze tvoří v halogenových plynech (Cl, F, Br, I) a v plynech, které obsahují prvky halogenů (CCl4, SF6 – náplň pro zhášení oblouků při vypínání vysokoproudých obvodů) V plynech o vyšším tlaku tříčásticový záchyt e + A + B ←⎯ ⎯⎯⎯⎯ ⎯→ A − + B

2004

Strana 19

Fyzika plazmatu

2.3. Záření plazmatu Záření plazmatu je jedním ze základních projevů jeho existence (význam pro diagnostiku plazmatu) 2.3.1. Popis radiačních procesů Vzájemnou interakci záření s látkovým prostředím budeme uvažovat jako srážkový proces fotonů s terčovými částicemi o nenulové klidové hmotnosti (viz. analogie s výše zmíněnými srážkovými procesy) Platí: h εν 2πν = hν = 2π energie fotonu o frekvenci ν

=

pν

hybnost fotonu o frekvenci ν a rychlosti c

h 2π hν Ω= Ω 2π λ c

Ω …jednotkový vektor ve směru pohybu fotonu

Analogicky jako dříve:

( )

⋅ fν pν d 3 pν 14243

nν {

objemová pravděpodo bnost, koncentrac e že foton má fotonů o hybnost v intervalu frekvenci ν pν , pν + d pν

(

- počet fotonů v jednotce objemu, které mají v daném čase a v daném místě

(

hybnost v intervalu pν , pν + d pν

)

)

Normovací podmínka pro rozdělovací funkci fotonů:

∫ f (p )d p

+∞

ν

3

ν

ν

=1

−∞

Po úpravě:

[n f (p )d p ]⋅ c … diferenciální hustota toku fotonů (viz. dΓ ) ν ν

3

ν

1

ν

(počet fotonů s hybností v intervalu pν , pν + d pν , které projdou jednotkou plochy za 1s) Po vynásobení hν: hν ⎡nν fν ⎛⎜ pν ⎞⎟d 3 pν ⎤c …diferenciální hustota toku energie fotonů ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠ h d 3 pν = pν2dpν dΩ = pν2 dνdΩ c dΩ… element tělesového úhlu určeného jednotkovým vektorem Ω Po dosazení:

( )

()

h 2νpν2nν fν pν dνdΩ = Iν Ω dνdΩ

()

Iν Ω …spektrální hustota toku záření (intenzita záření o frekvenci ν ve směru Ω )

= energie záření připadající na interval frekvence dν a tělesový úhel dΩ, která projde jednotkou plochy za 1s P Platí (viz analogie s dR12 ): dRνP {

diferenciá lní rychlost procesu p mezi fotony a terč.částicemi

Po dosazení:

( )

( )

= nν fν pν d 3 pν cQνP n2f2 W d 3W 14 4244 3 počet terčových částic v jednotce objemu s rychlostí W ,W + d W

(

( ( ) ) ()

)

( ) ()

⎛I Ω ⎞ dRνP = n2f2 W d 3W ⎜ ν dνdΩ ⎟QνP , tj. musíme znát f2 W , Iν Ω ,QνP ⎜ hν ⎟ ⎝144244 3⎠ diferenciální hustota toku fotonů

2.3.2. Základní typy interakce foton-látková částice ƒ Absorpce a stimulovaná emise fotonů ƒ Rozptyl fotonů Pozn.: Vybuzená částice se stává zdrojem záření také samovolně při spontánní emisi záření, resp. fotonů Platí: Procesy emise fotonů a jejich absorpce jsou vzájemně vázány tzv. principem detailní rovnováhy (viz. později), který obecně spojuje přímé a inverzní procesy ⇒ dále se proto zaměříme pouze na proces absorpce záření Při dopadu svazku fotonů na terčové částice registrujeme po průchodu:

2004

Strana 20

Fyzika plazmatu

(i) Čárové spektrum Záření definovaných vlnových délek je (často velmi silně) absorbováno v důsledku přechodu terčových částic z jednoho energetického (vázaného) stavu do druhého (viz. rotační, vibrační a elektronové stavy), tzv. bound-bound transitions Př.: fotoexcitace atomů ce → A(m ) + hν mn ← fotoexcita A(n ) spontánní deexc.

hνmn…toto přesně definované kvantum (hνmn=ε1n-ε1m) je absorbováno ⇒ prudký pokles v intenzitě procházejícího záření, pokud jeho frekvence ν=νmn (ii) Spojité spektrum Dopadající záření je absorbováno při fotoionizaci terčových částic (bound-free transitions) Př.: fotoionizace atomů A(m ) + hν

fotoionizace → ← radiační rekombinac e

A+ + e

hν…libovolné kvantum (hν≥εm) je absorbováno ⇒ spojitá změna v absorpčním spektru e…kinetická energie uvolněného elektronu závisí na rozdílu hν-εm ad i) Fotoexcitace Platí:

Qνm → n =

e2 fmnϕ (ν ) = 2.65 × 10 − 6 fmnϕ (ν ) 4ε 0 mec

Qν…účinný průřez pro fotoexcitace atomu m→n fmn…síla oscilátoru pro absorpci záření (atomová konstanta, viz. rozsáhlé tabulky pro jednotlivé atomy, obvykle v rozsahu od 0 do 1) ϕ(ν)…funkce profilu čáry při absorpci (charakterizuje pravděpodobnost absorpce záření o frekvenci ν) Pozn.: Síla oscilátoru fmn = 0 ⇔ radiační deexcitace n→m je opticky zakázána (viz. souvislost mezi fmn a Anm, cvič. č. 8) ƒ Účinný průřez Qνm → n není atomovým parametrem, neboť šířka čáry závisí na okolí atomu (viz faktory rozšíření spektrálních čar později) Funkce profilu čáry ƒ

∆ν – tzv. pološířka spektrální čáry (charakterizuje „šířku“ čáry) = „šířka“ čáry v místě odpovídajícím ½ hodnoty ϕmax(ν) ≡ ϕ(νmn) analogicky: ∆ν = FWHM („full width at half maximum“)

Normovací podmínka: ∞

∫ ϕ (ν )dν = 1 0

Pozn.: ϕ (ν ) ≠ 0 pouze pro ν ≈ ν mn (viz. rozšíření spektrálních čar dále) Po dosazení za QνP dostáváme:

( ( ) ) 4εem c f 2

dRνm → n = nmfm W d 3W

mn

0

2004

e

dΩ

()

Iν Ω ϕ (ν )dν hν

Strana 21

Fyzika plazmatu

Po integraci: integrál přes všechny možné hodnoty frekv. dopadající ch fotonů

644744 8 ∞ Ω I e ϕ (ν )dν = nm fm W d 3W fmndΩ ν 4 ε hν m c 0 e 0 − ∞ 14 4244 3

∫ ( )

+∞

∆Rνm → n mn

2

=1 integrál přes všechny možné hodnoty rychlosti terčových částic

()

∫

∞

∫ ϕ (ν )dν = 1 0 1 42 4 43 4

normovací podmínka

()

()

()

Iν Ω Iν Ω → mn …předpokládáme, že funkce Iν Ω a hν, resp. jejich hν hν mn

podíl, jsou jen slabě závislé na ν tam, kde ϕ(ν) ≠ 0 Dostáváme: ∆Rνm → n = nm mn

e2 fmn Iν 4ε 0 me chν mn 144 42444 3

mn

(Ω)dΩ

…celkový počet přechodů m→n v jednotce objemu za 1s v důsledku absorpce záření z tělesového úhlu dΩ (většinou „silná“ neizotropnost – dopad paprsku)

Bmn - Einsteinův koeficient pro absorpci záření

Potom: BmnIν

mn

(Ω)dΩ …počet přechodů m→n připadajících na jeden atom ve stavu m za 1s v důsledku absorpce záření z tělesového úhlu dΩ, viz. samozřejmá závislost na I (Ω ) ν mn

Jiná interpretace: - pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu přechodu m→n v důsledku absorpce záření z tělesového úhlu dΩ Analogicky lze psát: - pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu přechodu n→m v důsledku Bnm Iν Ω dΩ dopadu záření do tělesového úhlu dΩ mn

()

Einsteinův koeficient pro stimulovanou emisi Pozn.: Nalétávající fotony indukují vyzáření fotonů o téže frekvenci, šířících se týmž směrem (dopadající a vznikající záření jsou koherentní – viz lasery) Podobně platí: - pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu spontánnímu přechodu n→m Anm dΩ s vyzářením fotonu do tělesového úhlu dΩ 4π Anm…Einsteinův koeficient pro spontánní emisi Platí: Spontánní záření je izotropní, tj. pravděpodobnost, že za 1s dojde ke spontánnímu přechodu n→m v libovolném směru, je Anm (viz. dΩ 4π - poměr určující část záření jdoucí do tělesového úhlu dΩ) 8 -1 Pozn.: Pro intenzivní emisní čáry je Anm ≈ 10 s , tj. za 1s se stav n „rozpadne“ 108krát v důsledku spontánní emise do všech směrů ⇒ krátká doba života excitovaných stavů (kromě metastabilů) ad ii) Fotoionizace Pro vodík a vodíku podobné atomy platí:

Pozn.: ƒ ƒ

2004

e2 4πε 0

3

3

m ⎛ εm ⎞ m ⎛ε ⎞ Qν = πa ⎜ ⎟ g bf = 7.91× 10 − 22 2 ⎜ m ⎟ g bf [m2 ] 2 Z ⎝ hν ⎠ Z ⎝ hν ⎠ 3 3 hc účinný průřez pro fotoionizace hladiny popsané hlavním kvantovým číslem m gbf…Gauntův faktor (většinou velmi blízký 1) m…hlavní kvantové číslo dané hladiny Z=1 pro vodík εm…ionizační energie m-té hladiny m

64

( ) 2 0

Účinný průřez Qνm je atomovým parametrem Qνm ≠ 0 pro hν = ε m , tj. pro prahovou hodnotu frekvence Qνm ~

1

ν3

pro hν > ε m

Strana 22

Fyzika plazmatu

2.3.3. Rozšíření spektrálních čar Rozšíření, resp. tvar, spektrálních čar jsou dány následujícími čtyřmi mechanismy: (i) přirozené rozšíření čar – dáno spontánním zářením atomů (ii) rozšíření tlakem – dáno vzájemným působením zářících atomů se sousedními částicemi (neutrální částice, elektrony) (iii) dopplerovské rozšíření – dáno tepelným pohybem zářících atomů (iv) rozšíření kombinací zmíněných mechanismů ad i) přirozené rozšíření čar V KM lze ukázat, že platí tzv. Heisenbergovy relace neurčitosti: ∆x∆px = ∆E∆t ≈ h

∆E…neurčitost stanovení energie částice v jejím určitém stavu ∆t…neurčitost stanovení doby života částice v daném stavu Ukážeme platnost vztahu: ∆x∆px = ∆E∆t pro volnou částici Pravděpodobnostní popis KM: Pohybující se částici si představujeme jako postupující vlnový balík o „šířce“ ∆x ∆x = v∆t Platí: ∆x…neurčitost ve stanovení polohy částice ∆t…neurčitost ve stanoveni doby dopadu částice v…rychlost pohybu částice Pro energii volné částice platí: px2 2m Po diferenciaci: 2 px ∆px ∆E = = v∆px 2m neurčitost ve stanovení energie částice způsobená neurčitostí hybnosti Po dosazení: ∆E ∆x∆px = v∆t = ∆E∆t v Pozn.: Tato rovnost platí i pro vázané systémy Platí: ∆ε nτ n ≈ h , kde τ n = 1 E=

γn

…střední doba života částic v daném stavu (dá se ukázat, že tato veličina charakterizuje nejen jakousi průměrnou dobu života částic, ale i neurčitost jejího stanovení) …rozšíření n-té energetické hladiny (neurčitost stanovení energie) Po dosazení: ∆ε n ≈ hγ n , kde γ n =

∑A

nj

j
…převrácená hodnota doby života částice v n-tém stavu (celkový počet přechodů z nté hladiny za 1s v důsledku spontánní emise) Pro funkci tvaru čáry pro absorpci m→n platí: 1 γ mn 4π ϕ (ν ) = , π (ν − ν mn )2 + (γ mn 4π )2 kde γ mn =

γ

m ↓ parametr určující rozšíření dolní hladiny

+

γ

n ↓ parametr určující rozšíření horní hladiny

Jde o tzv. lorentzovský tvar čáry, pro její pološířku platí: ∆ν N =

Pozn.: ƒ

2004

γ mn 2π

Funkce ϕ(ν) je pro přirozené rozšíření pouze charakteristikou daného atomu (viz. závislost na Anm)

Strana 23

Fyzika plazmatu

Pro záření ve viditelné oblasti ∆λN ≈ 10-4Å (rozlišovací schopnost poměrně kvalitního monochromátoru je 0.1 Å); v částečně ionizovaných plynech je přirozená šířka čáry téměř vždy mnohokrát menší než šířka způsobená tlakem nebo Dopplerovým efektem (viz. dále) ad ii) rozšíření čar tlakem Na rozdíl od emisních čar izolovaného atomu vykazují tytéž čáry v reálném prostředí statistické rozšíření v důsledku srážek zářícího atomu s okolními částicemi ƒ Vzájemná interakce s neutrálními částicemi téhož typu ƒ Vzájemná interakce s neutrálními částicemi jiného typu Pozn.: V mnoha případech je rozšíření čar tlakem omezováno pouze na tyto dvě interakce, tj. starkovské rozšíření je uvažováno samostatně ƒ starkovské rozšíření – dáno vzájemným působením atomu s okolními nabitými částicemi, především s elektrony Pozn.: Starkův jev spočívá v rozštěpení energetických hladin ve vnějším elektrickém poli (viz. Zeemanův jev: rozštěpení v magnetickém poli) Ve všech těchto případech, kromě S-rozšíření čar vodíku a některých čar He, je tvar čáry přibližně lorentzovský (γmn musí být nahrazeno Γmn, které je dáno jinou formulí) Představa o „velikosti“ efektu: ƒ Při tlaku 100 kPa (atmosférický tlak) je pološířka čáry ve viditelné oblasti způsobená interakcí s neutrálními částicemi řádově ∆λL ≅ 0.05 Å ƒ Pro ne ≅ 1016cm-3 (hodnota typická pro obloukové výboje) vede S-efekt k pološířkám ∆λS ≅ 100 – 101 Å v závislosti na atomu a zkoumané čáře Význam S-rozšíření pro diagnostiku plazmatu: Platí: ƒ

∆λS ~ ne 2

3

...pro lineární S-jev, viz. např. Hβ (n = 4 → n = 2, tj. druhá čára Balmerovy série ve vodíku), λ = 4861.3 Å

∆λS ~ ne

…pro kvadratický S-jev V případě dostatečně vysoké stupně ionizace plazmatu, viz. tzv. kvaziizotermické plazma (Te≅Ta) – např. v obloukových výbojích, kde S-efekt výrazně ovlivňuje rozšíření čar, lze využít uvedených formulí k měření koncentrace elektronů ne Výhoda : – plazma nemusí být ve stavu LTE (lokální termodynamická rovnováha), není třeba znát ani teplotu, ani chemické složení; Obvyklý postup : – slabé přimísení vodíku (≈1%, aby nedošlo k ovlivnění výboje) do výbojové směsi, studium rozšíření čáry Hβ (výrazný efekt, teorie zvládnuta, viditelná oblast) ad iii)Dopplerovské rozšíření V důsledku tepelného pohybu zářících atomů registruje pozorovatel různé frekvence záření v závislosti na hodnotě relativní rychlosti atomů vůči němu Podle Dopplerova jevu: c ν = ν mn c −vx

ν…frekvence registrovaná pozorovatelem, vůči němuž se zdroj pohybuje νmn…frekvence v soustavě zdroje (klidný atom) vx…rychlost pohybu zdroje (atomu): vx > 0 – pohyb k pozorovateli, vx < 0 – pohyb od pozorovatele Platí (viz přednáška F III): 12

mav x2

− ⎛ ma ⎞ ⎟⎟ ⋅ e 2kT dv x …Maxwellovo rozdělení částic podle rychlosti f (v x )dv x = ⎜⎜ ⎝ 2πkTa ⎠ pravděpodobnost, že atom má x-ovou složku rychlosti v intervalu (vx,vx+dvx) Pozn.: Maxwellovo rozdělení bylo odvozeno za předpokladu, že systém se nachází ve stavu termodynamické rovnováhy; v případě atomů platí velmi dobře i v případech velmi vzdálených od TR. Po úpravě: ν c (c + v x ) c + vx v = 2 = = 1+ x 2 v ν mn c c −vx c 1− a

(

2 x

c2

)

<<1, tj. uvažujeme nerelativistický případ

2004

Strana 24

Fyzika plazmatu

Dostáváme: ⎛ ν ⎞ c − 1⎟⎟ ⇒ dv x = v x = c ⎜⎜ dν ν mn ⎝ ν mn ⎠ Po dosazení: ⎛ ma f (ν )dν = ⎜⎜ 123 ⎝ 2πkTa ≡ ϕ (ν )dν

⎞ ⎟⎟ ⎠

1 2

⋅e

−

mac 2 ⎛ ν ⎞ − 1⎟ ⎜ 2 kTa ⎝ ν mn ⎠

2

c

ν mn

dν

- pravděpodobnost naměření frekvence ν z hlediska pozorovatele Pozn.: ƒ ƒ

Rozšíření čáry závisí na pravděpodobnosti výskytu různých hodnot vx atomů Čára je velmi úzká, neboť pro ν ≠ νmn se projeví silný útlum díky faktoru c2 v exponentu

Podmínka pro pokles ϕmax(ν =νmn) na ½ ϕmax(νmn): e

−

⎞ mac 2 ⎛ ν ⎜ − 1⎟ 2 kTa ⎜⎝ ν mn ⎟⎠

2

=

1 2

Po úpravě: ma c 2 2kTa

2

⎛ ν ⎞ ⎜⎜ − 1⎟⎟ = ln 2 ⎝ ν mn ⎠ ⎛ ⎜ ⎝

ν ± = ν mn ⎜1 ±

⎞ 2kTa ln 2 ⎟ 2 ⎟ ma c ⎠

Po dosazení: 12

⎛ 2kTa ⎞ ⎟ ∆ν D = 2ν mn ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ ma c ⎠ Číselná hodnota: ∆ν D = 7.16 × 10 − 7

Pozn.: ƒ ƒ

Platí:

(ln 2)1 2 …pološířka čáry rozšířené Dopplerovským efektem

Ta ν mn Ma

Ma…poměrná atomová hmotnost

V případě D-čáry Na, ∆λD = 0.04Å při Ta=2000K Využití v diagnostice: měření teploty atomů v plazmatu (využití Fabry-Perotova interferometru pro stanovení tvaru čáry), D-efekt je výrazný pro lehké prvky (viz. formule) při relativně vysokých hodnotách Ta – je výhodné použít těch čar, které nejsou příliš citlivé na Starkův efekt (Ta relativně vysoká ⇔ ne je relativně vysoká)

⎛ ma ⎜⎜ ⎝ 2kTa Po dosazení:

ϕ (ν ) =

12

⎞ ⎟⎟ ⎠

π

ν mn 2(ln 2) c ∆ν D

12

=

12

1 ∆ν D 2⎛⎜⎝ ln 2 ⎞⎟⎠

e

⎡ ⎢ ν −ν mn −⎢ ⎢ ∆ν D 12 ⎢ ⎣ 2 (ln 2 )

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

2

…dopplerovský (obecně gaussovský) tvar čáry

12

- rychlejší pokles (viz. exponenciála) na křídlech rozdělení oproti lorentzovskému tvaru (důležité při identifikaci efektů při identifikaci efektů, které se projevují současně)

2004

Strana 25

Fyzika plazmatu

2.3.4. Opticky tenké a tlusté plazma Analogicky jako v případě srážek látkových částic platí: 1 lν = …střední volná dráha fotonu o frekvenci ν n2QνP

∑ P

n2…objemová koncentrace terčových částic účinný průřez pro daný radiační proces P (tento proces mění hustotu toku fotonů v daném místě plazmatu) Jestliže platí: (i) lν >> L, resp. R L…tloušťka vrstvy plazmatu R…poloměr sloupce plazmatu; v případě uzavřených systémů ≡ poloměr výbojové trubice potom hovoříme o plazmatu, které je opticky tenké pro dané záření, tj. fotony téměř nejsou v dané vrstvě pohlcovány ⇒ záření vystupuje z plazmatu (ii) lν << L, resp. R potom hovoříme o plazmatu, které je opticky tlusté pro dané záření, tj. téměř všechny fotony jsou v dané vrstvě reabsorbovány ⇒ záření neopouští plazma Pozn.: V případě čárového spektra je možné za určitých podmínek, že plazma je opticky tlusté pro střed čáry ( Qνm → n ~ ϕ (ν ) , tj. pro ν → ν mn ⇒ lν << L ), ale opticky tenké na jejích křídlech ( lν >> L , neboť mn

ϕ (ν ) → 0 ), v takovém případě se výrazně mění tvar čar vyzařovaných plazmatem (složitý problém

přenosu záření – význam pro spektroskopickou diagnostiku plazmatu: plazmové technologie, plazmochemie, astrofyzika, realizace termonukleární fůze) Optické únikové faktory Slouží ke zjednodušenému popisu přenosu záření v plazmatu, započítávají parametricky lokální vliv absorpce záření a stimulované emise, a tak simulují různou optickou tloušťku plazmatu pro přechody elektronů mezi dvěma energetickými hladinami, Λmn, resp. mezi excitovanou hladinou a kontinuem, Λm Platí: Λmn, Λm ∈〈0,1〉 Λ = 1→ 0 0…plazma je opticky zcela tlusté, tj. veškeré záření je reabsorbováno ⇒ z plazmatu nevystupuje žádné záření ( Λ = 0 , tj. výstupu: 0% záření) 1…plazma je opticky zcela tenké, tj. žádné záření není reabsorbováno ⇒ veškeré záření vystupuje z plazmatu ( Λ = 1 , tj. výstupu: 100% záření) Příklad: Λ 21 = 0.1 , tj. při spontánní deexcitace 2→1 (dána Einsteinovým koeficientem A21) vystupuje z plazmatu pouze 10% záření, neboť 90% záření je neabsorbováno Pozn.: K největší reabsorpci záření dochází při tzv. rezonančních přechodech n ≥ 2 → 1 (zákl. hladina), neboť n1>>n2, n3, atd. ⇒ lν << lν , lν , atd. n1

n2

n3

2.4. Vztahy platné v termodynamické rovnováze Lze ukázat, že v termodynamické rovnováze platí: ƒ Boltzmannův vztah (pro obsazení jednotlivých energetických hladin částic daného typu – atomů, molekul a iontů) ƒ Sahova rovnice (pro obsazení excitovaného stavu částice daného typu při známé koncentraci volných elektronů a iontů v základním stavu, které z daných částic vznikly) ƒ Maxwellovo rozdělení (pro rozdělení částic podle rychlosti) ƒ Planckův zákon (pro spektrální intenzitu záření) (i) Bolztmannův vztah Platí: ε …poměr mezi objemovými koncentracemi částic daného typu (atomy, ionty a nn g − = n e kT molekuly) ve dvou vybuzených stavech nm g m mn

kde ε mn

2004

gm…statistická váha m-tého (dolního) stavu T...teplota všech částic plazmatu je TR stejná tato rovnost platí pouze za předpokladu, = ε 1n − ε 1m = ε m − ε n že atomy, ionty nebo molekuly mají excitační energie pro excitaci m→n pouze jednu ionizační mez

Strana 26

Fyzika plazmatu

Uvážíme m = 1, tj. dolní hladinou bude základní stav Platí: ε nn n − = 1 e kT , tj. známe-li n1 (viz měření tlaku) a hodnotu T (platí: Te = Ta = Ti ≡ T) známe nn g n g1 Po úpravě: ln(nn g n ) = ln(n1 g1 ) − ε 1n kT 1n

Pozn.: ƒ

Směrnice B-přímky: ln

nn = f (ε 1n ) určuje teplotu částic gn

Význam pro diagnostiku: V případě, že plazma je v nerovnovážném stavu (Te ≠ Ta), koncentrace základní hladiny n1 a často i koncentrace n2, resp. n3 neleží na Boltzmannově přímce, koncentrace výše položených stavů však na ní leží, přičemž její směrnici určuje teplota elektronů Te – význam pro stanovení hodnoty Te z měření emisní intenzity dvou čar, které vede ke stanovení obsazení dvou vysoko položených excitovaných stavů (tzv. metoda dvou čar) (ii) Sahova rovnice ionizační energie n-tého stavu atomu Platí: ƒ

nn g = n ne n1+ 2g1+

⎛ h2 ⎜ ⎜ 2πm kT e ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

32

εn

e kT

…poměr mezi koncentrací atomů v n-tém stavu a koncentrací volných elektronů a jednou ionizovaných iontů v základním stavu

statistická váha iontu v základním stavu Po úpravě: 32

ne 1 ⎛ h2 ⎞ nn ⎟ = ⎜⎜ ⎟ g n 2 ⎝ 2πme k ⎠ T 3 2 144244 3

⎛ n1+ ⎜ + ⎜g ⎝ 1

εn ⎞ kT ⎟e = ⎟ ⎠

2.066 ×10 −16 cm3K 3 2

ε

n+ n S (ne ,T ) 1+ e kT 1 424 3 g1

<1 (za relativist ických podmínek)

Dostáváme: n n+ ε ln n = ln S (ne ,T ) + ln 1+ + n g n 14243 g1 kT <0

Pro εn = 0, tj. pro energetický stav atomu na hranici kontinua:

ln

extrapolací naměřené B-přímky

+ 1 + 1

n n n∞ n = ln ∞ + ln S (ne ,T ) , viz. obr. ⇒ ln = ln S (ne ,T ) + ln 1 4 2 4 3 g g g∞ g ∞ <0

+ 1 + 1

…extrapolovaná hodnota koncentrace v excitovaném stavu na ionizační mezi ln S (ne ,T ) …sahovský skok Po dosazení: ε n n ln n = ln ∞ + n , viz. souhlas s B-přímkou gn g ∞ kT

2004

Strana 27

Fyzika plazmatu

Pozn.: ƒ ƒ

Obě přímky na B-S grafu, zachycujícím B-vztah a S-rovnici, mají stejné směrnice Význam pro diagnostiku plazmatu: V případě, že plazma je v nerovnovážném stavu (Te≠Ta), je možno využít experimentálních hodnot pro sahovský skok, pokud ne = n1+ (podmínka neutrality plazmatu v případě dominance jednoho plynu ve výbojové směsi), ke stanovení hodnoty Te (metoda 2 čar je považována za poměrně nespolehlivou, i když využijeme vysoko položených stavů – nízká intenzita čar, nespolehlivost odpovídajících E-koeficientů):

Experimentální hodnota S (ne ,Te ) se stanoví pomocí experimentální hodnoty ne = n1+ určené z S - rozšíření H β čáry a extrapolované hodnoty n∞ g ∞ stanovené z naměřených hodnot nn g n pro vysoko ležící stavy, viz. obr. Zobecněná Sahova rovnice: 32

ε ⎞ ⎟ e kT , kde r≥0 je stupeň ionizace atomu resp. iontu ⎟ ⎠ …vztah mezi obsazením n-tého stavu r-krát ionizovaného atomu, resp. iontu, koncentrací volných elektronů a obsazením zákl. stavu (r+1)-krát ionizovaného atomu, resp. iontu (iii) Maxwellovo rozdělení Pro všechny částice (elektrony, těžké částice) plazmatu platí:

nnr g nr ⎛ h 2 ⎜ = r +1 2g1r +1 ⎜⎝ 2πme kT ne n1

⎛ m ⎞ f M (W ) = ⎜ ⎟ ⎝ 2πkT ⎠

32

e

−

mW 2 2 kT

r n

…hustota pravděpodobnosti, že částice má rychlost v intervalu (W,W+dW)

m…hmotnost částic T…teplota (iv) Planckův zákon B-vztah, S-rovnice a M-rozdělení jsou důsledkem termodynamické rovnováhy v látkovém prostředí Planckův zákon je důsledkem termodynamické rovnováhy mezi látkovým prostředím a zářením Platí:

()

Iν Ω =

2hν 3 c 2 e hν kT − 1

-1…neboť fotony jsou bosony (viz. FIII)

spektrální hustota záření (intenzita záření

Pozn.:

2004

()

o frekvenci ν ve směru Ω )

Iν Ω nezávisí v TR na směru toku (neboť záření je izotropní), je dána pouze hodnotou teploty (silná závislost, viz. exponenciála – obr.)

Strana 28

Fyzika plazmatu

Wienův zákon posuvu: λmT = konst .

λm je vlnová délka odpovídající Iλ maxim pro danou T (roste-li T, posun λm k nižším hodnotám; viz. objevení tmavorudé barvy materiálů s růstem T – při nižších T pouze infračervené záření)

Pozn.: Planckova formule vyjadřuje spektrální rozdělení intenzity záření pro tzv. absolutně černé těleso (těleso zahřáté na určitou teplotu, pohlcuje veškeré záření, které na ně dopadne) Přibližný model absolutně černého tělesa

Pozn.: V rovnovážném stavu platí rovnost mezi rychlostmi absorpce a vyzáření energie stěnami Lokální termodynamická rovnováha Úplná termodynamická rovnováha je pro plazmové systémy zcela netypická, neboť téměř vždy dochází k jejímu narušení v důsledku úniku záření ze systému, tj. je narušena platnost Planckova zákona. Plazmové systémy se však mohou nacházet (viz. kvaziizotermické plazma obloukových výbojů) blízko tzv. lokální termodynamické rovnováhy (LTE), kdy je možno použít B-vztahu, S-rovnice a M- rozdělení, neboť látkové částice jsou ve vzájemné rovnováze a plazma je charakterizováno jednou teplotou. Pozn.: ƒ Plazma je ve stavu LTE, když rychlosti srážek vedoucích k obsazení excitovaných stavů látkových částic jsou mnohem vyšší než rychlosti odpovídajících radiačních procesů ƒ Růst odklonu od LTE v ose obloukového výboje s poklesem výbojového proudu (Nick 1984: p = 760 Torr – Argon, poloměr výbojové trubice R = 0.2 cm) I [A] ne[cm-3] Te[K] Ta[K] B- & S-vztah stav plazmatu fel(ε) 16 12 100 11 900 PLATÍ M LTE ≥ 40 ≥ 7 × 10 20 10 400 9 500 NEPLATÍ PRO n1 M PLTE 2 × 1016 2 9 800 5 400 NEPLATÍ PRO n1, slabý odklon PLTE 2 × 1015 porucha i pro n2 chvostu od M pokles silný pokles platí pouze pro nn, kde odklon o M postupně se další pokles pokles index n je dostatečně roste naruší PLTE (při velkém poklesu I, resp. vysoko ležící hladina ne již nepůjde o obloukový Te – Ta roste výboj) Princip detailní rovnováhy V podmínkách termodynamické rovnováhy platí: Diferenciální rychlost libovolného mikroskopického procesu je rovna diferenciální rychlosti odpovídajícího inverzního procesu.

2004

Strana 29

Fyzika plazmatu

Příklad: Excitace a deexcitace atomu srážkou s elektronem excitace → A(m ) + e ←srážková A(n ) + e srážková deexcitace

ε =

ε ′ = ε − ε mn = 1 meC ′2 (kinetická energie el. po srážce) 2

1 meC 2 (kinetická energie elektronu před srážkou) 2

Předpoklad: ƒ C >> W (velmi dobře splněno, viz. dříve) ƒ W = W′, tj. po nárazu elektronu nedojde ke změně kinetické energie atomu (realistické zjednodušení, které vede rychleji k výsledku) Platí (viz. dříve): exc exc (C )nmR f M (W )d 3W dRmn = ne f M (C )d 3C ⋅ CQmn 123 diferenciá lní rychlost excitace m → n v TR

koncentrace atomů v m-tém stavu v případě TR 3 deexc R M ′ ′ ′ ′ dR = ne f (C )d C ⋅ C Qnm (C )nn f (W )d 3W Po dosazení a porovnání diferenciálních rychlostí: n d C = 4πC dC C 6444 4744448 6 47 4 8 647 48 32 12 12 ε ε − ⎛ me ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2ε 2 1 −1 2 2ε exc ⎟⎟ e kT 4π ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ Qmn (ε )nnR g m e kT f M (W )d 3W = ε dε ⎜⎜ ne ⎜⎜ πkTe ⎠ gn me ⎝ me ⎠ 2 m ⎝124 4 42444 3 { 144 42444 3⎝ e ⎠ deexc nm

M

3

R m

2

mn

e

e

f M (C )

C2

dC

C′ 4πC ′ dC ′ 64444444 744444448 644 47 444 8 12 12 ε ε 32 − + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ m ( ) ε ε − 2 2 1 2 ⎛ ⎞ kT kT deexc e mn ⎜⎜ ⎟⎟ (ε − ε mn )−1 2 dε ⎢ (ε − ε mn )⎥ Qnm (ε − ε mn )nnR f M (W )d 3W = ne ⎜ 4π ⎟ e e πkTe ⎠ 2 me m m ⎝124 e ⎠ ⎦ 44 424444 3 14243 ⎝14 444244443 ⎣ e 2

mn

e

e

f M (C ′ )

dC ′

C ′2

Dostáváme:

exc deexc (ε ) = g n (ε − ε mn )Qnm (ε − ε mn ) g mεQmn

Fyzikální význam: Pomocí principu detailní rovnováhy dostáváme vztah mezi účinnými průřezy pro přímý a inverzní proces, tento vztah je dán pouze atomovými parametry ⇒ platí i mimo LTE!! ⇒ význam pro modelování nerovnovážného plazmatu (srážkovou deexcitaci popisujeme pomocí účinného průřezu pro srážkovou excitaci) exc deexc (ε ′) ≠ 0 pro ε ′ > 0 , tj. deexcitace Pozn.: Qmn (ε ) ≠ 0 pro ε > ε mn (excitace je procesem s prahem) ⇒ Qnm nemá práh V termodynamické rovnováze platí: exc deexc Rmn = Rnm

rychlost srážkové excitace m→n Po dosazení exc deexc ne nmR Smn = ne nnR Snm ↓ ↓ rychlostní koef. pro srážkovou excitaci (rychlostní integrál)

rychlost srážkové deexcitace n→m

rychlostní koef. pro srážkovou deexcitaci

Po úpravě: ε mn

deexc Snm =

g m kT exc exc deexc e Smn ...známe-li koeficient Smn (viz. integ. dříve), je snadné okamžitě stanovit Snm gn e

deexc Příklad (cvičení 8): Dokažte, že tento vztah pro Snm platí i mimo LTE, avšak pouze tehdy, je-li rozdělovací funkce elektronů maxwellovská Cvič. 8: Odvoďte vztah mezi Anm a fmn Cvič. 7: Ilustrativní – obsah není předmětem zkoušky Optická emisní spektroskopie

2004

Strana 30

Fyzika plazmatu

3. Rozdělovací funkce částic a zákony zachování Stanovení rozdělovací funkce je klíčové pro popis plazmatu – slouží k určení středních hodnot veličin, rychlostí procesů a veličin charakterizujících přenos částic, hybnosti a energie plazmatu

3.1. Boltzmannova rovnice Platí:

(

)

r r dns = ns (r , t )fs r ,C, t d 3C

(

r počet částic s-tého druhu v jednotce objemu v místě r , jejichž rychlosti leží v intervalu C,C + d C r r fs r ,C, t d 3C …pravděpodobnost, že částice se nachází v daném čase t v místě r a má rychlost C,C + d C r r ns (r , t ) …objemová koncentrace částic s v daném místě r v daném čase t Po integraci: +∞ +∞ r r r r r ns (r , t ) = ns (r , t )fs r ,C, t d 3C = ns (r , t ) fs r ,C, t d 3C

(

)

(

(

∫

)

∫ (

−∞

)

)

)

−∞

1442443

1 - normovací podmínka

Po další integraci: Ns (t ) 1 2 3

celkový počet částic s - tého typu v systému

+∞

=

∫

r ns (r , t )d 3 r =

−∞

∫ ∫ n (r , t )f (r ,C, t )

+∞ +∞

s

r

s

r

3 3 d 1 4Cd 24 3r

dΩ - integrace v šestirozměrném fázovém prostoru

− ∞− ∞

Platí: F n } C } r r r r r r r r r d ∂ ∂r ∂C ⎡ δ (ns fs ) ⎤ ns (r , t )fs r ,C, t = ns (r , t )fs r ,C, t + ∇ r ns (r , t )fs r ,C, t ⋅ + ∇C ns (r , t )fs r ,C, t ⋅ =⎢ dt t t t δt ⎥⎦ sr . ∂ ∂ ∂ ⎣ 42 14442444 3 14442444 3 1444 424444 3 14444244443 1 43 rychlost čistě časové změny celková rychlost změny počtu rychlost změny v důsledku toku částic rychlost změny v důsledku urychlení

[

( )]

částic rs v jednotcerobjemu v místě r s rychlostí C v daném čase t, tj. v jednom bodě fázového prostoru

[

( )]

(v případě elektronů je tento člen významný při vypnutí a zapnutí zdroje energie)

[

( )]

(tento člen je nenulový, když je rozdělení částic nehomogenn í v prostoru ⇒ existuje difúze, např. radiální difúze ke stěnám, resp. proudění částic)

[

( )]

S

s

rychlost změny počtu částic v důsledku srážek

částic silovým polem r (v případě elektronů dán intenzitou pole E vyvolanou zdrojem)

Po úpravě: F ∂ (ns fs ) r ⎡ δ (ns fs ) ⎤ + C ⋅ ∇ r (ns fs ) + s ns ∇C fs = ⎢ …B-rovnice pro rozdělovací funkci fs r ,C, t ⎥ ms ∂t ⎣ δt ⎦ sr . Srážkový člen Platí: rychlost změny počtu částic s v důsledku nepružných srážek ⎡ δ (ns fs ) ⎤ el . inel . ⎢ δt ⎥ = Cs + Cs ⎦ sr . ⎣ rychlost změny počtu částic Platí: s v důsledku pružných srážek dQsr +∞ 6 78 3 el . Cs = ns n r fs C ′ fr W ′ − fs C fr W g Isr dΩd W 1 4243 14243 r diferenciální − ∞(4π ) člen odpovídají cí člen odpovídají cí snížení počtu částic přírůstku počtu částic účinný průřez typu s s rychlostí typu s s rychlostí integrace přes všechny velikost relativní pro srážku s-r C (při srážce se C (při srážce se rychlosti částic typu r změnila rychlost z C změnila rychlost z C′ rychlosti

(

∑

∫∫ [( )( ) na C

Pružná srážka mezi částicemi s a r Přímá srážka:

2004

)

( ) ( )]

na C′

Inverzní srážka:

Strana 31

Fyzika plazmatu

Platí (viz dříve):

()( )

ns nr fs C fr W gI sr (g, χ )dΩd 3Cd 3W

(

(

)

)

…počet srážek částic s z intervalu C,C + d C a částic r z intervalu W ,W + dW v jednotce objemu za 1s, kdy nalétávající částice se odchylují pod úhlem χ Při popisu inverzní srážky bylo užito: χ′ ≡ χ g = C − W ≡ C′ − W ′ d 3Cd 3W = d 3C ′d 3W ′ Pozn.: V případě srážek nabitých částic je nutno započítat debyeovské stínění v dolní mezi integrálu přes dΩ (χmin≠0)

3.2. Zákony zachování

Zákony zachování počtu částic, resp. hmotnosti, hybnosti a energie jsou základními zákony pro objasnění procesů ve výbojích 1 Lze je získat po vynásobení B-rovnice funkcí Φ(C ) = 1 , resp. ms, ms C a msC 2 a po její integraci přes celý 2 rychlostní prostor závisí pouze na C Dostáváme: +∞ +∞ +∞ +∞ ⎛ Fs ⎞ ⎡ ∂ (ns fs ) ⎤ ⎡ δ (ns fs ) ⎤ 3 3 3 3 ⎜ ⎟ ⎢ ∂t ⎥ ⋅ Φ C d C + C ⋅ ∇ r (ns fs ) ⋅ Φ C d C + ⎜ m ns ∇ C fs ⎟ ⋅ Φ C d C = ⎢ δt ⎥ ⋅ Φ C d C ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s ⎠ −∞ −∞ −∞⎝ −∞

∫[

()

∫

Po úpravě:

] ()

()

r Φ C není expl. funkcí t

⎡ ∂ (ns fs ) ⎤ 3 ⎥⋅Φ C d C t ∂ ⎦ −∞

()

+∞

∫ ⎢⎣

(i)

=

∂ ∂t

()

∫

r ns nezávisí na C

∫ n f Φ(C )d C =

+∞

3

s s

−∞

()

()

∂ ns Φ C ∂t ↵

střední hodnota přes všechny rychlosti

C a t jsou nezávislé r r C a r jsou nezávislé

6474 8 +∞ ( ) d 3C Φ C C n f d 3C∇ r Φ C ⋅ Cns fs = ∇ r ⋅ ⎛⎜ ns Φ C ⋅ C ⎞⎟ ⋅ ⋅ ∇ = r s s 1 424 3 ⎠ ⎝ r −∞ −∞ nezávisí

()

+∞

(ii)

∫

∫

(()

∫

r explicitně na r

)

()

ns nezávisí na C, ale bude za ∇r

(iii) Předpokládáme, že působící síla F je elmag. povahy, tj. F nezávisí na C v elektrickém poli a F ⊥ C v magnetickém poli, tj. Fx nezávisí na Cx, Fy na Cy a Fz na Cz v magnetickém poli Potom: nezávislé stejnojmen né složky " per partes"

678 +∞ +∞ Fs Fs Fs F 3 3 d CΦ C ns ∇C fs = ns d C∇C Φ C fs − ns d 3Cfs ∇C Φ C = − s ns ∇C ⋅ Φ C ms ms − ∞ ms − ∞ ms −∞ 144 42444 3

()

+∞

∫

(())

∫

∫

()

()

0,

[()]

+∞

neboť Φ C fs − ∞ → 0, protože fs → 0 pro C → ±∞

Po dosazení:

( )⎞⎟⎠ + ∇ ⋅ ⎛⎜⎝ n Φ(C )C ⎞⎟⎠ − mF

()

( ( ))

⎡δ ⎤ ns ∇ C Φ C = ⎢ ns Φ C ⎥ t δ ⎣ ⎦ sr . s …obecná formule vyjadřující zmíněné zákony zachování Aplikace: ∂ ⎛ ⎜ ns Φ C ∂t ⎝

r

s

s

()

(i) Po dosazení Φ C = 1 dostáváme zákon zachování počtu částic (rovnice kontinuity pro částice s)

2004

Strana 32

Fyzika plazmatu

Platí: ∂ns ⎡ δn ⎤ + ∇ r ⎛⎜ ns C ⎞⎟ − 0 = ⎢ s ⎥ ∂t ⎣ δt ⎦ sr . 14⎝24 3⎠

časová změna počtu částic v jednotce objemu v daném místě v důsledku srážkových procesů

objemová hustota toku částic v daném místě

+∞

kde

C = us =

…tzv. difúzní (jinde označovaná jako unášivá, resp. driftová) rychlost = střední rychlost, kterou se celý oblak částic s pohybuje určitým směrem, přičemž částice v tomto oblaku vykonávají neuspořádaný tepelný pohyb

∫ Cf d C 3

s

−∞

C = us + v term.

Platí:

C …okamžitá rychlost us …tzv. difúzní rychlost (o čistě difúzní rychlost půjde pouze v případě neutrálních částic, pokud nebudou unášeny jinými částicemi; na částice s nábojem působí elmag. pole ⇒ drift) v term …termální rychlost částic

Pozn.: ƒ

Platí:

∫ ∇ ⋅ (1n2u3)dV ( ) r

V

s

s

Γs

G - věta

=

∫ Γ ⋅ dS = Φ s

s

celkový tok částic s uzavřenou plochou S

(S )

Γs…hustota toku částic s v daném místě = počet částic, které projdou jednotkou plochy za 1s v daném místě Pro pozorovatele, který se pohybuje rychlostí us , tj. s mrakem částic, bude rozdělení částic podle v term

ƒ

+∞

∫

zcela symetrické od počátku rychlostního prostoru, tj. v term fs d 3C = 0 (viz. zavedení us )

() 1 (iii) Po dosazení Φ (C ) = m C 2

−∞

(ii) Po dosazení Φ C = ms C dostáváme zákon zachování hybnosti s

2

dostáváme zákon zachování energie

Po netriviálních úpravách: ⎡δ ⎛ 1 3 dps 5 ⎞⎤ + ps ∇ ⋅ us + ∇ ⋅ qs = ⎢ ⎜ ns msC 2 ⎟⎥ , kde ps = ns kTs …parciální tlak částic s 1 2 3 dt 22 2 4243 2 ⎠⎦ sr . ⎣ δt4⎝ 4 1 3 1 1 42444 3

změna energie částic s v jednotce objemu za 1s při změně jejich parciálního tlaku (změna ns, resp. Ts), komprese nebo expanze částic při zapnutí a vypnutí

změna energie v důsledku proudění částic v nehomogenním plazmatu

()

změna energie v důsledku přenosu tepla (viz. např. tepelné ztráty)

změna energie částic s v důsledku jejich srážek s ostatními částicemi

us = u s r

Pozn.: qs = −λs ∇Ts , kde λs je tepelná vodivost částic vektor toku tepla, které je přenášeno částicemi s (energie, která projde jednotkou plochy za 1s) – vždy, když se okamžitá rychlost částic v daném místě liší od střední unášivé rychlosti, tj. částice mají vyšší nebo nižší teplotu, než je průměrná Rovnice pro energii elektronů v neizotermickém plazmatu Vzdaluje-li se plazma od stavu LTE, začíná se lišit teplota elektronů Te od teploty těžkých částic Ta≅Ti (≡Th); hovoříme o tzv. dvouteplotním plazmatu

Platí:

2004

Strana 33

Fyzika plazmatu

tento člen nutno přidat v případě nabitých částic

Pro elektrony platí:

n 3 k (Te − Th ) d ⎛ 3 5 ⎞ ⋅ (− λe ∇Te ) = J e ⋅ E − e 2 − Cin ⎜ ne kTe ⎟ + ne kTe ∇ ⋅ ue + ∇ 14 4244 3 123 dt ⎝ 2 2 τ 443 ⎠ 1442

−λe ∆Te za předpokladu, že r λe ≠ λe (r ) (ztráta energie odvedením tepla)

Pozn.:

celková energie zdroje předaná elektronům v jednotce objemu

úbytek energie elektronů při nepružných srážkách

ztráta energie elektronů při pružných srážkách s těžkými částicemi

za 1s J e = σ // E

Objasnění ztrátového členu na pravé straně rovnice 3 k (Te − Th ) …energie přenesená z elektronu na těžkou částici při srážce 2 τ…tzv. charakteristická doba pro přenos energie (doba mezi dvěma srážkami elektronu s těžkými částicemi, při nichž jim elektron předá svou kinetickou energii)

Platí:

τ =

1

ν

E eh

me (1) E , kde ν eh = 2 ν eh mh 123

frekvence srážek elektronu s těžkými částicemi, při nichž je přenášena hybnost, tj. energie obecně

faktor přenosu energie, frekvence srážek tj. střední hodnota elektronu, při poměrné části kinetické kterých elektron energie elektronu, kterou předá svou elektron ztratí při pružné kinetickou energii srážce s těžkou částicí těžkým částicím Zjednodušený tvar rovnice pro rozložení teplot ve stacionárním dc výboji d = 0 (viz. stacionární) Platí: dt r Navíc předpokládáme, že členy s ∇ ⋅ ue a Cin jsou zanedbatelné, λe ≠ λe (r ) Potom: n 3 k (Te − Th ) Je ⋅ E − e 2 + λe ∆Te = 0

τ

Případ homogenní, stacionární oblasti plazmatu (viz. např. kladný sloupec výboje): n 3 k (Te − Th ) Je ⋅ E = e 2

τ

Po úpravě: Te = Th +

2J e ⋅ E ⋅ τ …formule pro rozdíl Te − Th 3n e k

Te…kinetická teplota elektronů ( ε = 32 kTe ) Th…teplota atomů (většinou mají M-rozdělení) J e ⋅ E …výkon zdroje předaný do jedn. objemu

Pozn.: V první aproximaci lze psát: J e ~ ne , E ~ Uvýb ,τ ~

1 1 ~ , kde p je tlak; je vidět, že Te – Th nabývá nh p

poměrně velkých hodnot v nízkotlakých doutnavých výbojích (E a τ poměrně velké), zatímco Te≈Ta v obloukových výbojích za atmosférického tlaku (E a τ poměrně malé) Rovnice kontinuity pro elektrony Elektrony jsou nejaktivnějšími částicemi plazmatu (urychlovány elektrickým polem) – jejich popis je proto velmi významný

2004

Strana 34

Fyzika plazmatu

Jednou ze základních charakteristik plazmatu je objemová koncentrace elektronů ne, která je dána rovnicí kontinuity:

( )

hlavní procesy, které vedou ke změně počtu elektronů při srážkách

64444744448 ∂ne + ∇ ⋅ ne ue = neν ion. − αne n+ − neν zách. ∂t νion....frekvence jednostupňové ionizace atomů nebo molekul po srážce s elektronem (počet ionizačních aktů po srážce s 1 elektronem za 1s) α…koeficient pro rekombinaci elektron-iont (předp. ne≅n+) νzách....frekvence záchytu elektronu neutrálními částicemi P ): Platí (viz. vztah pro R12

ν ion =

∑n

s

gQsion. , kde ns je objemová koncentrace atomů, resp. molekul v určitém energet. stavu

s

ion. s

gQ

…střední hodnota výrazu gQsion. − rychlostní integrál

Tok elektronů ve výboji: Platí: Γe = ne ue …hustota toku elektronů ue…unášivá rychlost elektronů V obecném případě lze napsat: Γe = −ne µ e E − De ∇ne 123 123

driftový tok elektronů (proti směru E , tj. směrem od – k +), driftová rychlost:

,kde µe je pohyblivost elektronů, E intenzita vloženého elektrického pole, koeficient difúze pro elektrony: kTe De = 1 meν eh difúzní tok střední frekvence srážek s přenosem hybnosti elektronů mezi elektronem a všemi těžkými částicemi (proti směru nárůstu ne)

v d = −µe E

Pozn.:

Platí E-vztah mezi pohyblivostí a koeficientem difúze: De =

kTe µe (viz tok nosičů náboje v e

polovodičích) Rovnice pro difúzi Budeme předpokládat, že ve výrazu pro Γe dominuje difúzní člen. Tento případ je velmi důležitý v mnoha prakticky zajímavých situacích pro elektrony (viz. např. dohasínající výboj po vypnutí zdroje nebo oblast výboje mimo působení elektrického pole); mimoto, stejná situace je řešena i pro neutrální částice při jejich difúzi z místa jejich vzniku Další předpoklady: ƒ všechny členy na pravé straně považujeme za nulové (viz. princip superpozice – zajímá nás pouze vliv difúze) ƒ zatím zanedbáváme vliv iontů na difúzi elektronů (viz. ambipolární difúze později) ƒ uvažujeme, že De je konstantní Potom lze napsat: ∂ne − De ∆ne = 0 …rovnice pro difúzi ∂t ∂n −De ∆ne …tok elektronů z místa jejich vzniku⇒ e < 0 v místě odkud elektrony odtékají (ve ∂t stacionárním případě ne ≅ konst. , neboť difúze je v rovnováze s rychlostí ionizace) Řešení hledáme ve tvaru: r r ne (r , t ) = R (r )T (t )

2004

Strana 35

Fyzika plazmatu

Po dosazení: r ∂T (t ) r R (r ) = DeT (t )∆R (r ) ∂t r D 1 ∂T (t ) 1 = er ∆R (r ) = − T (t ) ∂t R (r ) τ → musí být konstanta ƒ Pro časovou závislost dostáváme: 1 dT (t ) = − dt T (t ) τ t − r , tj. ne (r , t ) ~ e τ , kde τ je tzv. difúzní rozpadová doba (ne klesne e-krát za t=τ) Pozn.: ne by klesla v důsledku difúze, kdyby byl vypnut zdroj (viz. „vypnutí“ ionizačního členu na pravé straně rovnice kontinuity) ƒ Pro prostorovou závislost platí: r r r De 1 1 R (r ) r ⋅ ∆R (r ) = − ⇒ ∆R (r ) = − R (r ) Deτ τ Lze psát: tzv. difúzní délka (charakterizuje pokles r r 1 koncentrace ne v prostoru v důsledku difúze) ∆ne (r ) = − 2 ne (r ) , kde Λ = Deτ Λ ...difúzní rovnice pro prostorovou závislost koncentrace difundujících elektronů (řešení závisí na geometrii) Difúze v cylindrickém systému Cylindrická geometrie je velmi významná pro fyziku plazmatu a plazmové technologie (viz. tvar výbojových trubic a komor) – nabité i nenabité částice difundují z oblasti svého vzniku (většinou v ose výboje), kde Te, Ta, Ti, ne≅ni a nn nabývají svých maximálních hodnot, radiálním směrem ke stěnám výbojových trubic a komor reaktorů

T (t ) = T (0 ) ⋅ e

−t

τ

Po zavedení válcových souřadnic: r 1 ∂ ∂ne 1 ∂ 2 ne ∂ 2 ne ∆ne (r ) = + 2 + r r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 Předpokládáme, že: ∂ne = 0 , tj. žádný tok ve směru osy z ∂z ∂ne = 0 , tj. symetrie kolem osy ∂ϕ

Po dosazení: 1 ∂ 2 ne 1 ∂ne ne r + + 2 =0 r ∂r 2 r ∂r Λ

r2

2

r2

∂ 2 ne ∂n ⎛ r ⎞ + r e + ⎜ ⎟ ne = 0 ...Besselova rovnice pro n = 0 (je snadné se zbavit zlomku y = r ) 2 ∂r ⎝ Λ ⎠ ∂r Λ

Pozn.: Besselova rovnice

(

)

d 2y dy +x + x 2 − n2 y = 0 dx dx 2 Obecný tvar řešení: y = C1J n (x ) + C2Yn (x ) x2

↓ B - funkce 1.druhu indexu n

2004

↓ B - funkce 2.druhu (Weberova funkce)

Strana 36

Fyzika plazmatu

⎛r ⎞ V našem případě splňuje určitě B-rovnici B-funkce J 0 ⎜ ⎟ , řešení pro ne(r) píšeme ve tvaru: ⎝Λ⎠ ⎛r ⎞ ne (r ) = ne (0 )J 0 ⎜ ⎟ ...výraz pro radiální závislost koncentrace elektronů ⎝Λ⎠ ...tzv. dominantní difúzní mód – představuje dominantní člen v obecném řešení Besselovy rovnice (rozpadová konstanta pro další člen je mnohokrát kratší) Průběh závislosti J0(x)

Okrajová podmínka: ne (r ) = 0 pro r = R ...tj. na stěnách výbojové trubice, resp. komory nejsou v důsledku rekombinace na stěně žádné elektrony Vztah pro difúzní délku: R R = 2.405 ⇒ Λ = Λ 2.405 ↓ viz. graf J0 ( x )= 0 pro x = 2.405

Po dosazení: r ⎞ ⎛ ne (r ) = ne (0 )J 0 ⎜ 2.405 ⎟ R ⎝ ⎠

koncentrace elektronů v ose výboje koncentrace elektronů ve vzdálenosti r od osy Difúzní rozpadová doba pro dominantní mód: 2 R2 1 ⎛ R ⎞ tj. τ ~ ~ R 2 p ⇒ pokles ne v důsledku difúze je rychlý, R ⎜ ⎟ , Deτ = ⇒τ = De De ⎝ 2.405 ⎠ 2.405 když poloměr výbojových trub je malý a tlak je nízký Ambipolární difúze Zatím jsme předpokládali, že difúze elektronů není ovlivněna existencí iontů, to je možné jedině při velmi nízkém stupni ionizace ne na , resp. ne n1 , kde n1 je objemová koncentrace atomů na základní hladině V reálných výbojích je difúze elektronů ovlivněna ionty (viz. např. radiální difúze ve výbojových trubicích) Platí: kTe kTi De = >> Di = , neboť me<<mi a často Te>>Ti 1 meν eh mi ν ih1 De...koeficient difúze pro elektrony Di...koeficient difúze pro ionty (dále píšeme Di ≡ D+) ⇒ při stejném koncentračním spádu je difúzní tok elektronů mnohokrát větší než difúzní tok iontů, to vede ke vzniku vnitřního elektrického pole o intenzitě Evn , které bude působit proti difúznímu toku elektronů a zároveň zvyšovat tok iontů o jejich drift, tím bude zachována kvazineutralita plazmatu (základní vlastnost plazmatu viz. dále)

2004

Strana 37

Fyzika plazmatu

Platí: Γe = −De ∇ne − ne µ e Evn 1 424 3 Γ+ = −D+ ∇n+ + n+ µ + Evn 1 424 3

driftový tok elektronů proti směru vzniklého vnitřního elektrického pole, tj. celkový tok elektronů ve směru poklesu ne se zmenší driftový tok iontů ve směru vzniklého vnitřního elektrického pole, tj. celkový tok iontů ve směru poklesu n+ se zvětší

Po úpravě: ∂ne µ+ = −∇ ⋅ Γe = De ∆ne + ne µe ∇ ⋅ Evn + µe Evn ∇ne ∂t ∂n+ = −∇ ⋅ Γ+ = D+ ∆n+ − n+ µ + ∇ ⋅ Evn − µ + Evn ∇n+ µe ∂t Platí: ne ≅ n+ ≡ n (podmínka kvazineutrality, zajištěna působením vnitřního elektr. pole) Po úpravě:

(µ + + µe ) ∂n = (µ + De + µeD+ )∆n ∂t

∂n De µ + + D+ µe = ∆n ∂t µ + + µe 14 4244 3 Da

Dostáváme: Da =

Pozn.: Platí:

De µ + + D+ µ e µ + + µe

...koeficient ambipolární difúze (je stejný pro elektrony i ionty, tj. částice obou typů „difundují“ stejnou rychlostí – viz. vliv vnitřního elektrického pole)

V reálném výboji, kde nelze zanedbat vliv iontů, je nutno De (viz dříve) nahradit Da De >> Da a µe =

e e De >> µ + = D+ kTe kT+

neboť µ e =

e meν

1 eh

>> µ + =

e mi ν ih1

Potom dostáváme: De

Da =

µe

µ + + D+

=

⎛ T kTe T+ µ + + D+ = D+ ⎜⎜1 + e e T+ ⎝ T+

⎞ ⎟⎟ ⎠

faktor zvětšení „difúzního“ koeficientu iontů v důsledku <<1 vnitřního elektrického pole Pozn.: V případě nízkotlakých doutnavých výbojů (depozice vrstev, modifikace povrchů: Te>>T+) Da >> D+ , µ+ µe

{

+1

pro obloukové výboje za atmosférického tlaku (tzv. kvaziizotermické plazma Te ≅ T+) Da ≅ 2D+ (nejmenší zvětšení Da oproti D+) Stanovení intenzity vnitřního elektrického pole Evn

Platí:

Γe = Γ+ = −De ∇n − nµe Evn = −D+ ∇n + nµ + Evn 1 424 3

po nastavení rovnováhy

Po úpravě: Evn = −

2004

De − D+ ∇n µ + + µe n

Strana 38

Fyzika plazmatu

Pro De>>D+ a µe>>µ+ dostáváme: }1 ⎞ ⎛ << ⎜ De ⎜ 1 − DD ⎟⎟ ⎜ ⎟ ∇n kT ∇n ⎠ E vn = − ⎝ =− e e n ⎞ n ⎛ µ e ⎜⎜ µµ + 1⎟⎟ ⎜{ ⎟ ⎝ <<1 ⎠ ...tj. intenzita vytvořeného elektrického pole závisí na teplotě elektronů, koncentraci nosičů náboje a jejím gradientu +

e

+

e

Cvičení 10-11:

Srážkově-radiační model plazmatu (ilustrativně ukázat případ reálného řešení pro Ar plazma, viz. Paper I – ukázat tvorbu modelu, fitování účinných průřezů, zákl. rovnice – srážky atomatom, difúze metastabilů, tvar, B-rovnice – to nebude předmětem zkoušky)

4. Základní makroskopické charakteristiky plazmatu Zatím jsme se zabývali především chováním a vlastnostmi jednotlivých částic v částečně ionizovaném plynu. Nyní se zaměříme na studium makroskopických charakteristik systému nabitých částic, které vykazují kolektivní chování (viz. ambipolární difúze)

4.1.Kvazineutralita plazmatu a Debyeův poloměr stínění Základní vlastností plazmatu je jeho snaha nastavit v jakémkoliv místě kvazineutralitu Vznikne-li v nějakém místě plazmatu náboj, dojde k tomu, že v jeho okolí jsou v důsledku coulombické interakce shromažďovány náboje opačné polarity. Tím je vliv daného náboje odstíněn. Platí:

r

ρ (r ) ∇⋅E = ε0

ρ...objemová hustota volného náboje (zdroj existence elektrického pole) E...intenzita vzniklého elektrického pole Po dosazení: r r r e(ni (r ) − ne (r )) ∇ ⋅ (− ∇ϕ (r )) =

ε0

r r r e ∆ϕ (r ) = − [ni (r ) − ne (r )] ...Poissonova rovnice pro potenciál vzniklého elektrického pole

ε0

r ϕ...potenciál elektrického pole v daném místě r Pro prostorové rozložení elektronů i iontů lze v dobrém přiblížení použít rovnovážné Boltzmannovo rozdělení (viz. FIII): r

U (r ) eϕ (r ) − + r ne (r ) = ne ⋅ e kT = n ⋅ e kT pot

objemová koncentrace elektronů r v místě r

r

objemová koncentrace elektronů v místě r U pot (r ) = 0 , tj.

označíme: ne = ni ≡ n (rovnovážná koncentrace elektronů a iontů v místě, kde byl vliv náboje r odstíněn, tj. ϕ (r ) = 0

tam, kde byl vliv náboje odstíněn

2004

Strana 39

Fyzika plazmatu

r Pozn.: Pro malé r lze psát: ϕ (r ) ≈

q 4πε 0 r

r r > 0 , pokud q > 0 (viz. obrázek) , tj. ne (r ) > n a ni (r ) < n (viz.

formule) pro r ≈ 0 ⇒ blízko kladného náboje q se hromadí elektrony (důsledek C-interakce) Po dosazení: r

r

eϕ (r ) eϕ (r ) ⎞ + r en ⎛⎜ − kT kT ⎟ ∆ϕ (r ) = − − e e 3 1r23r ⎟ r ε 0 ⎜⎝ 1n2 (r ) n (r )> n (r ), ⎠ r i

e

i

neboť ϕ (r )> 0 v důsledku q > 0

Řešení rovnice pro ϕ: Zavedeme sférické souřadnice a využijeme izotropie, tj. zajímá nás jenom závislost na vzdálenosti od náboje q, tj. funkce ϕ=ϕ(r) r 1 d ⎛ 2 dϕ ⎞ ∆ϕ (r ) = 2 ⎜r ⎟ Platí: r dr ⎝ dr ⎠ r Pro oblast, kde se začne projevovat stínění, tj. v oblasti poklesu ϕ (r ) pro dostatečně velká r, lze psát: eϕ << 1 kT

Potom:

1 d ⎛ 2 dϕ ⎞ 2 en ⎛ eϕ (r ) eϕ (r ) ⎞ 2ne 2 r = − − + L − − + L ϕ (r ) = 2 ϕ (r ) 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= 2 kT kT ε0 ⎝ λD r dr ⎝ dr ⎠ ⎠ ε 0 kT 12

⎛ ε kT ⎞ Substituce: λD = ⎜ 0 2 ⎟ ...zatím pouze konstanta (fyzikální smysl později) ⎝ ne ⎠ Zavedeme funkci: g (r ) ϕ (r ) = r Platí: dϕ (r ) 1 1 dg (r ) = − 2 g (r ) + dr r dr r Po dosazení: 1 d ⎡ 2⎛ 1 1 dg (r ) ⎞⎤ 2 g (r ) ⎟⎥ = 2 ⎢r ⎜ − 2 g (r ) + 2 r dr ⎠⎦ λD r r dr ⎣ ⎝ r d 2 g (r ) ⎞ 1 ⎛ dg (r ) dg (r ) 2 ⎜− ⎟= + + r g (r ) r ⎜⎝ dr dr dr 2 ⎟⎠ λ2D d 2 g (r ) 2 = 2 g (r ) dr 2 λD g (r ) = C ⋅ e

±

2

λD

r

+ nemá fyzikální smysl, neboť ϕ(r)→0 pro r→∞

Po dosazení:

ϕ (r ) = C ⋅

e

−

2

λD

r

r průběh potenciálu pro dostatečně velkou vzdálenost od náboje (r musí být tak velké, aby platilo eϕ << 1 ) kT Stanovení konstanty C: Pro dostatečně malou vzdálenost r od náboje q se efekt stínění neprojevuje, tj. q ϕ (r ) = ...obyčejný coulombický potenciál vyvolaný nábojem q ve vakuu 4πε 0 r

2004

Strana 40

Fyzika plazmatu

Po dosazení:

ϕ (r ) =

q

⋅e

4λε 0 r

−

2

λD

r

, kde λD je délkový parametr [m] určující faktor stínění, tzv. Debyeův poloměr stínění

průběh potenciálu vyvolaného nábojem q, který vznikne v plazmatu Pozn.: Debyeův poloměr λD vymezuje oblast existence elektrického pole vyvolaného nábojem v plazmatu, tj. oblast narušení kvazineutrality plazmatu; pro r = λD dostáváme faktor stínění C-potenciálu: e−

2

= 0.24

4.2. Oblast prostorového náboje na rozhraní plazma-pevná látka Jedním z důležitých případů narušení kvazineutrality v plazmatu je oblast prostorového náboje, která vzniká na rozhraní plazma-pevná látka. Pochopení tohoto jevu je důležité pro objasnění principu sondových metod diagnostiky plazmatu a dějů v oblasti elektrod využívaných v plazmových technologiích. Předpoklady: ƒ Do stacionárního plazmatu je vložena tzv. plovoucí elektroda (taková, jejíž potenciál není dán vnějším zdrojem), která neemituje elektrony. ƒ Pro jednoduchost uvažujeme rovnost Te = Ti ≡ T , tj. teplota elektronů a těžkých částic je stejná v celém systému.

Platí: ⎛ 8kT Ce = ⎜⎜ ⎝ πme

12

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ 8kT >> Ci = ⎜⎜ ⎝ πmi

12

⎞ ⎟⎟ , neboť me << mi ⎠

Ce ...tepelná rychlost elektronů se kterou dopadají na elektrodu

Ci ...tepelná rychlost iontů

Tok elektronů na elektrodu v první fázi mnohokrát převyšuje tok dopadajících iontů ⇒ elektroda se velmi rychle nabije záporným nábojem takové hodnoty, která brání dopadu dalších elektronů a vede k vyrovnání elektronového a iontového toku.

Dvě základní otázky řešení problému: ƒ Stanovit hodnotu potenciálu plovoucí elektrody ϕ0 < 0 ƒ Určit rozměr oblasti, kde je narušena kvazineutralita, tj. tloušťku vrstvy prostorového náboje, kde ϕ(y)≠0 Hodnota ϕ0 Předpokládáme, že ƒ tloušťka vrstvy prostorového náboje < střední volná dráha elektronů a iontů ( l e , l i ), tj. uvnitř oblasti nedochází ke srážkám ƒ Platí:

()

rozdělovací funkce elektronů fe C je maxwellovská Γe = n

objemová koncentrace elektronů mimo oblast prostorového náboje, neboť v ní nedochází ke srážkám fe C C y d 3C

∫ ()

Cy > Cy 0

2004

velikost hustoty toku elektronů (ve směru osy y), které dopadnou na elektrodu

na povrch elektrody dopadnou pouze ty elektrony, které se pohybují směrem k ní a které překonají potenciálovou bariéru danou existencí záporného náboje na elektrodě Strana 41

Fyzika plazmatu

Platí: meC y2

0

2 Po dosazení:

= −e ϕ 0

ϕ0<0 – hodnota potenciálu plovoucí elektrody

1 2 +∞ ⎤⎡ mC ⎡⎛ m ⎞1 2 +∞ − m C ⎤ ⎡⎛ m ⎞1 2 +∞ − m C ⎤ − ⎛ me ⎞ e e 2 kT 2 kT ⎢ ⎥ Γe = n ⎢⎜ e dC x ⎥ ⎜ e C y dC y ⎢⎜ e 2kT dC z ⎥ ⎟ ⎟ ⎟ ⎥ ⎢⎝ 2πkT ⎠ ⎢⎣⎝ 2πkT ⎠ −∞ ⎥ ⎢⎝ 2πkT ⎠ C ⎥ −∞ ⎣ 44442 ⎦1 1 4444244443⎦ ⎣ 44443⎦ e

∫

2 x

e

∫

2 y

∫

e

2 z

y0

1 (viz. normovací podmínka) - celková pravděpodo bnost výskytu částice s x -ovou složkou rychlosti C x v intervalu -∞,+∞

1

Substituce: meCy2 =t 2 kT 2 meCy dC y 2 kT

=dt

Po dosazení: ⎛ me ⎞ Γe = n⎜ ⎟ ⎝ 2πkT ⎠

12

kT me

+∞

n ⎛ 8kT e dt = ⎜⎜ 4 ⎝ πme eϕ

∫

−

−t

0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

12

[− e ]

−t + ∞ eϕ − 0 kT

eϕ

=

0 n Ce e kT 4

, tj. tok elektronů je brzděn záporným nábojem plovoucí elektrody (ϕ0<0)

kT

Analogicky pro ionty: n Γi = Ci ...velikost hustoty toku iontů ve směru osy y (žádná bariéra pro ionty) 4 n...objemová koncentrace iontů mimo oblast prostorového náboje (uvnitř ní nedochází ke srážkám) Potenciál plovoucí elektrody ϕ0 se nastaví na takovou hodnotu, že platí: Γe = Γi n ⎛ 8kT ⎜ 4 ⎜⎝ πme

12

eϕ ⎞ n ⎛ 8kT ⎟⎟ e kT = ⎜⎜ 4 ⎝ πmi ⎠ 0

12

⎞ ⎟⎟ ⎠

12

ϕ0 = −

kT ⎛ mi ⎞ ⎟ < 0 , viz. silnou závislost na teplotě částic (důsledek závislosti Γe na T) ln⎜ e ⎜⎝ me ⎟⎠ 14243 >0

hodnota potenciálu plovoucí elektrody Tloušťka vrstvy prostorového náboje: Obdobně jako v případě stínění náboje q získáváme: r

r

eϕ (r ) eϕ (r ) ⎞ + r en ⎛⎜ − kT kT ⎟ e e ∆ϕ (r ) = − − 3 1r23r ⎟ r ε 0 ⎜⎝ 1n2 (r ) n (r )< n (r ) ⎠ i

e

i

Poissonova rovnice pro průběh potenciálu r ϕ (r ) elektrického pole v oblasti prostorového nábojee Na okraji vrstvy platí: r eϕ (r ) << 1 kT

r neboť ϕ (r ) < 0 , tj. blízko záporně nabité elektrody převládá kladný náboj (viz. obrácenou situaci vzhledem k případu náboje q>0, který vznikl v plazmatu)

V jednodimenzionálním případě dostáváme pro dostatečně velké y (vzdálenost od plovoucí elektrody): 2 d 2ϕ (y ) en ⎛ eϕ (y ) eϕ (y ) ⎞ 2ne 2 ϕ (y ) = 2 ϕ (y ) =− + L − 1− + L⎟ = ⎜1 − 2 kT kT kT ε0 ⎝ ε λ dy ⎠ 0 D Řešení má tvar:

ϕ (y ) ~ e

−

2

λD

y

Pro všechny y lze v dobré aproximaci psát:

2004

Strana 42

Fyzika plazmatu

−

2

, tj. tloušťka vrstvy prostorového náboje je zhruba rovna Debyeovu poloměru stínění – kolem elektrody se vytváří vrstva kladného náboje, která brání tomu, aby do plazmatu pronikalo elektrické pole, viz. základní vlastnost plazmatu λD...Debyeův poloměr ϕ(y)...potenciál ve vzdálenosti y od plovoucí elektrody

ϕ (y ) = ϕ 0 ⋅ e

λD

y

4.3. Doba odezvy plazmatu a plazmová frekvence Při jakémkoli narušení kvazineutrality plazmatu vznikají značné síly, které mají tendenci nastavit znovu kvazinuetralitu ⇒ dochází ke vzniku oscilací elektronů a iontů v plazmatu. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že ionty jsou v plazmatu zcela nehybné, neboť mi >> me , tj. jsou jakýmsi pozadím při rychlých oscilacích elektronů. Nechť v daném místě plazmatu dojde v určitém čase k elementární změně objemové koncentrace elektronů, tj. platí: ne (t ) = n + δn (t )

ne(t)...okamžitá hodnota objemové koncentrace elektronů n...stacionární hodnota ne=ni≡n před poruchou δn(t)...elementární změna objemové koncentrace Platí: ∇ ⋅ E (t ) =

(− e )δn(t ) ε0

...Gaussova věta (viz. dříve)

okamžitá lokální hodnota intenzity elektrického pole vytvořeného prostorovým nábojem Podle 2.N-zákona: ∂ue (− e )E = , kde ue - (střední) unášivá rychlost elektronů ne ∂t

okamžité zrychlení el., které jsou odpuzovány z místa přebytku záporného náboje (δn>0) V daném místě dochází k přerozdělení koncentrace elektronů, platí zákon zachování počtu elektronů: ∂ne + ∇ ⋅ ne u e = 0 ∂t zanedbáváme srážkový člen Pozn.: ∂ne ƒ Je-li ∇ ⋅ ne ue > 0 , tj. elektrony odtékají z daného místa, potom < 0 , tj. koncentrace elektronů ∂t v daném místě klesá, až se δn stane v důsledku setrvačnosti pohybu elektronů záporným ⇒ v tom

( )

( )

( )

okamžiku se směr E obrátí, tj. elektrony začnou přitékat do daného místa, tj. ∇ ⋅ ne ue < 0 , potom ∂ne > 0 ,tj. koncentrace elektronů v daném místě roste, až se δn stane kladným – děj se opakuje: ∂t hodnota δn osciluje s časem, směr pohybu elektronů se v okolí daného místa mění (hovoříme o oscilacích elektronů) Základní otázka řešení problému: Stanovit tzv. plazmovou frekvenci, tj. frekvenci oscilací elektronů Po dosazení: ∂ (n + δn(t )) + ∇ ⋅ (n + δ1n2(3 t )) ue = 0 ∂t ↓ << n, tj. δn (t ) nezávisí na čase

Dostáváme: ∂ (δn ) + ∂t

v první aproximaci zanedbáme

r předp. n ≠ n (r ), neboť změna δn probíhá ve velmi malém prostoru

( )

∇ ⋅ nu e = 0

∂2 (δn ) + n∇ ⋅ ∂ue 2 ∂t ∂t { =−

2004

∂ ∂t

=0

e E (t ) (viz. výše ) me

Strana 43

Fyzika plazmatu

Po úpravě: ∂2 (δn ) − en ∇1⋅2 E (t ) = 0 me eδn3 ∂t 2 (t ) (viz. výše) – tato úprava vede k rovnici pro kmity =− ε0

Po dosazení: ne 2 ∂2 ( ) δ n + δn = 0 ↓ kmity nejsou tlumeny v důsledku zanedbání srážek v rovnici kontinuity ε me ∂t 2 1023 ωp2 - tzv. plazmová frekvence (viz. dále)

Tvar řešení:

(

δn (t ) = X sin ω p t + α p

doba jedné periody kmitů

)

Platí:

T =

2π 1 , tj. ωp ωp

kruhová frekvence okamžitá hodnota oscilací elektronů elementární změny koncentrace π-krát kratší doba než interval elektronů po mezi maximální kladnou a poruše ( δn >< 0 ) maximální zápornou hodnotou δn v daném místě

- tzv. doba odezvy plazmatu (charakterizuje dobu, za níž plazma zareaguje na narušení kvazineutrality)

Souvislost plazmové frekvence a Debyeova poloměru 12

12

12

⎛ kT ⎞ ⎛ ε kT ⎞ ⎛ ne 2 ⎞ ⎟ = ⎜⎜ e ⎟⎟ ≈ Ce λDω p = ⎜ 0 2 e ⎟ ⎜⎜ velikost střední tepelné rychlosti elektronů Platí: ⎟ ⎝ ne ⎠ ⎝ meε 0 ⎠ ⎝ me ⎠ Po úpravě: 1 Ce ⋅ ≈ λD poloměr oblasti, v níž je narušena kvazineutralita

ωp

→ doba odezvy plazmatu Pozn.:

1

ωp

je čas, za který se elektrony dostanou z místa vzniku poruchy do vzdálenosti λD

[ ]

ƒ

1 1 12 -3 Platí: ω p = 56.4 × ne m ⇒ ~ , tj. reakce plazmatu na poruchu kvazineutrality je rychlá, ω p n1e 2

ƒ

když ne je dostatečně vysoká (př. obloukové výboje) Je-li plazma narušováno dopadem elmag. vlny o kruhové frekvenci ω, potom elektrony plazmatu jsou schopny udržet jeho kvazineutralitu, tj. stínit plazma před elmag. polem, pokud ω < ω p - elmag. vlna

se odrazí ⇒ plazmatem se mohou šířit pouze elmag. vlny o kruhové frekvenci ω≥ωp (uvedený závěr je třeba modifikovat, když budou započteny srážky).

4.4. Sondová diagnostika plazmatu Velmi důležitá pro stanovení základních charakteristik plazmatu: koncentrace a teploty elektronů, potenciálu a rozdělovací funkce elektronů v různých místech výboje. Langmuirova sonda (r. 1924) ƒ Tenká kovová elektroda (Pt, Mo, W nebo nerez – dostatečně vysoká teplota tání a odolnost proti bombardování nabitých částic) v trubičce z izolátoru, která svým hrotem 5 až 10mm dlouhým zasahuje do plazmatu, kam je vnořena (může být pohyblivá) Metoda jedné sondy Je používána, když alespoň jedna elektroda výboje je v plazmatu Pozn.: ƒ V případě bezelektrodových výbojů (RF, mikrovlnné výboje) je nutno použít metody dvou sond

2004

Strana 44

Fyzika plazmatu

Měřící obvod s jednou sondou

Měříme volt-ampérovou charakteristiku sondy, resp. I-ϕ charakteristiku (změnou napětí zdroje měníme hodnotu potenciálu sondy ϕp(probe potential), vůči vztažné elektrodě: K, A nebo komora) v daném místě plazmatu ⇒ získáváme lokální hodnoty ne ,Te ,ϕ f a ϕs resp. fel (ε )

ϕf...plovoucí potenciál(floating potential) ϕs...potenciál plazmatu (plasma space potential) Teorie sondových měření je vypracována jen pro specifické podmínky v plazmatu, interpretace měření musí být dělána s ohledem na analýzu teoretických předpokladů (hlavním problémem je otázka vlivu srážek mezi částicemi v plazmatu na V-A charakteristiku). Nejjednodušší případ – výboje za nízkého tlaku (p ≤ 0.1 Torr = 13.3 Pa) – Langmuirova teorie Platí následující předpoklady: (i) Plazma jako celek je nehybné, tj. drift elektronů je zanedbatelný vzhledem k jejich tepelné rychlosti (ii) Sonda neemituje elektrony (iii) Rozměr sondy

L << l e , l i , tj. dopadající nabité částice nevykonávají v oblasti sondy srážky

~

1 , kde p je tlak ve výbojové komoře p

(iv) Rozměr sondy L >> λD (Debyeův poloměr), tj. příelektrodovou oblast lze považovat za rovinnou (viz.

vztah pro Γe a Γi), nedochází v ní ke srážkám ( λD << L << l ) Pro jednoduchost navíc předpokládáme (viz. odvození formulí pro Γe a Γi): (tyto předpoklady budou oslabeny na cvičení) (v) Rozdělovací funkce elektronů a iontů je maxwellovská (vi) Teplota elektronů a iontů je stejná, tj. Te = Ti ≡ T (toto zjednodušení je velmi silné)

2004

Strana 45

Fyzika plazmatu

Typický tvar V-A charakteristiky sondy

Závislost I = I(ϕp)lze rozdělit na 3 oblasti: Oblast A : ϕ p ≤ ϕf Platí:

ϕ p = ϕf , když I = 0 celkový tok na sondu je nulový, neboť elektroda má takový záporný potenciál vzhledem k potenciálu plazmatu (viz. Ce >> Ci ), že elektronový tok je redukován na hodnotu iontového toku ƒ

Pro ϕ p < ϕf : iontový tok začne převládat nad tokem elektronů, tj. I<0 – elektrony jsou odpuzovány sondou

ƒ

Pro ϕ p < 0

ϕ p >> ϕf : registrujeme tzv. iontový saturační proud (jeho hodnota pomalu roste s dalším poklesem ϕp v důsledku růstu efektivní plochy sondy při zvětšování tloušťky oblasti prostorového náboje u sondy – v okolí záporné sondy je oblast kladného prostorového náboje, tou prolétne iont beze srážky na sondu, viz. ChildLangmuirova rovnice v LS)

Oblast B : ϕf < ϕ p ≤ ϕs

ƒ

Pro ϕ p > ϕf : I > 0 → celkový tok na sondu je kladný, neboť převládá tok elektronů nad tokem iontů

ƒ

Při dalším růstu ϕ p : I roste, neboť vrůstá tok elektronů na sondu v důsledku dalšího snížení bariéry, kterou

vytvářejí na sondě záporné náboje, protože Ce >> Ci ƒ

V případě ϕ p = ϕs : bariéra pro elektrony zcela zaniká, tj. celkový tok na sondu je dán rozdílem

neredukovaných toků elektronů a iontů, jež jsou důsledkem jejich tepelného pohybu (sonda na potenciálu plazmatu nenarušuje kvazineutralitu plazmatu v daném místě ⇒ v okolí sondy se netvoří oblast prostorového náboje) Oblast C : ϕ p > ϕs

ƒ

Pro ϕ p > ϕs : tok iontů na sondu je redukován nutností iontů překonávat potenciálovou bariéru (sonda narušuje kvazineutralitu plazmatu, neboť v jejím okolí se hromadí záporný náboj odpovídající kompenzaci rozdílu ϕp - ϕs > 0)

ƒ

Pro ϕ p >> ϕ s : téměř všechny ionty jsou odpuzovány sondou, je registrován tzv. elektronový saturační

proud (jeho hodnota roste s dalším růstem ϕp v důsledku růstu efektivní plochy sondy při zvětšování tloušťky záporného prostorového náboje u ní, ale i v důsledku ionizace atomů a molekul elektrony, při jejich toku na sondu)

2004

Strana 46

Fyzika plazmatu

Teoretická závislost I = I(ϕp) I = Ie − I i ...celkový tok elektronů a iontů na sondu

Platí:

Ie...tok elektronů Ii...tok iontů Po uplatnění výchozích předpokladů a výsledků pro Γe a Γi (viz. dříve) dostáváme: (i) Pro ϕ p ≤ ϕ s (viz. oblast A a B) Tok elektronů je snižován bariérou a tok je dán tepelným pohybem přičemž zanedbáváme vliv ϕp na efektivní plochu sondy velikost hustoty toku elektronů ve Platí: směru kolmém na rovinnou vrstvu } prostorového náboje e (ϕ − ϕ ) − C I = Ie* e kT − I i* , kde I e* = A ⋅ e ⋅ n e 4 A...plocha sondy I e* ...saturační proud elektronů s

p

I i* = A ⋅ e ⋅ n

Pozn.:

Ci 4

ne = ni ≡ n (v oblasti prostorového náboje u sondy

ƒ

nedochází ke srážkám, λD << L << l e , l i ) * Pro velké záporné hodnoty ϕp dostáváme: I = −I i

ƒ

* * Pro ϕp = ϕs: I =I e −I i , tj. žádná redukce chaotických toků

(ii) Pro ϕ p > ϕ s (viz. oblast C)

Tok iontů je snižován bariérou a tok elektronů je dán tepelným pohybem, přičemž zanedbáváme vliv ϕp na efektivní plochu sondy Platí: e (ϕ − ϕ ) − I = Ie* − I i* e kT p

s

Pozn.:

ƒ

* * Pro ϕp = ϕs: I =I e −I i

Pro velké kladné hodnoty ϕp: I = Ie Sondová diagnostika plazmatu Pozn.: Stále platí zjednodušující předpoklady (maxwellovské rozdělení elektronů a iontů, Te = Ti ≡ T) Obvyklý postup: (i) Nastavením dostatečně velkého záporného potenciálu na sondě lze po extrapolaci k ϕf (viz. obrázek) získat hodnotu saturačního proudu iontů I i* (ii) V oblasti B, kde je hodnota I velmi citlivá na ϕp, platí: e (ϕ − ϕ ) − * * I + I i = Ie e kT *

ƒ

s

p

Po zlogaritmování: ⎛ − e ϕs ln I + I i* = ln⎜ Ie* e kT ⎜ ⎝

(

)

⎞ eϕ p ⎟+ ⎟ kT ⎠

(

)

dostáváme lineární závislost ln I + I i* na ϕp, směrnice určuje teplotu elektronů Te ≡ T

2004

Strana 47

Fyzika plazmatu

Pozn.: V případě nemaxwellovské rozdělovací funkce elektronů (viz. ochuzování jejího chvostu při nízkém stupni ionizace plazmatu) je stanovení teploty elektronů problematické a tudíž nespolehlivé, neboť závislost ln I + I i* = f (ϕ p ) není obecně lineární, dostáváme pouze odhad hodnoty Te

(

)

n ⎛ 8kT * (iii) Známe-li: I i (viz. bod i), Te ≡ T (viz. bod ii), mi a A , stanovíme pomocí formule I i* = A ⋅ e ⋅ ⎜⎜ 4 ⎝ πmi

12

⎞ ⎟⎟ ⎠

hodnotu ne ≡ n Poznámka o metodě dvou sond Dvě sondy jsou používány v případě RF a mikrovlnných bezelektrodových výbojů, kde není obvykle dostupná referenční elektroda (viz. metoda jedné sondy). Diagnostika plazmatu je prováděna na základě měření V-A charakteristiky dvou sond, které jsou před vložením napětí na plovoucím potenciálu, tj. žádná z nich není uzemněna. Je měřena závislost celkového proudu mezi sondami na rozdílu potenciálů mezi nimi (zajišťován vložením napětí ze zdroje).

4.5. Šíření elektromagnetických vln v plazmatu Lze ukázat, že plazmatem se šíří rovinné elmag. vlny schopné přenášet energii. Budeme se zabývat studiem vlivu plazmatu na šíření elmag. vln a využitím tohoto efektu pro diagnostiku plazmatu. Budeme předpokládat: ƒ Plazma je homogenní, neomezené, nehybné a nestlačitelné ƒ Koncentrace elektronů je ne, střední hodnota frekvence srážek s přenosem hybnosti elektronů na všechny těžké částice ν ≡ ν eH = ν ei + ν en Maxwellovy rovnice pro elmag. pole v plazmatu:

Pozn.:

div D = ρ ...zobecněná G-věta: zdrojem elektr. pole jsou volné náboje a vázané náboje impl. zap. v D ρ...objemová hustota volného prostorového náboje r V důsledku nenulové vodivosti plazmatu (kvazineutralita) ρ (r ) ≈ 0

div B = 0 ...neexistence magnetických nábojů rot E = −

∂B ...zobecněný F-zákon ∂t

r ∂D ∂D rot H = j + ...zobecněný A-zákon: Zdrojem magnet. pole jsou volné proudy, posuvný proud ∂t ∂t

a vázaný proud impl. započ. v H Materiálové vztahy: D = ε E , kde ε = ε 0 (1 + χ e ) započítává schopnost prostředí polarizovat se v elektr. poli (vliv vázaných elektronů neutrálních částic a iontů) B = µ0 H , tj. použijeme stejného vztahu jako ve vakuu, potom H nebude zahrnovat vliv tzv. vázaných proudů na vznik magnetického pole, jak je obvyklé v případě mnoha pevných

látek, kde M = χ m H , kde χm je magnetická susceptibilita (vyjadřuje schopnost látky magnetizovat se) M ...vektor magnetizace (objemová hustota magnetického dipólového momentu) H ...intenzita magnetického pole v látce

V plazmatu: ƒ

M~

1 , kde B je velikost magnetické indukce vnějšího magnetického pole B

M ↑↓ B , tj. plazma vykazuje diamagnetické chování (χm<0), magnetické pole vyvolané vnějším magnetickým polem působí v látce proti němu r Závěr: Oddělení vlivu volných a vázaných proudů se neprovádí, potom j představuje hustotu celkového proudu v A-zákoně

ƒ

2004

Strana 48

Fyzika plazmatu

r Vtah pro proudovou hustotu j : Vzhledem k předpokládané nehybnosti plazmatu je možno zanedbat konvenční proud a napsat: j =J

Platí:

J ...hustota celkového vodivostního toku

(

J = e n i u i − ne u e

)

ue ...unášivá rychlost elektronů u i ...unášivá rychlost iontů Tvar Ohmova zákona: V částečně ionizovaném plynu je vztah pro proudovou hustotu velmi komplikovaný. Pouze v případě kvazineutrálního, stacionárního a homogenního plazmatu bez magnetického pole (vnějšího i vlastního, tj. nerelativistický případ) lze použít obvyklého (viz pevné látky) tvaru Ohmova zákona: 2 J = σ E , kde σ = ne e je měrná vodivost plazmatu pro konstantní proud (případ AC výbojů v LS) meν měrná vodivost Pozn.: Každá komponenta plazmatu (elektrony, ionty a neutrální částice, obecně různých prvků, se liší hmotnostmi a unášivými rychlostmi) je uvažována jako oddělená tekutina, která interaguje s druhými při pohybu „skrz“ ně, viz. zásadní odlišnost od modelu krystalové mříže s mrakem volných elektronů. Za výše zmíněných výchozích předpokladů (nyní uplatníme, že plazma je homogenní, nehybné, nestlačitelné a kvazineutrální) a za předpokladu, že vnější magnetické pole je nulové a vlastní magnetické pole se neuplatní, neboť uvažujeme nerelativistický pohyb částic, lze psát: 1 ∂J

≈ σ E − J , 1. rovnice pro E a J ν ∂t Po úpravě F-zákona:

(

)

( )

∂ rot rot E = grad 1 div E − ∆E = − µ 0 rot H 23 t ∂ 0 →

dosadíme z A-zákona

(viz. kvazineutralita plazmatu, ρ ≈ 0)

Po dosazení z A-zákona: ∆E = µ 0

∂J ∂2E + εµ0 2 , 2. rovnice pro E a J ∂t ∂t

Dostáváme dvě rovnice pro E a J . Řešení budeme hledat ve tvaru rovinné vlny: E = E1e i (kx − ωt )

, kde E1 a J1 jsou konstantní vektory kolmé na směr šíření vlny ve směru osy x J = J1e i (kx − ωt ) k...velikost vlnového vektoru, tzv. vlnové číslo (obecně komplexní číslo, nelze přímo napsat k = 2π λ ) ω...kruhová frekvence šířící se elmag. vlny (reálné číslo)

Vztah mezi vlnovým číslem k a kruhovou frekvencí šířících se vln ω dostaneme po dosazení za E a J do obou výchozích rovnic. Platí: 1

ν

(− iω )J = σ E − J

ω⎞ ⎛ ⇒ J ⎜1 − i ⎟ = σ E ν ⎝ ⎠

(ik )2 E = µ0 (− iω )J + εµ0 (− iω )2 E

2 2 ⇒ k E = iµ0ω J + εµ0ω E

Po dosazení za J : k 2 E = εµ0ω 2 E +

2004

iµ0ωσ E 1 − i νω

Strana 49

Fyzika plazmatu

Po přepsání: k 2 = εµ0ω 2 +

iµ0ωσ 1 − i νω

...tzv. disperzní vztah, který musí platit mezi k,ω a parametry prostředí,abychom dostali řešení pro E a J ve tvaru rovinné vlny Po úpravě: µ ω σ iµ ωσ k 2 = εµ0ω 2 + 0 2 − 0 ν 2 1 + (νω ) 1 + (νω ) 2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ iµ ω n e ⋅ ε µ ω ne ⋅ε − ε ε c2 0 ⎟ε 0 µ0 ω 2 + 0 m ν ε − 0 ν m ν ε k = ⎜1 + 2 2 ⎜ ε ⎟{ ω2 1 + (νω ) 1 + (νω ) ⎜ 1203 ⎟ 1 R ⎝ ⎠ c ω 2 ⎡ 2 2 (νω )2 ⎤⎥ + i ⎡ ωω ⋅ ων ⋅ (νω )2 ⎤, kde ω = nee 2 c k ν ⎢ = + − ⋅ 1 R ⎢ p 2 2 2 2⎥ meε 0 ω2 ⎢ 1 + (νω ) (νω ) ⎥ ⎣⎢ 1 + (νω ) (νω ) ⎦⎥ ⎣ ⎦ Dostáváme: e

2

2

2

0

e

e

2

e

0

0 0

2

( )

( )( )

p

p

( )

p

( )

ω 2 ⎤ ω 2 ν ⎡ ( ) ω ⎢ ⎥ = 1+ R − + i ω ω2 2 2 ν ν ω ⎢ 1 + (ω ) ⎥ 1 + (ω ) ⎣ ⎦ příspěvek vázaných elektronů Vlnové číslo lze psát ve tvaru (viz. formule výše): k = β + iα

c 2k 2

p

p

Po dosazení:

Platí:

E = E1 ⋅ e −αx e i (βx − ωt ) , kde β je konstanta určující fázový posun: β = 2π λ , λ...délka vlny faktor útlumu vlny, tj. α - konstanta útlumu (reálné číslo) c 1 n= , kde c = ...rychlost světla ve vakuu vf ε µ 0

index lomu prostředí

0

ω v f = ...fázová rychlost β

Po dosazení: n=

c

ω

β

Vliv veličiny R V případě, že ne = 0, tj. neexistují žádné volné elektrony ⇒ ωp = 0 (kruhová frekvence kmitů elektronů v plazmatu) Potom (viz. výše): k ≡ β , tj. k je reálné číslo, a dostáváme: c 2k 2

ω2

= n 2 = 1+ R

R...tzv. lámavost prostředí

Platí: ƒ ƒ

V případě plynů: R << 1 V případě plazmatu v širokém rozsahu podmínek (viz. formule výše): R <<

( )

ωp 2 ω 2 1 + νω

( )

...tj. veličinu R započítávající vliv vázaných elektronů lze zanedbat (tím spíše, čím je pro danou hodnotu ω koncentrace elektronů ne vyšší)

2004

Strana 50

Fyzika plazmatu

Šíření elmag vln v plazmatu (i) Limitní případ

ν → 0 , tj. srážky elektronů s těžkými částicemi lze zanedbat ω

⎛ ωp ⎛ ck ⎞ ⎜ ⎟ = 1 − ⎜⎜ ⎝ω ⎠ ⎝ω 2

Platí:

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

ƒ

pokud ω p < ω , potom k je reálné číslo ⇒ elmag vlna by se šířila bez útlumu (α=0, tj. útlumový faktor

ƒ

je 1): elektrony se nestačí přesouvat tak rychle, aby dokázaly stínit plazma před poruchou, tj. rozruch jde do něho Pokud ω p > ω , potom k je ryze imaginární číslo, tj. platí: E = E1 ⋅ e −αx ⋅ e − iωt

řešení nepopisuje šíření rozruchu

útlumový faktor (kmitů)

Závěr: Elmag. vlnění, jehož frekvence ω je nižší než plazmová frekvence ωp, by se v případě neexistence srážek odrazilo od plazmatu (kmity elektronů jsou tak rychlé, že stačí kompenzovat vzniklou poruchu kvazineutrality) (ii) Započítání vlivu srážek, tj. neplatí ν << ω Zavádí se tzv. kritická koncentrace elektronů nekrit pro danou kruhovou frekvenci elmag. vln ω:

ω2 =

nekrit e 2 meε 0

Útlum vlnění pro případ ω = 7×1010 s-1, tj. λ ≈ 2.7 cm a tloušťku homogenní vrstvy plazmatu d = 3.82 cm. Potom platí: ƒ

koncentrace elektronů v plazmatu (určuje plazmovou frekvenci ωp)

krit Pokud ne < ne , tj. ω p < ω (v bezesrážkovém plazmatu

elmag. vlny procházely bez útlumu), registrujeme útlum vln rostoucí s poměrem ν ω (viz. obrázek). ƒ

krit Pokud ne > ne , tj. ω p > ω (v bezesrážkovém plazmatu

se elmag. vlny vůbec nešířily), registrujeme velmi silný útlum nepříliš závislý na poměru ν ω (viz. obrázek). Pozn.:

I (0 ) I (d ) I(x)...intenzita elmag vlny v daném místě útlum [dB] = 10 log

I ~ S = E × H , pro rovinou vlnu: E ⊥ H a H ~ E

velikost Poyintingova vektoru Po dosazení: útlum [dB] = 10 log

E (x = 0 )

2 viz. výše

E (x = d )

2

(

)

= 10 log e 2αd =

= 20αd log e = 8.686αd

2004

Strana 51

Fyzika plazmatu

Závislost koeficientů α a β na ν ω a ω p ω

Pravou stranu rovnice pro

c 2k 2

ω2

napíšeme ve tvaru:

K = K Re + iK Im , kde

Pro levou stranu platí:

ck

ω

=

K Re = 1 −

c

β +i

ω {

Potom:

c k

2 ω 1 23 K

Platí:

2

K

2

ωp 2 ω 2 1 + νω

a

( )

K Im =

( )

ωp 2 ν ω ω

1 + (νω )

2

α

ω { χ

µ

2

c

( )

2 =µ −4 χ32 + i 2{ µχ ....první vztah pro µ a χ 1 42 K Im KRe

(

2 2 = K Re + K Im = µ2 + χ2

)

2

⇒ K = µ 2 + χ 2 ...druhý vztah pro µ a χ

Po sečtení výrazů pro µ a χ: 12

⎛ K + K Re ⎞ ⎟ 2µ = K Re + K ⇒ µ = β = ⎜⎜ ⎟ 2 ω ⎝ ⎠ Po odečtení výrazů pro µ a χ: c

2

12

na pravé straně rovnice jsou funkce závislé na ( ω p ω ) a (ν ω )

⎛ K − K Re ⎞ ⎟ 2 χ = K − K Re ⇒ χ = α = ⎜⎜ ⎟ ω 2 ⎝ ⎠ Stanovení ne a ν pro známou hodnotu kruhové frekvence ω Změníme-li konstantu útlumu α (viz. vztah pro útlum v dB) a konstantu fázového posuvu β (viz. vztah pro fázový posun níže), dostáváme dvě rovnice o neznámých ω p ω a ν ω , tj. rovnice pro ne a ν . c

2

Platí: ∆Φ = β d − β 0d =

2π

λ

d−

2π

λ0

d=

2πd ⎛ λ0 ⎞ 2πd ⎜ − 1⎟ = λ0 ⎝ λ λ0 ⎠

⎛ νc ⎞ ⎜ − 1⎟ = 2πd (n − 1) ⎜ vf ⎟ λ0 ⎝ν ⎠

∆Φ...fázový posun d...tloušťka vrstvy plazmatu (viz. formule pro útlum) β0...fázová konstanta ve vakuu (výboj vypnut) λ0...délka vlny ve vakuu

dostáváme informaci o indexu lomu, tj. o fázové rychlosti, tj. o β, neboť ω známe) Pozn.: Pro danou ω žádáme dostatečně vysokou hodnotu ne v plazmatu, aby R bylo zanedbatelné ve výrazu pro c 2 k 2 ω 2 (např. interferometrická metoda pro měření fázového posuvu ve viditelné oblasti spektra je použitelná pro ne ≥ 1016 cm-3).

2004

Strana 52