mateking.hu AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS f A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS 0 + A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI

AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS

f

+

–

0 lok. max

monotonitás

0

+

lok. min

A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS

mateking.hu f 

konvexitás

–

0

+

konkáv

inflexió

konvex

A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI TÉTEL: A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha

f differenciálható az x0 helyen és f -nek lokális szélsőértéke van az x0 helyen, akkor f ( x0 )  0 .

röviden:

lok. min/max

 f0  

TÉTEL: A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele Ha

f kétszer differenciálható az x0 helyen és f ( x0 )  0 és f ( x0 )  0 akkor x0 lokális minimum

Ha

f kétszer differenciálható az x0 helyen és f ( x0 )  0 és f ( x0 )  0 akkor x0 lokális maximum.

f   0   lok. min f   0   f   0   lok max f   0   1

ALAPDERIVÁLTAK (c)  0

(sin x)  cos x

(arcsin x) 

( x n )  n  x n1

(cos x)   sin x

(arccos x) 

1 1 x2 1

(e x )  e x

1 cos 2 x 1 (ctgx )  sin 2 x

1 x2 1 (arctgx )  1 x2 1 (arcctgx )  1  x2

(a x )  a x  ln a

(shx)  chx

(arshx) 

(chx)  shx

(archx) 

1

( x )  ( x n )  n

(ln x) 

1

1 n 1 x n

1 x

(log a x) 

1 1  x ln a

(tgx ) 

(thx ) 

1 ch 2 x

1 x2 1 1

x 2 1 1 (arthx)  1  x2

DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK

Példák

1. (c  f )  c  f 

(5  x 3 )  5  3x 2

f f 2.    

 x5   5x 4    7  7

c

c

3. ( f  g )  f   g 

( x 2  ln x)  2 x 

4. ( f  g )  f   g  f  g 

( x 3  ln x)  3x 2  ln x  x 3 

f

5.     g 



f   g  f  g g2

 x2      ln x  

1 x

2 x  ln x  x 2 

1 x

ln 2 x

c c f  6.     f2 f

2  5    5  3x   3  2  x  2 x3  2

7.  f ( g ( x))  f ( g ( x))  g ( x)

ln( x



3

1 x

  5 x) 





1  (3x 2  5) x  5x 3

2

A TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT MENETE f ( x) 

4x x  34

1.LÉPÉS: ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

Df

Ez tulajdonképpen a kikötés: páros

ez itt  0





log ez itt  0

páratlan

ez itt bármi

tört nevező  0

Most nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát

x3

Ha éppen időnk engedi érdemes még kiszámolni a függvény zérushelyét is, ez az

f x   0

egyenlet megoldása, most éppen

f ( x) 

4x  0 x0 x  34

mateking.hu 2.LÉPÉS: DERIVÁLÁS

f x  

4  x  3  4 x  4x  3  x  38 4

3

A deriváltat kicsit rendbe rakjuk, kiemelünk, egyszerűsítünk

4  x  3  4 x  4x  3 x  3 4  x  3  4 x  4 x  3 4 x  12  16 x   12 x  12    x  38 x  38 x  38 x  35 4

3

3

3

3.LÉPÉS: A DERIVÁLT ELŐJELÉNEK VIZSGÁLATA

 12 x  12  0  x  1

f ( x) 

 12 x  12 x  35

x 3  0  x  3

Egyenként berajzoljuk a tényezők előjelét. Ha negatív, azt szaggatott vonallal, ha pozitív, azt folytonos vonallal.

–1

–

3

+

–

3

4.LÉPÉS: MÁSODIK DERIVÁLT

   12 x  12   12  x  35   12 x  12  5x  34   f ( x)   5 x  310  x  3 

A második deriváltat is kicsit rendbe rakjuk, kiemelünk, egyszerűsítünk

x  3  12  x  3   12 x  12 5   12  x  3   12 x  12  5x  3  10 x  3 x  310 5

4

4

4  x  3  12 x  36  60 x  60 48 x  96   x  310 x  36

5. LÉPÉS: A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELE

48x  96  0  x  2

f ( x) 

48 x  96 x  36

x 3  0  x  3

mateking.hu Egyenként berajzoljuk a tényezők előjelét Ha negatív, azt szaggatott vonallal, ha pozitív, azt folytonos vonallal.

–

–2

+

3

+

Az első derivált előjeléből a függvény növekedésére és csökkenésére következtethetünk, a második derivált előjeléből pedig a konvexitásra. Mindezt összefoglaljuk egy remek táblázatban. Már jön is a táblázat, de előtte kizárólag erős idegzetűek számára érdemes megvizsgálni a függvény aszimptotáit. Az aszimptoták olyan egyenesek, amikhez a függvény hozzásimul, háromféle van belőlük, vízszintes aszimptota, függőleges aszimptota és ferde aszimptota. VÍZSZINTES ASZIMPTOTA

FÜGGŐLEGES ASZIMPTOTA

FERDE ASZIMPTOTA

b a

olyankor létezik, ha

lim f ( x)  b 

egyenlete:

yb

olyankor létezik, ha

a : lim f ( x)   a

egyenlete:

xa

olyankor létezik, ha

lim f ( x)  a 

egyenlete:

lim  f ( x)  ax   b 

y  ax  b

4

AZ ELSŐ ÉS A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELÉT BELERAKJUK EGY TÁBLÁZATBA

 ,2

x  2

 2,1

-

-

-

f

x  1

0

monotonitás

f 

-

0

+

-

sz. sz.

+

+

+

sz. sz.

y



+

inflexio

6. LÉPÉS: HATÁRÉRTÉK

3; 

x3

lok.min

konvexitás

lim

 1,3

1 64

Df SZÉLEIN

4x 0 x  34

lim 

4x 0 x  34

4x 20    4 x3  x  3 0

lim

7.LÉPÉS: RAJZ

-2

-1

3

mateking.hu inflexió

lokális minimum

Rf : y 

Kritikus határértékek kiszámolása

 ?

0  ?

Ilyenkor az erősebb* győz:

Ilyenkor az erősebb* győz:

  

0   0

   

0    

    szám

0    szám

(DÖNTETLEN)

(DÖNTETLEN)

1 64

 ?  Ilyenkor az erősebb* győz:



0

   

  szám 

(DÖNTETLEN)

*LÁSSUK, HOGY KI MENNYIRE ERŐS: log x

 k x  x  x 2 

x3  x4  ...  ex  x x 5

Határozzuk meg az alábbi függvények monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait!

f ( x)  4 x  e6  x

6.1.

f ( x) 

6.2.

6.5.

f ( x) 

3x x 4

6.6.

f x  

3x (4  x) 2

6.7.

f x   x  2 

2x 3  x 2 1

6.3.

f ( x)  xe x

6.4.

2

f ( x)  2 ln( x  3)  x  3

2

9 x3

6.8. Határozzuk meg ennek a remek függvénynek a monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait és írjuk is föl az érintő egyenletét az x0  2 abszcisszájú pontban!

f x   x  2 

8 x2

6.9. Határozzuk meg ennek a remek függvénynek a monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait és írjuk föl az érintő egyenletét az x0  1 abszcisszájú pontban!

f ( x) 

3 x x4

Határozzuk meg az alábbi függvények monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait!

6.10.

f ( x)  ln( x  1) 2  ln( x  1) 2

6.11.

f ( x) 

x3  4 x2

1 6.12. f ( x)  x  2 x 2

6.13.

6.16.

6.14.

f ( x)  xe 2 x

6.15.

f ( x)  e 4 x  2 x

2

2

2

6.17.

f x   xe

6.18.

f x   x 2 e x

x2

ex 1 x x 6.20. f  x   ( x  2) 3 7x 6.21. f  x   ( x  7) 2 6.19.

f ( x)  xe  x

f ( x)  xe  x

f ( x) 

6

1 x  6.22. f  x     1 x 

4

6.29.

f ( x) 

x

4x 2

 12



2

 

6.23.

f x   x 2 ln x

6.30.

f ( x)  arctg x 2

6.24.

f x   x ln x 2

6.31.

f ( x)  arctg e x  1

6.25.

f ( x)  x ln

1 x

6.32.

 x  f ( x)  arctg    x  4

6.26.

f ( x)  x 2 ln x 2

6.33.

 ex   x f ( x)  arctg  x   arctg   e   x

6.35.

f ( x)  sin 4 x  cos 4 x

6.36.

f ( x)  2 cos x  sin 2 x

6.27. 6.28.

f ( x)  x 4  4 x 3  12

f ( x) 

x

3x 2

4



2





AZ ÉRINTŐ EGYENLETE AZ ÉRINTŐ EGYENLETE

mateking.hu y0  f x0  =ordináta

Px0 ; y0  =érintési pont

x0 =abszcissza az érintő egyenlete:

y  f x0   x  x0   f x0 

6.37. Írjuk föl az

f ( x)  x 3  2 x  25 függvény azon érintőjének egyenletét, amely a függvény grafikonját negatív abszcisszájú pontban érinti, és párhuzamos az y=14x-7 egyenessel!

7

.,mmngcb

6.38. Írjuk föl az

f ( x)  x 2  7 x  6 függvény azon érintőjének egyenletét, amely a függvény grafikonját pozitív abszcisszájú és 14 ordinátájú pontban érinti! 6.39. Írjuk föl az

f ( x)  e 2 x  6 x függvény azon érintőjének egyenletét, amely párhuzamos az y=8x-16 egyenessel! 6.40. Írjuk föl az

f ( x)  e  x  5 függvény azon érintőjének egyenletét, amely merőleges az y=2x+1 egyenesre! 6.41. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához a P(0;1) pontban húzott érintő a Q(4;13) ponton?





f ( x)  e x  ln x 2  1

6.42. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához az x0=1 abszcisszájú pontban húzott érintő a Q(3;-3) ponton?

f ( x)    e x1  x 2  3 6.43. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához az x0=5 abszcisszájú pontban húzott érintő a Q(3;e) ponton?

f ( x)  x  e x4

GAZDASÁGI FELADATOK HATÁR (x egy egységnyi növekedése esetén hány egység a változás)

Árbevétel:

R(x) Költség: C (x) Profit:  ( x)  R( x)  C ( x)

R(x) C (x)  (x)

R( x)  db  ár  q  p C ( x)  db  fajlagos költség  ( x)  db  fajlagos nyereség  db  ár  fajlagos költség





ELASZTICITÁS (X egy %-os növekedése esetén hány %-os a változás)

E ( x) 

x  f ( x) f ( x) 8

7.1. Egy termék keresleti függvénye

f ( x)  10 6 

1 100  x 2

ahol x a termék egységárát jelöli. a) Adja meg az x=30 egységárhoz tartozó határkeresletet! b) Adja meg x=30 egységárhoz tartozó elaszticitást! c) Adja meg az optimális árbevétel eléréséhez szükséges egységárat! 7.2. Egy termék keresleti függvénye, ahol x a termék egységárát jelöli

f ( x)  e

7

x 100

a) Adja meg az x=120 egységárhoz tartozó határkeresletet! b) Adja meg az x=120 egységárhoz tartozó elaszticitást! c) Adja meg az optimális árbevételt jelentő egységárat!

7.3. Egy termék árbevétel függvénye

B( x) 

x2 költség függvénye pedig x2

K ( x)  ln(10  x) , ahol x az eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban megadva. Adja meg a maximális profitot jelentő keresletet! Adja meg a határköltséget 3000 darab esetén! 7.4. Egy termék keresletét x forintos egységár mellett az x

f ( x) 

 ( 8 ) 300  e 50 x

függvény adja meg 1000 darabban. a) Milyen egységár mellett lesz az árbevétel maximális? b) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó kereslet? c) Ha az árat 40 forintban maximalizálják, hogyan kell megválasztani az egységárat, hogy az árbevétel maximális legyen? 7.5. Egy árucikk eladási árát x eladott darab esetén az alábbi függvény adja meg forintban

f x   1500 

x 10

Hány darab eladása esetén lesz az árbevétel maximális? Mekkora ez a bevétel? 7.6. Egy 1800 négyzetméter területű téglalap alakú folyó parti telket szeretnénk három oldalról kerítéssel elkeríteni úgy, hogy a folyó felőli rész szabadon maradjon. Hogyan válasszuk meg a telek méreteit, hogy a kerülete minimális legyen? Mekkora lesz ez a kerület? 7.7. Egy termék keresleti függvénye

f ( x)  x  10  e 2



x 8 2

12  x  300

ahol x a termék egységárát jelöli euróban. a) Adja meg az x=20 egységárhoz tartozó határkeresletet! b) Ha a termék fajlagos költsége 10 euró, milyen egységárat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen?

9

7.8. Egy részvény árfolyamának napi alakulását az alábbi függvény adja meg reggel nyolc és este nyolc óra között, ahol a nap x-edik órájában az árfolyam ezer forintban megadva

f ( x)  x  10  e 2



x 4

 20

8  x  20

a) Mekkora volt a nyitási és zárási árfolyam? b) A nap melyik órájában volt az árfolyam a minimális, illetve maximális? 7.9. Valamely termék fajlagos nyeresége

n( x )  e

 x2 2 2

ahol x az eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban. Milyen eladási szám esetén optimális a teljes nyereség? 7.10. Egy áruház forgalmának május havi alakulását az alábbi függvény adja meg, ahol a hónap x-edik napjának forgalma millió forintban megadva

f ( x)  80  x  10  e 2



x 10

a) Mekkora volt a forgalom a hónap első és utolsó napján? b) A hónap melyik napjában volt a forgalom minimális, illetve maximális? 7.11. Egy termék árbevételi függvénye:

R( x)  x  3000 

x 10

ahol x az eladott termék darabszámát jelöli. Milyen darabszám esetén lesz maximális az árbevétel? 7.12. Egy termék keresletét x forintos egységár mellett az

310 12 f ( x)  e 7x

x 40

függvény adja meg 1000 darabban. a) Milyen egységár mellett lesz az árbevétel maximális? b) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó kereslet? c) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó határkereslet?

10

6.1. 6.2. 6.3.

lok. min. : nincs lok. min. : nincs lok. min. : nincs

lok. max.: x=1 lok. max.: x=3 lok. max.: x=-1

6.4.

lok. min. : nincs

lok. max.: x=4

6.5.

lok. min. : nincs

lok. max: nincs

inflexiós pont: x=0

6.6. 6.7

lok. min. : x=-4 lok. min. : x=6

lok. max.: nincs lok. max.: x=0

6.8.

lok. min. : x=2,52lok. max.:nincs

inflexiós pont: x=-8 inflexiós pont: nincs, de konk: (-∞;3) konv: (3; ∞) inflexiós pont: nincs, de konvex : (-∞;0)V(0;- ∞)

6.9.

lok. min. : x=4

lok. max.: nincs

6.10. lok. min. : nincs

lok. max.: x=0

6.11. lok. min. : x=2

lok. max.: nincs

6.12. lok. min. : x-1

lok. max.: x=1

6.13. lok. min. : nincs 6.14. lok. min. : nincs 6.15. lok. min. : nincs

lok. max.: x=1 lok. max.: x=1 lok. max.: x=1

6.16. lok. min. : x=-0,707 6.17. lok. min. : x=2

lok. max.: x=0,707 lok. max.: x=-2

6.18. lok. min. : x=0 6.19. lok. min. : x=0

lok. max.: x=-2 lok. max.: nincs

6.20. 6.21. 6.22. 6.23. 6.24.

lok. lok. lok. lok. lok.

min : nincs lok. max.: min : x=-7 lok. max.: min. : x=-1 lok. max.: min. : x=e-1/2 lok. max.: min. : x=-e-1 lok. max.: x=e-1

6.25. lok. min.: nincs

x=-1 nincs x=1 nincs

lok. max.: x=e-1

inflexiós pont: x=2 inflexiós pont: x=6 inflexiós pont: nincs, de konk: (-∞;0) konv: (0; ∞) inflexiós pont: nincs, de konkáv : (3; ∞)

inflexiós pont: x=5 konk: (5;∞) konv: (-∞; 0)U(0; 5) inflexiós pont: nincs, de konkáv : (-∞;-1)V(-1;-1) V(1; ∞) inflexiós pont: nincs, de konvex : (-∞;0)V(0; ∞) inflexiós pont: nincs, de konk: (-∞;0)V(0; ∞) inflexiós pont: x=2 inflexiós pont: x=2 inflexiós pont: x=0,5 x=1,5 inflexiós pont: x=-1,732 x=1,732 inflexiós pont: x=-0,25

inflexiós pont: nincs konkáv: (-∞;-1) konvex: (-1; ∞) inflexiós pont: x=-2 inflexiós pont: x=-14 inflexiós pont: x=-4 inflexiós pont: x=e-3/2 inflexiós pont: nincs, de konkáv : (-∞;0) konvex: (0; ∞) inflexiós pont: nincs konkáv: (0; ∞)

Rf: (-∞;4e5] Rf: (-∞;0,166] Rf: (-∞;-e]U(0; ∞) Rf: (-∞;-1] érintő: y=-1 Rf: [-∞;∞] Rf: [-1,875; ∞) Rf: (-∞; 1] U(11; ∞] Rf: (-∞;∞] érintő: y=-x+8 Rf: (-∞;-13]U[3; ∞) érintő: y=-15x+27 Rf: (-∞;∞] Rf: (-∞;∞] Rf: [2; ∞] Rf: (-∞;e-1] Rf: (-∞;e) Rf: (-∞;e2] Rf: (-0,429;0,429] Rf: (-∞;-3,29]U[3,29; ∞) Rf: [0; ∞) Rf: (-∞;0]U[1; ∞) Rf: Rf: Rf: Rf: Rf:

(-∞;1] [-0,25; ∞) [0; ∞) (-0,125;∞] [-0,735;0,735]

Rf: (-∞;e-1]

6.26. lok. min.: x=-0,6 lok. max.: x=0,6

inflexiós pont: x=-0,1; x=0,1

Rf: f-0,35; ∞)

6.27. lok min : x=3 6.28. lok min : nincs

Inflexiós pont: x=0; x=2 Inflexiós pont: nincs, de konvex (0;2)V(2; ∞)

Rf: [-23,54; ∞) Rf: [-∞; ∞)

lok max: nincs lok max: nincs

11

6.29. lok min : x=-2

lok max: x=2

6.30

lok max: nincs

lok min : x=0

6.31. lok min : nincs 6.32 lok min : nincs

lok max: nincs lok max: nincs

6.33 6.34

lok min : x=-π/4 lok max: x=π/4 lok min : lok max: nincs x=-1; x=1

6.35

lok min : x= (2k+1)π/4 lok min : x= π+(2k+1)π

6.36

lok max: x= 2kπ/4 lok max: x= 2kπ

konkáv(-∞;-2)V(-2;0) Inflexiós pont: x=0; x=3,46; x=-3,46 Inflexiós pont: x=-0,759; x=0,759 Inflexiós pont: x=0 Inflexiós pont: x=-2 konvex: (-∞;-4)V(-4;0) konkáv: (0; ∞) Inflexiós pont: nincs Inflexiós pont: nincs

Rf: [-1/32; 1/32) Rf: 0; π/2) Rf: [-π/4; π/2) Rf: [-π/2; π/2) Rf: -π/4; -π/4 Rf: [1,587; ∞)

Inflexiós pont: x= π/8+kπ/4

Rf: [0,5; 1]

Inflexiós pont: x= 4π/3+2kπ

Rf: [-2; 2]

6.37. y=14(x+2)+13 6.38. y=9(x-8)+12 6.39. y=8x+1 6.40. y=-1/2(x+4)+e-1 6.41. α=3 6.42. α=-2 6.43. α=-1/7

7.1. a) 30 egységnyi ár mellett az ár egységnyi növelése -60 egység keresletváltozást okoz. b) 30 egységár mellett az ár 1%-os növelése -1,8%kereslet visszaesést okoz. c) 10 egységár 7.2. a) 120 egységnyi ár mellett az ár egységnyi növelése 3,3 egység keresletváltozást okoz. b) 120 egységár mellett az ár 1%-os növelése -1,2%kereslet visszaesést okoz. c) 100 egységár 7.3. a) 6000 darab esetén maximális a profit b) 3000 darab mellett ezer darabos termelés növelés 0,0769 költségnövekedést okoz. 7.4. a) 50 forint

b) 6000 darab

c) 40 forint

7.5. 1000 darab, 37416,57 7.6. 30mx60m-es telekre van szükség 7.7. a) 20EUR egységár mellett egy egységnyi árnövekedés -0,541 egség kereslet változást okoz. b) 14EUR

12

7.8. a) 20 540 forint és 20 670 forint b) minimum 10 órakor, maximum 18 órakor 7.9. 1000 db 7.10. a) 6,7 millió és 60,133 millió b) május 10 volt a maximum: 80 millió és május 1 volt a minimum 6,7 millió 7.11. 2000 darab 7.12. a) 40 egységnyi ár esetén maximális b) 59 875 248 c) -2 500 000 000

13