Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: 2𝑥 2 + 12𝑥 + 16 = 0. Megoldás: 1. lépés: Teljes négyzetté alakítás 2𝑥 2 + 12𝑥 + 16 = 2(𝑥 2 + 6𝑥 + 8) = 2(𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 9) + 16 = 2[(𝑥 + 3)2 − 9 + 16] = = 2(𝑥 + 3)2 − 2. 2. lépés: Ábrázolni:
3. lépés: Az ábráról leolvasható, hogy hol veszi fel a függvény a nulla értéket. (Ez egyben a zérushelye is.) 𝑥1 = −4 é𝑠 𝑥2 = −2.
1
Hiányos másodfokú egyenlet megoldása Hiányos másodfokú egyenlet: Példa1.:
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 , ahol a≠ 0.
4𝑥 2 − 16 = 0
Megoldás: 4𝑥 2 − 16 = 0 4𝑥 2 = 16
Hozzáadunk mindkét oldalhoz 16-ot. Osztunk 4-gyel.
𝑥2 = 4
Mindkét oldalból négyzetgyököt vonunk. KÉT megoldás lesz!!!
𝑥1 = 2 é𝑠 𝑥2 = −2.
Hiányos másodfokú egyenlet: Példa2.:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 , ahol a≠ 0.
4𝑥 2 − 16𝑥 = 0
Megoldás: 4𝑥 2 − 16𝑥 = 0
Kiemelünk 4x-et.
4𝑥(𝑥 − 4) = 0
Egy szorzat értéke akkor 0, ha az egyik tényezője 0.
4𝑥 = 0 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑥 − 4 = 0 Megoldva a két egyenletet két megoldást kapunk: 𝑥1 = 0 é𝑠 𝑥2 = 4.
2
A másodfokú egyenlet megoldóképlete Másodfokú egyenlet általános alakja: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑎 ≠ 0, é𝑠 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑣𝑎𝑙ó𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑒𝑟𝑒𝑘. Megoldásai (gyökei) a következő megoldóképlettel számolható ki:
𝑥1,2 = Példa3.
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
𝑥 2 − 8𝑥 − 9 = 0.
Megoldás: a = 1; b = - 8; c = - 9. Behelyettesítve a megoldóképletbe: 𝑥1,2= Ebből:
−(−8) ± √(−8)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−9) 8 ± √100 8 ± 10 = = 2∙1 2 2 𝑥1 =
8 + 10 =9 2
é𝑠
𝑥2 =
8 − 10 = −1 2
Ellenőrzés: Az eredeti egyenletbe behelyettesítve a kapott eredményeket: Ha 𝑥1 = 9, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝐵𝑎𝑙 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙: 92 − 8 ∙ 9 − 9 = 0, 𝐽𝑜𝑏𝑏 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙 ∶ 0. Ha 𝑥2 = −1, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝐵𝑎𝑙 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙: (−1)2 − 8 ∙ (−1) − 9 = 1 + 8 − 9 = 0, 𝐽𝑜𝑏𝑏 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙 ∶ 0.
3
A másodfokú egyenlet diszkriminánsa Az 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0) másodfokú egyenlet megoldóképletében a 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 kifejezést diszkriminánsnak nevezzük, jele: D. - Két valós gyöke van, ha D > 0. - Egy valós (két egyenlő) gyöke van, ha D = 0. - Nincs valós gyöke, ha D < 0. Példa1. Az egyenletek megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány megoldása van! a) 𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = 0 b) 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 0 c) 𝑥 2 + 6𝑥 + 10 = 0. Megoldás: a) Vizsgáljuk a diszkrimináns értékeit! a = 1; b = 6; c = 1; 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 62 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 36 − 4 = 32 > 0, 𝑡𝑒ℎá𝑡 𝑘é𝑡 𝑚𝑒𝑔𝑜𝑙𝑑á𝑠𝑎 𝑣𝑎𝑛. b) Vizsgáljuk a diszkrimináns értékeit! a = 1; b = 6; c = 9; 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 62 − 4 ∙ 1 ∙ 9 = 36 − 36 = 0, 𝑡𝑒ℎá𝑡 𝑒𝑔𝑦 𝑚𝑒𝑔𝑜𝑙𝑑á𝑠𝑎 𝑣𝑎𝑛. c) Vizsgáljuk a diszkrimináns értékeit! a = 1; b = 6; c = 10; 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 62 − 4 ∙ 1 ∙ 10 = 36 − 40 = −4 < 0, 𝑡𝑒ℎá𝑡 𝑛𝑖𝑛𝑐𝑠 𝑚𝑒𝑔𝑜𝑙𝑑á𝑠𝑎. A gyöktényezős alak Az 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0 egyenletet a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. Példa1. Írd fel az 2𝑥 2 − 2𝑥 − 6 = 0 másodfokú egyenlet gyöktényezős alakját! Megoldás: Számold ki a másodfokú egyenlet gyökeit a megoldóképlet segítségével. 𝑥1 = −1 é𝑠 𝑥2 = 3 Mivel a = 2, ezért a gyöktényezős alak: 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0.
4
Kiegészítő anyag: Viéte formulák Az 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennállnak a követező összefüggések: 𝑏 𝑐 𝑥1 + 𝑥2 = − é𝑠 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑎 𝑎 Ezeket az összefüggéseket nevezzük Viéte formulának. Példa. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg a gyökök összegét, és szorzatát! 5𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0 Az egyenletből leolvasva: a = 5; b = 3; c = - 2, majd behelyettesítve a Viéte formulákba: 𝑏
3
𝑎
5
𝑥1 + 𝑥2 = − = −
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐 𝑎
=
−2 5
=−
2 5
Négyzetgyökös egyenletek Azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlen négyzetgyök alatt van, négyzetgyökös egyenletnek nevezzük. Példa: Oldd meg a következő egyenleteket! a) √𝑥 + 3 = 4 b) √2𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 Megoldás: a) 1. Lépés: KIKÖTÉS: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: 𝑥 + 3 ≥ 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥 ≥ −3. 2. lépés: Egyenlet rendezése, mindkét oldalt négyzetre emeljük: 2
(√𝑥 + 3) = 42 𝑥 + 3 = 16, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥 = 13. A 13 jó megoldás, mert megfelel a kikötésnek. Ellenőrzés: Bal oldal: √13 + 3 = √16 = 4 Jobb oldal: 4. b) 1. Lépés: KIKÖTÉS: 1 Bal oldalra: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: 2𝑥 + 1 ≥ 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥 ≥ − 2. Jobb oldalra: Négyzetgyökvonás értéke nemnegatív: 𝑥 − 1 ≥ 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥 ≥ 1. A két egyenlőtlenség közös része: 𝑥 ≥ 1. 2. lépés: Egyenlet rendezése, mindkét oldalt négyzetre emeljük: 2
(√2𝑥 + 1) = (𝑥 − 1)2 2𝑥 + 1 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 0 = 𝑥 2 − 4𝑥 0 = 𝑥(𝑥 − 4) 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥1 = 0 é𝑠 𝑥2 = 4. A 4 jó megoldás, mert megfelel a kikötésnek, a 0 nem megoldása az egyenletnek. Ellenőrzés: Bal oldal: √2 ∙ 4 + 1 = √9 = 3 Jobb oldal: 4 − 1 = 3. 5
Kiegészítő anyag: c) √𝑥 + 3 + √2𝑥 = −5 d) √𝑥 − 3 − √2 − 𝑥 = 4 c) 1. Lépés: KIKÖTÉS: Az egyenlet jobb oldalán negatív szám szerepel. Az egyenlet bal oldalán vedd észre, hogy a két gyökjel értéke nullánál nagyobb kell legyen, és köztük összeadás van, tehát az összegük is nulla, vagy annál nagyobb. Ellentmondásra jutottunk a két oldal vizsgálatakor, emiatt nincs megoldása az egyenletnek! d) 1. Lépés: KIKÖTÉS: Bal oldalra: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: 𝑥 − 3 ≥ 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥 ≥ −3 é𝑠 2 − 𝑥 ≥ 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥 ≤ 2. A két egyenlőtlenségnek nincs közös része, ezért az egyenletnek nincs megoldása.
Számtani és mértani közép Definíció: Két nemnegatív szám számtani közepén a két szám összegének a felét értjük: 𝑎+𝑏 𝐴(𝑎, 𝑏) = 2 Kettőnél több szám esetén: 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝐴= 𝑛 Definíció: Két nemnegatív szám mértani közepén a két szám szorzatának a négyzetgyökét értjük: 𝐺(𝑎, 𝑏) = √𝑎 ∙ 𝑏 Több szám esetén: 𝐺 = 𝑛√𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ ⋯ ∙ 𝑎𝑛
6
Másodfokú egyenlőtlenségek Példa1. Oldd meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenséget! 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 > 0. Megoldás: 1. lépés: Oldd meg az egyenlőtlenséget, mintha egyenlőség lenne. 2. lépés: Ábrázolni:
𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥1 = 1 é𝑠 𝑥2 = 5.
Az ábráról leolvasható: 𝑥 < 1 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑥 > 5 Más jelöléssel: 𝑀𝑒𝑔𝑜𝑙𝑑á𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ|] − ∞; 1[∪]5; ∞[]}
Kiegészítő anyag: Példa2. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget! 𝑥2 − 𝑥 − 6 ≥0 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 Megoldás: 1. lépés: A számlálót, és a nevezőben levő másodfokú kifejezést egyenlővé tesszük 0-val, és megoldjuk. 𝑆𝑧á𝑚𝑙á𝑙ó: 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥1 = −2 é𝑠 𝑥2 = 3 𝑁𝑒𝑣𝑒𝑧ő: 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙 𝑥3 = −1 é𝑠 𝑥4 = 5 2. lépés: Ábrázolás Az ábráról leolvasható: 𝑀𝑒𝑔𝑜𝑙𝑑á𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ| ] − ∞; −2] ∪ ] − 1; 3] ∪ ]5; ∞[} (Más jelöléssel: 𝑥 ≤ −2 𝑣𝑎𝑔𝑦 − 1 < 𝑥 ≤ 3 𝑣𝑎𝑔𝑦 5 < 𝑥 )
7
Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek Példa: Oldd meg az alábbi negyedfokú egyenletet! 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0 Megoldás: Legyen 𝑦 = 𝑥 2 , é𝑠 𝑦 2 = 𝑥 4 Ekkor: 𝑦 2 − 5𝑦 + 4 = 0 másodfokú egyenletet kaptunk, melynek megoldásai: 𝑦1 = 4 é𝑠 𝑦2 = 1 Mivel 𝑦1 = 𝑥 2 = 4, 𝑒𝑏𝑏ő𝑙 𝑥1 = 2 é𝑠 𝑥2 = −2, 𝑣𝑎𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑡 𝑦1 = 𝑥 2 = 1, 𝑒𝑏𝑏ő𝑙 𝑥1 = 1 é𝑠 𝑥2 = −1. Megoldás: x = {-2; -1; 1; 2} Ellenőrzés: MIND a 4 végeredménnyel: Ha 𝑥 = −2, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝑎 𝑏𝑎𝑙 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙: (−2)4 − 5(−2)2 + 4 = 16 − 20 + 4 = 0. Ha 𝑥 = −1, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝑎 𝑏𝑎𝑙 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙: (−1)4 − 5(−1)2 + 4 = 1 − 5 + 4 = 0. Ha 𝑥 = 1, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝑎 𝑏𝑎𝑙 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙: 14 − 5 ∙ 12 + 4 = 1 − 5 + 4 = 0. Ha 𝑥 = 2, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝑎 𝑏𝑎𝑙 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙: 24 − 5 ∙ 22 + 4 = 16 − 20 + 4 = 0. Az egyenlet jobb oldala: 0. Másodfokú egyenletrendszerek Példa: 𝐼. 𝑥 + 𝑦 = 7 } 𝐼𝐼. 𝑥 ∙ 𝑦 = −18 Megoldás: Az első egyenletből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: 𝑥 𝑘𝑖𝑓𝑒𝑗𝑒𝑧é𝑠𝑒
𝐼. 𝑥 + 𝑦 = 7 → 𝑥 = 7 − 𝑦} 𝐼𝐼. 𝑥 ∙ 𝑦 = −18 A másik egyenletbe behelyettesítjük x helyére 7 – y –t. 𝐼. 𝑥 + 𝑦 = 7 } 𝐼𝐼. (7 − 𝑦) ∙ 𝑦 = −18 A második egyenlet már csak egy ismeretlent tartalmaz. Felbontjuk a zárójelet, elvégezzük az egyenlet rendezését. 7𝑦 − 𝑦 2 = −18 𝑦 2 − 7𝑦 − 18 = 0, 𝑎𝑚𝑖𝑏ő𝑙: 𝑦1 = 9 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑦2 = −2. Kiszámoljuk x – et: 𝐻𝑎 𝑦1 = 9, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝑥1 = 7 − 𝑦 = 7 − 9 = −2 𝐻𝑎 𝑦2 = −2, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝑥2 = 7 − 𝑦 = 7 − (−2) = 9. Megoldás: (𝑥; 𝑦) = (−2; 9)𝑣𝑎𝑔𝑦 (9; −2). Ellenőrzés.
8
