MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky
Pythagorova věta a její důkazy Diplomová práce
Brno 2007
Autor práce: Michal Čučka
Vedoucí práce: PhDr. Pavlína Račková
Bibliografický záznam Čučka, Michal. Pythagorova věta a její důkazy: diplomová práce. Brno : Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra pedagogiky, 2007. Vedoucí diplomové práce PhDr. Pavlína Račková.
Anotace Diplomová práce Pythagorova věta a její důkazy je rozdělena na čtyři části. V první části pojednává o Pythagorově větě z hlediska její historie, o Pythagorovi ze Samu, podle kterého byla pojmenována, a stručně se zabývá Pythagorejskou školou a Pythagorejci. V další části jsou předvedeny některé z důkazů této věty. Část z nich je uvedena tak, jak se předvádějí žákům na základních školách. Další podkapitolou jsou důkazy jejichž cílem bylo vytvořit celistvý přehled nejčastěji uváděných důkazů. Část zaměřená na hodnocení písemné práce se zabývá ověřením znalosti Pythagorovy věty u studentů prvního ročníku střední průmyslové školy a studentů prvního ročníku lycea.
Annotation Diploma thesis Pythagoras’ sentence and its proofs is divided into four parts. In the first parts it says about Pythagoras’ sentence from history point of view, about Pythagoras from Samos, called after him and says about Pythagoras’ school and Pythagoras’ pupil. In the next part are some proofs from this sentence. Part of them is written in the same way how teachers do it at basic school. In the next chapter are proofs which have aim to creat general survey of the most often given proofs. Part of the thesis efforts towards survey writting work is checked how students from the first class of secondary school or grammar school knew Pythagoras’ sentence.
Klíčová slova Pythagoras, Pythagorejci, Pythagorova věta, trojúhelník, podobnost, důkaz, pravý úhel, vyhodnocení.
Keywords Pythagoras, Pythagoras‘ pupil, Pythagoras sentence, triangle, similarity, proof, right angle, evaluation.
Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracoval samostatně a použil jen prameny uvedené v seznamu literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům
V Brně dne 16.dubna 2007
Michal Čučka
Poděkování Rád bych poděkoval PhDr. Pavlíně Račkové za odborné vedení, cenné rady a trpělivost, které přispěly k realizaci této diplomové práce.
OBSAH ÚVOD .............................................................................................................................. 8 1
HISTORIE.............................................................................................................. 9 1.1
PYTHAGORAS ZE SAMU (ASI 570 - 500 PŘ. N. L.)................................................ 11
1.2
PYTHAGOREJSKÁ ŠKOLA ................................................................................... 13
1.3 PYTHAGOREJCI................................................................................................. 15 1.3.1 Výklad světa prostřednictvím čísel ............................................................ 16 1.3.2 Pythagorejské protiklady........................................................................... 17 1.3.3 Číslo a věci ............................................................................................... 17 1.3.4 Tetraktys .................................................................................................. 18 1.3.5 Pythagorejci a ženy ................................................................................... 18 1.3.6 Pythagorejský pohled na svět .................................................................... 18 1.3.6.1 Théoria................................................................................... 19 2 PYTHAGOROVA VĚTA A JEJÍ DŮKAZY ...................................................... 20 2.1
DŮKAZY PYTHAGOROVY VĚTY NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE ......................................... 20
2.2 DŮKAZY PYTHAGOROVY VĚTY ......................................................................... 35 2.2.1 Důkaz č. 1 (grafický důkaz) ...................................................................... 36 2.2.2 Důkaz č. 2 ................................................................................................ 37 2.2.2.1 Důkaz rovnosti úhlů (a tedy podobnosti trojúhelníka) ............. 37 2.2.2.2 Vlastní důkaz Pythagorovy věty.............................................. 37 2.2.3 Důkaz č. 3 ................................................................................................ 38 2.2.4 Důkaz č. 4 (důkaz proměnou ploch – Euklidův důkaz).............................. 40 2.2.5 Důkaz č. 5 ................................................................................................ 42 2.2.6 Důkaz č. 6 ................................................................................................ 43 2.2.7 Důkaz č. 7 (důkaz Georga Pólyi) .............................................................. 44 2.2.8 Důkaz č. 8 ................................................................................................ 46 2.2.9 Důkaz č. 9 (důkaz Leonarda da Vinci) ...................................................... 47 2.2.10 Důkaz č. 10 (důkaz Thâbita ibn Qurry) ..................................................... 49 2.2.11 Důkaz č. 11 .............................................................................................. 51 2.2.12 Důkaz č. 12 .............................................................................................. 52 3 OVĚŘENÍ ZNALOSTI PYTHAGOROVY VĚTY............................................. 56 3.1
ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ A JEJICH ŘEŠENÍ................................................................... 56
3.2 VYHODNOCENÍ................................................................................................. 61 3.2.1 Vyhodnocení příkladu 1 ............................................................................ 62 3.2.2 Vyhodnocení příkladu 2 ............................................................................ 63 3.2.3 Vyhodnocení příkladu 3 ............................................................................ 63 3.2.4 Vyhodnocení příkladu 4 ............................................................................ 64 3.2.5 Vyhodnocení příkladu 5 ............................................................................ 64 3.2.6 Vyhodnocení příkladu 6 ............................................................................ 65 4 POUŽITÍ PYTHAGOROVY VĚTY ................................................................... 67 ZÁVĚR .......................................................................................................................... 68
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY........................................................................... 69
8
ÚVOD Pythagorova věta patří k základním stavebním kamenům euklidovské geometrie. Její význam si uvědomovali již staří Indové, Číňané či Egypťané, i když ji ještě neznali pod názvem Pythagorova věta. Na vyměřování pozemků a základů různých staveb používali tzv. měřičský provazec – vtipnou a jednoduchou pomůcku k vytyčení pravého úhlu. Můžeme téměř jistě předpokládat, že již tenkrát si všimli, že platí rovnosti
5 2 4 2 3 2 a 13 2 12 2 5 2 . Proto bylo jen otázkou času, kdy bude proveden důkaz věty, platící pro každý pravoúhlý trojúhelník. Tato diplomová práce je rozdělena do čtyř samostatných kapitol. První kapitola začíná pohledem do historie, kde se seznámíme s jednou z nejvýznamnějších osobností řeckých dějin, a to Pythagorem ze Samu. Stručně se zaměříme na jeho vlastní život, slavnou Pythagorejskou školu a také na Pythagorejce. V druhé kapitole se zaměříme na důkazy Pythagorovy věty. Důkazy Pythagorovy věty, její zevšeobecňování a různé analogie jsou vděčným tématem pro zájmovou matematickou činnost žáků. Proto si v první části této kapitoly předvedeme důkazy, které jsou uváděny v učebnicích pro základní školy. V druhé části pak uvedeme důkazy některých slavných osobností. Připomeňme jen, že z velkého počtu důkazů Pythagorovy věty je mnoho pouze obměnou několika základních typů. Ve třetí kapitole jsou zpracovány výsledky písemné práce studentů prvního ročníku střední průmyslové školy a studentů lycea z učiva o Pythagorově větě. Příklady byly vybrány tak, abychom zjistili, zda studenti znají Pythagorovu větu a umějí ji použít i v praktických úlohách. Čtvrtá kapitola jen velmi stručně poukazuje na různé možnosti použití Pythagorovy věty a na její využití v různých matematických kapitolách.
9
1
HISTORIE Pythagorova věta, která udává vztah mezi přeponou a oběma odvěsnami, byla
známa již delší dobu před Pythagorem. Zvláštní případy pravoúhlých trojúhelníků, v nichž délky všech tří stran jsou celá čísla (tzv. pythagorejské trojúhelníky) byly známy v různých zemích dávno, někde i celá tisíciletí před Pythagorem, a byly prakticky užívány k sestrojování pravého úhlu. Staří Indové používali k vytyčování pravých úhlů v přírodě pravoúhlého trojúhelníku, jehož délky stran jsou 5, 12 a 13 jednotek. V Egyptě se k témuž účelu používalo trojúhelníku o stranách 3, 4 a 5 jednotek. Tuto trojici čísel pak nazýváme „pythagorejskou trojicí“. [8] Mezi úlohami zaznamenanými klínovým písmem na babylónských hliněných destičkách nacházíme také problémy, které byly řešeny dnešní Pythagorovou větou. Ukažme si zde dvě takové praktické úlohy: 1. Vedle svislé zdi stojí trám dlouhý 30 délkových jednotek. Trám opřeme o zeď tak, že horní konec je o 6 jednotek níže, než tomu bylo u svisle stojícího trámu. Jak daleko od zdi je dolní konec trámu? 2. Roura stojí svisle vedle zdi. Opřeme – li ji šikmo, sníží se její horní konec o tři lokty a její dolní konec se vzdálí od zdi o 9 loktů. Jak dlouhá je roura? [2] Pravoúhlé trojúhelníky, o které se opírá řešení těchto úloh, mají strany v poměru 3 : 4 : 5 . Babylóňané však znali pravoúhlé trojúhelníky i s jiným poměrem stran, např. 5 : 12 : 13 nebo 8 : 15 : 17 apod.
Ve staroegyptských památkách z dob asi 4 000 let př. n. l. jsou zaznamenány různé číselné vztahy jako např. 2
2
3 1 1 1 nebo 6 2 8 2 10 2 , 4 4 2
jež jsou zřejmě odvozeny z pythagorejské trojice čísel 3, 4, 5, která splňuje rovnici
32 4 2 5 2 . Při stavbách egyptských chrámů ve 3. tisíciletí př. n. l. se k vytyčování pravých úhlů využívalo tajných vědomostí tzv. harpedonaptů, což byli napínači lan. Patrně k tomu využívali trojúhelníku, jehož strany byly v poměru 3 : 4 : 5. Toto počínání harpedonaptů
10
můžeme napodobit tak, že dvanácti metrové lano, jehož oba konce jsou spojeny, rozdělíme uzly vždy po jednom metru. První, čtvrtý a osmý uzel jsou vyznačeny vždy nějakým zvláštním způsobem. Napneme–li nyní lano tak, že vznikne trojúhelník s vrcholy v prvém, čtvrtém a osmém uzlu, pak je tento trojúhelník podle obrácené věty Pythagorovy1 pravoúhlý s pravým úhlem při čtvrtém uzlu. [2] Číňané uvádějí své poznatky o Pythagorově větě v knize „Čou pei“ do doby více než jednoho tisíce let př. n. l. Je však pravděpodobné, že zmíněná kniha je mladší, snad z doby kolem počátku našeho letopočtu. [2] Indické znalosti jsou také velmi starého původu a pramenily patrně z náboženských potřeb. Velkou úlohu při indických bohoslužbách hrál (především u obětní desky oltáře) pravý úhel, svislost hran oltáře, orientace vzhledem k světovým stranám apod. Jestliže tyto předpoklady nebyly splněny, nepřijalo božstvo oběť a obětující upadl do nemilosti. Vědělo se tedy, že trojúhelníky s poměry stran 3 : 4 : 5 nebo 5 : 12 : 13 jsou pravoúhlé a můžeme takřka s určitostí předpokládat, že již tenkrát si všimli toho, že o číslech, vyjadřujících délky stran těchto pravoúhlých trojúhelníků platí tyto rovnice:
5 2 3 2 4 2 a 13 2 12 2 5 2 . Jakmile si však toto uvědomili, tím již vlastně znali speciální případy Pythagorovy věty a tím vším byla již připravena půda pro důkaz věty platící o každém pravoúhlém trojúhelníku. Bylo tedy jen otázkou času, kdy bude důkaz proveden. Ten se podařilo provést Pythagorovi nebo, a to se zdá být pravděpodobnější, některému z jeho žáků. [8]
1
Obrácená Pythagorova věta - jestliže pro délky stran a, b, c trojúhelníku platí c2 = a2 + b2, pak tento trojúhelník je pravoúhlý, c je délka přepony, a, b jsou délky odvěsen.
11
1.1 Pythagoras ze Samu (asi 570 - 500 př. n. l.) Pythagoras ze Samu (Pythagoras of Samos) byl slavný řecký filozof a matematik, který se narodil kolem roku 570 př.n.l. v rodině rytce kamene na řeckém ostrově Samos. Samos byl v té době jednou z kolonií, které byly vytvořeny
městskými
státy
starověkého
Řecka,
soustředěného v Malé Asii a na ostrovech ležících mimo jeho pobřeží. [4] Podle pověsti rodiče Pythagora - Mnesarchus a Parthenis navštívili těsně před jeho narozením delfskou věštírnu, aby konzultovali své plány ohledně obchodní cesty do Sýrie. Místo toho jim však kněžka Pýthia sdělila, že Parthenis je těhotná a porodí syna, který předčí všechny muže v kráse i moudrosti a přinese lidstvu mnoho dobrého. Na paměť této významné věštby změnil Pythagorův otec jméno své manželky na Pýthasis a svému synovi dal jméno Pythagoras. [24] O životě velkého mudrce toho moc nevíme, ale existují dohady, že procestoval celý tehdy známý svět. Říká se, že byl zasvěcen do mystérií Ísiady v Thébách a do mystérií babylónských a chaldejských, ba dokonce snad doputoval i do Indie, kde studoval brahmínů. Měla to být právě tato země, kde se setkal s myšlenkou reinkarnace. Metempsychosis, transmigrace duší, neboli nauka o putování duší mnoha životy, se stala součástí jeho učení. [24] Pythagoras v sobě slučoval postavu vědce, jasnovidce a vůdce. Za základ všech umění považoval matematiku, hudbu a astronomii. Pozorování tvořilo hlavní zdroj znalosti a moudrost se rovnala spojování intelektu spíše s duchem věcí než s jejich formou. Pythagoras měl být první, kdo pojmenoval vesmír, pro nějž použil výraz kosmos, tedy „souhrn všeho“ a taky „systém mající řád“. Nebyl to však ledajaký vesmír, nýbrž krásný a příjemný pro meditaci. Pythagorovi se také připisuje první použití slova filosof – milovník moudrosti či pravdy. To vycházelo z názoru, že nikdo není moudrý kromě Boha. K jeho moudrosti se můžeme jenom přibližovat, tíhnout k ní a milovat ji.
12
Pro Pythagora znamenalo číslo základ všeho a tvrdil, že řád je nejvyšší dobro. Vesmír viděl jako matematicky uspořádaný celek. Z Pythagorových teorií se později vyvinula numerologie. Je založena na dvou prastarých principech: 1. Čísla jsou stopy vedoucí ke skutečné struktuře vesmíru, která je základem všeho. 2. Jména, která lze převést do čísel, obsahují podstatu svého bytí. [24] Dále tvrdil, že naše smysly fungují na základě přijímání vibrací o různých frekvencích, které lze vyjádřit číselně. Čísla jsou symboly reprezentující vesmírné principy a každé číslo má svou formu. Pythagorovu koncepci Boha tvořil takzvaný Monad, nejvyšší smysl procházející celým vesmírem a příčina všech věcí. Pohyb tohoto Boha je kruhovitý. Monad se jevil Pythagorovi jako záhadný a stálý atom, nejvyšší zdroj všeho a rozpoznatelný moudrostí. [24] Pythagoras také přišel na to, že veškerá hudba může být zredukována na matematické symboly. Z této myšlenky vznikla i jeho teorie o harmonii sfér. Je založena na harmonickém vztahu všech nebeských těles, která tím, že krouží vesmírem, tvoří hudbu. Božská hudba však nemůže být slyšena, pokud je lidstvo ve svém pokleslém, materiálním stadiu. Pythagoras byl jediným, kdo mohl tuto hudbu slyšet. Na základě této teorie odhalil léčebné účinky pozemské hudby, tedy že určité harmonie léčí určité nemoci. [18] Po Pythagorovi se dochovalo také mnoho přísloví a pouček. Některé jsou dobře srozumitelné, jiné jsou zahaleny do symbolů. Mezi ty první výroky patří: cti své rodiče; peníze uměj získat i utrácet; nečiň nic neslušného; snášej svůj úděl a nermuť se z něho; nedej se ovlivnit ničím a nikým, abys vyslovil a vykonal jenom to, co je pro tebe nejlepší. Mezi ta další patří:
Nehrabej mečem v ohni (= nezhoršuj špatnou situaci; nepodporuj svár, ustup před ním).
Nejez své srdce (= netrap sám sebe).
Nechoď po širokých ulicích (= nenásleduj dav).
Sejdi z veřejných cest a procházej se po málo frekventovaných cestách (= moudrost je třeba hledat v samotě).
13
Hlídej svůj jazyk jako bohové (= mlčeti zlato; když si nejsi jist, raději mlč).
Když vane vítr, obdivuj jeho zvuk (= bůh je obsažen ve zvuku živlů).
Pomáhej bližním v nakládání břemena, ale ne s jeho odkládáním (= pomáhej pilným, ale ne těm, kteří se chtějí vyhnout povinnostem).
Krm svého kohouta, ale neobětuj ho (= kohout reprezentuje lidské tělo; život je posvátný, a proto pečuj o tělo). [24]
Pythagorovo společenství mělo také velký politický vliv, avšak díky svému vysoce morálnímu přístupu k životu byl Pythagoras trnem v oku jak stoupencům aristokracie, tak zastáncům demokracie. Někdy v 5. století před naším letopočtem bylo jeho středisko vypáleno, mnoho stoupenců pobito a vyhnáno. Údaje o Pythagorově smrti jsou však nejasné.
1.2 Pythagorejská škola Pythagoras se prý v Egyptě jednou dostal do zajetí a byl odvezen do dalšího střediska vzdělanosti, do Babylonu. Jako egyptský kněz založil později v Řecku tajuplnou školu, jakousi středověkou řeholi, jejíž příslušníci pěstovali matematiku jako vědu. Později se přestěhoval do jižní Itálie, kde měli Řekové své osady, a zde, v Cotrone, založil svou slavnou organizaci, která je někdy nazývána univerzitou. Nebyl to však obvyklý typ pozdějších škol. Byla to spíše sekta, zasvěcovací středisko, či uzavřená společnost s přísnými pravidly, která provozovala nejrůznější rituály. Jeho žáci, jimž říkáme Pythagorejci, žili pohromadě a řídili se různými přísnými předpisy, které nám v mnohém připomínají pozdější život v klášterech. Při přijímání museli slíbit, že budou vegetariány, dodržovat celibát a všichni se stejným způsobem odívat, dále že budou žít zdrženlivě a skromně, že neusmrtí zvíře, které nenapadá člověka, že každý večer budou zpytovat své svědomí a zkoumat, jakých se dopustili chyb, atd. Mnohé ze zákazů se nám mohou jevit jako užitečné, jiné se zdají nesmyslné, například zákaz jíst boby, nebo zákaz šlapat na odstřižené lidské vlasy a nehty. Avšak většinou i tu najdeme racionální jádro, boby nesměli jíst snad proto, že svým tvarem připomínají ledviny či varlata, vlasy i nehty jsou pak částí těla člověka, a tak vyžadují určitou úctu. Kromě filozofie se její členové zabývali zejména teorií hudby,
14
matematikou, astronomií a lékařstvím. Jádro učení školy bylo tajné. Ideovou podporou zámožných vrstev získala škola značný politický vliv. [2] V tomto zasvěcovacím středisku Pythagoras zastával funkci zasvětitele a laického kněze boha Apollóna. Vychovával zde aristokraty ducha, předvoj obnovy řádu, podřízeného vládě dobra. Stát se členem pythagorejské školy nebyla žádná snadná záležitost. Pythagoras přijímal žáky až poté, co splnili různá přísná kritéria. Nejprve zkoumal kandidáty z hlediska fyziologického, což vyplývalo z přesvědčení, že vzhled člověka, způsob jeho chování, jeho gesta a různá znamení na jeho obličeji a těle prozrazují skryté povahové vlastnosti. K jedné z nejtěžších zkoušek mělo patřit pětileté mlčení. To bylo pro Pythagora velmi důležité. Zasvěcovaní byli vázáni slibem mlčenlivosti, který znemožňoval vynášení informací mimo školu. Dokonce i uvnitř školy bylo dbáno na to, aby se nemluvilo zbytečně. [2] V Pythagorejském spolku byla udržována tajemná, až posvátná atmosféra. Pythagoras prý přednášel zásadně v noci a pro navození představy „tajemna“ prý využíval různých světelných efektů. Studenti byli rozděleni do dvou skupin:
MATHÉMATIKOI, byli nazýváni zasvěcení učedníci, kteří studovali tajné nauky – především astronomii a lékařství. Slovo MATHÉMA přitom značí „nauka”, tedy něco, co se dá naučit. Zasvěcenci byli nuceni (možná ne hned v samých počátcích) své poznatky tajit po dobu nejméně pěti let. Jejich nauky se nazývaly ESOTERNÍ tj. vnitřní, tajné.
AKÚSMATIKOI, což byli ostatní studenti, tj. posluchači. Posluchačům byly přednášeny jen nauky EXOTERNÍ, tj. vnější, veřejně přístupné. [21]
Na životosprávu a péči o tělo kladl Pythagoras velký důraz. O masu tvrdil, že zatemňuje mysl, odtud se odvíjí příkaz vegetariánství na škole. Pythagorejci se dělili o společný majetek a chodili oblečeni velice prostě v bílém lněném rouše, protože vlněné oblečení bylo považováno za nečisté. Jednou ze základních nauk bylo učení o nesmrtelnosti duše a její schopnosti oddělit se od těla a procházet různými převtělováními. Pythagoras též učil umírněnosti ve veškerém
15
chování a dokonce přehnanou ctnost považoval za nectnost. Jeho oblíbeným rčením podle tradice bylo: „Musíme se snažit vyplenit nemoc z těla, nevědomost z duše, nadbytek z břicha, buřičství z města, neshodu z rodiny a přemíru ze všech věcí.“ [2] Nejblíže dokonalosti považoval přátelství ve vztazích. Říkal, že v přírodě je přátelství pro všechny: bohů k lidem, učení jednoho k učení druhému, duše k tělu,… Ne vždy je však tato možnost využívána: Vztahy bez přátelství jsou nepevné a není žádná ctnost je udržovat. [24] Pythagoras sám nic nenapsal a proto je nyní velmi těžké rozhodnout, co z učení Pythagorejců máme přiřknout Pythagorovi samému a co jeho žákům. Proto také nevíme, komu vděčíme za důkaz slavné Pythagorovi věty. Pythagoras byl však tak vynikající člověk, že si opravdu zaslouží, aby věta, k jejímuž důkazu přispěl alespoň nepřímo založením proslulé školy, nesla jeho jméno. [8]
1.3 Pythagorejci Dochoval se historicky cenný seznam pythagorejských matematiků, pocházející od Eudema, Aristotelova žáka, jenž dal v mnohem pozdější době popud k tomu, aby bylo nějak zachyceno toto období, ve kterém vznikla matematika jako věda. Tento seznam matematiků odolal dodnes veškeré historické kritice. O Pythagorovi se v něm píše: „Po těchto (rozumí se po Thaletovi z Milétu a Mamerkovi, o němž nám historie nedochovala nic určitého) přeměnil Pythagoras matematiku ve skutečnou vědu, přičemž uvažoval její základy z vyššího hlediska a její poučky probádal duchovněji a rozumověji. On to také byl, kdo vynašel teorii iracionality a konstrukci kosmických těles.“ Ne, že by Pythagoras zkonstruoval umělé družice či dokonce sluneční planety. Kosmickými tělesy se tehdy rozuměla tzv. pravidelná tělesa. Pythagorejci totiž tvrdili, že živly pozůstávají z nejmenších dílků. V případě ohně prý mají tvar pravidelného čtyřstěnu, vzduch je tvořen ze samých malých osmistěnů, voda z dvanáctistěnů a živel zemský z krychlí. Toto poznání pak rozšířili i na stavební plán celého vesmíru, který prý má tvar posledního pravidelného tělesa a to pravidelného dvanáctiúhelníku. [17]
16
1.3.1 Výklad světa prostřednictvím čísel Pythagorejci věřili, že všechno lze převést na celá čísla. Soudili, že čísla jsou obsažena ve všech věcech a je jimi propleten celý vesmír. K tomuto přesvědčení je dovedly následující skutečnosti:
Mnoho věcí a jevů lze vyjádřit číselnými poměry.
Objevení číselných poměrů v hudbě - závislost výšek tónů bušících kladiv na jejich hmotnosti, výšek tónů strun na jejich délkách.
Číselné vyjádření mnohých jevů na nebi - roky, měsíce, dny...
Pro pythagorejské myšlení obecně číslo není abstrakcí a výsledkem naší rozumové činnosti, nýbrž je skutečnou věcí, dokonce nejskutečnější věcí ze všech, a proto může být počátkem jiných věcí. [16] Čísla pro ně byla počátkem. Na mysli tím ale měli čísla celá kladná a ještě bez
jedničky, která byla základem čísel, a tudíž nemohla mezi čísla patřit. Podle Pythagorejců pro čísla platí, že vznikají vtisknutím neomezeného (apeironu) do meze. [16] Pythagorejci přišli na to, že lze zapsat relativně jednoduchý vzorec, udávající nekonečné množství rozměrů pythagorejských trojúhelníků. Objevili také jak přeměňovat obrazce na jiné obrazce o stejné ploše, i další zákonitosti, týkající se celých čísel. Věděli například, že součet libovolného počtu po sobě jdoucích lichých čísel od jedné nahoru dává číslo, které vyjadřuje plochu čtverce, jehož strana je celé číslo. Od Pythagorejců také pochází pojem čísel dokonalých, což jsou čísla, která se rovnají součtu všech svých dělitelů, tedy čísel, kterými jsou beze zbytku dělitelná. Číslo samotné ovšem mezi jeho dělitele nepočítáme. Pythagorejci nehledali jen vztahy mezi čísly (v současnosti nazývané teorií čísel), šlo jim spíše o poznání, tedy o to, co je za těmito vztahy a zákonitostmi. K jejich nepříjemnému překvapení později objevili něco docela proti jejich rozumu iracionalitu. A to v jejich době bylo něco strašného. Při studii úhlopříčky čtverce, jehož strana se rovná jedné, zjistili, že její délku nelze vyjádřit celým číslem, že to není žádný zlomek, prostě nic, co bylo dosud známo. [23]
17
1.3.2 Pythagorejské protiklady Podle pythagorejců jsou všechny protiklady odvozeny z toho základního vztahu mez x apeiron = neomezeno. Věci pak vznikají sloučením pythagorejských protikladů. Tímto skloubením protikladů jsou utvářeny věci. Harmonie, soulad protikladů vytváří správné bytí, existenci určité věci. Např. zdraví lidského těla spočívá v harmonii horkého a chladného, suchého a vlhkého. Narušení této harmonie, tohoto řádu, a tedy nástup apeironu, je příčinou nemoci. [16] 10 pythagorejských protikladů: Mez
Bezmezno
Čtverec
Obdélník
Liché
Sudé
Klid
Pohyb
Jedno
Mnohé
Rovné
Křivé
Pravé
Levé
Světlo
Tma
Muž
Žena
Dobro
Zlo
Nakonec lze všechny protiklady převést na ten první. Z toho pak vyplývá závěrečné hodnocení základních principů - omezení je na straně dobra, apeiron na straně zla. [16] 1.3.3 Číslo a věci Číslo si Pythagorejci představovali jako soubor jednotek nebo soustavu bodů, která má určitý tvar. Body se nacházejí v prostoru, proto vytvářejí určitý objem a mohou být chápána jako těleso. V následujících spojeních si ukážeme úzký vztah čísel a hmotného světa:
jednotka odpovídá bodu, dvojka přímce, trojka rovině a čtyřka tělesu.
Filoláos přiřazuje čtyři živly geometrickým tělesům - krychli zemi, čtyřstěn ohni, osmistěn vzduchu, dvacetistěn vodě. [16]
18
1.3.4 Tetraktys Výjimečné postavení zaujímalo číslo deset. „Tetraktys“ ( = skupina čtyř) je pramenem a kořenem přírody: desítka jako součet čtyř čísel – 1 + 2 + 3 + 4. Tato čísla zapsaná pod sebou tvoří trojúhelník:
* * * *
* *
*
* *
*
Je to nejdůležitější číslo, protože způsob jeho konstrukce je zcela ekvivalentní vzniku přirozeného světa. Poukazuje na štěpení první jednotky a na zabírání neomezeného. Zároveň se vyjevuje překvapující skutečnost, že z tetraktysu se dají odečíst hudební harmonické číselné poměry 2 : 1 , 3 : 2 , 4 : 3 . Proto je tetraktys modelem nebo látkou (Matrix) nejen geneze přirozených čísel, nýbrž i harmonických poměrů tónů. Tetraktys je uspořádaný a funkční celek. [16] 1.3.5 Pythagorejci a ženy Zajímavé je, že Pythagorejci přijímali mezi sebe i ženy. Pythagorejské ženy, vzdělané ve filosofii, literatuře i v praktických činnostech, byly v Řecku velmi ceněny. Jednou z nejznámějších žen, pythagorejských „kosmoložek“, byla Pythagorova manželka Theano, původem z Kréty. Po Pythagorově smrti prý pokračovala ve vedení společnosti a s pomocí dvou dcer se zasloužila o rozšíření společnosti do celého Řecka i do Egypta. [21] 1.3.6 Pythagorejský pohled na svět Na rozdíl od Miléťanů je pro Pythagorejce charakteristický na jedné straně přísný „matematický” racionalismus a na straně druhé i přítomnost mystických prvků. Mysticismus, který lpěl na různých fantastických hypotézách a svérázných mýtech, se jen neochotně přizpůsoboval pozorovaným jevům. Pythagorejci nezkoumali jen čistě fyzikální podstatu jevů, ale hledali spíše mýtické souvislosti. Pythagorejské filosofování vedlo k rozvoji matematiky, abstraktního myšlení, ale i k magii a k rozličným pověrám.
19
Během svých studií zavedli Pythagorejci řadu nových pojmů a termínů. Mnohé z nich jsou dosud živé. 1.3.6.1 Théoria Pythagorejská filosofie byla založena na tom, čemu říkali THÉORIA. Význam tohoto slova se průběžně měnil. Nejdříve znamenal sledování náboženské slavnosti, později i vyprávění o ní, obětní poselství, pak pozorování čili „diváctví” či nahlížení. V pythagorejském pojetí však tato THÉORIA začala být spíše jakýmsi vnitřním, duševním zrakem. THÉORIÍ se tu začalo rozumět hlubší proniknutí k podstatě než historii tj. „zkoumáním”. THÉORIA se zabývá záležitostmi hlubšími, božskými a slavnostními. A v případě pythagorejců šlo především o nahlížení číselných a geometrických vztahů. [2] Teoretické myšlení bylo pythagorejci považováno za „očišťovač” duše. Zvláště pak matematické uvažování mohlo osvobodit lidi od přemýšlení o jednotlivostech a zavést je k úvahám o věčném uspořádaném světě čísel. Pythagorejský přístup v mnohém předběhl svou dobu a přinášel řadu geniálních vhledů a nových hledisek.
20
2
PYTHAGOROVA VĚTA A JEJÍ DŮKAZY Pythagorova věta je jednou z nejčastěji dokazovaných vět. Mnoho matematiků se
zabíralo dokazováním této věty a v současné době je známo asi 370 důkazů. Kniha Pythagorean problém od Elishy Scott Loomis, obsahuje přes 350 důkazů. Věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině i v prostoru. Její geometrické znění je: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami (dvěma kratšími stranami). V algebraickém tvaru je její znění:
c2 a2 b2 kde c je velikost přepony; a, b jsou velikosti odvěsen, neboli: V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnin délek obou odvěsen. Tato rovnice ukazuje jednoduchý vztah mezi třemi stranami pravoúhlého trojúhelníka, a to tak, že pokud známe dvě strany tohoto trojúhelníka, třetí snadno vypočítáme. Pythagorova věta je úzce spjata s větami Euklidovými. Věty Euklidovy totiž byly odvozeny na základě podobnosti trojúhelníků, věta Pythagorova jako jejich bezprostřední důsledek. Této vlastnosti využijeme i v některých důkazech, které si předvedeme později. Ukázka všech důkazů přesahuje rámec této diplomové práce, a proto si jich ukážeme jen několik. Nejdříve se seznámíme s důkazy, které jsou předváděny na základní škole a poté některé algebraické a geometrické důkazy.
2.1 Důkazy Pythagorovy věty na základní škole Pythagorova věta je na základní škole zavedena různými způsoby. Pro její snazší pochopení je v učebnicích matematiky uveden velký počet různých matematických
21
příkladů. V této kapitole si ukážeme, jak je Pythagorova věta ukazována, resp. dokazována v některých učebnicích pro základní školy. Kolektiv autorů Coufalová, J., Pěchoučková, Š., Hejl, J. a Lávička, M. v učebnici Matematiky pro 8. ročník ZŠ přesvědčují žáky o pravdivosti Pythagorovy věty pomocí následujícího příkladu:
Obrázek 1 Příklad 1: Dlažba zámecké podlahy byla sestavena ze shodných dlaždic ve tvaru pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků (obrázek 1). Znázorněte část dlažby na čtverečkový papír, obtáhněte jeden z trojúhelníků a také čtverce sestavené z dalších trojúhelníků tak, jak je naznačeno na obrázku 1. [5] Na obrázku 1 je znázorněna část dlažby sestavená ze čtvercových dlaždic. Každá z dlaždic je rozdělena úhlopříčkami na čtyři shodné trojúhelníky. Jeden z nich pojmenujeme např. ABC a barevně vyznačíme čtverce sestrojené nad jeho odvěsnami a přeponou. Z jejich očíslování vidíme, že čtverec nad přeponou AB je možno složit z pravoúhlých trojúhelníků, které vytvářejí čtverce nad odvěsnami AC a BC. Díky tomuto znázornění žáci objevili, co platí o součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníka a obsahu čtverce nad jeho přeponou. Nastává však otázka, zda to platí pro každý (nejen pro rovnoramenný) trojúhelník. To jim autoři ukáží pomocí následujícího důkazu:
22
Pozorujme obrázek 2a) i obrázek 2b), na kterém jsou dva shodné čtverce o stranách a b a v každém z nich vždy čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami a, b a
přeponou c.
a)
b) Obrázek 2
Ad a)
Ad b)
Vyšrafované čtyřúhelníky jsou čtverce o obsazích a2 , b2 .
BAE 180 180 90 90
ABDE : všechny strany shodné, všechny úhly pravé, proto ABDE je čtverec o obsahu c 2 .
Z našich obrázků tedy pro obsahy čtverců platí
a2 b2 c2 . V této učebnici je znění Pythagorovy věty uvedeno následovně: Je – li trojúhelník pravoúhlý, je součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami roven obsahu čtverce sestrojeného nad přeponou. [5]
23
Jiné znění věty v téže učebnici: Je – li trojúhelník pravoúhlý, pak je součet druhých mocnin délek obou odvěsen roven druhé mocnině délky přepony. [5] Je – li ABC pravoúhlý, s pravým úhlem při vrcholu C, pak platí algebraický zápis
a2 b2 c2 V 1. díle učebnice matematiky pro 8. ročník od kolektivu Šarounová, A., Bušek, I., Růžičková, J. a Väterová, V. je Pythagorova věta dokazována následujícími dvěma způsoby. První důkaz je podobný jako v příkladu 1, jen zadání je odlišné. Příklad 2: Honzu s Petrem zaujal počítačový matematický program, který nabízel tyto dva obrázky: (viz. obrázek 3a) a obrázek 3b)). [20]
a)
b) Obrázek 3
Na obrázku jsou nad stranami pravoúhlých trojúhelníků sestrojeny čtverce. Podle obrázku 3a) i obrázku 3b) rozhodněte, který z uvedených zápisů je pravdivý, a vyjádřete to slovně. [20] a) S1 S 2 S 3 b) S 2 S1 S 3
24
c) S 3 S1 S 2 Tato učebnice nabízí dvě následující řešení:
Petr si vybral obrázek 3a), který vyřešil takto: Obsahy čtverců: S1 S 1 S 2 , S 2 S 3 S 4 S1 S 2 S 1 S 2 S 3 S 4 S 3 S 1 S 2 S 3 S 4 ,
tedy S 3 S1 S 2 „Obsah čtverce nad přeponou trojúhelníku je roven součtu obsahů S1 a S 2 .“
Honza vycházel z obrázku 3b):
S1 = 9 čtverečků
9 16 25
S 2 = 16 čtverečků
Platí vztah:
S 3 = 25 čtverečků
S1 S 2 S 3
Oba chlapci vyřešili příklad dobře a jejich závěr je v souladu s tvrzením Pythagorovy věty, jejíž znění je v této učebnici následující: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahu čtverců sestrojených nad oběma jeho odvěsnami. [20] Nebo je v této učebnici Pythagorova věta vyslovena i takto: Je – li trojúhelník ABC pravoúhlý s přeponou c a odvěsnami a a b, pak
c 2 a 2 b 2 . [20] Druhý důkaz v této učebnici nám ukazuje, jak Pythagorovu větu líčil ve svých spisech slavný řecký matematik Euklides, který žil ve čtvrtém století před naším letopočtem: „V pravoúhlých trojúhelnících čtverec na straně proti úhlu pravému ležící rovná se čtvercům na stranách pravý úhel svírajících.“
25
Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c . Důkaz Pythagorovy věty provedeme porovnáním obsahu čtverce PQBA se součtem obsahů čtverců ACUV a CBRT (obrázek 4).
Obrázek 4 Při důkazu Pythagorovy věty využijeme obrázek 5, ve kterém čtverec PQBA vepíšeme do čtverce RXVY . Strany čtverce RXVY mají délku a b . Trojúhelníky
ABC, BAY , QBR, PQX a APV jsou shodné (věta sss). Rovněž obdélníky BCAY a CTXU jsou shodné. Čtverec PQBA dostaneme ze čtverce RXVY „odstřižením“ čtyř trojúhelníků:
BAY , QBR, PQX a APV .
Obrázek 5
26
Dvojici čtverců BCTR a CUVA získáme z téhož čtverce RXVY oddělením obdélníků BCAY a CTXU . Každý z těchto obdélníků se skládá ze dvou trojúhelníků shodných s trojúhelníkem ABC . Obsah čtverce PQBA je tedy roven rozdílu obsahu čtverce RXVY a čtyřnásobku obsahu trojúhelníku ABC : S PQBA S RXVY 4 S ABC .
(1)
Rovněž součet obsahů čtverců BCTR a CUVA je roven rozdílu obsahu čtverce RXVY a čtyřnásobku obsahu trojúhelníku ABC :
S BCTR S CUVA S RXVY 4 S ABC .
(2)
Jestliže obsah čtverce PQBA vyjádříme pomocí délky jeho strany, pak S PQBA c 2 . Stejným způsobem si vyjádříme obsahy čtverců BCTR a CUVA . S BCTR a 2 a S CUVA b 2 . Porovnáním rovnic ( 1 ) a ( 2 ) odtud obdržíme: S PQBA S BCTR S CUVA ,
a tedy
c2 a 2 b2 . Další tři důkazy Pythagorovy věty jsou z prvního dílu Matematiky pro osmý ročník základní školy od autorů Koman, M., Tichá, M., Kuřina, F., Černek, P. Jsou předvedeny formou následujících příkladů: Příklad 3: a) Vystřihněte ze čtvrtky papíru čtverec se stranou délky c a od něj odstřihněte shodné pravoúhlé trojúhelníky T1 a T2 s odvěsnami a, b tak, jak je nakresleno na obrázku 6. Ze čtverce pak zbude pětiúhelník P , který můžete vybarvit. [9]
27
Obrázek 6 Nastává otázka, jak narýsovat trojúhelníky T1 , T2 ? Označme vrcholy čtverce postupně písmeny A , B , C a D . Vrcholem B vedeme libovolnou přímku p tak, aby nám rozdělila čtverec ABCD na dva díly. Z vrcholů A , C k ní narýsujeme kolmé přímky (obrázek 7). Tak získáme trojúhelníky T1 a T2 a pětiúhelník P.
Obrázek 7 b) Přidejme k pětiúhelníku P trojúhelníky T1 , T2 následujícími dvěma způsoby:
Trojúhelníky T1 a T2 a pětiúhelník P složíme tak, abychom získali původní čtverec se stranou délky c (obrázek 8).
28
Obrázek 8
Trojúhelníky T1 , T2 přidáme k pětiúhelníku tak, jak je nakresleno na obrázku 9.
Obrázek 9 Nyní porovnáme obsahy takto vzniklých obrazců. Pro přehlednost si je ještě jednou překreslíme vedle sebe (viz. obrázek 10a) a obrázek 10b))
29
a)
b) Obrázek 10
Obsah čtverce na obrázku 10 a) je c2 .
Obsah čtverců obrázku 10b) 2 2 a b .
na je
Z obrázku 10a) a obrázku 10b) jasně vidíme, že platí
a2 b2 c2 c) Popsanou konstrukci můžeme použít pro libovolný pravoúhlý trojúhelník ABC (obrázek 11). Mějme pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C. Ke straně AB sestrojme kolmice z vrcholů A i B o délce úsečky AB. Získáme body E, D, jejichž spojením vznikne čtverec ABDE. Kolmicí vedenou z vrcholu D na polopřímku BC nám vznikne pata kolmice, kterou označíme bodem F (obrázek 11).
30
Obrázek 11 Tím jsme sestrojili pětiúhelník P a pokračujeme: Nad stranou AE sestrojme trojúhelník AED tak, že AED ABC a nad stranou ED sestrojme trojúhelník EDH tak, že EDH BDF . Průnikem polopřímky BF a strany EH nám vznikne bod N.
Obrázek 12 Shrnutí: Sestrojili jsme čtverec ABDE , jehož strana je přeponou c trojúhelníku ABC . Pomocí pětiúhelníku P jsme ho přeměnili na dva čtverce (čtverec ACNG a čtverec FDHN ), jejichž strany se rovnají odvěsnám a, b .
Pro jejich obsahy tedy platí:
c2 a2 b2 Právě provedený důkaz Pythagorovy věty je asi 1 000 let starý a pochází z Indie.
31
Další z příkladů v této učebnici je pouze pro zájemce. Žáci si však při něm procvičí algebru. Příklad 4: Vypočítejte dvěma způsoby obsah lichoběžníku, který se skládá ze čtyř pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami a, b a ze dvou rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníků podle obrázku 13. [9] (Tento důkaz publikoval J. A. Garfield2, který byl v roce 1881 prezidentem USA).
Obrázek 13 Pro obsah lichoběžníku platí S
1 a c v , 2
a, c jsou základny lichoběžníka a v je jeho výška. Podle obrázku 13 platí: Základny lichoběžníku ABCD jsou 2a, 2b a výška je a b . Tedy S
1 2a 2b a b 2
S a b a b 2
S a b
2
Lichoběžník je složen ze šesti pravoúhlých trojúhelníků, jeho obsah lze proto vypočítat ze vzorce 1 1 S 4 ab 2 c 2 , 2 2
kde 1 ab je obsah pravoúhlého 2 trojúhelníku, jehož odvěsny mají délku a, b a 1 2 c je obsah pravoúhlého 2 trojúhelníku, jehož odvěsny mají délku c.
James Abram Garfield (1831-1881), dvacátý americký prezident
32
1 1 S 4 ab 2 c 2 2 2 2 S 2ab c
2
S a b
S a 2 2ab b 2
(3)
(4)
Rovnice ( 3 ) a ( 4 ) vyjadřují obsah téhož lichoběžníku, musí tedy platit
a 2 2ab b 2 2ab c 2 a odtud
a2 b2 c2 Další důkaz je velice názorný a proto bývá nejčastěji ukazován v učebnicích ZŠ. Je stejný jako v příkladě 1, ale poněvadž je v této učebnici o něco podrobněji vysvětlen, znovu si ho ukážeme. Příklad 5: Vypočítejte dvěma způsoby obsah čtverce ABCD se stranou a b podle obrázku 14a) a obrázku 14b). [9]
a)
b)
Obrázek 14 Na obrázku 14a) vidíme, že čtverec ABCD se dá složit ze čtyř trojúhelníků o délce odvěsen a a b a ze dvou čtverců o stranách a, b. Obsah S čtverce ABCD vypočítáme takto: 1 S 4 ab a 2 b 2 , 2
33
kde
1 ab je obsah trojúhelníku s odvěsnami a a b. 2
Tedy
S 2ab a 2 b 2
(5)
Naopak na obrázku 14b) je čtverec ABCD složen ze čtyř shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami a a b, a z jednoho čtverce o straně c. V tomto případě vypočítáme obsah čtverce ABCD takto 1 S 4 ab c 2 , 2
a odtud
S 2ab c 2
(6)
Rovnice ( 5 ) a ( 6 ) vyjadřuje obsah téhož čtverce ABCD . Proto z rovnosti obsahů
2ab a 2 b 2 2ab c 2 plyne rovnost
a2 b2 c2 , což je opět námi dokazovaná Pythagorova věta. Pomocí papírové skládanky je Pythagorova věta dokazována v učebnici Matematika 8 od kolektivu Molnár, J., Emanovský, P., Lepík, J., Lišková, H., Slouka, J. Příklad 6: Žáci dostanou za úkol narýsovat na papír ABC o délce stran a 4 cm, b 3 cm, c 5 cm a nad jeho stranami sestrojit čtverce. Tyto čtverce si rozdělí
tak, jak je na obrázku 15.
34
Obrázek 15
Poté si menší čtverce rozstříhají podle návodu (viz obrázek 15) a všechny části zkusí umístit do velkého čtverce. Zjistí, že se tam všechny nejen vejdou, ale dokonce pokryjí právě tu plochu, která se rovná ploše velkého čtverce. Díky tomuto velice názornému pokusu si žáci ověří platnost Pythagorovy věty. Pythagorova věta je v této učebnici formulována takto: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. [12]
c2 a2 b2 V této učebnici je také uvedena v praxi často používaná obrácená Pythagorova věta: Jestliže pro délky stran a, b, c trojúhelníku platí
c2 a2 b2 , pak je tento trojúhelník pravoúhlý, c je délka přepony, a, b jsou délky odvěsen. [12] Dalším z důkazů Pythagorovy věty je jednoduchý důkaz, který je přisuzován právě Pythagorovi. Je ukázán v Geometrii 8 od autorů Rosecká, Z., Míček, A.. Je to v podstatě důkaz obdobný jako v příkladu 1, jen není ukázán formou příkladu.
35
Důkaz je tak jednoduchý, že k němu postačí Obrázek 16. Pythagorova věta se z něho dá velmi snadno odvodit. Je to geometrický důkaz pro rovnoramenný trojúhelník. [19]
Obrázek 16 Žáci na první pohled vidí, že čtverec sestrojený nad každou z odvěsen se skládá ze dvou shodných trojúhelníků. Sečteme-li tyto trojúhelníky, dostaneme stejný počet shodných trojúhelníků, který obsahuje čtverec sestrojený nad přeponou. Tím je Pythagorova věta dokázána.
2.2 Důkazy Pythagorovy věty Důkazy Pythagorovy věty rozdělujeme na geometrické a algebraické. Geometrické důkazy se opírají především o narýsovaný obrázek a pak se z něj následně vyvodí důkaz, kdežto algebraické důkazy nám dokazují Pythagorovu větu formou číselného vyjádření. Nelze však jednoznačně určit, který důkaz je geometrický a který algebraický. Oba dva typy se vzájemně prolínají a doplňují, a proto je tu rozdělovat nebudeme.
36
2.2.1 Důkaz č. 1 (grafický důkaz) Nechť je dán čtverec o straně délky a b , který můžeme složit dvěma způsoby (viz obrázek 17a) a obrázek 17b)). Na obrázku 17a) je tento čtverec složen ze 2 čtverců o stranách délek a a b a čtyř shodných pravoúhlých trojúhelníků o stranách délek a, b, c. Na obrázku 17b) je tento čtverec složen ze čtverce o straně délky c a čtyř shodných pravoúhlých trojúhelníků o stranách délek a, b, c. Čtverce o stranách a a b z obrázku 17a) nám symbolizují obsahy čtverců nad odvěsnami pravoúhlých trojúhelníků a čtverec o straně c z obrázku 17b) nám ukazuje obsah čtverce nad přeponou. Ve čtvercích o stranách a b z obrázku 17a) a obrázku 17b) nám v každém ze čtverců zbudou 4 shodné trojúhelníky. Z rovnosti obsahu čtverce o straně a b při obou způsobech složení pak plyne i Pythagorova věta:
a2 b2 c2
a)
b) Obrázek 17
Tento důkaz je pro svou jednoduchost a názornost nejčastěji ukazován i v učebnicích pro základní školy (viz příklad 5 z předchozí kapitoly), kde je ještě podrobněji vysvětlen.
37
2.2.2 Důkaz č. 2 Nechť je dán trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, bod D je pata výšky sestrojené z vrcholu C na stranu AB. Výška h nám rozdělí ABC na dva pravoúhlé trojúhelníky: CBD a CAD .
Obrázek 18 Přesvědčme se, že pokud jsou DCB a DAC (jenž se rovná BAC ) shodné, jsou si trojúhelníky ABC, CBD a ACD navzájem podobné podle věty uu a z toho plyne, že velikosti jejich stran jsou ve stejném poměru. 2.2.2.1 Důkaz rovnosti úhlů (a tedy podobnosti trojúhelníka) V každém z trojúhelníků ABC, CBD a ACD je jeden z úhlů pravý. Proto platí: BAC CBA 90
(7)
CBD DCB 90
(8)
DAC ACD 90
(9)
Z rovnic ( 7 ) a ( 8 ) vyplývá, že BAC DCB . Protože BAC DAC DCB je zřejmé, že pravoúhlé trojúhelníky CBD, ACD, ABC jsou podobné podle věty uu, tj. CBD ~ ACD ~ ABC .
2.2.2.2 Vlastní důkaz Pythagorovy věty Z podobnosti trojúhelníku CBD a trojúhelníku ABC podle obrázku 18 platí, že
a pc a
38
odkud po úpravě dostaneme a 2 cp .
( 10 )
Z podobnosti trojúhelníku ACD a trojúhelníku ABC plyne
b qc b a po úpravě platí b 2 cq .
( 11 )
Sečtením rovnic ( 10 ) a ( 11 ) dostaneme: a 2 b 2 cp cq , tj. a 2 b 2 c p q p q je, jak je vidět z obrázku, rovno c a z toho vyplývá:
a2 b2 c c c2 . Což je již zmíněná Pythagorova věta. [25] 2.2.3 Důkaz č. 3 Tento důkaz je podobný důkazu č. 2 a je založen na úměrnosti stran dvou podobných trojúhelníků. Nechť trojúhelník ABC reprezentuje pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C (viz obrázek 19). Z bodu C sestrojíme výšku ke straně AB a patu výšky označíme bodem H. Nový trojúhelník ACH je podobný původnímu trojúhelníku ABC podle věty uu. Protože oba dva jsou pravoúhlé a mají shodný úhel u vrcholu A, platí, že třetí úhel mají také shodný. Obdobně lze ukázat, že trojúhelník CBH je také podobný trojúhelníku ABC. Tyto podobnosti vedou ke dvěma poměrům.
39
Obrázek 19 V ABC a ACH platí: AC AH . AB AC
A v ABC a CBH platí: CB HB . AB CB
Pomocí algebraických úprav můžeme tyto rovnice také zapsat ve tvaru:
AC 2 AB AH
( 12 )
CB 2 AB HB
( 13 )
a
Sečtením rovnic ( 12 ) a ( 13 ) dostaneme: AC 2 CB 2 AB AH AB HB AB ( AH HB) AB 2 . Tedy
AC 2 CB 2 AB 2 , a to je již známá Pythagorova věta.
40
2.2.4 Důkaz č. 4 (důkaz proměnou ploch – Euklidův důkaz) Toto je pravděpodobně nejslavnější ze všech důkazů Pythagorovy věty. Tento důkaz se opírá o následující větu: Dva trojúhelníky mají stejný obsah, jestliže se shodují v jedné straně a k ní příslušné výšce.
( 14 )
Obrázek 20 Na obrázku 20 je pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C a nad jeho stranami jsou sestrojeny čtverce BFGC, ACHK, AEDB. Vrchol C spojme s bodem D a vrchol A s bodem F. Výška CJ na přeponu pravoúhlého trojúhelníku ABC rozdělí čtverec nad přeponou AB na obdélníky AEMJ, BJMD. Ve čtverci BFGC narýsujme úhlopříčku CF. Nyní podle obrázku 20 platí: ABF DBC (podle věty sus),
neboť
AB DB a BF BC , ABF CBF ABC DBC.
41
Všimněme si, že podle věty ( 14 ) platí S DBC S DBJ a S BFA S BFC . Dále DBC BFA , takže S DBC S BFA a tudíž S DBJ S BFC . Ale pro obsah DBJ a obdélníku MDBJ dále platí S DBJ
1 S MDBJ 2
a podobně pro obsah BFC a obsah obdélníka BFGC platí S BFC
1 S BFGC , 2
a proto pro obsahy obdélníků MDBJ a BFGC platí S MDBJ S BFGC .
( 15 )
K tomuto výsledku můžeme připojit druhý, který by se odvodil úplně stejným postupem: Obsahy obdélníků EMJA a ACHK jsou stejné, tj. S EMJA S ACHK .
( 16 )
Sečtením obou těchto odvozených výsledků ( 15 ) a ( 16 ) obdržíme: S AEDB S BFGC S ACHK . Slovy řečeno: Čtverec nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka se rovná součtu čtverců nad oběma odvěsnami. Rovnici vyjadřující Pythagorovu větu tedy můžeme dát jednodušší a poněkud přehlednější tvar, jestliže zavedeme, jak je zvykem, toto označení:
42
AB c, BC a, AC b .
Pak dostaneme:
c2 a2 b2 , což je obvyklý tvar Pythagorovy věty psané rovnicí. [8] 2.2.5 Důkaz č. 5 Mějme čtyři kopie stejného pravoúhlého trojúhelníku, které jsou postupně otočeny o 90 (obrázek 21).Každý z těchto trojúhelníků má obsah S ab 2 .
Obrázek 21 Nyní tyto trojúhelníky bez dalších rotací složíme tak, aby vytvořily čtverec o straně c (obrázek 22).
Obrázek 22 Takto získaný čtverec má uprostřed prázdný čtverec o straně délky a b . Sečtením této plochy o obsahu a b a obsahu 2ab , což je obsah plochy čtyř trojúhelníků ( 4ab ), 2 2
dostaneme obsah celého čtverce o straně c:
43
a b 2 2ab c 2 a odtud po úpravě
a2 b2 c2 A to je již známá Pythagorova věta. 2.2.6 Důkaz č. 6 Tento důkaz je podobný důkazu č. 5, s tím rozdílem, že čtyři stejné trojúhelníky o stranách a, b, c složíme tak, aby vytvořily čtverec o straně a b s prázdným čtvercem o straně c uprostřed (viz. obrázek 23)
Obrázek 23 Podle obrázku 23 vidíme, že obsah velkého čtverce můžeme vypočítat dvěma způsoby: 2
1. S a b
( 17 )
2. S 4 ab 2 c 2
( 18 )
Z rovnic ( 17 ) a ( 18 ) dostaneme:
a b 2 4 ab
2 c2
a odtud tedy získáme požadovanou rovnost
a2 b2 c2
44 2.2.7 Důkaz č. 7 (důkaz Georga Pólyi3) Trik spočívá v tom, že úlohu rozšíříme na třídu ekvivalentních problémů a z nich vyřešíme ten nejjednodušší. Může se zdát, že to k žádnému zjednodušení nevede, ale podívejme se na následující příklad. [7] Po vzoru Pólyi si nejdříve zobecníme Pythagorovu větu. Proč by měla platit jenom pro čtverce? Když do čtverce nakreslíme nějaký jiný útvar - kruh, půlkruh, trojúhelník nebo cokoli jiného, bude poměr obsahů tohoto útvaru a čtverce zachován při zvětšování a zmenšování měřítka. Označme tento poměr k. Dále si uvědomme, že tvrzení
a2 b2 c2 je ekvivalentní tvrzení
a 2k b2k c 2k , k R Takže důkaz Pythagorovy věty by nemusel být odvozován jen pro čtverce, ale i pro libovolné geometricky podobné útvary, jejichž lineární rozměry odpovídají stranám pravoúhlého trojúhelníku. Ze všech takových útvarů si vybereme pravoúhlé trojúhelníky naznačené na obrázku 24. [7]
Obrázek 24
3
George Pólya (1887-1985) – maďarský matematik a fyzik, proslavil se matematickou indukcí,
45
Nyní platí:
1 ab 2 1 ab 2
1 1 v c a v cb 2 2 1 v c a c b 2
ab vc a vcb . Z Euklidovy věty o odvěsně pravoúhlého trojúhelníku plyne:
ca
a2 b2 ; cb c c
a tedy ab
v 2 a b2 c
ab c a2 b2 v
1 ab 2 c a2 b2 1 v 2
S c a2 b2 1 v 2 1 cv 2 c a2 b2 1 v 2
c2 a2 b2 Tím je Pythagorova věta dokázána.
zabýval se kombinatorikou a teorií her
46
2.2.8 Důkaz č. 8 Nechť je dána kružnice k S , c a body F, G, H, které leží na kružnici tak, že GH 2c a bod F je libovolný bod kružnice, F G F H . Body G, H, F jsou vrcholy
pravoúhlého trojúhelníku GHF s pravým úhlem při vrcholu F. Bodem K, který je patou kolmice sestrojené z bodu F na stranu GH, rozdělíme přeponu GH na dvě části. Jejich délky jsou c b a c b , jak vidíme na obrázku 25.
Obrázek 25 Tento důkaz je založen na úměrnosti stran dvou podobných trojúhelníků. Podobně jako v důkazu č. 3 zjistíme, že GKF , GFH a FKH jsou podobné. Trojúhelník GKF je podobný trojúhelníku GFH podle věty uu. Oba dva jsou pravoúhlé a mají shodný úhel u vrcholu G. Stejným způsobem lze dokázat podobnost s trojúhelníkem HKF. Pomocí Euklidovy věty o výšce dostaneme: a 2 c b c b c 2 b 2 a odtud dostaneme Pythagorovu větu
c2 a 2 b2 .
47 2.2.9 Důkaz č. 9 (důkaz Leonarda da Vinci4) Nechť ABC je pravoúhlý trojúhelník a ACDE, BCGF, IJBA jsou čtverce, sestrojené nad jeho stranami. Označme O průsečík úhlopříček čtverce IJBA. Bod H je středově souměrný podle bodu O s bodem B (obrázek 26).
Obrázek 26 Dokážeme, že čtyřúhelníky CAIH, CBJH, DEFG a DABG mají stejný obsah: 1. Bod H je obrazem bodu C ve středové souměrnosti se středem O. Taktéž bod J je obrazem bodu A a bod I je obrazem bodu B. Z toho odvodíme, že HJ CA b a HJ || CA , HI CB a a HI || CB .
2. Sestrojíme – li nad úsečkou AO oblouk se středem S, pak obvodový úhel ACO
příslušný k tomuto oblouku je roven polovině příslušného
středového úhlu ASO , tedy ACO 45 .
4
Leonardo Da Vinci (1452-1519), významný renesanční malíř, sochař, architekt, přírodovědec, hudebník a spisovatel
48
3. Čtyřúhelník
CAIH HJBC , protože
CA HJ b ,
CB HI a ,
AI BJ c a úsečka CH je společná a ACH JHC , a tedy
S CAIH S CHJB
( 19 )
4. Obdobně pro čtyřúhelníky DABG a DEFG dostaneme DA DE b , BG FG a , CEF CAB a tedy AB EF c a ADG EDG .
Z toho plyne, že DABG DEFG a tedy S DABG S DEFG .
( 20 )
5. Dále platí, že CAIH DABG a tedy S CAIH S HJBC S DABG S DEFG .
( 21 )
Podle obrázku 26 platí, že S CAIH S HJBC 2 S ABC c 2
a S DABG S DEFG 2 S ABC b 2 a 2
a porovnáním obou stran rovnice ( 21 ) dostaneme Pythagorovu větu
c2 a2 b2
Stejný důkaz, jen poněkud odlišným způsobem, provedl David King. Nechť máme šestiúhelníky sestrojené tak, jako na obrázku 27. Šestiúhelník OPQRST se skládá ze čtverce o straně délky b, čtverce o straně délky a a dvou shodných trojúhelníků o stranách délek a, b, c. Šestiúhelník O´P´Q´R´S´T´ se skládá ze čtverce o straně délky c a dvou shodných trojúhelníků o stranách délek a, b, c.
49
Obrázek 27 Postranní délky šestiúhelníku jsou shodné. Úhly u vrcholu P a vrcholu P´ jsou shodné (pravý úhel + úhel mezi stranou a a stranou c) i úhly u vrcholu Q a vrcholu Q´ jsou shodné (pravý úhel + úhel mezi stranou c a b) (obrázek 28).
Obrázek 28 Proto všechny čtyřúhelníky jsou shodné a platí Pythagorova věta
c2 a2 b2 2.2.10 Důkaz č. 10 (důkaz Thâbita ibn Qurry5) Tento důkaz pochází z knihy „Předvečery“ od Thâbita ibn Qurry.
5
Thâbit ibn Qurra (826-901), slavný arabský matematik, astronom a filosof.
50
Nechť máme trojúhelník ABC a body C ; C AB , B ; B AB , takové, že CAB AC B AB C (viz. obrázek 29).
Obrázek 29 Podle věty uu o podobnosti trojúhelníků platí: ABC ~ C BA ~ B AC .
Pak platí: AB BC C B BA
a AC BC . B C AC
Pomocí algebraických úprav dostaneme
AB 2 BC C B
( 22 )
AC 2 BC B C .
( 23 )
a
Sečtením rovnic ( 22 ) a ( 23 ) dostaneme
AB 2 AC 2 BC C B B C . Jestliže úhel u vrcholu A je pravý, a tedy trojúhelník ABC je pravoúhlý, pak bod C B , C B B C BC a rovnice vede na Pythagorovu větu
AB 2 AC 2 BC 2
51
2.2.11 Důkaz č. 11 Tento důkaz je opět variací na důkaz č. 3. Nechť máme pravoúhlý trojúhelník ABC, s pravým úhlem u vrcholu A. Nad stranou AB sestrojme pravoúhlý trojúhelník ABD tak, že ABD ACB (obrázek 30). Pak podle věty uu přirozeně platí, že: DBC ~ DAB ~ BAC , protože DBC 90
Obrázek 30 Z obrázku 30 je zřejmé, že pro obsahy těchto trojúhelníků platí S ABD S ABC S DBC .
( 24 )
Pomocí Euklidovy věty o výšce dostaneme 2
AB AD AC a tedy
AD AB
2
AC .
( 25 )
Z podobnosti DAB a BAC plyne BD AB
CB AC
a tedy
BD AB BC AC .
( 26 )
Z rovnic ( 24 ), ( 25 ) a ( 26 ) dostaneme rovnici: 1 1 1 AD AB AB AC BD BC 2 2 2
52
neboli AB 2 AB AB AC AB BC BC , AC AC
a odtud pomocí algebraických úprav dostaneme Pythagorovu větu 2
2
2
AB AC BC .
2.2.12 Důkaz č. 12 Tento důkaz se opírá o tvrzení z důkazu č. 7, kde jsme ukázali, že Pythagorovu větu nemusíme dokazovat pouze pro čtverce, ale i pro libovolné geometricky podobné útvary, jejichž lineární rozměry odpovídají stranám pravoúhlého trojúhelníka. Z takovýchto útvarů si vybereme pravoúhlé trojúhelníky podobným způsobem jako v důkazu č. 7 (obrázek 31), jen polohu pravoúhlých trojúhelníků zčásti obměníme (obrázek 32).
Obrázek 31 Nechť máme trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Sestrojme trojúhelníky
ABC , BCA, ACB s vlastností: ABC ~ CBA ~ ACB ~ BCA (podle věty uu)
tak, jako na obrázku 32.
( 27 )
53
Obrázek 32 Z konstrukce trojúhelníků na obrázku 32 vyplývá,že ABC ~ ACB ,
a také že ABB BC A . Z obrázku 32 a ze shodnosti trojúhelníků plyne: S ABC S BAB S ABC S ABC
( 28 )
Z podobnosti trojúhelníků ( 27 ) a z Euklidovy věty odvodíme rovnice:
B C
2
AC
( 29 )
BC
a BC CA
AB
( 30 )
BC
Po dosazení rovnic ( 29 ) a ( 30 ) do rovnice ( 28 ) dostaneme: 1 1 1 AB BC AC B C AB BC 2 2 2
a tedy
AC BC
AC BC
2
AC AB AC
2
2
2
2
AC BC AC
AB
BC AC AB
2
2
AC
AB BC
54
což je Pythagorova věta. Obdobným způsobem vytvořil tento důkaz Scott Brodie, a to tak, že trojúhelníky sestrojené nad odvěsnami umístil do trojúhelníku sestrojeného nad přeponou. Nechť je dán trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C. Z bodu C sestrojme výšku na stranu AB a patu výšky označme bodem H. Pomocí osové souměrnost s osou AC získáme obraz bodu H, bod H´. Stejným způsobem získáme bod C´ v osové souměrnosti s osou AB a bod H´´v osové souměrnosti s osou BC (obrázek 33).
Obrázek 33 Z konstrukce trojúhelníků na obrázku 33 a z vlastnosti útvarů osově souměrných vyplývá: CH ' A CHA ,
( 31 )
BH ' ' C BHC ,
( 32 )
BC ' A BCA ,.
( 33 )
podle věty sus. Z obrázku 33 je zřejmé, že S BCA S BHC S CHA
( 34 )
Po dosazení z rovnic ( 31 ), ( 32 ) a ( 33 ) do rovnice ( 34 ) dostaneme S BC ' A S BH ''C S CH ' A ,
55
Neboli 1 1 1 BC C A BH H C CH H A . 2 2 2
Z vlastností osově souměrných trojúhelníků a z Euklidovy věty o odvěsně plyne: 1 1 1 BC C A c a v c v c cb 2 2 2 2
2
1 1 BC 1 CA BC CA vc vc 2 2 AB 2 AB 1 BC CA AB 2 2 2 BC CA 1 vc 2 2
2
2
AB BC CA , což je Pythagorova věta.
56
3
OVĚŘENÍ ZNALOSTI PYTHAGOROVY VĚTY Ověření znalosti Pythagorovy věty jsem provedl formou písemné práce v prvním
ročníku střední průmyslové školy (dále jen SPŠ) a v prvním ročníku lycea (dále jen lyceum). Výzkumu se zúčastnilo celkem 45 studentů (19 studentů SPŠ a 26 studentů lycea), kteří dostali za úkol vypočítat 6 příkladů, ve kterých jsem zjišťoval znalost Pythagorovy věty a její využití v praktických úlohách.
3.1 Zadání příkladů a jejich řešení Zadání příkladů bylo následující: Příklad 1: Napište slovní formulaci Pythagorovy věty. Řešení: Jedna z nejznámějších formulací je tato: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami). V tomto příkladu jsem zjišťoval, zda si studenti pamatují znění Pythagorovy věty, poněvadž velká část studentů zná pouze vzorec Pythagorovy věty ve tvaru c 2 a 2 b 2 . Příklad 2: Platí Pythagorova věta pouze pro pravoúhlý trojúhelník? Řešení: Ano. Pokud žáci neznají slovní formulaci Pythagorovy věty, chtěl jsem se přesvědčit, zda aspoň ví, že se používá pouze u pravoúhlého trojúhelníku.
57
Příklad 3: Napište vzorec pro výpočet délek odvěsen pravoúhlých trojúhelníků na obrázku. a)
b)
c)
Řešení: 2
.a) AB
2
BC AC ; AC
2
BC AC
2
b) v u 2 z 2 ; z u 2 v 2 2
z z c) v r ; r 2 v 2 2 2 2
Tento příklad měl za úkol ověřit, zda žáci umí správně používat vzorec Pythagorovy věty a jestli si dostatečně uvědomují, co znamenají pojmy přepona a odvěsna.
Příklad 4: Jak dlouhé je zábradlí u schodiště se 16 schody, z nichž každý je 28 cm široký a 15 cm vysoký. Řešení: Tento příklad má dva možné způsoby řešení: 1) Nejdříve si žáci musí uvědomit, že schod má při pohledu z boku tvar pravoúhlého trojúhelníku, kde známe dvě odvěsny a délku přepony si musíme vypočítat podle Pythagorovy věty (viz. obrázek 34): a 28 b 15 c?
58
Obrázek 34
c2 a2 b2 c a2 b2 c 31.765
Zábradlí má 16 schodů, proto jeho délku vypočítáme z rovnice:
d 16 31,765 d 508,24 Zábradlí u schodiště se 16 schody je dlouhé 508,24 cm. 2) V druhém způsobu si žáci převedou schodiště na jeden velký pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny si určí a poté vypočítají délku přepony, což je délka zábradlí schodiště (viz. obrázek 35).
Obrázek 35 Nejdříve musíme vypočítat délky odvěsen velkého pravoúhlého trojúhelníku:
59
a 16 28
b 16 15
a 448
b 240
Nyní známe délky odvěsen a pomocí Pythagorovy věty vypočítáme délku přepony ( délku zábradlí):
c2 a2 b2 c a2 b2 c 448 2 240 2
c 508,24 Zábradlí schodiště je dlouhé 508,24 cm. Příklad 4 a příklad 5 měly za úkol ověřit, zda žáci dokáží použít Pythagorovu větu v praxi.
Příklad 5: Dvě ulice se kolmo protínají (viz. obrázek 36). Lidé si k autobusové zastávce vyšlapali zkratku, která na první ulici začíná 55 m před křižovatkou, autobusová zastávka je 65 m za křižovatkou. O kolik metrů je zkratka kratší než cesta po chodníku? Kolik kroků se ušetří, jestliže je krok průměrně dlouhý 0,8m?
Obrázek 36 Řešení: Ad a) Délka cesty po chodníku: l 55 65 l 120
60
Délka zkratky: d 55 2 65 2
d 85,147 Nyní stačí odečíst délku cesty po chodníku l od délky zkratky d:
l d 120 85,147 l d 34,853 Zkratka je o 34,853 metru kratší než cesta po chodníku. Ad b) Počet kroků při chůzi po chodníku:
p1 120 : 0,8 p1 150 Počet kroků při chůzi zkratkou:
p 2 85,147 : 0,8 p 2 106 p p1 p 2
p 150 106 p 44 Lidé si ušetří 44 kroků.
Příklad 6: Jak dlouhá tyč se vejde do výtahu, který má tvar kvádru a jehož podlaha má rozměry 120 cm a 150 cm a jeho výška je 220 cm. Řešení: Výtah si znázorníme jako kvádr ABCDEFGH. Nejdelší tyč, která se vejde do výtahu bude mít délku t, což je velikost tělesové úhlopříčky kvádru ABCDEFGH (viz obrázek 37).
61
Obrázek 37 Nejdříve si vypočítáme délku tyče u:
u 2 120 2 150 2 u 2 36900 u 36900 Jakmile známe délku úhlopříčky u, můžeme vypočítat délku tyče t:
t 2 u 2 220 2 t 2 36900 48400 t 85300 t 292
Nejdelší tyč, která se vejde do výtahu, má délku 292 cm. Cílem posledního příkladu bylo ověřit schopnost použít Pythagorovu větu v prostoru.
3.2 Vyhodnocení Žáci dostali každý po jednom zadání a celkový čas na vypracování byl 40 minut.
62
Vyhodnocení: Každý příklad jsem ohodnotil určitým počtem bodů. Výsledné známky odpovídající počtům bodů jsou uvedeny v tabulce 1. Známka
1
2
3
4
5
Počet bodů
17 – 15
14 – 12
11 – 8
7–4
3–0
tabulka 1 Celkový dosažený průměr známek byl 2,90. Žáci SPŠ dopadli nepatrně lépe než žáci lycea. Dosažený průměr známek žáků SPŠ byl 2,87, kdežto žáci lycea dosáhli průměru 2,92. 3.2.1 Vyhodnocení příkladu 1 Žáci mohli za tento příklad dostat dva body. Příklad jsem hodnotil tak, že za správné znění Pythagorovy věty jsem dal plný počet bodů, za formulaci, která se Pythagorově větě velmi přibližovala, žáci dostali po jednom bodu a za špatnou formulaci Pythagorovy věty nedostali žádný bod. Výsledky jsou ukázány v tabulce 2. Průměrný počet bodů za tento příklad byl 0,82 bodu, z toho žáci SPŠ dosáhli průměru 0,79 bodu a žáci lycea dosáhli průměru 0,85 bodu. Body
0
1
2
Počet žáků SPŠ
10
3
6
Počet žáků lycea
15
0
11
tabulka 2 Nejčastější chyby: neznalost pojmů odvěsna a přepona; formulace Pythagorovy věty podle vzorce nikoliv slovní zápis; větu začali dobře, ale neuměli ji dokončit ; někteří žáci vůbec nevěděli, co se po nich požaduje. Celkové hodnocení: I přes ne příliš dobré výsledky, více jak polovina žáků věděla, co se po nich požaduje, jen neuměli Pythagorovu větu správně napsat. Nadpoloviční většina žáků, kterým jsem uznal bod za tento příklad, uvedla znění Pythagorovy věty takto: „Součet rovnostranných čtverců sestrojených nad přeponou,…“, z čehož je vidět, že si neuvědomovali, že porovnáváme obsahy čtverců, sestrojených nad přeponou a odvěsnami
63
pravoúhlého trojúhelníku. Jejich formulace ale byla částečně správná, proto jsem jim bod uznal. Zajímavé také bylo, že někteří žáci, kteří k tomuto příkladu nenapsali vůbec nic, ani vzorec c 2 a 2 b 2 , tento vzorec pak uměli použít v příkladech zaměřených na praktické využití Pythagorovy věty. 3.2.2 Vyhodnocení příkladu 2 Jelikož tento příklad požadoval pouze jednoduchou odpověď, ohodnotil jsem ho jedním bodem. Kromě čtyř žáků, kteří odpověděli špatně (shodně dva žáci v každé třídě odpověděli záporně), zbylí žáci odpověděli správně a obdrželi jeden bod. Zajímavé bylo, že dva žáci ze SPŠ, kteří za tento příklad neobdrželi bod, nenapsali vůbec nic ani k prvnímu příkladu, ale příklady čtyři a pět měli správně. Celkové hodnocení: Pokud se podíváme na četnost správných odpovědí z tohoto příkladu, můžeme říci, že naprostá většina žáků ví, že Pythagorova věta platí pouze pro pravoúhlý trojúhelník. 3.2.3 Vyhodnocení příkladu 3 Tento příklad jsem ohodnotil třemi body. Očekával jsem, že žáci na něm předvedou, jak umí používat vzorec Pythagorovy věty. Při vytváření zadání příkladů jsem ho považoval za jeden z lehčích příkladů v písemné práci, avšak opak byl pravdou. Nečekal jsem, jak obtížný úkol to pro žáky bude. Dopadl nejhůře ze všech zadaných příkladů. Žáci nedokázali rozlišit pojmy přepona a odvěsna, často jen mechanicky doplňovali písmena do vzorečku
c 2 a 2 b 2 , který znali. Ukázalo se, že stačí jen změnit obvyklé označení vrcholů pravoúhlého trojúhelníku nebo označit jeho strany jinými písmeny než a, b, c a už je to pro žáky problém. I když se mnohým podařilo správně použít vzorec Pythagorovy věty, nedodrželi zadání příkladu a vztahy pro výpočet odvěsen vůbec neuvedli. Mnoho žáků tento příklad raději vynechalo. Ze všech 45 žáků dostali pouze 3 plný počet bodů (1 ze SPŠ a 2 z lycea). Celkový průměr bodů na tento příklad byl 0,99 bodu, z něhož žáci SPŠ měli průměr 1,18 bodu a žáci lycea 0,85 bodu. Plných 37 % žáků ze SPŠ nedostalo ani jeden bod, žáci lycea na tom byli ještě hůř. Těch nedostalo ani jeden bod celých 50 %.
64
Nejčastější chyby: neschopnost správně dosadit do vzorce Pythagorovy věty, špatný algebraický zápis Pythagorovy věty Celkové hodnocení: Tento příklad činil žákům velké problémy. Pokud se ho žáci odhodlali řešit a podařilo se jim správně dosadit, neuměli ho dovést k úspěšnému konci. Obzvlášť velký problém znamenal pro žáky příklad c), který měli správně vyřešený jen 3 žáci. Zbylí si s ním buď nevěděli vůbec rady, nebo ho neuměli správně algebraicky zapsat 1 (psali z 2 místo správného zápisu 2
2
1 z ). 2
3.2.4 Vyhodnocení příkladu 4 Nepočítám – li příklad 2, byl toto příklad s největším počtem správných řešení a nejvyšším procentem správnosti řešení. Za tento příklad mohli žáci získat maximálně 3 body. Ze všech 45 žáků mělo 32 plný počet bodů (11 žáků SPŠ a 22 žáků lycea). Průměrný počet bodů na jednoho žáka byl 2,41 bodu. Lépe v tomto příkladu dopadli žáci lycea, kteří dosáhli průměru 2,60 bodu a SPŠ dosáhli průměrného počtu 2,18 bodu. Body
0
1
1,5
2
3
Počet žáků SPŠ
3
1
1
3
11
Počet žáků lycea
3
1
0
0
22
tabulka 3 Nejčastější chyby: Numerické chyby. Celkové hodnocení: Tento příklad nebyl pro žáky problémový. Z velké části buď dosáhli plného počtu bodů nebo body žádné. Pokud žáci při řešení příkladu chybovali, jednalo se o numerické chyby v jejich počítání. Tyto chyby dělali především žáci SPŠ, jejichž nejčastější chybou bylo špatné umocňování. 3.2.5 Vyhodnocení příkladu 5 Maximální počet možných získaných bodů v tomto příkladě byl 4 (za každou z otázek 2 body). Užití Pythagorovy věty v tomto příkladě hrálo významnou, avšak ne
65
jedinou roli. Žáci si mohli výpočtem ověřit známou pravdu, že cesta po přeponě je kratší než po obou odvěsnách a dokonce spočítat, kolik kroků přitom ušetří. Průměrný počet bodů získaných v tomto příkladě byl 2,32. Ve srovnání dopadli opět lépe žáci lycea s průměrným počtem bodů 2,50 oproti průměrnému 2,08 bodu žáků SPŠ. Body
0
1
1,5
2
3
4
Počet žáků SPŠ
6
0
1
5
0
7
Počet žáků lycea
4
2
0
8
1
11
tabulka 4 Nejčastější chyby: chyběla odpověď, neznalost určení počtu kroků, opomenutí řešení jedné z otázek, numerické chyby. Celkové hodnocení: Žáci většinou příklad pochopili a věděli, jak použít Pythagorovu větu. Téměř všichni začali počítat délku přepony, avšak ne každému se vinou numerických chyb podařilo dobrat ke správnému výsledku. Pokud správně zjistili délku zkratky (přepony), často nevěděli, jak vypočítat, kolik kroků ušetřili, nebo zapomněli vypočítat, o kolik metrů je zkratka kratší než cesta po chodníku. Nejčastější chybou ale bylo neuvedení slovní odpovědi. 3.2.6 Vyhodnocení příkladu 6 Tento příklad měl za úkol ověřit prostorovou představivost žáků a schopnost použití Pythagorovy věty v prostoru. Při tvoření příkladů jsem ho považoval za nejtěžší, proto byl ohodnocen čtyřmi body. Překvapila mě úspěšnost řešení tohoto příkladu (tabulka 5) a to, že až na pár výjimek měli žáci příklad vypočítaný buď zcela správně nebo úplně špatně. Vyjádříme – li počet správných a špatných odpovědí v procentech, bylo by to
46,7% : 42,2% . Body
0
1
2
3
3,5
4
Počet žáků SPŠ
7
0
1
1
1
9
Počet žáků lycea
12
0
1
1
0
12
tabulka 5
66
Průměrný počet bodů získaných za tento příklad byl 2,17 (2,34 žáci SPŠ a 2,04 žáci lycea). Nejčastější chyby: Počítání stěnové úhlopříčky BE (viz. obrázek 37) místo tělesové úhlopříčky BH (délka tyče), numerické chyby, zapomenutí odpovědi. Celkové hodnocení: Pokud si žáci uvědomili, že tyč je rovna délce tělesové úhlopříčky BH, z velké části příklad dopočítali správně. Většina žáků, kteří příklad vypočítali špatně, považovala za největší délku tyče úhlopříčku BE (viz. obrázek 37).
67
4
POUŽITÍ PYTHAGOROVY VĚTY Pythagorova věta má velké možnosti použití v různých odvětvích matematiky jako
např. v planimetrii (vypočítání výšky rovnostranného trojúhelníku, výšky pravoúhlého nebo rovnoramenného lichoběžníku; úhlopříčky obdélníku, čtverce…) nebo ve stereometrii (výpočty tělesových nebo stěnových úhlopříček, tělesových výšek jehlanu nebo kužele). Některé takto získané výsledky si pak můžeme pamatovat jako vzorce. Např.:
Úhlopříčka čtverce o straně a: e a 2 .
Výška rovnostranného trojúhelníku o straně a: v
Tělesová úhlopříčka kvádru o hranách a, b, c: u a 2 b 2 c 2 .
Tělesová úhlopříčka krychle o hraně a: u a 3 .
1 a 3. 2
Tím samozřejmě zdaleka nejsou vyčerpány všechny možnosti využití Pythagorovy věty ve stereometrii a planimetrii. Aplikaci Pythagorovy věty nacházíme v celé řadě praktických úloh. Pythagorova věta nachází své uplatnění také v goniometrii. Např. vztah
sin 2 x cos 2 x 1 je v podstatě vyjádřením Pythagorovy věty. Ten, kdo zná aspoň základy diferenciálního počtu, ví, že diferenciál d s oblouku každé křivky je dán rovnicí d s 2 d x 2 d y 2 , což je opět Pythagorova věta. Rovněž v analytické geometrii je vzdálenost dvou bodů Ax1 , y1 , Bx 2 , y 2 v rovině dána vzorcem d
x2 x1 2 y1 y 2 2 , který je opět aplikací Pythagorovy věty
A tak bychom mohli pokračovat dál a nacházet další a další příklady, ve kterých je používána Pythagorova věta nebo které jsou založeny na její aplikaci. Z toho je zřejmé, že Pythagorova věta je jedním, a možná nejdůležitějším, ze základních poznatků euklidovské geometrie.
68
ZÁVĚR Za jeden z nejdůležitějších poznatků z první části této diplomové práce považuji to, že Pythagorova věta byla známa již dávno před Pythagorem a že její první důkaz nejpravděpodobněji provedl jeden z jeho žáků. O Pythagorovi pak hovoříme jako o zakladateli matematiky jako vědy. Byl to on, kdo vnesl do matematiky vědeckou systematičnost a požadoval ji i na svých žácích. Pythagorejci pěstovali teorii čísel, z níž později vyrostla nauka o posloupnostech a řadách. Druhá část práce měla především ukázat několik možností, jak dokázat Pythagorovu větu a poukázat na to, že její znění neplatí pouze pro čtverce sestrojené nad jednotlivými stranami, ale i pro jiné rovinné obrazce. Také upozornila na skutečnost, že důkazy Pythagorovy věty by nemohly být provedeny bez znalosti vět o podobnosti trojúhelníků či Euklidových vět. Kapitola věnovaná zpracování písemné práce ukazuje, že studenti v drtivé většině znají algebraický zápis Pythagorovy věty a v příkladech věnovaných na její praktické využití vcelku dobře obstáli. Avšak největším zklamáním pro mne osobně byla nedostatečná schopnost studentů aplikovat vzorec Pythagorovy věty na jiné označení přepon a odvěsen než klasické a, b, c. Dalšími velice častými chybami byly chyby numerické, resp. vyjádření proměnné z rovnice.
69
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] Arcytech.org – The Pythagorean Theorem [online] [cit. 2007.01.15]. Dostupný z WWW:
. [2] BALADA, F. Z dějin elementární matematiky. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1959. SPN: 85-0-04 16/1. [3] BOGOLOMNY, Alexander. Interactives Mathematics Miscellany and Puzzles [online] [cit. 2007.01.03]. Dostupný z WWW: . [4] Celý svět: encyklopedie [online] [cit. 2006-12-08]. Dostupný z WWW: . [5] COUFALOVÁ, J., PĚCHOUČKOVÁ, Š., HEJL, J., LÁVIČKA, M. Matematika pro osmý ročník základní školy. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2000. ISBN 80-7168-7227 [6] Geom.uiuc.edu - A Brief History of the Pythagorean Tudorem [online] [cit. 200701.12]. Dostupný z WWW: . [7] HÁLA, V. Blog Vojtěcha Hály – “Důkaz Pythagorovy věty” [online] [cit. 200701-30]. Dostupný z WWW: . [8] HORÁK, S. Pythagorova věta. 1. vyd. Praha: Prométheus, 1949. [9] KOMAN, M., TICHÁ, M., KUŘINA, F., ČERNEK, P. Matematika pro 8. ročník základní školy – 1. Díl. 1. vyd. Praha: Matematický ústav AV ČR, 2000. ISBN 8085823-44-6. [10] KUBÁČEK, Pavel. Symetrie molekul [online] [cit. 2006-12-12]. Dostupný z WWW: . [11] LEISCHNER, Pavel. Pythagorova věta a cabri geometrie. In 8. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol. Praha: Jednota pražských matematiků a fyziků, 2002. konference proběhla v Prachaticích dne 7. – 9. listopadu. s. 205 – 210. Dostupný z WWW: .
70
[12] MOLNÁR, J., EMANOVSKÝ, P., LEPÍK, L. LIŠKOVÁ, H., SLOUTKA, J. Matematika 8 – učebnice s komentářem pro učitele. 1. Vyd. Olomouc: Prodos. ISBN 80-7260-061-X. [13] MÜLLEROVÁ, J., ČIŽMÁR, J., DIVÍŠEK, J., MACHÁČEK, V. Matematika pro 7. ročník základní školy – 1.Díl. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1990. ISBN 80-04-24008-9. [14] Navajo: otevřená encyklopedie [online] [cit. 2007-01-30]. Dostupný z WWW: . [15] ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J. Matematika pro 8. ročník základní školy – 1. Díl. Praha: Prométheus, 1999. ISBN 80-7196-148-5. [16] Phil.muni.cz - Texty k Dějinám filosofie 1 a 2 [online] [cit. 2006.12.20]. Dostupný z WWW: . [17] Quido: elektronický magazín pro vědeckotechnické vzdělávání a ekologickou výchovu mládeže ve volném čase [online] [cit. 2006-12-12]. Dostupný z WWW: . [18] Relaxia.cz: Hudba sfér [online] [cit. 2007-01-10]. Dostupný z WWW: . [19] ROSECKÁ, Z., MÍČEK, A. Geometrie – učebnice pro 8. ročník. Brno: Nová škola, 1999. ISBN 80-85607-93-X. [20] ŠAROUNOVÁ, A., BUŠEK, I., RŮŽIČKOVÁ, J., VÄTEROVÁ, V. Matematika 8 – 1. Díl. 1. vyd. Praha: Prométheus, 1999. ISBN 80-7196-124-8. [21] ŠETERLE, D. Pythagoras ze Samu aneb Láska k Moudrosti [online] [cit. 200701-06]. Dostupný z WWW: [22] TREJBAL, J. Matematika pro 8. ročník základní školy – 1. Díl. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1998. ISBN 80-7235-019-6. [23] VLACHOVÁ, Magda. Slavní matematici, fyzici a vynálezci [online] [cit. 2006-1208]. Dostupný z WWW: .
71
[24] VURM, B. Tajné dějiny Evropy. 1. vyd Praha: Bohemia, 1996. ISBN: 80–803–216. [25] Wikipedie: otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2006-12-05]. Dostupný z WWW: . [26] ZAMAROVSKÝ, Petr. Pythagoras ze Samu [online] [cit. 2006.12.05]. Dostupný z WWW: .
